PROBABILIDADES DE SER A MELHOR OPÇÃO E CONJUNTOS APROXIMATIVOS

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1 PROBABILIDADES DE SER A MELHOR OPÇÃO E CONJUNTOS APROXIMATIVOS Annibal Parracho Sant Anna Universidade Federal Fluminense R. Passo da Pátria, 156 Boa Viagem Niterói-RJ tppaps@vm.uff.br Resumo Este artigo trata de possibilidades de interação entre a Teoria dos Conjuntos Aproximativos (TCA) e a composição de múltiplos critérios por meio do cálculo das probabilidades de ser a melhor opção. Estas duas metodologias lidam com matrizes de avaliações de diferentes opções. Ordenações compostas juntando as avaliações segundo os múltiplos critérios sempre podem ser usadas para identificar distorções na alocação de casos em problemas de classificação. No caso de avaliações orientadas, a transformação das avaliações iniciais em probabilidades de ser a melhor opção, além de prover essas indicações, ainda propicia simplificações na aplicação da TCA. Isto se deve à capacidade desta transformação de eliminar diferenças entre as opções com pequena probabilidade de ser a melhor. Esta mesma característica do vetor de probabilidades de ser a melhor opção torna possível, em muitas situações, usar a classificação segundo conjuntos aproximativos para selecionar os atributos que entram no cálculo da probabilidade conjunta. Palavras-chave: apoio à decisão multicritério conjuntos aproximativos probabilidade de escolha Abstract This article deals with the possible interaction between rough sets theory and the composition of multiple criteria in terms of probabilities of being the best option. Both methodologies deal with matrices of evaluations of different options. Combined rankings derived from the evaluations according to the multiple criteria may always be used to hint on misclassifications in sorting problems. In the case of oriented evaluations, the translation of the initial evaluations into probabilities of being the best, besides providing these insights, simplifies the overall application of rough sets theory. This is due to the capability of this translation of erasing the differentiation of the options with low probabilities of being the best. This same property of the probability of the vectors of probabilities of being the best makes possible that, in many instances, rough sets theory become useful in the selection of the criteria entering a combined evaluation. Keywords: multicriteria decision aid - rough sets probability of choice. Introdução Embora a presença de determinada qualidade em diferentes opções de ação seja freqüentemente medida em temos de extensão, importância ou intensidade em uma escala linear, diversas situações nas quais a avaliação da preferência pelas diferentes opções aparece em uma escala exponencial têm sido estudadas. Veja-se, por exemplo, Lootsma (1988) ou Triantaphyllou et alii (1990) ou Brugha (2000). Em Sant Anna (2001 e 2002), escalas lineares de importância são transformadas em escalas de dominância com maiores distâncias entre as avaliações das opções de maior preferência. Isto se obtém naturalmente medindo a preferência como probabilidade de a opção ser a preferida.

2 Ao avaliar a preferência por meio da probabilidade de ser a melhor escolha segundo cada atributo, se cria, também, automaticamente a possibilidade de empregar diferentes pontos de vista na combinação dos critérios. Por exemplo, a combinação pode ser estabelecida em termos de maximização da probabilidade de a opção ser a preferida segundo pelo menos um dos critérios ou por todos eles. Pode ser formulada, também, com base na maximização do afastamento da fronteira de mínima preferência em vez de minimização do afastamento da fronteira de máxima preferência. Cada uma dessas formas de combinar pode ser, ainda, aplicada a diferentes subconjuntos do conjunto de atributos considerado. A TCA (Pawlak, 1991) pode ser empregada neste processo de combinação de preferência segundo múltiplos critérios de diferentes maneiras. Por exemplo, em estratégias para selecionar quais atributos deverão efetivamente ser considerados ou quais atributos serão tratados como de maior ou menor importância. Neste artigo, consideramos a redução do número de atributos pela eliminação de atributos correlacionados selecionados pela sua importância na classificação pela TCA. Na próxima seção, revemos o processo de combinação probabilística de preferências. Na Seção 3, revemos a TCA. Na Seção 4, um exemplo de aplicação é apresentado. Na Seção 5, outras possíveis relações entre avaliação probabilística e conjuntos aproximativos são exploradas. 2. Composição Probabilística de Preferências Nesta seção descrevemos os diferentes pontos de vista de composição probabilística de preferências. Dois aspectos principais são considerados na formulação desses pontos de vista: a importância relativa dos atributos, avaliados quanto a sua substitutibilidade, e a referência às fronteiras de máxima ou mínima preferência. A avaliação da importância relativa dos atributos é, em geral, mais difícil que a aplicação dos atributos para avaliar as opções disponíveis. Em vez de ponderar os atributos, podemos nos limitar a dividi-los em um número pequeno de classes, por exemplo, em atributos de importância primária e secundária. Esta separação se realiza, na abordagem probabilística, dividindo os atributos em dois grupos, o dos critérios necessários, que devem entrar na avaliação de preferência por meio da probabilidade conjunta de ser a melhor opção segundo cada um deles, e o dos substituíveis, que podem ser combinados através da probabilidade de ser a melhor opção segundo pelo menos um deles. Uma alternativa mais simples, que atribui a mesma importância a todos os atributos, consiste em escolher entre dois extremos, considerar todos substituíveis ou todos necessários. No primeiro caso, o autor da decisão, julgando, de forma otimista, que poderá escolher um critério que lhe seja mais favorável, preferirá a opção que maximize a probabilidade de ser a melhor de acordo com pelo menos um critério. Na perspectiva oposta, em que o autor da decisão, pessimista, julga necessário estar preparado para enfrentar os critérios de avaliação mais desfavoráveis, a opção escolhida será aquela que maximize a probabilidade de ser a melhor segundo todos os critérios. A segunda escolha é entre as fronteiras de referência, de excelência ou de pior desempenho. Será determinada pela adoção de um ponto de vista progressista, discriminando as opções de acordo com a sua probabilidade de atingir a fronteira de excelência, ou conservador, avaliando em termos da probabilidade de evitar a pior posição. No primeiro caso, serão combinadas probabilidades de ser a melhor opção e, no segundo, probabilidades de não ser a pior. Avaliar em termos de probabilidade de atingir uma ou outra fronteira tem importâncias conseqüências na prática. Considere avaliações formuladas em termos de satisfação alta ou baixa. Duas opções, uma avaliada como insatisfatória e a outra como muito insatisfatória, devem ser consideradas mais próximas, se a perspectiva é progressista do que se a perspectiva é conservadora. Antes de compor os critérios probabilisticamente, é preciso transformar os vetores de avaliações segundo cada critério, da escala em que são naturalmente geradas as avaliações para a escala das probabilidades de preferência. Para isto, consideramos cada avaliação como representando uma posição em torno da qual a medida do atributo avaliado pode variar. Deste modo a avaliação inicial fornece um ponto de referência para a média de uma distribuição de probabilidades. Hipóteses de 981

3 indiferença orientam a determinação dos outros parâmetros. Hipóteses tais são: independência entre as perturbações afetando as avaliações das diferentes opções, simetria em torno da média e parâmetros de dispersão constantes. A determinação da amplitude completa a modelagem, para as distribuições paramétricas classicamente empregadas na modelagem de erros de medida. Como alternativa à distribuição normal, neste caso, sugere-se o uso da distribuição uniforme ou da distribuição triangular conforme se deseje maior ou menor concentração em torno da média. Para maximizar a probabilidade de inversão, assumimos distribuições uniformes. Estimativas para a amplitude podem ser derivadas do vetor de avaliações iniciais. A amplitude deve ser grande o suficiente para permitir troca de posição entre as alternativas admitidas. Assim, se duas alternativas aparecem no conjunto examinado, a probabilidade de inversão de suas posições não deve ser nula. Mas, deve ser pequena se as alternativas são aquelas com a melhor e a pior avaliação. Deste modo, a própria amplitude observada entre as avaliações das opções segundo cada critério constitui uma estimativa para a amplitude da distribuição do erro em cada avaliação segundo esse critério. No exemplo de aplicação apresentado neste trabalho fixou-se a amplitude em (1+1/n)R, para R a amplitude da amostra de avaliações segundo o critério considerado e n o tamanho da amostra. Quando o número de opções cresce, as probabilidades de ser a preferida tenderão a zero. Neste caso, uma pequena modificação na modelagem gera uma transformação em probabilidades sobre as quais é mais fácil ter intuição. Consiste em fixar um número n pequeno para tamanho de amostra, ordenar o conjunto de avaliações, dividi-lo em n classes, calcular as probabilidades de ter a melhor avaliação em uma amostra de n observações independentes constituída por medianas de cada uma das n classes e, finalmente, substituir a avaliação de cada opção pela probabilidade de a sua classe fornecer a opção preferida na pequena amostra. Neste ultimo procedimento, para evitar que algumas avaliações fiquem muito afastadas dos seus representantes, pode-se adotar a estratégia de limitar as amplitudes das classes. Por exemplo, no caso de tamanho da amostra n = 9, uma vez determinados os decis de 20%, 40%, 60% e 80% para representantes das classes pares, estabelecemos limites para as classes dos decis de 20% e 80% a uma distância igual a 1/4 das distâncias destes aos de 40% e 60% respectivamente e, para as classes dos de 40% e 60%, limites superiores e inferiores a uma distância igual a 1/4 da distância ao decil seguinte para baixo ou para cima, conforme o caso. As 5 classes restantes serão formadas pelos elementos que fiquem fora desses limites e serão representadas pelas suas medianas, a menos que fiquem vazias, caso em que mantemos na amostra para o cálculo das probabilidades os decis ímpares respectivos. 3. Conjuntos Aproximativos A TCA tem sido empregada em diferentes contextos para estudar a classificação de opções para as quais se dispõe de medidas de múltiplos atributos e, eventualmente, estendê-la a outros casos. Bons exemplos encontram-se em Gomes e Gomes (1999) e Cid et alii (2001). Apresentamos, nesta seção, breve revisão dos pontos da teoria relevantes para o relacionamento com a composição probabilística desenvolvidos a seguir. Outros detalhes podem ser encontrados em Gomes et alii (2002). O conceito básico da TCA é a indiscernibilidade. A relação de indiscernibilidade é uma relação de equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva. Deste modo, determina uma partição no universo de opções classificadas. Chamamos os elementos desta partição de conjuntos elementares. Opções para as quais os dados disponíveis são idênticos são indiscerníveis, mas opções com diferentes medidas em diferentes atributos também podem aparecer no mesmo conjunto elementar, dependendo da granularidade implícita na relação de indiscernibilidade. Por isso, qualquer subconjunto do universo considerado pode ser descrito em termos dos conjuntos elementares, através de duas aproximações, não necessariamente coincidentes, a aproximação inferior e a aproximação superior. O conjunto destas duas aproximações constitui o conjunto aproximativo (rough set). Os elementos da aproximação superior que não pertencem à aproximação inferior constituem a fronteira do conjunto aproximativo. As fronteiras são as regiões de incerteza ou ambigüidade. Se a 982

4 fronteira é vazia, o conjunto aproximativo é um conjunto comum, exato. Se em cada conjunto elementar não há opções diferentes, então todas as fronteiras são vazias. A aproximação inferior de um conjunto qualquer é a união dos conjuntos elementares nele contidos. A aproximação superior de um conjunto qualquer é a união dos conjuntos elementares que tem interseção não vazia com ele. Assim, se uma determinada opção pertence a um determinado conjunto, todas as opções dela consideradas indiscerníveis pertencem à aproximação superior do conjunto. E somente pertencem à aproximação inferior aquelas opções do conjunto que não sejam indiscerníveis de nenhuma opção fora do conjunto. Deste modo, a aproximação inferior de um conjunto é o complementar da aproximação superior do complementar desse conjunto e a fronteira de qualquer conjunto e do seu complementar coincidem. A TCA ajuda a entender classificações em situações de ambigüidade de diferentes formas. A cardinalidade da fronteira é uma indicação da capacidade de identificarmos precisamente o conjunto com base nos dados disponíveis e a granularidade assumida. Por outro lado, comparando as cardinalidades das fronteiras associadas a diferentes conjuntos de atributos, também se pode avaliar a importância de cada atributo para a classificação. As avaliações das opções pelos diferentes atributos podem ser apresentadas em uma planilha, cada linha correspondendo a uma opção e cada coluna a um atributo. Cada célula dessa planilha apresenta a avaliação da opção a que se refere a linha da célula relativamente ao atributo da coluna. Formalmente, cada aplicação de conjuntos aproximativos é caracterizada por uma quádrupla (U, Q, V, f), onde U é um conjunto não vazio, universo das opções consideradas, Q é um conjunto de atributos, cada atributo q Q q podendo receber avaliações no conjunto V q, V é a união dos V q e f, a função de informação, é uma aplicação do produto cartesiano de U e Q em V tal que, para cada u U e q Q, f(u,q) V q. A cada P Q, não vazio, está associada uma relação de indiscernibilidade em U, denotada I P. As classes de equivalência de I P são formadas pelas opções com idênticas avaliações I P segundo todos os atributos em P. Se (x,y) I P, dizemos que x e y são P-indiscerníveis. A classe de equivalência que contém a opção x é denotada I P (x) e é chamada um conjunto P-elementar. Os conjuntos de opções idênticas segundo todos os atributos, isto é, os conjuntos Q-elementares são chamados átomos. A aproximação P-inferior e a aproximação P-superior de um subconjunto X qualquer de U são definidas, respectivamente, como P inf (x) = {x X: I P (x) X}, o conjunto das opções de X que só são P- indiscerníveis de opções em X, e P sup (x) = U x X I P (x), o conjunto de todas as opções P-indiscerníveis de alguma opção em X. É fácil ver que P inf (x) X P sup (x). Chama-se P-fronteira de X ao conjunto B P (X) = P sup (x) - P inf (x). Uma medida variando entre 0 e 1 da acurácia da determinação de X por meio dos atributos em P é dada pela razão entre a cardinalidade de P inf (x) e a cardinalidade de P sup (x). Esta medida é denotada por α P (X) e pode ser pensada como a probabilidade de um elemento indiscernível de alguma opção de X relativamente aos atributos em P não ser também indiscernível de opções fora de X relativamente a esses atributos. Se α P (X) =1, então X é um conjunto exato. É útil, também, avaliar a credibilidade da pertinência de cada opção x a cada conjunto X segundo o conjunto de atributos P. Uma medida disto é dada pela razão entre as cardinalidades de X I P (x) e I P (x), que pode ser pensada como a probabilidade de um elemento indiscernível de x pertencer a X. Esta medida é chamada pertinência aproximativa e a função que a cada x de X associa a sua pertinência a X é chamada de função de pertinência aproximativa. Em cada domínio X e cada conjunto de atributos P temos uma função de pertinência aproximativa µ P X. Uma medida global da qualidade de uma classificação qualquer Y = {Y 1,..., Y z } dos elementos de U, relativamente ao conjunto de atributos P, é dada pela razão γ P (Y) entre a soma das cardinalidades das aproximações P-inferiores dos elementos de Y e a cardinalidade de U. A perda de qualidade da classificação quando se exclui algum atributo de P é uma indicação da importância do atributo para explicar a classificação. Comparando os valores de γ P (Y) para diferentes valores de P temos um mecanismo para identificar quais atributos são relevantes para a classificação observada. 983

5 Uma importante faceta da TCA é sua capacidade de identificar atributos que podem ser eliminados. Um atributo p P é supérfluo em P se e somente se I P = I P-{p} ; caso contrário, p é indispensável para P. Um subconjunto P de P é um REDUCT de P se I P = I P e todos os elementos de P são indispensáveis em P. Esta definição não depende da partição de U que se deseja explicar. Na prática, atributos que permitam discernir apenas entre opções na mesma classe de uma classificação Y também podem ser eliminados sem prejudicar a explicação dessa classificação. Para isto se utiliza o conceito de Y- REDUCT. Y-REDUCT de P é todo conjunto minimal satisfazendo γ P (Y) = γ P (Y). Diferentes estratégias para eliminar atributos supérfluos podem conduzir a diferentes REDUCT. Os atributos de P que aparecem em todos os Y-REDUCT, isto é, que são indispensáveis para manter a qualidade da classificação Y, constituem o Y-CORE de P. O CORE não é necessariamente um REDUCT, isto é, os atributos que aparecem em todos os REDUCT podem não ser suficientes, sozinhos, para manter a qualidade da classificação. Assim, os atributos que aparecem em algum REDUCT e não no CORE são substituíveis uns pelos outros, mas, não são supérfluos em conjunto. A classificação Y a que nos referimos é na prática, o conjunto I D das classes de opções indiscerníveis segundo um conjunto de atributos D. Temos, deste modo, na planilha, o conjunto Q dos atributos dividido em duas partes, D, o conjunto dos atributos de decisão, responsável pela classificação que se deseja explicar usando os atributos do conjunto complementar C = Q D, chamados de atributos de condição. O primeiro objetivo da análise é reduzir a classe C ao mínimo suficiente para explicar a classificação segundo D. A segundo etapa da análise consiste em explicitar as relações funcionais entre os dois conjuntos de atributos, de modo que do conjunto de opções de referência examinado se possam derivar classificações para conjuntos de opções análogos. Isto é feito através da identificação de regras de decisão. As regras de decisão são implicações lógicas, em que de condições se extraem conseqüentes decisões. As condições são determinadas por conjuntos de valores dos atributos de condição e as decisões são uniões de conjuntos elementares em I D. Formalmente, uma regra de decisão envolvendo o conjunto dos atributos de condição em C e o conjunto dos atributos de decisão em D tem a estrutura se f(x,q 1 ) = r 1, f(x, q 2 ) = r 2,..., f(x,q p ) = r q, então x A, para x U, {q 1,..., q p } C, (r 1,..., r p ) V q1 X... X V qp e A uma união de conjuntos D-elementares. Greco et alii (1999) e Greco et alii (2000) adaptaram a TCA para levar em conta a importância da ordem no caso em que os atributos são critérios de preferência. É esta adaptação que melhor se aplica na composição probabilística de preferências. Sua idéia básica é substituir o conceito de indiscernibilidade pelo de dominância para não considerar as distinções que contrariem a ordem de preferência. Isto se faz relaxando para cima ou para baixo a exigência de igualdade. Para um conjunto P de critérios de preferência, uma opção x domina uma opção y com relação a P se e só se a preferência por x é maior ou igual à preferência por y segundo todos os critérios em P. Greco et alii (2000) exploram o fato de que, lidando com ordenações de preferência, podemos nos limitar a classificações ordenadas, isto é, a partições (O 1,..., O t ) tais que, se r < s, então, para todo x O r e y O s,, a preferência por x é maior ou igual à preferência por y. Neste caso, podemos substituir a partição (O 1,..., O t ) pela conjunto das uniões para cima e para baixo, (O 1,..., O t ) e (O 1,..., O t ), onde, para qualquer r, O r é a união de todos os O s com s > r e O r é a união de todos os O s com s < r. Nas uniões para cima, só precisamos nos preocupar com as fronteiras inferiores e, nas uniões para baixo, com as fronteiras superiores. A aproximação inferior para uma união para cima O r com relação a um conjunto de atributos de preferência P é o conjunto P + (O r ) das opções x tais que todas as opções que dominam x com relação a P pertencem a O r. Já a aproximação superior, P - (O r ), é formada pelas opções x que dominam alguma opção em O r. Inversamente no caso de união para baixo. Com base nestas definições, as fronteiras e as medidas de acurácia, credibilidade e qualidade podem ser construídas como no caso simétrico, de ausência de preferência. Da mesma forma, os conceitos de REDUCT e CORE e as regras de decisão. 984

6 4. Conjuntos Aproximativos na Seleção de Atributos A TCA pode ser usada para explicitar as regras de decisão correspondentes aos resultados da aplicação de diferentes estratégias de combinação probabilística de critérios. Isto ajudará o tomador de decisão a escolher entre os diferentes pontos de vista. Pode ser usada, também, para comparar os resultados de combinações das avaliações iniciais, na escala linear, segundo outros algoritmos com combinações probabilísticas. Mesmo quando já se decidiu adotar um particular ponto de vista, a análise das classificações que ele determina pode ajudar a avaliar a conveniência de considerar todos os atributos considerados. Para exemplificar a utilidade deste tipo de análise, um pequeno exemplo é desenvolvido a seguir. Considere o problema de escolher entre os 15 vetores de avaliações de acordo com 4 atributos, A1, A2, A3 e A4, que aparece no exemplo licz do sistema 4emka (2000). Suponhamos que o tomador de decisão deseja adotar um ponto de vista otimista e progressista e dar igual importância a todos os atributos envolvidos. Na abordagem probabilística, a decisão será, neste caso, baseada na probabilidade de ser a melhor opção de acordo com pelo menos um critério. Assumindo independência entre os atributos e funções de pertinência uniformes centradas em cada avaliação e com amplitudes idênticas para as medidas de cada atributo e grandes apenas o suficiente para permitir a troca de postos entre todas as opções, conduzirá a empate entre as opções 1 e 9, como mostrado na Tabela 1. Tabela 1. Preferências em Percentagens Inteiras Códigos A1 A2 A3 A4 Conjuntas A última coluna da Tabela 1 apresenta a medida de preferência gerada combinando as de forma otimista e progressista as probabilidades de cada opção ser a melhor relativamente a cada atributo apresentadas nas colunas anteriores. Todas estas probabilidades são aproximadas para porcentagens inteiras e, na última coluna, este arredondamento é feito depois de padronizar, para soma 1, o vetor de probabilidades conjuntas de ser a melhor opção segundo pelo menos um critério. Com 4 variáveis, deve-se, contudo, esperar a presença de correlação. Assumir independência resultará em supervalorizar fatores presentes nos atributos correlacionados. Se for possível estimar esta correlação, cálculos mais precisos poderão ser feitos, mas, nem sempre este é o caso. 985

7 Uma alternativa de combinação otimista e progressiva consiste em avaliar a preferência por cada opção como proporcional ao máximo das avaliações segundo cada critério. O uso do máximo tem forte apelo. Tanto pode decorrer da Lógica Nebulosa (Zadeh, 1973), quanto ser derivado da abordagem de médias ponderadas ordenadas (Yager, 1988). Mas, implica em abrir mão das avaliações numéricas de todos os atributos, exceto aquele com a maior medida. Esta alternativa é comparada aqui com a retirada das variáveis que sejam consideradas redundantes por poderem ser substituídas por outros na caracterização por conjuntos aproximativos. A retirada dessas variáveis, além de eliminar as distorções no cálculo das probabilidades conjuntas, facilita a interpretação dos resultados. Empregamos conjuntos aproximativos (4emka, 2000) para classificar os 4 atributos, tratando-os como variáveis explicativas para a variável de decisão representada pela probabilidade conjunta de ser a melhor opção segundo pelo menos um deles. Se a variável não aparece em nenhum REDUCT, isto é, se ela pertence ao conjunto das variáveis irrelevantes para a classificação das 15 opções envolvidas, então o atributo que ela mede pode ser considerado como uma combinação dos atributos medidos pelas outras variáveis no problema de decisão e, se temos como ideal critérios independentes com pesos iguais, devem ser excluídas da análise probabilística. Ao realizar os cálculos com probabilidades arredondadas para percentagens inteiras, concluímos que o problema não pode ser reduzido, todas as variáveis aparecendo no CORE. Mas, se adotamos uma granulação mais grossa, permitindo as percentagens variar apenas por múltiplos de 5, concluímos que o atributo A2 deixa de ser necessário para a classificação. Refazendo os cálculos das probabilidades de ser a melhor opção, considerando apenas os três atributos remanescentes, conseguimos desempatar, com a opção 9 apresentando preferência considerável em relação à opção 1. Uma granulação mais grossa, com arredondamentos para 10 por cento, já não permite excluir mais nenhum atributo, mostrando que os três atributos presentemente admitidos correspondem a diferentes critérios, nenhum deles resultando de combinação dos outros dois. A vantagem do máximo, de reduzir o efeito das correlações que ainda possam permanecer é contrabalançado pela redução que ele gera das distâncias entre as opções com boas avaliações em pelo menos um critério. Comparando os dois vetores de preferência, podemos verificar que a retirada do atributo redundante torna a probabilidade de ser a melhor opção segundo algum critério muito mais correlacionada com a medida derivada do máximo, a correlação crescendo de 85% para 96%. E uma diferença significativa entre estas duas medidas altamente correlacionadas é que a probabilidade conjunta, levando em conta os valores abaixo do máximo, não eleva as avaliações das opções 5 e 10 tanto quanto a medida derivada do máximo, que quase as iguala às opções 1 e 9. A Tabela 2 apresenta as probabilidades de ser a melhor opção de acordo com pelo menos um dos atributos A1, A3 e A4 com arredondamentos para 5% e as preferências derivadas do máximo. Tabela 2. Probabilidade Conjunta com arredondamento a 5 % e com o máximo Códigos A1, A3 ou A Máximos Comentários Finais No sentido contrário, a transformação em probabilidades de ser a melhor opção também pode ser útil no contexto de classificação por conjuntos aproximativos. A redução a zero de todo um conjunto de avaliações de menor preferência resulta em um conjunto de regras de decisão mais simples, facilitando a interpretação da classificação. 986

8 Além disto, combinar em uma medida de preferência única todos os atributos envolvidos sempre gera uma ferramenta para detectar possíveis exemplos contraditórios em problemas de classificação com atributos orientados. Tais exemplos dificultam a análise e sua pertinência ao conjunto avaliado deve sempre ser verificada. Valores que precisam ser confirmados podem ser detectados comparando a partição gerada pela aplicação de conjuntos aproximativos com as probabilidades conjuntas de ser a melhor opção. Deve-se procurar opções colocadas em posição elevada na classificação proposta e com baixa probabilidade de ser a melhor segundo pelo menos um critério ou vice-versa. No conjunto aqui examinado, este é o caso da opção 15, classificada na mais alta preferência pelo atributo de decisão proposto e com probabilidade nula de ser a melhor opção na avaliação probabilística da Tabela 2. Referências 4emka System - a rule system for multicriteria decision support integrating dominance relation with rough approximation. Laboratory of Intelligent Decision Support Systems, Institute of Computing Science, Poznan University of Technology, Poznan 2000; Brugha, C. M. (2000). Relative Measurement and the Power Function, European Journal of Operational Research 121, Cid, D. J. A., Vellasco, M. M. B. R., Pacheco, M. A. C. (2001). Classificação de Dados Através de Rough Sets, Anais do V Congresso Brasileiro de Redes Neurais, Gomes, C. F. S. e Gomes, L. F. A. M. (1999). Uma Aplicação de Conjuntos Aproximativos ao Apoio Multicritério à Negociação, Pesquisa naval, 12, Gomes, L. F. A. M., Gomes, C. F. S. e Teixeira, A. Tomada de Decisão Gerencial: o Enfoque Multicritério, Ed. Atlas, São Paulo, Greco, S., B. Matarazzo and R. Slowinski (1999). Rough Approximation of a Preference Relation by Dominance Relations, European Journal of Operational Research 117, Greco, S., B. Matarazzo and R. Slowinski (2000).Fuzzy Dominance Rough Set Approach, em F. Masulli, R. Parenti, G. Pasi (Eds.) Advances in Fuzzy Systems and Intelligent Technologies, Shaker Publishing, Maastrich, Lootsma, F. A. (1988). Numerical Scaling of Human Judgment in pairwise-comparison methods for fuzzy multicriteria decision analysis, NATO ASI Series F, Computer and System Sciences, 48, 57-88, Springer, Berlin - Germany. Pawlak, Z. Rough Sets - Theoretical Aspects of Reasoning about Data, Kluwer, Dordrecht (1991). Sant'Anna, A. P. and L. F. Sant'Anna (2001). Randomization as a Stage in Criteria Combining. Proceedings of the VII ICIEOM, , Salvador-BA. Sant'Anna, A. P. (2002). Data Envelopment Analysis of Randomized Ranks, Pesquisa Operacional, 22, Triantaphyllou, E., P. M. Pardalos, and S. H. Mann, (1990), The Problem of Determining Membership Values, em Fuzzy Sets in Real World Situations, Operations Research and Artificial Intelligence: The Integration of Problem Solving Strategies, (D.E. Brown and C.C. White III, Eds.), , Kluwer, Dordrecht - The Netherlands}. Yager, R. (1988). On Ordered Weighted Averaging Aggregation Operators in Multicriteria Decisionmaking, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 18, Zadeh, L.A. (1973) Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes IEEE Transactions on. Systems, Man, and Cybernetics, 3, 1973,