MATEMÁTICA. Revisão de Trigonometria, PA e PG. sen(x) não coincidem. Entretanto, a partir de uma. a) h(x) sen x. b) h(x) sen x. c) h(x) sen x.

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1 MATEMÁTICA Revisão de Trigonometria, PA e PG Material Etra QUESTÃO (Uerj) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano y e raio igual a. Nele, AP determina um arco de 0. As coordenadas de P são: a) b) c) d),,,, QUESTÃO (Eear) Simplificando a epressão sen( ) sen( ), obtémse a) sen b) sen c) sen d) sen QUESTÃO (Uepg) Dadas as funções o que for correto. sen () cos () f() e g(), assinale 0) A imagem da função f() é o intervalo,. 0) A imagem da função g() é o intervalo [0, ]. 0) f g. 9 08) f g. ) Os períodos das funções f() e g() são iguais. QUESTÃO (G - cftmg) Os gráficos das funções reais f() cos() e g() sen() não coincidem. Entretanto, a partir de uma transformação, é possível fazer o gráfico de g() coincidir com o gráfico de f(). Essa transformação é a função a) h() sen. b) h() sen. c) h() sen. d) h() sen. QUESTÃO (Enem) Em 0 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa rodagigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras: A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido antihorário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

2 A epressão da função altura é dada por a) f(t) 80 sen(t) 88 b) f(t) 80 cos(t) 88 c) f(t) 88 cos(t) 8 d) f(t) 8 sen(t) 88 cos(t) e) f(t) 88 sen(t) 8 cos(t) QUESTÃO 9 (Uerj) Na figura abaio, observa-se o retângulo ABCD, que contém o triângulo retângulo DEF, no qual DF. QUESTÃO (Ufjf-pism ) Determine o conjunto solução para a equação sen () 9 sen () 0. a) b) ; k ou k ou k, k ; k ou k ou k, k c) ; k ou k, k d) ; ou e) ; ou ou QUESTÃO 7 (Mackenzie) Os valores de ( ), para os quais a função f() tg a) k, k b) k, k c) k, k d) k, k k e),k não é definida, são QUESTÃO 8 (Unisinos) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo satisfazem a seguinte identidade: sen cos. Se cos 0,, quais são os possíveis valores do seno deste ângulo? Lembre que a) e b) e c) e d) e e) e sen (sen ). Considerando os ângulos EDF e CDE, determine o comprimento do lado DA em função de e. QUESTÃO 0 (Uem-pas) Sobre trigonometria, assinale o que for correto. 0) Arcos congruentes diferem entre si por radianos. 0) Uma volta completa no círculo trigonométrico equivale a 0 graus. 0) As funções seno e cosseno têm o mesmo período. 08) sen, 0,. cotg ) No círculo trigonométrico, um ângulo negativo, em radianos, é medido no sentido anti-horário. QUESTÃO (Ufrn) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo cm de comprimento por cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir. Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal a) estava entre 0 e. b) era menor que 0. c) foi eatamente. d) era maior que.

3 QUESTÃO (Uespi) Quantas soluções a equação sen = admite no conjunto dos 0 números reais? Abaio, estão esboçados os gráficos de sen e /0. a) b) c) 7 d) 8 e) 9 QUESTÃO (Ufjf) Considere um triângulo ABC retângulo em C e o ângulo BAC. ˆ Sendo AC e sen( ), quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? QUESTÃO (Espce (Aman)) O número de raízes reais da equação cos cos 0 no intervalo ]0, [ é a) 0 b) c) d) e) QUESTÃO (Fgv) Um triângulo isósceles ABC, com AB AC, é tal que cada ângulo da base BC mede o dobro do ângulo de vértice A. Se cos8 m, então, o quadrado de BC é igual a a) m m b) m m c) m d) m e) m QUESTÃO 7 (G - ifpe) Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua mochila um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na margem onde estava, e, após nadar, aproimadamente, 70 metros em linha reta em direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto B, conforme mostra a figura a seguir: a) b) c) 0 d) e) QUESTÃO (Ufrgs) O período da função definida por f() = sen a). b). c). d). e). é De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul? Dados: sen (7 ) 0,9, tan (7 ) 0,0, cos (7 ) 0,89 e tan (7 ) 0,. a) 0 metros. b) metros. c) 89 metros. d) 70 metros. e) 9 metros QUESTÃO 8 (G - ifal) Um atleta de,70 metro de altura, percebe que, ao fazer fleões no momento em que estica os braços, seu corpo, em linha reta, forma um ângulo de 0 com o piso. Nessas condições, a que altura do piso se encontra a etremidade da sua cabeça? (Considere que os braços formam com o piso um ângulo reto). a) 8 cm. b) 8 cm. c) 70 cm. d) 8 cm. e) 0 cm.

4 QUESTÃO 9 (Espm) A sequência S (sen 0, sen 0, cos 0 ) é: a) uma PA de razão tg 0. b) uma PG de razão sen 0. c) uma PA de razão tg. d) uma PA de razão sen 0. e) uma PG de razão tg 0. QUESTÃO 0 (Upe-ssa ) A função y a b cos, com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eio y no ponto de coordenadas (0, ) e tem valor máimo y. Qual é o valor da soma a b? QUESTÃO (G - cp) Um colégio comprou 00 armários cinza, numerados de a 00, para os alunos deiarem guardado o seu material escolar. Buscando melhorar o aspecto visual dos armários, a coordenadora pedagógica Gabriela sugeriu que alguns deles fossem pintados com as cores do emblema do colégio, de modo que: - os armários com números múltiplos de e, simultaneamente, fossem pintados de azul; - os armários com números múltiplos de (e não de ) fossem pintados de amarelo; - os armários com números múltiplos de (e não de ) fossem pintados de branco. Se eles forem pintados dessa forma, o número de armários que permanecerá com a cor cinza é a). b) 8. c) 7. d). QUESTÃO (Fuvest) Resolva os três itens abaio. a) b) c) d) e) QUESTÃO (Espce (Aman)) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 00, estabeleceu como meta produzir tratores até o final do ano de 0. O gráfico abaio mostra as quantidades de tratores produzidos no período a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é, e o terceiro termo é. Calcule a soma dos primeiros termos dessa progressão. b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que e não divisíveis por. c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(n ), qualquer que seja n. Encontre o vigésimo termo dessa progressão. QUESTÃO (Unicamp) A figura a seguir eibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q, então tan θ é igual a a) q. b) q. c) q. d) q. Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 00-07, é possível concluir que a meta prevista a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores. b) deverá ser atingida, sendo superada em 0 tratores. c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos.80 tratores a menos. d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 0 tratores a menos. e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos. QUESTÃO (Udesc) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus criadores de Punctorum Grande, possuía as seguintes características: no seu nascimento ele era composto apenas por um ponto, e após 0 minutos duas hastes saíam deste ponto com um novo ponto. Após mais 0 minutos, outras duas hastes, com um novo ponto em cada, saíam de cada um dos pontos eistentes e assim sucessivamente a cada 0 minutos. O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas e vinte minutos do seu nascimento, era: a) b) c) 87

5 d) 7 e) QUESTÃO (Udesc) Sejam (, 8, 0,...) e,,,... duas progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a: a) b).77 c) d).9 e).8 QUESTÃO 7 (Uerj) A sequência a an an (a n ) é definida do seguinte modo: Determine a média aritmética dos primeiros termos dessa sequência. QUESTÃO 8 (Enem) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 00 metros, o terceiro, a 0 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de.80 metros da praça. Se a prefeitura pode pagar, no máimo, R$ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é a) R$.000,00. b) R$ 0.000,00. c) R$ 8.000,00. d) R$.000,00. e) R$ 8.000,00. QUESTÃO 9 (Upe-ssa ) A população inicial de uma colônia de bactérias, que cresce 0% a cada hora, é de 8 0 bactérias. Qual é o número aproimado de bactérias dessa colônia ao final de horas? Considere que a semibreve tem a duração de tempo de uma unidade. A sequência que indica a duração de tempo de uma mínima, de uma semínima, de uma colcheia, de uma semicolcheia, de uma fusa e de uma semifusa é a),, 8,,, b),,, 8,, c),,,,, 8 7 d),,,,, 8 e),,,,, 8 QUESTÃO (Uece) O produto dos termos da progressão geométrica cujo primeiro termo, a razão e o último termo são respectivamente iguais a, e é igual a a).78. b).0. c).8. d).. QUESTÃO (Espm) Na progressão geométrica (,,, 8, ), sendo a n o n-ésimo termo e S n a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que: a) Sn an b) Sn an c) Sn an d) Sn an e) Sn an QUESTÃO (Espm) A figura abaio representa parte do gráfico da função f(), fora de escala. Considere (,) 8 a) b) c) d) e) 8,7 0, 0,8 0 8, 0, 0 QUESTÃO 0 (Enem PPL) Na música, usam-se sinais gráficos chamados figuras de duração para indicar por quanto tempo se deve emitir determinado som. As figuras de duração usadas atualmente são: semibreve, mínima, semínima, colcheia, semicolcheia, fusa e semifusa. Essas figuras não possuem um valor (tempo) fio. Elas são proporcionais entre si. A duração de uma semibreve é equivalente à de duas mínimas, a duração de uma mínima é equivalente à de duas semínimas, a duração de uma semínima equivale à de duas colcheias e assim por diante, seguindo a ordem dada. A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é igual a: a) b) 8 c) d)

6 e) QUESTÃO (G - ifsul) A soma dos doze primeiros termos de uma Progressão Aritmética formada por números reais é. Considerando que o sétimo termo é, a razão r, com r, será a) r b) r c) r d) r QUESTÃO (G - ifba) Numa avaliação com 00 questões, a pontuação de cada questão foi atribuída de acordo com uma progressão geométrica de razão da seguinte forma: a primeira questão valia ponto, a segunda questão valia pontos, a terceira questão valia, a quarta questão valia 8 pontos e assim por diante. A nota máima que um aluno pode ficar é o somatório dos pontos de todas as questões. Uma pessoa, ao fazer esta avaliação, verificou que acertou todas as questões de numeração múltiplos de três maiores que 0 e menores que 0 e também acertou as questões de numeração múltiplos de cinco maiores que e menores que. Que pontuação este estudante fez na prova? 0 ( ) a) b) c) d) e) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) QUESTÃO (Acafe) Uma famosa rede de supermercados resolve fazer uma grande promoção de determinado produto. Para tanto, resolve organizar os produtos de maneira a formar pilhas em uma sequência, conforme indica a figura a seguir. Cada cubo, na figura, corresponde a um produto. Pretende-se continuar construindo a sequência até a vigésima quarta pilha de produtos. Quantos produtos serão necessários para formar a última pilha de produtos dessa sequência? a) 0 b) 0 c) 0 d) 00 QUESTÃO 7 (Pucrj) A figura abaio representa caias com mercadorias em um galpão do porto. Essas caias, para melhor identificação, possuem um número em sua face frontal e são empilhadas seguindo um padrão. Assim, por eemplo, a ª caia da ª linha é indicada pelo número. Observe que a m-ésima linha tem m caias e que usamos apenas os números pares. a) Qual é o número na ª caia da ª linha? b) Qual é a soma dos números na 7ª linha? c) Escreva, apenas em função de m, uma fórmula para a soma dos números nas m primeiras linhas. QUESTÃO 8 (Uefs) Uma progressão aritmética (PA) possui 7 termos, todos positivos. A diferença entre o maior termo (a 7 ) e o menor termo (a ) dessa PA é igual a 8. Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem nessa PA, é o menor e é o maior, o valor de a a7 é a) 9. b). c). d) 8. e) 7. QUESTÃO 9 (Espm) O vigésimo termo da PA (,,, ) é igual a: a) b) c) 9 d) 7 e) 8 QUESTÃO 0 (Fgv) Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por a a a para todo n, n. Sendo assim, a soma dos n n n primeiros termos dessa sequência será dada pela epressão a) 7n. b),n,n. c) n 7n 0. d) n n. e) n.

7 Gabarito: Resposta da questão : Calculando: sen 0 sen 0 cos0 cos 0 Resposta da questão : De sen sen, temos: sen sen sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen 0 cos sen 0 cos sen sen sen sen sen sen sen sen Resposta da questão : = 9. [0] Verdadeira. De fato, como sen, segue que a imagem de f é o intervalo,. [0] Falsa. Sendo cos, podemos afirmar que a imagem de g é o intervalo,. [0] Verdadeira. Com efeito, pois sen cos f g. [08] Verdadeira. De fato, pois 9 e implicam em sen cos f f g g 9. [] Verdadeira. Com efeito, pois as funções seno e cosseno têm o mesmo período fundamental. Resposta da questão : [C] Sabendo que Im(f) [,] e sen, podemos afirmar que a lei de h não pode ser pode ser sen. sen. Finalmente, como sen cos, h() sen cos. Resposta da questão : Ademais sendo P(f), h não só pode ser A função f é do tipo f(t) a bsen(mt). Logo, sendo f(0) 88, temos a 88. Ademais, pelo gráfico, sabemos que o período de f é e, portanto, vem m. Finalmente, como f 8, obtemos 8 88 b b 80. A resposta é f(t) 88 80sent. Resposta da questão : Tem-se que ( 9) ( 9) sen 9sen 0 sen sen A resposta é ou sen k ou. k ou k ; k ou k ou k, k. Resposta da questão 7: [E] Para que f esteja definida, deve-se ter k k k k, k. Resposta da questão 8: [B] Tem-se que sen sen Resposta da questão 9: sen. Desde que ADC BAD 90, temos AFD. Portanto, do triângulo ADF, vem AD sen AFD AD sen( ). DF Resposta da questão 0: = 0. [0] Falsa. Arcos côngruos diferem entre si por radianos. [0] Verdadeira. Um ângulo de volta mede 0. [0] Verdadeira. O período das funções seno e cosseno simples é. [08] Falsa. Tomando, temos

8 sen. cotg [] Falsa. Um ângulo negativo, por convenção, é medido no sentido horário. Resposta da questão : [B] Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo. O ângulo α é tal que tg 0,0. Desse modo, como a função tangente é crescente e tg0 0,8 0,0, segue que α BC cos cos8 m cos cos 8 m BC m BC m m Resposta da questão 7: [B] Considerando a altura do paredão e y a distância do ponto B ao paredão, temos: Resposta da questão : [C] Como os gráficos das funções y sen e y apresentam 7 0 pontos de interseção, segue que a equação sen admite 7 0 soluções reais. Resposta da questão : Sabendo que AC e sen, vem BC BC AB sen BC. AB AB Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: AB AB AC BC AB Resposta da questão : [B] P = Resposta da questão : 8 AB 9 cos cos 0 AB. cos cos ou cos = - cos cos = - ou Portanto, o número de raízes da equação é. Resposta da questão : [E] Calculando: tg7 y tg7 0,y (I) y tg7 y 70 tg7 0,0y (II) y 70 Fazendo (I) (II), temos: 0,y 0,0y 0,y y 00 Logo, a altura do paredão será: 0,00 m. Resposta da questão 8: Considere a situação Utilizando da relação de seno temos: cateto oposto sen(0 ) 8 cm. hipotenusa,7 Resposta da questão 9: [E] S sen0, sen0, cos0 S,, Note que: e Assim, S é uma PG de razão tg0.

9 Resposta da questão 0: Se (0, ) é um ponto do gráfico da função, então a bcos0 a b. Ademais, sabendo que a imagem da função cosseno é o intervalo [,], vem a b [,] [, ] [a b, a b] [, ] a b a b a. b A resposta é a b ( ). Resposta da questão : [E] A sequência acima nos mostra uma P.A. de termos e razão igual a 70. O primeiro passo será encontrar seu décimo seto termo, ou seja, determinar a quantidade de tratores que serão produzidos em 0. a a r a a 770 Calculando, agora, a produção total até 0 (a soma dos primeiros termos da P.A.) S 9.90 Portanto, a meta prevista não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos. Resposta da questão : [C] Calculando os múltiplos de e simultaneamente: PA a ; r ; a 98 n 98 (n ) n 8 Calculando os múltiplos de apenas: PA a ; r ; an 9 9 (n ) n 8 Para os múltiplos de, sabemos que todos os números pares são múltiplos de e entre e 00 eistem 0 números pares. Porém, desse total de números pares estão inclusos também os pares múltiplos de, assim para se obter apenas os pares múltiplos de pode-se escrever: Logo, o número de armários pintados e cinza será: Pint ados Cinza 00 7 Resposta da questão : a) Se a e a, então q q, em que q é a razão da progressão geométrica. A resposta é S 80. b) A soma dos números inteiros positivos menores do que é. O número, n, de múltiplos positivos de menores do que é dado por 08 (n ) n 7. Logo, segue que a soma dos múltiplos de menores do que é A resposta é, portanto, 70. c) Se Sn n(n ), então S0 S9 a0 0 (0 ) 9 ( 9 ) a0 a0 79. A resposta é a0 79. Resposta da questão : Tem-se que (a, b, c, d) (a, aq, aq, aq ). Logo, vem c a tgθ d b aq a aq aq a(q ) aq(q ). q Resposta da questão : h0min 0min 0 8 períodos de 0 minutos cada. 0 Temos então, que a soma de todos os pontos formados, obedecendo às condições do problema, é: S Considerando que, a partir da segunda parcela, eiste uma P.G., temos: 8 ( ) S Resposta da questão : Se as somas são iguais para algum n, então ( n ) n (n ) n n 0 n n. Por conseguinte, a resposta é ( ) 9.

10 Resposta da questão 7: Como se trata de uma PA de razão, então a média de seus termos será igual a soma do primeiro e do último divididos por. Calculando: a a 0 Média 80 Resposta da questão 8: [C] As distâncias dos postes até a praça constituem uma progressão aritmética de primeiro termo 80 e razão 0. Desse modo, o número, n, de postes é dado por (n ) 0 n 0 n. A resposta é 8000 R$ 8.000,00. Resposta da questão 9: O número de bactérias, p(t), da colônia, após t horas, é dado por t p(t) 8 0 (,). Em consequência, o número aproimado de bactérias dessa colônia ao final de horas é igual a 8 p() 8 0 (,) ,7 0. Resposta da questão 0: [E] Desde que n n an an, temos n Sn Sn an. Resposta da questão : Desde que todos os retângulos têm bases congruentes e de medida igual a, segue que o resultado é dado por f() f() f() 8 Resposta da questão : [C] Calculando: 7 8. a a S a a 0, a a r a r a a r a r Logo: r r 0, r 0, r, r Resposta da questão : Primeiramente note que a razão da progressão geométrica em questão é a de: r a Segue que a duração de uma mínima corresponde a da duração de E as questões que ele acertou são:,, 7, 0,,, 9 e, 0,, 0 uma semibreve, uma semínima corresponde a da duração de uma mínima, ou seja, da duração de uma semibreve, uma colcheia corresponde a da duração de uma semínima, isto é, da 8 duração de uma semibreve, e assim sucessivamente, até. A resposta é,,,,,. 8 Resposta da questão : Se a, q e an, então n n n ( ) ( ) ( ) n. Portanto, segue que a resposta é n (n) n a q ( ) ( ) 78. Resposta da questão : Logo, note que duas novas progressões aritméticas com razões três e cinco (respectivamente) foram formadas. Devemos calcular ambas as progressões. 0 Sabendo que, na primeira sequência, o primeiro termo é a e a e assim: S S ( ) ( Observe que a primeira sequência terá razão igual a igual e assim temos: 7 0 ( ) ( ) S S 0 0 ( ) ( ) S S 0 0 ( ) ( ) S S Resposta da questão : e a segunda

11 Queremos calcular o vigésimo quarto termo, a, da sequência (,,,0,, a, ). Logo, como tal sequência é uma progressão aritmética de segunda ordem, temos (ak a k ) a 99 k a 00. Resposta da questão 7: Considerando a tabela acima até a sétima linha, temos: a). Assim, temos: PA (, 8,, ); razão: r. a0 9 a0 Resposta da questão 0: Calculando: a a a r n n a n n n n n 8 n n 8n S n n b) c) Sabemos que o último elemento de cada linha é dado por: m (m ). Portanto, a soma dos números nas n primeiras linhas será dada por: S 8 0 m (m ) Calculando o número de termos desta P.A. temos. m (m ) m (m ) (n ) n Portanto, a soma dos termos nas n primeiras linhas será dada por: m (m ) m (m ) m m m m S S Resposta da questão 8: Do enunciado, temos: a a 8 7 a r a 8 r 8 r Como é o menor primo que aparece na PA e é o maior, temos a seguinte PA, 0,,, 9,,, 8,,, 7, 0,,, 9,,, 8 Daí, a 0 e a7 8, logo, a a7 8. Resposta da questão 9: [B] Da PA,,,..., temos: