Lógica ParaQuântica LPQ (parte VIII): Modelo Lógico Paraquântico de Análises Quantitativas

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1 Lógica ParaQuântica LPQ (parte VIII): Modelo Lógico Paraquântico de Análises Quantitativas João Inácio da Silva Filho Da Silva Filho, J.I. GLPA - Grupo de Lógica Paraconsistente Aplicada UISATA - Universidade Santa Cecília -úcleo de Pesquisa em Eletrônica PE Rua Osvaldo Cruz, 88 CEP Santos-SP Brasil IEA-USP- Instituto de Estudos Avançados da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto, Trav. J n o 374, Térreo, Cidade Universitária CEP , São Paulo - SP- Brasil. Resumo este artigo apresenta-se um modelo para fazer análises e quantizações de grandezas físicas capaz de ser aplicado em resoluções de fenômenos da física. O modelo lógico paraquântico é criado a partir dos trabalhos anteriores (parte I, II, III, IV, V, VI e VII) onde foram tratados os efeitos da propagação dos estados lógicos Paraquânticos e a correlação de valores entre as medidas efetuadas em Variáveis Observáveis no meio físico. A Lógica ParaQuântica LPQ é uma lógica não-clássica originada dos fundamentos da Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores (LPAv) que tem na sua representação um Reticulado associado. Valores obtidos das medições em Variáveis Observáveis no meio físico são equacionados originando fatores no Reticulado associado da LPQ que limitam uma Região de Incerteza. Entre os Fatores obtidos na análise, destaca-se o Fator de Quantização Paraquântico h, cujo valor está relacionado a um estado lógico especial denominado de estado Lógico Paraquântico de Quantização h situado em um ponto de equilíbrio no Reticulado da LPQ. Verificou-se que a ação do Fator de Quantização Paraquântico h no modelo Lógico Paraquântico pode ser de contração ou de expansão identificando qualquer estado Lógico Paraquântico como uma fiel representação de um Reticulado da LPQ de infinitas dimensões e com as mesmas características de um Reticulado Fundamental. Com base nestas considerações apresenta-se neste artigo um modelo Lógico Paraquântico para, através da LPQ, analisar e fazer a quantização de valores referenciados às grandezas físicas em sistemas físicos reais. Palavras chave: lógica Paraconsistente, lógica paraconsistente anotada, lógica Paraquântica, mecânica quântica, física quântica. Abstract In the previous works (part I, II, III, IV, V, VI e VII) it was verified that the foundations that treat of the propagation of the Paraquantum logical states and the co-relationship of values among the measures made in Observable Variables in the physic world. The ParaQuantum Logic PQL is a non-classic logic originated of the foundations of the Paraconsistent Annotated Logic with annotation of two values (PALv) and has her representation in an associate Lattice. With the quantification of values obtained of measures in Variables Observables originate the factors that limit the area of Uncertainty in to PQL Lattice. Among the Factors obtained in the analysis, has prominence the Quantization Paraquantum Factor h,, whose value is related to a special Logical state denominated of Paraquantum Logical state of Quantization h that it is placed in a balance point in the Lattice of the PQL. It is verified in this study that the action in the Paraquantum Logical model of the Paraquantum Factor of Quantization h can be of contraction, or of expansion, identifying any Paraquantum Logical state h as a faithful representation of a Lattice of PQL of infinite dimensions and with the same characteristics of a Fundamental Lattice. With base in these considerations presents in this paper a Paraquantum Logical model to analyze through PQL the quantization of values in reference to the physical greatness in real physical systems. Keywords: Paraconsistent logic, Annotated paraconsistent logic, paraquantum logic, quantum mechanics, quantum physics. I ITRODUÇÃO Utilizando os fundamentos da Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores (LPAv) [9][] a Lógica ParaQuântica LPQ permite os equacionamentos e as interpretações através de estados Lógicos Paraquânticos que aparecem e se propagam por um Reticulado de quatro Vértices. Os estudos anteriores (parte I, II, III, IV V, VI e VII), têm mostrado que Lógica ParaQuântica LPQ [7] [8] [9][0[][][3], apresenta características que permitem a criação de modelos capazes de analisar certos fenômenos físicos. A partir destes estudos são gerados resultados capazes de serem interpretados para a análise de fenômenos encontrados em áreas da física. Sendo a LPQ uma lógica paraconsistente, então na próxima seção apresentam-se inicialmente os principais conceitos da LPAv que pode ser vista com mais detalhes em [][3][4] e [4]. I. A LÓGICA PARACOSISTETE AOTADA COM AOTAÇÃO DE DOIS VALORES LPAV Apresentando como principal característica a admissão de contradição em sua estrutura teórica, a Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores (LPAv) pode ser representada de modo particular, através de um Reticulado de quatro Vértices [][3][0][]. ISS

2 Intuitivamente, as constantes de anotação representadas nos seus Vértices vão dar conotações de estados Lógicos extremos às proposições em análises [][6][0]. Dessa forma, pode-se obter uma representação das anotações, ou evidências, indicando de maneira quantitativa o conhecimento sobre uma dada proposição P. esta mesma linha de raciocínio podem-se relacionar os estados Lógicos Paraconsistentes extremos, representados nos quatro vértices do Reticulado, com os valores dos Graus de Evidência favorável µ e desfavorável λ obtidos de medições em Variáveis Observáveis do meio físico. Sendo, µ, λ [0, ] R a relação pode ser feita da seguinte forma: P T = P (, ) A anotação (µ, λ) = (, ) P é inconsistente. P V = P (, 0) A anotação (µ, λ) = (, 0) P é verdadeira. P F = P (0, ) A anotação (µ, λ) = (0, ) P é falsa. P = P (0, 0) A anotação (µ, λ) = (0, 0) P é paracompleta. P I =P (0.5; 0.5) A anotação (µ, λ)= (0,5; 0,5) P é Indefinida. A negação lógica de P será: P( µ, λ ) = P( λ, µ ) I. O RETICULADO DE VALORES DA LPAV Com os valores de x e de y que variam entre 0 e considerados em um Quadrado Unitário no Plano Cartesiano- QUPC permite-se encontrar transformações lineares para um Reticulado k de valores análogo ao Reticulado associado da LPAv[8][9][0]. Obtém-se assim a transformação linear representada pela equação: T(x, y)=(x-y, x+y-) () Relacionando os componentes conforme a nomenclatura usual da LPAv, vem que: x = µ Grau de Evidência favorável y = λ Grau de Evidência desfavorável O primeiro termo na dupla de valores da equação () denomina-se de Grau de Certeza G C, que é obtido por: G C = µ - λ () Os valores de G C, que pertencem ao conjunto R, variam no intervalo fechado - e + e estão no eixo horizontal do Reticulado de valores k. O segundo termo na dupla de valores da equação () denomina-se de Grau de Contradição G ct, que é obtido por: G ct = µ + λ (3) Os valores resultantes de G ct pertencem ao conjunto R, variam no intervalo fechado + e - e estão expostos no eixo vertical do Reticulado de valores k. I.3 OS ESTADOS LÓGICOS PARACOSISTETES ε τ A partir das equações () e (3) em (), pode-se então representar um estado Lógico Paraconsistente ε τ, tal que: ε τ(µ, λ) = (µ - λ, µ + λ - ) (4) ou então ε τ (µ, λ) = (G C, G ct ) (5) onde: ε τ é o estado Lógico Paraconsistente. G C é o Grau de Certeza obtido em função dos dois Graus de Evidência µ e λ. G ct é o Grau de Contradição encontrado em função dos dois Graus de Evidência µ e λ. Para qualquer estado Lógico Paraconsistente ε τ um valor do Grau de Certeza real G CR projetado no eixo horizontal é obtido [9][0]conforme as condições mostradas abaixo: G = ( G ) + G para G > 0 (6) CR C ct ou: G = G + G para G < 0 (7) CR ( C ) ct onde: GC = f ( µ, λ) e Gct = f ( µ, λ) Se G C =0 então o estado Lógico é Indefinido com G CR =0. O Grau de Evidência Resultante que expressa a intensidade do estado Lógico Paraconsistente ε τ é calculado por: G µ CR + ER ( µ, λ) = (8) Onde: µ ER é o Grau de Evidência Resultante. G CR é o Grau de Certeza Real obtido através da equação (6) ou (7), dependendo da sinalização de G C. II A LÓGICA PARAQUÂTICA LPQ Com base nas considerações anteriores, que se referem a LPAv, são então criados os fundamentos que sustentam a Lógica ParaQuântica LPQ. II. A FUÇÃO PARAQUÂTICA (PQ) E O ESTADO LÓGICO PARAQUÂTICO Podem-se representar as equações () e (3) como função de µ e de λ obtendo-se assim as equações: G C(µ, λ) = µ λ (9) G ct(µ, λ) = µ + λ (0) Sendo assim, uma função Paraquântica (P) é identificada com o estado Lógico Paraquântico. ( PQ) = ( GC (µ, λ), G ct (µ, λ) ) () II. O RETICULADO PARAQUÂTICO DA LPQ Verifica-se que para cada valor de µ e de λ obtidos pelas medições no mundo físico tem-se uma única dupla de valores (G C(µ,λ), G ct(µ,λ) ) que representa um único estado Lógico Paraquântico como um ponto interno ao Reticulado da LPQ.. o eixo vertical dos graus de contradição os dois estados lógicos Paraquânticos contraditórios extremos são: O estado Lógico Paraquântico extremo contraditório que representa Inconsistência T: T = (G C(,), G ct (,) ) = (0, ) O estado Lógico Paraquântico extremo contraditório que representa Indeterminação : = (G C(0,0), G ct (0,0) ) = (0, -). o eixo horizontal dos graus de certeza os dois estados lógicos Paraquânticos Reais extremos são: O estado Lógico Paraquântico extremo Real que representa Veracidade V: V = (G C(,0), G ct (,0) ) = (, 0) O estado Lógico Paraquântico extremo Real que representa Falsidade F: F C(0,) ct (0,) = (G, G ) = (-, 0) A figura mostra um ponto no Reticulado Paraquântico de Estados da LPQ criado com um par ordenado (G C, G ct ) onde G C =ƒ(µ,λ) e G ct =ƒ(µ,λ) o qual representa um estado Lógico Paraquântico. C C ISS

3 MP() (- GC ) Gct = + () Onde: G C = Grau de Certeza calculado pela equação (9). G ct = Grau de Contradição calculado pela equação (0). Para G C >0, o Grau de Certeza Real será calculado por: G CR = MP() (3) Portanto: G = ( G ) + G (4) CR C ct Onde: G CR = Grau de Certeza Real. G C = Grau de Certeza calculado pela equação (9). G ct = Grau de Contradição calculado pela equação (0). Figura Vetor de Estado P() representando um estado Lógico Paraquântico no Reticulado Paraquântico de Estados no ponto de interpolação (G C, G ct ), portanto com G C >0. o Reticulado da LPQ um Vetor de Estado P() terá origem em um dos dois Vértices que compõem o eixo horizontal dos graus de certeza. A sua extremidade será no ponto formado pelo par ordenado indicado pela função Paraquântica: (PQ) = (G C(µ, λ), G ct(µ, λ) ). Se o valor do Grau de Certeza for negativo (G C <0), então a origem do Vetor de Estado P() estará no Vértice do Reticulado que indica estado Lógico Paraquântico extremo Falso: F = (-, 0).. Se o valor do Grau de Certeza for positivo (G C >0), então a origem do Vetor de Estado P() estará no Vértice do Reticulado que indica estado Lógico Paraquântico extremo Verdadeiro: V = (, 0). Se o valor do Grau de Certeza for nulo (G C =0), então existe um estado Lógico Paraquântico Indefinido: I =(0,5;0,5). O Vetor de Estado P() será sempre a soma vetorial de seus dois vetores componentes: X C Vetor na direção do eixo dos graus de certeza (horizontal) e cujo módulo é o complemento do valor do Grau de Certeza em módulo, tal que: XC = G C Y ct Vetor na direção do eixo dos graus de contradição (vertical) e cujo módulo é o próprio valor do Grau de Contradição, tal que: Yct = Gct As características dos estados Lógicos Paraquânticos e sua propagação no Reticulado de Estados da LPQ são estudadas através da equação (). Sendo assim, o comportamento característico da propagação dos estados Lógicos Paraquânticos depende de medições efetuadas em Variáveis Observáveis no mundo físico. - Definido um estado Lógico Paraquântico atual atual através do par ordenado (µ, λ), então, conforme a equação () calcula-se o módulo do Vetor de Estado P() por: Para G C <0, o Grau de Certeza Real será calculado por: G CR = MP() (5) ou: GCR = ( GC ) + Gct (6) Onde: G CR = Grau de Certeza Real. G C = Grau de Certeza calculado pela equação (9). G ct =Grau de Contradição calculado pela equação (0). c) Para G C = 0, então o Grau de Certeza Real será nulo: G CR = 0 O valor da Intensidade do estado Lógico Paraquântico Real é calculado por: GCR + µ R = (7) Onde: µ R = Grau de Intensidade do estado Lógico Paraquântico Real G CR = Grau de Certeza Real calculado pela equação (4) ou pela equação (6), dependendo do sinal do Grau de Certeza G C obtido pela equação (9). O ângulo α de inclinação que o Vetor de Estado P() faz com o eixo horizontal de graus de certeza é calculado por: G α arc ct = tg (8) ( GC ) O Grau de Intensidade do estado Lógico Paraquântico Contraditório ctr, é calculado por: G µ ct + ctr = (9) Onde: µ ctr = Grau de Intensidade do estado Lógico Paraquântico Contraditório. G ct = Grau de Contradição, calculado pela equação (0). Através da equação () verifica-se que as variações das medições no meio físico são refletidas no Reticulado da LPQ propagando o estado Lógico Paraquântico através de infinitos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup. Quando o Módulo do Vetor de Estado MP() é igual a, este estará representando os estados Lógicos Paraquânticos Superpostos Fundamentais máximos supfmax que resultarão em valores de Grau de Certeza Real nulos. O Grau de Contradição máximo para essa condição é quando o Vetor de Estado P() faz um ângulo de 45 0 com o eixo horizontal dos graus de certeza. Portanto, sendo α =45 0 o ângulo de inclinação do Vetor de Estado P(), então o Grau de Contradição máximo para essa condição é calculado por: Gct max =±. cosα ISS

4 0 G ct max =±. cos 45 =± E o Grau de Certeza nessa condição extrema de contradição é G =± G calculado por: ( ) C ct max 0 G C =± (. cos 45 ) =± ± Essa condição acontece também quando o Vetor de Estado estiver com inclinação de α = ou ainda com origem no Vértice extremo representante do estado Lógico Paraquântico extremo Falso. Em uma situação contraditória extrema o Módulo do Vetor de Estado MP() terá o seu valor máximo de MP()=. II.3 REGIÃO DE ICERTEZA PARAQUÂTICA RLPQ Como a análise paraquântica recebe na forma de Grau de Evidência favorável µ e desfavorável λ as medições nas Variáveis Observáveis no meio físico, então as suas variações são refletidas no comportamento e na propagação dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup no Reticulado da LPQ. Quando a propagação dos estados Lógicos Paraquânticos sup ultrapassa o eixo vertical do Reticulado da LPQ são produzidos Saltos Paraquânticos, os quais são fenômenos identificados por mudanças repentinas de valores dos Graus de Certeza Real G CR que estão expostos no eixo horizontal. A região de Incerteza da LPQ é aquela onde podem acontecer os Saltos Paraquânticos, e está identificada com o Módulo do Vetor de Estados maior que a unidade MP()>. Essa região é bem definida através de estados lógicos Paraquânticos limites, os quais geram fatores correlacionados com as variações nas medidas efetuadas nas Variáveis Observáveis no meio físico. A região de Incerteza no Reticulado de Estados da LPQ é estabelecida pela localização dos estados lógicos Paraquânticos Contraditórios desbalanceados ctrd, portanto, acontece quando existe: G C > 0 e G CR < 0 ou G C < 0 e G CR > 0 Essas variações são inerentes da LPQ e tem a denominação de Saltos Paraquânticos por contradição nas medições. Os Saltos Paraquânticos são fenômenos que ficam restritos a uma Região de Incerteza da LPQ e pode ser definida pelos intervalos da seguinte forma: a) Para a condição de G C < 0 o intervalo de variação será: ( ) G C R < < 0 Portanto, o Grau de Intensidade do estado Lógico Paraquântico Real µ R terá um intervalo de variação: < µ ctr < b) Para a condição de G C > 0 o intervalo de variação será: > G C R > 0 Portanto, o Grau de Intensidade do estado Lógico Paraquântico Real µ R terá um intervalo de variação: > µ ctr > a propagação dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup existe um ponto de equilíbrio que está situado sobre o eixo vertical dos Graus de contradição do Reticulado da LPQ. O estado de equilíbrio na propagação dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup através da Região de Incerteza da LPQ é definido como o estado Lógico Paraquântico de Quantização h. O valor do Grau de Contradição é identificado com o estado Lógico Paraquântico de Quantização h quando as variações nas Variáveis Observáveis no meio físico, na forma de ação e reação, levam o estado Lógico Paraquântico Superposto sup a um ponto de equilíbrio na propagação. Através da trigonometria onde, inicialmente, considera-se o Reticulado da LPQ como dois triângulos isósceles com base e altura unitária, pode-se obter a localização do estado Lógico Paraquântico de Quantização h que, conforme será visto a seguir, está situado no ponto incentro de cada triângulo,. Sendo os pontos dos estados lógicos extremos indicados nos Vértices do Reticulado, tem-se que os dois triângulos são: Triângulo FTV: Falso Inconsistente Verdadeiro Triângulo F V: Falso Indeterminado Verdadeiro. A partir do triângulo isósceles FTV composto pelos Vértices dos estados Lógicos Paraquânticos extremos; Falso, Inconsistente e Verdadeiro, traçam-se as bissetrizes internas e encontra-se o ponto notável Incentro I. Dessa forma, é encontrado o ponto I eqüidistante dos lados do triângulo isósceles FTV. Verifica-se que a distância da base, formada pelo eixo horizontal do triângulo cujos Vértices estão os estados Lógicos Paraquânticos extremos Reais Falso e Verdadeiro com o ponto Incentro I, é de: h = Como o ponto Incentro I está sobre o eixo vertical do Reticulado da LPQ, então esse valor corresponde ao Grau de Contradição G ct positivo. Essa mesma análise pode ser feita para o outro triângulo isósceles F V obtendo-se assim a correlação de valores entre o meio físico e o Reticulado da LPQ. A figura mostra a essa condição de correlação. Figura Correlação de valores de distâncias entre o meio físico, representado na forma de Graus de Evidências, e o Reticulado de Estados da LPQ. ISS

5 As retas criadas dentro do Reticulado estarão com inclinação de ângulo α de As distâncias entre si são correlacionadas às distâncias no eixo onde estão expostos os valores dos Graus de Evidência favorável µ e desfavorável λ. Dessa forma, como os valores normalizados dos Graus de Evidência são representações das variações ocorridas em medições das Variáveis Observáveis, então, em relação ao ponto de indefinição eqüidistante dos Vértices do Reticulado da LPQ, portanto em torno de onde está localizado o estado Lógico paraquântico de Indefinição Puro IP, a variação de valores dentro dos limites pode ser representada por: d = ± Os estados Lógicos Paraquânticos Limitantes da Região de Incerteza da LPQ são aqueles nos quais as linhas tracejadas com inclinação de α de 45 0 os interligam ao ponto Incentro, portanto, no ponto onde está situado o estado Lógico de Quantização Paraquântico h. Os Fatores de limitação máxima de transição são:. Fator de Limitação Paraquântico Falso/Inconsistente h QFT. ( G G ) =, ( PQ) C(µ, λ) ct (µ, λ) ( PQ) =, ; ; h QFT. Fator de Limitação Paraquântico Verdadeiro/Inconsistente h QVT. ( PQ) = ( GC (µ, λ), G ct (µ, λ) ) ( PQ) =, ; ; h QVT 3. Fator de Limitação Paraquântico Falso/Indeterminado h QF. ( G G ) =, ( PQ) C(µ, λ) ct (µ, λ) ( PQ) =, 0; - 0; - h QF 4.Fator de Limitação Paraquântico Verdadeiro/Indeterminado h QV. ( PQ) = ( GC (µ, λ), G ct (µ, λ) ) ( PQ) =, ;0 ; 0 h QV Todos os estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup a estes e que terão variação do ângulo de inclinação α até grau nulo delimitam a Região de Incerteza do Reticulado da LPQ. A figura 3 mostra as interligações entre os fatores e suas características nas quais delimitam a Região de Incerteza do Reticulado da LPQ. Figura 3 Fator de Quantização relacionado aos Graus de Evidência obtidos nas medições das Variáveis Observáveis no meio físico. Verifica-se que o estado Lógico Paraquântico de Quantização h está situado na posição de equilíbrio entre dois limites máximos consecutivos de propagação e, portanto, ao final de duas transições, estará sobre um dos eixos do Reticulado da LPQ. O estado Lógico Paraquântico Superposto sup ao se propagar pelo Reticulado da LPQ fica estabelecido em um valor de quantização para cada ponto de equilíbrio, que é o valor do Grau de Contradição do estado Lógico Paraquântico de Quantização h, tal que: h = (0) Onde: h é o Fator de Quantização Paraquântico. Após o estado Lógico Paraquântico Superposto sup alcançar o ponto onde está situado o estado Lógico Paraquântico de Quantização h, que é identificado com o Fator de Quantização Paraquântico h, será produzido um Salto Paraquântico. este caso, o módulo do Vetor de Estados P() é maior que a unidade e o Grau de Certeza Real terá variações da forma: GC R =± + h () O que resulta em aproximadamente: G C R = ± a propagação pelo Reticulado da LPQ a cada passagem dos estados Lógicos Superpostos sup pelo ponto representante do estado Lógico Paraquântico de Quantização h situado no eixo vertical dos graus de contradição, é criado um Salto Paraquântico que é adicionado ou subtraído do valor do Grau de Certeza Real do Salto dado pela equação (). A figura 4 mostra os detalhes do valor do Grau de Certeza Real calculado pela equação () no instante em que os estados Lógicos Superpostos ultrapassam o eixo vertical ISS

6 dos graus de contradição no ponto representante do estado Lógico Paraquântico de Quantização h. Figura 4 Representação do Salto Paraquântico no instante em que os estados Lógicos Superpostos sup ultrapassam o eixo vertical dos graus de contradição no ponto representante do estado Lógico de Quantização Paraquântico h. a transição dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup pelo estado Paraquântico de Quantização h estabelecido pelo Fator de Quantização h acontece o Salto paraquântico. o estudo da LPQ quando a propagação acontece somente neste ponto o Reticulado recebe a denominação de Reticulado Fundamental de nível de freqüência de transição =. Como para o Reticulado Fundamental da LPQ o número de vezes de aplicação do Fator de Quantização h é =, então, para uma contração ou expansão, o número de vezes será maior que. Generalizando, tem-se que o Fator de Quantização h expande ou contrai o Reticulado da LPQ de vezes, tal que: h ( ) ( ) ( ) = h = () Onde: é igual ou maior que e pertence ao conjunto de números Inteiros. o meio físico, verifica-se que os máximos Graus de Evidência, que no Reticulado Fundamental da LPQ eram de valor unitário, ficam com os valores obtidos por: h µ = λ = + max( ) max( ) Dessa forma, a variação em torno do estado Lógico Paraquântico de Indefinição Puro IP para os Graus de Evidência µ e λ dentro dos limites de certeza, será: ( h ) IP = ± Verifica-se que o Fator de Quantização Paraquântico h pode ser utilizado para relacionar os valores de quantidades entre o meio físico e o universo paraquântico representado pelo Reticulado da LPQ. Sendo assim, para obtenção de Reticulados de Estados da LPQ de níveis de freqüência de transição maiores que o do nível fundamental (>) basta apenas multiplicar o Fator de Quantização Paraquântico pelo seu próprio valor h em torno do valor representante do estado Lógico Paraquântico Indefinido Puro IP. Essa contração leva para o Reticulado resultante contraído todas as características de análise paraquântica estudadas no Reticulado fundamental, tal como a Região de incerteza da LPQ delimitada pelos estados Lógicos Paraquânticos e seus fatores de limitação. E assim, como no Reticulado fundamental =, também serão válidas todas as equações da Lógica Paraquântica para as condições de contração do Reticulado da LPQ de nível, onde é considerado um número inteiro positivo. A expansão do Reticulado é estudada através do processo inverso feito para obtenção dos níveis maiores de freqüência de transição. Dessa forma, a expansão somente irá ocorrer se a referência da análise paraquântica considerar situações onde o Reticulado da LPQ inicial se encontra contraído dentro de um Reticulado Fundamental. Isso significa que para haver expansão na qual o Reticulado da LPQ inicial seja o Fundamental deverá ocasionar mudanças que transformam o Reticulado Fundamental inicial em um Reticulado resultante expandido de modo amplo, que modifique suas referências no eixo vertical e no horizontal. Isto acontece porque a expansão modifica as referências para o Reticulado Fundamental que assim terão seus valores do Universo de Discurso no meio físico expandidos. Sendo assim, a nova normalização irá referenciar outros valores como unitários, e, neste processo, o Reticulado será expandido em relação ao Reticulado inicial. o entanto, dependendo da análise a expansão pode ser feita mantendo-se um dos eixos de referências do Reticulado Fundamental, ou ainda modificando-os à medida que se dá o processo de expansão. A equação de expansão do Reticulado inicial, mantendo a referência no eixo horizontal, pode ser apresentada para uma formalização de nível, tal que: ( ) ( ) ( ) ( ) h = h + h h (3) exp an G = G + h h (4) C exp an C Com positivos pertencentes ao conjunto dos números Inteiros. Onde: G Cexpan Grau de Certeza expandido. h Fator de Quantização Paraquântico. nível de freqüência de expansão ou número de vezes de aplicação de h. A maior expansão se dará com = e as expansões em referência ao Reticulado inicial serão menores à medida que aumenta. Verifica-se que o aumento devido a expansão é simétrico, portanto o valor que expande para o Vértice do estado Lógico da Inconsistência T com, h T h T...h T é de igual valor que expande para o Vértice do estado Lógico da Indeterminação com, h h... h. ISS

7 A figura 5 mostra a expansão do Reticulado fundamental da LPQ com ordem de expansão de h. Figura 5 Expansão do Reticulado fundamental da LPQ com ordem de expansão de h. Da mesma forma o Reticulado da LPQ pode ser contraído mantendo-se como referência o eixo horizontal dos graus de certeza. essa situação, durante o processo de contração no novo Reticulado contraído é feito o decréscimo do Grau de Certeza deslocando-o para a esquerda do estado Lógico Paraquântico Indefinido Puro IP. Sendo assim, a equação de expansão pode ser apresentada para uma formalização de nível, tal que: h contração = h ( h ) ( h ) (5) ( ) ( ) GCcontração = GC h h (6) Com positivos e pertencentes ao conjunto dos Inteiros. Onde: G Ccontração Grau de Certeza expandido. h Fator de Quantização Paraquântico. nível de freqüência de expansão ou número de vezes de aplicação de h. A equação que relaciona os estados Lógicos Paraquânticos mostra que a Região de Incerteza da LPQ é dependente do nível de freqüência de transição que age no Fator de Quantização h, tal que: ( h ) IP = ± (7) = inteiro positivo Onde: IP Variação em torno do estado Lógico Paraquântico Indefinido Puro. nível de freqüência de expansão ou número de vezes de aplicação de h. Em relação ao meio físico, a contração do Reticulado Fundamental, que se dá a partir do estado Lógico Paraquântico de Indefinição Puro IP, têm seus valores equacionados através de: Grau de Evidência favorável: ( h ) e µ = ± Grau de Evidência desfavorável: ( h ) λ = ± Onde: = inteiro positivo que indica o nível de freqüência de transição do Reticulado. Verifica-se que para freqüências de transições muito altas o número nas equações é muito alto e os Graus de Evidência favorável e desfavorável λ e µ se tornam muito próximos da indefinição total com: λ = µ As equações demonstram que as contrações sucessivas com o aumento de em torno do estado Lógico Paraquântico de Indefinição Puro IP resultam em um Reticulado da LPQ de dimensões infinitésimas. Esse resultado é o mesmo para o aumento de nas expansões sucessivas do Reticulado da LPQ que resultam em um Reticulado da LPQ de dimensões infinitas. Essas condições indicam que o estado Lógico Paraquântico de Indefinição Puro IP, que estava representado no Reticulado Fundamental da LPQ por um ponto, é, em um processo de contração, um Reticulado da LPQ de dimensões tão menores quanto o número. Da mesma forma, em um processo de expansão a realidade é expressa por meio de um Reticulado de dimensões tão maiores quanto o número. o entanto, o Reticulado infinitamente pequeno obtido na contração, e o Reticulado infinitamente grande obtido na expansão, possuem as mesmas características paraquânticas que se apresentam no Reticulado fundamental. II.4 O RETICULADO FUDAMETAL LOCAL A contração do Reticulado Fundamental mostra que um estado Lógico Paraquântico é, por sua vez, um Reticulado Fundamental infinitamente contraído e que possui, através do Fator de Quantização Paraquântico h, todas as características do Reticulado Fundamental da LPQ. Essas características podem ser determinadas não somente para o estado Lógico Paraquântico de Indefinição IP, mas em qualquer ponto do Reticulado da LPQ. Portanto, o Fator de Quantização Paraquântico h é aplicado para todos os infinitos estados Lógicos Paraquânticos existentes no Reticulado da LPQ. Sendo assim, um Reticulado Fundamental Local de um estado Lógico Paraquântico qualquer situado no Reticulado Fundamental da LPQ apresenta um Grau de Contradição máximo Local G ctmáximolocal cujo valor é igual ao de um Grau de Certeza máximo Local G CmáximoLocal. O valor do Grau de Contradição máximo Local G ctmáximolocal é o único relacionado ao ponto no qual está situado o estado Lógico Paraquântico em estudo e é igual ao Grau de Certeza máximo Local G CmáximoLocal. Dessa forma, para cada ponto particular do Reticulado Fundamental da LPQ existe um Grau de Certeza máximo Local G CmáximoLocal e um Grau de ISS

8 Contradição máximo Local G ctmáximolocal. O Grau de contradição máximo G ctmáximolocal no ponto referido multiplicado pelo Fator de Quantização h dará o valor máximo de quantização para o Reticulado Fundamental Local contraído. A propagação dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup sempre se dá através do estado Lógico Paraquântico de Quantização h. Sendo assim, dado um ponto qualquer no Reticulado Fundamental da LPQ este será o estado Lógico Paraquântico de Quantização h do Reticulado Local contraído. III MODELO LÓGICO PARAQUÂTICO PARA CÁLCULOS DE QUATIZAÇÃO DE VALORES DE GRADEZAS FÍSICAS Definido um valor quantitativo Q Valor de uma grandeza física qualquer, esse pode então ser representado no eixo horizontal dos Graus de certeza e no eixo vertical dos graus de contradição do Reticulado da LPQ. o modelo Lógico Paraquântico essa representação quantitativa máxima Q Valormáx corresponde a distância do ponto eqüidistante dos Vértices do Reticulado, onde está situado o estado Lógico Paraquântico Indefinido Puro IP, até a um dos Vértices representante dos estados Lógicos Paraquânticos extremos do Reticulado. Considerando a quantidade máxima Q Valormáx como uma ação de contradição, então a relação será distância do ponto eqüidistante dos Vértices do Reticulado até onde está situado o estado Lógico Paraquântico extremos da Inconsistência T ou da Indeterminação. este caso pode-se então, obter no Reticulado Fundamental da LPQ a relação do Fator de Quantização Paraquântico h e o valor quantitativo Q Valor de uma grandeza física qualquer através do equacionamento: Q = h Q (8) Onde: Valor h ValormáxFund QValor h é o valor da quantidade no estado Lógico Paraquântico h. Q é o valor da quantidade total representada ValormáxFund no eixo unitário do Reticulado Fundamental. Como no Reticulado Fundamental da LPQ o valor máximo é normalizado, então pode-se escrever: = h + h ( ) Dessa forma, o valor unitário da quantização equivale a uma quantização paraquântica representado no estado Lógico Paraquântico h somada ao valor do seu complemento. Sendo assim, tem-se: Q = h Q + h Q (9) ( ) ValormáxFund ValormáxFund ValormáxFund ( ) ( ( ) ) Q = Q + Q (30) ValormáxFund ValormáxFund ValormáxFund As equações demonstram que a quantidade máxima de uma grandeza qualquer no meio físico é composta de duas frações paraquânticas quantizadas onde; uma é determinada no estado Lógico Paraquântico de Quantização h pelo Fator de Quantização Paraquântico h, e a outra pelo seu complemento (- h ). Aplicando o mesmo processo de quantização para níveis de freqüência n= os valores de quantização no modelo Lógico paraquântico apresentam-se como: Q = h Q + Q h Q (3) ( ) ( ) Valormáx( ) ( ) Valormáx Valormáx Valormáx Ou então, como h = : ( ) ( ) ( Valormáx ) Q = Q + Q Q Valormáx Valormáx Valormáx para número inteiro positivo igual e maior que. (3) Sendo assim, para a análise paraquântica verifica-se que a quantidade máxima de uma grandeza qualquer no meio físico na freqüência é composta de duas frações paraquânticas quantizadas onde: a) uma é determinada no estado Lógico Paraquântico de Quantização h pelo Fator de Quantização Paraquântico elevado a, tal que (h ) ; b) a outra pelo seu complemento na freqüência determinada: (Q valormáx(-) - (h ) ). Esta relação pode ser feita em conjunto com os dois eixos, onde a quantidade máxima no meio físico é relacionada a valores normalizados representados no Reticulado da LPQ. A relação aos eixos pode ser feita através dos valores no eixo vertical dos Graus de contradição e também, através dos valores do eixo horizontal dos graus de certeza. Dessa forma a análise das quantidades no meio físico fica relacionada aos valores do Grau de Certeza G C e do Grau de Contradição G ct ambos quantizados através do Fator de Quantização Paraquântico h. III. O FATOR QUATIZADO DO SALTO PARAQUÂTICO Como os sistemas físicos são dinâmicos, então a análise paraquântica sempre considera as variações nas medidas das Variáveis Observáveis no meio físico que trazem variações nos Graus de Evidência µ e λ. Essas variações são refletidas no Reticulado da LPQ e fazem com que exista a propagação dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup e o aparecimento de Saltos Paraquânticos. Sendo assim, os estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup sempre serão analisados com as características de propagação através de infinitos estados Lógicos Paraquânticos de Quantização h estabelecidos em infinitos Reticulados Fundamentais Locais existentes no Reticulado da LPQ. A propagação dos estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup através do Reticulado da LPQ provoca o aparecimento do Salto Paraquântico que geram efeitos na forma de variações nos Graus de Certeza Real G CR. O valor resultante deste efeito é adicionado ou subtraído ao valor resultante da análise, dependendo se as considerações estão sendo feitas como referente a chegada ou referente a saída da propagação, respectivamente. Dessa forma, o valor adicionado ou subtraído do Salto Paraquântico na forma de Grau de Certeza Real G CR é dependente do nível de Freqüência do Reticulado ou número de vezes de aplicação do Fator de Quantização Paraquântico h. ISS

9 Para o Reticulado Fundamental o valor quantizado de Grau de Certeza Real G CR, devido ao Salto Paraquântico adicionado ou subtraído, é calculado através da equação (). A figura 6 mostra o efeito do Salto Paraquântico na quantização dos valores quando os estados Lógicos Paraquânticos Superpostos sup alcançam o ponto onde está situado o estado Lógico Paraquântico de Quantização h no Reticulado da LPQ. Figura 6 Fator de Quantização Paraquântico no estado Lógico Paraquântico de Quantização h devido ao Salto Paraquântico. Verifica-se que, em uma relação quantitativa, o Grau de Certeza Real G CR produzido pelo Salto Paraquântico no estado Lógico Paraquântico de Quantização h é um valor adicionado ou subtraído do valor quantizado total que aparece no instante do Salto Paraquântico. Sendo assim, em uma relação onde a quantidade da Grandeza no meio físico é relacionada ao Grau de Contradição G ct o valor do Grau de Certeza Real G CR é considerado como um Fator de Quantização no Salto Paraquântico, tal como foi visto na equação (): h salto = + h Para um equacionamento completo o Fator de Quantização Paraquântico total no Reticulado Fundamental da LPQ é expresso com o Fator relacionado ao Salto Paraquântico que será adicionado, ou subtraído ao Fator de Quantização Paraquântico, tal que: Sendo então: h = h ± h (33) t salto ( ) ht = h ± + h (34) a) ht h ( h ) = + + o Fator de Quantização Paraquântico total na chegada do estado Lógico Paraquântico Superposto sup no ponto onde está situado o estado Lógico Paraquântico de Quantização h. b) ( ) ht h h = + o Fator de Quantização Paraquântico total na saída do estado Lógico Paraquântico Superposto sup no ponto onde está situado o estado Lógico Paraquântico de Quantização h. Para Reticulado da LPQ de níveis de freqüências de transição a equação do Fator de Quantização Paraquântico h total fica da seguinte forma: ht n= = ( h ) ± + ( h ) (35) Sendo: a) ht n= = ( h ) + + ( h ) o Fator de Quantização Paraquântico total na chegada do estado Lógico Paraquântico Superposto sup no ponto onde está situado o estado Lógico Paraquântico de Quantização h. b) ht n= = ( h ) + ( h ) o Fator de Quantização Paraquântico total na saída do estado Lógico Paraquântico Superposto sup no ponto onde está situado o estado Lógico Paraquântico de Quantização h. Com inteiro positivo igual ou maior que. A partir deste equacionamento a equação de Quantização Paraquântica que relaciona os valores de quantidades de grandezas físicas no Reticulado da LPQ, fica expressa como: Q = h Q + Q h Q (36) ( ) ( = ) Valormáx( ) ( = ) Valormáx tn Valormáx tn Valormáx Onde: h tn= é o Fator de Quantização Paraquântico total calculado por: ht n= = ( h ) ± + ( h ) (37) Verifica-se pela equação (37) que h tn= terá adicionado ao seu valor o Fator relacionado aos Saltos Paraquânticos na chegada dos estados Lógicos Paraquânticos propagados no ponto, ou então, terá subtraído ao seu valor o Fator relacionado aos Saltos Paraquânticos na saída dos estados Lógicos Paraquânticos propagados no ponto. IV COCLUSÃO este trabalho foi dado prosseguimento ao estudo da utilização do Fator de Quantização Paraquântico h através das equações obtidas que promovem a contração e a expansão do Reticulado da LPQ, com, ou sem as mudanças das referências estabelecidas por um Reticulado Fundamental. Através das equações obtidas da análise do Reticulado da LPQ foi criado um modelo Lógico Paraquântico capaz de analisar de forma quantitativa as grandezas físicas. Para isso o modelo relaciona valores das Grandezas físicas ao eixo horizontal dos graus de certeza e ao ISS

10 eixo vertical de grau de contradição do Reticulado da LPQ. Verifica-se que essa forma de análise onde se aplica os fundamentos da LPQ, pode ser utilizada na quantificação de grandezas físicas em modelos reais. O Fator de Quantização Paraquântico h e as equações de contração e de expansão do Reticulado Fundamental permitem que essas aplicações sejam estendidas para inúmeras áreas de estudo da física. Os próximos trabalhos irão mostrar as aplicações e os resultados obtidos pelo modelo Lógico Paraquântico na física newtoniana, na que engloba as teorias da mecânica quântica, e a que abrange a teoria da relatividade. AGRADECIMETOS O autor agradece ao IESC Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores do Porto de Portugal, em particular ao pesquisador Prof. Jorge Pereira pelo apoio recebido no desenvolvimento dessa pesquisa. V BIBLIOGRAFIA [] Abe, J. M. Fundamentos da Lógica Anotada, in Portuguese, Master's degree thesis, Tese de Doutoramento FFLCH/USP - São Paulo, 99. [] Anand R. e V.S. Subrahmanian, A Logic Programming System Based on a Six-Valued Logic, AAAI/Xerox Second Intl. Symp. on Knowledge Eng. - Madrid-Spain, 987. [3] Da Costa,.C.A., On the theory of inconsistent formal systems, otre Dame J. of Formal Logic, 5, , 974. [4] Da Costa,.C.A.; Marconi, D., An overview of paraconsistent logic in the 80 s, The Journal of on-classical Logic, v.6, p (989) [5] Da Costa,.C.A. V.S. Subrahmanian e C. Vago, The Paraconsistent Logic PT, Zeitschrift fur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, Vol.37, pp.39-48,99. [6] Da Silva Fiho, J. I., Introdução ao conceito de Estado Lógico Paraconsistente ε. - Revista Seleção Documental n7, 0-4 pp. ISS ano 5- jan/fev/março, Editora Paralogike, Santos, São Paulo, Brasil, 00. [7] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte I): Introdução aos conceitos Fundamentais - Revista Seleção Documental n8, 7-6 pp. ISS ano 5- abril/maio/junho, Editora Paralogike, Santos, São Paulo, Brasil, 00. [8] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte II): Conceitos Fundamentais e Formalização em análise Estática - Revista Seleção Documental n8, 7-35 pp. ISS ano 5- abril/maio/junho, Editora Paralogike, Santos, São Paulo Brasil, 00. [9] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte III): Formalização e Estudo de Saltos Paraquânticos em Análise Estática - Revista Seleção Documental n9, 0- pp. ISS ano 5 - julho/agosto/setembro, Editora Paralogike, Santos, São Paulo, Brasil, 00. [0] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte IV): Propagação de estados Lógicos Paraquânticos - Revista Seleção Documental n9, -34 pp. ISS ano 5- julho/agosto/setembro, Editora Paralogike, Santos, São Paulo Brasil, 00. [] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte V): Formas de Propagação e o estado Lógico Paraquântico h - Revista Seleção Documental n0, 0- pp. ISS ano 5- Outubro/ov./Dezembro, Editora Paralogike, Santos, São Paulo Brasil, 00. [] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte VI): Determinação do Fator de Quantização Paraquântico h - Revista Seleção Documental n0, 3-3 pp. ISS ano 5- Outubro/ov./Dezembro, Editora Paralogike, Santos, São Paulo Brasil, 00. [3] Da Silva Filho, J. I., Lógica ParaQuântica LPQ (parte VII): Análises paraquânticas com expansão e contração do Reticulado da LPQ Revista Seleção Documental n, - pp. ISS ano 6- Janeiro/Fev./Março, Editora Paralogike, Santos, São Paulo Brasil, 0. [4] Da Silva Filho, J.I., Métodos de interpretação da Lógica Paraconsistente Anotada com anotação com dois valores LPAv com construção de Algoritmo e implementação de Circuitos Eletrônicos, in portuguese PhD thesis, University of São Paulo, POLI/USP - São Paulo, 999. [5] Da Silva Filho J.I., Rocco, A, Mario, M. C. Ferrara, L.F. 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Wojciech (eds), Quantum Theory and Measurement, Princeton: Princeton University Press, ISB , LoC QC74.5.Q [] Krause, D. and Bueno, O., `Scientific theories, models, and the semantic approach', Principia (), 007, [3] Jas kowski, S., Propositional Calculus for Contraditory Deductive Systems, Studia Logica 4, p [4] Subrahmanian V.S., On the semantics of quantitative Lógic programs, Proc. 4 th. IEEE Symposium on Logic Programming, Computer Society Press, Washington D.C, 987. João Inácio da Silva Filho É Coordenador do GLPA - Grupo de Lógica Paraconsistente Aplicada e membro do Grupo de Lógica e Teoria da Ciência do IEA - Instituto de Estudos Avançados da USP. O Professor Da Silva Filho, em 999 doutorou-se em Engenharia Elétrica pela POLI/USP na área de Sistemas Digitais, e fez mestrado em Microeletrônica pela mesma Instituição. Em 009 fez seu Pós doutoramento no IESC Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores do Porto, em Portugal. Foi professor de Física Experimental em diversas universidades e criador do primeiro Robô a funcionar com Controlador lógico Paraconsistente (Robô Emmy), atualmente se dedica as pesquisas sobre aplicações das Redes eurais Artificiais Paraconsistentes em Sistemas Especialistas e Robótica. Desde 6 de novembro de 009 é membro do IHGS - Instituto Histórico e Geográfico de Santos onde ocupa a Cadeira 73, cujo patrono é Afonso D Escragnolle Taunay. ISS