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1 SENA Cursos e Concursos ( Página 1

2 S U M Á R I O ASSUNTOS PÁGINA Apresentação 02 ÁLGEBRA Teoria dos Conjuntos 04 Polinômios 39 Equações Algébricas 46 Análise Combinatória e Probabilidade 55 Matrizes e Determinantes 70 Funções 88 Função Afim e Quadrática 95 Função Exponencial 108 Função Logaritmica 115 Estatística Descritiva 119 Questões de Concursos Anteriores 135 GEOMETRIA Geometria Plana 160 Geometria Espacial 176 Geometria Analítica 189 Trigonometria 199 Questões de Concursos Anteriores 213 GABARITO 254 "É fraco e depreciativo continuar querendo coisas e não tentar consegui-las. " (Joanna Field) SENA Cursos e Concursos ( Página 2

3 APRESENTAÇÃO Seguindo as normas que regem o Edital de cada Concurso, esta apostila de Matemática contem o conteúdo exigido no Edital da EsSA (Escola de Sargento das Armas), para a realização desta prova que faz parte da 1ª etapa seletiva do concurso. Com mais de 1270 questões gabaritadas, incluindo provas de concursos anteriores, entre os anos de 1975 e 2015, você terá condições de avaliar seu próprio conhecimento quanto ao conteúdo solicitado para estudo, pelo Departamento de Ensino do Exército, responsável pela organização do concurso. Quanto às questões de concursos anteriores você poderá encontrar questões repetidas de um concurso para outro. Mas, isso lhe dará uma base para verificar quais os assuntos que foram mais solicitados em provas anteriores e fazer seu próprio planejamento de estudo com base nessa avaliação, dando mais ênfase ao estudo de alguns assuntos, sem, no entanto, deixar de dar a devida atenção a todos os assuntos aqui abordados já que os mesmos fazem parte do conteúdo programático proposto pela organização deste concurso. SENA Curso e Concursos A maior Organização de Ensino Preparatório aos Concursos Públicos Militares Brasília/DF SENA Cursos e Concursos ( Página 3

4 I - TEORIA DOS CONJUNTOS 1.1 INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS Formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, a Teoria dos Conjuntos, fala sobre Conjunto que é um conceito que não podem ser definido, mas, pode sim, entender-se como uma lista, agrupamentos de objetos, símbolos que sejam bem definidos. Assim pense em conjunto como uma coleção de objetos. 1. Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os elementos do conjunto são apresentados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por ponto e vírgula ou por vírgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} 2. Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos os elementos que formam o conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuída por todos os seus elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par menor que 9 } Lê-se: O conjunto A é formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par menor que Diagrama de Euler Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por uma curva fechada. Ex: Relação de Pertinência A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos. Estudando os Conjuntos Ao obter coleções de elementos classificados a partir de certa característica, estamos formando conjuntos. Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser divididos em cinco classes: peixes, répteis, anfíbios, mamíferos e aves. Cada uma dessas classes de animais forma um conjunto. Na matemática, a ideia de conjunto é fundamental e está presente em diversos outros conceitos. Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos chamados elementos e que cada elemento é um dos componentes do conjunto. Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras minúsculas. Para representação de um conjunto, utilizaremos uma das três formas seguintes: Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8}, Assim: SIMBOLOGIA INTERPRETAÇÃO O elemento 2 pertence ao conjunto A O elemento 3 não pertence ao conjunto A Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem. elemento conjunto Ou elemento conjunto Observação: Um elemento pertence a um conjunto se ele é visível ou listado no conjunto Relação de Inclusão A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto não esteja contido no segundo. SENA Cursos e Concursos ( Página 4

5 SIMBOLOGIA INTERPRETAÇÃO O conjunto A está contido no conjunto B O conjunto D não esta contido no conjunto E O conjunto B contém o conjunto A O conjunto E não contém o conjunto D Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, necessariamente, relacionando um conjunto a outro conjunto. Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o próprio conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i}, encontre P( A ) Numero de elementos do conjunto das partes Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a notação n(a). E o número de elementos do conjunto das partes será indicado por n[p(a)]. Daí : Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 2 4 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o conjunto A terá no total 16 subconjuntos Igualdade de Conjuntos Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B Definições Especiais de Conjuntos Conjunto Vazio - é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto vazio usaremos os símbolos: { } ou. Atenção: Quando os símbolos { } ou, aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto, o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado. Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A listado, que A, pois é um elemento do conjunto A. Também sempre será verdade que: 1. A para qualquer que seja o conjunto A. 2. A A para qualquer que seja o conjunto A. Conjunto Unitário - É o conjunto que possui apenas um elemento. Conjunto Universo - É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo Subconjuntos O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos. Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez. Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c} Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: 1.2 PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A A = A e A A = A Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B, B A B, A B A, A B B Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C SENA Cursos e Concursos ( Página 5

6 Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B = B A A B = B A Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A Ø = A Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. A Ø = Ø Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A U = A Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então: A B=Ø Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos Diferença de Conjuntos A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x A e x B} Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: Os gráficos abaixo mostram a distributividade Conjunto Complementar 1.3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Reunião de Conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. A B = { x: x A ou x B } O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C A B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. C A B = A-B = {x: x A e x B} Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então: A B={a,e,i,o,3,4} Interseção de Conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. SENA Cursos e Concursos ( Página 6

7 Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento. Exemplos: Ø c =U e U c =Ø. Ao complementar de A em relação a U usaremos a notação: A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B. A B = { x: x A B e x A B } O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é: Então: O diagrama abaixo é a região hachuriada: Número de elementos da união de conjuntos: O número de elementos da união de : - dois conjuntos A e B será: Dedução: Ex: Seja U={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A={ 1, 3, 5, 7} daí Leis de Augustus De Morgan O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A B) c = A c B c O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A 1 A 2... A n ) c = A 1 c A 2 c... A n c O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A B) c = A c B c O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A 1 A 2... A n ) c = A 1 c Diferença Simétrica A 2 c... A n c CONJUNTOS NUMÉRICOS Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que foi se tornando necessário apresentar resultados para algumas operações matemáticas. Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos números naturais Conjunto dos números naturais (N): É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5;...}. Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5;...} ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. Já a divisão ou subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 2-3, por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos Conjunto dos números inteiros (Z): Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}, SENA Cursos e Concursos ( Página 7

8 Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z: 2) Sendo o conjunto dos múltiplos do número inteiro a representado por D(a), temos: Geometricamente temos: 3) Sendo o conjunto de múltiplos do número inteiro a representado por M(a), temos: Exemplos: Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é 3, oposto ou simétrico de 3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = = 0. Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de ( ). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+). Propriedade de D(a) Propriedades de M(a) Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos. No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E todas as propriedades das operações em N continuam válidas em Z. Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro: Número par e número impar 1) Um número inteiro a será par somente quando este for múltiplo de 2. 2) Um número inteiro a será ímpar somente quando este não for múltiplo de 2. 3) No caso de, logo: Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z. Múltiplo e divisor em Z 1) Considere a e b como dois números inteiros. Sabemos que b é divisor de a e que a é múltiplo de b apenas quando existe c inteiro onde a =b.c. Portanto, sendo a, b e c números inteiros, temos: Número primo e numero composto 1) Um número inteiro p, sendo p 0, p 1 e p -1, será um número primo quando os números únicos divisores forem 1, -1, p e p. 2) Um número inteiro a, sendo a 0, a 1 e a -1, será um número composto quando haver mais de 4 divisores. SENA Cursos e Concursos ( Página 8

9 Veja a representação: 1) Considere a e b como dois números inteiros não nulos. O Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) de a e b é representado por m.m.c.(a,b) Teorema fundamental da aritmética Qualquer número composto pode sofrer uma decomposição e uma fatoração num produto de fatores primos. Com exceção da ordem dos fatores e do sinal dos fatores, essa decomposição será única. Exemplo: Números primos entre si 1) Os números inteiros a e b serão considerados de primos entre si apenas quando seus únicos divisores comuns forem 1 e -1. Veja a representação: a e b primos entre si mdc(a,b) = 2) Dois números inteiros consecutivos são primos entre si pois mdc(n, n + 1) = 1. Número de elementos da D(a) Sendo a finito. Sendo números inteiros o número do elemento de D(a) será em que são os divisores primos naturais de a e os naturais são seus expoentes respectivamente, logo: Máximo divisor comum (mdc) 1) Considere a e b como dois números inteiros não simultaneamente nulos. O máximo divisor comum (m.d.c.) de a e b é o número máx. [D(a) D(b)]. Representado por mdc(a,b) Veja a representação: Mínimo múltiplo comum (mmc) Mínimo Múltiplo Comum (mmc) 3) Dois números primos, distintos e não-simétricos são primos entre si. 4) Sendo, logo: a e b primos entre si mdc(a,b) = mmc(a,b) = ab 01 - Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deveá usar? Solução: Observe que o auxiliar deseja usar a menor quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve colocar a maior quantidade possível de frascos nas gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma quantidade para todas as gavetas, veja que novamente o conceito de mdc entra na resolução deste problema. Ao pensar em usar a menor quantidade de gavetas possível, tens que colocar a maior quantidade de frascos e que ainda seja na mesma quantidade em cada gaveta! Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos: 120 = 2 3 x 3 x = 2 x 3 x = 3 2 x 5 2 Exercícios Resolvidos SENA Cursos e Concursos ( Página 9

10 Logo, o mdc (120,150,225) = 3 x 5 = 15. Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior número possível para que a quantidade de gavetas seja mínima. Calculando a quantidade de gavetas. 120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15. Para o medicamento com 120 frascos será necessário 8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 gavetas Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de madeira que medem 60cm, 80cm e 100 cm de comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las em pedaços iguais de maior comprimento possível. Qual é a medida procurada? Solução: Para dividir em pedaços iguais como maior comprimento possível, precisamos calcular p M.D.C. entre 60, 80 e 100. Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas. 02- Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para plantar em uma região de sua fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado. Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o número máximo de empregados da fazenda é 4. Julgue a afirmação acima em certa ou errada. Para este problema devemos julgar a afirmação em certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de empregados é 4, percebe-se que o número de funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os funcionários receberam a mesma quantidade de ambas as mudas. Portanto cada pedaço deverá ter comprimento de 20 cm 04 - Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 centímetros, quanto deve medir cada pedaço? Solução: Para cortar em pedaços iguais com o maior comprimento possível, precisamos calcular o M.D.C. entre 196 e 140. O que esse problema tem haver com mdc? É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 180 e 84, estamos descobrindo a quantidade máxima de funcionários para os quais as mudam podem ser repartidas igualmente. Veja como! Calculando o mdc(84,180). 180 = 2 2 x 3 2 x 5 84 = 2 2 x 3 x 7 mdc(84,180) = 2 2 x 3 = 12. Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 = 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada funcionário receberia 15 e 7 mudas, só exemplificando! Portanto, a afirmação está ERRADA. Portanto cada pedaço deverá medir 28 cm 05 - Três peças de tecido medem respectivamente, 180cm, 252cm e 324cm. Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços cada peça será divida e qual o total de retalhos obtidos? Solução: Para dividir em retalhos de igual comprimento de modo que o número de retalhos seja o menor possível, devemos calcular o M.D.C. entre 180, 252 e 324. Observação: para ter o menor número de retalhos deve-se ter o maior comprimento possível. SENA Cursos e Concursos ( Página 10

11 Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = Portanto, MMC (210, 462) = Cada retalho deverá medir 36cm Teremos um total de 21 retalhos 06 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: (A) 18 e 60 (B) 210 e 462 (A) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível: 18, , , , 5 3 1, 5 5 1, 1 Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = , , , , 5 3 1, 5 5 1, 1 Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6. (B) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números: 210, , , , , , 1 210, , , , , , 1 Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível. Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político: 90, 108, , 54, , 27, , 27, , 27, , 9, 3 3 5, 3, 1 3 5, 1, 1 5 1, 1, 1 Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 x 3 x 3 = 18. Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos: 90: 18 = 5 aparições 108/18 = 6 aparições 144 : 18 = 8 aparições Somando as aparições de cada um, encontramos = 19 aparições. SENA Cursos e Concursos ( Página 11

12 08 - José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado? Se José arruma os detergentes em grupos de múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos: 12, 15, , 15, , 15, 5 3 1, 5, 5 5 1, 1, 1 Temos que multiplicar os números que apareceram à direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. Vejamos os múltiplos de 60: M(60) = {0, 60, 120, 180, 240,...} Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 que se encaixa na quantidade de detergentes do supermercado de José é o 120. Mas falta ainda acrescentarmos aquele detergente que sempre restava, portanto, podemos concluir que no supermercado de José havia 121 detergentes Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? Solução: Observe que o auxiliar deseja usar a menor quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve colocar a maior quantidade possível de frascos nas gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma quantidade para todas as gavetas, veja que novamente o conceito de mdc entra na resolução deste problema. Ao pensar em usar a menor quantidade de gavetas possível, tens que colocar a maior quantidade de frascos e que ainda seja na mesma quantidade em cada gaveta! Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos: 120 = 2 3 x 3 x = 2 x 3 x = 3 2 x 5 2 Logo, o mdc(120,150,225) = 3 x 5 = 15. Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior número possível para que a quantidade de gavetas seja mínima. Calculando a quantidade de gavetas. 120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15. Para o medicamento com 120 frascos será necessário 8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 gavetas. Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para plantar em uma região de sua fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado. Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o número máximo de empregados da fazenda é 4. Julgue a afirmação acima em certa ou errada. Para este problema devemos julgar a afirmação em certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de empregados é 4, percebe-se que o número de funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os funcionários receberam a mesma quantidade de ambas as mudas. O que esse problema tem haver com mdc? É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 180 e 84, estamos descobrindo a quantidade máxima de funcionários para os quais as mudam podem ser repartidas igualmente. Veja como! Calculando o mdc(84,180). 180 = 2 2 x 3 2 x 5 84 = 2 2 x 3 x 7 m.d.c.(84,180) = 2 2 x 3 = 12. Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 = 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada funcionário receberia 15 e 7 mudas, só exemplificando! Portanto, a afirmação está ERRADA Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de madeira que medem 60cm, 80cm e 100 cm de comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las SENA Cursos e Concursos ( Página 12

13 em pedaços iguais de maior comprimento possível. Qual é a medida procurada? Solução: Para dividir em pedaços iguais como maior comprimento possível, precisamos calcular p M.D.C. entre 60, 80 e 100. Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = , , , , 5 3 1, 5 5 1, 1 Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6. Portanto cada pedaço deverá ter comprimento de 20 cm 12 - Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 centímetros, quanto deve medir cada pedaço? Solução: Para cortar em pedaços iguais com o maior comprimento possível, precisamos calcular o M.D.C. entre 196 e 140. (B) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números: 210, , , , , , 1 Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = Portanto, MMC (210, 462) = Portanto cada pedaço deverá medir 28 cm 13 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: (A) 18 e 60 (B) 210 e 462 (A) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível: 18, , , , 5 3 1, 5 5 1, 1 210, , , , , , 1 Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível. Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político: SENA Cursos e Concursos ( Página 13

14 90, 108, , 54, , 27, , 27, , 27, , 9, 3 3 5, 3, 1 3 5, 1, 1 5 1, 1, 1 Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 x 3 x 3 = 18. Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos: 90: 18 = 5 aparições 108/18 = 6 aparições 144 : 18 = 8 aparições Somando as aparições de cada um, encontramos = 19 aparições José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado? Se José arruma os detergentes em grupos de múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos: 12, 15, , 15, , 15, 5 3 1, 5, 5 5 1, 1, 1 Temos que multiplicar os números que apareceram à direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. Vejamos os múltiplos de 60: Divisibilidade por 3 - Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3. Divisibilidade por 5 - Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5. Divisibilidade por 7 - Para saber se um determinado número é divisível por 7, deve-se seguir os seguintes passos: Considerar o último algarismo do número e o dobro deste algarismo deve ser subtraído dos outros números. Se o número obtido for divisível por 7, sabemos que o número inicial também é divisível por 7. Exemplo: x 2 = =21 21 é divisível por 7, então 315 também é divisível por 7. Divisibilidade por 11 - Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par subtraída da soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11. Exemplo: Ordem par: > =22 Ordem ímpar: > = =11 11 é divisível por 11, então também é divisível por Conjuntos dos números racionais(q): Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são números racionais: Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são números racionais: M(60) = {0, 60, 120, 180, 240,...} Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 que se encaixa na quantidade de detergentes do supermercado de José é o 120. Mas falta ainda acrescentarmos aquele detergente que sempre restava, portanto, podemos concluir que no supermercado de José havia 121 detergentes. Observe a que todo número racional pode ser escrito na forma, com *. b Assim, escreveremos: Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2 - Um número é divisível por 2 se ele for par, ou seja, se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Perceba que a restrição *, nos obriga a termos SENA Cursos e Concursos ( Página 14

15 pois a, a divisão de a por b, só tem significado b com. A designação racional, surgiu porque a b pode ser vista como uma razão entre os inteiro a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira letra da palavra quociente. Os números racionais podem ser encontrados de três maneiras: - Número inteiro: Se b = 1, temos a, o O que implica que Z é subconjunto de Q. Assim: - Número decimal exato: Dado um número racional a b a representação decimal desse número é obtida dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma quantidade finita de casas decimais após a vírgula, este resultado é um número decimal exato. Exemplos: Mas isso não significa que os racionais preenchem toda a reta. Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Por exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo retângulo, de catetos medindo uma unidade, é um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em Q, uma equação como x 2 = 2 não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional a b tal que. Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número não racional ou irracional Conjunto dos números irracionais(i): São os números que não podem ser escrito na forma fracionária, com numerador inteiro e denominador inteiro ( diferente de zero). São as decimais infinitas e não periódicas. Exemplos: - Número decimal periódico ou dízima periódica: É o resultado da divisão a, que possui uma quantidade b infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. Este resultado é chamado dedízima periódica, e a fração a que gera a dízima, é a fração geratriz. b Exemplos: Representação de alguns irracionais na reta: No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as propriedades que valem para os inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a divisão por zero é impossível! Geometricamente temos: = Conjunto dos números reais(r): Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais R. Simbolicamente: Os números racionais não eram suficientes para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os pontos da reta correspondente aos números eram preenchidos com os números racionais. não Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre dois racionais sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais 1 2 = 0,5 Podemos encontrar infinitos racionais; entre eles 5 8 = 0,625. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta. Por isso dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de escala. SENA Cursos e Concursos ( Página 15

16 O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos vistos até aqui: Também usaremos a notação: Será muito útil percebermos que se tivermos x R, e escrevermos: Assim com os números reais toda equação do tipo x a 2 com a N, pode ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos. Existem outros números além dos reais, a raiz de índice par e radicando negativo é impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao quadrado, dê um número negativo. Assim, 4 não é um número real; é um número complexo ou imaginário. Podemos usar as seguintes notações para alguns subconjuntos de R: R + real positivo ou nulo R* + real positivo R_ real negativo ou nulo R*_ real negativo O mesmo pode ser feito com Z e Q Relação de ordem em R: Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b poderá ocorrer uma, e somente uma, das relações: a = b ou a > b ou a < b. A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real b.geometricamente se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. x > 0 x é positivo x < 0 x é negativo x 0 x é não positivo x 0 x é não negativo Algumas propriedades importantes das desigualdades: As simbologias <, >, chamaremos de sentido da desigualdade. Vejamos algumas propriedades muito úteis: 1ª) Podemos adicionar membro a membro, desigualdades de mesmo sentido: -2<x<3 e 1<y<5-2+1 < x+y < 3+5 2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a ambos os membros de uma desigualdade sem alterála ou transpor um termo de um membro para o outro, trocando o sinal deste termo. x+7 < 9 x > 9-7 x > 2 que é o mesmo que fazer x+7 < 9 x +7-7 > 9-7 x > 2 3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma desigualdade por um real diferente de zero, mas com o seguinte cuidado: -Se o número for positivo, conservamos o sinal da desigualdade; -Se o número for negativo invertemos o sinal da desigualdade. Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 15 > INTERVALOS REAIS A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b. Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. Certos subconjuntos de R, determinados por desigualdades, tem grande importância na Matemática; são os intervalos reais. SENA Cursos e Concursos ( Página 16

17 B A) e de complementar também podem ser efetuadas desta maneira. Intervalos infinitos 1.6 NUMEROS COMPLEXOS Considera-se como intervalo ], [ = R. Observações: 1) A bolinha fechada ( ) indica que o extremo do intervalo pertence a ele. A bolinha aberta ( ) indica que o extremo do intervalo não pertence a ele. 2) e, simbolizam apenas a ausência de extremidades pela esquerda ou pela direita no intervalo, sendo sempre abertos. Portanto e não são números reais! 3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos números reais. Assim os seguintes exemplos não são intervalos: O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos Na Forma Trigonométrica Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas Operações com intervalos Estudamos em tópicos anteriores que algumas operações podem ser realizadas com conjuntos. Como os intervalos reais são subconjuntos de R, também podemos realizar operações com intervalos. Exemplo: Dados os conjuntos A = { x R 3 x 2 } e B = { x R 0 x 8}, para efetuar as operações representamos cada conjunto em retas reais paralelas. Vamos exemplificar as operações de união e interseção, mas as operações de diferença (A B ou Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força. Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta. SENA Cursos e Concursos ( Página 17

18 Quando z = a+bi: 1) Argumento de z é o ângulo 2) Módulo de z é o comprimento O argumento geral de z, é ou ; O argumento principal é o valor de no intervalo ou z = (cos (90 +k360 )_+ i sen (90 +k360 )) com k inteiro. 3. A partir das relações trigonométricas 1 obtêm-se: Portanto: Para o complexo z = a + bi Na figura, OP representa um vetor e pode ser identificado com um número complexo z. A representação trigonométrica 2 de um complexo z é Com o argumento principal Ou é Com o argumento geral Esta última expressão é importante para o cálculo das raízes de z. 4. O complexo z = 1 + i é representado na figura abaixo com: Da relação consegue-se o valor de Exemplos: 1. Se z é um número real, o ponto P pertence à reta das abscissas (horizontal) e z = 1 Isto é: z = 1 na forma trigonométrica é z = cos k360 _+ i sen k360, com k inteiro. Isto quer dizer que existem muitas representações trigonométricas para z, correspondentes a giros dados em torno da origem. Neste caso, z = 1 pode ser representado por: z = cos 0_+ i sen 0 z = cos 360 _+ i sen 360 z = cos 720 _+ i sen 720 z = cos 1080 _+ i sen Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à reta das ordenadas (vertical) e z = 1 Isto é: z = i na forma trigonométrica é: Então De uma forma geral onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de um número inteiro de voltas em torno da origem O. Cada volta corresponde a 360. O módulo Esta forma corresponde à menor determinação para Exercícios Resolvidos 16 - Colocar o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica. SENA Cursos e Concursos ( Página 18

19 (B) 17 Escreva na forma trigonométrica z = - 2i (C) Resolução (D) 18 Escreva na forma trigonométrica z = - 4 Resolução (E) 19 - Sejam os complexos z 1 =(2x+1) + yi e z 2 =-y + 2i Determine x e y de modo que z 1 +z 2 = 0 Temos que: z 1 + z 2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: (F) 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/ Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos: Na Forma Algébrica (A) 4+3i B) 2-2i (C) 3+i (D) 3 (E)2i (F) a+bi Solução. Aplicando a fórmula do módulo e identificando os valores de cosseno e seno, temos: (A) Número complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Assim, o conjunto dos números complexos é uma extensão do conjunto dos números reais. Todo SENA Cursos e Concursos ( Página 19

20 número complexo pode ser escrito na forma a + bi, chamada de forma algébrica ou forma normal, onde a é chamado de parte real e bi, de parte imaginária. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão estão bem definidas para o conjunto dos complexos, assim como para os números reais. 4. Divisão Para realizar a divisão de dois números complexos precisamos introduzir o conceito de conjugado de um número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z = a - bi. Agora podemos definir a operação de divisão para números complexos. Considere dois números complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + di. Vamos analisar como se dá cada uma das operações citadas para os elementos desse conjunto. 1. Adição z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Observe que basta somar a parte real de um com a parte real do outro e proceder da mesma forma com a parte imaginária. Exemplo: Dados os números complexos z 1 = 5 + 8i, z 2 = 1 + 2i e z 3 = 2 3i, calcule: a) z 1 + z 2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = i b) z 2 + z 3 = (1 + 2i) + (2 3i) = (1 + 2) + (2 3)i = 3 i 2. Subtração A subtração é feita de forma análoga. Observe: z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Exemplo: a) Vamos fazer os cálculos do numerador e do denominador separadamente: (5 + 8i)(1-2i) = [5 1-8(-2)] + [5 (-2) + 1 8]i = 21-2i Na multiplicação dos denominadores basta aplicar a seguinte propriedade: z z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 Assim, (1 + 2i)(1-2i) = = 5 Logo, Exemplo: a) (5 + 8i) (1 + 2i) = (5 1) + (8 2)i = 4 + 6i b) (1 + 2i) (2 3i) = (1 2) + [2 ( 3)]i = 1 + 5i 3. Multiplicação Como sabemos, i 2 = 1. Logo, Z 1.Z 2 =(a+bi).(c+di) = adi+cbi+bdi 2 =ac+adi+cbi-bd Agrupando os termos semelhantes, obtemos: Z 1.Z 2 =(a+bi).(c+di) = (ac bd) + (ad + bc) i Exemplo: a) (5+8i) (1+2i) = ( )+( )i (5+8i) (1+2i) = (5-16) + (10+8)i = i b) (1+2i) (2-3i) = [1 2-2 (-3)] + [1 (-3) + 2 2]i (1+2i) (2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i b) Representação no Plano Por volta do século XV, os matemáticos tinham um único pensamento: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Um número negativo não é quadrado de nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um número negativo. Raízes quadradas de números negativos continuavam aparecendo, e o que mais preocupava os matemáticos da época era que essas raízes, sendo desenvolvidas de acordo com as regras algébricas, forneciam resultados satisfatórios, que não podiam ser obtidos de outra forma. Foi através de estudos relacionados aos matemáticos Wessel, Argand e Gauss, que muitos resolveram associar os números a e b de um complexo a coordenadas de um ponto no plano, criando assim uma representação geométrica para um complexo. SENA Cursos e Concursos ( Página 20

21 A criação dos números complexos revolucionou, de certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos para obtenção de resultados envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, até então um mistério. Solução. Representando cada número complexo como pontos no plano Argand-Gauss, temos: Os complexos são formados por uma parte real (x) e outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma algébrica: z = x + yi. O número complexo pode ser representado no plano através de um ponto Q de coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte real e sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto Q deve receber o nome de afixo ou imagem geométrica de z Igualdade de números complexos Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se: Na forma trigonométrica com argumento geral, sendo: Representando geometricamente um número complexo a) z = 1 + i, A(1,1) b) z = 3 + 2i, B(3,2) c) z = i, C(-2,4) d) z = -3-4i, D(-3,-4) e) z = 2 + 2i, E(2,2) f) z = 4i, F(0,4) g) z = -5, G(-5,0) Observe que a igualdade exige que r = r mas não exige que, mas, sim, que os vetores coincidam, na mesma direção, módulo e sentido Simétrico de um Número Complexo O simétrico do número complexo z = a + ib é o número -z = - (a + ib), ou seja -z = (-a) + i(-b). Corresponde a uma rotação de 180º do afixo de z em torno da origem. Em notação trigonométrica: Exercícios Resolvidos 21 - Represente os seguintes números no plano: (A) P 1 = 2+3i (B) P 2 = 4-i (C) P 3 = -3-4i (D) P 4 = -1+2i (E) P 5 = -2i SENA Cursos e Concursos ( Página 21

22 Conjugado de um número complexo O conjugado do complexo z = a + ib é o número complexo denotado por z = a - ib Produto de complexos Seja Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das abcissas. Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos, Caso 1: O produto de um complexo z por um número real K Se K > 1, então esta operação corresponde a uma ampliação vetor z. Exemplos: Se 0 < K < 1, esta operação corresponde a uma contração do vetor z. Se K < 0, esta operação corresponde a uma ampliação ou contração, seguida de uma rotação de 180º, pois z passará para a semirreta oposta, que contém (-z). Exemplo: Inverso de um número complexo Já vimos que, sendo o seu inverso é onde: Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um imaginário puro. Observe que: 1) o argumento de z -1 é o mesmo argumento de: 2) o módulo é o inverso do módulo de z, pois como Então: É preciso, neste momento, relembrar a expressão trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos (ou ângulos) 3 : Logo: Exemplo: SENA Cursos e Concursos ( Página 22

23 Voltando: O produto do complexo z por um imaginário puro corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido. Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte abaixo: Exercícios Resolvidos Caso 3: O produto de um complexo genérico z por outro complexo w 22 Ache o produto dos números complexos O produto do complexo z por outro complexo w corresponde a u seguido de uma rotação de ângulo igual ao argumento de w (no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido. Observe, na figura a seguir: o vetor tem módulo r e Potenciação com expoente inteiro Vamos nos restringir à potências com expoente inteiro, embora, nos complexos seja possível definir potência com base e expoente complexo. Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro. Tem-se: z n = z. z..... z (n vezes), n natural. Como o produto de dois complexos corresponde à soma dos argumentos, temos: Demonstra-se, por indução que: Ao ser multiplicado por outro vetor com ângulo ele gira, sofre uma rotação de ângulo : Esta é a chamada Fórmula de Moivre. SENA Cursos e Concursos ( Página 23

24 Radiciação Definição: Dado z, complexo, chamamos raiz enésima de z, a todo w complexo tal que w n = z. Exemplo: , -2, 2i, -2i são as raízes quartas do número complexo 2. i, -i são as raízes quadradas do número complexo Perguntamos: quantas são as raízes enésimas de um número complexo e como podemos determiná-las? Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, a equação complexa wn = z com z e w complexos, tem n raízes. sen t = -1/2 1/2 = - 2 1/2 / 2 cos t = 1 / 2 1/2 = 2 1/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315 Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que: z = 2 1/2 ( cos i sen 315 ) 25 - Efetuar a divisão de z 1 = 2 3i por z 2 = 1 + 2i. Resolução Devemos encontrar um número complexo z 3 = a + bi tal que. Isto significa que a raiz enésima de um complexo, tem n raízes. Assim: = a + bi Sendo as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de Moivre. Na apresentação da Fórmula de Moivre para Radiciação, você encontra a demonstração: z tem n raízes diferentes, obtidas pela fórmula de Moivre para a radiciação: 2 3i = (a + bi) (1 + 2i) 2 3i = a + 2ai + bi + 2bi 2 2 3i = a + 2ai + bi 2b 2 3i = (a 2b) + (2a + b)i Substituindo em a 2b = 2, temos: Assim: Exercícios Resolvidos Então 23 - Os módulos de z 1 = x /2 i e z 2 = (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, z 1 = (x ) 1/2 = z 2 = [(x-2) } 1/2 Em decorrência, x = x 2-4x = -4x x = 20, logo x= Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i 26 - Escrevendo o complexo valores do módulo e do argumento. 1 i z 1 i 3, calcule os Solução. Escrevendo o numerador e o denominador na forma complexa e dividindo, temos: (A) Efetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i 2 = (-i -i 2 ) = 1 i Para a forma trigonométrica, temos que: (B) r = (1 + 1) 1/2 = 2 1/2 SENA Cursos e Concursos ( Página 24

25 Logo, No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a 5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7. A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior. Observe os exemplos:.1.7 SEQUÊNCIAS Progressão aritmética Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão. Observe os exemplos: 50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10. 3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2. -8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão , 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão , 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão , 6, 6, 6,... é uma PA de infinitos termos, com razão 0. Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA. 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA. 145, 159, 173, 187, 201 Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA. 32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11 *Símbolos usados nas progressões Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a 1, o segundo termo por a 2, o terceiro termo por a 3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por a n. Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois: a 2 a 1 = = 7 a 3 a 2 = = 7 a 4 a 3 = = 7 a 5 a 4 = = 7 Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois: a 2 a 1 = = -5 a 3 a 2 = = -5 a 4 a 3 = 5 10 = -5 *Classificação das progressões aritméticas Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva. Exemplo: (7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4 Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa. Exemplo: (50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10. Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero. Exemplo: Veja alguns exemplos Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a 1 = 2, a 2 = 12, a 3 = 22 e a 4 = 32 Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a 5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. Exercícios Resolvido 27 - Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA. SENA Cursos e Concursos ( Página 25

26 5x ( 3 + x ) = 2x x 5x 3 x = 2x +11 5x 5x x 2x + 5x = x = 14 x = 14/7 = 2 Fórmula do termo geral da PA a n = a 1 + (n 1).r 28 - Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...) r = 4 a 1 = 9 n = 61 a 61 =? a 61 = 9 + (61 1).4 a 61 = = = Determinar a razão da PA (a 1, a 2, a 3,...) em que a 1 = 2 e a 8 = 3 a n = a 1 + ( n 1 ).r a 8 = a 1 + (8 1 ).r a 8 = a 1 + 7r (1,_,_,_,_,_,25) a 7 = a 1 + 6r 25 = 1 + 6r 6r = 24 r = 24/6 r = 4 (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) Representação genérica de uma PA PA de três termos: (x, x + r, x + 2r) ou (x r, x, x + r), em que a razão é r PA de quatro termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x 3r, x r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r *Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA 3 = 2 + 7r 7r = 3 2 7r = 1 r = 1/ Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136) a 1 = 4 a n = 136 r = 7 4 = 3 a n = a 1 + (n 1).r 136 = 4 + (n 1) = 4 + 3n 3 3 n = n = 135 n = 135/3 = 45 termos 31 - Determinar a razão da PA tal que: a 1 + a 4 = 12 e a 3 + a 5 = 18 a 4 = a 1 + (4 1).r a 5 = a 1 + 4r a 4 = a 1 + 3r a 1 + a 1 + 3r = 12 a 1 + 2r + a 1 + 4r = 18 2a 1 + 3r = 12 2a 1 + 6r = 18 3r = 6 r = 6/3 = 2 a 3 = a 1 + (3 1).r a 3 = a 1 + 2r 32 - Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem. Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25. Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: taí.. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss ( ). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2, com o penúltimo, 99, é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3, com o antepenúltimo, 98, é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos = = = = 101 Como são possíveis cinquenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que: = = 5050 Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer: SENA Cursos e Concursos ( Página 26

27 Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...). a 30 = a 1 + (30 1).r a 30 = a r a 30 = = = (n 1) = n 7 7n = n = 196 n = 196/7 = Progressão geométrica Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...). a n = 2 + (n 1).8 a n = 2 + 8n 8 a n = 8n 6 Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134). Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão. Observe estes exemplos: 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2. 5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão , 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10 Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG. 2, 12, 72, 432, 2592 Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG. 4,20,100,500 Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG. 3,30,300,3000,30000, a 6 = Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG. -90,270,-810,2430,-7290 Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG. q = 30/180 = 3/18 = 1/6 A razão é 1/6 Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300. Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...). O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105. O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294. Exercícios Resolvidos 33 - Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...). SENA Cursos e Concursos ( Página 27

28 Resolução: 36 - Determinar a razão da PG tal que: 34 - Determinar a razão da PG tal que: Resolução: Representação genérica de uma PG: a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q; (x/q, x, xq), com razão q, se q 0. b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,..., 1/256). Resolução: Soma dos n primeiros termos de uma PG: Sendo S n a soma dos n primeiros termos da PG (a 1, a 2, a 3,... a n,...) de razão q, temos: Se q = 1, então S n = n.a Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,...). SENA Cursos e Concursos ( Página 28

29 (E) no mínimo (PUC-SP) - Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já tem emprego? 01 - Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que e Se o conjunto é igual a: (A) {1, 4, 5} (B) {0, 2, 3, 5} (C) {1, 2, 3, 4} (D) {1, 2, 3, 4, 5} (E) {0, 2, 4, 5, 6} 02 (UFRN) - Se A, B e C são conjuntos tais que: (A) {4,5} (B) {6, 7} (C) {4, 5, 6} (D) {5, 6, 7} (E) {4, 5, 6, 7} Exercícios Propostos e então, C é igual 03 (U.UBERABA) - No diagrama, a parte hachurada representa: (A) 60% (B) 40% (C) 30% (D) 24% (E) 12% 06 (CESESP) - Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos leem o jornal X e 60 % leem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos. (A) 80% (B) 14% (C) 40% (D) 60% (E) 48% 07 (USP) - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: A Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; B Quando chove de manhã não chove à tarde; C Houve 5 tardes sem chuva; D - Houve 6 manhãs sem chuva. Então n é igual a: (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) (CESGRANRIO) - Ordenando os números racionais, e, obtemos: (A) (B) (C) (D) (E) 04 - Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é? (A) exatamente 6. (B) exatamente 2. (C) no mínimo 6. (D) no máximo 5. (A) p < r < q (B) p < q < r (C) r < p < q (D) q < r < p (E) r < q < p 09 (UFJF) - Na figura abaixo estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Aposição do número real x.y é: (A) à esquerda do zero (B) entre zero e x (C) entre x e y (D) entre y e 1 (E) à direita de 1 10 (PUCCAMP) - Numa escola de música, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes SENA Cursos e Concursos ( Página 29

30 estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo feminino que estudam violão são apenas 5% do total. Nessas condições, escolhendo-se uma matrícula ao acaso qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo masculino e estudante de teclado? (A) 2/5 (B) 3/10 (C) ¼ (D) 1/5 (E) 1/ Uma indústria lançou um novo modelo de carro que não teve a repercussão esperada. Os técnicos identificaram 3 possíveis problemas: design pouco inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preço mais elevado em relação aos modelos similares do mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado: IV - 25% são homens solteiros; V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; VI - 45% são indivíduos solteiros; VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de: (A) 6% (B) 7% (C) 8% (D) 9% (E) 10% 14 (UNIRIO) - Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados: - 28% dos funcionários são mulheres; - 1/6 dos homens são menores de idade; - 85% dos funcionários são maiores de idade. Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? Qual conclusão é verdadeira: (A) Como a quantidade de pessoas que não encontraram problemas é maior do que a daquelas que encontraram os 3 problemas, a maioria dos entrevistados gostou do modelo. (B) Mais da metade dos pesquisados achou o preço elevado. (C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas. (D) Necessariamente, quem encontrou problema em A também encontrou problema em D. (A) 30% (B) 28% (C) 25% (D) 23% (E) 20% 15 (UERJ) - um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo: 12 (PUCMG) - Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é: (A) 20 % (B) 40 % (C) 60 % (D) 75 % (E) 140 % 13 (UNIRIO) - Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que: I - 44% têm idade superior a 30 anos; II - 68% são homens; III - 37% são homens com mais de 30 anos; Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) UFSM) - Numa prova de vestibular, ao qual concorreram candidatos, uma questão SENA Cursos e Concursos ( Página 30

31 apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as três afirmativas? (A) 360 (B) 490 (C) 720 (D) 810 (E) (UERJ) - Três candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo público de uma determinada comunidade. A tabela a seguir resume o resultado de um levantamento sobre a intenção de voto dos eleitores dessa comunidade. 19 (UFRN) - Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não iam à praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que frequentavam ambas as praias era de: (A) 20% (B) 35% (C) 40% (D) 25% 20 (EN) - Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} e as proposições: I. {A} B II. {x} A III. A B IV. B A V. {x, A} B As proposições falsas são: (A) I,III e V (B) II, IV e V (C) II, III, IV e V (D) I, III, IV e V (E) I, III e IV Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a percentagem de eleitores consultados que não votariam no candidato B é: 21 (CN) - Considere o diagrama onde A, B, C e U são conjuntos. A região hachuriada pode ser representada por: (A) 66,0% (B) 70,0% (C) 94,5% (D) 97,2% 18 (UFG) - A afirmação "Todo jovem que gosta de matemática adora esportes e festas" pode ser representada segundo o diagrama: M = { jovens que gostam de matemática }; E = { jovens que adoram esportes }; F = { jovens que adoram festas } (A) (A B) (A C) - (B C) (B) (A B) (A C) - (B C) (C) (A B) (A C) (B C) (D) (A B) - (A C) ( B C) (E) (A - B) (A - C) (B - C) 22 (PUC) - Se A = e B = { }, então: (A) A (B) A B = (C) A = B (D) A B = B (E) B A 23 (CN) - Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabese que: 40% consomem arroz, 30% consomem macarrão, 15% consomem feijão e arroz, 20% consomem feijão e macarrão, 60% consomem feijão. SENA Cursos e Concursos ( Página 31

32 O percentual correspondente às famílias que não consomem esses três produtos, é: (A) 10% (B) 3% (C) 15% (D) 5% (E) 12% 24 - Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas informações, com essa redução, qual o número de pessoas sem qualquer um desses vícios? (A) 102 (B) 104 (C) 106 (D) 108 (E) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 alunos não tem a mãe professora e 5 alunos tem pai e mãe professores. Qual é o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos. (A) 125 (B)135 (C) 145 (D) 155 (E) Seja R o conjunto dos números reais, N o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos números racionais. Qual a afirmativa falsa? Q N R (A) (B) Q N R (C) Q N R (D) Q N Q (E) Q R { } 27 (PUC) - Um número racional qualquer: (A) tem sempre um numero finito de ordens (casas) decimais. (B) tem sempre um numero infinito de ordens (casas) decimais. (C) não pode expressar-se em forma decimal exata. (D) nunca se expressa em forma de uma decimal inexata. (E) nenhuma das anteriores Resolva: (A) , (30) , Desenvolva utilizando produtos notáveis: (A) (B) Escreva os intervalos reais, utilizando colchetes, formados pelos números. (A) maiores que 3 (B) menores que 1 (C) maiores ou iguais a Represente, na reta real, os intervalos. (A) [2, 8] (B) [ 6, 1[ (C) {x є IR / 2 < x < 5} (D) c) {x є IR / 3 < x 7} (E) [0, + [ (F) {x є IR / x 1} (G) {x є IR / 2 x 2} 32 - Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8,12,14}; B = {5,10,15, 20, 25} e C = {1, 2, 3,18, 20} e o conjunto vazio. É correto afirmar que: (A) B C = (B) A - C = {-6,1, 2, 4, 5} (C) A C = {1, 2, 3, 4, 8,12,14, 20 } (D) (A - C) (B - C) = (E) A C = {3, 6,11, 20, 34 } 33 - Da operação (A B) (B A): (A) {2} (B) Ø (C) {1, 4} (D) {1, 4, 0} (E) Nenhuma das anteriores 34 - Dado que A = {2,4,6} e B = {2,3,5}. Obter n(a B), ou seja, o número de elementos da união entre A e B. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de: (A) 25%. (B) 30%. SENA Cursos e Concursos ( Página 32

33 (C) 35%. (D) 40% Oitenta alunos de uma sala de aula responderam às duas questões de uma prova, verificando-se os seguintes resultados: I - 30 alunos acertaram as duas questões. II - 52 alunos acertaram a 1ª questão. III - 44 alunos acertaram a 2ª questão. (B) 24 (C) 11 (D) 8 (E) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: Nessas condições, conclui-se que: (A) Nenhum aluno errou as duas questões. (B) 36 alunos acertaram somente uma questão. (C) 72 alunos acertaram pelo menos uma questão. (D) 16 alunos erraram as duas questões. (E) Não é possível determinar o número de alunos que erraram as duas questões Se A B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A pode ser: (A) {10} (B) {1} (C) {10, 23, 12} (D) {15, 12} {13,12} (E) {10, 23, 12, {1,2}} 38 - Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n³. O número de elementos do conjunto das partes de X é: (A) 64 (B) 128 (C) 256 (D) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é: (A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15 (E) estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus, 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: (A) 29 (A) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? (B) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? (C) Quantos não consumiram a cerveja S? (D) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 42 - Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculinos não fumam? 43 - Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = { 0, 1, 2, 3, 4,...} P = { x IN / 6 x 20 } A = { x P / x é par } B = { 6, 8, 12, 16 } C = { x P / x é múltiplo de 5 } O número de elementos do conjunto (A B) C é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(a) = 28, n(b) = 21, n(c) = 20, n(a B) = 8, n(b C) = 9, n(a C) = 4 e n(a B C) = 3. Assim sendo, o valor de n((a U B) C) é: (A) 3 (B) 10 (C) 20 (D) A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A B tem 10 elementos e AUB tem 48 elementos. Então o número de elementos de B A é: (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) Num grupo de 61 pessoas 18 gostam de seriados, mas não gostam de telenovelas; 5 pessoas não gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% das pessoas que gostam de seriados também gostam de telenovelas. O total de pessoas do grupo que SENA Cursos e Concursos ( Página 33

34 gostam de telenovelas, mas não gostam de seriados é: (A) 30 (B)32 (C)34 (D) Considere os conjuntos representados abaixo: Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: (A) P, Q e R (B) (P Q) R (C) (P U Q) R (D) (P U R) P (E) (Q R) U P 48 (FATEC) - Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e y=16 0,125, é verdade que: (A) x = y (B) x > y (C) x y = 2 (D) x - y é um número irracional. (E) x + y é um número racional não inteiro. 49 (EXTRA) - Dado que r é um número racional e Y um número irracional, é verdade que: (A) x Y é racional (B) Y2 é racional (C) x Y pode ser racional (D) x Y é irracional (E) x + Y é racional 50 (PUC-RIO) - Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores? (A) 0 (B)10 (C) 20 (D) 30 (E) (UFF) - Segundo o matemático Leopold Kronecker ( ), Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: (A) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. (B) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. (C) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. (D) Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. (E) A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um número natural (a adição é fechada no conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural). Assinale a afirmação verdadeira: (A) Os números naturais são fechados em relação à divisão. (B) Os números inteiros são fechados em relação à adição. (C) Os números inteiros são fechados em relação à divisão. (D) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. (E) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional Na semana cultural de um colégio serão exibidas sete peças teatrais distintas, uma em cada dia. Sabese que três dessas peças são do gênero comédia, duas do gênero tragédia e duas do gênero drama. De quantas maneiras é possível organizar a programação teatral de forma que as peças de mesmo gênero sejam exibidas em dias consecutivos? (A) (B) (C) 120 (D) 144 (E) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40 erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova foi: (A) 43 (B) 48 (C) 52 (D) 56 (E) Num laboratório foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. SENA Cursos e Concursos ( Página 34

35 Ao final de um minuto do início das observações, a população era formada por 1 elemento; ao final de 2 minutos, existiam 4 novos elementos; ao final de 3 minutos, existiam mais 4 novos elementos; e assim por diante. Nesse ritmo, o número médio de vírus no período de 1 hora foi de: (A) 117,5 (B) 118 (C) 118,5 (D) 119 (E) (EEAer/CFS B) Dado x R, para que o número z = ( 2 xi )( x + 2i ) seja real, o valor de x pode ser: (A) 4. (B) 0. (C) 1. (D) 2. (A) 29 (B) 24 (C) 11 (D) 8 (E) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 0 61 (PUC-SP) - Se A = e B = { }, então: 57 (USP-SP) - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: A. choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; B. chove de manhã não chove à tarde; C. houve 5 tardes sem chuva; D. houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)10 (E) pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que onúmero de pessoas que gostavam de B era: I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: (A) 48 (B) 35 (C) 36 (D) 47 (E) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11,Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: (A) A 0 B (B) A c B = i (C) A = B (D) A 1 B = B (E) B d A 62 (FGV-SP) - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A 1B é 30, o número de elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de A 1 B 1 C é 15. Então o número de elementos de A 1 (B c C) é igual a: (A) 35 (B) 15 (C) 50 (D) 45 (E) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: (A) 2 ou 5 (B) 3 ou 6 (C) 1 ou 5 (D) 2 ou 6 (E) 4 ou De acordo com os dados abaixo informe na sequência o que é verdadeiro (V) ou Falso (F) a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133? (A) FVVF (B) VVFV (C) FFVV (D) VFVF (E) FFFV SENA Cursos e Concursos ( Página 35

36 65 - O número é divisível por 6? 66 - O número é divisível por 9? 67 (EsPCEx) - No número 34n27, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível por 9? 68 (CFS) - É divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente o número: (A) 235 (B) 520 (C) 230 (D) 510 (E) Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então cada pedaço deve medir: (A) 4m (B) 6m (C) 14m (D) 15m 70 - Dispomos de 7 varas de ferro de 6 m de comprimento; 12 varas de ferro de 9,6 m de comprimento e 13 varas de ferro de 12 m de comprimento. Desejando-se fabricar vigotas para laje pré-moldada, deve-se cortar as varas em pedaços de mesmo tamanho e maior possível, sabendo também que para a construção de cada vigota são necessários 3 pedaços. Nessas condições, quantas vigotas obteríamos? (A) 96 (B) 32 (C) 87 (D) O MDC de dois números A e B é 2 x Sendo A = 2 x z.7 e B = y.5 5.7, então o valor do produto x.y.z é (A) 20 (B) 80 (C) 60 (D) 40 (E) (CORREIOS) Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio de nylon. Esses rolos, medindo 450cm e 756cm serão divididos em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Sabendo que não deve haver sobras, quantos pedaços serão obtidos? (A) 25 (B) 42 (C) 67 (D) 35 (E) 18 60, na 3.ª. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados em equipes com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é igual a: (A) 7. (B) 10. (C) 12. (D) 28. (E) (PMSC1) Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi: (A) 74. (B) 88. (C) 96. (D) 102. (E) (SPTR/001) No almoço de confraternização de uma empresa estavam presentes 250 homens, 300 mulheres e 400 crianças. Em uma brincadeira foram formadas equipes compostas apenas de crianças, equipes apenas de mulheres e equipes somente de homens. Todas as equipes tinham o mesmo número de pessoas e foi feito de maneira que fosse o maior número possível. Em cada equipe havia um total de: (A) 10 pessoas. (B) 20 pessoas. (C) 30 pessoas. (D) 40 pessoas. (E) 50 pessoas. 76 (UEL) - Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente? (A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas. (B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas. (C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas. (D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas. (E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas. 73 (NCNB/001) Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144, na 2.ª e 77 (PUC) - A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma SENA Cursos e Concursos ( Página 36

37 pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. trigonométrica dos números complexos cujos afixos são os pontos B e D. Ela se manifesta de maneira súbita com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença. Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é: (A) 25 (B) 29 (C) 37 (D) 41 (E) Obtenha o produto w = z1. z2. z 3 onde: (A) (B) z z z z z z (cos160 i sen 160 ) 5(cos325 i sen 325 ) cos308 i sen308 3(cos14 4(cos 31 6(cos 43 isen31 ) isen14 isen Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura. ) ) 81. Determine a P. G. (an) em que\; a1 = 3 e an + 1 = 2. na 82 - Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ) Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem O lado de um triângulo equilátero mede 3m. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo equilátero e, assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos. 85 (PUC) - Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P. G. é chamada: (A) decrescente (B) crescente (C) constante (D) alternante (E) singular 86 - Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, ) tem-se a1 + a6 = 1025 e a3. a4 = Determine a razão da progressão geométrica O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a: (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 14 (E) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será: 80 - A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que BF 8, determine as formas algébricas e (A) 256 (B) 64 (C) 16 (D) 243 (E) 729 SENA Cursos e Concursos ( Página 37

38 89 (FIA) - Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = A soma dos oito primeiros termos é: (A) (B) -850 (C) 850 (D) 1700 (E) O valor de x, de modo que os números 3x 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) O centésimo número natural par não negativo é (A) 200 (B) 210 (C) 198 (D) Quantos números ímpares há entre 18 e 272? (A) 100 (B) 115 (C) 127 (D) Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local? (A) R$ 17,80 (B) R$ 20,00 (C) R$ 18,00 (D) R$ 18, Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro.em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas? A) 6 B) 8 C) 10 D) Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha? (A) 3000 (B) 1840 (C) 2187 (D) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel? (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 97 (UFMG) - Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é (A) 75% (B) 80% (C) 83,33% (D) 87,5% 98 - Um professor de educação física organizou seus 210 alunos para formar um triângulo. Colocou um aluno na primeira linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. O número de linhas é (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 30 (E) NRA 99 - (IBMEC SP) Um número triangular é um inteiro da forma, sendo n um inteiro positivo. Considere a tabela: Posição X... Triangular A soma dos algarismos de X é: (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 SENA Cursos e Concursos ( Página 38

39 100 - (Puc RS) Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu metros. (A) 55 (B) 66 (C) 165 (D) 275 (E) (UF CE) - A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8 termo dessa PA é: (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (E) (OSEC/SP) - Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado: (A) 1200 m. (B) 1180 m. (C) 1130 m. (D) 1110 m. (E) 1000 m. II - POLINÔMIOS Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Cada monômio é caracterizado por: 1. um coeficiente, que na equação acima é representado por a; 2. uma variável, que na equação é representada por x; e 3. um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que e o termo torna-se simplesmente a. Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma: A função constante, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear Como podemos notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios. Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, podemos, assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação. 2.1 Graus do Polinômio O grau de um termo de uma variável em um polinômio é o expoente dessa variável nesse termo. Por exemplo, em 2x³ + 4x² + x + 7, o termo de maior grau é 2x³; esse termo, e portanto todo o polinômio, é dito ser de grau 3. Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. Assim, O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal; O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo: - P(x) = x 3 - x 2 + 2x -3 temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x 3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele. - P(x) = x 3 - x 2 + 2x -3 é do 3º grau. - P(x) = 5x 0 = 5 grau zero. Exemplos: 9x 5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau. 8x 2 y 4 possui dois expoentes, então devemos somálos = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau. 19abc possui três expoentes, devemos somá-los = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau. Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele está com os termos semelhantes reduzidos se estiver escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é o do monômio que tiver o grau maior. SENA Cursos e Concursos ( Página 39

40 5x 4 + 3x 2 5 está escrito na forma reduzida e o monômio de maior grau é o 5x 4, então o polinômio será do 4º grau. x 2 + 4x x , possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará 4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau Operações com polinômios Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações a serem apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios Adição e Subtração Considere os polinômios 2x² + 5x 2 e 3x³ + 2x 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles. x 2 * (x 1) + 2x * (x 1) 6 * (x 1) (x³ x²) + (2x² 2x) (6x 6) x³ x² + 2x² 2x 6x + 6 reduzindo os termos semelhantes. x³ + x² 8x + 6 Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema: Adição ( 2x² + 5x 2) + ( 3x³ + 2x 1) eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal 2x² + 5x 2 3x³ + 2x 1 reduzir os termos semelhantes 2x² + 7x 3x³ 3 ordenar de forma decrescente de acordo com a potência Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe: Exemplo 1: 3x³ 2x² + 7x 3 Subtração ( 2x² + 5x 2) ( 3x³ + 2x 1) eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal 2x² + 5x 2 + 3x³ 2x + 1 reduzir os termos semelhantes 2x² + 3x 1 + 3x³ ordenar de forma decrescente de acordo com a potência 3x³ 2x² + 3x Multiplicação de polinômio por monômio Para entendermos melhor, observe o exemplo: (3x 2 ) * (5x 3 + 8x 2 x) aplicar a propriedade distributiva da multiplicação Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado. Verificando quociente * divisor + resto = dividendo 4x * (3x² + x 2) x³ + 4x² 8x Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja: Exemplo 2: 15x x 4 3x Multiplicação de polinômio por polinômio Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo: (x 1) * (x 2 + 2x - 6) Verificando quociente * divisor + resto = dividendo SENA Cursos e Concursos ( Página 40

41 (2x 5) * (5x 9) + ( 5) 10x² 18x 25x ( 5) 10x² 43x x² 43x + 40 Exemplo 3 Como diz o Teorema de D Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: P(3) = R * 3 10 = R = R = R R = 8 Portanto, o resto dessa divisão será 8. Exemplo 2 Verifique se x 5 2x 4 + x 3 + x 2 é divisível por x 1. Verificando quociente * divisor + resto = dividendo (3x² + x 1) * (2x² 4x + 5) + 0 6x4 12x³ + 15x² + 2x³ 4x² + 5x 2x² + 4x 5 6x4 10x³ + 9x² + 9x 5 Exemplo 4: Segundo D Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0. P(1) = (1) 5 2*(1) 4 + (1) 3 + (1) 2 P(1) = P(1) = 3 4 P(1) = 1 Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x 1. Exemplo 3 Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio P(x) = x 4 mx 3 + 5x 2 + x 3 por x 2 seja 6. Temos que, R = P(x) R = P(2) P(2) = 6 Verificando quociente * divisor + resto = dividendo (4x 5) * (3x² x + 2) + (2x + 7) 12x³ 4x² + 8x 15x² + 5x 10 + (2x + 7) 12x³ 19x² + 13x x x³ 19x² + 15x Divisibilidade por x a O teorema de D Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0. P(2) = 2 4 m* * m* * = m = 6 8m = m = m = 29 m = 29/8 Exemplo 4 Calcule o resto da divisão do polinômio 3x 3 + x 2 6x + 7 por 2x + 1. R = P(x) R = P( 1/2) R = 3*( 1/2) 3 + ( 1/2) 2 6*( 1/2) + 7 R = 3*( 1/8) + 1/ R = 3/8 + 1/ (mmc) R = 3/8 + 2/8 + 80/8 R = 79/ Dispositivo Prático de Briot-Ruffini Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero. Exemplo 1 Calcule o resto da divisão (x 2 + 3x 10) : (x 3). O dispositivo prático de Briot-Ruffini é uma ótima ferramenta para realizar a divisão de um polinômio qualquer por polinômios do tipo a + x ou a x. O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para fazer a divisão de polinômios. Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x), utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, é SENA Cursos e Concursos ( Página 41

42 fundamental que o polinômio Q(x) seja da forma x + u ou x u, isto é, deve ser um binômio de 1 grau. Através desse dispositivo, podemos identificar facilmente o quociente e o resto da divisão. Para utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, precisamos primeiramente analisar o polinômio do divisor e encontrar sua raiz. Em seguida, devemos identificar todos os coeficientes numéricos do polinômio do dividendo. Vamos montar o dispositivo de Briot-Ruffini através da raiz de Q(x) e dos coeficientes de P(x): O primeiro coeficiente de P(x) é o 5. Nós podemos reescrevê-lo na linha inferior: Vamos considerar a divisão entre os polinômios P(x) e Q(x), em que P(x) = a 1 x n + a 2 x n-1 + a 3 x n a n-1 x 1 + a n e Q(x) = x u. A raiz do polinômio Q(x) é dada quando ele é igualado a zero. Portanto, a raiz de Q(x) é: Q(x) = 0 x u = 0 x = u Os coeficientes de P(x) são a 1, a 2, a 3,, a n-1, a n. A montagem do dispositivo de Briot-Ruffini a partir da raiz de Q(x) e dos coeficientes de P(x) é dada da seguinte forma: Agora nós multiplicamos o 5 por 2 e somamos o resultado com o segundo coeficiente de P(x), o número 2, isto é, fazemos ( 2) = 8. O resultado 8 deve ser escrito embaixo do coeficiente 2. Repetimos o processo, multiplicamos 8 por 2 e somamos com o terceiro coeficiente de P(x), o número 3. O cálculo é dado por = 19. Escrevemos o resultado embaixo do coeficiente 3. Para montar o dispositivo de Briot-Ruffini, colocamos a raiz de Q(x) à esquerda e os coeficientes de P(x) à direita, além de reescrever o primeiro coeficiente na linha de baixo. Esse número será multiplicado por u e somado com o segundo coeficiente. O resultado será colocado abaixo do segundo coeficiente como vemos na imagem acima. Em seguida, esse valor encontrado será multiplicado por u e somado com o terceiro coeficiente, e o resultado será colocado abaixo do terceiro coeficiente. Repetimos esse procedimento até que se acabem os coeficientes. O último valor encontrado será o resto da divisão. Os demais valores encontrados na linha inferior serão os coeficientes do polinômio encontrado, lembrando que o último desses valores sempre acompanhará variável cujo expoente é zero. Vejamos como fazer a divisão de polinômios P(x) por Q(x) quando P(x) = 5x 3 2x 2 + 3x 1 e Q(x) = x 2. Primeiramente, vamos verificar a raiz de Q(x): Repetimos o procedimento pela última vez. Agora multiplicamos o 19 por 2 e somamos o resultado com 1, ou seja, nós fazemos ( 1) = 37. O resultado 37 é colocado embaixo de 1 e é o resto de nossa divisão. O polinômio resultante dessa divisão é determinado pelos números 5, 8 e 19. Estes são coeficientes desse polinômio. Como fora dito anteriormente, o último número (19) é acompanhado de x 0, o 8 é acompanhado de x 1, e o 5 é acompanhado de x 2. Portanto, o polinômio resultante da divisão de 5x 3 2x 2 + 3x 1 por x 2 é 5x 2 + 8x + 19, e o resto da divisão é r = 37. Vejamos outro caso, vamos dividir o polinômio P(x) = 3x 4 + 5x 3 11x 2 + 2x 3 por Q(x) = x + 3. Aplicando a explicação do método, temos: Q(x) = 0 x 2 = 0 x = 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 42

43 a = 16 b a = 16 6 a = 10 Os valores de a e b são respectivamente 10 e Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m. A divisão de P(x) = 3x 4 + 5x 3 11x 2 + 2x 3 por Q(x) = x + 3 resulta no polinômio 3x 3 4x 2 + x 1, e o resto é 0. Exercícios Resolvidos p(x) = x² mx + 6 p(6) = 0 6² m * = m + 6 = 0 6m = 42 *( 1) 6m = 42 m = 42/6 m = 7 42 (FEI/SP) - Determine A, B e C na decomposição 39 - Considerando que p(x) = 2x³ kx² + 3x 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? p(x) = 2x³ kx² + 3x 2k p(2) = 4 2 * 2³ k * 2² + 3 * 2 2k = k + 6 2k = 4 4k 2k = k = 18 *( 1) 6k = 18 k = 3 Temos que o valor de k é igual a Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25. p(x) = x³ + ax² + (b 18)x + 1 Sabendo que 1 é raiz temos: p(1) = 0 1³ + a * 1² + (b 18) * = a + b = 0 a + b = 16 Fazendo p(2) = 25 2³ + a * 2² + (b 18) * = a + 2b = 25 4a + 2b = a + 2b = 52 :(2) 2a + b = 26 a + b = 16 2a + b = 26 a = 16 b 2 * (16 b) + b = b + b = 26 b = b = 6 b = 6 Os valores de A, B e C são respectivamente iguais a 1/3, 1/3 e 2/3. 43 (FAAP/SP) - Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14 a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 14 a = 1 3ac = 6 3ac² + b = 15 ac³ + bd = 14 SENA Cursos e Concursos ( Página 43

44 Dessa forma: 3ac = 6 3 * 1 * c = 6 3c = 6 c = 2 3ac² + b = 15 3 * 1 * 2² + b = b = 15 b = 3 ac³ + bd = 14 1 * 2³ + 3 * d = d = 14 3d = d = 6 d = 2 3 2l = 0 2l = 3 2l = 3 l = 3/2 46 (FEI/SP) - Sendo p(x) = ax 4 + bx³ + c e q(x) = ax³ bx c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. p(0) = 0 a * b * c = 0 c = 0 p(1) = 0 a * b * = 0 a + b = 0 q(1) = 2 a * 1 3 b * 1 0 = 2 a b = 2 Os números a, b e c são respectivamente 1, 3 e (MACK/SP) - Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m 4)x³ + (m² 16)x² + (m + 4)x +4 seja de grau 2. P(x) tenha grau 2, devemos respeitar as seguintes condições: m 4 = 0 m = 4 m² 16 0 m² 16 m + 4 e 4 Para m = 4, temos: (4 4)x³ + (4² 16)x² + (4 + 4)x + 4 0x³ + 0x² + 8x + 4 8x +4 Para m = 4, temos ( 4 4)x³ + [( 4)² 16]x² + ( 4 + 4)x + 4 8x³ + 0x² + 0x + 4 8x³ + 4 Não existe valor para m de modo que o polinômio p(x) seja de grau (MACK/SP) - Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m 1)x³ (5n 2)x² + (3 2l) é nulo. Temos que a = 1, b = 1 e c = Quais são os valores de a e b considerando p(x) = 4x³ + ax² + bx 18, onde 2 é raiz de p(x) e p( 1) = 18. p(2) = 4 * (2)³ + a * 2² + b * = 4 * 8 + a * 4 + 2b 18 0 = a + 2b 18 4a + 2b = 50 p( 1) = 18 4 * ( 1)³ + a * ( 1)² + b * ( 1) 18 = 18 4 *( 1) + a * (1) b 18 = a b 18 = 18 a b = a b = 4 2m 1 = 0 2m = 1 m = 1/2 5n 2 = 0 5n = 2 n = 2/5 SENA Cursos e Concursos ( Página 44

45 Os valores de a e b são respectivamente 7 e (UESB) - Se P(x) = x n x n-1 + x n-2 + x 2 x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a: (A) 10 (B) 12s (C) 14 (D) 16 (E) (UBERL) - Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x 2 P(x 1) x 3 + 2x + 2, então P(1) é igual a: (A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) -2 (E) As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x 4 10x x x 24 por x 2 6x + 5, são: (A) -1 e 5 (B) -1 e -5 (C) 1 e -5 (D) 1 e 5 (E) 0 e (UESP) - Se o polinômio P(x) = x 3 + mx 2 1 é divisível por x 2 + x 1, então m é igual a: (A) -3 (B) -2 (C) -1 (D) 1 (E) (UEL) - Se o resto da divisão do polinômio p = x 4 4x 3 kx 75 por (x 5) é 10, o valor de k é: (A) -5 (B) -4 (C) 5 (D) 6 (E) Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x 4 12x x 2 + mx + n seja divisível por x 2 7x + 6. Então m + n é igual a: (A) 72 (B) 0 (C) -36 (D) 36 (E) 58 Exercícios Propostos Para que o polinômio 2x 4 x 3 + mx 2 nx + 2 seja divisível por x 2 x 2, devemos ter: (A) m = 1 e n = 6 (B) m = -6 e n = -1 (C) m = 6 e n = 1 (D) m = -6 e n = 1 (E) m = 6 e n = (UFSM) - Considere os polinômios, de coeficientes reais: A(x) = x3 + ax2 + bx + c B(x) = bx3 + 2x2 + cx + 2 (A) a = c = 2 e b = 1 (B) b = c = 1 e a = 2 (C) a = b = c = 1 (D) a = b = c = 2 (E) nunca 111 (FGV) - Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível por (x 3)3. Sendo P (0) = 27 e P (2) = 1, então o valor de P (5) é: (A) 48 (B) 32 (C) 27 (D) 16 (E) Calcule o valor numérico de P(x) = 2x4 x3 3x2 + x + 5 para x = i. 01. Calcule o valor numérico de P(x) = 2x4 x3 3x2 + x + 5 para x = i Dado o polinômio P(x) = x3 + kx2 2x + 5, determine k sendo P(2) = P(0) Dado o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, calcule P(1) Determine a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = (6x2 4x + 1) Determine o grau do polinômio P(x) = (a 1) x3 + (a + 1)x2 ax + a Determine o grau do polinômio P(x) = ax3 ax2 (a + 2)x a Determine a, b, c, d que tornam identicamente nulo o polinômio P(x) = (a 3) x3 + (b + 2)x2 + (c 4)x + d Determine a, b, c, d para que sejam idênticos os polinômios P(x) = (a + 2)x3 + (b 1)x2 + cx + 3 e Q(x) = ax2 + 2x d Dado o polinômio P(x) = 3x3 + mx2 + nx + 2, determine m e n, sendo P(0) = P(i) Determine a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = (4x2 3) Determine a, b, c, d, e que tornam identicamente nulo o polinômio P(x) = (a + 7) x4 bx3 cx2 (d + 2) x + e 6. SENA Cursos e Concursos ( Página 45

46 123 - Determine a, b, c, d, e para que sejam idênticos os polinômios: P(x) = Q(x) a = 0 P(x) = ax4 + 2x3 + (b + 1) x2 5x + c 1 e 2 = b 1 b = 3 Q(x) = (b 1)x3 + (d 3)x2 + ex Divida P(x) = 5x4 + 3x3 2x 3 por D(x) = x 2 pelos métodos: a) da chave b) de Briot-Ruffini O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x + 1) é 7 e o resto da divisão de P(x) por (x 2) é 3. Determine o resto da divisão de P(x) por (x + 1) (x 2) Divida P(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 por D(x) = x + 1 pelos métodos: a) da chave b) de Briot-Ruffini Determine o resto da divisão de P(x) = x3 5x2 9x + 8 por D(x) = x Divida P(x) = 2x3 + 8x2 + 4 por D(x) = 2x Divida P(x) = 2x3 + 8x2 + 4 por D(x) = 2x Determine o resto da divisão de P(x) = x4 2x3 + 3x2 x + 1 por D(x) = x i Determinar P(x), sabendo que P(x + 1) = x2 7x (FUVEST) - Dados os polinômios P(x) = x2, Q(x) = x4 + x2 e R(x) = 5x4 + 3x2, determine os números a e b reais tais que R(x) = a. P(x) + b. Q(x). III EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0. Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. Exemplo: 3x 4-2x 3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau Propriedades das Equações P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. Exemplo: a equação x 3 - x = 0 possui 3 raízes, pois essa equação tem grau 3. P2 - Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - b. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini. P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz. Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5,3 + 2i e 4-3i. Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3-2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes. P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: a equação (x - 4) 10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10. Outro exemplo: a equação x 3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas). A equação do segundo grau x 2-8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x = x = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). Exemplo: 1 é raiz de 40x 5-10x x - 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero. P6 - Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: a equação 3x 5 + 4x 2 = 0 possui duas raízes nulas. A equação x x 12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas! P7 - Se x 1, x 2, x 3,..., x n são raízes da equação a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a n = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada : a o (x - x 1 ). (x - x 2 ). (x - x 3 )..... (x - x n ) = 0 Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever: (x+1). (x-2). (x-53) = 0, que desenvolvida fica : x 3-54x x = 0. (verifique!) Relações de Girard - Albert Girard ( ). São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. Para uma equação do 2º grau, da forma ax 2 + bx + c = 0, já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x 1 e x 2 : x 1 + x 2 = - b/a e x 1. x 2 = c/a. SENA Cursos e Concursos ( Página 46

47 3.3 - Teorema fundamental da álgebra (T.F.A.). Qualquer equação algébrica, de grau restritamente positivo, aceita no campo complexo pelo menos uma raiz. Em relação a este teorema vamos considerar apenas as observações e exemplos abaixo: a) O teorema fundamental da álgebra apenas garante a existência de pelo menos uma raiz, ele não demonstra qual o número de raízes de uma equação algébrica nem como resolver tais raízes. b) O T.F.A. somente tem valor para C, já para R este teorema não é válido. Isso quer dizer que em uma equação algébrica a condição de existência de raiz R é incerta, já em R é certeza que sempre terá pelo menos uma raiz. c) Exemplo: A equação x2 + 1 = 0 não possui raiz real, porém aceita no campo complexo os números i e i como raízes. 3.4 Equação de 1º Grau Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, sendo possível a sua resolução através do Teorema de Bhaskara. A utilização desse teorema requer conhecimento dos valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na equação 2x² + 4x 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, b = 4 e c = 12. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes (soluções) reais, a condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante (?). De acordo com o seu valor podemos ter as seguintes situações:? < 0, não possui raízes reais.? = 0, possui duas raízes reais idênticas.? > 0, possui duas raízes reais e distintas. As equações do 2º grau poderão ser resolvidas utilizando a seguinte fórmula: Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. ax+b = 0 Onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: ax = -b Dividindo agora por a (dos dois lados), temos: Considere a equação 2x - 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2ºmembro. Resolução de uma equação do 2º grau Exemplo 1 Dada a equação x² + 3x 10 = 0, determine suas raízes, se existirem. a = 1, b = 3 e c = 10? = b² 4ac? = 3² 4 * 1 * ( 10)?= ? = 49 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. As raízes da equação são x = 2 e x = 5 Exemplo 2 Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = Equação do 2º Grau As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. a = 2, b = 12 e c = 18? = b² 4ac? = 12² 4 * 2 * 18?= ? = 0 A equação possui apenas uma raiz real, x = x = 3. SENA Cursos e Concursos ( Página 47

48 Exemplo 3 A substituição de v na primeira equação de (3) dá Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 a = 4, b = 6 e c = 50? = b² 4ac? = 6² 4 * 4 * 50?= ? = 764 Mas esta pode ser vista como uma equação quadrática para a incógnita u 3. Resolvendo esta equação obtemos Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é menor que zero Equação do 3.º grau (ou cúbica) Em Matemática, uma equação cúbica ou equação do terceiro grau é uma equação polinomial de grau três. Um exemplo é a equação Doravante usaremos a seguinte notação para a equação do terceiro grau: sendo coeficientes reais ou complexos. Suponhamos sempre que é diferente de zero, pois caso contrário não seria uma equação cúbica. Observe que, como sempre é possível dividir a equação por a 3 pode-se supor que o coeficiente x 3 de é igual a 1. As soluções podem ser encontradas usando o seguinte método desenvolvido por Scipione del Ferro e Tartaglia, publicado por Girolamo Cardano Começamos por dividir a equação por α 3 para chegarmos a uma equação da forma Visto que t = v u e t = x + a/3, temos Note-se que existem seis possibilidades para o cálculo de u da equação (4), pois existem duas raízes quadradas e três raízes cúbicas complexas (a raiz principal e a raiz principal multiplicada por 3.7 Equação do 4º Grau Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por: Com pois no contrário o polinômio seria de grau menor ou igual a três. Exemplos: A substituição elimina o termo quadrático e, em consequência de tal, obtemos a equação: Esta é chamada a cúbica reduzida. Suponhamos agora que podemos encontrar números u e v tais que: Nesse caso t = v - u é uma solução da equação, como pode ser confirmado substituindo o valor de t em (2) graças à seguinte identidade: Uma equação bi quadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma: Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variável Cujas raízes em y são descobertas pela Fórmula de Bhaskara: Resolvendo a segunda equação do sistema (3) em ordem a v, temos: SENA Cursos e Concursos ( Página 48

49 Toda equação do 4 grau que, na forma reduzida Apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em Exemplo: como onde Ou seja, são soluções da equação quadrática forma quando reduzido fica na As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Ludovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como: Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula. Em outras palavras, isto requer: Nota-se que a equação geral pode ser reduzida a este caso através da transformação e dividindo a equação resultante por a A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau. No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar: onde apenas uma raiz y 1 é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Retomando o cálculo da incógnita x temos que: Com isso a equação pode ser reescrita como ou que resulta em uma diferença de dois quadrados: Em seguida, somam-se termos em uma nova variável, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar y 2 devemos somar também Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes: Reescrevendo Exercícios Resolvidos O segundo membro da equação pode ser reescrito 47 - Achar as raízes das equações: SENA Cursos e Concursos ( Página 49

50 (A) x 2 - x - 20 = 0 (B) x 2-3x -4 = 0 (C) x 2-8x + 7 = 0 Equação (A) Como Δ < 0, a equação não possui raiz real Encontre as raízes da equação: x 2 4x 5 = 0 Solução: Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = 4, c = 5. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara: (1 ) / 2= (1 9) / / 2 = / 2 = - 4 x' = 5 e x'' = -4 Equação (B) Δ = ( 4)² 4.1.( 5) Δ = Δ = 36 x = ( 4) ± x = 4 ± 6 2 x' = 10 = 5 2 x'' = 2 = 1 2 Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: 1 e 5. (3 ) / 2 = (3 5) / / 2 = / 2 = -1 x' = 4 e x'' = -1 Equação (C) (8 ) / 2 = (8 6) / / 2 = 7 2 / 2 = 1 50 (PUCCAMP) - Se v e w são as raízes da equação x 2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v 2 + w 2 é igual a: (A) a 2-2b (B) a 2 + 2b (C) a 2 2b 2 (D) a 2 + 2b 2 (E) a 2 b 2 Solução: Ao identificar os coeficientes da equação, encontramos: A = 1, B = a e C = b. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara. Para não nos confundirmos, neste exercício utilizaremos letras maiúsculas na fórmula de Bhaskara. Ao substituir os coeficientes, utilizaremos letras minúsculas como de costume: Δ= a b Δ= a 2 4.b x' = 7 e x'' = Resolva a equação: 4x 2 + 8x + 6 = 0 Solução: Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: Δ = 8² Δ = Δ = 32 Essa equação terá duas raízes, o que as diferenciará será o sinal ± que antecede a raiz quadrada. Então, iremos considerar como v o resultado com a raiz quadrada positiva e como w o resultado com a raiz quadrada negativa. A soma dos quadrados de v e w é dada por: v 2 + w 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 50

51 Como possuem sinais opostos, os dois termos com raiz serão cancelados, restando apenas: a² + a² 4b + a² + a² 4b 4 4a² 8b 4 a² 2b Portanto, a alternativa correta é a letra a (UEL) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é33/4. Esse número está compreendido entre: (A) 5 e 6 (B) 1 e 5 (C) 1/2 e 1 (D) 3/10 e 1/2 (E) 0 e 3/10 Rersolução: Chamaremos por x o número que estamos procurando, seu inverso multiplicativo é 1/x. Se a soma de x com o dobro de seu inverso multiplicativo é 33/4, teremos: x = 33 x 4 4x² + 8 = 33x 4x 4x² 33x + 8 = 0 Para resolver essa equação do 2 grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara: Δ = ( 33)² Δ= Δ= 961 x = ( 33) ± x = 33 ± 31 8 x' = 64 = 8 8 x'' = 2 = Encontramos duas raízes para a equação, mas observe que o exercício refere-se apenas à raiz que é um número racional não inteiro, portanto, o primeiro resultado não é interessante, pois 8 é um número inteiro. Sendo assim, utilizaremos o valor de x'', uma vez que ¼ = 0,25. encontrado seria R$ 586,00. O valor correto dos gastos de Maria durante essa semana foi: (A) R$ 573,00. (B) R$ 684,00. (C) R$ 709,00. (D) R$ 765,00. (E) R$ 825,00. Resolução: Sendo x o gasto com o supermercado, podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: x = 832 2x = x = 246 x = 246/2 x = 123 Logo, = Qual é o valor de x que poderá satisfazer a equação do primeiro grau: 3x + 4(1+x)+2= 5x-x-6? (A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) 3 Resolução: 3x + 4(1+x)+2= 5x-x-6 3x x + 2 = 4x 6 7x + 6 = 4x 6 7x 4x = x = -12 x = -12/3 x = Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era: (A) 24. (B) 26. (C) 30. (D) 32. (E) 36. Resolução: A alternativa correta é a letra e, pois ¼ é maior que zero e é menor que 3/10, que equivale a 0,3. 52 (PM/SP) - Ao somar todos os gastos da semana, Maria somou, por engano, duas vezes o valor da conta do supermercado, o que resultou num gasto total de R$ 832,00. Porém, se ela não tivesse somado nenhuma vez a conta do supermercado, o valor Vamos considerar que no início haviam x pessoas na fila de Iná e x+4 pessoas na fila de Ari. Após passarem 8 pessoas da fila de Ari para Iná passamos a ter: x+8 pessoas na fila de Iná e x-4 na fila de Ari. Veja que a questão fala que neste momento Iná fica com o dobro de Ari. Podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: SENA Cursos e Concursos ( Página 51

52 2(x 4) = x + 8 2x 8 = x + 8 2x x = x = 16 Logo, existiam x + x + 4 = = 36 pessoas 55 - O valor de x na equação 2x/3 x/5 = 6(x 2) é: (A) 160/73 (B) 120/53 (C) 180/83 (D) 140/63 (E) 100/43 Resolução: 2x/3 x/5 = 6(x 2) (5.2x 3.x)/15 = 6(x 2) 10x 3x = 90(x 2) 7x = 90x = 90x 7x 83 x = 180 x = 180/83 Sabendo que a média dos 5 filhos é 8,6, podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: (27 + 2x)/5 = 8, x = 8,6.5 2x = x = 16 x = 16/2 x = 8 anos 58 - Resolva: Vemos que Calculamos os coeficientes da equação reduzida obtida pela substituição : 56 - Existe um número que somado com seu triplo é igual ao dobro desse número somado com doze. O valor desse número é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Resolução: e A equação cúbica auxiliar é, pois: Como não sabemos qual é esse número, vamos chamá-lo de x, assim podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: x + 3x = 2x x = 2x x 2x = 12 2x = 12 x = 12/2 x = João tem 5 filhos, sendo que dois deles são gêmeos. A média das idades deles é 8,6 anos. Porém, se não forem contadas as idades dos gêmeos, a média dos demais passa a ser de 9 anos. Pode-se concluir que a idade dos gêmeos, em anos, é: (A) 6,5. (B) 7,0. (C) 7,5. (D) 8,0. (E) 8,5. Resolução: Exercícios Propostos 131 (UERJ) - Uma calculadora apresenta, entre suas teclas, uma tecla D, que duplica o número digitado, e uma outra T, que adiciona uma unidade ao número que está no visor. Assim, ao digitar 123 e apertar D, obtém-se 246. Apertando-se, em seguida, a tecla T, obtém-se Uma pessoa digita um número N e, após apertar, em seqüência, D, T, D e T, obtém como resultado 243. Determine N. 132 (UFMG) - A média das notas na prova de Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 pontos. Nenhum dos alunos obteve nota inferior a 60 pontos. O número máximo de alunos que podem ter obtido nota igual a 90 pontos é Seja x a idade de cada um dos gêmeos. Como a média das idades dos 3 filhos que não são gêmeos é 9, a soma das idades dos 3 é 27 anos. (A) 16 (B) 13 SENA Cursos e Concursos ( Página 52

53 (C) 23 (D) (FUVEST) - Um casal tem filhos e filhas. Cada filhote o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 134(UNESP) - Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81km restantes, a extensão dessa estrada é de: (A) 125 km. (B) 135 km. (C) 142 km. (D) 145 km. (E) 160 km. 135 (PUCSP) - Um feirante compra maçãs ao preço de R$0,75 para cada duas unidades e as vende ao preço de R$3,00 para cada seis unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$50,00 é: (A) 40. (B) 52. (C) 400. (D) 520. (E) (UNITAU) - A equação [x - 5]/[x - 10]=[x - 3]/[x - 8]: (A) admite uma única raiz. (B) não admite raiz. (C) admite várias raízes reais. (D) admite várias raízes complexas. (E) admite três raízes reais. 137 (PUCSP) - No esquema abaixo, o número 14 é o resultado que se pretende obter para a expressão final encontrada ao efetuar-se, passo a passo, a seqüência de operações indicadas, a partir de um dado número x. O número x que satisfaz as condições do problema é: (A) divisível por 6. (B) múltiplo de 4. (C) um quadrado perfeito. (D) racional não inteiro. (E) primo. 138 (UFC) - O valor de x que é solução, nos números reais, da equação (1/2) + (1/3) + (1/4) = x/48 é igual a: (A) 36 (B) 44 (C) 52 (D) 60 (E) (UERJ) - "há mais truques entre o peixe e a balança do que imagina o consumidor..." Com balanças mais antigas (aquelas que utilizam duas bandejas), muitas vezes o peso é oco, ou seja, marca 500g, mas pode pesar somente 300g, por exemplo. (Adaptado de O Dia, 28/08/98) Uma balança de dois pratos é usada para medir 2,5kg de peixe, da seguinte forma: em um prato está o peixe, no outro um peso de 2kg e mais um peso de 500g. O peixe contém, em suas vísceras, um pedaço de chumbo de 200g. O peso de 500g, por ser oco, tem na verdade 300g. Se 1kg desse peixe custa R$12,60, o consumidor pagará, na realidade, por kg, o preço de: (A) R$ 14,60 (B) R$ 15,00 (C) R$ 15,50 (D) R$ 16, (FATEC) - Seja a equação x + 4 = 0 no conjunto Universo U=C, onde C é o conjunto dos números complexos. Sobre as sentenças: I. A soma das raízes dessa equação é zero. II. O produto das raízes dessa equação é 4. III. O conjunto solução dessa equação é {-2,2} É verdade que: (A) somente a I é falsa. (B) somente a II é falsa. (C) somente a III é falsa. (D) todas são verdadeiras. (E) todas são falsas. 141 (PUCPR) - Sejam "x 1 " e "x 2 " números reais, zeros da equação (2 - k)x + 4kx + k + 1 = 0. Se x > 0 e x < 0, deve-se ter: (A) k > 0 SENA Cursos e Concursos ( Página 53

54 (B) 0 < k < 3 (C) k < -1 ou k > 2 (D) -1 < k < 2 (E) k > (PUCSP) - Se x e y são números reais tais que 2x+y=8, o valor máximo do produto x.y é: (A) 24 (B) 20 (C) 16 (D) 12 (E) (UNB) - Para fazer o percurso de 195km de Brasília a Goiânia, dois ciclistas partem simultaneamente do mesmo local em Brasília. Um deles, mantendo uma velocidade média superior em 4km/h à velocidade média do outro, chega ao destino exatamente 1 hora antes deste. Calcule, em km/h, o valor absoluto da soma das velocidades médias dos dois ciclistas durante esse percurso, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 144 (PUCMG) - Os números m e n são as raízes da equação x 2-2rx+r 2-1=0. O valor de m 2 +n 2 é: (A) 2r + 1 (B) 2 + r (C) r (D) 2 (r 2 + 1) Sobre as soluções dessas equações é verdade que em: (A) II são números irracionais. (B) III é número irracional. (C) I e II são números reais. (D) I e III são números não reais. (E) II e III são números racionais. 148 (UEL) - Sabe-se que os números reais α e β são raízes da equação x 2 -kx+6=0, na qual k ϵ IR. A equação do 2 grau que admite as raízes α+1 e β+1 é: (A) x 2 + (k+2)x + (k+7) = 0 (B) x 2 - (k+2)x + (k+7) = 0 (C) x 2 + (k+2)x - (k+7) = 0 (D) x 2 - (k+1)x + 7 = 0 (E) x 2 + (k+1)x + 7 = (UNESP) - Com elementos obtidos a partir do gráfico adiante, determine aproximadamente as raízes das equações: (A) f(x) = 0 (B) f(x) -2x = (UFPEL) - Se y é uma constante e x 1 e x 2 são raízes da equação x 2 +6x.cosy+9=0 em U=C (Conjunto dos Números Complexos), o módulo de (x+x ) é: (A) 3 (sen y + cos y) (B) 18 (C) 6 sen y (D) 3 cos y (E) 6 cos y 146 (UFPI) - Seja f: IR ë IR a função definida por: 150 (FUVEST) - Encontre todos os conjuntos de três números inteiros consecutivos cuja soma é igual ao seu produto. A equação f(x) = 0 possui: (A) 1 solução (B) 2 soluções (C) 3 soluções (D) 4 soluções (E) nenhuma solução 147 (PUCCAMP) - Considere as seguintes equações: I. x = 0 II. x2-2 = 0 III. 0,3x = 0,1 151 (FUVEST) - Se a equação 6x 3 + kx 2-18x + 9 = 0 tem raízes reais a e -a, então o valor de k é: (A) 9/4 (B) 2 (C) 9/8 (D) - 2 (E) (FATEC) - Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como o "homem que calculava", o sistema de equações: SENA Cursos e Concursos ( Página 54

55 e ele rapidamente respondeu: - Uma solução do sistema é: Em seguida perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes da equação 30x 3-37x 2 +15x-2= 0? De pronto, ele respondeu corretamente. A sua resposta foi: (A) 7/300 (B) 47/450 (C) 101/600 (D) 437/750 (E) 469/ (UFSM ) - Se -1 e 5 são duas raízes da equação x 3 +ax 2 +3x+b=0, então a e b valem, respectivamente, e, e a outra raiz da equação é. Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas. (A) - 6; - 10; 2 (B) - 6; - 10; - 2 (C) 6; - 10; - 2 (D) 6; 10; - 2 (E) - 6; 10; (UFPI) - Assinale a alternativa que corresponde à equação cujas raízes são as recíprocas (inversas) das raízes da equação 5x 3 -x 2-85x+17=0. (A) x 3-5x 2-17x + 85 = 0 (B) 5x 3-85x 2 - x + 17 = 0 (C) 85x 3-5x 2-17x + 1 = 0 (D) 17x 3-85x 2 - x + 5 = 0 (E) x 3-17x 2-5x + 85 = (UFAL) - Se os conjuntos A e B são tais que A={xϵIR (x 2-25) 3 =0} e B={xϵIN 4/3<x<20/3}, então é verdade que: (A) (B) (C) (D) (E) 156 (UEL) - Sabendo-se que as raízes da equação x 3-3x 2-6x+8=0 formam uma progressão aritmética, é correto concluir que a: (A) menor delas é -2. (B) menor delas é -1. (C) maior delas é 1. (D) maior delas é 2. (E) maior delas é (ITA) - Seja k ϵ IR tal que a equação 2x 3 + 7x 2 + 4x + k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x e uma raiz x 2, distinta de x 1. Então, (k + x 1 )x 2 é igual a: (A) - 6 (B) - 3 (C) 1 (D) 2 (E) (FGV) - A equação x 3-3x 2 + 4x + 28 = 0 admite - 2 como raiz. As outras raízes satisfazem a equação: (A) x 2-4x + 14 = 0 (B) x 2-5x + 14 = 0 (C) x 2-6x + 14 = 0 (D) x 2-7x + 14 = 0 (E) x 2-8x + 14 = (ITA) - Sendo 1 e 1+2i raízes da equação x 3 +ax 2 +bx+c=0, em que a, b e c são números reais, então: (A) b + c = 4 (B) b + c = 3. (C) b + c = 2. (D) b + c = 1. (E) b + c = 0. IV ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia! ARRANJOS São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí SENA Cursos e Concursos ( Página 55

56 pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: A s (m,p) = m!/(m-p)! Cálculo para o exemplo: A s (4,2) = 4!/2!=24/2=12. Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A s ={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. Fórmula: A r (m,p) = m p. Cálculo para o exemplo: A r (4,2) = 4 2 =16. Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A r ={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,D B,DC,DD} Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. Fórmula: N=A(m 1,p 1 ).A(m-m 1,p-p 1 ) Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6 12=72. Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}? Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m 1 =3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p 1 =2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto: P ABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB} Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto: P DEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF} Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto P ABC com um elemento do conjunto P DEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG Número de Arranjos Simples Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha. Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como: c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha. Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 3 m p m-p+1 No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) SENA Cursos e Concursos ( Página 56

57 Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: {AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} A solução numérica é A(5,2)=5 4=20. Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades. O conjunto solução é: {AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU} Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? XYZ-1234 Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto Número de Arranjos com Repetição Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por m p. Indicamos isto por: A rep (m,p) = m p PERMUTAÇÕES Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. Fórmula: P s (m) = m!. Cálculo para o exemplo: P s (3) = 3!=6. Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P s ={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x 1,x 2,x 3,...,x n }, faremos a suposição que existem m 1 iguais a x 1, m 2 iguais a x 2, m 3 iguais a x 3,..., m n iguais a x n, de modo que m 1 +m 2 +m m n =m. Fórmula: Se m=m 1 +m 2 +m m n, então P r (m)=c(m,m 1 ).C(m-m 1,m 2 ).C(m-m 1 -m 2,m 3 )... C(m n,m n ) Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. Cálculo para o exemplo: m 1 =4, m 2 =2, m 3 =1, m 4 =1 e m=6, logo: P r (6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P r ={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR} Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo. Fórmula: P c (m)=(m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6 SENA Cursos e Concursos ( Página 57

58 Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto: P c={abcd,abdc,acbd,acdb,adbc,adcb,bacd,badc, BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA} Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC Existem somente 6 grupos distintos, dados por: P c ={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} Número de Permutações Simples Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m p m-p m-2 3 m-1 2 m 1 No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1) Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por: P(m) = m(m-1)(m-2)... (m-p+1) Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m,m) = P(m) Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P(m) = m! Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural. Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever: 0!=1 Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1. O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: (m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1 Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é: P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é: P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR, MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,O RAM, OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,R OMA} Número de Permutações com Repetição Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e SENA Cursos e Concursos ( Página 58

59 finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5). O número total de possibilidades pode ser calculado como: Tal metodologia pode ser generalizada. 4.3 COMBINAÇÕES Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: C s ={AB,AC,AD,BC,BD,CD} Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. Fórmula: C r (m,p)=c(m+p-1,p) Cálculo para o exemplo: C r (4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10 Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: C r={aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd} mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são: Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} Número de Combinações Simples Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente. Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: Como então: C(m,p) = A(m,p) / p! A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1) C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)] / p! que pode ser reescrito C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[( (p-1)p] Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por (m-p)(m-p-1)(m-p-2) que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará: m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)(m-p)(m-p-1) = m! SENA Cursos e Concursos ( Página 59

60 e o denominador ficará: p! (m-p)! Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes: Número de Combinações com Repetição Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por C rep (m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos. Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas. Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r 1, r 2, r 3,..., r m e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s 1, s 2, s 3,..., s n. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças (a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø (b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# (c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim: C rep (5,6) = C(5+6-1,6) Generalizando isto, podemos mostrar que: C rep (m,p) = C(m+p-1,p) 4.4 Regras gerais sobre Análise Combinatória Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis, mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto. É fácil ver isto ligando r 1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r 2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis. 4.5 Propriedades das Combinações O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha Taxas complementares C(m,p)=C(m,m-p) Exemplo: C(12,10) = C(12,2)= Relação do triângulo de Pascal C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1) Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605 SENA Cursos e Concursos ( Página 60

61 4.6 Número Binomial O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como: Exemplo: C(8,2)=28. Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3, , então: para provar a propriedade P(k+1). Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que: (a+b) k+1 =a k+1 +(k+1) 1 a k b+(k+1) 2 a k-1 b (k+1) (k+1) b k+1 (a+b) k+1 = (a+b).(a+b) k = (a+b).[a k +k 1 a k-1 b+k 2 a k-2 b 2 +k 3 a k-3 b k k b k ] a.[a k +k = 1 a k-1 b+k 2 a k-2 b 2 +k 3 a k-3 b k k b k ] +b.[a k +k 1 a k-1 b+k 2 a k-2 b 2 +k 3 a k-3 b k k b k ] a k+1 +k = 1 a k b+k 2 a k-1 b 2 +k 3 a k-2 b k k ab k +a k b+k 1 a k-1 b 2 +k 2 a k-2 b 3 +k 3 a k-3 b k k b k+1 a k+1 +[k 1 +1]a k b+[k 2 +k 1 ]a k-1 b 2 +[k 3 +k 2 ]a k-2 b 3 = +[k 4 +k 3 ] a k-3 b [k k-1 +k k-2 ]a 2 b k-1 +[k k +k k- 1]ab k +k k b k+1 a k+1 +[k 1 +k 0 ] a k b+[k 2 +k 1 ]a k-1 b 2 +[k 3 +k 2 ]a k-2 b 3 = +[k 4 +k 3 ]a k-3 b [k k-1 +k k-2 ]a 2 b k-1 +[k k +k k- 1]ab k +k k b k+1 Pelas propriedades das combinações, temos: k 1 +k 0 =C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1) 1 A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística Teorema Binomial Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos m p no lugar de C(m,p). Então: (a+b) m = a m +m 1 a m-1 b+m 2 a m-2 b 2 +m 3 a m-3 b m m b m Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b ab 3 + b 4 (a+b) 5 = a a 4 b + 10 a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática. Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por: P(m):(a+b) m =a m +m 1 a m-1 b+m 2 a m-2 b 2 +m 3 a m3 b m m b m P(1) é verdadeira pois (a+b) 1 = a + b Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1: P(k): (a+b) k =a k +k 1 a k-1 b+k 2 a k-2 b 2 +k 3 a k-3 b k k b k k 2 +k 1 =C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1) 2 k 3 +k 2 =C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1) 3 k 4 +k 3 =C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1) k k-1 +k k-2 =C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1) k-1 k k +k k-1 =C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1) k E assim podemos escrever: (a+b) k+1 = que é o resultado desejado. 4.7 PROBABILIDADE a k+1 +(k+1) 1 a k b + (k+1) 2 a k-1 b 2 + (k+1) 3 a k-2 b 3 +(k+1) 4 a k-3 b (k+1) k-1 a 2 b k-1 + (k+1) k ab k + k k b k+1 A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: SENA Cursos e Concursos ( Página 61

62 Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; B A c C c = {K3,K5,R2} A e C são mutuamente exclusivos, porque A C= Propriedades Importantes: Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. 1. Se A e A são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo) Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E 1 e E 2 e E 3 e...e E n-1 e E n ) é igual a P(E 1 ).P(E 2 /E 1 ).P(E 3 /E 1 e E 2 )...P(E n /E 1 e E 2 e...e n -1). Onde P(E 2 /E 1 ) é a probabilidade de ocorrer E 2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E 1 ; P(E 3 /E 1 e E 2 ) é a probabilidade ocorrer E 3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E 1 e E 2 ; P(Pn/E 1 e E 2 e...e n -1) é a probabilidade de ocorrer E n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E 1 e E 2...E n -1. Exercício Resolvido Resolução: Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} 59 - Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: SENA Cursos e Concursos ( Página 62

63 Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/ Eventos independentes Dizemos que E 1 e E 2 e...e n-1, E n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E 1 e E 2 e E 3 e...e E n -1 e E n ) = P(E 1 ).P(E 2 ).p(e 3 )...P(E n ) 60 - Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Exercício Resolvido Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna Probabilidade de ocorrer a união de eventos 1. Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E 1 ou E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 e E 2 ) De fato, se existirem elementos comuns a E 1 e E 2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E 1 ) e P(E 2 ). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E 1 e E 2 ). 2. Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E 2 ou E 3 ou... ou E n ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E n ) 61 - Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(s) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: P(A ou B) = 1/6 + 1/6 1/36 = 11/36 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(s) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos Cálculo das probabilidades de se escolher um grupo de atletas entre um grupo de equipes Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: I) sortear três atletas dentre todos os participantes; II) sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; III) sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que:, e sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo, ou. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se: (A) (B) (C) (D) (E) Exercício Resolvido Exercícios Resolvidos SENA Cursos e Concursos ( Página 63

64 Resolução: Passo 01 - Seja um evento e U o conjuntos com todos os eventos possíveis num experimento. A probabilidade de ocorrer é: Passo 02 - Vamos considerar em cada um dos modos de sorteio que a ordem de escolha importa, ou seja, o jogador (ou equipe) pode ser escolhido 1ª na 2ª ou 3ª retirada Passo 03 - Sortear três atletas dentre todos os participantes. Passo 03 - Com a ordem de escolha dos atletas importa, a quantidade de possibilidades de escolher 3 atletas, entre 200 é: Passo 12 - A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na 1ª retirada é: Passo 13 - Ou seja, a equipe dele é escolhida, ele sai na 1ª retirada e há 9 atletas diferentes na 2ª retirada e 8 atletas diferentes na 3ª. Passo 14 - Analogamente, a probabilidade de o atleta ser retirado na 2ª e 3ª retirada são respectivamente: Passo 15 - Assim: Passo 05 - A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na 1ª retirada é: Passo 06 - Ou seja, ele sai na 1ª retirada e há 199 atletas diferentes na 2ª retirada e 190 atletas diferentes na 3ª Passo 07 - Analogamente, a probabilidade de o atleta ser retirado na 2ª e 3ª retirada são respectivamente: Passo 08 - Assim: Passo 16 - Sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Passo 17 - Dado que 3 equipes foram escolhidas, a quantidade total de possibilidades de se escolher 1 atleta de cada equipe é: Passo 18 - Assim a quantidade total de possibilidades ao se escolher 3 equipes e sortear 1 atleta de cada uma delas: Passo 09 - Sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas. Passo 10 - Dado que uma equipe foi escolhida, a quantidade total de possibilidades de se escolher 3 atletas em 10 (lembrando que a ordem importa) é: Passo 19 - A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na 1ª retirada é: Passo 20 - Ou seja, a equipe dele é escolhida na 1ª retirada e há 19 equipes diferentes na 2ª retirada e 18 equipes diferentes na 3ª. Passo 11 - Assim a quantidade total de possibilidades ao se escolher uma equipe e sortear 3 atletas é: Passo 21 - Como a equipe dele saiu na 1ª retirada, ele sai no primeiro sorteio e há 10 atletas diferentes na 2ª retirada e 10 atletas diferentes na 3ª retirada. SENA Cursos e Concursos ( Página 64

65 Passo 22 - Analogamente, a probabilidade de a equipe do atleta ser retirada na 2ª e 3ª retirada são respectivamente: Passo 23 Assim: Passo 24 Continuando: Passo 25 - Assim: A Resposta é a Letra E Cálculo da quantidade total de maneiras de uma família se acomodar num voo. Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na Figura do Enunciado disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por: (A) (B) (C) (D) (E) Resolução Passo 01 - Há 9 lugares para as 7 pessoas da família, logo a quantidade de grupos que se pode formar é: Alternativa correta: A 64- Numa cidade, cinco escolas de samba ( ), ( ),( ), (IV) e (V) participam do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 06, 07, 08, 09, ou.10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A Figura do Enunciado mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria. Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? (A) 21. (B) 90. (C) 750. (D) (E) Resolução Passo 01 - Segundo a Figura do Enunciado, as Escolas, e não podem ser campeões, pois se o jurado der nota no último quesito, elas ficarão com no máximo, e. Passo 02 - A única escola que pode ganhar da a. Logo as Escolas, e tem possibilidades de notas. Passo 03 - Se as Escolas e empatarem, a ganha, pois no quesito Enredo e Harmonia ela possui = 20 pontos e a possui pontos. Passo 04 - Assim a última nota a ser dada pelo jurado para a Escola devem ser até unidades a menos que a dada para a Escola. é Passo 05 - Nas tabelas a seguir, temos as possibilidades que fazem a Escola ser campeã. Passo 02 - Como são 7 pessoas (logicamente elas são diferentes entre si), da família, elas podem se permutar nos lugares, logo a quantidade total de maneiras que as pessoas podem ocupar os lugares vazios no avião é: SENA Cursos e Concursos ( Página 65

66 São 6 possibilidades ao total. Portanto a quantidade de configurações possíveis que o jurado pode dar para as escolas é : 65 - Verificação do jogador que tem mais chance num jogo de dados José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é: (A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. (B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. (C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. (D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3possibilidades para formar a soma de Paulo. (E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. Resolução Passo 01 - Como a probabilidade de sair cada uma das 6 faces é igual (pois o dado não é viciado), temos que jogar o dado duas vezes tem a mesma probabilidade para cada um dos participantes. Passo 02 - Assim o participante que terá a maior probabilidade de ganhar será o que tiver o maior número de jogadas a seu favor. Vamos analisar cada aposta separadamente. Passo 03 - José - Apostou na soma 7: As possibilidades são (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) - 6 Chances. Passo 04 - Paulo - Apostou na soma 4: As possibilidades são: (1,3), (2,2), (3,1) 3 Chances. Passo 05 - Antônio - Apostou na soma 8: As possibilidades são (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 5 Chances - Passo 06 - Assim José terá mais chance. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes? Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos: Resolução: Escolhas do levantador. escolhas dos 5 atacantes. Logo, teremos = 504 formas de escolher o time. 160 (FUVEST) - Considere todas as trinta e duas sequências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 12 (E) (VUNESP) - De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? (A) 120 (B) 72 (C) 24 (D) 18 (E) 12 Exercícios Propostos 162 (MACK) - Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é: Resposta correta: D 66 - Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. SENA Cursos e Concursos ( Página 66

67 (A) 100 (B) 240 (C) 729 (D) 2916 (E) (UEL) - Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? (A) 861 (B) 1722 (C) 1764 (D) 3444 (E) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é: (A) 240 (B) 360 (C) 480 (D) 600 (E) MACK) - Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de: De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? (A) 90 (B) 21 (C) 240 (D) 38 (E) (ITA) - O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é: (A) 36 (B) 48 (C) 52 (D) 54 (E) (MACK) - Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) (UFF) - Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa natureza. Certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua estada. (A) 83 (B) 84 (C) 85 (D) 168 (E) (MACK) - Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é: (A) 120 (B) 108 (C) 160 (D) 140 (E) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. O número de modos diferentes com que um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente da ordem escolhida, é: (A) 8 (B) 24 (C) 56 (D) 112 (E) Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O organizador do desfile afirma que três modelos de saia, três de blusa, cinco de bolsa e certo número de chapéus permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de chapéus que torna verdadeira a afirmação do organizador. (A) 189 (B) 30 (C) 11 SENA Cursos e Concursos ( Página 67

68 (D) 5 (E) (FUVEST) - Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntos, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) (UERJ) - Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia VIVAVIDA é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem. O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a: (A) 6 (B) 24 (C) 64 (D) 168 (E) NDA Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas de modo a não usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confecção de todas as embalagens foi igual a: (A) 30 (B) 18 (C) 6 (D) 3 (E) NDA Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes que se pode fazer a programação dessa semana é: (A) 144 (B) 576 (C) 720 (D) 1040 (E) NDA 176 (UNESP) - Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é: (A) 120 (B) 62 (C) 60 (D) 20 (E) As n pessoas que entraram em um banco para pagar suas contas podem formar uma fila indiana de 5040 maneiras diferentes. Determine n De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9 180 (FGV/SP) - Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de bebidas e três sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? (A )90 (B)100 (C) 110 (D)130 (E) (ITA/SP) - Quantos números de três algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9? (A) 60 (B)120 (C) 240 (D) 40 (E) (PUC) - Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobre outra reta paralela a r. O número de triângulos que existem, com vértices nesses pontos, é (A) 60 (B) 35 (C) 30 (D) 9 (E) (FATEC/SP) Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, a quantidade de números formados por dois algarismos não repetidos e tomados de A é: 184 (FAAP/SP) - Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 185 (UFGO) - No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. SENA Cursos e Concursos ( Página 68

69 Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria: (A) 20 (B) 60 (C)120 (D)125 (E) (CEFET/PR) - Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba têm 7 algarismos, cujo primeiro dígito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é: (A) (B) (C) (D) (E) (UEPG/PR) - Quantos números pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir? (A)156 (B) 60 (C)6 (D)12 (E) (UEL/PR) - Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado abaixo, colocandose um "x" em uma só resposta para cada questão. 191 (FUVEST) - Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? (A)12 (B) 18 (C) 36 (D) 72 (E) (FATEC/SP) - Quantos números distintos entre si e menores de têm exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? (A) 90 (B) 120 C)180 (D) 240 (E) (FUVEST/SP) - Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais? (A) 59 (B) 9.84 C) 8.94 (D) 85 (E) (UBA) - Num determinado país, todo rádio amador possui um prefixo formado por 5 símbolos assim dispostos: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: PY 6 - CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das 10 primeiras letras do alfabeto, não havendo letras repetidas. Nesse país o número de prefixos disponíveis é: (A) 270 (B) 1230 (C) 2430 (D) 2700 (E) 1200 De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário? (A) 3125 (B)120 (C)32 (D)25 (E) (FUVEST/SP) - Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {a b ; a, b A, a b}, o número de elementos de B que são pares é: (A) 5 (B)8 (C)10 (D)12 (E) (FGV) - Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos Observador, Teodoro lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Teodoro havia feito: (A) 23 ligações (B) 59 ligações (C) 39 ligações (D) 35 ligações (E) 29 ligações 195 (UFSM/RS) - Considerando o número de 5 algarismos distintos 2 4 o número de formas possíveis para preencher as lacunas, de modo a obter um múltiplo de 5, é: 196 (CEFET/PR) - Um marinheiro dispõe de 3 bandeiras coloridas para enviar mensagens sinalizadas: uma vermelha, uma branca e uma preta. Qual o número de diferentes mensagens que pode enviar podendo usar qualquer número de bandeiras e considerando o posicionamento das mesmas? (A) 90 (B) 20 (C) 25 (D) 40 (E) (UFPR) - Dentre todos os números de quatro algarismos distintos formados com algarismos pertencentes ao conjunto {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, quantos são divisíveis por 2? 198 (GAMA FILHO/RJ) - Quantos são os inteiros positivos, menores que 1000, que têm seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}? (A)15 (B) 23 (C) 28 (D) 39 (E) (UECE) - A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é: SENA Cursos e Concursos ( Página 69

70 (A) 48 (B)54 (C) 60 (D) 72 (E) (MACK/SP) - Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair dele por uma porta diferente é: (A) 5 (B)10 (C) 15 (D) 20 (E) 25 V MATRIZES E DETERMINANTES Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção. 201 (UEM) - Quinze garotas estão posicionadas numa quadra esportiva para uma apresentação de ginástica, de modo que não se encontram três em uma linha reta, com exceção das garotas que trazem uma letra estampada na camiseta e que estão alinhadas formando a palavra AERÓBICA. O número de retas determinadas pelas posições das quinze garotas é (FGV) - De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem? (A) 360 (B) 720 (C) 1080 (D) 1440 (E) (UEL) - Considere o conjunto A={1, 2, 3, 4}. Sendo m o número de todas as permutações simples que podem ser feitas com os elementos de A e sendo n o número de todos os subconjuntos de A, então: (A) m < n (B) m > n (C) m = n + 1 (D) m = n + 2 (E) m = n (UNIOESTE) - Quatro amigos vão ao cinema e escolhem, para sentar-se, uma fila em que há seis lugares disponíveis. Sendo n o número de maneiras como poderá sentar-se, o valor de n/5 é igual a: 205 (MACK/SP) - A quantidade de números de três algarismos que tem pelo menos 2 algarismos repetidos é: (A) 30 (B) 252 (C) 300 (D) 414 (E) (CESGRANRIO) - Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. O número de palavras distintas de 32 bits é: (A) 2(232 1) (B) 232 (C) (D) 322 (E) 2.32 Vejamos mais detalhadamente o resultado desta convenção. Em termos gerais: uma matriz m x n, com m e n números naturais não nulos, é toda tabela composta por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Representando matrizes Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C,...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a 11 a 12 a a mn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado. Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida: 207 (FGV-SP) - Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, existem x números de 4 algarismos, de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x é: (A) 505 (B) 427 (C) 120 (D) 625 (E) 384 SENA Cursos e Concursos ( Página 70

71 Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento a ij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a 32 i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (a ij ) m x n TIPOS DE MATRIZES Matriz quadrada Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por A n. Exemplos: Matriz identidade Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por I n Matriz triangular Uma matriz de ordem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero). Exemplos: Matriz nula Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0 m x n ; caso ela seja quadrada, indica-se por 0 n. Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida Matriz diagonal Matriz linha É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1. A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e baixo da diagonal principal são nulos. SENA Cursos e Concursos ( Página 71

72 Matriz coluna É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = IGUALDADE DE MATRIZES Dizemos que duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais quando os seus elementos correspondentes são iguais (A = B). Da mesma forma, se essas duas matrizes A e B não têm a mesma ordem ou se seus elementos correspondentes são diferentes, dizemos que elas são matrizes diferentes (A B). Exemplo As matrizes são iguais. Veja que, pois... a 11 = 4 = 3+1 = b 11 a 11 = b 11 a 12 = 3² = 9 = b 12 a 12 = b 12 a 21 = = 3 = b 21 a 21 = b 21 a 22 = -2 = 1-3 = b 22 a 22 = b Aplicando os conceitos Sabendo os conceitos sobre a igualdade de matrizes vamos resolver uma questão um pouco mais complexa envolvendo esta compreensão. Sempre que for necessário recorra aos exemplos dados anteriormente, como forma de esclarecimento e amenização das dificuldades que surgirem ao longo do caminho. 5.3 OPERAÇÕES COM MATRIZES Operação Transposta Dada uma matriz A do tipo m x n, chamase transposta de A e indica-se por A t a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. SENA Cursos e Concursos ( Página 72

73 A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo: A oposta de A será Note que A é do tipo 3 x 2 e A t é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta, a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original. pois: Adição de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B Subtração de matrizes Partindo de duas matrizes (A e B) de mesmo tipo, ou seja, A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, podemos encontrar a matriz diferença (A B) subtraindo os seus elementos correspondentes entre si. As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim temos: Solução: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E, para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a 21 b 21 = c 21 Exercício Resolvido Propriedades da adição Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q R, valem as propriedades: - Comutativa: A+B = B+A - Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C - Elemento neutro: A+O = O+A = A 67 - Dada a matriz: A = 3 x 3 e B = 3 x 3 Se subtrairmos A B, teremos: Matriz oposta Chama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo: Dada a matriz: SENA Cursos e Concursos ( Página 73

74 Observe os elementos destacados: Quando subtraímos a 13 b 13 = c 13, -1 (-5) = =4 Quando subtraímos a 31 b 31 = c 31, Para aqueles que já sabem calcular o determinante, existe um modo prático para descobrir se uma matriz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa para ela. Exemplo: - 4 (-1) = = -3 Assim A B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B. Exercício Resolvido 67 - Determine a matriz diferença entre. Com isso a matriz A não possui inversa A parte principal para matriz inversa é a parte onde se deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. Vejamos como proceder. Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz A. Vamos procurar a matriz diferença (A B) 3x2... Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos. Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, obteremos a matriz identidade. Por fim, teremos a seguinte igualdade: 5.4 MATRIZ INVERSA Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve multiplicação e igualdade de matrizes, envolvendo diversos conceitos da matemática, desde operações básicas até a resolução de sistemas com duas incógnitas. Vejamos como ocorre este processo partindo da definição de uma matriz inversa. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = I n e X.A = I n (onde I n é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A (-1). Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes (A.X = In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e que seja pedido para verificar se uma matriz é a inversa da outra, basta efetuar a multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado desta operação for a matriz identidade, afirmaremos que se trata de uma matriz inversa. Para tanto, deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes para realizarmos estes cálculos. Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas. Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas. Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição. SENA Cursos e Concursos ( Página 74

75 det M =Ia 11 I = a 11 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a. Exemplos: M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos os seguintes valores para as incógnitas: Determinante de 2ª ordem Dada a matriz, de ordem 2, por Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, vamos esboçá-la: definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por: Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta matriz corresponde à matriz inversa: Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir. De fato, a matriz obtida corresponde à matriz inversa, pois o produto das duas matrizes resultou na matriz identidade. 5.5 DETERMINANTES Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: A resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; O cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices; Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC ij, de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a ij. Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: a) Dada a matriz, de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a 11 (MC 11 ), retiramos a linha 1 e a coluna 1: Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a 11 ], o seu determinante é o número real a 11 : Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a 12 é SENA Cursos e Concursos ( Página 75

76 Teorema de Laplace b) Sendo, de ordem 3, temos: O determinante de uma matriz quadrada M = [a ij ] mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando, temos: Cofator Chamamos: De cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A ij tal que A ij = (-1) i+j. MC ij. Veja: a) Dada, os cofatores relativos aos em que índice i, variando de 1 até m, Regra de Sarrus é o somatório de todos os termos de O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para: elementos a 11 e a 12 da matriz M são: 1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: b) Sendo, vamos calcular os cofatores A 22, A 23 e A 31 : 2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): SENA Cursos e Concursos ( Página 76

77 3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo): Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: Assim: P 3 ) Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(a) = 0 Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo: Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a Regra de Sarrus. P 4 ) A matriz A bem como a sua transposta A t, possuem o mesmo determinante de A, isto é: det(a t ) = det(a) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplos: Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades: P 1 ) Se I n é a matriz identidade, então: det(i n ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo: P 5 ) Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então: det(b) = k det(a) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo: P 2 ) Se N é uma matriz nula, então: det(n) = 0 SENA Cursos e Concursos ( Página 77

78 Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: P 6 ) Se B=kA, onde k é um escalar, então: det(b) = k n det(a) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo: P 8 ) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: det(a) = 0 Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo: Trocando as posições de P 9 ) P 7 ) Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: det(b) = - det(a) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então: det(a) = 0 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos: Exemplos: P 10 ) Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então: det(a) = 0 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por. Multiplicando Exemplos: Multiplicando SENA Cursos e Concursos ( Página 78

79 P 11 ) Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz: Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, Sendo que: a1,, a n e b são números reais. Os números a ij são os coeficientes angulares e b i é o termo independente e quando este é nulo a equação linear é chamada homogênea. Exemplo: Como: Exemplo: O sistema linear acima possui três equações, três incógnitas (x, y, z) e os termos independentes, que são 7, 3 e 0. Além disso, no sistema acima há uma equação homogênea (4x + y + z = 0). Um sistema linear também pode ser escrito em forma matricial. A seguir, a função apresentada no exemplo anterior será exposta em forma de matriz: P 12 ) Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k. Exemplo: Percebe-se que a forma matricial de um sistema linear é igual ao produto matricial entre a matriz formada pelos coeficientes angulares e a matriz formada pelas incógnitas, cujo resultado é matriz formada pelos termos independentes Solução de um Sistema Linear 6 SISTEMAS LINEARES Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é possível lidar de uma única vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações de um sistema linear, ou seja, a ênupla ordenada (sequência ordenada de n elementos) é solução de um sistema linear S, se for solução de todas as equações de S. Exemplo: De maneira geral, um Sistema de Equações Lineares pode ser definido como um conjunto de m equações, sendo m 1, com n incógnitas x 1, x 2, x 3, x n, de forma que: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y = 1, logo, a solução do sistema é o par ordenado SENA Cursos e Concursos ( Página 79

80 (2,1), como mostra a representação gráfica do sistema linear apresentado como exemplo. Quando um ocorre um Sistema Linear Homogêneo, aquele que possui todas as equações com termos independentes nulos, ele admite uma solução nula (0, 0,, 0) chamada de solução trivial. Mas, um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial. O sistema linear acima é homogêneo, portanto, a priori, já temos a solução trivial dada pelo conjunto (0, 0, 0). Contudo, também se admite como solução desse sistema o conjunto (0, 1, 1).A partir de agora, serão apresentados dois métodos para a obtenção do conjunto verdade de um sistema: a Regra de Cramer e o Escalonamento Regra de Cramer É aplicável na resolução de um sistema n x n incógnitas, no qual o determinante diferente de zero (D 0). Ou seja: (x 1 = D 1 / D, x 2 = D 2 / D,, x n = D n / D). Sendo que, ao considerar o sistema: Percebe-se que os coeficientes a 1 e a 2 se relacionam com a incógnita x, enquanto b 1 e b 2 e se relacionam com a incógnita y. Agora, a partir da matriz incompleta: É possível obter o determinante (D) desta matriz e substituindo os coeficientes de x e y que o compõe pelos termos independentes c 1 e c 2 é possível encontrar os determinantes D x e D y para que se aplique a Regra de Cramer. Abaixo estão os referidos determinantes: Então: x = D x /D = -10/-5 = 2 e y = D y /D = -5/-5 = 1, portanto, como foi mostrado anteriormente, inclusive graficamente, o par ordenado (2,1) é o resultado do sistema linear acima Escalonamento Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos. Exemplo: O sistema acima está escalonado e substituindo as incógnitas das equações pelos seus respectivos é possível encontrarmos o conjunto solução (1,1,1). Para escalonar um sistema é necessário que se coloque como primeira equação aquela que tenha o coeficiente de valor 1 na primeira incógnita. Caso não haja nenhuma equação assim, será necessário dividir membro a membro aquela que está como primeira equação pelo coeficiente da primeira incógnita. Nas demais equações, é necessário que se obtenha zero como coeficiente da primeira incógnita, somando cada uma delas com o produto da primeira equação pelo oposto do coeficiente dessa incógnita, até que se possam verificar os valores de cada uma das incógnitas e, por fim, encontrar o conjunto solução. Exercícios Resolvidos 67 - Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações, Exemplo: possui a seguinte representação matricial: SENA Cursos e Concursos ( Página 80

81 z = Dz/D z = 8/ 8 = 1 Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = 1. O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes numéricos das incógnitas Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações lineares: Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no cálculo das incógnitas do sistema. Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações: Resolução No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus. utilizando a Regra de Cramer. BATE-PAPO Resolução No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus. y = Dy / D y = 62/31 y = 2 O valor da incógnita y no sistema de equações é 2. No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus. y = Dy / D y = 62/31 y = 2 x = Dx / D x = 8/ 8 x = 1 y = Dy/D y = 16/ 8 y = 2 O valor da incógnita y no sistema de equações é (FUVEST/SP) - Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: SENA Cursos e Concursos ( Página 81

82 Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada uma deles: Resolução Andreia: a Bidu: b Carlos: c x = Dx / D x = 600 / 5 x = 120 y = Dy / D y = 400 / 5 y = 80 Por substituição: b = Db / D b = 30 / 2 b = 15 b + c = c = 87 c = c = 72 a + b = 66 a = a = 51 Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 70 (VUNESP/SP) - Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que compareceram ao show. Resolução x: sócios y: não sócios Isolando x na 1ª equação: x + y = 200 x = 200 y Substituindo x na 2ª equação: 5x + 10y = * (200 y) + 10y = y + 10y = y + 10y = y = 400 y = 400/5 y = 80 Substituindo y na 1ª equação: x + y = 200 x = 200 y x = x = 120 No show estavam presentes 120 sócios e 80 não sócios Seja A = (a ij ) 3x3, com a ij = i + j, e B = (b ij ) 3x3, com b ij = j i, determine a matriz C, tal que C = A.B. Resolução Primeiramente, vamos determinar os elementos das matrizes A e B: Por Cramer SENA Cursos e Concursos ( Página 82

83 Agora que já conhecemos A e B, podemos realizar o produto entre essas matrizes para determinar a matriz C: Determine o elemento C (A) 0 (B) 2 (C) 6 (D) 11 (E) 22 Resolução Para determinar um elemento de C, não é necessário realizar toda a multiplicação entre as matrizes A e B. O elemento C 22, por exemplo, é formado pela soma dos produtos dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos da 2ª coluna da matriz B, isto é: Portanto, multiplicando as matrizes A e B, obtemos a matriz Considerando as matrizes abaixo verifique se é válida a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes. C 22 = A 21. B 12 + A 22. B 22 + A 23. B 32 + A 24. B 42 C 22 = C 22 = C 22 = 11 Portanto, a alternativa correta é a letra d Dadas as matrizes a seguir, determine a matriz D resultante da operação A + B Resolução Resolução e, Se queremos verificar a validade da propriedade comutativa na multiplicação das matrizes A eb, isso implica mostrar se é verdadeira a igualdade A.B = B.A. Vamos fazer primeiro o produto A.B: Vamos agora fazer o produto B.A: 75 - Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 são dados por a ij, onde: i + j, se i j 0, se i = j Após fazer as multiplicações das matrizes A e B, podemos constar que A.B B.A, portanto, a propriedade comutativa não se aplica à multiplicação de matrizes. Determine M + M. Resolução 73 (PUC/RS) - O elemento c 22 da matriz C = AB, onde A = e B = : SENA Cursos e Concursos ( Página 83

84 76 (PUC/SP) - São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = 4i 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. Resolução x + x = 10 2x = 10 x = 5 y + 3 = 1 y = 1 3 y = t = 4 t = 4 3 t = 1 2z + z = 18 3z = 18 z = 18/3 z = Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B Considerando as matrizes: Resolução Determine: a) A + B C b) A B C Resolução 78 - Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes: Resolução Exercícios Propostos 79 - Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas. 209 (UESP) - Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então y0 + 4z0 é igual a: SENA Cursos e Concursos ( Página 84

85 (A) - 8 (B) - 7 (C) - 6 (D) - 5 (E) Calcular a característica da matriz abaixo: O sistema abaixo: (A) Impossível, para todo k real diferente de -21; (B) Possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63; (C) Possível e determinado, para todo k real diferente de -21; (D) Possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3; (E) Possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y: (A) Só apresenta a solução trivial; (B) É possível e determinado não tendo solução trivial; (C) É possível e indeterminado; (D) É impossível; (E) Admite a solução (1; 2; 1) Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer. Esse sistema tem uma única solução para certo número real k que é um: (A) Quadrado perfeito (B) Número primo (C) Número racional não inteiro (D) Número negativo (E) Múltiplo de Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a: Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer O sistema abaixo: (A) -1 (B) 7 (C) 5 (D) 4 (E) 5/ Determinar m para que o sistema abaixo tenha apenas a solução trivial. (A) É impossível (B) É possível e determinado (C) É possível e indeterminado (D) Admite apenas a solução (1; 2; 3); (E) Admite a solução (2; 0; 0) 215 (UEL) - O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é: Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é: SENA Cursos e Concursos ( Página 85

86 - Camisa A - Botões P: 3; Botões G: 6 - Camisa B - Botões P: 1; Botões G: 5 - Camisa C - Botões P: 3; Botões G: Obter a matriz A = (a ij ) 2x2 definida por a ij = 3 i - j. (A) O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é: - Camisa A - Maio: 100; Junho: 50 - Camisa B - Maio: 50; Junho: Camisa C - Maio: 50; Junho: 50 Nestas condições, obter o total de botões usados em maio e junho. (A) Botões P - Maio: 400; Junho: 600 e Botões G - Maio: 1.200; Junho: (B) Botões P - Maio: 500; Junho: 400 e Botões G - Maio: 1.100; Junho: (C) Botões P - Maio: 500; Junho: 600 e Botões G - Maio: 1.200; Junho: (D) Botões P - Maio: 500; Junho: 600 e Botões G - Maio: 1.200; Junho: (E) Botões P - Maio: 400; Junho: 500 e Botões G - Maio: 1.010; Junho: Sejam as matrizes (B) (C) (D) Sobre as sentenças: I - O produto das matrizes A3 x 2. B2 x 1 é uma matriz 3 x 1. II - O produto das matrizes A5 x 4. B5 x 2 é uma matriz 4 x 2. III - O produto das matrizes A2 x 3. B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2 É verdade que: (A) 3 (B) 39 (C) 84 (D) 14 (E) Se Então necessariamente: (A) x = y e m = n (B) y = -2x e n = -2m (C) x = y = 0 (D) x = -2y e m = -2n (E) x = y = m = n = (MACK) - Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então: (A) Existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3 (B) Existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3 (C) Existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B (D) Existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3 (E) Existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B (A) somente I e III são falsas (B) somente I é falsa (C) somente II é falsa (D) somente III é falsa (E) I, II e III são falsas 225 (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) - Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A T e é dita antissimétrica se A T = -A, onde A T é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações: (01) A + A T é uma matriz simétrica (02) A - A T é uma matriz antissimétrica (A) Verdadeira, Falsa (B) Falsa, Falsa (C) Verdadeira, Verdadeira (D) Falsa, Verdadeira 226 (PUC) - Se A, B e C são matrizes quadradas e A t, B t e C t são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é: (A) (A t ) t = A (B) (A - B)C = AC BC (C) (A + B) t = A t + B t (D) (A = B). C = A. C + B. C (E) (A. B) t = A t. B t SENA Cursos e Concursos ( Página 86

87 227 - Se uma matriz quadrada A é tal que A t = -A, ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e: (D) 33 (E) UERJ) Observe a matriz a seguir: Os termos a 12, a 13 e a 23 de M, valem respectivamente: (A) 2, 2 e 4 (B) 2, -4 e 2 (C) 4, -2 e 4 (D) 4, 2 e -4 (E) 4, -2 e Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e A t sua transposta, determine A, tal que A = 2. A t. (A) (B) Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado: (A) 1 (B) Sen x (C) Sen² x (D) Sen³ x (E) NDA Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira nos modelos básicos, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês. (C) (D) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua transposta, possui: (A) Pelo menos dois elementos iguais (B) Os elementos da diagonal principal iguais a zero (C) Determinante nulo (D) Linhas proporcionais (E) Todos os elementos iguais a zero Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz onde representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de: (A) 170 (B) 192 (C) 120 (D) 218 (E) (UNICAP/(PE) - Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo. Quantas unidades do material 1 serão empregadas para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3? (A) 30 (B) 31 (C) U.F. Ouro Preto MG SENA Cursos e Concursos ( Página 87

88 Considere a matriz: Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 8. de -3 é 9, imagem de -2 é 4, imagem de -1 é 1 e imagem de 0 é 0. Podemos perceber, nesse caso, que a imagem de cada elemento do conjunto A equivale ao quadrado do seu valor. Logo, podemos concluir que a lei de formação dessa função pode ser definida por f(x) = x². Dom (f) = {-3,-2,-1,0} CD (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} IM (f) = {0,1,4,9} Exemplo: Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? VI - FUNÇÕES Definição Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x A, um único elemento y B. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f). (A) (B) (C) Vejamos um exemplo através da representação por diagramas, onde podemos observar a definição descrita: (D) Representação por diagramas: Cada elemento do conjunto A (domínio da função) está relacionado a um, e somente um, elemento do conjunto B (contradomínio da função). Todos os elementos do conjunto B que receberam flechas de A são imagens dos elementos de A, ou seja, a imagem De acordo com a definição de função apresentada anteriormente, os gráficos que representam funções são as letras: a e c. Consequentemente, os que não representam são as letras b e d, pois no item b o elemento 0 do conjunto A não se relacionou com nenhum elemento do conjunto B, contrariando a definição de função. Já na letra D, o elemento 4 do conjunto A se conectou com dois elementos do conjunto B, o que também não pode. Observação: o que podemos concluir, caros alunos? Que cada elemento do conjunto A deve mandar uma e somente uma flecha para o conjunto B para a relação se tornar uma função. Jamais um elemento do SENA Cursos e Concursos ( Página 88

89 conjunto A pode mandar 2 flechas ou deixar de mandar. Exemplo: vamos entender melhor o que significa o domínio D e a imagem Im observando o gráfico abaixo: Ou seja, x ]2, 7]. Para cada x ]2, 7], f(x) existe e é único. Logo, D(f) = ]2, 7]. Vamos observar agora mais um exemplo cotidiano onde a função se faz presente: Uma barraca de praia, em Salvador, vende picolés ao preço de R$ 1,75 a unidade. Para não precisar fazer contas a todo momento, o proprietário da barraca montou a seguinte tabela: De acordo com que falamos acima, quando queremos saber sobre o domínio, devemos olhar para o eixo x e, quando falamos em imagem, devemos olhar pata o eixo y. Desse modo todos os valores utilizados sobre o eixo x representam o maior domínio dessa função, ou seja, D=[0,4] e todos ou valores utilizados sobre o eixo y representam a imagem, o que podemos concluir Im=[0,2] Exemplo: vamos determinar o maior domínio das funções abaixo: Número de Picolés Preço (R$) 1 1,75 2 3,50 3 5,25 4 7,00 5 8, , , ,00 Note que o número de picolés é o domínio da função, e o preço correspondente à quantidade de picolés, o contradomínio. Logo, podemos observar que: 1º) f(x) = 3 x Sabemos que o denominador de uma fração tem que ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero. Nesse caso, temos que ter x 0 para que 2x seja possível em IR Logo o domínio são os reais não nulos. 2º) f(x) = x 4 Sabemos que no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, temos que ter x 4 0 para que seja possível em IR Daí, x 4 0 x 4 Logo, D(f) = [4, + [ 3º) Nesse caso, devemos ter: Como todos os elementos do contradomínio são imagens, podemos concluir que o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio. Sendo assim, é possível observar facilmente a lei de formação dessa função. O total (y) a ser pago será R$ 1,75 multiplicado pela quantidade (x) de picolés. Logo, podemos concluir que y = 1,75.x. Observação: Seja f : R R uma função. Tal representação pode ser descrita por D CD onde D são os elementos do domínio e CD elementos do contradomínio. Sendo I o conjunto imagem, podemos dizer que I é subconjunto de CD, ou seja, I CD Classificação de uma função: As funções podem ser classificadas em injetora ou injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e bijetora ou bijetiva. Uma função é: 1 - Injetora ou injetiva quando, para quaisquer elementos x1 x2, temos f(x1) f(x2); Exemplo: SENA Cursos e Concursos ( Página 89

90 2 - Sobrejetora ou sobrejetiva quando o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, possuem os mesmos elementos; Exemplo: dizemos que a função é crescente e a taxa de variação da função é igual a 3. Exemplo 2 f(x) = 3x 3 - Bijetora ou bijetiva quando ela for injetora e sobrejetora simultaneamente. Exemplo: Funções crescentes, decrescente e constantes As funções que são expressas pela lei de formação y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b pertencem ao conjunto dos números reais, com a 0, são consideradas funções do 1º grau. Esse tipo de função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a, se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função se torna decrescente. Vamos analisar as seguintes funções f(x) = 3x e f(x) = 3x, com domínio no conjunto dos números reais, na medida em que os valores de x aumentam. Exemplo 1 f(x) = 3x Nessa situação, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem, então a função passa a ser decrescente e a taxa de variação tem valor igual a 3. Outro fato importante para designar uma função é o seu gráfico, note que quando a função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e na função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). Então, a função é crescente no conjunto dos números reais (R), quando os valores de x1 e x2, sendo x1 < x2 resultar em f(x1) < f(x2). No caso da função decrescente no conjunto dos reais, teremos x1 < x2 resultando em f(x1) > f(x2). Uma função constante é caracterizada por apresentar uma lei de formação f(x) = c, na qual c é um número real. A função constante diferencia-se das funções do 1 grau por não poder ser caracterizada como crescente ou decrescente, sendo, por isso, constante. Podemos afirmar que uma função constante é definida pela seguinte fórmula: f(x) = c, c A representação da relação estabelecida por uma função constante por meio do diagrama de flechas assemelha-se com a representação da imagem a seguir, pois, independentemente dos valores pertences ao domínio, a imagem é sempre composta por um único elemento. Note que à medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) também aumentam, nesse caso Representação da função constante através do diagrama de flechas SENA Cursos e Concursos ( Página 90

91 O gráfico da função constante também apresenta uma particularidade em relação às demais funções. Ele é sempre uma reta paralela ou coincidente ao eixo x. Vejamos alguns exemplos de funções constantes e seus respectivos gráficos: Portanto, f(x) é uma função constante cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2). Exemplo 1: f(x) = 2 O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2). Representação da função constante f(x) = ( 2x 8)/(x + 4) Representação da função constante f(x) = 2 Exemplo 2: f(x) = 0 O gráfico da função f(x) = 0 é uma reta coincidente ao eixo x que intercepta o eixo y na origem. Exemplo 4: Apesar de o gráfico dessa função ser formado por retas paralelas ao eixo x, essa NÃO é uma função constante, pois f(x) apresenta três valores distintos. Representação da função constante f(x) = 0 Exemplo 3: f(x) = 2x 8 x + 4 Colocando o 2 em evidência no numerador da função, podemos simplificar a função da seguinte forma: f(x) = 2x 8 x + 4 f(x) = 2.(x + 4) x + 4 f(x) = 2 Nesse caso, temos uma função que NÃO é constante Funções Compostas e Inversas 1. Função Composta Observando as funções f : x y y = x + 1 e g : y z z = y2, representadas por diagramas de setas, notamos que, em f, x leva a y e, em g, y leva a z: SENA Cursos e Concursos ( Página 91

92 Conclusão: A condição necessária e suficiente para que uma função tenha inversa é que seja sobrejetora e injetora, ou seja, bijetora. No caso, temos que g é a função inversa de f. Exercícios Resolvidos Mas há uma função que permite ir direto de X para Z, sem passar por Y. Assim, se z = g(y) e y = f(x), então z = g(f(x)). Como f(x) = x + 1 e g(y) = y 2, temos: 2 = x2 + 2x + 1. z= g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) Logo, g(f(x)) = x 2 + 2x + 1 é a função que transforma os elementos de X nos elementos de Z. Conclusão: A função g(f(x)), que estabelece uma correspondência direta entre X e Z, sem passar por Y, é a composta de f(x) e g(y). Aplicação Dados f(x) = 3x e g(x) = 3x+2, calcular g(f(x)) e fog Solução: 1) g(f(x)) g(3x) = 3.(3x) + 2 g(3x) = 9x + 2 2) fog = f(g(x)) f(3x + 2) = 3. (3x + 2) f(3x + 2) = 9x Função Inversa Observe, no diagrama de setas abaixo, a função f: A B f(x) = x 5, que transforma os elementos de A nos de B: 81 - Determine os zeros das funções a seguir: (A) y = 5x + 2 (B) y = 2x (C) c) f(x) = x Resolução (A) y = 5x + 2 Primeiramente, façamos y = 0, então: 5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado. 5x = 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão. x = 2 5 O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = 2 5 (B) y = 2x Façamos y = 0, então: 2x = 0, o número 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0. O zero da função y = 2x é x = 0. (C) f(x) = x Façamos f(x) = 0, então: x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal 2 também será mudado. x =. 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma 2 multiplicação. x = ( 4). 2 x = 8 SENA Cursos e Concursos ( Página 92

93 Portanto, o zero da função f (x) x = 8. 2 = x + 4 é dado por: 82 - Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente: (A) y = 4x + 6 (B) f(x) = x + 10 (C) y = (x + 2) 2 (x 1) 2 Resolução Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente. (A) y = 4x + 6 Nessa função, a = 4 > 0, portanto, y é uma função crescente. (B) f(x) = x + 10 Como a = 1 < 0, f(x) é uma função decrescente. (C) y = (x + 2) 2 (x 1) 2 Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis. x 2 + 4x + 4 (x 1) 2 x 2 + 4x + 4 (x 2 2x + 1) x 2 + 4x + 4 x 2 + 2x 1 6x + 3 y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente. 83 (UFPI) - A função real de variável real, definida por f (x) = (3 2a).x + 2, é crescente quando: (A) a > 0 (B) a < 3/2 (C) a = 3/2 (D) a > 3/2 (E) a < 3 Resolução: Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo: 3 2a > 0 2a > 0 3 ( 1). ( 2a) > ( 3). ( 1) 2a < 3 a < 3 2 Portanto, a alternativa correta é a letra b. 84 (FGV) - O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos ( 1, 3) e (2, 7). O valor de m é: (A) 5/3 (B) 4/3 (C) 1 (D) 3/4 (E) 3/ O primeiro ponto que é dado é o ( 1, 3), em que o valor de x é 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos: f (x) = mx + n 3 = m.( 1) + n n = 3 + m Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7: f (x) = mx + n 7 = m.2 + n n = 7 2m Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos: 3 + m = 7 2m m + 2m = 7 3 3m = 4 m = 4 3 A alternativa correta é a letra b Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por: f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a: (A) -5 (B) -4 (C) 0 (D) 4 (E) O maior valor assumido pela função y = 2 - ½ x - 2½ é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é: (A) 4 Exercícios Propostos SENA Cursos e Concursos ( Página 93

94 (B) -4 (C) 5 (D) -5 (E) (UFBA) - Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4, então g(x) é igual a: (A) x - 2 (B) x - 6 (C) x - 6/5 (D) 5x - 2 (E) 5x (INFO) - Chama-se ponto fixo de uma função f a um número x tal que f(x) = x. Se o ponto fixo da função f(x) = mx + 5 é igual a 10, então podemos afirmar que o módulo do décuplo do ponto fixo da função g(x) = 2x - m é igual a: (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) (INFO) - Seja f : R R, uma função tal que f ( x ) = k.x - 1. Se f [ f ( 2 ) ] = 0 e f é estritamente decrescente, o valor da k-ésima potência de 2 é igual aproximadamente a: (A) 0,500 (B) 0,866 (C) 0,125 (D) 0,366 (E) 0, (INFO) - Seja f(x) = ax + b; se os pares ordenados (1,5) Î f e (2,9) Î f então podemos afirmar que o valor do produto (a + b) (10a + 5b) é igual a: (A) 225 (B) 525 (C) 255 (D) 100 (E) (INFO) - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a: (A) 2x + 3 (B) 3x + 2 (C) (2x + 3) / 2 (D) (9x + 1) /2 (E) (9x - 1) / (INFO) - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: 245 (INFO) - O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto: (A) R - { 1 } (B) [0,2] (C) R - {0} (D) [0,2) (E) (-,2] 246 (INFO) - Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares. q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y. r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. s: A composição de funções é uma operação comutativa. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. Podemos afirmar que são falsas: (A) a)nenhuma (B) b) todas (C) c) p,q e r (D) d) s e t (E) e) r, s e t 247 (INFO) - Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a: (A) -1/3 (B) 1/3 (C) 0 (D) 1 (E) (INFO) - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: (A) 2-2x (B) 3-3x (C) 2x - 5 (D) 5-2x (E) uma função par. 249 (PUC/RS) - Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é: (A) 0 (B) 2/5 (C) -3 (D) 3/4 (E) 4/3 250 (INFO) - A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: (A) b(1 - c) = d(1 - a) (B) a(1 - b) = d(1 - c) (C) ab = cd (D) ad = bc (E) a = bc (A) 2 (B) -2 (C) 0 (D) 3 (E) -3 SENA Cursos e Concursos ( Página 94

95 251 (INFO) - A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: (A) 2 (B) -2 (C) 0 (D) 3 (E) (INFO) - Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x 0 e x -1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) f(100) é: (A) 100 (B) 101 (C) 100/101 (D) 101/100 (E) Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então: (A) o seu valor máximo é 1,25 (B) o seu valor mínimo é 1,25 (C) o seu valor máximo é 0,25 (D) o seu valor mínimo é 12,5 (E) o seu valor máximo é 12, (INFO) - Que número excede o seu quadrado o máximo possível? (A) 1/2 (B) 2 (C) 1 (D) 4 (E) -1/2 255 (INFO) - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser: (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) -4 (E) -16 VII FUNÇÃO AFIM E QUADRÁTICA Função de 1º grau ou Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é. Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 256 (INFO) - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é: (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) -4 (E) (UEFS) - Se x1 e x2 são os zeros da função y = 3x2 + 4x - 2, então o valor de 1/x1 + 1/x2 é igual a: (A) 1/8 (B) 8/3 (C) 1 (D) 2 (E) 3 SENA Cursos e Concursos ( Página 95

96 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abcissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0-2x + 10 = 0 x = Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa: 1. Para a > 0: se x 1 < x 2, então ax 1 < ax 2. Daí, ax 1 + b < ax 2 + b, de onde vem f(x 1 ) < f(x 2 ). 2. Para a < 0: se x 1 < x 2, então ax 1 > ax 2. Daí, ax 1 + b > ax 2 + b, de onde vem f(x 1 ) > f(x 2 ) Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz 1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 ax + b > 0 x > y < 0 ax + b < 0 x <. Há dois casos possíveis: Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz x y Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico: SENA Cursos e Concursos ( Página 96

97 2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < y < 0 ax + b < 0 x > x y Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Zero e Equação do 2º Grau Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1. f(x) = 3x 2-4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x 2-1, onde a = 1, b = 0 e c = f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x 2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x 2, onde a = - 4, b = 0 e c = Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x 2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. Temos: Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, saber: chamado discriminante, a Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; Quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); Quando é negativo, não há raiz real. SENA Cursos e Concursos ( Página 97

98 Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. a > 0 Em qualquer caso, as coordenadas de V são. Veja os gráficos: 2ª quando a < 0, a < Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax 2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0, 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0, temos y = a b 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y Sinal Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. SENA Cursos e Concursos ( Página 98

99 Conforme o sinal do discriminante podemos ocorrer os seguintes casos: 1º - > 0 = b 2-4ac, Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: quando a < 0 2º - = 0 quando a > 0 y > 0 (x < x 1 ou x > x 2 ) y < 0 x 1 < x < x 2 quando a > 0 quando a < 0 3º - < 0 y > 0 x 1 < x < x 2 y < 0 (x < x 1 ou x > x 2 ) quando a > 0 quando a > 0 SENA Cursos e Concursos ( Página 99

100 Pergunta-se: Qual é o número mínimo de excursionistas para que o contrato com a empresa A fique mais barato do que o contrato da empresa B? (A) 37 (B) 38 (C) 35 (D) 40 Resolução: Note que em ambas as empresas, é cobrado um valor fixo mais uma quantidade por passageiro. quando a < 0 86 (PM/ES) - Em linguagem matemática, sempre que relacionamentos duas grandezas variáveis estamos empregando o conceito de função. A função y = -x + 5 é chamada função polinomial do 1º grau. Represente seu gráfico. Resolução: Exercícios Resolvidos Basta sabermos que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta e que o valor de a indica se é crescente ou decrescente, neste caso a é menor que zero, então a função é decrescente, e também que o valor de b indica onde a reta corta o eixo y, no caso b = 5. Sendo x a quantidade de passageiros: A função que representa o valor cobrado pela empresa A em função da quantidade de passageiros é: f(x) = 25x A função que representa o valor cobrado pela empresa B em função da quantidade de passageiros é: f(x) = 29x Para que a empresa A fique mais barata que a empresa B devemos ter: 29x > 25x x 25x > x > 150 x > 150/4 x > 37,5 Logo, devemos ter pelo menos 38 excursionistas. 88 (SEJU/ES). Considerando uma função real f: R -> R que satisfaça à condição f(x+1) = 1/f(x), para cada x R, julgue o seguinte item: Se, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xoy, o gráfico de f for uma reta, então essa reta é paralela ao eixo Ox. 87 (PM/SC 2011) - Duas empresas A e B têm ônibus com 50 assentos. Em uma excursão para Balneário Camboriú, as duas empresas adotam os seguintes critérios de pagamento: A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $400,00. A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $250,00. CORRETO Pelo exercício anterior, temos f(2) = f(0) = f(-2). Veja que se o gráfico for uma reta, ela deve passar obrigatoriamente pelos 3 pontos que são colineares. 89 (INSS/CESPE) - Um dos indicadores de saúde comumente utilizados no Brasil é a esperança de vida ao nascer, que corresponde ao número de anos que um indivíduo vai viver, considerando-se a duração média da vida dos membros da população. O valor desse índice tem sofrido modificações substanciais no decorrer do tempo, à medida que as condições sociais melhoram e as conquistas da ciência e da tecnologia são colocadas a serviço do homem. A julgar por estudos procedidos em achados fósseis e em sítios arqueológicos, a esperança de vida do homem pré-histórico ao nascer seria extremamente baixa, em torno de 18 anos; na Grécia e na Roma SENA Cursos e Concursos ( Página 100

101 antigas, estaria entre 20 e 30 anos, pouco tendo se modificado na Idade Média e na Renascença. Mais recentemente, têm sido registrados valores progressivamente mais elevados para a esperança de vida ao nascer. Essa situação está ilustrada no gráfico abaixo, que mostra a evolução da esperança de vida do brasileiro ao nascer, de 1940 a O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros. Resolução: Veja na figura que o cilindro está dentro do cone. Com base nas informações do texto e considerando os temas a que ele se reporta, julgue o item seguinte. Se E representa a esperança de vida do brasileiro ao nascer e x representa o tempo, em anos, transcorrido desde 1940, infere-se das informações apresentadas que, para 0 x 60, E(x) = 42x + 70,5. Resolução: Observe que temos 60 anos entre 1940 e 2000, assim, x=0 representa o ano 1940 e x=60 representa o ano Vamos agora analisar cada uma das alternativas. (A) A função afim que descreve h como função de r é crescente. Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente. Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja: Dada a função E(x) = 42x + 70,5, vamos considerar x=0. E(0) = ,5 = 70,5 Veja que x=0 representa o ano de 1940, logo, E(0) deveria ser 42 e não 70,5. Resposta: Errado 90 (PRF/CESPE). Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta. 1. A função afim que descreve h como função de r é crescente. 2. O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. 3. Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 π r (1 r/10) 4. É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone. (o fato de -25/10 ser negativo nos prova que a função afim é decrescente) (B) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. V = π.r².h = π.r².(25 25r/10) = 25π.r² 25π.r³/10 Veja que a função é cúbica e não quadrática. (C) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 r. A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 25r/10) = 50π.r (1 r/10) (D) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone. (Bh = 25 25r/10 = /10 = 25 5 = 20 SENA Cursos e Concursos ( Página 101

102 (E) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros. A(r) = 50π.r (1 r/10) = 50π.r 5π.r². (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice) xv = -b/2a -50π/2(-5π) = 5 91 (CAIXA/CESPE) - A CAIXA criou as Cestas de Serviços com o compromisso de valorizar o relacionamento com seus clientes e oferecer cada vez mais vantagens. Você paga apenas uma tarifa mensal e tem acesso aos produtos e serviços bancários que mais se adequarem ao seu relacionamento com a CAIXA. Alguns dos itens disponíveis têm seu uso limitado. Caso você exceda as quantidades especificadas ou utilize um item não incluso na sua cesta, será cobrado o valor daquele 10 produto ou serviço discriminado na Tabela de Tarifas vigente. A janela do PowerPoint 2003 a seguir apresenta, no slide em edição, outras informações acerca das Cestas de Serviços da CAIXA. CORRETO Perceba que a função d(n) está de acordo com os intervalos de n representados na figura. (B) De acordo com as informações apresentadas, há possibilidade de o cliente obter isenção total da tarifa mensal de serviços. CORRETO 92 (PETROBRÁS) - A função g(x) = 84. x representa o gasto médio, em reais, com a compra de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na compra do purificador ficará entre: (A) dois e três meses. (B) três e quatro meses (C) quatro e cinco meses. (D) cinco e seis meses. (E) seis e sete meses. Resolução: Como a função afim g(x) representa o gasto médio e queremos saber quando o investimento de 299,90 será recuperado, basta igualarmos: 84.x = 299,90 x = 299,90 / 84 x = 3,57 Com base nas informações do texto e sabendo que, a cada R$ 100,00 de saldo médio no trimestre em aplicação na poupança, o cliente acumula 1 ponto para o cálculo do desconto na tarifa mensal de serviços, julgue os seguintes itens. (A) Suponha que se deseje representar os percentuais de descontos concedidos em função dos pontos adquiridos que são elementos do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, }, de acordo com o que está estabelecido na tabela apresentada na janela do PowerPoint. Para isso, se, para cada n Є N, for representado por d(n) o desconto correspondente, então a função d pode ser corretamente descrita pela seguinte expressão: Logo, entre 3 e 4 meses. 258 (PC/MG) - O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = t² + 30t 216, em que 12 t 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi: (A) 0 (B) 9 (C) 15 (D) 18 Exercícios Propostos SENA Cursos e Concursos ( Página 102

103 259 (PM/ES) - Assinale a alternativa correta: (A) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y. (B) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo. (C) O gráfico da função y = 5x 7 é decrescente. (D) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes. (E) A soma das raízes da função y = x² 3x 10 é igual a 3. (C) R$800,00 (D) R$900,00 (E) R$1.000, Seja f a função afim definida por f(x) = 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (1, 1) e é paralela à reta r Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6). 260 (PM/ES) - Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é: (A) V = (-7; 1) (B) V = (1; -7) (C) V = (0; 1) (D) V = (-7; 0) (E) V = (0; 0) 261 (PM/ES) - Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de, em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é: (A) 5 m (B) 6 m (C) 8 m (D) 10 m (E) 12 m 262 (PM/ACRE) - Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x 10. (A) 3,5 (B) 2 (C) 0 (D) 10 (E) 1,5 263 (PM/FUNCAB) - Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5 determine o valor da outra raiz dessa função. (A) 3 (B) 7 (C) 10 (D) 12 (E) (PM/PA) - Uma empresa criou o modelo matemático L(x)=-100x² para representar o lucro diário obtido pela venda de certo produto, na qual x representa as unidades vendidas. O lucro máximo diário obtido por essa empresa é igual a: (A) R$600,00 (B) R$700, Dada a função f(x) = 2x + 3, determine f(1) Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7. TEXTO PARA RESPONDER A QUESTÃO 269 Recomendações Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito. A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes. A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo. Fonte: "Folha de São Paulo", 1Ž.06.03, p. C1 (adaptado) Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias 12 entregas para um motoboy receber R$24,00. Por medida de segurança, a empresa limitará a 10 a quantidade de entregas por dia. Como compensação, pagará um adicional fixo de p reais ao dia a quem atingir esse limite, porém reduzirá para R$1,80 o valor pago por cada entrega. O valor de p que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo motoboy, ou seja, R$24,00, será (A) R$ 5,40 (B) R$ 5,60 (C) R$ 5,80 (D) R$ 6,00 (E) R$ 6,20 TEXTO PARA RESPONDER AS QUESTÕES 270 E (FAAP) - Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da terra aumenta, aproximadamente, 3 C a cada 100m de profundidade. SENA Cursos e Concursos ( Página 103

104 Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura é de 25 C. Nessas condições, podemos afirmar que: 2. A temperatura a 1.500m de profundidade é: (A) 70 C (B) 45 C (C) 42 C (D) 60 C (E) 67 C Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46 C, a profundidade dela será igual a: (A) 700 m (B) 600 m (C) 800 m (D) 900 m (E) 500 m TEXTO PARA RESPONDER A QUESTÃO 272 (ENEM) (A) À diagonal OQ (B) À diagonal PR (C) Ao lado PQ (D) Ao lado QR (E) Ao lado OR 273 (FAAP) - A variação de temperatura y=f(x) num intervalo de tempo x é dada pela função f(x)=(m 2-9)x 2 +(m+3)x+m-3; Calcule "m" de modo que o gráfico da função seja uma reta e f(x) seja crescente: (A) -3 (B) 9 (C) 3 (D) -9 (E) (MACKENZIE) José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca.Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho. Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): 272 Veja a figura a seguir: Na figura temos os gráficos das funções f e g. Se f(x)=2x 2 então g(3) vale: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) (FUVEST) - A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: (A) f(x) = x - 3 (B) f(x) = 0,97x (C) f(x) = 1,3x (D) f(x) = -3x (E) f(x) = 1,03x 276 (CESGRANRIO) - O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário" corresponde: (A) R$8.250,00 (B) R$8.000,00 (C) R$7.750,00 (D) R$7.500,00 (E) R$7.000,00 SENA Cursos e Concursos ( Página 104

105 277 (UFES) - Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê uma venda de cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ ,00 e o custo por unidade foi de R$20,00 (fita virgem, processo de copiar e embalagem). Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo? (A) R$ 20,00 (B) R$ 22,50 (C) R$ 25,00 (D) R$ 27,50 (E) R$ 35, (FATEC) - Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f, onde f(x) representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copiadora Reprodux. (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ , (PUCCAMP) - Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: (A) C(n) = ,50 (B) C(n) = n (C) C(n) = n/ (D) C(n) = ,50n (E) C(n) = ( n)/2 282 (UEL) - Seja N = {0, 1, 2, 3,...}. Se n Æ N, qual das regras de associação a seguir define uma função de N em N? (A) n é associado a sua metade. (B) n é associado a seu antecessor. (C) n é associado ao resto de sua divisão por 7. (D) n é associado a p tal que p é primo e p < n. (E) n é associado a m tal que m é múltiplo de n. De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago nessa Copiadora por: (A) 228 cópias de um mesmo original é R$22,50. (B) 193 cópias de um mesmo original é R$9,65. (C) 120 cópias de um mesmo original é R$7,50. (D) 100 cópias de um mesmo original é R$5,00 (E) 75 cópias de um mesmo original é R$8, (FATEC) - Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de: (A) 67 semanas. (B) 68 semanas. (C) 69 semanas. (D) 70 semanas. (E) 71 semanas. 280 (UFPE) - A planta a seguir ilustra as dependências de um apartamento colocado à venda, onde cada quadrícula mede 0,5cm 0,5cm. Se o preço do m 2 de área construída deste apartamento é R$650,00, calcule o preço do mesmo. 283 (UNIRIO) - A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y=4x-2x 2. A função é: (A) f(x) = -3x + 5 (B) f(x) = 3x - 7 (C) f(x) = 2x - 5 (D) f(x) = x 3 (E) f(x) = x/3-7/3 284 (FAAP) - A taxa de inscrição num clube de natação é de R$150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso: (A) T = 12,50 (12 - x) (B) T = 12,50x (C) T = 12,50x -12 (D) T = 12,50 (x + 12) (E) T = 12,50x (FAAP) - A taxa de inscrição num clube de natação é de R$150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas após o início do curso (A) R$ 62,50 (B) R$ 50,50 (C) R$ 74,50 (D) R$ 78,50 SENA Cursos e Concursos ( Página 105

106 (E) R$ 87, (UNESP) - 0 gráfico mostra o resultado de uma Experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade. 289 (PUC/MG) - O gráfico a seguir representa a função f. Uma das possíveis leis de definição de f é: Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa de absorção (geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m 1 é a taxa de absorção no claro e m 2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é: (A) m 1 = m 2 (B) m 2 = 2m 1. (C) m 1. m 2 = 1. (D) m 1. m 2 = -1. (E) m 1 = 2m (PUCCAMP) - Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. (A) f(x) = (1 + x 2 ) / (x + 1) (B) f(x) = (1 x 2 ) / (x + 1) (C) f(x) = x / (x + 1 ) (D) f(x) = (1 - x) / (x + 1) (E) f(x) = x 2 / (x + 1) 290 (UNIRIO) - Numa caminhada, os participantes A e B desenvolveram os seguintes ritmos: Se a velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, em horas, que ele leva para percorrer os x km é: (A) (6x + 5)/6 (B) (x + 50)/60 (C) (6x + 5)/120 (D) (x/60) + 50 (E) x + (50/6) 288 (PUCCAMP) - A seguir vê-se parte de um gráfico que mostra o valor y a ser pago (em reais), pelo uso de um estacionamento por um período de x horas. Sabendo-se que A e B iniciaram a caminhada juntos e de um mesmo ponto, e que as sequências estabelecidas foram mantidas, por ambos, até o final do passeio, a distância, em metros, entre o participante A e o B, no exato momento em que B parou de caminhar é: (A) 3330 (B) 3610 (C) 3900 (D) 4200 (E) 4510 Suponha que o padrão observado no gráfico não se altere quando x cresce. Nessas condições, uma pessoa que estacionar o seu carro das 22 horas de certo dia até as 8 horas e 30 minutos do dia seguinte deverá pagar (A) R$ 12,50 (B) R$ 14,00 (C) R$ 15,50 (D) R$ 17,00 (E) R$ 18, (UNIRIO) - O gráfico da função y=mx+n, onde m e n são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2). A taxa de variação média da função é: (A) -2 (B) -1/2 (C) 1/2 (D) 2 (E) (UFRS) - Considerando A = {x ϵ z / -1 < x 10}, e sendo R a relação em A formada pelos pares (x,y) tais que y=2x-1, o domínio e a imagem dessa relação correspondem, respectivamente, a: SENA Cursos e Concursos ( Página 106

107 (A) {0, 1, 2, 3} e {1, 3, 5, 7} (B) {1, 2, 3, 4} e {3, 5, 7, 9} (C) {0, 1, 2, 3, 4} e {0, 2, 4, 6, 8} (D) {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} (E) {1, 2, 3, 4, 5} e {0, 2, 4, 6, 8} 293 (CESGRANRIO) - Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10 C foi aquecida até 30 C. O gráfico anterior representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0 C. (A) em 1995, foi de 322. (B) em 1994, foi de 345. (C) em 1993, foi de 370. (D) em 1992, foi de 392. (E) em 1991, foi de (UNIRIO) Considere a figura anterior, onde um dos lados do trapézio retângulo se encontra apoiado sobre o gráfico de uma função f. Sabendo-se que a área da região sombreada é 9cm 2, a lei que define f é: (A) 1 min (B) 1 min 5 seg (C) 1 min e 10 seg (D) 1 min e 15 seg (E) 1 min e 20 seg 294 (UEL) - Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1)=190 e f(50)=2.052, então f(20) é igual a: (A) 901 (B) 909 (C) 912 (D) 937 (E) (UFRS) - O ônibus X parte da cidade A com velocidade constante de 80 km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas da madrugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na direção e sentido do ônibus X, com velocidade constante de 100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela manhã, às: (A) 6 horas. (B) 8 horas. (C) 10 horas. (D) 11 horas. (E) 12 horas. 296 (FATEC) - O dono de uma rede hoteleira verificou que em certa região tem havido um decréscimo no número de hóspedes em seus pacotes promocionais, e esse decréscimo tem sido linear em relação ao tempo. Em 1982, a média foi de 600 pessoas por semana, enquanto que em 1990 a média semanal foi de 432. Dessa forma, o número médio de hóspedes por semana, (A) y= (7x/6) - 2 (B) y= (3x/4) - 1 (C) y= (2x/5) + 1 (D) y= (5x/2) - 1 (E) y= (4x/3) (PUC/MG) - A tabela mostra a expectativa de vida ao nascer de pessoas de um certo país: Supondo-se que a expectativa de vida aumente de forma linear, pode-se afirmar que uma pessoa nascida nesse país, no ano de 2010, deverá viver: Considere 1 ano como tendo 365 dias. (A) 77 anos e 6 meses. (B) 79 anos e 8 meses. (C) 77 anos, 7 meses e 9 dias. (D) 79 anos, 9 meses e 21 dias. 299 (PUC/MG) - Em certa cidade, durante os dez primeiros dias do mês de julho de 2003, a temperatura, em graus Celsius, foi decrescendo de forma linear de acordo com a função T(t) = -2t + 18, em que t é o tempo medido em dias. Nessas condições, pode-se afirmar que, no dia 8 de julho de 2003, a temperatura nessa cidade foi: (A) 0 C (B) 2 C (C) 3 C (D) 4 C 300 (UERJ) - O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo. SENA Cursos e Concursos ( Página 107

108 A baixa concentração de íon cálcio (Ca ++ no sangue estimula as glândulas paratireoides a produzirem hormônio paratireóide (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins. (Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas,1997.) Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o gráfico abaixo. 8.2 Gráfico Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas: Existem dois tipos de curvas para o gráfico de uma função exponencial: crescente e decrescente. Este é o gráfico de uma função exponencial decrescente. (Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: (A) 14 (B) 18 (C) 22 (D) 26 VIII FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x y = 3 x + 4 y = 0,5 x y = 4 x A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Este é o gráfico de uma função exponencial crescente Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais. Exemplo 1 Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v 0 * 2 0,2t, em que v 0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. Temos que v(10) = , então: SENA Cursos e Concursos ( Página 108

109 v(10) = v 0 * 2 0,2* = v 0 * = v 0 * 1/ : 1/ 4 = v 0 v 0 = * 4 v 0 = A máquina foi comprada pelo valor de R$ ,00. Exemplo 2 Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03 20 = 1,80. Temos a seguinte função exponencial P(x) = P 0 * (1 + i) t P(x) = 500 * (1 + 0,03) 20 P(x) = 500 * 1,03 20 P(x) = 500 * 1,80 P(x) = 900 O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 8.3 Equações Exponenciais As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe os exemplos: 2 x = x+1 = 9 4 x = x+2 = 512 As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação: 5 x = 625 (fatorando 625 temos: 5 4 ) 5 x = 5 4 x = 4 A solução da equação exponencial será x = 4. Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação. Exemplo 1 Vamos determinar a solução da equação 2 x + 8 = 512. Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 2 9. Então: 2 x + 8 = 2 9 x + 8 = 9 x = 9 8 x = 1 A solução da equação exponencial 2 x + 8 = 512 é x = 1. Exemplo 2 Resolva a equação. Transforme a raiz quinta em potência: 2 x = 128 1/5 Pela fatoração do número 128 temos 27, então: 2 x = (2 7 ) 1/5 x = 7. 1/5 x = 7/5 Portanto, a solução da equação exponencial é x = 7/5. Exemplo 3 Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2 x² - 7x + 12 = 1. Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1. Com base na regra, podemos dizer que 1 = 2 0, então: 2 x² - 7x + 12 = 2 0 x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo teorema de Bhaskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores: x = 3 e x = 4. Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2 x² - 7x + 12 = 1 é x = 3 e x = Inequações Exponenciais Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Confira alguns exemplos: SENA Cursos e Concursos ( Página 109

110 Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o estudo dos sinais. Não vamos mostrar o processo de resolução da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os leitores. Ao resolver, você encontrará D = 9, t 1 = 1 e t 2 = Resolução de inequações exponenciais A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de que f(x) = a x somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a < 1, f(x)= a x é decrescente. Antes de resolver uma inequação exponencial, devese observar a situação das bases nos dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais: Caso a > 1, mantenha o sinal original. Caso 0 < a < 1, inverta o sinal. Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver os exemplos das inequações anteriores. 2 x 128 Por fatoração, 128 = 2 7. Portanto: 2 x 2 7 como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes. x 7 S = {x R x 7} Como a > 0, a concavidade da parábola ficará para cima. Isso significa que, como estamos procurando valores que tornem a inequação positiva, ficamos com: t < 1 ou t > 4. Retornando à variável inicial: t = 2 x 2 x < 1 x < 0 lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1. 2 x > 4 2 x > 2 2 x > 2. S = {x R x < 0 ou x > 2} 2 x 8 2 x 2 3 x 3 (S 1 ) 3x 6 > 0 3x > 6 x > 2 (S 2 ) A solução final é dada pela interseção das duas soluções encontradas. S = S 1 S 2 S = {x R 2 < x 3} Exercícios Resolvidos Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário observar que 0 < a < 1. Diante dessa condição, inverte-se o sinal. x > 2. S = {x R x > 2} 4 x + 4 > 5. 2 x Perceba que, por fatoração, 4 x = 2 2x e 2 2x é o mesmo que (2 x )². Reescrevendo a inequação, temos: (2 x )² + 4 > 5. 2 x Chamando 2 x de t, para facilitar a resolução, ficamos com: t > 5t t 2 5t + 4 > Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3 2x + 3 x + 1 = 18: Resolução Para resolver a equação exponencial 3 2x + 3 x + 1 = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas. y 2 + y 3 1 = 18 y 2 + 3y 18 = 0 Tome y = 3 x. Temos a seguinte equação em função de y: y 2 + y 3 1 = 18 y 2 + 3y 18 = 0 SENA Cursos e Concursos ( Página 110

111 Vamos então resolver essa equação do 2 grau pela fórmula de Bhaskara: 5 x = 5 x = 1 Portanto, a solução da equação exponencial. Δ = b² 4.a.c Δ = 3² 4.1.( 18) Δ = Δ = 81 y = b ± Δ 2.a y = 3 ± y = 3 ± 9 2 Voltando à equação y = 3 x, temos: 5 x 1 5 x + 5 x + 2 = 119 é x = 1 95 (UFJF) - Dada a equação 2 3x 2 8 x + 1 = 4 x 1, podemos afirmar que sua solução é um número: (A) natural. (B) maior do que 1. (C) de módulo maior do que 1. (D) par. (E) de módulo menor do que 1. Resolução A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 2 3x 2 8 x + 1 = 4 x 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 2 2 e 8 = 2 3. Substituindo na equação: 2 3x 2 8 x + 1 = 4 x 1 2 3x 2 (2 3 ) x + 1 = (2 2 ) x 1 2 3x 2 2 3(x + 1) 2(x 1) = 2 2 3x 2 2 3x + 3 = 2 2x 2 2 (3x 2 ) + (3x + 3) = 2 2x 2 Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes: Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = Resolva a equação exponencial: 5 x 1 5 x + 5 x + 2 = 119 Resolução Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma: 5 x 1 5 x + 5 x + 2 = 5 x x + 5 x 5 2 = Colocando o termo 5 x em evidência, temos: 5 x ( ) = 5 x ( 1 / ) = (3x 2) + (3x + 3) = 2x 2 6x + 1 = 2x 2 6x 2x = 2 1 4x = 3 x = 3 4 x = ¾ Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra E, que afirma que x é um número de módulo menor do que (MACKENZIE/SP) - A soma das raízes da equação 2 2x x + 4 = 2 x é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 7 Resolução Para resolver a equação exponencial 2 2x x + 4 = 2 x , começaremos separando as potências que SENA Cursos e Concursos ( Página 111

112 apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências. Façamos 2 x = y: 2 2x x + 4 = 2 x x 2 x x 2 4 = 2 x y y 2 1 y 2 4 = y y y 16 = y y 2 16y 4y + 32 = 0 2y 2 20y + 32 = 0 Chegamos a uma equação do 2 grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final. y 2 10y + 16 = 0 Δ = b² 4.a.c Δ = ( 10)² Δ = Δ = 36 y = b ± Δ 2.a y = ( 10) ± y = 10 ± 6 2 (3 x ) x (3 x ) x x(x 1) 6 x² x 6 0 Agora utilizaremos a fórmula de Bhaskara: x' = = 6 = x'' = 1 5 = 4 = Δ = ( 1)² 4.1.( 6) Δ = Δ = 25 x = ( 1) ± x = 1 ± 5 Portanto, a solução da inequação é dada por: S = {x R 2 x 3} (VUNESP) - É dada a inequação: Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver a equação exponencial que criamos no início do exercício: O enunciado pediu a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x 1 = 3 e x 2 = 1, então a soma é x 1 + x 2 = = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra C. O conjunto verdade V, considerado o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por: (A) V = {x R x 3 ou x 2} (B) V = {x R x 3 e x 2} (C) V = {x R 3 x 2} (D) V = {x R x 3} (E) V = {x R x 2} Resolução Para resolver a inequação exponencial proposta no exercício, simplificaremos a fração 3 / 9 : 97 - Se x é um número real, resolva a inequação exponencial (3 x ) x Resolução Podemos reescrever essa inequação exponencial substituindo o número 729pela potência de base 3 e expoente 6. Feito isso, estabeleceremos a inequação apenas entre os expoentes: Multiplicaremos agora o expoente que está dentro dos parênteses pelos que estão fora: SENA Cursos e Concursos ( Página 112

113 Podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes: x² x 3 x 2 2 Multiplicaremos toda a inequação por dois: x² x 6 2x x² + x 6 0 Pela fórmula de Bhaskara, teremos: Δ = 1² 4.1.( 6) Δ = Δ = 25 x = 1 ± x = 1 ± Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial: Qual o valor de x na equação exponencial Calcule o conjunto solução do seguinte sistema de equações exponenciais: Determine o valor de x para que a expressão se torne verdadeira: x' = = 4 = x'' = 1 5 = 6 = Portanto, a alternativa que corresponde à solução encontrada é a letra A. 99 (UFRGS) - A solução da inequação 0,5 (1 x) > 1 é o conjunto: (A) {x R x > 1} (B) {x R x < 1} (C) {x R x > 0} (D) {x R x < 0} (E) Reais Inicialmente podemos escrever o número 1 como a potência de base 0,5 e expoente 0: 0,5 (1 x) > 1 0,5 (1 x) > 0,5 0 Como as bases das potências são iguais, podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes. Lembrando que, como a base é 0,5, um número menor do que 1, devemos inverter a desigualdade: Resolva a seguinte equação exponencial: Exercícios Propostos 306 (UNIRIO) - Uma indústria fabrica 100 produtos diferentes, que já estão no mercado. Para facilitar a identificação de cada produto, via computador, será criado um código de barras especial, onde cada barra é [] ou [ ]. O número mínimo de barras necessárias para se criar um código de barras que identifique cada um dos 100 produtos é igual a: (se necessário, use log 2 = 0,3) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 2) 307 (UERJ) - Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar, que representa a função y = ex. 1 x < 0 x < 1 x > 1 Portanto, a alternativa que apresenta a solução correta é a letra A SENA Cursos e Concursos ( Página 113

114 Utilizando f(d) = e-0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a: (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) (UNIFESP) - Uma forma experimental de insulina está sendo injetada a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga presente no corpo. O gráfico que melhor representa a quantidade Y da droga no organismo como função do tempo t, em um período de 24 horas, é 311 (FGV/2005) - Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, será y = A k x, em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador vale R$ 5000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: (A) R$ 625,00 (B) R$ 550,00 (C) R$ 575,00 (D) R$ 600,00 (E) R$ 650, (MACK) - Um aparelho celular tem seu preço y desvalorizado exponencialmente em função do tempo (em meses) t, representado pela equação y = p q t, com p e q constantes positivas. Se, na compra, o celular custou R$500,00 e, após 4 meses, o seu valor é 5 1 do preço pago, 8 meses após a compra, o seu valor será (A) R$25,00 (B) R$24,00 (C) R$22,00 (D) R$28,00 (E) R$20, (FMTM) - Uma cultura bacteriana apresenta inicialmente uma população de bactérias. Após t horas, sua população será de (1,2)t bactérias. A população da cultura será de bactérias após um número de horas igual a: Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f(x) = 2 x, João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que plota pontos aleatoriamente no interior desse retângulo. (A) 2. (B) 3. C) 4. (D) 5. (E) (UEL) - Um dos traços característicos dos achados arqueológicos da Mesopotâmia é a grande quantidade de textos, escritos em sua maioria sobre tabuinhas de argila crua. Em algumas dessas tabuinhas foram encontrados textos matemáticos datados de cerca de 2000 a.c. Em um desses textos, perguntava-se por quanto tempo deve-se aplicar uma determinada quantia de dinheiro a juros compostos de 20% ao ano para que ela dobre?. (Adaptado de: EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, p. 77.) Nos dias de hoje, qual equação seria utilizada para resolver tal problema? (A) (1,2) t = 2 (B) 2 t = 1,2 (C) (1,2)t = 2 (D) 2t = 1,2 (E) t 2 = 1,2 Sabendo que dos 1000 pontos plotados, apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a: (A) 4,32. (B) 4,26. (C) 3,92. (D) 3,84. (E) 3, (UFC) - A população de uma cidade X aumenta 1500 habitantes por ano e a população de uma cidade Y aumenta 3% ao ano. Considere os seguintes gráficos: SENA Cursos e Concursos ( Página 114

115 316 (UDESC) - A solução da equação exponencial 25 x 26.5 x +25=0 é: (A) 0 e 2 (B) 1 e 2 (C) -1 e 2 (D) 0 e -1 (E) 0 e 1 317(FGV) - Os números inteiros x e y satisfazem a equação. Analisando os gráficos acima, assinale a opção que indica aqueles que melhor representam os crescimentos populacionais P das cidades X e Y, respectivamente, em função do tempo T. (A) 1 e 2 (B) 2 e 3 (C) 1 e 4 (D) 2 e 4 (E) 3 e 4 Então x - y é: (A) 8 (B) 5 (C) 9 (D) 6 (E) (MACK) - Na figura temos o esboço do gráfico de y = a x + 1. O valor de 2 3a - 2 é: 315 (ENEM) - A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo. (A) 16 (B) 8 (C) 2 (D) 32 (E) 64 IX FUNÇÃO LOGARITMICA Toda função definida pela lei de formação f(x) = log a x, com a 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. O gráfico acima representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo. F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40. A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30 min será aproximadamente de (A) 10%. (B) 15%. (C) 25%. (D) 35%. (E) 50%. Exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log 2 x f(x) = log 3 x f(x) = log 1/2 x f(x) = log 10 x f(x) = log 1/3 x f(x) = log 4 x f(x) = log 2 (x 1) f(x) = log 0,5 x Determinando o domínio da função logarítmica SENA Cursos e Concursos ( Página 115

116 Dada a função f(x) = log (x 2) (4 x), temos as seguintes restrições: 1) 4 x > 0 x > 4 x < 4 2) x 2 > 0 x > 2 3) x 2 1 x 1+2 x 3 Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3,temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. Dessa forma, D = {x? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: Características do gráfico da função logarítmica y = log a x O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:? a > 1? 0 < a < 1 Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função crescente Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. Exercícios Resolvidos Estabeleça o domínio das funções a seguir: a) y = log 3 (x ½) b) y = log (x 1) (3x + 6) c) y = log (x + 2) (x² 4) Resolução (A) Para a função y = log 3 (x ½), temos apenas uma restrição: Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função decrescente x ½ > 0 x > ½ Então, o domínio da função logarítmica é D = {x x > ½}. (B) Para a função y = log (x 1) ( 3x + 9), temos as restrições: 3x + 9 > 0 3x > 9 x < 3 x 1 > 0 x > 1 x 1 1 x 2 Portanto, o domínio da função logarítmica y é D = {x 1 < x < 2 ou 2 < x < 3} (C) Para a função y = log (x + 2) (x² 4), temos as restrições: SENA Cursos e Concursos ( Página 116

117 x² 4 > 0 4 > x > 4 2 > x > 2 x + 2 > 0 x > 2 x x 1 O domínio da função logarítmica y é D = {x 2 < x < 1 ou 1 < x < 2} Construa o gráfico das funções: a) y = log 2 x b) y = log 1/2 x Resolução (A) Como a = 2 > 1, já sabemos que se trata de uma função crescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica: Para resolver essa inequação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação: log (0,95) t log 0,6 t. log (0,95) log 0,6 t log 0,6 log 0,95 t 9,95 Portanto, em até 10 dias, 1,2 milhões de pessoas terão visto o anúncio do produto. (B) y = 3 3.(0,95) t é uma função crescente e o gráfico da função logarítmica é: Gráfico da função y = log 2 x (B) Como a = ½ < 1, estamos trabalhando com uma função decrescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica: Gráfico da função y = 3 3.(0,95) t Um capital de R$ ,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: (A) O capital acumulado após dois anos. (B) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 3.(0,95) t, em que y é dado em milhões de pessoas. (A) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto? (B) Faça o gráfico de y em função de t. Resolução (A) O capital acumulado após um ano pode ser calculado através da fórmula de juros compostos: M = C. (1 + i) t Sendo C o capital de R$ ,00, i a taxa de juros de 0,08 e t o tempo de 2 anos, temos: M = C. (1 + i) t M = (1 + 0,08) 2 M = ,08 2 M = 13996,8 Resolução (A) Queremos encontrar o valor de t para y 1,2. Vamos então substituir esse valor de y na função: 3 3.(0,95) t = y 3 3.(0,95) t 1,2 3.(0,95) t 1,2 3 3.(0,95) t 1,8 (0,95) t 1,8 3 (0,95) t 0,6 Então, após dois anos, o capital acumulado foi de R$ ,80. (B) Considere x como o número de anos, i como a taxa de juros de 0,08, Como o capital inicial e M como o montante que deverá ser maior que o dobro do capital inicial, sendo assim, teremos: C. (1 + i) t > M C. (1 + i) t > 2C (1 + i) t > 2 (1 + 0,08) t > 2 1,08 t > 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 117

118 Aplicando o logaritmo em ambos os lados da inequação, teremos: log 1,08 t > log 2 t. log 1,08 > log 2 t > log 2 log 1,08 t > 0,301 0,033 t > 9,121 Portanto, será necessário o mínimo de 10 anos para que o capital acumulado seja o dobro do capital inicial O produto das soluções da equação (4 3 x ) 2 x = 1 é: (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) (PUCCAMP) - Considere a sentença a 2x + 3 > a 8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo: (A) x = 3 e a = 1 (B) x = -3 e a > 1 (C) x = 3 e a < 1 (D) x = -2 e a < 1 (E) x = 2 e a > As funções y = a x e y = b x com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em: (A) nenhum ponto; (B) 2 pontos; (C) 4 pontos; (D) 1 ponto; (E) infinitos pontos. Exercícios Propostos O gráfico da função real f(x) = x 2 2: (A) Intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); (B) Intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1); (C) Intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0); (D) Intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2) (E) Não intercepta o eixo dos x. (C) 180 (D) 810 (E) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: (A) O número ao qual se eleva a para se obter (B) O número ao qual se eleva b para se obter a (C) A potência de base b e expoente a. (D) A potência de base a e expoente b. (E) A potência de base 10 e expoente a. 325 (PUC) - Assinale a propriedade válida sempre: (A) log (a. b) = log a. log b (B) log (a + b) = log a + log b (C) log m. a = m. log a (D) log a m = log m. a (E) log a m = m. log a Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) 326 (CESGRANRIO) - Se log10123 = 2,09, o valor de log101, 23 é: (A) 0,0209 (B) 0,09 (C) 0,209 (D) 1,09 (E) 1, (UFSM) - Considerando f(x) = a x a função exponencial de base a e g(x) = logx a função logarítmica de base a, numere a 1 coluna de acordo com a 2. 1ª Coluna ( ) Domínio de f ( ) Imagem de g ( ) f(0) ( ) g(1) 2ª Coluna 1. Domínio de f 2. Domínio de g a 5. Imagem de g 6. Imagem de f 7. IR -{a} 8. g(a) 323 (FIC / FACEM) - A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = (0,9) x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: (A) 900 (B) 1000 A seqüência correta é: (A) (B) (C) (D) (E) (UFSM) - Se x > 0 e x 1, então a expressão SENA Cursos e Concursos ( Página 118

119 332 (UNIRIO) - O gráfico que melhor representa a função real definida por f(x)=in( x -1) é: (A) (B) (C) (D) (E) 329 (UFF) - A figura representa o gráfico da função f definida por f(x)=log 2 x. A medida do segmento PQ é igual a: 333 (PUCPR) - Se log(3x+23) - log(2x-3) = log4, encontrar x. (A) 4 (B) 3 (C) 7 (D) 6 (E) (PUCMG) - Se log n 3 > log n 5, então: (A) (B) (C) (D) (E) 330 (PUCRS) - Um aluno do Ensino Médio deve resolver a equação 2 x = 3 com o uso da calculadora. Para que seu resultado seja obtido em um único passo, e aproxime-se o mais possível do valor procurado, sua calculadora deverá possuir a tecla que indique a aplicação da função f definida por: (A) (B) (C) (D) (E) 331 (PUCPR) - A solução da equação -log y = log [y + (3/2)] está no intervalo: (A) (B) (C) (D) (E) (A) a < -1 (B) a > 3 (C) -1 < a < 0 (D) 0 < a < 1 X ESTATÍSTICA DESCRITIVA 10.1 DEFINIÇÃO A estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou está área da estatística. Deste modo, podemos então definir estatística como sendo a ciência que se preocupa com a coleta, organização, apresentação, análise e interpretação de dados. Didaticamente podemos dividir a estatística em duas partes: a estatística descritiva e a inferência estatística. A estatística descritiva se refere à maneira de apresentar um conjunto de dados em tabelas e gráficos, e ao modo de resumir as informações contidas nestes dados a algumas medidas. Já a inferência estatística baseia-se na teoria das probabilidades para estabelecer conclusões sobre todo um grupo (chamado população), quando se observou apenas uma parte (amostra) desta população. SENA Cursos e Concursos ( Página 119

120 receberá a denominação de variável que pode ser observada, medida ou contada nos elementos da população ou da amostra e que pode variar, ou seja, assumir um valor diferente de um elemento para outro. Não basta identificar a variável a ser trabalhada, é necessário fazer-se distinção entre os tipos de variáveis: Conceitos Fundamentais A estatística trabalha com dados, os quais podem ser obtidos por meio de uma população ou de uma amostra, definida como: População: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em comum. Esta característica deve delimitar corretamente quais são os elementos da população que podem ser animados ou inanimados. Amostra: subconjunto de elementos de uma população. Este subconjunto deve ter dimensão menor que o da população e seus elementos devem ser representativos da população. A seleção dos elementos que irão compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhecimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis. A estatística inferencial é a área que trata e apresenta a metodologia de amostragem. Parâmetro: é uma característica numérica estabelecida para toda uma população. Estimador: é uma característica numérica estabelecida para uma amostra. Dentre os modelos estatísticos podemos destacar os seguintes: Censo é um levantamento estatístico (pesquisa) que abrange todos os elementos de uma população. Amostragem é o processo de obter as amostras, com a finalidade de fazer generalizações sobre a população sem precisar examinar cada um de seus elementos. Em se tratando de conjuntossubconjuntos, estes podem ser: Finitos: possuem um número limitado de elementos. Infinitos: possuem um número ilimitado de elementos. Segundo Medronho (2003), elemento significa cada uma das unidades observadas no estudo. Após a determinação dos elementos pergunta-se: o que fazer com estes? Pode-se medi-los, observá-los e contá-los surgindo um conjunto de respostas que ORGANIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DOS DADOS Uma das formas de organizar e resumir a informação contida em dados observados é por meio de tabela de frequências e gráficos. Tabela de frequência: relaciona categorias (ou classes) de valores, juntamente com contagem (ou frequências) do número de valores que se enquadram em cada categoria ou classe Variáveis Quantitativas Medidas de posição: 1. Moda (mo): É o valor (ou atributo) que ocorre com maior frequência, Ex: 4,5,4,6,5,8,4,4 - Mo = 4 A moda (Mo) é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores observados. Para o caso de valores individuais, a moda pode ser determinada imediatamente observando-se o rol ou a frequência absoluta dos dados. Por outro lado, em se tratando de uma distribuição de frequência de valores agrupados em classes, primeiramente é necessário identificar a classe modal, aquela que apresenta a maior frequência, e a seguir a moda é calculada aplicando-se a fórmula: 2. Média Ex: 2,5,3,7,8 Média = [( )/5]=5 SENA Cursos e Concursos ( Página 120

121 Média aritmética - é a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número total de observações. Sob uma visão geométrica a média de uma distribuição é o centro de gravidade, representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados. É a medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de dados, para dados populacionais ou amostrais, respectivamente. Caso os dados estejam apresentados segundo uma distribuição de frequência, tem-se: para dados populacionais ou amostrais, respectivamente. Observe que no caso de dados agrupados a média é obtida a partir de uma ponderação, onde os pesos são as frequências absolutas de cada classe e xi é o ponto médio da classe i. Média Geométrica Este tipo de média é calculada multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto. Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n. Posição de Q1: q(0.25)=4,5 Posição de Q3: q(0.75)=11,25 Ex. 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos: Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; Grupo 2: 1, 3, 5, 7,9; e Grupo 3: 5,5,5,5,5. O p-quantil, 0<p<1, pode ser calculado como: O p- quantil, 0<p<1, pode ser calculado como: 3. Meridiana é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto de n dados ordenados. Posição da mediana: (n+1)/2 Ex: 2,5,3,7,8 Dados ordenados: 2,3,5,7,8 => (5+1)/2=3 => Md = 5 Ex: 3,5,2,1,8,6 Dados ordenados:1,2,3,5,6,8 => (6+1)/2=3,5 => Md=(3+5)/2=4 4. Percentis - O percentil de ordem px100 (0<p<1), em um conjunto de dados de tamanho n, é o valor da variável que ocupa a posição px(n+1) do conjunto de dados ordenados. O percentil de ordem p (ou p- quantil) deixa px100% das observações abaixo dele na amostra ordenada. Casos Particulares: Percentil 50=mediana, segundo quartil(md,q2,q(0,5)) Percentil 25= primeiro quartil (Q1), q(0,25) Percentil 75= terceiro quartil (Q3), q(0,75) Exemplos Medidas de dispersão: Finalidade: encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados 1. Amplitude (A): A=máx.-min Para os grupos anteriores, temos: Grupo 1, A=4 Grupo 2, A=8 Grupo 3, A=0 2. -Interquartil (d) - É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, d= Q3-Q1 Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12 Q1=4,5 e Q3=11,25 d =Q3-Q1=4,9-2,05=2,85 Ex(1): 15,5,3,8,10,2,7,11,12 =>n=9 => ordenamos: 2<3<5<7<8<10<11<12<15 P1=1/18; p2=3/18; p3=5/18; p4=7/18; p5=1/2; p6=11/18; p7=13/18; p8=15/18; p9=17/18 Posição Md : q(0.5)=8 Max, Min, Q1,Q3,Q2: importantes para se ter uma boa ideia da forma dos dados (simétrica ou assimétrica) e construir box-plots 3. Variância SENA Cursos e Concursos ( Página 121

122 Frequência absoluta da categoria i (número de indivíduos que pertencem à categoria i Frequência relativa da categoria i 4. Desvio Padrão, S Frequência relativa percentual da categoria i Organização de Variáveis Quantitativas 1. Quantitativas discretas: Organizam-se mediante tabelas de frequências e a representação gráfica é mediante gráfico de barras Exemplo: Considere a variável número de filhos dos dados da tabela Coeficiente de Variação. É uma medida de dispersão relativa; Elimina o efeito da magnitude dos dados; Exprime a variabilidade em relação a média Útil Comparar duas ou mais variáveis Tabela 2.1: Distribuição de frequências de funcionários da empresa, segundo o número de filhos. Exemplo: Altura e peso de alunos Observação 1: A partir da tabela 2.1 podemos recuperar as 20 observação da tabela 1.1, ou seja, Conclusão: Com relação as médias, os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que quanto a altura Organização de Variáveis Qualitativas aqui não temos perda de informação dos dados originais. Representação gráfica: Diagrama de Barras Podemos construir tabela de frequência que os quantificam por categoria de classificação e sua representação gráfica é mediante gráfico de barras, gráfico setorial ou em forma de pizza. Exemplo 1: Considere ao variável grau de Instrução dos dados da tabela 1. (Variável qualitativa) Determinação das medidas de posição e medidas de dispersão para variáveis quantitativas discretas agrupadas em tabela de frequências: SENA Cursos e Concursos ( Página 122

123 Média 6. Obtenha os limites de cada intervalo de classe. Exemplo: Considere a tabela 2.1 e determine a média de filhos dos funcionários. Mediana: 7. Construa uma tabela de frequências, constituída pelas seguintes colunas: Variância Número de ordem de cada intervalo (i) Limites de cada intervalo. Os intervalos são fechados á esquerda e aberta à direita: Ponto médio (ou marca de classe) de cada intervalo de classe: Cálculo da variância para os dados da tabela 2.1 Desvio Padrão 2. Quantitativas contínuas: Os seus valores podem ser qualquer número real e ainda geralmente existe um grande número de valores diferentes. Como proceder a construir uma tabela de frequência nestes casos? A alternativa consiste em construir classes ou faixas de valores e contar o número de ocorrências em cada faixa. No caso da variável salario podemos considerar as seguintes faixas de valores: [4,0; 7,0); [7,0;10,0);... NOTAÇÃO: 4, ,0 Procedimento de construção de tabelas de frequência para variáveis contínuas: 1. Escolha o número de intervalos de classe (k) 2. Identifique o menor valor (MIN) e o valor máximo (MAX) dos dados. 3. Calcule a amplitude dos dados (A): A=MAX MIN 4. Calcule o comprimento de cada intervalo de classe (h): Contagem dos dados pertencentes a cada intervalo. Frequências absolutas de cada intervalo de classe. Frequências relativas de cada intervalo de classe. Frequências acumuladas absolutas de cada intervalo de classe. Frequências acumuladas relativa de cada intervalo de classe. Frequências acumuladas relativa de cada intervalo de classe. Exemplo: Considere a variável salário da empresa comercializadora de produtos de informática. Procedimento: 1. Considere k=5. 2. MIN=4; MAX=23, A=MAX-MIN=23,30-4=19,30 4. h=19,3/5=3,86 5. h 3,9 6. Cálculo dos limites de cada intervalo: 5. Arredonde o valor de h de forma que seja obtido um número conveniente. SENA Cursos e Concursos ( Página 123

124 Os demais limites dos intervalos foram gerados seguindo o procedimento anterior. Ponto Médio Uma regra básica para a elaboração adequada do título de qualquer gráfico é verificar se o mesmo responde a três exigências: o quê, onde e quando Gráficos para Variáveis Qualitativas 1. Gráfico de barras De forma similar obtêm-se os outros pontos médios. Tabela 2.2: Distribuição de frequências da variável salário. Nesta organização de dados, temos perda de informação dos dados originais. Representação gráfica: A seguir, Histograma de frequências relativas (em %) para a variável salário. Relação trabalho e curso dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela 01. É um gráfico formado por retângulos horizontais de larguras iguais, onde cada um deles representa a intensidade de uma modalidade ou atributo. É recomendável que cada coluna conserve uma distância entre si de aproximadamente 2/3 da largura da base de cada barra, evidenciando deste modo, a não continuidade na seqüência dos dados GRÁFICOS Vamos agora fazer um estudo mais aprofundado dos Gráficos que são recursos visuais da Estatística utilizados para representar um fenômeno. Sua utilização em larga escala nos meios de comunicação social, técnica e científica, devem-se tanto à sua capacidade de refletir padrões gerais e particulares do conjunto de dados em observação, como à facilidade de interpretação e a eficiência com que resume informações dos mesmos. Embora os gráficos forneçam menor grau de detalhes que as tabelas, colocam em evidência as tendências, as ocorrências ocasionais, os valores mínimos e máximos e também as ordens de grandezas dos fenômenos que estão sendo observados. Ao incluir um gráfico em um trabalho, sua identificação deve aparecer na parte inferior, precedido pela palavra Gráfico seguida de seu número de ordem de ocorrência no texto (algarismos arábicos), de seu respectivo título e/ou legenda explicativa de maneira breve e clara (dispensando a leitura do texto) e da fonte de onde se extraiu os dados. O objetivo deste gráfico é de comparar grandezas e é recomendável para variáveis cujas categorias tenham designações extensas. 2. Gráfico de colunas É o gráfico mais utilizado para representar variáveis qualitativas. Difere do gráfico de barras por serem seus retângulos dispostos verticalmente ao eixo das abscissas sendo mais indicado quando as designações das categorias são breves. Também para este tipo de gráfico deve ser preservada a distância entre cada retângulo de, aproximadamente, 2/3 da largura da base de cada coluna. O número de colunas ou barras do gráfico não deve ser superior a 12 (doze). Meios de informação utilizados pelos alunos da disciplina Inferência Estatística, curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela 01. SENA Cursos e Concursos ( Página 124

125 Ao se descrever simultaneamente duas ou mais categorias para uma variável, é conveniente fazer uso dos gráficos de barras ou colunas justapostas (ou sobrepostas), chamados de gráficos comparativos. De acordo com as normas contidas em Gráficos (UFPR, 2001), este tipo de gráfico só deve ser utilizado quando apresentar até três elementos para uma série de no máximo quatro valores. Este tipo de gráfico permite representar séries longas, o que auxilia detectar suas flutuações tanto quanto analisar tendências. Também podem ser representadas várias séries em um mesmo gráfico. 3. Gráfico de setores Tipo de gráfico onde a variável em estudo é projetada num círculo, de raio arbitrário, dividido em setores com áreas proporcionais às frequências das suas categorias. São indicados quando se deseja comparar cada valor da série com o total. Recomenda-se seu uso para o caso em que o número de categorias não é grande e não obedece a alguma ordem específica. A Figura mostra um gráfico de setores para a variável município de procedência que constam na Tabela 01. O procedimento para o cálculo do ângulo correspondente a cada categoria é feito por meio de simples proporções: 360º que corresponde a um círculo completo está para o total de alunos entrevistados, 22, assim como xº está para o total de alunos que pertencem à categoria desejada Gráficos Para Variáveis Quantitativas Discretas 1. Gráfico de bastões Este gráfico é formado por segmentos de retas perpendiculares ao eixo horizontal (eixo da variável), cujo comprimento corresponde à frequência absoluta ou relativa de cada elemento da distribuição. Suas coordenadas não podem ser unidas porque a leitura do gráfico deve tornar claro que não há continuidade entre os valores individuais assumidos pela variável em estudo. Número de irmãos dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela Gráfico da frequência acumulada Município de procedência dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela Gráfico de linhas Sua aplicação é mais indicada para representações de séries temporais sendo por tal razão, conhecidos também como gráficos de séries cronológicas. Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a mensuração da variável em estudo e na abscissa (x), as unidades da variável numa ordem crescente. A Figura 08 mostra o gráfico para frequência acumulada de uma variável quantitativa discreta. Na abscissa são alocados os valores assumidos pela variável número de irmãos e no eixo das ordenadas suas frequências acumuladas. Observa-se que a leitura do gráfico exige alguns cuidados básicos: caso o valor da variável esteja ou não incluído, sua frequência acumulada difere. Se for de interesse saber quantos alunos tem dois ou menos irmãos (inclui-se dois irmão), a frequência acumulada é de 19 alunos. Caso se queira apenas saber quantos alunos têm menos de dois irmãos (portanto o número dois não SENA Cursos e Concursos ( Página 125

126 está incluso), sua frequência acumulada é de 7 alunos. Número acumulado de irmãos dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela Gráficos para Variáveis Quantitativas Contínuas 1. Histograma É um gráfico de colunas justapostas que representa uma distribuição de frequência para dados contínuos ou uma variável discreta quando esta apresentar muitos valores distintos. No eixo horizontal são dispostos os limites das classes segundo as quais os dados foram agrupados enquanto que o eixo vertical corresponde às frequências absolutas ou relativas das mesmas. Quando os dados são distribuídos em classes de mesma amplitude, Figura 09 (a), todas as colunas apresentam bases iguais com alturas variando em função das suas frequências absolutas ou relativas. Idade dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela Polígono de frequência É um gráfico de linha cuja construção é feita unindo-se os pontos de coordenadas de abscissas correspondentes aos pontos médios de cada classe e as ordenadas, às frequências absolutas ou relativas dessas mesmas classes. Uma das vantagens da aplicação de polígonos de frequências é que, por serem gráficos de linhas, permitem a comparação entre dois ou mais conjuntos de dados por meio da superposição dos mesmos. Neste caso, tem-se que a área de cada retângulo depende apenas da sua altura enquanto que no caso de dados agrupados em classes de dimensões diferentes, a área de cada coluna já não é mais proporcional à sua altura. Como a altura de cada classe precisa variar simultaneamente com sua largura, é necessário que a área de cada uma das colunas permaneça em proporção conveniente, o que pode ser obtido dividindo-se as frequências das classes pelas respectivas amplitudes e construindo-se o histograma a partir destas frequências. Portanto, pode-se dizer que no primeiro caso, o eixo dos valores informa sobre a frequência relativa de cada classe, no segundo caso, tal procedimento perde todo significado, e é necessário comparar as áreas para interpretar as informações que são expostas. Idade dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela Gráfico da frequência acumulada ou Ogiva É um gráfico que permite descrever dados quantitativos por meio da frequência acumulada. A ogiva é um gráfico de linha que une os pontos cujas abscissas são os limites superiores das classes, e, ordenadas suas respectivas frequências acumuladas. SENA Cursos e Concursos ( Página 126

127 Convém observa-se que o ponto inicial desse gráfico é o limite inferior do primeiro intervalo, com frequência acumulada zero, pois não existe qualquer valor inferior a ele. Quando os dados contidos em cada classe são distribuídos uniformemente, pode-se estimar, a partir da ogiva, o número de elementos pertencentes a qualquer uma das classes que compõe a distribuição de frequência dos dados e a quantidade ou porcentagem de elementos que estão abaixo de certo valor pertencente ao conjunto de dados Em um grupo de pessoas, as idades são: 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa de 16 anos junte-se ao grupo, o que acontece com a média das idades do grupo? Resolução Pela Figura abaixo, nota-se que não existem alunos com idade inferior a 18 anos enquanto que abaixo de 34 anos existem vinte alunos A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir. Idade acumulada dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM, 21/03/2005. Fonte: Tabela Ramo-e-Folhas Calcule a média salarial dessa empresa Resolução O diagrama Ramo-e-Folhas, criado por John Tukey, é um procedimento utilizado para armazenar os dados sem perda de informação. É utilizado para se ter uma idéia visual da distribuição dos dados. Cada valor observado, xi, da variável X, deve consistir de no mínimo dois dígitos e a variável pode ser tanto quantitativa discreta como contínua. Para construí-lo, divide-se cada número em duas partes. A primeira é denominada ramo e a segunda, folhas. O ramo consistirá de um ou mais dígitos iniciais se o valor da variável for um número inteiro e do número inteiro, se o valor da variável for um número com decimais. Nas folhas, colocam-se os dígitos restantes se o valor observado for número inteiro, ou os decimais, caso contrário. A Figura a seguir apresenta o ramo-e-folhas correspondente a variável idade de alunos. 106 (UNICAMP/SP) - Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min 46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores? Resolução Idade dos alunos da disciplina Inferência Estatística do curso de Estatística da Universidade Estadual de Maringá, 21/03/2005. Fonte: Tabela 01. SENA Cursos e Concursos ( Página 127

128 107(UNIFOR/CE) - Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados: O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi: (A) 178 (B) 182 (C) 184 (D) 188 (E) 191 Resolução Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos: x + 26% + 24% + 22% = 100% x = 100% 72% x = 28% Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos: 28% de x = 196 0,28x = 196 x = 196/0,28 x = 700 O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, então: 26% de 700 0,26 * votos Resposta correta item B. 108 (FGV/SP) - A tabela abaixo representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de: (A) R$ 2 637,00 (B) R$ 2 520,00 (C) R$ 2 500,00 (D) R$ 2 420,00 (E) R$ 2 400,00 Resolução O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Gols marcados Quantidade de partidas Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a moda, então: (A) X = Y < Z. (B) Z < X = Y. (C) Y < Z < X. (D) Z < X < Y. (E) Z < Y < X. Resolução Primeiramente, vamos calcular a média (X). Nesse caso, utilizaremos a média ponderada, que nada mais é do que uma especificação da média aritmética. Se houve cinco partidas com nenhum gol, deveríamos somar ; três partidas com um gol: e assim por diante. Através do cálculo da média ponderada, temos: X = X = X = X = 2,25 SENA Cursos e Concursos ( Página 128

129 Vamos calcular a mediana (Y). Para isso, basta organizar os gols marcados em ordem crescente: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7 Ao organizarmos os gols marcados em ordem crescente, podemos observar que há dois valores centrais. Vamos então fazer o cálculo da média aritmética entre eles: Y = Y = 2 Resta-nos encontrar a moda (Z). Para isso, basta olhar na tabela e verificar qual é a maior quantidade de partidas com o mesmo número de gols marcados. Facilmente podemos constatar que houve cinco partidas sem nenhum gol marcado. Ao olharmos a sequência montada para verificar a mediana, também podemos ver que o número zero é o que mais se repete. Portanto, a moda é zero. Se Z = 0, Y = 2 e X = 2,25, então a alternativa correta é a letra E, que apresenta Z < Y < X Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro. Dia do mês Temperatura (em ºC) 1 15, , , , , , , , Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a: (A) 17 C, 17 C e 13,5 C. (B) 17 C, 18 C e 13,5 C. (C) 17 C, 13,5 C e 18 C. (D) 17 C, 18 C e 21,5 C. (E) 17 C, 13,5 C e 21,5 C Resolução - Vamos procurar o valor da média aritmética somando todos os valores de temperatura encontrados e dividindo a soma pela quantidade de dias analisados: M.A. = 15, , , ,5+13, ,5+1 3,5+21, M.A. = M.A. = 17 A média das temperaturas é de 17 C. Para calcular a mediana, vamos organizar os valores em ordem crescente: 13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 21,5; 20 O valor central é o 18, então, sem que seja necessário fazer qualquer cálculo, podemos afirmar que a mediana é 18 C. A moda é o valor mais frequente entre as informações apontadas. A temperatura de 13,5 C aparece quatro vezes na tabela, sendo a mais frequente. Portanto, a moda é 13,5 C. Sendo assim, a alternativa correta é a letra b, que aponta que a média, a mediana e a moda são, respectivamente, 17 C, 18 C e 13,5 C. Exercícios Propostos 335 (VUNESP/2009) - A Amazônia Legal, com área de aproximadamente Km2, compreende os estados do Acre, Amapá, Amazonas, km Mato Grosso, Pará, Rondônia, Roraima e Tocantins, e parte do estado do Maranhão. Um sistema de monitoramento e controle mensal do desmatamento da Amazônia utilizado pelo INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) é o Deter (Detecção de SENA Cursos e Concursos ( Página 129

130 Desmatamento em Tempo Real). O gráfico apresenta dados apontados pelo Deter referentes ao desmatamento na Amazônia Legal, por estado, no período de 1.º de julho de 2007 a 30 de junho de 2008, totalizando km2 de área desmatada. 337 (ENEM/2003) - A eficiência do fogão de cozinha pode ser analisada em relação ao tipo de energia que ele utiliza. O gráfico abaixo mostra a eficiência de diferentes tipos de fogão. Pode-se verificar que a eficiência dos fogões aumenta: Com base nos dados apresentados, podemos afirmar: (A) O estado onde ocorreu a maior quantidade de km2 Desmatados foi o do Pará. (B) A área total de desmatamento corresponde a menos de 0,1% da área da amazônia legal. (C) Somando-se a quantidade de áreas desmatadas nos estados de Roraima e Tocantins, obtemos um terço da quantidade de área desmatada em Rondônia. (D) O estado do mato grosso foi responsável por mais de 50% do desmatamento total detectado nesse período. (E) As quantidades de áreas desmatadas no acre, maranhão e amazonas formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. (A) À medida que diminui o custo dos combustíveis. (B) À medida que passam a empregar combustíveis renováveis. (C) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a lenha por fogão a gás. (D) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a gás por fogão elétrico. (E) Quando são utilizados combustíveis sólidos. 338 (ENEM/ A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. 336 (FUVEST/1999) - A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico: De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente: (A) 14%. (B) 48%. (C) 54%. (D) 60%. (E) 68%. Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos? 339 (ENEM/2005) - A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. (A) 16 anos e 10 meses. (B) 17 anos e 1 mês. (C) 17 anos e 5 meses. (D) 18 anos e 6 meses. (E) 19 anos e 2 meses. SENA Cursos e Concursos ( Página 130

131 De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente: (A) 14%. (B) 48%. (C) 54%. (D) 60%. (E) 68%. 340 (UFC/2003) - A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: (A) 13 (B) 10 (C) 23 (D) (UERJ-1998) - A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta. Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: (A) 6,5 (B) 7,2 (C) 7,4 (D) 7,8 (E) 8,0 341 (PUC-SP/1998) - A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se um desses números, a média aritmética dos 99 números restantes passará a ser 40,5. O número retirado equivale a: (A) 9,5% (B) 75% (C) 95% (D) 750% (E) 950% 342 (FGV/2005) - A média das alturas dos 6 jogadores em quadra de um time de vôlei é 1,92m. Após substituir 3 jogadores por outros, a média das alturas do time passou para 1,90m. Nessas condições, a média, em metros, das alturas dos jogadores que saíram supera a dos que entraram em: (A) 0,03. (B) 0,04. (C) 0,06. (D) 0,09. (E) 0, (MACK/2003) - A média das notas de todos os alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 6,3 e a das moças é 4,3, a porcentagem de rapazes na turma é: (A) 4,50 (B) 5,00 (C) 5,50 (D) 6, (FGV/2003) - A seqüência definida abaixo por recorrência: é chamada seqüência de Fibonacci. A média aritmética dos 5 primeiros termos desta seqüência vale: (A) 2,1 (B) 2,2 (C) 2,3 (D) 2,4 (E) 2,5 347 (UFPB/2006) - A tabela abaixo apresenta o percentual de candidatos por faixa de pontuação, na prova discursiva de Matemática do PSS-2005/UFPB. (A) 60% (B) 65% (C) 70% (D) 75% (E) 80% 344 (UFMG/1998) - A média das notas na prova de Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 pontos. Nenhum dos alunos obteve nota inferior a 60 pontos. O número máximo de alunos que podem ter obtido nota igual a 90 pontos é: Fonte: COPERVE/UFPB SENA Cursos e Concursos ( Página 131

132 Com base nesses dados, é correto afirmar: (A) Mais de 10% obtiveram, no mínimo, 13 pontos. (B) No máximo, 40% obtiveram até 4 pontos. (C) Mais de 70% obtiveram, no máximo, 8 pontos. (D) Mais de 3% obtiveram de 17 a, no máximo, 20 pontos. (E) Mais de 4% obtiveram de 17 a 24 pontos. 348 (UNIFESP/2006) - André aplicou parte de seus R$ ,00 a 1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. No final de um mês, recebeu um total de R$ 194,00 de juros das duas aplicações. O valor absoluto da diferença entre os valores aplicados a 1,6% e a 2% é: (A) R$4.000,00. (B) R$5.000,00. (C) R$6.000,00. (D) R$7.000,00. (E) R$8.000,00. (A) Apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39% do total de votos. (B) Apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer. (C) O candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre X. (D) O candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo, 1% sobre X. (E) O candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre o candidato Y. 351 (ENEM/2002) - A tabela mostra a evolução da frota de veículos leves, e o gráfico, a emissão média do poluente monóxido de carbono (em g/km) por veículo da frota, na região metropolitana de São Paulo, no período de 1992 a (ENEM-2007) - A tabela abaixo representa, nas diversas regiões do Brasil, a porcentagem de mães que, em 2005, amamentavam seus filhos nos primeiros meses de vida. Ao ingerir leite materno, a criança adquire anticorpos importantes que a defendem de doenças típicas da primeira infância. Nesse sentido, a tabela mostra que, em 2005, percentualmente, as crianças brasileiras que estavam mais protegidas dessas doenças eram as da região: (A) Norte. (B) Nordeste. (C) Sudeste. (D) Sul. (E) Centro-Oeste. 350 (ENEM/2004) - Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um número significativo de eleitores, dos quais 36% responderam que iriam votar no candidato X; 33%, no candidato Y e 31%, no candidato Z. A margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para menos. Os técnicos do instituto concluíram que, se confirmado o resultado da pesquisa, Comparando-se a emissão média de monóxido de carbono dos veículos a gasolina e a álcool, pode-se afirmar que: I. No transcorrer do período , a frota a álcool emitiu menos monóxido de carbono. II. Em meados de 1997, o veículo a gasolina passou a poluir menos que o veículo a álcool. III. O veículo a álcool passou por um aprimoramento tecnológico. É correto o que se afirma apenas em: (A) I. (B) I e II. (C) II. (D) III. (E) II e III. SENA Cursos e Concursos ( Página 132

133 352 (ENEM/2002) - As áreas numeradas no gráfico mostram a composição em volume, aproximada, dos gases na atmosfera terrestre, desde a sua formação até os dias atuais. (D) Mais cedo e ser fermentadas por mais tempo, para obtenção de vinhos mais alcoólicos. (E) Mais tarde e ser fermentadas por menos tempo, para a obtenção de vinhos menos alcoólicos. 354 (ENEM/2004) - As empresas querem a metade das pessoas trabalhando o dobro para produzir o triplo. (Revista Você S/A, 2004) Preocupado em otimizar seus ganhos, um empresário encomendou um estudo sobre a produtividade de seus funcionários nos últimos quatro anos, entendida por ele, de forma simplificada, como a relação direta entre seu lucro anual (L) e o número de operários envolvidos na produção (n).do estudo, resultou o gráfico abaixo. No que se refere à composição em volume da atmosfera terrestre há 2,5 bilhões de anos, pode-se afirmar que o volume de oxigênio, em valores percentuais, era de, aproximadamente, (A) 95%. (B) 77%. (C) 45%. (D) 21%. (E) 5%. 353 (ENEM/2006) - As características dos vinhos dependem do grau de maturação das uvas nas parreiras porque as concentrações de diversas substâncias da composição das uvas variam à medida que as uvas vão amadurecendo. O gráfico a seguir mostra a variação da concentração de três substâncias presentes em uvas, em função do tempo. Ao procurar, no gráfico, uma relação entre seu lucro, produtividade e número de operários, o empresário concluiu que a maior produtividade ocorreu em 2002, e o maior lucro: (A) Em 2000, indicando que, quanto maior o número de operários trabalhando, maior é o seu lucro. (B) Em 2001, indicando que a redução do número de operários não significa necessariamente o aumento dos lucros. (C) Também em 2002, indicando que lucro e produtividade mantêm uma relação direta que independe do número de operários. (D) Em 2003, devido à significativa redução de despesas com, salários e encargos trabalhistas de seus operários. (E) Tanto em 2001, como em 2003, o que indica não haver relação significativa entre lucro, produtividade e número de operários. 355 (ENEM/2004) - As Olimpíadas são uma oportunidade para o congraçamento de um grande número de países, sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características culturais, socioeconômicas e étnicas. O teor alcoólico do vinho deve-se à fermentação dos açúcares do suco da uva. Por sua a acidez do vinho produzido é proporcional à concentração dos ácidos tartárico e málico. Considerando-se as diferentes características desejadas, as uvas podem ser colhidas: Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 300 medalhas de ouro conquistadas apresentou a seguinte distribuição entre os 196 países participantes como mostra o gráfico. (A) Mais cedo, para a obtenção de vinhos menos ácidos e menos alcoólicos. (B) Mais cedo, para a obtenção de vinhos mais ácidos e mais alcoólicos. (C) Mais tarde, para a obtenção de vinhos mais alcoólicos e menos ácidos. SENA Cursos e Concursos ( Página 133

134 Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000, (A) Cada país participante conquistou pelo menos uma. (B) Cerca de um terço foi conquistado por apenas três países. (C) Os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados. (D) Os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados. (E) Cerca de um quarto foi conquistado pelos estados unidos. 356 (FMTM/2002) - Chama-se de inverso de um número real x diferente de zero, o número 1/x. Sejam a e b dois números reais positivos diferentes entre si e diferentes de zero. Nessas condições, o inverso da média aritmética dos inversos de a e b será: (A) Igual a zero. (B) Menor que a média aritmética de a e b. (C) Maior que a média aritmética de a e b. (D) Igual à média aritmética de a e b. (E) Menor que zero. 357 (NOVO ENEM/2009) - Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinada prova. A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nesta prova é igual a: (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) (NOVO ENEM/2009) - Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período Investimentos Bilaterais (em milhões de dólares) Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor. (A) Inferior a 300 milhões de dólares. (B) Superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. (C) Superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. (D) Superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. (E) Superior a 600 milhões de dólares. 358 (IBMEC/2005) - Chama-se mediana de um conjunto de 50 dados ordenados em ordem crescente o número x dado pela média aritmética entre os 25º- e o 26º- dado. Observe no gráfico a seguir uma Disponível em: Acesso em 16 jul (adaptado). Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a: (A) 355 milhões. (B) 400 milhões. (C) 426 milhões. (D) 441 milhões. (E) 477 milhões. 360 (VUNESP/2009) - Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. SENA Cursos e Concursos ( Página 134

135 (C) O Brasil chega à idade adulta (D) O Brasil troca a escola pela fábrica (E) O Brasil de cabelos brancos Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi: (A) 9,0. (B) 8,5. (C) 8,3. (D) 8,0. (E) 7, (MACK/2007) - Em um concurso foi aplicada uma prova a 1000 candidatos, distribuídos em cinco grupos, A, B, C, D e E, conforme tabela abaixo. 361 (ENEM/2005) - Em uma área observa-se o seguinte regime pluviométrico: A média aritmética final das notas da prova é: Os anfíbios são seres que podem ocupar tanto ambientes aquáticos quanto terrestres. Entretanto, há espécies de anfíbios que passam todo o tempo na terra ou então na água. Apesar disso, a maioria das espécies terrestres depende de água para se reproduzir e o faz quando essa existe em abundância. Os meses do ano em que, nessa área, esses anfíbios terrestres poderiam se reproduzir mais eficientemente são de: (A) Setembro a dezembro. (B) Novembro a fevereiro. (C) Janeiro a abril. (D) Março a julho. (E) Maio a agosto. 362 (ENEM/2002) - Em reportagem sobre crescimento da população brasileira, uma revista de divulgação científica publicou tabela com a participação relativa de grupos etários na população brasileira, no período de 1970 a 2050 (projeção), em três faixas de idade: abaixo de 15 anos; entre 15 e 65 anos; e acima de 65 anos. (A) 4,8 (B) 5,2 (C) 3,6 (D) 3,2 (E) 2,9 364 (UNIFESP/2003) - Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais: (A) Aumenta 8%. (B) Aumenta 4,4%. (C) Aumenta 1,6%. (D) Diminui 1,4%. (E) Diminui 7,6%. Questões Aplicadas em Concursos A seguir das questões 365 a 540 você terá acesso às questões aplicadas nos últimos Concursos Públicos Militares realizados pelas Forças Armadas e Auxiliares 365 (CFS B/EEAer 2014/15) - A solução da inequação 2(x + 2) + 5x 4(x + 3) é um intervalo real. Pode-se afirmar que pertence a esse intervalo o número (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5 (A) O Brasil de fraldas (B) Brasil: ainda um país de adolescentes 366 (CFS B/EEAer 2014/15) - Se a distância entre A(2 3, y) e B (4 3, 1) é 4, o valor y pode ser: (A) 1. (B) 0. (C) 1 (D) 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 135

136 367 (CFS B/EEAer 2014/15) - Se i é a unidade imaginária, pode-se afirmar que i 7 é igual a: (A) i. (B) i 2 (C) i 3. (D) i (CFS B/EEAer 2014/15) - A equação: (x 2 + 3)(x 2)(x + 1) = 0 tem raízes reais. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Se C(a, b) e r são, respectivamente, o centro e o raio da circunferência de equação (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 16, o valor de a + b + r é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Sejam f 1 e f 2 as frequências da 1ª e da 2ª classes da Distribuição representada no polígono de frequências. Assim, f 1 + f 2 é igual a: (A) 15. (B) 20. (C) 25. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Seja a função f: IR IR definida por f(x) = 4x 3. Se 1f é a função inversa de f, então ) 5(f 1) é: de maneiras diferentes de se montar esse brinquedo é: (A) 4. (B) 12. (C) 24. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Se f(x) = log x e a. b = 1, então f(a) + f(b) é igual a: (A) 0. (B) 1. (C) 10. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Em uma PG de razão 6, o quarto termo é 48. Assim, o primeiro termo é: (A) 2. (B) 3. (C) 1 6 (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Seja: A matriz: (A) 17 A Matriz tem como soma de seus (B) 17 1 (C) 2. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - Sejam os pontos A(x, 1), M(1, 2) e B(3, y). Se M é ponto médio de AB, então x.y é igual a: elementos o valor: (A) 7. (B) 5. (C) 4. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - A distribuição apresenta os resultados de um levantamento feito com os alunos e funcionários de uma determinada escola, sobre o tempo diário gasto com a leitura de jornais. (A) 3. (B) 1. (C) 1. (D) (CFS B/EEAer 2014/15) - O ponto de intersecção dos gráficos das funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x 1 pertence ao quadrante. (A) 1º (B) 2º (C) 3º (D) 4º 374 (CFS B/EEAer 2014/15) - Um determinado brinquedo possui uma haste onde devem ser colocadas 4 peças de formatos diferentes. O número Nessa distribuição, o percentual de pessoas cujo tempo de leitura é maior ou igual a 20 min é: (A) 12%. SENA Cursos e Concursos ( Página 136

137 (B) 16%. (C) 20%. (D) 25%. 379 (CFSB / EEAer 2015/16) Quatro números estão dispostos de forma tal que constituem uma PG finita. O terceiro termo é igual a 50 e a razão é igual a 5. Desta maneira, o produto de a 1.a 4 vale: (A) 10 (B) 250 (C) 500 (D) 1250 são iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente: (A) 3 e 1 (B) 2 e 1 (C) 2 e -1 (D) 3 e (CFSB / EEAer 2015/16) Ao calcular a média aritmética das notas dos Testes Físicos (TF) de suas três turmas, um professor de Educação Física anotou os seguintes valores: 380 (CFSB / EEAer 2015/16) Dado o polinômio: ax 3 + (2a + b)x2 + cx + d 4 = 0, os valores de a e b para que ele seja um polinômio de 2º grau são: (A) a = 0 e b = 0 (B) a = 1 e b 0 (C) a = 0 e b 0 (D) a = -1 e b = (CFSB / EEAer 2015/16) A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(6, 8) é dada por: (A) y = 7x + 1 A média aritmética das notas do TF dos 90 alunos das turmas A, B e C é: (A) 8,0 (B) 8,1 (C) 8,2 (D) 8,3 386 (CFSB / EEAer 2015/16) A distribuição dos salários dos 20 funcionários de uma empresa está representada no quadro a seguir. (B) y = 6x + 1 (C) y = 7 6 x + 1 (D) y = 6 7 x (CFSB / EEAer 2015/16) Se são matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são respectivamente: (A) 1, -1, 1, 1 (B) 1, 1, -1, -1 (C) 1, -1, 1, -1 (D) -1, -1, -2, (CFSB / EEAer 2015/16) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. A partir deles, podem ser criados números pares de quatro algarismos distintos. Os valores que completam corretamente as lacunas do quadro são: (A) f i = 10; f ia = 13; f r = 30 (B) f i = 10; f ia = 13; f r = 20 (C) f i = 8; f ia = 11; f r = 20 (D) f i = 8; f ia = 19; f r = (CFSB / EEAer 2015/16) A distribuição de frequência abaixo refere-se à exportação de soja realizada por uma Cooperativa no mês de abril. (A) 60 (B) 120 (C) 180 (D) (CFSB / EEAer 2015/16) Sabe-se que os números complexos SENA Cursos e Concursos ( Página 137

138 Com base nos dados apresentados, a mediana da distribuição pertence à: (A) 2ª classe (B) 3ª classe (C) 4ª classe (D) 5ª classe 388 (CFSB / EEAer 2015/16) Sabe-se que os números complexos (A) 0 x = não é raiz do polinômio p (x) (B) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 ou x = 1 são raízes de p (x) (C) Se 0 a = e,3 b = o resto da divisão de p por (x) 3x 2 x = 1 é zero. (D) Se a = b = 0 tem-se que x = - 1 i é uma raiz de 2 p(x) considerando que i 2 = (AFA 2014/15) Considere os números complexos: e são iguais. Então, os valores de m e n são respectivamente: (A) 3 e 1 (B) 2 e 1 (C) 2 e -1 (D) 3 e (CFSB / EEAer/2015) Na função E as relações O menor argumento de todos os complexos que satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é: Sabendo que, m e n são, respectivamente: os valores de (A) 1 e -1 (B) -2 e 3 (C) 6 e -1 (D) 6 e (CFSB / EEAer 2015/16) Para que o determinante da matriz deve ser igual a: (A) 2 (B) 0 (C) -1 (D) -2 seja 3, o valor de b 391 (CFSB / EEAer 2015/16) A progressão aritmética, cuja fórmula do termo geral é dada por a n = 5n -18, tem razão igual a: (A) -5 (B) -8 (C) 5 (D) (AFA 2014/15) Alex possui apenas moedas de 25 centavos, de 50 centavos e de 1 real, totalizando 36 moedas. Sabe-se que a soma do número de moedas de 25 centavos com o dobro do número de moedas de 50 centavos é igual à diferença entre 82 e 5 vezes o número de moedas de 1 real. Nessas condições é correto afirmar que: (A) Esse problema possui no máximo 7 soluções. (B) O número de moedas de 25 centavos nunca será igual ao número de moedas de 50 centavos. (C) O número de moedas de 50 centavos poderá ser igual à soma do número de moedas de 25 centavos com as de 1 real. (D) O número de moedas de 1 real pode ser (AFA 2014/15) Considere as funções reais f e g definidas por: 392 (AFA 2014/15) Considere o polinômio e marque a alternativa INCORRETA. e marque a alternativa FALSA. SENA Cursos e Concursos ( Página 138

139 importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações: I. Obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. II. Se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria nenhum dos dois. 396 (AFA 2014/15) Nas expressões x, y e z, considere a simbologia: log é o logaritmo decimal; i é a unidade imaginária dos números complexos; sen é o seno de um arco; e n! é o fatorial de n. Se E então o valor de x y + z é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem é: (A) (B) (C) (D) (AFA 2014/15) Um jogo é decidido com um único lançamento do dado cuja planificação está representada abaixo. 397 (AFA 2014/15) Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M: M t é a matriz transposta de M M 1 é a matriz inversa de M det M é o determinante da matriz M Da equação X t 1 A B C, em que A e B C são matrizes quadradas de ordem n e imersíveis, afirma-se que: Participam desse jogo quatro pessoas: Carlos, que vencerá o jogo se ocorrer face preta ou menor que 3; José vencerá se ocorrer face branca e número primo; Vicente vencerá caso ocorra face preta e número par; Antônio vencerá se ocorrer face branca ou número menor que 3. São corretas: (A) Apenas I e II (B) Apenas II e III (C) Apenas I e III (D) I, II e III 398 (AFA 2014/15) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil não Nessas condições, é correto afirmar que: (A) Vicente não tem chance de vencer. (B) Carlos tem, sozinho, a maior probabilidade de vencer. (C) A probabilidade de José vencer é o dobro da de Vicente. (D) A probabilidade de Antônio vencer é maior do que a de Carlos. 400 (AFA 2014/15) Considere a função real definida por f x a x b, em que 0 a 1 e b 1 SENA Cursos e Concursos ( Página 139

140 Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. (A) Na função f, se x 0, então b f x 1 b (B) Im(f ) contém elementos menores que o número real b (C) A raiz da função f é um número negativo. (D) A função real h, definida por h x f x não possui raízes. 402 (AFA 2015/16) Considere o gráfico da função real g: A A abaixo e marque (V) verdadeiro ou (F) falso. 401 (AFA 2014/15) No Atlas de Desenvolvimento Humano no Brasil 2013 constam valores do Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) de todas as cidades dos estados brasileiros. O IDHM é um número que varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano de um município, conforme escala a seguir. A Sequência correta é: Abaixo estão relacionados o IDHM de duas cidades de Minas Gerais em condições extremas, Monte Formoso e Uberlândia, e uma em situação intermediária, Barbacena. (A) F-V-F-F-V (B) F-F-V-F-V (C) F-V-F-V-F (D) V-V-F-F-V 403 (AFA 2015/16) Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$ 200,00, quando são vendidos 200 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo. Analisando os dados acima, afirma-se que: I. O município de maior crescimento do IDHM, nos períodos considerados, é Monte Formoso. II. Na última década, Barbacena apresentou maior evolução do IDHM que Uberlândia. III. Uma tabela que relaciona cidade, época e faixa de IDHM pode ser representada corretamente como: São corretas: (A) Apenas I e II (B) Apenas I e III (C) Apenas II e III (D) I, II e III (A) [105, 125 [ (B) [125, 145 [ (C) [145, 165 [ (D) [165, 185 [ 404 (AFA 2015/16) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z = x + yi, onde i = 1 e cujos afixos são os pontos Dada a equação z 1 i 4 1, sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que: (A) Apenas um deles é imaginário puro. (B) Todos podem ser escritos na forma trigonométrica. (C) O conjugado do que possui maior argumento é 1 2i (D) Nem todos são números imaginários. 405 (AFA 2015/16) Considere as expressões SENA Cursos e Concursos ( Página 140

141 A O valor de é um número compreendido entre: B (A) 117 e 120 (B) 111 e 114 (C) 114 e 117 (D) 108 e (AFA 2015/16) Considere os polinômios sendo a e b números reais tais que a 2 b 2 = 8 Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que: (A) Podem formar uma progressão aritmética. (B) São todas números naturais. (C) Duas são os números a e b (D) Duas são números simétricos. 407 (AFA 2015/16) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração. A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é: (A) 8.7! (B) 7! (C) 5.4! (D) 10! 408 (AFA 2015/16) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é: Já o Sr. José cobra, apenas, R$ 4,50 por metro de fio utilizado e não cobra a parte fixa pelo orçamento. Com relação às informações acima, é correto afirmar que: (A) O valor da parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz é maior do que R$ 60,00 (B) O Sr. Luiz cobra mais de R$ 2,50 por metro de fio instalado. (C) Sempre será mais vantajoso contratar o serviço do Sr. José. (D) Se forem gastos 20m de fio não haverá diferença de valor total cobrado entre os eletricistas. 410 (AFA 2015/16) Seja A a matriz Sabe-se que Então, o determinante da matriz: é igual a: (A) 1 (B) 31 (C) 875 (D) (AFA 2015/16) Considere as funções reais Cujos gráficos estão representados abaixo. 409 (AFA /16) - Para fazer uma instalação elétrica em sua residência, Otávio contatou dois eletricistas. O Sr. Luiz, que cobra uma parte fixa pelo orçamento mais uma parte que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O valor total do seu serviço está descrito no seguinte gráfico: Sobre essas funções, é correto afirmar que: SENA Cursos e Concursos ( Página 141

142 Sobre a função real g definida por g(x) = b f (x) com b ], 1[, é correto afirmar que: (A) Possui raiz negativa e igual a loga( b) (B) É crescente em todo o seu domínio. (C) Possui valor máximo. (D) É injetora. 412 (AFA 2015/16) Considere as funções reais f, g e h tais que: 415 (AFA 2015/16) Considere a função real sobrejetora f: A B definida por: Sobre f é FALSO afirmar que: Para que a função composta hogof (x) tenha domínio,,, deve-se ter: 416 (AFA 2015/16) Um cursinho de inglês avaliou uma turma completa sendo que parte dos alunos fez a avaliação A, cujo resultado está indicado no gráfico abaixo. 413 (AFA /16) - Para fazer uma instalação elétrica em sua residência, Otávio contatou dois eletricistas. O Sr. Luiz, que cobra uma parte fixa pelo orçamento mais uma parte que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O valor total do seu serviço está descrito no seguinte gráfico: Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos tiveram 4 acertos. Assim, o desvio padrão obtido a partir do gráfico acima ficou reduzido à metade ao ser apurado o resultado da turma inteira. Essa turma do cursinho de inglês tem: Já o Sr. José cobra, apenas, R$ 4,50 por metro de fio utilizado e não cobra a parte fixa pelo orçamento. Com relação às informações acima, é correto afirmar que: (A) O valor da parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz é maior do que R$ 60,00 (B) O Sr. Luiz cobra mais de R$ 2,50 por metro de fio instalado. (C) Sempre será mais vantajoso contratar o serviço do Sr. José. (D) Se forem gastos 20m de fio não haverá diferença de valor total cobrado entre os eletricistas. 414 (AFA 2015/16) Considere a função real f definida por f (x) = a x com a ]0, 1[ (A) Mais de 23 alunos. (B) Menos de 20 alunos. (C) 21 alunos. (D) 22 alunos. 417 (EsSA 2014/15) - Sendo o polinômio P(x) = x 3 + 3x 2 + ax + b um cubo perfeito, então a diferença a - b vale: A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) -1 O polinômio é um cubo perfeito, então: 418 (EsSA 2014/15) - Em um treinamento de condicionamento físico, um soldado inicia seu primeiro dia correndo 800 m. SENA Cursos e Concursos ( Página 142

143 No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e assim sucessivamente até atingir a meta diária de m. Ao final de quantos dias, ele terá alcançado a meta? A) 31 B) 29 C) 27 D) 25 E) (EsSA 2014/15) - O número de anagramas diferentes com as letras da palavra MILITAR que não possuem consoantes consecutivas que se pode obter é: (A) 60 (B) 72 (C) 120 (D) 186 (E) (EsSA 2014/15) - Sabendo-se que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo e que, se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A.B) = (det A).(det B), pode-se concluir que, sob essas condições (A) Se A é invertível, então A.B é invertível. (B) Se B não é invertível, então A é invertível. (C) Se A.B é invertível, então A é invertível e B não é invertível. (D) Se A.B não é invertível, então A ou B não é invertível. (E) Se A.B é invertível, então B é invertível e A não é invertível. 421 (EsSA 2014/15) - A probabilidade de um jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse jogador cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a: A) 16% B) 20% C) 32% D) 64% E) 80% 422 (EsSA 2014/15) - Uma equação polinomial do 3o grau que admite as raízes -1, e 2 é: (A) x 3-2x 2-5x - 2 = 0. (B) 2x 3 - x 2-5x + 2 = 0. (C) 2x 3 - x 2 + 5x - 2 = 0. (D) 2x 3 - x 2-2x - 2 = 0. (E) 2x 3 - x 2-5x - 2 = (EsSA 2014/15) - O número complexo i 102, onde i representa a unidade imaginária, (A) É positivo. (B) É imaginário puro. (C) É real. (D) Está na forma trigonométrica. (E) Está na forma algébrica. 424 (EsSA 2014/15) - O capital, em reais, que deve ser aplicado à taxa mensal de juros simples de 5%, por 4 meses, para se obter juros de R$ 400,00 é igual a: (A) 1.600,00 (B) 1.800,00 (C) 2.000,00 (D) 2.400,00 (E) 2.500, (EsSA 2015/16) - Sejam f a função dada por f (x) = 2x + 4 e g a função dada por g(x)=3x-2. A função deve ser dada por: (A) f(g(x))=6x (B) f (g(x))=6x + 4 (C) f(g(x)) = 2x - 2 (D) f(g(x)) = 3x + 4 (E) f (g(x))= 3x (EsSA 2015/16) - Identifique a equação exponencial. (A) 2.X = 4 (B) 2 + X = 4 (C) X 2 = 4 (D) Log x 4=2 (E) 2 X = (EsSA 2015/16) - Um aluno da EsSA tem uma habilidade muito boa nas provas de tiro com pistola, possuindo um índice de acerto no alvo de quatro em cada cinco tiros. Se ele atirou duas vezes, a probabilidade de que ele tenha errado os dois tiros é: (A) 16/25 (B) 8/25 (C) 1/5 (D) 2/5 (E) 1/ (EsSA 2015/16) - O exército realizou um concurso de seleção para contratar sargentos e cabos. A prova geral foi igual para ambos. Compareceram 500 candidatos para sargento e 100 para cabo. Na prova, a média de todos os candidatos foi 4, porém, a média apenas entre os candidatos a sargento foi 3,8. Desse modo, qual foi a média entre os candidatos a cabo? A) 3,9 B) 1,0 C) 6,0 D) 4,8 E) (EsSA 2015/16) - A parte real do número complexo 1/(2i)² é: (A) (EsSA 2015/16) Dados B) -2 (C) 0 (D) 1 4 a solução de é: (E) 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 143

144 (A) (2a+1)/b (B) (a+2)/b (C) (2b+1)/a (D) (a+1)/2b (E) (b+2)/a 430 (EsSA 2015/16) As funções do 2º grau com uma variável: f ( x ) = a X 2 + b X + c terão valor máximo quando: (A) a < 0 (B) b > 0 (C) c < 0 (D) Δ > 0 (E) a > (EsSA 2015/16) O número de anagramas diferentes que podemos formar com a palavra RANCHO, de modo que se iniciem com vogal, é: (A) 120 (B) 240 (C) 720 (D) 1440 (E) (EsPCEx 2012/13) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é: (A) 1 5 (B) (EsPCEx 2012/13) O número de raízes reais da equação P(x) +1 = 0 no intervalo ] 0,5 [ é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) (EsPCEx 2012/13) Em uma progressão aritmética, a soma Sn de seus n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 5n 2-12 n, com n N*. A razão dessa progressão é: (A) - 2 (B) 4 (C)8 (D) 10 (E] (EsPCEx 2012/13) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: (A) y = x (B) b = x (C) y=2x-2 (D) y= - 2x+2 (E) y= 2x (EsPCEx 2012/13) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z+2 Z= 2- Zi é: (A) z=0 + 1i (B) z=0 + 0i (C) z=1 + 0i (D) z= 1 + i (E) z= 1 i 438 (EsPCEx 2012/13) Considere as matrizes (C) 3 4 (D) 1 4 (E) (EsPCEx 2012/13) A figura a seguir apresenta o gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo ] 0,5 [ Se x e y são valores para os quais B é a transposta da Inversa da matriz A, então o valor de x+y é: : (A) -1) (B) -2 (C) -3 (D) -4 (E) (EsPCEx 2012/13) Seja a função Assim, o valor de: em que i 2 = -1 é: SENA Cursos e Concursos ( Página 144

145 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ( E) (EsPCEx 2012/13) Na figura abaixo estão representados os gráficos de três funções reais, sendo a>1 e b> (EsPCEx 2012/13) Os alunos iniciam a primeira rodada com 256 pontos; Faz-se uma pergunta a um aluno. Se acertar, ele ganha a metade dos pontos que tem. Se, perde metade dos pontos que tem; Ao final de 8 rodadas, cada aluno subtrai dos pontos que tem os 256 iniciais, para ver se lucrou ou ficou devendo. O desempenho de um aluno que, ao final dessas oito rodadas, ficou devendo 13 pontos foi de: (A) 6 acertos e 2 erros. (B) 5 acertos e 3 erros. (C) 4 acertos e 4 erros. (D) 3 acertos e 5 erros. (E) 2 acertos e 6 erros. 441 (EsPCEx 2012/13) Sejam as funções reais O domínio da função f(g(x)) é: (A) (B) (C) (D) (E) 442 (EsPCEx 2014/15) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é: (A) As expressões algébricas que podem representar cada uma dessas funções são, respectivamente, (A) (B) (C) (D) (E) (B) (C) (D) 1225 (E) (EsPCEx 2014/15) O número de soluções da equação no conjunto,é: (A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Um jogo pedagógico foi desenvolvido com as seguintes regras: 444 (EsPCEx 2014/15) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no SENA Cursos e Concursos ( Página 145

146 período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão 6 (cos( ) t-2p(t)=103 ( )π)+ 5 em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que: (A) O período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. (B) A população atinge seu máximo em t=6. (C) O período de seca corresponde a 4 meses do ano. (D) A população atinge seu mínimo em t=4 com animais. (E) A população média anual é de animais. 445 (EsPCEx 2014/15) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 x) unidades, em que 0 X 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. (A) 150 (B) 250 (C) 350 (D) 450 (E) (EsPCEx 2014/15) O termo independente de x no desenvolvimento de é igual a: (A) 110. (B) 210. (C) 310 (D) 410. (E) 510. No intervalo [0, 2 ) é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 449 (EsPCEx 2014/15) O polinômio f (x) = x 5 - x 3 + x 2 + 1,quando dividido por q (x) = x 3-3 x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é: (A) (B) - 4. (C) 0. (D) 4. (E) (EsPCEx 2014/15) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função 447 (EsPCEx 2014/15) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) (EsPCEx 2014/15) Seja (A) (B) (C) (D) (E) 451 (EsPCEx 2014/15) Sabendo que c e d são números reais, o maior valor de d tal que a função f: definida por: O conjunto solução da desigualdade SENA Cursos e Concursos ( Página 146

147 seja injetora é: (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (E) (EsPCEx 2014/15) A função f: definida por f(x) = x4-5x3 + 5x2 + 5x - 6 tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função f (x) é positiva. (A) (B) (C) (D) (E) 453 (EsPCEx 2014/15) Considere a função bijetora, definida por e seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a + b é: (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. (E) (EsPCEx 2014/15) Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos são definidos por a i j = i - j. Sobre a equação em x definida por det(a - xi) = x + det A é correto afirmar que: (A) As raízes são 0 e 1 2 (B) Todo x real satisfaz a equação. (C) Uma raiz é nula e a outra negativa. (D) Apresenta apenas raízes inteiras. (E) Apresenta apenas raízes negativas. 455 (EsPCEx 2014/15) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação 2x + 3y - 4 = 0 é o ponto. (A) (-3, -1). (B) (-1, -2). (C) (-4, 4). (D) (3, 8). (E) (3, 2). 456 (EsPCEx 2014/15) A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condição z + 2-3i = z i, com z = x + yi, sendo x e y números reais, é reta de equação: (A) 2x-3y+7=0. (B) 3x-7y-2=0. (C) 2x-3y+3=0. (D) 4x-3y+3=0. (E) 2x-y= (EsPCEx 2014/15) O valor de (cos sen cos sen cos cos 15 0 ) é: (A) 2 (B) - 1 (C) 0 (D) 1 (E) (EsPCEx 2014/15) A soma de todas as soluções da equação 2 cos 3 (x) - cos 2 (x) - 2 cos(x)+ 1=0, que estão contidas no intervalo [0, 2 π ], é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 458 (EsPCEx 2015/16) Fazendo x=ln5 temos que a, y= e x - e- x = a, a Z e b Z*, a e b primos b entre si. Logo a+b é igual a: (A) 28 (B) 29 (C) 40 (D) 51 (E) (EsPCEx 2015/16) Para que o sistema linear, em que a e b são reais, seja SENA Cursos e Concursos ( Página 147

148 e indeterminado, o valor de a+b é igual a: (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) (EsPCEx 2015/16) Considere os polinômios p(x)=x 80 +3x 79 -x 2 -x-1 e b(x)=x 2 +2x-3. Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por b(x), o valor de r ( 1 2 ) é igual a: (A) Quatro raízes são reais distintas. (B) Quatro raízes são reais, sendo duas iguais. (C) Apenas uma raiz é real. (D) Apenas duas raízes são reais e iguais. (E) Apenas duas raízes são reais distintas. 464 (EsPCEx 2015/16) A solução da equação (A) 0 (B) 1 2 (C) 1 (D) 2 (E) (EsPCEx 2015/16) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = x + 4 e f(g(x)) = x 2-5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. (A) (B) (C) (D) (E) 462 (EsPCEx 2015/16) Se em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de é: (A) 6 (B) 3 (C) 2 2 (D) 3 6 (E) (EsPCEx 2015/16) Considere o polinômio p(x)=x 6-2x 5 +2x 4-4x 3 +x 2-2x. Sobre as raízes de p(x)=0, podemos afirmar que: é um número natural (A) Maior que nove. (B) Ímpar. (C) Cubo perfeito. (D) Divisível por cinco. (E) Múltiplo de três. 465 (EsPCEx 2015/16) João e Maria iniciam juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 8 km por hora e acelera o passo de modo a correr mais 1 km cada hora que se 2 segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de horas corridas para que Maria alcance João. (A) 3 (B) 5 (C) 9 (D) 10 (E) (EsPCEx 2015/16) Da análise combinatória, pode-se afirmar que: (A) O número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados por três algarismos, é igual a 80. (B) A quantidade de números ímpares de quatro algarismos distintos que podemos formar com os Dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. (C) O número de anagramas da palavra EsPCEx que têm as vogais juntas é igual a 60. (D) No cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90. (E) A quantidade de funções injetoras definidas em a={1, 3, 5} com valores em b={2, 4, 6, 8} é igual a (EsPCEx 2015/16) Considerando a função real definida por o valor de f(0)+f(4) é: (A) - 8 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) (EsPCEx 2015/16) Sendo R a maior das raízes da equação 11x+6 x 4 então o valor de 2R-2 é: = x2 SENA Cursos e Concursos ( Página 148

149 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) (EsPCEx 2015/16) O gráfico que melhor representa a função real definida por: É: (A) (B) 471 (ITA 2014/15) Considere as funções f, g : Z R, f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo: I. Se A = B, então a = b e m = n; II. Se A = Z, então a = 1; III. Se a, b, m, n Z, com a = b e m = n, então A = B, é (são) verdadeira(s): (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas I e II. (E) Nenhuma. 472 (ITA 2014/15) A soma é igual a: (A) 8 9 (B) (C) (C) (D) (D) (E) (ITA 2014/15) Se z C, então z 6 3 z 4 (z 2 z 2 ) z 6 é igual a: (E) (A) (B) (C) (D) 470 (ITA 2014/15) Das afirmações: I. Se x, y R \ Q, com y = x, então x + y R \ Q; II. Se x Q e y R \ Q, então xy R \ Q; III. Sejam a, b, c R, com a < b < c. Se f:[a, c] [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) verdadeira(s): (A) Apenas I e II. (B) Apenas I e III. (C) Apenas II e III. (D) Apenas III. (E) Nenhuma. (E) 474 (ITA 2014/15) Sejam z,w C. Das afirmações: É (são) verdadeira(s): (A) Apenas I. (B) Apenas I e II. SENA Cursos e Concursos ( Página 149

150 (C) Apenas I e III. (D) Apenas II e III. (E) Todas. 475 (ITA 2014/15) Considere os polinômios em x R da forma p(x) = x 5 + a3x 3 + a2x 2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética de razão 1 2 (A) ( 1 4, 0, 5 4 ) (B) ( 1 4, 1, 5 4 ) (C) ( 1 4, 0, 5 4 ) (D) ( 5 4, 0, 1 4 ) (E) ( 1 4, 1, 1 4 ) quando (a1, a2, a3) é igual a: 476 (ITA 2014/15) Para os inteiros positivos k e n, com k n, sabe-se que Então, o valor de: (C) Apenas I e III. (D) Apenas II e III. (E) Todas. 478 (ITA 2014/15) Sejam: matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo: I. BA é antissimétrica; II. BA não é inversível ; III. O sistema (BA)X = 0, com X t = [x1 x2 x3], admite infinitas soluções, É (são) verdadeira(s): (A) Apenas I e II. (B) Apenas II e III. (C) Apenas I. (D) Apenas II. (E) Apenas III. 479 (ITA 2014/15) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade Então, um valor possível para o determinante da inversa de M é: É igual a: (A) (B) (C) (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) (D) 4 5 (E) 477 (ITA 2014/15) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: (E) (ITA 2014/15) Considere a equação A(t)X = B(t), t R, em que I. Se o produto AB for inversível, então n é par; II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar; III. Se B for inversível, então n é par. Destas afirmações, é (são) verdadeira(s): (A) Apenas I. (B) Apenas I e II SENA Cursos e Concursos ( Página 150

151 Sabendo que deta(t) = 1 e t = 0, os valores de x, y e z são, respectivamente, (A) 2 2, 0, - 3 (B) 2 2, 0, - 3 (C) 0, 3 2, 2 2 (D) 0, 2 3, 3 (E) 2 3, 3, 0 (A) (B) 481 (ITA 2014/15) Considere o polinômio complexo p(z) = z 4 +a z 3 +5 z 2 i z 6, em que a é uma constante complexa. Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são: (A) 3i, 1, 1 (B) i, i, 1 (C) i, i, 1 (D) 2i, 1, 1 (E) 2i, i, i. 482 (IME 2015/16) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G H é igual ao conjunto: (A) (G F) - (F H) (B) (G H) (H F) (C) (G ( H F ) H (D) G (H F ) (E) (H G) (G F ) 483 (IME 2015/16) O polinômio x 3 + ax 2 + bx + c tem raízes reais α, - α e 1. Portanto o valor da a soma é: (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1 (E) (IME 2015/16) Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3m = n 2, determine o resto da divisão de m+n por 5. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) (IME 2015/16) O valor do somatório abaixo é: (C) (D) (E) 486 (IME 2015/16) Seja Px = x 2 + ax + b. Sabese que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b (A) (B) (C) (D) (E) 487 (IME 2015/16) Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão geométrica formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que a, b e c (A) Formam os lados de um triângulo obtusângulo. (B) Formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero. (C) Formam os lados de um triângulo equilátero. (D) Formam os lados de um triângulo retângulo. (E) Não podem formar os lados de um triângulo. 488 (IME 2015/16) O valor da soma abaixo é: Observação: Img(w) é a parte imaginária de w. SENA Cursos e Concursos ( Página 151

152 (A) (B) (E) 2 ( 3 + 1) (IME 2015/16) Quantos inteiros k satisfazem à desigualdade (C) (A) 10 (B) 89 (C) 90 (D) 99 (E) 100 (D) 492 (IME 2015/16) Seja a equação (E) As soluções dessa equação para, 489 (IME 2015/16) Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1,2,3,...,2016}, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto n x m ser múltiplo de 12? (A) 5 12 (B) 5 18 formam um polígono no círculo trigonométrico de área. (A) 3 2 (B) 3 (C) (D) 1 2 (C) 5 24 (E) 1 (D) (E) (IME 2015/16) Seja.. O maior valor de a, com a 1, que satisfaz é: Observação: I é a matriz identidade 2x2. (A) 1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 2 ( 3 1) (EFOMM/2015) O conjunto de todos os números reais q > 1, para os quais a1, a2 e a3 a formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q, com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um triângulo, é: (A) (B) (C) (D) (E) 494 (EFOMM/2015) Considere o número complexo Z 1 1, tal que Z 1 seja solução da equação z6 = 1, com menor argumento positivo. SENA Cursos e Concursos ( Página 152

153 A solução Z 2 da mesma equação, cujo argumento é o triplo do argumento de Z 1, é igual a: calcule, em função de a, (A) (B) (C) (D) (E) 495 (EFOMM/2015) Uma turma de alunos do 1º ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às 10h20 e de 10h30 às 12h. As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? (A) 9. (B) 18. (C) 36. (D) 48. (E) (EFOMM/2015) Sejam as funções: f : IR IR e g : IR IR. Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere as sentenças a seguir: I - g o f é injetora; II - f o g é bijetora; III- g o f é sobrejetora. Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentença, obtém-se: (A) V-V-V (B) V-V-F (C) F-V-F (D) F-F-V (E) V-F-V 497 (EFOMM/2015) Sabendo-se que: (A) 2a (B) - 2a (C) a (D) - a (E) 3a 498 (EFOMM/2015) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma outra face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarela, a probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha será: (A) (B) (C) (D) (E) 499 (EFOMM/2015) O valor da expressão (A) (B) (C) (D) (E) SENA Cursos e Concursos ( Página 153

154 500 (EFOMM/2015) Dada uma função F : IR IR, Sabe-se que: i) F (x) = sen(3x) cos(5x), onde F (x) é a derivada da função F, em relação à variável independente x; ii) F(0) 0. O valor de é: (A) (B) (C) (D) (E) 503 (EFOMM/2015) Sabe-se que uma partícula move-se segundo a equação onde t é o tempo em segundos e S é a posição em metros. Pode-se afirmar que a aceleração da partícula, quando t = 2s, é (A) (B) (C) (D) (E) 504 (EFOMM/2015) Seja a uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado pela lei 501 (EFOMM/2015) Os números reais positivos a 1, a 2, a n formam nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q. Nesse caso, é correto afirmar que a sequência log a 1, log a 2, log a n forma: (A) uma progressão geométrica crescente, se q > 1. (B) uma progressão aritmética crescente, se q > 1 (C) uma progressão geométrica decrescente, se 0 < q < 1 (D) uma progressão aritmética crescente, se 0 < q < 1. (E) uma progressão aritmética crescente, desde que q > (EFOMM/2015) O valor da integral é: (A) (B) (C) Pode-se afirmar que o valor de det A é: (A) 0 (B) - 12 (C) 12 (D) 4 (E) (E. NAVAL/2015) A soma dos três primeiros termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 91. Justapondo-se esses termos, obtém-se um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão desse número pelo inteiro 23 vale: (A) 1 (B) 4 (C) 8 (D) 9 (E) (E.NAVAL/2015) Sejam f e g funções reais definidas por (D) (E) E SENA Cursos e Concursos ( Página 154

155 (E) Sendo assim pode-se dizer que (fog) (x) é definida por: (A) 508 (E.NAVAL/2015) Considere os números da forma com O menor número natural n, tal que o produto Z 1, Z 2...Z n é um número real positivo, é igual a (A) 8 (B) 16 (C) 25 (D) 33 (E) 50 (B) 509 (E.NAVAL/2014) Considere (C) (D) (E) um polinômio na variável real x, em que m e k são constantes reais. Quais os valores das constantes m e k para que P(x) não admita raiz real? (A) (B) (C) (D) (E) 510 (E.NAVAL/2014) Considere as funções reais 507 (E.NAVAL/2015) As curvas representantes dos gráficos de duas funções de variável real y = f (x) e y = g (x) interceptam-se em um ponto P0 (x0, yl real x0) sendo É possível definir o ângulo formado por essas duas curvas no Ponto P 0 como sendo o menor ângulo formado pelas retas tangentes àquelas curvas no ponto P 0. Qual o valor da função composta (A) 1 (B) 3 (C) 9 (D) 1 10 Se e 0 é o ângulo na interseção de abscissa positiva. Então pode-se dizer que o valor da expressão (A) 82 5 (B) (C) (D) 7 25 (E) (E.NAVAL/2014) Sabendo que log x representa o logaritmo de x na base 10, qual o domínio da função real da variável real (A) (B) (C) (D) (E) SENA Cursos e Concursos ( Página 155

156 512 (E.NAVAL/2014) Considere a sequência O valor de xn é: e f a função real de variável real tal que (A) (B) onde A T representa matriz transposta de A. o Gráfico que melhor representa a função y = f(x) no intervalo π x π é: (C) (D) (E) 513 (E.NAVAL/2014) A função real de variável real onde a, b, c são constantes reais, possui as seguintes propriedades: I O gráfico de f passa pelo ponto (1,0) II A reta y = 1 é uma assíntota para o gráfico de f. O valor de a + b + c é: (A) - 2 (B) - 1 (C) 4 (D) 3 (E) (E.NAVAL/2014) Se o limite representa a derivada de uma função real de variável real y = f(x) em x = a, então a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a, f(a)) (A) (B) (C) (D) (E) 515 (E.NAVAL/2014) Sejam A a matriz quadrada de ordem 2 definida por: 516 (E.NAVAL/2014) Considere a função real de variável real. Para que valores da constante real k, a equação f (x) = k possui exatamente 3 raízes reais? (A) (B) (C) (D) (E) 517 (E.NAVAL/2014) Um restaurante a quilo vende 200 quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde 8 clientes por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia. (A) 52 (B) 51 (C) 46 (D) 45 (E) (E.NAVAL/2014) Sabendo que Z é o número SENA Cursos e Concursos ( Página 156

157 complexo, qual o menor inteiro positivo n, para o qual o produto Z. Z 2. Z 3...Z n positivo? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 é um real 519 (E.NAVAL/2014) A Escola Naval irá distribuir 4 viagens para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal e 2 para a cidade de Salvador. De quantos modos diferentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando somente uma viagem para cada um? (A) 288 (B) 1260 (C) (D) (E) (E.NAVAL/2014) Considere as matrizes ingressos destinados a cada um dos três grupos. Qual foi aproximadamente o percentual de ingressos destinados a espectadores não filiados às torcidas após o cancelamento dos ingressos? (A) 64,7% (B) 60% (C) 59% (D) 58,7% (E) 57,2% 522 (E.NAVAL/2014) Qual a quantidade de números inteiros de 4 algarismos distintos sendo dois algarismos pares e dois ímpares que podemos formar, usando algarismos de 1 a 9? (A) 2400 (B) 2000 (C) 1840 (D) 1440 (E) (E.NAVAL/2014) Sabendo-se que f é uma função real de variável real tal que a derivada segunda de f em x é f n (x)=cos 2 x + 1e que f(0) e f (0) = 2 o valor de f( ) é: (A) (B) (C) A soma do quadrado das constantes reais x,y,a,b,c que satisfazem a equação matricial R 6S = T é: (A) 23 (B) 26 (C) 29 (D) 32 (E) (E.NAVAL/2014) Para lotar o Maracanã na final do Campeonato Sul Americano planejou-se inicialmente distribuir os ingressos em três grupos da seguinte forma: 30% seriam vendidos para a torcida organizada local; 10% seriam vendidos para a torcida organizada do time rival e o restantes para os espectadores não filiados às torcidas. Posteriormente, por motivos de segurança os organizadores resolveram que destes ingressos não seriam mais postos à venda, cancelando-se então (D) (E) 524 (E.NAVAL/2014) O quinto termo da progressão aritmética é: (A) 7 (B) 10 (C) - 2 (D) - 14 (E) (E.NAVAL/2014) O Gráfico que melhor representa a função real de variável real é: SENA Cursos e Concursos ( Página 157

158 (A) (C) 1 15 (D) 2 45 (E) (POLÍCIA MILITAR/MG) Considere que em uma cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não fumantes são mulheres. Qual é a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? 526 (E.NAVAL/2014) Considere as funções reais Onde In x expressa o logaritmo de x na base neperiana e (e 2,7). Se P e Q são os pontos de interseção dos gráficos de f e g, podemos afirmar que o coeficiente angular da reta que passa por P e Q é: (A) (B) (C) (D) (E) 528 (E.NAVAL/2014) Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? (A) 1 45 (B) 1 90 (A) 44% (B) 52% (C) 50% (D) 48% 530 (POLÍCIA MILITAR/MG) Os números da sucessão 8, x, e y são diretamente proporcionais aos números da sucessão 2, 3 e 5. O valor de (x+y )2 é: (A) 64 (B) 32 (C) 20 (D) (POLÍCIA MILITAR/MG) Tania gastou 20% do salário que recebeu em mantimentos e 30% do restante com aluguel e ainda sobrou R$ 1.120,00. Então a quarta parte do salário que Tania recebeu é igual a: (A) R$ 560,00 (B) R$ 1.000,00 (C) R$ 500,00 (D) R$ 1.120, (POLÍCIA MILITAR/MG) O valor de m = (8-0,125) + (1,777 )-2 é: (A) 1,11 (B) 1,22 (C) 1,33 (D) 1, (POLÍCIA MILITAR/MG) Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao completar 1/5 do percurso total da prova. No entanto, se tivesse percorrido mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a: SENA Cursos e Concursos ( Página 158

159 (A) 0,75 (B) 0,25 (C) 0,15 (D) 0,5 534 (POLÍCIA MILITAR/MG) Em um auditório, há 200 pessoas, sendo que 99% delas são mulheres. O numero de mulheres que devem deixar o auditório para que a porcentagem de mulheres passe a ser 98% é de: (A) 2 (B) 20 (C) 50 (D) (POLÍCIA MILITAR/MG) A raiz da equação (7x+ 2 10) (7x- 2 10) = 9, é um número: (A) Irracional negativo (B) Irracional positivo (C) Inteiro negativo (D) Inteiro positivo 536 (POLÍCIA MILITAR/MG) Um funcionário de uma empresa foi incumbido de tirar uma única cópia de cada uma das 50 páginas de um texto. Ele cumpriu esta tarefa em duas etapas: primeiramente, usou uma impressora para tirar 15 cópias e depois, para tirar as copias restantes, usou outra impressora cuja capacidade operacional era 40% maior que a da primeira. Se a primeira impressora gastou t minutos para tirar as 15 cópias, o tempo gasto pelas impressoras para tirar as 50 cópias é equivalente a: (A) 2t. (B) 5 t/3. (C) 8 t/3. (D) 10t/3. reprodução das cópias, esses relatórios foram comparados, verificando-se que: 1. R1, R2 e R3 têm respectivamente, 40, 35 e 30 páginas; 2. R1 e R2 têm 10 páginas em comum; 3. R1 e R3 têm 8 páginas em comum 4. R2 e R3 tem 6 páginas em comum, das quais 4 também fazem parte de R1. Nessas condições, o total de originais para a reprodução das cópias será: (A) 97. (B) 85. (C) 77. (D) (POLÍCIA MILITAR/MG) Para a = 4x + 2y e b = 2x + 4y, qual será o resultado da expressão (A) 2x (B) 2y / x (C) - y / x (D) xy x² (a 2b)/(2a b)? 540 (POLÍCIA MILITAR/MG) A interseção entre os gráficos das funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x 6 se localiza: (A) No 1º e 2º quadrante (B) No 1º quadrante (C) No 1º e 3º quadrantes (D) No 2º e 4º quadrantes 537 (POLÍCIA MILITAR/MG) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo nunca poderia ser um número compreendido entre: (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 11 e 160. (D) 150 e (POLÍCIA MILITAR/MG) Um funcionário digitou três relatórios R1, R2 e R3 os quais precisam ser reproduzidos através de fotocópias. Como os relatórios possuem páginas em comum, visando diminuir os gastos com os originais para a O conhecimento geométrico como conhecemos hoje nem sempre foi assim. A geometria surgiu de forma intuitiva, e como todos os ramos do conhecimento, nasceu da necessidade e da observação humana. O seu início se deu forma natural através da observação do homem à natureza. Ao arremessar uma pedra num lago, por exemplo, observou-se que ao haver contato dela com a água, formavam-se circunferências concêntricas centros na mesma origem. Para designar esse tipo de acontecimento surgiu a Geometria Subconsciente. Conhecimentos geométricos também foram necessários aos sacerdotes. SENA Cursos e Concursos ( Página 159

160 Por serem os coletores de impostos da época, a eles era incumbida a demarcação das terras que eram devastadas pelas enchentes do Rio Nilo. A partilha da terra era feita diretamente proporcional aos impostos pagos. Enraizada nessa necessidade puramente humana, nasceu o cálculo de área. Muitos acontecimentos se deram, ainda no campo da Geometria Subconsciente, até que a mente humana fosse capaz de absorver propriedades das formas antes vistas intuitivamente. Nasce com esse feito a Geometria Científica ou Ocidental. Essa geometria, vista nas instituições de ensino, incorpora uma série de regras e sequências lógicas responsáveis pelas suas definições e resoluções de problemas de cunho geométrico. Foi em 300 a.c. que o grande geômetra Euclides de Alexandria desenvolveu grandiosos trabalhos matemático-geométricos e os publicou em sua obra intitulada Os Elementos. Essa foi, e continua sendo, a maior obra já publicada - desse ramo - de toda a história da humanidade. A Geometria plana, como é popularmente conhecida nos dias atuais, leva também o título de Geometria Euclidiana em homenagem ao seu grande mentor Euclides de Alexandria. Concluindo, o termo geometria é a união das palavras geo (terra) e metria (medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra". Depois de conhecermos como se deu origem ao estudo da geometria, estudaremos os conteúdos exigidos em concursos no campo da Geometria: Geometria Plana, Geometria Espacial, Geometria Analítica e Trigonometria XI GEOMETRIA PLANA A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume, tal qual as figuras que fazem parte da geometria espacial CONCEITOS BÁSICOS Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são suficientes para determinar uma reta, ou ainda um ponto e a inclinação da mesma. Plano: Conjunto infinito de retas. Três pontos são suficientes para determinar um plano. Semirreta: Sai de um ponto determinado e se prolonga indefinidamente. Segmento de reta: Trecho de reta que se inicia em um ponto determinado e tem fim em outro ponto determinado. Não se prolonga indefinidamente. Ângulo: Formado pela união de semirretas, ou mesmo por segmento de retas ÂNGULOS Medida de Ângulos Existem três unidades de medidas de ângulos: graus (º), radianos (rad) e grados (gr). A correspondência entre essas medidas é a seguinte: 180º = rad = 200 gr A medida de graus ainda é subdividida em minutos ( ) e segundos ( ), na base hexadecimal. Exemplos: 30º = / 6 rad 60º = / 3 rad 35,2 6º = 35º º = /4 rad 90º = /2 rad 49,60º = 49º Definições Dizemos que um ângulo é, 1º = 60 = 3600 Raso, se, e somente se, é igual a 180º; Nulo, se, e somente se, é igual a 0º; Reto, se, e somente se, é igual a 90º; Agudo, se, e somente se, é maior que 0º e menor que 90º; Obtuso, se, e somente se, é maior que 90º e menor que 180º. Se a soma de dois ângulos resulta: 90º, dizemos que os ângulos são complementares; 180º, dizemos que os ângulos são suplementares Regra do Zorro (Retas paralelas interceptadas por uma transversal) SENA Cursos e Concursos ( Página 160

161 Estando nesta configuração, cada par de ângulos recebe um nome, a saber; Correspondentes*: (α, α ), (β, β ), (γ, γ ), (δ, δ ); Alternos internos*: (γ, α ), (δ, β ); Alternos externos*: (α, γ ), (β, δ ); Colaterais internos**: (δ, α ), (γ, β ); Colaterais externos**: (α, δ ), (β, γ ); Opostos pelo vértice (o.p.v.)*: (α, γ); (β, δ); (α, γ ); (β, δ ). * ângulos congruentes (de mesma medida) ** ângulos suplementares 11.3 TRIÂNGULOS Figura geométrica plana formada por três pontos, chamados vértices e a união das semirretas que unem esse três pontos. Em resumo, é uma figura de três lados e que possui três ângulos. Definição: Dados dois triângulos (ΔABC e ΔDEF), dizemos que estes são semelhantes se, e somente se, estes são formados pelos mesmos ângulos internos. Observado isso, podemos afirmar ainda que: onde k é chamado razão de semelhança. Alguns casos de semelhança 1. Ângulo ângulo (AA): Se dois ângulos são iguais, o terceiro também será. Logo, os triângulos são semelhantes Classificação dos triângulos quanto aos lados Equilátero: possui os três lados (e consequentemente os três ângulos) iguais (congruentes) Isósceles: possui dois lados iguais. O terceiro lado é chamado base. Os ângulos formados pela base com os lados são iguais. Escaleno: não possui nenhum lado (consequentemente nenhum ângulo) igual. 2. Lado ângulo lado (LAL): Dados dois triângulos, sendo dois lados de um triângulo proporcionais a dois lados do outro triângulo e o ângulo entre estes lados semelhante nas duas formas geométricas, concluímos que os triângulos são semelhantes Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Acutângulo: Possui três ângulos internos agudos; Obtusângulo: Possui um ângulo interno obtuso; Retângulo: Formado por um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados catetos Propriedades A soma dos ângulos internos de todo e qualquer triângulo é 180º; A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 360º; Todo ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos seus dois ângulos internos não adjacentes; O maior lado do triângulo se opõe ( vê, está de frente ) ao maior ângulo e o menor lado se opõe ao menor ângulo; Desigualdade triangular: a, b, c formam um triângulo se, e somente se, a b < c < a + b Semelhança de triângulos Um dos conceitos mais importantes da Geometria Plana. 3. Lado lado lado (LLL): Dados dois triângulos cujos três lados de um são proporcionais aos três lados do outro, conclui-se que estes triângulos são semelhantes Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de Triângulos) SENA Cursos e Concursos ( Página 161

162 Dadas retas paralelas interceptadas por duas transversais, podemos afirmar, segundo Tales, que existe uma proporcionalidade entre os trechos interceptados. Observe que as bissetrizes concorrem no ponto I, chamado de incentro. Observe ainda que o incentro é o centro da circunferência inscrita ( escrita dentro ) ao triângulo. 3. Mediatriz - Segmento perpendicular ( que forma um ângulo reto ) ao lado do triângulo, e passa ainda pelo seu ponto médio. ATENÇÃO: Não importa se o segmento passa ou não pelo vértice do triângulo. Só importa que é perpendicular ao lado e divide o mesmo em duas partes iguais. Não confundir com mediana! Elementos construtivos de um triângulo Estes elementos são segmentos de reta que podem ser traçados sobre o triângulo e possuem propriedades específicas, sempre relacionando vértices, lados e ângulos. Vale lembrar que todo triângulo possui três de cada um destes elementos, sempre relativo a cada vértice, a cada lado ou ainda a cada ângulo. Além disso, estes elementos relativos concorrem ( se encontram ) sempre em um único ponto com propriedades específicas para cada elemento, conforme veremos a seguir. Os elementos são os seguintes: 1. Mediana - Segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. ATENÇÃO: Não importa o ângulo formado entre este segmento e o lado, só importa que ele divide o lado em duas partes iguais. Observe que as medianas concorrem no ponto G, chamado de baricentro. Observe que as mediatrizes concorrem no ponto O, chamado de circuncentro. Observe ainda que o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 3. Altura - Segmento que une o vértice ao lado oposto e é perpendicular à este lado. ATENÇÃO: Não importa o ponto em que passa este segmento. Só importa que ele sai do vértice e forma 90º com o lado oposto. Observe que as alturas concorrem no ponto H, chamado de ortocentro. Sugestão: Desenhe um triângulo equilátero e encontre neste os pontos G, I, O e H. O que você observa? Quais outras características do triângulo equilátero (como são seus lados, quanto valem seus ângulos)? Faça o mesmo com um triângulo isósceles Relações métricas no triângulo retângulo Observe os triângulos: Teorema: O baricentro divide a mediana numa razão 2:1, i.e., a distância do ponto G ao vértice é o dobro da distância de G ao ponto médio do lado oposto. 2. Bissetriz - Segmento que parte do vértice e divide o respectivo ângulo interno em duas partes iguais. ATENÇÃO: Não importa onde este segmento intercepta o lado oposto, nem ângulo e nem ponto, só importa que ele divide o ângulo interno em dois ângulos iguais. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes Sugestão: Tente fazer as demonstrações. Chega-se facilmente às relações apresentadas utilizando-se a semelhança de triângulos indicada). SENA Cursos e Concursos ( Página 162

163 Teorema de Pitágoras A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa - a² = b² + c² Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Estabelecem uma relação entre os ângulos seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg) e os lados de um triângulo retângulo CIRCUNFERÊNCIA Definição: O conjunto de todos os pontos que estão a exatamente uma determinada distância de um ponto dado do mesmo plano chama-se circunferência Elementos *sempre em relação ao ângulo em estudo. (Ex.: oposto à α adjacente à α.) Lei dos senos Estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo e seus ângulos opostos, através do valor dos senos. É utilizada para encontrar as medidas dos lados, dados dois ângulos e outro lado, ou ainda um dos ângulos, dados dois lados e outro ângulo. 1. Corda: Qualquer segmento interno a circunferência com extremidades em dois pontos pertencentes à mesma. Na figura ao lado, AB e CD são cordas da circunferência. 2. Diâmetro: Qualquer corda da circunferência que contenha o centro da mesma. É a maior corda da circunferência. CD representa um diâmetro da circunferência na figura. 3. Raio: Qualquer segmento que liga o centro a um ponto qualquer da circunferência. PC é raio da circunferência ao lado. Note que o raio é metade do diâmetro! (D = 2.R 4. Arco: É uma parte da circunferência, definida por um ângulo central ma(ab) e um comprimento m(ab) (determinado por dois pontos da circunferência) Teorema do ângulo central Lei dos cossenos Estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo e seus ângulos, através do valor dos cossenos. É utilizada para encontrar as medidas de um lado, dados os outros dois lados e o ângulo entres estes, ou ainda encontrar um ângulo, dados os lados do triângulo Definição: Chamamos de ângulo central, todo e qualquer ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência. Teorema: A medida de um ângulo inscrito num arco é igual a metade da medida angular do arco interceptado da mesma circunferência. Em outras palavras, um ângulo cujo vértice pertence a SENA Cursos e Concursos ( Página 163

164 circunferência equivale a metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco que este Relações métricas na circunferência 11.5 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Triângulos 1. Teorema das cordas: Dada a interseção de duas cordas da circunferência, o produto das partes de uma corda é igual o produto das partes da outra corda Casos Particulares 2. Teorema das secantes: Dados dois segmentos secantes ( que cortam ) a circunferência partindo de um mesmo ponto, o produto das partes internas a circunferência pelas externas a circunferência é igual em ambos segmentos. 1. Triângulo Equilátero 3. Teorema da secantetangente: Dado um segmento secante a circunferência e outro tangente a mesma, o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da parte interna do segmento que é secante pela sua parte externa 2. Fórmula de Heron PROPRIEDADE IMPORTANTE: Todo e qualquer segmento tangente ( que toca em um, e apenas um ponto ) à circunferência é um segmento perpendicular ao raio da mesma. 3. Dados dois lados e o ângulo entre eles Comprimento (C) 1. Circunferência - Dada uma circunferência de raio r, o perímetro (comprimento) da mesma é: Quadriláteros 1. Retângulo 2. Arco de Circunferência (L) Dado um arco de circunferência AB representado pelo ângulo α, fazendo uma regra de três temos: No caso especial em que b = h temos um quadrado (todos os lados iguais). Chamando o lado do quadrado de L, temos: SENA Cursos e Concursos ( Página 164

165 2. Paralelogramo Os lados são paralelos e de igual tamanho dois a dois. Os ângulos entre os lados dependem das medidas dos lados. 3. Setor Circular É a área de um pedaço do círculo, representado pelo ângulo. Similar ao cálculo do comprimento de arco de circunferência, fazemos uma regra de três: Apesar de ser a mesma fórmula do retângulo, deve-se atentar que h neste caso não é a medida do lado da figura, mas sim perpendicular à base. 3. Losango É um caso especial de paralelogramo, onde além da disposição paralela os lados são iguais. E, ainda, as diagonais são perpendiculares, porém os lados não paralelos não são perpendiculares entre si. 4. Segmento Circular O segmento circular é a área delimitada por uma corda e por um arco de circunferência. Na figura, está representada pela área hachuriada em verde. Observa-se que este segmento é obtido pela subtração do triângulo isósceles POQ do setor circular de centro O e arco PQ Relação entre área e lados do triângulo e raio da circunferência inscrita e circunscrita ao mesmo. 4. Trapézio 1. Circunferência Inscrita é a circunferência dentro do triângulo Circulo e seus subconjuntos 2. Circunferência Circunscrita é a circunferência que envolve o triângulo. Definição: O conjunto de todos os pontos que estão até uma determinada distância de um ponto dado do mesmo plano chama-se círculo. 1. Círculo 2. Coroa Circular Utilizando o princípio da superposição de áreas, basta fazer a área do círculo maior menos a do círculo menor Outros Polígonos Importante: A soma dos ângulos internos de um polígono qualquer depende do número de lados que este possui. A soma dos ângulos internos de um n ágono é dada por: S = (n 2). 180º 1. Pentágono regular É um polígono de 5 lados. Por ser regular tem todos os lados iguais e os ângulos internos também. Sua área pode ser calculada pela composição da de um triângulo isósceles e da de um trapézio igualmente isósceles. SENA Cursos e Concursos ( Página 165

166 Sugestão: Faça a demonstração da área do pentágono regular de lado L. 2. Hexágono regular QR = SR 4 = SR PQ TS 2 3 SR = 6km Um polígono de 6 lados. Como é regular, também possui todos os lados e ângulos internos iguais. Facilmente observa que o mesmo é composto por 6 triângulos equiláteros. Logo, a área do hexágono de lado L é dada por: Exercícios Resolvidos 111 (UFF-RJ) - O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: QR = PQ+QR TP = 2+4 TP = 4,5 km PQ QR 3 QR 112 (FUVEST/SP) - Em uma fotografia aérea em trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm. (A) Calcule, em quilômetros, o comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia. 2,5 km (B) Uma área de 1 cm2 dessa fotografia corresponde a quantos quilômetros quadrados do real? 6,25 km2 (C) Se, nessa fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2, qual é, em quilômetros quadrados, a área real da superfície queimada? 56,25 km2 Resolução (A) (B) (C) As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito: (A) 4,5 km (B) 19,5 km (C) 20,0 km (D) 22,5 km (E) 24,0 km Resolução 113 (UNICAMP/SP) - Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 m sobre a rampa está a 1,5 m de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 20,5 m Resolução Usando o Teorema de Tales temos: Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? SENA Cursos e Concursos ( Página 166

167 Resolução Perímetro: 6*3 = 18 cm Área: Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? Resolução Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro? Resolução: Vamos descobrir o lado do quadrado: x*x = 36 x = x = 6 Então seu perímetro é 6*4 = 24cm Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos: (A) a = 25 e b = 12 (B) a = 14 e b = 10 Resolução Resposta (A) Área: 25*12 = 300m² Perímetro: = 74m Resposta (B) Área: 14*10 = 140m² Perímetro: = 48m 117 (PM/PA) - A figura a seguir mostra um telhado de uma casa, onde AB = AC, BC = 4 m, AM = 1,5 m, CD = BF = 15 m e M é o ponto médio de BC. Considerando que para cobrir um metro quadrado de telhado são utilizadas 16 telhas, a quantidade de telhas para cobrir esse telhado será de: (B) 900 (C) 1000 (D) 1200 (E) 1500 Resolução Primeiramente vamos calcular a medida de AC: Como AB = AC e M é ponto médio de BC, temos que AMC é um triângulo retângulo, onde AC é a hipotenusa, MC = 2 pois BC = 4 e AM = 1,5. Vamos utilizar o Teorema de Pitágoras: AC² = MC² + AM² AC² = 2² + 1,5² AC² = 4 + 2,25 AC² = 6,25 AC = 2,5m Agora vamos calcular a área de um dos lados do telhado, depois multiplicar por 2: Área = AC.CD = 2,5.15 = 37,5m² 2.37,5 = 75m² Como cada m² equivale a 16 telhas: = (PM/PA) - Um empresário possui um espaço retangular de 110 m por 90 m para eventos. Considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, a capacidade máxima de pessoas que esse espaço pode ter é: (A) (B) (C) (D) (E) Resolução: Vamos calcular a área do espaço: A = 90 x 110 = 9900 m² Como cabem 4 pessoas por m²: Capacidade = = (PM/PA) - Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é: (A) 800 (A) 5 u.a (B) 6 u.a (C) 7 u.a (D) 8 u.a (E) 9 u.a Resolução: SENA Cursos e Concursos ( Página 167

168 Veja no desenho como fica o triângulo: A = base x altura / 2 A = 4 4/2 A = 8 Fórmula para cálculo de área de um triângulo: A = base x altura / 2 base = 5 2 = 3 altura = 7 3 = 4 A = 3.4/2 = (PM/ES - FUNCAB) Um para-raios instalado em um determinado prédio protege uma área circular de raio R = 20 m no solo. O valor total da área do solo, em metros quadrados, protegida por esse para-raios, é de: (Adote o valor aproximado deπ= 3,14) (A) m² (B) m² (C) m² (D) m² (E) m² CFO PM/ES 2013) Adriana planta flores num canteiro circular de raio 8 m. Ao redor desse canteiro, ela pretende plantar ervas medicinais formando uma coroa circular, de maneira que a parte destinada às flores sofrerá uma redução de 2 m em seu diâmetro. A área ocupada pelas ervas medicinais neste canteiro será igual a: Resolução: Adriana plantava em um circulo de raio 8. Como ela vai plantar ervas medicinais em volta, reduzindo em 2m o diâmetro, o raio passará a ser 7. Assim, a área da coroa circular será a diferença entre a área do circulo de raio 8 e do circulo de raio 7 (Área circunferência = π.r²): π.8² π.7² = 64π 49π = 15π Resolução: Calculando a área do círculo: Área = pi x raio² Área = 3,14 x 20² Área = 3,14 x 400 Área = (PM/Acre FUNCAB) A área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 4, e dois de seus ângulos medem 45º, corresponde a: (A) 4 u.a. (B) 8 u.a. (C) 12 u.a. (D) 16 u.a. (E) 20 u.a. Resolução: Temos um triângulo retângulo (o valor da altura e da base é 4). 123 (CORREIOS/CESPE) - Em 2008, nos 200 anos do Banco do Brasil, os Correios lançaram um selo comemorativo com uma tiragem de unidades. No selo, cujo formato é de um retângulo medindo 40 mm 30 mm, a estampa ocupa um retângulo que mede 35 mm 25 mm Dadas essas condições, é correto afirmar que a área do retângulo da estampa é: (A) superior a 90% da área do retângulo do selo. (B) inferior a 75% da área do retângulo do selo. (C) superior a 75% e inferior a 80% da área do retângulo do selo. (D) superior a 80% e inferior a 85% da área do retângulo do selo. (E) superior a 85% e inferior a 90% da área do retângulo do selo. SENA Cursos e Concursos ( Página 168

169 Resolução: Como estamos trabalhando com porcentagem, não há necessidade de utilizar a medida mm. Basta dividirmos a área da estampa pela área do selo. Veja: A = 3 l² 3 / (PRF/CESP) (PM/PR COPS) - Considere uma placa de trânsito na forma de um hexágono regular com lados de L centímetros. Sabe-se que um hexágono regular de lados L é formado por seis triângulos equiláteros de lados L. Como a leitura desta sinalização (placa) depende da área A da placa, temos que A, em função do comprimento L, é dada por: (A) (B) (C) (D) (E) Considerando, em relação às figuras acima, que, na figura I, as 4 curvas são quartos de circulo; nas figuras II, III e IV, as curvas são 2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicírculo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são: (A) I e IV. (B) I e V. (C) II e III. (D) II e V. (E) III e IV Resolução: Figura I: Temos um quadrado com 4 semicírculos inscritos, que resultam em um círculo completo. Então a área sombreada será a área do quadrado menos a área do círculo com raio de 1 cm. Calculando as áreas: Resolução: Primeiramente, a área do hexágono é 6x a área do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos descobrir a altura h do triângulo para descobrirmos sua área: l² = h² + (l/2)² l² l²/4 = h² (4l² l²)/4 = h² 3l²/4 = h² h = l 3/2 Calculando a área: A = l. l 3/2/2 A = l² 3 /4 A área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero. A = 6. l² 3/4 1. Área do quadrado: 2 x 2 = 4 cm²; 2. Área do círculo: π 1² = π cm²; 3. Área sombreada: 4 π. Figura II: A área sombreada é formada por 3/4 da área de um círculo com raio de 1 centímetro, menos a área de 2 semicírculos de raio igual a 1/2 centímetro. Lembre que dois semicírculos formam um círculo. Então: 1. Área do círculo com raio de 1 cm: π 1² = π cm²; 2. 3/4 da área do círculo anterior: 3π/4 3. Área do círculo com raio igual de 1/2 cm: π.(1/2)² = π/4 4. Área sombreada: 3π/4 π/4 = 2π/4 = π/2cm². Figura III: Se o semicírculo sombreado trocar de lugar com o semicírculo brando, a área sombreada será igual a 3/4 da área do círculo de raio de 1 cm. Veja: 1. Área do círculo de raio de 1 cm: π1² = π cm²; 2. Área sombreada: 3π/4 cm². SENA Cursos e Concursos ( Página 169

170 Figura IV Se encaixarmos o semicírculo sombreado no semicírculo branco, têm-se um retângulo com a metade sombreada e a outra branca. Dessa forma, a área sombreada seria igual a metade da área de um retângulo de 2 x 2. Veja: 1. Área sombreada: 2.2/2 = 2 cm². Figura V: A área sombreada será obtida com a subtração da área de um quarto de círculo de raio igual a 2 centímetro pela metade de um semicírculo de raio igual a 1 centímetro. Calculando as áreas: 1. Área de 1/4 de círculo de 2 cm de raio: π2²/4 = πcm². 2. Área de um semicírculo de 1 cm de raio: π1²/2 = π/2cm². 3. Área sombreada: π π/2 = π/2 cm². 126 (SAP/SP) - Ricardo esteve em um lançamento imobiliário onde a maquete, referente aos terrenos, obedecia a uma escala de 1:500. Ricardo se interessou por um terreno de esquina, conforme mostra a figura da maquete. Exercícios Propostos 541 (UFPE/95) - Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. 1. Acerca da figura a seguir podemos afirmar que: ( ) O triângulo ABC é equilátero. ( ) O triângulo ACD é isósceles. ( ) - ( + ) é divisível por 2. ( ) åî = Ø. ( ) Os triângulos ABC e ACD têm áreas iguais Analise as seguintes afirmações a seguir e escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. A área, em metros quadrados, desse terreno é de: (A) 300. (B) 755. (C) 120. (D) 525. (E) 600. Resolução: Primeiramente, vamos utilizar a escala 1:500 para sabermos as dimensões reais do terreno: 2cm equivale a = 1000cm = 10m 6cm equivale a = 3000cm = 30m 5cm equivale a = 2500cm = 25m Sabendo disto, para calcularmos a área é muito simples, basta dividirmos a figura em duas, um retângulo e um triângulo: ( ) Dois triângulos equiláteros quaisquer são semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro. ( ) Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a soma dos outros dois. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam no seus pontos médios, então esse quadrilátero é um retângulo. ( ) Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio. 543 (FUVEST/91) - No quadrado ABCD de lado 12 temos: AE=13 e CF=3. O ângulo AÊF é agudo, reto ou obtuso? Justifique. O retângulo terá base 30m (6cm) e altura 10m (2cm): Área = = 300m² O triângulo terá base 30m (6cm) e altura 15m (3cm): Área = 30 15/2 = 225m² Área total = = 525m² ] SENA Cursos e Concursos ( Página 170

171 544 (UFPE/95) - Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir. Se RS=100, quanto vale PQ? 548 (UFPE 96) - Considere um triângulo equilátero de lado l como mostra a figura a seguir. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes quatro triângulos é igual a: (A) 100Ë3 (B) 50Ë3 (C) 50 (D) (50Ë3)/3 (E) 25Ë3 545 (FUVEST/91) - Na figura abaixo, AB=AC, BX=BY e CZ=CY. (A) 5l/2 (B) l (C) 3l (D) l/2 (E) 3l/2 549 (PUCCAMP/95) - Um quadrado tem dois vértices numa circunferência e um lado tangente a ela, como mostra a figura a seguir. Se a área do quadrado é de 36cm 2, o raio da circunferência é, em centímetros, Se o ângulo A mede 40, então o ângulo XYZ mede: (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) (CESGRANRIO/94) - ABCDE é um pentágono regular convexo. O ângulo das diagonais AC e AD vale: (A) 30 (B) 36 (C) 45 (D) 60 (E) (UFES/96) - Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? (A) 2,5 (B) 2,75 (C) 3,25 (D) 3,5 (E) 3, (UNESP/2000) - Uma praça possui a forma da figura, onde ABCE é um quadrado, CD=500m, ED=400m. (A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 140 SENA Cursos e Concursos ( Página 171

172 Um poste de luz foi fixado em P, entre C e D. Se a distância do ponto A até o poste é a mesma, quando se contorna a praça pelos dois caminhos possíveis, tanto por B como por D, conclui-se que o poste está fixado a: (A) 300 m do ponto C. (B) 300 m do ponto D. (C) 275 m do ponto D. (D) 250 m do ponto C. (E) 175 m do ponto C. A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada durante a Revolução Industrial, constituindo fator fundamental para o progresso da indústria e dos meios de transporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motores de combustão interna que utilizam o mecanismo chamado "biela-manivela" tal mecanismo transforma o movimento de rotação de uma polia em movimento de translação de um pistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configurações distintas desse mecanismo representadas a seguir: 551. (UFRN/99) - Na figura adiante, o ângulo š mede: (A) 94 (B) 93 (C) 91 (D) (UFPI/2000) - A área máxima que pode ter um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10cm é: (A) 50 (B) 70 (C) 35 (D) 57 (E) 25 Sendo r o raio da polia, OQ 1 =OQ 2 = r e Q 1 P 1 = Q 2 P 2 conclui-se que, em (II), a distância entre P e P é: (A) r/2 (B) 2r (C) (r 3)/2 (D) r 3 (E) r 555 (UFJF/2002) - Na figura abaixo, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas. 553 (UFPE/2000) - Um tetraedro ABCD tem arestas medindo 5, 6 10, 15, 19, 24. Se AB=5, quanto mede CD? (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 19 (E) (UFF/2002) - Se olharmos ao redor, perceberemos como o mundo evoluiu a partir do século XVIII e início do XIX, com a Revolução Industrial. O advento da máquina, em suas variadas formas, alargou os horizontes do homem, proporcionando novos recursos para o desenvolvimento urbano e industrial, desde as descobertas de fontes de energia até a expansão de mercados e de territórios dentro e fora da Europa. Então, a medida do ângulo, em graus, é igual a: (A) 70. (B) 60. (C) 45. (D) 40. (E) (UFMG/2005) - Observe esta figura: SENA Cursos e Concursos ( Página 172

173 559 (UNIFESP) - Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3. O ângulo menor desse paralelogramo mede: (A) 45. (B) 50. (C) 55. (D) 60. (E) 65. Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BQ = QC e a medida do ângulo PÔQ é š. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a medida do ângulo interno AÔC do quadrilátero AOCB é: (A) 2Ф. (B) (5/2)Ф. (C) 3šФ. (D) (3/2)Ф. 557 (UFPE/2005) - Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, e os ângulos BAD e BCD medem 60. Se AD mede 20, indique o comprimento da poligonal ABCDA. 560 (UEL) - Embora o desenho abaixo pareça representar uma figura em três dimensões, ele foi feito no plano, usando-se apenas losangos congruentes entre si. Os ângulos internos desses losangos medem: (A) 30º e 150º (B) 36º e 72º (C) 36º e 144º (D) 45º e 135º (E) 60º e 120º 561 (PUC/RJ) - Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: (A) 90º (B) 65º (C) 45º (D) 105º (E) 80º 562 (UFC) - Um paralelogramo tem dois lados consecutivos medindo 3cm e 4cm. (A) 58 (B) 60 (C) 62 (D) 64 (E) (UFPE/2005) - Um barco está sendo rebocado para a margem de um porto por um cabo de aço. Inicialmente, o barco está no ponto A da ilustração, quando o cabo tem comprimento de 100m. Após puxar o cabo de 20m, o barco ocupa a posição B. Nessas condições, podemos afirmar que a distância AB é: Sabendo-se que esses lados formam um ângulo de 120o, então, o produto dos valores numéricos das medidas das diagonais do paralelogramo é igual a: (A) 407 (B) 444 (C) 481 (D) 518 (E) (VUNESP) - Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. (A) maior que 20m. (B) igual a 20m. (C) igual a 19m (D) igual a 18m. (E) menor que 18m. SENA Cursos e Concursos ( Página 173

174 Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: (A) 7,5. (B) 5,7. (C) 4,7. (D) 4,3. (E) 3, Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: (A) 20 cm 2 (B) 10 cm 2 (C) 24 cm 2 (D) 18 cm 2 (E) 12 cm Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é 5/3 do tamanho do cateto menor. O cateto maior tem tamanho igual a 4/3 do cateto menor. Sendo 60 cm o perímetro desse triângulo, sua área será de: (A) 135 cm2 (B) 120 cm2 (C) 150 cm2 (D) 100 cm2 (E) 187,5 cm Considere um triangulo retângulo com hipotenusa medindo 15 cm e um dos catetos medindo 9 cm e as seguintes afirmativas: I. Tem área igual a 54 cm2. II. A projeção do maior cateto sobre a hipotenusa mede 9 cm. III. A altura em relação à hipotenusa mede 7,2 cm. É correto o que se afirma em: (A) I e II apenas (B) II e III apenas (C) I e III apenas (D) II apenas (E) I, II e III Uma região de uma cidade possui o formato de um setor circular. Os pontos A, B e C são esquinas, a distância entre os pontos A e B é de 1 km e o ângulo formado pelas ruas 1 e 2 é de 120º, conforme mostra a figura abaixo. João e Marcos desejam ir do ponto B para o ponto C. Para tanto, João percorreu as ruas 1 e 2, passando inicialmente por A, enquanto Marcos seguiu o trajeto da rua 3. Podemos afirmar, considerando o valor de π como 3,14 que João e Marcos percorreram, respectivamente, uma distância aproximada de: (A) (B) (C) (D) (E) Considere a região mais escura, no interior do semicírculo de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir. Se a área dessa região é 24π cm2 e AM = MN = NB, então a medida AB, em centímetros, é: (A) 9 (B) 12 (C) 16 (D) 18 (E) Considere, no plano, um triângulo equilátero cujos vértices são também vértices de um hexágono regular. Se a medida do lado do hexágono é 2 m, a área da região interior ao hexágono e exterior ao triângulo é: (A) 3 m 2 (B) 2 3 m 2 (C) 3 3 m 2 (D) 4 3 m Sejam r e s retas paralelas. A medida do ângulo d é 30 e a medida do ângulo c é 45. A medida de b - a é: (A) 30º (B) 45º (C) 60º (D) 25º (E) 15º SENA Cursos e Concursos ( Página 174

175 571 - Um engenheiro deseja construir uma praça com a forma de um círculo. Sabendo que a praça deve ter uma área de 100π m 2, pode-se afirmar que o diâmetro da praça é: (A) 20m (B) 30m (C) 40m (D) 50m (E) 60m Uma pessoa com 1,5 metro de altura percebe que em determinado momento do dia projeta uma sombra de 6 metros e que no mesmo momento um prédio projeta uma sombra de 40 metros. Com base nestas informações pode-se afirmar que a altura do prédio é: (A) 10m (B) 25m (C) 30m (D) 35m (E) 38m (A) (B) (C) (D) (E) Um marido apaixonado resolveu prestar uma homenagem à sua esposa, construindo um jardim em forma de um coração, conforme ilustra a figura. Para construí-lo ele usou mudas de flores vermelhas na razão de 200 mudas por metro quadrado. Qual é o total de mudas utilizadas na montagem de tal jardim? (use n = 3) Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a: (A) 3100 (B) 2100 (C) 1500 (D) 1000 (E) Na figura abaixo, os comprimentos dos lados AB e BC do triângulo ABC são iguais. (A) (B) (C) (D) (E) (CN/08) - Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AC = 12 e AB = 5. A bissetriz interna traçada de C intersecta o lado AB em M. Sendo I o incentro de ABC, a razão entre as áreas de BMI e ABC é: (A) 18º (B) 20º (C) 25º (D) 22º (E) 17º Qual a medida da área do quadrilátero ABCD ilustrado a seguir? (A) 1/50 (B) 13/60 (C) 1/30 (D) 13/150 (E) 2/ (OBM) - O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC de 90º no sentido antihorário ao redor de C, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que é igual a: SENA Cursos e Concursos ( Página 175

176 12.2 Outras definições: (A) 75º (B) 65º (C) 70º (D) 45º (E) 55º Considere duas retas r e s, paralelas. Um ponto A dista 2 unidades de r e 1 unidade de s. Os pontos B r e C s são tais que o triângulo ABC é equilátero. Determine a medida do lado do triângulo. 1. Duas retas reversas são ditas ortogonais se o ângulo formado entre elas for um ângulo reto. 2. Uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, a reta for ortogonal a todas as retas do referido plano. 3. Um plano é perpendicular a outro plano se, e somente se, existir uma reta contida em deles que seja ortogonal ao outro plano. 4. Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular do ponto pelo plano. A projeção ortogonal de uma figura é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano. 5. Diedro, ou ângulo diédrico, é o ângulo formado por dois semiplanos de origem comum. Pode ser medido através do ângulo plano obtido cortando o diedro com um plano perpendicular aos semiplanos (Olimpíada Brasileira) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC = 5. Seja o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE = CF = 4 calcule a área do triângulo. XII GEOMETRIA ESPACIAL Até este momento analisamos as figuras planas. trabalhando com apenas 2 dimensões, Agora, passamos a considerar o mundo real, as 3 dimensões, analisando então, planos distintos, fazendo o estudo volumétrico das figuras, por exemplo. Além da análise das medidas de comprimento e área, agora nos interessa também estudar as chamadas área lateral, área total, área da base e volume das figuras Posição entre duas retas Dadas duas retas (r e s) estas podem ser coplanares (estar no mesmo plano) ou não-coplanares. As retas coplanares podem ainda ser concorrentes (se encontram em pelo menos um ponto, que não seja o infinito); coincidentes (r = s); paralelas distintas ( se encontram no infinito ) Prismas Prismas são sólidos geométricos formados por uma face superior e por uma face inferior (chamadas de base ) paralelas e congruentes ligadas por arestas. A nomenclatura do prisma depende do formato de suas bases. Quanto às suas arestas laterais, o prisma pode ser classificado como reto quando estas são perpendiculares a base ou oblíquo. Um prisma é chamado regular quando este é reto e suas bases são polígonos regulares (de lados iguais). As retas não-coplanares são chamadas de reversas (não estão no mesmo plano, nem concorrem em nenhum ponto). SENA Cursos e Concursos ( Página 176

177 Os planos contidos entre duas arestas laterais são chamados de faces laterais. A distância entre os planos que contém as bases do prisma é chamada de altura do prisma (note que esta distância é uma perpendicular entre esses planos, como no caso do paralelogramo). Chamamos área lateral (A L ) a superfície formada pelas faces laterais do prisma na figura representada pelo cinza mais claro. De (A B ) a área da base representado pelo cinza escuro. Assim, temos as fórmulas generalizadas para os sólidos prismáticos: Paralelepípedo reto-retângulo O paralelepípedo retoretângulo é um prisma reto com bases retangulares. a,b,c lados do paralelepípedo BH: uma diagonal do paralelepípedo BE: uma diagonal de face Cilindros Uma das figuras da geometria mais utilizadas no dia-a-dia. Muitos dos objetos que utilizamos têm exatamente o formato cilíndrico. Por isso, o estudo dos cilindros nos dá uma noção importante de espaço e de volume, por exemplo, de um copo d água, uma panela, uma lata de tinta e outras coisas. Dados dois círculos contidos em planos paralelos distintos, à união destes círculos no espaço tridimensional chamamos cilindro. Os círculos são as bases do cilindro e a cada segmento que une um ponto do círculo com sua projeção no outro círculo chamamos geratriz. A reta que passa pelo centro das bases chama-se eixo. E a distância entre os planos das bases é a altura. Se o eixo do cilindro é perpendicular as bases, então o cilindro é chamado de cilindro reto ou cilindro de revolução (porque a superfície lateral é obtida pela rotação de um segmento (a geratriz) em torno de uma reta (eixo)). Verifique que a lateral do cilindro reto quando planificada forma um retângulo! Se o eixo não for perpendicular a base, o cilindro é oblíquo. Sendo r o raio dos círculos da base de um cilindro, temos: Temos: Se o cilindro for reto, temos ainda: 1 - Cubo Um cubo é um paralelepípedo reto-retângulo cujas três dimensões são iguais (a = b = c) Pirâmides Considere uma região poligonal convexa (P) e um ponto fora do plano que contém essa região (V) e seja X um ponto qualquer de P. Ao conjunto de todos os SENA Cursos e Concursos ( Página 177

178 segmentos VX dá-se o nome de pirâmide, sendo P sua base e V seu vértice. polígono da base. Em outras palavras, pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice comum a todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são triangulares e o número de faces depende do número de lados do As pirâmides são ainda classificadas de acordo com o polígono da base. A distância do vértice ao plano que contém a base é chamada de altura da pirâmide. Uma pirâmide é chamada reta quando possui todas as arestas laterais congruentes, ou ainda, quando a reta que une o vértice da pirâmide ao centro do polígono da base da mesma é perpendicular ao plano que contém a referida base. Se além de reta, sua base for um polígono regular dizemos então que a pirâmide é regular. Na pirâmide regular todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes e as alturas relativas às bases das faces laterais são congruentes e recebem o nome de apótemas. Neste caso, temos: Na pirâmide regular todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes e as alturas relativas às bases das faces laterais são congruentes e recebem o nome de apótemas. r: apótema da base ap: apótema da pirâmide r² + h² = (ap)² Cones Considere um círculo (C), de centro O e raio r e um ponto V fora do plano que contém esse círculo e seja X um ponto qualquer de P. Ao conjunto de todos os segmentos VX dá-se o nome de cone circular, sendo C sua base e V seu vértice. Note que a definição de cone é praticamente a mesma definição de pirâmide. De fato, são figuras muito semelhantes, se pensarmos que o cone é uma pirâmide cuja base é um polígono de infinitos lados. O segmento que une o vértice V ao centro O da base é chamado eixo. A distância entre o vértice e o plano da base é a altura do cone. Todo segmento que une o vértice V a um ponto qualquer da circunferência da base é chamado de geratriz (g). Se o eixo não for perpendicular a base o cone é oblíquo. Se o eixo do cone for perpendicular a base, dizemos que o cone é reto ou, de revolução. Neste caso, todas as geratrizes são congruentes e temos: Para os cones, temos: g² = h² + r² Se o cone é reto, temos ainda: Neste caso, temos: Semelhança de sólidos Note que a área total e o volume dependem do polígono da base da pirâmide e a área lateral será a soma das áreas dos triângulos que formam as faces da pirâmide. Note ainda que a área total, diferente dos prismas, tem apenas uma área da base, o que é óbvio, dado que a pirâmide não possui face superior. Além disso, seu volume representa 1/3 do volume de um prisma. Dizemos que dois sólidos são semelhantes quando seus lados são proporcionais e seus ângulos poliédricos são congruentes. É a extensão no espaço tridimensional do conceito de semelhança na geometria plana. Se k é a razão de semelhança, temos que k² é a razão entre as áreas correspondentes (das faces, das bases, laterais, totais) e k³ é a razão entre os volumes dos dois sólidos Sólidos truncados Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide o sólido em duas partes, sendo uma delas semelhante ao sólido original. SENA Cursos e Concursos ( Página 178

179 Quanto a parte que sobra, a que não é semelhante ao sólido original, chamamos tronco. Para facilitar, quando falarmos em tronco de pirâmide e tronco de cone vamos admitir que as bases do tronco são paralelas (apesar de existirem troncos com bases não paralelas). conceito de circunferência. A superfície esférica, similarmente a esfera, é a circunferência girada em torno de um dos diâmetros Tronco de pirâmides Você pode observar que as faces laterais do tronco de pirâmides são trapézios. Seja S1 a base maior e S2 a base menor, conforme figura ao lado e h a altura do tronco, é possível demonstrar por semelhança de pirâmides (sugestão: demonstre!) que: Poliedros regulares Tronco de cones É importante notar que a superfície lateral é um segmento de coroa circular e a diferença entre os raios que definem a coroa é denominada geratriz do tronco. Você pode demonstrar como no caso da pirâmide que: Exercícios Resolvidos 127 (UFRGS) - A superfície lateral de um cone de altura h, quando planificada, gera um semicírculo de raio 10. O valor de h é: (A) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 5 3 (E) 10 Resolução Esfera e Superfície esférica Definições Se o raio do setor circular é R = 10, podemos determinar que este raio na verdade é a geratriz(g) do cone. E que o comprimento do setor circular é o comprimento da base do cone 1. Esfera: Considere um ponto C no espaço. Dada uma distância R chamamos de esfera todos os pontos do espaço que estão a uma distância R ou menor que R de C. É uma extensão do conceito de círculo. A esfera é na verdade um círculo girado em torno de um de seus diâmetros. 2. Superfície esférica: Considere um ponto C no espaço. Dado uma distância R chamamos de superfície esférica todos os pontos do espaço cuja distância a C é exatamente R. É uma extensão do SENA Cursos e Concursos ( Página 179

180 Resolução Usando Pitágoras temos: 10² = 5² + h² 100 = 25 + h² h² = 75 h = 75 h = 5 3 u.c Nesse caso temos que para cada circunferência será possível formar dois copos, dessa forma vamos calcular a área de 15 circunferências: 128 (UFSC) - A geratriz de um cone equilátero mede 2 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm 2, multiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no cartão-resposta. 130 (ACAFE) - Um fazendeiro solicitou a um engenheiro o projeto de um depósito para estocar a ração de seus animais. A figura abaixo mostra o esboço do depósito criado pelo engenheiro. Resolução No cone equilátero, a secção meridiana é um triangulo equilátero, no qual os lados são iguais a g(geratriz) que vale 2.R, dessa forma a área da secção meridiana é: A capacidade total desse depósito é de: (A) 96 π m 3 (B) 24 π m 3 (C) 64 π m 3 (D) 48 π m 3 (E) 72 π m 3 Resolução Para calcular a capacidade do depósito precisamos determinar o volume do cone e do cilindro: 129 (ACAFE) - Uma dona de casa está preparando a festa de aniversário de seu filho. Com semicírculos de raio 12cm vai confeccionar copos de papel em forma de cone. Para 30 destes copos, a quantidade de papel necessário será de aproximadamente:(adote π = 3). (A) 7.530cm 2. (B) cm 2 (C) cm 2 (D) cm 2 (E) cm 2 Dessa forma o volume do depósito é: Vcil + V cone = 24π m³ 131 (UFSCAR/SP) - A figura representa um galheteiro para colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior SENA Cursos e Concursos ( Página 180

181 de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de liquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é: (A) 7cm (B) 8cm (C) 10cm (D) 12cm (E) 5cm Resolução Da figura podemos notar que h cm é a altura do cilindro, que a altura do cone é (h-5)cm e que o raio do cilindro e do cone vale 5 cm Com essas informações sabemos que: 133 (VUNESP) - O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Dado que, então: Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será: (A) 36 (B) 27 (C) 18 (D) 12 (E) 4 Resolução Nesse caso conhecemos o lado da base e a altura da pirâmide, podemos calcular seu volume: 132 (UFSC) - Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm 3, é: Resolução Nesse caso podemos determinar um dos triângulos internos da pirâmide, usando Pitágoras temos o R, raio da circunferência circunscrita ao quadrado da base, logo: 134 (FUVEST/SP) - Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da SENA Cursos e Concursos ( Página 181

182 pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: (A) 90 (B) 100 (C) 110 (D) 120 (E) 130 Resolução O cálculo de r (apótema da base ou raio da circunferência inscrita à base) é feito lembrando que 2.r = lado do quadrado. Depois disso usando Pitágoras calculamos o apótema da pirâmide que vale 5m Se vamos colocar 2 litros de água nesse cano, e sabendo que 2 litros equivalem a 2000 cm³ ou 2000 ml, podemos afirmar que a água ultrapassa o meio do cano (alternativa A) 136 (UFAM) - Maria ganhou um vidro de perfume no formato de um cilindro de 5 cm de raio da base e 10 cm de altura. Depois de um mês usando o perfume restou 0,25 l no vidro. Então a fração que representa o volume que Maria já usou é: π 1 (A) π (B) π (C) n n 1 A área lateral da pirâmide será calculada: (D) 2n n 1 (E) n 1 5n Resolução Sabemos que as telha são vendidas em lotes que cobrem 1 m², assim para cobrir o telhado precisamos de 80 lotes, mas não podemos esquecer que pode haver um desperdício de 10 lotes, por isso o número mínimo de lotes a ser comprado é (UFRGS) - Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água Conhecendo o raio da base e a altura do cilindro, seu volume será (A) ultrapassa o meio do cano (B) transborda (C) não chega ao meio do cano (D) enche o cano até a borda (E) atinge exatamente o meio do cano. Resolução - Primeiro vamos calcular o volume do cano, que é um cilindro: Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a: SENA Cursos e Concursos ( Página 182

183 (A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00. (C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56. (E) R$ 49,60. Resolução 139 (UFRGS) - Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente (A) 34, 10 (B) 19, 10 (C) 34, 20 (D) 12, 10 (E) 19, (UFSC) - Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é: Resolução Resolução 140 (PUC/RS) - Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices desse poliedro é: (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 9 (E) 10 Depois de cortar os cantos como descrito temos Resolução E por fim dobrando as abas da figura ficamos com SENA Cursos e Concursos ( Página 183

184 Exercícios Propostos 581 (UEL) - As afirmações seguintes podem ser verdadeiras ou falsas. I. A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma reta. II. Distância entre duas retas reversas é a perpendicular comum a essas retas. III. A distância entre dois planos só é definida se esses planos são paralelos. (B) 6,3 m (C) 4,9 m (D) 2,1 m 584 (INSPER/11) - A cobertura de uma barraca de praia, feita de lona, é constituída de dois triângulos equiláteros ABC e BCD, com o lado comum BC medindo 4 m. Estando a barraca montada, como representado na figura, os vértices A e D ficam a 1 m do chão, enquanto os vértices B e C ficam a 2 m do chão. É correto afirmar que somente (A) II é verdadeira. (B) III é verdadeira. (C) I e II são verdadeiras. (D) I e III são verdadeiras. (E) II e III são verdadeiras. 582 (PUCCAMP) - Considere as afirmações a seguir. I. Duas retas distintas determinam um plano. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro. É correto afirmar que (A) apenas II é verdadeira. (B) apenas III é verdadeira. (C) apenas I e II são verdadeiras. (D) apenas I e III são verdadeiras. (E) I, II e III são verdadeiras. 583 (UERJ) - Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras Nessas condições, quando os raios solares incidirem perpendicularmente ao plano do chão, a área da sombra da barraca projetada no chão, em m2, será (A) 4 3 (B) 4 11 (C) 4 15 (D) (MACK/05) A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o formato de trapézios isósceles. Se d = 2m, a razão entre o volume de água e o volume total da caçamba é: (A) Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: (A) 7,0 m (B) (C) (D) SENA Cursos e Concursos ( Página 184

185 (E) Considere o cubo ABCDEFGH abaixo, de aresta a. Determine a distância entre os segmentos AG e HF (D) 24/ 41 (E) 25/ Uma pirâmide tem por base um quadrado ABCD com lado 2 e faces laterais que são triângulos isósceles congruentes. Saindo do vértice V, pode-se percorrer VEFGHIBA onde E, F, G, H, I estão nas arestas VA, VB, VC, VD e VA respectivamente e VE = EF = FG = GH = HI = IB = 2 (veja ilustração). Indique o inteiro mais próximo do volume da pirâmide Dados: e tg(6 /13) = 8,24 e sec(6 /13) = 8,30 (A) a 3 2 (B) a 3 6 (C) a 3 4 (D) a 6 6 (E) a O volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado 6 e cujas arestas laterais tem medida 15 vale: (A) 9 (B) 9/2 (C) 27/2 (D) 9 3 /2 (E) nda 588 (UESPI/12) - Um paralelepípedo retângulo tem por base um quadrado com lado medindo 6 cm e tem altura 8 cm, conforme a ilustração a seguir. Sugestão: refaça o percurso VEFGHIBA no triângulo VAB, para determinar o ângulo AVB 590 (UEL) - O diretor de um clube deseja construir um poço, com formato cilíndrico, de 10,0 m de profundidade e diâmetro interior igual a 1,0 m. Se a parede desse poço for construída com alvenaria na espessura de 0,2 m, o volume desta alvenaria será igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 591 (UEL/05) - Um designer deseja projetar um recipiente para perfume no formato da figura 1 a seguir. O recipiente é resultado da intersecção de 2 cilindros iguais com 10 cm de altura cada um, cujas bases possuem raio igual a 6 cm. Sabe-se que o segmento de reta AB, representado na figura 2 a seguir, une a intersecção das circunferências das bases de centros C 1 e C 2 e passa exatamente pelo ponto médio do segmento C 1 C 2. É correto afirmar que o recipiente comportará um volume igual a: Qual a distância entre o vértice A e o plano passando pelos vértices B, C e D? (A) 21/ 41 (B) 22/ 41 (C) 23/ 41 (A) cm 3 (B) cm 3 (C) cm 3 (D) cm 3 (E) cm 3 SENA Cursos e Concursos ( Página 185

186 592 (IBMEC/11) - Um quadrado de lados medindo 1 cm sofre uma rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é x cm, como mostra a figura. (A) 3/4 da altura do cilindro. (B) 1/2 da altura do cilindro. (C) 2/3 da altura do cilindro. (D) 1/3 da altura do cilindro. 594 (UEL/09) - Uma chapa com forma de um setor circular de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm, então o valor de x é: O gráfico que melhor representa a área total S do sólido gerado por essa rotação, em cm 2, em função de x, para x, 0 é: (A) 60º (B) 75º (C) 80º (D) 85º (E) 90º 595 (UFRGS/05) - Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela interseção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua superfície lateral, será obtido um setor circular cujo ângulo central tem medida α.então, (A) α<180º (B) 180º α < 200º (C) 200º α < 220º (D) 220º α < 240º (E) α 240º 596 (ITA) - O volume do sólido gerado por um triângulo, que gira em torno de sua hipotenusa cujos catetos são 15 cm e 20 cm, é: 593 (UNICAMP/11) - Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. (A) 1080 cm3 (B) 960 cm3 (C) 1400 cm3 (D) 1600 cm3 (E) nenhuma das respostas anteriores Sobre duas geratrizes diametralmente opostas de um cone equilátero, tomam-se os pontos M e N tais que AM = 8 e NA = 6. Calcule o comprimento do menor percurso de M até N sobre a superfície lateral do cone. (A) 10 (B) 14 (C) 21/2 (D) 19/2 (E) 7 2 A altura do cone formado pela areia era igual a: 598 (ESPCEX/10) - A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é: SENA Cursos e Concursos ( Página 186

187 (C) 43 e 8 cm (D) 20 cm e 10 cm (E) 12 cm e 8 cm Uma pirâmide tem uma base quadrada de lado 1 e suas faces laterais são triângulos equiláteros. Um cubo é colocado no interior da pirâmide de tal modo que uma face do cubo está sobre a base da pirâmide e a face oposta tem todas as arestas sobre as faces laterais da pirâmide. Qual o volume desse cubo? (A) 13 cm (B) 12 cm (C) 11 cm (D) 10 cm (E) 9 cm 599 (EsPCEx/96) - Uma pirâmide regular de base hexagonal e altura h = 2 3cm é seccionada por um plano perpendicular à sua base, de tal modo que a secção gerada tem a maior área possível. Sabendo-se que a área de secção é 5 3cm 2, o volume da pirâmide, em cm 3, é: (A) 25 2 (B) 50 3 (C ) 75 4 (A) (B) (C) (D) 2 9 (E) (UFPE) - O reservatório em forma de cilindro reto de raio da base 2 m e altura 5 m encontra-se na horizontal e preenchido com água até o nível de 3 m, conforme ilustrado na figura a seguir. Calcule o volume, em m3, de água no reservatório e arredonde para o inteiro mais próximo do valor obtido. (D) (E) (UEL/07) - Considere o cubo de aresta 3 cm e vértices ABCDEFG. Considere o ponto P situado no prolongamento da aresta EA de modo que PA = 5 cm, como está representado na figura Considere um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, dentro do qual se inscreve um circunferência de centro O. Pelo ponto O traça-se um segmento OP perpendicular ao plano desse triângulo. Se, AB = 3, BC = 4 e o plano APC forma um ângulo de 45º com o plano do triângulo, calcule a medida. BP 604 (UNICAMP/08) - Suponha que um livro de 20 cm de largura esteja aberto conforme a figura abaixo, sendo (A) 82 e 8 cm (B) 82 e 4 cm SENA Cursos e Concursos ( Página 187

188 608 - Um prisma ABCDEF tem altura 16 cm e suas bases são triângulos equiláteros. O prisma é intersectado por um plano que atravessa suas duas bases, determinando um tronco QOCMNF, conforme a figura abaixo. (A) Calcule a altura AB do livro. (B) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D. 605 (UNICAMP/93) - Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB = a e da altura mínima CD = b. Justifique seu raciocínio Uma pirâmide possui um triângulo equilátero de lado a como base. As arestas laterais medem b. Determine, em função de a e b, o raio da esfera circunscrita à pirâmide. 610 (UNICAMP/99) - Cada aresta de um tetraedro regular mede 6 cm. Para este tetraedro, calcule: (A) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum; (B) o raio da esfera inscrita no tetraedro. 606 (UFU/99) - Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45, conforme mostra a figura abaixo. Sabendo-se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar? 611 (UFPE) - Perfurando-se um sólido em forma de cone reto, com raio da base medindo 4 cm e altura 8 cm, simetricamente ao longo do seu eixo, com uma boca cilíndrica de 2 cm de raio, obtém-se um sólido com a forma ilustrada na figura abaixo, cujo volume é V cm3. Determine o inteiro mais próximo de V. 612 (UFBA/2004) - Considere um recipiente de vidro com a forma de dois cones congruentes de altura H, raio da base R e vértice comum. Sabe-se que, inicialmente, um dos cones está completamente cheio de areia, e o outro, totalmente vazio. 607 (FAU) - Um cilindro e um tronco de cone (circulares retos) têm uma base comum e mesma altura. O volume do tronco é a metade do volume do cilindro. Determinar a razão entre o raio da base maior e o raio da base menor do tronco. A areia é então redistribuída, de modo a formar, na parte superior do recipiente, um cone de altura e, na parte inferior, outro cone, de altura h e raio da base R, conforme a figura. 2 H SENA Cursos e Concursos ( Página 188

189 XIII GEOMETRIA ANALÍTICA A geometria analítica é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. É usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos no plano, no nosso caso. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes ( ), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. O eixo x é chamado eixo das abscissas e o eixo y eixo das ordenadas Equação geral da reta Toda reta pode ser representada pela equação Ax + By + C = 0, com A e B não nulos Equação reduzida da reta Uma reta não paralela a Oy pode ser escrita como: y = mx + b, onde chamamos m de coeficiente angular da reta e b de coeficiente linear da reta. Como indicam os nomes, m determina a inclinação da reta (em relação ao eixo x, sentido anti-horário como positivo) e b determina o ponto no qual a reta intercepta o eixo das ordenadas. Temos ainda, pela figura: Sendo assim, dados dois pontos de uma reta, ou ainda um único ponto (x0; y0) e seu coeficiente angular (m), podemos determinar a equação da mesma fazendo: 13.3 Equação da reta por dois pontos Dados dois pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), uma segunda maneira de determinar a equação da reta por A e B é resolvendo: Posições de duas retas no plano Podemos determinar as posições relativas entre duas retas no plano comparando seus coeficientes (angular e linear). Dadas as seguintes retas: Temos: r: y = m r.x + b s: y = m s.x + c Distância entre dois pontos Já sabemos que a menor distância entre dois pontos é uma reta. Vamos agora determinar esta distância entre dois pontos, dadas as coordenadas dos pontos. Dados os pontos A = (x1;y1) e B = (x2; y2), a distância entre eles d(a;b) é: Sugestão: Faça a demonstração desta fórmula a partir da figura ao lado. Como dica, utilize os conceitos da geometria plana, como o Teorema de Pitágoras Distância de um ponto a reta A distância de um ponto a uma reta é a medida do segmento com extremidades no referido ponto e na reta, sendo perpendicular a mesma. Dados o ponto P = (x1; y1) e a reta r de equação Ax + By + C = 0, com A e B não nulos, a distância d(p; r) é: IMPORTANTE: Se m > 0, a reta é crescente. Se m < 0, a reta é decrescente. SENA Cursos e Concursos ( Página 189

190 Ponto médio de um segmento E, ainda: O ponto médio M = (X m ; y m ) de um segmento de extremidades A = (x1; y1) e B = (x2; y2) é dado por: 2. O ponto (a;b) se: Baricentro (G) e área (S) de um triângulo Dados os vértices de um triângulo A = (x1; y1), B = (x2; y2) e C = (x3; y3), temos: 3. Um conjunto vazio se: Posições relativas entre uma reta e uma circunferência Dada uma reta r por Ax + By + C = 0, com A e B não nulos e uma circunferência de raio R e centro O por x² + y² + Dx + Ey + F = 0, sendo D²+E² - 4AF > 0. Resolvemos então o seguinte sistema: Isolando uma das variáveis na equação da reta e substituindo na equação da circunferência obtemos uma equação do segundo grau. E, então de acordo com o da equação determinamos a posição da reta. Determinando a distância d(r,o) da reta ao centro da circunferência e comparando a mesma com o raio R da circunferência, também conseguimos determinar a posição relativa da reta Equação reduzida da circunferência Dada uma circunferência de centro C = (a;b) e raio r, a equação que determina a mesma é dada por: Assim temos: 1. Reta secante à circunferência se, e somente se: (x a)² + (y b)² = r² Equação geral da circunferência Dada a equação: Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, esta representa: 2. Reta tangente à circunferência se, e somente se: 1. Uma circunferência de centro (a;b) e raio r, se, e somente, se: SENA Cursos e Concursos ( Página 190

191 3. Reta exterior à circunferência se, e somente se: Exercícios Resolvidos Parábola com diretriz paralela a um dos eixos coordenados Suponha um eixo d e dois pontos F (foco) e V (vértice). A distância entre a reta d (diretriz) e o ponto V deve ser a igual à distância entre os pontos V e F. Determinamos então, uma sequência de pontos, os quais, deverão estar à mesma distância de F e d Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra é o ponto P(2, 3). Ela caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3). Calcular a distância que a formiga andou. Resolução Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, chegamos à distância que a formiga andou. A parábola é formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma distância do ponto F e da reta d.todos os pontos do plano que possuem essa característica pertencem à parábola. Suponha uma parábola cuja diretriz é paralela ao eixo das abscissas. equação importantes A função y = ax² + bx + c, sendo a não nulo, determina esta parábola. (Note que a parábola é a função que representa uma equação do segundo grau). Temos assim, os seguintes pontos e Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma circunferência está no ponto C1(3, 5) e o centro da outra está no ponto C2(0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferências. Resolução: Foi dito que essas circunferências são tangentes externamente, logo a soma dos raios é exatamente a distância entre: Dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contêm AC), tal que AB = 2BC. Resolução: Além disso, os coeficientes a, b e c e o valor do da equação da parábola ainda determinam as características da mesma: O Coeficiente O que determina Como determina a concavidade se a > 0, para cima se a < 0, para baixo b c raízes da função (pontos em que a parábola corta o eixo x) posição do vértice em relação ao eixo vertical ponto em que a parábola corta o eixo das ordenadas se > 0, duas e distintas se = 0, uma única se < 0, nenhuma se b/a > 0, está a esquerda de Oy. se b/a < 0, está a direita de Oy. dá o valor exato do ponto de interseção Temos que, Assim temos Logo B Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Dados, A(0, 8), B(2, 2). e, SENA Cursos e Concursos ( Página 191

192 Seja M o ponto médio de AB. Temos: (A) 2y + 8x 9 = 0. (B) 3y +18x 10 = 0 Resolução (A) (A) 2y + 8x 9 = 0. Logo M(1,5) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(4, 2) e C(6, 4). Determine o valor da base média relativa ao lado AB. Resolução: Basta isolar o y. (B) 3y +18x 10 = 0 Isolando o y: N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A base média é o e segmento MN Sejam os pontos A(0, 0), B(0, 4), C(4, 4) e D(4, 0) os vértices de um quadrilátero. Determine: Assim M (5,3) Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos P(0, 6) e Q(6, 0). Resolução: Aplicando o L aos pontos P e Q, temos: (A) A reta suporte que contem a diagonal AC (B) A reta suporte que contem a diagonal BD (C) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto A e o ponto médio do lado CD. (D) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto médio do lado BC e o ponto médio do lado CD. Resolução (A) Reta suporte de um segmento é a reta que contem esse segmento. Assim, basta fazer o L com os pontos A(0,0), C(4, 4) e um ponto genérico (x, y) Dados dos pontos, A(0, 2) e B(-3, -1), determinar a equação da reta que contém o segmento AB. Resolução Como por dois pontos passa uma única reta, temos: (B) Fazemos o mesmo feito no item a só que agora com os pontos B(0, 4), D(4, 0) e um ponto genérico (x, y). Aplicamos o L e obtemos que a equação da reta é: y = x + 4. (C) Vamos achar o ponto médio de CD. Logo sua equação é: y = x + n. C(4, 4) e D(4, 0). Como o ponto (0, 2) pertence à reta esse satisfaz a sua equação. 2 = 0 + n, n = 2. e a equação da reta é: y = x Dadas as retas abaixo na forma geral. Passe para forma reduzida. Assim, M(4, 2). Vamos fazer o L com os pontos A(0, 0), M(4, 2) e um ponto genérico (x, y). achamos a equação: y = x 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 192

193 (D) Determinando os pontos médios de BC e CD, M e N respectivamente. M e Fazendo L com M, N e um ponto genérico (x, y) encontramos a equação: y = x Determinar o ponto de intersecção entre as duas retas dadas: Resolução: Da equação de cima temos que y = 3x + 5. Substituindo na equação de baixo, tem-se: Determinar a equação da reta r, que é paralela à reta s de equação y 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 3). Resolução Foi dito que r é paralela a s, logo a equação de r vai ser: y 3x + n = 0. Para determinar o n, usamos que r passa por P(2, 3), então esse ponto deve satisfazer a sua equação. Assim: (3) 3.(2) + n = 0, n = 3. Logo: r: y 3x + 3 = (PM/PA) Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é: (A) 5 u.a (B) 6 u.a (C) 7 u.a (D) 8 u.a (E) 9 u.a Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro : Resolução: Desenhando o triângulo do plano cartesiano: (A) (B) Solução: (A) Primeiro vamos olhar para o coeficiente do termo em x. Basta dividi-lo por -2 e obtemos o x 0. Fazemos o mesmo com o coeficiente do termo em y. Assim: Fórmula para cálculo de área: logo C(4, 3). Para achar o raio, basta calcular: Dadas as equações de: r: (m - 2)x - (m - 3) y + 2 = 0 e s: (m -1)x + (m - 5) y + 5 = 0, determinar os valores de m para que sejam paralelas. A = base x altura / 2 base = 5 2 = 3 altura = 7 3 = 4 A = 3.4/2 = (CFO/ES 2013) - Sendo S denominada de área do polígono determinado pelas coordenadas cartesianas dos pontos A(5,0), B(2,3), C(1,0) e D(6,5), qual o valor de S? Resolução Como estão na forma reduzida, para serem paralelas, SENA Cursos e Concursos ( Página 193

194 Resolução: Para resolver a questão vamos alongar o lado BD até o eixo x, encontrando o ponto E (-4, 0), veja figura Demonstre que o triângulo de vértices A(8, 2), B(3, 7) e C(2, 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro. Demonstre que o triângulo de vértices A(8, 2), B(3, 7) e C(2, 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro. Resolução Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado. Veja que a área procurada é a diferença das áreas dos triângulos AED e EBC. Área do triângulo AED: A = 9 5/2 = 45/2 = 22,5 Área do triângulo EBC: A = 5 3/2 = 15/2 = 7,5 Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos: Temos então 22,5 7,5 = (PM/ES) - Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Ao calcular a área e o perímetro desse triângulo, os valores obtidos foram, respectivamente: (A) 3 e 3 (B) 3 e 6 (C) 6 e 6 (D) 6 e 12 (E) 12 e Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, -3) sejam colineares? Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, -3) sejam colineares? Resolução Resolução: Pela figura, temos um triângulo retângulo com BC = 4 e AC = 3. Vamos descobrir AB usando teorema de Pitágoras: AB² = 4² + 3² AB² = AB² = 25 AB = 5 Perímetro = = 12 Área = 3 4/2 = (PUC) - Sendo A(-2,-1), B(2,3), C(2,6) e D(-2,2) vértices de um paralelogramo, então o ponto de intersecção de suas diagonais é: (A) (-2,1/2) (B) (0,5/2) (C) (0,7/2) (D) (2,5/2) (E) (2,7/2) SENA Cursos e Concursos ( Página 194

195 Resolução O ponto de interseção das diagonais é o ponto médio dos vértices não adjacentes. Os vértices A e C não são adjacentes, o mesmo ocorre com D e B. Utilizando qualquer um desses pares de pontos, temos: (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) (FUVEST/SP) - Se (m+2n, m 4) e (2 m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: (A) 2 (B) 0 (C) 2 (D) 1 (E) ½ Sejam as retas concorrentes r e s representadas pelas equações cartesianas r: y 2x = 4 e s: x + ky = 6, em que k é um número real. Para que essas retas se intersectem em um ponto de coordenadas cartesianas (m, n) com m > 0 e n > 0, os possíveis valores para k são tais que: (A) 1< k < (B) k > ½ (C) k < 3/2 (D) 1/2 < k < 3/ A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação (x + 3) 2 + (y 3) 2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 Exercícios Propostos O comprimento da curva de equação 618 (FEI-SP) - Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0) e P(3, h). Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h. (A) d= (9+h 2 ) (B) d=h+3 (C) d=3h (D) d= (9+6h+h 2 ) (E) d=9+h 619 (FUVEST) - No plano cartesiano, os pontos (1,0) e (-1,0) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual a área do quadrado? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) (UFSC) - Dados os pontos A(-1,-1), B(5, -7) e C(x,2), determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B. (A) 8 (B) 6 (C) 15 (D) 12 (E) (PUC) - Sendo A(3, 1), B(4, -4) e C(-2, 2) os vértices de um triângulo, então esse triângulo é: (A) 1 (B) 3 (C) (D) 3π (E) 6π Qual é o valor de p para o qual os pontos (3p,2p), (4,1) e (2,3) são colineares? (A) 1 (A) retângulo e não isósceles (B) retângulo e isósceles (C) equilátero (D) isósceles e não retângulo 622 (UECE) - Se o triângulo de vértices nos pontos P 1 (0, 0), P 2 (3, 1) e P 3 (2, k) é retângulo, com ângulo reto em P 2, então k é: (A) 3 (B) 4 SENA Cursos e Concursos ( Página 195

196 (C) 5 (D) 8 (E) 10 No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. 623 (UFJF) - Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triangulo, quais são os seus vértices? (A) (-1,2),(5,0),(7,4) (B) (2,2), (2,0), (4,4) (C) (1,1), (3,1), (5,5) (D) (3,1), (1,1), (3,5) A equação geral da reta tangente à curva y = x² + x no ponto de abscissa 1 é: (A) 3x y 1 = 0 (B) 3x y = 0 (C) 2x y 1 = 0 (D) 2x y = 0 (E) 5x 2y 2 = (UDESC 2008) - A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14) é: (A) 4 (B) - 5 (C) 3 (D) 2 (E) Qual das seguintes retas passa pelo centro da circunferência x² + y²+ 4y - 3 = 0? (A) x + 2y = 4 (B) 5x y = 2 (C) x + y = 0 (D) x 5y = 2 (E) 2x + y = (UFSC 2011) - A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A=(0,3) e B=(5,0) tem qual coeficiente angular? (A) 3 5 (B) 2 5 (C) 3 2 A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto: (A) ( 5, 0). (B) ( 3, 1). (C) ( 2, 1). (D) (0, 4). (E) (2, 6). 629 (CESGRANRIO) - As escalas termométricas Celsius e Fahrenheit são obtidas atribuindo-se ao ponto de fusão do gelo, sob pressão de uma atmosfera, os valores 0 (Celsius) e 32 (Fahrenheit) e à temperatura de ebulição da água, sob pressão de uma atmosfera, os valores 100 (Celsius) e 212 (Fahrenheit). O gráfico que representa a temperatura Fahrenheit em função da temperatura Celsius é uma reta de coeficiente angular igual a: (A) 0,6 (B) 0,9 (C) 1 (D) 1,5 (E) 1,8 630 (FUVEST) - A figura adiante mostra parte do gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos os valores reais de m para os quais a equação f(x)=m tem três raízes reais distintas é: (D) 628 (ENEM/2011) - Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. SENA Cursos e Concursos ( Página 196

197 (A) -4 < m < 0 (B) m > 0 (C) m < 0 (D) -1 < m < 1 (E) m > - 4 em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. 631 (UNIRIO) - A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y=4x-2x 2. A função é: (A) f(x) = -3x + 5 (B) f(x) = 3x - 7 (C) f(x) = 2x - 5 (D) f(x) = x - 3 (E) f(x) = x/3-7/3 632 (UERJ) - Sabedoria egípcia Há mais de anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.) Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: (A) 7 ml (B) 9 ml (C) 8 ml (D) 10 ml 634 (PUC/RJ) - O valor de x para que os pontos (1,3), (- 2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: (A) 8. (B) 9. (C) 11. (D) 10. (E) (FUVEST) - A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x 2 +y 2-2x-4y=20. Então a equação de s é: (A) x- 2y = - 6 (B) x + 2y = 6 (C) x + y = 3 (D) y - x = 3 (E) 2x + y = (UNESP) - Seja A a intersecção das retas r, de equação y=2x, e s, de equação y=4x-2. Se B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é: Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: (A) y = 8-4x (B) x = 6-3y (C) x = 8-4y (D) y = 6-3x 633 (UFRN) - Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em ml, de um medicamento que uma pessoa deve tomar (A) 1/2. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (E) (ITA) - Uma reta t do plano cartesiano xoy tem coeficiente angular 2a e tangencia a parábola y=x -1 no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de dois pontos de t tais que c >0 e c=- 2d, então a/b é igual a: (A) - 4/15 (B) - 5/16 (C) - 3/16 (D) - 6/15 (E) - 7/ (PUC/SP) - Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. SENA Cursos e Concursos ( Página 197

198 A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é: (A) x + 5y + 3 = 0. (B) x - 2y - 4 = 0. (C) x - 5y - 7 = 0. (D) x + 2y - 3 = 0. (E) x - 3y - 5 = (UNESP) - Seja B (0,0) o ponto da reta de equação y=2x cuja distância ao ponto A=(1,1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: Assinale a alternativa que completa corretamente a lacunas. (A) x; crescente; (b/a) (B) x e y; decrescente; (-c/a) (C) y; decrescente; (-b/a) (D) x e y; crescente; (-c/a) (E) x e y; crescente; (c/a) 645 (PUCCAMP) - Na figura abaixo têm-se os gráficos de duas funções do 1Ž grau, f e g, que se interceptam no ponto P. (A) 5/6 (B) 5/7 (C) 6/7 (D) 6/5 (E) 7/5 640 (FUVEST/GV) - Um polígono do plano é determinado pelas inequações x 0, y 0, 5x+2y 20 e x+y 7. Seus vértices são: (A) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2,5) (B) (0, 0), (4, 0) e (0, 7) (C) (0, 0), (7,0) e (2,5) (D) (0, 0), (7,0), (2,5) e (0, 10) (E) (4, 0), (7, 0), (0, 10) e (0, 7) 641 (PUC/SP) - As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: x+3y-3=0, x-3y-3=0 e x=-1. Esse triângulo é (A) escaleno. (B) equilátero. (C) isósceles e não retângulo. (D) retângulo e não isósceles. (E) retângulo e isósceles. O ponto P é: (A) (600; 30) (B) (800; 40) (C) (1000; 30) (D) (1000; 40) (E) (1500; 50) 646 (UFRS) - Considere a figura a seguir. 642 (PUCCAMP) - São dadas as retas r, s e t, de equações x-2y+1=0, 2x-4y+3=0 e 2x+y-3=0, respectivamente. É correto afirmar que: (A) r, s e t concorrem em um único ponto. (B) r e t são concorrentes e r é coincidente com s. (C) r, s e t são duas a duas, paralelas entre si. (D) r é paralela a s e s é perpendicular a t. (E) r é paralela a t e s é perpendicular a r. 643 (UFSM) - Sejam as retas r:y=x e s:y=-x, sobre as quais estão dois lados de um retângulo. O ponto P(4,2) é um dos vértices do retângulo. Então, pode-se dizer que os outros dois lados desse retângulo estão sobre as retas: (A) y = x - 2 e y = x + 6 (B) y = - x + 2 e y = x + 6 (C) y = x - 2 e y = - x + 6 (D) y = - x - 2 e y = - x + 6 (E) y = x + 2 e y = x (UFSM) - A equação ax+by+c=0, com a, b e c Æ IR e [a/b]>0, representa uma reta não-paralela ao(s) eixo(s). Seu gráfico é e corta o eixo x abscissa. Uma equação cartesiana da reta r é: (A) y = Ë3/3 - x (B) y = Ë3/3 (1-x) (C) y = 1 - Ë3x (D) y = Ë3 (1-x) (E) y = Ë3 (x-1) 647 (FEI) - As retas representadas pelas equações y=2x+1, y=x+3 e y=b-x passam por um mesmo ponto. O valor de b é: (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 SENA Cursos e Concursos ( Página 198

199 648 (FEI) - O simétrico do ponto A=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1) é: (A) B = (5, -1) (B) B = (1, -1) (C) B = (-1, 3) (D) B = (2, 2) (E) B = (4, 0) 649 (UFAL) - As retas de equações y+3x-1=0 e y+3x+9=0 são (A) coincidentes. (B) paralelas entre si. (C) perpendiculares entre si. (D) concorrentes no ponto (1, -9). (E) concorrentes no ponto (3, 0). 650 (UFC) - Seja r a reta que passa pelos pontos P(1,0) e Q(-1,-2). Então, o ponto simétrico de N(1,2), com relação a reta r é: (A) (0, 0). (B) (3, 0). (C) (5/2, 1). (D) (0, -1). (E) (1, 1). XIV - TRIGONOMETRIA O Teorema de Pitágoras Esse talvez seja o principal teorema que expressa uma relação métrica para os lados de um triângulo retângulo. O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a 2 = b 2 + c 2 Veja que na figura abaixo, há uma série de semelhanças de triângulos. Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados. A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada O TRIÂNGULO RETÂNGULO O triângulo retângulo é construído utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e um outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construção muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o chamado Teorema de Pitágoras. ΔBEA ΔCAE ΔABC. Com isso conseguimos algumas relações entre elas: Também temos que: h = b h = bc c a a Uma terceira relação é dada por: Como temos que: Substituindo o valor de m na equação (I) vem: a 2 = b 2 +c 2 Teorema de Pitágoras SENA Cursos e Concursos ( Página 199

200 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Tendo como base o triângulo retângulo, podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma: Da figura Repare que para quaisquer α e β senα = cosβ e senβ = cosα assim, tiramos uma das relações mais importantes da Trigonometria: O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar A circunferência, orientada de raio unitário, está centrada na origem dos dois eixos de um plano cartesiano ortogonal. 1. Seno - obtido pela razão entre o comprimento do cateto oposto à um ângulo e o comprimento da hipotenusa. Dentro do círculo trigonométrico, o seno pode ser visualizado na projeção de seu raio sobre o eixo vertical. 2. Cosseno - um dos 2 ângulos agudos de um triângulo retângulo é obtido por meio da razão entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa. Dentro do círculo trigonométrico, o cosseno é visualizado na projeção do raio do ângulo sobre o eixo horizontal. 3.Tangente - um dos 2 ângulos agudos de um triângulo retângulo é obtida por meio da razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele. O valor da tangente é visualizado, dentro do círculo trigonométrico, na reta vertical que tangencia o círculo no ponto em que corta o eixo horizontal ao lado direito. Existem alguns ângulos notáveis e é necessário que todo pré-vestibulando conheça o seno o cosseno e a tangente desses arcos. Veja a tabela abaixo: Círculo trigonométrico A trigonometria estuda a proporção entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo e os valores de um dos seus ângulos agudos. As proporções entre os lados são denominadas seno, cosseno, tangente e cotangente Trigonometria no Triângulo Qualquer Os problemas envolvendo trigonometria são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano geralmente não encontramos tamanha facilidade, algumas situações envolvem triângulos acutângulos ou triângulos obtusângulos. Nesses casos necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos cossenos. 1. Lei dos senos O círculo trigonométrico, demonstrado na figura acima, é usado para facilitar a visualização das proporções. A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante. Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula: SENA Cursos e Concursos ( Página 200

201 Exemplo 1 No triângulo a seguir, determine o valor dos segmentos x e y. Aplicando a lei dos senos, temos: x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º x² = * 1/2 x² = x² = 52 x² = 52 x = 2 13 Exemplo 3 Em um triângulo, os lados de medidas 6 3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Determine a medida do terceiro lado. De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira: x² = (6 3)² + 8² - 2 * 6 3 * 8 * cos 30º x² = 36 * * 6 3 * 8 * 3/2 x² = * 3 * 3/2 x² = * 3 x² = x² = 28 x = 2 7 cm 3. Lei das Tangentes A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a expressão: 2. Lei dos cossenos Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, temos: Circunferência e funções trigonométricas A circunferência trigonométrica consiste numa circunferência orientada de raio unitário centrada na origem de um plano cartesiano ortogonal. Exemplo 2 Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir: O sentido positivo de marcação dos arcos na circunferência é o sentido anti-horário, sendo o ângulo medido em relação ao eixo dos co-senos, sobre o qual se marca o ângulo inicial, 0º, no sentido positivo. SENA Cursos e Concursos ( Página 201

202 O seno de um ângulo é obtido pela projeção do raio da circunferência em relação ao eixo vertical, tendo este raio formado o referido ângulo em relação ao eixo horizontal. O co-seno de um ângulo é obtido pela projeção do raio em relação ao eixo horizontal. Como a circunferência tem raio unitário e é centrada na origem, seno e co-seno variam entre -1 e 1. É importante observar também que os sinais de cada função dependem do quadrante onde se encontra o ângulo: Seno e cosseno da soma e da diferença A partir destas duas funções (sen e cos) podemos obter as outras, pelas seguintes relações: Funções Trigonométricas 14.5 Relação Fundamental Pela circunferência trigonométrica, podemos observar a relação fundamental entre seno e co-seno. Dado um ponto P qualquer que pertença à circunferência de tal modo que o raio da mesma forme um ângulo x com o eixo horizontal, pelo Teorema de Pitágoras, concluímos que: Função Seno Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função seno à função que associa a cada x R o número (senx) R. Indicamos essa função por f(x) = sen(x), onde: Algumas Relações de Simetria Faremos as comparações sempre fixando o ângulo a no primeiro quadrante. Gráfico de f(x) = sen(x) O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico. SENA Cursos e Concursos ( Página 202

203 Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1f(x) = sen x é positiva no 1 e 2 quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3 e 4 quadrantes (ordenada negativa) Observações 1. Quando, 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a Quando, 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a Quando, 3º quadrante, o valor de sen x 1. Quando, 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a Quando, 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a Quando, 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a Quando, 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a Função tangente Dado um ângulo cuja medida dada em radianos é x, chamamos de função tangente à função que associa a cada x R/x π/2+kπ o número (tgx) R. Indicamos essa função por f(x) = tg(x) onde: decresce de 0 a Quando, 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.] Função cosseno Dado um ângulo cuja medida dada em radianos é x, chamamos de função co-seno à função que associa a cada x R o número (cosx) R. Indicamos essa função por f(x) = cos(x), onde: Nota: O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cosx = 0 Gráfico de f(x) = tg(x) O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva denominada tangentóite. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico. Gráfico de f(x)=cos(x) O gráfico da função co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico. Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:f(x) = cos x é positiva no 1 e 4 quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 2 e 3 quadrantes (abscissa negativa) Observações: Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o pontoextremidade do arco, com o eixo das tangentes então: f(x) = tg x é positiva no 1 e 3 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva) f(x) = tg x é negativa no 2 e 4 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa) Função secante Denomina-se função secante f(x) = 1/cos x. Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno. SENA Cursos e Concursos ( Página 203

204 Definição: Equações do tipo tg f(x) = tg g(x) Logo, o domínio da função secante é: Função cossecante Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x. Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno Equações do tipo cos f(x) = sen g(x) Demonstra-se que para todo alfa real. Assim temos: Definição: Logo, o domínio da função cossecante é Função Tangente Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x. Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno Equações trigonométricas Equações do tipo cos f(x) = cos g(x) Inequações trigonométricas De maneira geral, podemos resolver as inequações seguindo os seguintes passos: I. Determinamos as soluções da equação obtida da inequação em estudo; II. Marcamos na circunferência trigonométrica as soluções encontradas, considerando o intervalo [0, 2 ]; III. Excluímos da circunferência pontos que correspondam a restrições da inequação, se houverem; IV. Os pontos marcados (soluções ou excluídos) dividem a circunferência em arcos. Se um ponto de um arco satisfaz a inequação, então todos os outros também satisfazem, exceto talvez as extremidades (que devemos conferir). Se um ponto não satisfaz, os demais também não irão conter soluções da inequação, exceto talvez as extremidades. Dado isso, sugere-se a seguinte estratégia: selecionase, no interior de arco determinado, um ponto que represente, de preferência, valores conhecidos. Verifica-se então se os mesmos satisfazem ou não a inequação. A reunião de arcos que satisfazem a inequação forma assim o conjunto verdade da mesma Funções trigonométricas inversas As funções inversas (arcsen, arccos, arctg) podem ser lidas como arco cujo (seno, co-seno, tangente) é x Equações do tipo sen f(x) = sen g(x) arc cos x arc sen x SENA Cursos e Concursos ( Página 204

205 arc tg x 161 (UNIFOR/CE) - Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado: Algumas identidades 1. cos arc cos x = x; sen arc sen x = sen x; etc. 2. cos arc sen x = sen arc cos x = 1 x 2 Exercícios Resolvidos Resolução Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado. Lei dos senos Resolução Lei dos cossenos x² = 10² + 6² 2 * 6 * 10 * cos 120º x² = * ( 1/2) x² = x² = 196 x² = 196 x = 14 O terceiro lado mede 14 centímetros Calcule o valor da medida x no triângulo representado pela seguinte figura: Resolução O lado AB do triângulo mede 4 6 metros.calcule o valor do segmento AB do triângulo representado pelo desenho a seguir: SENA Cursos e Concursos ( Página 205

206 Resolução Resolução 163 (FEI-SP) - Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC. Resolução Determine o valor de sen(4290 ). Resolução Dividindo 4290 por 360, obtemos: Assim, 4290= , isto é, os arcos de medidas 4290 e 330 são côngruos. Então: sen(4290 )=sen(330 )=-1/ Determine os valores de cos(3555 ) e de sen(3555 ). Resolução Na figura, AB = 5dm, AD = 5 7 dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Determine a medida de CD em decímetros. Dividindo 3555 por 360, obtemos: Assim, 3555= e isto quer dizer que os arcos de medidas 3555 e 315 são côngruos, logo: 9 cos(3555 )=cos(315 )= /2 sen(3555 )=sen(315 )=- /2 SENA Cursos e Concursos ( Página 206

207 167 - Determine o valor de tan(510º) Resolução Como tan(510 )=tan( )=tan(150 ) Então 172 (PM/PR) - Uma torre de observação é construída em uma região plana. Um bombeiro precisa determinar a altura h da torre. Ele observa a torre sob um ângulo de 60, a partir de um ponto P, situado a d metros desta. Partindo de P, ao se afastar da torre por mais 10 metros, passa a vê-la sob um ângulo de 45.Qual a altura da torre, em metros? tan(510 )=- / Se x está no segundo quadrante e cos(x)=- 12/13, qual é o valor de sem(x)? Resolução Como sen²(x)+cos²(x)=1, então: sen²(x)+(-12/13)²=1 sen²(x)=1-(144/169) sen²(x)=25/169 Como o ângulo x pertence ao segundo quadrante, o sen(x) deve ser positivo, logo: sen(x)=5/ Quais são os valores de y que satisfazem a ambas as igualdades:sen(x)=(y+2)/y e cos(x)=(y+1)/y Resolução Como sen²(x)+cos²(x)=1, segue que: [(y+2)/y]²+[(y+1)/y]²=1 (y²+4y+4)/y²+(y²+2y+1)/y²=1 y²+6y+5=0 y=3 e y= Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1? Resolução Para que a igualdade cos(x)=2m-1 seja satisfeita, devemos ter -1 < 2m-1 < 1 0 < 2m < 2 0 < m < Mostre que a função definida por f(x)=cos(x) é par, isto é, cos(-a)=cos(a), para qualquer a real. Mostre que a função definida por f(x)=cos(x) é par, isto é, cos(-a)=cos(a), para qualquer a real. Resolução cos(-a) = cos(2 -a) = cos(2 ).cos(a) + sen(2 ).sen(a) = 1.cos(a) + 0.sen(a) = cos(a) (A) (B) (C) (D) (E) Resolução Triangulo com ângulo de 60 graus tg60 = h/d 3 = h/d d = h / 3 (1) Triângulo com ângulo de 45 graus tg45 = h/(d+10) 1 = h/(d+10) h = d + 10 (2) Substituindo (1) em (2): h = h / (multiplicar por 3) h 3 = h h 3 h = 10 3 h( 3 1) = 10 3 h = 10 3 / ( 3 1) Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede 3 cm. Em um triângulo retângulo, determine as SENA Cursos e Concursos ( Página 207

208 medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede 3 cm. Resolução Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h): (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² h² = 3² + ( 3)² h² = h = 12 h = 2 3 cm Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos: tg α = cat. oposto a α cat. adjacente a α tg α = 3 3 tg α = 3 3 tg α = tg α = tg α = 3 Se tg α = 3, logo α = 60. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180 e que esse é um triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β: β + α + 90 = 180 β = 180 β = 180 β = β = 30 Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30 e Determine os valores de x, y, w e z em cada caso: Resolução a) Através do cosseno de 30, temos: cos 30 = cat. adjacente a 30 hipotenusa 3 = 16 2 x 3 x = 16 2 x = 32 3 x = x = Portanto, a hipotenusa mede 32 3 unidades. 3 b) Através do seno de y: sen y = cat. oposto a y hipotenusa sen y = sen y = 1 2 O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30. c) Pelo seno de 60 : sen 60 = cat. oposto a 60 hipotenusa 3 = w w = 18 3 w = w = 9 3 Concluímos que w = 9 3 unidades. d) Através do cosseno de 45 : cos 45 = cat. adjacente a 45 hipotenusa 2 = 20 2 z 2 z = 20 2 z = x = x = 20 2 Portanto, a hipotenusa mede 20 2 unidades. SENA Cursos e Concursos ( Página 208

209 175 (CESGRANRIO) - Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de: (A) 6 3 m. (B) 12 m. (C) 13,6 m. (D) 9 3 m. (E) 18 m. Resolução Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada: Resolução Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² (4a)² = (2a)² + c² 16a² = 4a² + c² c² = 16a² 4a² c² = 12a² c = 12a² c = 2a 3 Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando: Representação geométrica da questão 3 Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30 ). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno: sen 30 = cat. oposto hipotenusa 1 = x x = 36 x = 36 2 x = 18 m Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e. 176 (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é: Representação geométrica da questão 4 Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α: tg α = cat. oposto a α cat. adjacente a α tg α = 2a 2a 3 tg α = 1 3 tg α = tg α = 3 3 Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b. Exercícios Propostos (A) 2 3 (B) 3 3 (C) 3 6 (D) (E) (ITA) - Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ânguloθ (0, π /4), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2š, atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será: (A) H = 2hd 2 /(d 2 -h 2 ) (B) H = 2hd 2 /(d 2 +h) (C) H = 2hd 2 /(d 2 -h) (D) H = 2hd 2 /(d 2 +h 2 ) (E) H = hd 2 (d 2 +h)1. SENA Cursos e Concursos ( Página 209

210 652 (FATEC) - A figura a seguir é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 10 2cm de lado e cuja altura mede 5 cm. 655 (UNESP) - A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se åæ=2m e BðA mede 30, então a medida da extensão de cada degrau é: Se M é o ponto médio de aresta DF, o seno do ângulo BME é: (A) ( 5)/5 (B) ( 7)/7 (C) ( 3)/2 (D) 1/4 (E) 2/5 (A) (2 3)/3 m (B) ( 2)/3 m (C) ( 3)/6 m (D) ( 3)/2 m (E) ( 3)/3 m 656 (UFPE) - Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir. Se RS=100, quanto vale PQ? 653 (UNESP) - Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 e 30 ; o lado CD mede 2dm. (A) (B) 50 3 (C) 50 (D) (50 3)/3 (E) 25 3 Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: (A) 6 e 3. (B) 5 e 3 (C) 6 e 2 (D) 6 e 5 (E) 3 e (CESGRANRIO) - Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30 com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: (A) 0,5 m (B) 1 m (C) 1,5 m (D) 1,7 m (E) 2 m 657 (CESGRANRIO) - 0 < a < /2, /2 < b < e sen a=sen b=3/5, então a + b vale: (A). (B) 3 /2. (C) 5 /4. (D) 4 /3. (E) (UNESP) - O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangente do ângulo do vértice desse triângulo é igual a: (A) - ( 13)/2 (B) ( 13)/5 (C) - ( 15)/3 (D) ( 14)/7 (E) - ( 15)/7 SENA Cursos e Concursos ( Página 210

211 659 (FAAP) - A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30 da horizontal? 661 (FUVEST) - Nos triângulos da figura, AC = 1cm, BC =7cm, AD = BD. Sabendo que sen(a-b) = sen a cos b -cos a sen b, o valor de sen x é: Dados: sen 30 = 0,5 sen 60 = 0,866 cos 30 = 0,866 cos 60 = 0,5 2 = 1,41 3 = 1,73 tg 30 = 0,577 tg 60 = 3 (A) ( 2)/2 (B) 7/ 50 (C) 3/5 (D) 4/5 (E) 1/ (PUCMG) - Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30. A altura h entre um andar e outro, em metros, é tal que: (A) 15,0 m (B) 8,66 m (C) 12,36 m (D) 9,86 m (E) 4,58 m 660 (PUCCAMP) - A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. (A) 3 < h < 5 (B) 4 < h < 6 (C) 5 < h < 7 (D) 6 < h < 8 (E) 7 < h < (UNIRIO) - Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador? A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é: (A) 7 cm (B) 11 cm (C) 12 cm (D) 14 cm (E) 16 cm SENA Cursos e Concursos ( Página 211

212 Considere as afirmativas: 666 (UFJF) l - a distância d é conhecida; ll - a medida do ângulo e a tg do mesmo ângulo são conhecidas. Então, tem-se que: (A) A l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a ll, sozinha, não. (B) A ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a l, sozinha, não. (C) L e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é: (D) Ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta. (E) A pergunta não pode ser respondida por falta de dados. 664 (UEL) - Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km. Num terreno em forma de um trapézio ABCD, com ângulos retos nos vértices A e B, deseja-se construir uma casa de base retangular, com 8 metros de frente, sendo esta paralela ao limite do terreno representado pelo segmento AD, como mostra a figura. O código de obras da cidade, na qual se localiza este terreno, exige que qualquer construção tenha uma distância mínima de 2 metros de cada divisa lateral. Sendo assim, para aprovação do projeto da casa a ser construída, é necessário que sua frente mantenha uma distância mínima do limite representado pelo segmento AD de: (A) 2 m. (B) 4 m. (C) 6 m. (D) 8 m. (E) 10 m. 667 (MACKENZIE) - Na figura, tg vale: Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada? (Se necessitar use 2 1,41; 3 1,73; 6 2,45.) (A) 463,4 m (B) 535,8 m (C) 755,4 m (D) 916,9 m (E) 1071,6 m 665 (FGV) - Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede15 e o ângulo ABC mede 60. A soma das medidas dos catetos vale: (A) 15(1+ 3)/4 (B) 15/4 (C) 15(1+ 3) (D) 15/2 (E) 15(1+ 3)/2 (A) 1/3 (B) 2/ 3 (C) 1/ 3 (D) 3/4 (E) 2/3 668 (PUCRS) - Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A distância entre M e N é, aproximadamente, SENA Cursos e Concursos ( Página 212

213 (A) 24 (B) 6 (C) 12 (D) (EsSA/75) - O MDC dos números fatorados 2 4 x 3 2 e 2 3 x 3 3 é: (A) 36 (B) 72 (C) 24 (D) 54 (A) 4,2 m (B) 4,5 m (C) 5,9 m (D) 6,5 m (E) 8,5 m Questões de Concursos Anteriores A seguir da questão a 669 a 1275 você terá acesso às questões de concursos anteriores realizados pela EsSA entre 1975 e (EsSA/75) - O produto de quatro números, ficou valendo depois que multiplicamos o primeiro por 2, o segundo por 3 e dividimos por 3 e dividimos o terceiro por 4 e o quarto por 5. Antes dessas alterações seu valor era: (A) 400 (B) 40 (C) (D) (EsSA/75) - soma de quatro múltiplos consecutivos de 13 é 182. O antecedente do menor dos números é: (A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) (EsSA/75) - Dividi um número por outro e encontrei 210. Se tivesse dividido o dobro do primeiro pelo triplo do segundo, teria encontrado: (A) 140 (B) 120 (C) 100 (D) (EsSA/75) - Dividi dois números e encontrei quociente 15 e resto 0. Somei os dois e encontrei 160. O valor do dividendo é: (A) 150 (B) 100 (C) 160 (D) (EsSA/75) - Para que o número 7a 08 dividido por 11 deixe resto 3, é necessário substituir a letra a por: (A) 3 (B) 5 (C) 4 (D) (EsSA/75) - O produto de dois números é 220 e sua soma 49. O maior dos números vale: (A) 34 (B) 64 (C) 24 (D) (EsSA/75) - Um determinado número que, fatorado é 2 3 x 5 2 x 7, possui quantos divisores? 677 (EsSA/75) - O MDC de dois números é 15 e o menor é a quarta parte do maior, que vale: (A) 80 (B) 50 (C) 30 (D) (EsSA/75) - Para acondicionar latas de azeite e 870 latas de óleo em caixotes, de modo que cada caixote contenha o mesmo número de latas, sem que sobre nenhuma e sem misturar as latas de cada espécie, serão necessárias quantas latas em cada caixote? (A) 30 (B) 40 (C) 20 (D) (EsSA/75) - Uma fração equivalente a 15 24, cuja soma dos termos seja 78, é: (A) , (B), (C), (D) , 680 (EsSA/75) - Uma torneira pode encher um tanque em 6 horas e uma Segunda enche-o em 9 horas. Funcionando juntas encherão o reservatório em: (A) 3 h 36 min. (B) 2 h 24 min. (C) 3 h 30 min. (D) 2h 36 min. 681 (EsSA/75) kg de uma substância custam R$ 14,00. O preço de kg da mesma substância será: (A) R$ 33,00 (B) R$ 33,60 (C) R$ 23,60 (D) R$ 30, (EsSA/75) - Dividindo o ângulo de 32 em 6 partes iguais, obtemos: (A) 5º 30' (B) 6º 20' (C) 4º 20' (D) 5º 20' 683 (EsSA/76) - A função y = x 3 é: (A) decrescente (B) incongruente (C) constante (D) crescente 684 (EsSA/76) - A geratriz de 1, é: (A) SENA Cursos e Concursos ( Página 213

214 (B) (C) (D) (EsSA/76) - O MDC de 288 e 2 3 x 3 2 é: (A) 144 (B) 288 (C) 72 (D) (EsSA/76) - O MMC de 180 e 216 é: (A) 144 (B) 36 (C) 216 (D) (EsSA/76) - Doze rapazes cotizaram-se para comprar um barco. Como dois deles desistiram, cada um teve que pagar mais R$ 200,00. Qual o preço do barco? (A) R$ 2.000,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ 1.200, (EsSA/76) - Um tanque é alimentado por duas torneiras. A 1ª pode enchê-lo em 6 horas e a 2ª, em 4 horas. Em quanto tempo as duas torneiras juntas podem encher o tanque? (A) 2 h (B) 4h e 30min. (C) 2h e 24 min. (D) 5 h. 689 (EsSA/76) - O valor numérico de 691 (EsSA/76) - A expressão mais simples de é: (A) - 2 (B) (C) (EsSA/76) - A equação 2x 3 x+8 1 = 0 (A) não tem raízes (B) não tem raízes reais (C) tem uma raiz igual a 11 (D) admite 5 como raiz. 693 (EsSA/76) - A função 4x 1 2 : (A) é positiva para x maior que 1 (B) é negativa para x menor que 1 (C) é nula para x = - 1 (D) não tem raízes. 694 (EsSA/76) - O sistema de equações: (A) não tem solução (B) tem como solução o par (x = , y =11 5 ). (D) 2 (C) tem como solução o par ( x = 2, y = 3) (A) 2 (B) 1 2 (C) 1 4 (D) (EsSA/76) - A expressão x 2 6x + 9, equivale a: (A) ( 3 x) 2 (B) ( x + 3)(x 3) (C) (3 +x )(3 x) (D) (x + 3) 2 (D) tem como solução o par ( x = 3, y = 1) 695 (EsSA/76) - A expressão 2x 3 é maior que 3x 2 para valores de x: (A) maiores que 1 (B) menores que 1 (C) maiores que 1 (D) menores que (EsSA/76) - A equação x 2 2x + m = 0 terá: (A) raízes iguais se m = 1 (B) raízes simétricas se m = 0 (C) uma raiz igual a 2 se m = 0 (D) raízes inversa se m = (EsSA/76) - A função x 2 6x + 8 tem para valor do (discriminante): (A) 2 (B) 2 (C) 4 (D) 4 SENA Cursos e Concursos ( Página 214

215 698 (EsSA/76) - A inequação x 2 1 < 0 é verdadeira para: (A) x > 1 (B) x < 1 (C) x > -1 (D) 1 < x < (EsSA/76) - O sistema (A) é impossível. (B) é indeterminado (C) tem como solução o par ordenado (x = 3, y = 2 (D) tem como solução o par ordenado ( x = 2, y = 3) 700 (EsSA/76) - Um retângulo em que a base é o dobro da altura possui para área: (A) o triplo da altura (B) o quadrado da altura (C) o dobro do quadrado da altura (D) a base mais a altura 701 (EsSA/76) - O ângulo cujo suplemento é o triplo de seu complemento mede: (A) 60º (B) 45º (C) 90º (D) 30º 702 (EsSA/76) - Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. (A) 6 m (B) 3 m (C) 6 3 m (D) 6 2 m 707 (EsSA/76) - Na figura abaixo, os pontos M e N são: respectivamente, os pontos médios dos lados DC e BC do quadrado ABCD de área igual a 16m2. O perímetro do triângulo AMN é: (A) ( ) m (B) ( ) m (C) ( ) m (D) ( ) m 708 (EsSA/76) - Fatorando x 4 10x , temos: (A) (x 2 5) 2 (B) (x 2 5) (C) (x 2 + 5) 2 (D) (x + 5) (x 5) 709 (EsSA/76) - O produto (x 7) (x a) é igual a: (A) x 2 7x + 7a (B) x 2 ax 7x (C) x 2 (a + 7)x + 7a (D) x 2 + 7a 710 (EsSA/76) - O conjunto solução da equação: x (x + 2) x (x 3) = x + 2 é: (A) {1} (B) { 1 2 } (C) {2} (D) {3} Quanto mede o ângulo z se v é o triplo de x? (A) 60º (B) 90º (C) 45º (D) 30º 703 (EsSA/76) - Os dois menores ângulos internos de um triângulo medem respectivamente, 56 e 40. Quanto mede o ângulo formado pelas bissetrizes internas desses dois ângulos? (A) 32º (B) 132º (C) 48º (D) 128º 704 (EsSA/76) - Qual é o polígono regular que possui 9 diagonais? (A) icoságono (B) pentágono (C) hexágono (D) decágono 705 (EsSA/76) - Os lados de um retângulo medem, respectivamente, 4 metros e 9 metros. Quanto mede o lado do quadrado cuja área é igual a deste retângulo? (A) 24 m (B) 36m (C) 6 m (D) 13 m 706 (EsSA/76) - O triângulo equilátero cuja altura mede 9 metros tem para medida do lado? 711 (EsSA/76) - O MDC das expressões x3 4x e x 2 5x 14 é: (A) x 7 (B) x (x + 2) (C) x + 2 (D) (x + 2)(x 2) 712 (EsSA/76) -O suplemento do complemento de um ângulo de 30 é: (A) 60º (B) 120º (C) 90º (D) 110º 713 (EsSA/76) - As raízes da equação x 2 9 = 0 é: (A) 3 (B) 3 (C) 9 e 3 (D) ±3 714 (EsSA/76) - A metade do complemento de um ângulo é 30 30'. Esse ângulo mede: (A) 27º (B) 39º (C) 29º 30' (D) 29º 715 (EsSA/76) - Num círculo está inscrito um quadrado de lado 3 2 metros. A área do círculo será: (A) 9 m 2 (B) 3 m 2 (C) 3 m 2 (D) 3 m 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 215

216 716 (EsSA/76) - O número + 2 é: (A) racional positivo (B) irracional positivo (C) inteiro negativo (D) irracional negativo 717 (EsSA/76) -Racionalizando (A) (B) (C) 3-2 (D) (EsSA/76) - A potência 2 2 é igual a: 4 (A) , encontramos: (B) (C) 1 (D) (EsSA/76) - Dividindo x 2 + 2xy + y 2 por x + y, obtemos: (A) x y (B) x + y (C) y x (D) y -x 720 (EsSA/76) - Se as dimensões de um retângulo são: base x+ 2 e altura x, então o seu perímetro é dado pela expressão algébrica: (A) 2 (x +3) (B) 4 (x 1) (C) 4 (x + 1) (D) 2 (x 3) 721 (EsSA/77) - sendo a um número tal que a > 5 e a 9, os valores que a pode assumir são: (A) {5, 6, 7, 8, 9} (B) {6, 7, 8, 9} (C) { 6, 7, 8} (D) { 5, 6, 7, 8} 722 (EsSA/77) - O resultado da expressão: (A) 5 (B) x3-1 é: 3 (C) 8 3 (D) (EsSA/77) - Se um número é divisível por 5 e por 3, então podemos afirmar que ele é divisível por: (A) (B) 5 x 3 (C) 5 3 (D) (EsSA/77) - O valor de x para que o número 2 2 x 3 x x 5 3 tenha 36 divisores é: (A) 3 (B) 31 (C) 2 (D) (EsSA/77) - É verdadeira a afirmação: (A) 1,45 g = 1450 cg (B) 12a = 0,12 ca (C) 2,46 m 2 = 246 dm 2 (D) 0,427 dm 3 = 4,27 cm (EsSA/77) - Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo retângulo e suas medidas são 5 metros de comprimento, 3 metros de largura e 2 metros de profundidade. Sua capacidade é de: (A) litros (B) litros (C) 300 litros (D) 30 litros 727 (EsSA/77) - O ângulo de 2 8'25" equivale a: (A) 9.180" (B) 2.825" (C) 625" (D) 7.705" 728 (EsSA/77) - O valor numérico da expressão a 2 2ab + b 2, para a = -5 e b = -1 é: (A) 36 (B) 36 (C) 16 (D) (EsSA/77) - O desenvolvimento de (2x 3) 2 é: (A) 4x x + 9 (B) 4x 2-12x + 9 (C) 4x 2 6x +9 (D) 4x (EsSA/77) - A expressão (5 +x)(5 x) equivale a: (A) x (B) x 2 25 (C) 10 x 2 (D) x (EsSA/77) - A expressão x 2 4x +4 equivale a: (A) (x +2)(x 2) (B) (x 4)( x- 1) (C) (x 2) 2 (D) 4x (EsSA/77) - Se fatorarmos a expressão 4x 2 9y 2, encontraremos: (A) (2x +3y)(2x 3y) (B) (2x 3y) 2 (C) (2x +3y)(2x 3y) (D) (2y 3x)(2y +3x) SENA Cursos e Concursos ( Página 216

217 733(EsSA/77) - Simplificando x2 x 6 x 2 encontramos: +4x+4 (A) x 3 x + 2 (B) x+ 3 x 2 (C) x 6 x+ 4 (D) (EsSA/77) - No universo N (conjunto dos números naturais), o conjunto solução da equação: é:, (A) S = {-1} (B) S = {0} (C) S = {1} (D) S = Ф x = x + 3 x 1 x + 1 x (EsSA/77) - Dizia um pastor: "Se eu tivesse mais duas ovelhas poderia dar a meus três filhos, respectivamente, 1/3, ¼, e 1/6 daquele total e ficaria com as três restantes." O número de ovelhas que o pastor possuía era: (A) 34 (B) 22 (C) 15 (D) (EsSA/77) - Sob a forma mais simples a razão de 3h 20min para 5h é: (A) 23 5 (B) 3,2 5, (C) 3 5 (D) (EsSA/77) - O valor de x na proporção é: (A) zero (B) 1 (C) 1 2 (D) (EsSA/77) - A razão entre dois números é 4 13 e sua soma é 51. Esses números são: (A) 40 e 11 (B) 21 e 30 (C) 12 e 39 (D) 18 e (EsSA/77) - Se a Terça parte do complemento de um ângulo é igual a 20 º, a medida desse ângulo é: (A) 30º (B) 20º (C) 90º (D) 60º 740 (EsSA/77) - Quanto à figura, podemos afirmar: (A) (C) (B) (D) 741 (EsSA/77) - Dois ângulos são expressos em graus por 5x + 15 e 2x Se esses ângulos forem suplementares, a medida do maior deles será: (A) 115º (B) 65º (C) 20º (D) 180º 742 (EsSA/77) - Num trapézio retângulo o ângulo obtuso é o triplo do ângulo agudo. A medida do ângulo obtuso é: (A) 90º (B) 135º (C) 45º (D) 130º 743 (EsSA/77) - O número de diagonais que podem ser traçadas de um mesmo vértice de um decágono convexo é: (A) 7 (B) 8 (C) 35 (D) (EsSA/77) - A medida do arco AB é: (A) 60º (B) 30º (C) 15º (D) 120º 745 (EsSA/77) - A medida do menor arco AB é 19. O valor de x é: (A) 19º (B) 59º 30' (C) 40º 30' (D) 50º 746 (EsSA/77) - Os raios de duas circunferências medem, respectivamente, 5 cm e 2 cm. A distância entre os centros mede 2,5 cm. Podemos afirmar que as circunferências são: (A) secantes (B) concêntricas (C) tangentes interiores (D) interiores 747(EsSA/77) - O radical (A) 2 6 é equivalente a: (B) 2 (C) (D) (EsSA/77) - Efetuando , encontramos: (A) zero (B) 2 (C) 28 (D) 14 SENA Cursos e Concursos ( Página 217

218 3 749 (EsSA/77) - O resultado de 3. 3 é: entre a área do triângulo MNP e a área do triângulo ABC é: 4 (A) 3 6 (B) (C) 3 5 (D) (EsSA/77) - A expressão, depois de 2+ 5 racionalizado o denominador, equivale a: (A) 5-2 (B) 5 (C) 2-5 (D) (EsSA/77) - As raízes da equação 6x 2 + x 1 = 0 são: (A) 1 2 e 1 3 (B) 1 2 e (C) e (D) e (EsSA/77) - A soma das raízes da equação 2x 2 3x +1 = 0 é: (A) (B) 5 2 (C) 3 2 (D) (EsSA/77) - Para que a equação 3x 2 2x +2m = 0 admita uma raiz igual a 2, o valor de m é: (A) 2 (B) 4 (C) 4 (D) (EsSA/77) - No triângulo ABC, a medida do lado AB é: (A) 4 cm (B) 6 cm (C) 8 cm (D) 10 cm 755 (EsSA/77) - No triângulo ABC, retângulo em A, a medida de h é: (A) 7 cm (B) 3 cm (C) 4 cm (D) 4,8 cm 756 (EsSA/77) - O lado de um quadrado inscrito em um círculo mede 2 cm. O lado do triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo mede: (A) 2 2 cm (B) 3 3 cm (C) 3 cm (D) 1 cm 757 (EsSA/77) - M, N, e P são, respectivamente, pontos médios dos lados do triângulo ABC. A razão (A) 1 2 (B) 1 3 (C) 1 4 (D) (EsSA/77) - O círculo de centro O está inscrito no quadrado ABCD. A área da parte hachuriada é: (A) 4 m 2 (B) 2(4 - )m 2 (C) (4 - )m 2 (D) 16 m (EsSA/77) - As diagonais de um losango medem, respectivamente, 6m e 8m. Sua área equivale a: (A) 14 m 2 (B) 48m 2 (C) 7 m 2 (D) 24 m (EsSA/78) - Quando se escreve 3 (a + b 2) = 3a +3b 6, estamos aplicando a propriedade: (A) associativa (B) distributiva (C) comutativa (D) elemento neutro 761 (EsSA/78) - O valor da expressão (A) (B) 2 9 C) 14 (D) (EsSA/78) - Numa subtração, a soma do minuendo, subtraendo e resto é Se o resto é a Quarta parte do minuendo, o subtraendo é: (A) 540 (B) (C) 720 (D) (EsSA/78) - O produto de dois números é 405. Somando 4 unidades ao maior fator, o produto fica igual a 465. O menor fator é: (A) 35 (B) 25 (C) 15 (D) (EsSA/78) - A fração de denominador 75, equivalente a é: (A) 3 75 (B) (C) (D) SENA Cursos e Concursos ( Página 218

219 (EsSA/78) - Para que o número 5a 3b seja divisível, ao mesmo tempo, por 2, 3, 5 e 9, o valor absoluto do algarismo representado pela letra a deve ser: (A) 4 (B) 7 (C) 0 (D) (EsSA/78) - O número N = 2 x 3 4 tem 20 divisores. Logo, o valor de N é: (A) 648 (B) (C) (D) (EsSA/78) - Sejam A = , B = 22 7 e C = O máximo divisor comum (MDC) entre A, B, e C é: (A) 2 (B) 6 (C) 10 (D) (EsSA/78) - O menor número que dividido por 18, 32 e 54 deixa sempre resto 11 é: (A) 115 (B) 875 (C) 853 (D) (EsSA/78) - Em metros, o resultado da expressão 1,8 dam + 56,8 cm + 3/4hm é: (A) 935,68 (B) 0,93568 (C) 93,568 (D) 9, (EsSA/78) - 56,308 m 3 equivale a: (A) 563,08 dm 3 (B) 56,308 dl (C) 0, litros (D) 56,308 litros 771 (EsSA/78) - A razão entre os números 0,12 e 0,4 é: (A) 3 10 (B) 3 (C) (EsSA/78) - Na proporção valor de x é: (D) x = 3 0,5 1,8333, o (A) 3 35 (B) (C) 1 5 (D) (EsSA/78) - O valor numérico da expressão a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 para a = 1 e b = -2 é: (A) 11 (B) 27 (C) 1 (D) (EsSA/78) - Calculando 3 [(x +1) 2 (x 2)(x +1)], encontramos: (A) 0 (B) x (C) 3x (D) (EsSA/78) - O quociente da divisão de (x 3 +1) por (x +1) é: (A) (x +1) 2 (B) x 2 x +1 (C) x 2 +1 (D) x 2 + x ) 776 (EsSA/78) - Simplificando a fração 3x2 15x+18 3x 2, 12 encontramos: (A) 5x+6 4 (B) x 3 x+2 (C) x+3 x 2 (D) 15x (EsSA/78) - O MDC entre (2x), (2x + 2) e (x 2 + 2x +1) é: (A) 1 (B) 2 (C) 2x (D) (x +1) 778 (EsSA/78) - O valor de x na equação literal x(3m 1) = m(2x +3) + mx é: (A) 3m (B) 3m (C) m (D) 2m 779 (EsSA/78) - No universo Q (conjunto dos números racionais relativos), o conjunto solução da equação: = x 2 x 1 x 2 x é: (A) { } (B) {1} (C) {2} (D) {0} 780 (EsSA/78) - No sistema, o valor de x é: (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) (EsSA/78) - Em uma corporação militar os recrutas foram separados em três grupos: no primeiro ficaram 2/3 mais 60 recrutas, no segundo 1/15 mais 90 e no terceiro os 330 restantes. O número de recrutas na corporação é: (A) (B) (C) 920 (D) (EsSA/78) - Efetuando , encontramos: (A) 60 (B) 30 (C) 15 2 (D) 6 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 219

220 783 (EsSA/78) - Racionalizando o denominador da 3 fração 2+ 3, obtemos: (A) 3 5 (B) 2 3 (C) 2 +3 (D) (EsSA/78) - As raízes da equação x 2 8x 20 = 0 são: (A) 10 e 2 (B) 10 e 2 (C) 10 e 2 (D) 10 e (EsSA/78) - Na equação x 2 14x +m = 0, para que as raízes sejam reais e iguais, devemos ter: (A) m > 49 (B) m = 14 (C) m = 49 (D) m < (EsSA/78) - O suplemento do ângulo de 63º 40"é: (A) 116º 59'20" (B) 26º 20" (C) 116º 20" (D) 26º 59'20" 787 (EsSA/78) - O suplemento de um ângulo excede o dobro do seu complemento de 30º. A medida desse ângulo é: (A) 60º (B) 50º (C) 30º (D) 45º 788 (EsSA/78) - Na figura abaixo r // s. O valor de a é: (A) 124 (B) 148 (C) 132 (D) (EsSA/78) - O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1080º é: (A) 8 (B) 24 (C) 9 (D) (EsSA/78) - na figura a soma das medidas dos ângulos Â, B, C, D, E é: (A) 180º (B) 360º (C) 720º (D) 540º 791 (EsSA/78) - Num trapézio retângulo, a bissetriz do ângulo reto adjacente à base menor determina coma bissetriz do ângulo obtuso um ângulo de 65º. A medida do ângulo agudo do trapézio é: 2 (A) 45 (B) 40 (C) 70 (D) (EsSA/78) - Na figura abaixo a medida do arco AB é o quádruplo do arco CD. O valor de m é: (A) 100º (B) 60º (C) 30º (D) 50º 793 (EsSA/78) - A altura de um triângulo equilátero cujo perímetro é 24 m é: (A) 4 3 m (B) 8 3 m (C) 12 3 m (D) 24 3 m 794 (EsSA/78) - A área de um triângulo retângulo é de 24 m 2. A soma das medidas dos catetos é de 14 m. A hipotenusa mede. (A) 8 m (B) 10 m (C) 12 m (D) 14 m 795 (EsSA/78) - A área do trapézio retângulo representado na figura abaixo é: (A) 36 m 2 (B) 27 m 2 (C) 18 m 2 (D) 13,5 m (EsSA/78) - A área de um quadrado inscrito em um círculo é de 2 m 2. A medida do lado do hexágono regular inscrito no mesmo círculo é: (A) 3 m (B) 3/2 m (C) 2 m (D) 1 m 797 (EsSA/78) - Na figura abaixo, as circunferências são concêntricas. O comprimento da circunferência interior é 12,56 cm e a área da coroa circular é 12 cm 2. O raio da circunferência exterior mede: (A) 14 cm (B) 4 cm (C) 10 cm (D) 2 cm 798 (EsSA/79) - Em uma divisão o divisor é 13, o quociente é o triplo do divisor e o resto é o maior possível. O dividendo tem para valor: (A) 51 (B) 519 (C) 508 (D) (EsSA/78) - Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três pessoas. A primeira comprou 1/3 da peça e mais 10 metros; a Segunda adquiriu 1/5 da peça e mais 12 metros; a terceira comprou os 20 metros restantes. O comprimento total da peça era de: (A) 80 m (B) 73,7 m (C) 70m (D) 90m SENA Cursos e Concursos ( Página 220

221 800 (EsSA/79) - Transformando 32,7 há, obtém-se: (A) 327 m 2 (B) dam 2 (C) dam 2 (D) 32,70 m (EsSA/79) - Um tanque recebe 0,04 hl de água por min. Ao final de 4 horas, a medida do volume de água contida no tanque é: (A) 960m 3 (B) 960 dm 3 (C) 9,6 dm 3 (D) 96 m (EsSA/79) - Dados os polinômios A = -x 2 x + 1, B = 3x 4 e C = 2x 2 + 3x 3, o resultado de B A + C é: (A) 3x 2 7x + 8 (B) x 2 +5x 6 (C) x 2 5x + 6 (D) 3x 2 + 7x (EsSA/79) - A raiz da equação x 2 x é igual a: (A) 53 (B) 59 (C) 49 (D) (EsSA/79) - Calculando a raiz da equação 1 1 = 1 x+1 x 1 x 2 1, encontra-se: (A) x = 4 (B) x = -1 (C) x = 0 (D) x = (EsSA/79) - Resolvendo o sistema achamos os seguintes valores para x e y: (A) x = 4 e y = 1 (B) x = -1 e y = 4 (C) x = 4 e y = -1 (D) x = 1 e y = (EsSA/79) - (EsSA/79) - Desenvolvendo o produto notável (x 2a ) 3, obtém-se: (A) x 3 + 3ax 2 6a 2 x + 6a 3 (B) x 3 + 6ax 2 12a 2 x + 8a 3 (C) x 3 6a 2 x + 12ax 2 8a 3 (D) x 3 6ax a 2 x 8a (EsSA/79) - O produto é igual a: (A) x2 4 - y2 = (B) x2 2 - y2 (C) x2 4 + y2 (D) ( x2 2 + y)2 808 (EsSA/79) - O comprimento de uma sala mede 7,5 m e a largura 67,5 dm. A razão entre a largura e o comprimento é: (A) 9 (B) 9/10 (C) 10/9 (D) 1/9 a (EsSA/79) - A razão b, onde a = b, vale: 3 (A) 3 (B) 3a (C) b 3 (D) (EsSA/79) - A soma dos antecedentes de uma proporção é 60 e os conseqüentes são 13 e 17. Os antecedentes são: (A) 24 e 36 (B) 41 e 49 (C) 27 e 33 (D) 26 e (EsSA/79) - Efetuando 14º 28' " + 38º 56'23", encontramos: (A) 67º 24'10" (B) 68º 25'10" (C) 68º 24'10" (D) 67º 25'10" 812 (EsSA/79) - Fatorando-se a expressão 9x 4 24x 2 z + 16z 2 obtém-se: (A) (4x 2 3z) 2 (B) (4x 3z 2 ) 2 (C) (3x 2 4z) 2 (D) (3x 2 + 4z) (EsSA/79) - A expressão a 2 7a + 12, depois de fatorada, resulta: (A) (a 4)(a 3) (B) (a + 4)(a 3) (C) (a 4)(a + 3) (D) (a + 4)(a + 3) 814 (EsSA/79) - A fatoração de 16x 4 y 4 conduz a: (A) (4x 2 y 2 ) 2 (B) (2x y)4 (C) (4x 2 + y 2 )(2x + y) 2 (D) (4x 2 + y 2 )(2x + y)(2x y) SENA Cursos e Concursos ( Página 221

222 815 (EsSA/79) - O resultado simplificado da expressão: 4 9x x x 2 +4x+ 4 é: (A) 4 (B) 16 (C) 12 (D) (EsSA/79) - Na figura abaixo, é verdadeiro afirmar-se que a medida de CD é x. O valor de x é: (A) 13x (x + 2) (B) 5 x + 2 (C) 12x + 24 (D) 4 x (EsSA/79) - Racionalizando o denominador de , obtém-se: (A) (B) (C) 2-3 (D) (A) 6 cm (B) 18 cm (C) 2 cm (D) 16 cm 823 (EsSA/79) - Das figuras abaixo, a que representa dois ângulos adjacentes suplementares é: (A) (B) 817 (EsSA/79) - A raiz de maior valor absoluto da equação é: x 2 x + 6 = 0 (C) (A) 2 (B) 6 (C) 3 (D) (EsSA/79) - A equação do 2º grau cujas raízes são 1 2 e 1 3 é: (D) (A) x x =0 (B) x x =0 (C) 6x 2 5x + 1 = 0 (D) 6x 2 + 5x 1 = (EsSA/79) - O valor de m, para que uma das raízes da equação mx 2 + (m 1)x + 2m = 0 seja igual a 1, é: (A) 1 4 (B) 5 2 (C) 7 16 (D) (EsSA/79) - O menor valor inteiro de a, para que a equação y 2 (2a 5)y + a 2 = 0, não admita raízes reais, é: (A) (B) 5 4 (C) 1 (D) (EsSA/79) - Na equação x 2 bx + 48 = 0, uma das raízes será o triplo da outra se b for igual a: 824 (EsSA/79) - O complemento do suplemento de um ângulo de 115º mede: (A) 65º B) 180º (C) 35º (D) 25º 825 (EsSA/79) - Calculando-se a medida de â, obtém-se: (Obs: r //s) (A) 48º (B) 18º (C) 132º (D) 126º 826 (EsSA/79) - A medida do ângulo interno de um hexágono regular é: (A) 60º (B) 90º (C) 120º (D) 40º 827 (EsSA/79) - O total de diagonais de um eneágono convexo é: (A) 44 (B) 27 (C) 14 (D) 35 SENA Cursos e Concursos ( Página 222

223 828 (EsSA/79) - um diâmetro de 12 cm intercepta uma corda de 8 cm no ponto médio desta. É verdadeiro afirmar-se que: (A) o diâmetro e a corda são perpendiculares. (B) O centro da circunferência pertence à corda. (C) A corda e o diâmetro formam dois ângulos agudos congruentes. (D) A corda determina segmentos congruentes sobre o diâmetro. 829 (EsSA/79) - As semi-retas PA e PB são tangentes à circunferência, respectivamente, em A e B, formando um ângulo de 70º. Se a medida de AMB é 240º, o arco AB mede: (A) 120º (B) 85º (C) 70º (D) 140º 830 (EsSA/79) - As bases de dois triângulos isósceles semelhantes ABC e A'B'C' medem, respectivamente, 8 m e 4 m. O perímetro do triângulo ABC é 28 m. A medida dos dois lados congruentes do triângulo A'B'C' é: (A) 5 m (B) 20 m (C) 10 m (D) 4 m 831 (EsSA/79) - Um retângulo cuja medida da base é o triplo da altura está inscrito em um triângulo de base 40 cm e altura 20 cm. Calculando o perímetro do retângulo obtém-se: (A) 8 cm (B) 32 cm (C) 64 cm (D) 40 cm 832 (EsSA/79) - O perímetro de um retângulo é de 34 m e um dos lados mede 12 m. A medida da diagonal é: (A) 13 m (B) 265 m (C) 43 m (D) 2 61 m 833 (EsSA/79) - O perímetro de um triângulo retângulo é 30 cm. A medida da hipotenusa excede a medida de um dos catetos de um centímetro. A soma das medidas dos catetos é: (A) 12 cm (B) 15 cm (C) 7 cm (D) 17 cm 834 (EsSA/79) - A altura de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 4 cm de raio mede. (A) cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 8 cm 835 (EsSA/79) - A menor diagonal de um hexágono regular inscrito num círculo mede 5 3 m. A diagonal do quadrado inscrito no mesmo círculo mede: (A) 10 m (B) 5 2 m (C) 5 6 m (D) 10 3 m 836 (EsSA/79) - A expressão da área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio r é: (A) r2 3 4 (B) 3r 2 3 (C) 3r2 3 4 (D) r (EsSA/79) - A área de um paralelogramo ABCD é 108º m2. Diminuindo-se 2 m na base e considerandose 2/3 da altura, obtémse outro paralelogramo, cuja área é de 60m 2. A altura do paralelogramo ABCD mede: (A) 12 m (B) 18m (C) 6 m (D) 9 m 838 (EsSA/80) - O soldado João e o cabo Antônio tem quantias iguais. Se o Cb Antônio der R$ 100,00 ao Sd João, este ficará com que quantia a mais que o Cb Antônio? (A) R$ 500,00 (B) R$ 100,00 (C) R$ 200,00 (D) R$ 300, (EsSA/80) - A diferença entre um número par e um número ímpar é sempre: (A) igual a um (B) um nº par (C) um nº ímpar (D) um nº par ou ímpar 840 (EsSA/80) - A propriedade da adição que diz: "A ordem das parcelas não altera a soma" é: (A) comutativa (B) distributiva (C) associativa (D) elemento neutro 841 (EsSA/80) - Dadas as frações: 1 2, 1 3, 2 3 e 3 4, a maior delas é: (A) 1 2, (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 3 4 SENA Cursos e Concursos ( Página 223

224 2 842 (EsSA/80) - O valor de de R$ 100,00 é: 5 (A) R$ 50,00 (B) R$ 40,00 (C) R$ 250,00 (D) R$ 10, (EsSA/80) - O valor numérico da expressão [4+2( 5)] é: ( 2 1) (A) 7 (B) 1 (C) 2 (D) (EsSA/80) - Durante uma corrida rústica o atleta vencedor percorreu 326 dam. Esta distância corresponde a: (A) 32,6 km (B) 326 km (C) 3,26 km (D) 0,326 km 852 (EsSA/80) - Uma superfície de 3km2 é igual a: (A) 3 ha (B) 30 ha (C) ha (D) 300 ha 844 (EsSA/80) - Calculando 3 4 obtemos: de 4h 30 min 20s, 853 (EsSA/80) - Qual a fração equivalente a 2 3 cuja soma de seus termos é 40? (A) 3h 15 min 30s (B) 15 h 30 min 30s (C) 15h 31 min (D) 3 h 22 min 45 s 845 (EsSA/80) - Para que o número 2a78 seja divisível por 9, o valor da letra a deverá ser: (A) 1 (B) 0 (C) 3 (D) (EsSA/80) - O máximo divisor comum entre 24 e 36 é: (A) 9 (B) 6 (C) 12 (D) (EsSA/80) - Adicionando 10 ao simétrico de 7, temos: (A) 3 (B) 17 (C) 3 (D) (EsSA/80) - Para ladrilhar do pátio do quartel 7 empregaram ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais 3 serão necessários para ladrilhar do mesmo pátio? 8 (A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) (EsSA/80) - Num mapa, uma distância de 18 cm está representando uma distância real de 18 km. A escala desse mapa é: 1 (A) (B) (C) (D) (EsSA/80) - Reduzindo os termos semelhantes da expressão algébrica 8xy 4ab + 2ab x 7xy + 2ab xy + x + 1, encontramos: (A) xy (B) x (C) 1 (D) ab 856 (EsSA/80) - No universo Q, o conjunto solução da equação, é: 849 (EsSA/80) - A diferença 1 0,935 é igual a: (A) 1,065 (B) 0,065 (C) 0,165 (D) 0, (EsSA/80) - O quociente da divisão de 0,00126 por 0,003 é: (A) 0,42 (B) 0,042 (C) 4,2 (D) 0,0042 (A) { } (B) { 1} (C) { -1} (D) { 0} 857 (EsSA/80) - Que valor podemos atribuir a letra a, para que a equação (a 3)x = b seja determinada: (A) a = 1 (B) a 3 (C) a 1 (D) a = (EsSA/80) - O valor numérico da expressão algébrica abaixo para a = 2, b= 3 e c = 4 é igual a: SENA Cursos e Concursos ( Página 224

225 867 (EsSA/80) - As menores dimensões de dois retângulos semelhantes medem respectivamente, 3 m e 12 m. Se a medida da diagonal do menor é 5 m, podemos afirmar que a medida da diagonal do maior é: (A) 3 5 (B) 5 (C) (EsSA/80) - (a b) 2 (a + b)2 equivale a: (D) 1 5 (A) a (B) + 4ab (C) 4ab (D) b 860 (EsSA/80) - Na fatoração completa do binômio x 8 1, encontramos: (A) 2 fatores (B) 4 fatores (C) 6 fatores (D) 8 fatores 861 (EsSA/80) - Transformando o trinômio x x + 50 num produto de dois binômios, os termos não comuns são: (A) + 5 e + 10 (B) 10 e + 50 (C) + 10 e + 50 (D) 10 e (EsSA/80) - A fração que devemos dividir por 2a, para termos um quociente igual a 3b2 2a 2 é: (A) a b (B) 9b2 4a 3 (C) 4a3 9b 2 3b (D) b a 863 (EsSA/80) - Qual a condição para que a equação 5x + b = a tenha raiz nula? (A) a = b (B) a = 0 (C) a b (D) b = (EsSA/80) - Fatorando a expressão x 3 xy 2 + x 2 y y 2 encontramos: (A) (x y)(x 2 y 2 ) (B) (x + y)(x 2 y 2 ) (C) (x y) 2 ( x 2 y 2 ) (D) (x + y) 2 ( x 2 y 2 ) 865 (EsSA/80) - No Universo Z, o conjunto solução da equação abaixo é: (A) { } (B) { -3} (C) {3} (D) {0} 866 (EsSA/80) - O ângulo interno de um hexágono regular mede: (A) 60º (B) 120º (C) 180º (D) 30º (A) 16 m (B) 4 m (C) 15 m (D) 20 m 868 (EsSA/80) - Se a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 m e um dos seus catetos 12 m, podemos afirmar que o outro cateto mede: (A) 1 m (B) 5 m (C) 14 m (D) 25 m 869 (EsSA/80) - As raízes da equação 6 = 5x x 2 são: (A) 2 ou 3 (B) 1 ou 6 (C) iguais a 2 3 (D) 5 ou (EsSA/80) - O valor da expressão é: (A) 0 (B) 24 (C) 4 2 (D) (EsSA/80) - Se a área de um círculo é 9 m 2, podemos afirmar que o comprimento de sua circunferência é: (A) 3 m (B) 3 m (C) 18 m (D) 6 m 872 (EsSA/80) - Se a área de um quadrado é 25 m 2, podemos afirmar que sua diagonal mede: (A) 10 m (B) 5 2 m (C) 5 m (D) 2 5 m 873 (EsSA/80) - Se o perímetro de um triângulo retângulo é 24 m e sua hipotenusa mede 10m, podemos afirmar que a sua área é: (A) 24 m 2 (B) 70m 2 (C) 12m 2 (D) 120m (EsSA/80) - Se o lado de um triângulo equilátero mede 12 m, podemos afirmar que a sua área é: (A) 36 m 2 (B) 6 3 m 2 (C) 72 m 2 (D) 36 3 m (EsSA/80) - Se os lados de um paralelogramo medem, respectivamente 10m e 12m e, se um de seus ângulos internos mede 150º, então sua área será: (A) 120 m 2 (B) 60m 2 (C) 44 m 2 (D) 22 m (EsSA/80) - Se a medida dos lados de um losango for 2 m e a medida de sua menor diagonal, também for 2 m, então sua área será: (A) 3 m (B) 4 m 2 (C) 2 3 m (D) 12 m (EsSA/80) - Se os lados de um trapézio retangular medem, respectivamente, 4m, 6m, 10m e 12 m, então sua área mede: SENA Cursos e Concursos ( Página 225

226 (A) 56 m 2 (B) 36 m 2 (C) 32 m 2 (D) 48 m (EsSA/81) - Sendo A = { 2, 3, x, 5, 6} e B = {3, 4, 5, y, 7} e A B = { 3, x, 5, y}, então x e y valem, respectivamente: (A) 4 e 6 (B) 6 e 14 (C) 5 e 6 (D) 4 e (EsSA/81) - O sucessivo de n 3 é: (A) n 4 (B) n + 4 (C) n + 2 (D) n (EsSA/81) - O valor da expressão é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) (EsSA/81) - Se a = e b = , então: (A) MDC (a, b) = 12 e MMC (a, b) = 360 (B) MDC (a, b) = 360 e MMC (a, b)= 12 (C) MDC (a, b) = 360 e MMC (a, b) = 240 (D) MDC (a, b) = 24 e MMC (a, b) = (EsSA/81) - Num retângulo a altura mede 24 dm. 3 A base mede da altura. Então a área do retângulo é: 2 (A) 86,4 m (B) 38,4 m (C) 0,0864 a (D) 0,0384 a. 883 (EsSA/81) - Um metro de fio pesa 487,5 g. Esse fio é para fazer pregos de 0,09 m de comprimento. Quantos pregos poderão ser feitos com um rolo de 35,1 kg desse mesmo fio? (A) 100 pregos (B) pregos (C) pregos (D) 800 pregos 884 (EsSA/81) - A diferença entre dois números é 15. Multiplicando-se o maior por 11, a diferença passa a ser 535. Os números são: (A) 51 e 36 (B) 50 e 35 (C) 52 e 37 (D) 53 e (EsSA/81) - A expressão é igual a: (A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) (EsSA/81) - Efetue (A) (B) (C) (D) (EsSA/81) - Sendo P 1 = x 3 + 2x 2 x + 1; P 2 = 6 5x + 3x 3, P 3 = 2x 3 + 2x 2 + 3x. O resultado de P 1 - P 2 + P 3 : (A) 2x 2 + 5x + 5 (B) 6x 3 + 4x 2 3x + 7 (C) 4x 2 + 7x 5 (D) 4x 3 9x (EsSA/81) - Sendo P 1 = 3x4 x 2 + 2x 1 e P 2 = x 2 x +1. O quociente de P1 P2 é: (A) 3x 2 + 3x 1 (B) 3x 2 + x (C) x 2 + 3x 1 (D) 3x (EsSA/81) - Um dos mais utilizados "produtos notáveis " é o quadrado de um binômio. Assim, se tivermos a expressão (3bx 2 + 2a 3 ) 2, o resultado será: (A) 9b 2 x 4 + 4a 6 (B) 9b 2 x a 3 bx 2 + 4a 6 (C) 6b 2 x a 6 (D) 9b 2 x 4 12 a 3 bx a (EsSA/81) -A raiz quadrada de 8,25 com erro menor que 0,01 é: (A) 2 (B) 2,87 (C) 2,88 (D) (EsSA/81) - Sendo U = Q, o valor de x na equação 3x 13 + x= 10 x é: (A) (B) (C) 1 (D) (EsSA/81) - Sendo U = Z, o conjunto verdade da inequação 5x + 3 < 53 é: (A) V = {x Z / x > - 10} (B) V = { x Z / x < 10} (C) V = {x Z / x -10} (D) V = {x Z / x 10} 894 (EsSA/81) - Sendo U = Q. Q, resolva o sistema a seguir: (A) 1 (B) 3 (C) 3 (D) (EsSA/81) - O resultado de { [ ( -1 ) 2 ] 2 } 2 é: (A) (8, -3) (B) ( -7, 8) SENA Cursos e Concursos ( Página 226

227 (C) (8, -7) (D) (3, -1) 895 (EsSA/81) - A média aritmética simples de 2 3, 3 4, 5 6 e 3 8 é: (A) (B) (C) (D) (EsSA/81) - Um clube de futebol tem 40 jogadores, dos quais apenas 11 são considerados titulares. A razão entre o número de titulares e o número de jogadores é: (A) (B) (C) (D) (EsSA/81) - A Quarta proporcional entre 2, 7 e 18 é: (A) 35 (B) 49 C) 56 (D) (EsSA/81) - Se 5 operários fazem um serviço em 12 dias, quantos operários farão o mesmo serviço em 10 dias? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) (EsSA/81) - Quais são os juros de R$ ,00 à taxa de 5% ao ano, em 3 anos? (A) R$ 2.500,00 (B) R$ 5.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ , (EsSA/81) - Fatorando-se o polinômio a 3 4ab 2, obtemos: (A) a(a 2b) 2 (B) a(a + 2b) 2 (C) a(a + 2b)(a 2b) (D) ab(a 2 4b) 2a 901 (EsSA/81) - Se A = 3b 2 B = 3b2 A 2b, então B é igual a: (A) 3 ab (B) 4a4 27b 3 (C) a2 b 3 3 (D) a 2 b 902 (EsSA/81) - O conjunto solução da equação, sendo U = R*, é: (A) { 6 } (B) { 1 6 } (C) { } (D) { -6 } 903 (EsSA/81) - Dado AB = 16 cm, considere um ponto C entre A e B tal que AC = 10 cm. Sendo P o ponto médio de AB e Q o ponto médio de CB, então PQ mede: (A) 5 cm (B) 11 cm (C) 6 cm (D) 9 cm 904 (EsSA/81) - Se dois ângulos â e b são opostos pelo vértice, então a e b são necessariamente: (A) suplementares (B) replementares (C) adjacentes (D) congruentes 905 (EsSA/81) - Na figura abaixo a = c = 30º e a + b + c = 120º. Então, x é: (A) agudo (B) obtuso (C) reto (D) raso 906 (EsSA/81) - Observando a figura abaixo, a medida do ângulo B é: (A) 54º (B) 18º (C) 108º (D) 110º 907 (EsSA/81) - Sendo A = 33º 53'41" e B = 14º 12'49", o resultado da operação A B é: (A) 19º 41'52" (B) 19º 41'08" (C) 19º 40'52" (D) 19º 40'08" 908 (EsSA/81) - A equação ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) terá duas raízes reais e simétricas, quando: (A) b = 0, c > 0 e a > 0 (B) b = 0, c < 0 e a > 0 (C) b = 0, c = 0 e a = 0 (D) b = 0, c < 0 e a < (EsSA/81) - A menor raiz da equação x 2 x 6 = 0 é: (A) 2 (B) 3 (C) 1 (D) (EsSA/81) - A equação ( m 2 1)x 2 + 4mx + 3 = 0 será do 2 grau, somente se: (A) m = ±1 (B) m = 1 (C) m = -1 (D) ± m (EsSA/81) - A soma (S) e o produto (P) das raízes da equação 5x 2 + 3x 4 = 0 é: (A) S = -3 e P = - 4 (B) S = 3 e P = -4 (C) S = 3 5 e P = SENA Cursos e Concursos ( Página 227

228 (D) S = 3 5 e P = (EsSA/81) - A equação 3x 2 6x + p = 0 tem suas raízes iguais para p igual a: (A) 3 (B) 3 (C) 2 (D) 1/3 913 (EsSA/81) - O losango cujo lado mede 5m e uma das diagonais mede 8m tem como área: (A) 48 m 2 (B) 40 m 2 (C) 24 m 2 (D) 20 m (EsSA/81) - O conjunto verdade da equação: 3 3 é: (A) V = { 1/3} (B) V = { -5} (C) V = { -3} (D) V = {3} 3x 1 = x (EsSA/81) - Indicando as medidas dos lados de um triângulo por a, b e c, se tivermos a relação b 2 < a 2 c 2, podemos afirmar que o triângulo é: (A) retângulo (B) acutângulo (C) obtusângulo (D) isósceles 916 (EsSA/81) - A diagonal de um quadrado circunscrito a uma circunferência mede 8 cm. O raio dessa circunferência mede: (A) 2 cm (B) 2 2 cm (C) 2 cm (D) 4 2 cm 917 (EsSA/82) - Dado o número 57a3b, substituindo a e b, respectivamente, por algarismos que tornem esse número divisível por 2, 5 e 9 ao mesmo tempo, encontramos: (A) 7 e 5 (B) 3 e 0 (C) 7 e 0 (D) 7 e (EsSA/82) - Gastei R$ 800,00 e fiquei ainda com 5 da minha mesada. Minha mesada é de: 9 (A) R$ 1.440,00 (B) R$ 1.800,00 (C) R$ 7.770,00 (D) R$ 4.000, (EsSA/82) - O volume da caixa d'água de uma Unidade é 12 m 3. Estando a caixa cheia e gastando cada homem 10 litros d'água num banho, podem banhar-se portanto: (A) homens (B) 120 homens (C) homens (D) homens 920 (EsSA/82) - Sabendo-se que 1 m 2 de grama custa R$ 20,00, a despesa para gramar um campo de futebol que mede 80 m de comprimento e 50 m de largura é: (A) R$ ,00 (B) R$ 2.600,00 (C) R$ ,00 (D) R$ 600, (EsSA/82) - Fatorando o trinômio x 2 x 42, encontramos: (A) (x 6)(x 7) (B) (x 7)(x +6) (C) (x+ 7)(x+ 6) (D) (x 1)(x 42) 922 (EsSA/82) - Simplificando: (2x+6)(x2 7x+10) 2(x+3)(x 2 8x+15), encontramos: (A) x 3 x 2 (B) x 2 x (EsSA/82) - Racionalizando (A) B) (C) x+3 x+2 (D) x 2 x , obtemos: (C) (D) (EsSA/82) - As abcissas dos pontos de interseção da parábola que representa função y = x 2 + x 6, com eixo x são: (A) 1 e 2 (B) 3 e 2 (C) 2 e 3 (D) 3 e (EsSA/82) - O ponto em que a reta y = 3x + 9 corta o eixo das abcissas é: (A) ( 3, 0) (B) (0, -3) (C) (0,3) (D) (-3, 0) 926 (EsSA/82) - Se dois ângulos são suplementares e a medida de um deles é triplo da medida do outro, então as medidas dos ângulos são: (A) 20º e 60 (B) 25º e 75º (C) 30º e 90º (D) 45º e 135º 927 (EsSA/82) - O valor de x na figura abaixo, sendo r // s, é: (A) 2º (B) 15º (C) 22º (D) 30º SENA Cursos e Concursos ( Página 228

229 928 (EsSA/82) - Na figura abaixo, calculando o valor de x + y, obtém-se: (A) 90º (B) 130º (C) 140º (D) 180º 929 (EsSA/82) - Quantas diagonais há no polígono regular, cuja medida do ângulo externo é 45º : (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) (EsSA/82) - O valor de x na figura abaixo é: (A) 16º (B) 25º (C) 30º (D) 37º 931 (EsSA/82) - Calcule o valor de x e y no triângulo retângulo da figura abaixo: (A) x = 15 e y = 5,4 (B) x = 18 e y = 4,2 (C) x = 15 e y = 4,2 (D) x = 18 e y = 5,4 932 (EsSA/82) - Calculando x na figura, obtém-se: (A) 18 (B) 15 (C) 12 (D) (EsSA/82) - Se a diagonal de um quadrado é 3 2 cm, então o perímetro desse quadrado é: (A) 6 cm (B) 9 cm (C) 12 cm (D) 15 cm 934 (EsSA/82) - O lado de um quadrado circunscrito a um círculo mede 12 cm. Então a área do círculo vale: 938 (EsSA/83) - A quantidade de algarismos necessários para se escrever todos os números pares compreendidos entre 33 e 598 é: (A) 819 (B) 816 (C) 815 (D) (EsSA/83) - Num exame, havia 180 candidatos. Tendo sido aprovados 60, a razão entre o número de reprovados e o de aprovados é de: (A) 1 2 (B) 2 (C) 1 3 (D) (EsSA/83) - Tendo 36 fitas gravadas, para cada 3 fitas de música brasileira tenho uma fita de música estrangeira. Quantas fitas de cada gênero tenho? (A) 9 brasileiras e 27 estrangeiras (B) 12 brasileiras e 12 estrangeiras (C) 24 brasileiras e 12 estrangeiras (D) 27 brasileiras e 9 estrangeiras 941 (EsSA/83) - O conjunto verdade ou solução da inequação 14 3x < 2x + 29, considerando o U = Q, é: (A) V = {x ϵ Q / x < -3} (B) V = { x ϵ Q / x < 3} (C) V = { x ϵ Q / x > -3} (D) V = { x ϵ Q / x > 3} 942 (EsSA/83) - A equação que não admite raízes reais é: (A) 3x 2 1 (B) x 2 +1 (C) x (D) x 2 3 = (EsSA/83) - Se num triângulo os três ângulos são diferentes, podemos afirmar que: (A) o maior lado se opõe ao maior ângulo (B) o triângulo é isósceles (C) o triângulo possui os lados iguais (D) a soma dos ângulos internos é igual a 3 retos 944 (EsSA/83) - Observando os triângulos abaixo, podemos afirmar que: (A) 12 cm 2 (B) 36 cm 2 (C) 48 cm 2 (D) 144 cm (EsSA/82) - O diâmetro de uma circunferência cujo comprimento é 12 cm é: (A) 2 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm 936 (EsSA/82) - A altura de um triângulo cujo lado mede 2 3 cm é: (A) 2 cm (B) 3 cm (C) 4 cm (D) 5 cm 937 (EsSA/82) - Num losango em que um lado mede 10 cm e uma das diagonais 16 cm, então a medida da outra diagonal é: (A) 12 cm (B) 15 cm (C) 18 cm (D) 21 cm (A) os três são equiláteros (B) o I é equilátero, o II e o III são escalenos (C) o I é equilátero, o II é retângulo e o III é isósceles (D) (D) o I é equilátero, o II é retângulo e o III é escaleno I 945 (EsSA/83) - Na circunferência abaixo, cujo raio é de 5 cm, o comprimento do arco AB é: (A) 60 cm (B) 30 cm (C) 10 / 3 cm SENA Cursos e Concursos ( Página 229

230 (D) 5 / 3 cm 946 (EsSA/83) - Qual o perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de 6 cm de raio? (A) 36 cm (B) 36 cm (C) 36 3 cm (D) 18 cm 947 (EsSA/83) - Na figura abaixo, as retas A, B, e C são paralelas. Qual o comprimento de x? (A) 6 cm (B) 5 cm (C) 4,8 cm (D) 4,6 cm 948 (EsSA/83) - Que comprimento deve Ter o lado de um quadrado, para que sua área seja igual à de um retângulo cujos lados medem 4 m e 16 m? (A) 10 m (B) 10,5 m (C) 8 m (D) 8,5 cm 949 (EsSA/83) - No triângulo da figura abaixo, as dimensões são: AB =10m; AC = 12 m; BC = 18 m. Sabendo-se que AD = 8m e DE/ /BC, qual o comprimento de DE? (A) 7,2 m (B) 14,4 m (C) 7,8 m (D) 15,6 m 950 (EsSA/83) - O triângulo da figura abaixo é isósceles e seu perímetro é de 150 cm. Qual a medida da base AC, sabendo-se que ela mede a metade do lado? (A) 30 cm (B) 60 cm (C) 50 cm (D) 75 cm 951 (EsSA/83) - Na figura abaixo tem-se: PA =x ; PB = 3x; PC = 3 cm e PD = 4 cm. O comprimento PB vale: (A) 2 cm (B) 5,5 cm (C) 5 cm (D) 6 cm 952 (EsSA/83) - Na figura abaixo um cateto mede 8 cm e a hipotenusa mede 10 cm. Qual o comprimento de AB? (A) 6 cm (B) 3,6 cm (C) 6,4 cm (D) 7,2 cm 953 (EsSA/83) - Calcular o comprimento da tangente PT sabendo que a distância do ponto P ao centro do círculo é de 15 cm e que o raio mede 9 cm: (A) 12 cm (B) 14 cm (C) 16 cm (D) 6 cm (EsSA/84) - Dado o número 10a7b, substituindo a e b, respectivamente, por algarismos que tornem esse número divisível por 5 e 6 ao mesmo tempo, encontramos: (A) 1 e 0 (B) 2 e 5 (C) 5 e 0 (D) 1 e (EsSA/84) - Uma prova de matemática contém 50 7 questões. Um aluno acertou das questões. 10 Quantas questões esse aluno errou? (A) 35 (B) 32 (C) 15 (D) (EsSA/84) - Resolvendo a proporção 4 x = 6 8, obtemos: (A) x = 3 5 (B) x = 6 5 (C) x = 5 3 (D) x = (EsSA/84) - Resolvendo a proporção x+3 = x=1 3 (x -1), obtemos: 5 (A) x = 0 (B) x = 4 (C) x = -6 (D) x = (EsSA/84) - Se a = -1 e b = -2, o valor numérico de a 3 b 2 a 2 b 3 será: (A) 12 (B) 4 (C) 8 (D) (EsSA/84) - Resolvendo a equação do 1 grau x 2-2 = 2-2, sendo U = R. Obtemos: x (A) { 2 } (B) { 0 } (C) { 4 } (D) { -2} 960 (EsSA/84) - O complemento de um ângulo de 32º 15'10" vale: (A) 147ª 44'50" (B) 57º 44'50" (C) 57º 45' (D) 12º 44'50" 961 (EsSA/84) - Na figura abaixo, determinar x, sendo r // s: (A) 70º (B) 110º (C) 100º (D) 30º 962 (EsSA/84) - Na figura a seguir, determinar y, sendo r //s: SENA Cursos e Concursos ( Página 230

231 (A) 40º (B) 150º (C) 30º (D) 140º 963 (EsSA/84) - No triângulo abaixo, determinar y: (A) 120º (B) 125º (C) 115º (D) 126º 964 (EsSA/84) - O valor de x na figura abaixo, sabendo-se que MN / /AB é: (A) 8 (B) 3 (C) 5 (D) (EsSA/84) - O ângulo interno de um octógono regular mede: (A) 120º (B) 150º (C) 135º (D) 144º 966 (EsSA/84) - Calcular o lado do quadrado circunscrito à circunferência de raio 5 cm. (A) 10 2 cm B) 5 2 cm (C) 12 cm (D) 10 cm 967 (EsSA/84) - Para os dois retângulos da figura abaixo serem semelhantes, com a razão de semelhança 5/3, considerada esta do I para o II, devemos ter: (A) x = 75 e y = 50 (B) x = 18 e y = 27 (C) x = 50 e y = 75 (D) x = 27 e y = (EsSA/84) - Dizer a posição relativa de duas circunferências de raio 8 cm e 3 cm, sendo a distância entre os centros, de 5 cm: (A) secantes (B) tangentes interiores (C) exteriores (D) tangentes exteriores 969 (EsSA/84) - O diâmetro da roda de uma bicicleta é 52 cm. A distância percorrida pela bicicleta após 100 revoluções completas da roda é ( = 3,14): (A) 326,56 m (B) 16,328 m (C) 163,28 m (D) 1632,8 m 970 (EsSA/84) - Calcular a altura de um triângulo equilátero de 4 m de lado: (A) 2m (B) 2 3 m (C) 3 2 m (D) 4 2 m 971 (EsSA/84) - Na figura abaixo calcular a hipotenusa BC, sendo dados AB = 6cm e BH 4cm : (A) 4,5 cm (B) 6 cm (C) 9 cm (D) 12 cm 972 (EsSA/84) - Calcular a área da região hachurada na figura abaixo: (A) 4 (4 - ) cm 2 (B) 12 cm 2 (C) 8(2 - )cm 2 (D) 15 cm (EsSA/84) - A figura abaixo é um retângulo. Qual a área do triângulo AED, sabendo-se que as dimensões do retângulo se acham expressas em metros? (A) 30 m 2 (B) 25 m 2 (C) 20m 2 (D) 35m (EsSA/84) - Na figura abaixo, a área de cada círculo vale 9 cm2. Qual a área do retângulo ABCD? (A) 45 cm 2 (B) 72 cm 2 (C) 70 cm 2 (D) 40 cm (EsSA/85) - Sabendo-se que o MDC (n, 15) = 3 e MMC (n, 15) = 90, sendo n ϵ N, determinar o valor de 2n: (A) 18 (B) 5 (C) 6 (D) (EsSA/85) - O resultado da operação é: 3 (A) 5 (B) 0 (C) 13 (D) 8, (EsSA/85) - Uma indústria produz 900 litros de óleo por dia, que devem ser embalado em latas de 30 cm3. Para isso serão necessárias: (A) 300 latas (B) latas (C) latas (D) latas 978 (EsSA/85) - Das expressões algébricas abaixo, apenas uma não é polinômio, por não ser uma expressão algébrica racional inteira. Essa expressão é: (A) 3x 2 - x SENA Cursos e Concursos ( Página 231

232 (B) 3 x + x2 3x 3 (C) x 4 3x 3 2x 2 (D) x (EsSA/85) - O valor da expressão (A) 2 (B) é: (C) 2 (D) (EsSA/85) - O conjunto solução da inequação , para x2, é: (A) { x ϵ R / 2 x 5/2} (B) { x ϵ R / 2 < x 5/2} (C) { x ϵ R / x 2} (D) { x ϵ R / 2 x < 5/2} 981 (EsSA/85) - A idade de um pai somada com a de seu filho dá 45 anos. Sabendo-se que a idade do filho está para a idade do pai assim como 1 está para 4, podemos dizer que as idades são: (A) 9 e 36 anos (B) 8 e 32 anos (C) 8 e 37 anos (D) 6 e 39 anos 982 (EsSA/85) - Fatorando-se o polinômio ax + ay bx by, obtém-se: (A) (a + b)(x y) (B) (a y)(b + x) (C) (a b)(x + y) (D) (a + x)(b y) 983 (EsSA/85) - Na figura, o ângulo central a mede 56 e o ângulo b mede 18. O valor do ângulo x é: (A) 10 (B) 38 (C) 20 (D) 19 "o é o centro" 984 (EsSA/85) - Os lados de um triângulo medem 10 m, 15 m e 20 m. O menor dos segmentos que a bissetriz interna do maior ângulo determina sobre o maior lado mede: (A) 8 m (B) 12 m (C) 6m (D) 14m 985 (EsSA/85) - O perímetro de um triângulo isósceles mede 20 cm. O comprimento da base vale 2/3 da soma dos outros dois lados que são iguais. A base mede: (A) 6 cm (B) 12 cm (C) 8 cm (D) 16 cm 986 (EsSA/85) - O polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é o: (A) triângulo (B) quadrilátero (C) pentágono (D) hexágono 987 (EsSA/85) - Na figura, as retas r e s são paralelas e a reta t transversal, o valor de x é: (A) 140º (B) 50º (C) 45º (D) 40º 988 (EsSA/85) - A área de um quadrado mede 81 cm 2. O perímetro desse quadrado vale: (A) 9 cm (B) 18cm (C) 27cm (D) 36 cm 989 (EsSA/85) - A área de um trapézio isósceles cujas bases medem 14 dm e 6 dm e os lados não paralelos 5 dm é igual a: (A) 60 dm 2 (B) 30 dm 2 (C) 40 dm 2 (D) 50 dm (EsSA/85) - A área da região hachurada na figura abaixo, se ABCD é um quadrado e a circunferência é tangente aos lados do quadrado, é: (A) (16-4 ) cm 2 (B) (4 + ) cm 2 (C) 3 cm 2 (D) (4 - ) cm (EsSA/85) - O ângulo interno de um polígono regular mede 120º. O total de diagonais desse polígono é: (A) 0 (B) 9 (C) 12 (D) (EsSA/85) - Fatorando-se o polinômio 4x 2 20x 200, obtém-se: (A) 4(x 5)(x 10) (B) 2 (x + 5)(x 10) (C) 4 (x 5)(x +10) (D) 4 (x + 5)(x 10) 993 (EsSA/85) - As retas r e s na figura são paralelas, então x mede: (A) 45º (B) 55º (C) 50 (D) 40º 994 (EsSA/85) - A e B são dois terrenos retangulares semelhantes. Se o perímetro do retângulo B é de dm, então sua área é de: SENA Cursos e Concursos ( Página 232

233 (A) 0,54 km 2 (B) 0,54 dm 2 (C) 0,54 há (D) 0,54 ca 995 (EsSA/85) - O perímetro de um triângulo retângulo é 30 m e a hipotenusa mede 13 m. Quanto aos seus catetos, podemos afirmar: (A) a raiz quadrada da medida do maior cateto é 3 m. (B) o quadrado da medida do menor cateto é 36 cm 2. (C) seu produto é 70. (D) sua diferença é de 7 m. 996 (EsSA/85) - Na figura abaixo é verdadeiro que: (A) zero (B) (C) (D) (E) (EsSA/86) - Ao calcular o MDC dos números A e B (A e B ϵ N*) pelo algorítmo e Euclides (divisões sucessivas) obteve-se (tabela abaixo). Sendo (x, y e z ϵ N *), podemos afirmar que: (A) A B = 27 (B) A B = 47 (C) A B = 55 (D) A B = 33 (E) A B = (EsSA/86) - Os triângulos I e II da figura são retângulos isósceles. A razão entre a área de I para a área de II é igual a: (A) o menor ângulo mede 60º (B) o menor ângulo mede 50º (C) maior ângulo mede 60º (D) a soma do maior e do menor ângulo é 130º. 997 (EsSA/86) - Se o raio de um círculo aumentar em 10%, de quantos por cento aumentará a área do disco correspondente? (A) 10% (B) 15% (C) 1% (D) 21% (E) 11% 998 (EsSA/86) - Uma loja vendeu 2/5 de uma peça de tecido e depois 5/12 do restante. O que sobrou foi vendido por R$ 1.400,00. Sabendo-se que o tecido foi vendido a R$ 5,00 o metro, o comprimento inicial da peça era de: (A) 200m (B) 400m (C) 800m (D) 1.200m (E) 1.600m 999 (EsSA/86) - Três satélites artificiais giram em torno da Terra em órbitas constantes. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, do segundo 72 minutos e do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham em um mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão em seguida a passar simultaneamente pelo mesmo meridiano depois de: (A) 16h 24 min (B) 7h 48 min (C) 140 min (D) 126 min (E) 8h 24 min 1000 (EsSA/86) - Acrescentando-se o algarismo zero à direita do número 732, o número de unidades adicionadas a 732 é: (A) 3 :1 (B) 2 : 1 (C) 2 : 1 (D) 1 /2 (E) 3/ (EsSA/86) - O triângulo ABC é equilátero de lado L. O valor do segmento MN é: (A) L 2 3 (B) L 3 4 (C) L 3 5 (D) L 2 5 (E) L (EsSA/86) - O número de diagonais de um poligono cuja soma dos angulos internos vale é igual a: (A) 48 (B) 54 (C) 36 (D) 32 (E) (EsSA/86) - A medida, em graus, do ângulo interno de um polígono regular é um número inteiro. O número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade é: (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 (E) (EsSA/86) - A soma de dois ângulos vale 125º e um deles é a metade do suplemento do outro. O complemento do menor deles vale: SENA Cursos e Concursos ( Página 233

234 (A) 35º (B) 45º (C) 55º (D) 25º (E) 15º 1007 (EsSA/86) - O ângulo do vértice de um triângulo isósceles mede 67º 18'. O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos da base do triângulo vale: (A) 123º 39' (B) 132º 39' (C) 139º 23' (D) 139º 32' (E) 123º 32' 1008 (EsSA/86) - Dois ângulos opostos de um paralelogramo têm para medidas em graus, as expressões 4x + 28º 17' e 6x 42º 13'. Cada ângulo agudo do paralelogramo mede: (A) 10º 43' (B) 13º 40' (C) 14º 10' (D) 34º 16' (E) 16º 30' 1009 (EsSA/86) - Num losango, a diagonal menor mede 5 dm e a soma dos ângulos obtusos é o dobro da soma dos agudos. O perímetro do losango vale: (A) 18 dm (B) 20 dm (C) 22 dm (D) 25 dm (E) 30 dm 1010 (EsSA/87) - Ao separar o total de suas figurinhas em grupos de 12, de 15 ou de 24, uma criança observou que sobravam sempre 7 figurinhas. Sendo o total de suas figurinhas compreendido entre 120 e 240, a criança tem: (A) 149 figurinhas (B) 202 figurinhas (C) 127 figurinhas (D) 216 figurinhas (E) 120 figurinhas 1013 (EsSA/87) - Os possíveis valores de a e de b, para que o número (a+ b 5 ) 2 seja irracional, são: (A) a = 5 e b = 3 (B) a = 0 e b = 0 (C) a = 0 e b = 3 (D) a = 2 e b = 5 (E) a = 1 e b = (EsSA/87) - A soma de dois números é 38. O quociente do menor por 2 excede em 3 unidades o quociente do maior por 6. Então, a diferença entre os dois números é: (A) 8 (B) 22 (C) 12 (D) 10 (E) (EsSA/87) - Efetuando 42º 15'29" '20", encontramos: (A) 20º 33'09" (B) 22º 18'17" (C) 22º 28'07" (D) 21º 33'09" (E) 23º 15'29" 1016 (EsSA/87) - A respeito dos quadriláteros, é incorreto afirmar que: (A) a soma dos ângulos internos vale 360º (B) a soma dos ângulos externos vale 360º (C) têm duas diagonais. (D) se classificam em: quadriláteros quaisquer ou trapezóides, paralelogramos e trapézios. (E) as diagonais se dividem mutuamente ao meio (EsSA/87) - A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a O número de diagonais desse polígono é: (A) 51 (B) 52 (C) 53 (D) 54 (E) (EsSA/87) - No triângulo ABC de hipotenusa BC =5 m e altura AH 12 5 m, a soma dos catetos vale, em metros: 1011 (EsSA/87) - Fatorando a expressão 6a 2 3ab + 4ab 2b 2, obtemos: (A) 3a(a + b) (B) (2a b)(3a + 2b) (C) (2a + b)(3a 2b) (D) (3a + 2b)(2a + 2b) (E) _(3a 2b)(2a b) 1012 (EsSA/87) - Racionalizando o denominador da 6 expressão 3 6, obtemos: (A) (B) 2+ 2 (C) - 3 /3 (D) (E) ( 2 +2) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) (EsSA/87) - Dois ângulos são complementares. O triplo de um deles, aumentado da décima parte do outro e diminuído de 6, vale 90. Os ângulos são: (A) 20 e 70 (B) 15 e 75 (C) 30 e 60 (D) 40 e 50 (E) 25 e (EsSA/87) - Na figura abaixo, temos r // s. O valor de é igual a: (A) 110º (B) 90º (C) 100º (D) 105º (E) 120º SENA Cursos e Concursos ( Página 234

235 1021 (EsSA/87) - A razão entre os ângulos internos de dois polígonos regulares é 9/10. O número de lados do segundo polígono excede o do primeiro em 4 unidades. Os polígonos são: (A) octógono e decágono (B) octógono e undecágono (C) octógono e dodecágono (D) eneágono e dodecágono (E) n.d.a 1022 (EsSA/87) - Na figura, o valor de x + y é: (A) 12 (B) 27 2 (C) 25 2 (D) 13 (E) (EsSA/87) - Dado um triângulo retângulo de catetos x e y, e sendo r e R os raios das circunferências inscritas e circunscrita, repsectivamente, devemos ter: (A) (A)x + y = R + r (B) x + y = 4 (R r) (C) x + y = 4 (R + r) (D) x + y = 8(R r) (E) x + y = 2(R + r) 1024 (EsSA/87) - Na figura abaixo, o valor de x é igual a: (A) 6 (B) 9 (C) 8 (D) 5 (E) n.d.a 1025 (EsSA/87) - Um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo mede 30º. Se o comprimento da altura relativa à hipotenusa mede 4 3 cm, o comprimento da hipotenusa medirá, em cm: (A) 64 (B) 48 (C) 8 (D) 16 (E) n.d.a 1026 (EsSA/88) - Uma torneira enche um tanque em 3 horas e uma outra em 6 horas. Abertas as duas torneiras, o tempo necessário para encher a metade do tanque é: (A) 2 horas (B) 1 hora (C) 75 min. (D) 90 min. (E) 40 min (EsSA/88) - O número 3744x será divisível por 15 se x for o algarismo: (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 1 (E) (EsSA/88) - Um objeto é vendido com um lucro de 25% sobre o preço de compra. O lucro percentual sobre o preço de venda é de: (A) 15% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 32% 1029 (EsSA/88) - Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias é: (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) (EsSA/88) - A idade de um pai é hoje o quádruplo da idade de seu filho. Quatro anos atrás, a idade do pai era o sêxtuplo da idade do filho. Para que a idade do pai seja igual ao dobro da idade do filho, o tempo decorrido deverá ser de: (A) 30 anos (B) 25 anos (C) 20 anos (D) 15 anos (E) 10 anos 1031 (EsSA/88) - Os números 4, 8, 6 e 11, formarão, nesta ordem, uma proporção, se forem somados a um número: (A) par (B) ímpar (C) primo (D) divisor de 10 (E) múltiplo de (EsSA/88) - Uma indústria farmacêutica importa 600 litros de uma vacina e vai comercializá-la em ampolas de 25 cm 3. O número total de ampolas será de: (A) (B) (C) (D) (E) (EsSA/88) - O valor numérico do polinômio x 3 y + x 2 y 2 xy 3, para x = -1 e y = -2, é: (A) 4 (B) 2 (C) 0 (D) 2 (E) (EsSA/88) - Numa garagem com automóveis e bicicletas, o número de pneus é 480 e o número de veículos é 192. O número de bicicletas existentes na garagem é: (A) maior que 150 (B) múltiplo de 12 SENA Cursos e Concursos ( Página 235

236 (C) ímpar (D) menor que 100 (E) divisor de (EsSA/88) - O menor número inteiro que satisfaze a desigualdade (2x 2 7x) < 0 é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) (EsSA/88) - O produto das raízes da equação x 3 4x = 0 é: (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 6 (E) (EsSA/88) - A equação x 2 6x + p + 3 = 0 tem uma raiz igual ao dobro da outra. O valor de p é: (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (E) (EsSA/88) - O conjunto solução da equação 4 + 3x-x = 0 é: (A) { 0; 4; -1} (B) {4; -1} (C) {4} (D) {-1} (E) ø 1039 (EsSA/88) - Um dos ângulos da base de um triângulo isósceles mede 52º 40'. O ângulo do vértice mede: (A) 63º 20' (B) 63º 40' (C) 74º 20' (D) 74º 40' (E) 75º 20' 1040 (EsSA/88) - Aumentando-se de 20% a base de um retângulo e diminuindo-se de 10% a sua altura, a área do retângulo aumentará de: (A) 12% (B) 10% (C) 9% (D) 8% (E) 6% 1041 (EsSA/88) - A razão entre a área e o perímetro de um quadrado é igual a 2. A área desse quadrado vale, em m 2 : (A) 8 (B) 16 (C) 24 (D) 28 (E) (EsSA/88) - A diagonal de um quadrado mede x. Sua área vale: (A) 2x 2 (B) x2 (C) 2x (D) 4x2 (E) x (EsSA/88) - Um polígono regular apresenta 35 diagonais. O ângulo interno desse polígono mede em graus: (A) 108 (B) 120 (C) 144 (D) 150 (E) (EsSA/88) - O ângulo x, da figura abaixo, mede em graus: 2 (A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130 (E) (EsSA/88) - Na figura, o valor de x, em cm, é: (A) 3,6 (B) 3,2 (C) 2,8 (D) 2,5 (E) 2, (EsSA/88) - As diagonais de losango medem 10 cm e 20 cm. A área do círculo inscrito no losango em cm 2, é: (A) 20 (B) 12 (C) 15 (D) 10 (E) (EsSA/88) - O valor de x na figura é: (A) 3 5 (B) 1 (C) 4 (D) 20 3 (E) (EsSA/88) - Na figura o valor de x é igual a: (A) 21 (B) 18 (C) 14 (D) 15 (E) (EsSA/89) - A saída de uma mina de ouro está situada a 100 m acima do nível do mar. Considerando a altitude zero como ao nível do mar, as altitudes dos pontos 50 m, 125 m e 231 m atingidas pelo elevador, quando desce, a partir da saída da mina, são indicadas pelos números: (A) 50 m, 25 m e 131 m (B) 50 m, -25 m e 131 m (C) 50 m, -25 m e 131 m (D) 50 m, -25 m e 131m (E) 50 m, 25 m e 131 m 1050 (EsSA/89) - Um automóvel, partindo do quilômetro 12 da estrada que liga a cidade A a B, percorre 18 quilômetros na direção de B e, regressando pela mesma estrada, percorre 23 quilômetros. A distância do automóvel à cidade A é, em quilômetros: (A) 7 (B) 12 (C) 17 (D) 30 (E) 53 SENA Cursos e Concursos ( Página 236

237 1051 (EsSA/89) - O valor de é: (A) - 2 (B) 0 (C) 2 (D) 2 2 (E) (EsSA/89) - A equação do 2º grau cujas raízes são 5 e 2 é: (A) x 2 + 7x + 10 = 0 (B) x 2 10x + 7 = 0 (C) x 2 7x + 10 = 0 (D) x 2 7x 10 = 0 (E) x x + 7 = (EsSA/89) - Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas e a reta t transversal às duas. O ângulo m é a quarta parte do ângulo n. O valor de x é: (A) 36º (B) 45º (C) 60º (D) 120º (E) 150º 1054 (EsSA/89) - Num triângulo um dos ângulos mede 25º e o outro 100º. O valor do terceiro ângulo é: (A) 55º (B) 65º (C) 75º (D) 80º (E) 125º 1055 (EsSA/89) - O perímetro de um triângulo isósceles mede 16 cm. O comprimento da base vale 3/5 da soma dos outros dois lados que são iguais. A base mede: (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 8 cm (D) 10 cm (E) 12 cm 1056 (EsSA/89) - Os lados de um triângulo medem 5 m, 12 m e 13 m. A natureza desse triângulo é: (A) retângulo (B) obtusângulo (C) acutângulo (D) isósceles (E) equilátero 1057 (EsSA/89) - Num círculo duas cordas se cortam. Os dois segmentos da primeira corda têm, respectivamente, 18 m e 10 m. Os dois segmentos da outra corda, cujo comprimento total é 27 m, medem: (A) 14 m e 13 m (B) 10m e 17 m (C) 18 m e 9 m (D) 15 m e 12 m (E) 20 m e 7 m 1058 (EsSA/89) - O lado de um triângulo equilátero inscrito mede 3 m. O lado o quadrado inscrito no mesmo círculo mede: (A) 4 m (B) 2 m (C) 2 m (D) 6 m (E) 3 m 1059 (EsSA/89) - O perímetro de um quadrado é 16 m. A diagonal desse quadrado mede: (A) 4 m (B) 16 m (C) 4 2 m (D) 8 m (E) (EsSA/90) - Os tiros de fuzil devem ser acondicionados em caixas com capacidade para 250 tiros cada uma. Serão necessárias, portanto: (A) caixas (B) 25 caixas (C) 250 caixas (D) caixas (E) caixas 1061 (EsSA/90) - Num quartel os cabos tiram serviço de 10 em 10 dias e os soldados de 4 em 4 dias. Se o cabo Armando e o soldado Pinto estão de serviço hoje, voltarão a tirar serviço juntos daqui a: (A) 14 dias (B) 40 dias (C) nunca tirarão serviço juntos (D) 6 dias (E) 20 dias 1062 (EsSA/90) - Dois quintos do efetivo de uma companhia foi acampar. Se a mesma possui 140 homens então, estão acampados: (A) 70 homens (B) 28 homens (C) 14 homens (D) 56 homens (E) 21 homens 1063 (EsSA/90) - Efetuando 2 3 (-2) , encontramos: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) (EsSA/90) - O valor numérico de (x + y)(x y) para x = -2 e y = 5 é: (A) 7 (B) 2 (C) 21 (D) 28 (E) (EsSA/90) - Simplificando a fração a2 +7a+12 a 2 +6a+9, encontramos: (A) a+4 a+3 (B) 12 9 (C) (D) a+7 a+6 (E) (EsSA/90) - As raízes de 2x 2 7x + 3 = 0 são: (A) 3 e 1 6 (B) 3 e 5 6 (C) 1 e 1 2 (D) 2 e 4 (E) 2 e (EsSA/90) - O pé de uma escada de 13 m de comprimento está afastado 5m de um muro. A escada toca o muro portanto, a uma altura de : SENA Cursos e Concursos ( Página 237

238 (A) 18 m (B) 9 m (C) nenhuma anterior (D) 8 m (E) 12 m 1068 (EsSA/90) - A diagonal de um quadrado mede 6 cm. O comprimento da diagonal de outro quadrado cuja área é o dobro da área do primeiro é: (A) 6 2 cm (B) 3 2 cm (C) 4 cm (D) 8 cm (E) 10 2 cm 1069 (EsSA/90) - A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles mede 3 2 m. A medida de cada cateto é: (A) 18 m (B) 12 m (C) 9 m (D) 3 m (E) 2 m 1070 (EsSA/90) - As diagonais de um losango medem 6 m e 4 m, respectivamente. Logo, a área desse polígono mede: (A) 10 m 2 (B) 12 m 2 (C) 16 m 2 (D) 24 m 2 (E) 36 m (EsSA/90) - A área de um quadrado inscrito em um círculo mede 32 m 2. Logo o lado de um triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo mede: (A) 19 m (B) 4 3 m (C) 2 3 m (D) 2 2 m (E) 4 2 m 1072 (EsSA/91) - No diagrama abaixo, a região hachurada representa o conjunto: (A) ( A B) C (B) (B C) A (C) (A B) C (D) A (B C) (E) A (B C) 1073 (EsSA/91) - Um estudante gastou 1 do seu 7 5 salário com alimentação. 6 do que sobrou com educação e outras despesas. Restaram, ainda, R$ 286, 34. O seu salário é de: (A) R$ 3.006,20 (B) R$ 4.004,16 (C) R$ 2.004,38 (D) R$ 1.736,40 (E) R$ 2.134, (EsSA/91) - Se o MDC (a, b) = 4, MMC (a, b) = 80 e a + b = 36, então o valor numérico da expressão 2 a b, sendo a > b, é: (A) 24 (B) 16 (C) 20 (D) 36 (E) (EsSA/91) - Racionalizando o denominador da expressão , obtemos: (A) 3 6 (B) (C) (D) 2 3 (E) (EsSA/91) - O valor de x na figura abaixo, onde r //s, é: (A) 36º,15 (B) 2º 30' (C) 34º 15' (D) 36º 15' (E) 36º 1077 (EsSA/91) - Depois polígonos ABCDEF e A'B'C'D'E'F' são semelhantes. Se o perímetro do primeiro é 120 cm e o lado CD mede 10 cm, então o perímetro do segundo, cujo lado C'D', homólogo de CD, mede 4 cm, é: (A) 24 cm (B) 36 cm (C) 48 cm (D) 12 cm (E) 72 cm 1078 (EsSA/91) - Num triângulo retângulo ABC, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 3 cm e 5 cm. Sendo assim, a área deste triângulo é: (A) 4 2 cm 2 (B) 15 cm 2 (C) 24 cm 2 (D) 4 10 cm 2 (E) 3 10 cm (EsSA/91) - Se as medidas dos lados de um triângulo ABC são a = 11 cm, b = 9 cm e c = 4 cm, então a área desse triângulo é: (A) 36 cm 2 (B) 12 2 cm 2 (C) 44 cm2 (D) 7 2 /3 cm 2 (E) 15 3cm (EsSA/91) - O ângulo central de um setor circular mede 120. Se o diâmetro da circunferência SENA Cursos e Concursos ( Página 238

239 mede 12 cm, então a área deste setor circular é, aproximadamente: "Dados = 3,14". (A) 23,45 cm 2 (B) 37,68 cm 2 (C) 43,20 cm 2 (D) 60,30 cm 2 (E) 12,13 cm (EsSA/91) - Considere um hexágono regular numa circunferência de raio R = 8 cm. A área da região do círculo externa ao polígono é, aproximadamente "Dados = 3,14 e 3 = 1,73" (A) 23,14 cm 2 (B) 12,15 cm 2 (C) 47,30 cm 2 (D) 34,88 cm 2 (E) 53,69 cm (EsSA/92) - Simplificando a fração x2 6x+9 x 2 9, encontramos: (A) x+3 x 3 (B) x 2 x+3 (C) x 3 x (D) 1 (E) (EsSA/92) - Sendo m e n raízes da equação x (x 2) = x + 4, o valor de (2 m ) n é: (A) 16 (B) 8 (C) 1 16 (D) 8 (E) (EsSA/92) - Na figura abaixo, o valor de é: (A) 20º (B) 30º (C) 50º (D) 60º (E) 90º 1085 (EsSA/92) - O valor de x no triângulo abaixo é: (A) 18º (B) 36º (C) 54º (D) 60º (E) 90º 1086 (EsSA/92) - Um homem quer saber a altura de um edifício cuja sombra num determinado momento mede 30 m. Sabendo-se que, nesse mesmo momento, esse homem de 1,20 m tem sua sombra de 40 cm, podemos garantir que o edifício mede: (A) 10 m (B) 20 m (C) 50 m (D) 60 m (E) 90 m 1087 (EsSA/92) - Calculando x e y na figura abaixo obtemos, respectivamente: (A) 13 e 6 (B) 15 e 3 (C) 13 e 4 (D) 13 e 3 (E) 20 e (EsSA/92) - A área, em cm 2, de um losango de perímetro 40 cm e que possui uma das diagonais medindo 16 cm mede: (A) 10 (B) 48 (C) 96 (D) 160 (E) (EsSA/92) - O apótema de um hexágono regular de lado 4 m mede: (A) 4 m (B) 4 3 m (C) 2 3 m (D) 8 3 m (E) 2 m 1090 (EsSA/92) - A área da figura a seguir é: (A) 29 (B) 37 (C) 22 (D) 55 (E) (EsSA/93) - Dados o números 0,09 e 0,25 foram calculados suas médias artméticas e geométrica e somados os valores obtidos. A soma encontrada foi: (A) 32 (B) 3,2 (C) 0,32 (D) 0,0032 (E) 0, (EsSA/93) - Um capital aplicado a juros simples de 10% ao mês, no final de 45 dias elevou-se a R$ ,00. O valor do capital inicial era: (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ , (EsSA/93) - Marcelo resolveu corretamente 90% das questões de uma prova e André 70%. Se nenhuma questão da prova ficou sem ser resolvida pelo menos por um deles, e 18 delas foram resolvidas corretamente pelos dois, podemos concluir que a prova constava de: (A) 148 questões (B) 100 questões (C) 50 questões (D) 30 questões SENA Cursos e Concursos ( Página 239

240 (E) 20 questões 1094 (EsSA/93) - Num losango de 8 cm de perímetro, os ângulos internos obtusos são o dobro dos ângulos internos agudos. A área do losango mede: (A) 2 2 cm2 (B) 3 cm 2 (C) 2 3 cm 2 (D) 4 3 cm 2 (E) 3 3 cm (EsSA/93) - Dois triângulos equiláteros têm áreas medindo respectivamente 16 3cm 2 e 64 3cm 2. A razão entre suas alturas é: (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) 3 4 (E) (EsSA/93) - A distância entre dois pontos paralelos de um hexágono regular inscrito num círculo é definida por (a + 2) 3 m. Assim sendo, o raio desse círculo tem por expressão: (A) a 3m (B) (a + 2)m (C) 2 3 m (a+2) 3 (D) m 2 (E) a+2 2 m 1097 (EsSA/93) - Num triângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm, 13 cm, o comprimento da altura relativa ao lado maior é aproximadamente: (A) 4,0 cm (B) 4,2 cm (C) 4,4 cm (D) 4,6 cm (E) 4,8 cm 1098 (EsSA/93) - Dois triângulos são semelhantes. Os lados do primeiro medem 6 cm, 8,5 cm e 12, 5 cm e o perímetro do segundo mede 81 cm. O maior lado do segundo mede: (A) 15,75 cm (B) 25 cm (C) 37,5 cm (D) 50 cm (E) 62,5 cm 1099 (EsSA/93) - No trapézio abaixo o valor de x para que o seu perímetro seja igual a 36 é: (A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 4 (E) (EsSA/94) - Um número é formado por três algarismos, cuja soma é 15. O algarismo das dezenas é o triplo do algarismo das unidades e o algarismo das centenas é o sucessor do algarismo das dezenas. Esse número é: (A) 276 (B) 267 (C) 726 (D) 762 (E) (EsSA/94) - Duas equações do 1º grau, com um mesmo conjunto universo, são equivalentes quando tiverem o mesmo conjunto verdade. Supondo em todos os casos o conjunto dos racionais como conjunto universo, dentre os pares seguintes, o de equações equivalentes é: (A) 3x + 2 = -1 e 7x + 8 = 1 (B) x + 5 = 0 e 3x = 15 (C) 5x 8 = 0 e 2x + 4 = 0 (D) 5x 8 = 0 e 5x = -8 (E) 2x 6 = 0 e 2x = (EsSA/94) - Sejam S e P, respectivamente, a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau. Então a equação pode ser escrita: (A) x 2 Sx P = 0 (B) x 2 Sx +P = 0 (C) x 2 + Sx + P = 0 (D) x 2 + Sx P = 0 (E) x 2 + Px S = (EsSA/94) - Calculando x na figura dos quadrados abaixo, encontramos: (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 3 (E) (EsSA/94) - Quando duas retas paralelas coplanares r e s são cortadas por uma transversal t, elas formam: (A) ângulos alternos externos suplementares (B) ângulos colaterais internos complementares. (C) ângulos alternos externos congruentes. (D) ângulos alternos internos suplementares. (E) ângulos correpondentes suplementares (EsSA/94) - Seja um paralelogramo, cujo perímetro é 80 cm e o lado menor é 3/5 de medida do lado maior. Os lados do paralelogramo são: SENA Cursos e Concursos ( Página 240

241 (A) 25 e 15 (B) 28 e 12 (C) 24 e 16 (D) 30 e 10 (E) 22 e (EsSA/94) - A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Num triângulo, as medidas desses ângulos são diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 2, respectivamente. Então, os ângulos desse triângulo medem, em graus: (A) 100, 50 e 30 (B) 60, 70 e 50 (C) 60, 80 e 40 (D) 60, 90 e 30 (E) 50, 90 e (EsSA/95) - "TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS, QUANDO EU TINHA A IDADE QUE TU TENS". O trecho acima constitui o início do enunciado de um dos problemas mais interessantes da Álgebra elementar. Coloque-se na posição da pessoa que está fazendo tal afirmação: indique a sua idade pela incógnita x e a idade da outra por y. Uma equação que traduz algebricamente o trecho dado é: (A) x 2y = 0 (B) 2x y = 0 (C) 3x 2y = 0 (D) 2x 3y = 0 (E) 3x 4y = (EsSA/95) - O critério de correção de um teste estipulativa que seria atribuido 5 pontos a cada item com resposta certa e seriam retirados 3 pontos por item com resposta errada; itens deixados em brnaco não seriam computados. Um candidato respondeu a 42 itens e obteve 106 pontos. Se, nas questões feitas, houvesse errado o dobro dos itens que errou, teria obtido: (A) 2 pontos (B) 18 pontos (C) 34 pontos (D) 50 pontos (E) 66 pontos 1109 (EsSA/95) - Na fatoração do polinômio x 2 + y 2 2xy x + y, um dos fatores é: (A) x y 1 (B) x + y (C) x + y 1 (D) x y + 1 (E) x + y (EsSA/95) - No polinômio regular ABCDE..., o número de diagonais é o triplo do número de lados. Nesse polígono, o ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno. Â com a mediatriz do lado BC mede: (A) 10 (B) 20 (C) 40 (D) 60 (E) (EsSA/95) - Um triângulo retângulo está inscrito em um círculo e seu cateto maior, que corresponde ao lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo, mede 4 3 cm. A altura desse triângulo em relação à hipotenusa mede: (A) 3 3 cm (B) 2 3 cm (C) 3 cm (D) 4 cm (E) 2 cm 1112 (EsSA/95) - Dois círculos são concêntricos e o raio do menor mede 6 cm. Uma corda do círculo maior que tangencie a circunferência do círculo menor tem mesma medida que o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo maior. A área desse triângulo em cm 2 é: (A) 9 3 cm (B) 27 3 cm (C) 36 3 cm (D) 81 3 cm (E) cm 1113 (EsSA/95) - Um estudante possui uma economia que corresponde a 1/6 do valor dos equipamentos que precisa para o seu microcomputador. Se acrescentar 630 dólares, passa a ter uma quantia, em dólares que corresponde a ¾ do valor das suas necessidades. Desse modo, para que ele possa comprar tudo o que precisa e ainda ficar com uma reserva de 100 dólares, o estudante deve ter: (A) 840 dólares (B) 940 dólares (C) 980 dólares (D) dólares (E) 1180 dólares 1114 (EsSA/95) - O complementar de ¾ de 79º 35'48" mede: (A) 7º 48'9" (B) 16º 7'44" (C) 30º 18'9" (D) 30º 48'52" (E) 73º 52'16" 1115 (EsSA/96) - Uma fábrica de doces distribui certo tipo de balas em pacotes de 2 kg, que contém 250 balas iguais. Qual é o peso de 15 dessas balas? (A) 12 g (B) 1,2 kg (C) 120 cg (D) 12 dag (E) 1200 mg 1116 (EsSA/96) - O valor da expressão 5a 2 b 3 para a = -2 e b = -1 é: SENA Cursos e Concursos ( Página 241

242 (A) 43 (B) 21 (C) 19 (D) 17 (E) (EsSA/96) - A expressão (a + b) 2.(a b) 2 é equivalente a: (A) a 4 b 4 (B) a 4 + b 4 (C) a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 (D) a 4 2a 2 b 2 + b 4 (E) a 4 2a 2 b 2 b (EsSA/96) - Numa carpintaria empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é de: (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) (EsSA/96) - Uma área retangular de 12 hm 2 vai ser loteada de acordo com um projeto de urbanização, que destina a quarta parte dessa área para ruas internas no loteamento. A parte restante está dividia em 200 lotes iguais retangulares, com comprimento igual ao dobro da largura. O perímetro em metros de cada lote será de: (A) 450 (B) 225 (C) 120 (D) 90 (E) (EsSA/96) - Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo. Se o arco AMB mede 130º. o ângulo mede: (A) 25º (B) 30º (C) 40º (D) 45º (E) 50º 1121 (EsSA/97) - Na venda de um objeto que custou R$ 240,00. obtive um lucro de 25% sobre o preço de venda. O objeto foi vendido por. (A) R$ 440,00 (B) R$ 400,00 (C) R$ 360,00 (D) R$ 320,00 (E) R$ 500, (EsSA/97) - Sendo U = IN, o Conjunto Verdade da inequação 8-3x > 2 é: (A) V = Ф (B) V= { 0, 1, 2} (C) V={0, 1} (D) V = {... -1, 0, 1, 2} (E) V ={1, 2 } 1123 (EsSA/97) - Sendo x 1 e x 2 as raízes da equação (x-3) 2 + (x-1) (x-3) = O, admitindo-se U = IR, então x 1 + x 2 é: (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12 (E) (EsSA/97) - O maior número inteiro que satisfaz a inequação x/4 x/3 >1/12 sendo U = IR é: (A)1 (B) -2 (C) 0 (D) 1 (E) (EsSA/97) - A soma de dois números naturais consecutivos é 11. O produto desses números é: (A) 13 (B) 22 (C) 30 (D) 9 (E) (EsSA/97) - O perímetro de um quadrado inscrito em uma circunferência de 10 2 cm de comprimento é: (A) 5cm (B) 40cm (C) 15cm (D) 20 crn (E) 25cm 1127 (EsSA/97) - Sabendo-se que o raio do semicírculo de centro O que contém os pontos A e B é 1/ cm, então a área do semicírculo de diâmetro OB e: (A) 1/ cm 2 (B) 1/2 cm 2 (C) 1/4 cm 2 (D) 1/6 cm 2 (E) 1/8 cm (EsSA/97) - Dois ângulos adjacentes a e b, medem respectivamente, 1/5 do seu complemento e 1/9 do seu suplemento. Assim sendo, a medida do ângulo formado por suas bissetrizes é: (A) 80º 30' (B) 74º 30 (C) 35º 30' (D) 24º 30' (E) 16º 30' 1129 (EsSA/98) - Quando o açúcar custava R$ 1,20 o quilo, seu preço representava 40% do preço de um quilo de café. Assim sendo o quilo do café, nesta época, custava: (A) R$ 3,50 (B) R$ 3,40 (C) R$ 3,30 (D) R$ 3,20 (E) R$ 3, (EsSA/98) - Os comprimentos de dois postes estão entre si assim como 3 está para 5. Sabendo-se que o menor deles mede 6 metros, então o maior mede: (A) 12 m (B) 18 m (C) 10 m (D) 15 m (E) 20 m SENA Cursos e Concursos ( Página 242

243 1131 (EsSA/98) - A razão entre as idades de um pai e seu filho é 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu, a idade do filho é: (A) 14 anos (B) 16 anos (C) 24 anos (D) 28 anos (E) 35 anos 1132 (EsSA/98) - Uma escada medindo 4m tem umas de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é: (A) 2,3 m (B) 3,0m (C) 3,2 m (D) 3,4m (E) 3, (EsSA/99) - Três rolos de fio medem, respectivamente, 24m, 84m, 90m, Eles foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então, o comprimento de cada pedaço é: (A) 8m (B) 3m (C) 6m (D) 2m (E) 4m 1134 (EsSA/99) - Num exame de vestibular, a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 3 para 8. Sabendo que há candidatos inscritos, o número de vagas é: (A) (B) (C) (D) (E) (EsSA/99) - A seleção brasileira marcou 15 gols na Copa do Mundo, 12 dos quais foram feitos pelo Capitão do time. A porcentagem de gols marcados pelo capitão do time é: (A) 60% (B) 70% (C) 80% (D) 15% (E) 12% 1136 (EsSA/99) - Um tanque de água de 4m de comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade está cheio de sua capacidade. Então quantos metros cúbicos ainda cabem de água: (A) 22m 3 (B) 40m 3 (C) 16m (D) 8m 3 (E) 24m 1137 (EsSA/2000) - A transformação de 9º em segundos é: (A) 540 (B) (C) (D) 3600 (E) (EsSA/2000) - Determine o número cuja soma de sua metade, seu triplo e sua quinta parte com 26 é igual ao quíntuplo do próprio número: (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) (EsSA/2000) - Uma indústria importou vinho estrangeiro em 20 barris de 160 litros cada. Calcule o número necessário de garrafas com capacidade de 800 cm 3 para colocar todo o vinho importado: (A) 1000 (B) 2000 (C) 3000 (D) 4000 (E) (EsSA/2000) - Assinale a alternativa que apresenta uma equação equivalente a x + 4 = 6 : (A) 5x= 10 (B) x + 6 = 3 (C) x = 1 (D) 2x = 3 (E) 8x + 12 = (EsSA/2000) - Calcule o valor da expressão 2x 3 + y 2 + 4, sendo x=2 e y = -3 : (A) 09 (B) 19 (C) 29 (D) 39 (E) (EsSA/2000) - Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam dois ângulos alternos externos cujas medidas são a = 2x +57º e b = 5x + 12º. Calcule, em graus, as medidas de a e b : (A) a = 70º e b = 70º (B) a = 60º e b = 60º (C) a = 78º e b = 78º (D) a = 87º e b = 87º (E) a = 93º e b = 93º 1143 (EsSA/2000) - Num triângulo retângulo os ângulos agudos são a = 2x 5º e b = 3x 10º. Determine a, b: (A) a = 37º e b = 53º (B) a = 47º e b = 43º (C) a = 57º e b = 33º (D) a = 27º e b = 63º (E) a = 17º e b = 73º 1144 (EsSA/2001) - Determine a medida do raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm e assinale a resposta correta: (A) r = 2 (B) r = (C) r = 1, 56 (D) r = 1 (E) r = (EsSA/2001) - Um elevador pode carregar, no máximo 450 kg. Devem ser transportadas 50 pessoas de 70 kg. Qual o número mínimo de viagens? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) (EsSA/2001) - Em uma creche são consumidos 15 litros de leite por dia. O leite chega à creche em caixas de 1/3 de litro. Sabe-se que todas as crianças da creche tomam leite; 17 delas tomam 2 caixas por dia e as demais, uma caixa por dia. Sendo assim, temos que o número de crianças dessa creche é um número: (A) primo (B) divisível por 3 SENA Cursos e Concursos ( Página 243

244 (C) divisível por 5 (D) múltiplo de 7 (E) com 4 divisores 1147 (EsSA/2001) - O tempo que se gasta para ir de uma cidade A para uma cidade B, com uma velocidade média de 90 km/h é de 2 horas a menos do que o tempo que se gasta a uma velocidade média de 75 km/h. A distância entre as cidades A e B é de: A reta r é paralela à reta s, então o valor de é: (A) 900 km (B) 600 km (C) 300 km (D) 100 km (E) 30 km 1148 (EsSA/2001) - A forma fatorada de um número natural x é e a forma fatorada de um número natural y é Então, podemos afirmar que o MDC de (x,y) é: (A) 102 (B) 120 (C) 840 (D) 3600 (E) (EsSA/2001) - O polígono cujo número de diagonais excede de 42 o número de lados é o: (A) Hexágono (B) Octógono (C) Eneágono (D) Decágono (E) Dodecágono 1150 (EsSA/2002) - Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhando-se 10 horas por dia? (A) 7 dias (B) 6 dias (C) 5 dias (D) 4 dias (E) 3 dias (EsSA/2002) - Seja ABCDE... um polígono regular convexo onde as mediatrizes dos lados AB e CD formam um ângulo de 30º. Sendo assim, temos que o número de diagonais desse polígono é igual a: (A) 252 (B) 251 (C) 250 (D) 249 (E) (EsSA/2002) - A expressão algébrica X 2 Y 2 Z 2 + 2YZ + X + Y Z admite como fator: (A) X + Y + Z + 1; (B) X Y Z + 1; (C) X + Y Z +1; (D) X Y + Z + 1; (E) X + Y + Z (EsSA/2002) - Dos 800 sargentos formados pela EsSA a cada ano, 5% pedem para sair do Exército ao completarem 5 anos de serviço. Então, a quantidade de sargentos formados pela EsSA após 12 anos e que ainda estão em atividade é: (A) 9600 (B) 9460 (C) 9280 (D) 9120 (E) (EsSA/2002) - Duas pessoas, fazendo seus exercícios diários, partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e dá uma volta completa na pista em 12 minutos, enquanto a outra leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida? (A) 40 minutos (B) 50 minutos (C) 60 minutos (D) 70 minutos (E) 90 minutos (EsSA/2002) - Numa circunferência, uma corda de 60 cm tem uma flecha de 10cm. O diâmetro da circunferência mede: (A) 50 cm (B) 100 cm (C) 120 cm (D) 180 cm (E) 200 cm (EsSA/2002) - A soma dos inversos das raízes da equação x² - 36x = 0 é: (A) 1/5 (B) 1/6 (C) 1/30 (D) 1/36 (E) 2/ (EsSA/2002) - Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10 dias perceberam que só haviam realizado 2/5 da obra. Se o grupo for reforçado com mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levarão para concluir a obra? (A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 9 (E) (EsSA/2003) - O Exército Brasileiro foi chamado para auxiliar no combate à Dengue. O Sargento Nilton recebeu um grupo de soldados, e a missão de distribuí-los nos bairros de uma cidade. Observou então, que se enviasse 12 soldados para cada bairro, sobrariam 4 soldados, e que se enviasse 16 soldados para cada bairro, 3 bairros não receberiam soldado algum. O número de soldados recebidos pelo Sargento Nilson é: (A) 192 (B) 128 (C) 144 (D) 176 (E) (EsSA/2003) - Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicação ao longo de três rodovias distintas, que medem 450km, 330km e 300km. Para facilitar sua localização, decidiu-se instalar as torres mantendo, entre elas, sempre as mesmas distâncias nas três rodovias. Foi utilizada a maior distância possível, e elas foram instaladas a partir do quilômetro zero de cada rodovia. O número de torres instaladas nas rodovias foi: SENA Cursos e Concursos ( Página 244

245 (A) 35 (B) 38 (C) 37 (D) 39 (E) (EsSA/2003) - O suplemento do ângulo 45º17 27 foi dividido em três partes iguais. A medida de cada parte é: (A) 22º54 41 (B) 44º54 11 (C) 54º44 33 (D) 34º42 33 (E) 11º (EsSA/2003) - Numa determinada escola, onde 40% dos alunos são do sexo masculino, foi feita uma pesquisa sobre conhecimento na área de informática, com o seguinte resultado: 18% dos alunos não têm conhecimento na área de informática. 30% dos alunos, do sexo masculino, não têm conhecimento na área de informática. Pode-se concluir, portanto, que a razão entre a quantidade de alunas desta escola que não têm e as que têm conhecimento na área de informática é: (A) 1/5 (B) 1/9 (C) 1/4 (D) 1/6 (E) 1/ (EsSA/2003) - Na figura abaixo, a medida do segmento AB é 12cm, e a do segmento CD é 8cm. Logo a medida do segmento EF é: (A) 29/5cm (B) 30/5cm (C) 20/5cm (D) 24/5cm (E) 25/5cm 1163 (EsSA/2003) - Numa lanchonete, o refrigerante é vendido em copos descartáveis de 300ml por R$ 1,35, e de 500ml por 1,80. Ao se comparar o preço do refrigerante no copo de 500ml em relação ao de 300ml. Conclui-se que é: (A) 20% menor (B) 20% maior (C) 30% maior (D) 30% menor (E) Igual 1164 (EsSA/2004) - Numa fábrica, trabalhadores reuniram-se para presentear um amigo que iria se casar. O presente escolhido foi a quantia de R$ 900,00, que seria dividida igualmente entre eles. Por razões particulares, dois daqueles trabalhadores retiraram seus nomes da lista e, por isso, decidiu-se diminuir a quantia para R$ 888,00, de modo que na nova divisão coubesse a cada participante a mesma cota de antes da saída dos dois colegas. Com isso, coube a cada um dos participantes a quantia de: (A) R$ 4,00 (B) R$ 6,00 (C) R$ 9,00 (D) R$ 10,00 (E) R$ 12, (EsSA/2004) - José se deslocou entre as cidades A e B três vezes pelo mesmo caminho, utilizando, em cada uma das vezes, um meio de transporte diferente. Na primeira vez foi de carro, com uma velocidade média de 60 Km/h. Na segunda vez foi de bicicleta, com velocidade média de 30km/h, e na terceira vez foi de moto, com velocidade média de 40Km/h. Sabendo que a soma dos tempos gastos nos três deslocamentos foi igual a 45 horas, o tempo gasto em cada um dos deslocamentos foi respectivamente. (A) 11h:22h e 12h (B) 12,5h:25h e 7,5h (C) 10h:20h e 15h (D) 12h:24h e 9h (E) 10,5h:21h e 13,5h 1166 (EsSA/2004) - Um festival de música lotou uma praça semicircular de 200m de diâmetro. Admitindo-se uma ocupação média de 3 (três) pessoas por m 2, qual é o número mais aproximado de pessoas presentes? (adote π =3,14) (A) (B) (C) (D) (E) (EsSA/2004) - A partir de ponto exterior a uma circunferência, é traçado um segmento secante de 32 cm, que determina, nesta circunferência, uma corda de 30 cm.. Quanto mede, em centímetros, o segmento tangente traçado do mesmo ponto? (A) 15 (B) 4 15 (C) 8 (D) 8 15 (E) (EsSA/2004) - Sendo x=19 e y=81, então a expressão (x+y) 2 + x 2 y 2 +2x é divisível por: (A) 2, 19 e 81 (B) 2, 19 e 101 (C) 2, 81 e 100 (D) 19, 100 e 101 (E) 81, 100 e (EsSA/2004) - A soma dos lados de um triângulo ABC é 140cm. A bissetriz interna do ângulo A divide o segmento oposto BC em dois outros segmentos: 20 cm e 36 cm. As medidas dos lados AB e AC são, respectivamente: (A) 42cm e 42cm (B) 60cm e 24cm (C) 34cm e 50cm (D) 32cm e 52cm (E) 30cm e 54cm 1170 (EsSA/2004) - Considerando um sistema de duas equações com duas incógnitas, assinale a alternativa correta. (A) Se as equações são representadas por uma mesma reta, então o sistema é determinado. SENA Cursos e Concursos ( Página 245

246 (B) Se as equações são representadas por retas paralelas, então o sistema é indeterminado. (C) Se as equações são representadas por retas concorrentes, então o sistema é indeterminado. (D) Se as equações são representadas por retas coincidentes, então o sistema é indeterminado. (E) Se as equações são representadas por retas concorrentes, então o sistema é impossível (EsSA/2004) - Um triângulo ABC tem área igual a 75cm2. Os pontos D, E, F e G dividem o lado AC em 5 partes congruentes: AD=DE=EFG=GC. Desse modo, a área do triângulo BDF é: (A) 20cm 2 (B) 30 cm 2 (C) 40 cm 2 (D) 50 cm 2 (E) 55 cm (EsSA/2006) - Uma certa federação Estadual de Futebol resolveu fazer uma promoção para levar as famílias aos estádios em dias de jogos do campeonato estadual. Dessa maneira, um adulto sozinho paga R$ 20,00 pelo ingresso individual e um casal paga R$ 30,00 pelo ingresso familiar, com direito a levar uma criança. No jogo entre A e B compareceram pessoas e foram vendidos ingressos familiares, obtendo-se uma renda de R$ ,00. Neste jogo, alguns casais não levaram crianças e não houve criança que pagou ingresso adulto. Pode-se afirmar que o total de crianças que assistiram ao jogo é: (A) 500 (B) (C) 600 (D) 700 (E) (EsSA/2006) - O tempo necessário para que um capital, aplicado em juros simples à taxa de 20% a.a., triplica de valor é, em anos: (A) 25 (B) 15 (C) 10 (D) 20 (E) (EsSA/2006) - Num barril há 12 litros de vinho e 18 litros de água. Num 2º barril há 9 litros de vinho e 3 litros de água. Sabendo-se que todas as misturas são homogêneas. As quantidades, em litros, que devemos retirar, respectivamente, dos 1º e 2º barris, para que juntas perfaçam 14 litros, sendo 7 de água e 7 de vinho, são: (A) 8 e 6 (B) 10 e 4 (C) 7 e 7 (D) 9 e 5 (E) 5 e (EsSA/2006) - O ângulo convexo formado pelos ponteiros de um relógio às 14h25min é igual a: (A) 86º30 (B) 46º30 (C) 77º30 (D) 89º60 (E) 12º (EsSA/2006) - O único valor de x que verifica a equação, na incógnita x, (x 2) 2 + (x + 1).(x 1) = 2(x + 5) 2 167, é divisor de: (A) 54 (B) 12 (C) 97 (D) 33 (E) (EsSA/2006) - Dividindo-se o número x por 5 obtém-se resto 2. Dividindo-se o número y por 5 obtém-se resto 4. O menor número inteiro, não negativo, que se deve somar a x5, y 5 para se obter um múltiplo de 5 é: (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 2 (E) (EsSA/2007) - Em uma determinada loja, uma televisão custa R$ 750,00 à vista. Se for paga em cinco prestações mensais, o valor da televisão passará a custar R$ 900,00. Nestas condições qual será a taxa de juros simples mensal cobrada pela loja? (A) 8% (B) 4% (C) 6% (D) 7% (E) 5% 1179 (EsSA/2007) Se um polígono regulaar é tal que a medida de um ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo, o número de lados desse polígono é: (A) 12 (B) 9 (C) 6 (D) 4 (E) (EsSA/2007) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo é aumentada em: (A) 3,8% (B) 4% (C) 38% (D) 35% (E) 3,5% 1181 (EsSA/2007) Em uma unidade do Exército, a soma do efetivo formado por soldados e cabos é 65. Em um determinado dia 15 soldados não compareceram ao expediente. Em consequência dessas faltas o efetivo de cabos ficou igual a de soldados presentes naquele dia. Qual é o mínimo múltiplo comum entre o número total de soldados e cabos desta unidade militar? (A) 280 (B) 260 (C) 200 (D) 240 (E) (EsSA/2007) Se um ponto P pertencente a um dos lados de um ângulo de 60º, distante 4,2 do vértice. Qual é a distância deste ponto à bissetriz do ângulo? (A) 2,2 (B) 2,1 (C) 2,0 (D) 2,3 (E) 2, (EsSA/2007) Sejam três conjuntos A, B, e C, Sabe-se que o número de elementos do conjunto A é 23; o número de elementos do conjunto de (B C) é 7 e o número de elementos de (A B C) é 5. O número de elementos de (A B) (A C) é: (A) 21 (B) 25 (C) 30 (D) 23 (E) 27 SENA Cursos e Concursos ( Página 246

247 1184 (EsSA/2007) Considere um polígono regular ABCEDEF...Sabe-se que as mediatrizes dos lados AB e CD formam um ângulo de 20º e sua região correspondente cont rm os vértices B e C do polígono. Assim sendo, quantas diagonais deste polígono passam pelo centro, dado que o seu número de vértices é maior que seis? (A) 17 (B) 15 (C) 16 (D) 18 (E) (EsSA/2007) Se decompusermos em fatores primos o produto dos números naturais de 1 a 200 e escrevermos os fatores comuns em uma [única base, o expoente do fator 5 será: (A) 46 (B) 49 (C) 48 (D) 45 (E) (EsSA/2008) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repeti-los, podemos escrever x números de 4 algarismos, maiores que O valor de x é: (A) 210 (B) 228 (C) 240 (D) 300 (E) (EsSA/2008) A pirâmide de Quéops, em Gizé, no Egito, tem aproximadamente 90 2 metros de altura, possui uma base quadrada e suas faces laterais são triângulos equiláteros. Nessas condições, pode-se afirmar que, em metros, cada uma de suas arestas mede: (A) 90 (B) 120 (C) 160 (D) 180 (E) (EsSA/2008) As equações: (x + 1) 2 + (y 4) 2 = 64 e (x 4) 2 + (y + 8) 2 = 25 representam duas circunferências cuja posição relativa no plano permite afirmar que são: (A) interiores (sem ponto de intersecção). (B) tangentes interiores. (C) secantes. (D) tangentes exteriores. (E) exteriores (sem ponto de intersecção) (EsSA/2008) Uma loja de eletrodomésticos paga, pela aquisição de certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5 % de imposto e 3 % de frete, ambos os percentuais calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 25 %. Então, o valor de x é: (A) R$ 36,00 (B) R$ 38,00 (C) R$ 40,00 (D) R$ 41,80 (E) R$ 42, (EsSA/2008) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? (A) 100 (B) 120 (C) 140 (D) 160 (E) (EsSA/2008) A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos (1,1), (1,3) e (2,3) é: (A) (B) (C) (D) (E) (EsSA/2008) A média aritmética das notas de Matemática em uma turma de 25 alunos em um dos doze Colégios Militares existentes no Brasil diminui em 0,1, se alterarmos uma das notas para 6,8. A referida nota sem ser alterada é: (A) 4,3 (B) 8,8 (C) 4,8 (D) 9,3 (E) 9, (EsSA/2008) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x 30 por Q(x) = x 2 é igual a 44, então n é igual a: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) (EsSA/2008) O valor de x tal que: x = 330 é: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 12 (E) (EsSA/2008) Um quadrado e um retângulo têm a mesma área. Os lados do retângulo são expressos por números naturais consecutivos, enquanto que o quadrado tem 2 5 centímetros de lado. Assim, o perímetro, em centímetros, do retângulo é: (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) (EsSA/2008) As diagonais de um losango medem 48cm e 33cm. Se a medida da diagonal maior diminuir 4cm, então, para que a área permaneça a mesma, deve-se aumentar a medida da diagonal menor de: (A) 3cm (B) 5 cm (C) 6 cm (D) 8 cm (E) 9 cm 1197 (EsSA/2008) A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas por um atleta é 1:2:4, respectivamente. Se ele disputar 77 competições e ganhar medalhas em todas elas, quantas medalhas de bronze ele ganhará? (A) 55 (B) 33 (C) 44 (D) 22 (E) (EsSA/2009) Carlos é o caixa da bilheteria do cinema da cidade. Os ingressos custam R$ 8,00 sendo que algumas pessoas como estudantes, idosos e pessoas conveniadas ao cinema pagam a metade do valor.ontem Carlos esqueceu de macar o valor que cada pessoa pagou, mas ele sabe que 120 pessoas pagaram pela sessão e arrecadou um total de R$ 760,00. O número de pessoas que pagou meia entrada foi: SENA Cursos e Concursos ( Página 247

248 (A) 70 (B) 50 (C) 40 (D) 80 (E) (EsSA/2009) Um cliente comprou um imóvel no valor de R$ ,00 tendo pago como sinal R$ ,00 no ato da compra. Orestante deverá ser pago em 24 prestações mensais iguais e consecutivas. Sabendo-se que a primeira pretação será paga um após a compra e que o juro composto é de 10% ao ano, o valor total em reais pago pelo imóvel, incluindo o sinal será de: (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,30 (E) R$ , (EsSA/2009) A altura de um prisma hexagonal regular é de 5 m. Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma em m 3 é: (A) (B) (C) (D) (E) (EsSA/2010) Em uma escola com 500 alunos, foi realizada uma pesquisa para determinar a tipagem sanguínea destes. Observou-se que 115 tinham o antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não possuíam nenhum dos dois. Escolhendo ao acaso um destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB, isto é, possua os dois antígenos, é (A) 15% (B) 23% (C) 30% (D) 45% (E) 47% 1202 (EsSA/2010) A medida do raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 16 e 36 é um número (A) Primo (B) Par (C) Irracional (D) Múltiplo de 5 (E) Múltiplo de (EsSA/2010) Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se afirmar que x é um número: (A) Irracional. (B) Divisor de 8. (C) Múltiplo de 3. (D) Menor que 1. (E) Maior que (EsSA/2010) O número mínimo de termos que deve ter a PA (73, 69, 65, ) para que a soma de seus termos seja negativa é (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 37 (E) (EsSA/2010) Numa sala de aula, a média das idades dos 50 alunos era de 22,5 anos. No cálculo da média, foram consideradas idades com anos completos. Transcorridas algumas semanas, houve a desistência de um aluno e a média das idades caiu para 22 anos. Considerando-se que nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, então a idade do aluno que desistiu é igual a: (A) 47 anos. (B) 45 anos. (C) 37 anos. (D) 35 anos. (E) 27 anos (EsSA/2010) Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando cédulas de um, dez e vinte reais, num total de 49 cédulas, de modo que a diferença entre as quantidades de cédulas de dez e de um real seja igual a nove unidades. Nesse caso, a quantidade de cédulas de vinte reais de que a pessoa precisará será igual a: (A) 10 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) (EsSA/2010) O capital de R$ 360,00 foi dividido em duas partes, A e B. A quantia A rendeu em 6 meses o mesmo que a quantia B rendeu em 3 meses, ambos aplicados à mesma taxa no regime de juros simples. Nessas condições, pode-se afirmar que: (A) A = B (B) A = 2B (C) B = 2A (D) A = 3B (E) B = 3A 1208 (EsSA/2010) O valor de k real, para que o Sistema seja possível e determinado, é: (A) k 1 2 (B) k = 1 2 (C) k 1 6 (D) k 3 2 SENA Cursos e Concursos ( Página 248

249 (E) k (EsSA/2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p(x) = x³ 11x² + 26x 16, e que a > b. Nessas condições, o valor de ab+ logb a é: (A) 49 3 (B) 49 3 (C) 67 (D) 64 (E) (EsSA/2010) Seja a reta r de equação 5x 2y 11 = 0. A equação da reta s, paralela a r, que contém o ponto F = (3, 1) é: (A) 5x 2y + 17 = 0 (B) 2x 5y + 17 = 0 (C) 5x + 2y + 17 = 0 (D) 5x 2y 17 = 0 (E) 2x + 5y +17 = (EsSA/2011) Em uma turma a média aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total de alunos da turma é: (A) 4. (B) 8. (C) 12. (D) 16. (E) (EsSA/2011) Para que as retas de equações 2x ky = 3 e 3x + 4y = 1 sejam perpendiculares, deve-se ter: (A) k= 3/2. (B) k= 2/3. (C) k= -1/3. (D) k= -3/2. (E) k= (EsSA/2011) Um terreno de forma triangular tem frentes de 20 metros e 40 metros, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 60º. Admitindo-se, a medida do perímetro do terreno, em metros, é: (A) 94. (B) 93. (C) 92. (D) 91. (E) (EsSA/2011) Para que as retas de equações 2x ky = 3 e 3x + 4y = 1 sejam perpendiculares, deve-se ter: (D) k= -3/2. (E) k= (EsSA/2011) Um terreno de forma triangular tem frentes de 20 metros e 40 metros, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 60º. Admitindo-se, a medida do perímetro do terreno, em metros, é (A) 94. (B) 93. (C) 92. (D) 91. (E) (EsSA/2011) A média aritmética de n números é 29. Retirando-se o número 12 a média aumenta para 30. Podemos afirmar que o valor de n será: (A) 17. (B) 11. (C) 42. (D) 41. (E) (EsSA/2011) Um par de coturnos custa na loja Só Fardas R$ 21,00 mais barato que na loja Selva Brasil. O gerente da loja Selva Brasil, observando essa diferença, oferece um desconto de 15% para que o seu preço iguale o de seu concorrente. O preço do par de coturnos, em reais, na loja Só Fardas é um número cuja soma dos algarismos é: (A) 9. (B) 11. (C) 10. (D) 13. (E) (EsSA/2011) Três amigos, Abel, Bruno e Carlos, juntos possuem um total de 555 figurinhas. Sabe-se que Abel possui o triplo de Bruno menos 25 figurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos mais 10 figurinhas. Desses amigos, o que possui mais tem: (A) 250 figurinhas. (B) 365 figurinhas. (C) 275 figurinhas. (D) 325 figurinhas. (E) 300 figurinhas (EsSA/2011) Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º quadrante do sistema cartesiano. Os pontos A(5,1) e B(8,3) são vértices consecutivos desse quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C, oposto a ele, é: (A) 13 (B) 2 13 (C) 26 (D) 13 (E) 26 (A) k= 3/2. (B) k= 2/3. (C) k= -1/ (EsSA/2011) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido. Esse tanque está SENA Cursos e Concursos ( Página 249

250 completamente cheio com 8dm³ de água e 56dm³ de petróleo. Petróleo e água não se misturam, ficando o petróleo na parte superior do tanque e a água na parte inferior. Sabendo que o tanque tem 12m de profundidade, a altura da camada de petróleo é: (A) 10m (B) 9m (C) 8m. (D) 7m. (E) 6m (EsSA/2011) A reta y=mx+2 é tangente à circunferência de equação (x-4)² +y² =4. A soma dos possíveis valores de m é: (A) 0 (B) 4/3 (C) 4/3 (D) 3/4. (E) (EsSA/2011) Um agricultor colheu dez mil sacas de soja durante uma safra. Naquele momento a soja era vendida a R$ 40,00 a saca. Como a expectativa do mercado era do aumento de preços, ele decidiu guardar a produção e tomar um empréstimo no mesmo valor que obteria se vendesse toda a sua produção, a juros compostos de 10% ao ano. Dois anos depois, ele vendeu a soja a R$ 50,00 a saca e quitou a dívida. Com essa operação ele obteve: (A) prejuízo de R$ ,00. (B) lucro de R$ ,00. (C) prejuízo de R$ ,00. (D) lucro de R$ ,00. (E) lucro de R$ , (EsSA/2011) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos a uma taxa de 44% a.a.. Se o prazo de capitalização foi de 180 dias, o montante gerado será de: (A) R$ 1.440,00. (B) R$ 1.240,00. (C) R$ 1.680,00. (D) R$ 1.200,00. (E) R$ 1.480, (EsSA/2011) Seja AB um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC, retângulo em A, com A(1;1) e B(5;1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C, sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante? (A) (5;5) (B) (1;5) (C) (4;4) (D) (1;4) (E) (4;5) 1225 (EsSA/2012) Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a: (A) 15 (B) 21 (C) 25. (D) 29 (E) (EsSA/2012) Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é: (A) 336 (B) 512 (C) (D) (E) (EsSA/2012) Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por: (A) 6 (B) 9 (C) 18 (D) 29 (E) (EsSA/2012) Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, quantas questões ele acertou? (A) 14 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) (EsSA/2012) Assinale a alternativa que represente o tempo necessário para que uma pessoa que aplicou R$ 2.000,00, à taxa de 10% ao ano, receba R$ 662,00 de juros. (A) 36 meses (B) 1 ano e meio (C) 3 meses (D) 2 anos (E) 6 anos 1230 (EsSA/2012) Para que uma escada seja confortável, sua construção deverá atender aos parâmetros e e p da equação 2e p 63, onde e e p representam, respectivamente, a altura e o comprimento, ambos em centímetros, de cada degrau da escada. Assim, uma escada com 25 degraus e altura total igual a 4 m deve ter o valor de p em centímetros igual a (A) 32 (B) 31 (C) 29 (D) 27 (E) (EsSA/2012) A média aritmética de todos os candidatos de um concurso foi 9,0, dos candidatos selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7,8. Qual o percentual de candidatos selecionados? (A) 20% (B) 25% (C) 30% (D) 50% (E) 60% 1232 (EsSA/2012) Se log 2 3 a e log 2 5 b, então o valor de log 0,5 75 é: (A) a + b (B) a + 2b (C) a b (D) a 2b (E) a 2b 1233 (EsSA/2012) Os gráficos das funções reais SENA Cursos e Concursos ( Página 250

251 f (x) = 2x e g(x) 3x2 - c possuem um único ponto em comum. O valor de c é: (A) (B) 0 (C) 1 5 (D) 1 15 (E) (EsSA/2012) A soma dos valores de m que m+1 satisfazem a ambas as igualdades sen m e cos m+2 m é: (A) 5 (B) 6 (C) 4 (D) 4 (E) (EsSA/2012) Comprei um eletrodoméstico e ganhei do vendedor 5% de desconto sobre o preço da mercadoria. Após falar com o gerente da loja, ele deu um desconto de 10% sobre o novo valor que eu pagaria. Paguei, então, R$ 1.710,00. Qual era o preço inicial da mercadoria? (A) R$ 1.900,00 (B) R$ 1.950,00 (C) R$ 2.000,00 (D) R$ 2.100,00 (E) R$ 2.200, (EsSA/2012) Os pontos M ( 3, 1) e P (1, 1) são equidistantes do ponto S (2, b). Desta forma, pode-se afirmar que b é um número: (A) Primo (B) Múltiplo de 3 (C) Divisor de 10 (D) Irracional (E) Maior que (EsSA/2012) Em um guarda-roupa há quatro camisas, cinco calças e três sapatos, então identifique a alternativa que apresenta a quantidade de formas diferentes que se pode utilizá-las. (A) (B) 453 (C) 1 (D) 12 (E) 60 (A) 84. (B) 451. (C) 981. (D) (E) (EsSA/2012) O conjunto solução da equação exponencial 4 x 2 x = 56 é: (A) {-7,8} (B) {3,8} (C) {3} (D) {2,3} (E) {8} 1241 (EsSA/2013) Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 anos e 5 pessoas de 16 anos? (A) 17,2 anos (B) 18,1 anos (C) 17,0 anos (D) 17,5 anos (E) 19,4 anos 1242 (EsSA/2013) Os números naturais eram inicialmente utilizados para facilitar a contagem. Identifique a alternativa que apresenta um número natural. (A) - 4 (B) 8 (C) 7 (D) (E) (EsSA/2013) Identifique a alternativa que apresenta a frequência absoluta (fi) de um elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % e cujo total de elementos (N) da amostra é igual a 72. (A) 18 (B) 36 (C) 9 (D) 54 (E) (EsSA/2013) Jogando-se um dado comum de seis faces e não-viciado, a probabilidade de ocorrer um número primo e maior que 4 é de: (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 1 6 (D) 2 3 (E) (EsSA/2013) Dada a equação circunferência é: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, sendo as coordenadas do centro e r a medida do raio,identifique a equação geral da circunferência de centro (2, 3) e raio igual a (EsSA/2012) Assinale a alternativa cuja palavra possui 60 anagramas. (A) AMEIXA (B) BRANCO (C) BANANA (D) PARQUE (E) PATETA 1239 (EsSA/2012) Para o time de futebol da EsSA, foram convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. O número de times diferentes que a EsSA pode montar com esses jogadores convocados de forma que o time tenha 1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios de campo e 1 atacante é igual a (A) x 2 + y 2 = 25 (B) x 2 + x 2-4xy 12 = 0 (C) x 2-4x = 16 (D) x 2 + y 2-4x - 6y 12 = 0 (E) y 2-6y = (EsSA/2013) Com as letras da palavra SARGENTO foram escritos todos os anagramas iniciados por vogais e com as consoantes todas juntas. Quantos são esses anagramas? (A) (B) (C) (D) 720 (E) (EsSA/2013) Um pelotão está formado de tal maneira que todas as n filas têm n soldados. SENA Cursos e Concursos ( Página 251

252 Trezentos soldados se juntam a esse pelotão e a nova formação tem o dobro de filas, cada uma, porém, com 10 soldados a menos. Quantas filas há na nova formação? (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 60 (E) (EsSA/2013) Um colégio promoveu numa semana esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na primeira fase, entraram na disputa 8 times, cada um deles jogando uma vez contra cada um dos outros times. O número de jogos realizados na 1ª fase foi: (A) 8 jogos (B) 13 jogos (C) 23 jogos (D) 28 jogos (E) 35 jogos 1249 (EsSA/2013) Com relação aos números complexos Z 1 = 2 + i e Z 2 = 1- i onde i é a unidade imaginária, é correto afirmar: (A) Z 1 +Z 2 = i (B) Z 1 = 2 (C) Z 2 = 5 (D) Z 1. Z 2 = 10 (E) Z 1 + Z 2 = (EsSA/2013) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. (A) 103 (B) 104 (C) 105 (D) 106 (E) (EsSA/2014) Sendo o polinômiop(x) = x 3 + 3x 2 + ax + b um cubo perfeito, então a diferença a - b vale: (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (E) (EsSA/2014) Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos O(0,0) e A(8,0). A equação do conjunto dos pontos P(x,y) desse plano sabendo que a distância de O a P é o triplo da distância de P a A, é uma: (A) circunferência de centro (9,0) e raio 3. (B) elipse de focos (6,0) e (12,0), e eixo menor 6. (C) hipérbole de focos (3,0) e (15,0), e eixo real 6. (D) parábola de vértice (9,3), que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (6,0) e (12,0). (E) reta que passa pelos pontos (6,0) e (9,3) (EsSA/2014) Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de diâmetro 4cm. O perímetro desse hexágono, em cm, é (A) 4 (B) 8 (C) 24 (D) 6 (E) (EsSA/2014) Dobrando o raio da base de um cone e reduzindo sua altura à metade, seu volume (A) Dobra (B) Quadruplica (C) Não se altera. (D) Reduz-se à metade do volume original (E) Reduz-se a um quarto do volume original (EsSA/2014) Qual é a área da circunferência inscrita num triângulo ABC cuja a área desse triângulo vale 12 5m 2 e cujas medidas dos lados, em metros, são 7, 8 e 9: (A) 5 m 2 (B) 3 m 2 (C) 5 m 2 (D) 3 5 m2 (E) 5 m (EsSA/2014) Em um treinamento de condicionamento físico, um soldado inicia seu primeiro dia correndo 800 m. No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e assim sucessivamente até atingir a meta diária de m. Ao final de quantos dias, ele terá alcançado a meta? (A) 31 (B) 29 (C) 27 (D) 25 (E) (EsSA/2014) O número de anagramas diferentes com as letras da palavra MILITAR que não possuem consoantes consecutivas que se pode obter é: (A) 60 (B) 72 (C) 120 (D) 186 (E) (EsSA/2014) Sabendo-se que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não-nulo e que, se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A.B) = (det A).(det B), pode-se concluir que, sob essas condições (A) Se A é invertível, então A.B é invertível. (B) Se B não é invertível, então A é invertível. (C) Se A.B é invertível, então A é invertível e B não é invertível. (D) Se A.B não é invertível, então A ou B não é invertível. (E) Se A.B é invertível, então B é invertível e A não é invertível (EsSA/2014) A probabilidade de um jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse jogador cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a: (A) 16% (B) 20% (C) 32% (D) 64% (E) 80% SENA Cursos e Concursos ( Página 252

253 1260 (EsSA/2014) Uma equação polinomial do 3º grau que admite as raízes -1, e 2 é: (A) x 3-2x 3-5x -2 = 0 (B) 2x 3 - x 2-5x + 2 = 0 (C) 2x 3 - x 2 + 5x - 2 = 0 (D) 2x 3 - x 2-2x - 2 = 0 (E) 2x 3 - x 2-5x - 2 = (EsSA/2014) Em um triângulo retângulo de lados 9m, 12m e 15m, a altura relativa ao maior lado será: (A) 7,2m (B) 7,8m (C) 8,6m (D) 9,2m (E) 9,6m 1262 (EsSA/2014) O número complexo i102, onde i representa a unidade imaginária, (A) é positivo. (B) é imaginário puro. (C) é real. (D) está na forma trigonométrica. (E) está na forma algébrica (EsSA/2014) O capital, em reais, que deve ser aplicado à taxa mensal de juros simples de 5%, por 4 meses, para se obter juros de R$ 400,00 é igual a, (E) 6 3 cm (EsSA/2015) O exército realizou um concurso de seleção para contratar sargentos e cabos. A prova geral foi igual para ambos. Compareceram 500 candidatos para sargento e 100 para cabo. Na prova, a média de todos os candidatos foi 4, porém, a média apenas entre os candidatos a sargento foi 3,8. Desse modo, qual foi a média entre os candidatos a cabo? (A) 3,9 (B) 1,0 (C) 6,0 (D) 4,8 (E) (EsSA/2015) A parte real do número complexo 1/(2i)² é: (A) (B) -2 (C) 0 (D) 1 4 (E) (EsSA/2015) Num triângulo retângulo cujos catetos medem e, a hipotenusa mede 8 e 9 (A) 10 (B) 11 (C) 13 (D) 17 (E) (EsSA/2015) Dados log3 = a e log2 = b, a solução de 4x= 30 é: (A) R$ 1.600,00 (B) R$ 1.800,00 (C) R$ 2.000,00 (D) R$ 2.400,00 (E) R$ 2.500, (EsSA/2015) Identifique a equação exponencial. (A) 2.X = 4 (B) 2 + X = 4 (C) X 2 = 4 (D) log x 4 = 2 (E) 2 X = (EsSA/2015) Um aluno da EsSA tem uma habilidade muito boa nas provas de tiro com pistola, possuindo um índice de acerto no alvo de quatro em cada cinco tiros. Se ele atirou duas vezes, a probabilidade de que ele tenha errado os dois tiros é: (A)16/25 (B) 8/25 (C) 1/5 (D) 2/5 (E) 1/ (EsSA/2015) A área do triângulo equilátero cuja altura mede 6 cm é: (A) 12 3 cm 2 (B) 4 3cm 2 (C) 24 3 cm 2 (D) 144 cm 2 (A) (2a+1)/b (B) (a+2)/b (C) (2b+1)/a (D) (a+1)/2b (E) (b+2)/a 1271 (EsSA/2015) As funções do 2º grau com uma variável: terão valor máximo quando f ( x ) = a X 2 + b X + c (A) a < 0 (B) b > 0 (C) c < 0 (D) Δ > 0 (E) a > (EsSA/2015) A palavra icosaedro, de origem grega, significa 20 faces. Sabendo que o icosaedro regular é formado por 20 triângulos regulares, determine o número de vértices. (A) 12 (B) 42 (C) 52 (D) 8 (E) (EsSA/2015) Dados três pontos colineares A(x, 8), B(-3, y) e M(3, 5), determine o valor de x + y, sabendo que M é ponto médio de AB (A) 3 (B) 11 (C) 9 (D) - 2,5 (E) (EsSA/2015) O número de anagramas diferentes que podemos formar com a palavra RANCHO, de modo que se iniciem com vogal, é: (A)120 (B)240 (C)720 (D)1440 (E)24 SENA Cursos e Concursos ( Página 253

254 1275 (EsSA/2015) Em uma pirâmide reta de base quadrada, de 4 m de altura, uma aresta da base mede 6 m. A área total dessa pirâmide, em m 2, é (A) 144 (B) 84 (C) 48 (D) 72 (E) 96 GABARITO D C C E A C D B B D B B B E A E B C B C A A D D D C E 028 (A) A (A) 315 (B) 75 (C) 235 (D) A B A B A A C B D B D E D D C A A A A A A B NÃO SIM 2 D B C C C C D E B D 078 (A) (B) (A) O número é Ou (B) E sua reperesentação algébrica é Ponto B 031 Ponto D (an) = (3, 6, 12, 24, 48, 96, a4 = -24 e a7 = 192 ) (2, 6, 18, 54, 162, 486, ) P1 + P2 + P3 + = 18m A 4 C A B D A C A B C A D C B C A B E E A E E C D E E D E D C B B B A 113 SENA Cursos e Concursos ( Página 254

255 SENA Cursos e Concursos ( Página 255

256 D B A C A E A D A C D A D D A A C C A C E D B E B D A D A D 7 B C B C C B C C E 56 D E B (A) A B (B) E E E D D A B B C C C D B C E A A E C C D B B C C B 7 N=1 2 3=6 P(5)= E B C D A B C C A C D E C E 360 D C D 78 D B B B B B B 3 D (2 ; 3) (1 ; 2 ; 3) C C A C m 1 4 C B D B C B C E D D A D D D D E C A A A B C D B D D C C A A E B B D B C A D D D C C E C B D X = 5 (1,2) X = 5 5/2 e y = X = - 1 D B E E A A E A D D A B A E D D A D B E B D A B E A E C D D C C D D B E B D B A D C D A D B E E B B B D D A B B E C C A A C C B B A C A A C A D D B C C C C C B A D C B C B C D D C C B D A C B A A B C B B A D D D C A D A C A B B B D D E C C A E E E A A B B C C D C D C D B A D D A D B E B A C C E SENA Cursos e Concursos ( Página 256

257 B C A B D B B A E A E C C E D B C E E D A E C D C B A B A C A E A D E D B E C A B C D D B B E C B C B A A A E A A B D E C A D E D C B B D D D C D E C A B A C D D D D C D B C A Ângulo é agudo pois V V V V V V V F F V B D B B E E A D A E D A A B A A E B C E E C C A E D E A A D B A C D E E B B B E D A D A B E A E E E A B C A A (A) (B) V = 67 cm 3 h H = 7 9 (A) (B) D B E C E A B A D B A A E B A B A A C B B D B A A C D A C D C E C B D A B C A B C B E B A E D B C B C D E C C C C B A A D D A B D A D A B D D C C A C C B A B C A D B A D D C C B C B C C C A A C B C B D D A B C D D B C B B C C A D C B A C A A D D D B C A D A B A A C D D A B A C C B A D C B A C C D A A B C D A D B C B B A A A D B D B A C A C C D B B B C A C D B B D C B D B D C D A B B D B C A D C D B C C D B A C D C C B A A A C A D B A C D C C A D B C D A C A D B A C D A D C D B A C B A D A B C B D B A C D B A D B C D A D B A C D C C B A C A B B D A C B B D B C C D D A D C C C B A D C A SENA Cursos e Concursos ( Página 257

258 C D C B B B C A B B B D B D C A C D A D C B C B A D B D C C A C D A C C B A A A B A C A C B C B C C D D C D D B C B C A A B D C C B A B A C A A C C D D B D B A D C D B D C E B C C B B D A A A B B B E E D D E D B A A B A E A D B E B D C A C D B B A E C D D E E C B E A A A C A B C A A B A D D C A E E E C A A E A D B D D C A B D D A B B C A C A A E D C C B C C D C B B D C E D A B B C A C E A A D B E E C D E D B D A D C A B C B E E E C A C C C C D C B D A C D A D B D A B E E A C D C B D D E E B B D A B C E C B E D B A C B C E D B E C C B B D B B D D C C A D D C C A C B B E A B E E A C C D C D D A A A A E B B E E C D D B C D C D A B E E D E C B E C D C A B A C D C D D D D B A E A A B B D D E A C C E E A E A D D A A B B E ANOTAÇÕES Não esqueça dos seus propósitos. Eles é que te levarão a conquista dos seus objetivos! SENA Cursos e Concursos ( Página 258