Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico, Jardim das Américas Curitiba, Paraná, Brasil CEP:

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1 NOVA ESTRUTURA DE CONTROLADORES COM VRFT CONSTRUÍDA UTILIZANDO BASES DE FUNÇÕES ORTONORMAIS MIRIAM R. BENINCA, GUSTAVO H. C. OLIVEIRA., GIDEON V. LEANDRO Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico, Jardim das Américas Curitiba, Paraná, Brasil CEP: s: Abstract The Virtual Reference Feedback Tuning (VRFT) design is a non-iterative method that intents to identify a controller from one set of data collected from plant. Although it is a good alternative for controller design, it minimizes parameters in a predefined structure of controller. It means that this class of controller must be assign precisely, otherwise the feedback system does not respond as a reference model. This paper generalizes this control structure by adapting the orthonormal basis functions (OBF) in order to improve the VRFT theory and applicability. Simulation results are presented to illustrate the effectiveness compared between conventional VRFT and OBF-VRFT. Keywords Orthonormal basis functions, Laguerre method, Virtual Feedback Reference Tuning, Data-based controller design. Resumo O projeto de controladores pela referência virtual chamado Virtual Reference Feedback Tuning (VRFT) é um método não iterativo que tem por objetivo obter um controlador a partir de um conjunto de dados de entradas e saídas da planta. Apesar de ser um método rápida para projeto de controladores, ele fundamentalmente minimiza parâmetros do controlador baseado em uma estrutura fixa, pré-determinada, o que compromete a resposta do sistema quando realimentado e aumenta os erros quando comparados com um modelo de referência. Este trabalho generaliza a escolha de uma estrutura de controladores através da teoria de bases de funções ortonormais (BFO) a fim de condicionar o método VRFT a obter maior aplicabilidade. Alguns resultados de simulação são apresentados afim de ilustrar a precisão do método proposto comparado ao tradicional. Palavras-chave Bases de funções ortonormais, Bases de Laguerre, Referencia Virtual, Projeto de Controle baseado em dados. 1 Introdução A ideia fundamental da teoria de controle é alterar o comportamento dinâmico de um sistema e atender certos requisitos de desempenho. Em muitos casos o controlador é projetado conforme um modelo matemático cuja precisão é fundamental para que o sistema real se comporte conforme planejado. Com o objetivo de atingir requisitos mais rígidos e controlar sistemas cada vez mais complexos, desde os anos 9 muitos métodos foram desenvolvidos para projetar o controlador sem conhecimento prévio do modelo do processo, mas somente com dados de entrada e saída coletados da planta. Desta forma, as técnicas de projeto de controladores baseados em dados têm por objetivo principal utilizar o montante de informação coletado para ajustar os parâmetros de estruturas previamente determinadas a fim de atender os requisitos de desempenho do sistema (Guardabassi & Savaresi, 2; Huusom et al, 211). Dentre os métodos de projeto de controladores baseados em dados, o chamado Virtual Reference Feedback Tuning, ou VRFT, possui a grande vantagem de trabalhar somente com um conjunto de dados da planta, ou seja, uma única intervenção para experimentos. Proposto inicialmente por (Guardabassi & Savaresi, 2), este método vem sendo amplamente estudado desde então. Dentre os vários trabalhos, pode-se destacar os de (Campi et al, 22; Lecchini et al, 22; Sala, 27; Campestrini et al, 211; Cunha & Bazanella, 212; Bazanella et al, 212). Alguns trabalhos no contexto nacional são (Campestrini, 21; Neuhaus, 212). O método VRFT se caracteriza por ter como objetivo identificar um controlador para uma planta a fim de que o comportamento em malha fechada seja o mais próximo possível de um modelo de referência. A definição dessa referência é uma vantagem do VRFT frente às técnicas tradicionais em que as especificações de controlador são dadas empiricamente ou escolhidas de forma simples, porém limitada (Campestrini, 21). Dessa forma, pode-se dizer que dois dados iniciais de projeto são necessários no método VRFT: Um conjunto de entrada e saída da planta (experimento) e o comportamento desejado da planta em malha fechada (modelo referência). Os dados de entrada e saída são resultados de um único experimento realizado que consiste em perturbar o processo com uma entrada conhecida e observar a resposta resultante na variável de saída. Apesar de apresentar a vantagem de poder ser parametrizado linearmente o método de VRFT é extremamente dependente da classe de modelos escolhida para representar o controlador cujos parâmetros serão selecionados usando um procedimento de identificação de sistemas (Campi et al, 22),. Assim, surgem casos em que classe de controladores escolhida não pertence à classe de controladores ideal, pois não se conhece a priori a estrutura da 217

2 planta que está sendo controlada. Os parâmetros do modelo estimado para o controlador podem convergir, porém a resposta em malha fechada fica aquém do especificado. Por outro lado, dentre as estruturas de modelos para sistemas lineares estáveis em malha aberta destacam-se os modelos formados por bases de funções ortonormais (BFO) (Heuberger, 25). Conforme descrito em (Campello et al, 27), tal estrutura de modelo tem algumas vantagens sobre os métodos convencionais para identificação de sistemas lineares. i) desacoplamento natural das múltiplas saídas em modelos multivariáveis e a um conjunto de propriedades estatísticas favoráveis à estimação numérica daqueles modelos lineares nos parâmetros via algoritmo de mínimos quadrados; ii) Não é necessário conhecer os termos passados relevantes dos sinais de E/S do sistema, cujo procedimento de determinação não é trivial, particularmente no caso não linear; dentre outras. A aplicação de modelos OBF em sistemas de controle é descrita em (Wang & Cluett, 2; Wang, 21; Oliveira et al, 27). Alguns trabalhos no contexto nacional são (Oliveira, 1997; Da Rosa, 29; Campello, 22; Machado, 211; Maestrelli, 21; Reginato, 28) e referências inclusas. Neste contexto, este artigo contém uma proposta de uso modelos com estrutura formada por bases de funções ortonormais na parametrização de controladores com projeto baseado em VRFT para sistemas lineares. Pretende-se com isso diminuir a sensibilidade do projeto VRFT frente à seleção prévia da estrutura do controlador. Neste artigo, aborda-se o método VRFT para sistemas lineares, porém, conforme descrito por (Savaresi & Guardabassi, 1998; Nijmeijer & Savaresi, 1998; Guardabassi & Savaresi, 21; Kansha, 28) este método também pode ser aplicado em sistemas não lineares. Este trabalho está estruturado conforme apresentado a seguir. Na Seção 2, descrevem-se os fundamentos do método de projeto VRFT. Na Seção 3, descreve-se a identificação de parâmetros de modelos lineares usando bases de funções ortonormais. Na Seção 4, tem-se a proposta de controlador com estrutura formada por BFO e projeto VRFT. Na Seção 5, apresentam-se exemplos de simulação da estratégia proposta e, finalmente, na Seção 6, o artigo é concluído. 2 A Representação via VRFT 2.1 O projeto VRFT clássico O VRFT é um método não iterativo que consiste em minimizar uma função objetivo com o objetivo de encontrar parâmetros de um controlador a fim de obter um modelo realimentado que se comporte igual a um modelo de referência. Assume-se que o modelo da planta é desconhecido e que somente se tem um conjunto de entradas e saídas coletado em um experimento, além de um modelo de referencia que contém a dinâmica desejada para o sistema em malha fechada,. O objetivo do método é determinar um controlador com estrutura e parâmetros, de modo que o sistema em malha fechada se aproxime ao máximo do modelo pré-especificado, Assim, o método VRFT resolve um problema de identificação de sistemas em tempo discreto conforme descrito na Figura 1, onde o modelo de referência, descreve o desempenho desejado de uma planta com controlador. Nesta mesma figura, e são, respectivamente, valores de entrada e saída conhecidos e a saída de referência virtual obtida através do inverso do modelo de referência e. r (k) + Figura 1. Sistema de controle com realimentação unitária, sendo o inverso da dinâmica desejada. Desta forma, baseado no sinal de saída do processo,, obtém-se um sinal de referência tal que minimize o erro entre e. Sendo e a transformada Z de e respectivamente, tem-se: onde: - (1) e(k) u(k) C(z θ) T (z θ) G(z) M(z) y(k) (2) O sinal não existe na realidade, ele é uma referência conhecida como virtual e somente é utilizada para gerar os sinais simulados a partir de sem a atuação do controlador. Supondo que não é conhecido e que somente uma sequência de entradas e saídas foi coletada da planta, o objetivo é obter parâmetros de uma estrutura predeterminada em que o sistema de controle realimentado se comporte conforme a referência desejada, o modelo Dado uma medida de sinal da planta, o sinal de referência correspondente é dado pela Equação (3) conforme mostrado na Figura (2): + + v(k) 2171

3 (3) R (z) Figura 2. Modelo inverso do comportamento desejado da planta dado por. O método VRFT define as saídas como a saída desejada quando o sinal de referência for. Como consequência, o erro é dado por. Como os valores de erro,, e a entrada da planta para dada saída,, são conhecidos, o sistema se reduz a um problema de identificação de um modelo dinâmico no qual, se a entrada for então a saída será (Campi et al, 22; Bazanella et al,28). Sendo a função de transferência da Figura (2), se o sistema for alimentado com qualquer sinal de referência, sua saída será (Kansha et al, 28). Então, a condição necessária para que o sistema de malha fechada tenha a mesma função de transferência do modelo de referência é que a saída dos dois sistemas seja a mesma para um dado Portanto, a identificação do controlador reduz-se a minimizar o problema: T (z θ) Y(z) (4) Uma vez definida a referência virtual, é possível visualizar que o sistema se torna um problema não linear de identificação de sistemas lineares. Como em todo problema de identificação de sistemas, deseja-se definir uma estrutura de modelo C que contém modelos específicos dados por vetores de parâmetros pertencentes a, de forma que (Ljung, 1999): C* = { (5) Assim, determinar a estrutura ou classe do controlador é um dos desafios do projeto VRFT. Em diversos trabalhos como os de (Neuhaus,212; Chiu, 28; Guardabassi & Savaresi, 2; Campestrini, 21) a estrutura dos controladores foi determinada previamente na etapa de experimentos. Em todos os trabalhos citados, o modelo do controlador foi parametrizado baseado em uma estrutura pré-definida, conforme dado pela Equação (6):, (6) sendo um vetor linear de funções de transferências de tempo discreto e θ é o vetor de parâmetros a ser estimado. Ou seja, para um controlador PI, a classe de controladores é dada por: (7) ou ainda, no caso de um PID: (8) Nas situações em que o controlador é assumido previamente e este não contempla o controlador ideal, pode-se ocorrer mau condicionamento numérico e/ou o controlador calculado pode não atender o desempenho desejado. Assim, a fim de minimizar os erros devidos a uma estrutura fixa de controlador, propõe-se neste trabalho uma nova estrutura para definir o controlador, visando melhorar os resultados do problema de identificação associados sem a necessidade de intervenções sucessivas e/ou do conhecimento prévio da planta pelo projetista. 3 As bases de funções ortonormais (BFO) Ao longo da última década houve o desenvolvimento de técnicas novas com o objetivo de generalizar as bases de funções ortonormais estudadas por Wiener e Laguerre nos anos 3 (Heuberger et al, 25). O objetivo é obter classes de funções racionais para sistemas lineares ou dinâmicos linearizáveis (Heuberger et al, 25; Oliveira et al, 211; Oliveira et al, 212). Sendo um modelo desconhecido, a saída do processo é descrita como a soma ponderada das saídas das funções de base ortonormal, ou seja, cada função que forma a base é definida por um polo. Tal polo é escolhido a partir de um conhecimento a priori da dinâmica da planta ou através de métodos desenvolvidos para seleção ótima dos parâmetros da base. Como exemplo cita-se os trabalhos de (Reginato, 27; Silva, 2). A principal forma de se determinar modelos dinâmicos através das bases de funções ortonormais é através da resposta impulso do sistema. Porém esse desenvolvimento é possível somente para sistemas dinâmicos estáveis com resposta impulso somável (Campello et al, 27). De outra forma, é necessário estimar os coeficientes das bases através de algoritmos de estimação linear como, por exemplo, o método dos mínimos quadrados (Campello et al, 27; Aguirre, 27). Assim, seja um processo SISO, linear e causal, com memória finita descrito por sua função de transferência : (9) 2172

4 ou seu somatório de convolução: (1) onde e são a entrada e saída de um sinal de tempo discreto, respectivamente. Caso a resposta impulso da planta possua energia finita, isto é, se: (11) então pode ser representada como uma série de funções ortonormais na forma: sendo representam os polos da base e seus polos conjugados. Caso seja considerado um polo único e real para todas as bases de funções ortonormais, a equação acima se torna: (17) Essas funções de base são chamadas de funções de Laguerre. (Wang & Cluett, 2; Wang, 29; Oliveira et al, 211). Como em toda série de funções, ocorre neste caso erros de truncamento, assim, para dada funções, o erro é: (12) (18) onde: (13) Ou seja, a relação entre o sinal de entrada e saída é dado por: e é uma base de funções ortonormais e são os parâmetros do desenvolvimento da série de (19) Assim, a saída para uma entrada é: ou ainda: (2) (14) Aplicando a transformada Z, obtém-se: (15) O objetivo do método é aproximar a série de funções ortonormais à resposta impulso do sistema e consequentemente obter a função de transferência desse processo. Diferentes bases de funções ortonormais podem ser utilizadas a fim de que seja construída a dinâmica do sistema em um formato de função racional, dado um polo real ou um termo de polos reais e conjugados (Campello et al, 27; Oliveira et al, 211). Assim, seja a função de transferência de uma base de séries ortonormais dada pela Equação (16). ( ) (16) onde é o sinal de controle, é o sinal de saída e é a saída da i-éssima função. Quando o número de funções é aumentado (para um mesmo valor p) a dinâmica do processo é mais bem identificada. Outra observação é que, caso o valor do polo seja diferente, o número de funções necessárias se altera, o que justifica uma escolha apropriada do valor de (Wang, 29). 4 Estrutura de Controlador Utilizando Bases De Funções Ortonormais Como demonstrado na seção 2, um controlador ideal definido pela técnica do VRFT é aquele cujo sistema em malha fechada se comporta como o modelo de referência, dado por, ou ainda, é aquele que descreve a entrada da planta dada uma entrada, tal que: (21) sendo dado por: 2173

5 (22) e é a saída da planta dado. Dessa forma, é assumido que o conjunto de dados iniciais (entrada e saída) é formado pela resposta impulso da planta e dado que: (23) Conforme Figura (1), define-se seguinte função de transferência do sistema a ser controlado: (29) Também conforme Figura (1), o sinal de perturbação é definido aleatório com desvio padrão 1 e média e é filtrado por, dado por: então é um impulso e será a resposta impulso de. (3) Conforme seção 2 assume-se que possui memória finita, logo o erro em regime permanente é zero, Então a resposta impulso pode também ser descrita por uma base de funções ortonormais da seguinte forma: ou ainda: e por fim: (25) (26) (27) (28) É possível então descrever através das bases de funções ortonormal e obter a função de transferência de, ou ainda. 5 Exemplos de Simulação Nesta seção será demonstrada efetividade da proposta apresentada neste trabalho através de um exemplo de simulação, analisando o projeto de controladores VRFT clássico e com a estrutura BFO. Dois casos serão analisados. No primeiro, é utilizada a técnica do VRFT padrão com estrutura de controlador é fixa e o controlador ideal não pertence a classe de controladores escolhida No segundo caso, é utilizada a estrutura de bases de funções ortonormais obtidas através da resposta impulso, conforme explanado da seção 4. O objetivo é validar a nova forma de determinar o controlador para técnica do VRFT em um caso onde o procedimento clássico apresenta problemas. Os dados do processo estão baseados em (Neuhaus, 212). Por fim, é necessário definir o comportamento desejado do sistema e, no caso do projeto clássico do VRFT, uma classe de controladores, que neste caso não contempla a estrutura do controlador ideal. (31) Classe do controlador (não pertencente): (32) Nas Figuras (4) e (5) é mostrado, respectivamente, o comportamento do sistema quando o controlador ideal não pertence à classe escolhida e o erro de aproximação entre as respostas degrau da referência e o sistema projetado Figura 4. Resultado da aplicação de um controlador que não pertence à classe do controlador ideal. Resposta do modelo de referência (linha contínua) e sistema projetado pelo método clássico (linha tracejada). 2174

6 Figura 5. Erro entre modelo de referência e sistema em malha fechada na presença do controlador que não pertence à classe do controlador ideal. Dada a classe de controlador escolhida, Equação (32), o controlador obtido é dado por: Figura 6. Saída real (linha contínua) e estimada (linha tracejada) via BFO de Laguerre. N=7. 6 x 1-5 (33) 5 4 Nesta simulação, é notável o mau comportamento da planta frente ao desejado. Assim, na segunda etapa de simulações é utilizado o método BFO para determinação da estrutura do controlador. Desta forma, através das funções de Laguerre aproximou-se a saída, a fim de obter o controlador. Para tanto, foram utilizadas sete funções, com polo de.9. O número de funções e o polo foram definidos a título de testes do sistema proposto. Não é objetivo de este trabalho apresentar uma forma de predeterminar tais parâmetros, porém, como destacado na seção 4, podem-se destacar alguns trabalhos que tratam da estimação ótima de. Dentre eles, pode-se destacar (Oliveira & Silva, 1995). Como visto na seção 4, é utilizado na estimação do controlador via BFO a resposta impulso. Na Figura (6) e (7) são mostradas a saída real e estimada via BFO e o erro de aproximação entre as curvas, respectivamente. O erro máximo de estimação (L ) foi de.74, com energia residual calculada de, dada por V (Wang & Cluett, 2). Sendo os coeficientes obtidos conforme: Figura 7. Erro de aproximação da saída impulso com estrutura BFO. As saídas do sistema em malha fechada com estrutura de controlador estimada pelo sinal via BFO e controlador dado pelo método tradicional, com estrutura fixa, são: { {

7 Figura 8. Saídas do sistema em malha fechada com controlador dado pelo método VRFT clássico (linha tracejada), pela estrutura BFO (linha pontilhada) e saída de referência (linha contínua). É possível observar que o controlador baseado em dados obtido pelo método de referência virtual (VRFT) porém com estrutura dada pela aplicação das bases de funções ortonormais consegue se adaptar ao controlador ideal com grande eficiência como pode observado na Figura (8). O erro entre as respostas degrau do sistema em malha fechada projetado via VRFT clássico e BFO em relação à saída de referencia são mostrados na Figura (9). É importante salientar que, nesta figura o erro entre o modelo de referencia obtido pelo método VRFT com controlador de estrutura BFO está multiplicado 1 vezes para melhor visualização Figura 8. Erro de aproximação do controlador definido por classe (linha tracejada) e controlador BFO (linha contínua). 6 Conclusão O objetivo proposto neste trabalho é apresentar uma técnica que generalize a estrutura do controlador determinado via método de referência virtual contribuindo para o desenvolvimento e aplicabilidade dos métodos de referência virtual e identificação baseada em dados, assim como outros trabalhos que se destacaram nos últimos anos nestas áreas. Neste contexto, como observado no item 4, a determinação do controlador através do método de funções de bases ortonormais se mostrou eficiente e pode-se afirmar que cumpriu seu propósito. A aplicabilidade de tal método é grande já que sua única condição é a necessidade de respostas impulso com memória finita. Agradecimentos Os autores agradecem a Fundação Araucária e CNPQ pelo apoio financeiro. Referências Bibliográficas Aguirre, L. Introdução À Identificação De Sistemas Técnicas Lineares E Não-Lineares Aplicadas A Sistemas Reais. 3.Ed. Ed. Belo Horizonte: UFMG, (27). 73p. ISBN Bazanella, A. S., Campestrini, L. & Eckhard, D. Data-Driven Controller Design the H2 Approach. 1st.ed. Netherlands: Springer, 212. Campestrini, L. et al (211). Virtual Reference Feedback Tuning For Non-Minimum Phase Plants. Automatica, Londres, V. 47, N. 8, P Campestrini, L. Contribuições para métodos de controle baseados em dados obtidos em apenas um experimento. Porto Alegre: UFRGS, 21. Originalmente Apresentada Como Tese De Doutorado, Universidade Federal Do Rio Grande Do Sul, 21. Campello, R.J.G.B., Oliveira, G.H.C.. & Amaral, W.C. (27). Identificação E Controle De Processos Via Desenvolvimentos Em Séries Ortonormais. Parte A: Identificação. SBA Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica, Natal, V. 18, P Campello, R.J.G.B. Arquiteturas e Metodologias para Modelagem e Controle de Sistemas Complexos utilizando Ferramentas Clássicas e Modernas. Campinas: UNICAMP, 22. Originalmente Apresentada Como Tese De Doutorado, Universidade Estadual de Campinas, 22. Campi, M. C., Lecchini, A. & Savaresi, S. M. (22). Virtual Reference Feedback Tuning: A direct Method for the Design of Feedback Controllers. Automatica, Londres, V. 38, N. 8,P Cunha, M. F. F. & Bazanella, A.S. (212). Virtual Reference Feedback Tuning with Dead Zone Compensation. Anais do XIX CBA. Campina Grande, P Da Rosa, A. Identificação de Sistemas Não-Lineares Usando Modelos de Volterra Baseados em Funções Ortonormais de Kautz e Generalizadas. Campinas: ÚNICAMP, 29. Originalmente Apresentada Como Tese De Doutorado, Universidade Estadual de Campinas, 29. Guardabassi, G. O., & Savaresi, S. M. Virtual Reference Direct Designmethod: An O7-Line Approach To Data-Based Control System Design. IEEE Transactionson Automatic Control, 45(5), , 2. Guardabassi, G. O., & Savaresi, S. M. Approximate Linearization Via Feedback: An Overview. Survey Paper On Automatica, 37(1),1 15, 21. Heuberger, P.,Hof, P.V.D. & Wahlberg, B.(25) Modelling And Identification With Rational Or- 2176

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