Multiplicidade de soluções do tipo multi-bump para problemas elípticos

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1 Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática Multiplicidade de soluções do tipo multi-bump para problemas elípticos por Alânnio Barbosa Nóbrega Campina Grande - PB Outubro/2016

2 Multiplicidade de solução do tipo multi-bump para problemas elípticos por Alânnio Barbosa Nóbrega sob orientação do Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves Tese apresentada ao Corpo Docente do Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática - UFPB/UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Matemática. Campina Grande - PB Outubro/2016 ii

3 Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática Área de Concentração: Análise Aprovada em: Prof. Dr. Edcarlos Domingos da Silva-UFG Prof. Dr. Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta-UNESP Prof. Dr. Pedro Eduardo Ubilla López-USACH Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros-UFPB Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves-UFCG Orientador Tese apresentada ao Corpo Docente do Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática - UFPB/UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Matemática. Outubro/2016 iii

4 Resumo Neste trabalho estudamos a existência de soluções multi-bump para uma determinada classe de problemas elípticos que envolvem o operador Biharmônico. Além disso, aplicamos o método desenvolvido para o biharmônico no estudo da existência de solução multi-bump para equação de Choquard. Palavras-chave: Multi-bump, Solução Nodal, Operador Biharmônico, Equação de Choquard, Método Dual. iv

5 Abstract In this work we study the existence of multi-bump solutions to a certain class of elliptic problems involving biharmonic problems. Moreover, we apply the method developed to biharmonic for study the existence of multi-bump solutions to Choquard Equation. Keywords: Method. Multi-bump, Nodal solutions, Biharmonic, Choquard equation, Dual v

6 Agradecimentos A Deus, força... A minha mãe,... A minha esposa... vi

7 Se o conhecimento pode criar problemas, não é através da ignorância que podemos solucioná-los. Isaac Asimov vii

8 Dedicatória Aos meus pais... viii

9 Sumário Introdução Notação e terminologia Soluções do tipo multi-bump para um classe de problemas elípticos com o operador biharmônico A Condição (P S) c A Condição (P S) c, Um Nível Minimax Especial Demonstração do Teorema Principal Soluções multi-bump para equação de Choquard O problema (C),Γ Demonstração do Teorema A condição (P S) c para I λ A condição (P S) c, para (C) λ Outras proposições para c Γ Demonstração do Teorema Solução nodal de energia mínima para um problema com o operador biharmônico O método dual Solução de Energia Mínima Solução Nodal de Energia Mínima Demonstração do Teorema

10 4 Existência de solução multi-bump nodal para uma classe de problemas com o operador biharmônico Preliminares Um valor crítico especial para J λ,r Demonstração do Teorema Principal Apêndices A Apêndice A: Princípio do Máximo para o Operador Biharmônico 102 A.1 A função de Green A.2 O problema de Navier A.3 O problema de Dirichlet B Um exemplo especial 105 Referências 107 x

11 Introdução Nos últimos anos, vários autores estudaram problemas relacionados a existência e multiplicidade de solução da equação de Schrödinger não-linear u + V (x)u = f(x, u), x, (P 1 ) considerando várias condições sobre V e f, além de diferentes hipótese geométricas sobre o domínio R N. Em [27], Berestycki e Lions consideraram o caso em que o potencial V era constante, isto é, existe C > 0 tal que V (x) = C, x R N. Rabinowitz, em [63], considerou V coerciva e limitada inferiormente por uma constante positiva, V (x) V 0 > 0, para todo x R N e V (x), quando x. Posteriormente, Del Pino e Felmer [36] consideraram uma hipótese mais fraca que a de Rabinowitz, assumindo que existe R N aberto e limitado tal que min V (x) < min V (x). x x Coti-Zelatti e Rabinowitz [35] e Pankov [56] consideraram o caso em que V é Z N periódica, ou seja V (x + y) = V (x), x R N e y Z N. O caso em que V é assintoticamente periódico, isto é, existe um potencial periódico V p : R N R tal que V (x) V p (x), x R N e V (x) V p (x) 0, quando x,

12 foi considerado em Alves, Carrião e Miyagaki [4]. Em Alves, de Morais Filho e Souto [6] foi considerado o caso em que V é radialmente simétrica V (x) = V (r), onde x = r. Por sua vez, Bartsch e Wang em [21] mostraram a existência e a multiplicidade de solução para um problema do tipo (P 1 ), considerando a hipótese {x R N ; V (x) M} < +, (1) para alguma constante M positiva. Posteriormente, em [22], eles consideraram V (x) = λa(x)+1, com a satisfazendo (1) e provaram a existência de solução de energia mínima para λ sucientemente grande e que a sequência de soluções converge fortemente para uma solução de energia mínima em domínimo limitado. Eles também mostraram a existência de pelo menos cat soluções positivas para λ sucientemente grande, onde = int(a 1 (0)). Os mesmos resultados foram estabelecidos por Clapp e Ding [34] para o caso de crescimento crítico. Outro importante trabalho que trata de um problema do tipo (P 1 ) é devido a Ding e Tanaka [37]. Neste trabalho os autores consideraram o problema u + (λa(x) + b(x))u = u p, em R N, u > 0, em R N, ( com p 1, N + 2 ) e N 3. Eles mostraram que o problema (P 2 ) tem pelo menos N 2 2 k 1 soluções, para λ sucientemente grande, as quais são chamadas soluções multibump. Estas soluções têm a seguinte característica : Para cada subconjunto não-vazio Γ {1, 2,, k} e ε > 0 xado, existe um λ > 0 tal que, (P 1 ) possui uma solução u λ, para λ λ = λ (ε), satisfazendo: ( [ uλ 2 ] 1 + (λa(x) + b(x))u 2 λ j 2 1 ) 1 c j < ε, j Γ p + 1 (P 2 ) e [ uλ 2 ] + u 2 λ dx < ε, R N \ Γ 2

13 onde Γ = j Γ j e c j é o nível minimax do funcional energia relacionado ao problema u + b(x)u = u p, em j, u > 0, em j, u = 0, sobre j. Baseados no trabalho de Ding-Tanaka muitos autores estudaram a existência de solução multi-bump para problemas do tipo (P 2 ), Alves [2] generalizou o resultado de Ding e Tanaka para o operador p-laplaciano, Alves, de Morais Filho e Souto [7] e Alves e Souto [15] estudaram o caso em que a não-linearidade apresenta crescimento crítico e exponencial, Alves e Ferreira [8] consideraram o problema para o operador p(x) Laplaciano, já em [9] Alves e Figueiredo mostraram existência de solução multibump para um problema do tipo Kirchho e em [17] Alves e Yang estudaram o um sistema do tipo Schröndiger-Poisson. Citamos ainda trabalhos devido a Bartch e Tang [20], Fu,Jiao e Tang [39]. Uma caracteristica comum do trabalho de Ding e Tanaka com os demais trabalhos que tratam de existência de solução multi-bump é que os autores recorrem ao método de penalização que foi desenvolvido por del Pino e Felmer em [36], que consiste em modicar a não-linearidade obtendo assim um novo problema. Encontra-se uma solução para o problema modicado e depois usando o método da interação de Moser, mostrase que a solução obtida para o problema modicado também é solução para o problema (P 2 ), ajustando-se λ adequadamente. No Capítulo 1 estudaremos a existência de solução multi-bump para o problema 2 u + (λv (x) + 1)u = f(u), em R N, (B) λ u H 2 (R N ); onde N 1, 2 denota o operador biharmônico, λ > 0 é um parâmetro positivo e f : R R é uma função de classe C 1 vericando as seguintes hipóteses: (f 1 ) f(0) = f (0) = 0. (f 2 ) lim inf t + f (t) t q 2 < +, para q (2, 2 ) onde 2N 2 = N 4, N 5 +, 1 N 4. 3

14 (f 3 ) Existe θ > 2 tal que 0 < θf (t) f(t)t, para t 0. (f 4 ) f(t) t é uma função crescente para t 0. Relacionado ao potencial, V : R N R é uma função contínua que satisfaz as seguintes hipóteses: (V 1 ) V (x) 0, x R N ; (V 2 ) = intv 1 ({0}) é um conjunto aberto, não-vazio, limitado com fronteira suave. Além disso, tem k componentes conexas, mais precisamente, k = j ; j=1 dist( i, j ) > 0, i j. (V 3 ) Existe M 0 > 0 tal que {x R N ; V (x) M 0 } < +. O estudo de problemas que envolvem o operador biharmônico tem grande importância devido as aplicações a vários problemas físicos, por exemplo, dada uma membrana elástica cuja a projeção vertical é a região R 2, a equação 2 u = f(x), x, (2) chamada de modelo de Kirchhof-Love, descreve a deexão da membrana na direção vertical, onde f denota uma força vertical externa e as diferentes condições de contorno descrevem como a membrana está presa no bordo, para mais detalhes sobre o modelo de Kirchhof-Love citamos [30], [40] e [44]. Uma outra importante aplicação do operador biharmônico foi apresentada por Lazer e McKenna em [46], neste trabalho eles usaram a equação 2 u u + V (x)u = f(x, u), u R 2, (3) para estudar as ondas viajantes em uma ponte suspensa. Sobre este tema citamos ainda o trabalho de Ferrero e Gazzola [38]. Destacamos que embora o espaço ambiente em que trabalhamos com o operador biharmônico seja um espaço de Hilbert e o mesmo seja um operador linear, existem 4

15 diversas diculdades técnicas ao se trabalhar com problemas que envolvem este operador, por exemplo, não existe um princípio de máximo que vale em qualquer domínio limitado (trataremos mais desse assunto no Apêndice A), se u pertence H 2 (), não podemos armar que u ± pertence a H 2 (), também não podemos aplicar o método da interação de Moser ou método de simetrização de Scharwz. Nos últimos anos muitos autores estudaram problemas relacionados ao operador biharmônico dentre os vários trabalhos destacamos, [45] onde Jung e Choi mostraram a existência e multiplicidade de solução para um problema do tipo (3) em domínio limitado, os tabalhos de Pimenta e Soares [60, 61, 62] em que foram estudados o comportamento de concentração para soluções de certas classes de problemas biharmônicos semilineares. Em [?], Ye e Tang mostraram a existência e multiplicidade de solução para um problema do tipo 2 u u + λv (x)u = f(x, u), com u H 2 (R N ) considerando que V satisfaz a hipótese de Bartsch-Wang, hipótese (V 3 ), e que f é sublinear (ou superlinear) e superquadrática. Bechio e Gazzola [26] mostraram resultados de existência e não-existência para um problema envolvendo o biharmônico considerando uma pertubação linear de um termo de crescimento crítico com condição de contorno de Steklov. Já em [64], Ruf e Sani mostraram uma desigualdade ótima do tipo Adams para o biharmônico e em [57] Passalaqua e Ruf mostraram a existência de uma desigualdade do tipo Hardy-Sobolev para o biharmônico No caso do problema (B) λ a principal diculdade encontrada é de não podermos aplicar o método de interação de Moser e consequentemente não podermos usar a técnica de penalização de del Pino e Felmer. Para contornar esse problema vamos considerar que V satisfaz (V 3 ) e baseados em argumentos devido a Bartch e Wang [21, 22], vamos mostrar na Seção 1.1 que o funcional energia associado ao problema (B) λ satisfaz a condição (P S) c para c em um certo intervalo. Outra ponto importante no estudo do problema (B) λ é a necessidade de se modicar os conjuntos em que usaremos o Lema de Deformação. O principal Teorema do Capítulo 1 é o seguinte: Teorema Suponha que (f 1 ) (f 4 ) e (V 1 ) (V 3 ) valem. Então, para cada subconjunto não vazio Γ {1,, k} e ε > 0 xado, existe para cada λ sucientemente grande, uma solução u λ de (B) λ, satisfazendo: 1 [ uλ 2 + (λv (x) + 1) u λ 2] dx F (u λ )dx c j 2 < ε, j Γ R N R N 5

16 e R N \ Γ [ uλ 2 + u λ 2] dx < ε, onde Γ = j Γ j e c j é o nível minimax do funcional energia relacionado ao problema: 2 u + u = f(u), em j u = u η = 0, sobre j. Os resultados apresentados neste capítulo deram origem ao artigo [11]: C.O. Alves e A.B. Nóbrega, Existence of multi-bump solutions for a class of elliptic problems involving the biharmonic operator, Monatsh.Math. Aceito para publicação. No Capítulo 2 utilizamos a técnica desenvolvida no primeiro capítulo para mostrar a existência de solução multi-bump para o problema ( 1 ) u + (λv (x) + 1)u = x µ u p u p 2 u u H 1 (R 3 ). em R 3, com µ (0, 3), p (2, 6 µ), λ 0 e V satisfazendo as hipóteses (V 1 ) (V 3 ). (4) (C) λ Esse tipo de problema também tem grande importância devido a suas aplicações físicas, a equação não-linear de Choquard u + V (x)u = ( 1 x µ u p ) u p 2 u em R 3, (5) p = 2 e µ = 1, aparece na descrição da Teoria Quântica de um polaron em repouso feita por S. Pekar em 1954 [58] e a modelagem de um elétron preso em seu próprio buraco, feita em 1976, por P. Choquard, como uma certa aproximação à teoria de Hartree-Fock de um componente-plasma [47]. Em alguns casos particulares, esta equação é também conhecida como a equação de Schrödinger-Newton, a qual foi introduzida por Penrose em sua discussão sobre auto colapso gravitacional de uma função de onda da mecânica quântica [59]. A existência e propriedades qualitativas de (5) foram exaustivamente estudadas nas últimas décadas. Em [47], Lieb provou a existência e unicidade de soluções de energia mínima. Posteriormente, em [49], Lions mostrou a existência de uma sequência de soluções radialmente simétricas. Em [33] Cingolani, Clapp e Secchi mostraram resultados sobre regularidade das soluções, Ma e Zhao em [50] zeram uma classicação de todas as soluções positivas e em [52] Moroz e Van Schaftingen mostraram simetria 6

17 radial das soluções de energia mínima e propriedades de decaimento no innito. Além disso, Moroz and Van Schaftingen em [53] consideraram a existência de energia mínima sob as hipóteses do tipo Berestycki-Lions. Quando V é uma função contínua periódica com inf V (x) > 0, observando que o termo não-local é invariante por translação, R 3 podemos obter facilmente a existência de solução aplicando o Teorema do passo da montanha, veja [1] por exemplo. Para o potencial periódico V que muda de sinal e 0 situa-se no intervalo do espectro do operador de Schrödinger + V, o problema é fortemente indenido, e a existência de solução para p = 2 foi considerada em [31]. No caso geral, Ackermann [1] propôs uma nova abordagem para provar a existência de innitas soluções fracas geometricamente distintas. Para outros resultados relacionados, citamos Ghimenti e Shaftingen [42] e Ghimenti, Moroz e Shaftingen [43] para a existência de soluções que trocam de sinal, Moroz e Shaftingen [54], Secchi [65], Wei e Winter [69] para existência e concentração de soluções semi-clássicas, Moroz e Shaftingen [55] para o caso em que a parte não-local é crítica com respeito a desigualdade de Hardy-Littlewood-Sobolev. Para provar a existência de solução multi-bump para (C) λ, o primeiro passo é considerar o problema limite u + u = ( Γ u p x y µ dy ) u p 2 u, in Γ, u 0 em j, j Γ, (C),Γ ( ) u H0 1 Γ. Na primeira seção do Capítulo 2 vamos mostrar a existência de solução de energia mínima que não se anula em cada componente j, j Γ. Para encontrar este tipo de solução de energia mínima estudaremos o problema de minimização sobre um subconjunto da variedade de Nehari, o principal resultado desta seção é: Teorema Supondo que µ (0, 3) e p (2, 6 µ). O problema (C),Γ possui uma solução de energia mínima u que não se anula em cada componente j de Γ, j Γ. Na Seção 2.2 adaptamos os argumentos desenvolvidos no Capítulo 1 ao problema de Choquard não-linear para mostrar que o funcional energia associado ao problema satisfaz a condição (P S) c. A escolha dessa técnica em detrimento ao Método de 7

18 Penalização de Del Pino e Felmer se deu pois a utilização do segundo acarretaria em maiores restrições sobre as constantes µ e p. Todavia, da mesma forma que ocorreu para o problema (B) λ surge a necessidade de modicar os conjuntos onde será utilizado o Lema de Deformação, o que será feito na Seção 2.4. Por m, na Seção 2.5 provaremos o principal resultado deste capítulo, Teorema Supondo que µ (0, 3) e p (2, 6 µ). Existe uma constante λ 0 > 0, tal que para qualquer subconjunto não vazio Γ {1,, k} e λ λ 0, o problema ( ) C tem uma solução positiva u λ λ, a qual possui a seguinte propriedade: Para qualquer sequência λ n podemos extrair uma subsequência (λ ni ) tal que (u λni ) converge fortemente em H 1 (R 3 ) para uma função u, que satisfaz u = 0 fora de Γ = j, e j Γ u Γ é uma solução de energia mínima para (C),Γ no sentido do Teorema Os resultados apresentados no Capítulo 2 deram origem ao artigo [13]: C.O. Alves, A.B. Nóbrega e M. Yang, Multi-bump solutions for Choquard equation with deepening potential well, Calc. Var. Partial Dierential Equations 55(2016) Com o intuito de mostrarmos a existência de solução multi-bump nodal para um problema com o operador biharmônico (ver Capítulo 4), no Capítulo 3 estudaremos a existência de solução nodal de energia mínima para o problema 2 u = f(u), em, u = Bu = 0, sobre, onde f : R R é uma função satisfazendo (f 1 ) e as seguintes hipóteses: (f 5 ) f é ímpar, isto é, f(t) = f( t), t R. (f 6 ) Existem c 0 > 0 e p (2, 2 ), tais que f(t) lim t + t = c 0, p 1 (N) onde 2N 2 = N 4, N 5 +, 1 N 4. (f 7 ) Existe b 0 > 0 e q (2, p], tais que f(t) lim t 0 + t = b 0. q 1 8

19 (f 8 ) f(t) t é crescente para t > 0. Em relação as condições de contorno, consideraremos Bu = u (condição de Navier) ou Bu = u (condição de Dirichlet). ν Soluções nodais para problemas com o operador Laplaciano foram exaustivamente estudados nas últimas décadas por vários autores destacamos os trabalhos de Castro, Cossio e Neuberger [32], estudaram a existência de solução nodal para um problema de Dirichlet superlinear, Bartsch, Liu e Weth mostraram em [25] a existência de solução nodal para equação de Schrödinger estacionária, em [23] Bartsch, Weth e Willem mostraram a existência de solução nodal radialmente simétrica para um problema de Dirichlet apresentando exatamente dois domínios nodais, já em [24] Bartsch e Weth mostraram a existência de três soluções nodais para o problema de Dirichlet singularmente pertubado ε u + u = f(u), em um domínio limitado. Mais recentemente, Alves e Souto em [16] mostraram a existência de solução nodal de energia mínima para um sistema de Schröndiger-Poisson, esse trabalho apresenta uma nova abordagem para estudar a existência de soluções nodais de energia mínima para problemas que apresentam termos não-locais, inclusive essa técnica será muito importante para o estudo de existência de solução nodal de energia mínima para (N). Contudo, a bibliograa sobre soluções nodais para problemas que envolvem o operador biharmônico não é muito vasta, para problemas em domínio limitado citamos o trabalho de Weth [70] onde o autor utilizando a técnica de decomposição de Moreau (Cones Duais) para um espaço de Hilbert que foi desenvolvida por Gazzola e Grunau em [41], mostrou a existência de pelo menos três soluções, uma solução positiva, uma solução negativa e uma solução nodal para um problema do tipo (N). Destacamos ainda os trabalhos Bonheure, Santos, Ramos e Tavares [28] e Bonheure, Santos e Tavares [29] em que a partir do estudo de sistemas Hamiltonianos os autores mostraram a existência de solução nodal de energia mínima para um prroblema do tipo (N), mas considerando apenas a condição de contorno de Navier.No caso de problemas em R N o único trabalho que trata de solução nodal pra uma equação com o operador biharmônico é o trabalho de Wang e Shen [?]. Nossa abordagem para determinar a solução nodal de energia mínima para o problema (N) baseia-se no Método Dual, o qual já foi usado por diversos autores 9

20 com os mais variados propósitos. Willem em [72] estudou a existência de innitas funções subharmônicas para uma equação da onda não linear, em [19] Ambrosetti e Struwe mostraram uma prova alternativa do problema de Brézis-Niremberg, Struwe [66] usou o método dual para estudar a existência de solução para certos sistemas Hamiltonianos e em [5] Alves, Carrião e Miyagaki empregaram o método no estudo de existência de soluções positivas para sistemas Hamiltonianos. Contudo, em nossa pesquisa bibliográca observamos que o Método Dual ainda não havia sido utilizado para estudar diretamente problemas com o operador biharmônico. Tal método nos permite estudar o problema em um novo ambiente, a saber os espaços L p, onde não há diculdades em se trabalhar com as partes positiva e negativa das funções, na Seção 3.1 deniremos o funcional dual e mostraremos suas principais propriedades. No caso da condição de Dirichlet, para que possamos garantir que o princípio do máximo é válido assumiremos uma propriedade geométrica sobre o domínio : (G) A função de Green associada 2 em, denotada por G 2,, é positiva se N 2, sempre que B = ν. mais detalhes sobre esta condição e tipos de domínio onde a mesma ocorre podem ser vistos no Apéndice A. O principal resultado do Capítulo 3 é o seguinte Teorema Supondo que (G) e (f 1 ) (f 5 ) valem. Então, o problema (P ) possui uma solução nodal de energia mínima. Destacamos ainda que além do fato de obtermos uma solução nodal de energia mínima para o problema (N), nosso estudo completa o trabalho de Weth em outro sentido, devido as hipóteses assumidas sobre o termo não linear f no Teorema 0.0.4, podemos considerar uma classe mais geral de não-linearidades]. Em [70], o autor considerou as seguintes hipóteses sobre f: (W 1 ) f : R R é uma função de Caratheódory, e f(x, 0) = 0 para quase todo x em. (W 2 ) Existem q > 0, q (0, λ 1 ), e 0 < p < p > 0 para N 4, tal que 8 N 4 para N > 4, respectivamente f(x, t) f(x, s) [q + q ( t p + s p )] t s q.s. para x, t R. 10

21 (W 3 ) Existe R > 0 e η > 2 tais que ηf (x, t) f(t)t, q.s. para x, t R. (W 4 ) f é não-decrescente em t R q.s. para x. Aqui, λ 1 denota o primeiro autovalor de 2 em relativamente as condições de contorno de Dirichlet ou Navier. Nossas hipóteses permitem considerar algumas não-linearidades, que não podem ser consideradas em [70]. Por exemplo, podemos trabalhar com uma não-linearidade da forma f(t) = ϕ(t) t p 2 t, onde ϕ é uma função de classe C 1, crescente, positiva e limitada tal que para qualquer s > 1, a função f (t) não é limitada no innito. No entanto, este tipo de não linearidade t s 2 não pode ser usada em [70], pois (W 2 ) implica que f (t) é limitada no innito, ver Apêndice B para mais detalhes. t p 2 Os resultados desse capítulo deram origem ao artigo [12]: C.O. Alves e A.B. Nóbrega, Nodal ground state solution to a biharmonic equation via dual method, J. Dierential Equations 260 (2016), Observação O estudo do trabalho do Weth motivou também outro trabalho nosso [10]: C. O. Alves, G. M. Figueiredo e A. B. Nobrega, Existence of semi-nodal solution for a class of FitzHugh-Nagumo type system. Monatsh.Math. (2016), onde aplicamos o método dos cones duais para estudar a existência de solução seminodal para um sistema de equações elípticas do tipo Fitz-Hugh Nagumo u = f(x, u) v em, v = δu γv em u ± 0 in, u = v = 0 sobre, onde é um domínio limitado em R N, δ > 0, γ > 2 δ e f é uma função superlinear de classe C 1 com crescimento subcrítico. Por fugir do tema da tese os resultados obtidos neste artigo não fazem parte desse trabalho. problema No Capítulo 4 estudaremos a existência de solução multi-bump nodal para o 2 u + λv (x)u = u p 2 u, em R N, u H 2 (R N ), 11 (B 1 ) λ

22 onde λ é um parâmetro positivo e V : R N R é uma função contínua satisfazendo (V 2 ), (V 3 ) e a condição (V 1) V (x) 0, x R N e existe R, V 0 > 0 tal que V (x) > V 0, quando x R. Com o objetivo de usarmos os resultados obtidos no Capítulo 3 vamos supor que o l domínio = j é tal que cada j satisfaz a propriedade (G). j=1 O seguinte teorema é o principal resultado do Capítulo 4: Teorema Supondo que valem (V 1), (V 2 ) e (V 3 ). Então, para cada subconjunto não vazio Γ {1,, k}, existe um λ > 0 tal que, para λ λ, o problema (B 1 ) λ tem uma solução nodal u λ. Além disso, a família {u λ } λ λ satisfaz a seguinte propriedade: Para qualquer sequência λ n, podemos extrair uma subsequência λ ni tal que {u λni } converge forte H 2 (R N ) para uma função u que satisfaz u(x) = 0 para x / Γ = j Γ j, e a restrição u j para cada j Γ. é uma solução nodal de energia mínima de 2 u = u p 2 u, em j, u = u η = 0, sobre j, (6) O estudo de solução do tipo multi-bump nodal para o problema (B 1 ) λ foi motivado pelo trabalho [3], no qual Alves mostrou a existência de uma solução nodal do tipo multi-bump para um problema subcrítico no caso do operador Laplaciano e pelo trabalho de Alves e Pereira [14] em que os autores provaram a existência de solução multi-bump nodal para um problema com crescimento exponencial crítico. Contudo, no caso do problema (B 1 ) λ foi necessário desenvolver uma nova abordagem baseada no método do multiplicadores de Lagrange, pois as abordagens presentes na literatura não puderam ser adaptadas no caso do operador biharmônico, em grande parte pela falta de um principio de máximo mais geral. Destacamos que abordagem desenvolvida por nós no Capítulo 4 pode ser usada para obter soluções multi-bump positiva e nodal para problemas envolvendo o operador Laplaciano como u + (λv (x) + 1)u = u p 2 u, in R N, u H 1 (R N ). 12

23 Por m, no Apêndice A apresentamos um breve estudo sobre um princípio de máximo para problemas com o operador biharmônico e no Apêndice B apresentamos um exemplo especial de uma função que pode ser considerada como termo não-linear em (N). 13

24 Notação e terminologia Dado A R N conjunto mensurável, A denota a medida de Lebesgue. 2 u(x) = ( u(x)). Dado α = (α 1,, α N ), D α u = α 1+ +α N x α 1 1 x α N N C k () := {f : R; D α f C(), α k}, α = u N α j. j=1 W m,p () = {u L p (); D α u L p (), com α m}. u m,p = α m D α u p dx 1/p W m,p 0 () = C 0 (), onde o fecho é tomado segundo a norma u m,p. H m () = W m,2 () e H m 0 () = W m,2 0 (). O símbolo signica convergência em norma. O símbolo signica convergência fraca.. A expressão q.s. é uma abreviação para quase sempre ou quase todo ponto. Dada uma função u denotaremos por u + = max{u, 0} e u = min{u, 0} as partes positiva e negativa da função u, respectivamente.

25 Capítulo 1 Soluções do tipo multi-bump para um classe de problemas elípticos com o operador biharmônico Neste capítulo, baseados nos trabalhos de Ding-Tanaka [37] e Alves [2] estudaremos a existência de soluções multi-bump para a seguinte classe de problemas 2 u + (λv (x) + 1)u = f(u), em R N, u H 2 (R N ); (B) λ onde f C 1 (R) e V C(R N ) satisfazem as hipóteses (f 1 ) (f 4 ) e (V 1 ) (V 3 ), respectivamente. 1.1 A Condição (P S) c Uma das diculdades para se garantir a existência de solução do tipo multi-bump no caso do operador biharmônico está no fato de mostrar que o funcional energia associado ao problema (B) λ verica a condição (P S), pois o argumento usado nos trabalhos existentes consiste em modicar o termo não-linear e posteriormente usar o Método de Interação de Mozer. No entanto, sabe-se que o Método de Interação de Mozer não se aplica no caso do operador biharmônico, mas mostraremos nesta seção que recorrendo a argumentos devido a Bartsch-Wang [22] temos, para cada C 0

26 dado, que o funcional energia associado ao problema (B) λ satisfaz a condição (P S) c desde que c [0, C) e λ seja escolhido adequadamente. Inicialmente, recordamos que o funcional energia associado ao problema (B) λ é I λ : E λ R denido por onde I λ (u) = 1 [ u 2 + (λv (x) + 1) u 2] dx F (u)dx, 2 R N R N E λ = { u H 2 (R N ); O subespaço E λ munido com o produto interno } V (x) u 2 dx < +. R N (u, v) λ = [ u v + (λv (x) + 1)uv] dx, R N é um espaço de Hilbert e a norma gerada por este produto interno será denotado por λ. No que segue, se Θ R N é um conjunto mensurável, denotaremos por E λ (Θ) o espaço H 2 (Θ) munido com o produto interno (u, v) λ,θ = Θ [ u v + (λv (x) + 1)uv] dx. A norma associada com este produto interno será denotado por λ,θ. No primeiro lema dessa seção mostraremos que toda sequência (P S) c com c 0 é limitada. Lema Seja {u n } E λ uma sequência (P S) c para I λ, então {u n } é limitada em E λ. Além disso, c 0. Demonstração. Como {u n } é uma sequência (P S) c, I λ (u n ) c e I λ(u n ) 0. Então, para θ dado em (f 3 ) e n sucientemente grande, I λ (u n ) 1 θ I λ(u n )u n c u n λ. (1.1) Por outro lado, I λ (u n ) 1 θ I λ(u n )u n = ( ) [ ] 1 u n 2 λ + θ R θ f(u n)u n F (u n ) dx. N 16

27 Por (f 3 ), I λ (u n ) 1 θ I λ(u n )u n Combinando (1.1) e (1.2), obtemos ( ) u n 2 λ c u n λ, θ ( ) u n 2 θ λ. (1.2) mostrando que {u n } é limitada. Usando a limitação de {u n }, vemos que c + o n (1) u n λ I λ (u n ) 1 ( ) θ 2 θ I λ(u n )u n u n 2 λ 2θ, implicando em de onde segue que c 0. lim sup u n 2 λ n + 2cθ θ 2, (1.3) O próximo corolário é uma consequência da demonstração do lema anterior. Corolário Seja {u n } E λ uma sequência (P S) 0 para I λ. Então, u n 0 em E λ. Demonstração. Pelo Lema 1.1.1, ( ) u n 2 λ o n (1). θ Passando ao limite com n +, encontramos u n 2 λ 0, e portanto u n 0 em E λ. O próximo lema é um resultado do tipo Brezis-Lieb que será importante para garantir as condições de compacidade dos funcionais I λ para λ sucientemente grande. Lema Seja {u n } uma sequência (P S) c para I λ com c 0. Se u n u em E λ, então I λ (v n ) I λ (u n ) + I λ (u) = o n (1) I λ(v n ) I λ(u n ) + I λ(u) = o n (1), onde v n = u n u. Portanto, {v n } é uma sequência (P S) c Iλ (u). 17

28 Demonstração. Primeiramente, observe que I λ (v n ) I λ (u n ) + I λ (u) = 1 ( vn 2 λ u n 2 λ + u 2 2 λ) (F (v n ) F (u n ) + F (u)) dx R N = o n (1) (F (v n ) F (u n ) + F (u)) dx B R (0) (F (v n ) F (u n ) + F (u)) dx, R N \B R (0) onde R > 0 será xada posteriormente. Como u n u em E λ, temos pelas imersões de Sobolev u n u em L p (B R (0)) para 1 p < 2 ; u n (x) u(x) q.s. em R N. Além disso, existem h 1 L 2 (B R (0)) e h 2 L q (B R (0)) tais que u n (x) h 1 (x), h 2 (x) q.s. em R N. (1.4) Por (f 1 ) e (f 2 ), consequentemente, e f (t) ε + C ε t q 2, (1.5) f(t) ε t + C ε t q 1 (1.6) F (t) ε t 2 + C ε t q. (1.7) Assim, de (1.4) (1.7) F (v n (x)) F (u n (x)) + F (u(x)) 0 e F (v n) F (u n ) + F (u) ε ( u n 2 + u 2) + C ε ( u n q + u q ) 2εh C ε h q 2 L 1 (B R (0)), logo, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, B R (0) F (v n ) F (u n ) + F (u) dx 0. (1.8) 18

29 Por outro lado, segue do Teorema do Valor Médio e por (f 1 ) (f 2 ), que dado ɛ > 0, existe C ɛ > 0 satisfazendo F (v n ) F (u n ) ɛ ( u n + u ) u + C ɛ ( u n + u ) q 1 u. A estimativa acima combinada com a limitação de {u n } e as imersões de Sobolev resulta em R N \B R (0) F (v n ) F (u n ) dx ɛc 1 ( u L 2 (R N \B R (0)) + u 2 L 2 (R N \B R (0)) + C ɛ ( u L q (R N \B R (0)) + u q L q (R N \B R (0)) ) ). Por essa última estimativa, podemos xar R > 0 sucientemente grande tal que F (v n ) F (u n ) dx ɛ. Mais uma vez por (f 2 ), R N \B R (0) R N \B R (0) F (u) dx ɛ u 2 L 2 (R N \B R (0)) + C ɛ u q L q (R N \B R (0)). Então, aumentando R se necessário, podemos assumir que F (u) dx ɛ. Logo, R N \B R (0) Da arbitrariedade de ɛ, segue que lim sup n + R N \B R (0) F (v n ) F (u n ) + F (u) dx ɛ, n N. R N \B R (0) De (1.8) e (1.9), obtemos a primeira das expressões. F (v n ) F (u n ) + F (u) dx = 0. (1.9) Para mostrarmos a segunda identidade consideremos uma função teste ϕ H 2 (R N ), com ϕ H 2 (R N ) 1 então I λ(v n )ϕ I λ(u n )ϕ + I λ(u)ϕ = [f(v n ) f(u n ) + f(u)]ϕdx R N Usando agora (1.6), temos f(v n ) f(u n ) + f(u) L q/(q 1) (B R (0)), e portanto f(v n ) f(u n ) + f(u) ϕ dx f(v n ) f(u n ) + f(u) L q/(q 1) (B R (0)) ϕ L q (B R (0)), B R (0) 19

30 e pela imersões de Sobolev f(v n ) f(u n ) + f(u) ϕ dx C f(v n ) f(u n ) + f(u) L q/(q 1) (B R (0)). B R (0) Da mesma forma que zemos na primeira parte, usamos o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e concluímos que f(v n ) f(u n ) + f(u) ϕ dx 0, uniformemente em relação a ϕ. (1.10) B R (0) Por outro lado, pelo Teorema do Valor Médio e por (1.5) f (v n ) f (u n ) ɛ u + C ɛ ( u n + u ) q 2 u. Então, usando a Desigualdade Generalizada de Hölder f(v n ) f(u n ) ϕ dx ε u L 2 (R N \B R (0)) ϕ L 2 (R N \B R (0)) R N \B R (0) +C ε u n q 2 L q (R N \B R (0)) u L q (R N \B R (0)) ϕ L q (R N \B R (0)). Assim, usando as imersões de Sobolev, a limitação de {u n } e xando R sucientemente grande, temos R N \B R (0) f(v n ) f(u n ) ϕ dx ε. Repetindo os mesmos argumentos usados para mostrar a primeira identidade, temos Logo, de onde segue que, R N \B R (0) R N \B R (0) f(u) ϕ dx ε. f(v n ) f(u n ) + f(u) ϕ dx ε, lim sup f(v n ) f(u n ) + f(u) ϕ dx = 0, (1.11) n + R N \B R (0) uniformemente em relação a ϕ. De (1.10) e (1.11), obtemos a segunda identidade. Agora mostraremos que existe uma estimativa por baixo para alguns níveis associados com as sequências (PS), a qual é uniforme em relação a λ. Lema Seja {u n } uma sequencia (P S) c para I λ. Então c = 0, ou existe c > 0 independente de λ, tal que c c para todo λ > 0. 20

31 Demonstração. Pelo Lema 1.1.1, c 0. Se c > 0, as condições de crescimento de f juntamente com as imersões de Sobolev implica em I λ(u)u 1 2 u 2 λ K u q λ, para alguma constante positiva K. Por tanto, existe δ > 0 tal que I λ(u)u 1 4 u 2 λ, para u λ < δ. (1.12) No que segue consideramos c = δ 2 θ 2 e c < c, então pela estimativa (1.3) do Lema 2θ lim sup u n 2 λ < δ2, n + implicando que para n sucientemente grande, u n λ δ. (1.13) Assim, de (1.12) e (1.13) de onde segue que, I λ(u n )u n 1 4 u n 2 λ, u n 2 λ 0 quando n. Pela continuidade do funcional I λ, I λ (u n ) I λ (0) = 0, o que contradiz a hipótese que {u n } é uma sequência (P S) c com c > 0. Consequentemente, c c. Os próximos dois lemas estabelecem algumas estimativas para a norma L q das sequências (P S) c. Estas estimativas serão cruciais na demonstração da condição (P S) c, veja a Proposição para mais detalhes. Lema Seja {u n } uma sequência (P S) c para I λ. Então, existe δ 0 > 0 independente de λ, tal que lim inf u n q δ n + L q (R N ) 0c. Demonstração. Por (f 1 ) e (f 2 ), dado ɛ > 0, existe C ɛ > 0 tal que 1 2 f(t)t F (t) ɛ t 2 + C ɛ t q, t R. 21

32 Então, Por outro lado, de (f 3 ), Combinando (1.14) com (1.15), ( ) c lim inf ɛ u n 2 n + λ + C ɛ u n q. (1.14) L q (R N ) I λ (u n ) 1 θ I λ(u n )u n Assim, para ɛ sucientemente pequeno, c 2ɛcθ θ 2 + C ɛ lim inf n + u n q L q (R N ). lim inf n + u n q L q (R N ) c C ɛ ( ) u n 2 λ θ. (1.15) ( 1 2ɛθ ) > 0. θ 2 Agora, o lema segue xando δ 0 = 1 ( 1 2ɛθ ). C ɛ θ 2 Lema Seja c 1 > 0 uma constante independente de λ. Dado ɛ > 0, existe Λ = Λ(ɛ) > 0 e R = R(ɛ, c 1 ) > 0 tais que, se {u n } é uma sequência (P S) c para I λ com c [0, c 1 ], então Demonstração. lim sup u n q L n + q (R N \B R ɛ, λ Λ. (0)) Para cada R > 0, xemos A(R) = {x R N / x > R e V (x) M 0 } e Então, A(R) B(R) = {x R N / x > R e V (x) < M 0 }. u n 2 1 dx (λv (x) + 1) u n 2 dx (λm 0 + 1) R N 1 (λm 0 + 1) u n 2 λ (1.16) [ (1 1 (λm 0 + 1) 2 1 ) 1 c + o n (1)] θ [ (1 1 (λm 0 + 1) 2 1 ) 1 c 1 + o n (1)]. θ 22

33 Como c 1 independe de λ, por (1.16) existe Λ > 0 tal que lim sup u n 2 dx < ɛ, λ Λ. (1.17) n + 2 A(R) Por outro lado, usando a desigualdade de Hölder para p [1, 2 /2], obtemos B(R) ( u n 2 dx u n 2p dx B(R) ) 1 p B(R) 1 Agora, da imersão contínua E λ L 2p (), segue que u n 2 dx β u n 2 λ B(R) 1 p, B(R) onde β é uma constante positiva. De (1.15), ( 1 u n 2 dx βc ) 1 B(R) 1 p + o n (1). θ Por (V 3 ), B(R) p. B(R) 0 when R +. Por tanto, podemos escolher R sucientemente grande, de tal maneira que lim sup u n 2 dx < ɛ n + 2. (1.18) B(R) A desigualdade (1.17) juntamente com (1.18) implica em lim sup u n 2 dx < ɛ. n + R N \B R (0) Usando a desigualdade de interpolação, u n q dx u n qα u L 2 (R N \B R (0)) n q(1 α), L 2 (R N \B R (0)) R N \B R (0) onde 1 q = α α 2, pelas imersões de Sobolev e pelo fato de {u n } ser limitada em E λ, u n q(1 α) L 2 (R N \B R (0)) u n q(1 α) λ C, onde C é uma constante positiva. Portanto, lim sup u n q dx < ε, λ Λ n + aumentando R e Λ se necessário. R N \B R (0) Agora, estamos aptos a provar que para uma escolha adequada de λ o funcional I λ satisfaz a condição (P S) c. 23

34 Proposição Dado c 1 > 0, existe Λ = Λ(c 1 ) tal que I λ verica a condição (P S) c para todo c [0, c 1 ] e λ Λ. Demonstração. Seja {u n } uma sequência (P S) c. Pelo Lema 1.1.1, {u n } é limitada e consequentemente, passando a uma subsequência se necessário, u n u em E λ ; u n (x) u(x) q.s. em R N ; u n u em L s loc(r N ) para 1 s < 2. Então I λ(u) = 0 e I λ (u) 0, pois I λ (u) = I λ (u) 1 θ I λ(u)u ( ) u 2 λ 0. θ Considerando v n = u n u, temos pelo Lema que {v n } é uma sequência (P S) d, com d = c I λ (u). Além disso, 0 d = c I λ (u) c c 1. Armamos que d = 0. De fato, se d > 0. Segue dos Lemas e que d c e lim inf v n q δ n + L q (R N ) 0c > 0. (1.19) Aplicando o Lema com ɛ = δ 0c 2 > 0, existem Λ, R > 0 tais que lim sup n + Combinando (1.19) com (1.20), obtemos v n q δ 0c L q (R N \B R, para λ Λ. (1.20) (0)) 2 lim inf v n q n + L q (B R (0)) δ 0c 2 > 0, o que é absurdo, pois do fato que v n 0 em E λ, e da imersão compacta encontramos E λ L q (B R (0)) lim inf v n q n + L q (B R (0)) = 0. Portanto d = 0 e {v n } é uma sequência (P S) 0. Assim, pelo Corolário 1.1.2, v n 0 em E λ, ou equivalentemente, u n u em E λ, mostrando que para λ sucientemente grande, I λ satisfaz a condição (P S) c para todo c [0, c 1 ]. 24

35 1.2 A Condição (P S) c, Nesta seção, estudaremos o comportamento de uma sequência (P S) c,, isto é, uma sequência {u n } H 2 (R N ) satisfazendo: u n E λn e λ n + ; I λn (u n ) c, para algum c [0, c Γ ]; I λ n (u n ) E λn 0, onde c Γ é uma constante positiva, que será denida na próxima seção e independe de λ. Proposição Seja {u n } uma sequência (P S) c, para I λ. Então, existem uma subsequência de {u n }, que ainda denotaremos por {u n } e u H 2 (R N ) tais que u n u em H 2 (R N ). Além disso, i) u 0 em R N \ k j e u é uma solução de j=1 para todo j {1,, k}; 2 u + u = f(u), em j, u = u η = 0, sobre j, (1.21) ii) u n u 2 λ n 0. iii) {u n } também satisfaz λ n R N V (x) u n 2 dx 0, n + u n 2 λ n,r N \ Γ 0 u n 2 [ λ n, u 2 + u 2] dx, j Γ. j j Demonstração. No que segue, xamos c [0, c Γ ] vericando I λn (u n ) c e I λ n (u n ) E λn 0. Então, usando os mesmos argumentos do Lema 1.1.1, lim sup u n 2 λ n n cθ θ 2, (1.22)

36 implicando que { u n λn } é limitada em R. Como u n λn u n H 2 (R N ), {u n } também é limitada em H 2 (R N ), e então, existe uma subsequência de {u n }, ainda denotada por ela mesmo, e u H 2 (R N ) tais que u n u em H 2 (R N ). Para mostrar (i), xamos para cada m N o conjunto { C m = x R N /V (x) > 1 }. m Assim, Note que, R N \ = + m=1 C m. u n 2 λ n V (x) + 1 dx = C m C m λ n V (x) + 1 u n 2 dx 1 λ nm + 1 u n 2 λ n mm λ n + m, onde M = sup u n 2 λ n. Pelo Lema de Fatou n N u 2 dx lim inf u n 2 dx C n + m C m lim inf n + mm λ n + m = 0. Portanto, u = 0 quase sempre em C m, e consequentemente, u = 0 quase sempre em R N \. Por sua vez, seguindo os mesmos argumentos encontrados em [60] xamos ϕ C 0 (R N \ ), temos R N \ u(x)ϕ(x)dx = u(x) ϕ(x)dx = 0, R N \ de onde segue que u(x) = 0, q.s. em R N \. 26

37 Como é suave, u H 2 (R N \ ) e u H 1 (R N \ ), pelo Teorema do traço, existem constantes K 1, K 2 > 0 satisfazendo u L 2 ( ) K 1 u H 2 (R N \) = 0, e u L 2 ( ) K 2 u H 1 (R N \) = 0, mostrando que u H0(). 2 Para completar a demonstração de i), considere uma função teste ϕ C0 () e observe que I λ n (u n )ϕ = [ u n φ + u n ϕ] dx f(u n )ϕdx. (1.23) Como {u n } è uma sequência (P S) c,, I λ n (u n )ϕ 0. (1.24) Recordando que u n u in H 2 (R N ), devemos ter [ u n ϕ + u n ϕ] dx [ u ϕ + uϕ] dx (1.25) e f(u n )ϕdx f(u)ϕdx. (1.26) Assim, de (1.23)-(1.26), [ u ϕ + uφ] dx = f(u)ϕdx, ϕ C0 (). Como C0 () é denso em H0(), 2 a equação acima implica em [ u v + uv] dx = f(u)vdx, v H0(), 2 mostrando que u é uma solução fraca do problema 2 u + u = f(u), em j, u = u η = 0, sobre j. (1.27) Para ii), note que u n u 2 λ n = u n 2 λ n + u 2 λ n 2 [ u n u + (λ n V (x) + 1)u n u] dx. R N (1.28) 27

38 De i), u 2 λ n = u 2 H0 2(), logo, [ u n u + (λ n V (x) + 1)u n u] dx = u 2 H 2 R N 0 () + o n(1). Então, podemos reescrever (1.28) do seguinte modo u n u 2 λ n = u n 2 λ n u 2 H0 2() + o n(1). (1.29) Da limitação de { u n λn } e pelo limite I λ n (u n ) E λn 0, segue que I λ n (u n )u n 0. Portanto, u n 2 λ n = I λ n (u n )u n + f(u n )u n dx = R N f(u n )u n dx + o n (1). R N (1.30) Por outro lado, sabemos que o limite I λ n (u n )u 0 é equivalente a [ u n u + u n u] dx f(u n )udx = o n (1), o que conduz a [ u 2 + u 2] dx = f(u)udx. R N R N (1.31) Combinando (1.29) com (1.30) e (1.31), vemos que u n u 2 λ n = f(u n )u n dx R N f(u)udx + o n (1). R N Usando o mesmo argumento da demonstração do Lema mostra-se que f(u n )u n dx R N f(u)udx, R N nalizando a demontração de ii). Por m, para provar iii), é suciente usar a desigualdade abaixo λ n V (x) u n R 2 dx = λ n V (x) u n u 2 dx u n u 2 λ n 0. N R N 28

39 1.3 Um Nível Minimax Especial Nesta seção, denotaremos por I j : H0( 2 j ) R e I λ,j : H 2 ( j) R os funcionais dados por I j (u) = 1 [ u 2 + u 2] dx F (u)dx 2 j j e I λ,j (u) = 1 2 j [ u 2 + (λv (x) + 1) u 2] dx F (u)dx. Pode-se mostrar que I j e I λ,j satisfazem a geometria do passo da montanha. Desde que I j e I λ,j satisfazem a condição de Palais-Smale, temos pelo Teorema do Passo da Montanha devido a Ambrosetti-Rabinowitz, que existem w j H0( 2 j ) e w λ,j H 2 ( j) satisfazendo I j (w j ) = c j, I λ,j (w λ,j ) = c λ,j and I j(w j ) = I λ,j(w λ,j ) = 0 j onde e c j = inf α Υ j max t [0,1] I j(α(t)), c λ,j = inf max I λ,j (α(t)), α Υ λ,j t [0,1] Υ j = {α C([0, 1], H 2 0( j )); α(0) = 0, e I j (α(1)) < 0}, Υ λ,j = {α C([0, 1], H 2 0( j)); α(0) = 0, e I λ,j (α(1)) < 0}. Para maiores detalhes sobre a armação acima citamos o Capítulo 5 de [71]. l No que segue, c Γ = e R > 0 é uma constante sucientemente grande vericando j=1 0 < I j ( 1 R w j), I j (Rw j ) < c j, j Γ. Logo, pela denição de c j, c j max I j (srw j ) = c j, j Γ. s [1/R 2,1] Considere Γ = {1, 2,, l}, com l k e xe γ 0 (s 1, s 2,, s l )(x) = l s j Rw j (x), (s 1,, s l ) [1/R 2, 1] l. j=1 29

40 Denotaremos por Γ a classe das funções contínuas γ C([1/R 2, 1], E λ \ {0}) satisfazendo as seguintes condições: (a) γ = γ 0 sobre ([1/R 2, 1] l ) e (b) I λ,r N \ Γ (γ(s 1,, s l )) 0, onde I λ,r N \ Γ : H2 (R N \ Γ) R é o funcional denido por I λ,r N \ (u) = 1 [ Γ u 2 + (λv (x) + 1) u 2] dx F (u)dx. 2 R N \ Γ Usando a classe Γ, denimos o seguinte nível minimax b λ,γ = inf γ Γ max I λ (γ(s 1,, s l )). (s 1,,s l ) [1/R 2,1] l R N \ Γ Observe que Γ, pois γ 0 Γ. Lema Para cada γ Γ, existe (t 1,, t l ) [1/R 2, 1] l vericando I λ,j(γ(t 1,, t l ))γ(t 1,, t l ) = 0, para j {1,, l}. Demonstração. Dado γ Γ, considere a aplicação γ : [1/R 2, 1] l R l denida por γ(s 1,, s l ) = ( I λ,1(γ(s 1,, s l ))γ(s 1,, s l ),, I λ,l(γ(s 1,, s l ))γ(s 1,, s l ) ). Para (s 1,, s l ) ([1/R 2, 1] l ), sabemos que γ(s 1,, s l ) = γ 0 (s 1,, s l ). Então, I λ,j(γ 0 (s 1,, s l ))(γ 0 (s 1,, s l )) = 0 s j {1/R 2, 1}, j Γ, caso contrário, I λ,j(γ 0 (s 1,, s l ))(γ 0 (s 1,, s l )) = 0 para s j = 1 R 2 ou s j = 1, isto é, I j( 1 R w j)( 1 R w j) = 0 ou I j(rw j )(Rw j ) = 0 30

41 implicando que I j ( 1 R w j) c j ou I j (Rw j ) c j, o que contradiz a escolha de R. Por tanto, (0, 0,, 0) γ( ([1/R 2, 1] l )). Assim, pelo Grau Topológico deg( γ, (1/R 2, 1) l, (0, 0,, 0)) = ( 1) l 0, de onde segue que existe (t 1, t 2,, t l ) (1/R 2, 1) l satisfazendo I λ,j(γ(t 1, t 2,, t l ))(γ(t 1, t 2,, t l )) = 0, para j {1, 2,, l}. Proposição l a) c λ,j b λ,γ c Γ, λ 1. j=1 b) Para γ Γ e (s 1,, s l ) ([1/R 2, 1] l ), I λ (γ(s 1,, s l )) < c Γ, λ 1. Demonstração. a) Desde que γ 0 Γ, b λ,γ max (s 1,,s l ) [1/R 2,1] l I λ,j (γ 0 (s 1,, s l )) max I λ,j ( (s 1,,s l ) [1/R 2,1] l l j=1 max s j [1/R 2,1] l c j = c Γ. j=1 l s i Rw i (x)) i=1 I j (s j Rw j (x)) Para cada γ Γ e (t 1,, t l ) [1/R 2, 1] l, pelo mesmo raciocínio usado no Lema I λ,j (γ(t 1,, t l )) c λ,j, j Γ. 31

42 Na última desigualdade usamos a seguinte caracterização c λ,j = inf{i λ,j (u); u E λ \ {0}; I λ,j(u)u = 0}. Por outro lado, recordando que I λ,r N \ Γ (γ(s 1,, s l )) 0, I λ (γ(s 1,, s l )) l I λ,j (γ(s 1,, s l )), j=1 e então, max I λ (γ(s 1,, s l )) I λ (γ(t 1,, t l )) (s 1,,s l ) [1/R 2,1] l l c λ,j. A última desigualdade combinada com a denição de b λ,γ implica que j=1 b λ,γ l c λ,j, j=1 Isto completa a demonstração de a). b) Como γ(s 1,, s l ) = γ 0 (s 1,, s l ) sobre ([1/R 2, 1] l ), temos I λ (γ 0 (s 1,, s l )) = l I j (s j Rw j ), (s 1,, s l ) ([1/R 2, 1] l ). j=1 Desde que I j (s j Rw j ) max I j (srw j ) = c j, s [1/R 2,1] j Γ e além disso, existe j 0 Γ tal que s j0 {1/R 2, 1}, consequentemente I λ (γ 0 (s 1,, s l )) = j j 0 I j (s j Rw j ) + I j0 (s j0 Rw j0 ) < c Γ, pois pela escolha de R I j0 ( 1 R w j 0 ), I j0 (Rw j0 ) < c j0. Corolário b λ,γ c Γ, quando λ +. 32

43 Demonstração. Repetindo os mesmos argumentos usados na Proposição 1.2.1, podemos extrair uma subsequência λ n tal que w λn,j u 0 em H 2 ( j), onde u 0 H 1 0( j ) é uma solução de (1.21) e I λn,j(w λn,j) I j (u 0 ). Como c j é o menor nível de energia para I j, temos Por outro lado, lim sup λ c λ,j = lim sup I λ,j (w λ,j ) = I j (u 0 ) c j. (1.32) λ c λ,j = inf max I λ,j(α(t)) α Υ λ,j t [0,1] inf max I λ,j(α(t)) (1.33) α Υ j t [0,1] inf max I j(α(t)) = c j α Υ j t [0,1] De (1.32) e (1.33), c λ,j c j para cada j Γ. Portanto, pela Proposição 1.3.2, b λ,γ c Γ quando λ Demonstração do Teorema Principal No que segue, consideramos M = 1 + e para µ > 0 sucientemente pequeno A λ µ = l (1 j=1 2 1 θ ) c j, B M+1 (0) = {u E λ ; u λ M + 1}, { } u B M+1 ; u λ,r N \ µ e I λ,j (u) c j µ, j Γ, Γ e I c Γ λ = {u E λ/i λ (u) c Γ }. 33

44 l Observe que A λ µ I c Γ λ, pois w = w j A λ µ I c Γ λ. Fixando j=1 0 < µ < 1 4 min{c j; j Γ}, (1.34) temos a seguinte estimativa uniforme para I λ(u) no conjunto ( A λ 2µ \ A λ µ) I c Γ λ. Proposição Seja µ > 0 satisfazendo (1.34). Então, existe σ 0 > 0 independente de λ e Λ 1 tais que I λ(u) σ 0 para λ Λ e para todo u ( A λ 2µ \ A λ µ) I c Γ λ. (1.35) Demonstração. Argumentando por contradição, suponha que existem λ n + e u n E λn, com u n ( ) A λn 2µ \ A λn µ I c Γ λ e I λ n (u n ) 0. Desde que u n A λn 2µ, a sequência { u n λn } é limitada. Consequentemente {I λn (u n )} também é limitada. Então, passando a uma subsequencia se necessário, I λn (u n ) c (, c Γ ]. Pela Proposição 1.2.1, novamente passando a uma subsequencia se necessário, u n u em H 2 (R N ) e u H 2 0( Γ ) é uma solução do problema (1.21). Além disso, λ n R N V (x) u n 2 dx 0, (1.36) u n 2 λ n,r N \ Γ 0 (1.37) u n 2 [ λ n, u 2 + u 2] dx, j Γ. (1.38) j j Como c Γ = l c j e c j é o nível de energia mínima de I j, um dos seguintes casos ocorre: j=1 i) u j 0, j Γ, ou ii) u j0 = 0, para algum j 0 Γ. Se i) ocorre, de (1.36) (1.38) I j (u) = c j, j Γ. Logo, u n A λn µ para n sucientemente grande, o que é uma contradição. 34

45 Se ii) ocorre, de (1.36) e (1.37) I λn,j 0 (u n ) c j0 ) c j0 4µ, o que contradiz a hipótese de u n A λn 2µ \ A λn µ para todo n N. Como i) ou ii) não acontecem, temos um absurdo, nalizando a demonstração. Proposição Sejam µ satisfazendo (1.34) e Λ 1 a constante dada na Proposição Então para λ Λ, existe u λ uma solução de (B) λ satisfazendo u λ A λ µ I c Γ λ. Demonstração. Mostraremos, por contradição, que não existem pontos críticos de I λ em A λ µ I c Γ λ. Pela Proposição 2.2.7, I λ satisfaz a condição (P S) d para d [0, c Γ ] e λ sucientemente grande. Assim, existe d λ > 0 tal que Por outro lado, pela Proposição 1.4.1, I λ(u) d λ, u A λ µ I c Γ λ. I λ(u) σ 0, u (A λ 2µ \ A λ µ) I c Γ λ, onde σ 0 é independente de λ. No que segue, denimos as funções contínuas Ψ : E λ R e H : I c Γ λ e R por Ψ(u) = 1, u A λ 3µ/2, Ψ(u) = 0, u A λ 2µ, 0 Ψ(u) 1, para u E λ, Ψ(u) Y (u) 1 Y (u), u A λ 2µ, H(u) = 0, u A λ 2µ, onde Y é um campo vetorial pseudo-gradiente para I λ sobre X = {u E λ ; I λ (u) 0}. Observe que H(u) 1 para todo λ Λ e u I c Γ λ. As informações acima garantem a existência de um uxo η : [0, + ) I c Γ λ denido por dη(t, u) dt = H(η(t, u)) η(0, u) = u I c Γ λ, I c Γ λ 35

46 vericando e di λ (η(t, u)) Ψ(η(t, u)) I dt λ(η(t, u)) 0, (1.39) dη dt = H(η) 1, (1.40) η(t, u) = u, t 0 e u I c Γ λ \ Aλ 2µ. (1.41) No que segue, denimos β(s 1,, s l ) = η(t, γ 0 (s 1,, s l )), (s 1,, s l ) [1/R 2, 1] l, onde T > 0 será xado posteriormente. Uma vez que, γ 0 (s 1,, s l ) A λ 2µ, (s 1,, s l ) ([1/R 2, 1] l ), deduzimos que β(s 1,, s l ) = γ 0 (s 1,, s l ), (s 1,, s l ) ([1/R 2, 1] l ). Além disso, é fácil checar que I λ,r N \ Γ (β(s 1,, s l )) 0, (s 1,, s l ) [1/R 2, 1] l, mostrando que β Γ. Note que supp(γ 0 (s 1,, s l )) Γ para todo (s 1,, s l ) [1/R 2, 1] l e I λ (γ 0 (s 1,, s l )) independente de λ Λ. Além disso, I λ (γ 0 (s 1,, s l )) c Γ, (s 1,, s l ) [1/R 2, 1] l e Portanto, I λ (γ 0 (s 1,, s l )) = c Γ, se s j = 1/R, j Γ. m 0 = max { I λ (u); u γ 0 ([1/R 2, 1] l ) \ A λ µ}, é independente de λ, e verica m 0 < c Γ. 36

47 De fato, se m 0 = c Γ existe uma sequência {(s n 1,, s n l )} [1/R 2, 1] l tal que c Γ 1 n I λ(γ 0 (s n 1,, s n l )) c Γ, e portanto I λ (γ 0 (s n 1,, s n l )) c Γ. (1.42) Por outro lado, γ 0 (s n 1,, s n l ) / A λ µ, logo existe j 0 Γ tal que I j0 (γ 0 (s n 1,, s n l )) c j0 > µ, desta desigualdade e pela denição de c j0 I j0 (γ 0 (s n 1,, s n l )) < c j0 µ e consequentemente, I λ (γ 0 (s n 1,, s n l )) < c Γ µ, desta forma o que contradiz (1.42). Desde que existe K tal que lim sup I λ (γ 0 (s n 1,, s n l )) c Γ µ, n I λ (u) I λ (v) K u v λ, j, u, v B M+1 e j Γ, armamos que para T sucientemente grande, max I λ (β(s 1,, s l )) max{m 0, c Γ 1 σ 0 µ}. (1.43) (s 1,,s l [1/R 2,1] l ) 2K De fato, xe u = γ 0 (s 1,, s l ) E λ. Se u A λ µ, I λ (η(t, u))) I λ (η(0, u))) = I λ (u) m 0, t 0. Por outro lado, se u A λ µ, denotando por η(t) = η(t, u), dλ = min{d λ, σ 0 } e T = σ 0 µ 2K d λ > 0, analisamos os seguintes casos: Case 1: η(t) A λ 3µ/2, t [0, T ]. 37