Uma nova abordagem baseada em wavelets para o método Multigrid Algébrico: Parte I Algoritmo Seqüencial

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1 Uma nova abordagem baseada em wavelets para o método Multigrid Algébrico: Parte I Algoritmo Seqüencial Fabio Henrique Pereira e Sílvio Ikuyo Nabeta LMAG - Laboratório de Eletromagnetismo Aplicado PEA Departamento de Engenaria de Energia e Automação Elétricas EPUSP Escola politécnica da Universidade de São Paulo 558-9, São Paulo, SP fabio@pea.usp.br - nabeta@pea.usp.br I. Introdução A simulação computacional é uma poderosa ferramenta para auxiliar a compreensão dos diversos fenômenos físicos que ocorrem na natureza e que são obetos de estudo em diferentes áreas de pesquisa. Ao contrário de métodos puramente analíticos, a simulação computacional possibilita a utilização de um grande número de graus de liberdade no tratamento dos fenômenos, bem como a incorporação de efeitos não lineares, não simétricos e multidisciplinares inerentes a determinados problemas. Nas ciências matemáticas e físicas e nas engenarias, a simulação computacional envolve, em geral, a solução numérica de uma Equação Diferencial Parcial (EDP) através da aplicação de diversos métodos numéricos, entre eles, os métodos de discretização do domínio dos Elementos Finitos (MEF) e das Diferenças Finitas. Esses métodos transformam o domínio contínuo, no qual a EDP está definida, em um domínio discreto, gerando um sistema de equações algébricas que, quando resolvido, fornece a solução nos pontos discretos do domínio de cálculo. Nesse processo, a resolução desse sistema de equações algébricas resultante é a etapa mais trabalosa computacionalmente. Como esses sistemas geralmente são muito grandes e possuem características distintas, como esparsidade e mal condicionamento, o uso de métodos diretos fica limitado por questões de memória computacional. Dessa forma, a solução quase sempre exige o uso de métodos iterativos eficientes em conunto, quando possível, com técnicas avançadas de pré-condicionamento. O método multigrid é muito adequado para esse tipo de problema á que, além de possuir características deseáveis de convergência e custo computacional, pode ser usado tanto como método iterativo quanto como pré-condicionador para outro método iterativo apropriado. II. A técnica Multigrid O princípio de funcionamento da técnica multigrid está intimamente relacionado ao comportamento de convergência dos métodos iterativos estacionários como, por exemplo, os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Uma análise detalada desses métodos permite afirmar que eles são muito eficientes na eliminação dos componentes de alta freqüência do erro, mas, por outro lado, são ineficazes no que diz respeito à remoção dos componentes suaves. Por essa razão, esses métodos são também camados de suavizadores. Como os componentes suaves do erro aparecem mais oscilatórios em um domínio com discretização menos refinada, essa característica de suavização dos métodos iterativos estacionários sugere a transferência do problema para um outro nível de resolução, no qual a discretização do domínio da EDP possui um menor número de pontos. A repetição recursiva desse processo dá origem ao método multigrid. É claro que para realizar a tarefa de explorar a utilização de vários níveis (também camados grids) na resolução de um problema, o método multigrid necessita de alguns componentes básicos, são eles: ) Uma ierarquia de matrizes uma representação da matriz original em cada grid; ) Operadores de transferência operadores de restrição R e prolongamento P usados para transferir os vetores entre os diferentes grids; 3) Suavizadores - método iterativo estacionário como Jacobi ou Gauss-Seidel; 4) Um método direto - para resolver a equação residual no grid mais grosseiro No contexto algébrico esses componentes são construídos utilizando-se apenas informações da matriz de coeficientes do sistema. Assim, o Método Multigrid Algébrico (AMG) é muito adequado para problemas com geometrias irregulares e muito útil nos camados métodos plug-in ou black box solver.

2 Definidos todos os componentes necessários, um algoritmo de correção do erro com dois grids é obtido como ilustrado no algoritmo, no qual os sobrescritos e simbolizam o espaçamento entre os pontos do grid onde cada vetor ou matriz está definido: Um algoritmo para o método multigrid é obtido simplesmente substituindo a terceira instrução do algoritmo por uma camada recursiva desse mesmo esquema de correção com dois grids. É importante observar que para evitar a transferência de dois vetores f e v em cada nível do método, o algoritmo resolve a equação residual A e = r em Ω usando como estimativa inicial o vetor nulo. III. Dificuldades da abordagem algébrica tradicional Um dos maiores problemas do método AMG tradicional reside na etapa de montagem que compreende a construção dos operadores de transferência e a criação da ierarquia de matrizes. Ao contrário da abordagem geométrica que cria uma ierarquia de matrizes partindo de um conunto de malas com diferentes discretizações, o AMG faz uma seleção de um subconunto das incógnitas (representação algébrica dos pontos da discretização) para representar o próximo nível na ierarquia. A grande dificuldade desse processo de seleção é que ele é inteiramente baseado em critérios puramente eurísticos que definem relações de influência e dependência entre incógnitas vizinas. Esse processo envolve a escola de parâmetros para determinar quais as incógnitas do sistema são mais representativas e, consequentemente, melores candidatas para formarem o próximo nível de solução. Um exemplo dessa dificuldade é a escola de um valor adequado para o parâmetro α na definição das fortes conexões na matriz. Em geral, usa-se α =.5 mas, infelizmente, esse valor nem sempre produz bons resultados []. Uma tentativa de contornar essa dificuldade é apresentada por este autor em [9]. Algoritmo - Esquema de correção com dois grids : Outro grande problema do AMG diz respeito. Aplique ν passos do suavizador em A u = f à paralelização do processo de seleção das incógnitas. O esquema tradicional possui com estimativa inicial v natureza seqüencial, especialmente quando uma. Calcule r = f A v e r = Rr técnica baseada na Decomposição do Domínio é utilizada [], [7]. Essa é, sem dúvida, uma séria 3. Resolva A e = r em Ω limitação da abordagem á que uma das 4. Calcule e = Pe e corria a solução aproximada v em Ω conforme: v v + e conseqüências imediatas das características da técnica multigrid é o imediato interesse na sua paralelização. 5. Aplique ν passos de suavização em A u = f com estimativa inicial v. IV. Multigrid e wavelets Wavelets são funções ψ ab, () t obtidas por meio de translações e dilatações (contrações ou escalamento) de uma função ψ ( t) camada wavelet mãe. Introduzindo as dilatações por um fator de escalamento a e as translações por meio de uma variável b, a forma geral de uma família dessas funções é dada por: ψ () t b, ab, t = a ψ a () com a> e b. O termo / a é introduzido para preservar a norma da função no espaço das funções quadraticamente integráveis L ( ). Uma importante característica das funções definidas em (4.) é que elas formam uma base para o espaço L ( ). Assim, uma função f(t) nesse espaço pode ser aproximada por uma combinação das wavelets usando coeficientes c dados por [6],[3], ab, c ab, ab, = f, ψ, () na qual, denota o produto interno em L ( ). O termo wavelet é uma tradução para o inglês das palavras francesas ondelettes ou petites ondes, ou sea, pequenas ondas. No português, recebem também o nome de ondaletas [8]. Na verdade, os termos wavelet e ondaletas são usados para sugerir que se tratam de funções que são localizadas em freqüência em torno de um valor central. A transformada wavelet usa uma técnica de multiresolução para analisar diferentes freqüências em diferentes resoluções. Como as

3 funções wavelets possuem localização temporal e, além disso, são funções com dois parâmetros (translações e escalamento ou contração), os componentes de alta freqüência do sinal podem ser representados por wavelets de curta duração (maior resolução temporal). Por outro lado, os componentes de baixa freqüência são analisados em períodos de tempo mais longos, como ilustrado na Figura. Figura : Cobertura do plano tempo-freqüência por Fourier Janelada (Gabor) e wavelets. Formalmente, a Análise em Multiresolução (AMR) com wavelets pode ser definida da seguinte forma: Definição : uma análise em multiresolução é uma seqüência V ( ) de subespaços fecados aninados, V V V V V (3) tais que a união é densa no espaço das funções quadraticamente integráveis L ( ). Além disso, tem-se que V ; (4) = f ( x) V f( x) V ; (5) f( x) V f( x n) V, para todo n ; (6) Outras importantes características desses subespaços são: a) V é gerado por um conunto ortonormal obtido por meio de translações inteiras de uma única função φ L ( ), camada função escaladora, V = φ x n (7) {( )} ( n Para cada inteiro, V é gerado por uma base ortonormal obtida da forma, V = { ( x k)} (8) φ k b) Para cada inteiro, V = V+ W+, na qual o símbolo significa a soma direta entre os espaços e cada W + é gerado por um conunto ortonormal obtido por meio de translações e escalamentos de uma única função wavelet, W = { ψ ( x k)} (9) k c) O conunto obtido da forma { ψ ( x k)} k,,, k () é uma base de L ( ). Na prática, a análise em multiresolução é empregada em problemas discretos que estão definidos, ou são proetados, no subespaço V que representa o mais alto nível de resolução em AMR. Assim, dada um vetor (sinal discreto) u V, os coeficientes c,k da expansão de u em termos da base (7) são obtidos usando a ortogonalidade de φ, e ψ, u = c φ, k ( x k). () k A expressão () pode ser considerada como a representação de u no grid mais refinado. Outros coeficientes c,k e d,k podem ser encontrados para representar u em V e W da forma: x x u = c, kφ k + d, kψ k k. () Segundo a teoria de multiresolução, o resultado da decomposição de V em uma soma de subespaços V e W, é que a maior parte da variação (energia da função) fica contida em V e a representação dessa função em W é praticamente nula. Assim, os coeficientes c,k podem ser considerados como uma aproximação de u no espaço V, e o processo pode continuar até atingir o nível mais grosseiro, sempre decompondo cada representação de u em V no próximo par de subespaços V + e W +. A decomposição de um espaço vetorial V n em subespaços mutuamente ortogonais na forma Vn = Vl Wl Wl+ Wn+ (3) é denominada Transformada Discreta Wavelet (DWT). Na prática, a DWT é realizada usando filtros digitais passa-banda que capturam uma aproximação (coeficientes c, k ) do sinal e os coeficientes de detales ( d, k ). Mais detales sobre a relação entre a transformada wavelet e banco de filtros pode ser encontrado em []. Uma DWT com três níveis é ilustrada esquematicamente na Figura. Na Figura, os blocos G e H representam, respectivamente, os

4 filtros passa-alta e passa-baixa e o símbolo ( ) representa uma operação de decimação (subamostragem) que consiste em eliminar as amostras de índice ímpar do sinal de entrada. A decimação é feita para preservar a dimensão do sinal. (menor resolução). Essa operação é ilustrada em destaque no ramo direito da árvore apresentada na Figura. No caso bidimensional, o procedimento ilustrado na Figura é aplicado nas linas e colunas da matriz para gerar uma aproximação em cada nível do processo de multiresolução. Essa abordagem para o método multigrid algébrico, camada WAMG, foi proposta por este autor em [] e tem apresentado resultados muito promissores. Essa nova abordagem elimina completamente a necessidade da escola eurística de parâmetros assim como todo o processo de seleção e interpolação necessário no procedimento padrão do AMG e que dificulta a paralelização do método. De fato, além da sua eficiência numérica, o algoritmo proposto é altamente paralelizável []. VI. Resultados quantitativos de convergência para o WAMG Figura : Transformada Discreta Wavelet com três níveis No contexto do multigrid, o uso de wavelets foi abordado pela primeira vez por Briggs e Henson [3]. Eles observaram que o espaço da mais alta resolução na análise de multiresolução com wavelet pode ser relacionado ao espaço do grid mais refinado no esquema Multigrid. V. O método Multigrid Algébrico baseado em Wavelet Este trabalo apresenta uma nova abordagem para o método Multigrid Algébrico baseado em uma variação da Transformada Discreta Wavelet. Na DWT tradicional, muito empregada no processamento de sinais e imagens digitais, os coeficientes de detales capturados pelos filtros passa-alta são utilizados na reconstrução do sinal decomposto. Entretanto, como no contexto do multigrid algébrico não existe a necessidade de reconstruir o sinal digital (matriz e vetores), a nova abordagem apresentada aqui consiste no uso apenas dos filtros passa-baixa, capturando as aproximações necessárias para representar o problema em um nível com menos refinamento Neste trabalo, uma análise quantitativa da convergência do método WAMG é realizada numericamente. Através da aplicação do método em uma série de problemas testes, esses aspectos quantitativos são observados e medidos na prática, de maneira numérica, de acordo com os critérios apresentados nesta seção. A determinação do fator de convergência ρ, mesmo que de maneira empírica (estimado numericamente), é muito importante na análise e avaliação do método WAMG. Em geral, a definição de ρ é feita utilizando o vetor resíduo r uma vez que este vetor está disponível em cada interação do método. Essa medição pode ser feita, por exemplo, usando a expressão, m ( m) q = (4) m ou m ( m) ( ) ( ) () ˆ m m m q = q q q = m. (5) A quantidade q ˆ ( m) representa uma média do fator de redução do resíduo em m iterações. Para ( m) ( m) r, qˆ ρ qˆ é uma boa estimativa para ρ se m é suficientemente grande [4]. Além disso, uma vez que as primeiras iterações, em geral, não refletem o comportamento de convergência assintótico do método, é ( ) conveniente redefinir q ˆ m como,

5 qˆ = (6) m ( m) m m m para um pequeno número m, tipicamente entre e 5. Para analisar quantitativamente o WAMG o método foi testado em problemas modelos e seu fator de convergência foi medido conforme descrito na equação (6). Para facilitar a comparação entre a abordagem apresentada neste trabalo e algumas das mais modernas e sofisticadas abordagens algébricas do multigrid foram escolidos como problemas modelos aqueles utilizados em [4]. Esses resultados são usados para avaliar o desempeno do WAMG no que diz respeito ao fator de convergência do método quando usado como uma técnica iterativa de solução. Nesse caso, todos os métodos são testados nas mesmas condições, de acordo com o algoritmo a seguir: Algoritmo - Método iterativo multigrid: v MG( A, f, σ ). v. v μ(v, f) 3. Para i =,, até convergência, faça: r f - Av e e μ(e, r) v v + e Aplique σ passos de suavização em Au = f com estimativa inicial v Fim. No algoritmo, a instrução μ(, ) representa o camado ciclo de multigrid em V, ou V-ciclo, que é obtido substituindo a lina 3 do algoritmo por uma camada recursiva do procedimento ilustrado naquele mesmo algoritmo. Os detales dos problemas tratados e os resultados numéricos correspondentes são apresentados na próxima seção. VII. Exemplos Numéricos Nesta seção são relatados uma série de resultados numéricos de vários problemas testes para avaliar o desempeno do método WAMG em comparação a algumas das mais modernas e atuais abordagens algébricas do multigrid apresentadas em [4]. Todos os resultados são reportados usando a seguinte notação: ρ t s t m N EQ fator de convergência assintótica (medido através da expressão (6)); tempo gasto na fase de solução; tempo gasto na fase de montagem; número de iterações necessárias para convergência; dimensão do sistema linear correspondente. Esclarecendo que os tempos são apresentados em segundos e que a convergência é definida de tal forma que o vetor resíduo r satisfaça a relação r / r < 6. Em todos os testes foi usado um vetor do lado direito f escolido de forma que a solução exata u sea um vetor com todos os elementos iguais a.. Como estimativa inicial foi usado o vetor nulo. O método de Gauss-Seidel com relaxação foi usado como suavizador e o método WAMG foi implementado com filtros de Daubecies de comprimento, 4 e 6 [5]. As abordagens apresentadas por Cang e Huang em [4] são identificadas nas tabelas como Métodos I, II, III, IV, V, VI, VII e VIII, de acordo com denominação empregada pelos próprios autores no referido trabalo. Os resultados referentes a esses métodos foram transcritos aqui literalmente. Todos os testes foram realizados utilizando um computador com processador AMD Sempron.4+ com.67 GHz e 768 MB de memória RAM. Problema : equação de Poisson em um quadrado unitário com condições de contorno de Diriclet. Para este caso considerou-se uma aproximação por Diferenças Finitas (DF) representada pelo estêncil padrão de 5 pontos, L (5) = 4. (7) Para este mesmo problema, considera-se também uma aproximação por DF de ordem mais alta, ilustrada pelo estêncil de diferenças de 9 pontos, L (9) 4 = (8) Os resultados para esses dois testes são apresentados, respectivamente, nas tabelas e.

6 (5) Tabela : resultados para problema com L I II III IV V VI VII VIII WAMG()..5.8 WAMG(4) WAMG(6).6.. I II III IV V VI VII VIII WAMG()..8.9 WAMG(4) WAMG(6) (9) Tabela : resultados para problema com L I II III IV V VI VII VIII WAMG()..7.3 WAMG(4) WAMG(6).3..6 Problema : equação anisotrópica (9) em um quadrado unitário com condição de contorno de Diriclet. εuxx uyy = f, (9) Novamente, utilizou-se uma discretização com o uso do estêncil de Diferenças Finitas com 5 pontos, (5) L ( ε ) = ε ( ε) ε +. () Os resultados para ε =. são apresentados na tabela 3. Problema 3: equação com termo envolvendo derivadas em relação a x e y, na forma (), a qual é elíptica para ε <, parabólica para ε = e iperbólica para ε >. ε Lu= Δ u+ εu = f, () xy Tabela 3: resultados para problema I II III IV V VI. 3.. VII VIII WAMG()..4.8 WAMG(4)..4.8 WAMG(6)... O problema 3 é resolvido para ε =.5, com discretização de segunda ordem dada pelo estêncil com 7 pontos ε ε + (7) ε ε L ( ε) = + 4 ε +. () ε ε + Os resultados correspondentes a este caso são mostrados na tabela 4. Tabela 4: resultados para problema 3 I II III IV V VI VII VIII WAMG()..5. WAMG(4)..4. WAMG(6)... VIII. Discussão e Conclusões A utilização de uma variação da transformada discreta wavelet na construção da ierarquia de matrizes e dos operadores de transferência no WAMG eliminou algumas das dificuldades da abordagem algébrica tradicional, comentadas ao longo deste trabalo, e produziu um método robusto que pode ser utilizado como uma técnica iterativa de resolução ou como um précondicionador para outros métodos iterativos (vea [] para mais detales sobre o uso do WAMG como pré-condicionador).

7 Os resultados apresentados mostram o melor desempeno do WAMG em relação as abordagem tradicionais do Multigrid Algébrico. Em relação aos resultados das abordagens algébricas introduzidas em [4], o WAMG apresentou um desempeno superior em todos os casos testados. Isso contribui para promoção da abordagem proposta neste trabalo especialmente porque aqueles métodos em [4] representam um avanço em relação à abordagem padrão (Método I). Além de eliminar todos os parâmetros e critérios eurísticos presentes na abordagem tradicional, o WAMG também possui características mais adequadas à paralelização. De fato, a versão paralela do método proposto tem produzido resultados muito bons, como pode ser visto no trabalo companeiro []. Por fim, conforme é previsto na teoria dos métodos multigrid [4], o WAMG apresentou uma convergência independente do espaçamento entre os pontos da discretização e uma deseável propriedade de escalabilidade, ou sea, um aumento no tempo gasto na etapa de solução diretamente proporcional ao aumento da dimensão dos problemas testados, como pode ser observado, por exemplo, nos resultados da tabela. Referências [] M.J. Antonelli, T.P. Cartier, "Optimization of Strengt Tresold in Algebraic Multigrid for Immersed Interface Problems", University of Wasington, Tecnical report, 3. [] I. M. Boier-Martin, Domain Decomposition for Multiresolution Analysis, em "Proceedings of te Symposium on Geometry Processing", 9-4, Aacen, Germany, Juno de 3. [3] W. L. Briggs, V. E. Henson, and S. F. McCormick, A Multigrid Tutorial, nd. ed, SIAM, California,. [4] Q. Cang and Z. Huang, Efficient Algebraic Multigrid Algoritms and Teir Convergence, SIAM J. Sci. Comput. 4- () [5] I. Daubecies, Ortonormal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure and Appl. Mat., 4 (988) [6] M. W. Frasier, An Introduction to Wavelets Troug Linear Algebra, Springer-Verlag, New York, 999. [7] R. H. W. Hoppe, Adaptive multigrid and domain decomposition metods in te computation of electromagnetic fields, Journal of Computational and Applied Matematics, 68 (4) -. [8] P.A. Morettin, Ondas e Ondaletas: Da Análise de Fourier à Análise de Ondaletas, São Paulo, Edusp, 999. [9] F. H. Pereira, S. L. L. Verardi, S. I. Nabeta, A Fast Algebraic Multigrid Preconditioned Conugate Gradient Solver, em Compumag - 5t Conference on te Computation of Electromagnetic Fields, Senyang, Cina, 5. [] F. H. Pereira, O Método Multigrid Algébrico na Resolução de Sistemas Lineares Oriundos do Método dos Elementos Finitos, tese de doutorado, Universidade de São Paulo, Fevereiro, 7. [] F. H. Pereira, S. I. Nabeta, Uma nova abordagem baseada em wavelets para o método Multigrid Algébrico: Parte II Algoritmo Paralelo, submetido ao XXX CNMAC, 7. [] F. H. Pereira, S. L. L. Verardi, S. I. Nabeta, A Wavelet-based Algebraic Multigrid preconditioner for sparse linear systems, Applied Matematics and Computation, 8 (6) [3] T. K. Sarkar, M. Salazar-Palma, C. W. Micael, Wavelet Applications in Engineering Electromagnetics, Artec House, Boston,. [4] U. Trottenberg, C. W. Oosterlee, A. Sculler, Multigrid, Academic Press, London,.