Análise Modal no Domínio do Tempo. SSI Stochastic Subspace Identification

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Ana Laura Deluca Camarinho
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1 Análise Modal no Domínio do Tempo SSI Stochastic Subspace Identification

2 Stochastic Subspace Identification VAN OVERSCHEE, P., 1995, Subspace Identification: Theory, Implementation, Application, PhD thesis, Faculty of Engineering, K.U.Leuven. VAN OVERSCHEE, P., DE MOOR, B., 1996, Subspace Identification for Linear Systems: Theory, Implementation, Applications, Kluwer Academic Publishers. PEETERS, B., 2000, System Identification and Damage Detection in Civil Engineering, PhD Thesis, Department of Civil Engineering, Katholieke Universiteit Leuven. DE COCK, K., DE MOOR, B., 2003, Subspace identification methods, in: Contribution to section 5.5, "Control systems robotics and automation" of EOLSS, UNESCO Encyclopedia of Life Support Systems, (Unbehauen H.D.), vol. 1 of 3, Eolss Publishers Co., Ltd. (Oxford, UK), pp

3 Stochastic Subspace Identification Peter Van Overschee Katrien De Cock ep1&type=pdf

4 Representação no espaço de estados s y k 1 A s k B x k k C s k D x k entrada saída vetor de estados Sistema puramente estocástico

5 Representação no espaço de estados

6 Hipótese sobre os resíduos Os vetores dos ruídos são desconhecidos, entretanto admitidos como processos gaussianos de ruído branco, com suas matrizes de covariância obedecendo a seguinte relação:

7 matriz de dados na forma de Hankel De forma análoga a outros métodos no espaço de estados já apresentados, o método SSI trata das saídas do sistema de forma agrupada em uma matriz de dados na forma de Hankel, com 2i blocos de linhas e j colunas. Dividindo-se essa matriz em passado e futuro tem-se, utilizando-se a notação de VAN OVERSCHEE (1995):

8 matriz de dados na forma de Hankel O número de linhas da matriz de dados deve ser maior que a ordem do sistema a identificar, lembrando-se que a dimensão máxima do espaço de estados corresponde ao número máximo de autovalores que podem ser identificados. A fim de se utilizar todas as s amostras de dados o número de colunas deve ser igual a s 2i + 1, não devendo ser menor que 2i 1

9 projeção Outra definição importante nos métodos dos subespaços consiste na (matriz) projeção do espaço-linha das saídas futuras no espaço-linha das saídas passadas, onde espaço-linha é o subespaço formado pelas linhas da matriz (de Hankel) das saídas, considerada como um conjunto de vetores: Interpretação geométrica da projeção ortogonal do espaço-linha das saídas futuras no espaço-linha das saídas passadas Nas palavras de PEETERS (2000), esta projeção busca reter a informação nas saídas passadas que podem ser úteis para se predizer futuro.

10 projeção BRINCKER e ANDERSEN (2006) atentam que para processos estocásticos Gaussianos, a operação de projeção corresponde algebricamente a uma função das covariâncias das saídas.

11 projeção

12 Matriz projeção VAN OVERSCHEE (1995) demonstra que a matriz projeção descrita pode ser fatorada em termos da matriz observabilidade e a seqüência de estados preditos: A fim de se obterem estimativas das matrizes O i e S i bem como a ordem do modelo, procede-se a decomposição em valores singulares da expressão da matriz projeção:

13 Matriz projeção O número de autovalores não nulos (tomados a partir de um threshold adotado numericamente como zero) indica a ordem do sistema, e as matrizes de observabilidade e a seqüência de estados podem ser admitidas como: Uma vez obtidas as estimativas dos estados, pode-se proceder a identificação das matrizes do sistema a partir da formulação do espaço de estados:

14 pode ser obtida deletando-se as p últimas linhas de O i, sendo p o número de respostas do sistema. SSI Estimação dos estados A seqüência de estados S i+1 pode ser obtida pela redefinição da divisão da matriz de dados, ou seja, pela adição de um bloco de linhas de dados às matrizes de dados passados, ao mesmo tempo em que se retira o primeiro bloco de linhas das matrizes de dados futuros. VAN OVERSCHEE e DE MOOR (1996) mostram que isso corresponde algebricamente a: ou seja: pode ser calculada diretamente pelos blocos da decomposição QR

15 Estimação da matriz de estado Uma vez que os resíduos são admitidos como não-correlacionados com os estados, estimativas assintoticamente não-tendenciosas para as matrizes A e C podem ser finalmente obtidas por mínimos quadrados:

16 Algoritmo Arranjo dos Dados na Forma de Hankel Estimação da Matriz de Estado Verificação dos Valores Singulares Diagrama de Estabilização

17 Algoritmo Conforme se pode perceber pela observação do pseudocódigo, o parâmetrofundamental da técnica consiste no número i de blocos de linhas em que será montada a matriz de dados. DE COCK e DE MOOR (2003) sugerem que esse número seja no mínimo igual à máxima ordem (número de pólos) inicialmente admitida ao sistema que se deseja identificar. Note-se que uma vez que cada bloco de linhas contém m saídas, a matriz de dados terá 2mi linhas. Uma limitação encontrada no algoritmo implementado na plataforma MATLAB consiste na restrição do número de linhas de matrizes de dados com um número acentuado de amostras a serem submetidas à decomposição QR.

18 Identificação por subespaços X Identificação clássica Enquanto boa parte dos métodos de identificação obtém inicialmente um modelo de elevada ordem e então procedem a técnicas de redução, a abordagem por subespaços destaca-se por primeiramente obter uma seqüência de estados reduzida, identificando em seguida diretamente o modelo de baixa ordem.

Fases dos métodos dos subespaços Inicialmente, de forma inovadora, determina-se a seqüência do vetor de estados do sistema dinâmico diretamente a partir dos dados de entrada e saída (ou apenas saída)

19 Fases dos métodos dos subespaços Inicialmente, de forma inovadora, determina-se a seqüência do vetor de estados do sistema dinâmico diretamente a partir dos dados de entrada e saída (ou apenas saída) sem se conhecer o modelo matemático (matrizes do sistema) fazendo-se uso de ferramentas de álgebra linear (decomposição QR e decomposição em valores singulares). Uma vez conhecidos os estados, podem-se obter em seguida as matrizes do sistema por mínimos quadrados.

20 Variantes Existem diversas variantes das técnicas por subespaços. VAN OVERSCHEE (1995) demonstra que essas diferenças podem ser colocadas simplesmente como a adoção de ponderações distintas à esquerda (W 1 ) e à direita (W 2 ) das projeções antes de se proceder à decomposição em valores singulares: A tabela apresenta três diferentes algoritmos segundo abreviações e nomenclaturas de ARUN e KUN (1990) e as respectivas matrizes peso. onde cov[ ] é o operador de covariância entre matrizes

21 - Sistema Implementado Verificação dos Valores Singulares 21

22 - Sistema Implementado Diagrama de Estabilização

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