JOÃO PAULO PASCON. Sobre modelos constitutivos não lineares para materiais com gradação funcional exibindo

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1 JOÃO PAULO PASCON Sobre modelos constitutivos não lineares ara materiais com gradação funcional exibindo grandes deformações: imlementação numérica em formulação não linear geométrica Tese aresentada no Deartamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo ara obtenção to título de Doutor em Engenharia de Estruturas Área de Concentração: Mecânica Comutacional Orientador: Prof. Dr. Humberto Breves Coda São Carlos 0

2 AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE. Ficha catalográfica rearada ela Seção de Tratamento da Informação do Serviço de Biblioteca EESC/USP Pascon, João Paulo P83s Sobre modelos constitutivos não lineares ara materiais com gradação funcional exibindo grandes deformações : imlementação numérica em formulação não linear geométrica / João Paulo Pascon ; orientador Humberto Breves Coda. - São Carlos, 0. Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Engenharia de estruturas) - Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, 0.

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5 Ao meu amado filho Breno Justo de Oliveira Pascon

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7 AGRADECIMENTOS A Deus, ela minha vida. Aos meus ais José Roberto Pascon e Maria Cristina Salvestro Pascon, or terem me criado e me orientado durante toda minha vida. Aos meus irmãos José Roberto Pascon Júnior e Juliana Cristina Pascon Fidêncio, elo constante aoio. À minha namorada Gizele Justo de Oliveira, ela aciência, elo carinho, ela dedicação e elo aoio. À Fundação de Amaro à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), elo auxílio financeiro. À Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de Nível Suerior (CAPES), elo auxílio financeiro durante o estágio de doutorado sanduíche. Ao meu orientador Humberto Breves Coda, or ter me orientado adequadamente. Aos rofessores Marta Cristina Cardoso de Oliveira e Luís Filie Martins Menezes, do Deartamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra, elo aoio e ela orientação em Portugal.

8 Ao Prof. Dr. Rodrigo Ribeiro Paccola, elo auxílio e elos esclarecimentos de certas dúvidas. A todos os familiares, arentes, amigos e colegas ela amizade e sinceridade. A todas as essoas do Deartamento de Engenharia de Estruturas (SET) da Universidade de São Paulo (USP) que contribuíram direta ou indiretamente ara a realização do resente trabalho.

9 Nenhum roblema ode ser resolvido elo mesmo grau de consciência que o gerou. Albert Einstein

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11 RESUMO PASCON, J. P. Sobre modelos constitutivos não lineares ara materiais com gradação funcional exibindo grandes deformações: imlementação numérica em formulação não linear geométrica. 0. Tese (Doutorado) - Deartamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 0. O objetivo recíuo deste estudo é a imlementação comutacional de modelos constitutivos elásticos e elastolásticos ara materiais com gradação funcional em regime de grandes deslocamentos e elevadas deformações. Para simular numericamente um roblema estrutural, são emregados aqui elementos finitos sólidos (tetraédrico e hexaédrico) com ordem de aroximação olinomial qualquer. Grandezas da Mecânica Não Linear do Contínuo, como deformação e tensão, são utilizadas na formulação deste estudo. Para reroduzir os grandes deslocamentos, é emregada a análise não linear geométrica. A descrição adotada aqui é a Lagrangiana total, e o equilíbrio da estrutura é exresso elo Princíio da Mínima Energia Potencial Total. Com relação à resosta elástica do material, são usadas leis constitutivas hierelásticas, nas quais a relação tensão-deformação é obtida a artir de um otencial escalar. O comortamento elastolástico do material é definido ela decomosição da deformação nas arcelas elástica e lástica, elo critério de lastificação de von-mises, ela lei de fluxo associativa, elas condições de consistência e de comlementaridade, elo arâmetro de encruamento isotróico e elo tensor das tensões inversas, relacionado ao encruamento cinemático. Duas formulações elastolásticas são utilizadas aqui: a de Green-Naghdi, na qual a deformação é decomosta de forma aditiva; e a hierelastolástica, em que o gradiente é decomosto de forma multilicativa. É emregado também o conceito de material com gradação funcional (GF), a qual é definida como a variação gradual (contínua e suave) das roriedades constitutivas do material. A solução numérica do equilíbrio de forças é feita via método iterativo de Newton-Rahson. Para satisfazer o critério de lastificação, são utilizadas as estratégias de revisão elástica, e de correção lástica via algoritmos de retorno. Basicamente foram desenvolvidos cinco rogramas comutacionais: o gerador automático das funções de forma; o gerador de malhas de elementos finitos sólidos; o código ara análise de materiais em regime elástico; o código ara análise de materiais em regime elastolástico; e o rograma de ós-rocessamento. Além desses, o aluno teve contato com os rogramas EPIM3D e DD3IMP ao longo de seu estágio de doutorado na Universidade de Coimbra (Portugal). Os rogramas EPIM3D e DD3IMP são emregados ara analisar, resectivamente, materiais em regime elastolástico, e rocessos de conformação de metais. Para o roblema da barra sob tração uniaxial uniforme, são descritas equações e soluções analíticas ara materiais homogêneos e com GF em regime elastolástico. Para reduzir o temo de simulação, foi emregada a rogramação em aralelo. De acordo com os resultados das simulações numéricas, as rinciais conclusões são: o refinamento da malha de elementos finitos melhora a recisão dos resultados ara materiais em regimes elástico e elastolástico; as formulações elastolásticas de Green-Naghdi e hierelastolástica arecem ser equivalentes ara equenas deformações; a formulação hierelastolástica é equivalente ao modelo mecânico dos rogramas EPIM3D e DD3IMP ara materiais em regime de equenas deformações elásticas; foram constatados ganhos significativos, em termos de temo de simulação, com a aralelização dos códigos comutacionais de análise estrutural; e os rogramas desenvolvidos são caazes de simular - com recisão - roblemas comlexos, como a membrana de Cook e o cilindro fino transversalmente tracionado.

12 Palavras-chave: análise não linear; elementos finitos sólidos; grandes deslocamentos; grandes deformações; gradação funcional; elastolasticidade.

13 ABSTRACT PASCON, J. P. On nonlinear constitutive models for functionally graded materials exhibiting large strains: numerical imlementation in geometrically nonlinear formulation. 0. Tese (Doutorado) - Deartamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 0. The main objective of this study is the comutational imlementation of elastic and elastolastic constitutive models for functionally graded materials in large deformation regime. In order to numerically simulate a structural roblem, the finite elements used are solids (tetrahedric and hexahedric) of any order of aroximation. Entities from Nonlinear Continnum Mechanics, as strain and stress, are used in the resent formulation. To reroduce the finite dislacements, the geometrically nonlinear analysis is emloyed. The descrition adoted here is the total Lagrangian, and the structural equilibrium is exressed by means of the Princial of Minimum Total Potential Energy. Regarding the elastic material resonse, hyerelastic constitutive laws are used, in which the stress-strain relation is obtained from a scalar otential. The elastolastic material behavior is defined by the strain decomosition in the elastic and lastic arts, by the von-mises yield criterion, by the associative flow law, by the consistency and comlementarity conditions, by the isotroic hardening arameter, and by the backstress tensor, related to the kinematic hardening. Two elastolastic formulations are used here: the Green-Naghdi one, in which the strain is additively decomosed; and the hyerelastolasticiy, in which the gradient is multilicatively decomosed. The concet of functionally graded (FG) material, in which the constitutive roerties vary gradually (continuous and smoothly), is also used. The numerical solution of the forces equilibrium is obtained via Newton-Rahson iterative rocedure. In order to satisfy the yield criterion, the strategies of elastic rediction and lastic correction (via return algorithms) are used. Basically, five comuter codes have been develoed: the automatic shae functions generator; the solid mesh generator; the code for analysis of materials in the elastic regime; the code for analysis of materials in the elastolastic regime; and the ost-rocessor. Besides these, the student had contact with the rograms EPIM3D and DD3IMP during his doctoral stage in the University of Coimbra (Portugal). The rograms EPIM3D and DD3IMP are emloyed to analyze, resectively, materials in the elastolastic regime, and sheet-metal forming rocesses. For the roblem of the bar under uniform uniaxial tension, equations and analytical solutions are described for homogeneous and FG materials. To reduce the simulation time, the arallel rogramming has been emloyed. According to the numerical simulation results, the main conclusions are: the results accuracy is imroved with mesh refinement for materials in the elastic and elastolastic regimes; the Green-Naghdi elastolastic formulation and the hyerelastolasticity aear to be equivalent for small strains; the hyerelastolastic formulation is equivalent to the mechanical model of the rograms EPIM3D and DD3IMP for materials the small elastic strains regime; simulation time reduction has been obtained with the arallelization of the comuter codes for structural analysis; the develoed rograms are caable of simulating, recisely, comlex roblems, such as the Cook s membrane and the ulled thin cylinder. Keywords: Nonlinear analysis; solid finite elements; large dislacements; large strains; functionally graded materials; elastolasticity.

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15 LISTA DE SIGLAS DD3IMP EPIM3D FAPESP FGM GF HN MC MDF MEC MEF MGF MNLC nh RS SVK USP Dee drawing three-dimensional imlicit code Elastolastic imlicit three-dimensional code Fundação de Amaro à Pesquisa do Estado de São Paulo Functionally graded material Gradação funcional Hartmann-Neff (lei hierelástica) Mecânica do Contínuo Método das Diferenças Finitas Método dos Elementos de Contorno Método dos Elementos Finitos Material com gradação funcional Mecânica Não Linear do Contínuo neo-hookeano (lei hierelástica) Rivlin-Saunders (lei hierelástica) Saint Venant-Kirchhoff (lei hierelástica) Universidade de São Paulo

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17 LISTA DE SÍMBOLOS t x y temo vetor osição inicial vetor osição atual ξ vetor de coordenadas adimensionais ( ξ, ξ, ξ 3 ) ( ) k x vetor osição inicial do nó k ( ) k y vetor osição atual do nó k φ k a i ξ m δ ij A ij função de forma relativa ao nó k comonente i do vetor a vetor com as coordenadas adimensionais do nó m delta de Kronecker comonente ij da matriz A ( x ) k i coordenada inicial do nó k ao longo da direção i ( y ) k i coordenada atual do nó k ao longo da direção i y, y, y 3 φ coordenadas atuais vetor que contém as funções de forma M coef matriz dos coeficientes das funções de forma v ξ vetor que contém os rodutos entre as coordenadas adimensionais Ab roduto entre uma matriz qualquer ( A ) e um vetor qualquer ( b ) TET φ k função de forma relativa ao nó k do elemento tetraédrico HEX φ k função de forma relativa ao nó k do elemento hexaédrico f u f função vetorial mudança de configuração total camo vetorial deslocamento (Lagrangiano) vetor mudança de configuração final f 0 A Grad vetor mudança de configuração inicial tensor gradiente (material) de f (ou simlesmente gradiente) oerador gradiente gradiente material (ou Lagrangiano)

18 dx dy fibra material na osição inicial fibra material na osição atual J Jacobiano det ( ) oerador determinante dv 0 dv A 0 A volume infinitesimal na osição inicial volume infinitesimal na osição atual gradiente inicial gradiente final A inversa de uma matriz qualquer ( A ) T A transosta de uma matriz qualquer ( A ) C E O i,i,i 3 tensor alongamento de Cauchy-Green direito tensor deformação de Green-Lagrange tensor nulo de segunda ordem invariantes (escalares) de um tensor de segunda ordem tr ( ) traço de um tensor de segunda ordem (ou de uma matriz) R U tensor (ortogonal) de rotação tensor (ositivo-definido) alongamento direito A vol arcela volumétrica do gradiente A (decomosição de Flory) A iso arcela isocórica do gradiente A (decomosição de Flory) C vol arcela volumétrica do tensor C (decomosição de Flory) C iso arcela isocórica do tensor C (decomosição de Flory) ( ) e, ( ) arcelas elástica e lástica de alguma grandeza L tensor gradiente esacial da velocidade grad ( ) gradiente esacial (ou Euleriano) v ( ) camo vetorial (esacial) velocidade taxa de variação (temoral) de uma grandeza qualquer D W tensor taxa de deformação tensor taxa de rotação sim ( ) arcela simétrica de um tensor de segunda ordem

19 ant ( ) arcela antissimétrica de um tensor de segunda ordem t n σ d vetor tensão de Cauchy vetor unitário normal à suerfície na osição atual tensor de tensão de Cauchy força que atua num elemento infinitesimal de área na osição atual ds S elemento infinitesimal de área na osição atual segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff G( A ) função tensorial resosta elástica (deendente do gradiente A ) F( E ) função tensorial resosta elástica (deendente da deformação E ) E ( ) S E relação tensorial entre a tensão S e a deformação E h (, ) G AA função tensorial resosta do material (deendente do gradiente A e do h (, ) histórico de A ) F EE função tensorial resosta do material (deendente da deformação E e do h A h E Γ e histórico de E ) histórico do gradiente A histórico da deformação E tensor elástico de quarta ordem Γ klmn comonente klmn de um tensor de quarta ordem qualquer ( Γ ) f int vetor de forças internas f ext vetor de forças externas (alicadas) Ω 0 u e domínio volumétrico na configuração inicial energia esecífica de deformação dv 0 r 0 vetor nulo Δy elemento infinitesimal de volume na osição inicial vetor resíduo de forças incremento osicional J 0 Jacobiano inicial (determinante do gradiente inicial A 0 ) dξ H elemento infinitesimal do esaço adimensional matriz Hessiana ou matriz tangente

20 : contração entre dois tensores ψ função escalar energia livre de Helmholtz λ,μ constantes de Lamé E ν módulo (elástico) de Young coeficiente de Poisson U vol arcela volumétrica da energia de Helmholtz iso ψ arcela isocórica da energia de Helmholtz k c ij módulo de comressão volumétrica coeficientes isocóricos iso i rimeiro invariante de C iso iso i segundo invariante de C iso D G ζ taxa de dissiação interna módulo elástico de cisalhamento conjunto de variáveis internas α ε u i,j conjunto dos arâmetros de encruamento tensor infinitesimal de deformação derivada da comonente de deslocamento u i em relação à coordenada x j σ eng tensão (nominal) de engenharia Φ R κ X r κ R X γ ( AB, ) função (escalar) que define o critério de lastificação tensor que define a direção do fluxo lástico (no contexto da elastolasticidade) arâmetro de encruamento isotróico tensor das tensões inversas (backstress) função escalar que define a taxa de κ tensor que define a evolução de X multilicador lástico derivada (arcial) da grandeza A em relação à grandeza B Γ e oerador tangente consistente elastolástico (de quarta ordem) II tensor identidade de quarta ordem roduto tensorial entre dois tensores de segunda ordem

21 ( ) T inversa da transosta de uma matriz S e M e χ f MX, f κ segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff na configuração intermediária tensor elástico de Mandel (na configuração intermediária) tensor das tensões inversas (backstress) na configuração intermediária funções escalares ara definição do critério de lastificação hierelastolástico R L tensor que define a evolução de L R P tensor que define a evolução de D R W tensor que define a evolução de W χ R χ X R X B taxa objetiva de χ tensor que define a evolução de χ (na configuração intermediária) tensor das tensões inversas (backstress) na configuração inicial (no contexto da hierelastolasticidade) tensor que define a evolução de X na configuração inicial (no contexto da hierelastolasticidade) tensor auxiliar (de segunda ordem) ara cálculo de γ Γ he oerador tangente consistente hierelastolástico (de quarta ordem) dev ( ) arcela desviadora de um tensor de segunda ordem norma de um tensor de segunda ordem σ κ a n NC K, E 0 e n limite de escoamento do material coeficientes do material ara a lei de encruamento isotróico olinomial número de coeficientes ara a lei de encruamento isotróico olinomial coeficientes do material ara a lei de encruamento isotróico de Swift σ 0, σ sat e C Y coeficientes do material ara a lei de encruamento isotróico de Voce c b e c ( ) ( t) η coeficiente do material ara a lei de encruamento cinemático de Prager coeficiente do material ara a lei de encruamento cinemático de Armstrong- Frederick tentativa referente à revisão elástica arâmetro escalar da correção lástica elo método de Euler

22 E incremento finito de deformação total γ variação de γ ao longo do incremento finito E z vetor que contém as variáveis a serem atualizadas na correção lástica F força alicada na barra sob tração uniaxial da figura 6. λ i alongamento de um fibra material inicialmente na direção i L 0 e L f comrimentos inicial e final da barra sob tração uniaxial da figura 6. b 0 e b f dimensões inicial e final, ao longo da direção x, da barra sob tração uniaxial da figura 6. h 0 e h f dimensões inicial e final, ao longo da direção x 3, da barra sob tração uniaxial da figura 6. σ tensão normal de Cauchy ao longo da direção x S tensão de Piola-Kirchhoff ao longo da direção x A 0 e A f áreas inicial e final da seção transversal da barra sob tração uniaxial da figura 6. ( ), ( ), ( ) 3 valores rinciais de um tensor de segunda ordem u λ ei, λ i η f e f ζ deslocamento longitudinal máximo ara a barra sob tração uniaxial da figura 6. alongamentos elástico e lástico de uma fibra material inicialmente na direção i ara a barra sob tração uniaxial da figura 6. roriedade do material que varia gradualmente (no contexto da GF) frações volumétricas de dois materiais (no contexto da GF) direção na qual a roriedade varia gradualmente (no contexto da GF) coeficiente da lei de otência de GF s sn M e coeficiente da lei sigmoidal de GF coeficiente da lei senoidal de GF comonente longitudinal da tensão elástica de Mandel (na configuração intermediária) ara a barra sob tração uniaxial da figura 6. λ LE limite elástico da barra sob tração uniaxial λ LP limite lástico da barra sob tração uniaxial

23 E e E X limites do módulo de Young ara os MGFs coordenada limite que seara a orção em regime elástico da orção de material em regime elastolástico max λ alongamento longitudinal lástico máximo ara barras sob tração uniaxial σ 0 limite inicial da tensão de escoamento do material ( f ) J int vetor local de forças internas (elemento J) ( Ω ) J 0 domínio local inicial do elemento J ( ) J H matriz Hessiana local (elemento J) nin número de ontos de integração numérica ξ ( ) coordenadas adimensionais dos ontos de integração numérica w( ) n esos de integração numérica número de ontos de integração numérica ara o elemento unidimensional gl ( ) coordenada adimensional dos ontos de integração ara o elemento unidimensional wgl ( ) esos de integração ara o elemento unidimensional { u,v,w } { x,y,z } dxdydz dudvdw coordenadas que definem a região hexaédrica (no contexto da integração numérica do tetraedro) coordenadas que definem a região tetraédrica (no contexto da integração numérica do tetraedro) elemento infinitesimal de volume na região tetraédrica (no contexto da integração numérica do tetraedro) elemento infinitesimal de volume na região hexaédrica (no contexto da integração numérica do tetraedro) f ext incremento de forças externas (alicadas) em cada asso de carga ext ( i) f vetor global de forças externas no asso i r G ( ) int G resíduo global de forças f vetor global de forças internas H G matriz Hessiana global

24 y vetor incremento osicional global ntgl ERRO número total de graus de liberdade da malha de elementos finitos norma ara comaração com a tolerância ( 4) O tensor nulo de quarta ordem y s H s ( ) NOD k osição tentativa ara a estratégia de revisão da Secante matriz Hessiana ara a estratégia de revisão da Secante v valor nodal de determinada variável mecânica v i d i J σ J ε valores de determinada variável mecânica nos ontos de integração numérica distância dos ontos de integração numérica aos nós taxa objetiva (de Jaumann) do tensor das tensões de Cauchy taxa objetiva (de Jaumann) do tensor das deformações elásticas logarítmicas σ e Y α funções escalares ara definição do critério de lastificação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP arâmetros de isotroia ou de anisotroia dos rogramas EPIM3D e DD3IMP κ HEP arâmetro de encruamento isotróico da formulação hierelastolástica deste EPIM 3D estudo κ arâmetro de encruamento isotróico da formulação dos rogramas EPIM3D e L Fi DD3IMP dimensão final do risma da figura 9. ao longo da direção i t carga suerficial alicada na direção longitudinal do risma da figura 9. S 0 área inicial da seção transversal do risma da figura 9. θ γ ângulo de cisalhamento ara material sob cisalhamento simles quantidade de cisalhamento ara material sob cisalhamento simles I J SU momento de inércia da seção transversal da viga em relação a um eixo momento de inércia à torção da seção transversal de uma viga seedu TP SEQ temo de rocessamento ara o rograma sequencial TP PAR temo de rocessamento ara o rograma aralelo nn número de nós or elemento finito (Aêndice A)

25 ga grau do olinômio aroximador (Aêndice A) k c n n-ésimo coeficiente da função de forma relativa ao nó k (Aêndice A) d M coef matriz com os coeficientes das derivadas das funções de forma (Aêndice A) e vetor que contém os valores da deformação lástica E (Aêndice E) xx vetor que contém os valores do tensor das tensões inversas X (Aêndice E) rr vetor que contém os valores do tensor da lei de fluxo R (Aêndice E) rx vetor que contém os valores tensor de evolução R X (Aêndice E) I 9x9 matriz identidade 9x9 (Aêndice E) a vetor que contém os valores do gradiente lástico A (Aêndice E) ra vetor que contém os valores do tensor da lei de fluxo R AP (Aêndice E) nn número de nós na direção (Aêndice F) nn número de nós na direção (Aêndice F) nn3 número de nós na direção 3 (Aêndice F) nn número de nós de cada elemento hexaédrico rincial (Aêndice F) ne número de hexaedros ara cada elemento rincial (Aêndice F) nte número total de elementos finitos hexaédricos (Aêndice F) nne número de nós or elemento finito (Aêndice F) ner número de elementos rinciais (Aêndice F) inc[ a,b ] incidência dos elementos finitos hexaédricos (Aêndice F) TF ext trabalho das forças externas (Aêndice F) força distribuída (Aêndice F) J ξ determinante da transformação x = x( ξ ) ou x x( ξ,ξ ) ( ) F ext i k = (Aêndice F) força externa, ao longo da direção i, atuante no nó k (Aêndice F) inc tetr [ ] incidência dos elementos finitos tetraédricos (Aêndice F) ndv número de divisões das arestas dos elementos rinciais na direção (Aêndice F) ndv número de divisões das arestas dos elementos rinciais na direção (Aêndice F) ndv3 número de divisões das arestas dos elementos rinciais na direção 3 (Aêndice F)

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27 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO Generalidades Proosta e objetivos Justificativas Resumo dos caítulos REVISÃO BIBLIOGRÁFICA MNLC Materiais elásticos Elastolasticidade MGFs Análise não linear numérica via MEF Processamento aralelo CINEMÁTICA Posição ou configuração Mudança de configuração Gradiente Deformação Objetividade da medida de deformação Decomosição multilicativa do gradiente Taxas de deformação TENSÃO E EQUILÍBRIO Tensão Comortamento mecânico Elasticidade Inelasticidade Tensor elástico Equilíbrio HIPERELASTICIDADE Definição Modelos hierelásticos adotados Relação tensão-deformação... 86

28 5.3.. Tensão resultante ara os modelos adotados Tensor elástico resultante ara os modelos adotados Condições de crescimento e incomressibilidade Existência de solução ELASTOPLASTICIDADE Definição Elastolasticidade ara equenas deformações Aroximação de Green-Naghdi Hierelastolasticidade Relação tensão-deformação Suerfície de Plastificação Leis de evolução Determinação do multilicador lástico Evolução da tensão Modelos adotados Leis constitutivas elásticas Critério de lastificação Lei de fluxo Leis de encruamento isotróico Leis de encruamento cinemático Previsão elástica e correção lástica Retorno ara a aroximação de Green-Naghdi Retorno ara a hierelastolasticidade Formulação ara barra rismática sob tração uniaxial Formulação de Green-Naghdi ara barras sob tração uniaxial Formulação hierelastolástica ara barras rismáticas sob tração uniaxial MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Definição Leis de GF adotadas Leis clássicas Leis roostas Modelos hierelásticos com GF Modelos elastolásticos com GF Aroximação de Green-Naghdi... 47

29 7.4.. Hierelastolasticidade Barras hierelastolásticas com GF sob tração uniaxial GF do módulo de Young GF das constantes de encruamento isotróico CÓDIGOS COMPUTACIONAIS DESENVOLVIDOS Gerador de funções de forma Gerador de malhas Integração numérica Elemento finito sólido hexaédrico Elemento finito sólido tetraédrico Algoritmo de análise não linear geométrica de materiais em regime elástico Algoritmo de análise não linear geométrica de materiais em regime elastolástico Estratégias de revisão elástica Processamento aralelo Pós-rocessamento Programas EPIM3D e DD3IMP Cinemática Comortamento elástico Comortamento lástico Elementos finitos Previsão elástica e correção lástica Materiais com equenas deformações elásticas Barras sob tração uniaxial em regime de equenas deformações elásticas Barras constituídas de material com encruamento isotróico Barras constituídas de material com encruamento cinemático de Prager Aroximação de Green-Naghdi Formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP EXEMPLOS NUMÉRICOS Estruturas constituídas de material em regime elástico Problemas com deformação uniforme Tração uniaxial Comressão uniaxial Cisalhamento simles Obtenção do número necessário de ontos de integração... 03

30 9..3. Comaração do tio de refinamento da malha Comaração do temo de rocessamento ara os elementos sólidos Tração uniaxial de risma com GF Vigas e órticos lanos Viga rismática em balanço Pórtico diamante Pórtico quadrado Viga semicircular em balanço Coluna engastada sob rimeiro modo de flambagem Coluna engastada sob segundo modo de flambagem Coluna engastada sob terceiro modo de flambagem Vigas tridimensionais Viga circular em balanço Flambagem lateral de viga engastada Chaas e cascas Membrana de Cook Cilindro esesso sob linha de carga Casca hemisférica Placa engastada em forma de anel Cilindro fino com abas livres tracionado Sólidos tridimensionais Bloco arcialmente carregado Bloco cúbico em balanço Sólido de Cook Estruturas constituídas de material em regime elastolástico Comaração das estratégias de revisão elástica Comaração dos algoritmos de correção lástica (retorno) Tração uniaxial Material homogêneo com encruamento isotróico sob equenas deformações elásticas Material homogêneo elastolástico erfeito sob grandes deformações elastolásticas Material com GF das constantes de encruamento em regime de equenas deformações elásticas

31 Material elastolástico erfeito com GF do módulo de Young sob grandes deformações elastolásticas Material com GF da constante K da lei de Swift sob grandes deformações elastolásticas Material homogêneo com encruamento cinemático não linear sob grandes deformações elastolásticas Comressão uniaxial Material homogêneo com lei hierelástica linear e lei de Swift MGF, lei hierelástica linear e lei de Voce Cisalhamento simles Material homogêneo com lei hierelástica linear e lei de Swift Material homogêneo com leis hierelástica e de encruamento cinemático não lineares Viga em balanço com força rescrita Viga em balanço com deslocamento rescrito Bloco arcialmente carregado Indentação de bloco Chaa com orifício circular tracionada Achatamento de cilindro Achatamento de risma Temo de rocessamento ara as estratégias seqüencial e aralela CONCLUSÕES Tóicos do estudo Elementos finitos sólidos Equilíbrio Hierelasticidade Elastolasticidade GF Regime de equenas deformações elásticas Resultados numéricos Idéias ara trabalhos futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A ANEXO B

32 APÊNDICE A APÊNDICE B APÊNDICE C APÊNDICE D APÊNDICE E APÊNDICE F... 45

33 . INTRODUÇÃO Neste caítulo são aresentados algumas generalidades, as roostas, os objetivos, as justificativas e o resumo dos caítulos da resente tese... Generalidades Existem inúmeras áreas da engenharia nas quais é necessária a revisão do comortamento estrutural como, or exemlo, a civil, a mecânica, a automobilística e a aeroesacial. Tal revisão é essencial, entre outras coisas, ara o aroriado dimensionamento estrutural. Toda estrutura deve ser adequadamente dimensionada ara, ao longo de sua vida útil, suortar as solicitações imostas - como as forças externas atuantes - sem aresentar instabilidades e falhas materiais, que odem causar colaso estrutural ou rejudicar o desemenho de algum comonente. Dessa forma, é fundamental que a ossibilidade de ocorrência desses roblemas seja reviamente e recisamente identificada ela metodologia emregada ara análise ou ara dimensionamento estrutural. Assim, torna-se essencial, ara a engenharia de estruturas, o desenvolvimento de ferramentas recisas de revisão do comortamento estrutural. Comonentes estruturais constituídos de materiais altamente deformáveis têm sido amlamente usados na engenharia. Materiais altamente deformáveis são aqueles que, quando submetidos a solicitações externas, odem aresentar grandes deslocamentos ou significativas mudanças de forma sem ocorrência de falhas materiais, como é o caso dos olímeros estruturais e de alguns metais. Além da questão da deformabilidade dos comonentes, as estruturas da engenharia odem estar submetidas a carregamentos comlexos como, or exemlo, a combinação entre diferentes tios de forças atuantes. A geometria dos comonentes estruturais também ode ser bastante comlexa, o que ode afetar a recisão da

34 análise, como é o caso de chaas com furos, estruturas extremamente delgadas e comonentes com grandes curvaturas. Por fim, a correta revisão do comortamento mecânico dos materiais, exresso elas chamadas leis constitutivas, ode ser difícil em regime de grandes deformabilidades, o que ode rejudicar a confiabilidade da análise. Assim, dada a ossível comlexidade da análise estrutural a ser realizada elo engenheiro, é indisensável a criação de sofisticadas metodologias ara revisão do comortamento dos mais variados tios de comonentes estruturais. Usualmente, conhecidas a geometria dos comonentes, as solicitações imostas e as roriedades dos materiais, o objetivo da análise estrutural é determinar as seguintes grandezas mecânicas ao longo do material: deslocamentos, deformações e tensões. Com essas grandezas, o engenheiro ode determinar se as dimensões dos comonentes e as roriedades dos materiais são adequadas ara que a estrutura suorte o carregamento atuante. Para os roblemas estruturais com simlificação da geometria, das condições de carregamento e das roriedades dos materiais, existem na literatura científica as chamadas soluções analíticas. Tais soluções relacionam, or meio de exressões matemáticas, as suracitadas grandezas mecânicas com as seguintes variáveis: dimensões iniciais do comonente; carregamento externo atuante; e constantes da lei constitutiva do material. Ademais, as soluções analíticas encontradas na literatura são esecíficas ara cada roblema estrutural. Uma forma alternativa ara se obter uma revisão mais realista do comortamento estrutural é a realização de ensaios mecânicos. Porém, tais ensaios são muito onerosos (em termos de custo e temo de rojeto) e, tal como as soluções analíticas, esecíficos ara cada caso. Para resolver roblemas estruturais mais comlexos e mais gerais de uma forma mais rática, esquisadores e engenheiros têm recorrido aos métodos numéricos ou aroximados, usualmente emregados com auxílio de comutadores. Isso ode ser visto, or exemlo, na indústria automobilística, a qual vem substituindo seus ensaios de imacto de carro com antearo rígido or simulações comutacionais. Outro exemlo está na engenharia aeroesacial, na qual se torna imerativo o uso de simulações numéricas devido à imossibilidade de realização de ensaios exerimentais e de obtenção de soluções analíticas, como é o caso comlexo de aeronaves entrando na atmosfera terrestre a altíssimas velocidades. Nesse caso, é óbvia a necessidade da revisão comutacional révia do comortamento da aeronave. Entre os métodos numéricos ou aroximados, destacam-se o Método dos Elementos Finitos (MEF), o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos Elementos de Contorno (MEC). As vantagens do MEF em relação aos outros dois métodos numéricos são:

35 maior difusão na comunidade científica e, consequentemente, maior quantidade de estudos com os quais se odem comarar resultados; maior facilidade de entendimento em relação ao MEC; e metodologia de fácil imlementação em códigos comutacionais. O MEF é amlamente emregado em códigos comutacionais ara simulação numérica dos mais variados tios de estruturas. De modo geral, uma das desvantagens do MEF é o grande esforço comutacional exigido, em termos de caacidade de memória e temo de rocessamento, ara analisar roblemas estruturais mais comlexos. Isso orque, em tais casos, é necessário armazenar grande quantidade de dados e calcular enorme quantidade de valores relativos a grandezas mecânicas. Esse roblema, contudo, é amenizado ela constante evolução dos micro-comutadores, cujas velocidade de rocessamento e caacidade de memória são cada vez maiores. Ademais, é ossível reduzir o temo de simulação com o rocessamento aralelo, o qual ode ser imlementado em máquinas com vários rocessadores (clusters) ou em várias máquinas. Com esse tio de rocessamento, odem ser obtidos exressivos ganhos de velocidade ara simulação comutacional de roblemas estruturais. Na engenharia, esses ganhos são fundamentais ara casos mais comlexos, já que o engenheiro recisa de uma metodologia de análise estrutural que seja, simultaneamente, confiável e ráida. Conforme mencionado anteriormente, o comortamento mecânico do material é exresso elas chamadas leis - ou relações - constitutivas. Esse comortamento é a resosta macroscóica do material frente às solicitações imostas. Tais leis odem ser interretadas como sendo a relação entre causa e efeito. Na Mecânica dos Sólidos, a lei constitutiva é usada ara estabelecer - ou descrever - matematicamente a relação entre as grandezas tensão e deformação, ou entre as forças de contato interno e a mudança de forma do material. Além disso, o comortamento global da estrutura - ou o comortamento de toda a estrutura - deende, obviamente, da resosta mecânica de cada um de seus materiais constituintes. Assim, a adequada escolha das relações constitutivas é fundamental ara que se ossa rever tanto o comortamento mecânico dos comonentes como o comortamento de toda a estrutura. A deformação - ou a mudança de forma - que ocorre num comonente estrutural devido ao carregamento atuante ode ser reversível ou irreversível. Na Mecânica dos Sólidos, a deformação reversível é chamada de elástica, e a irreversível de lástica. Caso a deformação tenha uma arcela elástica e uma arcela lástica, ela é chamada de elastolástica. Os materiais da engenharia civil, or exemlo, geralmente estão em regime de equenas

36 deformações, as quais são uramente elásticas. Já os olímeros estruturais odem aresentar grandes deformações elásticas, com ou sem arcela lástica considerável. Os metais, de um modo geral, aresentam deformações essencialmente lásticas, ou seja, as arcelas elásticas de deformação são menores do que as arcelas lásticas. Ademais, comonentes estruturais metálicos com os mais variados formatos são amlamente emregados nas indústrias automobilística, aeroesacial e naval, or exemlo. O rocesso de dar a forma final ao comonente recebe o nome de conformação. Para se conformar uma chaa metálica, or exemlo, a rincial arcela de deformação resultante deve ser irreversível ou lástica, já que a desejada forma final da chaa não ode ser alterada significativamente aós o término do rocesso. No caso do metal, a realização de tal rocesso normalmente envolve elevadas deformações lásticas no material. Assim sendo, a existência de ferramentas que ermitam rever o comortamento de estruturas constituídas de materiais elastolásticos é de extrema imortância rática ara a indústria. Na engenharia estrutural, materiais heterogêneos ou comósitos são aqueles nos quais a comosição e, consequentemente, as roriedades constitutivas variam ao longo de seu volume. A vantagem desse tio de material em relação aos homogêneos é que as roriedades desejáveis de diferentes materiais odem ser aroveitadas no mesmo comonente estrutural. Com isso, é ossível otimizar o desemenho do comonente de acordo com a sua alicação. Um dos exemlos de material comósito amlamente utilizado na engenharia civil é o concreto armado, em que a resistência a esforços de tração é fornecida elo aço, e a resistência à comressão é dada elo concreto. Entre os diversos tios de comósitos, odem ser destacados os laminados, que são materiais constituídos or lâminas ou camadas de diferentes materiais. Uma das desvantagens desse tio de comósito é a ossibilidade de ocorrência de roblemas de interface, como o descolamento entre camadas, devido à eventual descontinuidade do camo de tensões na interface. Esses roblemas de interface não ocorrem nos comósitos com gradação funcional (GF), nos quais a comosição e, ortanto, as roriedades constitutivas variam de forma suave e contínua ao longo do material. Dada a otencialidade desse tio de material, torna-se imortante, ara a engenharia, a existência de ferramentas ara revisão do comortamento de estruturas constituídas de comósitos com GF. Um exemlo de material com GF é o caso de lacas utilizadas em foguetes e aeronaves esaciais. Nesse caso, a face externa é 00% cerâmica, o que confere resistência a grandes variações de temeratura, a face interna é 00% metálica, o que garante elevada resistência mecânica a esforços de comressão e de tração, e as roriedades do material no interior da

37 laca variam suave e continuamente ao longo da esessura, o que evita os roblemas de interface que surgiriam se o comósito fosse laminado... Proosta e objetivos A roosta deste doutorado se enquadra em um rojeto temático maior, Desenvolvimento de modelos numéricos ara a análise de roblemas de engenharia estrutural, financiado ela Fundação de Amaro à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP). Tal rojeto inclui os seguintes temas: análise não linear geométrica, dinâmica, imacto, materiais comósitos, materiais com gradação funcional (MGFs), elasticidade, hierelasticidade, lasticidade, viscolasticidade, termoelasticidade etc. O gruo de esquisa no qual se insere o aluno está em fase de aralelização dos códigos comutacionais desenvolvidos e ossui diversas ublicações em congressos e eriódicos científicos. O trabalho aqui roosto envolve também a continuidade e a evolução do bolsista nas atividades científicas de seu rojeto de mestrado, no qual foram realizados estudo e imlementação comutacional, via MEF, de leis constitutivas não lineares ara materiais hierelásticos, homogêneos e isotróicos em regime de grandes deslocamentos e de grandes deformações. Além disso, são visados tanto a contribuição ao rojeto temático maior quanto o arofundamento do aluno em não linearidades geométrica e física de materiais com grandes deformações. O objetivo recíuo deste estudo é a imlementação comutacional de modelos constitutivos elásticos e elastolásticos ara MGFs em regime de elevados deslocamentos e de grandes deformações. Ademais, retende-se imlementar tais modelos em códigos comutacionais de análise não linear geométrica e física, via elementos finitos sólidos (tridimensionais) isoaramétricos. Além do objetivo recíuo desta tese de doutorado, outros objetivos iniciais são:

38 - discilinas de ós-graduação ara obtenção de créditos, os quais são um dos requisitos do rograma de doutorado do deartamento; - revisão de Mecânica Não Linear do Contínuo (MNLC), que inclui os seguintes tóicos: álgebras linear e tensorial; cinemática ou estudo do movimento; medidas de deformação e de tensão; balanços e roblemas de valor de contorno; leis constitutivas; equilíbrio de forças; e rincíios variacionais; - levantamento bibliográfico sobre os seguintes temas: elementos finitos sólidos; integração numérica; elasticidade não linear; hierelasticidade; lasticidade com equenas e com grandes deformações; MGFs; e rogramação em aralelo; - imlementação do modelo hierelástico linear de Saint Venant-Kirchhoff (SVK) ara análise não linear geométrica de sólidos com grandes deslocamentos; - estudo do conceito de GF, a qual é definida como a variação contínua e suave das roriedades mecânicas do material ao longo do volume; - imlementação de modelos hierelásticos não lineares, cujas equações constitutivas foram utilizadas elo bolsista, em seu mestrado, ara um elemento finito de casca; - estudo, roosta e imlementação comutacional do modelo elastolástico ara materiais em regime de grandes deformações; - definição e imlementação de leis de GF nos códigos comutacionais desenvolvidos; - simulações comutacionais de roblemas estruturais (estáticos e isotérmicos); - aralelização dos códigos desenvolvidos; - redação de artigos científicos; - ublicação de artigos em congressos científicos; - redação dos relatórios anuais da FAPESP; - exame de qualificação, outro requisito do deartamento; - redação e defesa da tese de doutorado.

39 .3. Justificativas A justificativa do resente trabalho é, conforme dito anteriormente, a necessidade de se desenvolver ferramentas numéricas robustas ara análise estrutural. Tais rogramas devem ser versáteis, isto é, eles devem ser caazes de simular, com recisão, o comortamento de estruturas com as mais variadas formas de solicitação atuante, geometria de comonentes e roriedades mecânicas dos materiais constituintes. Além de versátil e recisa, a ferramenta de cálculo estrutural deve ser rática, isto é, ela deve fornecer resultados confiáveis, essenciais ara o adequado dimensionamento, com um temo de execução comatível com o rojeto da estrutura. Dessa forma, retende-se desenvolver códigos comutacionais caazes de realizar simulações numéricas estruturais confiáveis e ráidas. É de extrema imortância rática, ara o engenheiro de estruturas, a existência de rogramas de simulação estrutural nos quais são considerados grandes deslocamentos, elevadas deformações, variação gradual das roriedades mecânicas do material e efeitos inelásticos. Isso orque o uso de comonentes estruturais com tais características é cada vez mais amlo nos diversos ramos da engenharia. A maior arte dos rogramas comerciais existentes é usada ara análise estrutural de materiais elásticos homogêneos em regime de equenos deslocamentos e equenas deformações. Essa análise, aesar de rática e ráida, é limitada a estruturas com equenas deformabilidades e sem efeitos inelásticos significativos. Outra justificativa deste estudo é que o gruo de esquisa no qual se insere o aluno já ossui códigos comutacionais de análise não linear geométrica com elementos finitos de barra, de órtico e de casca, limitados, contudo, a equenas deformações. Portanto, imlementar a metodologia numérica do gruo com uso de elementos finitos sólidos ara materiais em regime de grandes deformações amliaria as alicações de tal metodologia. É ossível, futuramente, desenvolver rogramas de análise não linear - geométrica e física - nos quais existam os mais diferentes tios de elementos no mesmo código comutacional, o que seria bastante útil ara o engenheiro de estruturas, já que este oderia ter, no mesmo rograma, várias oções de elementos finitos ara modelar seus comonentes estruturais.

40 É indiscutível a imortância científica do arofundamento no estudo de análises numéricas não lineares ara roblemas comlexos da engenharia estrutural. Isso é válido tanto ara o aluno quanto ara o gruo de esquisa e ara a Universidade de São Paulo (USP). Ademais, são encontradas alicações de tais análises em diversas áreas da engenharia. Por fim, retende-se desenvolver rogramas cada vez melhores, ou seja, rogramas com estratégias numéricas que ossibilitem simulações comutacionais mais ráidas e, ao mesmo temo, mais realistas..4. Resumo dos caítulos Além da introdução, esta tese ossui mais nove caítulos. No segundo caítulo, que é a revisão bibliográfica, discorre-se brevemente sobre os seguintes tóicos da literatura científica consultada, relacionados ao resente estudo: MNLC; elasticidade; elastolasticidade; MGFs; análise não linear numérica via MEF; e rogramação em aralelo. No terceiro caítulo, é dada a aroximação cinemática dos dois elementos finitos tridimensionais utilizados (o tetraedro e o hexaedro). São descritas, de forma sucinta, as grandezas cinemáticas emregadas resultantes dessa aroximação. A decomosição da deformação, ara o caso elastolástico, também é dada nesse caítulo. Os conceitos de tensão, modelo constitutivo, elasticidade e inelasticidade são dados no quarto caítulo, em que também é descrito o rincíio de equilíbrio estrutural (estático) utilizado. Todos esses conceitos são úteis ara se formular o equilíbrio de cada elemento finito e, consequentemente, de toda a estrutura. No quinto caítulo, são descritos o conceito de hierelasticidade, os modelos hierelásticos homogêneos adotados neste estudo e a relação tensão-deformação ara o caso hierelástico. As leis constitutivas hierelásticas são emregadas ara se exressar o comortamento mecânico do material em regime de deformações elásticas (ou reversíveis).

41 No sexto caítulo é abordado o tema da elastolasticidade. São descritas a formulação elastolástica ara equenas deformações, a aroximação de Green-Naghdi e a formulação elastolástica ara grandes deformações, chamada de hierelastolasticidade. Discorre-se também, nesse caítulo, sobre a relação tensão-deformação ara o caso elastolástico, o conceito de suerfície de lastificação, encruamento, leis de evolução lástica e algoritmos de retorno. Por fim, são descritos os modelos hierelastolásticos homogêneos adotados neste estudo. A definição e as leis de GF adotadas são aresentadas no sétimo caítulo. Entre tais modelos, são descritos os usualmente encontrados na literatura científica e os roostos elo aluno. Ademais, são fornecidas as exressões dos modelos constitutivos hierelásticos e hierelastolásticos ara materiais com GF. A metodologia numérica e os códigos comutacionais desenvolvidos elo aluno ao longo de seu doutorado são descritos no oitavo caítulo. Entre os referidos códigos, estão os geradores de funções de forma e de malhas de elementos tridimensionais, os rogramas de análise não linear - geométrica e física - de materiais altamente deformáveis via elementos finitos sólidos, e os rogramas de ós-rocessamento. Para análise de materiais em regime elastolástico, são descritas as estratégias iterativas de revisão elástica e de correção lástica. Alguns asectos da aralelização dos códigos desenvolvidos são aresentados nesse caítulo. Por fim, são brevemente descritos os rogramas EPIM3D (Elastolastic imlicit threedimensional code) e DD3IMP (Dee drawing three-dimensional imlicit code), utilizados elo aluno ao longo de seu estágio de doutorado na Universidade de Coimbra (Portugal), ara simulação numérica de materiais elastolásticos. Os exemlos numéricos ara validação dos códigos comutacionais desenvolvidos são dados no nono caítulo. Esses exemlos comreendem a análise não linear de estruturas constituídas de material homogêneo e com GF nos seguintes regimes: elástico e elastolástico, com equenas e com grandes deformações. Para mostrar a alicabilidade dos exemlos, deve ser comentado que as simulações numéricas realizadas são restritas a roblemas estruturais estáticos e isotérmicos. A discussão dos resultados obtidos também é dada no nono caítulo. No décimo e último caítulo, são aresentadas as conclusões baseadas nos resultados das simulações numéricas, as rinciais comarações com a literatura científica consultada, e algumas sugestões ara esquisas futuras.

42 As derivadas da deformação em relação aos graus de liberdade dos elementos sólidos utilizados neste estudo são dadas no aêndice A. As derivadas ara cálculo da tensão e do tensor elástico de quarta ordem são fornecidas no aêndice B. As fórmulas emregadas ara determinação do oerador tangente consistente hierelastolástico são dadas no aêndice C. No aêndice D, são descritas as derivadas utilizadas no algoritmo de correção lástica. Por fim, detalhes da geração automática das funções de forma e das malhas de elementos finitos tridimensionais são fornecidos nos aêndices E e F, resectivamente. As quadraturas unidimensionais de Gauss-Legendre, utilizadas ara determinação da quadratura tridimensional do elemento hexaédrico, e as quadraturas tridimensionais do elemento tetraédrico são dadas, resectivamente, nos anexos A e B.

43 . REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesta seção, são descritos brevemente alguns dos inúmeros estudos consultados ao longo da esquisa, relacionados com a resente tese... MNLC Devido ao fato de a MNLC ser uma teoria já consagrada no meio acadêmico, não é realizada aqui uma revisão bibliográfica sobre o assunto. Nesta seção, são citados alguns dos trabalhos, relacionados à MNLC, que foram consultados ao longo da esquisa. A teoria da MNLC, base ara o desenvolvimento da formulação numérica do resente estudo, é abordada em vários livros como, or exemlo, Coimbra (98), Marsden e Hughes (983), Ogden (984), Ciarlet (988), Belytschko, Liu e Moran (000) e Holzafel (004). Na teoria do contínuo, o coro - ou o objeto - analisado é considerado como sendo um meio contínuo, isto é, o coro é um sistema macroscóico, que não ossui vazios e cujas grandezas mecânicas são descritas or funções contínuas (HOLZAPFEL, 004). Podem ser citadas, ara exemlificar, as funções (contínuas) que descrevem a densidade e a temeratura de um coro de acordo com sua osição no esaço. Na Mecânica do Contínuo (MC), embora se saiba que todos os objetos são formados or moléculas e átomos, os efeitos microscóicos e atomísticos das inúmeras artículas materiais odem ser substituídos or um número equeno de variáveis macroscóicas (HOLZAPFEL, 004). Já que a MC ode ser alicada ara análise de fluidos, deve ser lembrado que esta esquisa é restrita à análise de sólidos. Em todos os livros suramencionados, são abordados os seguintes tóicos, essenciais ara a formulação desta tese: cinemática, que é o estudo do movimento de um coro; conceito e medidas de deformação, variável mecânica usada ara quantificar a intensidade da mudança de forma de um coro; definição e medidas de tensão, grandeza que relaciona forças e áreas de contato interno no material; balanços, que são leis fundamentais da física com alicação

44 em sólidos e fluidos; leis constitutivas, utilizadas ara descrever a resosta mecânica do material; e elasticidade, que é o regime no qual o camo de tensões deende aenas do estado atual de deformação num material. Além desses tóicos, Holzafel (004) descreve várias roriedades das álgebras vetorial e tensorial, e os conceitos a seguir, que também são fundamentais ara esta esquisa: hierelasticidade, que é a descrição da resosta do material elástico or meio de um otencial escalar; leis da termodinâmica, usadas ara obtenção da relação entre tensão e deformação; tensor elástico, emregado no rocedimento numérico deste estudo; materiais ouco comressíveis, como é o caso dos olímeros estruturais - ou elastômeros; rincíio da energia otencial estacionária, utilizado aqui ara se descrever o equilíbrio da estrutura na configuração final; e modelos constitutivos ara materiais inelásticos em regime de grandes deformações... Materiais elásticos De acordo com Coimbra (98), Ogden (984) e Holzafel (004), um material é chamado de elástico se a sua resosta mecânica deende aenas do nível de deformação em determinado instante e não do histórico de deformação. Assim, o rocesso de deformação elástica é classificado como reversível, isto é, quando o coro elástico, aós ser deformado devido à ação de uma força externa, é descarregado, ele retorna à sua osição inicial. Ao longo desse rocesso elástico de carregamento e descarregamento, não há dissiação de energia mecânica (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). O comortamento mecânico de um material qualquer é definido ela chamada lei - ou relação - constitutiva. Um dos modelos constitutivos elásticos usuais na literatura científica é a lei de Hooke, que estabelece a relação linear entre a tensão e a deformação de engenharia (CIARLET, 988). A desvantagem de tal modelo, também chamado de elástico linear, é o fato de ser restrito a materiais ouco deformáveis, isto é, materiais que aresentam equenos deslocamentos e equenas deformações (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). Outro modelo elástico existente é o de Saint Venant-Kifchhoff (SVK), o qual é exresso or uma

45 relação linear, análoga à lei de Hooke, entre o tensor deformação de Green-Lagrange e o segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (COIMBRA, 98). Conforme afirmado em Holzafel (004), esse modelo, também chamado de elástico não linear, é usualmente emregado ara análise de metais que ossam aresentar grandes deslocamentos, orém com equenas deformações de comressão. Para modelar materiais que ossam estar em regime de grandes deformações, são emregadas as condições de crescimento (HOLZAPFEL, 004). De acordo com tais condições, a energia necessária ara aniquilar a matéria ou exandi-la a um volume infinito torna-se infinita. Esse fato está de acordo com evidências científicas, e não é satisfeito elas leis elásticas de Hooke e SVK. Portanto, elo que foi discutido neste arágrafo e elo fato do rojeto de doutorado desta tese abordar materiais elásticos altamente deformáveis, foram adotados os seguintes modelos: lei elástica de SVK ara roblemas estruturais com grandes deslocamentos e equenas deformações; e lei elástica com condições de crescimento (HOLZAPFEL, 004) ara estruturas com elevados deslocamentos e grandes deformações. De acordo com Holzafel (004), todo material hierelástico, além de ser elástico, é descrito or um otencial escalar chamado de energia livre de Helmholtz, definida or unidade de volume inicial. O modelo de SVK também é chamado de lei hierelástica linear, ois estabelece uma relação linear entre tensão e deformação. Segundo Itskov e Aksel (004), tal modelo é a relação hierelástica mais simles e, or isso, é bastante emregado em análises de materiais elásticos em regime de grandes deslocamentos. Já os modelos hierelásticos em que a relação entre tensão e deformação não é linear são chamados de modelos hierelásticos não lineares (DÜSTER; HARTMANN; RANK, 003; HARTMANN; NEFF, 003; PASCON, 008). Entre os materiais elásticos altamente deformáveis, odem ser destacados os olímeros estruturais - ou elastômeros - e alguns metais. Os comonentes elastoméricos, usualmente modelados or relações hierelásticas não lineares, ossuem diversas alicações na engenharia como, or exemlo: aoios ara edifícios e ontes, eças de motor, vedação de ortas de veículos automotivos, juntas de dilatação flexíveis, selantes ara rearo em coberturas de edifícios, anéis de vedação ara foguetes ( o-rings ), neus, juntas ara vidros de segurança, e esumas de oliuretano ara bancos de carros (BECHIR; BOUFALA; CHEVALIER, 003; PEYRAUT et al., 009). Sabe-se que muitos olímeros estruturais aresentam equenas variações volumétricas mesmo em regime de grandes deformações (HOLZAPFEL, 004). Materiais que aresentam equenas alterações de volume são

46 chamados de ouco comressíveis. Assim, ara modelar os olímeros estruturais neste estudo foram emregadas leis hierelásticas não lineares ara materiais ouco comressíveis (HOLZAPFEL, 004). Em relação aos metais caazes de aresentar grandes deslocamentos, as seguintes alicações odem ser citadas: molas ara o sistema de susensão de carros, cabos de transmissão, lâminas de rotor de helicóteros, lâminas de turbinas eólicas, e braços robóticos (PAI; NAYFEH, 994; PAI; PALAZOTTO, 996). Todavia, encontrar o modelo constitutivo mais adequado ara determinado material, e simular numericamente as alicações suracitadas não fazem arte dos objetivos iniciais deste estudo. Existem vários estudos teóricos elasticidade e materiais elásticos. Carrol (009) ressalta a imortância de se descrever a resosta do material elástico or meio de um otencial escalar, como é o caso da hierelasticidade. Segundo tal estudo, caso a resosta não seja obtida a artir desse escalar, existe a ossibilidade de ocorrer trabalho negativo em ciclos fechados de deformação, o que é teoricamente incoerente, já que em tais ciclos não há dissiação de energia e, ortanto, o trabalho realizado ao longo deles deve ser nulo. Por essa razão, os modelos constitutivos elásticos adotados neste estudo são hierelásticos. Além disso, Hartmann e Neff (003) afirmam que, ara garantir a existência de solução única via minimização da energia, o otencial escalar hierelástico, que é a energia livre de Helmholtz, deve satisfazer as condições de oliconvexidade e coercividade (MARSDEN; HUGHES, 983; CIARLET, 988). De acordo com Ciarlet (988), o modelo de SVK não é oliconvexo, mas ode ser emregado ara modelar materiais elásticos sob equenas deformações. Os modelos hierelásticos não lineares adotados nesta esquisa são o de Rivlin-Saunders (RIVLIN, 956), o de Hartmann-Neff (HARTMANN; NEFF, 003) e o neo-hookeano (SZE; ZHENG; LO, 004). Tais modelos satisfazem as condições de oliconvexidade e coercividade, conforme afirmado em Hartmann e Neff (003). Aesar da imortância das referidas condições, roor novos modelos hierelásticos que as satisfaçam, e checá-las nos modelos adotados não são objetivos deste estudo.

47 .3. Elastolasticidade Todo material se deforma quando é submetido a forças externas. Os rinciais tios de deformação são descritos, or exemlo, em Khan e Huang (995). A deformação no material é classificada de elástica se for reversível e indeendente do temo, isto é, quando ela desaarece or comleto assim que as forças deixam de ser alicadas. Se a deformação é reversível mas deendente do temo, é chamada de viscoelástica. A mudança de forma é classificada como lástica quando é irreversível ou ermanente, ou seja, retiradas as forças externas, a deformação se mantém. Nesse caso, ocorre dissiação de energia mecânica, que é usada no rearranjo molecular do material (KHAN; HUANG, 995). Quando o material aresenta duas arcelas de deformação, uma elástica indeendente do temo e outra lástica, ele é classificado de elastolástico. Análises numéricas de estruturas constituídas de material elastolástico também são abordadas nesta tese. Entre as alicações ráticas de tais análises, ode ser citada a necessidade de revisão do comortamento mecânico durante a conformação lástica de metais (ALVES, 003). A teoria clássica da lasticidade é abordada em diversos livros como, or exemlo, Lubliner (990), Maugin (99) e Khan e Huang (995). A referida teoria é válida ara materiais em regime de equenas deformações, mas ode ser estendida ara o regime de grandes deformações. Em tais livros, são abordados vários conceitos fundamentais da teoria da lasticidade. O rimeiro deles é a irreversibilidade do rocesso de deformação lástica, discutido no arágrafo anterior. Outro conceito é a decomosição da medida de deformação, que ode ser feita em equenas ou grandes deformações. No rimeiro caso, o tensor de deformação infinitesimal (de engenharia) é decomosto, de forma aditiva, nas arcelas elástica e lástica (KHAN; HUANG, 995). Em regime de grandes deformações, duas das grandezas cinemáticas mais usadas são os tensores gradiente da mudança de configuração e deformação de Green-Lagrange (HOLZAPFEL, 004). Segundo Maugin (99), existem duas decomosições ossíveis ara materiais sob grandes deformações. A rimeira é a decomosição de Green-Naghdi, roosta or Green e Naghdi (965), na qual o tensor deformação de Green-Lagrange é decomosto, de forma aditiva, nas arcelas elástica e lástica. A segunda decomosição ossível é a de Lee, também chamada de decomosição de Kröner-Lee devido aos estudos de Kröner (960) e de Lee (969). Nesse caso, o tensor

48 gradiente da mudança de configuração - ou simlesmente gradiente - é decomosto, na forma de roduto matricial, nas arcelas elástica e lástica. Foi Lee (969) quem introduziu a noção de configuração intermediária, comosta aenas da arcela lástica do gradiente, na qual o material encontra-se descarregado. Na decomosição de Kröner-Lee, o tensor deformação total de Green-Lagrange não é, de modo geral, a simles soma das arcelas elástica e lástica de tal tensor, conforme considerado na teoria de Green e Naghdi (965). Ademais, de acordo com Eterovic e Bathe (99), se a decomosição aditiva de Green-Naghdi é utilizada em regime de grandes deformações elastolásticas, a resosta elástica ode deender das deformações lásticas, o que é incoerente. Além das decomosições de Green-Naghdi e de Kröner-Lee, é ossível roor outros tios de decomosição da deformação em grandes deformações. Um exemlo disso é o estudo de Miehe, Göktee e Diez (009), no qual é descrita uma decomosição aditiva no esaço logarítmico de deformação que, segundo os autores, é razoavelmente róxima da decomosição de Kröner-Lee. Outros conceitos da teoria clássica da lasticidade odem ser usados ara analisar materiais elastolásticos sob regime de grandes deformações como, or exemlo (LUBLINER, 990; MAUGIN, 99; KHAN; HUANG, 995): condições de carregamento elástico, lástico e neutro, e condição de descarregamento; critério e suerfície de lastificação; condição de consistência; encruamentos cinemático e isotróico; leis de evolução da deformação lástica, também chamadas de leis de fluxo lástico; otencial e trabalho lástico; associatividade; e regra da normalidade. Assim sendo, tais conceitos são utilizados na formulação elastolástica adotada na resente tese. De acordo com Naghdi e Tra (975), baseado na hiótese de trabalho mecânico não negativo em ciclos fechados de deformação, é ossível concluir a existência da regra da normalidade, em que é afirmado que a direção do fluxo lástico, no esaço das deformações ou das tensões, é normal à suerfície de lastificação. Essa regra da normalidade, emregada no resente estudo, ermite escrever a lei de fluxo lástico como sendo a derivada, em relação ao tensor das tensões, da função escalar que descreve a suerfície de lastificação. Contudo, Houlsby e Puzrin (000) afirmaram que não é ossível rovar teoricamente a regra da normalidade, embora seja uma aroximação razoável. Em relação aos modelos constitutivos elastolásticos, existem diversos trabalhos em que é utilizada a segunda lei da termodinâmica. Uma teoria bastante aceita e usada ara análise de materiais elastolásticos sob grandes deformações, na qual é adotada a segunda lei

49 da termodinâmica, é a descrita em Green e Naghdi (965), na qual são considerados os efeitos térmicos. É ossível, com essa teoria, exressar tensão como sendo a derivada do otencial de energia em relação à deformação, entroia como a derivada do otencial em relação à temeratura, e dissiação como a derivada do otencial em relação às variáveis lásticas. Outros trabalhos, nos quais a segunda lei da termodinâmica é fundamental ara o desenvolvimento da formulação elastolástica, odem ser destacados: Houlsby e Puzrin (000), em que se afirma que o comortamento elastolástico é descrito or dois otenciais, um referente à energia esecífica e outro à dissiação ou à suerfície de lastificação; Diagele, Hartmann e Tsakmakis (000), em que são aresentados modelos lásticos e viscolásticos com encruamento cinemático não linear; Hartmann (00), no qual se estuda a viscoelasticidade ara grandes deformações; Peric e Dettmer (003), no qual é realizada a combinação entre elasticidade, lasticidade e viscoelasticidade ara grandes deformações; Menzel et al. (005), em que é descrita uma metodologia ara elastolasticidade com dano anisotróico; Hallberg, Hakansson e Ristinmaa (007), em que se sugere um modelo hierlástico ara a fase de transição entre aços martensíticos e austeníticos; e Näser, Kaliske e Müller (007), em que é alicado um modelo de fratura ara materiais inelásticos em grandes deformações. Assim sendo, a segunda lei da termodinâmica é usada neste estudo, já que, de acordo com Houlsby e Puzrin (000), ela é bastante aceita na comunidade científica, ossui fortes bases conceituais e não ossui contraexemlos exerimentais. Com relação à análise de materiais elastolásticos sob grandes deformações, aarecem os seguintes nomes na literatura científica: meio contínuo elastolástico (GREEN; NAGHDI, 965); elastolasticidade finita (PAPADOPOULOS; LU, 998; SVENDSEN, 998; PAPADOPOULOS; LU, 00); elastolasticidade com grandes deformações (GREEN; NAGHDI, 97; DOGUI; SIDOROFF, 985; SVENDSEN; ARNDT; KLINGBEIL; SIEVERT, 998); e hierelastolasticidade (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000; EKH; RUNESSON, 00; FERRAN; FOGUET; HUERTA, 00; JEREMIC; CHENG, 009). O nome hierlasticidade aarece, or exemlo, em Puzrin e Houlsby (00). Segundo esse estudo, um material é considerado hierlástico quando seu comortamento mecânico ode ser definido via dois otenciais: a energia livre de Helmholtz (HOLZAPFEL, 004) e um otencial relacionado com a dissiação. Porém, o referido artigo é restrito à análise de materiais elastolásticos em equenas deformações. A extensão da formulação hierlástica ara grandes deformações ode ser tema ara algum estudo no futuro.

50 Além dos modelos elastolásticos nos quais a deformação é decomosta de forma aditiva, existe na literatura científica o chamado modelo hioelastolástico (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000), no qual o tensor taxa de deformação (HOLZAPFEL, 004) é decomosto aditivamente nas arcelas elástica e lástica. Essa decomosição aditiva é abordada em vários estudos como, or exemlo, Simo e Ortiz (985) e Nicholson e Lin (999). Segundo Belytschko, Liu e Moran (000), modelos hioelastolásticos só odem ser usados quando as deformações elásticas são equenas em relação às lásticas. Isso orque, ara tais modelos, o trabalho realizado em um ciclo fechado de deformação (KHAN; HUANG, 995), que deveria ser nulo, é diferente de zero. Ademais, em regime de grandes deformações elastolásticas, não se ode decomor aditivamente a deformação (GREEN; NAGHDI, 965; ETEROVIC; BATHE, 99). Para contornar esses roblemas em tal regime, leis hierelastolásticas têm sido roostas (SIMO; ORTIZ, 985; MORAN; ORTIZ; SHIH, 990). Essas leis são abordadas na resente tese, já que um dos objetivos aqui é estudar materiais elastolásticos que odem aresentar grandes deformações. Usualmente, na formulação hierelastolástica são utilizadas, entre outras coisas, a decomosição multilicativa de Kröner-Lee (KRÖNER, 960; LEE, 969) e a segunda lei da termodinâmica (MARSDEN; HUGHES, 983). No estudo de Botta et al. (008), embora restrito à análise geometricamente linear, discorre-se sobre a variação volumétrica na fase lástica. É demonstrado que, no modelo clássico elastolástico de Drucker-Prager com lei de fluxo não associativa (KHAN; HUANG, 995), é ossível ocorrer aumento do volume do material mesmo em casos de comressão simles. Para evitar tal roblema, os autores sugerem a adoção de um otencial lástico, não conhecido exlicitamente, cuja direção ortogonal é escolhida de forma que seja coerente a variação volumétrica do material. Essa sugestão ode ser usada na lei de fluxo lástico, caso seja identificada incoerência entre o carregamento e a variação volumétrica do material ao longo das simulações numéricas. Segundo Khan e Huang (995), no regime elastolástico, devido ao caráter dissiativo da deformação lástica, a relação tensão-deformação assa a deender não aenas do estado atual mas da trajetória de deformação ocorrida - ou do histórico de deformação - no material, isto é, não existe uma corresondência única entre tensão e deformação durante a fase lástica. Por essa razão, as teorias elastolásticas são incrementais, ou seja, relacionam alterações - infinitesimais ou no temo - entre as medidas de deformação elástica e lástica, a medida de tensão e os arâmetros de encruamento. Assim sendo, neste estudo foram

51 emregadas relações elastolásticas na forma incremental, ou seja, na forma de taxas de variação..4. MGFs A GF é definida, na engenharia de materiais, como a variação gradual (contínua e suave) da comosição do material ao longo de seu volume. O resultado desse tio de variação é a contínua alteração das roriedades mecânicas do material ao longo do coro. Dessa forma, as funções que descrevem tais roriedades são contínuas e suaves ao longo do volume, ou seja, essas funções não aresentam variações abrutas nem descontinuidades. Entre os materiais comósitos - ou heterogêneos - odem ser destacados os laminados e os com GF. De acordo com Arciniega e Reddy (007), materiais comósitos laminados são aqueles formados or camadas de diferentes materiais, unidas entre si. O rojetista de um comonente estrutural laminado ode escolher o tio de material, e a orientação e esessura das camadas ara adequar esse comonente a uma determinada alicação. Aesar dessa vantagem, a ossível concentração de tensões entre diferentes camadas ode rejudicar o desemenho do comonente estrutural (ARCNINIEGA; REDDY, 007). Já no material heterogêneo com GF, os camos de tensão (HOLZAPFEL, 004) variam de forma contínua ao longo do volume, ou seja, não ocorrem alterações abrutas nem descontinuidades em tais camos, as quais são comuns nos laminados. É afirmado em Chi e Chung (006) que, em ambientes com altas temeraturas, as referidas descontinuidades odem causar roblemas, como fratura ou descolamento, devido à abruta variação do coeficiente de dilatação térmica, o que induz altas tensões residuais. Podem ser citados os seguintes exemlos dos referidos ambientes, nos quais são usados materiais com GF: câmara de combustão de aeronaves, e reator de fusão nuclear. Ademais, comenta-se em Ghannadour e Alinia (006) que nos MGFs, além de se eliminar os roblemas de descontinuidade na interface, aroveitam-se as roriedades de diferentes materiais no mesmo comonente. Assim, essa continuidade da

52 tensão ode ser considerada como uma das vantagens dos materiais com GF em relação aos comósitos laminados. Segundo Woo e Meguid (00), GhannadPour e Alinia (006) e Oyekoya, Mba e El- Zafrany (009), o conceito de MGF surgiu em 984 como roosta, durante o rojeto esacial jaonês, ara um material de barreira térmica caaz de suortar temeraturas de 000 K em uma das faces e um gradiente de 000 K ao longo da seção transversal (menor que 0mm). A laca deveria ter alta resistência térmica (roriedade das cerâmicas) na face externa, ara suortar o calor, e alta resistência mecânica (roriedade dos metais) na face interna, ara suortar os esforços mecânicos. A solução foi adotar uma laca com GF cuja face externa fosse cerâmica e a interna fosse metálica. Tais estudos, orém, não fornecem o nome nem o autor do artigo original em que foi introduzido o conceito de GF. Já o nome functionally graded material (FGM) foi sugerido, segundo Arciniega e Reddy (007), or Yamanouchi et al. (990) e Koizumi (997). Com relação às alicações de materiais com GF, as mais usuais são aquelas em ambientes com altas temeraturas como, or exemlo, reatores de fusão nuclear, usinas químicas e aeronaves a grandes velocidades (ARCINIEGA; REDDY, 007). Aenas ara exemlificar, é afirmado em Chen (005) que, na combinação de metal e cerâmica em comonentes com GF, são aroveitadas a boa tenacidade à fratura do metal e as boas resistências mecânica e térmica da cerâmica, o que aumenta a vida útil do material. De acordo com Ben-Oumrane et al. (009), materiais com GF também são usados nas indústrias aeronáutica, automobilística, bélica e, mais recentemente, nas áreas eletrônica e biomédica. Aesar de as rinciais alicações de materiais com GF estarem em ambientes com altas variações térmicas, um dos objetivos do resente estudo é realizar simulações numéricas de materiais com GF das roriedades constitutivas elastolásticas, já que a análise aqui é isotérmica. Com relação à exressão matemática usada ara descrever a GF de determinada roriedade mecânica de um material, são descritas três funções em Chi e Chung (006): lei de otência (P-FGM), lei sigmoidal (S-FGM) e lei exonencial (E-FGM). Essas são as leis de GF mais comuns na literatura científica e, or isso, estão imlementadas nos códigos comutacionais desenvolvidos neste estudo. Detalhes relativos à caracterização do comortamento mecânico de MGFs odem ser encontrados, or exemlo, na tese de Chaman (006). Nesse trabalho, comenta-se

53 brevemente sobre os inúmeros rocessos de manufatura desse tio de comósito, os quais ainda estão em fase exerimental..5. Análise não linear numérica via MEF Para se resolver determinado roblema estrutural, devem ser conhecidas a geometria dos comonentes, as roriedades mecânicas dos materiais constituintes, e as condições de contorno. A geometria comreende as dimensões (iniciais) de todos os comonentes estruturais. As roriedades mecânicas odem ser descritas elas leis constitutivas. Já as condições de contorno (CIARLET, 988) se referem aos deslocamentos rescritos e às forças rescritas no contorno (externo) da estrutura. A solução do roblema estrutural consiste em obter - analiticamente ou numericamente - a relação entre a geometria, a lei constitutiva e as condições de contorno da estrutura. Basicamente, existem dois tios de solução de um roblema estrutural: a analítica, na qual a referida relação é obtida exlicitamente e descrita or meio de exressões matemáticas exatas; e a numérica, em que determinada variável mecânica é aroximada. De modo geral, ara se encontrar analiticamente a solução de um roblema estrutural, é necessário resolver as equações de equilíbrio, as quais são equações diferenciais arciais. Tal resolução se torna mais comlicada quando a análise estrutural assa a ser não linear. Sabe-se que quando o material ode aresentar grandes deslocamentos ou grandes mudanças de forma, a não linearidade geométrica (CRISFIELD, 000) torna-se imerativa. Já quando o material aresenta efeitos inelásticos consideráveis, como lásticos ou viscoelásticos, a não linearidade física (PACCOLA, 004) ou material (CRISFIELD, 000) deve ser utilizada. Indeendentemente da magnitude dos deslocamentos e das deformações, as soluções analíticas encontradas na literatura científica são restritas a casos com simlificações da geometria do comonente, da lei constitutiva e das condições de contorno. Com relação aos materiais altamente deformáveis, existem inúmeras teorias e soluções analíticas ara roblemas estruturais esecíficos. Podem ser citadas, or exemlo, as teorias não lineares

54 geométricas ara materiais elásticos resentes nos seguintes estudos: Pai e Nayfeh (994), em que é aresentada uma teoria tridimensional ara vigas; Li (997), em que é descrita uma teoria bidimensional ara vigas; e Li e Zhan (000), que descreveram uma teoria ara lacas e cascas. Exemlos de soluções analíticas ara materiais altamente deformáveis são dados a seguir: Rivlin e Saunders (95), que descreveram a solução ara barras incomressíveis (com variações volumétricas desrezíveis) sob tração uniaxial; Rivlin (956), em que é aresentada uma solução ara cisalhamento simles e tração biaxial de materiais incomressíveis; Sinclair (979), que obteve soluções ara vigas sob carregamentos cisalhante e longitudinal; Mattiasson (98), em que são descritas soluções ara roblemas lanos de órticos e vigas; Libai e Simmonds (983), que obtiveram soluções ara roblemas com cascas e vigas curvas; Taber (986), em que são descritas soluções ara lacas sob carregamento transversal uniforme; e Pai e Palazotto (996), em que são fornecidas as soluções analíticas ara roblemas lanos e tridimensionais de vigas. As teorias e soluções analíticas da elasticidade não linear são esecíficas ara cada roblema estrutural. Em outras alavras, as equações de equilíbrio obtidas ara determinado tio de estrutura odem não ser válidas ara outros tios. Ademais, não existem soluções analíticas generalizadas ara roblemas estruturais, isto é, soluções analíticas que ossam ser alicadas a qualquer estrutura. Para resolver roblemas mais comlexos e gerais, esquisadores e rojetistas estruturais têm recorrido aos métodos numéricos ou aroximados. Entre eles, destaca-se o MEF, que é emregado neste estudo. No MEF, de acordo com ASSAN (003), o coro - ou o comonente estrutural - é dividido ou discretizado em uma quantidade finita de artes, chamadas de elementos finitos. Além disso, variáveis mecânicas (deslocamentos, deformações ou tensões) são descritas elas chamadas funções aroximadoras no domínio de cada elemento. Em geral, tais funções são comostas ela combinação linear entre os valores nodais e as funções de forma (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Os desconhecidos valores nodais, que recebem o nome de graus de liberdade, são os resectivos valores da variável mecânica aroximada em ontos conhecidos, chamados de nós. Funções de forma - ou interoladoras - são funções conhecidas, usualmente olinomiais, definidas no domínio de cada elemento finito. A ordem do elemento finito é definida elo grau das funções de forma. O equilíbrio de forças interdeendente entre os elementos finitos imlica no equilíbrio global da estrutura, o qual ode ser exresso or um sistema de equações (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). A solução de tal sistema é um vetor que contém os graus de liberdade de

55 toda a estrutura. De osse de tais valores, é ossível determinar os camos de deslocamento e de deformação or meio das funções de forma. Com a lei constitutiva, ode ser obtido o camo de tensões. Assim sendo, o MEF é um método que ode ser facilmente imlementado em códigos comutacionais, devido à sua generalidade, e que ode ser emregado ara análises dos mais variados tios de estrutura. O MEF ode ser alicado tanto ara roblemas estruturais lineares como não lineares. Conforme afirmado em Crisfield (000), o artigo mais antigo sobre elementos finitos ara análise estrutural não linear geométrica é o de Turner et al. (960), em que são analisadas estruturas da indústria aeronáutica com grandes deslocamentos. É afirmado em Belytschko, Liu e Moran (000) que simulações numéricas, via elementos finitos, ara análise não linear vêm substituindo testes exerimentais com rotótios nas indústrias automotiva, de manufatura e eletrônica, or exemlo. Isso orque, segundo tal livro, a simulação numérica é mais ráida e menos disendiosa do que os testes com rotótios, com relação ao dimensionamento e ao rojeto. O roblema da análise não linear geométrica via MEF é que o sistema global de equações que descreve o equilíbrio da estrutura ossui caráter não linear. Uma das maneiras de resolver tal inconveniente, usada nesta esquisa, é emregar o método de Newton (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000), também chamado de método de Newton-Rahson (CRISFIELD, 000). É descrita, nos estudos de Coda e Greco (004), Greco e Coda (006), Coda e Paccola (007) e Coda (009), a versão osicional do MEF ara análise não linear geométrica. Em tal formulação, os graus de liberdade são as osições finais dos nós, e não os deslocamentos dos mesmos, como é feito usualmente (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Aesar dessa diferença, a análise via MEF osicional deve, teoricamente, fornecer os mesmos resultados da resectiva análise via MEF tradicional. O MEF osicional é utilizado em vários outros estudos como, or exemlo: Minski (008), que analisou imacto bidimensional entre estruturas aneladas e antearo rígido; Maciel (008), que realizou análise não linear geométrica de órticos lanos e sólidos tridimensionais; e Carrazedo (009), que estudou imacto entre estruturas constituídas de material elastolástico com consideração de efeitos térmicos. Além da formulação osicional do MEF, é descrito nos estudos suramencionados o rincíio da mínima energia otencial total, que é emregado nesta esquisa ara descrição do equilíbrio estrutural (estático).

56 Vários tios de elementos finitos são encontrados na literatura científica (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005; BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000; CRISFIELD, 000). No resente estudo, são utilizados elementos finitos sólidos (tridimensionais). Algumas vantagens e desvantagens de elementos finitos sólidos, em relação aos demais elementos, são comentadas nos seguintes artigos, or exemlo: Düster, Bröker e Rank (00), Wang e Wagoner (005), Petchsasithon e Gosling (005) e Sheherd e Johnson (008). Contudo, não se retende comarar - nesta esquisa - vários tios de elementos finitos entre si, já que um dos objetivos iniciais é, aenas, a imlementação comutacional de elementos tridimensionais ara simulações numéricas de estruturas altamente deformáveis. Uma das justificativas do resente estudo é a de que, de acordo com a esquisa bibliográfica realizada, não existem estudos sobre simulação numérica de estruturas altamente deformáveis constituídas de material elástico e elastolástico com GF via elementos finitos sólidos. Na maior arte dos estudos sobre tais estruturas, são usados elementos finitos de casca (GHANNADPOUR; ALINIA, 006; ARCINIEGA; REDDY, 007; ZHAO; LIEW, 009; HUANG; HAN, 00). Além disso, com relação à análise via MEF de materiais com GF sob regime de grandes deformações, existem ouquíssimos estudos como, or exemlo, o de Bilgili (00) e o de Batra e Bahrami (009). No MEF, de modo geral, a determinação do sistema de equações tem de ser realizada or meio do cálculo de integrais. Devido à dificuldade de se calcular exatamente as integrais envolvidas, ode ser usada a chamada integração numérica (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Uma forma de se obter numericamente determinada integral é o uso das quadraturas Gaussianas (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000), comostas de um determinado número de ontos e esos de integração. A maioria dos livros e artigos fornece quadraturas ara elementos unidimensionais de várias ordens de aroximação olinomial, e ara elementos lanos e sólidos de baixa ordem de aroximação. Com relação a elementos sólidos de alta ordem, as quadraturas Gaussianas odem ser encontradas em Jinyun (984) e em Keast (986). Tais quadraturas são usadas nos códigos comutacionais desenvolvidos neste estudo. Se a integração numérica fornece erros desrezíveis, quando comarada à integração exata, ela ode ser classificada como integração comleta. Além disso, esera-se que, quanto maior o número de ontos de integração numérica utilizado, menor deverá ser o erro. Todavia, como não se conhece o valor exato das integrais, ode-se adotar o número de ontos a artir do qual o valor numérico não se altera de forma significativa. Isso ara economizar temo, já que

57 quanto maior o número de ontos, maior é o temo necessário ara cálculo numérico das integrais. Dois roblemas numéricos com relação ao MEF têm sido observados na literatura científica. O rimeiro deles é que elementos finitos com baixa ordem de aroximação olinomial são mais suscetíveis a um fenômeno conhecido como travamento (FLANAGAN; BELYTSCHKO, 98; BACHRACH; BELYTSCHKO, 986; SURI, 996). Embora seja um conceito confuso em boa arte dos artigos, o travamento ode ser entendido como sendo a incaacidade de um elemento finito de reroduzir determinado modo de deformação. Três tios de travamento são abordados em Belytschko, Liu e Moran (000): travamento volumétrico, relacionado à incaacidade do elemento de reroduzir deformação isocórica, ou seja, deformação sem alteração de volume; travamento or cortante, quando o elemento não é caaz de aresentar deformações cisalhantes nulas; e travamento de membrana, quando o elemento não consegue reroduzir flexão sem aresentar estiramento (ou encurtamento) das fibras inicialmente aralelas entre si. De acordo com Suri (996), Düster, Hartmann e Rank (003), Reddy (004) e Arciniega e Reddy (007), o emrego de elevadas ordens de aroximação olinomial elimina o travamento, o que aumenta a confiabilidade dos resultados fornecidos ela análise. Contudo, isso leva ao segundo roblema numérico do MEF: o elevado temo de rocessamento exigido ara análise com elementos de alta ordem, bem como a grande caacidade de memória necessária. Para contornar os referidos roblemas numéricos do MEF, alguns esquisadores têm roosto técnicas alternativas ara elementos de baixa ordem como, or exemlo: integração seletiva e reduzida (MALKUS; HUGHES, 978a; MALKUS; HUGHES, 978b); método do enriquecimento em deformação, o EAS (SIMO; RIFAI, 990; SIMO; ARMERO, 99); método da deformação natural assumida, a ANS (BATHE; DVORKIN, 985; HUANG; HINTON, 986); e métodos de estabilização dos modos esúrios de energia, chamados de hourglass modes (KOSLOFF; FRAZIER, 978; BELYTSCHKO et al., 984; REESE, 007). Todavia, ara o autor da resente tese, a recisão obtida com essas técnicas alternativas, com relação aos camos de tensão, não é garantida. Neste estudo, defende-se a ideia de que elevadas ordens de aroximação, juntamente com integração comleta das equações envolvidas e com malhas de elementos suficientemente refinadas (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005), tendem a eliminar, or comleto, o travamento sem rejudicar a recisão dos resultados fornecidos. Ademais, ara reduzir o elevado temo de rocessamento necessário, ode ser emregado o rocessamento aralelo (ver item.6).

58 Sabe-se que na análise via MEF, é ossível discretizar a mesma estrutura com malhas de elementos finitos diferentes. O que diferencia tais malhas são a quantidade, a osição e a ordem dos elementos finitos. Quanto maior a quantidade e a ordem dos elementos, maior é o refinamento da malha, e maior é a ordem do sistema de equações a ser resolvido, isto é, maior é o número de equações ou de incógnitas. Assim, ara malhas de elementos muito refinadas, o temo de rocessamento necessário ara solução do sistema se torna muito elevado. Para tornar mais ráida a referida solução, vários métodos da literatura científica odem ser usados. Um deles é o método direto multifrontal baseado na eliminação de Gauss, descrito or Duff e Reid (983). Tal rocedimento é base ara as sub-rotinas MA7 (DUFF; REID, 98) e MA57 (DUFF, 004), as quais são usadas ara resolução de sistemas lineares simétricos. Na metodologia emregada no resente estudo ara análise via MEF, tais características estão resentes no sistema de equações resultante. Embora existam outras estratégias ara solução de sistemas lineares simétricos (TURNER, 99; SCOTT; HU, 007; POPA, 008; RAO; SARITA, 008), a sub-rotina usada nos códigos comutacionais desenvolvidos nesta esquisa é a MA57. Segundo Duff (004), essa sub-rotina é mais eficiente, com relação ao temo de rocessamento, do que a MA7, a qual foi bastante utilizada elo gruo de esquisa do aluno. A solução numérica de um roblema estrutural com materiais elastolásticos ode ser realizada or meio das estratégias de revisão elástica e de correção lástica (SIMO; HUGHES, 998; BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). Na etaa de revisão, a resosta do material é assumida como sendo uramente elástica, isto é, sem evolução dos arâmetros lásticos. Se o critério de lastificação (KHAN; HUANG, 995) for satisfeito, então a consideração de deformação uramente elástica é verdadeira. Caso contrário, ara satisfazer o referido critério devem ser atualizados os valores da tensão, da deformação lástica e dos arâmetros de encruamento. Essas atualizações consistem na integração das equações diferenciais que envolvem, de maneira geral, as leis de fluxo lástico e de evolução do encruamento (LUBLINER, 990). Existem vários métodos de integração dessas equações nos estudos numéricos sobre elastolasticidade em equenas ou em grandes deformações. Um deles é o método do retorno de Euler (LUBLINER, 990), roosto inicialmente or Wilkins (964) e Maenchen e Sack (964). Nesse método são relacionados os seguintes valores: intervalo de temo, variação dos arâmetros lásticos nesse intervalo, e valores dos referidos arâmetros no início e no final do intervalo. Entre os algoritmos de retorno, existem os exlícitos, os semi-imlícitos e os imlícitos (SIMO; HUGHES, 998; BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). Para lasticidade associativa (KHAN; HUANG, 995), o retorno de Euler

59 assa a ser chamado de esquema de rojeção ao onto mais róximo da suerfície de lastificação (SIMO; HUGHUES; 998). Nesse método, quando o critério de lastificação não é satisfeito ela revisão elástica, os valores da deformação lástica e dos arâmetros de encruamento são atualizados de forma que o onto que caracteriza o estado atual de deformação no coro, no esaço das deformações ou das tensões, retorna à suerfície de lastificação ela direção normal a esta suerfície. Segundo Simo e Taylor (985), quando o critério de lastificação é o de von-mises (KHAN; HUANG, 995), o algoritmo de retorno é chamado de algoritmo de retorno radial. Além desse tio de estratégia, existem ainda o algoritmo de retorno exonencial, roosto inicialmente or Weber et al. (990), o algoritmo da tensão inicial, sugerido or Zienkiewicz, Valliaan e King (969), e o retorno imlícito de segunda ordem, descrito em Paadooulos e Lu (998). Neste estudo foram adotados o critério de lastificação de von-mises e o retorno radial. No contexto da análise de materiais elastolásticos em regime de grandes deformações via MEF, odem ser citados os estudos a seguir: Paadooulos e Lu (998), Paadooulos e Lu (00), Hartmann (00), Peric e Dettmer (003), Dettmer e Reese (004), Menzel et al. (005), Golovanov e Sultanov (005), Vladimirov, Pietryga e Reese (008), Miehe, Göktee e Diez (009), Areias e Rabczuk (00), e Mosler (00). Em todos esses trabalhos, são usados a decomosição da deformação, ou a de Green-Naghdi ou a de Kröner-Lee, a teoria termodinâmica de Green e Naghdi (965), algoritmos de retorno e leis de encruamento. É descrito, em Simo e Taylor (985), o conceito do oerador tangente consistente elastolástico, também chamado de módulo tangente elastolástico. O oerador tangente consistente (DÜSTER; HARTMANN; RANK, 003) é um tensor de quarta ordem que reresenta a derivada do tensor tensão em relação ao tensor deformação. Quando é incluída, no cálculo dessa derivada, a variação da deformação lástica, o oerador tangente consistente assa a ser chamado de módulo tangente elastolástico (ou oerador tangente consistente elastolástico). O uso desse módulo ode, segundo Crisfield (000), melhorar a convergência das iterações via método de Newton-Rahson, já que, ao longo das tentativas, a variação dos arâmetros lásticos é considerada. Por isso, a determinação do oerador tangente consistente elastolástico foi realizada neste estudo. Para análise de materiais elastolásticos, odem ser citadas as seguintes formulações alternativas, que não são usadas neste estudo: formulação corrotacional (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000; NAGHDABADI; YEGANEH; SAIDI, 005); taxas de tensão de

60 Jaumann e de Truesdell (OGDEN, 984; HOLZAPFEL, 004); derivada de Lie (SIMO; HUGHES, 998; PERIC; DETTMER, 003); e teoria de Bell (BELL, 973; BELL, 975), que é baseada em observações exerimentais..6. Processamento aralelo Quando rocessadores executam os mesmos cálculos simultaneamente, o rocessamento é classificado como sequencial. Conforme Uktu et al. (98), rocessadores atuam em aralelo quando rocessam de forma indeendente, ou seja, quando cada rocessador realiza sozinho as suas resectivas tarefas. Nesse estudo, é afirmado também que n rocessadores odem realizar, em um segundo, o mesmo que um rocessador sozinho oderia realizar em n segundos, como era de se eserar. Assim, ara reduzir o temo de rocessamento das análises numéricas, o rocessamento aralelo é emregado no resente estudo. É reciso lembrar, contudo, que embora esse tio de rocessamento reduza o temo, ele ode não reduzir o custo comutacional em termos de memória (UKTU et al., 98). Ademais, ara garantir que nenhum rocessador fique arado or muito temo, é necessário distribuir adequadamente as tarefas - ou os cálculos entre os rocessadores. Isso orque se o temo ocioso de um ou mais rocessadores for muito grande, a eficiência da análise, em termos de temo de rocessamento, ode ser comrometida. Por fim, Rao, Rao e Dattaguru (003) descreveram o chamado seed-u, que é a razão entre os temos de rocessamento dos códigos comutacionais sequencial e aralelo, ara realização das mesmas tarefas. Tal valor é usado neste estudo ara se determinar o ganho, em termos de velocidade de execução, do rocessamento aralelo em relação ao sequencial. No contexto do rocessamento aralelo ara análises estruturais via MEF, os rimeiros estudos surgiram na década de 80. Podem ser citados os seguintes exemlos: Uktu et al. (98); Hughes, Levit e Winget (983); e Fulton (986). Além disso, um conceito comum na literatura científica relacionado a rocessamento aralelo via MEF é a chamada decomosição de domínio (YAGAWA; SONEDA; YOSHIMURA, 99; RAO; RAO;

61 DATTAGURU, 003; KLAWONN; RHEINBACH, 00; RIVERA et al., 00). Esse conceito consiste na searação do domínio - ou da estrutura - e na solução indeendente de cada subdomínio resultante. Embora a decomosição de domínio seja bastante usada, ela não é emregada nesta esquisa, já que esse conceito envolve o estudo de técnicas iterativas ara solução de roblemas indeendentes, o qual não é objetivo desta tese. Aenas a montagem do sistema de equações é aralelizada, isto é, o sistema é montado or artes. Em tal rocedimento, cada rocessador determina os sistemas locais (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005) de seus resectivos elementos finitos. Assim, esera-se que a montagem do sistema de equações a ser resolvido no código aralelo seja realizada de forma mais ráida do que no código sequencial.

62 3. CINEMÁTICA Neste caítulo, são descritas as grandezas cinemáticas utilizadas e as aroximações dos elementos finitos sólidos emregados neste estudo. Detalhes teóricos relativos à cinemática, no âmbito da Mecânica Não Linear do Contínuo, odem ser encontrados, or exemlo, em Coimbra (98), Ogden (984), Ciarlet (988), Khan e Huang (995), Belytschko, Liu e Moran (000), Crisfield (000), Holzafel (004) e Pascon (008). São usadas, no desenvolvimento da resente metodologia numérica, a notação indicial de Einstein, a convenção de soma de índices reetidos e a base ortonormal (HOLZAPFEL, 004). Neste e nos róximos caítulos, os escalares são reresentados or letras minúsculas ou maiúsculas (sem negrito), os vetores or matrizes coluna ou or letras Latinas minúsculas em negrito, os tensores de segunda ordem são descritos or matrizes quadradas, or letras maiúsculas em negrito ou or letras gregas em negrito, e os tensores de ordem suerior a dois or letras gregas em itálico. 3.. Posição ou configuração Segundo Holzafel (004), a grandeza osição - ou configuração - é um camo vetorial que associa ontos materiais às suas resectivas osições - ou coordenadas - no esaço. Tal associação deve ser feita em relação a um referencial, que é um conjunto de eixos cartesianos com origem fixa (HOLZAPFEL, 004). Neste estudo, as osições inicial (no instante t = 0) e atual (no instante t > 0) são reresentadas, resectivamente, elos camos vetoriais x e y, também chamados aqui de vetores osição inicial e final. Além disso, a descrição adotada aqui é a Lagrangiana, isto é, a osição de referência é a inicial ( x ). Por fim, com a consideração de meio contínuo, as funções que descrevem as osições inicial e atual devem ser funções contínuas.

63 Com relação à aroximação emregada ara as configurações inicial e atual, é utilizado o Método dos Elementos Finitos (MEF). Assim, a estrutura analisada é discretizada - ou searada - em uma quantidade finita de artes, chamadas de elementos finitos (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Os elementos usados aqui são os sólidos (tridimensionais) tetraédricos e hexaédricos isoaramétricos (CHEN, 005). Para maear as configurações inicial e final de cada elemento finito, é emregado o maeamento osicional dulo, similar ao usado em Coda e Paccola (007), Pascon (008), Coda e Paccola (009) e Coda (009). Nessa estratégia, as configurações inicial e final, tanto ara o elemento tetraédrico como ara o hexaédrico, são arametrizadas or meio dos valores nodais e de um esaço auxiliar adimensional, reresentado or ξ (ver figura 3.). Neste estudo, os valores nodais são as três coordenadas em determinados ontos, chamados de nós (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Matematicamente, as osições são exressas da seguinte forma: k ( ) ( ) x= x φ ξ (3..) k k ( ) ( ) y = y φ ξ (3..) k ξ ξ = ξ (3..3) ξ 3 onde x e y são, resectivamente, os vetores osição inicial e atual; ( ) k x e ( ) k y reresentam, resectivamente, as três coordenadas iniciais e atuais do nó k; ξ reresenta as três coordenadas adimensionais dos ontos ertencentes ao esaço auxiliar; e φ ( ) forma (ASSAN, 003) relativa ao nó k. Neste caso, as funções x, y e φ ( ) k k ξ é a função de ξ são definidas no domínio do resectivo elemento finito. Ademais, as funções de forma adotadas no resente estudo são os usuais olinômios de Lagrange (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005), isto é: ( ) φ ξ = δ (3.) k m km onde ξ m reresenta as três coordenadas adimensionais do nó m; e δ km é o delta de Kronecker (HOLZAPFEL, 004).

64 As exressões (3..) e (3..), que são usadas ara aroximar as configurações inicial e final de cada elemento finito, odem ser reescritas em notação indicial (HOLZAPFEL, 004): x= ( ) k i xi φ k ( ξ ) (3.3.) y= ( ) k i yi φ k ( ξ ) (3.3.) onde a i é a comonente do vetor a na direção i. Por exemlo, ara descrever o vetor osição atual de cada elemento finito, os valores nodais emregados são as três coordenadas atuais ( y, y e y 3 ) dos nós ertencentes a esse elemento. Nesta tese, tais valores são os graus de liberdade (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005) da estrutura analisada, ou seja, as três coordenadas atuais de todos os nós são os arâmetros nodais, usados ara descrever a osição atual de toda a estrutura. Figura 3.. Esaços auxiliares adimensionais ara os elementos sólidos tetraédrico e hexaédrico. Uma das eculiaridades deste estudo é a adoção de uma aroximação olinomial genérica ara as funções de forma (ver equações 3. e 3.), isto é, o grau de aroximação

65 olinomial ara tais funções ode ser qualquer. Assim, as funções que descrevem as osições dos elementos sólidos odem ter aroximação linear, quadrática, cúbica etc. É ossível, dessa forma, realizar análise de convergência dos resultados ara os roblemas estruturais simulados com o mesmo número de elementos e com distintas ordens de aroximação. Para uso da aroximação olinomial genérica, as funções de forma são exressas na seguinte forma matricial genérica: φ = Mcoefξ v ou k = ( ξmcoef ) km ( v ) m φ (3.4) onde φ é o vetor que contém todas as funções de forma; M coef é a matriz (quadrada) que contém os coeficientes (constantes) das funções de forma; v ξ é o vetor que, no caso tridimensional, contém os rodutos - na devida sequencia - entre as coordenadas adimensionais ξ, ξ e ξ 3 ; e a oeração ( ) ( ) denota, neste caso, o roduto entre uma matriz e um vetor. Neste caso, os índices k e m variam de um até o número de nós do elemento finito. Para os elementos tetraédrico e hexaédrico com aroximação linear, or exemlo, todas as funções de forma relativas ao nó k odem ser escritas da seguinte maneira: onde ( ) φ = c ξ +c +c ξ +c ξ (3.5.) TET 3 4 k k k k k 3 ( ) φ = c ξ +c +c ξ +c ξ +c ξ ξ +c ξ ξ +c ξ ξ +c ξ ξ ξ (3.5.) HEX k k k k k 3 k k 3 k 3 k 3 TET φ k e hexaédrico; e HEX φ k são, resectivamente, as funções de forma ara os elementos tetraédrico e i c k reresentam os coeficientes das funções de forma φ k (os índices i e k variam de um até o número de nós or elemento). Todas as quatro funções de forma do elemento tetraédrico linear odem ser escritas or meio da exressão (3.5.), e todas as oito funções de forma do elemento hexaédrico linear odem ser escritas or meio da exressão (3.5.). Para fins de esclarecimento, as referidas exressões odem ser exandidas: TET 3 4 φ c c c c 3 4 φ c c c c ξ = 3 4 φ3 c3 c3 c3 c 3 ξ 3 4 φ 4 c4 c4 c4 c ξ 4 3 (3.6.)

66 HEX c c c c c c c c c c c c c c c c ξ c3 c3 c3 c3 c3 c3 c3 c ξ c4 c4 c4 c4 c4 c4 c4 c4 = ξ c5 c5 c5 c5 c5 c5 c5 c ξξ c6 c6 c6 c6 c6 c6 c6 c6 ξξ c7 c7 c7 c7 c7 c7 c7 c ξξ c8 c8 c8 c8 c8 c8 c8 c ξξξ 8 3 φ φ φ φ φ φ φ φ (3.6.) A rimeira exressão é válida ara o tetraedro linear, e a segunda ara o hexaedro linear. As fórmulas ara determinação da matriz M coef e do vetor v ξ (ver equação 3.4), ara uma ordem de aroximação genérica, são fornecidas no Aêndice A desta tese. De osse da matriz M coef e do vetor v ξ, é ossível calcular, or meio da equação (3.4), os valores de todas as funções de forma em qualquer onto ertencente ao elemento finito com coordenadas adimensionais ( ξ, ξ e ξ 3 ) conhecidas. É imortante ressaltar que, ara os elementos tetraédricos e hexaédricos com ordem de aroximação olinomial suerior à linear, as faces odem ser curvas. Ademais, as faces dos elementos hexaédricos com aroximação linear odem não ser erendiculares entre si. 3.. Mudança de configuração Para relacionar as coordenadas inicial e atual dos ontos materiais de um coro submetido a uma mudança de osição, é emregado aqui o camo vetorial mudança de configuração - ou mudança de forma - reresentado or f. De acordo com Holzafel (004), esse camo vetorial faz a associação única entre as coordenada inicial e atual de um onto material. Tal unicidade significa que dois ontos materiais distintos na configuração inicial não odem ossuir as mesmas coordenadas atuais, e que dois ontos distintos na configuração atual não odem ossuir as mesmas coordenadas iniciais. Assim, a mudança de forma f é

67 emregada ara maear o vetor osição atual y a artir do vetor osição inicial x (PASCON, 008): f = y( x ) ou ( ) f = y x,x,x (3.7) i i 3 Na maior arte dos livros nos quais é abordada a cinemática do contínuo, como Coimbra (98), Marsden e Hughes (983), Ogden (984), Ciarlet (988) e Holzafel (004), a função mudança de configuração f é chamada de movimento, é deendente do temo e é reresentada elo camo vetorial χ : (,t) χ (,t) ou ( ) y = y x = x χ = y x,x,x,t (3.8) i i 3 Outra maneira de relacionar as configurações inicial e atual é or meio do camo vetorial deslocamento. Na descrição Lagrangiana, esse camo é dado or (HOLZAPFEL, 004): u( x,t ) = y( x,t) x ou ( ) ( ) ( ) u x = y x x= f x x ou ui = yi xi = fi xi (3.9) Já que a análise do resente estudo é estática, o temo t foi retirado dos argumentos das funções. Com a aroximação adotada neste estudo (ver equações 3.) e com o uso do maeamento dulo a artir do esaço adimensional (ver figura 3.), a função mudança de configuração ode ser calculada da seguinte forma (CODA; PACCOLA, 007; PASCON, 008): ( ) ( 0 ) f = f f (3.0.) f y ( ξ ) ou ( f ) ξ,ξ y,ξ ( ) = = (3.0.) i i 3 f x ( ξ ) ou ( f ) ξ,ξ x,ξ ( ) 0 = = (3.0.3) 0 i i 3 onde f e f 0 são, resectivamente, os maeamentos das osições atual e inicial a artir do esaço adimensional ξ ; e o símbolo ( ) denota, neste caso, a inversa de uma função vetorial. Pode-se notar que o vetor f 0 faz a associação única entre as coordenadas adimensionais ( ξ, ξ e ξ 3 ) e as coordenadas iniciais ( x, x e x 3 ). De modo similar, as

68 coordenadas adimensionais ( ξ, ξ e ξ 3 ) e as atuais ( y, y e y 3 ) são relacionadas, de maneira única, elo vetor f. A mudança de forma total (entre as osições inicial e atual), reresentada or f, não é escrita exlicitamente. Ela é obtida indiretamente com uso das exressões (3.0). Uma interretação geral das funções f 0, f e f, no que diz reseito ao MEF osicional (CODA; GRECO, 004), é dada na figura 3.. Figura 3.. Funções mudança de forma (inicial, atual e total) no MEF osicional.

69 3.3. Gradiente Neste estudo, ara analisar a mudança de forma de um coro, é emregado o tensor gradiente material da mudança de configuração, também chamado simlesmente de gradiente (PASCON, 008). Essa grandeza cinemática é descrita or meio da seguinte exressão: ( ) f y x A= f = Grad ( f) = = x x ou A f i ij = = xj ( ) y x,x,x i 3 x j (3.) onde ( ) - ou Grad ( ) - é o oerador gradiente (HOLZAPFEL, 004); e a b reresenta a derivada do vetor a em relação ao vetor b. No caso acima, o gradiente é classificado de material (ou Lagrangiano) já que a derivada é feita em relação à coordenada inicial. Na maior arte dos estudos sobre MNLC, o tensor gradiente é reresentado ela letra maiúscula F. Aqui, todavia, é seguida a notação utilizada em Pascon (008). O gradiente determina a maneira ela qual um segmento infinitesimal de linha na osição inicial se transforma no seu corresondente segmento infinitesimal na osição atual, isto é, A é um oerador linear entre tais segmentos (HOLZAPFEL, 004): dy = A dx ou dyi = Aijdx j (3.) onde dx e dy reresentam, resectivamente, os segmentos infinitesimais de linha nas configurações inicial e atual. Esses segmentos são chamados de fibras materiais. De acordo com Coimbra (98), o gradiente deve satisfazer a chamada condição de reservação da orientação (MARSDEN; HUGHES, 983): ( ) J = det A > 0 (3.3) onde J é o camo escalar chamado de Jacobiano; e det ( ) é o oerador determinante (HOLZAPFEL, 004). O Jacobiano também reresenta a relação entre volumes infinitesimais (PASCON, 008):

70 dv J = (3.4) dv 0 onde dv 0 é o volume infinitesimal (na osição inicial) que se transforma, devido à mudança de configuração, no volume infinitesimal dv (na osição atual). Assim, a condição (3.3) ode ser interretada como a imossibilidade de o material ser aniquilado ( dv = 0 ) ou sofrer inversão ( dv < 0). Com uso das aroximações emregadas neste estudo ara descrição das osições inicial e atual (ver equações 3.), e com a exressão resultante dessas aroximações ara a função mudança de configuração (ver equações 3.0), o gradiente ode ser obtido da seguinte forma (CODA; PACCOLA, 007; PASCON, 008): ( ) - A= A A 0 ou Aij ( A ) ( A0 ) = (3.5.) ik kj k k ( A ) = 0 ij i x φ ξ k k ( A ) = ij i y φ ξ j j (3.5.) (3.5.3) onde A 0 e A são chamados, resectivamente, de gradientes inicial e final; e o símbolo ( ) indica a inversa de uma matriz. Assim como a mudança de forma total ( f ), o gradiente total ( A ) não é exresso de forma exlícita. Ele é obtido numericamente or meio do roduto matricial (3.5.). Como a aroximação olinomial do elemento finito é genérica, foi necessário desenvolver uma estratégia numérica ara determinação generalizada das derivadas das funções de forma, as quais são utilizadas ara cálculo do gradiente (ver equações 3.5). Essa estratégia, que ode ser alicada a elementos sólidos tetraédricos e hexaédricos de qualquer ordem de aroximação, também é fornecida no Aêndice A.

71 3.4. Deformação Sabe-se que a mudança de forma ou de configuração é de coro rígido quando o gradiente (3.) satisfaz a seguinte relação (COIMBRA, 98): T C= A A= I ou Cij = Aδ kiakj = ij (3.6) onde o símbolo ( ) T denota a transosta de uma matriz (HOLZAPFEL, 004); e a medida de T deformação AA, reresentada usualmente or C, recebe os seguintes nomes na literatura científica: tensor de Cauchy-Green direito (COIMBRA, 98; HOLZAPFEL, 004); tensor alongamento à direita de Cauchy-Green (PASCON, 008); e tensor de deformação de Cauchy-Green direito (MARSDEN; HUGHES, 983). Entre os nomes citados, foi adotado nesta esquisa o rimeiro. Segundo Coda (003), a exressão (3.6) é a condição de indeformabilidade de um onto material, isto é, neste caso a função mudança de forma f, da equação (3.7), constitui - aenas - translação e rotação de coro rígido. Se essa condição não for satisfeita, diz-se que o onto material se deforma. Assim, o tensor ( AA T ) I é, de certa forma, uma medida da intensidade da mudança de configuração (CODA, 003). Conforme afirmado em Coimbra (98), esse tensor é uma medida de desvio entre uma determinada mudança de forma f e uma mudança de forma de coro rígido (ver equação 3.6). Uma das medidas emregadas ara medir a intensidade da mudança de forma é o tensor deformação de Green-Lagrange (PASCON, 008), também chamado de tensor deformação de Green-Saint Venant (COIMBRA, 98): T E= ( C I) = ( AA I ) ou Eij ( AkiAkj ij ) = δ (3.7) Pode-se notar facilmente que, quando a mudança de forma é de coro rígido, C= I e, consequentemente, E= O, onde O é o tensor nulo de segunda ordem (HOLZAPFEL, 004). Os tensores C e E são simétricos, isto é: C T = C e C E T = E ou ji ij = C e Eji = Eij (3.8)

72 Outras grandezas que aarecem em modelos constitutivos hierelásticos (PASCON, 008), utilizados aqui, são os invariantes do tensor C (ver equações 3.3 e 3.6): ( ) ( ) i C = tr C = C (3.9.) ii i ( ) ( ) ( ) ( ) ( C = tr tr Cii C ) C + C = + (3.9.) ii 3 ( ) = ( ) = i C det C J (3.9.3) onde tr ( ) indica o determinante de uma matriz (HOLZAPFEL, 004) Objetividade da medida de deformação Sabe-se que as medidas de deformação devem ser objetivas ou referencialmente indiferentes (COIMBRA, 98). Isso ara que os valores de deformação obtidos não deendam da escolha do referencial, nem se alterem com mudanças desse referencial. É demonstrado em vários livros como, or exemlo, Coimbra (98), Ogden (984) e Holzafel (004), que as medidas C, i ( C ), i ( C ), i3 ( ) C e E (ver equações 3.6, 3.7 e 3.9) são medidas objetivas, isto é, odem ser emregadas ara se quantificar a mudança de configuração de forma indeendente do referencial adotado. Em outras alavras, mesmo que o referencial - ou o observador - seja transladado ou rotacionado, os valores das referidas medidas não são alterados. Já o gradiente (equação 3.) não é uma medida objetiva (COIMBRA, 98).

73 3.6. Decomosição multilicativa do gradiente Basicamente, existem três formas de decomosição multilicativa do gradiente (3.). Uma delas é a que aarece no teorema da decomosição olar (CODA, 003; HOLZAPFEL, 004): A = RU (3.0.) T RR= I (3.0.) T UU= U = C (3.0.3) onde R é um tensor relativo a movimento de coro rígido (ver equação 3.6), também chamado de tensor de rotação (COIMBRA, 98); e U é o tensor de alongamento direito (HOLZAPFEL, 004), também chamado de tensor elongação direito (COIMBRA, 98). Segundo o referido teorema, essa decomosição é única, o tensor R é ortogonal, e o tensor U é simétrico e ositivo-definido (HOLZAPFEL, 004). Outra forma de decomosição multilicativa do gradiente é a searação deste tensor nas arcelas volumétrica e isocórica (FLORY, 96): onde /3 /3 ( )( ) A= AvolAiso = J I J A (3..) /3 3 ( ) ( ) det A vol = J det I = J (3..) ( ) /3 3 ( ) ( )( ) det A iso = J det A = J J = (3..3) A vol e A iso são, resectivamente, as arcelas volumétrica e isocórica do gradiente (3.). Como o Jacobiano exressa a razão entre os volumes atual e inicial (ver equação 3.4), ode-se concluir, a artir das exressões (3.), que a arcela mas não de formato, e que a arcela A vol causa mudança de volume A iso rovoca mudança de formato mas não de volume. Por exemlo, um retângulo (no esaço bidimensional) submetido, aenas, à arcela volumétrica do gradiente (equação 3..) terá sua área alterada, orém continuará sendo um retângulo, cujas arestas ermanecerão erendiculares entre si e com a mesma roorção de

74 tamanho. Caso o retângulo seja submetido, aenas, à arcela isocórica do gradiente (equação 3..3), ele oderá mudar de formato, orém sua área ermanecerá a mesma. É ossível definir, também, as arcelas volumétrica e isocórica do tensor de Cauchy-Green direito (ver equações 3.6 e 3.): C A A I (3..) T /3 vol = vol vol = J T /3 T /3 C = A A = AA= C (3..) iso iso iso J J Por fim, uma das decomosições que aarecem nas análises estruturais de materiais elastolásticos sob grandes deformações, abordados aqui, é a de Kröner-Lee (KRÖNER, 960; LEE, 969): A= AA e ou Aij ( Ae ) ik ( A ) kj = (3.3) onde A e e A são, nesta ordem, as arcelas elástica e lástica do gradiente (3.). Nessa decomosição, aarece o conceito de configuração intermediária (LEE, 969), ilustrada na figura 3.3. Com uso das equações (3.3), (3.6), (3.7) e (3.3), odem ser mostradas as seguintes exressões (LUBLINER, 99; KHAN; HUANG, 995): C= ACA (3.4.) T e C = A A (3.4.) T e e e E= AEA + E E + E (3.4.3) T e e Ee = ( Ce I ) (3.4.4) E = ( C I ) (3.4.5) C = A A (3.4.6) J T = JJ e ou det = ( det e)( det ) A A A (3.4.7) onde os símbolos ( ) e e ( ) denotam, nesta ordem, as arcelas elástica e lástica de alguma grandeza. Outra decomosição usada na elastolasticidade é a aroximação de Green e

75 Naghdi (965), que é dada or E= Ee + E, e que contradiz a exressão (3.4.3) nos casos em que há deformação lástica ( A I). Figura 3.3. Decomosição multilicativa do gradiente de Kröner-Lee (equação 3.3) Taxas de deformação Na descrição Euleriana ou esacial (HOLZAPFEL, 004) da mudança de forma de um coro, a referência é a configuração final (ou atual) desse coro. Na literatura científica, existem várias grandezas cinemáticas esaciais (ou Eulerianas). Entre elas, odem ser destacados os seguintes tensores de segunda ordem (HOLZAPFEL, 004):

76 (,t) v y L= gradv = = A( A) - = D+ W y (3.5.) T D= sim( L) = ( L+ L ) (3.5.) T W = ant ( L) = ( L L ) (3.5.3) onde L é o gradiente esacial da velocidade v ; grad ( ), neste caso, é o gradiente esacial; A é a taxa de variação (ou derivada em relação ao temo) do gradiente (3.3); D é chamado de tensor taxa de deformação; W é o tensor taxa de rotação; e os símbolos sim ( ) e ant ( ) denotam, resectivamente, as arcelas simétrica e antissimétrica de uma matriz. É ossível relacionar (HOLZAPFEL, 004) a deformação de Green-Lagrange E (equação 3.7) com o tensor taxa de deformação D: E = A T DA ou -T - = D A EA (3.6) Com a decomosição de Kröner-Lee (ver equação 3.3) e com as exressões (3.5), é ossível mostrar as seguintes igualdades (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000): ( ) - L= L + AL A (3.7.) e e e - e = e e L A A (3.7.) - = = + L A A D W (3.7.3) ( ) - D= De + sim AL e A e (3.7.4) T De = sim( Le) = ( Le + L e) (3.7.5) T D = sim( L) = ( L + L ) (3.7.6) ( ) - W= We + ant AL e A e (3.7.7)

77 T We = ant ( Le) = ( Le L e) (3.7.8) T W = ant ( L) = ( L L ) (3.7.9) As relações (3.6) e (3.7) são emregadas na formulação elastolástica desta tese.

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79 4. TENSÃO E EQUILÍBRIO No quarto caítulo, são descritos os conceitos de tensão, lei e modelo constitutivo, elasticidade e inelasticidade. É descrito também o rincíio de equilíbrio estático de forças utilizado neste estudo. 4.. Tensão Segundo Holzafel (004), mudanças de configuração que não sejam de coro rígido (equação 3.6) rovocam interações entre os ontos materiais no interior do coro. Uma das consequências dessas interações é o aarecimento de forças ao longo das suerfícies internas de contato entre os ontos materiais. Para medir a relação entre essas forças e essas áreas suerficiais, são usadas as medidas de tensão. Sabe-se (HOLZAPFEL, 004) que a tensão é a causa da mudança de configuração em um coro, e que o camo tensorial que descreve essa grandeza ao longo de um coro é chamado de camo de tensão. Duas medidas de tensão são usadas neste estudo. A rimeira é o tensor de tensão de Cauchy, que reresenta a relação entre forças internas e áreas suerficiais, ambas na osição atual y (ver seção 3.), or meio do teorema da tensão de Cauchy (COIMBRA, 98; HOLZAPFEL, 004): ( ) ( ) t yn, = σ y n ou tσi = n ij j (4.) onde t é chamado de vetor tensão de Cauchy; n é o vetor unitário normal à suerfície na osição atual; e σ é o tensor de tensão de Cauchy. Uma interretação ara o vetor t é dada a seguir: d= ts d ou di = tids (4.)

80 onde d é a força resultante que atua no elemento infinitesimal de área ds, definido na configuração atual y. A direção normal ao elemento ds é dada elo vetor unitário n (ver equação 4.). A outra medida de tensão utilizada aqui é o tensor de Piola-Kirchhoff de segunda esécie (PROENÇA, 006; PASCON, 008), também chamado de segundo tensor de Piola- Kirchhoff (COIMBRA, 98). Essa grandeza, reresentada or S neste estudo, não ossui significado físico aarente, e ode ser relacionada à tensão de Cauchy ( σ ), ao Jacobiano (3.3) e ao gradiente (3.) or meio da seguinte exressão (HOLZAPFEL, 004): S= JA A - - σ ou Sij σj( A) kl ( ) - -T = (4.3.) ik jl J T σ = ASA ou σij AikSklAjl = (4.3.) J 4.. Comortamento mecânico É afirmado, em Coimbra (98), que o comortamento mecânico - ou a resosta macroscóica - de um material frente às solicitações imostas ode ser caracterizado or equações de estado chamadas de equações constitutivas, que reresentam as roriedades físicas intrínsecas de um coro (HOLZAPFEL, 004). Além disso, a tensão em um onto material (ver seção 4.) é determinada, de forma unívoca, elos seguintes valores nesse onto: a osição atual y, o histórico da mudança de forma f e a temeratura. Nas análises isotérmicas, como é caso do resente estudo, os efeitos da temeratura são desrezados. Tanto na Mecânica do Contínuo (MC) como na Mecânica Não Linear do Contínuo (MNLC), as equações constitutivas estabelecem a relação entre tensão e deformação - ou entre causa e efeito. De acordo com Holzafel (004), modelo constitutivo é o nome que se dá a um modelo matemático utilizado ara reresentar, de forma aroximada, o comortamento real

81 do material. Basicamente, dois tios de modelos constitutivos são abordados nesta tese: o elástico e o elastolástico. Ademais, as roriedades referentes ao comortamento mecânico do material recebem o nome de roriedades constitutivas Elasticidade Um material é chamado de elástico se, em todas as suas artículas, o camo de tensão (ver seção 4.) deende, aenas, do estado atual de mudança de forma - ou de deformação - e não do histórico de deformação (HOLZAPFEL, 004). Em outras alavras, ara um material elástico a tensão σ, definida na osição atual y, deende do gradiente (3.3) - ou da deformação (3.7) - e da osição inicial x do onto material: σ ( y) = G( Ax, ) ou ( y) = F( Ex, ) σ (4.4) onde G e F, neste caso, são chamadas de funções elásticas de resosta material. Quando a função que descreve a resosta mecânica do material elástico não deende da osição inicial x, ele é chamado de elástico homogêneo (HOLZAPFEL, 004): σ ( y) = G( A) ou ( y) = F( E) σ (4.5) Para um material elástico homogêneo, ode-se escrever a seguinte relação alternativa: onde E ( ) S= S E (4.6) S E é a função tensorial que estabelece a relação entre a tensão S (ver equações 4.3) e a deformação de Green-Lagrange ( E ). Outro asecto da elasticidade é o caráter não dissiativo (ou conservativo) da deformação. Quando o material é submetido a certa solicitação ele se deforma, isto é, ele muda de configuração (ver seções 3. e 3.4). Caso ele retorne à sua osição inicial logo que a solicitação é retirada, o material é considerado elástico. Quando a reversibilidade da

82 deformação deende do temo, ela é chamada de viscoelástica. Em outras alavras, a deformação elástica é reversível e indeendente do temo. Nesse rocesso de carregamento e descarregamento de um material elástico, a dissiação de energia é nula (KHAN; HUANG, 995). Esse asecto da elasticidade é emregado ara obter a relação entre tensão e deformação no quinto caítulo desta tese Inelasticidade Quando o camo de tensão (ver seção 4.) em um onto material deende, não aenas da deformação, mas do histórico - ou do caminho - da deformação, esse onto aresenta uma arcela de deformação elástica e outra inelástica (HOLZAPFEL, 004): h h σ ( y) = G( AA,, x) ou ( y) = F( EE,, x) σ (4.7) onde G e F são chamadas de funções de resosta material, as quais definem, neste caso, a relação entre tensão, deformação e histórico de deformação; h A é o tensor que reresenta o h histórico do gradiente A (3.); e E é o tensor que reresenta o histórico da deformação de Green-Lagrange E (3.7). Usualmente, a arcela inelástica de deformação é associada a fenômenos dissiativos. No contexto dos materiais com arcela de deformação inelástica (ver equação 4.7), aarece o conceito de variáveis internas (HOLZAPFEL, 004), usadas ara descrever - ou quantificar - o rocesso de deformação inelástica. De modo geral, as variáveis que descrevem a deformação são chamadas de externas quando odem ser medidas diretamente (como a deformação total de Green-Lagrange ou a temeratura). Caso contrário, são chamadas de variáveis internas. No caso geral da equação (4.7), as variáveis externas e internas são emregadas ara descrever as roriedades constitutivas do material. Com relação à inelasticidade, são abordados - nesta tese - os materiais elastolásticos, ou seja, os materiais que aresentam duas arcelas de deformação: uma elástica (ver seção

83 4.3) e outra lástica. O conceito de deformação lástica é discutido no sexto caítulo desta tese. No caso do material em regime elastolástico, as variáveis internas utilizadas neste estudo são a arcela lástica de deformação e os arâmetros de encruamento (KHAN; HUANG, 995). Essas variáveis são as que aarecem normalmente nos estudos sobre lasticidade Tensor elástico No contexto da elasticidade (ver seção 4.3), a derivada da tensão em relação à deformação resulta num tensor de quarta ordem que recebe os seguintes nomes: tensor elástico (HOLZAPFEL, 004), oerador tangente consistente (DÜSTER; HARTMANN; RANK, 003) ou módulo elástico tangente (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). Para materiais elásticos cujo comortamento é dado ela exressão (4.6), o tensor elástico de quarta ordem ode ser calculado da seguinte forma: Γ e S SE = = E E ( E) ou ( Γ ) e ijkl SE = E ( E) kl ij (4.8) Neste caso, a deformação E é uramente elástica. Segundo Crisfield (000) e Holzafel (004), o tensor elástico de quarta ordem é bastante emregado em análises não lineares, como é o caso deste estudo Equilíbrio Devido à ossibilidade das estruturas analisadas aqui aresentarem grandes deslocamentos, é usada aqui a análise não linear geométrica (CRISFIELD, 000; PROENÇA, 006), na qual o equilíbrio do coro (ou da estrutura) é descrito na osição final. Para isso, é emregado o Princíio da Mínima Energia Potencial Total (CODA, 003; CODA; GRECO,

84 004; CODA; PACCOLA, 007; PASCON, 008), também chamado de Princíio da Energia Potencial Estacionária (HOLZAPFEL, 004). Segundo tal rincíio, o coro está em equilíbrio (estático) quando a osição atual y (ver seção 3.) satisfaz a seguinte condição: f = f (4.9.) int ext f = u dv e int 0 y Ω0 ou ( f ) u = dv (4.9.) e int i 0 y Ω0 i onde f int e f ext são, resectivamente, os vetores de forças internas e de forças externas (ou alicadas); o escalar u e é a energia esecífica de deformação (CODA, 003; PASCON, 008); Ω 0 reresenta o domínio do coro na configuração inicial; e dv 0 é um volume infinitesimal do coro na osição inicial. A grandeza u e, cuja dimensão é energia or unidade de volume, reresenta a energia armazenada em um volume infinitesimal deformado (HOLZAPFEL, 004). Conforme será exlicado no item 5. desta tese, a grandeza u e ode ser emregada ara caracterizar o comortamento mecânico do material e, assim, definir o modelo constitutivo (ver item 4.). Com a aroximação numérica utilizada nesta tese (ver equações 3.), o vetor osição final y que aarece na exressão (4.9.) assa a ser o vetor de arâmetros nodais, ou seja, y é o vetor que contém todos os graus de liberdade, que são as (três) coordenadas finais dos nós. Neste estudo, as forças externas são conservativas, isto é, seus valores indeendem da osição final y. Ademais, f ext é o vetor que contém as forças alicadas nos nós (ao longo das três direções). Por fim, a equação de equilíbrio (4.9) é chamada de local quando é alicada a um elemento finito, e global quando é alicada a toda estrutura. Na análise não linear geométrica, a equação de equilíbrio (4.9) aresenta um inconveniente: ela ossui caráter não linear. Em outras alavras, se a osição final y é conhecida (ou se as três coordenadas finais de todos os nós são conhecidas), é ossível determinar o vetor de forças internas f int (ver equação 4.9.). Porém, se o vetor de forças internas for conhecido, não se consegue - de modo geral - determinar a osição final y, isto é, a função f = f ( y ) é conhecida, mas a sua inversa = ( ) int int y y f não é. Para contornar este roblema, é emregado aqui o método iterativo de Newton-Rahson ou método de Newton (HOUSEHOLDER, 953; BELLMAN; KALABA, 965; CRISFIELD, 000; PASCON, int

85 008). De acordo com Belytschko, Liu e Moran (000), tal método é um dos mais usados e robustos ara solução de sistemas de equações não lineares. O método de Newton-Rahson ode ser resumido da seguinte forma: cálculo da diferença entre os vetores de forças internas e de forças externas ara uma osição tentativa 0 r = f y f ; exansão, em série de y : ( ) 0 int 0 ext r0 Taylor, de r 0 em torno de y = y 0 e linearização do roblema: r0 + Δy = 0, onde 0 é o y vetor nulo (HOLZAPFEL, 0004); e cálculo do incremento Δy e da nova osição tentativa y : r0 0 0 Δy = y y = r. O rocesso é iterativo, ou seja, a osição final y é atualizada y até que o vetor resíduo de forças r = fint f ext seja suficientemente equeno. No método de Newton-Rahson, o resíduo r e a derivada r/ y devem ser calculados em cada iteração. No resente estudo, o método iterativo descrito neste arágrafo, aesar de não ser necessariamente incremental, é alicado com divisão do carregamento em assos (ou incrementos finitos) de carga. Isso é feito ara facilitar a convergência de cada iteração e ara mostrar o caminho - ou a trajetória - de equilíbrio. Para alicar o método de Newton-Rahson, descrito no arágrafo anterior, são emregadas aqui as seguintes exressões: r u f u f e e = dv0 ξ ext = J0d ext y y Ω0 ξ u f (4.0.) y e ou r= ξ Jd ( ) i 0 ext i ξ i H = yy ξ ue Jdξ 0 ou H u Jd (4.0.) e ij = ξ 0 ξ yi yj onde J 0 é o determinante do gradiente inicial A 0 (ver equações 3.3 e 3.5.); dξ reresenta um elemento infinitesimal do esaço auxiliar adimensional (ver figura 3.); e a matriz simétrica H é a matriz Hessiana ou matriz de rigidez tangente (CRISFIELD, 000; PASCON, 008). As exressões a seguir odem ser utilizadas no lugar das equações (4.0): u e E r = : ξ Jd f E y ξ 0 ext u E ξ f (4..) E y e kl ou r= Jd ( ) i 0 ext i ξ kl i

86 ue E E u e E H = : ξ : + Jd 0 ξ EE y y E yy ou H u E E u E Jd (4..) e kl mn e kl ij = ξ + 0 E ξ kl Emn yi yj Ekl yi y j onde o símbolo : denota a contração entre dois tensores (HOLZAPFEL, 004). As derivadas, em notação indicial, da deformação de Green-Lagrange ( E ) em relação ao vetor que contém os graus de liberdade ( y ), ara os elementos finitos sólidos hexaédrico e tetraédrico, são dadas no Aêndice B desta tese. Ademais, conforme será descrito no item 5. desta tese, as derivadas de u e em relação à deformação E corresondem ao modelo constitutivo adotado.

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89 5. HIPERELASTICIDADE Neste caítulo são descritos o conceito de hierelasticidade, os modelos hierelásticos adotados no resente estudo e a relação hierelástica entre tensão e deformação. 5.. Definição Segundo Holzafel (004), a hierelasticidade, também chamada de elasticidade finita (COIMBRA, 98) e de elasticidade de Green (OGDEN, 984), ostula a existência da função escalar energia livre de Helmholtz, reresentada usualmente or ψ e definida or unidade de volume inicial. Tal função descreve as roriedades mecânicas de um coro e, com isso, ode ser usada ara se exressar a relação tensão-deformação (ver item 4.). Dessa forma, todo modelo hierelástico, além de ser elástico (equação 4.4), é descrito ela energia livre de Helmholtz ψ. Existe, aenas, uma diferença entre material elástico e hierelástico. Tanto no modelo elástico como no hierelástico, o camo de tensões deende aenas do estado atual de deformação e não do caminho da deformação (ver seção 4.3). No material hierelástico, contudo, o trabalho realizado ela deformação (OGDEN, 984) deende do caminho de deformação. Nas análises isotérmicas, a energia esecífica de deformação u e (ver equação 4.9) ode ser substituída or ψ (HOLZAPFEL, 004; PASCON, 008). Assim sendo, a energia armazenada em um volume infinitesimal assa a ser dada ela energia livre de Helmholtz ( ψ ). Com a referida substituição, as exressões (4.) emregadas ara cálculo do vetor resíduo de forças e da matriz Hessiana (ver seção 4.6) odem ser reescritas da seguinte forma:

90 ψ E r = : ξ Jd f E y ξ 0 ext ψ E ξ f (5..) E y kl ou r= Jd ( ) i 0 ext i ξ kl i ψ E E ψ E H = : ξ : + Jd 0 ξ EE y y E yy ou H ψ E E ψ E Jd (5..) kl mn kl ij = ξ + 0 E ξ kl Emn yi yj Ekl yi y j 5.. Modelos hierelásticos adotados Modelo constitutivo hierelástico é aquele no qual a resosta elástica do material é definida ela exressão da energia livre de Helmholtz ψ (ver item 5.). Quatro modelos constitutivos hierelásticos ara materiais isotróicos (OGDEN, 984; HOLZAPFEL, 004) foram imlementados nos códigos comutacionais desenvolvidos neste estudo: o modelo linear de Saint Venant-Kirchhoff (CIARLET, 988), reresentado or SVK; o modelo não linear desacolado de Rivlin-Saunders (RIVLIN, 956; PASCON, 008), reresentado or RS; o modelo não linear desacolado de Hartmann-Neff (HARTMANN; NEFF, 003; PASCON, 008), reresentado or HN; e o modelo não linear acolado neo-hookeano (SZE; ZHENG; LO, 004; PASCON, 008), reresentado or nh. Para o modelo de Saint Venant-Kirchhoff (SVK), usualmente emregado ara modelar metais sob grandes deslocamentos (HOLZAPFEL, 004), a energia livre de Helmholtz é dada or: λ ψsvk = ψsvk ( E) = tr ( ) + μ tr ( ) E E (5..) νe λ = (5..) ( +ν)( -ν) E μ = (5..3) +ν ( )

91 onde λ> 0 e μ > 0 são as constantes de Lamé (CIARLET, 988); e E e ν são, nesta ordem, o módulo de Young e o coeficiente de Poisson (CIARLET, 988). Neste caso, a energia é escrita em função da deformação de Green-Lagrange E (3.7). No modelo desacolado de Rivlin-Saunders (RS), usado ara modelar materiais ouco comressíveis sob equenas e grandes deformações (PASCON, 008), a função de Helmholtz é exressa da seguinte forma genérica: iso iso iso iso iso ( ) ( ) ( ) ψ = ψ J,i,i = U J + ψ i,i (5.3.) RS RS vol RS vol n -n ( ) ( ) U J = k J + J (5.3.) i ( ) = ( ) ( ) j iso iso iso iso iso RS ij (5.3.3) i,j ψ i,i c i 3 i 3 ( ) ( ) i = tr C = C (5.3.4) iso iso iso ii iso i = ( tr iso ) tr ( iso ) C + C (5.3.5) onde J é o Jacobiano (3.3), utilizado como medida de alteração de volume; i iso e i iso são os dois rimeiros invariantes de C iso, que é a arcela isocórica do tensor de Cauchy-Green direito C (ver equação 3..); U vol e iso ψ RS são, nesta ordem, as arcelas volumétrica e isocórica da energia livre de Helmholtz ψ ; o coeficiente k é o módulo de comressão volumétrica - ou bulk modulus ; e os coeficientes c ij são chamados de coeficientes isocóricos. A exressão (5.3.3) é geral, ou seja, não há uma quantidade ré-definida ara os coeficientes c ij. Podem existir, or exemlo, modelos com aenas um coeficiente não nulo ( c 0, c 0, c 3 etc.). No modelo desacolado de Hartmann-Neff (HN), também emregado ara modelar materiais ouco comressíveis sob equenas e grandes deformações (PASCON, 008), vale a seguinte relação: iso iso iso iso iso ( ) ( ) ( ) ψ = ψ J,i,i = U J + ψ i,i (5.4.) HN HN vol HN

92 3 i j ( ) = ( ) + ( ) + ( ) (5.4.) ψ i,i α i 7 c i 3 c i 3 iso iso iso iso iso iso3/ /3 HN i0 0j i j onde a arcela volumétrica U é exressa na equação (5.3.); i iso e vol equações (5.3.4) e (5.3.5), resectivamente; e os coeficientes α e isocóricos do modelo HN. iso i são descritos nas c ij são os coeficientes Nos modelos desacolados de Rivlin-Saunders (RS) e de Hartmann-Neff (HN), é usada a decomosição de Flory (3.), e a energia livre de Helmholtz ( ψ ) é searada, de forma aditiva, nas arcelas volumétrica e isocórica, isto é, não há rodutos entre os termos volumétrico ( J ) e isocóricos ( i iso e iso i ). Por isso, tais modelos são chamados de desacolados (DÜSTER; HARTMANN; RANK, 003). Já no modelo acolado neo- Hookeano, utilizado ara materiais comressíveis sob equenas e grandes deformações (SZE; ZHENG; LO, 004), a decomosição de Flory (3.) não é utilizada, e a energia de Helmholtz é dada or: kμ ψnh = ψnh ( J,i ) = ln ( J) i 3 ln ( J) + (5.5.) i ( ) = tr C (5.5.) Neste caso, os coeficientes do material são k e μ. Todos os quatro modelos hierelásticos descritos neste item (equações 5., 5.3, 5.4 e 5.5) satisfazem a condição de normalização da energia de Helmholtz (HOLZAPFEL, 004): C= I E= O,J =,i ψ= i 0= i = i = 3 = (5.6) iso iso Em outras alavras, quando o movimento é de coro rígido ( C= I) em determinado onto material, a energia de deformação armazenada nesse onto é nula. Outro asecto do material elástico é que quando a tensão em determinado onto é nula, a energia de deformação, ou a energia de Helmholtz, deve ser nula nesse onto.

93 5.3. Relação tensão-deformação A relação entre energia livre de Helmholtz (ver seção 5.), tensão (ver seção 4.) e deformação (ver seção 3.4) ode ser encontrada or meio da segunda lei da termodinâmica (MARSDEN; HUGHES, 983) e do rocedimento de Coleman-Noll (HOLZAPFEL, 004): ( E) ( C) ψ ψ ψ D = ψ S: E: = S: E 0, E= E S= S( E) = = E E C (5.7) onde D é a taxa de dissiação interna (HOLZAPFEL, 004), que é nula ara os materiais elásticos (ver seção 4.3); S é o segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (ver equação 4.3); o símbolo ( ) denota taxa de variação (temoral); e ψ= ψ( E ) e ψ ψ( ) = C são, resectivamente, a energia de Helmholtz (ver seção 5.) exressa em função da deformação de Green-Lagrange E e do tensor de Cauchy-Green direito C (ver equações 3.6 e 3.7). Na hierelasticidade, de acordo com a exressão (5.7), a tensão é determinada a artir do escalar ψ. Substituindo a energia esecífica de deformação ( u e ) ela energia de Helmholtz ( ψ ), e usando o resultado da exressão (5.7), as equações (5.) odem ser reescritas da seguinte forma: E r = S: ξ Jd f y ξ 0 ext E f (5.8.) y kl ou r= ξs Jd ( ) i kl 0 ext i ξ i E E E H = Γ e : ξ : + S: Jd 0 ξ y y yy ou Ekl Emn E kl Hij = ξ ( Γ e ) + S klmn kl Jd 0 y ξ i yj yi y (5.8.) j onde Γ e é o tensor elástico de quarta ordem (4.8).

94 5.3.. Tensão resultante ara os modelos adotados Para os modelos hierelásticos adotados neste estudo (ver equações 5., 5.3, 5.4 e 5.5), o segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff ( S ) ode ser determinado via equação (5.7). Para o modelo hierelástico linear de Saint Venant-Kirchhoff (equações 5.), reresentado aqui or SVK, a tensão S resulta em: S α β β E S β α β E S 33 β β α E 33 = S 0 0μ 0 0 E S 3 0 0μ 00 0 E 3 S 0 0 μ0 0 0 E α = β = 3 SVK 3 Eν ( ) ( ν+ )( v ) Eν ( ν+ )( v ) (5.9.) (5.9.) (5.9.3) E μ = (5.9.4) ( + v) As comonentes restantes do tensor S ( S, S 3 e S 3 ) não são dadas ois esse tensor é simétrico: S = S, S3 = S3 e S3 = S3. Uma forma alternativa ara as exressões (5.9) é a seguinte (CODA; PACCOLA, 009): S = Gλtr E+ ( EI ) ou ( S ) SVK λe = GE δ + (5.0.) SVK ij ij kk ij E G = Gν λ = ν ( + ν) (5.0.) (5.0.3)

95 onde G, E e ν são, resectivamente, o módulo elástico de cisalhamento, o módulo de Young e o coeficiente de Poisson (CIARLET, 988). Para o modelo hierelástico não linear desacolado de Rivlin-Saunders (equações 5.3), a tensão resultante (ver equação 5.7) é dada or: S U C vol RS = + ( J) ψ iso ( iso iso RS i,i ) C U S ou ( ) vol RS = + ij Cij ( J) ψ iso ( iso iso RS i,i ) C ij (5..) U U J = J U U J = C J C vol vol C C ou vol vol ij ij (5..) J U vol n- -n- ( nj ) = k nj (5..3) ψ ψ i iso iso iso iso ψ i C C C ou ψrs ψrs i ψrs i = + iso iso C i C i C iso iso iso iso iso RS RS RS = + iso iso i i iso ij ij ij (5..4) iso ψ i j RS iso iso = c iso ij ( i)( i 3) ( i 3) i i,j (5..5) iso ψ i j RS iso iso = c iso ij ( j)( i 3) ( i 3) i i,j (5..6) Para o modelo hierelástico não linear desacolado de Hartmann-Neff (equações 5.4), o segundo tensor de Piola-Kirchhoff obtido via equação (5.7) resulta em: S U C vol HN = + ( J) ψ iso ( iso iso HN i,i ) C U S ou ( ) vol HN = + ij Cij ( J) ψ iso ( iso iso HN i,i ) C ij (5..) iso iso iso iso ψ ψ i ψ i C C C ou ψhn ψhn i ψhn i = + iso iso C i C i C iso iso iso iso iso HN HN HN = + iso iso i i iso ij ij ij (5..) iso ψ i HN iso iso = α3i iso ( ) ci0 ( i)( i 3) i + i (5..3) iso ψhn 3 = iso ( )( ) i j iso3/ 3/ iso/ c0j j i 3 i (5..4) j

96 Por fim, ara o modelo hierelástico não linear acolado neo-hookeano (equações 5.5), a tensão resultante (equação 5.7) é: S nh { k lnμ ( Ji) ( ) } 3 ln J + = C ( ) ou { k lnμ ( Ji) ( ) } 3 ln J + SnH = ij C ij (5.3.) ( ) J k ln ( J) k ln ( J) C C ou C k ln J = = k ln J ij ( ) J C ij (5.3.) { ( ) } μ i 3 ln J i J = μ C C J C ou { ( ) } μ i 3 ln J i J = μ C ij Cij J C ij (5.3.3) As derivadas das grandezas escalares J, i, i, iso i e iso i em relação ao tensor de Cauchy-Green direito ( C ) são dadas no Aêndice C desta tese, mas odem ser encontradas também em Pascon (008) Tensor elástico resultante ara os modelos adotados Para os modelos hierelásticos adotados neste estudo (equações 5., 5.3, 5.4 e 5.5), o cálculo do tensor elástico de quarta ordem (ver seção 4.5) é realizado com auxílio das exressões (4.8) e (5.7). Para o modelo hierelástico linear de Saint Venant-Kirchhoff (equações 5. e 5.0), o tensor elástico resultante é:

97 Γ = Γ = Γ = SVK SVK SVK e e e 3333 ( v) E ( + v)( v) Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = SVK SVK SVK SVK SVK SVK e e 33 e e 33 e 33 e 33 SVK SVK SVK SVK SVK SVK e e 33 e e 33 e 33 e 33 ve ( + v)( v) Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = E ( + v) (5.4.) (5.4.) (5.4.3) O tensor elástico referente ao modelo hierelástico não linear de Rivlin-Saunders (equações 5.3 e 5.) é: Γ U RS vol e = 4 + CC iso iso iso ( J) ψrs ( i,i ) CC ou RS ( Γ e ) U iso iso iso ( J) ψrs ( i,i ) vol = 4 + ijkl Cij Ckl Cij Ckl (5.5.) Uvol Uvol J J Uvol J = + CC JJ C C J CC ou U vol Uvol J J Uvol J = + C C J J C C J C C ij kl ij kl ij kl (5.5.) JJ U vol n n { k n ( n ) J n ( n ) J } = + + (5.5.3) ψ ψ i i ψ i ψ i i ψ i i iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso RS RS RS RS RS = iso iso iso iso iso iso iso C C i i C C i C C i i C C i i C C ψ i ψ i i + + i CC i i C C ou iso iso iso iso iso RS RS iso iso iso ψ ψ i i ψ i ψ i i ψ i C C i i C C i C C i i C C i C C iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso RS RS RS RS RS = iso iso iso iso iso iso ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ψ i ψ i i + + i C C i i C C iso iso iso iso iso RS RS iso iso iso ij kl ij kl (5.5.4)

98 ψ iso i j RS iso iso = iso iso cij ( i)( i )( i 3) ( i 3) (5.5.5) i i i,j iso ψ i j RS iso iso = cij ( j iso iso )( j )( i 3) ( i 3) i i i,j (5.5.6) iso ψ i j RS iso iso = cij ( i iso iso )( j)( i )( j )( i 3) ( i 3) i i i,j (5.5.7) Para o modelo hierelástico não linear de Hartmann-Neff (equações 5.4 e 5.), o tensor elástico é determinado com as fórmulas a seguir: Γ HN e U 4 CC vol = + iso iso iso ( J) ψhn ( i,i ) CC ou HN ( Γ e ) U iso iso iso ( J) ψhn ( i,i ) vol = 4 + ijkl Cij Ckl Cij Ckl (5.6.) ψ ψ i i ψ i ψ i i ψ i CC C C CC C C CC ou iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso iso HN HN HN HN HN = iso iso iso iso iso iso i i i i i i ψ ψ i i ψ i ψ i i = C C i i C C i C C i i C C iso iso iso iso iso iso iso iso iso HN HN HN HN iso iso iso iso iso ij kl ij kl ij kl ij kl ψ i i C C iso iso HN iso ij kl (5.6.) iso ψ i HN iso iso = α6i iso iso ( ) ci0 ( i)( i )( i 3) i i + i (5.6.3) iso ψhn 9 = iso iso ( )( )( ) i i 4 j iso3/ 3/ iso / c0j j j i 3 i (5.6.4) j Por fim, o tensor elástico ara o modelo neo-hookeano (equações 5.5 e 5.3) é: Γ nh e = 4 { k lnμ ( Ji) ( ) } 3 ln J + CC ou

99 nh ( Γ e ) ijkl = 4 { k lnμ ( Ji) ( ) } 3 ln J + C C ij kl (5.7.) ( ) kln J J J J = k + ln ( J) CC J C C CC ou ( ) kln J J J J = k + ln ( J) C C J C C C C ij kl ij kl ij kl (5.7.) { ( ) } μ i 3 ln J i J J = μ CC CC J C C ou { ( ) } μ i 3 ln J i J J = μ Cij C kl Cij Ckl J Cij C kl (5.7.3) Assim como as rimeiras (ver seção 5.3.), as segundas derivadas das grandezas escalares J, i, i, i iso e i iso em relação ao tensor de Cauchy-Green direito ( C ) são dadas no Aêndice C desta tese, mas odem ser encontradas também em Pascon (008) Condições de crescimento e incomressibilidade Para modelar materiais sob elevados níveis de deformação, a energia livre de Helmholtz deve satisfazer as condições de crescimento (HOLZAPFEL, 004): Jψ + + (5.8.) J ψ (5.8.) Conforme dito anteriormente (ver equação 3.4), o Jacobiano J reresenta a razão entre os volumes atual e inicial. Dessa forma, as condições (5.8) significam que ara aniquilar o

100 material ( J = 0) ou ara exandi-lo a um volume infinito ( J + ), é necessária uma quantia infinita de energia de deformação. Conforme afirmado em Ciarlet (988), o modelo constitutivo deve fornecer valores extremos de tensão ara valores extremos de deformação. Os modelos hierelásticos RS, HN e nh (ver equações 5.3, 5.4 e 5.5) satisfazem essas condições de crescimento. Já o modelo linear SVK (ver equações 5.) não está de acordo com tais condições, ois é ossível obter, com esse modelo, valores de tensão que tendem ara zero à medida que o Jacobiano J tende a zero, já que este não aarece exlicitamente na lei constitutiva (HOLZAPFEL, 004). Por essa razão, é afirmado que o modelo SVK é adequado ara modelar materiais sob grandes deslocamentos, mas não é recomendado ara materiais sob grandes deformações de comressão. Uma das características de materiais oliméricos estruturais - ou elastômeros - é que eles aresentam, mesmo em regime de grandes deformações, equenas alterações de volume. Em outras alavras, a rigidez volumétrica desse tio de material é alta. Dessa forma, o valor do volume atual é róximo ao do volume inicial e, consequentemente, o valor do Jacobiano J (ver equação 3.3) é róximo a um (ver equação 3.4). Segundo Düster, Hartmann e Rank (003) e Pascon (008), ara modelar essa grande resistência volumétrica do material, odese adotar um elevado módulo de comressão volumétrica, chamado também de bulk modulus e reresentado aqui or k (ver equações 5.3, 5.4 e 5.5). Com essa adoção, é ossível modelar materiais ouco comressíveis, ou seja, materiais que aresentam equenas mudanças de volume. Neste estudo, ara simular roblemas estruturais com esse tio de material, foram adotados os modelos hierelásticos não lineares (equações 5.3, 5.4 e 5.5) com elevado bulk modulus Existência de solução Sabe-se (HARTMANN; NEFF, 003) que a energia livre de Helmholtz ψ, utilizada ara descrever a resosta de um material hierelástico (seção 5.), deve satisfazer as condições de oliconvexidade e coercividade. Esses requisitos são discutidos detalhadamente

101 em vários livros como, or exemlo, Marsden e Hughes (983), Ciarlet (988) e Belytschko, Liu e Moran (000). Ademais, é demonstrado, em Hartmann e Neff (003), que os modelos hierelásticos não lineares adotados no resente estudo (ver equações 5.3, 5.4 e 5.5) satisfazem as condições de oliconvexidade e coercividade. Já o modelo SVK (5.) não é oliconvexo (CIARLET, 988; HOLZAPFEL, 004).

102

103 6. ELASTOPLASTICIDADE Neste caítulo discorre-se sobre elastolasticidade. São descritos os conceitos de elastolasticidade em equenas deformações, decomosição aditiva de Green-Naghdi, e hierelastolasticidade. Também são relacionados os modelos constitutivos elastolásticos adotados. Por fim, ara ilustrar a alicação da formulação elastolástica a um caso articular, é descrito o tratamento analítico ara o caso de uma barra rismática sob tração uniaxial. 6.. Definição De acordo com Khan e Huang (995), a deformação é classificada de lástica quando ela é irreversível ou ermanente. Ao contrário das deformações elásticas (ver seção 4.3), quando o carregamento externo alicado a um material é retirado, as deformações lásticas resultantes desse carregamento se mantêm, e ocorre dissiação de energia ao longo do rocesso de carregamento e descarregamento. Outra diferença em relação à elasticidade é que, no caso lástico, o camo de tensão deende do histórico de deformação (ver equação 4.7). Usualmente, ara caracterizar esse histórico de deformação e, assim, o comortamento lástico do material, são usadas as seguintes variáveis internas (HOLZAPFEL, 004): arcela lástica do tensor deformação ou tensor deformação lástica; e arâmetros de encruamento (KHAN; HUANG, 995). Quando o material aresenta duas arcelas de deformação, uma elástica e outra lástica, diz-se (KHAN; HUANG, 995) que esse material está em regime elastolástico. Deve ser lembrado, orém, que um material ode ou não aresentar deformação lástica deendendo do carregamento atuante ou do nível de tensão. Por essa razão não se diz que um material é elastolástico, mas sim que ele está ou não em regime elastolástico. Para um material homogêneo em regime elastolástico, o camo de tensão σ

104 (ver seção 4.), definido na osição atual y (ver seção 3.), ode ser exresso da seguinte forma: ( y) = F(, ) σ εζ (6..) {, } ζ = ε α (6..) Nestas exressões, σ é uma medida de tensão genérica, F é a função que estabelece a resosta elastolástica do material, ε é uma medida de deformação genérica, e o símbolo ζ denota o conjunto de variáveis internas (HOLZAPFEL, 004), as quais - neste caso - são a arcela lástica de ε ( ε ) e os arâmetros de encruamento ( α ). Nos róximos itens serão descritos alguns modelos elastolásticos, bastante comuns na literatura científica, e os modelos adotados nesta tese. 6.. Elastolasticidade ara equenas deformações Segundo Proença (006), o modelo elastolástico ode ser resumido aos seguintes conceitos: decomosição da deformação total nas arcelas elástica e lástica; energia livre de Helmholtz e tensão resultante (ver equação 5.7); critério de lastificação; lei de evolução da deformação lástica; lei de evolução do encruamento; e condições de comlementaridade e consistência. Tais conceitos odem ser alicados ara materiais sob equenas e sob grandes deformações (KHAN; HUANG, 995). Na análise de materiais com equenos deslocamentos e equenas deformações, odese decomor de forma aditiva o tensor infinitesimal de deformação (KHAN; HUANG, 995), também chamado de tensor deformação de engenharia (PASCON, 008): ε= εe + ε ou ( ε) ( εe) ij ij ( ε) ij = + (6..)

105 ε= ε + ε ou e ε = εe + ε ij ij ij (6..) onde εij = ( ui,j + uj,i ) (6..3) ε e e ε são as arcelas elástica e lástica da deformação infinitesimal ε ; e u i,j é a derivada arcial da comonente i do deslocamento (ver equação 3.9) em relação à coordenada inicial j. Para um material em regime elastolástico, existem duas arcelas de energia de deformação: a elástica e a lástica. A arcela elástica é conservativa (ver seção 4.3), ou seja, seu valor retorna a zero quando a tensão é retirada. Já a arcela lástica de energia de deformação é utilizada no rearranjo molecular do material (KHAN; HUANG, 995). Em outras alavras, a energia de deformação elástica é armazenada, e a lástica é dissiada. Assim sendo, ara os materiais em regime de equenos deslocamentos e equenas deformações elastolásticas, a energia livre de Helmholtz ψ ode ser decomosta na seguinte forma aditiva (ver exressões 6. e 6.): ψ= ψ + ψ (6.3.) e ( ) ( ) ψ = ψ ε = ψ ε ε (6.3.) e e e e ( ) ( ) ψ = ψ ζ = ψ ε, α (6.3.) Nesse caso, a relação tensão-deformação (ver equação 5.7) assa a ser dada or meio da tensão de engenharia (PASCON, 008) e da deformação infinitesimal (KHAN; HUANG, 995): ψ ψ ψ D = σ : ε = σ ε + ε ε ε α e ψ eng : eng e : : e : 0 εe ε α (6.4.) σ ε ψ ε σ ψ ε ε σ ψ e e e eng : e : e = eng : e = 0, e eng = εe εe εe ou ( σ ) ψ ( e eng = (6.4.) ij εe ) ij ψ ψ D = eng : : 0 σ ε ε α α (6.4.3)

106 onde o símbolo : denota contração entre dois tensores de segunda ordem (HOLZAPFEL, 004). Na exressão (6.4.3), ode-se notar facilmente que essa taxa só é nula quando não ocorre evolução dos arâmetros lásticos ( ε, α ). Além disso, a taxa de dissiação de energia ( D ) causada ela evolução da deformação elástica ( ε e ) é nula or definição (ver seção 4.3). Segundo Khan e Huang (995), o conceito de suerfície de lastificação, reresentada aqui or φ, é usado ara se estabelecer, no esaço das tensões ou das deformações, os domínios elástico e lástico. Se um onto, no referido esaço, está no interior da suerfície de lastificação, então esse onto ertence ao domínio elástico. Caso o onto esteja no contorno da suerfície, então ele ertence ao domínio lástico. Por definição, o onto nunca está fora da suerfície de lastificação. Essas condições definem o critério de lastificação, que ode ser matematicamente exresso or (KHAN; HUANG, 995): Φ< 0, ara domínio elástico (6.5.) Φ= 0, ara domínio lástico (6.5.) onde Φ é a função que descreve a suerfície de lastificação. Tal função ode ser descrita em termos da tensão ou da deformação, isto é (ver exressões 6.3 e 6.4): Φ=Φ ( σeng, ε, α ) 0 ou Φ=Φ( ) εε,, α 0 (6.6) A evolução da deformação lástica é descrita or meio da lei de lastificação, também chamada de lei de fluxo lástico (PROENÇA, 006). Essa lei é usualmente dada na forma de taxas de variação temoral: γ ε = R ou ( ε ) = γ( R) (6.7) ij ij onde ε é a taxa de variação da deformação lástica; o arâmetro escalar γ é o multilicador lástico (KHAN; HUANG, 995); e R é o tensor (de segunda ordem) que estabelece a direção do fluxo lástico. Segundo Proença (006), a alteração, devida à evolução da deformação lástica, do intervalo - ou do limite - elástico das tensões caracteriza o encruamento. Existem três tios de encruamento (MAUGIN, 99; KHAN; HUANG, 995): isotróico, cinemático e misto. O encruamento isotróico ode ser interretado como sendo a exansão simétrica em relação ao

107 centro da suerfície de lastificação Φ (equações 6.6). Já o cinemático é a alteração da osição do centro de tal suerfície. O último tio de encruamento é uma combinação entre os dois rimeiros. Dessa forma, o encruamento misto comreende a exansão da suerfície de lastificação e o deslocamento de seu centro. A evolução do encruamento também é dada, usualmente, em forma de taxas de variação: κ= γr κ (6.8.) = γ X X R ou Xγ R ( ) = (6.8.) ij X ij onde κ é o arâmetro escalar usado ara descrever o encruamento isotróico; X é o tensor de segunda ordem usado ara descrever o encruamento cinemático; e r κ e R X são, nesta ordem, as funções que descrevem a evolução dos arâmetros κ e X. Na literatura científica, o tensor X recebe o nome de tensor das tensões inversas (ALVES, 003), ou backstress (KHAN; HUANG, 995). Portanto, ara materiais em regime de equenos deslocamentos e equenas deformações elastolásticas, o critério de lastificação (6.6) é dado or (ver exressões 6. e 6.4): Φ=Φ ( σ,κ, X eng ) 0 ou Φ=Φ(,, X) εε κ, 0 (6.9) Segundo Proença (006), a irreversibilidade do rocesso de deformação lástica é caracterizada elas condições de comlementaridade e consistência. A rimeira condição estabelece a seguinte relação entre o arâmetro escalar das leis de evolução (6.7) e (6.8) e a função escalar que define o critério de lastificação (6.6): γφ= 0 (6.0) De acordo com essa condição, só existe evolução da deformação lástica ( ε ) e dos arâmetros de encruamento ( κ e X ) se o onto que define o estado de tensão estiver na suerfície de lastificação, isto é, γ > 0 se, e somente se, Φ= 0. Além disso, quando o referido onto está no domínio elástico, não ode ocorrer evolução das variáveis lásticas ( ε, κ, X ), ou seja, se Φ< 0 então γ = 0. A condição (6.0) também é chamada de condição de Kuhn-Tucker (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000).

108 A segunda condição, chamada de consistência, ode ser exressa da seguinte forma (PROENÇA, 006): γ 0 Φ= (6.) onde Φ 0 é a taxa de variação (temoral) de Φ. Em outras alavras, só ocorre evolução das variáveis lásticas quando o onto que define o estado de tensões ermanece na suerfície de lastificação Φ= 0, ou seja, γ > 0 se, e somente se, Φ= 0. Ademais, Φ< 0 se, e somente se, γ= 0, isto é, o onto que define o estado de tensões e que estava na suerfície de lastificação ( Φ= 0 ) só se desloca ara o interior do domínio elástico ( Φ< 0 ) se não houver evolução das variáveis lásticas ( ε, κ, X ). Para o caso em que ocorre evolução das variáveis lásticas ( ε, κ, X ), o arâmetro escalar γ > 0 ode ser encontrado via equações (6.7), (6.8), (6.9) e (6.): Φ Φ Φ Φ Φ= : ε+ : ε + κ+ : X = 0 ε ε κ X Φ Φ Φ Φ :γ ε+ : R+ r κ + : RX 0= ε ε κ X ( Φ, ε) γ : = ( Φ, κκ) : r + ( Φ,, ): X + ( Φ ) ε R X R ε (6.) onde o símbolo ( AB, ) denota a derivada (arcial) da grandeza A em relação à grandeza B. Assim, a taxa de variação da tensão é dada or (ver equações 6.4., 6.7 e 6.8 e 6.): σ σ σ σ = ε = ε ε = ε eng eng eng eng : γe : : R εe εe εe σ eng (, ) eng : Φ ε σ = ε : ε R ε e ( Φ, κκ) : r + ( Φ,, ): X + ( Φ ) ε R X R Γ : eng = e σ ε (6.3.)

109 ψ R ( Φ, ε) Γ = ( ) ( ) e : II εe ε e ( Φ, κκ) : r + ( Φ,, ): X+ ( Φ ) ( ) ε R X R (6.3.) ψ RΦ,ε ( ) σ δ δ ε kl mn eng = km ln ( ) ij mn ( εe) ( ε e) ij kl ( Φ,ε ) κ R o ( Φ,κ) rx ( Φ,X) ( R ) + + o o o ( ) (6.3.3) onde Γ e é o oerador tangente consistente elastolástico (CRISFIELD, 000); e os símbolos II, e δ reresentam, nesta ordem, o tensor identidade de quarta ordem, o roduto tensorial entre dois tensores de segunda ordem e o delta de Kronecker (HOLZAPFEL, 004). As equações (6.3.) e (6.3.3) estabelecem a evolução da tensão de engenharia com a deformação infinitesimal total, em regime elastolástico de equenos deslocamentos e equenas deformações Aroximação de Green-Naghdi Segundo Green e Naghdi (965) e Khan e Huang (995), uma aroximação razoável ara materiais elastolásticos em regime de grandes deformações é a decomosição aditiva da deformação de Green-Lagrange (3.7), similar à decomosição descrita elas equações (6.): E= Ee + E Ee = E E (6.4) onde ( ) e ( ) e reresentam as arcelas elástica e lástica. Com essa aroximação e com os conceitos descritos na seção 6., é ossível descrever resumidamente o modelo elastolástico de Green-Naghdi (KHAN; HUANG, 995): - Energia de Helmholtz (ver equações 6.3): ( E ) ( E X ) ( E E ) ( E X ) ψ= ψ + ψ,,κ = ψ + ψ,,κ (6.5.) e e e

110 - Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (ver equações 6.4): ψ S = = ψ S ψ ψ ψ = = = E E ou ij e Eij ( Ee ) ij ( E E ) ij (6.5.) - Critério de lastificação (ver equação 6.6): Φ=Φ( S,κ, X ) 0 ou Φ=Φ( EE, κ,, X 0) (6.5.3) - Lei de fluxo lástico (ver equação 6.7): E = D = γ R ou ( E ) ( D ) ij ij ij γr= = (6.5.4) - Leis de evolução do encruamento (ver equações 6.8): κ= γr κ (6.5.5) = γ X X R ou Xγ R ( ) = (6.5.6) ij X ij - Condição de comlementaridade (ver equação 6.0): γ 0, Φ 0, γ Φ= 0 (6.5.7) - Condição de consistência (ver equação 6.): γ 0, Φ 0, γ Φ= 0 (6.5.8) - Parâmetro escalar γ 0 (ver equação 6.): ( Φ, E) γ : = ( Φ, κκ) r : + ( Φ,, ): X + ( Φ ) E R X R E (6.5.9) - Evolução da tensão (ver equações 6.3): S = Γ (, ) e : R Φ E II : E ( Φ, κκ) r : + ( Φ,, ): X + ( Φ ) E R X R (6.5.0)

111 Γ e ψ = (6.5.) E E e e - Taxa de dissiação interna de energia (ver exressões 6.4): D ψ : ψ : ψ = κ 0 S E E X X κ (6.5.) onde Γ e é o tensor elástico de quarta ordem (4.8) Hierelastolasticidade Assim como na hierelasticidade (seção 5.), ara modelar comonentes estruturais em regime de grandes deformações elastolásticas, define-se material hierelastolástico (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000) como sendo um material cujo comortamento elastolástico é descrito elo otencial escalar energia livre de Helmholtz ( ψ ). No caso hierelastolástico, esse otencial ode ser exresso em função da deformação de Green- Lagrange (3.7) e do conjunto de variáveis internas ζ (SVENDSEN, 998): ψ ψ,, = E ζ E (6.6) onde E é a taxa de variação (temoral) de E. No caso em que ψ não deende de E ( rateindeendent lasticity ), a exressão (6.6) se reduz a: ψ= ψ ( E, ζ ) (6.7) Ademais, de acordo com Svendsen (998), ode-se decomor ψ nas arcelas elástica e inelástica. Nesse caso, a energia de Helmholtz ψ descreve duas arcelas da energia de deformação: a armazenada e a dissiada. Uma decomosição bastante utilizada, baseada em

112 modelos reológicos (DOGUI; SIDOROFF, 985; DETTMER; REESE, 004), é a decomosição aditiva: onde ( E ) ( ) ( E ) ( E ) ψ= ψ + ψ ζ = ψ + ψ, α (6.8) ψ e e e e i e e i ψ i são, resectivamente, as arcelas elástica e inelástica do otencial ψ ; E e e são as arcelas elástica e lástica da deformação E (ver equações 3.4); e α reresenta o conjunto de arâmetros de encruamento (isotróico e cinemático). Em outras alavras, segundo a equação (6.8), o comortamento elástico do material não deende das variáveis internas. Devido ao caráter reversível da deformação elástica (seção 4.3), a condição de normalização (5.6) alica-se, aenas, à arcela elástica da energia de Helmholtz: e ( ) ψ E = O = 0 (6.9) e Já a arcela inelástica ( ψ ) corresonde, no caso elastolástico, à energia dissiada utilizada i no rearranjo molecular do material (KHAN; HUANG, 995). Assim, é ossível escrever a seguinte condição: ψi 0 (6.0) Em outras alavras, a energia armazenada no material, que retorna a zero quando este é descarregado, corresonde - aenas - à arcela de deformação elástica, já que a arcela inelástica de energia se dissia. De acordo com Khan e Huang (995), a decomosição aditiva da deformação (ver equações 6. e 6.4) não é válida ara análise de materiais em regime de grandes deformações. Nesse caso, é mais conveniente (SIMO; ORTIZ, 985; BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000) usar a decomosição multilicativa do gradiente (3.), também chamada de decomosição de Kröner-Lee (ver equação 3.3). Segundo Peric e Dettmer (003), esse tio de decomosição admite a existência de uma configuração intermediária (ver figura 3.3). É afirmado, em Alves (003), que essa configuração é relaxada orque é livre de tensões, e é local orque ela é definida - aenas - na vizinhança de cada onto material. Pode-se notar que, no caso geral (ver equação 3.4.3), a deformação total de Green-Lagrange ( E ) não é decomosta de forma aditiva nas arcelas elástica ( E ) e lástica ( E ), como é feito na aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3). e E

113 6.4.. Relação tensão-deformação Neste estudo, ara determinar a relação hierelastolástica entre tensão e deformação a artir da energia livre de Helmholtz (equação 6.8), é usado um rocedimento similar ao descrito na exressão 6.4 ara o caso de equenas deformações elastolásticas. A formulação elastolástica baseada na segunda lei da termodinâmica (MARSDEN; HUGHES, 983) e no rocedimento de Coleman-Noll (HOLZAPFEL, 004), como é o caso do referido rocedimento, é classificada de formulação termodinâmica (SVENDSEN, 998; BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000; PERIC; DETTMER, 003; DETTMER; REESE, 004; VLADIMIROV; PIETRYGA; REESE, 008). De modo similar ao caso hierelástico, a segunda lei da termodinâmica, ara o caso elastolástico, é descrita ela seguinte inequação (ver seção 5.3): = ψ 0 D S: E (6.) No caso elastolástico, a taxa de dissiação interna de energia D ode não ser nula devido ao caráter dissiativo da deformação lástica (KHAN; HUANG, 995). Com a decomosição multilicativa de Kröner-Lee (ver equações 3.3, 3.4 e 3.7), o termo (6.) resulta em: S: E da exressão { e e e e e } T T T - ( ) ( ) S : E = S : A DA = S : A A D + sim A L A A A T T T T - ( ) ( ) = S: AAeDAA e e + S: esim A A ALA e e AA e T T T - T T -T T = S: A EA e + S: ( AAALAAA e e e e + AAA e e LAAA e e ) T T T T = ASA : Ee+ S : ( ACeLA + ALCeA ) T T T T T T = ASA : Ee+ CeASA : L + ASACe : L = ASA : Ee+ CeASA : L (6.)

114 onde o símbolo ( ) T indica a inversa da transosta de uma matriz (HOLZAPFEL, 004). A taxa de variação temoral da energia de Helmholtz ψ, resente na exressão (6.), resulta em (ver equação 6.8): ψ ψ ψ ψ ψ ψ T ( ) e i i e i i ψ = : Ee+ : E+ : α= : Ee+ : ADA + : Ee E α Ee E α α ψ ψ ψ = + + E e i T i : E A e : : e E A D α α (6.3) A combinação das equações (6.), (6.) e (6.3) resulta na seguinte exressão ara a taxa de dissiação interna: T ψ e T ψi T ψ i D = A SA : e+ e : : : 0 E C A SA L A e A D α E E α (6.4) que: Com o rocedimento de Coleman-Noll (HOLZAPFEL, 004), ode-se demonstrar S ψ = A SA = T e ψ S= A A = ASA e E ou - e -T - -T e e Ee (6.5.) ψ ψ i T i D = Me : L A A : D : α 0 E α (6.5.) Me = CS e e (6.5.3) onde S e é um tensor análogo ao segundo tensor de Piola-Kirchhoff (ver equações 4.3); e é um tensor análogo ao tensor das tensões de Mandel (HOLZAPFEL, 004). Tanto M e S e como M e são definidos na configuração intermediária (ver figura 3.3). Ademais, é ossível demonstrar (SVENDEN, 998) que o tensor Me = CS e e é simétrico. Dessa forma, ode-se concluir (HOLZAPFEL, 004) que Me : L = Me : D e que, consequentemente (ver equação 6.5.): ψ i D = ( Me χ) : D : α 0 α (6.6.)

115 ψ i T χ = A A (6.6.) E onde χ é o tensor das tensões inversas (ALVES, 003) ou backstress (DETTMER; REESE, 004), definido na configuração intermediária (ver figura 3.3) Suerfície de Plastificação Assim como na elastolasticidade em equenas deformações (ver seção 6.) e na elastolasticidade de Green-Naghdi (ver seção 6.3), a suerfície de lastificação (ver equações 6.9 e 6.5.3) é descrita aqui ara o caso hierelastolástico em função do tensor elástico de Mandel (6.5.3), do tensor das tensões inversas (6.6.) e do arâmetro de encruamento isotróico (6.8.): MX κ ( ) f ( ) Φ= f κ M0 χ (6.7) onde f MX e f κ são funções escalares. e Leis de evolução A lei de fluxo lástico (ver equação 6.7 ou 6.5.4) ara um material hierelastolástico é exressa aqui em termos da taxa de variação (temoral) da arcela lástica do gradiente (ver equações 3.3 e 3.7): = A LA (6.8.)

116 ( ) ( ) L = γr = γ R + R A = γr A = γ R + R A (6.8.) L P W L P W = γ P D R (6.8.3) = γ W W R (6.8.4) onde os tensores (de segunda ordem) do gradiente lástico da velocidade da taxa de rotação lástica R L, R P e R W são os tensores que definem a direção L (3.7.3), da taxa de deformação lástica W (3.7.9), resectivamente. D (3.7.6) e Com relação à evolução do encruamento cinemático, devido ao fato da variável χ (6.6.) ser definida na configuração intermediária, é necessário (DETTMER; REESE, 004) emregar uma taxa objetiva de variação temoral (CRISFIELD, 000): γ χ χ = R (6.9) onde R χ é a função tensorial que estabelece a evolução de χ (na configuração intermediária). Pode-se definir, na configuração inicial (ver figura 3.3), uma variável tensorial análoga ao tensor das tensões inversas χ : X= A χ A ou - -T χ = A XA (6.30) T Para garantir a objetividade da taxa de variação temoral (HOLZAPFEL, 004), ode-se adotar, or exemlo, a taxa objetiva de Jaumann (CRISFIELD, 000): = W + χ χ χ χ W (6.3.) T W = ant ( L) = ( L L) = L D (6.3.) É ossível demonstrar (DETTMER; REESE, 004) que a combinação das exressões (6.8), (6.9), (6.30) e (6.3) resulta em: ( ) - T T χ = A X+ sim CADAX A (6.3.)

117 onde ( ) ( ) - -T - T - -T - T = χ sim γ P sim = X γ = X A χ A CADAX ARA CARAX R (6.3.) R X é o tensor que define a evolução da variável X (na configuração inicial). equação 6.8): A evolução do arâmetro de encruamento isotróico adotado neste estudo é (ver κ = D = κ ( D : D) = γ ( RP : R P) = γ ( RP) ( RP) = γr (6.33) ij ij onde r κ á função escalar que define a evolução do arâmetro κ. Com a adoção desse arâmetro de encruamento isotróico, ara o caso da aroximação de Green-Naghdi ara equenas deformações (ver seção 6.3), a função escalar r κ (ver equação 6.5.5) é dada or r κ = ( R: R ) (ver equação 6.5.4) Determinação do multilicador lástico Assim como em equenas deformações (ver seções 6. e 6.3), no regime de grandes deformações, a função que descreve o critério de lastificação (6.7) também deve satisfazer as condições de comlementaridade e consistência (ver equações 6.0 e 6.): γφ= 0 (6.34.) γ 0 Φ= (6.34.) De modo similar ao regime de equenas deformações (da seção 6.) e à aroximação de Green-Naghdi (da seção 6.3), a variável escalar γ 0, chamada de multilicador lástico, é determinada ela condição de consistência (6.34.). Para o caso em que ocorre evolução das

118 variáveis lásticas ( E, X e κ ), temos γ > 0 e, consequentemente (ver exressões 6.8, 6.3. e 6.33): Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ= : Eκ + : A+ : X+ = : γe+ ( LA γr ) + R + E A X E A X κ κ X κ Φ Φ Φ Φ = : Eγ + : RA : γ + Rγr + E A X κ L κ X Φ Φ Φ Φ = :γ E+ : ( RA L κ) + : RX + r 0 = E A X κ B ij Φ / E γ = : = : ( Φ / Aκ) r: ( κra L ) + ( Φ / X) : RX + ( Φ / ) E B E Φ / Eij = ( Φ / A) κ( RκL) r ( A ) + ( Φ / X) ( R X) + ( Φ / ) kl km ml kl kl (6.35.) (6.35.) Evolução da tensão A taxa de variação (temoral) do segundo tensor de Piola-Kirchhoff (ver equações 6.3) ode ser determinada a artir da exressão (6.5.): - -T - -T - -T - -T ( e ) ( ) S= ASA = A SA e + A Se A + AS e ( A ) = Γ : h ee (6.36.) t t t S ψ S E E E e e e = : e = : e = Γ e : e Ee Ee Ee (6.36.)

119 E -T - -T - - -T e = ( ) = ( )( ) + + t A E E A t A E E A A E E A -T - A ( E E) ( A ) (6.36.3) t t t ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A ) t ( A) A A A = = : = : ( ) ( ) T ( A) ( ) ( ) T t ( A) A A A A A A -T T -T -T -T T = = : = : (6.36.4) (6.36.5) onde o tensor de quarta ordem Γ he = S/ E é o oerador tangente consistente elastolástico (SIMO; TAYLOR, 985; CRISFIELD, 000). As taxas resentes nas equações (6.36) são dadas or (ver exressões 6.8 e 6.35): ( ) A = LA = γ RA L = BERA : L = RA L B : E (6.37.) ( ) T T T T T T T T T = = γ L = : L = L : A AL AR BE AR AR B E (6.37.) -T - A E A = D = γ RP = B: E RP = ( RP B) : E (6.37.3) As derivadas da inversa ( A - / A e A / A ) odem ser encontradas, or exemlo, em -T T Holzafel (004), e o cálculo do oerador tangente consistente hierelastolástico Γ he (ver exressão 6.36.) é dado no Aêndice D desta tese.

120 6.5. Modelos adotados Neste item, são descritos os modelos elastolásticos imlementados nos códigos comutacionais desenvolvidos neste estudo Leis constitutivas elásticas Com relação aos modelos ara materiais elastolásticos usados neste estudo, quatro relações, análogas às leis hierelásticas (5.), (5.3), (5.4) e (5.5), foram adotadas. Em todas essas relações, a arcela elástica da energia de Helmholtz é descrita em função da arcela elástica de deformação (ver equação 6.8). O rimeiro modelo é a lei elastolástica de Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5.): EP EP λ ψsvk = ψsvk ( Ee ) = tr ( e ) + μ tr ( e ) E E (6.38) O segundo modelo é a lei elastolástica de Rivlin-Saunders (ver equações 5.3): ( ψ) ( i ),i ( ) ( ) ( ) ψ EP EP iso iso iso iso iso RS = ψ RS J,i e,i e = U e vol Je + RS e (6.39) e O terceiro modelo é a lei elastolástica de Hartmann-Neff (ver equações 5.4): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EP EP iso iso iso iso iso ψhn = ψ HN J,i e,i e = U e vol Je + ψ HN i,i e e (6.40) Por fim, o quarto modelo é a lei elastolástica neo-hookeana (ver equações 5.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ψ EP EP nh = ψ nh J, i k ln J μ i 3 ln J e e = e + e e (6.4)

121 Para a decomosição aditiva da deformação (ver seção 6.3), os valores de C e, iso iso ( i ), ( ) e i e ( ) e i C são dados elas exressões a seguir (ver equações 3.6, 3.7 e 3.9): e Ee = E E ( Ce I) = ( C I) ( ) e = + C I C C C I (6.4.) ( ) ( ) ( ) ( ) J = det C = det C det C + det I J = J J + (6.4.) e e e /3 ( ) = ( ) = ( + ) ( + ) i C J tr C J J tr C C I (6.4.3) iso -/3 e e e -4/3 Je { } ( ) ( ) iso iso iso i ( C e) = ( trce ) + tr ( e ) = tr e + tr e = C C C ( J J + ) /3 ( ) ( ) ( ) {( tr tr + 3) + tr ( + ) } e e C C C C I (6.4.4) i C = tr C = tr C C + I = trc trc + 3 (6.4.5) Já ara os modelos hierelastolásticos (ver seção 6.4), devem ser usadas as exressões gerais (3.3) e (3.4). J e, Critério de lastificação Neste estudo, foi escolhido o critério (tridimensional) de von-mises (CRISFIELD, 000). Para o caso da decomosição aditiva de Green-Naghdi, aresentada na seção 6.3, o critério de lastificação é dado or (ver equação 6.5.3): Φ ( SX, κ, ) = Sefκ, ( SX) σ κ ( ) = dev ( Sκ X ) σ κ( ) 0 (6.43.) 3 3 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) dev S X dev S X : dev S X dev S X dev S X (6.43.) ij ij

122 onde dev 3 ( ) = ( ) tr ( ) I ou dev ( ) δ = ( ) ( ) ij 3 (6.43.3) ij ij kk σ κ é a tensão limite de escoamento, descrita em função do arâmetro de encruamento isotróico κ ; dev ( ) denota a arcela desviadora (PROENÇA, 006) de um tensor de segunda ordem; e o símbolo reresenta a norma de um tensor de segunda ordem (HOLZAPFEL, 004). Para o caso hierelastolástico (ver exressão 6.7), o critério (tridimensional) de von- Mises é dado or (DETTMER; REESE, 004): ef Φ ( Me, χ κ, ) = Me ( M, e χ) σ κ ( κ) = dev ( M χ ) σ κ( ) 0 (6.44) Lei de fluxo A lei de lastificação emregada neste estudo é associativa, isto é, essa lei obedece à regra da normalidade (PROENÇA, 006). Para a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3), a lei de fluxo associativa é dada or (ver equação 6.5.4): ( S) Φ ( S) Φ R = E = γ S S (6.45) Esta condição é chamada de regra da normalidade, ois a variação da deformação lástica ( E ) assa a ter a direção da normal à suerfície de lastificação (PROENÇA, 006). No caso da hierelastolasticidade (ver seção 6.4), a regra da normalidade é alicada ao tensor R P (ver equação 6.8.3). Assim, a lei de fluxo é dada or (VLADIMIROV; PIETRYGA; REESE, 008): R P Φ = D = M e γ Φ M e (6.46)

123 Para definir a evolução da arcela lástica do gradiente ( A ), resta definir o tensor R W (ver equações 6.8). Neste estudo, foi emregada a seguinte relação (ETEROVIC; BATHE, 99): W R O R R Φ A Φ A = W = L = P = = γ Me Me (6.47) A derivada da norma de um tensor, que aarece na lei de fluxo associativa com critério de von-mises (ver equações 6.43 ou 6.44), é dada or: ( ) = ( ) : ( ) = ( ) ( ) (6.48) onde o símbolo denota um tensor de segunda ordem qualquer Leis de encruamento isotróico Para estabelecer a função σ ( ) κ κ (ver equações 6.43 ou 6.44), foram adotados três modelos de encruamento isotróico: olinomial, Swift e Voce. Para a lei olinomial, a função escalar σ ( ) κ κ é dada or: κ NC n n (6.49) n= 0 ( ) = ( ) σ κ a κ onde NC é o número de coeficientes do material ( a n ). Para a lei de Swift, a função escalar σκ ( κ ) é dada or (ALVES, 003): ( ) ( ) n σ κ = K E + κ (6.50) κ 0 onde K, E 0 e n são coeficientes do material. Por fim, a lei de encruamento isotróico de Voce é exressa or (ALVES, 003):

124 ( ) ( ) σκ κ = σ0 + σsat σ 0 e (-Cκ ) Y (6.5) onde σ 0, σ sat e C Y são coeficientes do material. Para o critério (tridimensional) de von-mises (equações 6.43 ou 6.44), é ossível mostrar a seguinte relação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dev dev dev dev dev : dev : = : = = dev dev dev (6.5) Assim, a evolução do arâmetro de encruamento isotróico, ara a aroximação de Green- Naghdi (ver seção 6.3) e ara a hierelastolasticidade (ver seção 6.4), é dada or (ver equação 6.33): κ= γ = γrκ rκ = (6.53) Leis de encruamento cinemático Com relação ao encruamento cinemático, foram adotados três modelos ara definir a evolução do tensor das tensões inversas, reresentado or X (ver equações e 6.9): os modelos lineares de Prager e de Ziegler, e o modelo não linear de Armstrong-Frederick. Para o modelo de Prager, é usada a seguinte exressão (ALVES, 003): X= γ R = c D = cγ R R = c R (6.54) X P X P onde c é um coeficiente do material. Para a lei de Ziegler, a evolução de X é dada or (ALVES, 003): = γ X = γ( ) X = X R S X R S X (6.55)

125 Por fim, ara o modelo não linear de Armstrong-Frederick, a evolução de X é exressa or (DETTMER; REESE, 004): = γ X = c γb = cγ P γb X = c P b (6.56) X R D X R X R R X onde c e b são coeficientes do material. Pode-se notar que, quando b= 0, a lei de Armstrong-Frederick se reduz à lei de Prager (6.54). As exressões (6.54), (6.55) e (6.56) também odem ser usadas no caso da hierelastolasticidade (ver seção 6.4). Basta substituir a taxa X ela taxa objetiva χ, e o tensor R X elo tensor equação (6.3.). R χ. O tensor R X, no caso hierelastolástico, é calculado ela 6.6. Previsão elástica e correção lástica Segundo Proença (006), na análise de materiais elastolásticos, é necessário emregar um rocedimento incremental ara verificação da lei constitutiva. Isso orque a variação das variáveis internas (deformação lástica e arâmetros de encruamento) é dada na forma incremental (ver equações 6.5.4, e 6.5.6, or exemlo). No regime elastolástico, além das equações de equilíbrio (4.9), os estados de deformação e de tensão devem satisfazer o critério de lastificação, e as condições de comlementaridade e de consistência (ver equações 6.5.3, e 6.5.8, or exemlo). No rocedimento incremental adotado neste estudo, são conhecidas as seguintes variáveis mecânicas no início do incremento: deformação de Green-Lagrange E (3.7); arcela lástica de deformação E (ver equação 6.4 ou 3.4.3); arâmetro de encruamento isotróico κ (ver equação ou 6.6); e arâmetro de encruamento cinemático X (ver equação ou 6.30). No resente estudo, tais variáveis mecânicas no início e no fim de cada incremento são reresentadas or { EE, κ,, X } e {, κ, } ( 0 ), ( ) EE X, resectivamente.

126 Sabe-se que o conjunto de variáveis {, κ,, } ( 0 ) EE X satisfaz tanto o equilíbrio de forças (4.9) como o critério de lastificação (6.5.3) ou (6.7). O objetivo da resente análise é encontrar o novo conjunto de variáveis {, κ,, } ( ) incremento. Como as leis de evolução das variáveis lásticas EE X que satisfaça tais condições ao final do E, κ e X (ver equações 6.5.4, e 6.5.6) são dadas na forma de taxas, elas ermitem calcular as variações infinitesimais de tais variáveis ( de, dκ e dx ). Assim, ara encontrar os valores corresondentes ao final do incremento E= E( ) E( 0), essas variações devem ser integradas ao longo desse incremento: E( ) ( ) ( ) d E 0 :d E (6.57.) E E( 0) E = E E = E = E κ E( ) κ κ = κ( ) κ( 0) = dκ = : de E (6.57.) E( 0) E( ) X X= X( ) X( 0) = d X= :de E (6.57.3) X E( 0) Para realizar estas integrações, surgem dois roblemas: não se conhece reviamente a evolução da deformação ao longo do incremento E ; e as leis de evolução ( d E /de, dκ/de e d X/dE) deendem, no caso geral, das variáveis mecânicas E, E, κ e X, as quais variam ao longo do incremento E. Para resolver tais roblemas, ode-se estimar a deformação ao final do incremento ( E ( ) ) e atualizar as variáveis lásticas ( E, κ e X ) de modo a satisfazer tanto o equilíbrio de forças como o critério de lastificação. No resente estudo, é emregado o algoritmo de revisão elástica e correção lástica (CRISFIELD, 000). Em outras alavras, a verificação do modelo constitutivo elastolástico se dá aqui em duas etaas. Na etaa de revisão elástica, é assumido que, ao longo do asso ou do incremento finito, as variáveis lásticas ( E, κ e X ) não variam. Caso o critério de lastificação seja satisfeito ao final do asso ( Φ 0 ), então a hiótese de incremento uramente elástico ( E = κ = X= 0) se confirma. Porém, se o critério de lastificação for desobedecido ao final do asso ( Φ> 0 ), deve-se realizar a correção das variáveis lásticas ( E, κ e X ),

127 também chamada de correção lástica. Para isso, devem ser determinados os incrementos E, κ e X de forma que Φ= 0. Essa determinação é feita or meio da integração das equações constitutivas referentes à lei de fluxo lástico (6.5.4) ou (6.8), e à evolução do encruamento (ver equações e 6.5.6, ou 6.3. e 6.33). De acordo com Belytschko, Liu e Moran (000), o rocedimento numérico ara tal integração é chamado de algoritmo de integração constitutiva ou algoritmo de atualização da tensão. O algoritmo de correção lástica é chamado de algoritmo de retorno. São usados, neste estudo, os algoritmos de retorno de Euler imlícito e exlícito (CRISFIELD, 000; BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). Em ambos os casos, a condição Φ= 0 é imosta ao final do asso (ou do incremento). No método exlícito, as funções que descrevem a variação das variáveis lásticas são assumidas como sendo iguais aos seus resectivos valores no início do incremento. Já no método imlícito, assume-se que tais funções são iguais aos seus resectivos valores ao final do incremento. As equações emregadas ara os retornos imlícito e exlícito, ara os casos da decomosição aditiva de Green-Naghdi (ver seção 6.3) e da hierelastolasticidade (ver seção 6.4), são dadas a seguir Retorno ara a aroximação de Green-Naghdi Na etaa de revisão elástica, as variáveis lásticas não variam ao longo do asso, isto é (ver exressões 6.5): En+ = En + En (6.58.) ( E) ( E) = (6.58.) n+ n κ = κ (6.58.3) n+ n X = X (6.58.4) n+ n

128 S = S E E (6.58.5) ( t),( ) n+ n+ n ( t) ( t) Φ =Φ S,κ, X (6.58.6) n+ n+ n n onde o símbolo ( ) ( t) indica que a grandeza faz arte da tentativa elástica; e os índices n e n+ denotam, resectivamente, o início e o final do incremento E. Caso ( t) n+ 0 Φ >, realizase a correção lástica, or meio do algoritmo de retorno. De acordo com Crisfield (000), o algoritmo generalizado do retorno de Euler, no caso da aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3), é dado ela exressão a seguir (ver exressões 6.5.4, e 6.5.6): ( E ) = ( E ) + γ ( η)( R) + η( R) n+ n n n+ ( κ) = ( κ) + γ ( η)( r ) + ηr ( ) n+ n κ n κ n+ ( X) = ( X) + γ ( η)( R ) + η( R ) n+ n X n X n+ (6.59.) (6.59.) (6.59.3) onde γ é a variação do multilicador lástico ( γ ) ao longo do asso; os índices n e n+ denotam, resectivamente, o início e o final do asso; e η é um arâmetro. Segundo Alves (003), a escolha do arâmetro η influencia a recisão do cálculo do incremento de deformação lástica E ( E) ( E) =. Quando η= 0, o retorno é chamado de n+ n totalmente exlícito (ALVES, 003) ou de forward-euler (CRISFIELD, 000). Quando η=, o retorno é chamado de totalmente imlícito (ALVES, 003) ou de backward-euler (CRISFIELD, 000). Indeendente do valor atribuído ao arâmetro η, a deformação total ( E ), estimada na etaa de revisão elástica, se mantém constante ao longo da correção lástica. Para o retorno exlícito ( η= 0), as exressões resultantes ara atualização lástica são (ver equações 6.59): ( E ) ( E ) γ( R) = + (6.60.) n+ n n ( κ) ( κ) γ( r ) = + (6.60.) n+ n κ n

129 ( X) ( X) γ( R ) = + (6.60.3) n+ n X n Φ Φ Φ Φ n + :κ E + : + 0 X= E κ X Φ Φ Φ Φ E,( κ E, ), X : + γ ( R) + γ r ( ) : + γ ( R0 ) = n+ κ n n n X n n n E κ X ( κ, ) Φ En+, E, n n X n γ = Φ Φ Φ : r : E κ X ( R) + ( ) + ( R ) n κ n X n (6.60.4) A solução consiste em determinar γ, atualizar as variáveis lásticas ( ) E, ( ) n+ n+ κ e ( X ) n+, e atualizar as funções ( R ) n, ( r κ ) e ( X ) ( ) Φ n+ =Φ En+, κ E,, n+ n+ 0X n+ = variáveis lásticas dadas no Aêndice E. n R até que. As derivadas da função escalar Φ em relação às E, κ e X, ara os modelos elastolásticos adotados (ver seção 6.5), são Para o retorno imlícito de Euler ( η= ), as exressões ara atualização lástica resultam em (ver equações 6.59): ( E ) ( E ) γ( R) = + (6.6.) n+ n n+ ( κ) ( κ) γ( r ) = + (6.6.) n+ n κ n+ ( X) ( X) γ( R ) = + (6.6.3) n+ n X n+ n ( ) Φ n+ =Φ En+, κ E,, n+ n+ 0X n+ = (6.6.4) Como as variáveis lásticas ( E, κ e X ) e as funções que estabelecem as leis de evolução ( R, r e κ R X ) não são conhecidas ao final do asso ( n+ ), utiliza-se aqui o método de Newton-Rahson (ver seção 4.6). Para isso, deve ser calculado o seguinte vetor resíduo: {,r,,r } T r r r3 4 = (6.6.)

130 r ( E ) ( E ) γ( R ) n ( E ) ( E ) γ( R ) n ( E ) ( E ) γ( R3 ) 3 3 n ( E ) ( E ) γ( R) n ( E ) ( E ) γ( R ) ( E ) ( E ) γ( R3 ) = n n n n n ( E ) ( E ) γ( R3) ( E ) ( E ) γ( R3 ) ( E ) ( E ) γ( R33 ) (6.6.) κ n ( ) rκ= κ + γ+ r (6.6.3) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ ( ) ( ) γ( ) ( ) γ ( ) X + X + R X + X + R X + X + R X + X + R n X n X 3 3 n X 3 n X X X 3 R = + + n X r X + X + R X + X + R X + X + R X + X + R 3 3 n X n X n X n X 33 (6.6.4) r 4 = Φ (6.6.5) Nestas exressões, o índice n+ foi eliminado, e as variáveis com índice n são fixas. Se o vetor resíduo ( r ) não for suficientemente equeno, deve-se determinar um novo vetor {,κ,, γ } z T E X = via exansão em série de Taylor e linearização: r r+ z = 0 z ou r z = r = 0 z (6.63)

131 Esse vetor z é atualizado até que o resíduo (6.6) seja suficientemente equeno. As derivadas do resíduo ( r ) em relação ao vetor z, ara os modelos elastolásticos adotados (ver seção 6.5), são dadas no Aêndice E Retorno ara a hierelastolasticidade No caso da hierelastolasticidade (ver seção 6.4), o retorno exlícito de Euler ( η= 0) é realizado com as seguintes exressões (ver equações 6.8, 6.3., 6.33 e 6.60): { } ( ) γ( ) ( ) ( ) γ ( ) ( ) ( ) A = A + R + R A = A + R n+ n P n W n n n AP n (6.64.) ( κ) ( κ) γ( r ) = + (6.64.) n+ n κ n ( X) ( X) γ( R ) = + (6.64.3) n+ n X n Analogamente ao caso da aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.6.), a solução consiste em determinar os valores de γ, ( ) X de forma a satisfazer ( ) Φ n+ =Φ An+, κ A,, n+ n+ 0X n+ =. A, ( κ ) n+ e ( ) n+ n+ Para o retorno exlícito ( η= 0), basta substituir, nas exressões (6.60), E or A, e R or RAP = RA L. Já ara o retorno imlícito de Euler ( η= ), a correção lástica na hierelastolasticidade é realizada com as seguintes equações: {,r,,r } T r r r3 4 = (6.65.)

132 r ( A ) ( A ) n γ( R ) ( A ) ( A ) n γ( R ) ( A ) ( A ) 3 3 n γ( R ) ( A ) ( A ) n γ( R ) ( A ) ( A ) γ( RAP ) n ( A ) ( A ) γ( R ) = ( A) ( A) + γ R n AP AP AP 3 AP 3 3 AP n 3 ( A ) ( A ) γ( R ) 3 3 AP n 3 ( A ) ( A ) γ( R ) 3 3 AP n 3 + ( ) AP 33 (6.65.) κ n ( ) rκ= κ + γ+ r (6.65.3) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ( ) ( ) γ ( ) ( ) γ( ) ( ) γ ( ) X + X + R X + X + R X + X + R X + X + R n X n X 3 3 n X 3 n X X X 3 R = + + n X r X + X + R X + X + R X + X + R X + X + R 3 3 n X n X n X n X 33 (6.65.4) r 4 = Φ (6.65.5) {,κ,, γ } z T A X = (6.65.6) r r+ z = 0 z ou r z = r = 0 z (6.65.7) onde as variáveis com índice n são fixas. As derivadas do resíduo ( r ) em relação ao vetor z são fornecidas no Aêndice E.

133 6.7. Formulação ara barras rismáticas sob tração uniaxial Neste item, ara mostrar a alicação da resente formulação elastolástica a um caso articular, são descritas as formulações ara barras rismáticas sob tração uniaxial (ver figura 6.) em regimes elástico e elastolástico, ara a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3) e ara a hierelastolasticidade (ver seção 6.4). Figura 6.. Barra rismática sob tração uniaxial. Os camos vetoriais x e y são, resectivamente, os vetores osição inicial e final (ver seção 3.). F é a força alicada na direção longitudinal ( x ou y ), com distribuição uniforme ao longo da seção transversal cuja área final é A f. Considerando a mudança de configuração da barra da figura 6., o gradiente (3.), o camo de deslocamento (3.9) e a deformação de Green-Lagrange (3.7) resultantes são: Lf 0 0 L λ 0 0 y( x) A = = = x 0 b 0λ f b0 0 λ 0 3 h f 0 0 h 0 (6.66.)

134 L f - x L0 u( x) y( x) x b f u= u ( x) = y( x) x = - x b0 u3( x) y3( x) x 3 h f - x 3 h 0 (6.66.) λ 0 0 T E= ( AA I) = 0λ 0 0 λ 0 3 L f 0 0 L0 E 0 0 b f E = 0 E 0 = 0 0 b0 0 0 E 3 h h0 f 0 0 (6.66.3) Pode-se notar, na exressão (6.66.), que a comonente de deslocamento u é nula ara a face com coordenada x = 0, a comonente u é nula ara a face com coordenada x = 0, e a comonente u 3 é nula ara a face com coordenada x3 = 0. Em relação ao camo de tensões, o segundo tensor de Piola-Kirchhoff, reresentado or S, resulta em (ver exressões 3.3 e 4.3.): λ λ σ T S= JλAλσ λa 0= λ λ λ λ 3 3

135 λλ 3 σ 0 0 S λ 0 0 S = 0 S 0 = S (6.67) De acordo com a figura 6., a comonente do vetor tensão de Cauchy t ossui o mesmo sentido da força alicada F, isto é, t é ositiva ara as faces cujo vetor normal unitário é T n = {,0,0}, e é negativa ara as faces com n T = {,0,0}. Assim, segundo o teorema da tensão de Cauchy (4.), tσ n= e, assim, a comonente de tensão σ é semre ositiva. Com a exressão (6.66.), é ossível mostrar as seguintes relações: Lλf L= 0 (6.68.) bλf b= 0 (6.68.) hλf h= 3 0 (6.68.3) onde as dimensões iniciais ( L 0, b 0 e h 0 ) e finais ( L f, b f e h f ) da barra rismática são ilustradas na figura 6.. Com essas equações e com o resultado da exressão (6.67), ode-se relacionar o único valor não nulo do segundo tensor de Piola-Kirchhoff ( S ) com a força uniformemente distribuída alicada na direção longitudinal ( F ), mostrada na figura 6.: λλ Sσ= λλ = F = F 3 3 λ λ λλbh λa 0 ou F λa S 0 = (6.69) onde A 0 é a área inicial da seção transversal. Para a barra da figura 6., a relação entre suas dimensões iniciais e finais com a deformação, e a relação entre a medida de tensão adotada com a força alicada são definidas, resectivamente, nas equações (6.66) e (6.69). Resta estabelecer a relação entre tensão e deformação, ou entre a força alicada e as dimensões inicias e finais da barra. Para isso, deve ser definida a lei constitutiva do material. Para materiais em regime elástico (ver equação 4.4), a lei constitutiva ode ser exressa ela seguinte relação hierelástica entre tensão, deformação e energia de Helmholtz (ver equação 5.7):

136 ( ) ψ E S = ou E S ij ( E) ψ = (6.70) E ij Com isso, ara a barra rismática sob tração uniaxial da figura 6. em regime elástico, a única comonente não nula do segundo tensor de Piola-Kirchhoff é (ver equações e 6.67): ( E) ψ S = E (6.7) Assim sendo, a força longitudinal uniformemente alicada ao longo da seção transversal da barra é (ver equação 6.69): ( E) ( E) f ψ ψ L F = λa S = λa = bh E E L0 (6.7) Esta exressão relaciona, ara materiais homogêneos em regime elástico (ver equação 4.5), as dimensões iniciais da barra ( L 0, b 0 e h 0 ), o comrimento final ( L f ) da barra, a lei constitutiva hierelástica, descrita or ψ( E ), e a força uniformemente distribuída ao longo da seção transversal ( F ). No caso geral, a derivada ( ) ψ E /E deende do tensor deformação E, dado na equação (6.66.3). Com a equação (6.7), conhecidas as dimensões inicias da barra e a lei constitutiva, ode-se determinar a relação F versus L f, ara o caso de barras rismáticas homogêneas sob tração uniaxial em regime elástico. Ademais, chamando o deslocamento da face extrema com coordenada x = L0 de u, temos: L u = u L = y L L = L L = L L (6.73) ( ) ( ) f f 0 L0 Dessa forma, ode-se escrever a seguinte relação alternativa: ( E) 0 ψ L + u F= F( u) = bh 0 0 E L0 (6.74) Para simlificar o equacionamento, será adotada aqui a lei hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5., 5.9 e 6.38). Com essa lei, a comonente S do segundo tensor de Piola-Kirchhoff (ver exressão 6.67), as deformações transversais (ver equação ) e as dimensões finais da seção transversal da barra (ver figura 6.) resultam em:

137 E L = ( ) = f S E E L0 (6.75.) f L f νe = b b = νe b f = 0ν = 0 b0 L0 E (6.75.) f L f 3νE = h h = νe h f = 0ν = 0 h0 L0 E (6.75.3) Com as equações acima, conhecidas as dimensões iniciais da barra ( L 0, b 0 e h 0 ), as roriedades constitutivas ( E e ν, neste caso), é ossível calcular, ara determinado comrimento final ( L ), o segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff ( S ), as dimensões finais da barra ( L f, b f e f h f ) e o tensor deformação de Green-Lagrange ( E ). As exressões (6.7) e (6.73), as quais relacionam a força alicada com o comrimento final e com o deslocamento longitudinal (em regime elástico), odem ser substituídas or (ver equação 6.75.): 3 L E L L F= E( E) bh = bh f f f L0 L0 L0 3 L + u E u u F= E( E) bh = + + bh L0 L0 L0 (6.76.) (6.76.) Para o caso de barras homogêneas sob tração uniaxial em regime elastolástico (ver seção 6.), as equações (6.66), (6.67), (6.68) e (6.69) também odem ser utilizadas. Nesse caso, orém, a relação entre a tensão S e a deformação (total) E assa a ser diferente da relação elástica (6.75.), já que a evolução da tensão S assa a deender, também, da evolução da arcela lástica da deformação. Assim, ara estabelecer a relação entre força e comrimento final, ou entre força e deslocamento longitudinal, é reciso definir a resosta elastolástica do material. Nos itens a seguir, são descritas as equações, no caso de barras em tração uniaxial, ara a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3) e ara a hierelastolasticidade (ver seção 6.4).

138 6.7.. Formulação de Green-Naghdi ara barras sob tração uniaxial Para carregamento (ou deslocamento) longitudinal monotonamente crescente, ode-se definir limite elástico da barra sob tração uniaxial como sendo o onto (ou o instante) a artir do qual o material entra em regime elastolástico. Em outras alavras, aós o limite elástico, a função que descreve o critério de lastificação (6.5.3) assa a obedecer às seguintes relações (KHAN; HUANG, 995): Φ=Φ= 0 (6.77.) Φ Φ : de = deij > 0 E E ij (6.77.) Por definição, a função Φ é negativa antes de o material atingir o limite elástico, e a condição (6.77.) é chamada de carregamento lástico. De acordo com a aroximação de Green-Naghdi (6.4), a deformação total de Green- Lagrange E (3.7) é decomosta aditivamente nas arcelas elástica ( E ) e lástica ( E ). No caso de barras rismáticas sob tração uniaxial (ver figura 6. e equações 6.66) em regime elastolástico (ver equações 6.77), a arcela elástica de deformação é dada or: e Ee 0 0 E 0 0 E 0 0 Ee = E E 0 Ee 0 0 E 0 = 0 E E 0 0 E 0 0 E e3 3 3 E E E 0 0 = 0 E E E E e 3 3 (6.78) Neste caso, assumindo que a resosta elástica é descrita ela lei hierelástica linear (5.9), o segundo tensor de Piola-Kirchhoff ( S ) e as deformações elásticas transversais resultam em (ver equações 6.5. e 6.75):

139 S 0 0 S = L S = E E = E E E = E E, ( ) ( ) f e L0 (6.79.) ( ) E = νee E ν = E E = (6.79.) e e ( ) E = νee E ν = E E = (6.79.3) e3 3 3 e Sabe-se que, no caso de materiais em regime elastolástico, ocorre evolução das variáveis lásticas, ou seja, o multilicador lástico γ 0, que aarece nas leis de evolução (6.5.4), (6.5.5) e (6.5.6), é ositivo. Assim, ara satisfazer a condição de consistência (6.5.8), a exressão γ > 0 imlica Φ= 0. Nesse caso, o arâmetro escalar γ > 0 ode ser calculado via equação (6.5.9). Para utilizar tal equação, devem ser definidas as funções R, r κ e R X, as quais estabelecem a evolução da deformação lástica E, do arâmetro de encruamento isotróico κ e do tensor das tensões inversas X (ver equações 6.5.4, e 6.5.6). Para o critério de von-mises (ver equações 6.43), deve ser determinada a arcela desviadora (PROENÇA, 006) da diferença entre o segundo tensor de Piola-Kirchhoff ( S ) e o tensor das tensões inversas ( X ). No caso da barra sob tração uniaxial (ver figura 6., e equações 6.66, 6.67 e 6.79.), temos: X X 0 0 = 0 X X 3, trx = X+ X + X3 (6.80.) S 0 0 X tr X 3 dev( S X) = devs devx= 0 S 0 0 X trx S 0 0 X3 trx 3 3 dev( S X) = S X+ trx + S X + trx + S X3 + trx (6.80.)

140 Φ ( SX, κ, ) =Φ (, EE, κ, Xκ ) = dev ( S X ) σ κ( ) 0 (6.80.3) 3 Segundo o critério de von-mises (ver equações 6.43) e a lei de fluxo associativa (6.45), a evolução da deformação lástica, ara a barra sob tração uniaxial, é dada or (ver equação 6.48): ( S X) dev( S X) dev( ) Φ dev E = γ = γ = γ = γr S S S X ( ) dev S X 0 0 R = 0 dev( S X) 0 dev( S X ) 0 0 dev S X ( ) 3 (6.8) onde o tensor de segunda ordem dev( S X) é dado na exressão (6.80.). As demais leis de evolução κ e X são dadas nas exressões genéricas (6.53) e (6.5.6), resectivamente. Para calcular o arâmetro escalar γ > 0 via equação (6.5.9), é necessário determinar as derivadas da função que define o critério de lastificação ( Φ ) em relação às variáveis E, E, κ e X. No caso da barra sob tração uniaxial (ver equações 6.78, 6.79 e 6.80) temos: Φ / E 0 0 E 0 0 Φ Φ S Φ S dev( S X) = 0 Φ / E 0 = : = = E S E S E dev( S X) 0 0 Φ / E ( X) ( ) Φ dev S = E E dev S X, Φ E Φ = = 0 E 3 (6.8.) Φ Φ S Φ S Φ S Φ E S E S E S E E = : = = = ( X) ( ) Φ dev S = E E dev S X, Φ E Φ = = 0 E 3 (6.8.)

141 Φ σ = κ 3 κ κ (6.8.3) ( S X) ( ) Φ Φ dev = = X S dev S X ou ij ( X) ij ( ) Φ dev S = X dev S X (6.8.4) No caso das barras sob tração uniaxial, o cálculo do arâmetro escalar γ > 0 é feito da seguinte forma (ver exressões 6., 6.5.9, 6.8 e 6.8): Φ Φ Φ Φ Φ Φ σ κ Φ E κ E: 0 EX γr γ :γ 0 RX E κ E E X E 3 κ S Φ= = = B Φ,E γ= E = BE ( Φ,E) σ κr,κ + ( ), : + 3 ( Φ X) R X Φ,E = ( Φ,E) σ κr,κ + ( ), : + 3 ( Φ X) R X (6.83.) (6.83.) onde R é dado na equação (6.8). Para determinar a variação das variáveis lásticas ( E, κ e X ) da barra sob tração uniaxial ao longo do incremento de deformação (total) E= E( ) E( 0), são utilizadas as exressões a seguir (ver equações 6.5.4, 6.5.5, e 6.83): t t E( ) (6.84.) E = E E = E = R = R ( ) ( ) dtγ dt B 0 ( de ) t0 t0 E( 0) E( ) t t κ = κ( ) κ( 0) = κ dt = γ r dt = B de (6.84.) κ 3 t0 t0 E( 0) t t E( ) (6.84.3) X= X X = X = R = R ( ) ( ) dtγ dt B 0 ( de ) X X t0 t0 E( 0)

142 onde os índices 0 e reresentam os resectivos valores das variáveis no início e no final do incremento E= E( ) E( 0). O objetivo da análise dos materiais em regime elastolástico é o seguinte: a artir do conjunto de variáveis mecânicas conhecido E( ), Eκ 0 (, 0), ( 0) X ( 0), sendo Φ E( ), Eκ 0 (, 0), ( 0) X( 0 ) =, determinar o novo conjunto E( ), Eκ (, ), ( ) X ( ) ou E + EE, κ + κ, E, + X + X Φ E, Eκ,, X0 = ( 0) ( ) ( 0) ( 0) de modo a obter ( ) ( ) ( ) ( ) ou Φ E( ) + EE, κ 0 ( ) + κ, E, ( 0) + X0( ) + X =. Pode-se notar, mesmo ara o caso da tração uniaxial, a comlexidade na determinação dos incrementos (6.84.), (6.84.) e (6.84.3) no caso geral, já que as variáveis a serem integradas variam ao longo do incremento Porém, uma vez determinados tais incrementos e, ortanto, o novo conjunto E, Eκ,, X ( ) ( ) ( ) ( ), as relações elastolásticas da força alicada ( E. F ) com o comrimento final da barra ( L ) e com o deslocamento longitudinal da face extrema com coordenada x 0 f = L ( u ) são, ara a barra da figura 6. com resosta elástica descrita ela lei linear (5.9): L L F= E E bh f f 0 0 L0 L0 (6.85.) u u F= E + E + bh 0 0 L0 L0 (6.85.) Sabe-se que o traço de um tensor desviador é nulo (HOLZAPFEL, 004). Além disso, de acordo com a regra da normalidade, exressa em (6.8) ara a barra sob tração uniaxial, as seguintes exressões odem ser escritas (ver equações 6.5.4, 6.33 e 6.78): ( D ) E = = = tr tr E E E 0 (6.86.) E = E3 = E E = E3 = E (6.86.) = = 3 = (6.86.3) 3 3 κ E E κ E

143 Para barras sob tração uniaxial constituídas de materiais em regime elastolástico com encruamento isotróico aenas, considerando o critério de von-mises (6.43), lei de fluxo associativa (6.45) e arâmetro de encruamento isotróico dado em (6.53), temos as seguintes exressões (ver equações 6.80, 6.8, 6.8 e 6.83): X = RX = X = O (6.87.) d vs = S 0e 0 = E( E E) (6.87.) Φ= devσ S Sκ = σ 0 κ (6.87.3) ( ) Φ devs = E = E, E devs 3 Φ E Φ = = 0 E 3 (6.87.4) ( ) Φ Φ devs = = E = E E E devs 3, Φ E Φ = = 0 E 3 (6.87.5) devs = γ = γ 0 0 R 0 0 devs 6 = E (6.87.6) Φ,E γ= E = BE B ( Φ,E) σ κr,κ+ ( ) Φ,E 3 ( Φ,E) σ κr,κ+ ( ) = 3 (6.87.7) (6.87.8) Se o material da barra sob tração uniaxial for elastolástico erfeito (PROENÇA, 006), é ossível ainda simlificar algumas das equações (6.87): σ = σ (constante) Φ/κ = σ / κ κ = 0 (6.88.) κ 0

144 Φ= Sσ 0 0 (6.88.) 3 3 Φ,E 3 γ= E = E = E = BE ( Φ,E) R R (6.88.3) 3 B = (6.88.4) Assim sendo, o incremento de deformação lástica longitudinal é (ver equação 6.84.): E( ) E( ) 3 E = E ( ) E ( 0) = de = de = E (6.89) E( 0) 3 E( 0) Com este resultado, ode-se verificar o critério de lastificação (6.88.). Se Φ ( 0) = 0, então ( ) S = σe E E =. Assim sendo: ( 0) ( 0) ( 0) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Φ = Sσ E = E E σ E = E E+ E E σ ( σ E E E ) σ 0( ( ) ( ) ) Φ = E E + E E E = = (6.90) ( ) ( ) ( ) Neste caso, ao longo do carregamento em regime elastolástico, a tensão S mantém-se constante e igual a σ 0. Assim, a força alicada na barra assa a ser dada or (ver figura 6., e exressões 6.69 e 6.73): L u F = λa S σλa0 = σ= bh σ= + bh f L0 L0 (6.9) Para a fase de descarregamento elástico, temos as seguintes condições (KHAN; HUANG, 995): Φ< 0 (6.9.) Φ :de < 0 E (6.9.)

145 Ao longo dessa fase, a força alicada na barra também ode ser determinada a artir da equação (6.85), sendo que a deformação lástica ermanece constante. longitudinal O limite elástico da barra sob tração uniaxial, reresentado aqui elo alongamento λ LE, é o onto (ou instante) em que a tensão atinge o limite inicial de escoamento. Assim, ara a aroximação de Green-Naghdi (6.4), o referido limite ode ser determinado a artir das equações (6.80), considerando E = X= O, E= Ee e Φ= κ = 0: E σκ 0 Φ= Sσ κ 0 = λ LE ( σ κ ) 0= ( λle) = E ( ) (6.93) onde σ ( ) κ 0 é o limite inicial de escoamento, ou seja, é o valor de σ κ corresondente a κ = 0. Em suma, a relação geral entre a força alicada e o comrimento final (ou deslocamento longitudinal máximo) da barra sob tração uniaxial da figura 6. é calculada or (ver exressão 6.66.): - Equação (6.76.) (ou 6.76.), ara carregamento elástico ( λ λ LE ); - Equação (6.85.) (ou 6.85.), ara carregamento elastolástico ( λ > λ LE ) e ara descarregamento elástico (6.9) Formulação hierelastolástica ara barras rismáticas sob tração uniaxial A mesma sequencia adotada na seção 6.7. é utilizada aqui, ou seja, inicialmente são descritas as equações gerais ara barras hierelastolásticas (ver seção 6.4) sob tração uniaxial e, osteriormente, as simlificações ara os casos com encruamento isotróico e elastolástico erfeito. No âmbito da hierelastolasticidade (ver seção 6.4), ara a fase de carregamento elastolástico (6.77), o gradiente da barra sob tração uniaxial (ver figura 6. e equação 6.66.)

146 é decomosto de forma multilicativa nas suas resectivas arcelas elástica ( A ) e lástica ( A ): e A= AA (6.94.) e λ 0 0 λ 0 0 λ 0 0 λ λ 0 0 e e 0λ 0 0 λ e 0 0 λ 0 0 λ λe 0 = = 0 λ λ 0 0 λ 0 0 λ λ 3 e3 3 e3 3 A λe 0 0 λ λ 0 0 = 0λ 0 = 0 λ λ 0 0 λ λ λ e e e3 3 3 (6.94.) onde λ ei e λ i são, resectivamente, os alongamentos elástico e lástico ao longo da direção i (ver figura 6.). Com esta decomosição, chamada de decomosição de Kröner-Lee (ver equação 3.3), as arcelas elásticas dos tensores de Cauchy-Green direito e de Green- Lagrange (ver exressões 3.7 e 3.4) são: ( ) λ λ 0 0 λ 0 0 e T e = e e = 0λ e 0 = 0 λ ( λ ) 0 0 λ 0 e3 C A A ( ) 0 λ λ 0 ( 3 3 ) λ λ 0 0 λ 0 0 e e = 0λ e 0 0 λ λ( ) 0 = 0 λ 0 e3 E ( 3 3 ) 0 λ λ 0 (6.95.) (6.95.) Com relação às tensões, ara o gradiente lástico da exressão (6.94), ode-se relacionar a tensão ( S ) da exressão (6.67) com o segundo tensor de Piola-Kirchhoff definido na configuração intermediária (ver figura 3.3 e exressão 6.5.): S 0 0 Se 0 0 T T Se = ASA = A A = 0 0 0, S S λ= S S = (6.96) e e λ

147 Ademais, considerando a resosta elástica linear (ver equações 5., 5.9 e 6.38), a relação entre S e e E e, e as deformações elásticas transversais são, resectivamente (ver exressão 6.95.): S E E λ = λe( E) = = e e e λ (6.97.) λ λ ( e ) ν Eeν= E = = λ λ λ 3 λ ( e ) 3 ν Ee3ν= E = = λ λ (6.97.) (6.97.3) O tensor elástico de Mandel (6.5.3), utilizado no critério de lastificação geral (6.7), resulta em (ver equações 6.95., 6.96 e 6.97.): M λ 0 0 S 0 0 M 0 0 0λ e e e e = CS e e = e 0 λ 0 0 e = 0 0 (6.98.) M 4 E E λ λ = λc Sλ= ( ) = 4 e e e e e λ λ (6.98.) Assim, a relação (6.69) ode ser substituída or (ver equações e 6.96): S e M e M e F = λa S 0 = λa 0 = λa 0 = λa 0 λ λe λ λ 4 M E λ λ F= bh = bh e λ λ λ λ (6.99) De acordo com o critério de lastificação de von-mises (6.44): χ χ 0 0 = 0χ 0 0 χ 0 3, trχχ = χ+ χ + 3 (6.00.)

148 λ 0 0 X 0 0 λ 0 0 T χ = AXA = 0λ 0 0 X 0 0 λ 0 0 λ X 0 0 λ χ λ X 0 0 = 0λ X 0 0 λ X (6.00.) Me χ 0tr χ 3 dev( Me χ) = dev χ Me trdevχ= 0 0 Me 0 0 χ χ 0 tr M e χ 3 3 dev ( χ ) = dev dev M( Mχ ) dev + M( χ ) + ( ) M χ e e e e 3 (6.00.3) Φ ( Me, χ κ, ) =Φ (, AA,, Xκ ) = dev ( Me χ ) σ κ( ) 0 (6.00.4) 3 onde χ e X denotam, resectivamente, os tensores das tensões inversas nas configurações intermediária e inicial (ver figura 3.3 e exressão 6.30), ambos relacionados ao encruamento cinemático. Com relação à lei de fluxo lástico associativa (6.47), é ossível escrever a seguinte exressão ara a evolução do gradiente lástico (ver equações 6.94 e 6.48): ( Me χ) ( χ) Φ dev A = γr = γ A = γ A L Me dev Me ( ) dev Mχ λ 0 0 e γ = 0 χ λdev( Me ) 0 dev( M e χ) A R 0 χ λ 0 dev M ( ) dev Mχe λ 0 0 = 0 χ λdev( M ) 0 ( M χ ) 0 χ λ 0 dev M L e dev e ( ) e ( ) e (6.0.) (6.0.)

149 Alternativamente, a evolução do gradiente lástico e a taxa de deformação lástica, considerando a regra da normalidade, são dadas or: A = DA ou λ 0 0 D λ λ 0 = 0 D 0 0 λ 0 0 0λ D λ 0 3 (6.0.) D ( ) dev Mχ 0 0 e = γ 0 dev( Me χ ) 0 dev( Me χ ) 0 χ 0 dev( Me ) 3 (6.0.) De acordo com Holzafel (004), o traço de um tensor desviador é nulo. Assim, é ossível relacionar os alongamentos lásticos: λ λ λ3 D + D + D3 = + + = 0 (6.03) λ λ λ 3 Multilicando ambos os lados desta equação or Jλ = λ λ 3 (onde J é o Jacobiano lástico): λ λ λ + λ λ λ + λ λ λ = 0 (6.04) Por outro lado, a taxa de variação (temoral) do Jacobiano J é: Jλ= λ λ( λ λ) = λ λ λ + λ λ λ + λ t (6.05) Combinando as exressões (6.04) e (6.05): J λ0λ λj 3 = = = (6.06) Esta condição, resultado do critério de lastificação de von-mises (6.44), é chamada de incomressibilidade lástica (KHAN; HUANG, 995). Assim sendo, o Jacobiano J mantém-se constante e igual a um. Ademais, assumindo λ = λ3, então:

150 3 λ = λ = λ (6.07) Dessa forma, o gradiente lástico ara a barra sob tração uniaxial da figura 6. (ver equações 6.94) resulta em: A λ 0 0 λ 0 0 = 0λ 0 = 0 λ 0 ( ) 0 λ λ 0 ( ) (6.08) tensores As leis de evolução gerais dos tensores das tensões inversas χ e X são dadas elos R χ e R X nas equações (6.9) e (6.3). Já a lei de evolução do arâmetro de encruamento isotróico κ é, considerando o critério de von-mises, determinada com a equação (6.53), via função escalar r κ =. Definidas essas leis, o arâmetro escalar γ > 0 3 ode ser calculado, ara a barra sob tração uniaxial (ver figura 6.) em regime elastolástico, com a condição de consistência (6.34.). Ademais, o conjunto de variáveis mecânicas { λ,λ,,κ} X define a função Φ (ver equações 6.98, 6.00 e 6.0), já que os alongamentos lásticos transversais λ e λ 3 odem ser determinados em função de λ via equação (6.08). Dessa forma, ao longo da fase elastolástica (6.77): ( X ) Φ=Φ λ,λ,,κ = 0 (6.09.) Φ Φ Φ Φ Φ= λ + λ + : X+ κ = 0 λ λ X κ σ = Φ Φ Φ κ λ γ ( RL) : R X 0 λ λ X 3 κ B (,λ ) = λ = Bλ σκ ( Φ,λ )( RL ) + ( Φ, X) : R X + γ Φ ( Φ,λ ) 3κ = σκ (,λ )( RL ) (, X) Φ + Φ : R X + 3κ (6.09.) (6.09.3)

151 onde o tensor (de segunda ordem) R L é dado na exressão (6.0.). Para o caso da barra sob tração uniaxial com encruamento isotróico aenas, temos (ver equações 6.00): X= χ= R = R = X= χ= O (6.0.) Xχ d E λ λ vm e = Mee 0 0 = λ 3 λ (6.0.) Φ= devσ Meκ M e = σ κ 0 (6.0.3) Φ Mλe = λ 3 λ λ e e, Φ λ Φ = = 0 λ 3 (6.0.4) Φ Mλe = λ 3 λ λ e e, Φ λ Φ = = 0 λ 3 (6.0.5) λ λ Me E = λ λ = E λ λ e e 4 3 ( e e ) ( e e ) (6.0.6) λe λ = = λ λ λ λ (6.0.7) λ λ λ = = λ λ λ λ e (6.0.8) D devm e = γ = γ 0 0 devm 6 e (6.0.9)

152 λ = DA = γ 0 λ 0 A 0 λ (6.0.0) κ = γ (6.0.) 3 (,λ ) = λ = Bλ σκ ( Φ,λ )( RL ) + γ Φ B ( ) ( Φ,λ ) 3κ = σκ,λ D λ Φ + 3κ (6.0.) (6.0.3) Nesse caso, ara calcular a variação do arâmetro de encruamento isotróico ao longo do incremento λ = λ ( ) λ ( 0), devem ser combinadas as exressões (6.0.0) e (6.0.): κ = γ dt = dλ = dλ = ln λ ln λ t t λ ( ) λ t0λ t λ 0 3 λ ( 0) (6..) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) κ = κ κ = ln λ ln λ κ = ln λ (6..) Por fim, simlificando ara o caso da barra sob tração uniaxial constituída de material elastolástico erfeito (PROENÇA, 006), é ossível ainda simlificar algumas das equações (6.0): σ = σ (constante) Φ/κ = σ / κ κ = 0 (6..) κ 0 Φ= Mσe 0 0 (6..) 3 3 M, ( )( ) e λ e λ,λ e 3λ 3 λ γ= 3 λ = λ = λ λ ( M e λ, e )( λ,λ e ) λ 3 3 3λ (6..3)

153 onde a constante σ 0 é a tensão limite de escoamento. Assim sendo, o incremento do alongamento lástico longitudinal é (ver equação 6.05.): t t 3 λ = λ ( ) λ ( 0) = λ dt = γ λ dt = λ dλ 3 λ 3 t0λ t0 ( 0) λ( ) λ( ) λ = dλ (6.3) λ λ( 0) e Como, ao longo do carregamento elastolástico, Φ= 0, então (ver equações e 6..): E 4 Mλe = λ( e σe ) = 0 (constante) λe constante (6.4) Com isso, o incremento (6.3) é: λ = λ (6.5) λe Ademais, com a exressão (6.3), a força alicada na barra sob tração uniaxial da figura 6. é (ver equação 6.99): Fσ= bh (6.6) λ Analogamente ao caso da aroximação de Green-Naghdi (ver item 6.7.), o limite elástico da barra sob tração uniaxial, reresentado elo alongamento longitudinal λ LE, é o onto (ou instante) em que a tensão atinge o limite inicial de escoamento. Assim, no âmbito da hierelastolasticidade (ver seção 6.4), é ossível relacionar tal limite com a tensão inicial de escoamento σκ ( 0 ), utilizando as equações (6.00) e considerando A χ = X= O e Φ= κ = 0: = I, A= Ae, E 4 Φ= Mσeκ 0 = λ LE ( λle σκ 0) = ( ) (6.7) 3 3

154 Resumindo, a relação geral entre a força alicada e o comrimento final (ou deslocamento longitudinal máximo) da barra sob tração uniaxial da figura 6. é calculada or (ver exressão 6.66.): - Equação (6.76.) (ou 6.76.), ara carregamento elástico ( λ λ LE ); - Equação (6.99), ara carregamento elastolástico ( λ > λ LE ) e ara descarregamento elástico (6.9).

155 7. MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Neste caítulo, é descrito o conceito de material com gradação funcional (MGF). Além disso, são relacionadas as leis de gradação funcional (GF) utilizadas no resente estudo. Por fim, são fornecidas algumas exressões analíticas ara barras com GF sob tração uniaxial em regime elastolástico. 7.. Definição Na engenharia de materiais, GF é a variação gradual (contínua e suave) da comosição de um material. Na engenharia de estruturas, MGF é um material comósito (ou heterogêneo) cujas roriedades constitutivas (ver seção 4.) variam gradualmente ao longo de seu volume, isto é, as funções que descrevem tais roriedades ao longo do volume do material são contínuas e suaves. 7.. Leis de GF adotadas Neste estudo, lei de GF é a exressão matemática que descreve a variação gradual (contínua e suave) das roriedades constitutivas ao longo do volume de um material. Essa lei ode ser descrita da seguinte forma: ( x) ( ) η = η = η x,x,x (7.) 3

156 onde η é a roriedade constitutiva que varia gradualmente de acordo com a osição inicial ( x ) dos ontos materiais. Leis de GF desse tio odem ser classificadas como Lagrangianas (ver seção 3.), já que a roriedade η, neste caso, deende da configuração inicial x. De acordo com a definição de GF dada na seção 7., a função η η( x) = deve ser contínua e suave, ou seja, essa função não deve aresentar alterações abrutas nem descontinuidades. As cinco leis de GF utilizadas aqui são descritas a seguir Leis clássicas As três rimeiras leis de GF adotadas no resente estudo são as mais comuns na literatura científica (CHI; CHUNG, 006; KIM; LOMBOY; HAN, 008): a lei de otência (P-FGM); a lei sigmoidal (S-FGM); e a lei exonencial (E-FGM). A sigla FGM vem do termo em inglês functionally graded materials. Nas duas rimeiras leis de GF, P-FGM e S-FGM, ara descrever a variação gradual da roriedade constitutiva η ao longo da osição inicial x, é usada a regra da mistura ara materiais comósitos (RÖSLER; HARDERS; BÄKER, 007): ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( ) ( x) η= η = ηf + ηf = ηf + η f = η+ η η f (7.) onde η e η são as roriedades constitutivas ( η ) de dois materiais homogêneos; e f e f são as frações volumétricas dos dois materiais, as quais satisfazem a relação f + f =. A artir da equação (7.), é ossível escrever as seguintes exressões: f η= 0η = (7.3.) f = = 00% η η = (7.3.) De acordo com a exressão (7.), nota-se que a lei de GF baseada na regra da mistura é definida ela escolha da função f, que varia com a osição inicial ( x ) dos ontos materiais. Além disso, conforme o conceito de GF da seção 7., a função f ( ) x deve ser

157 contínua e suave. Para a lei de otência (P-FGM), a referida função é dada or (CHI; CHUNG, 006; KIM; LOMBOY; HAN, 008): f ζ ζ = f ( ) = ζmax P-FGM P-FGM (7.4) onde ζ, que varia entre 0 e ζ max, é a coordenada na qual a roriedade constitutiva η varia gradualmente; e é o coeficiente de GF ara lei de otência (P-FGM). A roriedade η ode variar no esaço, ou seja, η ode variar ao longo das três direções. Neste estudo, orém, as roriedades constitutivas variam gradualmente ao longo de uma direção aenas. Por exemlo, se η varia ao longo da coordenada inicial x 3, então ζ = x3. Exemlos de variações graduais de acordo com a lei de otência ara materiais com GF são mostrados na figura 7.. Figura 7.. Variação de uma roriedade constitutiva ( η ) de acordo com a lei de otência (equações 7. e 7.4) ao longo da coordenada inicial ζ. A variável é o coeficiente de GF da exressão (7.4).

158 Para a lei sigmoidal (S-FGM), a fração volumétrica f ( ) seguir (CHI; CHUNG, 006; KIM; LOMBOY; HAN, 008): x é descrita ela exressão a S-FGM S-FGM ζ fζ = f ( ) = ζ max s ζ 0ζ (7.5.), max S-FGM S-FGM ζ fζ = f ( ) = ζ max s ζ max, ζ ζmax (7.5.) onde ζ, que varia entre 0 e ζ max, é a coordenada na qual a roriedade constitutiva η varia gradualmente; e s é o coeficiente de GF ara lei sigmoidal (S-FGM). Exemlos de variação de acordo com as exressões (7.5) são ilustrados na figura 7..

159 Figura 7.. Variação de uma roriedade constitutiva ( η ) de acordo com a lei sigmoidal (equações 7. e 7.5) ao longo da coordenada inicial ζ. A variável s é o coeficiente de GF da exressão (7.5). A artir das exressões (7.) e (7.4), ode-se concluir que quando o coeficiente de GF ara a lei de otência ( ) tende ara zero, f também tende a zero e, consequentemente, η tende ara η ara qualquer valor de ζ. Quando o coeficiente tende a infinito, f tende ara um e, consequentemente, η tende ara η, também ara qualquer valor de ζ. Dessa forma, os casos extremos 0 e corresondem, resectivamente, aos casos homogêneos η= η e η= η. Isso também se alica à lei sigmoidal (S-FGM), descrita nas equações (7.) e (7.5). Para a lei exonencial de GF (E-FGM), a regra da mistura (7.) não é usada, e não há coeficiente de GF. Nesse caso, a função que descreve a variação gradual da roriedade constitutiva η é (CHI; CHUNG, 006; KIM; LOMBOY; HAN, 008): E-FGM ζ η η = η ex ln ζ max η (7.6)

160 onde ζ, que varia entre 0 e ζ max, é a coordenada na qual a roriedade constitutiva η varia gradualmente; e η e η são as roriedades constitutivas ( η ) de dois materiais homogêneos. A lei exonencial de GF (7.6) é mostrada na figura 7.3. Figura 7.3. Variação de uma roriedade constitutiva ( η ) de acordo com a lei exonencial (equação 7.6) ao longo da coordenada inicial ζ Leis roostas Além das leis descritas no item 7.., é ossível roor outras leis de GF. Neste estudo, são roostas duas leis de GF: a senoidal (Sn-FGM); e a logarítmica (L-FGM). Para a lei de GF senoidal (Sn-FGM), é usada a regra da mistura ara materiais comósitos (7.). Para essa lei de GF, a função que descreve a variação gradual da roriedade constitutiva η é:

161 f ζ π ζ sen = f ( ) = ζ max Sn-FGM Sn-FGM sn (7.7) onde sn é o coeficiente de GF ara lei senoidal (Sn-FGM). Exemlos de variação da roriedade η de acordo com a equação (7.7) são ilustrados na figura 7.4. Figura 7.4. Variação de uma roriedade constitutiva ( η ) de acordo com a lei senoidal (equação 7.7) ao longo da coordenada inicial ζ. Por fim, ara a lei logarítmica de GF (L-FGM), na qual também se usa a regra da mistura (7.), vale a seguinte exressão: L-FGM L-FGM ζ fζ log = f 9 ( ) + = 0 ζmax (7.8) É mostrado, na figura 7.5, um exemlo de variação da roriedade η de acordo com a equação (7.8). Em todas as leis de GF usadas aqui, ode-se notar, com as exressões (7.), (7.4), (7.5), (7.6), (7.7) e (7.8) e com as figuras (7.), (7.), (7.3), (7.4) e (7.5), que a roriedade

162 constitutiva variável η é igual a η quando ζ = 0, e igual a η quando ζ = ζ (ou max ζ/ζmax = ). Figura 7.5. Variação de uma roriedade constitutiva ( η ) de acordo com a lei logarítmica (equação 7.8) ao longo da coordenada inicial ζ. É ossível roor outras leis ara descrever a variação gradual (contínua e suave) das roriedades constitutivas de um MGF. Além disso, odem ser adotadas diferentes leis de GF ara descrever duas ou mais roriedades variáveis no mesmo material. Com relação à análise via elementos finitos de MGFs, um exemlo bastante comum na literatura científica é a variação do módulo de Young (ver equações 5.) ao longo da esessura de uma laca ou de uma casca, cuja face inferior é 00% metálica, a face suerior é 00% cerâmica, e no interior as roriedades variam contínua e suavemente (WOO; MEGUID, 00; GHANNADPOUR; ALINIA, 006; ARCINIEGA; REDDY, 007; KHABBAZ; MANSHADI; ABEDIAN, 009).

163 7.3. Modelos hierelásticos com GF Neste estudo as roriedades constitutivas que variam contínua e suavemente ao longo do volume são os coeficientes da lei constitutiva do material. Assim, define-se modelo hierelástico (ver seção 5.) com GF como sendo o modelo hierelástico cujos coeficientes do material variam de acordo com leis de GF. A lei de Saint Venant-Kirchhoff com GF ode ser exressa da seguinte forma (ver equações 5.): ( x) λ ψsvk,gf = tr ( E) + μ ( x) tr ( E ) λ μ ( x) ( x) ( x) E( x) ( x) ( x) ν = ν + ν ( x) ( x) E = ν + (7.9.) (7.9.) (7.9.3) onde λ ( x ), μ ( x ), E( x ) e ν ( x ) são as funções que descrevem, resectivamente, a variação contínua e suave, de acordo com a osição inicial ( x ), das constantes de Lamé ( λ e μ ), do módulo de Young ( E ) e do coeficiente de Poisson ( ν ). As referidas funções odem ser uma das cinco leis de GF adotadas aqui (ver seções 7.. e 7..). Por exemlo, se o módulo de Young e o coeficiente de Poisson variam de acordo com a lei de GF de otência (ver equações 7. e 7.4), define-se dessa forma a lei de Saint Venant-Kirchhoff com GF de otência. O modelo hierelástico não linear de Rivlin-Saunders com GF é descrito elas seguintes exressões (ver equações 5.3): iso iso iso iso iso ( ) ( ) ( ) ψ = ψ J,i,i = U J + ψ i,i (7.0.) RS,GF RS,GF vol,gf RS,GF n -n ( ) = ( x) ( + ) Uvol,GF J k J J (7.0.) j { } i ( ) = ( x) ( ) ( ) ψ i,i c i 3 i 3 (7.0.3) iso iso iso iso iso RS,GF ij i,j

164 onde k ( x ) e c ( ) ij x são as funções que descrevem, nesta ordem, a GF do módulo de comressão volumétrica ( bulk modulus ) e dos coeficientes isocóricos. Assim como na lei de Saint Venant-Kirchhoff com GF (7.9), ara descrever a GF dos coeficientes do material ( k e c ij ), ode ser emregada uma das cinco leis de GF usadas neste estudo (ver seções 7.. e 7..). O modelo hierelástico não linear de Hartmann-Neff com GF é exresso or (ver equações 5.4): iso iso iso iso iso ( ) ( ) ( ) ψ = ψ J,i,i = U J + ψ i,i (7..) HN,GF HN,GF vol,gf HN,GF n -n ( ) = ( x) ( + ) Uvol,GF J k J J (7..) { } 3 i ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ψ i,i = α i 7 + c i 3 + iso iso iso iso iso HN,GF i0 i onde k ( x ), c ( x ) e c ( ) i0 j iso3/ /3 { ( ) ( ) } j c x i 3 0j (7..3) 0j x são as funções que descrevem, resectivamente, a GF do módulo de comressão volumétrica ( k ) e dos coeficientes isocóricos ( c i0 e c 0j ). Por fim, a lei hierelástica não linear neo-hookeana com GF é descrita or (ver equação 5.5): ψnh,gf = ψnh,gf ( J,i ) = k ( x) ln ( J) μ ( x) i 3 ln ( J) + (7.) onde k ( x ) e μ ( x ) são as funções que descrevem a GF, de acordo com a osição inicial x, do módulo de comressão volumétrica ( k ) e do coeficiente μ, resectivamente.

165 7.4. Modelos elastolásticos com GF Analogamente às leis hierelásticas com GF da seção 7.3, ode-se definir lei de evolução lástica com GF, em que os coeficientes do material variam contínua e suavemente de acordo com a osição inicial ( x ). Neste item são descritas as leis de evolução do encruamento (isotróico e cinemático) com GF, ara a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3) e ara a hierelastolasticidade (ver seção 6.4). O critério de lastificação e a lei de fluxo lástico adotados aqui não deendem de coeficientes do material. Assim, neste estudo, não é necessário definir o critério de lastificação e a lei de fluxo com GF Aroximação de Green-Naghdi A lei olinomial de encruamento isotróico com GF ode ser definida da seguinte forma (ver equação 6.49): onde a ( ) NC- n=0 n { n } σκ( κ) = a ( x) ( κ) (7.3) n x é a função que descreve a GF, em relação à osição inicial ( x ) dos coeficientes de encruamento isotróico do material ( a n ). A lei de encruamento isotróico de Swift com GF é dada or (ver equação 6.50): { } n( x ) ( ) ( x) ( x) σκ κ = K E0 + κ (7.4) onde K ( x ), E ( x ) e ( ) 0 n x são as funções que descrevem a GF, com relação à osição inicial ( x ), dos coeficientes da lei de Swift ( K, E 0 e n ).

166 A lei de encruamento isotróico de Voce com GF ode ser exressa da seguinte forma (ver equação 6.5): Y ( ) { } Cκ x ( ) ( ) ( ) ( ) { } σκ κ = σ0 x + σsat x σ0 x e (7.5) onde σ0 ( x ), σsat ( x ) e CY ( ) x são as funções que descrevem a variação contínua e suave, de acordo com a osição inicial x, dos coeficientes de encruamento isotróico de Voce ( σ 0, σ sat e C Y ). 6.54): O modelo de encruamento cinemático de Prager com GF é descrito or (ver equação X= γrx = c( x) D = c( x) γrp RX = c( x) RP (7.6) onde c( x ) é a função que descreve a GF, de acordo com a osição inicial x, do coeficiente de Prager ( c ). A lei de encruamento cinemático de Ziegler (6.55) não ossui coeficiente do material. Portanto, não se ode definir o modelo de Ziegler com GF. Por fim, a lei de encruamento cinemático de Armstrong-Frederick com GF é exressa da seguinte forma (ver equação 6.56): X= γrx = c( x) D γ b( x) X= c( x) γrp γ b( x) X X ( ) b( ) R = x R x X c P (7.7) onde c( x ) e b( x ) são as funções que descrevem a GF, de acordo com x, dos coeficientes da lei de Armstrong-Frederick ( c e b ).

167 7.4.. Hierelastolasticidade As leis de encruamento isotróico com GF descritas nas exressões (7.3), (7.4) e (7.5) também são usadas no caso da hierelastolasticidade (ver seção 6.4). Com relação ao encruamento cinemático de materiais hierelastolásticos, ara emregar as equações (7.6) e (7.7), referentes aos modelos de Prager e Armstrong-Frederick com GF, basta substituir a taxa X ela taxa objetiva χ (ver equação 6.3.), e o tensor R X elo tensor 6.3.). R χ (ver equação 7.5. Barras hierelastolásticas com GF sob tração uniaxial As equações da seção 6.7 desta tese foram determinadas ara o caso da barra rismática sob tração uniaxial (ver figura 6.) constituída de material homogêneo. Neste item, são descritas as equações ara a referida barra constituída, orém, de material hierelastolástico heterogêneo com GF (ver item 7.) e com encruamento isotróico aenas. Basicamente, dois casos são analisados: variação gradual do módulo (elástico) de Young (ver equações 7.9), e variação gradual das constantes de encruamento isotróico (ver equações 7.3, 7.4 e 7.5). Antes de descrever tais casos, é dada a fórmula geral ara cálculo da força longitudinal alicada, e são descritos os conceitos de limites elástico e lástico. Por definição, a força longitudinal alicada na barra da figura 6. é: Fσ= da (7.8) Af onde σ é a tensão normal de Cauchy ao longo da direção x (ver equações 4., 4. e figura 6.); e da é um elemento infinitesimal de área da seção transversal da barra na configuração

168 final ( A f ). Ademais, sabe-se que a tensão σ na barra ode ser substituída or (ver equação 6.67): σ λ = S λλ 3 (7.9) onde λ i é o alongamento (HOLZAPFEL, 004) ao longo da direção i; S é a comonente longitudinal do segundo tensor de Piola-Kirchhoff S (ver equações 4.3), definido na configuração inicial. Por fim, de acordo com a definição de área inicial e final: da = dyλdyλ dx = dx λ λ da = (7.0) onde dx e dy reresentam, resectivamente, os segmentos infinitesimais de linha (ou fibras materiais) nas configurações inicial e final da barra; e da 0 é um elemento infinitesimal de área da seção transversal da barra na configuração inicial ( A 0 ). Portanto, a combinação das exressões (7.8), (7.9) e (7.0) resulta em: λ F = λ λ da FS λ S da = (7.) A λλ 0 3 A0 Assumindo que o alongamento longitudinal da barra é constante ao longo de toda a seção transversal, e que a variação gradual das roriedades mecânicas da barra se dá ao longo do eixo x (ver figura 6.), então a força resultante é (ver equação 7.): ( ) ( ) ( ) (7.) Fλ= S x dx dx λ= h S x dx F λ= h S x dx A0 x 0 onde a coordenada x varia entre os limites 0 e b 0. Alternativamente, ode-se escrever (ver exressão 6.99): b0 onde b 0 h F = M x dx (7.3) ( ) 0 e λ 0 M e é o tensor elástico de Mandel, dado na exressão (6.98) ara o caso da barra sob tração uniaxial. Além disso, ara o critério de lastificação de von-mises (6.44), dado nas exressões (6.00) ara a referida barra, se a GF se dá ao longo do eixo x, então:

169 Φ ( x) =Φ κ κx Me( x d), evχ( x ), x ( ) x= Meσ( κ) xχ( ) 0 ( ) 3 (7.4.) ( ) ( ) ( ) ( ) dev e xχ x x tr x Me xm x χ x ( ) tr x e( ) ( ) M χ = + χ + + χ( ) M χ x tr x χ ( ) ( ) ( ) x e 3 (7.4.) De acordo com estas equações, no caso geral a tensão M e e a tensão limite de escoamento σ κ variam (contínua e suavemente) com a coordenada inicial x. Sabe-se também que, conforme o critério (7.4.), o onto material lastifica ou entra em regime elastolástico quando a norma dev M ( x ) ( ) ( ) 3 0 κ κ=0 3 e atinge o limite inicial de escoamento σ x = σ x. Assim, se o carregamento (ou alongamento) longitudinal é monotonamente crescente ao longo do temo, os ontos materiais com diferentes coordenadas iniciais x entram em regime elastolástico em diferentes instantes. Para tal carregamento (ou alongamento), odemos definir limite elástico como sendo o instante em que os rimeiros ontos entram em regime elastolástico, isto é, o instante em que a maior norma devm e atinge o limite inicial ( ) ( ) σ x = σ x. Já o limite lástico ode ser definido 3 0 κ κ=0 3 como o instante a artir do qual todos os ontos estão em regime elastolástico, ou seja, a artir do instante em que o limite lástico Φ=Φ= 0 é atingido ara todos os ontos. Nos róximos itens, definindo λ LE e λ LP como os alongamentos longitudinais da barra corresondentes aos limites elástico e lástico, são analisadas quatro fases ara a barra rismática sob tração uniaxial com GF ao longo de x (ver figura 6.) e com alongamento longitudinal monotonamente variável ao longo do temo: ) Fase elástica: λ > 0, λ < λle, Φ< 0 ( x ) (7.5.) ) Fase intermediária:

170 λ > 0, λle < λ < λlp, Φ 0 (7.5.) 3) Fase lástica: λ > 0, λ > λlp, Φ=Φ= 0 ( x ) (7.5.3) 4) Fase de descarregamento elástico: λ < 0, Φ< 0 ( x ), Φ< 0 ( x ) (7.5.4) GF do módulo de Young Para a barra da figura 6., adotando a lei de otência de GF (7.4) ara o módulo de Young (ver equações 7.9) ao longo do eixo x, a tensão elástica de Mandel equações 7. e 6.98): M e é (ver 4 λ λ Me ( x ) = E( x ) λ λ (7.6.) x = + b0 ( ) ( ) E x E E E (7.6.) onde é o coeficiente de GF de otência; e os valores E e E são os limites do módulo de Young ( E ) ara x = b0 e x = 0, resectivamente. Com isso, ara o caso em que E > E, então M ( b ) M ( 0) e 0 e >. Assim, de acordo com o critério de lastificação (7.4) e com a definição dada no último arágrafo antes das equações (7.5), o limite elástico, reresentado elo alongamento longitudinal λ LE, é atingido quando a maior norma, neste caso,

171 dev M ( b ) e 0 atinge o limite inicial de escoamento σ σ ( κ 0) = =, o qual (neste 3 0κ 3 caso) é constante ara todo o material, isto é (ver equações 6.98, 7.4 e 7.6): ( ) ( ) E 4 dev e λb 0 λ Me b0 σ ( LE LE ) M = = = E 4 ( ) λ λ = σ LE LE 0 (7.7) Analogamente, o limite lástico, reresentado elo alongamento longitudinal λ LP, é atingido quando a menor norma, neste caso, dev M ( 0) e atinge o limite inicial de escoamento σ0 : 3 ( ) ( ) E 4 dev M eλ0 = λ Me 0σ= 3 3 ( LP LP ) = 3 0 E 4 ( ) λ λ = σ LP LP 0 (7.8) Para a fase elástica (7.5.), temos as seguintes igualdades (ver equações 3., 3.6, 3.3, 3.4 e 6.5): A= A e, C= Ce, A = C = I (7.9.) S = S (7.9.) e Me = CeSe = CS (7.9.3) Com isso, a força longitudinal alicada é (ver equação 7.3): b 3 0 b0 E( x ) hλ ( ) ( 4 ) 0 λ ( ) (7.30) h Fλ= λ dx = E x dx 0 λ 0 0 Com a lei de GF de otência (7.6.), a integral acima ao longo dos limites z e z resulta em:

172 = + z z x E( x) dx ( ) dx b z z E E E 0 z z ( ) ( ) ( E E ) ( + ) b ( ) E x dx = E z z + z z (7.3) Portanto, a força longitudinal alicada na fase elástica ( λ < λ LE ) é determinada com a combinação entre as exressões (7.30) e (7.3), e considerando z = 0 e z = b0: bh E E Fλ = λ ( ) E + (7.3) + Para a fase intermediária (7.5.), existem ontos em regime elástico ( Φ< 0 ) e ontos em regime elastolástico ( Φ= 0 ). De acordo com as equações (7.6), se E > E então ( ) ( ) Me b0 > Me 0, isto é, quanto maior a coordenada x, maiores são os valores de M e e, consequentemente, de Φ. Assim, existe uma coordenada limite X, sendo que Φ< 0 ara x < X, e Φ= 0 ara x da igualdade M ( X σ ) = ou M ( X) M 3 3 > X. Portanto, a coordenada limite X ode ser calculada a artir e 0 4 ( X) ( ) E ( E E ) σ = (ver exressões 7.6 e 7.8): e 0 X λ = λ + σ = e 0 b0 X = b σ E E E λ λ (7.33) Nesse caso, a força longitudinal alicada ode ser decomosta aditivamente em duas arcelas: a força relativa à orção de material em regime elástico ( F arte em regime elastolástico ( F ELP EL ); e a força corresondente à ). Assim, como a força relativa à orção de material em regime elástico ode ser determinada com a equação (7.3) ara z intermediária (7.5.) a força total é: = X, na fase F = F + F (7.34.) EL ELP

173 3 X ( ) hλ0 λ EL h0x 3 E E X = λ λ ( ) = ( ) b 0 F E x dx b0 b0 ELP h0 h0 κ= σ x e dx = λ λ X X F M x dx ( ) ( ) E (7.34.) (7.34.3) 4 λ λ Me ( x ) = E( x ) λ x ( ) λ x ( ) (7.34.4) ( ) ( ) σ x = σ κ x (7.34.5) κ κ onde κ é o arâmetro de encruamento isotróico (6.33), utilizado ara definir a tensão limite de escoamento σ κ ; e λ é o alongamento longitudinal lástico, variável com a coordenada x. De acordo com a exressão (6..), ara determinar analiticamente o valor das integrais em (7.34.3), deve ser conhecida a função λ ( x ) ou a função κ( x ) caso de o material da barra ser elastolástico erfeito, a arcela Mσ e = 0 (constante) ( σ ) h b X onde a coordenada limite X é dada em (7.33).. Simlificando ara o ELP F resulta em: ELP F = (7.35) λ Já na fase lástica (7.5.3), todos os ontos estão em regime elastolástico ( Φ= 0 ) e, assim, a força longitudinal alicada é (ver exressões 7.34): b0 b0 ELP h0 h0 = κ σ= x dxe = λ λ 0 0 F F M x dx ( ) ( ) (7.36) Para materiais elastolásticos erfeitos, a equação acima ode ser simlificada ara: hbσ F = F = (7.37) ELP λ Por fim, na fase de descarregamento elástico (7.5.4), a força longitudinal alicada na barra é (ver exressões 7.34):

174 onde b0 b 4 0 h0 h E 0 ( x ) λ λ F = Me ( x ) dx dx max max λ = λ 0 λ 0 λ b 4 0 h 0 λ λ F = E( x) dx max max λ (7.38.) λ 0 λ ( ) λ = λ x (7.38.) max max max λ é o alongamento longitudinal lástico alcançado em λ = λ > λ, que deende max LP da coordenada inicial x, mas que não se altera ao longo do descarregamento elástico GF das constantes de encruamento isotróico Para a barra da figura 6., se o módulo de Young ( E ) é constante, então a força longitudinal alicada durante a fase elástica (7.5.) é (ver exressões e 7.30): 3 ( λ ) Eλ F = hb 0 0 (7.39) Adotando a lei de otência de GF (7.4), aenas, ara as constantes de encruamento isotróico ao longo do eixo x, a tensão limite de escoamento ( σ κ ) assa também a ser função da coordenada x, isto é (ver equação ): σ σ ( κ,x ) =, onde κ é o arâmetro κ κ de encruamento isotróico (6.33). De modo similar ao item 7.5., os limites elástico e lástico odem ser determinados com a igualdade Mσ 0 ( ) escoamento é igual a ( ) σ 0 em x b0 eκ =. Assumindo que a tensão inicial de =, e igual a σ ( 0) σ ( 0) > em x = 0, ara um alongamento longitudinal monotonamente crescente (de um até um valor maior do que o limite lástico λ LP ), os ontos com x = b 0 são os rimeiros a entrar em regime

175 elastolástico, e os ontos com x = 0 são os últimos a lastificarem. Nestas circunstâncias, e com o módulo de Young ( E ) variável em x : E ( λ 4 LE λ LE ) = σ ( 0 ) (7.40.) E ( λ 4 LP λ LP ) = σ ( 0 ) (7.40.) Para a lei de encruamento isotróico olinomial com GF (7.3), os valores limites ara a tensão inicial de escoamento são: ( ) ( ) σ 0 = a b (7.4.) 0 0 ( ) ( ) σ 0 = a 0 (7.4.) 0 onde a0 ( 0 ) e 0( 0) a b são, nesta ordem, os valores do coeficiente a 0 ara x = 0 e x = b0. Para a lei de Swift com GF (7.4), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) nb 0 σ 0 = K b E b (7.4.) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n0 σ 0 = K 0 E 0 (7.4.) onde os conjuntos de coeficientes K ( 0 ),E 0 ( 0 ),n ( 0 ) e K ( b 0),E0( b 0),n ( b0) corresondem, nesta ordem, às constantes da lei de Swift (6.50) ara x = 0 e x = b0. Por fim, ara a lei de Voce com GF (7.5), temos: ( ) ( ) σ 0 = σ b (7.43.) 0 0 ( ) ( ) σ 0 = σ 0 (7.43.) 0 onde σ0 ( 0 ) e ( ) x = b. 0 σ0 b 0 são, resectivamente, os valores do coeficiente 0 σ ara x = 0 e

176 Assim como é feito no item 7.5., ara a fase intermediária (7.5.), ode-se determinar a coordenada limite X, sendo que os ontos com coordenada x regime elástico, e os ontos com x igualar a tensão elástica de Mandel < X estão em > X estão em regime elastolástico. Para isso, basta M e ao limite inicial de escoamento σ 0. Neste caso, é constante ao longo da orção de material em regime elástico, e σ 0 é variável ao longo de x, ou seja (ver exressões e 7.33): E 4 Mλe = λ( σ X ) = 0 ( ) (7.44) Para a lei de encruamento isotróico olinomial (7.3), adotando a lei de GF de otência (7.4) ara o coeficiente a 0 ao longo de x, o valor de X é determinado da seguinte forma (ver exressão 7.4): M e E 4 X ( λ λ ) = a0( 0) + a0( b0) a0( 0) b 0 E 4 X = λb0 λ ( a 0 ) 0( ) a0( b0) a0( 0) (7.45) Já ara a lei de Swift (7.4), adotando a lei de GF de otência (7.4) ao longo de x ara o coeficiente K aenas, a coordenada limite X é calculada com auxílio da exressão (7.4): E 4 X n ( λ λ ) = K( 0) + K( b0) K( 0) E0 b0 E 4 X = λb0 λ K n ( 0 ) ( ) E0 K( b0 ) K( 0) (7.46) Por fim, ara a lei de Voce (7.5), considerando a lei de GF de otência (7.4) ao longo de x ara o coeficiente σ 0, é ossível determinar X da seguinte maneira (ver exressão 7.43): E 4 X ( λ λ ) = σ0( 0) + σ0( b0) σ0( 0) b 0

177 E 4 X = λb0 λ ( σ 0 ) 0( ) σ b σ 0 ( ) ( ) (7.47) 7.34): Na fase intermediária (7.5.), a força longitudinal alicada é (ver exressões 7.30 e F = F + F (7.48.) EL ELP F EL 3 ( ) h0xλ λ E = (7.48.) b0 b0 ELP h0 h0 κ= σ x e dx = λ λ X X F M x dx ( ) ( ) (7.48.3) M ( x ) e 4 E λ λ = λ x ( ) λ x ( ) (7.48.4) ( ) ( ) σ x = σ κ x (7.48.5) κ κ onde a coordenada limite X é determinada com a equação (7.45), (7.46) ou (7.47). Simlificando ara o caso de material elastolástico erfeito, o único coeficiente não nulo é a 0 (ver equação 7.3). Adotando variação, ao longo de x, do coeficiente a 0 conforme a lei de GF de otência (7.4), é ossível calcular analiticamente o termo F ELP utilizado ara determinar a força longitudinal alicada (7.48.): x Mσ a 0 ( a) b ( a) 0 ( ) (7.49.) e = 0 = b0 b0 ELP h 0 x F = a0( 0) a0( b0) a0( 0) d x λ + b X 0 ( ) ( ) + ELP h 0 b0 a0 b0 a0 0 X F = a0( 0)( b0 X ) + λ + b0 (7.49.)

178 Na fase lástica (7.5.3), o cálculo da força longitudinal alicada é realizado com as equações (7.36) e (7.48.4) (ou ). Tal força ode ser determinada analiticamente ara o caso de material elastolástico erfeito (ver exressões 7.49): b 0 ELP h0 x F = F = a0( 0) a0( b0) a0( 0) d x λ + b 0 0 ( ) ( ) hb a0 b a0 0 F = a0( 0) + λ + (7.50) Por fim, ara a fase de descarregamento elástico (7.5.4), o cálculo da força alicada é realizado de modo análogo ao rocedimento das exressões (7.38): b0 b 4 0 h0 h0 E λ λ F = Me ( x ) dx dx max max λ = λ 0 λ 0 λ b 4 0 h 0 λ λ F = E dx max max λ (7.5.) λ 0 λ ( ) λ = λ x (7.5.) max max Neste caso, o módulo de Young ( E ) é constante, e o alongamento lástico máximo ( λ variável ao longo da coordenada inicial x, mas que não se altera ao longo do descarregamento elástico. max ) é

179 8. CÓDIGOS COMPUTACIONAIS DESENVOLVIDOS No resente caítulo são descritos os códigos comutacionais (ou rogramas) desenvolvidos elo aluno ao longo da esquisa. Além dos geradores de funções de forma e de malhas de elementos finitos, são descritos os códigos de análise não linear geométrica via elementos sólidos (tetraédricos e hexaédricos) ara materiais em regime elástico e elastolástico. Todos os códigos comutacionais desenvolvidos são escritos em linguagem FORTRAN. Ademais, é descrita de forma sucinta a formulação numérica dos rogramas EPIM3D e DD3IMP, utilizados elo aluno ao longo de seu estágio de Doutorado no Deartamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra (Portugal). Por fim, ara mostrar uma alicação da teoria elastolástica deste estudo, são fornecidas soluções analíticas ara barras sob tração uniaxial em regime de equenas deformações elásticas. 8.. Gerador de funções de forma O uso de aroximações olinomiais de qualquer grau ara as funções de forma (ver equações 3.) não é um dos objetivos iniciais deste estudo (ver seção.). Contudo, ara que fosse ossível emregar malhas de elementos com diferentes ordens de aroximação ara analisar o mesmo roblema estrutural, foi desenvolvido um algoritmo generalizado ara geração automática dos coeficientes das funções de forma e dos coeficientes das derivadas dessas funções. Esse algoritmo foi imlementado nos códigos comutacionais de análise não linear, desenvolvidos ao longo da esquisa. Dessa forma, é ossível comarar, ara o mesmo roblema estrutural, os resultados obtidos ara malhas (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 000) com diferentes números de elementos finitos e distintas ordens de aroximação olinomial.

180 O algoritmo de geração das funções de forma determina, ara qualquer grau de aroximação escolhido, a matriz dos coeficientes adimensionais M coef e o vetor de coordenadas v ξ (ver equações 3.4). Esse algoritmo é descrito no Aêndice A, ara os seguintes elementos finitos: barra unidimensional; triangular lano; quadrilateral lano; sólido tetraédrico; e sólido hexaédrico (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 000). Os elementos finitos de barra, triangular e quadrilateral não são usados neste estudo. Porém, os algoritmos de geração das funções de forma de tais elementos são descritos ara facilitar o entendimento da referida geração ara os elementos tridimensionais (tetraédrico e hexaédrico), os quais são utilizados no resente estudo. Para cálculo dos gradientes (equações 3.5. e 3.5.3), é reciso determinar as derivadas das funções de forma em relação às coordenadas adimensionais ( ξ ). O algoritmo ara cálculo generalizado dessas derivadas também é dado no Aêndice A. 8.. Gerador de malhas Neste estudo, define-se malha de elementos como sendo a discretização adotada ara simulação numérica, via Método dos Elementos Finitos (MEF), de determinada estrutura. Em tal malha, devem existir as seguintes informações: número e coordenadas dos nós (CHEN, 005); e incidência dos elementos finitos, que é a relação entre as numerações local (ara cada elemento) e global dos nós. Para realizar a simulação numérica de qualquer roblema estrutural, é reciso gerar a malha de elementos a ser usada durante essa simulação. Assim como o gerador automático das funções de forma (ver seção 8.), desenvolver um gerador de malhas de elementos sólidos também não é um dos objetivos iniciais deste estudo (ver seção.). Porém, ara ossibilitar a geração de malhas de elementos finitos sólidos com diferentes quantidades de elementos e distintos graus de aroximação, foi desenvolvido um algoritmo generalizado ara geração dessas malhas, isto é, a ordem de aroximação olinomial (ver equações 3.) e a quantidade de elementos sólidos odem ser quaisquer. Neste estudo, a referida geração começa a artir das informações de uma malha, chamada aqui de malha base.

181 Essa malha é constituída de elementos hexaédricos de aroximação linear (CHEN, 005), cujas coordenadas dos vértices são conhecidas. Outra informação necessária ara a geração das malhas é o número de divisões das arestas da malha base. Com esse número, é determinada a quantidade total de elementos finitos da malha. Por fim, com essa quantidade e com a ordem de aroximação olinomial desejada, o gerador de malhas calcula o número e as coordenadas de todos os nós, assim como a incidência de todos os elementos. O gerador de malhas desenvolvido também determina quais nós ossuem alguma restrição de deslocamento e quais nós estão carregados. Detalhes da geração das malhas são fornecidos no Aêndice F Integração numérica As integrais que aarecem no cálculo do vetor de forças internas (equação 4.9.) e da matriz Hessiana (equação 4..) são determinadas via integração numérica, já que o cálculo analítico de tais integrais é extremamente difícil. Essa integração numérica é realizada no esaço adimensional ξ (ver equações 4. e figura 3.) com auxílio de quadraturas de Gauss, as quais contêm as coordenadas dos ontos e os resectivos esos de integração numérica. Assim sendo, as coordenadas dos ontos de integração numérica são coordenadas adimensionais em ξ. Dessa forma, as equações (4.9.) e (4..) são substituídas elas exressões a seguir: J nin J ψ ψ ψ int = 0 = 0 ξ = 0 y y = y 0 ( f ) dv J d J w ( ) (8..) J ( Ω ) ξ ξ= ξ( ) J ( H) J J J nin ψ ψ ψ = dv 0 = J0dξ = J0 w ( ) J yy yy = yy ( Ω0 ) ξ ξ= ξ( ) (8..) J onde ( ) J int f é o vetor local de forças internas ara o elemento J; ( ) J Ω reresenta o domínio inicial do elemento J; nin é o número de ontos de integração numérica ara cada elemento { 3 } finito; ( ξ),ξ( ),ξ( ) ( ) ξ = reresenta as coordenadas adimensionais ( ξ, ξ e ξ 3 ) do 0

182 onto de integração ; ( ) Hessiana local do elemento J. w é o resectivo eso de integração numérica; e ( H ) J é a matriz Elemento finito sólido hexaédrico Para o elemento finito sólido hexaédrico (CHEN, 005), é usada a quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Os ontos ( ξ ) e esos ( w ) de integração do hexaedro são determinados a artir da quadratura unidimensional de Gauss-Legendre (ASSAN, 003): Ciclo k =,n Ciclo j =,n Ciclo i =,n = i + ( j ) n+ ( k )( n) (8..) ( ) ( ) ξ = gl i (8..) ( ) ( ) ξ = gl j (8..3) 3 ( ) ( ) ξ = gl k (8..4) ( ) wgl( i) wgl( j) wgl( k) w fim do Ciclo i = (8..5) =,n fim do Ciclo j =,n fim do Ciclo k =,n

183 onde n, gl ( ) e wgl ( ) são, nesta ordem, o número de ontos de integração or elemento unidimensional, a coordenada adimensional desses ontos e os resectivos esos de integração referentes à quadratura unidimensional de Gauss-Legendre. Essa quadratura é fornecida no Anexo A, até n = 8. Neste estudo, a coordenada adimensional gl varia entre zero e um Elemento finito sólido tetraédrico Para integração numérica do elemento sólido tetraédrico (CHEN, 005), são emregadas duas estratégias: a estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007); e as quadraturas Gaussianas de Jinyun (984) e de Keast (986). Na rimeira estratégia, é utilizada a quadratura tridimensional de Gauss-Legendre ara hexaedros. Para obter a quadratura ara tetraedros, a integral do hexaedro é alterada via transformação de coordenadas entre as regiões hexaédrica e tetraédrica (RATHOD; VENKATESUDU; NAGARAJA, 007): u = x (8.3.) y= ( u) v (8.3.) z= ( u)( v) w (8.3.3) onde u, v e w são as coordenadas que definem a região hexaédrica { u,v,w 0 u,v,w } ; e x, y e z são as coordenadas que definem a região tetraédrica { x,y,z 0 x,y,z 0 x + y + z } resulta em:,. O determinante do gradiente da transformação (8.3)

184 x x x u v w ( x,y,z) y y y = det = u v ( u,v,w) u v w z z z u v w ( x,y,z) ( u,v,w) ( ) ( ) dxdydz = dudvdw = ( u) ( v) dudvdw (8.4.) (8.4.) onde dxdydz e dudvdw denotam, resectivamente, elementos infinitesimais de volume nas regiões tetraédrica e hexaédrica. Com as exressões (8.3) e (8.4), é ossível realizar a seguinte transformação de integrais (ver exressões 8.): x y z { } ( ) = ( ) ( )( ) ( ) ( ) f x,y,z dxdydz f u, u v, u v w u v dwdvdu (8.5.) x y z nin = 3 n= ( ) ξ,ξ,ξ fw( ) f x,y,z dxdydz (8.5.) onde f ( ) é a função a ser integrada no esaço tetraédrico. Combinando as equações (8.5), é ossível determinar as coordenadas adimensionais e os esos de integração numérica ara o tetraedro: ξ = u (8.6.) ( ) ξ = u v (8.6.) 3 ( )( ) ξ = u v w (8.6.3) ( ) ( ) w = u v wgl (8.6.4) onde { u,v,w } e wgl são, resectivamente, as coordenadas adimensionais e os esos da quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver seção 8.3.). Com relação à estratégia da quadratura Gaussiana, o número de ontos de integração numérica (or elemento) é fornecido na tabela 8.. As quadraturas Gaussianas ara o tetraedro são fornecidas no Anexo B desta tese.

185 Tabela 8.. Número de ontos de integração da quadratura Gaussiana ara cada recisão de integração numérica do elemento sólido tetraédrico. Precisão da integração Número de ontos de integração or elemento tetraédrico Referência Zienkiewicz e Taylor (005) 4 Keast (986) 3 5 Jinyun (984) 4 Keast (986) 5 5 Keast (986) 6 4 Keast (986) 7 3 Keast (986) 8 45 Keast (986) 8.4. Algoritmo de análise não linear geométrica de materiais em regime elástico É aresentada, neste item, a estrutura geral dos códigos comutacionais ara análise não linear geométrica de materiais hierelásticos (ver caítulo 5) via elementos finitos sólidos. Todas as simulações odem ser divididas em três etaas, indeendente do elemento usado (tetraedro ou hexaedro): ré-rocessamento, simulação do carregamento e ósrocessamento. A etaa de ré-rocessamento comreende a geração das malhas de elementos sólidos (ver seção 8. e Aêndice F). No código de simulação numérica estrutural, antes da alicação do carregamento, são realizadas as seguintes tarefas: a) leitura dos dados de entrada;

186 b) obtenção das coordenadas e dos esos de integração numérica (ver seção 8.3); c) determinação dos coeficientes das funções de forma e dos coeficientes das derivadas dessas funções (ver seção 8. e Aêndice A); d) cálculo e armazenamento, na memória do comutador, da inversa do gradiente inicial A 0 (3.5.) em todos os ontos de integração numérica de todos os elementos finitos, já que essa inversa não se altera ao longo da simulação; e) cálculo, ara o caso de materiais com gradação funcional (MGFs), das constantes elásticas (ver seção 7.) nos ontos de integração de todos os elementos, as quais variam de acordo a lei de GF adotada (seção 7.); f) cálculo e armazenamento, ara o caso da lei hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff (5.), do tensor elástico de quarta ordem (4.8) em todos os ontos de integração de todos os elementos, já que esses valores ermanecem constantes no decorrer da simulação comutacional; g) cálculo e armazenamento da segunda derivada da deformação de Green-Lagrange em relação ao gradiente (ver equação B.5). Com relação aos dados de entrada do código desenvolvido neste estudo, eles devem conter as seguintes informações: número de nós e de elementos; ordens de aroximação olinomial e de integração numérica (ver tabela 8.); número de assos (ou incrementos finitos) de carga; tolerância ara o erro, ou ara a dimensão máxima do resíduo de forças; frequência de imressão das osições finais no arquivo de saída; coordenadas iniciais dos nós; incidência dos elementos, que é a relação entre as numerações local e global dos nós; lei constitutiva adotada e constantes do material; carregamento externo nos nós; e restrições de deslocamento dos nós. Aós a realização das tarefas suramencionadas, tem início o rocedimento incremental e iterativo de alicação do carregamento. Esse rocedimento está descrito, de forma sucinta, no fluxograma da figura 8.. O método iterativo utilizado aqui, descrito na seção 4.6, recebe o nome de método de Newton-Rahson (PASCON, 008) ou método de Newton (HOUSEHOLDER, 953; BELLMAN; KALABA, 965; CRISFIELD, 000). O cálculo do vetor de forças externas, no resectivo asso, é feito da seguinte forma:

187 f ext onde ( i) ( i) ( f ) = i (8.7) ext f ext é o vetor de forças externas no asso i; e o dado de entrada fext é o incremento de força externa em cada asso de carga. Para determinação do sistema (ver figura 8.), são calculados os vetores de forças internas locais de todos os elementos (ver equação 8..), e as matrizes Hessianas locais de todos os elementos (ver equação 8..). A montagem do vetor global de forças internas e da matriz Hessiana global é feita do modo tradicional de acordo com o conhecimento da incidência dos elementos (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). O vetor resíduo de forças global (ver equação 4.0. ou 5.8.) é calculado da seguinte forma: onde ( ) ( ) ( i) r = f f (8.8) G int G ext f é o vetor global de forças internas. O sistema global a ser resolvido é o seguinte: int G H y = r (8.9) G G onde H G é a matriz Hessiana global; e y é o vetor incremento osicional global. Em seguida, de acordo com os graus de liberdade (ver seção 3.) restritos, o sistema global (equação 8.9) é modificado da seguinte forma (PASCON, 008): se o grau de liberdade global m é restrito, então são realizadas as seguintes alterações: ( H ) = ( H ) = 0 ( i j = ntgl) G ( ) G mi mm G jm,, (8.0.) H = (8.0.) ( ) r = 0 (8.0.3) G m onde ntgl é o número total de graus de liberdade. Para tornar mais ráida a montagem do sistema, são calculados - aenas - os termos que corresondem aos graus de liberdade livres, isto é, são determinados somente os termos do sistema global (8.9) que não sofrem as modificações (8.0).

188 Figura 8.. Procedimento incremental e iterativo de alicação do carregamento ara análise não linear geométrica de materiais elásticos. A solução do sistema global (8.9) é feita com a sub-rotina MA57, que se trata de um método multifrontal direto, baseado na eliminação de Gauss (DUFF, 004). Aós resolver o sistema, é determinado o erro com a exressão a seguir: norma ERRO = abs norma (8..) ( ) (8..) norma = r G i norma = ( x ) i (8..3) onde os valores norma e norma são calculados, aenas, ara os graus de liberdade livres; r G é o vetor resíduo de forças global (8.8); e x é o vetor que contém todas as coordenadas iniciais dos nós (ver equação 3..). Quando o erro (8.) é maior do que a tolerância adotada,

189 a osição atual y deve ser atualizada, ou seja, deve ser calculada a nova osição atual tentativa. Esse cálculo é feito com a equação a seguir (ver exressão 8.9): ( ) y = y + y = y H r (8.) 0 G G Na etaa de saída (ver figura 8.), as osições atuais de equilíbrio de todos os nós, no final de determinados assos de carga, são imressas no arquivo de saída. Com esse arquivo, o rograma de ós-rocessamento determina os camos de deslocamento, de deformação e de tensão ao longo de toda a estrutura. Com os valores dos deslocamentos de todos os nós, é ossível, com auxílio de um rograma desenvolvido no deartamento (AcadView), visualizar as configurações de equilíbrio ao final de determinados assos de carga Algoritmo de análise não linear geométrica de materiais em regime elastolástico O código de análise não linear geométrica de estruturas constituídas de materiais em regime elastolástico é similar ao código ara materiais em regime elástico (ver seção 8.4). Basicamente, existem duas diferenças entre tais códigos. A rimeira é na leitura das roriedades do material. Além de informar ao rograma as constantes da lei constitutiva elástica adotada, é necessário informar as constantes referentes às leis de evolução do encruamento (ver caítulo 6). A segunda diferença entre os rogramas suracitados consiste na etaa que rocede à realização do teste (ver figura 8.). No caso de materiais em regime elastolástico, arte-se da hiótese que a resosta do material ao incremento de carga alicado é uramente elástica, ou seja, não há evolução das variáveis lásticas. Dessa forma, atingido o equilíbrio de forças (4.9.), é necessário verificar o critério de lastificação (6.5.3) ou (6.7) em todos os ontos de integração numérica (ver seção 8.3) dos elementos. Se esse critério for satisfeito em todos os ontos, a hiótese de comortamento elástico é verdadeira e, com isso, ode-se avançar ara a etaa de saída (ver figura 8.). Caso contrário, deve ser realizada a correção lástica (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000). Para aqueles ontos de integração nos quais o critério de lastificação (6.5.3) ou (6.7) não é satisfeito, devem ser atualizados,

190 or meio do algoritmo de retorno da seção 6.6, os seguintes arâmetros lásticos: arcela lástica da deformação ( E ) ou arcela lástica do gradiente ( A ); arâmetro de encruamento isotróico ( κ ); e arâmetro de encruamento cinemático ( X ). As estratégias de revisão elástica imlementadas nos códigos comutacionais desenvolvidos neste estudo ara materiais em regime elastolástico são descritas a seguir Estratégias de revisão elástica Neste estudo foram adotadas três estratégias com relação à rimeira etaa do algoritmo de revisão elástica e correção lástica (CRISFIELD, 000) descrito na seção 6.6 desta tese: revisão uramente elástica; método da Secante; e revisão elastolástica. Em todas as três estratégias, é assumido inicialmente que as variáveis lásticas não variam ao longo do incremento, é verificado o critério de lastificação, e são atualizadas as referidas variáveis com o método de retorno descrito nas seções 6.6. e Na estratégia da revisão uramente elástica, ara cálculo da matriz Hessiana (equação 4..) considera-se que as derivadas das variáveis lásticas ( E, κ e X ) em relação à deformação (total) de Green-Lagrange E, ou em relação aos graus de liberdade y, são todas iguais a zero. Com isso, a rimeira tentativa ara a osição atual é: yt = y( ) ( H ) f 0 ( 0 ) int( 0) f ext( ) (8.3.) E = : Jdξ (8.3.) f ( 0) S y int 0 ξ ( 0) H ( 0) = + S : E : E S: E Jd 0 ξ E y y yy (8.3.3) ξ ( 0) E X = = O E E ( ) 4 (8.3.4)

191 κ = O E (8.3.5) onde os índices ( 0 ) e ( ) denotam, resectivamente, as variáveis conhecidas no início e no final do incremento; y é o vetor de graus de liberdade; y t corresonde à osição atual relativa à rimeira tentativa elástica; e ( 4) O denota o tensor nulo de quarta ordem. A osição atual y, o vetor de forças internas f int, a matriz Hessiana H e as variáveis lásticas ( E, κ e X ) são atualizados, resectivamente, via equações (8.3.), (8.3.), (8.3.3) e algoritmo de retorno (ver seções 6.7. ou 6.7.) até que o conjunto ( ye,, κ, ) X satisfaça, simultaneamente, o equilíbrio de forças (4.9.) e o critério de lastificação (6.5.3) ou (6.7). O corresondente fluxograma do algoritmo e um exemlo unidimensional da estratégia de revisão uramente elástica são aresentados nas figuras 8. e 8.3, resectivamente. Figura 8.. Fluxograma do rocedimento incremental e iterativo, ara a estratégia de revisão uramente elástica.

192 Figura 8.3. Exemlo unidimensional do método de revisão uramente elástica. Nesta figura o objetivo é, conhecidos a osição, a força e as variáveis lásticas no início do incremento ( y ( 0), F ( 0), E ( 0), κ ( 0), X ( 0) ), determinar a osição e as variáveis lásticas ao final do incremento y, E ( ), κ ( ), X ( ) ) de forma a obter F= F( ) e Φ= 0. Os índices t, t,... referem-se às ( ( ) tentativas. Etaa (a): revisão elástica via Newton-Rahson ara obtenção de y t. Etaa (b): correção lástica com alteração na força ( F t ). Etaa (c): revisão elástica via Newton-Rahson ara obtenção de y t. Etaa (d): correção lástica com alteração na força ( F t ). O método da Secante tem o mesmo início da estratégia de revisão uramente elástica. O método iterativo de Newton-Rahson (CRISFIELD, 000), com cálculo da matriz Hessiana H ( 0) (ver equação 8.3.3), é alicado ara obter a osição tentativa y s de forma que ( fint ) ( fext ) s ( ) =, e as variáveis lásticas são atualizadas de forma que ( EE,,, X) Φ κ = 0. A róxima osição tentativa, reresentada or y s, é obtida com a fórmula multidimensional de Broyden (BROYDEN, 965): ( ) y = y + y = y H r (8.4.) s s s s s s ( ) ( ) s ( ) r = f f (8.4.) s int ext s

193 H y s s = rs (8.4.3) ys y = y y (8.4.4) ( ) s s 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( y y( ) ) ( y y( ) ) y = y y y y = (8.4.5) s s 0 s 0 s 0 s 0 i i Com a nova osição y, verifica-se o critério de lastificação ( Φ 0 ). Caso s Φ E( ), E s ( s), κ( s), X ( s) > 0, são corrigidas as variáveis lásticas ara obter ( EE,,, X) Φ κ = 0. Caso o resíduo de forças r s não seja suficientemente equeno, s determina-se a nova osição tentativa y s3 via Newton-Rahson. Pode-se notar que, na estratégia da Secante, os métodos de Newton-Rahson e de Broyden são alternadamente utilizados até que o conjunto de variáveis mecânicas ( ye,, κ, X) ou ( EE,, κ, X) satisfaça simultaneamente o equilíbrio de forças (4.9.) e o critério de lastificação (6.5.3) ou (6.7). O algoritmo e um exemlo unidimensional da estratégia da Secante são ilustrados nas figuras 8.4 e 8.5, resectivamente. Figura 8.4. Fluxograma do rocedimento incremental e iterativo, ara a estratégia da Secante.

194 Figura 8.5. Exemlo unidimensional do método da Secante. Nesta figura o objetivo é o mesmo da figura 8.3. Os índices t, t,... referem-se às tentativas. Etaa (a): revisão elástica via Newton- Rahson ara obtenção de y t. Etaa (b): correção lástica com alteração na força ( F t ). Etaa (c): revisão elástica via equação de Broyden (8.4) ara obtenção de y t. Etaa (d): correção lástica com alteração na força ( F t ). O segmento de reta corresondente à etaa (c) não é necessariamente tangente à curva F F( y) = no onto ( yt, Ft). Por fim, o método da revisão elastolástica é similar ao método da revisão elástica. A diferença é que aenas a rimeira osição tentativa ( y t ) de cada incremento é obtida com as considerações (8.3.4) e (8.3.5). Para determinação das demais osições tentativa, é emregado o oerador tangente consistente elastolástico (CRISFIELD, 000): Γ S S E e = S( EE, ) = + : E E E E (8.5.) H = + E + S S E E E : : : S: Jd 0 ξ E E E y y yy (8.5.) ξ Assim como nas duas rimeiras estratégias, a correção lástica é alicada no final da obtenção de cada osição tentativa. O algoritmo e um exemlo unidimensional da estratégia de revisão elastolástica são ilustrados nas figuras 8.6 e 8.7, resectivamente.

195 Figura 8.6. Fluxograma do rocedimento incremental e iterativo, ara a estratégia da revisão elastolástica. Figura 8.7. Exemlo unidimensional do método da revisão elastolástica. Nesta figura o objetivo é o mesmo da figura 8.3. Os índices t, t,... referem-se às tentativas. Etaa (a): revisão elástica via Newton-Rahson (equação 8.3.3) ara obtenção de y t. Etaa (b): correção lástica com alteração na

196 força ( F t ). Etaa (c): revisão elastolástica via Newton-Rahson (equações e 8.5) ara obtenção de y t. Etaa (d): correção lástica com alteração na força ( F t ). Neste caso o segmento de reta corresondente à etaa (c) é tangente à curva F F( y) = no onto ( yt, Ft) Processamento aralelo Sabe-se que, ara realizar simulação numérica de qualquer roblema estrutural, quanto maior o refinamento da malhas de elementos finitos (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 000) e/ou a ordem de aroximação olinomial, maior é o temo de rocessamento. Neste estudo, ara tornar mais ráida as simulações numéricas, foi emregado o rocessamento aralelo (UKTU et al., 98). O comutador utilizado ossui oito rocessadores. Entre eles, existem o rocessador central, chamado de mestre, e os rocessadores restantes chamados de escravos. Nos códigos comutacionais desenvolvidos nesta esquisa, é aralelizada aenas a determinação do sistema (ver figura 8.). Cada rocessador, incluindo o mestre, calcula o vetor local de forças internas (ver equação 8..) e a matriz Hessiana local (ver equação 8..) de seus resectivos elementos finitos. O mestre, sozinho, monta e resolve o sistema global de equações (8.9), realiza o teste (ver figura 8.), e atualiza as osições atuais referentes aos graus de liberdade livres (ver seção 3.). No caso do código de análise de materiais em regime elastolástico, a correção lástica também é aralelizada, ou seja, cada rocessador realiza, se necessário, a atualização das variáveis lásticas nos ontos de integração de seus resectivos elementos finitos. No código aralelo, aenas o mestre faz a leitura dos dados de entrada. Com esses dados, ele realiza a searação de tarefas or rocessador, ou seja, o mestre determina qual rocessador realiza os cálculos necessários ara cada elemento. Definida essa searação de tarefas, o mestre transfere aos escravos, aenas, os dados de entrada corresondentes, isto é, cada escravo ossui, somente, os dados necessários ara os cálculos de seus resectivos elementos finitos. Só o mestre armazena todas as informações de toda a estrutura. Caso o erro (8.) seja maior do que a tolerância, aós atualizar as osições atuais de toda a estrutura, o

197 rocessador central transfere aos escravos as osições atuais dos nós de seus resectivos elementos. Conforme mencionado anteriormente (ver seção.6), o conceito da decomosição de domínio com solução indeendente em cada subdomínio (YAGAWA; SONEDA; YOSHIMURA, 99; RAO; RAO; DATTAGURU, 003; KLAWONN; RHEINBACH, 00; RIVERA et al., 00), bastante usado em rocessamento aralelo via MEF, não é emregado neste estudo. O código aralelo, com todos os oito rocessadores, é utilizado indeendentemente do número de graus de liberdade da malha de elementos finitos a ser simulada. Assim, é ossível que a simulação numérica de uma malha com oucos elementos finitos seja realizada sem utilizar todos os oito rocessadores. Ademais, o temo de transferência de informação entre o mestre e os escravos não é medido neste estudo. Por fim, já que a ideia aqui é aenas reduzir o temo de rocessamento da simulação numérica, não são comaradas diferentes estratégias de distribuição dos cálculos or rocessador Pós-rocessamento Na etaa de saída (ver figura 8.), são imressas, em arquivos de texto, as osições finais de todos os nós da estrutura ao final de determinados assos de carga. Com essas osições é ossível - com o rograma de ós-rocessamento desenvolvido neste estudo - determinar os camos de deslocamento, deformações e tensões em toda a estrutura. Tais camos odem ser visualizados com auxílio de outro rograma, desenvolvido no deartamento (AcadView). Para visualização neste último rograma, é necessário calcular os valores nodais da variável em questão, ou seja, os valores da variável nos nós. Para determinação do camo de deslocamento ao longo da estrutura, são usadas as aroximações descritas nas equações (3.), e a relação entre as numerações local e global dos nós, chamada de incidência dos elementos. O cálculo do camo de deformações (de Green-Lagrange) é realizado via exressões (3.5) e (3.7). A determinação do camo de tensões de Cauchy,

198 ara o caso de materiais em regime elástico (ver item 8.4 desta tese), é realizada nas equações (5.7) e (4.3.). No caso de materiais em regime elastolástico (ver item 8.5 desta tese), ara determinar o camo de tensões, torna-se necessário conhecer as seguintes variáveis: tensor gradiente lástico A (3.3), tensor das tensões inversas χ (ver equações 6.7 e 6.9), e arâmetro de encruamento isotróico κ (ver equações 6.7 e 6.33). Tais variáveis são armazenadas em arquivos de texto, ao final de determinados assos, ara cada onto de integração de todos os elementos. O cálculo das tensões de Cauchy, em cada onto de integração, é realizado nas seguintes etaas: cálculo da deformação total de Green-Lagrange E via equação (3.7); cálculo da arcela elástica da deformação de Green-Lagrange equação 3.4.3); cálculo do segundo tensor elástico de Piola-Kirchhoff ψ e / Ee, onde e E e (ver S e com a exressão ψ é a arcela elástica da energia livre de Helmholtz (ver equação 6.8); cálculo do segundo tensor de Piola-Kirchhoff S via exressão (6.5.); cálculo do gradiente (total) A e de seu determinante J (ver equações 3. e 3.3); e cálculo da tensão de Cauchy via exressão (4.3.). Para determinação dos valores nodais, é adotado o seguinte rocedimento ara cada um dos nós: determinação dos elementos finitos aos quais o nó ertence; cálculo do valor nodal com os valores armazenados nos ontos de integração de todos os elementos que contêm o resectivo nó: ( v ) NOD k = nel nin i i= nel nin i= vd d i i (8.6) onde ( ) v NOD é o valor de determinada variável no nó k; k i v são os valores da resectiva variável nos ontos de integração dos elementos que contêm o nó k; nel é o número de elementos aos quais o nó k ertence; nin é o número de ontos de integração de cada elemento; d i é a distância de cada onto de integração ao nó k.

199 8.8. Programas EPIM3D e DD3IMP Ao longo do rograma de Doutorado, o aluno realizou estágio no Deartamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra (Portugal). Os rinciais objetivos desse estágio foram a imlementação, no código comutacional do aluno, de uma lei constitutiva ara materiais elastolásticos em regime de grandes deformações, e o contato com os rogramas do gruo hosedeiro, no caso o EPIM3D e o DD3IMP. Estes rogramas são emregados ara simulação numérica de rocessos de conformação de metais homogêneos em regime de equenas deformações elásticas e grandes deformações lásticas. Entre tais rocessos, odem ser citados o forjamento e a estamagem de chaas metálicas, amlamente utilizados na indústria automobilística, or exemlo. A diferença entre os rogramas do gruo hosedeiro é que, no EPIM3D, existe aenas a análise elastolástica, enquanto no DD3IMP, além da arte elastolástica, é analisado também o contato entre o coro deformável e coros rígidos, cuja geometria é definida com o auxílio de suerfícies aramétricas. Assim sendo, além de definir a malha de elementos finitos, as roriedades do material e as condições de contorno, é necessário - no rograma DD3IMP - definir a geometria da ferramenta que será emregada ara simular numericamente o rocesso de conformação. A lei constitutiva ara grandes deformações imlementada no código do aluno é descrita no item 6.4 desta tese, e os rogramas EPIM3D e DD3IMP são brevemente descritos neste item Cinemática Em relação à cinemática, é adotada a descrição Lagrangiana atualizada (HOLZAPFEL, 004), na qual a configuração de referência é atualizada ao final de todos os assos, diferente da descrição Lagrangiana total emregada neste estudo. A decomosição multilicativa do gradiente (ver equação 3.3), geralmente emregada ara formular grandes

200 deformações, também é utilizada nos rogramas EPIM3D e DD3IMP. Além da aroximação (6.47) ara a taxa de rotação lástica ( W ), assume-se, no modelo mecânico, que as deformações elásticas são equenas em relação à deformação lástica, o que simlifica o equacionamento já que, dessa forma, é ossível escrever as seguintes aroximações: D D + D (8.7.) e W e W (8.7.) onde D e W são os tensores taxa de deformação e de rotação (ver equações 3.5 e 3.7) Comortamento elástico No que diz reseito à resosta elástica do material, é utilizada a relação isotróica linear entre tensão e deformação, similar à lei de Hooke ou à lei de Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5. e 5.9): J e J σ = Γ : ε (8.8.) J σ σ σw Wσ = + (8.8.) J e e e ε = ε + ε W Wε (8.8.3) onde J σ e J ε são, resectivamente, as taxas objetivas de Jaumann (HOLZAPFEL, 004) do tensor das tensões de Cauchy (ver equação 4.) e do tensor das deformações elásticas ( ε e ); e e Γ é o tensor elástico de quarta ordem (5.4). A medida de deformação emregada nos rogramas EPIM3D e DD3IMP é a deformação logarítmica (ALVES, 003). Pode-se notar, nas exressões (8.8), que é utilizada a formulação co-rotacional (CRISFIELD, 000).

201 Comortamento lástico Estão imlementados, nos rogramas EPIM3D e DD3IMP, vários critérios de lastificação (ver equações 6.5): von-mises, Drucker-Prager, Hershey-Hosford, Hill48, Yld9, KB93, CB00 e D+L. Os cinco últimos critérios são utilizados ara descrever o comortamento lástico de materiais anisotróicos. Os três rimeiros critérios são utilizados ara descrever o comortamento lástico de materiais isotróicos, e corresondem a casos articulares dos critérios de lasticidade anisotróicos de Hill48, CB00 e Yld9, resectivamente. Nos referidos rogramas, o critério de lastificação (ver exressões 6.5 e 6.6) é descrito, de maneira geral, ela seguinte exressão: ( σ X, α) ( ) Φ= σ Y κ 0 (8.9) onde σ e Y são funções escalares; X é o tensor das tensões inversas, o qual descreve o encruamento cinemático; α reresenta os arâmetros de isotroia ou de anisotroia; e κ é o arâmetro de encruamento isotróico. A exressão (8.9) é descrita na configuração intermediária (ver figura 3.3). A lei de fluxo lástico associativa, definida ela regra da normalidade (PROENÇA, 006), também é emregada nos rogramas EPIM3D e DD3IMP: D = Φ γ σ (8.0) ( X) onde o escalar γ 0 é o multilicador lástico (ver equações 6.45 ou 6.46). As leis de encruamento isotróico utilizadas nos rogramas EPIM3D e DD3IMP são: lei de Swift (ver equação 6.50); lei de Voce (ver equação 6.5); e modelos microestruturais comleto e simlificado (ALVES, 003). Com relação à lei de encruamento cinemático, aenas as lei de Prager (ver equação 6.54) e de Lemaitre-Chaboche (ALVES, 003) estão imlementadas.

202 Elementos finitos Para descrição esacial do meio contínuo ocuado elo coro deformável, é emregado, nos rogramas EPIM3D e DD3IMP, o método dos elementos finitos (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Os elementos adotados são os sólidos hexaédrico, entaédrico e tetraédrico isoaramétricos, sendo que ara os elementos finitos hexaédricos e tetraédrico é ossível adotar ara além da aroximação linear também a quadrática. Para cálculo das integrais ao longo do volume, estão imlementadas as técnicas numéricas de integração comleta, integração reduzida uniforme e integração reduzida seletiva (MALKUS; HUGHES, 978a; MALKUS; HUGHES, 978b) Previsão elástica e correção lástica Nos rogramas EPIM3D e DD3IMP, ara integração da lei constitutiva elastolástica ao longo de cada incremento, também é utilizado o algoritmo de revisão elástica e correção lástica (ver itens 6.6 e 8.5.). Assim como no código comutacional desenvolvido neste estudo, a etaa de revisão elástica se baseia num método tangente exlícito, e a correção lástica (ou retorno) se baseia num método imlícito (CRISFIELD, 000).

203 Materiais com equenas deformações elásticas Para materiais em regime de equenas deformações elásticas, mas com deformações lásticas finitas, é ossível mostrar a equivalência da formulação hierelastolástica do resente estudo (ver seção 6.4) com a formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP. Para isso, é emregado o rocedimento descrito a seguir. Inicialmente, reescreve-se o tensor (elástico) de Mandel (6.5.3) com auxílio das equações (3.4.), (6.5.) e (6.5.3): ( )( ) M = C S = A CA A SA = A CSA (8.) -T - T -T T e e e Para o caso hierelastolástico (ver seção 6.4), sabe-se (CRISFIELD, 000) que o uso do critério de von-mises (6.44) faz com que a deformação lástica seja isocórica, isto é: ( A ) det =. Com esse resultado e com a hiótese de equenas deformações elásticas, odem ser escritas as seguintes aroximações (ver exressões 3.3 e 3.4.7): A A ou Ae ( ) e I (8..) det A (8..) ( A) ( Ae) ( A) J = det = det det (8..3) Com estas aroximações, os tensores de Mandel (8.) e de Cauchy (4.3.) resultantes são, resectivamente: M A A ASA ASA -T T T T e (8.3.) σ = T T ASA ASA Me J σ (8.3.) O tensor M e é emregado na formulação do resente estudo (ver equação 6.7), e o tensor σ é utilizado no modelo mecânico dos rogramas EPIM3D e DD3IMP (ver equação 8.9). Além da equivalência das medidas de tensão ( σ Me ), é ossível mostrar a equivalência das medidas de deformação, ara o caso de equenas rotações lásticas. Neste

204 estudo, a variação do arâmetro de encruamento isotróico é dada na equação (6.33): 3 D κ =, onde D é a arcela lástica do tensor taxa de deformação (ver equações 3.5. e 3.7.6). Nos rogramas EPIM3D e DD3IMP, a lei de evolução do arâmetro de encruamento isotróico κ é: κ = (8.4) 3 ε onde ε é a arcela lástica da deformação logarítmica (ALVES, 003). Pode-se relacionar a taxa de variação de ε com o tensor D com a seguinte exressão (ALVES, 003): D = ε (8.5) onde ε é uma taxa objetiva (HOLZAPFEL, 004) de ε. Ademais, se as rotações lásticas são equenas, então a arcela lástica do tensor taxa de rotação ( W ) é aroximadamente nula. Nesse caso, ode-se mostrar que: ε = ε (8.6) Assim sendo, é ossível escrever a seguinte equivalência, válida ara o caso de grandes deformações elastolásticas, mas com equenas rotações lásticas (ver equações 6.33, 6.47 e 8.4): D ε κhep κepim3d κhep κepim3d = = = (8.7) onde κ HEP e κ EPIM3D são, nesta ordem, os arâmetros de encruamento isotróico da formulação hierelastolástica deste estudo (ver seção 6.4) e da formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP. Combinando os resultados das exressões (8.3.) e (8.7), a análise com a formulação hierelastolástica da seção 6.4 desta tese deve fornecer os mesmos resultados da análise com a formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP ara materiais no seguinte regime: equenas deformações elásticas, deformações lásticas finitas, e equenas rotações lásticas.

205 Barras sob tração uniaxial em regime de equenas deformações elásticas Considerando a hierelastolasticidade (ver seção 6.4), em regime de equenas deformações elásticas, é ossível escrever as seguintes aroximações ara o gradiente da barra sob tração uniaxial (ver figura 6., e equações 6.94 e 8.): A I A A (8.8.) e λe λ 0 0 λ 0 0 0λ e λ 0 0 λ 0 0 λ λ 0 0 λ e3 3 3 (8.8.) onde λ i, λ ei e λ i são, nesta ordem, os alongamentos total, elástico e lástico ao longo da direção i. Com a condição de incomressibilidade (6.06), válida ara o critério de von-mises (6.44), o tensor gradiente acima resulta em: A λ 0 0 λ 0 0 = = 0λ 0 A 0 λ 0 0 λ λ, J J = (8.9) onde o escalar J é o Jacobiano (3.3). O cálculo da força longitudinal alicada na barra da figura 6., ara o caso de material heterogêneo com GF ao longo do eixo x, é realizado com a equação (7.3). A seguir, são analisados dois casos com a referida GF ara barras sob tração uniaxial em regime de equenas deformações elásticas (ver equações 8.8 e 8.9): material hierelastolástico com encruamento isotróico; e material hierelastolástico com encruamento cinemático de Prager (6.54).

206 Barras constituídas de material com encruamento isotróico Para barras sob tração uniaxial constituídas de material com encruamento isotróico aenas, são utilizadas as equações (6.0). Se as deformações elásticas são equenas, assumese que o material da barra encontra-se semre em regime elastolástico, ou seja (ver exressão 6.0.3): Φ= Mσeκ 0 M= e σκ = (8.30) 3 3 Além disso, com o resultado da exressão (6..) e com a aroximação (8.8), ode-se escrever a seguinte equação (ver exressões 8.8): ( ) ( ) κ = ln λ ln λ (8.3) Portanto, ara o caso de GF das constantes de encruamento isotróico ao longo do eixo x, se o alongamento longitudinal λ é uniforme ara toda a barra, então a força longitudinal alicada na barra é (ver equação 7.3): b0 b0 b0 h0 h0 h0 κ σ κ,x e dx κ σ ln λ,x dx λ λ 0 λ 0 0 ( ) ( ) ( ) (8.3) F = M x dx = = onde b 0 e h 0 são as dimensões iniciais da seção transversal da barra (ver figura 6.). Adotando a lei olinomial de encruamento isotróico (6.49) com a lei de GF de otência (7.4), então: σ κ,x a a a κ NC x n κ ( ) = n + ( n n ) ( ) (8.33) n= 0 b0 onde a n e a n são os valores dos coeficientes a n ara x = b0 e x = 0, resectivamente; e κ, neste caso, é uniforme ara toda a barra. Portanto, com a equação (8.3), a força (8.3) resulta em:

207 b 0 NC NC b0 h0 x n h 0 x n F = κ dx an ( an a an ) a a ( ) κ dx n ( n n ) ( ) λ + = + 0 n= 0 b0 λ n= 0 b 0 0 NC hb 0 0 an an F = λ a n + ln λ n= 0 + n ( ) (8.34) Para a lei de GF de otência (7.4) ao longo do eixo x (ver figura 6.) alicada ao coeficiente K da lei de Swift (6.50), é ossível escrever a seguinte exressão (ver equação 8.3): x σκ( κ,x ) = K + ( K K) E0 + ln ( λ) b 0 n (8.35) onde K e K são os valores do coeficiente K ara x = b0 e x = 0, resectivamente; e os coeficientes E 0 e n, neste caso, são constantes. Com isso, a força longitudinal alicada (8.3) é: b 0 h n 0 x F = λk ( dx K K ) E0 ln ( ) λ + + b 0 0 hb 0 0 K K F = λ K + E0 + ln λ + ( ) n (8.36) Por fim, adotando a lei de otência de GF (7.4) ao longo de x (ver figura 6.) ara a constante σ 0 da lei de Voce (6.5), a tensão limite de escoamento σ κ resulta em (ver equação 8.3): σ κ,x σ σ σ e σ e { } x CYlnλ ( ) C lnyλ ( ) κ ( ) = 0 + ( 0 0 ) + sat b0 (8.37) onde σ 0 e σ 0 são os valores do coeficiente σ 0 em x = b0 e x = 0, resectivamente; e os coeficientes σ sat e C Y, neste caso, são constantes. Assim sendo, a força longitudinal alicada (8.3) é determinada com a seguinte exressão:

208 b 0 h 0 x ( CYlnλ ) ( C lnλ Y ) Fσ = σ σ0 ( 0 0 e) σ e sat dx λ + + b 0 0 hbσ 0 0 σ 0 0 Fσ = 0 + e σ e+ sat λ + ( C lnλ ) ( C lnλ ) Y Y (8.38) Barras constituídas de material com encruamento cinemático de Prager Para a barra sob tração uniaxial da figura 6., se o encruamento cinemático é definido ela lei linear de Prager (6.54), então: χ 0 0 D 0 0 χ= χ= cdχ 00 c 0 D= D 3 0 χ 0 3 (8.39) Deve ser lembrado que a aroximação χ = χ ode ser realizada se a arcela lástica da taxa de rotação ( W ) for considerada nula (ver exressões 6.3 e 6.47), o que é válido ara a barra da figura 6.. Além disso, com o critério de lastificação de von-mises (6.44) e lei de fluxo associativa (6.46), conforme a exressão (6.03): D + D + D3 = 0 (8.40) Assumindo D = D3, então (ver exressão 8.39): 0 0 D = D3 = D D = D (8.4.)

209 χ 0 0 = cd = cd (8.4.) Com o tensor D definido acima, o arâmetro de encruamento isotróico adotado neste estudo (ver equação 6.33) resulta em: ( ) κ D = D = + + = D 3 κ = D (8.4) Ademais, de acordo com a equação (8.3): t κ = ln ( λ ) = D (8.43) Substituindo esta exressão em (8.4.): χ χ= = c λ ln ( 0) 0 cχln= λ ( 0) 0 t t (8.44) Assim, o tensor desviador que aarece no critério de lastificação de von-mises ara a barra sob tração uniaxial (ver equação ) é: 0 0 dev( Me χ) = dev λ Me0 devχ= 0M e cln ( ) ( ) e e ( ) ( ) dev λ M cln M cln λ M χ = e ( ) = dev( Me λ χ) = Me cln ( ) (8.45) 3

210 Por fim, a função escalar que define o critério de lastificação de von-mises (6.44) com encruamento cinemático aenas é: 3 Φ= devσ( Meκ χ) M e cln = λ σ 00( ) (8.46) onde σ 0 é a tensão limite de escoamento, constante neste caso. Para a barra sob tração uniaxial em regime elastolástico: 3 Φ= 0 σme = cln0 + λ ( ) (8.47) Com o resultado da equação (8.47), ara o caso de GF do coeficiente de Prager c ao longo do eixo x da barra da figura 6., a força longitudinal alicada (8.3) resulta em: b0 b0 h0 h0 3 σ e ( cln ) λ dx 0 ( ) λ λ 0 0 F = M x dx = λ λ 0 b 0 hbσ h 3 F = λ c + x dxln ( ) ( ) (8.48) Adotando a lei de otência de GF (7.4) ao longo de x ara o coeficiente c, a força alicada (8.48) é: b 0 hbσ h 0 3 x λ c c ln c ( ) dx( ) λ λ b 0 0 F = + + hb 3 c c Fσ= ln λ + c ( ) λ + (8.49) onde c e c são os valores do coeficiente de Prager c ara x = b0 e x = 0, resectivamente. É imortante mencionar que as exressões (8.3), (8.34), (8.36), (8.38), (8.48) e (8.49), todas emregadas ara se calcular a força longitudinal alicada na barra da figura 6., só odem ser utilizadas se as deformações elásticas forem equenas, e se o alongamento longitudinal λ for uniforme em toda a barra. Além disso, tal alongamento deve ser

211 monotonamente crescente, ois se ele decrescer o material entra em regime elástico ( Φ< 0 ) e as referidas exressões não odem ser usadas. Nesse regime, ara se obter a força alicada na barra, devem ser utilizadas as equações (7.) e (7.3) Aroximação de Green-Naghdi Com a decomosição aditiva da deformação (6.4), ara a barra sob tração uniaxial da figura 6. constituída de material homogêneo em regime elastolástico com encruamento isotróico aenas, odem ser escritas as seguintes exressões (ver equações 6.5, 6.45, 6.69 e 6.87): Φ= Sσ κ 0 = S E E = E( σκ ) κ= ( ) (8.50.) 3 3 = = = 3 = (8.50.) κ D E E κ E F κ 0 0 ( ) = λa S σ= κ λa (8.50.3) Com a hiótese de equenas deformações elásticas, o arâmetro κ utilizado ara calcular a força (8.50.3) ode ser substituído or: κ = E E (8.5) Por exemlo, ara a lei de Swift (6.50), a força longitudinal alicada na barra em regime elastolástico, mas com equenas deformações elásticas, é (ver exressão ): ( ) ( ) n n λa K E λ λa F = K E + E = (8.5)

212 Formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP Para a barra sob tração uniaxial da figura 6. constituída de material homogêneo em regime elastolástico, mas com equenas deformações elásticas, a força longitudinal alicada considerando a formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP é (ver itens 8.8., 8.8. e 8.8.3, e exressões 8.3., 8.30, 8.3 e 8.3): Fσ A ( ) 0 κ= κ (8.53.) λ κ = ln ( λ ) (8.53.) Para a lei de Swift (6.50), a força (8.53.) resulta em: ( ) n A0 F = K λ E0 + ln (8.54) λ De acordo com o resultado da exressão (8.3.), as equações (8.53) e (8.54) também odem ser utilizadas ara o caso da barra sob tração uniaxial da figura 6. constituída de material hierelastolástico homogêneo em regime de equenas deformações elásticas (ver equação 8.3).

213 9. EXEMPLOS NUMÉRICOS Para validação da metodologia numérica descrita no resente estudo (ver caítulos 3 a 8), foram simulados vários roblemas estruturais. Os rinciais resultados obtidos com essas simulações são descritos neste caítulo. Para analisar a convergência dos resultados, o mesmo roblema estrutural é simulado com diferentes malhas de elementos (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005) sólidos tridimensionais. As diferenças entre tais malhas são o número de elementos finitos e a ordem de aroximação olinomial (ver seção 3.). Ademais, os resultados obtidos aqui são comarados com outros estudos e artigos científicos. Conforme dito anteriormente (ver seção 4.6), o carregamento, que é estático e isotérmico, é dividido em assos de carga. A simulação numérica ode ser feita via controle de carga ou controle de deslocamento. Para todos os exemlos, a tolerância adotada ara o erro (8.) é de 7 0. Em quase todos os casos, o mesmo exemlo estrutural é simulado com lei constitutiva ara materiais homogêneos (ver caítulos 5 e 6) e ara materiais com gradação funcional (ver caítulo 7). Para evitar confusão, deve ser mencionado que análise de contato ou de imacto não é realizada neste estudo. Por fim, o número de nós e o número de graus de liberdade or elemento finito sólido são dados na tabela 9.. Tabela 9.. Número de nós e de graus de liberdade or elemento finito sólido ara as várias ordens de aroximação olinomial (ver seção 3.) adotadas neste estudo. Ordem de aroximação Elemento tetraédrico Número de nós Número de graus de liberdade Elemento hexaédrico Número de nós Número de graus de liberdade

214 9.. Estruturas constituídas de material em regime elástico Problemas estruturais com materiais em regime elástico (ver caítulo 5) foram simulados numericamente com os elementos finitos sólidos tetraédrico e hexaédrico (ver seção 3.). Para análise numérica de tais roblemas, foi utilizado o código comutacional descrito no item 8.4 desta tese. As estruturas que odem aresentar grandes deslocamentos (ver equação 3.9), mas com equenas deformações (ver seção 3.4), são modeladas com a lei hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5. e 5.9). Já as estruturas que odem exibir elevados deslocamentos e grandes deformações são modeladas com as leis hierelásticas não lineares (ver equações 5.3, 5.4 ou 5.5). A justificativa ara tais escolhas está na seção 5.4 desta tese Problemas com deformação homogênea Para os roblemas estruturais em que o camo de deslocamento (3.9) varia linearmente ao longo do coro, não é necessário utilizar elementos finitos sólidos com aroximação olinomial (ver seção 3.) suerior à linear já que, nos referidos roblemas, esta ordem é suficiente ara reroduzir corretamente o comortamento estrutural. São descritos, na resente seção, roblemas estruturais cujo camo de deslocamentos (3.9) é linear e o gradiente (3.), ou a deformação (3.7), é constante ao longo de todo o coro. Em tais casos, ara ouar temo de rocessamento, o número de elementos sólidos adotado é o menor ossível: seis tetraedros ou um hexaedro (ver seção 3. e figura F8). Porém, ara simulação dos roblemas com deformação homogênea, aenas os tetraedros foram emregados. Os resultados das simulações numéricas são comarados com as resectivas soluções analíticas.

215 9... Tração uniaxial O rimeiro exemlo numérico analisado é um risma homogêneo sob tração uniaxial (ver figura 9.). Devido à simetria em relação aos lanos x = 0,0, x = 0,0 e x3 = 0,0, aenas um oitavo do risma foi discretizado. Considerando que o coro deformado também é um risma (ver figura 9.), com as faces lanas e erendiculares entre si, odem ser escritas as seguintes exressões: ( x) ( ) ( x) y LFx f = y( x) = y x = LFx y 3 LF3x 3 ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) u LF x u= u( x) = y( x) x= u x = LF x u L x 3 F3 3 λ 0 0 LF 0 0 f y( x) A = = = 0 λ 0 = 0 L 0 x x F 0 0 λ L F3 LF 0 0 T E= ( AA I) = 0 4LF LF3 (9..) (9..) (9..3) (9..4) onde f é a função mudança de configuração (3.7); x e y são, resectivamente, os vetores osição inicial e final (ver seção 3.); L Fi é a dimensão final do risma ao longo da direção i; u é o vetor camo de deslocamento (3.9); A é o tensor gradiente (material) de f (3.); λ i é o alongamento das fibras materiais (HOLZAPFEL, 004) na direção i; E é o tensor deformação de Green-Lagrange (3.7); e I é a matriz identidade (HOLZAPFEL, 004). Os coeficientes hierelásticos do material, fornecidos na Tabela 9., foram interolados via método dos mínimos quadrados or Pascon (008) a artir dos dados exerimentais resentes em Yeoh (997) ara um olímero estrutural. A justificativa ara escolha de um elevado módulo de comressão volumétrica ( k ) é ara reroduzir as equenas variações volumétricas

216 que ocorrem, normalmente, num material olimérico deformado. Tais variações são equenas em relação à arcela isocórica da deformação (ver equações 3. e 3.). Para os materiais hierelásticos isotróicos e incomressíveis (ver seção 5.4), a solução analítica deste roblema, em termos da relação força versus deslocamento, é dada ela seguinte exressão (RIVLIN; SAUNDERS, 95): ψ ψ F = ts0 = S0( λ λ ) + i λ i (9..) L L + u F I λ = = (9..) LI LI i =λ + λ (9..3) i = + λ λ (9..4) onde F é a força total alicada na direção longitudinal; t é a carga suerficial alicada na direção longitudinal; S 0 é a área inicial da seção transversal; λ é o alongamento longitudinal (ver equação 9..3); o escalar ψ é a energia livre de Helmholtz (ver seção 5.); i e i são os dois rimeiros invariantes (HOLZAPFEL, 004) do tensor alongamento de Cauchy-Green direito C (ver equações 3.6 e 3.7); L F e L I são, resectivamente, os comrimentos final e inicial (ver figura 9.); e u é o deslocamento longitudinal. Para os modelos hierelásticos adotados (ver equações 5., 5.3, 5.4 e 5.5), é ossível escrever as resectivas soluções analíticas ara barras sob tração uniaxial em termos de força versus deslocamento (PASCON, 008): ( ) ( ) 3 ES 0 u u u F = 3 SVK + + LI LI L I (9.3.) L + u L + u j = + LI L I i,j i I I iso iso ( F ) S ( 0 ) ( ) RS icij ( i 3) ( i 3)

217 (9.3.) L i j I iso iso ( jc ) ij ( i 3) ( i 3) LI + u i,j L + u L + u i = α + + LI L I i I I iso iso ( F ) S ( 0) ( ) ( ) HN 3 i ici0 ( i 3) (9.3.3) L I 3 iso ( ) ( ) j iso ( ) / jc 0j i 3 i LI + u j LI + u LI + u =µ LI L I ( F) ( S ) nh 0 (9.3.4) onde E é o módulo de Young do modelo de Saint Venant-Kirchhoff (5.); c ij são os coeficientes isocóricos dos modelos de Rivlin-Saunders (5.3) e de Hartmann-Neff (5.4); e µ é uma das constantes do modelo neo-hookeano (5.5). As exressões (9.3.), (9.3.3) e (9.3.4) são válidas ara materiais ouco comressíveis (ou quase incomressíveis), nos quais a arcela de deformação volumétrica ode ser desrezada e, dessa forma, odem ser utilizadas as aroximações a seguir: ( ) 3 J = det A =λλλ, i iso i e i iso i. Figura 9.. Prisma sob tração uniaxial (geometria e condições de contorno). As linhas tracejadas se referem à arte discretizada, e as linhas tracejadas e ontilhadas reresentam a osição final do risma.

218 Os resultados das simulações numéricas realizadas com o código desenvolvido neste estudo (ver seção 8.4) estão de acordo com as resectivas soluções analíticas (ver figura 9.). De acordo com a figura 9.3, na comaração das simulações com os dados exerimentais, são grandes as discreâncias ara os modelos de Saint Venant-Kirchhoff (5.) e neo-hookeano (5.5). Ademais, os resultados referentes ao gráfico força versus deslocamento corroboram os resultados numéricos de Pascon (008), o qual utilizou elementos finitos triangulares de casca com aroximação cúbica (ver figura 9.4). São ilustradas, na figura 9.5, as osições inicial e final do risma sob tração uniaxial ara o modelo de Rivlin-Saunders (5.3). Tabela 9.. Constantes hierelásticas do material ara o risma sob tração uniaxial. Lei hierelástica SVK (equação 5.) Coeficientes hierelásticos E = 0,07005 ν = 0,00 k = 000,0 n =,0 RS (equação 5.3) c0 = 0,33737 c0 = 0, c30 = 0, k = 000,0 n =,0 HN (equação 5.4) c0 = 0,93383 c0 = 0,04455 α = 0, nh (equação 5.5) k = 000,0 μ = 0,

219 9... Comressão uniaxial O risma do rimeiro exemlo numérico (ver figura 9.) foi emregado ara analisar o caso da comressão uniaxial. Neste roblema, as exressões (9.), (9.) e (9.3), válidas ara barras sob tração uniaxial, também odem ser utilizadas. Para simulação numérica do risma sob comressão uniaxial, foram utilizados os coeficientes hierelásticos resentes na tabela 9.3, e a carga suerficial de comressão avança até ( t) = 6,0. Assim como no exemlo max da tração uniaxial (ver item 9...), tais coeficientes foram interolados via método dos mínimos quadrados or PASCON (008) ara os resultados exerimentais de um olímero sob comressão resentes em YEOH (997). Figura 9.. Carga suerficial versus deslocamento longitudinal do onto A ara o risma sob tração uniaxial com os modelos: (a) Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5. e 9.3.); (b) Rivlin-Saunders (ver equações 5.3 e 9.3.); (c) Hartmann-Neff (ver equações 5.4 e 9.3.3); (d) neo-hookeano (ver equações 5.5 e 9.3.4).

220 Figura 9.3. Comaração com os dados exerimentais de Yeoh (997) ara o risma sob tração uniaxial. Figura 9.4. Comaração com os resultados numéricos de Pascon (008) ara o risma sob tração uniaxial com os modelos: (a) Saint Venant-Kirchhoff (SVK) e Rivlin-Saunders (RS); (b) Hartmann- Neff (HN) e neo-hookeano (nh).

221 Figura 9.5. Posições inicial e final do risma sob tração uniaxial com o modelo de Rivlin-Saunders (5.3). A legenda se refere aos deslocamentos longitudinais. Tabela 9.3. Constantes hierelásticas do material ara o risma sob comressão uniaxial. Lei hierelástica SVK (equação 5.) Coeficientes hierelásticos E =,8947 ν = 0,00 k = 000,0 n =,0 RS (equação 5.3) c0 = 0,37057 c0 = -0, c30 = -0,00544 k = 000,0 n =,0 HN (equação 5.4) c0 = 0, c0 = -0, α = -0, nh (equação 5.5) k = 000,0 μ = 0,

222 Assim como no rimeiro exemlo, os resultados das simulações, em termos do gráfico força versus deslocamento, estão de acordo com as soluções analíticas (9.3) (ver figura 9.6), com os dados exerimentais de Yeoh (997) (ver figura 9.7), e com os resultados numéricos de Pascon (008) (ver figura 9.8). Pode-se notar, nos gráficos das figuras 9.6, 9.7 e 9.8, que o modelo hierelástico linear de Saint Venant-Kirchhoff (5.) é o único incaaz de imedir o aniquilamento e a inversão do material, os quais ocorrem, resectivamente, quando u ( A ) =, 0 (comrimento final LF = 0,0 ) e ( ) u A <, 0 (comrimento final LF < 0,0 ). Por essa razão, não é conveniente emregar tal modelo em casos de elevados níveis de comressão. São ilustradas, na figura 9.9, as osições inicial e final do risma sob comressão uniaxial ara o modelo de Rivlin-Saunders (5.3). Figura 9.6. Carga suerficial alicada ( u A ) ara o risma sob comressão uniaxial com os modelos: (a) Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5. e 9.3.); (b) Rivlin-Saunders (ver equações 5.3 e 9.3.); (c) Hartmann-Neff (ver equações 5.4 e 9.3.3); (d) neo-hookeano (ver equações 5.5 e 9.3.4). t ) versus deslocamento longitudinal do onto A ( ( )

223 Figura 9.7. Carga suerficial alicada ( u A ) t ) versus deslocamento longitudinal do onto A ( ( ) ara o risma sob comressão uniaxial: comaração com os dados exerimentais de Yeoh (997) ara os diversos modelos utilizados. Figura 9.8. Carga suerficial alicada ( u A ) t ) versus deslocamento longitudinal do onto A ( ( ) ara o risma sob comressão uniaxial: comaração com os resultados numéricos de Pascon (008) com os modelos de Rivlin-Saunders (RS), Hartmann-Neff (HN) e neo-hookeano (nh).

224 Figura 9.9. Posições inicial e final do risma sob comressão uniaxial com o modelo de Rivlin- Saunders (5.3). A legenda se refere aos deslocamentos longitudinais Cisalhamento simles O terceiro exemlo numérico é o risma homogêneo sob cisalhamento simles ilustrado na figura 9.0. Para este roblema, assumindo que o cisalhamento ocorre no lano definido elos eixos x e x, as seguintes exressões odem ser escritas (ver figura 9.0): ( x) ( ) ( x) y x+ x tan θ f = y( x) = y x = x y 3 x 3 ( x) ( ) ( x) u x tan θ u= u( x) = y( x) x= u x = 0 u 3 0 (9.4.) (9.4.)

225 tan θ 0 γ 0 f y( x) A = = = 0 0 = 0 0 x x γ 0 T E= ( AA I) = 0 γ γ (9.4.3) (9.4.4) onde θ é o ângulo de cisalhamento ilustrado na figura 9.0; e γ é a quantidade de cisalhamento (PASCON, 008), ou amount of shear (HOLZAPFEL, 004). A solução analítica deste roblema ara materiais hierelásticos isotróicos e incomressíveis (ver seção 5.4), obtida or Rivlin (956), é dada ela seguinte exressão: ψ ψ F = ts 0 = γ + i i (9.5.) ( ) u 5 γ= tan θ= (9.5.) 5 onde F é a força cisalhante alicada na direção do eixo x ; t é a carga suerficial cisalhante uniformemente alicada na face cuja área inicial é 0 S (ver figura 9.0); e u ( ) 5 é o deslocamento ao longo de x da face com coordenada x = 5,0. Para o modelo de Rivlin- Saunders (ver equação 5.3 e figura 9.0), a referida solução analítica resulta em: ( ) ( ) ( ) F = ts0 = γ S0 c0 + 0ci 3 + 3c30 i 3 (9.6.) i 3 = +γ (9.6.)

226 Figura 9.0. Prisma sob cisalhamento simles (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). As linhas tracejadas e ontilhadas reresentam a osição final do risma. Em relação ao gráfico carga suerficial versus o escalar γ (ver equação 9.4.3), os resultados das simulações numéricas corroboram a solução analítica (9.6), os dados exerimentais de Yeoh (990) e os resultados numéricos de Pascon (008) (ver figura 9.). Os referidos dados exerimentais foram obtidos a artir de um olímero estrutural reenchido com negro de carbono, e os valores numéricos de Pascon (008) foram obtidos com elementos finitos de casca de ordem cúbica. Os deslocamentos ao longo de x no último asso de carga são ilustrados na figura 9..

227 Figura 9.. Carga suerficial cisalhante t versus quantidade de cisalhamento γ (ver figura 9.0 e equação 9.5.): comaração com a solução analítica (9.6), os dados exerimentais de Yeoh (990) e os resultados numéricos de Pascon (008). Figura 9.. Posições inicial e final do risma sob cisalhamento simles. A legenda se refere aos deslocamentos ao longo do eixo x.

228 9... Obtenção do número necessário de ontos de integração Para determinação numérica das integrais (8.), referentes ao cálculo do vetor de forças internas (4.9.) e da matriz Hessiana (4..), é necessário definir o esquema de integração numérica, isto é, é reciso definir o número ( nin ), a localização ( ξ ) e os esos ( w ) dos ontos de integração numérica. Conforme exlicado na seção 8.3 desta tese, ara o elemento finito sólido hexaédrico (ver seção 3.), otou-se ela quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005), e ara o tetraedro (ver seção 3.), foram escolhidas duas estratégias: a técnica de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007), e as quadraturas Gaussianas de Jinyun (984) e de Keast (986). Sabe-se que, quanto maior o número de ontos de integração, maior é o temo necessário ara determinar numericamente as integrais. Porém, esera-se que, com o aumento do número de ontos, a recisão do resultado, em relação ao valor exato da integral, seja maior. Como são emregadas, neste estudo, várias ordens de aroximação olinomial (ver seção 3.), foi necessário determinar, ara o tetraedro e ara o hexaedro, o número de ontos de integração numérica (or elemento finito) ara cada grau de aroximação. Para isso, várias ordens de aroximação (de um a cinco) foram utilizadas ara simular numericamente a viga em balanço mostrada na figura 9.3. Para discretizar a viga, foram utilizadas duas malhas de elementos: uma com seis tetraedros, e outra com um hexaedro. Devido à simetria em relação ao eixo x3 = 0,0, aenas uma metade da viga é discretizada (ver figura 9.3). Para cada tio de elemento finito, ara cada ordem de aroximação e ara cada uma das duas leis constitutivas utilizadas (ver figura 9.3), foram emregadas várias quadraturas de integração numérica ara simulação estrutural. Em todos os casos, o número de ontos de integração aumentou até que houvesse convergência de resultados (ver tabelas 9.4 a 9.5 ara material homogêneo, e tabelas 9.6 a 9.7 ara material heterogêneo). Nas tabelas 9.4 a 9.7, o símbolo X indica que não houve convergência da norma (8.). Com os resultados das simulações, definiu-se a quadratura de integração numérica ara cada ordem de aroximação dos elementos tetraédrico e hexaédrico, e ara cada uma das leis constitutivas (ver tabelas 9.8 a 9.3). Para essa definição, foi utilizada a tolerância de % ara o seguinte erro:

229 e IN ( res res ) = (9.7) res onde res e res são os resultados fornecidos or duas quadraturas de integração consecutivas, sendo o número de ontos da segunda maior que o da rimeira. Tais resultados são comarados ara a mesma estratégia de integração. Figura 9.3. Viga em balanço utilizada ara determinação do número de ontos de integração or elemento finito. As linhas ontilhadas reresentam a arte discretizada da viga. Para o caso com gradação funcional (GF), os limites ( ) e ( ) corresondem aos valores das constantes hierelásticas em x3 = 0,50 e x3 = 0,0, resectivamente. Tabela 9.4. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X 8.99 X 8.60

230 Tabela 9.5. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X -7.5 X -7.8 Tabela 9.6. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X Tabela 9.7. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X

231 4 X X X X X Tabela 9.8. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material homogêneo, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.9. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material homogêneo, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X

232 Tabela 9.0. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X X X -.38 X X Tabela 9.. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X

233 3 X X X X X X X Tabela 9.3. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), material homogêneo, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X Tabela 9.4. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), material homogêneo, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X X X X

234 Tabela 9.5. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), material homogêneo, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.6. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), material com gradação funcional (MGF), elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X 8.54 X 8.36 Tabela 9.7. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X

235 4 X X X X X X X X X -6.9 X Tabela 9.8. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X Tabela 9.9. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X

236 Tabela 9.0. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), MGF, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X.5.8 X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica linear (5.), MGF, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X

237 3 X X X X X X X X X X X X X X.7469 X.775 Tabela 9.3. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e quadratura Gaussiana (anexo B). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.4. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X

238 Tabela 9.5. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), MGF, elemento finito sólido tetraédrico e estratégia de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X Tabela 9.6. Deslocamentos transversais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), MGF, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X X X X X X X X X X X X X X X X Tabela 9.7. Deslocamentos longitudinais ( u ) do onto A da viga em balanço (figura 9.3): lei hierelástica não linear (5.3), MGF, elemento finito sólido hexaédrico e quadratura tridimensional de Gauss-Legendre (ver equações 8. e anexo A). Ordem de aroximação Número de ontos de integração (or elemento) X X X

239 3 X X X X X X X X X X X X X X X As quadraturas de integração numérica fornecidas nas tabelas 9.30 e 9.3, ara lei hierelástica de Rivlin-Saunders (5.3), também foram adotadas ara as outras leis hierelásticas não lineares (5.4) e (5.5). As quadraturas das tabelas 9.9 e 9.3, válidas ara material heterogêneo com GF definida ela lei de otência (ver equações 7. e 7.4), também foram adotadas ara materiais heterogêneos cuja variação dos coeficientes hierelásticos é definida elas outras leis de GF (7.5), (7.6), (7.7) e (7.8). Tabela 9.8. Quadratura de integração numérica adotada ara os elementos finitos sólidos tetraédrico e hexaédrico (lei hierelástica linear 5. e material homogêneo). Elemento finito Ordem de aroximação Estratégia de integração Número de ontos Gauss Gauss Tetraedro 3 Gauss 5 4 Gauss 4 5 Gauss 45 Gauss-Legendre 3D 8 Gauss-Legendre 3D 64 Hexaedro 3 Gauss-Legendre 3D 5 4 Gauss-Legendre 3D 5 5 Gauss-Legendre 3D 56

240 Tabela 9.9. Quadratura de integração numérica adotada ara os elementos finitos sólidos tetraédrico e hexaédrico (lei hierelástica linear 5. e MGF). Elemento finito Ordem de aroximação Estratégia de integração Número de ontos Gauss 4 Gauss Tetraedro 3 Gauss 5 4 Gauss 4 5 Gauss 45 Gauss-Legendre 3D 8 Gauss-Legendre 3D 64 Hexaedro 3 Gauss-Legendre 3D 5 4 Gauss-Legendre 3D 5 5 Gauss-Legendre 3D 56 Tabela Quadratura de integração numérica adotada ara os elementos finitos sólidos tetraédrico e hexaédrico (lei hierelástica não linear 5.3 e material homogêneo). Elemento finito Ordem de aroximação Estratégia de integração Número de ontos Gauss Gauss Tetraedro 3 Gauss 4 4 Gauss 4 5 Gauss 45 Gauss-Legendre 3D 8 Hexaedro Gauss-Legendre 3D 64 3 Gauss-Legendre 3D 5 4 Gauss-Legendre 3D 5

241 5 Gauss-Legendre 3D 56 Tabela 9.3. Quadratura de integração numérica adotada ara os elementos finitos sólidos tetraédrico e hexaédrico (lei hierelástica não linear 5.3 e MGF). Elemento finito Ordem de aroximação Estratégia de integração Número de ontos Gauss 4 Gauss Tetraedro 3 Gauss 5 4 Gauss 4 5 Gauss 45 Gauss-Legendre 3D 8 Gauss-Legendre 3D 64 Hexaedro 3 Gauss-Legendre 3D 5 4 Gauss-Legendre 3D 5 5 Gauss-Legendre 3D 56 De acordo com esta seção, ode-se notar que a integração numérica adotada no resente estudo é a integração comleta (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005). Conforme mencionado anteriormente (ver seção.5), não foram adotadas aqui as seguintes técnicas: integração seletiva e reduzida (MALKUS; HUGHES, 978a; MALKUS; HUGHES, 978b), enriquecimento em deformação (SIMO; RIFAI, 990; SIMO; ARMERO, 99), método da deformação natural assumida (BATHE; DVORKIN, 985; HUANG; HINTON, 986), e técnicas de estabilização dos modos esúrios de energia, chamados de hourglass modes (KOSLOFF; FRAZIER, 978; BELYTSCHKO et al., 984; REESE, 007).

242 9..3. Comaração do tio de refinamento da malha Em relação à discretização, ou à malha de elementos finitos adotada (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005), existem basicamente três tios de refinamento (KUO; CLEGHORN; BEHDINAN; FENTON, 006): o hierárquico ( h-refinement ), o olinomial ( refinement ), e o de redistribuição ( r-refinement ). Com o refinamento hierárquico, o número de elementos finitos aumenta e, conseqüentemente, o tamanho desses elementos diminui, o que enriquece a aroximação do meio contínuo discretizado. Já com o refinamento olinomial, a recisão da aroximação numérica aumenta com uso de elementos finitos com ordens mais elevadas, isto é, elementos cujas funções de forma ossuem graus de aroximação olinomial mais elevados (ver seção 3.). Por fim, o refinamento r diz reseito à redistribuição da malha de elementos, ou seja, a ordem de aroximação e o número de elementos são mantidos constantes, mas o tamanho e a osição desses elementos são alterados de forma a enriquecer a aroximação numérica nas regiões onde os camos de deformação e de tensão são mais comlexos. De acordo com Kuo, Cleghorn, Behdinan e Fenton (006), de maneira geral, o refinamento fornece taxas de convergência maiores do que o refinamento h, isto é, a recisão dos resultados aumenta com uma taxa maior quando o número de elementos é mantido constante e a ordem de aroximação aumenta, ao invés de se manter o grau de aroximação e aumentar o número de elementos. É afirmado também no referido artigo que o refinamento r, normalmente, é emregado ara minimizar algum erro, ou norma, de forma a obter a divisão ótima da malha de elementos, ou a discretização mais eficiente em relação à recisão dos resultados. Para verificar a influência do refinamento de redistribuição, a viga da figura 9.3 foi simulada numericamente com vários graus de aroximação olinomial (de um a três), com o mesmo número de elementos finitos sólidos, e com diferentes divisões da malha (ver figura 9.4). As quantidades resultantes de elementos finitos são dezoito ara o tetraedro, e três ara o hexaedro. A única relação constitutiva adotada é a lei hierelástica linear de Saint Venant- Kirchhoff (5.), e o material é homogêneo (sem GF).

243 Figura 9.4. Malhas ara verificação do refinamento r da viga em balanço (ver figura 9.3). Estas malhas são as malhas base utilizadas ara gerar as discretizações com o gerador de malhas do Aêndice F desta tese. Em relação a simulações numéricas com elementos finitos, embora existam vários tios de travamento (BELYTSCHKO; LIU; MORAN, 000), neste estudo define-se travamento de uma forma geral: ocorre travamento, ou a malha de elementos trava, quando a discretização não é suficientemente adequada, em termos de refinamento, ara reroduzir o comortamento de uma estrutura, or exemlo. Nesse caso, há uma rigidez excessiva da estrutura, o que leva a menores deslocamentos nos roblemas com forças rescritas, e a maiores forças nos roblemas com deslocamentos rescritos (ou recalques). Tal rigidez excessiva ode ser devida à baixa quantidade de graus de liberdade (refinamentos h e ruins), ou à falta de um enriquecimento maior da aroximação numérica nas regiões onde os camos de deformação e tensão são mais comlexos (refinamento r ruim). Assim, de modo geral, ara um determinado carregamento, quanto maiores os deslocamentos ocorridos, menor é o travamento e, com isso, mais recisa e mais confiável é a análise. Para ambos os elementos finitos (tetraédrico e hexaédrico), a viga discretizada com a malha 4 (ver figura 9.4) é a que fornece os maiores deslocamentos e, ortanto, é a que trava menos (ver tabelas 9.3 e 9.33). Para os dois tios de elementos sólidos utilizados, como as quantidades de elementos finitos e de nós são as mesmas ara todas as seis malhas, considerando as discretizações utilizadas nas simulações, a malha 4 é a mais eficiente em relação à recisão dos deslocamentos verticais

244 finais do onto A (ver figura 9.3, e tabelas 9.3 e 9.33). Pode-se dizer que isso era eserado, já que a malha 4 é a que ossui um enriquecimento maior da aroximação numérica, ao longo da direção longitudinal, nas duas regiões extremas (uma róxima ao engaste, e outra róxima à carga). Isso orque vigas em flexão aresentam, de modo geral, um camo de deslocamentos que é mais comlexo nas referidas regiões, e mais comlexo na direção longitudinal do que ao longo da seção transversal, mesmo em regime de grandes deslocamentos (PAI; PALAZOTTO, 996). Essa idéia de se refinar a malha de elementos nas regiões em que são eserados camos de deformação e tensão mais comlexos é utilizada ao longo das simulações numéricas dos róximos roblemas estruturais deste caítulo. Dessa forma, define-se uma malha base a ser utilizada no gerador de malhas (ver Aêndice F) com uma concentração maior de elementos nas regiões mais críticas, e aumentam-se o número de elementos (refinamento h) e a ordem de aroximação olinomial (refinamento ) até que haja convergência dos resultados. Outro asecto que ode ser observado nas tabelas 9.3 e 9.33 é que, ara ambos os elementos sólidos e ara cada malha, o aumento da ordem de aroximação melhora a recisão do deslocamento vertical final do onto A. Tabela 9.3. Deslocamentos verticais finais do onto A da viga em balanço (ver figura 9.3) com as diversas malhas utilizadas (ver figura 9.4), ara o elemento sólido tetraédrico. Ordem de aroximação Malha

245 Tabela Deslocamentos verticais finais do onto A da viga em balanço (ver figura 9.3) com as diversas malhas utilizadas (ver figura 9.4), ara o elemento sólido hexaédrico. Ordem de aroximação Malha Comaração do temo de rocessamento ara os elementos sólidos Além do tio de refinamento da malha (seção 9..3), foi comarado também o temo de rocessamento das simulações numéricas do roblema estrutural da figura 9.3 com os elementos sólidos tetraédrico e hexaédrico. A malha base utilizada no gerador de malhas (ver Aêndice F) é a malha 4 da figura 9.4. O grau de aroximação olinomial usado varia de um a cinco. O modelo constitutivo adotado é a lei linear de Saint Venant-Kirchhoff (5.) ara material homogêneo. O número de ontos de integração é dado na tabela 9.8. Neste caso, as simulações foram realizadas com o código sequencial (ver item 8.4). Com exceção da aroximação linear, o temo de rocessamento é maior ara simular a viga com a malha de hexaedros (ver tabela 9.34). Ademais, quanto maior a ordem de aroximação, maior é a diferença entre os temos de rocessamento. Por essas razões, aesar de os deslocamentos finais das malhas de hexaedros terem sido um ouco maiores do que os das malhas de tetraedros, foi dada maior ênfase, ao longo deste estudo, ao elemento finito sólido tetraédrico.

246 9..5. Tração uniaxial de risma com GF Para ilustrar a influência da GF (ver caítulo 7), o risma do rimeiro exemlo numérico (ver item 9... e figura 9.) é analisado novamente, mas neste caso modelado com a lei hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff com GF na direção do eixo x. Três leis de GF são adotadas: otência (7.4), sigmoidal (7.5) e senoidal (7.7). Os coeficientes do material são dados na tabela A malha de elementos ossui seis sólidos tetraédricos de ordem quadrática (ver item 3.), e a integração numérica (ver equações 8.) é realizada com ontos (or elemento) em todos os casos. Tabela Comaração entre as simulações numéricas da viga em balanço (figura 9.3) com os elementos finitos sólidos. Ordem de aroximação Elemento u u Número total de iterações Temo de rocessamento (s) Tetraedro Hexaedro Tetraedro Hexaedro Tetraedro Hexaedro Tetraedro Hexaedro Tetraedro Hexaedro

247 Tabela Coeficientes do material ara o risma (da figura 9.) com GF. Os limites E e E corresondem aos valores do módulo de Young (ver equações 5. e 7.9) em x = 0,50 e x = 0,0, resectivamente. Lei hierelástica com GF SVK (equações 7.9) Coeficientes hierelásticos E = 0,07005 E = 0, ν = 0,00 Com relação ao gráfico força alicada versus deslocamento longitudinal, o aumento do coeficiente de GF (ver equação 7.4) leva a um enrijecimento do risma, ou seja, quanto maior, menores são os deslocamentos longitudinais (ver figura 9.5a). Tal fenômeno era eserado, já que o aumento do referido coeficiente faz com que a fração volumétrica do material mais rígido ( E = 0, ) seja maior do que a fração volumétrica do material menos rígido ( E = 0,07005 ), o que ode ser notado nas exressões (7.) e (7.4). O mesmo adrão da resosta do risma com GF de otência (7.4) é obtido ara os rismas com GF sigmoidal (7.5) e senoidal (7.7), isto é, quanto maiores os coeficientes de GF s e sn, maior é a rigidez do material e, ortanto, menores são os deslocamentos longitudinais (ver figuras 9.6a e 9.7a). Com relação aos deslocamentos transversais do onto A ara os rismas homogêneos, o mais rígido ( E= E ou ) aresenta maiores deslocamentos transversais (ver figuras 9.5b, 9.6b e 9.7b). Ao contrário dos deslocamentos longitudinais, os deslocamentos transversais do onto A, ara os rismas com GF, não se situam entre os referidos deslocamentos ara os rismas homogêneos. Ademais, aenas ara a GF sigmoidal (7.5), existe um adrão: quanto maior o coeficiente de GF ( s ), maiores os deslocamentos transversais do onto A (ver figuras 9.5b, 9.6b e 9.7b). Em relação à distribuição final de tensão longitudinal, ela arece seguir a variação do módulo de Young ( my ), definida ela lei de GF adotada (ver figura 9.8). Por fim, a deformação longitudinal final é uniforme ara os rismas homogêneos, e linearmente variável ao longo do eixo x ara os rismas com GF (ver figura 9.9).

248 Figura 9.5. Força alicada versus deslocamento do onto A do risma da figura 9. com GF definida ela lei de otência (7.4): (a) deslocamento longitudinal u ; (b) deslocamento transversal u. O coeficiente é o coeficiente de GF da lei de otência (7.4). Figura 9.6. Força alicada versus deslocamento do onto A do risma da figura 9. com GF definida ela lei sigmoidal (7.5): (a) deslocamento longitudinal u ; (b) deslocamento transversal u. O coeficiente s é o coeficiente de GF da lei sigmoidal (7.5).

249 Figura 9.7. Força alicada versus deslocamento do onto A do risma da figura 9. com GF definida ela lei senoidal (7.7): (a) deslocamento longitudinal u ; (b) deslocamento transversal u. O coeficiente sn é o coeficiente de GF da lei senoidal (7.7).

250 Figura 9.8. Distribuições finais da tensão longitudinal de Cauchy σ (ver equações 4. e 4.) ao longo do segmento de reta x = x3 = 0,0 e 0, 0 x 0,5 do risma da figura 9.: (a) lei de otência (7.4); (b) lei sigmoidal (7.5); (c) lei senoidal (7.7) Vigas e órticos lanos Nesta seção são aresentados os rinciais resultados obtidos com as simulações numéricas de vigas e órticos lanos em regime de grandes deslocamentos. Devido ao fato de haver, em tais casos, redomínio da flexão com equenas deformações, a lei constitutiva emregada é a lei hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff, exressa em (5.) ara

251 materiais homogêneos, e em (7.9) ara MGFs (ver item 7.). Para simulação comutacional destes e dos róximos exemlos, o número adotado de ontos de integração numérica (ver equações 8.) é o obtido na seção 9.. (ver tabelas 9.8 e 9.9). Figura 9.9. Distribuições finais da deformação longitudinal de Green-Lagrange E (ver equação 3.7) ao longo do segmento de reta x = x3 = 0,0 e 0, 0 x 0,5 do risma da figura 9.: (a) lei de otência (7.4); (b) lei sigmoidal (7.5); (c) lei senoidal (7.7).

252 Viga rismática em balanço A rimeira viga analisada neste estudo é a barra rismática em balanço mostrada na figura 9.0. Como a viga é simétrica em relação ao lano x = 0,0, aenas uma metade da viga é discretizada. Com a ideia de se refinar a malha de elementos nas regiões mais críticas (ver item 9..3), foi definida a malha base com três elementos hexaédricos (ver Aêndice F) na roorção :8:, conforme ilustrado na figura 9.0. Como são adotados cinco valores ara o coeficiente de GF (ver figura 9.0), ode-se dizer que são adotadas cinco leis constitutivas ara esta viga, sendo que 0,0 e corresondem, resectivamente, aos dois materiais homogêneos, o mais flexível ( E = 00,0 ) e o mais rígido ( E = 000,0 ). Figura 9.0. Viga rismática em balanço (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). As linhas tracejadas reresentam a arte discretizada e a geometria da malha base. A rimeira tarefa realizada, ara este exemlo numérico, foi encontrar a melhor roorção dos números de divisões das arestas da malha base (ver figura 9.0). O número mínimo de tetraedros, neste caso, é 8 (ver figura F8). Para cada quantidade de elementos finitos tetraédricos, a viga da figura 9.0 foi simulada numericamente com todas as ossíveis

253 roorções de números de divisões das arestas da malha base. O número de tetraedros, que começou em 8, foi dobrando até 88, e o grau de aroximação olinomial (ver seção 3.) é o linear. Para simular esta viga, foram utilizados 00 assos de carga. Os resultados indicam que a melhor roorção do esquema de divisão da malha base, ara os materiais homogêneo e com GF, é aquela em que a divisão na direção longitudinal da viga (ver figura 9.0) é a maior ossível (ver tabelas 9.36 e 9.37). Tal esquema de divisão também foi adotado ara as malhas de elementos de ordem suerior. Tabela Comaração do esquema de divisão das arestas da malha base da viga rismática em balanço (figura 9.0), ara material homogêneo ( E = 00,0 ). NEL NN ND ND ND3 u 3 u

254 NEL = número de elementos finitos tetraédricos. NN = número de nós. ND, ND, ND3 = números de divisões das arestas da malha base nas direções x, x e x3 (figura 9.5). u 3, u = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x (figura 9.5). Tabela Comaração do esquema de divisão das arestas da malha base da viga rismática em balanço (figura 9.0), ara material com GF de otência (7.4) com os valores E = 00, 0, E = 000, 0 e = 0, 5. NEL NN ND ND ND3 u 3 u

255

256 NEL = número de elementos finitos tetraédricos. NN = número de nós. ND, ND, ND3 = números de divisões das arestas da malha base nas direções x, x e x3 (figura 9.5). u 3, u = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x (figura 9.5). Com o esquema de divisão das arestas da malha base escolhido (ver arágrafo anterior), a viga da figura 9.0 foi simulada numericamente com diferentes graus de aroximação olinomial e quantidades de elementos finitos sólidos tetraédricos. São ilustradas, na figura 9., as malhas com 8 tetraedros emregadas, em que o grau de aroximação varia de um a cinco. Para as cinco leis constitutivas emregadas, o número de elementos tetraédricos aumentou até que houvesse convergência dos deslocamentos finais do onto A (ver figura 9.0). Para este exemlo, adotou-se a hiótese de que ocorre convergência quando o erro (9.7) é menor do que %, sendo que neste caso res e res são, resectivamente, os valores dos deslocamentos ara duas malhas de elementos consecutivas do mesmo grau de aroximação. A análise de convergência, em relação aos deslocamentos finais do onto A, ara cada um dos cinco valores do coeficiente de otência (ver figura 9.0) é dada nas tabelas Pode-se notar, em tais tabelas, que o aumento da ordem de aroximação e/ou do número de elementos finitos conduz a maiores deslocamentos finais do onto A e, assim, a um menor travamento da malha, ara as vigas homogêneas e com GF. Para as vigas homogêneas ( E = 00,0 e E = 000,0 ), os resultados obtidos aqui foram comarados com a solução analítica de Pai e Palazotto (996), os quais utilizaram uma formulação tridimensional ara vigas homogêneas elásticas nas seguintes condições: regime de grandes deslocamentos, mudança de comrimento e ossível curvatura inicial do eixo central, e ossibilidade de ocorrência de emenamentos da seção transversal. Além dessa, existem outras referências analíticas ara esta viga como, or exemlo, Sinclair (979), Mattiasson (98), Chen (00) e Mutyalarao, Bharathi e Rao (00). Para as malhas com 8 e com 36 tetraedros, os deslocamentos do onto A convergem, com aumento da ordem de aroximação, ara a solução analítica da referência (ver figuras 9. e 9.3).

257 Figura 9.. Malhas com 8 elementos finitos sólidos tetraédricos (sem escala) ara simulação da viga rismática em balanço (ver figura 9.0). As osições inicial e final da malha de elementos mais refinada, ara a viga homogênea mais flexível ( E = 00, 0 ), são ilustradas na figura 9.4. Para as malhas com 36 elementos tetraédricos, material homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ) e grau de aroximação variável, são mostradas, na figura 9.5, distribuições de deformações e tensões no final do último asso de carga ao longo do segmento de reta x = 0,0, x = 0,50 e 0,0 x3,0. Para as malhas com 36 tetraedros do quinto grau e coeficiente de GF variável, são mostradas, na figura 9.6, distribuições de deformações e tensões ao longo do referido segmento de reta.

258 Tabela Análise de convergência dos deslocamentos finais do onto A da viga em balanço com coeficiente de GF 0,0 ( E = 00,0 ). GAP NN NE NPIN u 3 (A) u (A)

259 Pai e Palazotto (996) GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u 3 (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x. Tabela Análise de convergência dos deslocamentos finais do onto A da viga em balanço com coeficiente de GF = 0, 5. GAP NN NE NPIN u 3 (A) u (A)

260 GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u 3 (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x. Tabela Análise de convergência dos deslocamentos finais do onto A da viga em balanço com coeficiente de GF =, 0. GAP NN NE NPIN u 3 (A) u (A)

261 GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u 3 (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x. Tabela 9.4. Análise de convergência dos deslocamentos finais do onto A da viga em balanço com coeficiente de GF = 4,0. GAP NN NE NPIN u 3 (A) u (A)

262 GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u 3 (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x.

263 Tabela 9.4. Análise de convergência dos deslocamentos finais do onto A da viga em balanço com coeficiente de GF ( E = 000,0 ). GAP NN NE NPIN u 3 (A) u (A)

264 Pai e Palazotto (996) GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u 3 (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x. Figura 9.. Gráfico força alicada versus deslocamentos do onto A ara a viga homogênea mais flexível ( E = 00,0 ): (a) deslocamentos transversais; (b) deslocamentos longitudinais. A legenda se refere à ordem de aroximação dos elementos. Estes resultados foram obtidos a artir de malhas com 8 elementos finitos sólidos tetraédricos.

265 Figura 9.3. Gráfico força alicada versus deslocamentos do onto A ara a viga homogênea mais flexível ( E = 00,0 ): (a) deslocamentos transversais; (b) deslocamentos longitudinais. A legenda se refere à ordem de aroximação dos elementos. Estes resultados foram obtidos a artir de malhas com 36 elementos finitos sólidos tetraédricos. Figura 9.4. Configurações inicial e final da viga rismática em balanço mais refinada (6 nós e 36 tetraedros do quinto grau). A legenda de valores se refere aos deslocamentos verticais finais.

266 Figura 9.5. Distribuições finais de deformações de Green-Lagrange (ver equação 3.7) e tensões reais de Cauchy (ver equações 4. e 4.) ao longo do segmento de reta x = 0,0, x = 0,0 e 0,0 x3,0 ara a viga rismática em balanço: (a) deformação normal E ; (b) tensão normal σ. O número de elementos tetraédricos é 36, o grau de aroximação é variável e o material é o homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ). Figura 9.6. Distribuições finais de deformações de Green-Lagrange (ver equação 3.7) e tensões reais de Cauchy (ver equações 4. e 4.) ao longo do segmento de reta x = 0,0, x = 0,0 e 0,0 x3,0 ara a viga rismática em balanço: (a) deformação normal E ; (b) tensão normal σ. O número de elementos tetraédricos é 36, o grau de aroximação é constante e igual a cinco, e o coeficiente de GF (ver equações 7.4 e 7.9) é variável.

267 Pórtico diamante O roblema estrutural analisado aqui é o órtico em forma de diamante ilustrado na figura 9.7. Este exemlo numérico foi estudado or Jenkins, Seitz e Przemieniecki (966) e or Mattiasson (98). Em ambas as referências, são assumidas as seguintes hióteses: material homogêneo elástico; equilíbrio de forças na osição final (deformada); deformações cisalhantes desrezíveis; eixo central inextensível; e solução analítica encontrada a artir da determinação de integrais elíticas (BABUSCI; DATTOLI, 0). A única diferença entre os referidos estudos é que a solução dada or Jenkins, Seitz e Przemieniecki (966) ara este órtico é dada na forma de gráfico força versus deslocamento, e a solução de Mattiasson (98) é fornecida em forma tabular, o que facilita a obtenção dos valores ara osterior comaração de resultados. Com relação às malhas de elementos finitos, são emregados 60 sólidos tetraédricos com grau de aroximação variável. Como este roblema estrutural é similar ao anterior (ver item 9..6.), o refinamento da malha é realizado ao longo da direção longitudinal e nas regiões críticas (róximas às extremidades). Devido à simetria em relação aos eixos x = 0,0, x = 0,0 e x3 = 0,0 (ver figura 9.7), aenas um oitavo do órtico é analisado. Assim como nas referências, são analisados dois casos: com forças de tração, e com forças de comressão.

268 Figura 9.7. Pórtico em forma de diamante (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). As letras w e u reresentam, nesta ordem, o deslocamento de A (ou de C) na direção x, e o deslocamento de B (ou D) na direção x. Assim como no exemlo anterior, o aumento da ordem de aroximação melhora a recisão dos resultados em termos dos deslocamentos finais (ver figuras 9.8 a 9.3). Para a malha de elementos tetraédricos do quinto grau, a influência do coeficiente de GF s (ver equações 7.5 e 7.9) no gráfico força versus deslocamento é ilustrada na figura 9.3. Por fim, a figura 9.33 mostra as osições inicial e final da malha do quinto grau, com material homogêneo ( E = 00, 0 ).

269 Figura 9.8. Deslocamentos do órtico diamante homogêneo mais flexível (s 0,0 ou E = 00,0 ) ara as malhas com 60 sólidos tetraédricos. Na legenda, os símbolos w e u são os deslocamentos finais mostrados na figura 9.7, e os símbolos [T], [C] e (Ref) denotam, resectivamente, os casos de tração e de comressão, e a solução da referência Mattiasson (98). Figura 9.9. Deslocamentos do órtico diamante com GF ( s= 3) ara as malhas com 60 sólidos tetraédricos. Na legenda, os símbolos w e u são os deslocamentos finais mostrados na figura 9.7, e os símbolos [T] e [C] denotam, resectivamente, os casos de tração e de comressão.

270 Figura Deslocamentos do órtico diamante com GF ( s = 3, 0 ) ara as malhas com 60 sólidos tetraédricos. Na legenda, os símbolos w e u são os deslocamentos finais mostrados na figura 9.7, e os símbolos [T] e [C] denotam, resectivamente, os casos de tração e de comressão. Figura 9.3. Deslocamentos do órtico diamante homogêneo mais rígido (s ou E = 000,0 ) ara as malhas com 60 sólidos tetraédricos. Na legenda, os símbolos w e u são os deslocamentos finais mostrados na figura 9.7, e os símbolos [T] e [C] denotam, resectivamente, os casos de tração e de comressão.

271 Figura 9.3. Força versus deslocamento do órtico diamante, com a malha de 60 tetraedros do quinto grau e 836 nós, e com diferentes coeficientes de GF s (ver equações 7.5 e 7.9): (a) deslocamentos ao longo de x na tração; (b) deslocamentos ao longo de x na tração; (c) deslocamentos ao longo de x na comressão; (d) deslocamentos ao longo de x na comressão Pórtico quadrado Outro roblema estrutural analisado em Mattiasson (98) é o órtico quadrado mostrado na figura Assim como nos dois exemlos anteriores, o refinamento da malha de elementos é feito ao longo da direção longitudinal e nas regiões críticas (róximas às extremidades). São utilizados, neste caso, 66 elementos finitos sólidos tetraédricos com grau

272 de aroximação variável (ver item 3.). Devido à simetria em relação aos eixos x = 0,0, x = 0,0 e x3 = 0,0, aenas um oitavo do órtico é discretizado. Assim como no exemlo anterior, dois casos são analisados aqui e na referência: forças de tração e de comressão. Figura Configurações inicial e final do órtico diamante homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ) discretizado com 836 nós e 60 elementos finitos sólidos tetraédricos do quinto grau: (a) tração; (b) comressão. A legenda se refere aos deslocamentos na direção x. Figura Pórtico quadrado (geometria, condições de contorno e lei constitutiva).

273 Para as malhas com 66 tetraedros, o aumento da ordem de aroximação olinomial dos elementos melhora a recisão dos deslocamentos dos ontos A e B (ver figura 9.35), e os resultados das malhas de alta ordem corroboram os resultados de Mattiasson (98) ara o caso homogêneo mais flexível ( E = 00, 0 ). A influência da lei de GF exonencial (7.6) no comortamento do órtico ode ser observada na figura Figura Gráficos força versus deslocamento ara o órtico quadrado da figura 9.34 discretizado com 66 elementos sólidos tetraédricos: (a) caso homogêneo mais flexível E = 00,0 ; (b) caso com GF exonencial (7.6); (c) caso homogêneo mais rígido ( E = 000,0 ).

274 Viga semicircular em balanço O quarto roblema lano é a viga semicircular em balanço ilustrada na figura A justificativa ara escolha deste exemlo é a verificação de ossível travamento (ver item 9..3) em elementos que aresentam curvatura em um lano (neste caso, no lano x,x ). De acordo com a referência Pai e Palazotto (996), este exemlo é similar à flexão cilíndrica de uma laca (ou de uma casca). Com a simetria em relação ao eixo x 3 = 0,0, aenas uma metade da viga foi discretizada (ver figura 9.37). Para a malha base, foi adotado o esquema da malha 4 da figura 9.4. Com a ideia de se refinar na direção longitudinal (ver item 9..6.), as arestas da malha base na referida direção foram divididas em oito trechos, o que resultou em 44 elementos finitos sólidos tetraédricos (3 trechos x 6 tetraedros or hexaedro x 8 hexaedros or trecho = 44 tetraedros). O grau de aroximação olinomial dos elementos varia de um a cinco. Figura Posições finais ara o órtico quadrado (ver figura 9.34) discretizado com a malha de 66 tetraedros do quinto grau: (a) tração; (b) comressão. A legenda de valores se refere aos deslocamentos na direção x.

275 Como a malha base é rismática (ver figura 9.37), foram alicadas as seguintes mudanças de coordenadas: ( ) ( ) x = 99,5 + X sen π X /00 (9.8.) ( ) ( ) x = 99,5 + X cos π X /00 (9.8.) x = X (9.8.3) 3 3 onde x, x e x 3 são as coordenadas da viga semicircular; e X, X e X 3 são as coordenadas da malha base. Figura Viga semicircular em balanço (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). Os resultados das simulações numéricas mostram, mais uma vez, que o aumento da ordem de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos melhora a recisão da análise em termos dos deslocamentos do onto A da viga semicircular, sendo que é ossível notar o excessivo travamento das malhas de aroximação linear (ver figuras 9.37, 9.38 e 9.39). A influência do coeficiente de GF senoidal ( sn ) nos deslocamentos finais do onto A ode ser observada na figura De acordo com tal figura, o aumento do coeficiente sn enrijece a estrutura, ou seja, os deslocamentos diminuem à medida que sn aumenta.

276 Figura Deslocamentos finais do onto A da viga semicircular em balanço: (a) deslocamentos na direção x ; (b) deslocamentos na direção x. O termo sn é o coeficiente de GF senoidal (ver equação 7.7). Figura Gráficos força alicada versus deslocamento do onto A na direção x, ara a viga semicircular em balanço, e ara os casos homogêneos: (a) sn 0,0 ( E = 00,0 ); (b) sn ( E = 3600,0 ).

277 Coluna engastada sob rimeiro modo de flambagem Neste exemlo são analisados os comortamentos ré- e ós-crítico de uma coluna engastada sob rimeiro modo de flambagem (ver figura 9.40). Este roblema estrutural foi extraído de Pai e Palazotto (996), os quais estudaram aenas o caso homogêneo. Para induzir o rimeiro modo de flambagem na simulação numérica, foi adotada uma excentricidade que varia linearmente ao longo do comrimento, cujos valores extremos são 0,0 na seção do engaste, e L /000 na seção da extremidade livre em que é alicada a carga comressiva (ver figura 9.40). Devido à simetria em relação ao eixo x3 = 0,0, aenas uma metade da coluna é analisada numericamente. Neste caso, o número de elementos e a ordem de aroximação variam. Assim como nos exemlos anteriores, o refinamento da malha é realizado ao longo do eixo longitudinal. A carga crítica de flambagem ara o rimeiro modo e ara o caso homogêneo é dada or Timoshenko e Gere (96): P π EI = (9.9) 4L cr onde E é o módulo de Young; I é momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo x ; e L é o comrimento inicial da coluna. Para E = 00, 0 e E = 000, 0, as resectivas cargas críticas de flambagem são: Pcr = 0, 047 e Pcr = 0, 04. Figura Coluna sob rimeiro modo de flambagem (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). As linhas tracejadas denotam a malha base (ver aêndice F).

278 Com relação aos deslocamentos finais do onto A (ver figura 9.40), o refinamento da malha, em termos de ordem de aroximação e de número de elementos, melhora a recisão dos resultados ara os casos homogêneos e com GF (ver figura 9.4). Para este roblema, as malhas de aroximação linear não foram caazes de reroduzir a flambagem. Assim como no caso do risma com GF sob tração uniaxial (ver item 9..5), o aumento do coeficiente de GF de otência enrijece a coluna (ver figura 9.4), já que com aumento desse coeficiente, a arcela volumétrica do material mais rígido ( E = 000,0 ) aumenta em relação ao menos rígido ( E = 00, 0 ). Em outras alavras, quanto maior o coeficiente de GF, maior é a carga crítica de flambagem. Para ilustrar o comortamento da coluna antes e deois da instabilidade, algumas das configurações da malha mais refinada são mostradas na figura 9.43.

279 Figura 9.4. Deslocamentos finais do onto A da coluna sob rimeiro modo de flambagem: (a), (b), (c) e (d) deslocamentos finais na direção x ara, resectivamente, os coeficiente 0,0 ( E = 00,0 ), =, 50, =,50 e ( E = 000,0 ); (e), (f), (g) e (h) deslocamentos finais na direção x ara, resectivamente, os coeficiente 0,0 ( E = 00,0 ), =, 50, =,50 e ( E = 000,0 ). As legendas se referem à ordem de aroximação olinomial dos elementos.

280 Figura 9.4. Gráficos força alicada versus deslocamentos do onto A da coluna sob rimeiro modo de flambagem. O termo se refere ao coeficiente de GF de otência (ver equação 7.4). Os símbolos Ref, inf e Pcr significam, nesta ordem, a referência bibliográfica Pai e Palazotto (996), o valor infinito ara o coeficiente e carga crítica de flambagem. Estes resultados foram obtidos com a malha de 965 nós e 576 elementos tetraédricos de quarto grau. Figura Configurações de equilíbrio ara a coluna sob rimeiro modo de flambagem ara alguns níveis de carregamento. A malha ossui 965 nós e 576 elementos tetraédricos de quarto grau. P é a carga alicada.

281 Coluna engastada sob segundo modo de flambagem Além do rimeiro (ver item ), o segundo modo de flambagem de uma coluna engastada também foi analisado. Neste caso, ara induzir o segundo modo, foi utilizada a excentricidade mostrada na figura O caso homogêneo é extraído de Pai e Palazotto (996). Assim como no caso anterior, devido à simetria em relação ao eixo x3 = 0,0, aenas uma metade da coluna foi discretizada, e o refinamento da malha é feito ao longo da direção longitudinal. Para o caso homogêneo, a carga crítica de flambagem ara o segundo modo é (TIMOSHENKO; GERE, 96): P 9π EI cr = (9.0) 4L onde E é o módulo de Young; I é momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo x ; e L é o comrimento inicial da coluna. Para E = 00, 0 e E = 3600, 0, as resectivas cargas críticas do segundo modo flambagem da coluna da figura 9.44 são: Pcr = 0, e Pcr = 0, 666. Figura Coluna sob segundo modo de flambagem (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). A inclinação no lano x,x ao longo da direção longitudinal é de % até x = 66, 6667 e de -% a artir de x = 66, As linhas tracejadas denotam as divisões da malha base (ver Aêndice F).

282 É ossível notar, na figura 9.45, que ara os casos homogêneos e com GF, as malhas de elementos lineares utilizadas não foram caazes de reroduzir o segundo modo de flambagem, e que as malhas de tetraedros cúbicos e de quarto necessitam de oucos elementos ara reroduzir os valores ara os quais os deslocamentos finais do onto A convergem. Para a malha mais refinada, o aumento do coeficiente de GF s enrijece a coluna, e os resultados dos deslocamentos ara o caso homogêneo s 0, 0 ( E = 00,0 ) corroboram a referência (ver figura 9.46). Algumas configurações da referida malha são ilustradas na figura Deve ser lembrado que, neste estudo e na referência, não é realizada análise de contato Coluna engastada sob terceiro modo de flambagem O último roblema estrutural de viga lana com instabilidade analisada aqui é a coluna sob terceiro modo de flambagem mostrada na figura Pode-se observar, em tal figura, a excentricidade adotada ara induzir o terceiro modo. Assim como nos dois exemlos anteriores, o caso homogêneo é analisado or Pai e Palazotto (996), é discretizada aenas uma metade da coluna, e o refinamento da malha de elementos é feito na direção longitudinal. Para o caso homogêneo, a carga crítica de flambagem ara o terceiro modo é (TIMOSHENKO; GERE, 96): P 5π EI cr = (9.) 4L onde E é o módulo de Young; I é momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo x ; e L é o comrimento inicial da coluna. Para E = 00, 0 e E = 800, 0, as resectivas cargas críticas do terceiro modo flambagem da coluna da figura 9.48 são: Pcr = 0, 669 e Pcr = 0,953.

283 Figura Deslocamentos finais do onto A da coluna sob segundo modo de flambagem: (a), (b), (c) e (d) deslocamentos finais na direção x ara, resectivamente, os coeficiente s 0,0 ( E = 00,0 ), s = 0,50, s =,0 e s ( E = 3600,0 ); (e), (f), (g) e (h) deslocamentos finais na direção x ara, resectivamente, os coeficiente s 0,0 ( E = 00,0 ), s = 0,50, s =,0 e s ( E = 3600,0 ). As legendas se referem à ordem de aroximação olinomial dos elementos.

284 Figura Gráficos força alicada versus deslocamentos do onto A da coluna sob segundo modo de flambagem. O termo s se refere ao coeficiente de GF sigmoidal (ver equações 7.5). Os símbolos Ref, inf e Pcr significam, nesta ordem, a referência bibliográfica Pai e Palazotto (996), o valor infinito ara o coeficiente s e carga crítica de flambagem. Estes resultados foram obtidos com a malha de 605 nós e 360 elementos tetraédricos de quarto grau. Figura Configurações ara a coluna sob segundo modo de flambagem ara alguns níveis de carregamento. A malha ossui 605 nós e 360 elementos tetraédricos de quarto grau. P é a carga alicada.

285 Figura Coluna sob terceiro modo de flambagem (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). As linhas tracejadas denotam a malha base (ver Aêndice F). De acordo com as tabelas 9.43, 9.44 e 9.45, algumas das malhas não foram caazes de reroduzir o terceiro modo de flambagem. Isso ode ser verificado ela dimensão excessiva dos deslocamentos. Para exemlificar o que ocorreu com tais malhas, é ilustrada na figura 9.49 a osição final da malha com 04 nós e 50 tetraedros lineares ara o caso homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ). Conforme a figura, a referida malha reroduziu o rimeiro modo de flambagem. Para o caso homogêneo mais flexível e ara a malha mais refinada, os resultados em termos de deslocamentos estão de acordo com a referência (ver figura 9.50). Para o referido caso, algumas das configurações de equilíbrio são mostradas na figura 9.5. Tanto na referência quanto neste estudo, não foi realizada análise de contato.

286 Tabela Deslocamentos finais da coluna sob terceiro modo de flambagem, ara o caso homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ). GAP NN NE NPIN u (A) u (A) GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x e x. Tabela Deslocamentos finais da coluna sob terceiro modo de flambagem, ara o caso com GF exonencial (ver equações 7.6). GAP NN NE NPIN u (A) u (A)

287 GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x e x. Tabela Deslocamentos finais da coluna sob terceiro modo de flambagem, ara o caso homogêneo mais rígido ( E = 800,0 ). GAP NN NE NPIN u (A) u (A) GAP = grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. NPIN = número de ontos de integração numérica (ver equações 8.). u (A), u (A) = deslocamentos finais do onto A nas direções x e x.

288 Figura Posições inicial e final da coluna sob terceiro modo de flambagem, ara a malha de 04 nós e 50 elementos tetraédricos de aroximação linear. Figura Gráfico carga alicada versus deslocamento do onto A da coluna sob terceiro modo de flambagem, ara o caso homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ). Estes resultados foram obtidos com a malha de 486 nós e 600 elementos sólidos tetraédricos de ordem cúbica.

289 Figura 9.5. Configurações ara a coluna sob terceiro modo de flambagem ara alguns níveis de carregamento. A malha ossui 486 nós e 600 elementos tetraédricos de ordem cúbica. P é a carga alicada Vigas tridimensionais Nos exemlos do item 9..6, foram analisadas estruturas sob grandes deslocamentos com redomínio da flexão em aenas um lano. Nesta seção, são aresentados os rinciais resultados de vigas tridimensionais em regime de grandes deslocamentos Viga circular em balanço A rimeira viga tridimensional analisada neste estudo é a viga em balanço ilustrada na figura 9.5. O objetivo aqui é rever o comortamento da viga sob grandes deslocamentos e sob a combinação de momentos fletor e torsor. O exemlo homogêneo é extraído de Bathe e Bolourchi (979), os quais utilizaram os seguintes elementos finitos: viga tridimensional com dois nós e seis graus de liberdade nodais (três translações e três rotações); e sólido hexaédrico com 6 nós e graus de liberdade translacionais. Para simular o resente exemlo com metodologia numérica deste estudo, foram emregados elementos finitos sólidos tetraédricos

290 de ordem quadrática, e o refinamento em termos do número de elementos é realizado ao longo da direção longitudinal. Já que a malha base é rismática (ver figura 9.5), foram utilizadas as seguintes transformações de coordenadas: ( ) ( ) x = 99,5 + Z cos π X / 400 (9..) x 3 = Y (9..) ( ) ( ) x = 99,5 + Z s en π X / 400 (9..3) onde x, x e x 3 são as coordenadas da viga; e X, Y e Z são as coordenadas da malha base. Para o onto B da viga (ver figura 9.5), foi determinada a tensão equivalente final: σ eq ( B) = 3 dev σ: devσ = 3 ( devσ) ( devσ ) (9.3) ij ij onde devσ é a arcela desviadora (HOLZAPFEL, 004) do tensor da tensão de Cauchy σ (ver equações 4. e 4.). Os resultados obtidos aqui indicam que o refinamento da malha, em termos do número de elementos tetraédricos, melhora a recisão dos resultados finais (ver figura 9.53), ara os casos homogêneos e com GF. Para a malha de elementos mais refinada, os deslocamentos estão de acordo com a referência (ver figura 9.54). Figura 9.5. Viga curva em balanço (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base).

291 Figura Análise de convergência dos resultados finais ara a viga curva em balanço (ver figura 9.5): (a) deslocamentos ara a viga homogênea mais flexível ( E = 00,0 ); (b) deslocamentos ara a viga com GF logarítmica (7.8); (c) deslocamentos ara a viga homogênea mais rígida ( E = 3600,0 ); (d) tensão equivalente (9.3) no onto B. Figura Gráfico carga alicada versus deslocamentos do onto A da viga curva em balanço (ver figura 9.5), ara o caso homogêneo mais flexível ( E = 00,0 ) e ara a malha com 3465 nós e 5 elementos tetraédricos de ordem quadrática. A sigla Ref se refere à referência Bathe e Bolourchi (979).

292 Flambagem lateral de viga engastada A segunda viga tridimensional sob grandes deslocamentos analisada aqui é a viga sob flambagem lateral mostrada na figura Para que fosse ossível reroduzir a instabilidade lateral e analisar o comortamento ós-crítico da viga, foi utilizada uma rotação da seção transversal que varia linearmente ao longo da direção longitudinal. Segundo a referência da qual se extraiu este roblema estrutural (MACIEL, 008), a carga crítica de flambagem neste caso é dada or (TIMOSHENKO; GERE, 96): EIGJ Pcr = 4, 03 (9.4.) L 3 bh I = (9.4.) 3 hb J = (9.4.3) 3 E G = ( ν) (9.4.4) onde E é o módulo de Young; ν é o coeficiente de Poisson; e as dimensões L, h e b são mostradas na figura De acordo com Maciel (008), com os valores adotados ara esta viga, a carga crítica resultante é: Pcr = 47,3. Figura Flambagem lateral de viga engastada (geometria, lei constitutiva e condições de contorno).

293 A comaração dos resultados da referência com os deslocamentos do onto de alicação da carga obtidos com as malhas emregadas neste estudo é mostrada na figura 9.56, onde é ossível notar que o refinamento da malha melhora a recisão dos resultados. Na referência Maciel (008), são utilizados elementos finitos sólidos tetraédricos isoaramétricos de ordem cúbica, e a lei constitutiva elástica é escrita em termos da deformação de engenharia e da tensão nominal (PASCON, 008). As configurações inicial e final da malha mais refinada são ilustradas na figura Chaas e cascas Neste item são aresentados os rinciais resultados das estruturas em forma de chaa e de casca simuladas numericamente com o código comutacional desenvolvido no resente estudo ara análise de materiais em regime elástico (ver item 8.4).

294 Figura Gráficos carga alicada versus deslocamentos do onto de alicação da carga ara a viga sob flambagem lateral: (a) deslocamentos ao longo de x ; (b) deslocamentos ao longo de x ; (c) deslocamentos ao longo de x 3. Os números na legenda se referem ao número de nós, à quantidade de elementos tetraédricos e à ordem de aroximação olinomial, resectivamente.

295 Figura Configurações inicial e final da viga sob flambagem lateral discretizada com a malha mais refinada (5 nós e 7 elementos tetraédricos do quarto grau). A legenda se refere aos deslocamentos finais na direção x Membrana de Cook O rimeiro roblema estrutural da seção de chaas e cascas é a membrana de Cook mostrada na figura Este exemlo, extraído de Düster, Hartmann e Rank (003), é emregado ara avaliar travamento em elementos finitos de casca devido à singularidade que ocorre no onto B (ver figura 9.58). Na referência são utilizados elementos finitos sólidos do tio casca com várias ordens de aroximação. De acordo com o item 9..3 desta tese, a malha base foi escolhida de forma a se obter um melhor refinamento nas regiões mais críticas (aquela róxima à carga e aquela róxima ao engaste). Devido à simetria em relação ao eixo x3 = 0,0, aenas uma metade da membrana é analisada. Assim como no caso da viga rismática em balanço do item desta tese, foi realizada comaração de resultados entre diferentes malhas de elementos sólidos tetraédricos com mesmo número de elementos finitos e distintos esquemas de divisão das arestas da malha base. Tal comaração foi feita com malhas de elementos tetraédricos de ordem quadrática ara o caso homogêneo mais flexível e ara um dos casos com GF (ver tabelas 9.46 e 9.47). Para a malha base da figura 9.58, o número mínimo de elementos tetraédricos é 7 ( hexaedros x 6 tetraedros/hexaedro = 7 tetraedros). Para obter o melhor esquema de divisão das arestas, a quantidade de tetraedros foi dobrando de 7 até 5, e ara cada número de elementos foram obtidos os deslocamentos

296 finais do onto A (ver figura 9.58) ara todos os esquemas de divisão ossíveis. Com tais deslocamentos, foi selecionado o melhor esquema de divisão das arestas da malha base ara cada quantidade de elementos tetraédricos (ver tabela 9.48). Como era de se eserar, o refinamento da malha na direção da esessura não melhora a recisão dos resultados em termos dos deslocamentos finais do onto A, ara os casos homogêneo e com GF (ver tabelas 9.46 e 9.47). Figura Membrana de Cook (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). Os resultados em termos dos deslocamentos verticais finais do onto A (ver figura 9.58) mostram que o refinamento da malha em relação à quantidade de elementos e à ordem de aroximação dos tetraedros elimina o travamento (ver a definição de travamento utilizada no item 9..3 desta tese, e a figura 9.59). Para a membrana com GF analisada com uma das malhas, o valor do coeficiente de GF não influencia consideravelmente os deslocamentos do onto A (ver figura 9.60). A singularidade que ocorre no onto B (ver figura 9.58) ode ser observada na figura 9.6, onde é ossível notar a comlexidade do camo de deslocamentos. Para o caso homogêneo mais flexível (,s 0,0 ), com exceção das malhas de elementos de aroximação linear utilizadas, o refinamento da malha de elementos melhora a recisão da tensão equivalente final (9.3) no onto C (ver figura 9.6). Para uma das malhas de elementos finitos emregadas ara simular numericamente a membrana de Cook, é ilustrada na figura 9.63 a influência da lei constitutiva na distribuição final da tensão equivalente final (9.3) ao longo da esessura.

297 Tabela Comaração do esquema de divisão das arestas da malha base da membrana de Cook (figura 9.58), ara o material homogêneo mais flexível (,s 0,0 ). O valor x ara os deslocamentos indica que, ara a resectiva malha, não houve convergência do erro (8.) durante a simulação. NEL NN ND ND ND3 u u x x x x

298 x x NEL = número de elementos finitos tetraédricos. NN = número de nós. ND, ND, ND3 = números de divisões das arestas da malha base nas direções x, x e x3 (figura 9.5). u 3, u = deslocamentos finais do onto A nas direções x3 e x (figura 9.5). Tabela Comaração do esquema de divisão das arestas da malha base da membrana de Cook (figura 9.58), ara MGF ( = s = 0, 0 ). NEL NN ND ND ND3 u u

299 NEL = número de elementos finitos tetraédricos. NN = número de nós. ND, ND, ND3 = números de divisões das arestas da malha base na direção longitudinal, na altura e na esessura (figura 9.58). u, u = deslocamentos finais do onto A nas direções x e x (figura 9.58). Tabela Esquemas de divisão das arestas da malha base ara a membrana de Cook (figura 9.58). NEL ND ND ND

300 NEL = número de elementos finitos sólidos tetraédricos. ND, ND, ND3 = número de divisão das arestas da malha base (figura 9.58) na direção longitudinal, na altura e na esessura. Figura Análise de convergência do deslocamento vertical final do onto A da membrana de Cook (ver figura 9.58): (a) caso homogêneo mais flexível (,s 0,0 ); (b) caso com GF ( = s = 0, 0 ); (c) caso com GF ( = s = 5,0 ); (d) caso homogêneo mais rígido (,s ). O símbolo Ref denota a referência Düster, Hartmann e Neff (003).

301 Figura Gráficos carga alicada versus deslocamentos do onto A da membrana de Cook (figura 9.58): (a) deslocamento na direção x ; (b) deslocamento na direção x. Na legenda, as letras e s se referem aos coeficientes de GF das leis de otência (7.4) e sigmoidal (7.5). Estes resultados foram obtidos com a malha de 45 nós e 44 elementos finitos tetraédricos de quarto grau. Figura 9.6. Amlificação da região em torno do onto B da membrana de Cook (figura 9.58), ara o caso homogêneo mais flexível (,s 0,0 ), e ara a malha com 45 nós e 44 elementos finitos tetraédricos de quarto grau. As legendas se referem aos valores dos deslocamentos verticais finais.

302 Figura 9.6. Análise de convergência da tensão equivalente final (9.3) no onto C da membrana de Cook homogênea mais flexível (ver figura 9.58). O símbolo Ref denota a referência Düster, Hartmann e Neff (003).

303 Figura Distribuição final da tensão equivalente (9.3) ao longo do segmento de reta x = 35,, x = 44,0 e 0, 0 x3 0,5. Estes resultados foram obtidos com a malha de 45 nós e 44 elementos finitos tetraédricos de quarto grau Cilindro esesso sob linha de carga O cilindro esesso da figura 9.64 é analisado aqui. Este exemlo, extraído de Sze, Zheng e Lo (004), ode ser utilizado ara verificar a ocorrência de travamento em estruturas tridimensionais curvas. Na referência são emregados elementos finitos sólidos do tio casca de aroximação quadrática (8 nós). Devido à dula simetria em relação aos lanos x3 = 0,0 e x = 5,0, aenas um quarto do cilindro foi discretizado. Para gerar as malhas de elementos finitos tetraédricos a artir da malha base rismática (ver figura 9.64 e Aêndice F), foram emregadas as seguintes mudanças de coordenadas: x =, 5 X (9.5.) ( ) ( ) x = 8, 0 + X cos π X /0 (9.5.) 3 ( ) ( ) x = 8, 0 + X sen π X /0 (9.5.3) 3 3 onde x, x e 3 x são as coordenadas do cilindro; e X, X e 3 X são as coordenadas da malha base (ver figura 9.64). Pode-se observar que o refinamento da malha base é maior nas regiões róximas às bordas, em que os camos de deformação e tensão são mais comlexos.

304 Figura Cilindro esesso sob linha de carga (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base). Para simular este exemlo foram emregados 384 elementos finitos sólidos tetraédricos com várias ordens de aroximação (ver item 3.). Para as malhas utilizadas, o deslocamento vertical do onto A do cilindro (ver figura 9.64) converge, com aumento do grau de aroximação, ara a solução da referência (ver figura 9.65). A osição final do cilindro, ara a malha de tetraedros do quinto grau, é ilustrada na figura Deve ser mencionado que o contato que ocorre entre duas artes do cilindro não é analisado neste estudo, nem na referência.

305 Figura Deslocamentos verticais do onto A do cilindro (figura 9.64) ara os seguintes casos: (a) homogêneo mais flexível ( c 0 = 3000, 0 ); (b) heterogêneo (GF exonencial de c 0 ); (c) homogêneo mais rígido ( c 0 = 6000, 0 ). Os números na legenda denotam, resectivamente, o número de nós e a ordem de aroximação dos elementos. A sigla Ref corresonde à referência Sze, Zheng e Lo (004). Estes resultados foram obtidos a artir de malhas com 384 elementos tetraédricos.

306 Figura Deslocamentos verticais finais do cilindro esesso mais flexível ( c 0 = 3000, 0 ). Estes resultados foram obtidos a artir da malha com 0086 nós e 384 elementos tetraédricos do quinto grau Casca hemisférica Outro exemlo de casca extraído de Sze, Zheng e Lo (004) é a casca hemisférica com abertura de 8 graus. Devido à dula simetria em relação aos eixos x = 0,0 e x = 0,0, aenas um quarto dela é ilustrado na figura De acordo com Korelc, Solinc e Wriggers (00), é ossível verificar, com este exemlo numérico, a ocorrência de travamento em elementos com dula curvatura submetidos a grandes rotações. Como a malha base é rismática (ver figura 9.67), foram emregadas as seguintes mudanças de coordenadas: π 7 π x = ( 9,98 + 0, 04X3) cos X cos X π 7 π x = ( 9,98 + 0, 04X3) cos X sen X π 7 x3 = ( 9,98 + 0, 04X3) sen X 0 90 (9.6.) (9.6.) (9.6.3)

307 onde x, x e x 3 são as coordenadas da casca; e X, X e X 3 são as coordenadas da malha base (ver figura 9.67). Assim como no exemlo numérico anterior, o refinamento da malha base é maior nas regiões róximas às bordas. Figura Casca hemisférica com abertura de 8 graus (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base). Nesta figura é ilustrado aenas um quarto da casca. O número de elementos finitos sólidos tetraédricos é constante e igual a 50. O grau de aroximação dos elementos (ver item 3.) varia de um a cinco. Para as malhas utilizadas na simulação numérica deste roblema estrutural, os resultados indicam que o refinamento (ver item 9..3 desta tese) melhora a recisão dos deslocamentos dos ontos A e B (ver figura 9.68). Algumas configurações de equilíbrio da casca discretizada com a malha do quinto grau são ilustradas na figura Figura Gráficos carga alicada versus deslocamentos ara a casca hemisférica da figura 9.67: (a) deslocamentos do onto A na direção x ; (b) deslocamentos do onto B na direção x. A legenda se

308 refere ao grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos, e a sigla Ref corresonde à referência Sze, Zheng e Lo (004). Figura Configurações de equilíbrio ara a casca hemisférica da figura 9.67: (a) P = 0,0 ; (b) P = 0, 0 ; (c) P = 40,0 ; (d) P = Pmax = 400, 0. Os valores das legendas se referem aos deslocamentos na direção x. Estes resultados foram obtidos com a malha de 4056 nós e 50 tetraedros do quinto grau Placa engastada em forma de anel A laca em forma de anel mostrada na figura 9.70 é analisada aqui. Uma das extremidades é engastada e a outra é carregada, sendo que tais extremidades são searadas or um corte (segmento AB da figura 9.70), isto é, embora as faces extremas tenham as mesmas coordenadas, elas não ossuem ligação entre si. De acordo com Sansour e Kollmann (000) e Petchsasithon e Gosling (005), este roblema estrutural, roosto inicialmente or Basar e Ding (99), é utilizado ara testar elementos finitos de casca submetidos a grandes rotações.

309 Assim como nas referências suramencionadas, aenas o caso homogêneo é analisado neste estudo. Para simular numericamente este exemlo, foram emregadas as seguintes quantidades de elementos sólidos tetraédricos com grau de aroximação variável (ver item 3.): 7, 44 e 5. Figura Placa engastada em forma de anel (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). Assim como no exemlo numérico anterior, os resultados convergem com aumento da ordem de aroximação (refinamento ) e com aumento do número de elementos (refinamento h), em relação aos deslocamentos finais dos ontos A, B e C (ver figura 9.7). A convergência mais lenta dos deslocamentos verticais finais no onto C arece estar relacionada ao baixo refinamento da malha na região desse onto. Na referência Petchsasithon e Gosling (005), são emregados elementos finitos sólidos hexaédricos com 8 nós. Para uma das malhas, a configuração de equilíbrio final é mostrada na figura Cilindro fino com abas livres tracionado O roblema estrutural da figura 9.73 é analisado aqui. Este exemlo foi extraído de Arciniega e Reddy (007), em que são emregados elementos finitos quadrilaterais de casca com ordem de aroximação variável (de um a oito), e GF ao longo da esessura do cilindro. Devido à simetria em relação aos eixos x = 5,75, x = 0,0 e x3 = 0,0, aenas um oitavo do

310 cilindro é discretizado (ver figura 9.73). Para simular numericamente este roblema, foram emregados 600 elementos finitos sólidos tetraédricos com ordem de aroximação variável. Figura 9.7. Deslocamentos verticais finais, ara a laca engastada em forma de anel (figura 9.70), dos ontos: (a) A; (b) B; e (c) C.

311 Figura 9.7. Configuração de equilíbrio final da laca engastada em forma de anel (figura 9.70). A legenda se refere aos deslocamentos verticais (na direção x 3 ). Estes resultados foram obtidos com a malha 4356 nós e 44 elementos finitos sólidos tetraédricos do quinto grau. A malha base, que é rismática, é transformada no cilindro com as seguintes exressões: x = 0,575X (9.7.) ( ) ( ) x = 4, ,94X sen π X / 0 (9.7.) 3 ( ) ( ) x = 4, ,94X cos π X / 0 (9.7.3) 3 3 onde x, x e x 3 são as coordenadas do cilindro; e X, X e X 3 são as coordenadas da malha base (ver figura 9.73). Figura Cilindro fino com abas livres tracionado (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base). As linhas tracejadas ( ) corresondem à arte discretizada. Conforme a tabela 9.49, os deslocamentos finais u ( A ) e ( ) u B (ver figura 9.73) convergem ara a solução da referência Arciniega e Reddy (007) com aumento da ordem de aroximação. Para a malha do quarto grau, são ilustrados, nas figuras 9.74 e 9.75 resectivamente, os gráficos força versus deslocamento, e a configuração de equilíbrio final do cilindro homogêneo mais rígido ( ) Sólidos tridimensionais

312 Nesta seção, são aresentados os resultados das simulações numéricas de roblemas estruturais com sólidos tridimensionais. Os elementos finitos sólidos utilizados aqui são os tetraedros (ver item 3. desta tese). Tabela Análise de convergência dos deslocamentos finais dos ontos A e B do cilindro da figura As malhas ossuem 600 elementos sólidos tetraédricos. OPA = 0,0 = 0,5 =,0 =,0 = infinito u (A) u 3 (B) u (A) u 3 (B) u (A) u 3 (B) u (A) u 3 (B) u (A) u 3 (B) Ref OPA = ordem do olinômio aroximador dos tetraedros. = coeficiente de otência (equação 7.4). A sigla "Ref" corresonde aos resultados obtidos com a análise de convergência da referência Arciniega e Reddy (007) Figura Gráficos carga alicada versus deslocamentos do cilindro da figura 9.73: (a) deslocamento do onto A na direção x ; (b) deslocamento do onto B na direção x 3. Estes resultados foram obtidos a artir da malha de 8405 nós e 600 elementos finitos tetraédricos do quarto grau Bloco arcialmente carregado

313 O rimeiro exemlo tridimensional é o bloco arcialmente comrimido, mostrado na figura Devido à simetria em relação aos eixos x = 0,0 e x3 = 0,0, aenas um quarto do bloco é discretizado. Os limites dos coeficientes isocóricos (ver lei constitutiva da figura 9.76) foram interolados via método dos mínimos quadrados or Pascon (008) a artir de dados exerimentais de ensaio de tração com dois materiais elastoméricos reenchidos com negro de carbono. Figura Configuração de equilíbrio final do cilindro homogêneo mais rígido (ver figura 9.73): (a) deslocamentos na direção x ; (b) deslocamentos na direção x 3. Estes resultados foram obtidos a artir da malha de 8405 nós e 600 elementos finitos tetraédricos do quarto grau.

314 Figura Bloco arcialmente comrimido (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base). Em relação ao deslocamento vertical final do onto A (ver figura 9.76), ara os quatro valores do coeficiente de GF, as malhas de elementos tetraédricos de ordem linear não são caazes de reroduzir o comortamento do bloco mesmo com grande número de elementos, e as malhas de elementos quadráticos recisam de um número muito elevado de tetraedros ara fornecer resultados róximos aos das malhas de aroximação cúbica e do quarto grau (ver tabelas ). Na figura 9.77 é ilustrada a configuração de equilíbrio final do bloco homogêneo mais flexível ( 0,0 ), discretizado com uma das malhas. Tabela Deslocamentos verticais finais do onto A ara o bloco homogêneo arcialmente carregado mais flexível ( 0,0 ). OAP NN NE u (A)

315 OAP = ordem de aroximação olinomial dos tetraedros. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. u (A) = deslocamento final do onto A na direção x (ver figura 9.76). Tabela 9.5. Deslocamentos verticais finais do onto A ara o bloco arcialmente carregado com GF ( = 0, 0 ). OAP NN NE u (A) OAP = ordem de aroximação olinomial dos tetraedros. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. u (A) = deslocamento final do onto A na direção x (ver figura 9.76). Tabela 9.5. Deslocamentos verticais finais do onto A ara o bloco arcialmente carregado com GF ( = 5,0 ).

316 OAP NN NE u (A) OAP = ordem de aroximação olinomial dos tetraedros. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. u (A) = deslocamento final do onto A na direção x (ver figura 9.76). Tabela Deslocamentos verticais finais do onto A ara o bloco homogêneo arcialmente carregado mais rígido ( ). OAP NN NE u (A) OAP = ordem de aroximação olinomial dos tetraedros. NN = número de nós. NE = número de elementos tetraédricos. u (A) = deslocamento final do onto A na direção x (ver figura 9.76) Bloco cúbico em balanço

317 O segundo exemlo tridimensional é o bloco cúbico em balanço mostrado na figura Este roblema estrutural foi extraído de Liu, Thoi e Lam (008), os quais utilizaram elementos finitos sólidos tetraédricos de ordem linear. Porém, como a análise realizada em tal referência é geometricamente linear, não é ossível realizar comaração de resultados, já que neste estudo a análise é não linear geométrica (ver item 4.6 desta tese). Devido à simetria em relação ao eixo x3 = 0,0, aenas uma metade do bloco é discretizada. Os valores dos coeficientes isocóricos ara x =, 0 são os mesmos utilizados em Düster, Hartmann e Neff (003). Figura Deslocamentos verticais finais ara o bloco homogêneo arcialmente carregado mais flexível (ver figura 9.76). Estes resultados foram obtidos a artir de uma malha com 4864 nós e 900 elementos tetraédricos de ordem cúbica.

318 Figura Bloco cúbico em balanço (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base). Assim como no exemlo numérico anterior, em relação aos deslocamentos verticais do onto A ara os casos homogêneos e com GF (ver figura 9.78), as malhas de elementos tetraédricos de ordem linear travam indeendentemente da quantidade de elementos, e as malhas de elementos quadráticos necessitam de grande número de tetraedros ara fornecerem resultados róximos aos das malhas de elementos cúbicos (ver figura 9.79). Para a malha de elementos mais refinada, é mostrada, na figura 9.80, a influência da lei constitutiva no gráfico força versus deslocamento vertical do onto A. Nessa figura é ossível notar que, nos casos com GF, a variação do coeficiente s não afeta consideravelmente o comortamento do bloco. Figura Deslocamentos verticais do onto A do bloco da figura 9.78 ara: (a) material homogêneo mais flexível (s 0,0 ); (b) material com GF (s = /3); (c) material com GF ( s = 3, 0 ); (d) material homogêneo mais rígido (s ). Os valores nas legendas corresondem, resectivamente, ao número de nós, de elementos finitos sólidos tetraédricos e à ordem de aroximação olinomial Sólido de Cook

319 Este exemlo ode ser considerado uma extensão tridimensional da membrana de Cook (ver item 9..8.) e, ortanto, foi chamado aqui de sólido de Cook (ver figura 9.8). De modo análogo à membrana, esera-se que haja singularidade na região do onto D. Para simular numericamente este exemlo foram emregadas duas quantidades de elementos tetraédricos com grau de aroximação variável (de um a quatro): 48 e 96. Figura Carga suerficial alicada versus deslocamentos do onto A do bloco da figura 9.80: (a) deslocamento ao longo de x ; (b) deslocamento ao longo de x. A variável s se refere ao coeficiente de GF (GF) sigmoidal (7.5). Estes resultados foram obtidos a artir de uma malha com 85 nós e 536 elementos finitos sólidos tetraédricos de ordem cúbica.

320 Figura 9.8. Sólido de Cook (geometria, condições de contorno, lei constitutiva e malha base). Com relação aos resultados das simulações numéricas, a norma Euclideana dos deslocamentos do onto H e a tensão equivalente no onto I convergem com refinamento da malha de elementos tetraédricos (ver figuras 9.8 e 9.8). A referida norma é calculada com a seguinte exressão: ( u u u3) u = + + (9.8) onde u, u e 3 u são os deslocamentos do onto ao longo das direções x, x e 3 x. A influência da lei constitutiva nos deslocamentos do onto H é mostrar na figura 9.83, onde se nota que a rigidez do material aumenta ara valores mais altos do coeficiente de GF sn. Por fim, na figura 9.84 é ilustrada a singularidade no onto D.

321 Figura 9.8. Análise de convergência dos resultados numéricos do sólido de Cook da figura 9.8 no último asso de carga: (a) material homogêneo mais flexível (sn 0,0 ); (b) material com GF senoidal (sn = 0,0 ); (c) material com GF senoidal (sn = 0,0 ); (d) material homogêneo mais rígido ( sn ). Nas legendas dos gráficos, Ue( H ), ( ) teq I e ne são, nesta ordem, a norma Euclideana dos deslocamentos (9.8) do onto H, a tensão equivalente (9.3) no onto I, e o número de elementos finitos sólidos tetraédricos.

322 Figura Gráficos carga alicada versus deslocamentos do onto H do sólido de Cook da figura 9.8: (a) deslocamentos ao longo de x ; (b) deslocamentos ao longo de x. A variável sn é o coeficiente de GF senoidal (7.7). Estes resultados foram obtidos a artir da malha com 377 nós e 96 elementos finitos sólidos tetraédricos do quarto grau. Figura Configuração de equilíbrio final e deslocamentos na direção x da região do onto D ara o sólido de Cook homogêneo mais flexível (sn 0,0 ). Estes resultados foram obtidos com a malha de 377 nós e 96 elementos tetraédricos do quarto grau.

323 9.. Estruturas constituídas de material em regime elastolástico Nesta seção, são descritos os rinciais resultados das simulações numéricas de roblemas estruturais com materiais em regime de deformações elastolásticas. Para análise numérica dos referidos roblemas, foi utilizado o código comutacional cujo algoritmo é descrito no item 8.5 desta tese. Os elementos finitos adotados aqui são os sólidos tetraédricos (ver seção 3.), e as quadraturas de integração numérica são as mesmas das tabelas 9.30 e 9.3 ara, resectivamente, material homogêneo e material com gradação funcional (MGF). Ademais, o critério de lastificação adotado em todos os exemlos é o de von-mises (ver equações 6.43 ou 6.44), e a evolução do arâmetro de encruamento isotróico é dado em (6.53) Comaração das estratégias de revisão elástica Aós o desenvolvimento dos códigos comutacionais de análise de materiais em regime elastolástico (ver item 8.5), a rimeira tarefa realizada foi a comaração das estratégias de revisão elástica, descritas na seção Para as três estratégias (elástica, secante e elastolástica), além dos resultados obtidos em termos de força alicada versus deslocamento, são comarados o número total de iterações e o temo de simulação. A ideia aqui é selecionar a melhor estratégia de revisão elástica (ou a que forneça os mesmos resultados com o menor temo ossível), e adotá-la ara os exemlos numéricos restantes. Com relação ao modelo elastolástico, foram adotadas as seguintes leis: relação hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff (5.9), lei de encruamento isotróico de Swift (6.50), e lei de encruamento cinemático não linear de Armstrong-Frederick (6.56). Os coeficientes do material adotados são fornecidos na tabela Para a comaração das estratégias de revisão elástica, foram utilizadas as duas formulações elastolásticas deste estudo: a de Green-Naghdi (ver seção 6.3) e a hierelastolástica (ver seção 6.4).

324 Tabela Coeficientes do material homogêneo utilizados na comaração das estratégias de revisão elástica. Lei Saint Venant-Kirchhoff (5.9) Coeficientes E = 0000 ν = 0,05 K = 500 Swift (6.50) E 0 = 0, n = 0,5 Armstrong-Frederick (6.56) c = 00 b = 50 Para comarar as estratégias de revisão elástica, foram analisados os casos de tração uniaxial (ver figura 9. e exressões 9.) e cisalhamento simles (ver figura 9.0 e exressões 9.4). No caso da tração, a simulação numérica foi realizada via controle de deslocamento. Já no caso do cisalhamento, a análise numérica foi feita via controle de carga. Em ambos os casos, foram emregados seis elementos finitos sólidos tetraédricos de aroximação linear (ver item 3.), e a simulação se deu em duas fases: o deslocamento (ou o carregamento) aumenta até um valor máximo, e deois diminui até zero. As quantidades de incrementos de deslocamento (ou de carga) emregadas em cada fase são: 0 e 000. Além disso, o algoritmo de correção lástica é o retorno de Euler imlícito (ver item 6.6). Na tração uniaxial (ver figura 9.), os dados obtidos ao final de cada asso são a tensão longitudinal de engenharia ( σ eng ) e a deformação longitudinal de engenharia ( ε eng ): F σ = (9.9.) eng S0 u ( A) eng ε = (9.9.) L0 onde F é a força longitudinal alicada; S 0 é a área inicial da seção transversal (normal ao eixo u A é o deslocamento longitudinal (ao longo de x ); ( ) x ) do onto A; e L 0 é o comrimento inicial. Já no cisalhamento simles (ver figura 9.0), os valores obtidos são a tensão cisalhante de engenharia ( τ eng eng S0 ) e a distorção de engenharia ( γ eng ): F τ = (9.0.)

325 ( ) u 5 eng γ = (9.0.) L0 onde F é a força alicada, ao longo da direção x, na face com coordenada x = 5,0 ; S0 = 50, 0 é a área inicial da seção transversal (normal ao eixo x ); u ( ) 5 é o deslocamento ao longo de x da face com coordenada x = 5,0 ; e L0 = 5,0 é a dimensão inicial ao longo de x. Na tração uniaxial (ver figura 9.) e no cisalhamento simles (ver figura 9.0), odem ser observados os seguintes asectos: os gráficos tensão versus deformação de engenharia (ver exressões 9.9 e 9.0) são raticamente os mesmos, exceto ara a simulação com 0 incrementos or fase, revisão elastolástica e material hierelastolástico (ver figura 9.85); e o temo de simulação e o número total de iterações são semre menores ara a estratégia de revisão elastolástica (ver tabelas 9.55 e 9.56). Esse ganho, em termos de temo de simulação, com a revisão elastolástica já era eserado, visto que ao considerar, ao longo da tentativa, a ossível variação dos arâmetros lásticos a convergência das iterações via método de Newton-Rahson (ver item 4.6) é melhorada (CRISFIELD, 000). Pode-se notar, contudo, que o temo médio de cada iteração é, de modo geral, maior ara a estratégia de revisão elastolástica, em relação às demais revisões, e é maior ara a análise de materiais hierelastolásticos, em relação aos materiais com aroximação de Green-Naghdi (ver tabela 9.57). Isso orque, ara realizar a revisão elastolástica, é necessário calcular o oerador tangente consistente elastolástico, o que envolve grande número de cálculos (ver Aêndice D). Ademais, o número de cálculos também é maior ara análise de materiais hierelastolásticos, em relação à aroximação de Green-Naghdi (ver seções 6.3 e 6.4). Assim sendo, ara simulação dos róximos exemlos numéricos, os quais envolvem materiais em regime elastolástico (ver item 6.), foi decidido utilizar grande número de equenos incrementos, e revisão elastolástica (ver figuras 8.6 e 8.7).

326 Figura Comaração das estratégias de revisão elástica do item tensão versus deformação de engenharia: (a) tração uniaxial com aroximação de Green-Naghdi; (b) cisalhamento simles com aroximação de Green-Naghdi; (c) tração uniaxial com material hierelastolástico; (d) cisalhamento simles com material hierelastolástico. Na legenda dos gráficos, os números entre arêntesis denotam a quantidade de incrementos emregada na simulação numérica, e as siglas EL, SC e ELP corresondem, nesta ordem, às seguintes revisões: uramente elástica (ver figuras 8. e 8.3), método da secante (ver figuras 8.4 e 8.5), e elastolástica (ver figuras 8.6 e 8.7). Para a tração uniaxial, a geometria é dada na figura 9., e os valores obtidos são calculados via equações (9.9). Para o cisalhamento, a geometria é dada na figura 9.0, e os valores obtidos são calculados via equações (9.0). Tabela Comaração das estratégias de revisão elástica do item temo de simulação (em centésimos de segundo). Estratégia de revisão (item 8.5) Elástica Secante Elastolástica Número de incrementos Tração uniaxial (figura 9.) Cisalhamento simles GN HEP GN

327 (figura 9.0) HEP GN e HEP corresondem, nesta ordem, à aroximação de Green-Naghdi (seção 6.3) e à hierelastolasticidade (seção 6.4) Tabela Comaração das estratégias de revisão elástica do item número total de iterações. Estratégia de revisão (item 8.5) Elástica Secante Elastolástica Número de incrementos Tração uniaxial (figura 9.) Cisalhamento simles (figura 9.0) GN HEP GN HEP GN e HEP corresondem, nesta ordem, à aroximação de Green-Naghdi (seção 6.3) e à hierelastolasticidade (seção 6.4) Tabela Comaração das estratégias de revisão elástica do item temo médio (em centésimos de segundo) de cada iteração. Estratégia de revisão (item 8.5) Elástica Secante Elastolástica Número de incrementos Tração uniaxial (figura 9.) Cisalhamento simles (figura 9.0) GN HEP GN HEP GN e HEP corresondem, nesta ordem, à aroximação de Green-Naghdi (seção 6.3) e à hierelastolasticidade (seção 6.4)

328 9... Comaração dos algoritmos de correção lástica (retorno) As discreâncias observadas nos gráficos das figuras 9.85c e 9.85d ocorrem quando o número de incrementos é baixo (ou quando esses incrementos são muito grandes). Assim, tais discreâncias arecem estar relacionadas ao acúmulo de erros decorrentes da fase de correção lástica (ver item 6.6). Isso orque, ao longo dessa fase, as variáveis lásticas não são exatamente calculadas, e sim aroximadas via algoritmo de retorno (imlícito ou exlícito). Dessa forma, os erros numéricos cometidos deendem, obviamente, do tamanho do incremento. Para analisar a influência do tamanho do incremento no cálculo das variáveis lásticas, via retornos imlícito e exlícito, foi utilizado o exemlo da tração uniaxial do item 9.. (ver figura 9. e exressões 9.). Neste caso, a barra tem seu comrimento multilicado or,60, e as quantidades de incrementos de deslocamento longitudinal, alicados na face x =, 0, são:, 0, 00 e 000. Assim, os tamanhos dos incrementos de deslocamento são: 0,6; 0,06; 0,006; e 0,0006. Os coeficientes do modelo constitutivo são fornecidos na tabela 9.54, e é emregado aqui aenas o caso da aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3). De acordo com o item 9.., a estratégia de revisão elástica (ver item 8.5) adotada aqui é a elastolástica (ver figuras 8.6 e 8.7). Assim como no item anterior, foram utilizados seis tetraedros de aroximação linear (ver item 6.). A artir das figuras 9.86, 9.87 e 9.88, odem ser tiradas as seguintes conclusões: a força longitudinal e as variáveis lásticas E, κ e X ao final da simulação numérica convergem com aumento do número de incrementos ara os retornos imlícito e exlícito; e as diferenças, com relação a essas variáveis, entre os algoritmos de retorno desaarecem com aumento do número de incrementos. Ademais, conforme o item 9.., ara amenizar erros de aroximação numérica na fase de correção lástica (ver item 6.6), foi decidido utilizar grande número de equenos incrementos de carga (ou de deslocamento) ara simular numericamente roblemas estruturais com materiais em regime elastolástico. Dessa forma, já que com tais incrementos as diferenças entre os métodos de retorno imlícito e exlícito são desrezíveis, e já que o retorno imlícito é o mais estável numericamente (ALVES, 003), a correção lástica emregada nos róximos exemlos numéricos é o retorno imlícito de Euler (ver item 6.6). Além dessa questão de estabilidade, o retorno imlícito de Euler é um dos mais emregados na análise numérica de materiais em regime elastolástico.

329 Para ilustrar os cálculos realizados durante a fase de correção lástica (ver item 6.6), são dadas a seguir algumas das exressões envolvidas ara o caso da barra sob tração uniaxial (ver item 6.7.), com lei de encruamento isotróico de Swift (6.50) e lei de encruamento cinemático de Armstrong-Frederick (6.56). Assim, ara o retorno exlícito de Euler, as equações (6.60) odem ser substituídas, no caso da referida barra, or: ( E ) ( E ) ( R ) ( E ) n+ n n n ( X) ( ) S X dev S = + γ = + γ dev ( ) ( ) ( r ) ( ) n (9..) κ = κ + γ n+ n κ = κ + γ (9..) n n 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( X) ( ) S X dev S X = X n + γ R n X = X n + γ c bx + n dev ( ) ( ) ( ) ( ) ( X) ( ) S X dev S X = X n + γ R n X = X n + γ c bx + n dev ( ) ( ) ( ) ( ) ( X) ( ) 3 S X dev S X3 = X n 3 + γ R n X3 = X n 3 + γ c bx + n 3 dev Φ Φ Φ Φ n + E + κ + : X = 0 E κ X n ( ) Φ E n+, E, κn,x n n γ = Φ dev( S X) dev Φ Φ ( S X) + + : c bx E dev( S X) κ 3 X dev( S X) n n n n (9..3) (9..4) (9..5) (9..6) onde os índices n e n+ reresentam, nesta ordem, os resectivos valores no início e no final do incremento de deformação total E= En+ E n.

330 Figura Variáveis lásticas ao final da simulação numérica com retorno imlícito, ara a barra sob tração uniaxial. E é a deformação lástica longitudinal, κ é o arâmetro de encruamento isotróico (6.33), X é a comonente longitudinal do tensor das tensões inversas, e F é a força longitudinal alicada. A artir do cálculo do escalar γ, as variáveis lásticas E, κ, X, X e X 3 são atualizadas com as exressões (9.). Se o valor de Φ for menor do que certa tolerância, então a fase de correção lástica termina. Caso contrário, devem ser calculados os novos valores das funções R, r κ e R X, as quais definem a evolução das variáveis lásticas, e deve ser determinado mais uma vez o valor de γ, via (9..6). Esses cálculos são realizados até que se obtenha um valor suficientemente equeno ara a função escalar Φ.

331 Figura Variáveis lásticas ao final da simulação numérica com retorno exlícito, ara a barra sob tração uniaxial. E é a deformação lástica longitudinal, κ é o arâmetro de encruamento isotróico (6.33), X é a comonente longitudinal do tensor das tensões inversas, e F é a força longitudinal alicada.

332 Figura Diferenças absolutas, com relação aos retornos imlícito e exlícito, entre as variáveis lásticas ao final da simulação numérica, ara a barra sob tração uniaxial. E é a deformação lástica longitudinal, κ é o arâmetro de encruamento isotróico (6.33), X é a comonente longitudinal do tensor das tensões inversas, e F é a força longitudinal alicada. Já ara o retorno imlícito de Euler, no caso da barra sob tração uniaxial (ver item 6.7.), ara realizar a correção lástica, o seguinte resíduo deve ser suficientemente equeno (ver equações 6.6):

333 ( X) ( S X) dev S ( E ) ( E ) λ n dev κ ( κ) λ n ( ) ( ) ( ) 3 E E λ R n dev ( ) ( ) ( S X) κ κ λ r n κ ( X) ( X) λ c bx n dev ( X ) ( ) ( ) ( ) X R S X λ r = n X = ( X) ( X) λ ( RX) dev( S X) n ( X) ( X) λ c bx n ( X3) ( X3) λ ( RX3) n dev( S X) Φ dev( S X) 3 ( X3) ( X3) λ c bx n 3 dev( ) S X n dev( ) S X K ( E 3 0 +κ) (9.) onde o índice n corresonde aos valores fixos das variáveis no início do incremento de deformação total E= En+ E n; e as variáveis sem índice reresentam os resectivos valores (incógnitos) ao final do incremento. Como as funções R, r κ e R X deendem, neste caso, das desconhecidas variáveis lásticas ao final do incremento, as exressões do resíduo (9.) ossuem caráter não linear. A alicação do método de Newton-Rahson a esse resíduo (ver equações 6.6 e 6.63) resulta num sistema linear 6 x 6, cujas incógnitas são os seguintes valores ao final do incremento: E, κ, X, X, X 3 e γ. No caso da barra sob tração uniaxial com aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.7.), ara ambos os algoritmos de retorno imlícito e exlícito, as deformações lásticas transversais ( E e E 3) odem ser atualizadas via equação (6.86.) Tração uniaxial A barra rismática sob tração uniaxial da figura 6. foi simulada numericamente com os códigos comutacionais desenvolvidos neste estudo (ver item 8.5) e com o rograma EPIM3D (ver item 8.8). As várias situações analisadas são descritas a seguir. Para todos os casos, são adotados o critério de lastificação de von-mises (6.43 ou 6.44), a lei de fluxo lástico associativa (6.45 ou 6.46) e a lei de evolução do arâmetro de encruamento isotróico (6.53).

334 Material homogêneo com encruamento isotróico sob equenas deformações elásticas No rimeiro caso, a análise numérica foi realizada via controle de deslocamento, sendo que o comrimento da barra aumenta 50% em 00 incrementos. Com relação à malha de elementos finitos, foram utilizados seis tetraedros de aroximação linear (ver item 3.). A simulação foi feita com três rogramas: o código comutacional desenvolvido aqui baseado na aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3); o código comutacional desenvolvido aqui baseado na hierelastolasticidade (ver seção 6.4); e o rograma EPIM3D. Em relação ao modelo elastolástico, são utilizadas as seguintes relações constitutivas: lei hierelástica linear de Saint Venant-Kirchhoff (ver equações 5., 5.9 e 6.38); e lei de encruamento isotróico de Swift (6.50). Os valores dos coeficientes do material são: E = 06000, 0 (9.3.) ν= 0,30 (9.3.) K = 565,3 (9.3.3) E0 = 0, (9.3.4) n = 0, 589 (9.3.5) Para a aroximação de Green-Naghdi, da seção 6.3, e ara os coeficientes (9.3) a tensão longitudinal de engenharia atuante na barra da figura 6., ara equenas deformações elásticas, é (ver equação 8.5): F ( ) ( ) 0, ,3 0, σ λ = = + λ λ eng A 0 L (9.4.) f λ = (9.4.) L0 onde A0 = bh 0 0 é a área inicial da seção transversal da barra; λ é o alongamento longitudinal; e L f e L 0 são os comrimentos final e inicial da barra, resectivamente. Já ara a formulação hierelastolástica, da seção 6.4, e ara o modelo mecânico do rograma EPIM3D, a tensão longitudinal de engenharia atuante na barra da figura 6., ara equenas deformações elásticas, é (ver equação 8.54): F σ λ = = + λ ( ) 565,3 0, ln ( ) 0,589 eng A 0 λ (9.5)

335 Pode-se notar, facilmente, a diferença nas exressões ara cálculo da força (9.4) e (9.5). Com os coeficientes (9.3), é ossível mostrar que as deformações elásticas na barra da figura 6. são equenas. Em rimeiro lugar, o limite elástico da barra, ara a aroximação de Green-Naghdi da seção 6.3, é (ver exressão 6.93): ( 0) 565,3( 0, ) 0,589 σ κ λ LE = + = + =, E (9.6) onde λ LE é o alongamento longitudinal (9.4.) a artir do qual o material entra em regime elastolástico. Pode-se observar que o limite elástico acima é atingido ara um alongamento muito equeno ( λ ). Ademais, sabe-se que, em regime elastolástico, a variação da deformação lástica longitudinal, ao longo do incremento de deformação total E = E E, é (ver exressões e 6.87): ( ) ( 0) Φ E( ) E E = E ( ) E ( 0) = de 3 E Φ ( 0) σ κ + E 3 3 κ E( ) E 3 E = de 3 (9.7) E n ( 0) E + Kn ( E κ) 3 Se o módulo elástico de Young E é muito maior do que os coeficientes da lei de Swift (6.50) K, E 0 e n, como é o caso dos coeficientes (9.3), então a exressão acima se reduz, aroximadamente, ao caso de material elastolástico erfeito (ver equações 6.88 e 6.89): E ( ) E( E ) E 3 de de E 3 = = 3 3 (9.8) E( 0) E E( 0) Assim, a variação da arcela de deformação elástica longitudinal ( Ee = E E ) é muito equena em relação à variação da arcela lástica ( E ). Analogamente, ara o caso de material hierelastolástico (ver seção 6.4), ode-se mostrar que as deformações elásticas na barra, com adoção dos coeficientes (9.3), também serão equenas (ver equações 6.0 e 6.).

336 A artir das figuras 9.89 e 9.90, odem ser tiradas as seguintes conclusões: ara a decomosição aditiva de Green-Naghdi, da seção 6.3, e ara a hierelastolasticidade, da seção 6.4, a simulação numérica está de acordo com a resectiva solução analítica; os resultados numéricos do código comutacional desenvolvido neste estudo (ver item 8.5) baseado na hierelastolasticidade são raticamente os mesmos do rograma EPIM3D, o que esta de acordo com o item 8.8.6; e os resultados analíticos e numéricos, ara todas as formulações, são róximos ara equenas deformações ( λ ). Figura Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra da figura 6. com lei hierelástica linear (6.38) e lei de Swift (6.50) sob equenas deformação elásticas. As siglas SA, SN, GN, HEP e EP3 denotam, nesta ordem, a solução analítica (9.4) ou (9.5), a simulação numérica, a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3), a hierelastolasticidade (ver seção 6.4) e o rograma EPIM3D (ver seção 8.8).

337 Figura Parâmetro de encruamento isotróico (6.86.3) ou (6..) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra da figura 6. com lei hierelástica linear (6.38) e lei de Swift (6.50) sob equenas deformação elásticas. As siglas SA, SN, GN, HEP e EP3 denotam, nesta ordem, a solução analítica (6.86.3) ou (6..), a simulação numérica, a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3), a hierelastolasticidade (ver seção 6.4) e o rograma EPIM3D (ver seção 8.8) Material homogêneo elastolástico erfeito sob grandes deformações elastolásticas O segundo caso analisado, ara a barra da figura 6., é aquele com os seguintes coeficientes do material: E = 00, 0 (9.9.) ν= 0,00 (9.9.) a0 = 00, 0 (9.9.3) onde os coeficientes elásticos E e ν são, nesta ordem, o módulo de Young e o coeficiente de Poisson (ver equações 5.9 e 6.38); e a 0 é o único coeficiente não nulo da lei de encruamento isotróico olinomial (6.49), o que equivale a modelar o material como sendo elastolástico erfeito. Com os coeficientes (9.9), os limites elásticos ara a aroximação de Green-Naghdi da seção 6.3 e ara a hierelastolasticidade da seção 6.4 são, resectivamente (ver exressões 6.93 e 6.6):

338 ( ) σκ 0 00 λ LE ( GN) = + = + = =,444 E 00 (9.30.) E ( λle λ LE ) =σκ ( 0) ( λle λ LE ) = 00 λ LE ( HEP) =,700 (9.30.) onde as siglas GN e HEP corresondem à decomosição de Green-Naghdi e à hierelasticidade, resectivamente. A artir desses limites, o material entra em regime elastolástico. Além disso, sabe-se que, em regime elastolástico, a variação da deformação lástica longitudinal ao longo do incremento de deformação total E = E ( ) E ( 0) ou λ = λ λ é (ver equações 6.89 e 6.5): ( ) ( 0) E = E (9.3.) λ = λ λe (9.3.) onde a rimeira exressão é válida ara a aroximação de Green-Naghdi, e a segunda é válida ara a hierelastolasticidade. Portanto, em ambos os casos, as deformações elásticas longitudinais não são equenas e, assim, não odem ser desrezadas. Em regime elastolástico, tais deformações se mantêm constantes e iguais a: E GN = λ GN =, 0 e ( ) ( ) e LE LE ( ) (9.3.) λ =λ HEP =,700 (9.3.) onde a rimeira exressão é válida ara a aroximação de Green-Naghdi (GN), e a segunda é válida ara a hierelastolasticidade (HEP). De acordo com as exressões (9.3.), (6.83.3) e (9.30.), o arâmetro de encruamento isotróico κ resultante da formulação de Green-Naghdi em regime elastolástico é: κ ( GN) = E = E Ee = ( λ ) ( λle ) = ( λ ) (9.33) Já ara a hierelastolasticidade, conforme as equações (9.3.), (6..) e (9.30.), o arâmetro κ em regime elastolástico é: λ λ κ ( HEP) = ln ( λ ) = ln = ln = ln ( λ ) 0, λ e, 70 (9.34) Em regime elástico, isto é, ara alongamentos longitudinais λ menores do que o limite elástico λ LE, de acordo com a exressão (6.76.), a tensão longitudinal de engenharia atuante na barra da figura 6., cujos coeficientes do material são dados em (9.9), é:

339 F E σ = = λ λ = λ λ (9.35) ( ) 00( ) eng 3 3 A0 Esta equação é válida ara a aroximação de Green-Naghdi, dada na seção 6.3, e ara a hierelastolasticidade, dada na seção 6.4. Para a formulação do rograma EPIM3D, é ossível escrever as seguintes exressões ara a barra da figura 6. em regime elástico (ver item 8.8.): ( λ ) ( ) ( λ ) ln 0 0 ln 0 0 ε L = 0 ln ( λ ) 0 = 0 νln ( λ) 0 (9.36.) 0 0 ln λ 0 0 ν ln λ ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ln λ = ln λ = νln λ λ = λ = λ (9.36.) ν 3 3 F F F F E ln σ = = = = E ε = λ σ = = ( ) E ln ( ) ( λ ) eng ν L ν Af A0λλ 3 A0λ A0 λ a0 E ln ( ) a ex E σ = λ LE = 0 λ LE = (9.36.3) (9.36.4) onde ε L é a deformação logarítmica (ALVES, 003); ν é o coeficiente de Poisson; σ é a tensão longitudinal de Cauchy (ver equações 4. e 4.); A f é a área final da seção transversal; e λ LE é o limite elástico, a artir do qual o material entra em regime elastolástico. Assim, ara os coeficientes (9.9), a tensão longitudinal de engenharia em regime elástico e o limite elástico são, resectivamente: F 00ln σ = = eng 0,0 A0 λ ( λ ) 00 λ LE = ex =, (9.37.) (9.37.) Em regime elastolástico, isto é, ara alongamentos longitudinais λ maiores do que o limite elástico λ LE, conforme a exressão (6.9) e os coeficientes (9.9), a tensão longitudinal de engenharia atuante na barra da figura 6. ara a formulação de Green-Naghdi (ver seção 6.3), é: F σ = = S λ =σ λ = a λ = 00λ (9.38) eng 0 0 A0 onde S é a comonente longitudinal do segundo tensor de Piola-Kirchhoff (ver equação 6.79.). Já ara a hierelastolasticidade (ver seção 6.4), de acordo com a exressão (6.5) e

340 com os coeficientes (9.9), a tensão longitudinal de engenharia atuante na barra da figura 6. em regime elastolástico é: eng F Me σ0 a0 00 σ = = = = = (9.39) A λ λ λ λ 0 onde M e é a comonente longitudinal do tensor das tensões de Mandel (ver exressão 6.98.). Por fim, resta determinar a tensão longitudinal de engenharia atuante na barra da figura 6. em regime elastolástico ara o rograma EPIM3D. De acordo com a resosta elástica desse rograma (8.8) e com os coeficientes (9.9), a arcela elástica da deformação logarítmica, em regime elastolástico, mantém-se constante e igual a (ver exressões 9.36 e 9.37): ε ( ) ( ) ( ) εe 0 0 ln λe 0 0 ln λle 0 0 = 0 0 ε = 0 ln ( λ ) 0 = 0 νln ( λ ) ε 0 0 ln λ 0 0 νln λ e e e LE ( ) e e3 LE 0,5 0 0 = 0 0, (9.40) 0 0 0, 005 Assim como no caso da formulação de Green-Naghdi e da hierelastolasticidade, não se ode desrezar a arcela de deformação elástica. Além disso, conforme a condição de incomressibilidade lástica (6.07), a arcela lástica de deformação logarítmica em regime elastolástico é: ε ( λ ) ( ) ln 0 0 ln 0 0 ε 0 0 λ = ln ( ) 0 0 ln ( ) 0 ε = λ = λ ε 0 0 ln ( 3) 0 0 ln λ ( λ ) = ln ( λ ) 0 0,5 0 (9.4) 0 0 0,5 Considerando a decomosição do gradiente (6.94), os alongamentos longitudinais total e lástico, em regime elastolástico, relacionam-se da seguinte forma:

341 λ λ λ = = λe, 6487 Assim sendo, a tensão longitudinal de engenharia (ver exressão 9.9.) resulta em: F F F F σ = = = = Af A0λλ 3 A0λeλλe3λ3 A0 LE LE ( λ ) ν ν ν ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( ) LE eng 0 0 LE A0 A ν λ 0 λ A0 ( λle ) λle (9.4) F Fλ F a + ν σ = = = a σ = = λ eng 00 σ =,6487 (9.43) λ ( ),0 Com o resultado (9.4), o arâmetro de encruamento isotróico (6..) no rograma EPIM3D é: λ κ ( EPIM3D) = ln ( λ ) = ln = ln ( λ ) 0,5, 6487 (9.44) A simulação numérica da barra da figura 6., constituída de material elastolástico erfeito com resosta elástica linear, foi realizada via controle de deslocamento. Para isso, o comrimento da barra foi dulicado, isto é, o alongamento longitudinal máximo é max λ =,0. Com relação à divisão em incrementos de deslocamento, foram adotados 000 assos, ou seja, o deslocamento longitudinal da face x = L0 (ver figura 6.) aumenta 0,00 em cada incremento. De acordo com as figuras 9.9 e 9.9, a evolução da tensão longitudinal de engenharia (9.9.) e a evolução do arâmetro de encruamento isotróico (6.33), ara a barra sob tração uniaxial da figura 6., corroboram os resultados analíticos dados nesta seção, ara as três formulações utilizadas: a de Green-Naghdi, da seção 6.3; a hierelastolástica, da seção 6.4; e a do rograma EPIM3D, da seção 8.8. Para simulação com os códigos comutacionais do resente estudo, foram utilizados seis elementos finitos sólidos tetraédricos de aroximação linear, e no rograma EPIM3D foi utilizado um elemento hexaédrico de aroximação linear (ver item 3.).

342 Figura 9.9. Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal ara a barra sob tração uniaxial da figura 6. com lei elástica linear (6.38 ou 8.8) e material elastolástico erfeito. As siglas SA, SN, GN, HEP e EP3 denotam, nesta ordem, a solução analítica, a simulação numérica, a aroximação de Green-Naghdi (ver seção 6.3), a hierelastolasticidade (ver seção 6.4) e o rograma EPIM3D (ver seção 8.8). Neste caso, as exressões que definem as soluções analíticas SA (GN), SA (HEP) e SA (EP3) são dadas nas tabelas 9.58 e Tabela Soluções analíticas, em termos da tensão longitudinal de engenharia (9.9.), ara a barra da figura 6. sob alongamento longitudinal (9.4.) crescente, com lei elástica linear e material elastolástico erfeito em regime de deformações elastolásticas finitas. Modelo Regime elástico Regime elastolástico GN HEP EP GN, HEP e EP3 corresondem às formulações de Green-Naghdi (seção 6.3), hierelastolástica (seção 6.4) e do rograma EPIM3D (seção 8.8)

343 Tabela Soluções analíticas, em termos do arâmetro de encruamento isotróico (6.33 ou 8.4), ara a barra da figura 6. sob alongamento longitudinal crescente, com lei elástica linear e material elastolástico erfeito em regime de deformações elastolásticas finitas. Modelo Regime elástico Regime elastolástico GN ( κ = 0 ) 9.33 HEP ( κ = 0 ) 9.34 EP3 ( κ = 0 ) 9.44 GN, HEP e EP3 corresondem às formulações de Green-Naghdi (seção 6.3), hierelastolástica (seção 6.4) e do rograma EPIM3D (seção 8.8) Material com GF das constantes de encruamento em regime de equenas deformações elásticas A terceira situação analisada ara a barra da figura 6. é aquela na qual o material ossui GF (ver item 7.) das constantes de encruamento ao longo da direção x, e as deformações elásticas são equenas. O motivo da resente análise é a verificação numérica das equações descritas nos itens e desta tese. Foi adotada, aqui, aenas a formulação hierelastolástica da seção 6.4. Para modelar o comortamento lástico do material, foram emregadas quatro leis de encruamento: elastolástico erfeito (7.3) com GF do único coeficiente não nulo a 0 ; lei de Swift (7.4), com GF do coeficiente K aenas; lei de Voce (7.5), com GF do coeficiente σ 0 aenas; e lei de Prager (7.6), com GF do coeficiente c. A lei de GF usada aqui é lei de otência (7.4), e os valores do coeficiente são os seguintes: 0,0; 0,0;,0; 5,0; e infinito. Conforme o item 7., os casos 0,0 e corresondem aos dois casos limites com material homogêneo. Os valores limites dos coeficientes de encruamento são dados na tabela A simulação numérica foi realizada via controle de deslocamento. O comrimento da barra é dulicado em 00 incrementos, com imosição de deslocamento em toda a face com coordenada x = L0. Com relação à malha de

344 elementos finitos, foram utilizados seis tetraedros lineares ara os casos homogêneos, e 48 tetraedros lineares ara os casos com GF (ver figura 9.93). Tabela Valores limites dos coeficientes de encruamento da barra sob tração uniaxial do item Lei de encruamento Equação Coeficientes Elastolástico erfeito 7.3 a0 = 0,0 a0 = 00,0 K = 500,0 Swift 7.4 K = 000,0 E0 = 0,00 n = 0,5 σ0 = 0,0 Voce 7.5 σ0 = 00,0 σsat = 500,0 Cy =,50 a0 = 0,0 Prager 6.49 e 7.6 c = 00,0 c = 500,0 Os valores com índices e corresondem, resectivamente, aos valores dos coeficientes de encruamento em x = b 0 e x = 0 (figura 6.). As soluções analíticas, em termos da força longitudinal alicada na barra, são obtidas a artir das equações (8.34), (8.36), (8.38) e (8.49). Combinando tais equações com os coeficientes da tabela 9.60, as resectivas tensões longitudinais de engenharia (9.9.) resultam em: eng F 80 σ ( ELPP) = = 00 A0 λ + eng F 500 σ = = + λ A0 λ + ( SW) 000 0, 00 ln ( ) 0,5 eng F 80 σ ( VC) = = 00 e e A0 λ + (,5ln λ ) (,5ln λ ) (9.45.) (9.45.) (9.45.3)

345 eng F σ ( PR) = = 0 + ln ( λ) 500 A0 λ + onde as siglas ELPP, SW, VC e PR denotam, nesta ordem, as leis de encruamento (9.45.4) elastolástica erfeita (7.3), de Swift (7.4), de Voce (7.5) e de Prager (7.6); λ é o alongamento longitudinal (9.4.), uniforme em toda a barra da figura 6.; e é o coeficiente que define a GF de otência (7.4). Deve ser lembrado que as exressões acima só se alicam ara o caso de equenas deformações elásticas, e com alongamento longitudinal monotonamente crescente. Figura Malhas de tetraedros utilizadas ara simulação numérica da barra sob tração uniaxial do item Conforme as figuras 9.94, 9.95, 9.96 e 9.97, os resultados obtidos a artir das simulações numéricas estão de acordo com as resectivas soluções analíticas descritas em (9.45). Ademais, ode-se notar, em tais figuras, que o aumento do coeficiente de GF faz com que o material se torne mais rígido, ara as quatro leis de encruamento adotadas.

346 Figura Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra do item com material elastolástico erfeito com GF (ver exressão 7.3). O coeficiente é o coeficiente de GF de otência (7.4). As siglas SA e SN denotam, nesta ordem, a solução analítica (9.45.) e a simulação numérica. Figura Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra do item com lei de Swift com GF (ver exressão 7.4). O coeficiente é o coeficiente de GF de otência (7.4). As siglas SA e SN denotam, nesta ordem, a solução analítica (9.45.) e a simulação numérica.

347 Figura Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra do item com lei de Voce com GF (ver exressão 7.5). O coeficiente é o coeficiente de GF de otência (7.4). As siglas SA e SN denotam, nesta ordem, a solução analítica (9.45.3) e a simulação numérica. Figura Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra do item com lei de Prager com GF (ver exressão 7.6). O coeficiente é o coeficiente de GF de otência (7.4). As siglas SA e SN denotam, nesta ordem, a solução analítica (9.45.4) e a simulação numérica.

348 Material elastolástico erfeito com GF do módulo de Young sob grandes deformações elastolásticas No quarto caso, o material da barra da figura 6. é elastolástico erfeito com GF do módulo de Young ao longo da direção x (ver equações 7.9). Neste caso, os coeficientes do material são: E = 6, (9.46.) E =, (9.46.) ν= 0, (9.46.3) a0 = 00, 0 (9.46.4) onde E e E são os valores limites do módulo de Young em x = b0 e x = 0, resectivamente (ver figura 6.); ν é o coeficiente de Poisson; e a 0 é o único coeficiente não nulo da lei de encruamento isotróico olinomial (6.49). Com os coeficientes (9.46), os limites elástico e lástico são, resectivamente (ver equações 7.7 e 7.8): 6, , ( ) λ λ = 00,0 λ =,0 (9.47.) LE LE LE 4 ( ) λ λ = 00,0 λ = 3,0 (9.47.) LP LP LP Assim, ara alongamentos longitudinais λ <,0, todo o material encontra-se em regime elástico. Já ara alongamentos,0<λ < 3,0, arte do material está em regime elástico e arte está em regime elastolástico. Por fim, ara alongamentos λ > 3, 0, todo o material está em regime elastolástico. Com relação à simulação numérica, foram utilizados 000 incrementos de deslocamento na face x = L0 (ver figura 6.) até atingir um alongamento longitudinal λ = 5,0, uniforme em toda a barra. As malhas de elementos finitos são mostradas na figura A lei de GF emregada aqui é a lei de otência (7.4), e os valores adotados ara o coeficiente são: 0,0; 0,0;,0; 5,0; e infinito. Na fase elástica ( λ <λ tensão longitudinal de engenharia (9.9.) é: LE ), de acordo com a equação (7.3) e os coeficientes (9.46), a

349 eng 3 3, σ = ( λ λ ), (9.48) onde é o coeficiente de GF. Já na fase elastolástica ( λ LE <λ <λ LP ), conforme as exressões (7.33), (7.34) e (7.35), e os coeficientes (9.46), a coordenada limite X e a tensão longitudinal de engenharia (9.9.) são, resectivamente: 00, 0 X = b0, , λ λ EL ( ) ( ) eng eng eng EP (9.49.) σ = σ + σ (9.49.) X 3, X σ = λ λ, b0 + b0 ( eng EL ) ( 3 ) X b λ eng ( ) EP 0 σ = 00,0 (9.49.3) (9.49.4) Nessa fase, o material está em regime elástico ara os ontos com coordenada 0 x < X, e em regime elastolástico ara X < x b0. Por último, na fase lástica ( λ >λ LP longitudinal de engenharia (9.9.) é (ver exressões 7.37 e 9.46): 00,0 eng σ = λ ), a tensão (9.50) As simulações numéricas realizadas estão de acordo com as resectivas soluções analíticas ara os casos homogêneos e com GF (ver figura 9.98). Para os casos homogêneos, são ilustradas, nas figuras 9.99 e 9.00, a evolução dos alongamentos longitudinais total, elástico e lástico (ver exressões 6.94), e da tensão longitudinal elástica de Mandel (ver exressões 6.98). As distribuições finais do arâmetro de encruamento isotróico κ (6..), ao longo da coordenada x (ver figura 6.), são mostradas na figura 9.0.

350 Figura Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra do item : material elastolástico erfeito com GF do módulo de Young (ver coeficientes 9.46). O coeficiente é o coeficiente de GF de otência (7.4). As siglas SA e SN denotam, nesta ordem, a solução analítica (ver equações 9.48, 9.49 e 9.50) e a simulação numérica. Figura Evolução de algumas variáveis ara a barra homogênea do item ( 0,0 ou E = 6, ): (a) alongamentos longitudinais total, elástico e lástico (ver exressões 6.94); (b) tensão longitudinal elástica de Mandel (ver exressões 6.98).

351 Figura Evolução de algumas variáveis ara a barra homogênea do item ( inf ou E =, ): (a) alongamentos longitudinais total, elástico e lástico (ver exressões 6.94); (b) tensão longitudinal elástica de Mandel (ver exressões 6.98). Figura 9.0. Distribuição final do arâmetro de encruamento isotróico κ (6..), ao longo da coordenada x (ver figura 6.), ara a barra do item com GF. Na legenda, a letra se refere ao coeficiente de GF de otência (7.4).

352 Material com GF da constante K da lei de Swift sob grandes deformações elastolásticas No quinto caso da barra sob tração uniaxial da figura 6., foi adotada GF de otência (7.4), aenas, da constante K da lei de Swift (ver equação 7.4). Os coeficientes utilizados na simulação numérica do resente caso são: E = 00, 0 (9.5.) ν= 0,05 (9.5.) K = 97, (9.5.3) K = 68, (9.5.4) E0 = 0,05 (9.5.5) n = 0, 5 (9.5.6) Com os coeficientes (9.5), os limites elástico e lástico são, resectivamente (ver equações 7.7 e 7.8): 00,0 00,0 4 ( ) ( ) 0,5 λ λ = 97, , 05 λ =,50 (9.5.) LE LE LE 4 ( ) ( ) 0,5 λ λ = 68, , 05 λ =, 0 (9.5.) LE LE LP Ademais, na fase elastolástica ( λ LE <λ <λ LP ), de acordo com os coeficientes (9.5) e com a exressão (7.46), a coordenada limite X é: 50,0 4 X = b0 0,5 ( λ λ ) 68, , 05 [ -97, ] (9.53) onde é o coeficiente de GF de otência (7.4). Nessa fase, analogamente ao caso anterior, os ontos materiais com coordenada x x < X estão em regime elástico, e os ontos com > X encontram-se em regime elastolástico. Os valores de adotados aqui são: 0,0; 0,50;,0;,0; e infinito. Assim como no caso anterior, ara simulação numérica foram utilizadas as malhas da figura 9.93, e foram usados 000 incrementos de deslocamento na face x = L0 (ver figura 6.). Neste caso, orém, o alongamento longitudinal, uniforme em toda a barra, avança até λ = 3, 0. Além disso, as equações ara cálculo da força longitudinal alicada não são dadas

353 aqui, ois não se conhece a exressão analítica da distribuição do arâmetro κ ao longo do eixo x (ver exressões 7.48). Os gráficos tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal total (9.4.), ara os casos homogêneos e com GF, são ilustrados na figura 9.0. São mostrados, nas figuras 9.03 e 9.04, resultados numéricos obtidos com os materiais homogêneos. Por fim, as distribuições, ao final de dois assos, do arâmetro de encruamento isotróico κ (6..) e da função escalar que define o critério de lastificação Φ (6.0.3), ao longo do eixo x, são dadas nas figuras 9.05 e 9.06, resectivamente, nas quais se ode notar que os resultados numéricos estão de acordo com a coordenada limite X da equação (9.53). Figura 9.0. Tensão longitudinal de engenharia (9.9.) versus alongamento longitudinal total (9.4.) ara a barra do item : material com encruamento isotróico e com GF da constante K da lei de Swift (6.50). A letra se refere ao coeficiente de GF de otência (7.4). Estes resultados foram obtidos a artir das simulações numéricas.

354 Figura Evolução dos alongamentos longitudinais total, elástico e lástico (ver exressões 6.94) ara a barra homogênea do item A letra se refere ao coeficiente de GF de otência (7.4). Figura Tensão longitudinal elástica de Mandel (ver exressões 6.98) versus alongamento longitudinal total (9.4.) ara a barra homogênea do item A letra se refere ao coeficiente de GF de otência (7.4).

355 Figura Distribuição do arâmetro de encruamento isotróico κ (6..), ao longo do eixo x (ver figura 6.), ara a barra do item : (a) asso 350 ( λ =, 70 ); (b) asso 450 ( λ =, 90 ). A letra se refere ao coeficiente de GF de otência (7.4). A coordenada limite X é calculada via equação (9.53) ara os casos com GF. Figura Distribuição da função escalar que define o critério de lastificação Φ (6.0.3), ao longo do eixo x (ver figura 6.), ara a barra do item : (a) asso 350 ( λ =, 70 ); (b) asso 450 ( λ =, 90 ). A letra se refere ao coeficiente de GF de otência (7.4). A coordenada limite X é calculada via equação (9.53) ara os casos com GF.

356 Material homogêneo com encruamento cinemático não linear sob grandes deformações elastolásticas O último caso analisado numericamente da barra da figura 6. é com material homogêneo cujo comortamento elástico é definido ela lei hierelástica não linear neo- Hookeana (5.5), e o comortamento lástico é definido ela lei de encruamento cinemático não linear de Armstrong-Frederick (6.56). O material em questão é o aço doce CK5, e seus coeficientes, extraídos de Dettmer e Reese (004), são os seguintes: µ= 80000, 0 (9.54.) k = 73333, 0 (9.54.) a0 = 300, 0 (9.54.3) c = 900, 0 (9.54.4) b = 8,5 (9.54.5) onde µ e k são as constantes da lei hierelástica neo-hookeana (5.5); a constante a 0 é o limite de escoamento; e os arâmetros b e c são os coeficientes da lei de encruamento cinemático de Armstrong-Frederick (6.56). A malha utilizada na simulação numérica ossui seis elementos finitos sólidos tetraédricos de ordem linear (ver figura 9.93). A análise foi realizada via controle de deslocamento na face x = L0 (ver figura 6.) em três etaas: - etaa : alongamento longitudinal λ crescente, de,0 até,50; - etaa : alongamento longitudinal λ decrescente, de,50 até 0,75; - etaa 3: alongamento longitudinal λ crescente, de 0,75 até,0. Cada uma das etaas foi feita com 00 incrementos de deslocamento. De acordo com a figura 9.07, os resultados numéricos com a formulação hierelastolástica (ver seção 6.4) estão de acordo com os resultados numéricos da referência, e os resultados com a formulação de Green-Naghdi (ver seção 6.3) aresentam grandes discreâncias ara grandes deformações. A comonente X do tensor das tensões inversas na configuração inicial (ver figura 3.3 e equação 6.30) ao final de alguns assos é ilustrada na figura 9.08.

357 9..4. Comressão uniaxial A mesma barra da figura 6. foi analisada numericamente imondo comressão uniaxial. Para isso, dois casos foram estudados aqui: um homogêneo com grandes deformações lásticas e com equenas deformações elásticas, e outro com GF com grandes deformações elastolásticas. Figura Tensão longitudinal de Cauchy (ver figura 6.) versus alongamento longitudinal total (9.4.) ara a barra do item : material homogêneo com lei hierelástica neo-hookeana (5.5) e lei de encruamento cinemático de Armstrong-Frederick (6.56). Na legenda, as siglas GN, HEP e REF denotam, nesta ordem, a formulação de Green-Naghdi da seção 6.3, a formulação hierelastolástica da seção 6.4, e a referência Dettmer e Reese (004).

358 Figura Tensão inversa X, definida na configuração inicial (ver figura 3.3 e equação 6.30), ara a barra sob alongamento longitudinal do item : (a) λ =, 50 ; (b) λ =, 0 ; (c) λ = 0,75 ; (d) λ =, Material homogêneo com lei hierelástica linear e lei de Swift Para a rimeira barra sob comressão uniaxial, as constantes do material são dadas em (9.3). A malha ossui seis tetraedros (ver figura 9.93), e a simulação numérica é realizada com controle de deslocamento. O comrimento da barra é reduzido ela metade em 00 assos, o que equivale a dizer que o alongamento longitudinal decresce de,0 até 0,50 com incrementos de 0,005. Para analisar numericamente este exemlo, foram emregadas três formulações: a de Green-Naghdi, da seção 6.3; a hierelastolástica, da seção 6.4; e o rograma EPIM3D, do item 8.8. De acordo com a figura 9.09, os resultados numéricos obtidos com a formulação hierelastolástica e com o rograma EPIM3D são raticamente os mesmos, e a formulação de Green-Naghdi aresenta grandes discreâncias exceto ara deformações muito equenas ( λ ).

359 Figura Força longitudinal versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra homogênea da figura 6. sob comressão uniaxial. Na legenda, as siglas GN, HEP e EP3 denotam, resectivamente, a formulação de Green-Naghdi da seção 6.3, a hierelastolasticidade da seção 6.4, e o rograma EPIM3D do item MGF, lei hierelástica linear e lei de Voce Para o segundo caso da barra da figura 6. sob comressão uniaxial, foi adotada a lei hierelástica linear (5.) e a lei de encruamento isotróico de Voce (6.5). O material ossui GF, ao longo do eixo x, dos coeficientes de encruamento isotróico. Os valores limites de tais coeficientes são dados a seguir (ver equação 7.5): ( ) σ = 3,6 (9.55.) 0 ( ) σ = 370,9 (9.55.) sat ( CY ) = 0,8 (9.55.3) ( ) σ = 330,3 (9.55.4) 0

360 ( ) σ = 846,7 (9.55.5) sat ( CY ) = 6,3 (9.55.6) onde os limites com índice, referentes aos ontos materiais com coordenada x = b0, corresondem ao aço doce DC06; e os limites com índice, referentes aos ontos materiais com coordenada x = 0, corresondem ao aço de dula fase DP600 (OLIVEIRA; ALVES; CHAPARRO; MENEZES, 007). Neste caso, a GF é definida ela lei sigmoidal (7.5), e os valores adotados ara o coeficiente s são: 0,0; /3;,0; 3,0; e infinito. As malhas de elementos tetraédricos são mostradas na figura A simulação numérica foi feita via controle de deslocamento, com 00 incrementos, até reduzir o comrimento da barra ela metade. Para analisar este exemlo, aenas o código comutacional com a formulação hierelastolástica (ver seção 6.4) foi utilizado. Conforme a figura 9.0, o caso homogêneo s 0,0 é mais flexível do que o caso homogêneo s, e o valor do coeficiente s, ara os casos com GF, não altera significativamente os valores de força alicada. Ademais, a distribuição final do arâmetro de encruamento isotróico κ (6..) segue a distribuição dos valores dos coeficientes de encruamento isotróico (ver figura 9.). Figura 9.0. Força longitudinal versus alongamento longitudinal (9.4.) ara a barra sob comressão uniaxial do item A letra s se refere ao coeficiente de GF sigmoidal (7.5).

361 Figura 9.. Distribuição final do arâmetro de encruamento isotróico κ (6..) ara a barra da figura 6. sob comressão uniaxial do item A letra s se refere ao coeficiente de GF sigmoidal (7.5) Cisalhamento simles O risma sob cisalhamento simles (ver figura 9.0 e equações 9.4) é simulado aqui em regime elastolástico. Para isso, dois casos com material homogêneo são analisados: material com a lei hierelástica linear (5.) e a lei de encruamento isotróico de Swift (6.50); e material com a lei hierelástica neo-hookeana (5.5) e com a lei de encruamento cinemático de Armstrong-Frederick (6.56).

362 Material homogêneo com lei hierelástica linear e lei de Swift Neste exemlo numérico, são comaradas as formulações de Green-Naghdi, da seção 6.3, a hierelastolástica, da seção 6.4, e a do rograma EPIM3D, da seção 8.8. Para isso, foram adotados os coeficientes (9.3). A simulação numérica foi realizada via controle de deslocamento em 000 incrementos. A face com coordenada x = 5,0 é submetida a um deslocamento de 50,0 na direção x (ver figura 9.0), ou seja, a quantidade de cisalhamento avança até γ= tan ( θ ) = 0, 0. Assim como nas simulações numéricas do item 9.., a malha de elementos finitos emregada aqui também ossui seis tetraedros de aroximação linear. Conforme as figuras 9. e 9.3, mais uma vez a formulação hierelastolástica está de acordo com o rograma EPIM3D, e a formulação de Green-Naghdi fornece grandes discreâncias exceto ara deformações muito equenas. Na figura 9., a razão ela qual os dados são interromidos na formulação de Green-Naghdi é que os valores resultantes de força alicada se tornam muito elevados, o que dificulta a comaração entre as outras duas formulações. Figura 9.. Força cisalhante alicada (9.5.) versus quantidade de cisalhamento (9.5.) ara o risma sob cisalhamento simles do item Na legenda, as siglas GN, HEP e EP3 denotam, resectivamente, a formulação de Green-Naghdi da seção 6.3, a hierelastolasticidade da seção 6.4, e o rograma EPIM3D do item 8.8.

363 Figura 9.3. Parâmetro de encruamento isotróico (6.33) ou (8.4) versus quantidade de cisalhamento (9.5.) ara o risma sob cisalhamento simles do item Na legenda, as siglas GN, HEP e EP3 denotam, resectivamente, a formulação de Green-Naghdi da seção 6.3, a hierelastolasticidade da seção 6.4, e o rograma EPIM3D do item Material homogêneo com leis hierelástica e de encruamento cinemático não lineares Para o segundo exemlo do risma sob cisalhamento simles da figura 9.0 em regime elastolástico, aenas a formulação hierelastolástica (ver seção 6.4) é emregada. O material utilizado é um olímero vítreo (PET ou olietileno tereftalato orientado), cujos coeficientes são (DETTMER; REESE, 004): µ=80,0 (9.56.) k = 30, 0 (9.56.) a 0 = 35,0 c = 00, 0 b =,7 (9.56.3) (9.56.4) (9.56.5)

364 onde µ e k são as constantes da lei hierelástica neo-hookeana (5.5); a constante a 0 é o limite de escoamento; e os arâmetros b e c são os coeficientes da lei de encruamento cinemático de Armstrong-Frederick (6.56). Assim como no exemlo anterior, a simulação numérica foi feita via controle de deslocamento, orém a quantidade de cisalhamento γ (9.5.), neste caso, evolui da seguinte forma: - etaa : γ crescente, de 0,0 até 4,0; - etaa : γ decrescente, de 4,0 até -,0; - etaa 3: γ crescente, de -,0 até 0,0. O incremento de γ, em cada asso, é de 0,0 Assim, são 00 assos na etaa, 300 assos na etaa, e 00 assos na etaa 3, totalizando 600 assos. A malha de elementos finitos é a mesma do exemlo anterior, isto é, são utilizados seis tetraedros de ordem linear. Os resultados numéricos obtidos neste estudo corroboram os dados numéricos da referência, em equenas e em grandes deformações elastolásticas (ver figura 9.4). Na figura 9.5, são ilustradas algumas configurações de equilíbrio com os resectivos valores da tensão inversa X, definida na configuração inicial (ver figura 3.3 e equação 6.30). Figura 9.4. Tensão cisalhante de Cauchy σ t = (ver figura 9.0) versus quantidade de cisalhamento γ (9.5.) ara o risma sob cisalhamento simles do item As siglas HEP e REF denotam, resectivamente, os resultados numéricos deste estudo com a formulação hierelastolástica da seção 6.4, e os dados numéricos da referência Dettmer e Reese (004).

365 Figura 9.5. Tensão inversa X, definida na configuração inicial (ver figura 3.3 e equação 6.30), ara o risma sob cisalhamento simles do item 9..5.: (a) γ= 4,0 (asso 00); (b) γ= 0,0 (asso 400); (c) γ=,0 (asso 500); (d) γ= 0,0 (asso 600). A variável γ é a quantidade de cisalhamento (9.5.) Viga em balanço com força rescrita Neste exemlo, similar ao do item 9..6., é analisada numericamente uma viga em balanço rismática (0,0 x,0 x,0) em regime elastolástico. A simulação é realizada via controle de carga. A força, alicada ao longo de x na face x = 0,0 (ver figura 9.4), avança até o valor de 0,005, e retorna até 0,0. Em ambas as fases, de carregamento e de descarregamento, são utilizados 00 incrementos de força, iguais a 0, Os graus de liberdade restritos são os seguintes: todos os deslocamentos da face x = 0,0 ; os deslocamentos em x 3 dos ontos com coordenada x3 = 0,0. Devido à simetria em relação ao eixo x 3, aenas uma metade da viga é discretizada. A malha base (ver Aêndice F) é a malha número 4 da figura 9.4, e o refinamento em termos do número de elementos finitos é realizado ao longo da direção longitudinal, conforme o item Com relação à lei

366 constitutiva, são adotados os coeficientes (9.3), e é utilizada aenas a formulação hierelastolástica da seção 6.4. De acordo com a análise de convergência da figura 9.6, o refinamento da malha em termos do número de elementos finitos tetraédricos e em termos da ordem de aroximação melhora a recisão dos resultados, já que a rigidez excessiva da malha é eliminada com o refinamento e, assim, os deslocamentos das malhas mais refinadas são maiores (ver último arágrafo do item 9..3). Figura 9.6. Força alicada versus deslocamento do onto central da face da extremidade livre da viga em balanço do item Na legenda os valores corresondem, resectivamente, ao número de nós, à quantidade de elementos finitos sólidos tetraédricos, e à ordem de aroximação olinomial dos tetraedros (ver item 3.) Viga em balanço com deslocamento rescrito A viga rismática em balanço do exemlo anterior é numericamente analisada aqui em regime elastolástico via controle de deslocamento. O deslocamento transversal na direção x da aresta com coordenadas x = 0,0 e x =, 0 (ver figura 9.4) avança até 4,0 em 800

367 incrementos. Os graus de liberdade restritos são os mesmos do exemlo anterior, e aenas uma metade da viga é discretizada devido à simetria em relação ao eixo x 3. O material é o aço doce DC06 cujos coeficientes são (OLIVEIRA; ALVES; CHAPARRO; MENEZES, 007): E = 06000, 0 (9.57.) ν= 0,30 (9.57.) K = 59,5 (9.57.3) E0 = 0, (9.57.4) n = 0, 680 (9.57.5) Para simular numericamente este roblema estrutural, foram emregados três códigos comutacionais: aquele com a formulação de Green-Naghdi, da seção 6.3; aquele com a formulação hierelastolástica, da seção 6.4; e o rograma EPIM3D, da seção 8.8. Nos dois rimeiros casos, é utilizada a malha base 4 da figura 9.4 com divisão dos três hexaedros em seis tetraedros, o que resulta em 8 elementos finitos sólidos tetraédricos. Além disso, ordem de aroximação é variável (de um a quatro). Já no rograma EPIM3D, são utilizados três elementos finitos hexaédricos de ordem linear com integração reduzida seletiva (MALKUS; HUGHES, 978a; MALKUS; HUGHES, 978b). O objetivo aqui é comarar as três formulações elastolásticas ara roblemas estruturais com grandes deslocamentos e equenas deformações. As seguintes conclusões odem ser tiradas a artir da figura 9.7: as malhas de elementos lineares aresentam grande travamento, devido à excessiva rigidez resultante; os valores da força alicada, quando se comara as formulações de Green-Naghdi e a hierelastolástica, são bastante diferentes ara as malhas lineares, são róximos ara as malhas quadráticas, e são raticamente os mesmos ara as malhas cúbica e do quarto grau. Ademais, de acordo com a figura 9.8, as distribuições finais do arâmetro de encruamento isotróico κ, obtidas com as formulações de Green-Naghdi e hierelastolástica, são raticamente as mesmas ara as malhas do quarto grau. Assim sendo, ara equenas deformações, as duas formulações suracitadas arecem ser equivalentes. Por fim, os resultados numéricos obtidos com o rograma EPIM3D estão de acordo com as simulações numéricas com os elementos tetraédricos (ver figura 9.9).

368 Figura 9.7. Força alicada versus deslocamento transversal da viga em balanço do item Na legenda, as alavras se referem à ordem de aroximação olinomial dos elementos finitos tetraédricos, e as siglas GN e HEP corresondem às formulações de Green-Naghdi (seção 6.3) e hierelastolástica (seção 6.4). Figura 9.8. Distribuição final do arâmetro de encruamento isotróico κ (6.33) ara a viga em balanço do item 9..7: (a) formulação hierelastolástica; (b) formulação de Green-Naghdi. Estes resultados numéricos foram obtidos a artir da malha com 8 elementos finitos tetraédricos do quarto grau.

369 Figura 9.9. Força alicada versus deslocamento transversal da viga em balanço do item Na legenda, as alavras se referem à ordem de aroximação olinomial dos elementos finitos tetraédricos, e as siglas HEP e EP3 corresondem, nesta ordem, aos resultados numéricos obtidos com a formulação hierelastolástica (seção 6.4) e com o rograma EPIM3D (seção 8.8) Bloco arcialmente carregado O mesmo bloco do item (ver figura 9.76) é analisado aqui em regime elastolástico via controle de carga. Neste caso, contudo, o material é o olímero vítreo do item (ver coeficientes 9.56), a malha base (ver Aêndice F) é mostrada na figura 9.0, e a carga suerficial evolui da seguinte forma: - etaa (00 assos): carga decresce até -88,0; - etaa (00 assos): carga cresce até 88,0; - etaa 3 (00 assos): carga decresce até 0,0. Devido à simetria em relação aos lanos x = 0,0 e x3 = 0,0, aenas um quarto do bloco é discretizado. Cada um dos quatro hexaedros da malha base da figura 9.0 é dividido em seis tetraedros, o que resulta em 4 elementos finitos sólidos tetraédricos. A ordem de aroximação é variável (de um a quatro). Para simular numericamente este exemlo, é emregada aenas a formulação hierelastolástica da seção 6.4.

370 Figura 9.0. Malha base do bloco arcialmente carregado do item De acordo com a figura 9., os resultados numéricos deste estudo corroboram os resultados numéricos da referência Dettmer e Reese (004), e a malha com elementos tetraédricos de ordem linear aresenta travamento. Figura 9.. Carga suerficial alicada versus deslocamento do onto A na direção x (ver figura 9.0) ara o bloco arcialmente carregado em regime elastolástico. As alavras na legenda corresondem à ordem de aroximação olinomial dos elementos finitos sólidos tetraédricos.

371 Figura 9.. Deslocamentos ao longo de x ara o bloco arcialmente carregado em regime elastolástico (ver figura 9.0) ao final do asso: (a) 00 ( = 88,0 ); (b) 00 ( = 0,0 ); (c) 300 ( = 88,0 ); (d) 400 ( 0,0 = ). Estes resultados numéricos foram obtidos a artir da malha com 4 elementos tetraédricos do quarto grau Indentação de bloco O mesmo bloco do exemlo anterior é simulado numericamente aqui com controle de deslocamento. A arte do bloco que é carregada no item 9..8 (ver figura 9.0) é agora submetida a um deslocamento rescrito na direção x, o qual avança, em 00 assos, até -5,0, e retorna até 0,0 também em 00 assos. O material neste caso é o aço de dula fase DP600, com lei hierelástica linear (5.9) e lei de encruamento isotróico de Swift (6.50), cujos coeficientes são (OLIVEIRA; ALVES; CHAPARRO; MENEZES, 007):

372 E = 0000,0 (9.58.) ν= 0,30 (9.58.) K = 093, 0 (9.58.3) E0 = 0, (9.58.4) n = 0,870 (9.58.5) Para analisar este exemlo com a formulação hierelastolástica da seção 6.4, foram emregadas as mesmas malhas de elementos finitos do item Este roblema estrutural também foi simulado numericamente com o rograma DD3IMP (ver seção 8.8). Para isso, foi necessário, além de esecificar a malha de elementos hexaédricos lineares, definir a geometria da ferramenta que realiza a comressão (ver figura 9.3). No rograma DD3IMP, assume-se que tal ferramenta ossui uma rigidez infinita, isto é, a ferramenta não se deforma. As imagens das malhas foram geradas com o rograma GID, utilizado elo aluno durante seu estágio de Doutorado na Universidade de Coimbra. Os resultados numéricos do rograma com a formulação hierelastolástica da seção 6.4 estão de acordo com os resultados do rograma DD3IMP da seção 8.8 (ver figura 9.4). Na figura 9.5, são mostradas as distribuições do arâmetro de encruamento isotróico κ, ara as malhas mais refinadas, ao final do asso 00, isto é, ara um deslocamento na direção x igual a -5,0. Nessa figura, ode-se notar a simetria, em relação ao lano x = x3 (ver figura 9.3), da distribuição do arâmetro κ ara a malha de hexaedros utilizada no rograma DD3IMP. Já a distribuição do arâmetro κ na figura 9.5a não é simétrica em relação ao lano x = x3 ois a malha de tetraedros também não é simétrica em relação a esse lano Chaa com orifício circular tracionada A chaa homogênea ilustrada na figura 9.6 é analisada numericamente via controle de deslocamento. Segundo a referência Mosler (00), este exemlo é usualmente emregado ara investigar a consistência de modelos elastolásticos. Em tal referência, são usados elementos finitos sólidos tetraédricos de ordem quadrática (com 0 nós). Para simular numericamente este roblema estrutural, é utilizado aqui aenas o código comutacional com a formulação hierelastolástica da seção 6.4. A malha de elementos finitos emregada ossui

373 78 sólidos tetraédricos de ordem variável (de um a três). Devido à simetria em relação aos lanos x = 8,0, x = 0,50 e x3 = 0,0, aenas um oitavo da chaa é discretizada. Figura 9.3. Geometria da ferramenta e malhas de elementos finitos hexaédricos lineares ara simulação da indentação do bloco com o rograma DD3IMP. Figura 9.4. Força total alicada versus deslocamento do onto A na direção x (ver figura 9.0) ara o bloco sob indentação em regime elastolástico: (a) todas as malhas; (b) malhas mais refinadas. Na legenda, as alavras denotam a ordem de aroximação dos elementos tetraédricos ara simulação com a hierelastolasticidade (HEP) da seção 6.4, e os números reresentam a quantidade de hexaedros lineares ara simulação com o rograma DD3IMP (DD3) da seção 8.8.

374 Figura 9.5. Distribuição do arâmetro de encruamento isotróico κ (6.33) ou (8.4) ara as malhas mais refinadas do bloco sob indentação da figura 9.3, ao final do asso 00 (deslocamento na direção x igual a -5,0): (a) 4 elementos tetraédricos do quarto grau (rograma com a formulação hierelastolástica deste estudo); (b) 8 elementos hexaédricos lineares (rograma DD3IMP). Figura 9.6. Chaa com orifício circular tracionada (geometria, lei constitutiva, condições de contorno e malha base). A arte hachurada reresenta a arte discretizada da chaa. A comaração dos resultados numéricos deste estudo com os da referência, em termos do gráfico força versus deslocamento, é mostrada na figura 9.7, na qual se ode notar que é necessária uma melhor análise de convergência, ou seja, ara oder comarar os resultados é reciso simular este exemlo com malhas mais refinadas. A osição final da chaa (no último asso) é mostrada na figura 9.8.

375 Figura 9.7. Força alicada versus deslocamento u da face x = 0,0 ara a chaa da figura 9.6. Na legenda, as alavras se referem à ordem de aroximação dos elementos finitos tetraédricos deste estudo. Os valores de força comutados aqui corresondem aenas à arte discretizada da chaa, isto é, corresondem a um quarto da força total em toda a chaa. Figura 9.8. Posição de equilíbrio final da chaa da figura 9.5. Os valores corresondem aos deslocamentos finais na direção do eixo: (a) x ; (a) x ; (a) x 3. Estes resultados numéricos foram obtidos a artir da malha com 78 elementos finitos tetraédricos de ordem cúbica.

376 9... Achatamento de cilindro Este exemlo numérico, extraído de Castelló e Flores (008) e roosto inicialmente or Taylor e Becker (983), é o achatamento de um coro de rova homogêneo cilíndrico (ver figura 9.9). De acordo com a rimeira referência, neste roblema ocorrem elevadas deformações de comressão e grande distorção da malha de elementos. Devido à simetria em relação aos lanos x = 0,0, x = 0,0 e x3 = 0,0, aenas um oitavo do cilindro é discretizado. Para simular numericamente este exemlo, foi utilizada aenas a formulação hierelastolástica da seção 6.4, e foram emregadas malhas com 7 elementos finitos sólidos tetraédricos com grau de aroximação variável (de um a quatro). Figura 9.9. Achatamento de cilindro (geometria, lei constitutiva e condições de contorno). As linhas tracejadas denotam a arte discretizada do cilindro. Conforme a figura 9.30, os resultados numéricos deste estudo, em termos do gráfico força versus deslocamento, convergem ara a solução numérica da referência com aumento do grau de aroximação olinomial dos elementos tetraédricos. Na figura 9.3, é ilustrada a osição final do cilindro, ara a malha mais refinada.

377 Figura Força alicada versus deslocamento da face com coordenada x3 = 5,0 ara o cilindro da figura 9.9. As alavras na legenda se referem à ordem de aroximação olinomial dos elementos finitos tetraédricos. Os valores de força comutados aqui corresondem aenas à arte discretizada, ou seja, corresondem a um quarto da força total alicada em todo o cilindro. Figura 9.3. Configuração inicial e deslocamentos verticais finais ara o cilindro da figura 9.9. Estes resultados numéricos foram obtidos com a malha de 78 tetraedros do quarto grau.

378 9... Achatamento de risma O último roblema estrutural, ilustrado na figura 9.3, é analisado numericamente com o rograma DD3IMP aenas (ver seção 8.8). Para simulação são emregados elementos finitos sólidos hexaédricos de ordem linear. As malhas de hexaedros, juntamente com as resectivas distribuições finais do arâmetro de encruamento isotróico κ (8.4), são mostradas na figura A análise de convergência, em termos do gráfico força versus deslocamento, é dada na figura Figura 9.3. Achatamento de risma (geometria, condições de contorno e lei constitutiva). A arte hachurada denota a arte do risma com deslocamento rescrito, ou seja, é a arte que entra em contato com a ferramenta de comressão.

379 Figura Malhas de elementos hexaédricos utilizadas no rograma DD3IMP (ver seção 8.8), e distribuições finais do arâmetro de encruamento isotróico κ (8.4).

380 Figura Força alicada versus deslocamento na direção x da face com coordenada x =, 0 do risma sob achatamento da figura 9.3. Na legenda, os números e a sigla Hex corresondem à quantidade de elementos finitos sólidos hexaédricos lineares Temo de rocessamento ara as estratégias sequencial e aralela Conforme o item 8.6 desta tese, os códigos comutacionais deste estudo foram aralelizados (UKTU et al., 98). Para mostrar a influência dessa aralelização no temo de simulação numérica, foram comarados os temos de rocessamento ara dois roblemas estruturais. O rimeiro é a viga em balanço da figura 9.0 em regime elástico. O segundo roblema é a barra sob tração uniaxial da figura 6. em regime elastolástico. O material dessa barra é o aço doce DC06 (ver coeficientes 9.57), e o comrimento dela é dulicado em 000 incrementos. Para a comaração dos temos de rocessamento, foi utilizado o chamado seedu (RAO; RAO; DATTAGURU, 003): SU TP SEQ = (9.59) TP PAR

381 onde TP SEQ e TP PAR são, resectivamente, os temos da simulação numérica com os códigos comutacionais sequencial e aralelo. O comutador utilizado neste caso ossui oito rocessadores. Para simulação com a estratégia sequencial, os oito rocessadores realizam simultaneamente os mesmos cálculos. Já na estratégia aralela, cada rocessador monta os sistemas locais (8.) de seus resectivos elementos finitos, e só o rocessador central, chamado de mestre, monta e resolve o sistema global (8.9). Para realizar as simulações numéricas deste item, foram emregados aenas elementos finitos sólidos tetraédricos de ordem linear. De acordo com as figuras 9.35 e 9.36, o temo de simulação numérica com o código aralelo é menor do o temo com o código sequencial, como era de se eserar. Porém, os valores obtidos de seedu (9.59) ara a barra em regime elastolástico são menores do que os obtidos ara a viga em regime elástico. Figura Comaração entre as estratégias sequencial e aralela ara a viga em balanço em regime elástico: (a) deslocamento final 3 u do onto A (ver figura 9.0); (b) temo de simulação numérica (em segundos); (c) seedu (9.59).

382 Figura Comaração entre as estratégias sequencial e aralela ara a barra sob tração uniaxial em regime elastolástico: (a) força longitudinal final alicada (ver figura 6.); (b) temo de simulação numérica (em segundos); (c) seedu (9.59).

383 0. CONCLUSÕES Neste último caítulo, são feitos alguns comentários gerais sobre o trabalho, e são descritas as conclusões do resente estudo tiradas, rincialmente, dos resultados numéricos do caítulo Tóicos do estudo Neste estudo, é descrita uma formulação numérica ara simulação comutacional, via Método dos Elementos Finitos (MEF), de estruturas constituídas de materiais homogêneos ou heterogêneos com gradação funcional (GF) em regime elástico ou elastolástico, com deslocamentos finitos e com deformações equenas ou grandes. Além disso, os objetivos deste estudo, descritos no item., foram alcançados. 0.. Elementos finitos sólidos No resente estudo a estrutura, considerada um meio contínuo, é discretizada via elementos finitos sólidos tetraédrico e hexaédrico com ordem de aroximação olinomial qualquer, isto é, as funções de forma, emregadas ara interolar a osição do elemento, ossuem um grau genérico. Além disso, ara reroduzir os deslocamentos finitos e as grandes deformações, são utilizadas grandezas cinemáticas da Mecânica Não Linear do Contínuo (MNLC). Embora o MEF e a MNLC sejam bastante difundidos no meio acadêmico, uma das contribuições deste estudo é o uso de um grau de aroximação genérico ara os elementos finitos. Essa ordem de aroximação qualquer ode ser de grande auxílio em trabalhos futuros com elementos finitos, já que a existência de uma base grande de dados com os coeficientes das funções de forma, nos casos de graus muito elevados, não é imerativa. Para simulação numérica, foram utilizadas as seguintes ordens de aroximação olinomial: linear, quadrática, cúbica, quarto grau e quinto grau.

384 0.3. Equilíbrio Para descrição do equilíbrio de cada elemento finito e, assim, de toda a estrutura, nenhuma modificação significativa em relação à metodologia do gruo de esquisa do aluno foi realizada. A descrição da cinemática é Lagrangiana Total, o equilíbrio é exresso elo Princíio da Mínima Energia Potencial Total, o ar conjugado tensão-deformação é comosto elo segundo tensor de Piola-Kirchhoff e elo tensor deformação de Green-Lagrange, os vetores de forças internas e as matrizes Hessianas são determinados via integração numérica, e a solução do sistema não linear de equações, resultante da aroximação numérica, é feita com o método iterativo de Newton-Rahson Hierelasticidade Para modelar a resosta elástica dos materiais, foram emregadas aqui leis constitutivas hierelásticas, cujas equações foram descritas elo aluno em sua dissertação de mestrado. Assim, não foi necessário desenvolver novamente os cálculos da tensão e do tensor elástico de quarta ordem. Tais cálculos, imlementados em sub-rotinas do código comutacional desenvolvido elo aluno no mestrado, foram aroveitados neste estudo Elastolasticidade Neste estudo, foram desenvolvidos códigos comutacionais com duas formulações ara materiais em regime elastolástico: a de Green-Naghdi e a hierelastolástica. Para a rimeira formulação, a deformação é decomosta de forma aditiva nas arcelas elástica e lástica, de modo similar à formulação elastolástica de materiais em regime de deformações infinitesimais. Já no modelo hierelastolástico, são emregadas a segunda lei da termodinâmica e a decomosição multilicativa do gradiente. Em ambos os casos, são utilizados o critério de lastificação de von-mises, a etaa de revisão elástica, e os algoritmos de retorno ara correção lástica. Ademais, ode-se notar a maior comlexidade

385 da formulação hierelastolástica em relação à de Green-Naghdi, já que o número necessário de cálculos ara determinação da tensão e ara realização do retorno é bem maior ara a hierelastolasticidade. Tal comlexidade ode ser vista na formulação analítica da barra sob tração uniaxial, da seção 6.7. Basicamente, as diferenças entre as formulações deste estudo e do gruo de esquisa, no contexto da elastolasticidade, são a decomosição da deformação (ou do gradiente) e a utilização de outras medidas na lei constitutiva. No resente estudo o tensor das tensões de Mandel, emregado ara descrever o comortamento elástico do material, e o tensor das tensões inversas são descritos na configuração intermediária GF Neste estudo é utilizado o conceito da GF, a qual ode ser definida como a variação gradual (contínua e suave) da comosição do material e, ortanto, de suas roriedades constitutivas. Além disso, leis de GF são emregadas aqui ara definir a variação gradual dos coeficientes da lei constitutiva do material ao longo de uma das três direções. Para simular numericamente estruturas constituídas de materiais com GF, como o cálculo das forças internas e das matrizes Hessianas é realizado via integração numérica, é necessário calcular os coeficientes com GF do material em cada onto de integração. Esse cálculo, feito de forma analítica, está armazenado em sub-rotinas dos códigos comutacionais desenvolvidos. Para o caso da barra sob tração uniaxial, são dadas no item 7.5 algumas equações e soluções analíticas ara o caso de materiais com GF Regime de equenas deformações elásticas Neste estudo foram desenvolvidos os seguintes códigos comutacionais, descritos no caítulo 8: gerador automático das funções de forma; gerador de malhas de elementos sólidos a artir de uma malha base hexaédrica; código ara análise de materiais em regime elástico; e código ara análise de materiais em regime elastolástico. Além de desenvolver tais códigos, o aluno teve contato, ao longo de seu estágio de Doutorado na Universidade de Coimbra, com os rogramas EPIM3D e DD3IMP. O rimeiro rograma é utilizado ara análise numérica de

386 materiais em regime elastolástico, e o segundo ara simulação numérica de rocessos de conformação lástica. Nas formulações desses dois rogramas, é usada a hiótese de equenas deformações elásticas. Ademais, na seção desta tese, é mostrado que a formulação hierelastolástica, da seção 6.4, é equivalente, em termos da resosta lástica do material, à formulação dos rogramas EPIM3D e DD3IMP ara análise de materiais em regime de equenas deformações elásticas, mas com deformações lásticas finitas Resultados numéricos A artir dos resultados das simulações numéricas, dados no caítulo 9, odem ser tiradas as seguintes conclusões: - ara os casos de deformação uniforme (como a tração uniaxial, a comressão uniaxial e o cisalhamento simles), os resultados numéricos deste estudo estão de acordo com as resectivas soluções analíticas e com os resectivos dados exerimentais; - ara o elemento finito tetraédrico, a quadratura Gaussiana é mais eficiente do que a estratégia de integração numérica de Rathod, Venkatesudu e Nagaraja (007), já que a rimeira fornece raticamente os mesmos resultados com menor número de ontos de integração; - ara o caso da tração uniaxial, é mostrada no item 9..5 a influência dos coeficientes de GF no comortamento da barra, em termos do gráfico força versus deslocamento e da distribuição da tensão e da deformação longitudinais; - embora o elemento finito da resente formulação numérica seja sólido (tridimensional), o refinamento da malha de elementos melhora a recisão dos resultados ara roblemas estruturais de órticos lanos e de vigas tridimensionais com grandes deslocamentos; - ara os roblemas estruturais dos dois itens anteriores com materiais em regime elástico, é mais eficiente refinar a malha na direção longitudinal do que refiná-la na transversal; - os códigos comutacionais desenvolvidos aqui também odem ser emregados ara simular numericamente roblemas estruturais com chaas e cascas finais, como é caso da membrana de Cook e do cilindro transversalmente tracionado; a única ressalva a isso é o elevado número de graus de liberdade necessário ara a correta simulação numérica;

387 - ara análise de materiais em regime elastolástico, a estratégia de revisão elastolástica, com cálculo do oerador tangente elastolástico de quarta ordem, melhora a convergência do método de Newton-Rahson ara obtenção do equilíbrio de forças; - ara o caso da barra sob tração uniaxial, não foram constatadas diferenças significativas entre os métodos de retorno exlícito e imlícito, desde que os incrementos de força (ou de deslocamento) sejam equenos; - os resultados numéricos deste estudo corroboram as equações e soluções analíticas ara vários casos da barra sob tração uniaxial em regime elastolástico e constituída de material homogêneo e com GF; - as simulações numéricas da viga em balanço em regime elastolástico indicam que as formulações de Green-Naghdi e a hierelastolástica são equivalentes ara roblemas estruturais com grandes deslocamentos e equenas deformações; - ara o regime de equenas deformações elásticas, os resultados numéricos deste estudo estão de acordo com os resultados numéricos dos rogramas EPIM3D e DD3IMP; - foram constatados ganhos significativos, em relação aos temos de simulação, com a aralelização dos códigos comutacionais; esse ganho, contudo, é maior ara análise de materiais em regime elástico; - a convergência dos resultados com o refinamento da malha de elementos finitos é clara ara as simulações numéricas de estruturas em regime elástico; já ara simulação de materiais em regime elastolástico, é necessário refinar as malhas utilizadas ara se obter uma melhor convergência dos resultados, o que demanda um temo de rocessamento muito grande Ideias ara trabalhos futuros São dadas neste item algumas sugestões ara trabalhos futuros: - imlementação, nos códigos comutacionais desenvolvidos aqui, de outras leis constitutivas ara modelar a resosta mecânica do material analisado; - comaração dos algoritmos de retorno imlícito e exlícito ara vários roblemas estruturais, em relação aos resultados, ao temo de rocessamento e à estabilidade numérica; - utilização do algoritmo de geração das funções de forma ara outros elementos finitos; - refinamento da malha de elementos finitos ara análise da convergência dos resultados das simulações numéricas de materiais em regime elastolástico.

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406

407 ANEXO A Quadratura Unidimensional de Gauss-Legendre emregada ara determinação da Quadratura Tridimensional do Elemento Finito Sólido Hexaédrico (ver equações 8.) Número de Pontos i gl (i) wgl (i)

408

409 ANEXO B Quadratura Gaussiana ara o Elemento Finito Sólido Tetraédrico (ver tabela 8.) Número de Pontos ξ () ξ () ξ3 () w () /6 /6 /6 /6 4 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (continua)

410 (continuação) Número de Pontos ξ () ξ () ξ3 () w () 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (continua)

411 (continuação) Número de Pontos ξ () ξ () ξ3 () w () 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (continua)

412 (continuação) Número de Pontos ξ () ξ () ξ3 () w () 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (continua)

413 (continuação) Número de Pontos ξ () ξ () ξ3 () w () 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (continua)

414 (conclusão) Número de Pontos ξ () ξ () ξ3 () w () 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

415 APÊNDICE A Geração Automática das Funções de Forma Neste Aêndice é aresentado o algoritmo ara geração automática dos coeficientes das funções de forma e de suas derivadas, no esaço adimensional, ara os elementos finitos unidimensional, quadrilateral, triangular, hexaédrico e tetraédrico ara qualquer ordem de aroximação olinomial (ver seção 8.). A.. Elemento finito unidimensional (barra) O rimeiro valor a ser determinado é o número de nós or elemento finito. No caso da barra unidimensional (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 005), esse valor, reresentado or nn, é calculado da seguinte forma: nn = + ga (A) onde ga é o grau do olinômio aroximador do elemento unidimensional, ou seja, é o grau - ou a ordem - das funções de forma (equações 3.). O segundo asso é adotar um adrão generalizado ara numeração interna dos nós, isto é, um adrão ara numeração dos nós no elemento finito ara qualquer ordem de aroximação. O esquema de numeração interna dos nós, no caso da barra unidimensional, é mostrado na figura A. Figura A. Padrão de numeração interna dos nós ( ) ara o elemento finito unidimensional. O valor ga é o grau do olinômio aroximador do elemento, e o eixo ξ reresenta a coordenada adimensional em relação ao rimeiro nó.

416 Aós definir o adrão de numeração interna dos nós, devem ser calculadas as coordenadas adimensionais dos nós, ou seja, as coordenadas em relação ao eixo ξ (ver figura A). Neste estudo foram adotadas as seguintes hióteses: o rimeiro nó () ossui coordenada adimensional ξ = 0; o último nó ( nn ) ossui coordenada adimensional ξ = ; os nós são definidos no conjunto de ontos { ξ / 0 ξ } ; e os nós são igualmente esaçados ao longo da coordenada adimensional ξ. Assim sendo, as coordenadas adimensionais dos nós são calculadas com a exressão a seguir: ( ) ξ i i = (A) ga onde i, que varia de a nn, é o número do nó em relação ao elemento finito, isto é, o valor i é referente à numeração local do elemento. As funções de forma (equações 3.) do elemento finito de barra odem ser calculadas, em qualquer onto do elemento, da seguinte maneira generalizada, ou seja, ara qualquer ordem de aroximação ( ga ): ga k n k k k k ga k ( ξ) cn ( ξ) c0 cξ cξ... cgaξ n= 0 φ = = (A3) onde φ k é a função de forma relativa ao nó k; e os coeficientes k c n é o n-ésimo coeficiente da função de forma k. Ademais, as funções de forma adotadas neste estudo são os olinômios de Lagrange (equação 3.). Com isso, é ossível escrever o seguinte sistema de equações: onde k k k k ( ) ( ) ( )... ( ) ga φ k ξ = ξ i = c0 + c ξ i + c ξ i + + cga ξ i = δki (A4) δ ki é o delta de Kronecker (HOLZAPFEL, 004). O sistema (A4) ode ser escrito na seguinte forma matricial, ara qualquer ordem de aroximação ( ga ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ ξ φ ξ φ ξ nn c0 c c ga φ nn c0 c c ξ φ ξ φ ξ ga ξ ξ ξ nn = nn nn nn ga ga ga φ ( ) ( ) ( ) c0 c cga nn nn ξ φnn ξ φnn ξ nn ξ ξ ξ = (A5.) 0 0 McoefξM = I (A5.)

417 onde φ ξ( i) k é o valor da função de forma k no nó i; e ξ k é a coordenada adimensional do nó k. A matriz dos coeficientes das funções de forma ode ser determinada via equação (A5.), isto é: coefξ ( ) M = M (A6) A matriz de otências adimensionais, reresentada or com a seguinte exressão generalizada: ( ) ( ) i M ξ (equação A5.), é determinada M ξ i,jξ= j (A7) onde ξ( j ) é a coordenada adimensional do nó j (ver equação A); e os índices i e j variam de até nn (equação A). Para determinação, via equação (3.4), das funções de forma num onto qualquer de coordenada adimensional coordenada adimensional: ( ) ( ) i vξ ξ P i ξ = ξ, resta determinar o vetor que contém as otências da P = (A8) Por fim, ara cálculo das derivadas das funções de forma do elemento de barra em relação à coordenada adimensional ξ (ver equações 3.5. e 3.5.3), deriva-se a equação (A3) em relação a ξ : onde ( ξ) ga φ n = c + ( c ) ξ+ ( 3c ) ξ ( ga c ) ξ = d ( ξ) (A9) ξ k k k k k ga k 3 ga n n= 0 k d n é o n-ésimo coeficiente da derivada de função de forma k em relação à coordenada adimensional ξ. Com a exressão (A9), é ossível determinar os coeficientes das derivadas das funções de forma com a equação a seguir: ( ) d = n+ c + (A0) k k n n As derivadas das funções de forma em relação à coordenada ξ odem ser determinadas, num onto qualquer do elemento ( ξ = ξ ), de modo similar à equação (3.4): P φ ξ d d ( ξ ) = M v P ξ coef (A.)

418 φ ξ φ / ξ / φ ξ = φ3 / ξ φnn / ξ (A.) M d coef d0 d d ga d0 d dga = nn nn nn d0 d d ga (A.3) ξ P d v ξ = ξp ξ ga P (A.4) A.. Elemento quadrilateral lano Analogamente ao caso do elemento finito unidimensional (ver item A.), o rimeiro valor a ser calculado é o número de nós or elemento finito. Esse valor, no caso do elemento quadrilateral, é obtido ela seguinte equação: nn = ( + ga) (A) onde ga é o grau do olinômio aroximador do elemento quadrilateral. O adrão generalizado ara numeração interna dos nós do elemento quadrilateral, juntamente com os eixos de coordenadas adimensionais ξ e ξ, é mostrado na figura A.

419 Figura A. Padrão de numeração interna dos nós ( ) ara o elemento finito quadrilateral. O valor ga é o grau do olinômio aroximador do elemento, os eixos ξ e ξ reresentam a coordenadas adimensionais em relação ao rimeiro nó, e o asterisco ( * ) denota multilicação. Com relação às coordenadas adimensionais dos nós no elemento quadrilateral, são adotadas aqui as seguintes hióteses: as coordenadas do rimeiro nó () são ( 00, ); as coordenadas do último nó ( nn ) são (, ) ; os nós são definidos no conjunto de ontos {( ξ, ξ) / 0 ξ, ξ } ; e os nós ertencentes à mesma reta são igualmente esaçados. Com isso, as coordenadas dos nós são determinadas com o algoritmo comutacional a seguir: Ciclo i = Ciclo j = 0, ga 0, ga k = + ( ga + ) i + j j ξ ( k) = (A3) ga i ξ ( k) = ga Fim do ciclo j = Fim do ciclo i = 0, ga 0, ga A interretação geométrica dos índices i e j do algoritmo acima é dada na figura A3.