UFRN 2013 Matemática Álgebra 3º ano Prof. Afonso

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1 UFRN 203 Matemática Álgebra 3º ano Prof. Afonso 3 2. (Ufrn 203) Considere a função polinomial f ( x) = x 3x x + 3. a) Calcule os valores de f ( ), f ( ) e f ( 3 ). b) Fatore a função dada. c) Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo OX. 2. (Ufrn 203) O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças. Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criador da geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles desistiram da partida sem perceber que um deles havia ganhado. Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor a) cinza, em sua terceira jogada. b) preta, em sua terceira jogada. c) cinza, em sua quarta jogada. d) preta, em sua quarta jogada. 3. (Ufrn 203) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 0 anos, produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto. Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior a 95% a partir de a) b) c) d) (Ufrn 203) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos.

2 Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo at matemático, N = k 2, com t em horas e N em milhares de micro-organismos. Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) b) c) d) (Ufrn 203) Ao pesquisar preços para a compra de uniformes, duas empresas, E e E 2, encontraram, como melhor proposta, uma que estabelecia o preço de venda de cada unidade n por 20, onde n é o número de uniformes comprados, com o valor por uniforme se 20 tornando constante a partir de 500 unidades. Se a empresa E comprou 400 uniformes e a E 2, 600, na planilha de gastos, deverá constar que cada uma pagou pelos uniformes, respectivamente, a) R$ ,00 e R$ ,00. b) R$ ,00 e R$ ,00. c) R$ ,00 e R$ ,00. d) R$ ,00 e R$ , (Ufrn 203) Maria pretende comprar um computador cujo preço é R$ 900,00. O vendedor da loja ofereceu dois planos de pagamento: parcelar o valor em quatro parcelas iguais de R$ 225,00, sem entrada, ou pagar à vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do computador será o mesmo no decorrer dos próximos quatro meses, e que dispõe de R$ 855,00, ela analisou as seguintes possibilidades de compra: Opção Opção 2 Opção 3 Opção 4 Comprar à vista, com desconto. Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende % de juros compostos ao mês e comprar, no final dos quatro meses, por R$ 900,00. Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende % de juros compostos ao mês e comprar a prazo, retirando, todo mês, o valor da prestação. Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 2,0% de juros compostos ao mês e comprar, três meses depois, pelos R$ 900,00. Entre as opções analisadas por Maria, a que oferece maior vantagem financeira no momento é a a) opção 2. b) opção. c) opção 4. d) opção (Ufrn 203) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada pelos dados dessa tabela. Avaliação Avaliação 2 Avaliação 3 Thiago Maria Sônia André M =

3 O produto M 3 corresponde à média a) de todos os alunos na Avaliação 3. b) de cada avaliação. c) de cada aluno nas três avaliações. d) de todos os alunos na Avaliação (Ufrn 203) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro partes, como mostra a figura a seguir. No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos º, 2º e 3º anos do ensino médio. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro. Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. 9. (Ufrn 203) Uma escola do ensino médio possui 7 servidores administrativos e 5 professores. Destes, 6 são da área de ciências naturais, 2 são de matemática, 2 são de língua portuguesa e 3 são da área de ciências humanas. Para organizar a Feira do Conhecimento dessa escola, formou-se uma comissão com 4 professores e servidor administrativo. Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foi aleatória, a probabilidade de que nela haja exatamente um professor de matemática é de, aproximadamente, a) 26,7%. b) 53,3%. c) 38,7%. d) 4,9%. 0. (Ufrn 203) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro.

4 Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a 2 m, determine: a) O volume de água da esfera. b) A capacidade volumétrica do cilindro. c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre.. (Ufrn 203) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 8 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 6 m, conforme ilustra a figura abaixo. O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 2. (Ufrn 203) Uma indústria compra placas de alumínio em formato retangular e as corta em quatro partes, das quais duas têm a forma de triângulos retângulos isósceles (Fig. ). Depois, reordena as quatro partes para construir novas placas no formato apresentado na Fig. 2. Se a medida do lado menor da placa retangular é 30 cm, a medida do lado maior é a) 70 cm. b) 40 cm. c) 50 cm. d) 60 cm. 3. (Ufrn 203) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.

5 Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD ˆ mede: a) 9 0 b) 4 5 c) d) 4. (Ufrn 203) O gráfico abaixo, publicado na revista Veja de 3/06/202, a partir dos dados da Unep, revela uma desaceleração no ritmo de desmatamento das florestas.

6 Com base nesse gráfico, é correto afirmar: a) No Brasil, de 2000 a 200, o ritmo do desmatamento caiu na ordem de 5,2 milhões de hectares por ano. b) No Brasil, de 2000 a 200, o ritmo do desmatamento caiu na ordem de 2,6 milhões de hectares por ano. c) Durante o período apresentado no gráfico, a desaceleração do ritmo do desmatamento no mundo foi três vezes maior que a desaceleração no Brasil. d) Na década de noventa, a desaceleração do ritmo do desmatamento das florestas no mundo foi aproximadamente quatro vezes maior que a desaceleração no Brasil. 5. (Ufrn 203) Em uma viagem para participar de um torneio de atletismo, uma escola distribuiu seus alunos em quatro ônibus, sendo um deles com os estudantes que participarão do torneio e os outros três com os estudantes que irão fazer parte da torcida. No ônibus I, vão 37 estudantes, no ônibus II, 40 estudantes, no III, vão 44 e, no IV, 46 estudantes. No total de passageiros dos três ônibus que transportam a torcida, a quantidade de meninas é o dobro da de meninos. Como os atletas estão todos uniformizados, a direção solicitou que o primeiro ônibus a chegar para representar a escola seja o dos atletas. Para que o pedido seja atendido, o primeiro ônibus a chegar ao local do torneio deve ser o de número a) I. b) II. c) III. d) IV. 6. (Ufrn 203) Uma instituição pública recebeu n computadores do Governo Federal. A direção pensou em distribuir esses computadores em sete salas colocando a mesma quantidade em cada sala, mas percebeu que não era possível, pois sobrariam três computadores. Tentou, então, distribuir em cinco salas, cada sala com a mesma quantidade de computadores, mas também não foi possível, pois sobrariam quatro computadores. Sabendo que, na segunda distribuição, cada sala ficou com três computadores a mais que cada sala da primeira distribuição, responda: a) Quantos computadores a instituição recebeu? b) É possível distribuir esses computadores em quantidades iguais? Justifique.

7 Gabarito: Resposta da questão : b) Fatorando, obtemos 3 2 f(x) = x 3x x = x (x 3) (x 3) 2 = (x 3)(x ) = (x 3)(x )(x + ). a) De (b), vem f( ) = f() = f(3) = 0. c) De (a), temos (, 0), (, 0) e (3, 0). Resposta da questão 2: [A] Considere a figura. De acordo com a sequência de jogadas apresentada, podemos concluir que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor cinza, em sua terceira jogada, ou seja, na jogada (, 3). Resposta da questão 3: [A] Sendo hoje um dia do mês de novembro de 202 (t = 0), e sabendo que a variação do percentual com o tempo é linear, considere a função p :, definida por p(t) = at + b, com p(t) sendo o percentual de peças fabricadas no Brasil daqui a t anos. A taxa de variação da função p é dada por a = = Logo, 5 p(t) = t Os valores de t, para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto é superior a 95%, são tais que 5 t t > >

8 Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 95% a partir do ano de = Observação: A prova na qual consta esta questão foi realizada em novembro de 202. Resposta da questão 4: [D] Do gráfico, temos a 0 (0, 0) 0 = k 2 k = 0 e (2, 20) 20 = 0 2 Logo, 2 = 2 2a a =. 2 a 2 t N(t) = e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de micro-organismos entre t = 4 e t = 8 horas deve ter sido de N(8) N(4) = = Resposta da questão 5: [C] De acordo com as informações, obtemos a função p :, definida por: n 20, se 0 < n < 500 p(n) = 20, 95, se n 500 em que p(n) é o preço unitário de n uniformes. Portanto, a empresa E pagou p(400) = = R$ ,00, enquanto que a empresa E 2 pagou 600 p(600) = = R$ ,00. Resposta da questão 6: [C] Escolhendo a opção, Maria paga 0, = R$ 855,00 à vista, gastando tudo o que possui.

9 4 Na opção 2, ela terá, após 4 meses, 855 (,0) = R$ 889,72, o que não é suficiente para pagar o computador. Se optar pelo 3º plano, ao fim do mês, ela terá 855,0 = R$ 863,55, e pagará R$ 225,00, ficando com R$ 638,55. Ao fim do 2º mês, ela terá 638,55,0 R$ 644,94, e pagará mais R$ 225,00, ficando com R$ 49,94, e assim sucessivamente, até o fim do 4º mês, quando terá R$ 20,3, que não serão suficientes para pagar a última parcela de R$ 225,00. Na quarta opção, ela terá, após 3 meses, pagar o computador e ainda obter um ganho de R$ 7,33. Portanto, a opção 4 é a melhor dentre as disponíveis. Resposta da questão 7: [C] Efetuando o produto, obtemos M =, = o que corresponde à média de cada aluno nas três avaliações (,02) R$ 907,33, o que será suficiente para Resposta da questão 8: Temos 5 possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, 4 para escolher a cor do primeiro retângulo horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para escolher a cor do terceiro retângulo horizontal. Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, = 80 sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. Resposta da questão 9: [D] Podemos escolher um professor de matemática de 2 modos e 3 professores das outras 3 3! disciplinas de = = 2 3 maneiras. Além disso, como podemos escolher 4 3 3! 0! 5 5! professores quaisquer de = = maneiras, segue que a probabilidade pedida 4 4!! é dada por % 4,9% Resposta da questão 0: a) O volume de água na esfera é dado por R = 2 = m

10 b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capacidade volumétrica é dada por R = 2 2 = 6 m. c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre é tal que h = h = m. 3 3 Resposta da questão : [C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto médio do segmento F F 2, considere a figura. Temos A = ( 0, 0), A 2 = (0, 0), B = (0, 8), B 2 = (0, 8), F = ( c, 0) e F 2 = (0, c), com c > 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem = 2 + = + B F OF OB 0 c 8 c = 6. Portanto, a distância pedida é dada por OP2 OF2 = 6 = 5 m. Resposta da questão 2: [D] Considere as figuras, em que EF = BI = x e DE = BC = FG = HI = FG = y.

11 É fácil ver que BI = BC + HI x = 2y. Além disso, como A é o ponto médio das diagonais BF e EI, BF = EI e EI BF, segue que BEFI é quadrado. Daí, temos x = 30 e, portanto, DG = 2x = 2 30 = 60cm. Resposta da questão 3: [B] Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos AB = 8 30 = 240 cm, BC = 6 30 = 80cm e CD = (8 + 6) 20 = 280 cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos AC = AB + BC AC = AC = 300cm. Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem CD tgcad = = =. AC Resposta da questão 4: [B] No Brasil, de 2000 a 200, o ritmo do desmatamento caiu na ordem de ,2 5 = 2, milhões de hectares por ano. Resposta da questão 5: [C] Sejam m e h, respectivamente, o número de meninas e o número de meninos da torcida. Como m = 2h, segue que m + h = 3h, ou seja, o número total de torcedores é um múltiplo de 3. Por outro lado, temos: = 2 = , = 23 = 3 4, = 27 = e = 30 = É fácil ver que a única combinação de ônibus cuja soma dos passageiros é um múltiplo de 3 é a dos ônibus I, II e IV. Logo, estes ônibus transportam a torcida e o ônibus dos atletas é o de número III. Resposta da questão 6:

12 a) De acordo com as informações, obtemos o sistema n = 7p + 3 n = 5q + 4, q = p + 3 em que p e q são inteiros positivos. Logo, 5 (p + 3) + 4 = 7p + 3 p = 8 e, portanto, q =. Donde podemos concluir que a instituição recebeu = 59 computadores. b) Sim, observando que 59 é um número primo, podemos colocar todos os computadores em um única sala ou, supondo que existem 59 salas, computador por sala.