Hiperelasticidade. 25 de Outubro de Silvestre T Pinho

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1 Mestrado em Engenharia Mecânica Mecânica não linear Dra. Lúcia Dinis Hierelasticidade Silvestre T Pinho 5 de Outubro de 005 Objectivos Perceber o que é hierelasticidade e orque é que um modelo hierelástico tem dissiação nula Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, ara diferentes casos (materiais comressíveis, incomressíveis) Conhecer e saber usar algumas formas articulares da função energia de deformação 5 de Outubro de 005

2 Sumário da aula Materais hierelásticos isotróicos Materiais hierelásticos incomressíveis Materiais hierelásticos comressíveis Formas articulares da energia de deformação Recaitulação e conclusões 5 de Outubro de O que é hierelasticidade? Para os médicos... é uma doença da ele. From htt:// 5 de Outubro de 005 4

3 O que é hierelasticidade? Modelos Materiais ão elásticos Elásticos Carregamento Descarregamento ε ε ε ε 5 de Outubro de O que é hierelasticidade? Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é: um modelo material (ou modelo constitutivo) em que a relação tensão vs. deformação é reversível (seja esta relação linear ou não) Carregamento Descarregamento ε 5 de Outubro de ε ε ε

4 O que é hierelasticidade? Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é: (outra forma da definição) um modelo material (ou modelo constitutivo) em que o estado de tensão em cada momento deende aenas do estado de deformação naquele momento (e eventualmente da temeratura), mas não da história de deformação Carregamento Descarregamento ε 5 de Outubro de ε ε ε O que é hierelasticidade? o entanto, um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) não garante que o trabalho feito elo camo de tensões durante um certo intervalo de temo é indeendente do ercurso Carregamento Descarregamento ε 5 de Outubro de ε ε ε

5 O que é hierelasticidade? Se a lei constitutiva na forma Ψ P = F P = f (F) uder ser exressa, isto é, se a função de energia de deformação Ψ existir, então odemos rovar (com base na segunda lei da termodinâmica) que o trabalho feito elo camo de tensões durante um certo intervalo de temo é indeendente do ercurso 5 de Outubro de O que é hierelasticidade? Modelos materiais elásticos ara grandes deformações Hioelásticos Hierelásticos tal que a relação não ode ser derivada de uma função de energia acumulada * τ * τ = a :d ( taxa de tensão de Kirchhoff d taxa de deformação) Green (839, 84) Os materiais hierelásticos também são chamados suer-elásticos erfeitamente elásticos ou Green-elásticos 5 de Outubro de 005 0

6 O que é hierelasticidade? Formalmente, define-se um material hierelástico como sendo um material ara o qual existe uma função de energia livre de Helmholtz (ou energia de deformação ou energia armazenada) ψ tal que: Ψ P = ou F P ik Ψ = F ik 5 de Outubro de 005 Exemlo de uso de um modelo hierelástico Comutation of a hyerelastic membrane at finite strains. The deformation (no scaling) is dislayed. The material law is based on a olyconvex and coercive strain-energy function rorosed by Hartmann and eff. The mesh consists of six hexahedral elements of high order (=7) From htt:// 5 de Outubro de 005

7 sobre equações constitutivas Equações constitutivas ara materiais hierelásticos Existe uma energia livre de Helmholtz Ψ, a qual é definida or unidade de volume na configuração de referência, e não or unidade de massa. Se Ψ = Ψ( F, X), isto é, a energia livre de Helmholtz Ψ é aenas função de F (ou outro tensor de deformação, ara além (eventualemente) da osição do onto material), então também é chamada energia de deformação ou energia acumulada. Material heterogeneo: Ψ = Ψ( F, X) Materiao homogéneo: Ψ = Ψ( F) 5 de Outubro de sobre equações constitutivas Equações constitutivas ara materiais hierelásticos Por definição de Ψ, Ψ( F) Ψ(F) P = ou PiK = F FiK ik E, tendo em conta a relação entre o tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy T ( = J PF ), obtemos: T Ψ( F) = J F ou ij J F Ψ( ) = F ik F F jk As equações anteriores são designadas or equações constitutivas ou equações de estado. O modelo resultante chama-se modelo material ou modelo constitutivo. 5 de Outubro de T

8 sobre equações constitutivas Equações constitutivas ara materiais hierelásticos Desigualdade de Clausius-Planck (ª e ª leis da termodinâmica), ignorando efeitos térmicos: D int = wint Ψ& 0 em que w int é a otencia interna resultante do camo de tensões e ode ser exressa como w = P : F& = S : & int C/ e D int é a dissiação interna ou rodução local de entroia. 5 de Outubro de sobre equações constitutivas Equações constitutivas ara materiais hierelásticos D int = w Ψ& 0 int Para um modelo material hierelástico, Ψ D int = P : F & : F& Ψ = P F : F& F = 0 Logo um modelo material hierelástico tem rodução local de entroia nula. 5 de Outubro de 005 6

9 sobre equações constitutivas Equações constitutivas ara materiais hierelásticos Limitações ara a função Ψ : Ψ( I ) = 0 (condição de normalização) E logo ara a configuração deformada Ψ( F ) 0 J Ψ(F) J 0 + Ψ( F) 5 de Outubro de sobre equações constitutivas Formas equivalentes da energia de deformação Objectividade: a energia de deformação de um material deformado não é afectada or uma subsequente rotação e/ou translação do material deformado Pode-se demonstrar a artir da objectividade da energia de deformação que Ψ ( F) = Ψ( QF) ara qualquer tensor ortogonal Q T Para Q = R, conclui-se que Ψ ( F) = Ψ( U) (decomosição olar) 5 de Outubro de 005 8

10 sobre equações constitutivas Formas reduzidas das equações constitutivas Usando a regra da diferenciação em cadeia, é ossível rovar que: T Ψ( F) Ψ( C) T = F F C O que ode ser usado ara obter formas reduzidas das equações constitutivas em termos das: Tensões de Cauchy Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff Segundas tensões de Piola-Kirchhoff 5 de Outubro de sobre equações constitutivas Formas reduzidas das equações constitutivas Tensões de Cauchy T T Ψ( F) Ψ( C) T = J F = J F F ou = J ij F C T F Ψ( F) Ψ( C) ik = J FiK F jk CKL T F jl 5 de Outubro de 005 0

11 sobre equações constitutivas Formas reduzidas das equações constitutivas Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff Ψ( C) Ψ( C) P = F ou PiK = FiL C C KL Segundas tensões de Piola-Kirchhoff Ψ( C) Ψ( E) Ψ( C) Ψ( E) S = = ou SiK = = C E C E KL KL 5 de Outubro de 005 sobre equações constitutivas Trabalho feito or materiais hierelásticos W = t P : F& dt = t t t t Ψ( F) : F & DΨ( F) dt = d = Ψ( F ) ( F t = ) Ψ F Dt t Ao contrário de materiais Cauchy-elásticos, o trabalho feito elo camo de tensões num material hierelástico deende aenas das configurações inicial e final: indeendente da trajectória. Para rocessos fechados ( F = F ), o trabalho é semre nulo. 5 de Outubro de 005

12 Materiais isotróicos hierelásticos Definições A resosta do material (tensão vs. deformação) é a mesma em todas as direcções. Formalmente, em hierelasticidade, ode ser demonstrado que um material é isotróico quando T Ψ ( F) = Ψ( FQ ) ara qualquer tensor ortogonal Q Alternativamente, a condição anterior ode ser T exressa como: Ψ ( C) = Ψ( QCQ ) 5 de Outubro de Materiais isotróicos hierelásticos Equações constitutivas em termos de invariantes Pode-se demonstrar que se uma função tensorial ( Ψ ) é invariante erante uma rotação (isotroia), então ode ser exressa em termos dos invariantes do seu argumento: [ ( C), I ( C), I ( )] Ψ ( C) = Ψ I 3 C 5 de Outubro de 005 4

13 Materiais isotróicos hierelásticos Equações constitutivas em termos de invariantes Alicando regra da diferenciação em cadeia, Ψ( C) Ψ Ψ Ψ Ψ S = = + I I C + I3 C C I I I I3 5 de Outubro de Materiais isotróicos hierelásticos Equações constitutivas em termos de invariantes E, tendo em conta a relação entre o segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy T T ( = J FSF ) e que b = FF, obtemos: Ψ Ψ Ψ Ψ = J I I I b b ou I 3 I I I Ψ Ψ Ψ Ψ = J I + I3 I + b + I3 b I I 3 I I 5 de Outubro de 005 6

14 Materiais isotróicos hierelásticos Eq. constitutivas em termos dos alongamentos relativos rinciais Se Ψ é invariante, então ode ser exressa em termos dos alongamentos relativos rinciais: [ ( C), λ ( C), λ ( )] Ψ ( C) = Ψ λ 3 C 5 de Outubro de Materiais hierelásticos incomressíveis Vários tios de olímeros e tecidos vivos (biomacânica) odem ser consideravelmente deformados sem areciáveis alterações de volume Para esses casos, é comum tratá-los como incomressíveis Condição de incomressibilidade: J = 5 de Outubro de 005 8

15 Materiais hierelásticos incomressíveis Função de energy de deformação Para obter equações constitutivas ara um material hierelástico incomressível, ostula-se a seguinte função de energia armazenada: Ψ = Ψ( F ) ( J ) onde é um multilicador de Lagrange que se ode identificar com a ressão hidrostática. só ode ser determinado a artir das equações de equilíbrio e das condições de fronteira 5 de Outubro de Materiais hierelásticos incomressíveis Função de energy de deformação Por definição de material hierelástico, o rimeiro tensor de Piola-Kirchhoff vem: T Ψ( F) P = F + FF O segundo tensor de Piola-Kirchhoff ode ser obtido como: T Ψ( F) Ψ( C) S = F F + F = C + FF CC E o tensor de Cauchy vem: Ψ( F) = I + F F T Ψ( F) = I + F F T 5 de Outubro de

16 Materiais hierelásticos incomressíveis Hierelasticidade isotróica incomressível Uma função de energia de deformação aroriada é dada or Ψ = Ψ[ I, I ] ( I3 ) O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchoff é dado or: S = C Ψ + + I I Ψ Ψ I C I I E o tensor das tensões e Cauchy Ψ Ψ = I + b b I I 5 de Outubro de Materiais hierelásticos incomressíveis Hierelasticidade isotróica incomressível Em termos dos alongamentos relativos rinciais, Ψ = Ψ( λ, λ, λ3 ) ( J ) As tensões rinciais de Cauchy odem ser obtidas como: Ψ i = + λi λi E as tensões rinciais de Piola-Kirchhoff Ψ P i = + λ λ i i e Ψ S i = + λ i λi λi 5 de Outubro de 005 3

17 Materiais hierelásticos comressíveis Um material que ode sofrer variações de volume é dito comressível. As esumas são exemlos de materiais que suortam deformações finitas com mudança de volume É útil dividir-se o comortamento do material numa comonente volumétrica e numa comonente isocórica (ou de desvio ou de corte). Por exemlo ara materiais quase incomressíveis, esta divisão evita comlicações numéricas ao usar elementos finitos 5 de Outubro de Materiais hierelásticos comressíveis Decomosição Decomosição de F e C numa comonente dilatacional (volume variável) e distorcional (volume constante): F ( / 3 / 3 = J I)F e C = ( J I)C Comonente dilatacional comonente distorcional F gradiente de deformação modificado C tensor direito de Cauchy-Green modificado det = λ λλ3 = F det C = ( det F) = λ i = J λ - alongamentos relativos rinciais modificados / 3 i 5 de Outubro de

18 Materiais hierelásticos comressíveis Energia de deformação Postula-se que a função de energia de deformação ode ser desacolada: Ψ( C) = Ψvol ( J ) + Ψiso ( C) 5 de Outubro de Materiais hierelásticos comressíveis Dissiação Usando a exressão da segunda lei da termodinâmica sob a forma da desigualdade de Clausius-Plank, D int = wint Ψ& 0 em que w int é a otencia interna resultante do camo de tensões e ode ser exressa como w = P : F& = S : & int C/ e int D é a dissiação interna ou rodução local de entroia... 5 de Outubro de

19 Materiais hierelásticos comressíveis Dissiação Lei constitutiva...ode obter-se ara um material hierelástico (dissiação nula): dψvol ( J ) / 3 dψiso ( C) C& D int = S J C J P : : = 0 d d J C O termo entre arenteses é nulo e ermite definir as segundas tensões de Piola-Kirchhoff ara um material hierelástico comressível, as quais odem ser divididas numa comonente volumétrica e numa comonente isocórica... 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação A resosta de materiais hierelásticos é derivada da função de energia de deformação Ψ Existem várias formas ara essa função, roostas or diferentes autores 5 de Outubro de

20 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Ogden ara materais incomressíveis (borracha) Função energia de deformação em termos dos alongamentos relativos rinciais: µ α α α Ψ = Ψ( λ, λ, λ3 ) = ( λ + λ + λ3 3) α = - número inteiro ositivo que controla o número de termos µ - módulos de corte α - constantes adimensionais = 3 excelente correlação com dados exerimentais 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Ogden ara materais incomressíveis (borracha) Exemlo Considere uma membrana incomressível hierelástica sob deformação biaxial. O camo de deslocamentos ode ser exresso em termos dos alongamentos relativos rinciais de acordo com: x = λ X, x = λ X, x = 3 X 3 λλ. Determine o camo de tensões de Cauchy em função dos alongamentos relativos rinciais, usando o modelo de Odgen. 5 de Outubro de

21 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Ogden ara materais incomressíveis (borracha) Solução: Ψ. Material incomressível: i = + λi λi. Modelo de Odgen: µ α α α Ψ = Ψ( λ, λ, λ3 ) = ( λ + λ + λ3 3) = α 3. Incomressibilidade: λ 3 = λλ 4. Substituindo () em (): α i = + µ ( λi ) = 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Ogden ara materais incomressíveis (borracha) 4. Substituindo () em (): i = + µ 5. =? = α ( λ ) Estado lano de tensão: = 3 0 Usando (4) com i = 3, obtem-se = α ( λ ) µ 3 = i 5 de Outubro de 005 4

22 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Ogden ara materais incomressíveis (borracha) i = = α ( λ ) µ 3 = 6. Pode-se substituir (obtido em (5)) e exrimir λ 3 em função de λ e λ (3): α α [ λ ( λ λ ) ] = µ = α α = µ [ λ ( λλ ) ] = 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelos de Mooney-Rivlin, neo-hookean e Varga ara materiais incomressíveis São casos articulares do modelo de Ogden 5 de Outubro de

23 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Mooney-Rivlin ara materais incomressíveis É igual ao modelo de Odgen µ α α α Ψ = Ψ( λ, λ, λ3 ) = ( λ + λ + λ3 3) com =, α α = e α = : Ψ = c = ( λ + λ + λ 3) + c ( λ + λ + λ 3) ( I 3) + c ( I 3) Ψ = c Com c = / e c = / µ 3 µ 3 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo neo-hookean ara materais incomressíveis É igual ao modelo de Odgen µ α α α Ψ = Ψ( λ, λ, λ3 ) = ( λ + λ + λ3 3) com = e α α = : = Ψ = c Ψ = c ( λ + λ + λ 3) ( I 3) 3 5 de Outubro de

24 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Varga ara materais incomressíveis É igual ao modelo de Odgen µ α α α Ψ = Ψ( λ, λ, λ3 ) = ( λ + λ + λ3 3) com = e α α = : = ( λ + λ + λ 3) Ψ = c com c = µ 3 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo Exemlo Insuflamento de um balão atmosférico. Objectivo: Calcular a ressão dentro do balão e a tensão circunferencial (de Cauchy) em função do alongamento relativo circunferencial. 5 de Outubro de

25 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo Geometria corrente Geometria inicial H=0. m R=0 m h, r 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo Geometria: Raio inicial: R =0m Esessura inicial: H = 0.m Proriedades mecânicas ( µ = /m ): Ogden: 5 α =.3 µ = /m α = 5.0 α =.0 3 µ = µ = /m /m Mooney-Rivlin: c = µ e c = 0.065µ eo-hookean: c = µ 5 de Outubro de

26 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo. Devido à simetria, λ = λ = λ. Usando a solução do exercício anterior: α α [ λ ( λ λ ) ] = µ = α α [ λ ( λ λ ) ] = µ = E a simetria, obtemos: = = µ α α [ λ λ ] 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo = = µ α α [ λ λ ] 3. A ressão é determinada elas equações de equilíbrio: 5 de Outubro de 005 5

27 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo h = r h r 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo = = µ α α [ λ λ ] 3. A ressão é determinada elas equações de equilíbrio: h = r 4. cinemática: λ = 5 de Outubro de

28 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo πr H πr h λ = λ 3 = r R h H 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo = = µ α α [ λ λ ] 3. A ressão é determinada elas equações de equilíbrio: h = r 4. cinemática: λ = r / R λ = h / 3 H 5. Incomressibilidade: λ / λ = Usando (), (3), (4), (5) e (6): H α 3 α 3 = µ [ λ λ ] R = 5 de Outubro de

29 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo 40 Tensão de Cauchy (MPa) Ogden Mooney-Rivlin neo-hookean Varga Alongamento relativo λ 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis - exemlo 6 Pressão interna (kpa) Ogden Mooney-Rivlin neo-hookean Varga Alongamento relativo 5 de Outubro de

30 Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelos de Yeoh, e de Arruda e Boyce ara materiais incomressíveis Adequado ara borracha contendo negro de carbono e/ou sílica 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais incomressíveis Modelo de Yeoh ara materiais incomressíveis Ψ = c ( I 3) + c ( I 3) + c ( I ) Modelo de Arruda e Boyce Com base numa exansão de Taylor Ψ = µ 3 I... 0n 050n onde n é o número de segmentos numa cadeia ( I 3) + ( I 9) + ( 7) + 5 de Outubro de

31 Formas da função energia de deformação Materiais comressíveis Modelo de Ogden ara materiais comressíveis Ψ = Ψvol ( J ) + Ψiso ( λ, λ, λ3) Com Ψ ( J ) = κβ Ψ vol β ( β ln J + J ) µ α ( λ ) iso ( λ, λ, λ3) = i = α 5 de Outubro de Formas da função energia de deformação Materiais comressíveis Modelo de Simo e Miehe: Igual ao modelo de Odgen, mas com Ψvol ( J ) = κ ( J ln J ) 4 4 É ossível formular os modelos de Mooney-Rivlin, neo-hookean, Varga, e de Arruda e Boyce ara materiais comressíveis, usando o mesmo formalismo 5 de Outubro de 005 6

32 Recaitulação O que é hierelasticidade e orque é que um modelo hierelástico tem dissiação nula Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, ara diferentes casos (materiais comressíveis, incomressíveis) Como usar algumas formas articulares da função energia de deformação 5 de Outubro de Modelo hierelástico dissiação nula Hierelasticidade + Mecânica não linear descrição adequada do comortamento de vários materiais reais (eg borrachas) no domínio das grandes deformações Para cada material (ou tio de material), deve ser escolhida uma forma aroriada da função energia de deformação 5 de Outubro de

33 Referências G A Holzafel. onlinear Solid Mechanics, A continuum aroach for enginneers. John Wiley & Sons Ldt, England, 000. L E Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, Inc, USA, 969. I Doghri. Mechanics of Deformable Solids, Linear and nonlinear, analytical and comutational asects. Sringer-Verlag, Germany, 000. V A Lubarda. Elastolasticity theory. CRC Press LLC, 00 G T Mase, G E Mase. Continuum Mechanics for Engineers, Second Edition, CRC Press LLC, de Outubro de Aontamentos Esta aresentação (em formato df) encontra-se em: htt:// e em htt:// Perguntas? 5 de Outubro de