ESTRATÉGIA PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID DIGITAIS VIA ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO BASEADO NAS ESPECIFICAÇÕES DAS MARGENS DE GANHO E FASE

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1 8 a de setembro de ESRAÉGIA PARA SINONIA DE CONROLADORES PID DIGIAIS VIA ALGORIMO GENÉICO MULIOBJEIVO BASEADO NAS ESPECIFICAÇÕES DAS MARGENS DE GANHO E FASE Felipe C. Silva, Ginalber L. O. Serra Instituto Federal de Educação, Ciência e ecnologia Departamento de Eletro-Eletrônica Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada Av. Getúlio Vargas, 4, Monte Castelo, 653-5, São Luis, Maranhão, Brasil felipecs.@hotmail.com, ginalber@ifma.edu.br Abstract his paper proposes a methodology for digital PID controllers design via multiobjective genetic algorithm based on gain and phase margins specifications to linear plants with time delay. he discrete transfer functions of the PID controller and the linear plant with time delay are obtained, based on ustin and Padé aproximations, to generate analytical formulas for the gain and phase margins in the frequency domain. hese formulas are used to develop a multiobjective genetic algorithm so that based on gain and phase margins specifications, the digital PID controller parameters can be obtained. Simulation results in the time and frequency domains show the robustness and the efficience of the proposed methodology compared with others methods available in the literature. Keywords Digital control, PID controller, genetic algorithm, intelligent control, linear plant, time delay. Resumo Este artigo propõe uma metodologia para projeto de controladores PID digitais via algoritmo genético multiobjetivo baseada nas especificações margens de ganho e fase para plantas lineares com atraso de tempo. As funções de transferência discreta do controlador PID e da planta linear com atraso de tempo são obtidas com base nas aproximações de ustin e Padé, para gerar fórmulas analíticas para as margens de ganho e fase no domínio da freqüência. Estas fórmulas são usadas para desenvolver um algoritmo genético multiobjetivo, para que com base nas especificações margens de ganho e fase, os parâmetros do controlador PID digital possam ser obtidos. Os resultados de simulação no domínio do tempo e da freqüência mostram a robustez e a eficiência da metodologia proposta em comparação com outros métodos disponíveis na literatura. Palavras-chave atraso de tempo. Controle digital, controlador PID, algoritmos genéticos, controle inteligente, planta linear, Introdução O avanço recente na tecnologia de computadores tem proporcionado novas direções para o projeto de controladores, tais como a realização de controles adaptativos, auto-ajustáveis, controle inteligente de processos e controladores realizados a partir de métodos de otimização probabilísticos (Kristinsson and Dumont, 99) e (Marín et al., 998). Neste patamar, o controlador PID ainda representa a melhor escolha no setor industrial, de forma que muitos métodos têm sido desenvolvidos para o ajuste de seus parâmetros (Astrom and Hagglund, 995). Eles surgiram na década de 3 e eram desenvolvidos inicialmente com dispositivos pneumáticos e mecânicos. Com o advento dos semicondutores, os controladores PID passaram a ser desenvolvidos usando-se dispositivos analógicos. Na década de 6, com o surgimento dos circuitos integrados, foram concebidos os sistemas de controle digital (Aguirre, 7). Finalmente na década de 8, com a diminuição dos custos dos microcomputadores e microcontroladores, os controladores PID digitais se consolidaram nas indústrias. A partir de então, o desenvolvimento de metodologias para o projeto de controladores PID digitais que garantissem estabilidade e robustez tornou-se necessário (Ashry et al., 8), (Keel et al., n.d.) e (Zhang et al., n.d.). Métodos baseados na resposta em freqüência são amplamente utilizados para o projeto de controladores robustos (Ogata, ). Nestes, duas medidas importantes são comumente empregadas para se determinar a estabilidade relativa dos sistemas em análise: as margens de ganho e de fase. Estas especificações pré-definidas e alcançadas no projeto, garantem estabilidade e robustez do sistema de controle, mesmo diante de variações em algum componente da planta que influencie o ganho a malha aberta, constantes de tempo, atraso de tempo etc...(ogata, ) e (Franklin et al., 986). Contudo, o projeto a partir das margens de ganho e fase é normalmente realizado por métodos de tentativa e erro baseada nos gráficos de Bode. ais abordagens não são muito adequadas para o uso em controle adaptativo e auto-ajustáveis onde os parâmetros do controlador devem ser calculados on-line. Em especial, no projeto de controladores PID digitais, o traçado do diagrama de bode está restrito a limitações do período de amostragem escolhido bem como das aproximações estabelecidas durante o processo de discretização. A fim de desenvolver uma metodologia de projeto de controladores PID digitais, neste artigo é proposta uma metodologia via algoritmo genético multiobjetivo para a sintonia dos parâmetros de controladores ISSN: Vol. X 785

2 8 a de setembro de PID digitais de modo a atender as especificações das margens de ganho e fase pré-estabelecidas. As funções de transferência discreta do controlador PID e da planta linear com atraso de tempo são obtidas com base na transformação ustin e a aproximação de Padé, para gerar fórmulas analíticas para as margens de ganho e fase no domínio da freqüência. Estas fórmulas são usadas para desenvolver um algoritmo genético multiobjetivo, para que com base nas especificações margens de ganho e fase, os parâmetros do controlador PID digital possam ser obtidos. Os resultados de simulação no domínio do tempo e da freqüência mostram a robustez e a eficiência da metodologia proposta em comparação com outros métodos disponíveis na literatura. Análise das margens de ganho e fase no tempo discreto Seja a função de transferência de um controlador PID convencional dada por: G c (s) = K p + K i s + K ds () onde K p, K i e K d são os ganhos proporcional, integral e derivativo respectivamente, e o operador s representa a transformada de Laplace. A discretização deste controlador pode ser realizado por quaisquer métodos de discretização tais como método de Euler ou retangular em avanço, método retangular em atraso, método trapezoidal ou aproximação de ustin ainda conhecido como aproximação bilinear e método de mapeamento de pólos-zeros. Destes, escolheu-se a aproximação de ustin, pois esta preserva as condições de estabilidade dos sistemas transformados (zafestas, n.d.). Deste modo, um sistema estável no tempo contínuo é transformado em outro sistema estável no tempo discreto e a mesma relação sendo válida para sistemas instáveis. A transformação é expressa pela seguinte relação: s = (z ) (z + ) () onde equivale ao período de amostragem e o operador z representa a transformada z. Deste modo, o equivalente discreto para o controlador PID é obtido e representado pela seguinte equação: K 3 = K p + K i + K d (6) Seja a planta linear de segunda ordem com atraso de tempo dada pela seguinte função de transferência: G p (s) = K s + α s + α e Ls (7) onde K é o ganho da planta, α e α são os coeficientes da equação característica, e L é o atraso de tempo. Nesta análise, representou-se o atraso de tempo e Ls de forma aproximada como uma razão de polinômios em s, como segue: sendo, e Ls R n (s) = Q n( Ls) Q n (Ls) Q n = n j= (8) (n + j)! j!(n j)! (Ls)(n j) (9) Deste modo, o atraso de tempo é aproximado por uma função de transferência de ordem finita, quanto maior a ordem escolhida mais razoável será a aproximação. Utilizando uma razão de polinômios de grau dois, o que já apresenta resultados satisfatórios, é obtida a seguinte função de transferência para o atraso de tempo: e Ls R = (Ls) 6Ls + (Ls) + 6Ls + () Os equivalentes discretos para planta e para o atraso de tempo, considerando o mesmo procedimento realizado para discretizar o controlador PID, são dados por: e G p (z) = K (z + ) B z + B z + B 3 () B = (4 + α + α ) () B = (α 8) (3) B 3 = (4 α + α ) (4) G c (z) = K z + K z + K 3 (z ) (3) Onde as constantes K, K e K 3 representam as seguintes relações: R (z) = D z + Cz + D D z + Cz + D (5) C = 6 L (6) K = K p + K i + K d (4) D = L 3L + 3 (7) K = ( K i K d ) (5) D = L + 3L + 3 (8) ISSN: Vol. X 786

3 8 a de setembro de Uma vez obtidas as funções de transferência para o controlador PID e para planta com atraso no domínio do tempo discreto, no que segue obtém-se a formulação das equações para as margens de ganho e de fase no domínio da frequência.. Equações no domínio da frequência As equações no domínio da freqüência baseiam-se na seguinte transformação bilinear, descrita em (Franklin et al., 986): z = + W W (9) onde W é uma variável auxiliar a qual é equivalente a: W = (z ) (z + ) Substituindo z = e js na equação () tem-se: W = e s e s + = e s/ e s/ e s/ + e s/ () W = tanh(s/) () Sendo s puramente imaginário, ou seja, igual a jw a equação () resulta em: W = jtan(w/) () Ainda, para W = jn, onde n representa uma variável no domínio de W, tem-se: jn = jtan(w/) (3) Sabe-se que para valores pequenos a tangente de um ângulo é aproximadamente igual ao seu valor medido em radianos. Para pequenos valores de em uma determinada faixa de w pode-se considerar que o arco será pequeno o bastante para validar a seguinte relação: n = w n = w (4) Deste modo, utilizando-se a transformação bilinear e considerando um período de amostragem pequeno o suficiente para garantir a validade de (4), encontram-se as seguintes equações na freqüência para o controlador: G c (jw) = 4A w + (A w 4A 3 )j 8 w para a planta: (5) A = K K + K 3 (6) A = K K 3 (7) A 3 = K + K + K 3 (8) G p (jw) = e para o atraso de tempo: 6K (β 3 β w ) + β wj (9) β = B B + K 3 (3) β = 4(B B 3 ) (3) β 3 = 4(B + B + B 3 ) (3) R (jw) = σ + γj σ γj (33) σ = 4(D + C + D ) (D + C + D ) w (34) γ = 4(D D ) w (35). Equações para sintonia do controlador PID digital A partir das equações no domínio da freqüência para o controlador, planta e o atraso de tempo pretende-se determinar as equações de sintonia para o controlador PID digital. Estas equações, conforme dito anteriormente, serão baseadas nas especificações das margens de ganho e fase. As definições básicas de margens de ganho e fase implicam em: arg[g c (jw p )G p (jw p )R (jw p )] = π (36) A m = G c (jw p )G p (jw p )R (jw p ) (37) G c (jw g )G p (jw g )R (jw g ) = (38) P m = arg[g c (jw g )G p (jw g )R (jw g )] (39) Onde a margem de ganho é dada pelas equações (36) e (37), e a margem de fase pelas equações (38) e (39). A freqüência w p na qual a fase do sistema em malha aberta é igual a 8graus é conhecida como freqüência de cruzamento da fase, e a freqüência w g na qual o módulo do sistema em malha aberta é igual a db (ou seja igual a ) é conhecida como freqüência de cruzamento do ganho. Substituindo-se as equações (5), (9) e (33) nas equações (36)-(39) tem-se: atan( I ) atan( I 6Lw p ) + atan( R R L wp ) = π R A m = + I R + I (4) (4) R + I = (4) R + I ISSN: Vol. X 787

4 8 a de setembro de Φ m = atan( I ) atan( I 6Lw g ) + atan( R R L wg ) (43) R = 6KK p 3 w (44) R = α w[8 + w 3 w ] 6 3 w 3 (45) I = K i (K 5 w 3 K)+K d (K 3 w 6 K) (46) I = 6α 3 w (47) Estas equações serão utilizadas para a sintonia do controlador PID digital, onde os ganhos K, K e K 3 serão encontrados de modo que as especificações das margens de ganho e fase sejam atendidas. As equações (4) e (4) determinam as freqüências de cruzamento de fase e ganho que, por sua vez, são aplicadas as equações (4) e (43) para se determinar os valores das margens de ganho e fase. Especificando-se valores de margens de ganho e fase de modo a garantir a estabilidade do sistema, mesmo a possíveis variações do processo controlado, pode-se determinar os parâmetros do controlador PID digital e por fim projetar um controlador robusto e de fácil realização. Porém, devido à complexidade das equações (4)-(43), métodos analíticos não são praticáveis e, portanto, neste artigo é proposta uma estratégia de sintonia via algoritmo genético multiobjetivo. 3 Estratégia de sintonia multiobjetiva Nesta seção, uma estratégia baseada em algoritmo genético multiobjetivo para a sintonia dos controladores PID digitais, a partir das especificações das margens de ganho e fase e das frequências de cruzamento de ganho e fase, será apresentada. A função de custo foi definida utilizando-se as equações (4), (4), (4) e (43). Cada cromossomo é constituído por três genes, onde cada gene representa um parâmetro do controlador PID digital. A função avaliativa ou de custo toma o conjunto de valores de cada cromossomo e pelas equações (4) e (43) determina as margens de ganho e fase. Estas, por sua vez, são comparadas com as margens de ganho e fase especificadas inicialmente no projeto. Neste artigo, pretende-se que os valores das margens de ganho e fase calculados sejam tão próximos quanto possível dos valores especificados, de forma a minimizar a função de custo, como segue: Custo = V especificado V calculado (48) onde V especificado e V calculado são os valores das margens de ganho e fase especificados e calculados, respectivamente. Se o valor da margem calculada for negativo esta será somada com o valor especificado aumentando o custo. Caso contrário, quando positiva será subtraída deste e minimizará o custo. Eventualmente se o valor da margem calculada for positivo e maior que o especificado o valor de custo será negativo. Para se obter valores próximos aos especificados toma-se o módulo da diferença entre o valor especificado e o calculado. Fazendo isso o menor custo possível será zero e não mais um valor negativo. Assim o algoritmo procura os valores dos ganhos que proporcionem margens de ganho e fase próximas aquelas especificadas. Outro problema que deve ser levado em conta é o da equivalência das freqüências de cruzamento de ganho e fase. Estas são especificadas na função de custo para o cálculo das margens, porém podem não corresponder a verdadeiras freqüências de cruzamento. Quando isto ocorre os valores calculados das margens de ganho e de fase são equivocados visto que foram calculados em relação a freqüências que não representam as verdadeiras freqüências de cruzamento. Para evitar que o algoritmo convirja erroneamente introduz-se outra etapa no cálculo de custo, a análise das freqüências especificadas como freqüências de cruzamento. Para isto utiliza-se as equações (4) e (4) e calcula-se o módulo do sistema em w g especificado e a fase em w p especificado. Depois disto comparam-se os valores de módulo e fase calculados com os valores ideais, ou seja, o módulo igual a (ou db) e fase igual a -8 graus. Utiliza-se então o mesmo artifício mencionado anteriormente e toma-se o módulo da diferença entre o valor especificado e o calculado, ou seja, o algoritmo concentra-se em encontrar uma solução na qual as freqüências w p e w g estejam o mais próximo possível das reais freqüências de cruzamento de ganho e fase. A equação final de custo multiobjetivo é dada a seguir: Custo = A mesp A mcalc + P mesp P mcalc Custo = Amwg A mcalc + Pmwp P mcalc Custo total = Custo + Custo (49) O algoritmo trabalha com uma população de cromossomos e com um critério de convergência estipulado sobre o um número limite de gerações. Cada iteração do algoritmo representa uma geração; então, evidentemente, o algoritmo executa durante as n iterações especificadas e após mostra a melhor solução encontrada. Escolheu-se trabalhar com um número máximo de gerações. O algoritmo inicia gerando aleatoriamente uma população com cromossomos. Estes são avaliados pela função de custo (49) e classificados de acordo com o seu custo. A seguir ocorrem as etapas de seleção e cruzamento de cromossomos. A ISSN: Vol. X 788

5 8 a de setembro de seleção de parceiros para o cruzamento é feita pelo método de emparelhamento randômico com ponderação de custo (Haupt and Haupt, 4), o qual é aplicado sobre os 5 melhores cromossomos de cada geração. Neste método os cromossomos com menor custo tem maior possibilidade de serem escolhidos para cruzamento. O cruzamento entre dois cromossomos gera dois novos descendentes e é realizado por um operador de crossover simples o qual realiza uma soma ponderada entre os genes dos pais a fim de gerar dois novos descendentes, ilustrado a seguir: cromossomo = [p m, p m, p m3,..., p mn ] cromossomo = [p p, p p, p p3,..., p pn ] d new = β p mn + ( β) p pn d new = β p pn + ( β) p mn (5) onde os termos p mn e p pn representam os n genes do cromossomo mãe (cromossomo )e do cromossomo pai (cromossomo ) respectivamente, d new os novos descendentes gerados a partir dos dois cromossomos e β um operador de ponderação que pode assumir qualquer valor entre e. Os 5 cromossomos pais geram 5 novos indivíduos e estes formam a metade da nova população que será avaliada na próxima geração. O melhor cromossomo da geração anterior é mantido para próxima geração totalizando assim os 5 cromossomos sobreviventes. Ainda sobre os descendentes é aplicado o operador de mutação que aleatoriamente irá selecionar um gene e alterar seu valor para qualquer outro valor dentro da faixa da variável. No fim de cada geração são criados aleatoriamente mais 49 novos cromossomos formando por fim a nova população de cromossomos para a próxima geração. As etapas de avaliação, classificação, seleção de parceiros, cruzamento, mutação e formação da nova população são repetidos a cada iteração. 4 Resultados Para testar o algoritmo desenvolvido foi escolhida uma planta conforme em (7) com K =, α = 3, α 3 = e L =.5. Os valores de margem de ganho e fase são especificados em 9 db e 6 graus o que garantem uma boa margem de estabilidade para o sistema. Se a frequência de cruzamento de ganho for especificada como w g = rad/s e considerando um decaimento de db/década nesta região tem-se que o valor de -9 db ocorrerá por volta da frequência de.8 rad/s, então o valor da frequência de cruzamento de fase é especificado como w p = 3 rad/s. A frequência w g representa uma estimativa para largura de banda do sistema a qual está relacionada de modo inverso com o tempo de subida e de assentamento do sistema, e a margem de fase está diretamente relacionada com o amortecimento do sistema (Ogata, ). Assim, w g e P m podem ser especificados para garantir valores razoáveis de tempo de subida e pico de resposta para o sistema em malha fechada. O algoritmo trabalha em cima de valores de K, K e K 3 afim de determinar o conjunto que mais se aproxima dos valores especificados para margens de ganho e fase. Este é executado conforme definido na seção anterior e com uma taxa de mutação de %, o resultado encontrado pode ser visto nas figuras a seguir, onde foram plotadas a resposta em frequência para o sistema em malha aberta (Figura ) e a resposta ao degrau do sistema em malha fechada (Figura a). Para a mesma planta foi projetado outro controlador PID baseado no método de Ziegler- Nichols (Franklin et al., 986) e juntamente com a planta fora discretizado pelo método descrito na seção. Este apresentou uma resposta altamente oscilatória e com tempo de acomodação relativamente alto, comparado com os controladores PID digitais obtidos pela metodologia proposta, apresentados na Figura a. Aplicou-se ainda o algoritmo a outros sistemas os quais são apresentados na abela e seus resultados na abela. A Figura b mostra o impacto sobre a resposta no tempo, para uma mesma planta, devido a variações de w g e P m. abela : Especificações dos parâmetros e modelos para teste do algoritmo. ref. Modelo A m P m (w g ; w p ) Contínuo (db) ( ) (rad/s) e.5s s +3s+ 9 6 (.; 3.) e.58s s +s (.4;.) 3.8e.73s s +.6s (.4;.) 4 e.s s +3s (.7;.4) 5 Conclusões Uma estratégia de sintonia para controladores PID digitais via margens de ganho e fase foi proposta neste artigo. Esta possibilitou a obtenção dos ganhos para os controladores especificando os valores das margens de ganho e fase desejadas, bem como das frequências de cruzamento de ganho e fase, por meio do algoritmo genético multiobjetivo. Para as plantas de segunda ordem selecionadas para teste, o algoritmo genético multiobjetivo desenvolvido conseguiu encontrar valores para os ganhos do controladores PID digitais que possibilitaram margens de ganho e fase, bem como as freqüências de cruzamento, próximas das especificadas, validando a metodologia proposta. ISSN: Vol. X 789

6 8 a de setembro de abela : Resultados obtidos pelo algoritmo após gerações. *Parâmetros do controlador projetado pelo método de Ziegler-Nichols. ref. PID digital A m P m (w g ; w p ) (K ; K ; K 3 ) (db) ( ) (rad/s) Amplitude Zn Resposta ao degrau (a) 3 (.85; -8.3; 7.65) (.7;.97) empo (segundos) (seconds) (9.7; -6.76; 7.67) (.4; ). b b Resposta ao degrau (b) 3 (35.98; -69.5; 33.6) (.38; ) 4 (7.44; -.73; 5.44) (.7;.5) Amplitude b 3 b : w =.5 rad/s; P = 44.9 ; g M b : w g =.7 rad/s; P M = 58.8 ; b : w =.5 rad/s; P = 73.4 ; 3 g M ZN* (7.5; -47.7;.7).5.5 (.5;.93) empo (segundos) (seconds) Módulo (db) PID genético () Am = 9.48 db (at.97 rad/sec), Pm = 58.8 deg (at.7 rad/sec) 5 5 Módulo (db) PID Ziegler Nichols Am =.5 db (at.93 rad/sec), Pm =.5 deg (at.5 rad/sec) 5 5 Figura : (a) Análise de desempenho no domínio do tempo dos controladores PID digitais obtidos via algoritmo genético -4 e método Ziegler-Nichols Zn. (b) Análise de desempenho no domínio do tempo dos controladores obtidos pelo algoritmo genético para diferentes valores de w g e P m controlando a planta Franklin, G. F., Emami-Naeini, A. and Powell, J. D. (986). Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, Reading, MA. Fase ( ) 9 9 Frequência (rad/sec) Fase ( ) Frequência (rad/sec) Figura : Análise de desempenho no domínio da frequência do controlador PID obtido via Algoritmo genético e do controlador PID obtido via método de Ziegler-Nichols. Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer ao CNPq pelo suporte financeiro. Referências Aguirre, L. A. (7). Introdução à Identificação de Sistemas, 3 edn, Belo Horizonte: UFMG. Ashry, M., Kamalova, Z. and Breikin,. (8). uning of Digital PID Controller Parameters Using Local Optimal Control, 6th Mediterranean Conference on Control and Automation, pp Astrom, K. J. and Hagglund,. (995). PID Controllers: heory, Desing and uning, ISA, Research rinagle Park, North Carolina. Haupt, R. L. and Haupt, S. E. (4). Practical Genetic Algorithms, edn, Wiley- Interscience. Keel, L. H., Rego, J. I. and Bhattacharyya, S. P. (n.d.). A New Approach to Digital PID Controller Design, IEEE ransactions on Automatic Control, Vol. 48, No. 4, pp , April, 3. Kristinsson, K. and Dumont, G. A. (99). System Identification and Control Using Genetic Algorithms, IEEE ransactions on Systems, Man and Cybernetics,, pp Marín, E., Costa, R. and Hsu, L. (998). Auto-Sintonia Robusta de Controladores PID usando Algoritmos Genéticos, Proc. XII Brazilian Automatic Control Conference - XII CBA Vol.I, pp MG, Brasil. Ogata, K. (). Engenharia de Controle Moderno, 5 edn, Prentice-Hal, São Paulo. zafestas, G. S. (n.d.). Applied Digital Control, North-Holland Systems and Control Series, Vol. 7, 985. Zhang, Y., Shieh, L. S., Akujuobi, C. M. and Ali, W. (n.d.). Digital PID Controller Design for Delayed Multivariable Systems, Asian Journal of Control, Asian Journal of Control, Vol. 6, No. 4, pp , December, 4. ISSN: Vol. X 79