Lógica Paraconsistente e Probabilidade Pragmática no Tratamento de Incertezas

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1 Lógica Paraconsistente e Probabilidade Pragmática no Tratamento de Incertezas Da Silva Filho, J.I inacio@unisanta.br João Inácio da Silva filho 1 UNISANTA - Universidade Santa Cecília -Núcleo de Pesquisa em Eletrônica NPE Rua Osvaldo Cruz, 266 CEP Santos-SP Brasil 2 IEA - Instituto de Estudos Avançados da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto,374 Trav.J, Térreo, Cidade Universitária CEP São Paulo - SP Brasil Resumo Neste trabalho unimos os conceitos da teoria da Probabilidade e os fundamentos da Lógica Paraconsistente obtendo assim um eficiente método de tratamento de incertezas. Com o objetivo de elaborar algoritmos eficientes para tratamento de incertezas, iniciamos pelos princípios filosóficos da quase-verdade, também conhecida como verdade pragmática, e passamos aos estudos que desenvolvem uma lógica indutiva paraconsistente capaz de ajustar-se a probabilidade condicional cunhada por Probabilidade Pragmática. Considerando-se que a Probabilidade Pragmática é imbuída de uma lógica da quase-verdade, cujos teoremas ligam-se aos conceitos bayesianos, é feito uma analogia indutiva para conceituar a Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores-lpa2v. A partir dessa conceituação são tomados os resultados originados da teoria da Probabilidade Pragmática e seus valores análogos aos Graus de Certeza, de Contradição e de Evidências, comumente utilizados para os cálculos no método de tratamento de incertezas em redes de Análises Paraconsistentes da LPA2v, e elaborado um algoritmo para tratamento de sinais recebidos de banco de dados incertos. Para demonstrar a aplicabilidade do método que usa a LPA2v adicionado aos conceitos da Probabilidade Pragmática apresentam-se os gráficos dos resultados obtidos através do algoritmo de junção da Lógica Paraconsistente e Probabilidade Pragmática e os obtidos através da utilização do teorema de Bayes. Nestes valores fica demonstrado que o método de aplicação da LPA2v em conjunto com os conceitos da probabilidade pragmática é capaz de efetuar o tratamento de sinais e de modo similar aos procedimentos de uma Rede Bayesiana com vantagens de oferecer uma resposta mais computável, além de outras facilidades, entre elas, uma melhor visualização de desvios ocasionados por contradições. Estes resultados são importantes, pois os procedimentos para utilização da probabilidade em análises paraconsistentes permitem a elaboração de projetos com baixo tempo de computação, além de prover meios fáceis para adequação de valores, o que transforma os Sistemas de tratamento de Incerteza e tomadas de decisão com maior grau de confiabilidade. Palavras chave lógica paraconsistente, probabilidade pragmática, teorema de Bayes, tratamento de incertezas. Abstract - In this work we united the concepts of the theory of the probability and the foundations of the Paraconsistent Logic obtaining an efficient method of treatment of uncertainties. With the purpose of elaborating efficient algorithms for treatment of uncertainties, we began with philosophical concepts of the almost-truth, also known as pragmatic truth, and later for the studies that develop a paraconsistent inductive logic capable to adjust the conditional probability denominated of the Pragmatic Probability. Being considered that the Pragmatic Probability is dipped of logic of the almost-truth, whose theorems link to the bayes concepts, it is made an inductive analogy to consider the Paraconsistent Annotated logic with annotation of two value- PAL2v. Of those initial considerations are used the results obtained of the Pragmatic Probability theory and their values that are similar at Degrees of Certainty and of Evidences, commonly used for the calculations in the method of treatment of uncertainties in the Paraconsistent Analysis networks of PAL2v, for construction of an algorithm to treatment of signals of uncertain database. To demonstrate the applicability of the method that uses PAL2v working together with Pragmatic Probability were elaborated obtained through the use of the theorem of Bayes and through the algorithm of junction of the Paraconsistent logic and Pragmatic Probability. With these values is demonstrated that the method of application of PAL2v together with the concepts of the pragmatic probability is capable to make the treatment of signals similar the procedures of a Bayes network with advantages of offering a more computable answer, besides other means, among them, a better visualization of deviations caused by contradictions. The procedures for use of the probability in paraconsistent analyses as shown allow the elaboration of projects with low time of computation, besides to provide easy means for adaptation of values, what makes the Systems of treatment of Uncertainty working with larger reliability degree. Keywords: paraconsistent logic, pragmatic probability, Bayes theorem, treatment of uncertainty. I INTRODUÇÃO Na maioria das vezes os dados que convencionamos chamar de imperfeitos abrangem aqueles que representam informações imprecisas, inconsistentes, parcialmente ignoradas e mesmo incompletas. A presença da incerteza nos dados de um sistema baseado em conhecimento pode ser ISSN

2 ocasionada por meio de várias fontes de informações. Entre elas podemos citar aquelas que sabemos ser de confiabilidade parcial; aquelas que apresentam imprecisão inerente à linguagem de representação na qual a informação é expressa; aquelas que não oferecem completeza da informação e aquelas que agregam ou sumarizam informação que provêm de múltiplas fontes. Na área de tratamento de sinais originados de conhecimento incerto existem vários modelos formais disponíveis para o tratamento de incertezas, mas em muitos casos o tratamento da incerteza tem sido feito através de abordagens baseadas em representações e combinações de regras que não estão subsidiadas por uma teoria bem fundamentada e tampouco têm o respaldo de uma semântica bem definida. Um Sistema de tomada de decisão deve ser robusto o suficiente e bem fundamentado para responder a critérios teóricos, portanto necessitam estar subsidiados por uma teoria adequada de incerteza que viabilize dentro de determinados limites qualquer verificação, independentemente do domínio da aplicação. Com base nestas considerações neste trabalho propomos um método de tratamento de incertezas baseado na Lógica Paraconsistente Anotada, considerando conceitos da quase-verdade da Probabilidade pragmática o que possibilita o tratamento de sinais de forma análoga a uma rede estruturada na teoria de Bayes. II. A LÓGICA PARACONSISTENTE Dentre as varias idéias no âmbito das Lógicas Não- Clássicas criou-se uma família de lógicas que teve como fundamento principal a revogação do princípio do terceiro excluído, a qual recebeu o nome de Lógica Paraconsistente [1] [3][8]. Portanto, a Lógica Paraconsistente é uma Lógica Não-Clássica que revoga o principio da Não Contradição e admite o tratamento de sinais contraditórios na sua estrutura teórica. Um resumo dos princípios teóricos que sustentam a Lógica Paraconsistente [1] pode ser visto da seguinte forma: Sabe-se que os enunciados demonstrados como verdadeiros em uma teoria são chamados de teoremas e se todas as sentenças formuladas em sua linguagem forem teoremas, esta é dita trivial. Sabe-se também que uma teoria é consistente se entre seus teoremas não existem aqueles que afirmam algo que seja a negação de outros teoremas pertencentes a mesma teoria. Caso isto acontecesse a teoria seria chamada de inconsistente. Dada uma teoria (dedutiva) T, assentada na lógica L, diz-se consistente se entre seus teoremas não existem tais, que um seja a negação do outro; em hipótese contrária, T denominase inconsistente. A teoria T chama-se trivial se todas as sentenças (fórmulas fechadas) de sua linguagem forem teoremas; se isto não ocorrer, T é não-trivial. Se L for uma das lógicas comuns, como a clássica, a teoria T é trivial se e somente se for inconsistente. A lógica L denomina-se Paraconsistente se puder funcionar como fundamento de teorias inconsistentes e não triviais. Isto significa que, a não ser em certas circunstâncias específicas que fogem do nosso escopo, uma Lógica Paraconsistente mostra-se capaz de manipular sistemas inconsistentes de informações sem o perigo de trivialização. Desde a sua recente criação as lógicas paraconsistentes têm sido utilizadas em uma ampla variedade de domínios onde se permite um tratamento lógico da crença, níveis de incerteza e de inconsistências. Neste trabalho apresentamos e discutimos os principais elementos da metodologia do tratamento de incerteza usando a Lógica Paraconsistente unida a teoria da Probabilidade. Para isso utilizaremos um tipo de lógica paraconsistente denominada de Lógica Paraconsistente Anotada. III. A LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA As Lógicas Paraconsistentes Anotadas são classes de Lógicas Paraconsistentes que possuem um reticulado associado e foram introduzidas pela primeira vez em programação lógica por Subrahmanian em 1987 [18] onde se encontrou uma forma eficaz de aplicar os conceitos teóricos da Lógica Paraconsistente em computação. Devido as aplicações que as lógicas anotadas encontraram, tornou-se conveniente um estudo de seus fundamentos. Os primeiros trabalhos nesse sentido são os encontrados em [3] e [5]. Os sistemas anotados originados destes trabalhos serviram de base para a interpretação e criação de um método de tratamento de incertezas através de um algoritmo denominado de Para-Analisador [8]. As idéias de aplicação da Lógica Paraconsistente que apresentamos aqui baseiam-se no Para-Analisador que serviu para edificarmos um analisador paraconsistente [7][8] que obteve várias aplicações e também no Para-Control [8], questões essas que estão ligadas à Robótica. Estes estudos inspiraram a criação de um modelo de Sistema Paraconsistente que verificou-se possuir propriedades interessantes para aplicações em áreas para tratamento do conhecimento incerto. Outros estudos trouxeram modelos de tratamento de sinais de informação capazes de combinar vários nós de decisão [8] onde diferentemente dos Sistemas conhecidos o peso do conflito não inviabiliza as respostas, mas, podem-se armazenar dados em conflito e manipulá-los. Os métodos de tratamento de incerteza aqui apresentados utilizam os fundamentos de uma extensão da Lógica Paraconsistente Anotada denominada de Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores (LPA2v) [8] e os conceitos teóricos da Probabilidade Pragmática [4]. Os princípios fundamentais da Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores LPA2v [8] são apresentados a seguir. IV.RETICULADO ASSOCIADO À LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA COM ANOTAÇÃO DE DOIS VALORES LPA2V Considere o reticulado associado à Lógica Paraconsistente Anotada [8] que tem a seguinte definição: 1. τ é um conjunto finito não vazio. 2. é uma relação de ordem sobre τ 3. Sempre existe o Supremo para quaisquer dois elementos de τ, e sempre existe o ínfimo para quaisquer dois elementos de τ ISSN

3 4. onde está definida a operação ~, chamada de negação epistêmica, que tem o mesmo significado prático e intuitivo da negação. Como exemplo consideremos τ = < τ, > sendo um reticulado finito fixo, onde: 1. τ = [0, 1] [0, 1] 2. = {((µ 1, ρ 1 ), (µ 2, ρ 2 )) ([0, 1] [0, 1]) 2 µ 1 µ 2 e ρ 1 ρ 2 } (onde indica a ordem usual dos números reais). Podemos considerar que cada Grau de Evidência atribuído à proposição é um valor que está contido no conjunto de valores composto pelas constantes de anotação do reticulado {T, V, F, } para o qual está definida a seguinte relação de ordem: <V, <F, V< T e F< T. Portanto, o supremo é T e o ínfimo é. O operador sobre τ é: ~: τ τ que define-se como: ~ ( 1 ) = 0; ~ ( 0 ) = 1; ~ ( T ) = T e ~ ( ) = Intuitivamente, ~ possui o significado da negação da Lógica Paraconsistente Anotada. Figura 1 Reticulado associado à Lógica Paraconsistente Anotada de anotação com dois valores LPA2v. A anotação da Lógica Paraconsistente Anotada é definida através de uma análise intuitiva onde a fórmula atômica p µ é lida como: creio na proposição P com grau de evidencia de no máximo µ, ou até µ ( µ). Sendo assim, a fórmula atômica p µ leva-nos a considerar o Grau de Evidência como sendo uma constante de anotação do reticulado onde cada sentença anotada pelo reticulado teria o seguinte significado: P (V) = a sentença p é verdadeira P (F) = a sentença p é falsa. P (T) = a sentença p é inconsistente P ( ) = a sentença p é paracompleta ou Indeterminada. Cada sentença proposicional virá acompanhada de um Grau de Evidência que atribuirá a conotação de Verdade, de Falsidade, de Inconsistência ou de Paracompleteza à proposição. Na representação as proposições são acompanhadas de anotações, que por sua vez, atribuem o Grau de Evidência correspondente a cada variável proposicional. As anotações, neste reticulado, são valoradas com um valor real entre o intervalo fechado [0,1] e seguem as regras determinadas pelo diagrama de Hasse. Considera-se, em cada um dos seus vértices uma única anotação que representará, na análise paraconsistente, o Grau de Evidência atribuído à proposição. Para obter um maior poder de representação sobre o quanto as anotações, ou evidências, expressam o conhecimento sobre a proposição, ao invés de apenas um conjunto de símbolos ordenado, conforme visto anteriormente, é utilizado um reticulado formado por pares ordenados, tal que: τ = {(µ, λ ) µ, λ [0, 1] R}. Neste caso, fixamos também um operador ~: τ τ. O operador ~ constitui o significado do símbolo lógico de negação do sistema que será considerado. Outros valores do reticulado são: indica o mínimo de τ = (0.0, 0.0); T indica o máximo de τ = (1.0, 1.0); sup indica a operação de supremo. inf indica a operação de ínfimo supremo. Intuitivamente lê-se a fórmula P (µ, λ) como crê-se em P com evidência favorável até µ e evidência desfavorável até λ. A fórmula ( A) é lida a negação ou negação fraca de A ; (A B), a conjunção de A e B ; (A B), disjunção de A e B ; (A B), a implicação de B por A. Sendo então, o reticulado de Hasse com anotação de dois valores, onde: τ = {(µ, λ ) µ, λ [0, 1] R}. Se p é uma fórmula básica, o operador ~ : τ τ é definido como: ~ [(µ, λ)] = ( λ, µ ) onde, µ, λ [0, 1] R. Considera-se: (µ, λ): Uma Anotação de P. P (µ, λ) : Sinal Lógico Paraconsistente onde os graus de Evidência favorável e desfavorável compõe uma Anotação que atribui uma conotação lógica à Proposição P. Conforme foi visto na figura 1b, em um reticulado de quatro vértices associado à Lógica Paraconsistente Anotada de anotação com dois valores LPA2v o primeiro elemento do par ordenado µ representa o grau em que as evidências favoráveis sustentam a proposição, e o segundo elemento λ representa o grau em que as evidências desfavoráveis, ou contrárias, negam ou rejeitam a proposição. Desse modo, a idéia epistemológica intuitiva da associação de uma anotação (µ, λ) à uma proposição P significa que o Grau de Evidência favorável em P é µ, enquanto que o Grau de Evidência desfavorável, ou contrária, é λ. Intuitivamente, em tal reticulado temos: P (µ, λ) = P (1, 0) : indicando existência de evidência favorável total e evidência desfavorável nula, atribuindo uma conotação de Verdade à proposição. P (µ, λ) = P (0, 1) : indicando existência de evidência favorável nula e evidência desfavorável total, atribuindo uma conotação de Falsidade à proposição. P (µ, λ) = P (1, 1) : indicando existência de evidência favorável total e evidência desfavorável total atribuindo uma conotação de Inconsistência à proposição. P (µ, λ) = P (0, 0) : indicando existência de evidência favorável nula e evidência desfavorável nula, atribuindo uma conotação de Indeterminação à proposição. Para uma melhor representação de uma Anotação na LPA2v, e também para efeitos de utilização prática do reticulado τ no tratamento de incertezas são feitas algumas interpretações algébricas que envolvem um Quadrado Unitário no Plano Cartesiano QUPC e o reticulado representativo da LPA2v. ISSN

4 V. INTERPRETAÇÕES ALGÉBRICAS DA LPA2V EM UM QUADRADO UNITÁRIO NO PLANO CARTESIANO E NO RETICULADO ASSOCIADO Inicialmente adota-se um sistema de coordenadas cartesianas para o plano, e assim as Anotações de uma dada Proposição P serão representadas por pontos do plano [8]. Chamamos de Quadrado Unitário no Plano Cartesiano - QUPC o reticulado τ com o sistema de coordenadas, como proposto na Figura 2.a. Assim, associa-se T a (1, 1), a (0, 0), F a (0, 1) e V a (1, 0). No QUPC os valores do Grau de Evidência favorável µ ficam expostos no eixo x, e os valores do Grau de Evidência desfavorável λ no eixo y. Para cada sistema de coordenadas adotado as anotações (compostas por Grau de Evidência favorável µ, Grau de Evidência desfavorável λ ) de τ são identificadas com diferentes pontos no plano. No sistema da figura 2.a certa anotação (µ, λ) pode ser identificada com o ponto do plano em outro sistema. Como um sistema de coordenadas pode ser fixado para τ definimos então transformações entre QUPC e L, que será o reticulado τ munido de um outro sistema de coordenadas conforme figura 2.b. Figura 2 Quadrado Unitário no Plano cartesiano QUPC e reticulado L. Do mesmo modo como foi feito no QUPC, neste reticulado L podemos associar T a (0, 1), a (0, -1), F a (-1, 0) e V a (1, 0). Para cada sistema de coordenadas adotado, temos que as anotações (µ, λ) de τ são agora identificadas com diferentes pontos no plano. Poderemos então considerar mais um sistema de coordenadas que pode ser fixado para τ. Definimos então transformações entre QUPC e L que será o reticulado τ munido de um outro sistema de coordenadas. Dessa forma L pode ser obtido a partir de QUPC através de três fases; mudança de escala, rotação e translação, conforme descritas a seguir: a) Aumento de escala em QUPC de 2 Este aumento da escala é dado pela transformação linear: T 1 (x, y) = ( 2 x, 2 y) b) Rotação de 45 o em relação a origem Esta rotação em relação a origem é dada pela transformação linear: T2 ( x, y) = x y, x+ y c) Translação dada pela transformação. T 3 (x, y)=(x, y-1) Fazendo a composição T 3 o T 2 o T 1 obtemos a transformação representada pela equação: T(x, y)=(x-y, x+y-1) VI. OS GRAUS DE CERTEZA G C E DE CONTRADIÇÃO G CT De posse da equação da transformação: T(x, y)=(x-y, x+y-1) podemos converter pontos de QUPC que representam anotações de τ em pontos de L, que também representam anotações de τ. Relacionando os componentes da transformação T(x, y) conforme a nomenclatura usual da LPA2v, vem que: x = µ Grau de Evidência favorável y = λ Grau de Evidência desfavorável Do primeiro termo obtido no par ordenado da equação da transformação fica: x - y = µ - λ o qual denominamos de Grau de certeza G C. Portanto, o Grau de certeza é obtido por: G C = µ - λ E seus valores, que pertencem ao conjunto R, e variam no intervalo fechado +1 e -1, estão no eixo horizontal do reticulado, o que denominamos de Eixo dos Graus de Certeza. Quando G C resultar em +1 significa o estado lógico resultante da análise paraconsistente é Verdadeiro, e quando G C resultar em -1 significa que o estado lógico resultante da análise é Falso. Do segundo termo obtido no par ordenado da equação da transformação fica: x+y-1 = µ + λ -1 o qual denominamos de Grau de Contradição G ct. Portanto, o Grau de Contradição é obtido por: G ct = µ + λ - 1 E seus valores, que pertencem ao conjunto R e variam no intervalo fechado +1 e -1 estão no eixo vertical do reticulado, o que denominamos de Eixo dos graus de Contradição. Quando G ct resultar em +1 significa o estado lógico resultante da análise paraconsistente é Inconsistente, e quando G C resultar em -1 significa que o estado lógico resultante da análise é Indeterminado. VII. O GRAU DE CERTEZA RESULTANTE REAL G O Grau de Certeza resultante Real G tem o seu valor de certeza isento dos efeitos da Contradição e é obtido através de análise feita no reticulado Associado da LPA2v. Obtido o valor do Grau de Certeza resultante G C e o valor do Grau de Contradição G ct é possível calcular uma distancia D do ponto de encontro entre estes dois valores até o vértice que representa o valor lógico Verdadeiro (ou Falso, caso o ponto estivesse no sentido de refutar a proposição). O valor obtido pela subtração da distância D do valor máximo do Grau de Certeza (que se for na confirmação é 1) é considerado o valor do Grau de Certeza resultante Real. Este procedimento pode ser visualizado na figura a seguir. ISSN

5 Figura 3 Determinação do Grau de Certeza de valor resultante real - G no reticulado da LPA2v. Os cálculos para obtenção do valor do Grau de Certeza resultante Real G será: Para G C > 0 G = (1 D) ou: G = 1 (1 G ) + G 2 2 C ct Para G C < 0 G = ( D 1) ou: G G G 2 2 = (1 C ) + ct 1 A partir do valor de G pode-se obter o Grau de Evidência resultante Real µ ER fazendo a normalização, portanto: G + 1 µ ER = 2 VIII. PROBABILIDADE E LÓGICA PARACONSISTENTE As lógicas paraconsistentes têm sido utilizadas em uma ampla variedade de domínios onde se permite um tratamento lógico da crença, níveis de incerteza e de inconsistências. Procuramos fundamentar nossos estudos em diversos trabalhos que consideram como graus de crença os resultados originados da teoria da Probabilidade, para que assim fosse possível se fazer analogias que permitam relacionar probabilidade aos Graus de Certeza obtidos dos cálculos do método de tratamento de incertezas da LPA2v. Buscando este objetivo encontramos entre as principais interpretações do cálculo de probabilidade a chamada Probabilidade Pragmática desenvolvida em Da Costa [4]. A Probabilidade Pragmática, que é um tipo de Probabilidade Subjetiva, é aquela que oferece um conceito de probabilidade que servirá como base para a fundamentação de inferências indutivas que neste trabalho irá ligar a teoria da Probabilidade e Lógica Paraconsistente. IX. PROBABILIDADE PRAGMÁTICA E CONCEITO DE QUASE- VERDADE A observação do comportamento humano é a fonte para criação de sistemas especialistas aplicados na área de IA. Sabe-se que, além de inferências dedutivas, o ser humano generaliza, lança hipóteses, conjecturas, revisa. Também procede não dedutivamente de várias formas, valendo-se, desde raciocínios não monotônicos à inferência estatística, da analogia à indução por simples enumeração, etc. Na lógica clássica as inferências indutivas são consideradas como um tipo de raciocínio fora dos padrões de racionalidade, onde critério de existência de teorias está ligado à exigência da consistência. No entanto na Lógica Paraconsistente este critério está ligado ao fato de não ser trivial, mesmo que envolva inconsistências. Desse modo a Lógica Paraconsistente consegue dar formulações objetivas a concepções que admitem objetos contraditórios, e a outras formas incomuns de entidades. Segundo os trabalhos [4] [12] [11] e [14] a Probabilidade Subjetiva, intuitivamente pode ser considerado o grau de crença racional na verdade de uma proposição. Essa interpretação traz alguns problemas difíceis de serem resolvidos, pois uma vez que nenhuma teoria deve ser aceita como estritamente verdadeira para sempre, e mais cedo ou mais tarde será substituída por outra, o único grau de crença racional razoável na verdade de uma teoria, hipótese ou lei científica é zero, ou extremamente baixo. Desta constatação nasceu o conceito de quase-verdade, o qual, conforme estudado em Da Costa [4] pode-se alcançar melhores resultados. Estudos recentes relacionados a filosofia da ciência Da Costa [4], têm mostrado o desenvolvimento do conceito de verdade pragmática, ou quase-verdade. Estas teorias [14] lidam com um conceito de verdade parcial levando em conta a incapacidade do ser humano, em certas circunstâncias, representar matematicamente o conhecimento sobre se certas relações podem ou não existir entre os objetos do domínio que estão sendo considerados. Visto que na matemática padrão todas as relações são totais, ou seja, elas se aplicam ou não se aplicam aos objetos sob análise, o conceito de quase-verdade torna-se de relevada importância. Com a idéia da quase-verdade permitindo-se que em novas teorias [14] [15] e novas aplicações em IA sejam consideradas as situações que produzem inconsistências. Considerando que o ser humano não se vale apenas de inferências dedutivas os estudos da quase-verdade, ou verdade pragmática, inserida na Lógica Paraconsistente legitima a possibilidade de se erigir lógicas indutivas. Dessa forma cria-se a possibilidade da existência de uma inferência realizada sob os cânones de certa lógica dedutiva, não necessariamente clássica [4] [14], mas paraconsistente. Neste trabalho tomaremos como base os estudos apresentados em Da Costa[4] onde a noção de quase-verdade é aplicada à lógica da indução chegando-se a Probabilidade Pragmática. A quase-verdade de uma proposição traduz o quanto ela se aproxima da verdade absoluta dentro de certos limites. De outro modo significa que, feitas certas restrições, ela funciona como se fosse verdadeira no sentido da teoria semântica usual de Tarski [18]. A partir do conceito da quase verdade podemos definir a Probabilidade Pragmática de uma proposição (proposição pragmática ) como sendo o grau de crença racional na sua quase-verdade. Dessa forma, a Probabilidade Pragmática de uma proposição expressa o grau em que ela merece ser aceita como hipótese, para ser testada e considerada criticamente. ISSN

6 Em Da Costa [4] é definido um conceito de Probabilidade Pragmática, que é uma forma de probabilidade subjetiva, que confere precisão à sua argumentação. X. INFERÊNCIA PROBABILÍSTICA Uma característica importante da lógica ortodoxa ou clássica é que suas regras de inferência são monotônicas[4]. Isto significa que de um conjunto Г de sentenças deduz-se a conclusão β, não importando quantas nem quais premissas novas são adicionadas a Г, deste novo conjunto estendido Г (=Г+novas premissas) também continua-se a deduzir β. No entanto, as induções não têm propriedade monotônicas [4] [11] [12][13]. Se de um outro conjunto Σ de sentenças for inferido indutivamente a conclusão γ, pode acontecer que, dependendo da premissa que for adicionada a Σ, o que intuitivamente poderia significar uma nova observação ou um novo dado que se agrega a um campo de conhecimento já estabelecido, não se possa mais inferir γ deste novo conjunto estendido. A lógica dedutiva tem caráter monotônico, ou seja, se a partir de um conjunto de fórmulas Г pode ser derivada uma fórmula γ, então é certo que a partir de qualquer outro conjunto de fórmulas tendo como subconjunto o conjunto Г, também pode-se derivar γ. Dessa forma, não importam quantas e nem quais premissas novas forem adicionadas ao conjunto Г, se γ for dedutível de Г, γ será sempre dedutível de Г acrescido de quaisquer premissas adicionais. Essa idéia é expressa da seguinte maneira: Se Г e Г, então onde é o símbolo usual de dedutibilidade e o da inclusão de conjuntos (no caso, conjuntos de fórmulas). Como em uma inferência indutiva não há como garantir a verdade da conclusão a partir de premissas verdadeiras, podese pelo menos considerar essa conclusão como provavelmente verdadeira [4] [11] [12]. Em uma inferência probabilística calcula-se, através do cálculo de probabilidades, a probabilidade da conclusão ser verdadeira, dada a probabilidade da veracidade das premissas. Considerase então a inferência como correta se a probabilidade de sua conclusão ser verdadeira for alta, pelo menos maior do que 1/2. Assim é possível construir lógicas indutivas de caráter probabilístico tendo como base o cálculo de probabilidades. XI. GRAU DE ENÇA RACIONAL E TEOREMA DE BAYES Se em uma dedução as premissas implicam a conclusão, em uma indução as premissas, que podemos chamar também de evidências, apenas confirmam a conclusão, ou hipótese [4] [11]. Dessa forma, a interpretação lógica fornece uma função que permite calcular o grau de confirmação da hipótese pelas evidências. Como este grau de confirmação é calculado dentro de uma linguagem lógica, diz-se que este valor é o quanto estamos racionalmente justificados a crer na hipótese e, por isso, esse grau de confirmação é chamado de crença racional. [11] [12] [4] Nas interpretações subjetivas a probabilidade está intuitivamente relacionada com o grau de crença racional atual que um sujeito está disposto a conferir à verdade de uma sentença, portanto, é algo como o quanto este sujeito está disposto a apostar no acontecimento de um determinado evento. Portanto, o grau de crença que um sujeito qualquer tem em uma proposição pragmática P () qualquer, será o grau de crença do sujeito S 1 em P (), o grau de crença do sujeito S 2 em P (), o grau de crença do sujeito S 3 em P (), etc. Neste caso, um conjunto de crenças é dito ser coerente se a soma da crença em uma proposição com a crença na sua negação ( ) não seja maior do que 1, evitando, com isso, violar algum dos axiomas do cálculo de probabilidades. Vemos que a interpretação subjetiva fornece um método para que as crenças de um sujeito sejam atualizadas frente a novas evidências, mostrando-se adequada para inferências indutivas. Essa atualização é conhecidamente feita através do Teorema de Bayes, que será alcançado através dos teoremas da Probabilidade Pragmática quantitativa, conforme veremos a seguir. XII. PROBABILIDADE PRAGMÁTICA QUANTITATIVA Supondo que S é um conjunto de proposições pragmáticas de uma linguagem L, que é a metalinguagem de uma linguagem formal L, e que S seja fechado para os conectivos lógicos usuais (,,,, ) [4]. Consideraremos também que o símbolo de conseqüência sintática em L ( ) esteja definido de maneira usual em L. Denotaremos os elementos de S pelas letras gregas minúsculas. [4]. Para formalizar as idéias, é definida uma função v: S S {p,n}, onde S é o conjunto das proposições pragmáticas cujas negações não sejam teoremas de L, ou seja, das proposições tal que não ocorra a. Em outras palavras, são elementos de S aquelas sentenças que não são falsas em L. O conjunto S de proposições pragmáticas { 1, 2,..., n } fechado pelos conectivos usuais constitui uma álgebra de Boole e o cálculo de Probabilidade Pragmática pode ser considerado dentro do cálculo de probabilidade subjetiva usual. Conforme descrito em Da Costa [4] existem três conceitos de Probabilidade Pragmática: o qualitativo não-comparativo, o comparativo, e o quantitativo. Considerando que a Probabilidade Pragmática Quantitativa pode ser usada para atribuir Graus de Crença, traduzidos em valores numéricos, para as aplicações em Sistemas de IA fundamentados em LPA2v, apresentaremos os teoremas relacionados ao conceito quantitativo. De uma maneira formal, identificaremos probabilidade pragmática quantitativa com uma função P: Γ [0,1], onde Γ é o conjunto das proposições pragmáticas, e [0,1] é o intervalo fechado entre 0 e 1 nos números reais. A seguir apresentamos os axiomas da probabilidade pragmática quantitativa: (A1) P() 0 (A2) P( ) = 1 (A3) Se β, então P() = P(β) ISSN

7 (A4) Se ( β), então P( β) = P()+P(β) Os axiomas acima são os mesmos axiomas da probabilidade subjetiva usual. A probabilidade pragmática de uma proposição de L é a probabilidade subjetiva de uma proposição pragmática β de L. Sendo assim, ao invés de calcularmos a probabilidade pragmática das proposições de L, calculamos a probabilidade subjetiva usual das proposições pragmáticas correspondentes de L, encaixando a probabilidade pragmática dentro da probabilidade subjetiva usual. A partir dos axiomas acima podemos derivar o seguinte teorema: Teorema 1 a) P( ) = 1 P() b) P( ) = 0 c) P() = 1; )P() = 0 d) P( β) = P()+P(β) P( β) e) P( β) P(); P( β) P(β) f) P( β) P(); P( β) P(β) A definição da probabilidade condicional também é obtida da mesma forma: Definição: (Probabilidade condicional de dado β) P( β ) P( β ) =, desde que P(β) 0 P( β ) O teorema a seguir apresenta as instâncias do Teorema de Bayes aplicado à probabilidade Pragmática [4]: Teorema n e ( i j ), i,j=1,2,...,n, i j, então: P( β i). P( i) P( i β ) = P( β i). P( i) Tomamos o denominador da equação anterior onde: P( β i). P( i) = P( β i) = P( β ( n )) = P( β ), pois (β i β j ) para i j, i,j =1,2,...,n, e n. logo, P( β i ) P( i β ) = P( i ) P( β ) Quando n=1, vem P( β ) P( β ) = P( ) P( β ) No teorema de Bayes, as i são interpretadas como hipóteses mutuamente exclusivas e exaustivas que explicam uma dada evidência (dado empírico) β, sendo que uma destas hipóteses oferece a melhor explicação relativa. P(i) é chamada de probabilidade anterior de i, enquanto que a probabilidade condicional P(β i) é chamada de plausibilidade de β dado i. A probabilidade condicional P(i β) é chamada de probabilidade final da hipótese i frente à evidência β [16]. XIII. INDUÇÃO POR ANALOGIA DA PROBABILIDADE PRAGMÁTICA NA LÓGICA PARACONSISTENTE Neste trabalho é apresentada uma implementação do raciocínio lógico paraconsistente baseada em probabilidades, onde a definição de Probabilidade Pragmática é usada como uma aproximação do raciocínio indutivo. No teorema de Bayes consideremos que, P( β ) = p nos indica que uma vez confirmada a verdade de β a probabilidade de a proposição pragmática ser verdadeira é p. Desse modo podemos considerar que o valor da probabilidade de é alterado quando a proposição β é considerada verdadeira. Em linguagem aproximada para aplicações práticas dizemos que tem-se uma hipótese () cuja probabilidade é p, mas que se altera para q quando são apresentadas novas evidências (β). Verifica-se que sendo a probabilidade da hipótese, após a evidência β representada por um valor onde no teorema de Bayes a probabilidade da evidência β é o denominador, significa que quanto mais improvável for a evidência β, portanto quanto menor for a probabilidade P(β), tanto maior será a probabilidade de dada β. Por outro lado, é verificado que quando maior for a probabilidade condicional de β após a ocorrência de, portanto quanto maior for a probabilidade P( β ), maior será a probabilidade de dada β. Desse modo através da Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores LPA2v podemos exprimir a equação do teorema de Bayes considerando proposições pragmáticas e conceitos de quase verdade, da seguinte forma: Dada uma Proposição pragmática P () cuja análise paraconsistente anterior atribuiu um Grau de Certeza G C() este poderá ser alterado com a análise paraconsistente de novas evidências originadas de uma Proposição β, sendo esta representadas por valores de Grau de Evidência favorável µ β e Grau de Evidência desfavorável λ β. Com o objetivo de dar maior precisão e operacionalização aos conceitos da Probabilidade Pragmática e sua ligação com a lógica Paraconsistente é feita uma formalização de lógica indutiva. Utilizaremos a indução por analogia, que é um tipo de inferência que permite ser utilizada no auxílio a estabelecer relações entre indivíduos com propriedades similares. Desse modo, a formalização lógica para a análise com Probabilidade Pragmática e Lógica Paraconsistente será construída obedecendo três regras básicas de racionalidade [15]: Regra 1: Os níveis de plausibilidade deverão ser representados por números reais. Através do Algoritmo fundamentado na LPA2v será feita a quantificação para permitir a classificação e ordenação das proposições. Regra 2: Deverá existir correspondência qualitativa com o senso comum. Na análise algoritmo paraconsistente irá atuar para que na existência de uma proposição mais plausível que outra, está estará associado a um número maior que esta última. ISSN

8 Regra 3: ( i ) Se uma solução poder ser obtida de várias formas, então todas devem levar ao mesmo resultado. (ii) Sempre estará sendo levada em conta toda a evidência relevante. Não será arbitrariamente ignorada alguma informação. (iii) Níveis equivalentes de conhecimento (informação) correspondem a níveis equivalentes de plausibilidade. Os cálculos de Graus de Certeza obtidos e demais análises efetuadas pelo algoritmo da LPA2v irão satisfazer todas as exigências estabelecidas na regra 3. de Evidência propostos como probabilidades, os quais podem ser visualizados no Reticulado representativo da LPA2v. Seguindo estes conceitos iniciaremos então fazendo uma analogia entre os valores de Probabilidade do teorema de Bayes e os valores dos Graus de Certeza e de Evidência da LPA2v: P() = Probabilidade da proposição a ser analisada. P( ) = Afirmação na proposição. P( ) = Não afirmação na proposição. P( β ) = µ : A Probabilidade de afirmação na hipótese ER dada a evidência β (posteriori) é análogo ao Grau de Evidência resultante Real da análise paraconsistente. P( )= G C() : A Probabilidade da afirmação na hipótese (priori) é análogo ao Grau de Certeza da afirmação da Proposição P () antes da análise da fonte de evidência β. P( )= G C( ) : A Probabilidade da Não afirmação na hipótese (priori) é análogo ao Grau de Certeza da Não Afirmação da Proposição P () antes da análise da fonte de evidência β. Figura 4 Representação no Reticulado dos sinais de Graus de evidência para inicio do calculo considerando probabilidades. No próximo passo é feita nova análise paraconsistente entre o Grau de Evidência Real obtido na análise anterior e o Grau de Evidência desfavorável λ correspondente da probabilidade, ou Grau de Certeza da Proposição Pragmática P (). A figura a seguir mostra onde é localizado o Grau de certeza resultante desta análise. P( β ) = µ : A Probabilidade de evidência β (priori) dada β a afirmação da hipótese (condicional) é análogo ao Grau de Evidência favorável a afirmação da Proposição P () originado pela fonte de evidência β. P( β ) = λ β : A Probabilidade de evidência β (priori) dada a Não afirmação da hipótese é análogo ao Grau de Evidência desfavorável a Proposição P () originado pela fonte de evidência β. Os valores deµ β eλ β são independentes e darão conotação lógica a mesma proposição. Conforme a metodologia de análise paraconsistente da LPA2v [8] os valores dos Graus de Certeza correspondentes a evidência condicional à afirmação e a negação da Proposição P() podem ser calculados, respectivamente, por: G Cβ = 2 µ β -1 G Cβ = 1-2λ β Desse modo todos os valores relacionados aos cálculos estão transformados em Graus de Certeza a partir dos Graus Figura 5 Representação no Reticulado da obtenção do Grau de Certeza resultante Real G e Grau de Evidência resultante Real µ ER. O valor do Grau de Evidência Real µ ER é o resultado final da análise da LPA2v e é considerado como a probabilidade da hipótese dada a evidência β. Em uma análise da LPA2v este valor final é considerado o Grau de Evidência resultante Real da Proposição Pragmática ( ) P quando esta é analisada frente ao evento β. A evidência de β é representada pela Anotação composta dos Graus de Evidência favorável µ β e desfavorável λ β. Portanto, é visto que a Proposição ISSN

9 Pragmática P de Grau de Certeza G ( ) C(, para gerar o seu ) Grau de Certeza necessitou de dois Graus de Evidência, um que representa a evidência favorável, e outro que representa a evidência desfavorável. Conforme a LPA2v o sinal Lógico Paraconsistente da Proposição Pragmática será ( µ, λ ) onde: P é a Proposição Pragmática ( ) P P e ( µ, λ ) é a Anotação composta por Grau de Evidência favorável à Proposição Pragmática P ( ) e Grau de evidência desfavorável à Proposição Pragmática P ( ). A Proposição Pragmática P ( ) será do tipo: A probabilidade do acontecimento. Este sinal lógico Paraconsistente da Hipótese será analisado no reticulado associado da LPA2v onde considerase que a contradição entre os Graus de Evidência favorável µ e desfavorável λ da Proposição Pragmática é nula. Portanto: Gct = ( µ + λ ) 1= 0 e GCβ = µ λ = G A Proposição Pragmática P é obtida de uma fonte de ( β ) evidências β e será do tipo: A probabilidade da evidência β do acontecimento. As evidências de β são representadas por um sinal lógico Paraconsistente onde: P é a Proposição ( µ, λ ) P β β Pragmática P ( β ) e ( µ, λ ) é a Anotação é a composta por Grau β β de Evidência favorável à Proposição Pragmática P ( β ) e Grau de evidência desfavorável à Proposição Pragmática P ( β ). Para a fonte geradora de evidência β pode haver contradição visto que o Grau de Evidência favorável µ β é obtido pela Probabilidade da evidência β (priori) na afirmação da hipótese, e o Grau de Evidência desfavorável λ β é obtido da Probabilidade de evidência β (priori) na Não afirmação da hipótese. Estes dois Sinais Lógicos Paraconsistentes serão analisados no reticulado associado à LPA2v resultando no Grau de Evidência resultante da Fonte de Evidência β. A análise paraconsistente da LPA2v será representada por: [ µ β λ β ] = µ Erβ onde o símbolo representa uma análise paraconsistente. O valor do Grau de Evidência µ representa o resultado do efeito da fonte geradora de evidência β na Proposição Pragmática : Com o Valor de µ e o valor do Grau de Evidência Erβ desfavorável λ da Probabilidade Pragmática, através da análise no reticulado associado à LPA2v, pode-se encontrar o Grau de Evidência Resultante Real final da Probabilidade Pragmática: [ µ λ ] λ = µ ER Erβ β β Estes procedimentos para obtenção do Grau de Evidência Resultante Real final são descritos através de o Algoritmo a seguir: XIV. ALGORITMO DA LPA2V APLICADO NA ANÁLISE DE PROBABILIDADE PRAGMÁTICA 1. Apresente a Probabilidade Pragmática da Hipótese : P( ) 2. Considere a Probabilidade Pragmática da Hipótese (priori) como Grau de Certeza da Proposição Pragmática P(. ). Faça: P( )= G C( ) 3. Calcule o valor do Grau de Evidência Desfavorável λ da Proposição Pragmática P () (priori).. Calcule: 1- GC( ) λ = 2 4. Apresente o valor da Probabilidade Pragmática da evidência β dada a afirmação da Hipótese. P( β ) 5. Considere a Probabilidade Pragmática da evidência β dada a afirmação da Hipótese como Grau de Evidência favorável da afirmação da Proposição Pragmática P.. Faça: P( β )= µ β 6. Apresente o valor da Probabilidade Pragmática da evidência β dada a Não afirmação da Hipótese. P( β ) 7. Considere a Probabilidade Pragmática da evidência β dada a Não afirmação da Hipótese como Grau de Evidência desfavorável da afirmação da Proposição Pragmática P(. ). Faça: P( β )= λ β 8. Calcule o valor do Grau Evidência resultante Real entre Grau de Evidência favorável µ e o Grau de Evidência desfavorávelλ β da afirmação da Proposição Pragmática.Faça: i. Calcule o Grau de Certeza: GC β = µ β λ β ii. Calcule o Grau de Contradição: Gct β = ( µ β + λ β ) 1 iii. Calcule a Distância D: 2 2 Se: GC β 0 : D= (1 G ) + G Se: 0 C Cβ β ( ) ctβ 2 2 G β < : D= (1 + G ) + G Cβ ctβ iii.1 Calcule o Grau de Certeza Real: GCβ R = 1 D iii.2 Calcule o Grau de Evidência Real: 1+ GC R µ β Eβ R = 2 P. ( ) 9. Calcule o valor do Grau de Evidência resultante Real final µ entre o valor do Grau Evidência resultante Real µ ER Eβ R obtido no item anterior e o valor do Grau de Evidência Desfavorável λ da Proposição Pragmática P ( ) (priori) calculado no item 3. ISSN

10 .Faça: i. Calcule o Grau de Certeza: = µ λ G Eβ R ii. Calcule o Grau de Contradição: = ( µ + λ ) 1 GctR Eβ R iii. Calcule a Distância D: 2 2 G : D= (1 G ) + G Se 0 Se 0 ctr 2 2 G < : D= (1 + G ) + G iii.1 Calcule o Grau de Certeza Real: GCER = 1 D iii.2 Calcule o Grau de Evidência Real: 1+ GCER µ ER = Apresente o valor do Grau Evidência Resultante Real final como resultado da Análise. µ ER = P( β ) 10. Fim ctr Figura 7. Gráficos de resultados da probabilidade obtidos através do Teorema de Bayes com os mesmos valores dos Gráficos da figura anterior. XV. RESULTADOS PRÁTICOS São apresentados os resultados em forma de gráficos para os ensaios onde foram variados os valores da Probabilidade Pragmática P ( ), e das probabilidades das hipóteses P( β ) e P( β ). Os gráficos correspondem as análises paraconsistentes através do Algoritmo e os obtidos com o Teorema de Bayes pela equação: P( β ). P( ) P( β ) = P( β ). P( ) + P(- β ). P( ) Os valores utilizados tanto no algoritmo como no Teorema de Bayes foram: 0,0001 0,1250 0,2500 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 0,9999. Figura 8 Gráficos de resultados do Grau de Evidência resultante Real com a Probabilidade Pragmática de valor próximo de zero ( G () 0,25 portanto, λ 0,375 ) com variações de λ β Figura 6. Gráficos de resultados do Grau de Evidência resultante Real com a Probabilidade Pragmática de valor próximo de zero ( G () 0 portanto, λ 0,5 ) com variações de λ β Figura 9. Gráficos de resultados da probabilidade obtidos através do Teorema de Bayes com os mesmos valores dos Gráficos da figura anterior. ISSN

11 Figura 10. Gráficos de resultados do Grau de Evidência resultante Real com a Probabilidade Pragmática de valor próximo de zero ( G () 0,5 portanto, λ 0,25 ) com variações de λ β Figura 13. Gráficos de resultados da probabilidade obtidos através do Teorema de Bayes com os mesmos valores dos Gráficos da figura anterior. Figura 11. Gráficos de resultados da probabilidade obtidos através do Teorema de Bayes com os mesmos valores dos Gráficos da figura anterior. Figura 14. Gráficos de resultados do Grau de Evidência resultante Real com a Probabilidade Pragmática de valor próximo de 1 ( G () 1,0 portanto, λ 0,000 ) com variações de λ β Figura 12. Gráficos de resultados do Grau de Evidência resultante Real com a Probabilidade Pragmática de valor próximo de zero ( G () 0,75 portanto, λ 0,125 ) com variações de λ β. Figura 15. Gráficos de resultados da probabilidade obtidos através do Teorema de Bayes com os mesmos valores dos Gráficos da figura anterior. ISSN

12 XVI. CONCLUSÃO Diversos trabalhos anteriores já demonstram que o método de tratamento de incertezas através da LPA2v tem grande eficiência. Agora, com a agregação dessa nova forma de obter valores de banco de dados que guardam informações probabilísticas, se apresenta um novo e promissor campo de aplicação da Lógica Paraconsistente. Neste tratamento de dados com valores incertos, que através da Probabilidade Pragmática une o método da LPA2v e Teorema de Bayes, o sistema viabiliza a combinação de avaliações qualitativas com valores quantitativos de incerteza. Os resultados representados nos gráficos mostram que os valores dos Graus de Certeza de cada análise paraconsistente são muito próximos daqueles valores de probabilidade obtidos apenas pelo Teorema de Bayes. Analisando os gráficos obtidos através do Algoritmo, e comparando-os com os resultados através do Teorema de Bayes, verifica-se que, além de ser uma boa forma de extrair graus de Evidência de dados probabilísticos, o método Paraconsistente apresenta consistência nos resultados. Esta contribuição é importante, visto que este é um método de tratamento de incertezas originados da filosofia da LPA2v capaz de proporcionar a verificação da consistência de todas as declarações e dados probabilísticos. Dessa forma é possível se extrair dados e obter conclusões a partir de tabelas 2x2 e banco de dados probabilísticos. Com isso as regras de cálculo da LPA2v, agora agregadas a Probabilidade Pragmática que utiliza processos do teorema de Bayes, garantem maior robustez as conclusões contribuindo enormemente para as pesquisas nesta área de IA. XVII. BIBLIOGRAFIA [1] Abe, J. M. 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IEEE Symposium on Logic Programming, Computer Society press, Washington D.C, João Inácio da Silva Filho É Coordenador do GLPA - Grupo de Lógica Paraconsistente Aplicada e membro do Grupo de Lógica e Teoria da Ciência do IEA - Instituto de Estudos Avançados da USP. Graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Santa Cecília-Santos SP, Brasil, o Professor Da Silva Filho, J. I doutorou-se em Engenharia Elétrica pela POLI/USP na área de Sistemas Digitais, e fez mestrado em Microeletrônica pela mesma Instituição. Criador do primeiro Robô a funcionar com Controlador lógico Paraconsistente (Robô Emmy), atualmente se dedica as pesquisas sobre aplicações das Lógicas Não-Classicas, Redes Neurais Artificiais Paraconsistentes, Sistemas Inteligentes e Robótica. ISSN