3 Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha

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1 3 Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 3. Introdução Este Capítulo tem como obetivo aprentar as metodologias multicritério PROMETHEE e F-PROMETHEE que rão utilizadas na problemática de priorização dos modos de falha em equipamentos. O PROMETHEE é um método discreto da categoria dos métodos de relações de subordinação. Sua referência pioneira é BRANS e VINCKE (985). Desde então, tem sido feita uma série de denvolvimentos e adaptações que deram origem às diversas metodologias da família PROMETHEE. Esta família de métodos que encontra descrita na literatura divide em: PROMETHEE I Pré-ordem parcial, problemas de escolha e ordenação; PROMETHEE II Estabelece uma pré-ordem completa entre alternativas, também utilizado nas problemáticas de escolha e ordenação; PROMETHEE III ampliação da noção de indiferença, tratamento probabilístico dos fluxos (preferência intervalar); PROMETHEE IV Utilizado em situações onde o conunto de alternativas é contínuo; PROMETHEE V neste método, após estabelecer uma ordem completa entre as alternativas (PROMETHEE II), são introduzidas restrições, identificadas no problema, para as alternativas lecionadas, incorporando- uma metodologia de otimização; PROMETHEE VI Pré-ordem completa ou parcial. Problemáticas de escolha e ordenamento. Destinado a situações em que o decisor não congue estabelecer um valor fixo de peso para cada critério; PROMETHEE GAIA extensão dos resultados do PROMETHEE, através de um procedimento visual e interativo.

2 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 5 Os métodos da família PROMETHEE têm destacado dos demais por rem de fácil compreensão e assimilação do decisor, envolvendo conceitos e parâmetros com alguma interpretação física ou econômica. Existem na literatura diversas aplicações deste método nos mais variados problemas de análi multicritério, podendo- destacar dentre outros os trabalhos de ALMEIDA e COSTA (2003); LOPES (2005); BABIC e PLAZIBAT (998). Nesta disrtação rá utilizado o método PROMETHEE II, obetivando uma ordenação completa dos modos de falha. Para a obtenção de uma ordenação mais realista, levando- em conta as incertezas prentes nas avaliações, é também utilizada a metodologia adaptada F-PROMETHEE, na qual foram incorporados os conceitos de conuntos fuzzy dentro do PROMETHEE tradicional, tratando as avaliações como números fuzzy e adaptando as operações clássicas utilizadas no PROMETHEE tradicional para operações com números fuzzy. Estas metodologias são detalhadas a guir. 3.2 O Método PROMETHEE O método PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for Enrichment Evaluations), introduzido por BRANS e VINCKE (985), é um método de análi multicritério que utiliza como ba a relação de superação ou sobreclassificação introduzida por B. Roy, um dos autores do método Electre, pioneiro na utilização deste tipo de procedimento. Segundo BRANS et al (986), este método destina- a resolver problemas multicritérios do tipo: Max{ f ( a), f ( a),..., f ( a) a A} (2) 2 Onde: A é um conunto finito n de alternativas; f (.), para variando de até k critérios - são as avaliações dos critérios sobre A. Estas avaliações devem r números reais. Cada critério pode ter suas unidades próprias e o caso geral considera a possibilidade de critérios a rem minimizados e critérios a rem maximizados, no ntido do que entende como otimização. As n x k avaliações são reprentadas na Tabela 6. k

3 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 52 Tabela 6 Avaliação de n alternativas para k critérios f (.) f 2 (.)... f k (.) a f (a ) f 2 (a )... f k (a ) a 2 f (a 2 ) f 2 (a 2 )... f k (a 2 ) a n f (a n ) f 2 (a n )... f k (a n ) 3.. Funções de Preferência ou Critérios Generalizados Para cada critério deve r especificada uma função de preferência ou critério generalizado, que assume valores entre 0 e, a fim de reprentar a preferência do decisor diante das diferenças relativas a cada critério de avaliação, assim como para eliminar os efeitos de escalas ligadas às unidades em que os critérios são expressos. Considerando um critério, as relações entre dois pares de alternativas quaisquer a e b podem r enquadradas com uma relação de dominância natural (I, P), com I significando indiferença e P significando preferência, como a guir: f ( a) > f ( apb ab, A: f ( a) = f ( ai b (3) A função de preferência ou critério generalizado, reprentada por: P = P [ d ] = P [ f ( a) f ( ] (4) reprenta o grau de preferência de a sobre b em função de d (a,, que é a diferença entre os dempenhos das alternativas a e b no critério, tal que, para d (a, 0, tem-: Se P = 0 não há preferência de a sobre b Se 0 há fraca preferência de a sobre b P Se P há forte preferência de a sobre b Se P = há estrita preferência de a sobre b Pode- reprentar P (a, como na Figura 8.

4 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 53 Figura 8 Função de preferência P (a, Obrva- que quando d (a, < 0, P (a, = 0, não significando que P (b,a) não possa r positivo. A função H (d ) mostrada na Figura 9 cobre com mais clareza as zonas de indiferença e preferência fraca. Figura 9 Função de preferência H (a, Onde: P d 0 H ( d ) = P(, b a) d (,) a b 0 (5) Segundo ALMEIDA e COSTA (2003), a função de preferência ou critério generalizado reprenta o comportamento ou atitude do decisor frente às diferenças provenientes da comparação par-a-par entre alternativas para um dado critério. O decisor dispõe de graus de liberdade com relação ao tipo de critério a r usado e aos limites de indiferença e preferência estrita. BRANS et al (986) consideram is tipos de critério generalizado ou funções de preferência, os quais são aprentados na Tabela 7.

5 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 54 Tabela 7 Os is tipos de critério generalizado Tipo de Critério Reprentação Parâmetros P (a, (I) Critério Usual 0 P b ) = d b ) 0 - d ( a,b ) > 0 d (a, P (a, (II) Qua- Critério 0 P ( a,b ) = d b ) q d b ) > q q q d (a, P (a, (III) Critério de preferência linear p d (a, d ( a,b ) > p P b ) = d b ) / p 0 < d b ) p 0 d ( a,b ) 0 p P (a, (IV) Critério de nível q p d(a, d > p P = / 2 q < d p q, p 0 d q (V) Critério de preferência linear com zona de indiferença P (a, q p d (a, d ( a,b ) > p [ d ( a,b ) q ] /( p q ) P b ) = q < d b ) p 0 d b ) q q, p P (a, (VI) Critério gaussiano P 2 b ) { exp 2 2 { [ d b )] / σ } = σ σ d (a,

6 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 55 Nas funções de preferência descritas na Tabela 7, os parâmetros p e q reprentam: q (limiar de indiferença) - o maior valor para d (a,, abaixo do qual existe uma indiferença na preferência entre a ou b. p (limiar de preferência) o menor valor para d (a,, acima do qual existe uma preferência estrita por a em relação a b Construção dos Índices de Preferência Ponderada Um índice de preferência ponderada π deve r definido, conforme equação (6), para todos os pares de alternativa, o qual indicará o percentual de preferência da alternativa a em relação à alternativa b, levando em consideração os pesos atribuídos a cada critério. k = = k w P = π (6) w Os coeficientes w são denominados pesos, os quais são as medidas de importância de cada critério. Os pesos devem r determinados pelo decisor; todos os critérios tiverem a mesma importância, então os pesos podem r iguais. A função π (a,, é a relação de sobreclassificação da alternativa a sobre a alternativa b, conforme exemplifica a Figura 0. π (, ba) b a π ( ab, ) Figura 0 Relação de sobreclassificação entre duas alternativas

7 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha Fluxos de Sobreclassificação O método define três fluxos de sobreclassificação: Fluxo de saída ( φ ) - reprenta a intensidade da preferência da alternativa a sobre todas as outras alternativas do conunto A. Portanto, este fluxo mede a força de sobreclassificação de a sobre as outras n- alternativas. n b= b a πb ) φ ( a ) = (7) n Fluxo de entrada ( φ ) - reprenta a intensidade da preferência de todas as outras alternativas do conunto A sobre a. Este fluxo mede, portanto, a força de sobreclassificação das outras n- alternativas sobre a. n b= b a π( b,a ) φ ( a ) = (8) n Fluxo líquido (φ ) - é o resultado da diferença entre o fluxo de saída ( φ ) e o fluxo de entrada ( φ ) da alternativa a. φ ( a ) = φ ( a ) φ ( a ) (9) Quanto maior for o φ melhor rá a alternativa. Quanto menor for o φ melhor rá a alternativa Classificação Parcial das Alternativas PROMETHEE I De acordo com BRANS et al. (986), o PROMETHEE I utiliza os fluxos φ e φ para uma classificação parcial das alternativas, da guinte forma: apb φ ( a ) > φ ( b ) ou φ ( a ) = φ ( b ) ou φ ( a ) > φ ( b ) e e e φ ( a ) < φ ( b ) φ ( a ) < φ ( b ) φ ( a ) = φ ( b ) (20)

8 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 57 aib φ ( a) = φ ( e φ ( a) = φ ( (2) ajb caso contrário Onde: P, I e J reprentam respectivamente, preferível, indiferente e incomparável. Uma classificação parcial de alternativas pelo método PROMETHEE I é aprentada graficamente na Figura. Neste exemplo, a alternativa a domina todas as outras alternativas. As alternativas a 2, a 6, e a 5 são incomparáveis (não existe ligação entre elas no gráfico), e as alternativas a 2 e a 4 são indiferentes (a ligação entre elas não é reprentada por ta). a 2 a 4 a a 6 a 3 a 5 Figura Ordenação parcial de alternativas (PROMETHEE I) 3..5 Classificação Completa das Alternativas PROMETHEE II O PROMETHEE II utiliza o fluxo líquido φ para obter uma classificação completa considerando: apb aib φ( a) > φ( φ( a) = φ( (22) Onde: P e I reprentam, respectivamente, preferível e indiferente. Desta forma, através do PROMETHEE II, pode- ter uma classificação completa evitando as ocorrências de alternativas incomparáveis.

9 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha Fuzzy PROMETHEE Pode- dizer que aspectos como incerteza, imprecisão e ambigüidade são intríncos à grande maioria dos problemas reais onde busca uma solução através dos métodos de apoio à decisão. O emprego da lógica fuzzy a estes problemas parece evidente. Diante disso, muitos autores vêm aprentando sugestões para a integração da teoria dos conuntos fuzzy aos métodos de apoio a decisão multicritério. As aplicações mostram que, em situações específicas, a lógica fuzzy pode r utilizada em métodos de sobreclassificação. A integração de lógica fuzzy ao método de sobreclassificação ELECTRE pode r vista nos trabalhos de CZYZAK e SLOWINSKI (996) e PERNY e ROY (992), dentre outros. Com relação ao método PROMETHEE, alguns autores propõem a utilização de lógica fuzzy na construção das preferências, como é o caso do trabalho de RADOJEVIC e PETROVIC (997), onde os autores aprentam a construção de um sistema fuzzy de preferência para cada critério. Isto é ustificado pela dificuldade em algumas situações de obtenção dos parâmetros (p e q), utilizados nas funções de preferência. A utilização de números fuzzy nas avaliações das alternativas e nos pesos dos critérios também pode r encontrada na literatura como proposta de alguns autores. Pode- destacar o trabalho de GOUMAS e LYGEROU (2000), onde o método F-PROMETHEE é aprentado. Neste método são feitas adaptações na metodologia multicritério PROMETHEE, introduzindo operações com números fuzzy triangulares. As avaliações das alternativas sob cada critério são consideradas números fuzzy, enquanto que os parâmetros que expressam as opiniões do decisor, tais como os parâmetros do critério generalizado e os pesos dos critérios, são considerados valores precisos como no PROMETHEE. De forma melhante, GELDERMANN et al (2000) propõem uma adaptação do método PROMETHEE utilizando operações com números fuzzy trapezoidais. Porém neste modelo os pesos dos critérios são tratados como variáveis lingüísticas, reprentados como números fuzzy trapezoidais. No contexto de priorização de modos de falha dos equipamentos, no qual este trabalho está inrido, o dempenho das alternativas (modos de falha) sob

10 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 59 cada um dos critérios pode r obtido apenas de forma aproximada. Diante disso, a utilização de números fuzzy nas avaliações de cada modo de falha mostra- muito relevante, uma vez que com isto fica- mais próximo da realidade do problema, obtendo conqüentemente uma priorização mais realista. As adaptações do método PROMETHEE para a utilização de números fuzzy nas avaliações das alternativas, as quais rão utilizadas neste trabalho, são aprentadas a guir.. Supondo as avaliações das alternativas sob um determinado critério como números fuzzy triangulares, a diferença dab ~ (, ) entre as avaliações de duas alternativas a e b, rá um número fuzzy triangular ( m, α, β ) LR, reprentado conforme a notação de DUBOIS e PRADE (978) e aprentado na Figura Sabendo- que a escolha pelo decisor da função de preferência a r utilizada em cada critério depende do tipo de problema, pode- considerar que na grande maioria dos casos é adequada e utilizada a função de preferência tipo V (linear com zona de indiferença), aprentada na Tabela O critério generalizado tipo V (Tabela 7), pode r expresso como (GOUMAS e LYGEROU, 2000): 0 m α 0 ~ ( m, αβ, ) q Pab (, ) = q m α e m β p p q m β p (23) Segundo GELDERMANN et al (2000), o grau de preferência da comparação das alternativas a e b, com relação ao critério f k, pode r definido como: ~ ~ ~ P ( f( a) f( ) = P ( d) = P(( m, αβ, ) ) LR = ( P( m),( P ( m) P( m α)),( P ( m β) P ( m))) (24) A função de preferência é reprentada como na Figura 2:

11 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 60 ~ P ( d) m α m m β Figura 2 Reprentação gráfica da função de preferência ~ 4. O índice de preferência ponderada rá expresso como: π ( ab, ) = k = k ~ w P = w (25) Caso o peso a considerado como valores precisos, rá reprentado como (w, 0, 0). 5. Os fluxos positivo e negativo rão números fuzzy obtidos de acordo com as equações (26) e (27) respectivamente. ~ b= b a Φ ( a) = ~ Φ ( a) = n n b= b a ~ π ( ab, ) n ~ π (, ba) n (26) (27) 6. O fluxo líquido rá também um número fuzzy obtido através da diferença entre os fluxos positivo e negativo. ~ ~ ~ Φ ( a) =Φ ( a) Φ ( a) (28) 7. Finalmente deve r feita a ordenação das alternativas. Os resultados aprentados estão sob a forma de números fuzzy e o principal problema encontrado nesta etapa é a comparação entre números fuzzy. Existem vários modelos propostos para ordenação de números fuzzy, não pode dizer que exista um melhor, isto depende do tipo de aplicação. Uma O símbolo ~ é utilizado para indicar um número fuzzy

12 3. Métodos Utilizados para a Priorização dos Modos de Falha 6 x = defuzz m mα m proposta, é que a feita a defuzzificação do fluxo líquido, utilizando o Método Centróide (GELDERMANN et al, 2000) conforme a equação (29). = x μ( x) dx μ( xdx ) m β mx xm ( ) xdx ( ) xdx α β mα m m β mx xm ( ) dx ( ) dx α β m = (3 m α β ) 3 O resultado da defuzzificação pelo centro de massa é o índice x defuzz, conhecido como índice de YAGER (GOUMAS e LYGEROU, 2000). A guir, no capítulo 4, rá aprentado o modelo denvolvido para a priorização dos modos de falha de equipamentos utilizando os métodos PROMETHEE e F-PROMETHEE aprentados anteriormente. (29)