2 0 Lista de Exerccio de MAT0143 (1 0 semestre 2012) Turma:

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1 0 Lista de Exerccio de MAT043 ( 0 semestre 0) Turma: 00 Parte. VII- Integrac~ao Problema.. Esboce a regi~ao A limitada pelas curvas y = x + 4x e y = x e encontre a area de A. Problema.. Esboce a regi~ao limitada pela parabola y = x + 6 e pela reta y = x, decida se e melhor integrar em relac~ao a x ou y e calcule a area da regi~ao. Problema.3. O volume de um solido de revoluc~ao obtido pela rotac~ao ao redor do eixo y da regi~ao limitada por y = 0 e y = f (x) (onde f e positiva e denida em intervalo [a; b] com a 0) e V = Z b a xf (x) () Esboce a regi~ao A limitada por y = x x 3 e y = 0 e ache o volume do solido obtido pela rotac~ao da regi~ao A em torno do eixo y. () Esboce a regi~ao A limitada por y = x e y = x e ache o volume do solido obtido pela rotac~ao da regi~ao A em torno do eixo y. Problema.4. A capacidade cardaca do corac~ao e o volume de sangue bombeado pelo corac~ao na aorta por unidade de tempo. A capacidade cardiaca pode ser medida pelo metodo da diluic~ao de contraste. E possivel mostrar que a capacidade cardiaca F pode ser dada por F = R T A 0 c(t)dt

2 onde A mede a quantidade de contraste e c(t) e a concentrac~ao de contraste no tempo t. Suponha que A = 8mg e as concentrac~oes de contrastes, em mg s~ao modeladas por c(t) = 4 t( segundos. Calcule a capacidade cardaca. t) com 0 t, onde t e medido em Problema.5. Calcule: () R 0 x(x + ) 3 R = () sin 3 (x) cos(x) 0 (3) R 3 0 xp + x (4) R 5 x p x Problema.6. Calcule () R tp t 3 + () R 0 (y +y) 3py 3 +3y +4 (3) R 5 0 w (+w) 3 4 dw R (4) jx 3j 5 R (5) p jxj x (6) R 3 0 (x + )p x + (7) R x 3 +x +x+ (x+) R (8) sin(x) cos(x) 0 (9) d R 3 x R x p sin(t) dt (0) d x 3+t dt

3 () d R x 3 3p t + dt () d R tan(x) +t dt Problema.7. Utilizando o teorema do valor medio e o teorema fundamental do Calculo I prove que se f : [a; b]! R e contnua ent~ao existe c (a; b) R b tal que f (x) = f (c)(b a) a Problema.8. Calcule: () R x exp(x) () R ln(x) (3) x sin(x) (4) R x (x+) (5) R tan(x) (6) R cos (x) (7) R sin (x) (8) R cos 3 (x) (9) R sin 3 (x) Problema.9. Calcule: () R x exp(x) (+x) () R x exp(x) (3) R t ln(t) dt (4) R exp(x)(x + ) 3

4 (5) R x+ (x+) +4 (6) R exp(x) cos(x) (7) R x exp( x) (8) R ln(x+) px+ Problema.0. Esboce a regi~ao limitada pelas curvas dadas. quando integrar em relac~ao a x ou a y e calcule a area da regi~ao. Decida () y = x +, y = 9 x, x =, x = : () y = x, y = x 6 (3) x = y, x + y = (4) x = y x = y Problema.. O atomo de hidrog^enio e composto por um proton no nucleo e um eletron, que se move ao redor do nucleo. Na teoria qu^antica de estrutura at^omica sup~oe-se que o eletron n~ao se mova em uma orbita bem denida. Ao contrario, ele ocupa um estado conhecido como orbital, que pode ser pensado como uma "nuvem" de carga negativa rodeando o nucleo. No estado de energia mais baixa, chamado estado fundamental presume-se que o formato do orbital e uma esfera com nucleo. Essa esfera e descita em termos da func~ao de densidade de probabilidade f (r) = 4 a 3 0 r exp( r=a 0 ) com r 0 e onde a 0 e o raio de Bohr (a 0 = 5; 59 0 m). A integral Z r P (r) = f (s)ds da a probabilidade do eletron ser encontrado dentro da esfera de raio r centrada no nucleo. 0 4

5 () Calcule lim r! f (r). Para que valor de r a func~ao f (r) tem seu valor maximo? () Calcule a probabilidade do eletron estar dentro da esfera de raio 4a 0 centrada no nucleo.. Respostas da Parte Problema.: 8 3 : Problema.: 8 Problema.3 () 6 5 () 6 Obs: Problema.3 resolvido na Sec~ao 6.3 do livro Stewart Problema.4: 9 L=s Problema.5 () 5 8 () 4 (3) 6 5 (4) 6 3 Problema.6 () 9 (7 p) () 3p 5

6 (3) 04 5 (4) 9 (5) 3 (6) 56 5 (7) 6 (8) 0 (9) p p sin(x) (0) 3+x () 3x 3 p x 6 + () R x Problema.7: Dena F (x) = f (t) dt. Pelo teorema do valor medio existe c tal que a F 0 (c) = = F (b) F (a) R b b a f (x) a b a Por outro lado, o teorema fundamental do Caculo I implica que F 0 (c) = f (c) O resultado segue ent~ao das equac~oes acima. Problema.8 () x exp(x) exp(x) + C () x ln(x) x + C (3) cos(x)x + x sin(x) + cos(x) + C 6

7 (4) ln jx + j + jx+j + C (5) ln j cos(x)j + C (6) x + sin(x) 4 (7) x sin(x) 4 + C + C (8) sin(x) sin 3 (x) 3 + C (9) cos(x) + cos3 (x) 3 + C Problema.9: () exp(x) +x + C () exp(x)(x x + ) + C (3) (t ln(t) 4 t + C (4) exp(x)(x + ) + C (5) ln((x + ) + 4) + C (6) exp(x)(sin(x) + cos(x)) + C (7) exp( x)(x + x + ) + C (8) (x + ) = (ln(x + ) ) + C Problema.0 () 9; 5 () 7 (3) 9=8 (4) 8=3 Problema. () 0; a 0 () 4 exp( 8) 7

8 Parte. VIII Equac~oes Diferenciais Ordinarias Problema.. Resolva as equac~oes diferenciais abaixo. () y y 0 = x () dy p = t exp(t) d t y +y Problema.. Encontre a soluc~ao da equac~ao diferencial que satisfaz a condic~ao inicial dada: x exp( t) d x d t = t; x(0) = Problema.3. Uma soluc~ao de glicose e administrada por via intravenosa na corrente sangunea a uma taxa constante r. A medida que a glicose e adicionada ela e convertida em outras subst^ancias e romovida da corrente sangunea a uma taxa que e proporcional a concentrac~ao naquele instante. Ent~ao um modelo para a concentrac~ao C = C(t) da soluc~ao de glicose na corrente sangunea e onde k e uma constante positiva. d C d t = r (a) Suponha que a concentrac~ao no tempo t = 0 e C 0 : Determine a concentrac~ao em um tempo qualquer t resolvendo a equac~ao diferencial. (b) Assumindo que C 0 < r=k; calcule lim t! C(t) e interprete sua resposta. kc Problema.4. Resolva a equac~ao diferencial () y 0 + y = exp(x) () d y + x y = x d x 8

9 Problema.5. Resolva o problema de valor inicial. () d v d t t v = 3 t exp(t ), v(0) = 5 () x d y + x y = cos(x) y() = 0 d x Problema.6. Um tanque contem 00 l de agua. Uma soluc~ao com uma concentrac~ao de sal de 0; 4 kg/l e adicionada a uma taxa de 5 l/min. A soluc~ao e mantida misturada e e retirada do tanque a uma taxa de 3 l/min. Determine a equac~ao y que da a quantidade de sal em um tempo de t minutos.. Respostas da Parte Problema.: () x y = C () y = p (3(t exp(t) exp(t) + C)) =3 Problema.: x = p (t ) exp(t) + 3 Problema.3: (a) C(t) = (C 0 r=k) exp( k t) + r=k (b) r=k; a concentrac~ao tende a r=k independentemente do valor de C 0 : Problema.4 () y = (=3) exp(x) + C exp( x) () y = (=)x + C exp( x ) (=) exp( x ) R exp(x ) Problema.5 9

10 () v = t 3 exp(t ) + 5 exp(t ) () y = (sen (x))=x Problema.6 y(t) = (=5)(00 + t) 40000(00 + t) 3= 0