DALSON ELOY ALMEIDA. Modelos Exatamente Solúveis. Uberlândia

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1 DALSON ELOY ALMEIDA Modelos Exatamente Solúveis Uberlândia 2010

2 DALSON ELOY ALMEIDA Modelos Exatamente Solúveis Trabalho de Conclusão de Curso realizado sob orientação do Dr. José Cândido Xavier e apresentado ao Instituto de Física da Universidade Federal de Uberlândia em preenchimento parcial dos requisitos para a obtenção do título de bacharel em Física de Materiais Uberlândia 2010

3 Agradecimentos Ao professor Xavier, pela dedicação com a minha iniciação cientíca, pela grande paciência que teve comigo, pela exigência, sugestões, discussões e também pela amizade durante este período. Aos professores e funcionários do INFIS, Duzzioni, Liliana,... Vinicius, Agrenor, André,... que muito me ensinaram e de alguma forma contribuíram para a minha formação. Ao pessoal que durante esses anos passou pela sala 1X-17, também aos amigos do curso, pela boa convivência, estímulo permanente e principalmente pelas horas de café. Aos meus amados pais, que apesar de não concordarem com a minha graduação, me deram o suporte nanceiro necessário para a realização desta. Obrigado por formarem quem eu sou. À Flávia por me suportar diariamente, ser uma grande amiga e pela assistência prestada na solução de vários problemas (principalmente computacionais).

4 Resumo A m de explicar as propriedades físicas de sistemas constituídos de muitas partículas, são criados modelos simples que capturam a física de baixas energias destes sistemas. Nesta monograa, apresentamos nossos estudos do modelo de Ising e do modelo de Heisenberg, sendo estes muito usados para o entendimento das propriedades físicas de sistemas fortemente correlacionados. Apresentamos as transições de fase na magnetização para o modelo de Ising com spin-s a temperatura nula. Fizemos também um estudo qualitativo da dependência entre as transições magnéticas e a temperatura. Para o caso particular de spin- 1 /2, obtivemos a dependência exata com a temperatura. Já no modelo de Heisenberg, determinamos algumas de suas simetrias a m de encontrar seu espectro de energia analiticamente. Investigamos o modelo XX via fermionização e o modelo XXZ através do ansatz de Bethe. Apresentamos ainda um modelo de spin integrável na geometria de escada de 2-pernas. Determinamos o digrama de fase deste modelo a temperatura zero.

5 Abstract In order to explain the physical properties of systems consisting of many particles, are created simple models that capture the physics of low energies of these systems. In this monograph, we present our studies of the Ising model and Heisenberg model, which are widely used for understanding the physical properties of strongly correlated systems. We present the phase transitions of the magnetization for spin-s, at zero temperature. We did a qualitative study of dependence between magnetic transitions and temperature. For the particular case of spin- 1 /2, we obtained the exact temperature dependence. In the Heisenberg model, we determined some of its symmetries in order to nd its energy spectrum analytically. We investigated the XX model by fermionization and the XXZ model through the Bethe ansatz. We also present an integrable spin ladder geometry model. We also determined the phase diagram of the model at zero temperature.

6 Sumário 1 Introdução 1 2 Modelo de Ising Spin- 1 / Spin-S Anisotropia de Íon-Simples - O modelo de Blume-Capel Modelo de Heisenberg Simetria U(1) Simetria de Translação Simetria SU(2) Fermionização do Modelo XX Transformação de Jordan-Wigner Diagonalização: O modelo de férmions livres e o modelo XX Espectro do modelo XX Gap de Spin Ansatz de Bethe Diagonalização de Setores Equações de Bethe no Limite Isotrópico Considerações Finais Modelo Integrável na Geometria de Escada Diagonalização: Espectro de Energia, Gap e Diagrama de Fase Conclusão 53 i

7 Capítulo 1 Introdução A primeira descrição teórica de sucesso de metais e isolantes é baseada em elétrons livres ou fracamente interagentes. A distinção entre metais e isolantes a temperatura nula, segundo esta teoria, baseia-se em como as bandas eletrônicas, que surgem devido a periodicidade da rede cristalina, são preenchidas. Essa distinção foi proposta e estabelecida nos primórdios da mecânica quântica. O sucesso desta teoria levou a construção de um dos mais importante dispositivos eletrônicos da nossa sociedade contemporânea, o transistor. Que está presentes nos mais variados produtos do nosso cotidiano, como TVs e computadores. Contudo, há uma certa classe de compostos no qual a teoria baseada em elétrons livres e/ou fracamente interagente não descreve corretamente a física observada experimentalmente. Um típico exemplo desta classe é o composto NiO. Enquanto a teoria prevê, neste caso, um estado metálico, observava-se um isolante. Mott e Peierls foram um dos primeiros a sugerirem que uma forte interação Coulombiana entre os elétrons poderia dar origem ao comportamento isolante. Neste caso dizemos que o sistema é fortemente correlacionado, e a teoria anterior não se aplica, já que as interações não podem ser tratadas perturbativamente. Formulações de modelos unidimensionais exatamente solúveis são indiscutivelmente um assunto de grande interesse. Do ponto de vista teórico são consideravelmente mais simples de serem abordados, do que modelos bidimensionais e tridimensionais. A importância desses modelos consiste no fato de que, a princípio, podem ser testadas certas características e propriedades advindas de métodos não aproximativos. Neste caso, soluções exatas são de grande importância para descrever corretamente um sistema. Vale salientar que há na natureza várias realizações experimentais destes modelos teóricos quasi-unidimensionais [1]. Estes compostos e/ou materiais já existem na natureza e também podem ser sintetizados em laboratórios. Normalmente estes sistemas de baixas dimensões apresentam propriedades magnéticas. Os materiais magnéticos são compostos que exibem algum tipo ordem magnética à tem- 1

8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 peratura nita. Para materiais ditos ferromagnéticos existe uma temperatura crítica 1, que abaixo dela existe uma magnetização espontânea 2, e acima dela os spins estão orientados aleatoriamente na rede e a magnetização espontânea desaparece. Apesar de materiais com propriedades magnéticas terem sido descobertos a mais de dois mil anos atrás, foi apenas com o advento da mecânica quântica, no inicio do século passado, que foi possível entender, adequadamente, a origem do magnetismo. Entre alguns materiais que apresentam ordem ferromagnética a baixas temperaturas podemos citar, por exemplo os metais de transição, Fe, Ni e Co, e ligas contendo esses materiais. O modelo mais famoso e simples introduzido para explicar os sistemas ferromagnéticos foi proposto por Wilhelm Lenz à Ernst Ising (então aluno de doutorado de Lenz) em 1920 [2]. A versão unidimensional da hamiltoniana deste modelo, em uma cadeia de tamanho N e na presença de um campo magnético H, é dada por: N N H = J σ i σ i+1 H σ i. (1.1) i=1 i=1 Ising resolveu o modelo proposto (para o caso unidimensional e spin- 1 /2, onde σ i = ± 1 /2) analiticamente em 1925, e concluiu que o modelo, que hoje leva o seu nome, tinha uma transição ferromagnética apenas à temperatura nula. Este simples modelo é fundamental na mecânica estatística, pois este pode ser usado para explicar sistemas magnéticos, coexistência de fase, gás de rede, liga de dois metais, etc [3]. Ising havia, em 1925, demonstrado que a solução unidimensional não explicaria o ferromagnetismo [2] e ainda conjecturou, erroneamente, que o mesmo teria uma transição ferromagnética também à temperatura nula, em duas dimensões. A solução exata do caso bidimensional é extremamente não trivial e só foi obtida em 1944 por Onsager [4] e, ao contrário da previsão de Ising, essa temperatura crítica seria não nula. Alguns anos antes, Kramers e Wannier já haviam encontrado este resultado [5]. Já para o modelo em três dimensões ainda não há uma solução exata. Um dos exemplos mais célebres de modelos fortemente correlacionados é o modelo anisotrópico de Heisenberg XY Z. Este modelo foi proposto, no início do surgimento da mecânica quântica, para explicar o ferromagnetismo [6]. A hamiltoniana deste modelo, para sistemas de spin- 1 /2, é: Ĥ(J x, J y, J z ) = ĤXY Z = <i,j> [ Jx σ x i σ x j + J y σ y i σy j + J zσ z i σ z j ], (1.2) 1 Chamada também de temperatura de Curie. 2 Magnetização espontânea é a magnetização a campo nulo.

9 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 sendo J α constantes de acoplamento e σi α as matrizes de Pauli (α = x, y, z) no sítio i. Note que o modelo de Ising unidimensional a campo nulo (H 0) corresponde ao caso particular deste último modelo (XY Z) com J x = J y = 0, i.e., Ĥ(0, 0, J) = H(H = 0). Nesta monograa temos como objetivo encontrar a solução exata deste modelos, em particular, na Eq. (1.2) nos restringiremos ao caso J x J y. Utilizaremos o método da matriz de transferência [5, 7] (veja também as Refs. [3, 8]) para encontrar, analiticamente, a função de partição da versão unidimensional do modelo de Ising, para spin-s (geral). A m de explorar as transições magnéticas do modelo de Ising, introduziremos na hamiltoniana deste um termo devido à assimetria da distribuição de cargas dos núcleos atômicos (anisotropia de íon-simples). Como veremos, a inserção deste termo quantiza a magnetização do sistema. Através da técnica de fermionização [9, 10] e do ansatz de Bethe [11, 12] encontraremos o espectro de energia para casos particulares da hamiltoniana XY Z [Eq. (1.2)], onde as energias do estado fundamental e do primeiro estado excitado serão determinadas diretamente pelo primeiro método, enquanto que para o segundo, carão expressas em termos de um conjunto de equações não-lineares (as equações de Bethe). Nossas contribuições originais apresentadas nesta monograa encontram-se no capítulo 6 e no A, onde propomos um modelo de escada de spin integrável e apresentamos sua solução via fermionização. Observamos que o diagrama de dispersão de energias para este modelo apresenta transições de fases entre regiões com gap e sem gap. Esse gap é então calculado, no limite termodinâmico, em função dos parâmetros de acoplamento.

10 Capítulo 2 Modelo de Ising Iniciaremos nossos estudos com a apresentação da função de partição do modelo de Ising unidimensional de spin- 1 /2. Pois a partir desta somos capazes de encontrar as propriedades termodinâmicas de interesse, por exemplo, a magnetização. Calcularemos também a função de partição e analisaremos o perl da curva de magnetização, a temperatura nula, para sistemas de spin-s. Vamos também introduzir o modelo de Blume-Capel [13, 14, 15], e obter a sua magnetização à baixas energias. Na Figura 2.1, é apresentada a representação dos spins no modelo de Ising 1, sendo que cada ponto equivale a um sítio da rede. Figura 2.1: Representação dos spins no modelo de Ising em uma rede bidimensional quadrada. No modelo de Ising as variáveis de spins são clássicas, uma vez que é levado em consideração apenas a projeção do spin ao longo do eixo de quantização, geralmente tomado arbitrariamente como o eixo-z. Para um modelo de spin S, os possíveis valores da projeção do spin são: S, S + 1,, S 1 e S (note que temos 2S + 1 valores possíveis). O método que utilizamos aqui para obter a solução exata do sistema proposto é a técnica da matriz 1 Para uma revisão histórica sobre o modelo de Ising veja a Referência [16]. 4

11 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 5 de transferência. Essa técnica possibilita encontrar analiticamente a função de partição com grandes vantagens algébricas, conforme veremos a seguir. 2.1 Spin- 1 /2 Em uma dimensão a hamiltoniana do modelo de Ising, para uma cadeia de tamanho N e na presença de um campo magnético H, é dada por: H = J N σ i σ i+1 H i=1 N σ i. (2.1) i=1 O primeiro termo da hamiltoniana descreve a interação entre os spins mais próximos. O segundo termo descreve a interação entre o campo externo e os spins do sistema. E σ i é uma variável clássica que pode assumir apenas os valores ± 1 /2 (que representa as possíveis orientações dos spins) nos sítios i = 1, 2, 3,..., N. Estamos considerando condições periódicas de contorno, σ N+1 = σ 1, ou seja, o último spin interage com o primeiro. A constante de acoplamento J, muitas vezes chamada de acoplamento de troca, representa a intensidade da interação entre os spins. Note que para J < 0 (J > 0) o estado de menor energia é obtido quando todos os spins estão alinhados paralelamente (antiparalelamente). A fase onde a maioria dos spins estão alinhados na mesma direção (em direções opostas) é chamada fase ferromagnética (antiferromagnética). Na Figura 2.2 temos uma representação destas duas fases para uma cadeia unidimensional. Figura 2.2: Ferromagnetismo e Antiferromagnetismo: representação do alinhamento dos spin. Resolver o modelo de Ising signica determinar a função de partição canônica [17]: Z N = {σ i } e βh, (2.2)

12 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 6 sendo β = 1 /k B T e k B a constante de Boltzmann. 2 É fácil perceber que podemos escrever Z N como: Z N = N T (σ i, σ i+1 ), σ 1,σ 2,...,σ N i=1 sendo [ T (σ i, σ i+1 ) = exp βjσ i σ i+1 + βh ] 2 (σ i + σ i+1 ), (2.3) os elementos da matriz de transferência T. Podemos escrever a função de partição como o traço do produto de N matrizes de transferência, de modo que Z N torna-se: [ ] N Z N = T r exp [ β(j 2H) /4] exp ( βj /4) exp ( βj /4) exp [ β(j+2h) /4]. (2.4) A matriz de transferência pode ser diagonalizada por uma transformação unitária U. Seja D = U 1 TU, a matriz T escrita na base de seus autovetores. Logo T = UDU 1 e T r ( T N) = T r ( D N). Dessa forma vemos que [ ] N Z N = T r λ 1 0 = λ N 1 + λ N 2, (2.5) 0 λ 2 sendo λ i (i = 1, 2) os autovalores de T dados por λ 1,2 = exp ( βj /4) cosh ( βh /2) ± exp ( βj /2) cosh 2 ( βh /2) + 2 sinh ( βj /2). (2.6) A energia livre magnética por sítio, no limite termodinâmico, é dada por [17]: ( f = f(t, H) = lim 1 ) N βn lnz N. (2.7) Como λ 1 > λ 2, a energia livre no limite termodinâmico ca expressa em termos só do maior autovalor de T. f(t, H) = 1 β ln λ 1. (2.8) 2 A determinação da função de partição pela técnica da matriz de transferência (T), é baseada no cálculo dos autovalores λ i de T. Pode-se mostrar que a função de partição é o traço da N-ésima potência de T. Ver as Referências [3, 18] para uma demostração detalhada.

13 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 7 A magnetização total por sítio é dada por [17]: que utilizando a Eq. (2.8) ca: ( ) f m(t, H) =, (2.9) H T m(t, H) = 1 β 1 λ 1 λ 1 H. Finalmente, podemos escrever (após algumas manipulações algébricas [18]) a magnetização do modelo de Ising (spin- 1 /2) em uma dimensão como: m(t, H) = 1 sinh ( βh /2) 2 [. (2.10) sinh 2 ( βh /2) + e βj]1 2 Note que para campo nulo H = 0 e T 0 a magnetização é nula. Na Figura 2.3(a) (2.3(b)) mostramos a magnetização total por sítio para o caso J = 1 (J = 1). Note que para baixas temperaturas não há transição de fase em 2.3(a), a magnetização é m = 1 /2 independente do campo externo. Conforme observado na Figura 2.3(b), existe uma transição entre as fase de magnetização nula e magnetização m = 1 /2 (magnetização saturada), que ocorre para campo magnético externo igual a H = J. O gráco mostra ainda como é a dependência da temperatura (tomamos β = 1 /T). Figura 2.3: Magnetização total por sítio para diversos valores de temperatura, (a) J = 1 (Cadeia Ferromagnética). (b) J = 1 (Cadeia Antiferromagnética).

14 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING Spin-S A hamiltoniana do modelo de Ising, na presença de um campo magnético H, para spins maiores é a mesma dado pela Eq. (2.1): sendo os possíveis valores de σ i : H = J N σ i σ i+1 H i=1 N σ i., (2.11) i=1 σ i = S, S + 1,, S 1 e S. (2.12) Novamente temos condições periódicas de contorno. E utilizamos a técnica da matriz de transferência a m de determinarmos a função de partição analiticamente. Note que agora essa matriz é de ordem 2S + 1. Os elementos de T são dados pela Eq. (2.3). E novamente podemos escrever: Z N = T r ( T N), (2.13) de modo que: que no limite termodinâmico ca: Z N = 2S+1 i=1 λ N i, Z N = λ N máx, (2.14) onde λ máx é o maior autovalor de T em módulo. Logo a energia livre de Helmholtz por sítio é E a componente-z da magnetização total por sítio é: f(t, H) = 1 β ln λ máx. (2.15) m = 1 β 1 λ máx λ máx H. (2.16) Calculamos a curva de magnetização a temperatura nula (T = 0) para vários valores de spin-s e acoplamento J. O diagrama de fase (J vs. H) encontrado é apresentado na Figura 2.4. Note que só aparecem dois valores de magnetização.

15 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 9 Figura 2.4: Diagrama de fase (J vs. H) do modelo de Ising com spin-s para T = 0. Entretanto, diversos platôs de magnetização foram observados experimentalmente em medidas de alto campo de muitos materiais magnéticos, inclusive em compostos quasiunidimensionais [19, 20]. Figura 2.5: (a) Curva experimental de magnetização em auto-campo de um composto antiferromanético S = 1, à T = 1.3K. (b) Curvas experimentais de magnetização diferencial dm /dh, isto é, susceptibilidade magnética. As setas indicam a posição dos picos correspondentes aos campos de transição. Grácos reproduzidos da Referência [19].

16 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 10 Na Figura 2.5(a) mostramos resultados de medidas de magnetização quando um campo magnético é aplicado ao longo de dois eixos do composto [Ni 2 (Medpt) 2 (µ-ox)(h 2 0) 2 ](ClO 4 ) 2 2H 2 O[Medpt metil-bis(3-aminopropil)amina] à temperatura de 1.3K. Este composto é considerado como um antiferromagnético de spin S = 1. Os campos de transição são mostrados na Figura 2.5(b) através das curvas de susceptibilidade magnética. Na seção seguinte vamos analisar um modo de produzirmos os platôs (observados experimentalmente), numa cadeia Ising unidimensional. 2.3 Anisotropia de Íon-Simples - O modelo de Blume- Capel A quantização da magnetização é um fenômeno muito interessante e tem atraído considerável atenção recentemente. Sua assinatura é a presença de platôs na curva de magnetização a baixas temperaturas. O mecanismo para o aparecimento de platôs de magnetização em cadeias de spins quasi-unidimensionais são anisotropia de íon-simples, dimerização, frustração e outros [21, 22, 23]. Nesta seção, vamos analisar como o potencial de íon-simples altera o perl da magnetização. Esta energia aparece devido a distribuição de carga não ser esfericamente simétrica, isto é, a energia do núcleo depende da orientação do seu spin em relação ao campo elétrico local [3]. A hamiltoniana do modelo de Ising unidimensional com anisotropia de íon-simples, na presença de um campo magnético externo (ou simplesmente modelo de Blume-Capel) e com condições periódicas de contorno é dada por [13, 14, 15]: H = J N σ i σ i+1 H N σ i + D N (σ i ) 2, (2.17) i=1 i=1 i=1 sendo os possíveis valores de σ i dados pela Eq. (2.12) 3 e D é o campo cristalino. Note que a energia de anisotropia de íon-simples é por denição nula para sistemas de spin- 1/2, uma vez que a inserção deste potencial não altera o perl da magnetização. Neste caso o perl da magnetização em função do campo magnético externo continua qualitativamente igual ao apresentado na Figura 2.3, observa-se uma (duas) fase(s) para o caso ferromagnético (antiferromagnético). Semelhante ao modelo de Ising é possível escrever a função de partição como o traço de uma matriz de transferência. 3 O modelo foi originalmente proposto para um sistema de spin-1

17 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 11 Z N = e βh = {σ i } N T (σ i, σ i+1 ), σ 1,σ 2,...,σ N i=1 sendo T (σ i, σ i+1 ) os elementos desta matriz, que são dados por: [ T (σ i, σ i+1 ) = exp βjσ i σ i+1 + βh 2 (σ i + σ i+1 ) βd 2 ( ) ] σ 2 i + σi+1 2, e estamos usando condições periódicas de contorno. Desse modo Z N é dado pela Eq. (2.14), a energia livre magnética pela Eq. (2.15) e a magnetização pela Eq. (2.16) Processo de Magnetização em Casos Particulares Assim como no modelo de Ising tradicional, observamos também que a largura dos platôs diminui com o aumento da temperatura, e que eventualmente para altas temperaturas a quantização da magnetização desaparece (observe na Figura 2.7, que o degrau desaparece suavemente com o aumento da temperatura). Processo de Magnetização em Sistemas Antiferromagnético de spin-1 Na Figura 2.6(a), nós mostramos a magnetização total (a T = 0) por sítio em função do campo magnético externo aplicado H para uma cadeia de spin-1, com: J = e D = 12.5 (linha cheia); J = 4 e D = 22.5 (linha tracejada). Figura 2.6: (a) Magnetização total por sítio em função do campo magnético externo aplicado, a T = 0, para um sistema antiferromagnético com S = 1. (b) Diagrama de fase do estado fundamental de uma cadeia antiferromagnética de spin S = 1.

18 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 12 Como observado nesta gura nós encontramos três platôs, os valores da magnetização nestes platôs são m = 0, 1 /2, 1. Note que o perl destas curvas são similares à encontradas experientalmente por Y. Narumi na ref. [19] para o composto [Ni 2 (Medpt) 2 (µox)(h 2 0) 2 ](ClO 4 ) 2 2H 2 O em baixas temperaturas [ver Figura 2.5(a)]. Curvas de magnetização similares foram encontradas para outros valores de acoplamentos. Desse modo, fomos capazes de montar o diagrama de fase típico (J = 1.25 e D > 0) apresentado na Figura 2.6(b). Conseguimos ainda encontrar as linhas de transição deste diagrama como função do termo de troca (J). Para D < J as duas linhas são dadas por H = 2J D e H = 2J + D, enquanto que para D > J as duas linhas são dadas por H = 2J + D e H = D. Note que as transições de fase na Figura 2.6(a) também obedecem essa regra. Processo de Magnetização em Sistemas de spin-2 A nível ilustrativo, é apresentado na Figura 2.7 a curva de magnetização para o caso S = 2, J = 0.75 (cadeia ferromagnética), D = 1.25 e para as seguintes temperaturas T = 0.05; T = 0.25; T = 0.5; T = 1. Figura 2.7: Magnetização por sítio em função do campo magnético aplicado para o caso S = 2, J = 0.75, D = 1.25 e alguns valores de temperatura. Note que a transição entre a fase de magnetização nula e magnetização m = 1 (a T 0) ocorre em H = = (D + J). Já a transição da fase de magnetização m = 1 para m = 2 (também a T = 0) ocorre em H = 3( ) = 3(D + J). Note também que os valores possíveis de magnetização são m = S = 2, m = S 1 = 1 e m = S 2 = 0. Na Figura 2.8 nós mostramos o diagrama de fase do estado fundamental de uma cadeia antiferromagnética de spin S = 2 para o caso: J = 0.5 e D > 0. Os valores de magnetização encontrados são S = 2, S 1 /2 = 3 /2, S 1 = 1, S 3 /2 = 1 /2 e S 2 = 0. Note que o perl

19 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 13 do diagrama é alterado em D = 0.5. Em geral observamos que o perl muda em D = J. Mostramos também as retas que separam as fases como função do termo de troca (J). Figura 2.8: Diagrama de fase do estado fundamental de uma cadeia antiferromagnética de spin S = 2 para o caso: J = 0.5 e D > 0. Processo de Magnetização em Sistema Ferromagnético de spin- 5 /2 Na Figura 2.9 apresentamos o diagrama de fase do estado fundamental de uma rede ferromagnética de spin S = 5 /2 para o caso: J = 0.5 e D > 0. Novamente fomos capazes de encontrar as equações das retas que separam as fases para acoplamentos arbitrários ( J). As magnetizações encontradas são S = 5 /2, S 1 = 3 /2 e S 2 = 1 /2. Figura 2.9: Diagrama de fase do estado fundamental de uma rede ferromagnética de spin S = 5 /2 para o caso: J = 0.5 e D > 0.

20 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING Processo de Magnetização em Sistemas Gerais (spin-s) no Estado Fundamental. Para redes antiferromagnéticas podemos generalizar que o diagrama contém 2S + 1 fases de magnetização (platôs), isto foi precisamente vericado recentemente [22] utilizando a técnica da matriz de transferência por formulação do problema em uma rede do tipo Bethe ( Bethe lattice). Enquanto que para sistemas ferromagnéticos nós conjecturamos que o diagrama de fase apresenta S + 1 (S + 1 /2) platôs de magnetização para S inteiro (semi-inteiro), sendo que neste caso não temos conhecimento de trabalhos que conrmem esse resultado. A condição necessária geral para a presença dos platôs em sistemas ferromagnéticos (antiferromagnéticos) é S ( 1 m ) = inteiro m sat [ ( S 1 m ) = inteiro ]. (2.18) m sat 2 E ainda, através das curvas de magnetização calculadas, observamos que o valor de saturação é m sat = S. Portanto, os valores de magnetização por sítio que podem ser observados são: m = S, S 1, S 2, (m = S, S 1 /2, S 1, ) para um sistema ferromagnético (antiferromagnético). Conseguimos ainda identicar os pontos em que ocorrem as transições de fase. E apresentamos estes pontos em seguida. Vamos expressar nossos resultados em termos da função degrau unitária (função de Heaviside), que é denida como segue: u(h a) := { 0 se H < a 1 se H > a. (2.19) Para uma cadeia ferromagnética, as transições ocorrem para os valores de campo magnético que obedecem a regra H = N(D + J), onde N é par (ímpar) para S semi-inteiro (inteiro), com um limite superior de N sat = (2S 1), o limite inferior é zero ou um. E portanto podemos escrever a magnetização à T = 0 como: m(s) = 1 S 1/2 2 u(h) + m(s) = n=1 u [H 2n(D + J)] para S semi-inteiro, (2.20) S [H (2n 1)(D + J)] para S inteiro. (2.21) n=1 Já para sistemas antiferromagnéticos devemos analisar dois casos: (i) D < J onde as transições aparecem para campo magnéticos que satisfaçam a regra

21 CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 15 H = 2SJ + (2n + 1)D com n = S, S + 1,, S 2, S 1; Podemos escrever a magnetização total do estado fundamental como: m(s) = 1 2 S 1 n= S u [H 2SJ (2n + 1)D]. (2.22) (ii) D > J onde podemos escrever a magnetização do estado fundamental como: m(s) = 1 2 S 1/2 n=0 m = n, n + 1 m 2S 1 [H (2n + 1)J 2mD] para S semi-inteiro, (2.23) m(s) = 1 2 S 1 n+1 n=0 m=n u [H 2nJ (2m + 1)D] para S inteiro. (2.24) A magnetização encontrada na Seção 2.1 para sistemas de spin- 1 /2 [tomando T 0 na Eq. (2.10)] e as Figuras 2.3, 2.4 e estão todas em acordo com essas generalizações. 4 4 Como já citado, um outro modo de introduzirmos platôs adicionais na curva de magnetização é por dimerização, i.e., através da que quebra da simetria contínua da cadeia (íons com diferentes spins, alternados, ao longo da cadeia). A dimerização da cadeia produz platôs na curva de magnetização independentemente de considerarmos o campo cristalino D, note que, para os sistemas apresentados neste capítulo, o número de platôs não é função de D e sim do spin e do sinal de J. Resultados sem quaisquer aproximações e originais das propriedades magnéticas de uma cadeia ferromagnática Ising com anisotropia de íon-simples e spins (gerais) alternados (no regime de baixas temperaturas) podem ser encontrados na Ref. [23] (D. Eloy e F. B. Ramos, Magnetic Properties in an Alternating Spin Ferromagnetic Ising Chain )

22 Capítulo 3 Modelo de Heisenberg Alguns anos após a formulação da mecânica quântica, Heisenberg e Dirac [24, 25] encontraram que as leis desta teoria implicavam na existência de uma interação efetiva J ijsi S j, entre os elétrons de átomos próximos (vizinhos). Essa interação de troca, como tornou-se conhecida, é causada pelo efeito combinado entre a repulsão Coulombiana e pelo princípio de exclusão de Pauli, e ela é a chave fundamental para explicar a magnetização de vários sistemas. O modelo isotrópico de Heisenberg em uma dimensão é dado pela seguinte hamiltoniana [6, 26]: Ĥ = J i S i S i+1, (3.1) sendo J uma constante de acoplamento 1 e S i é o operador de spin do sítio i dado por S i = (1 S xˆx + S y ŷ + S z ẑ 1), (3.2) }{{} i sendo S j = 1 2 σj (j = x, y, z e σ j são as matrizes de Pauli, para o caso de spin- 1 /2). Na Figura 3.1 é mostrada a representação dos spins no modelo de Heisenberg, note que o spin pode ter qualquer orientação (diferente do modelo de Ising que considerava apenas a componente-z destes). Podemos escrever essa hamiltoniana [Eq. (3.1)] em termos das matrizes de Pauli: Ĥ = J 4 i ( σ x i σi+1 x + σ y i σy i+1 + ) σz i σi+1 z. (3.3) 1 Quando J for positivo (negativo) os spins tendem a se orientar antiparalelamente (paralelamente) uns aos outros e assim formar uma fase antiferromagnética (ferromagnética). 16

23 CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 17 É conveniente expressar σ ± = 1 2 (σx ± iσ y ). Em termos destes operadores Ĥ ca: Ĥ em função dos operadores de levantamento e abaixamento, Ĥ = J 2 i [ (σ + i σ i+1 + h.c.) + 1 ] 2 σz i σi+1 z. (3.4) Figura 3.1: Representação dos spins no modelo de Heisenberg em uma rede quadrada. Note que este hamiltoniano é apenas um caso particular do modelo anisotrópico de Heisenberg XY Z [Eq. (1.2)], com J x = J y = J z = J 4. Nos capítulos seguintes iremos analisar alguns casos particulares da hamiltoniana denida na Eq. (1.2). 2 Um importante caso particular da Eq. (1.2), é fazermos J x = J y = 1 2 e J z = 2 de modo que obtemos o modelo anisotrópico antiferromagnético XXZ. Sendo uma constante numérica real que está associada a anisotropia da rede cristalina. A hamiltoniana deste modelo em um cadeia unidimensional de comprimento M é [6, 8]: Ĥ XXZ = 1 2 M 1 j=1 ( σ x j σ x j+1 + σ y j σy j+1 + σz j σ z j+1) 1 2Ĥs, (3.7) 2 Um caso particular da Eq. (1.2) já foi analisado no Cap. 3. Considere uma cadeia XY Z de tamanho L, com J x = J y = 0, i.e., analisando apenas a componente-z do spin, temos: Ĥ(0, 0, J z ) = J z σi z σi+1, z (3.5) i e resolvendo a equação de autovalores Ĥ(0, 0, J z) ψ = E ψ. Obtemos: E = J z ( 1) (1 δn i,n i+1 ), (3.6) i que é a energia do modelo de Ising de spin- 1 /2 [analisado no Cap. 3 e deninido dela Eq. (2.1)], com campo nulo (H = 0). Portanto, temos uma correspondência entre estes modelos, e ainda justicamos a associação das variáveis σ i, do modelo de Ising, com as projeções de spin na componente z ( S i ẑ σ z i ).

24 CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 18 onde Ĥs é o termo de superfície. Por exemplo, para condições de contorno aberta temos Ĥ s = 0, se considerarmos condições de contorno torcidas (twisted), i.e.: σm+1 x ± iσ y M+1 = e±iϕ (σ1 x ± iσ1) y, σm+1 z = σ1, z Ĥ s = Ĥs(ϕ) é dado por: Ĥ s (ϕ) = cosϕ (σmσ x 1 x + σ y M σy 1) + sinϕ (σmσ x y 1 σ y M σx 1) + σmσ z 1, z (3.8) onde ϕ é um ângulo arbitrário. Note que o caso periódico está contido na Eq. (3.8), uma vez que Ĥs(0) = σm x σx 1 + σ y M σy 1 + σm z σz Simetria U(1) O modelo XXZ possui uma simetria rotacional ao longo do eixo-z no espaço dos spins, chamada de simetria U(1), implicando que a componente do spin total sobre o eixo de quantização (z) é conservada. O operador Ŝz T como: Ŝ z T = 1 2 (projeção do spin total no eixo-z) é denido L σj z. (3.9) j=i O fato desta simetria existir implica que ĤXXZ comuta com Ŝz T. É fácil vericar que [ĤXXZ, Ŝz T ] = 0. Ou mais geral [ ] Ĥ XY Z, Ŝz T 0 J x J y, (3.10) implicando que só há invariância à rotação, em torno do eixo de quantização (escolhido tradicionalmente como o eixo-z), quando o plano perpendicular à este é isotrópico (aqui o plano xy), i.e., para a hamiltoniana XXZ. Seja ψ = n 1,..., n L um autoestado simultâneo de Ŝz T e de ĤXXZ, com n spins up e n spins down. Onde os n i são os autovetores de σi z, i.e., σi z = e σi z =. Considerando então a equação de autovalores Ŝz T ψ = Sz T ψ, temos Sz T = n n 2. Sabemos também que em uma rede de L sítios temos sempre n + n = L. Desse modo os autovalores de Ŝz T são: SZ T = n L /2. 3 Note que a hamiltoniana ĤXXZ está representada sobre um espaço de dimensão 2 L. O autoespaço comum a ĤXXZ e Ŝz T 3 1 L Ŝz j é chamado magnetização por sítio. pode ainda ser decomposto em L + 1 setores disjuntos

25 CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 19 rotulados pelos autovalores ST z de ( Ŝz T S z T = L, L + 1,, L 1, ) L , tornando assim a matriz representativa de ĤXXZ bloco diagonal. Dados ST z e L a dimensão de cada setor L! (bloco) será: ( L /2+ST)!(L/2 S z T z )!. Se somarmos as dimensões dos setores de Sz T veremos que o número total de estados 2 L, como era de se esperar. Uma vez que a hamiltoniana comuta com a componente-z do spin total, o autovalor deste operador, ST z, serve como um bom número quântico. Em linhas gerais, a intenção ao explorar simetrias como essa é que através da decomposição do espaço de Hilbert associado a hamiltoniana, possamos diminuir a dimensão das matrizes a serem diagonalizadas. Nesta monograa nosso objetivo ao realizar uma diagonalização numérica se resume em uma possível comparação dos autoestados e autovalores encontrados por um método exato. Entretanto a invariância a rotação em torno do eixo-z ainda nos fornece importantes informações sobre o sistema, pois todos os estados calculados são caracterizados por um conjunto de números quânticos que podem ser usados para distinguir esses estados de acordo com propriedades físicas especicas (no caso a componente z do spin total). Portanto, se nosso interesse concentra-se no estudo de propriedades de um certo grupo de autoestados da hamiltoniana, que possuam o mesmo autovalor ST z, montamos a matriz apenas desse setor (de dimensão menor que o espaço de Hilbert original) que pode ser diagonalizada separadamente. Outro número quântico que será útil, e ainda, está relacionado diretamente com S z T, é o número total de spins up da rede, n 4. Esta quantidade será útil na solução exata da cadeia XX [Eq. (3.7) com 0] por fermionização e na diagonalização por setores no ansatz de Bethe do XXZ. Da mesma maneira que temos uma simetria no espaço dos spin, devido à Ŝz T, veremos que o número de partículas, ˆNF, estabelece uma simetria no espaço dos momentos Diagonalização Numérica A seguir apresentamos as energias da hamiltoniana XX para L = 4, 5, 6, rotuladas por setores de Ŝz T. Essas energias foram calculadas através da diagonalização numérica dos blocos dos setores de Ŝz T. L=4 A energia do estado fundamental é dado 2 2 = , este é não degenerado e encontra-se no setor ST z = 0. O primeiro estado excitado tem energia 2 e é bidegenerado, ele está no setor ST z = 1. L=5 4 Para hamiltonianas expressas em termos de operadores puramente fermiônicos é comum denominarmos n de número de férmions (N F ), ou número de partículas da rede.

26 CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 20 Figura 3.2: Espectro de Energia da hamiltoniana XX com condições periódicas de contorno. (a) L = 4. (b) L = 5. A energia do estado fundamental é dada ( ) = , que é degenerado e encontra-se no setor ST z = 1 /2. O primeiro estado excitado também é bidegenerado e tem energia 2, eles estão nos setores ST z = 3 /2. L=6 A energia do estado fundamental é 4. E como esperado é não degenerado, e novamente se encontra no setor ST z = 0. O primeiro estado excitado tem energia 2 3 = , sendo também bidegenerado e está no setor ST z = 1.

27 CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 21 Figura 3.3: Espectro de Energia da hamiltoniana XX para uma rede de seis sítios com condições periódicas de contorno. 3.2 Simetria de Translação O operador de translação ˆT, às vezes chamado de operador momento, translada a conguração de cada sítio i para o sítio vizinho i + 1. Por exemplo, considerando uma cadeia com quatro sítios (L = 4) o operador translação atuando sobre a seguinte conguração particular resulta em ], i.e., ˆT =. O fato que Ĥ é invariante por translação implica que [Ĥ, ˆT = 0. O operador ˆT é denido como: ˆT n 1,, n L 1, n L = n L, n 1,, n L 1. (3.11) Note que tal invariância ocorre se, e só se, considerarmos condições de contorno periódicas. 5 Pode-se mostrar ainda que [Ŝz T, ˆT ] = 0. Note que ˆT L = 1 e considerando a equação de autovalores ˆT ϕ = λ ϕ, tal que, ˆT L ϕ = λ L ϕ. Encontramos que os autovalores do momento, ou do operador de translação são dados por: λ = e 2nπ i /L para n = 0, 1,, L 1. (3.12) 5 Entretanto é possível obter generalizações para condições de contorno mais gerais, por exemplo para condições de contorno torcidas.

28 CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG Simetria SU(2) Note que o modelo XXZ isotrópico (chamado de modelo XXX), i.e., com 1, usufrui de uma simetria rotacional ao longo de qualquer eixo no espaço dos spins, chamada de simetria SU(2). Isto implica que não apenas a componente azimutal do spin é conservada, mas também o quadrado do spin total, ˆ ST ˆ ST = Ŝ2 T.6 Onde ˆ S T = i ˆ S i, (3.13) e a soma é feita sobre todos os sítios. ˆ S i é dado pela Eq. (3.2), portanto temos: ˆ S i ˆ Sj = i ˆ S i ˆ Sj, Ŝ 2 T = i j Ŝ 2 i + 2 i,j>i que em termo das matrizes de Pauli ca: Ŝ 2 T = 3L ( σ x i σj x + σ y i σy j + ) σz i σj z. i,j>i Pode-se mostrar que: [ĤXXZ, Ŝ2 T ] 1 0, (3.14) entretanto a prova é extensa e cansativa. 7 ] 6 É um resultado bastante conhecido que Ŝ2 T e Ŝz T [Ŝz também comutam entre si, ou seja T, Ŝ2 T = 0. 7 A prova] é trivial para L = 2, e neste caso encontramos que a simetria existe independente de, i.e. [ĤXXZ, Ŝ2 T 0,. L=2

29 Capítulo 4 Fermionização do Modelo XX A fermionização consiste em transformar um sistema bosônico em termos de operadores de férmions através de uma transformação de Jordan-Wigner [9]. Concentrar-nos-emos aqui no modelo XX, que é obtido xando = 0 na Eq. (3.7), cuja hamiltoniana é dada por: Ĥ XX = ĤXXZ ( = 0) = onde Ĥs é o termo de superfície. [ L 1 i=1 ] ( σ + i σ i+1 + ) σ i σ+ i+1 + Ĥ s, (4.1) 4.1 Transformação de Jordan-Wigner Vamos transformar os operadores de Pauli da hamiltoniana XX [Eq. 4.1] em operadores de criação e aniquilação de férmions. Para tanto iremos introduzir os operadores de férmions através de uma transformação de Jordan-Wigner. Seguindo Schultz, Mattis e Lieb [27], nós denimos: ou mais convenientemente c m = exp ( πi m 1 j=1 σ + j σ j ( m 1 c m = (c m ) = exp πi j=1 ) σ + j σ j m 1 c m = ( σj z )σm, j=1 σ m, ) σ + m, (4.2) 23

30 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 24 m = 1, 2,, L. m 1 c m = ( σj z )σ m, + (4.3) j=1 Apesar da aparentemente complicada estrutura não linear, as transformações denidas acima são bastante úteis devido a sua forma quadrática envolvendo produtos de operadores em um mesmo sítio. Este método já era conhecido no mínimo antes de 1928 [9] e foi redescoberto muito tempo depois. Tal método foi usado para trocar operadores de spin em operadores de férmions [10], que é a técnica de fermionização que empregamos neste trabalho. As duas transformações para a fermionização apresentadas aqui satisfazem as álgebras dos operadores de aniquilação e criação, c mc m = σ + mσ m, } {c j, c j } = {c j, c j = 0, } {c j, c j = δ j,j. (4.4) Já os operadores de spin (de levantamento e abaixamento) satisfazem o seguinte conjunto de regras: [σ ± m, σ ± n ] = 0, m n { } σ + m, σm = 1, (σ m ) 2 = (σ m) + 2 = 0. Assim obtemos: Tomando ϕ = 0 [Eq. superfície ca: E então a hamiltoniana ca: σ + i σ i+1 + h.c. = c i c i+1 + h.c., para i = 1, 2,, L ], i.e., usando condições de contorno periódicas o termo de σ + L σ 1 + σ 1 + σ L = ( )n +1 (c L c 1 + c 1c ) L. L 1 ( ) ( ) Ĥ XX = c i c i+1 + h.c. ( ) n +1 c L c 1 + h.c.. (4.5) i=1 Note que para sistemas com n ímpar (par) a hamiltoniana acima descreve um sistema de férmions não interagentes com condição de contorno periódica (antiperiódica), preservando a condição de contorno periódica no espaço dos spins. Por razões praticas utilizemos agora

31 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 25 a seguinte notação: L 1 ( ) Ĥ XX = c i c i+1 + c i c i+1 (e iφ c L c 1 + e iφ c 1c ) L. (4.6) i=1 Para mantermos a condição de contorno desejada devemos fazer: φ = { 0 se n impar π se n par Faremos agora uma mudança geral (transformação de Gauge):. (4.7) c j e iφj/l c j. (4.8) Os dois conjuntos, {c j } e { e iφj/l c j }, tem a mesma álgebra, i.e., o segundo conjunto satisfaz às mesmas relações de anticomutação obedecidas pelo primeiro. Note que a hamiltoniana escrita pelos operadores {c j } ou { e iφj/l c j } tem a mesma forma, ou seja é invariante frente à transformação de Gauge e portanto: Ĥ XX = L j=1 ( ) e iφ/l c j c j+1 + h.c.. (4.9) 4.2 Diagonalização: O modelo de férmions livres e o modelo XX Como vimos a hamiltoniana ĤXX pode ser reduzida a um problema de férmions livres. Encontraremos agora a solução exata, em uma dimensão, deste problema sob condições periódicas de contorno. Para diagonaliza-la usaremos uma transformada de Fourier, (trabalharemos com o espaçamento de rede unitário), denidas como: a k = L j=1 e ikj L c j a k = L j=1 e ikj L c j, (4.10) e as transformadas inversas: c j = k BZ e ikj L a k c j = k BZ e ikj L a k. (4.11)

32 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 26 Sendo BZ a primeira zona de Brillouin, denida pela condição de contorno: e ikl = 1 k = { 0, ± 2π L, ± 4π L,, ± (L 2)π L, π L par 0, ± 2π L, ± 4π L,, ± (L 1)π L L impar. (4.12) Valores de k maiores que π, ou menores que π, (e consequentemente quaisquer valores de n fora no intervalo acima) são redundantes. 1 É importante termos também as relações de anticomutação no espaço recíproco ( k), que são dadas por: } {a k, a k } = {a k, a k = 0, } {a k, a k = δ k,k. (4.13) Tais relações são facilmente provadas, e apartir delas podemos reescrever a hamiltoniana de férmions livres como: Ĥ XX = j [ ( ) e iφ/l c j c j+1 + h.c. = e ikj a k L p = e iφ/l j k = 1 e iφ/l e ij(p k) e ip a k L a p + h.c. = k,p j k ] e ik(p+1) a p + h.c. = L e iφ/l e ik a k a k + h.c. = 2 k cos (k + φ /L) a k a k. (4.14) Mudando agora nossa notação, k k + φ /L, temos os seguintes valores permitidos de k para cada tipo de sistema: k = 0, ± 2π, ± 4π,, ± (L 2)π, π L L L L par 0, ± 2π, ± 4π,, ± (L 1)π L L L L impar ± π L, ± 3π L,, ± (L 1)π L L par ± π L, ± 3π L,, ± (L 2)π L, π L impar } } n impar n par. Ou mais compactamente como: k = 2nπ + φ L com φ = { 0 π se se n impar n par, (4.15) 1 Note que e ik são equivalentes aos autovalores do operador momento, denido pela Eq. (3.11). Isso justica chamarmos o espaço formado por k de espaço dos momentos.

33 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 27 sendo o conjunto n dado por: n = { L 1, L 1 + 1,, 1, 0, 1,, L 1 1, L L, L + 1,, 1, 0, 1,, L L impar L par. (4.16) Assim podemos escrever: Ĥ XX = k ε(k)a k a k, ε(k) = 2cos(k). (4.17) Simetria do Operador Número Denimos o operador número de partículas com momento k: ˆn k = a k a k. (4.18) Seja ˆN F = ˆn k, (4.19) k BZ o operador número total de partículas da rede (soma do número de partículas com momento k sobre todos os valores permitidos de momento). Note que: ˆN F = Ŝz T + L 2 1. O operador Ŝz T + L 2 1 tem autovalores dados por n. Como mapeamos o modelo XX em um modelo fermiônico, fazemos a correspondência de um spin up (spin down) com uma partícula (buraco). Sendo assim n (n ) é equivalente ao número total de partículas, N F, (buracos, L N F ) da rede. Adequadamente a partir daqui denominaremos tal operador como operador número de férmions, que possui autovalor N F, onde: 0 N F L é a quantidade de partículas na rede de L sítios, ou ainda o número de spins up (n ) da rede. ˆN F = k BZ ˆn k = L c j c j = i=1 L σ + j σ j. [ ] Note que ˆNF, Ŝz T = 0, conrmando portanto a armação (feita no capítulo anterior) de que o número de férmions (número total de spins up na rede) é um número quântico tão i=1

34 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 28 bom quanto os autovalores do operador magnetização ˆM = Ŝz T. 4.3 Espectro do modelo XX Voltando agora à hamiltoniana (4.17), Ĥ XX = k ε(k)n k, (4.20) vemos que esta é agora diagonal na base de k e seu espectro de energia é dado por ε(k) = 2cos(k). Figura 4.1: Espectro de energia de um sistema não interagente (primeira zona de Brillouin). Gráco reproduzido da Referência [28]. O estado fundamental para N F partículas corresponde ao preenchimento de todos os estados, desde a mais baixa energia, até que os N F níveis de menores energia tenham sido preenchidos (tomando os devidos cuidados de degenerescência). O nível mais alto ocupado é o nível de Fermi, a sua energia é a energia de Fermi E F e seu vetor de onda é o vetor de onda de Fermi k F (ver Figura 4.1). No limite termodinâmico, o vetor de onda de Fermi é k F = πη, onde a quantidade η = N F L pode ser interpretada como sendo a densidade de partículas da rede. A magnetização por sítio, 1 Ŝz L j, em termos dessas densidade, é 2η Pode-se mostrar ainda que [ĤXXZ, ˆN ] F = 0. Que é facilmente vericada escrevendo os possíveis estados como autoestados de Ŝz T : ψ = n 1,..., n L, sendo n i os autoestados de σi z rotulados por n i = ou. Então: ˆN F ψ = L σ + j σ j n 1,..., n L = j=1 L n j ψ, j=1 Onde: { nj = 1 se n j = n j = 0 se n i =, impondo assim que este operador, conte o número de partículas na rede.

35 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 29 Dessa forma temos uma simetria de setores, análoga ao caso de Ŝz T, e novamente existem L + 1 setores disjuntos rotulados pelos autovalores N F (= 0, 1,, L) Solução Exata Vs. Diagonalização Numérica A seguir apresentamos os diagramas de dispersão encontrados pela solução exata (fermionização), para L = 4 e 5. Que podem ser comparados com as energias encontradas na diagonalização dos blocos da hamiltoniana original (Seção 3.1.1). L=4 Estado Fundamental: Figura 4.2: Espectro de energia, para o estados fundamental, de um sistema de quatro sítios (primeira zona de Brillouin) com condições periódicas de contorno. O símbolo ( ) representa os estados não preenchidos (preenchidos). A menor energia é dada por duas partículas com momentos k = π /4 e energia 2cos ( π /4) 2cos ( π /4) = O estado é não degenerado, e pertence ao setor de ST z = 0 (N F = L /2). Primeiro estado excitado:

36 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 30 Figura 4.3: Espectro de energia, para o primeiro estado excitado, de um sistema de quatro sítios (primeira zona de Brillouin) com condições periódicas de contorno. O símbolo ( ) representa os estados não preenchidos (preenchidos). (a) N F = 1 (ST z = 1). (b) N F = 3 (ST z = 1). Note que temos um estado excitado bidegenerado, com energias dadas por 2cos(0) = 2 ou 2cos ( π /2) 2cos ( π /2) 2cos(0) = 2. Estes pertencem aos setores de ST z = 1. L=5 O estado fundamental é degenerado: Figura 4.4: Espectro de energia, para o estados fundamental, de um sistema de cinco sítios (a) N F = 2 (S z T = 1 /2), (b) N F = 3 (S z T = 1 /2) com condições periódicas de contorno. Para cada espectro (Figura 4.4) vemos que a menor energia é Os estados excitados também são degenerados e têm energia 2:

37 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 31 Figura 4.5: Primeira zona de Brillouin do espectro de energia, para o primeiro estado excitado, de um sistema de cinco sítios com condições periódicas de contorno. (a) N F = 1 (ST z = 3 /2). (b) N F = 4 (ST z = 3 /2). Veja a Seção para uma comparação com a solução numérica. 4.4 Gap de Spin O gap de spin é a quantidade de energia necessária e suciente para destruir um singleto (inverter um spin para cima) do estado fundamental e transforma-lo em uma excitação de spin 1. É um fato bem estabelecido que a cadeia de Heisenberg de spin- 1 /2 não apresenta um gap no limite termodinâmico. Vamos então encontrar uma forma analítica (e prática) de calcular as energias do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Assim poderemos encontrar o gap de spin do modelo XX em cadeias de quaisquer comprimento, e ainda poderemos comprovar que, no limite termodinâmico, tal gap é nulo. Nesta seção, por simplicidade, vamos considerar apenas o caso em que L é par. O estado fundamental de energia é obtido preenchendo todos os níveis de energia desocupados com valor negativo de ε(k). Como ε(k) = 2cos(k), devemos ter k < π /2 (k [ π, π)). Os valores de k que satisfazem tal imposição são dados por: ou ainda: π 2 + π L, π 2 + 3π L,, π 2 π L, k = 2m + 1 L π m = L 4, L 4 + 1,, L 4 1, (4.21) note que existem L valores de m, i.e., temos N 2 F = L níveis ocupados no estado fundamental. 2 Portanto o estado fundamental não ter ordem magnética (setor ST z = 0, ou seja um singleto,

38 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 32 como conjecturado anteriormente). Note ainda que o conjunto de momentos do estado fundamental obedece a regra geral dada pela Eq. (4.21), independentemente da paridade do número de partículas deste estado. Para L = 4, 8, 12,, N F é par; enquanto que para L = 2, 6, 10, 14,, N F é impar. Isso é facilmente vericado por inspeção para pequenos valores de L. Finalmente, somando a energia de todos os níveis ocupados, a energia do estado fundamental é dada por: E 0 (L) = 2 E 0 (L) = 2 L/4 1 m= L/4 k < π 2 cos k, ( ) 2m + 1 cos L π = 2 sin ( π /L). (4.22) O primeiro estado excitado, corresponde a girar um spin a partir do estado fundamental, que no modelo fermiônico corresponde a criar ou destruir um partícula, portanto temos N F = L 2 ± 1 partículas na rede. Sendo assim a menor energia do setor Sz T = ±1 é o primeiro estado excitado do sistema (para L par). Com isso os valores permitidos de k são alterados, uma vez que para L = 4, 8, 12,, N F é agora é ímpar, enquanto que para L = 2, 6, 10, 14, N F é par. As N F partículas com as menores energias nestes setores são aquelas com momentos: S z T = 1 {}}{ π 2, π 2 + 2π L,, π 2 2π L, π }{{ 2} S z T =1. Note que k = ± π 2 pertence apenas ao setor de magnetização Sz T = 1. Por conveniência calculemos a menor energia para o setor S z T = 1, onde temos: E a energia é: k = 2m L π m = L 4, L 4 + 1,, L 4 1, L 4. E 1 (L) = 2 L/4 m= L/4 ( ) 2m cos L π 2 = tan ( π /L). (4.23) Note que E 0 (L) e E 1 (L) são exatamente as energias encontradas para os estados fundamental e primeiro excitado, para os caso exemplicados nas seções e Lembrando que: 1 sin ( π /L) = L [1 + π2 π 3!L + O ( L 2) ], 2

39 CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 33 1 tan ( π /L) = L [1 π2 π 3L + O ( L 2) ]. 2 Vemos que as energias encontradas nas Eqs. (4.22) e (4.23) no limite L 1 são: De modo que para L 1 o gap de spin é que é nulo no limite termodinâmico. 3 E 0 = 2L π π 3L. (4.24) E 1 = 2L π + 2π 3L. (4.25) E = E 1 E 0 = π L, (4.26) 3 Este era um resultado esperado, uma vez que o espectro da hamiltoniana XX [Eq. (4.15)-(4.17)] não possui descontinuidades para L.

40 Capítulo 5 Ansatz de Bethe O ansatz de Bethe [11, 12] consiste em chutar uma função de onda (fazer um ansatz ) a m de diagonalizar uma determinada hamiltoniana. A maioria dos modelos exatamente solúveis, em mecânica estatística e teoria quântica de campos, são basicamente fundamentados neste chute. No centro do ansatz de Bethe está a maneira pela qual a interação de muitos corpos é simplicada à interações de dois corpos. O ansatz de Bethe é assim entrelaçado com a teoria de integrabilidade. Nesta seção, para melhor entendimento, explicitaremos como funciona o ansatz de Bethe através do exemplo canônico da hamiltoniana anisotrópica ferromagnética de Heisenberg XXZ denida pela Eq. (3.7) [com condições de contorno torcidas, Eq. (3.8)]. 5.1 Diagonalização de Setores Pode-se abordar a diagonalização dos setores para diversos casos, conforme estudamos no Cap. 3, a cadeia de Heisenberg possui várias simetrias. Como é costumeiro, utilizaremos a simetria U(1), e ainda, veremos que considerando explicitamente apenas os casos n = 1 e n = 2 é possível construir o formalismo do ansatz de Bethe por completo. Consideramos uma rede unidimensional de comprimento M. Vamos novamente denir n como o número de spins invertidos a partir do vácuo (estado com todos os spins para baixo), i.e., o número de spins up na rede. 1 Lembrando que esta é uma boa escolha de um número quântico, devido a simetria de rotação discutida na Seção n = 0: Considere o caso em que todos os spins estão para baixo. Seja F =, o autoestado deste setor é ψ (0) = F, e da equação de autovalores, E (0) = M 2 é a solução trivial. Ĥ XXZ ψ (0) = E (0) ψ (0), 34

41 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE n = 1 Nós denimos a função de onda: ψ (1) = M a m m (5.1) m=1 onde: m = 1 2 (σx m + iσm) y F = σ m + F. Ou seja: m = é um }{{}}{{}}{{} 1 m M estado com um spin up no sítio m. Assim o ansatz aqui é que qualquer autoestado no subespaço n = 1 é superposição (combinação linear) dos estados da base m. Nosso objetivo aqui é obter os coecientes a m e as autoenergias E (1) da equação de autovalores ĤXXZ ψ (1) = E (1) ψ (1). Para tanto devemos resolver M a m Ĥ XXZ m = m=1 M E (1) a m m. (5.2) m=1 Para tal, vamos calcular ĤXXZ m, para todo m. Temos que: Ĥ XXZ 1 = 1 2 (M 4) 1 ( e i ϕ M + 2 ), (5.3) Ĥ XXZ M = 1 2 (M 4) M ( M 1 + e i ϕ 1 ), (5.4) Ĥ XXZ m = 1 (M 4) m ( m 1 + m + 1 ). (5.5) 2 De modo que a equação de autovalor [Eq. (5.2)] nos fornece: E (1) a 1 = 1 2 (M 4) a 1 ( e i ϕ a M + a 2 ), (5.6) E (1) a M = 1 2 (M 4) a M ( a M 1 + e i ϕ a 1 ), (5.7) E (1) a m = 1 2 (M 4) a m (a m 1 + a m+1 ). (5.8) Lembrando que estamos considerando condições de contorno torcidas, então denimos, a m+m = e i ϕ a m. (5.9) Deste modo as Eqs. (5.6) e (5.7) se reduzem à Eq. (5.8). Vemos então que os estados ψ (1) são solução da equação de autovalores ĤXXZ ψ (1) = E (1) ψ (1), se os coecientes a m satisfazem as equações lineares (5.8) e (5.9).

42 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 36 Note que a m = e i θm (5.10) é uma possível solução da Eq. (5.8), uma vez que: a m±1 = e i θ(m±1) = e i θm e ±i θ = a m e ±i θ. Substituindo a Eq. (5.10) na Eq. (5.8) obtemos: E (1) a m = 1 2 (M 4) a m ( a m e i θ + a m e i θ), como a m 0, pois e i θm 0 θm, devemos ter então: E (1) = 1 M + 2 ( cosθ), (5.11) 2 sendo que o momento θ é determinado pela condição de contorno [Eq. (5.9)]. 2 Para determinarmos θ, substituímos a Eq. (5.10) na Eq. (5.9): e i ϕ a m = a m+m = e i θ(m+m) = e i θm e i θm = e i θm a m e i ϕ e i θm = 1, e i (Mθ+ϕ) = 1, (5.12) logo: Mθ + ϕ = 2Iπ I = 0, 1,, M 1. (5.13) Estas são as M soluções independentes da Eq. (5.12) (conhecidas como equação do ansatz de Bethe), elas fornecem os autovalores da energia [Eq. (5.11)]. Substituindo os coecientes a m, com as condições de contorno encontradas na Eq. (5.1) obtemos também os autoestados: que já estão normalizados. ψ (1) = 1 M M m=1 ( exp i 2Iπ ϕ ) M m m, (5.14) 2 Novamente o termo momento aparece aqui em analogia com os autovalores [Eq. (3.12)] do operador momento denido pela Eq. (3.11).

43 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 37 E as autoenergias 3 são: E (1) + 1 ( )] 2Iπ ϕ [ 2 M = 2 cos. (5.15) M n = 2 As características distintas do ansatz de Bethe começam a surgir quando nós aplicamos o mesmo procedimento para o caso n = 2. Visto que, para n = 1, os coecientes a m da função de onda [Eq. (5.1)] são exatamente os autovalores do operador momento, evidenciando uma simetria translacional análoga (uma vez que aqui consideramos uma condição de contorno mais geral) à da Seção 3.2. Vamos novamente fazer o ansatz de uma função de onda como combinação linear de todos os estados do tipo m 1, m 2 = σ m + 1 σ m + 2 F = }{{} m 1. Ou seja estados }{{} m 2 que são base de) um subespaço de dimensão M(M 1) composto pelos autoestados do operados 2 spin total (Ŝz T com autovalor 2 M /2. Neste caso, a função de onda é da forma ψ (2) = 1 m 1 <m 2 M a m1,m 2 m 1, m 2, (5.16) Nossa tarefa é determinar os coecientes a m1,m 2 para todos os estados m 1, m 2. Existem dois casos para considerarmos, dependendo da localização dos spins up, (i) m 2 > m e (ii) m 2 = m Analisemos então o efeito da hamiltoniana [Eq. (3.7)] nos estados m 1, m 2 para os dois casos separadamente. (i) m 2 > m Ĥ XXZ 1, m 2 = 1 2 (M 8) 1, m 2 ( e i ϕ m 2, M + 2, m 2 + 1, m , m ), (5.17) Ĥ XXZ m 1, M = 1 2 (M 8) m 1, M ( m 1 1, M + m 1 + 1, M + m 1, M 1 + e i ϕ 1, m 1 ), (5.18) 3 Para modelo de Heisenberg XX com condições de contorno periódicas, i.e., tomando = 0 e ϕ = 0, obtemos que o espectro de energia é ε(k) = 2cos(k), com k = 2Iπ φ M e os valores de I são equivalentes aos encontrados nas Eqs. (4.16) e (4.15). E ainda devemos escolher φ = 0 pois para uma para uma cadeia com um spin up (uma única partícula na rede) o número de spins up é ímpar. De modo que E (1) ( = 0 e ϕ = 0) = ε(k).

44 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 38 Ĥ XXZ m 1, m 2 = 1 2 (M 8) m 1, m 2 ( m 1 1, m 2 + m 1 + 1, m 2 + m 1, m m 1, m ). (ii) m 2 = m (5.19) Ĥ XXZ 1, 2 = 1 2 (M 4) 1, 2 ( e i ϕ 2, M + 1, 3 ), (5.20) Ĥ XXZ M 1, M = 1 2 (M 4) M 1, M ( M 2, M + e i ϕ 1, M 1 ), (5.21) Ĥ XXZ m 1, m = 1 2 (M 8) m 1, m ( m 1 1, m m 1, m ). (5.22) Substituindo a Eq. (5.16) juntamente com as Eqs. (5.17)-(5.22) na equação de autovalores Ĥ XXZ ψ (2) = E (2) ψ (2), obtemos as seguintes equações: E (2) a 1,m2 = 1 2 (M 8) a 1,m 2 ( e i ϕ a m2,m + a 2,M + a 1,m2 1 + a 1,m2 +1), (5.23) E (2) a m1,m = 1 2 (M 8) a m 1,M ( a m1 1,M + a m1 +1,M + a m1,m 1 + e i ϕ a 1,m1 ), (5.24) E (2) a m1,m 2 = 1 2 (M 8) a m 1,m 2 (a m1 1,m 2 + a m1,m a m1 +1,m 2 + a m1,m 2 +1), (5.25) se m 2 > m E E (2) a 1,2 = 1 2 (M 4) a 1,2 ( e i ϕ a 2,M + a 1,3 ), (5.26) E (2) a M 1,M = 1 2 (M 4) a M 1,M ( a M 2,M + e i ϕ a 1,M 1 ), (5.27) E (2) a m1,m 1 +1 = 1 2 (M 8) a m 1,m 1 +1 (a m1 1,m a m1,m 1 +2), (5.28) se m 2 = m As Eqs. (5.23) e (5.24) se reduzem à Eq. (5.25). Já as Eqs. (5.26) e (5.27) se reduzem à Eq. (5.28), desde que denamos a seguinte condição de contorno: a m2,m 1 +M = e i ϕ a m1,m 2, m 1 + M > m 2. (5.29) Desse modo as relações de recorrência são sumarizadas nas Eqs. (5.25), (5.28) e (5.29). Uma vez que as Eqs. (5.25) e (5.28) foram obtidas da aplicação da hamiltoniana XXZ,

45 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 39 esperamos que a Eq. (5.25) reproduza a Eq. (5.28) quando zermos em (5.25) m 2 = m 1 + 1: E (2) a m1,m 1 +1 = 1 2 (M 8) a m 1,m 1 +1 (a m1 1,m a m1 +1,m a m1,m 1 + a m1,m 1 +2), (5.30) Subtraindo termo a termo das Eqs. (5.28) e (5.30) temos a seguinte condição equivalente: 2 a m1,m 1 +1 = a m1,m 1 + a m1 +1,m 1 +1, (5.31) ou seja, para obrigarmos que as Eqs. (5.25) e (5.28) sejam compatíveis, devemos requerer que a relação de reunião ou colisão acima [Eq. (5.31)] seja verdadeira. Note que a solução das Eqs. (5.25), (5.29) e (5.31) pode ser escrita na forma: a m1,m 2 = A 12 e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ) + A 21 e i (θ 1m 2 +θ 2 m 1 ). (5.32) Uma vez que: a m1 ±1,m 2 = e ±i θ 1 A 12 e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ) + A 21 e ±i θ 2 e i (θ 1m 2 +θ 2 m 1 ) e de modo que: a m1,m 2 ±1 = e ±i θ 2 A 12 e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ) + A 21 e ±i θ 1 e i (θ 1m 2 +θ 2 m 1 ), a m1 ±1,m 2 + a m1,m 2 ±1 = ( e ±i θ 1 + e ±i θ 2 ) a m1,m 2. E ao substituirmos esta última na Eq. (5.25) camos com: E (2) a m1,m 2 = [ 1 2 (M 8) ( e i θ 1 + e i θ 2 + e i θ 1 + e i θ 2 )] a m1,m 2. se a m1,m 2 0 E (2) = 1 2 M + 2 (2 cosθ 1 cosθ 2 ). (5.33) Que fornece a energia em termo dos dois momentos θ 1 e θ 2, que precisam ser determinados. Novamente é a condição de contorno, expressa pela equação (5.29), que denirá os possíveis valores de momentos. Utilizemos então a Eq. (5.32) na Eq. (5.29). A 12 e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ) + A 21 e i (θ 1m 2 +θ 2 m 1 ) = A 12 e i (θ 2M+ϕ) e i (θ 1m 2 +θ 2 m 1 ) + A 21 e i (θ 1M+ϕ) e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ), [ A12 A 21 e i (θ 1M+ϕ) ] e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ) + [ A 21 A 12 e i (θ 2M+ϕ) ] e i (θ 1m 1 +θ 2 m 2 ) = 0.

46 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 40 Se zermos simultaneamente cada termo entre colchetes (na última equação) igual a zero, a igualdade é satisfeita. Isto implica que: A 12 = A 21 e i (θ 1M+ϕ) e i (θ 1M+ϕ) = A 12 A 21 A 21 = A 12 e i (θ 2M+ϕ) e i (θ 2M+ϕ) = A 21 A 12. (5.34) Voltemos então a atenção a equação de reunião [Eq. (5.31)], dela e da Eq. (5.32) seguem as equações para A 12 A 21. Note que: a m1,m 1 = (A 12 + A 21 ) e i (θ 1+θ 2 )m 1, e a m1 +1,m 1 +1 = a m1,m 1 e i (θ 1+θ 2 ). Substituindo na Eq. (5.31) obtemos: 2 a m1,m 1 +1 = a m1,m 1 ( 1 + e i (θ 1 +θ 2 ) ), ou ainda 2 a m1,m 1 +1 = (A 12 + A 21 ) ( 1 + e i (θ 1+θ 2 ) ) e i (θ 1+θ 2 )m 1. (5.35) Usando o fato que: na Eq. (5.35) camos com a m1,m 1 +1 = ( A 12 e i θ 2 + A 21 e i θ 1 ) e i (θ 1+θ 2 )m 1, 2 ( A 12 e i θ 2 + A 21 e i θ 1 ) = (A 12 + A 21 ) ( 1 + e i (θ 1+θ 2 ) ). De modo que a equação de compatibilidade [Eq. coecientes é dada por: (5.31)] impõe que a razão dos dois A 12 A 21 = 1 2 ei θ1 + e i (θ1+θ2) 1 2 e i θ 2 + e i (θ 1 +θ 2 ). (5.36) Seguindo Yang e Yang [12] denimos A 12 A 21 = e i Θ(θ 1,θ 2 ), onde Θ(θ 1, θ 2 ) é chamado de fase de espalhamento de duas partículas. Dessa forma devemos ter: 1 2 e i θ 1 + e i (θ 1+θ 2 ) 1 2 e i θ 2 + e i (θ 1 +θ 2 ) = e i Θ(θ 1,θ 2 ), (5.37)

47 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 41 onde a fase de espalhamento é dada por 4 : [ Θ(θ 1, θ 2 ) = 2 tan 1 sin ( ) ] θ 1 θ 2 2 cos ( ) ( θ 1 +θ 2 2 cos θ1 ) θ 2. (5.38) 2 Agora podemos reescrever a Eq. (5.34) como: A 12 A 21 = e i (θ1m+ϕ) = e i Θ(θ 1,θ 2 ) A 12 A 21 = e i (θ2m+ϕ) = e, i Θ(θ 1,θ 2 ) e i [θ 1M+ϕ+Θ(θ 1,θ 2 )] = 1 e i [θ 2M+ϕ Θ(θ 1,θ 2 )] = 1, lembrando que 1 = e ±(2n 1)π, com n = 0,, M 1. E tomando o logaritmo de ambos os lados obtemos: θ 1 M + ϕ + Θ(θ 1, θ 2 ) = (2n 1)π θ 2 M + ϕ + Θ(θ 2, θ 1 ) = (2n 1)π, onde usamos o fato que Θ(θ 2, θ 1 ) = Θ(θ 1, θ 2 ). 5 Assim: onde I 1 e I 2 ( I 1 ) pertencem ao conjunto: θ 1 M + ϕ = 2πI 1 Θ(θ 1, θ 2 ) θ 2 M + ϕ = 2πI 2 Θ(θ 2, θ 1 ), (5.39) { ± 1 2, ±3 2,, ±M 1 }. (5.40) 2 4 Fazendo a = 2 e i θ1 +e i (θ1+θ2) e b = 2 e i θ2 +e i (θ1+θ2) na Eq. (5.37) e tomando o logaritmo natural, temos: ( Usando o fato que ln 1+z 1 z ln ( ) ( ) 1 + a 1 + a b 2+a+b = i Θ(θ 1, θ 2 ) = ln 1 + b 1 a b, 2+a+b ) = 2i arctan(i z), obtemos [ i ( ) ] e i θ2 e i θ1 Θ(θ 1, θ 2 ) = 2 arctan. 1 + e i (θ1+θ2) (e i θ1 + e i θ2 ) Θ(θ 1, θ 2 ) = 2 tan 1 [ 5 Uma vez que: tan 1 ( x) = tan 1 (x). cos ( θ 1+θ 2 2 sin ( θ 1 θ 2 ) 2 ) cos ( θ1 θ 2 2 ) ].

48 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE n Geral Consideremos agora um número irrestrito (arbitrário) de spins up igual a n. Sejam m 1, m 2, e m n (ordenados em ordem crescente) os sítios em que temos spins para cima (1 m i M). Generalizando as Eqs. (5.1) e (5.16) escrevemos a função de onda como uma expansão dos autoestados de Ŝz T na forma: ψ (n ) = a m1,,m n m 1,, m n, (5.41) 1 m 1 < <m n M onde m 1,, m n = σ + m 1 σ + n F. Note que o subespaço tem dimensão M! /(M n )!n!. A generalização das Eqs. (5.10) e (5.32) para os coecientes da função de onda [Eq. (5.41)] em termo dos n momentos θ j é: a m1,,m n = A P1,P 2,,P n e i θp1 m1 e i θp2 m2 e i θpn m n, (5.42) P S n onde a soma P S n é sobre todas as permutações do conjunto { } P 1, P 2,, P n. As Eqs. (5.41) e (5.42) são o ansatz para o caso geral. Para n = 2, por exemplo, as duas (2!) permutações são a identidade (1, 2) - {P 1, P 2 } - e a transposição (2, 1) - {P 2, P 1 } - que produzem os dois termos de (5.32). Para n = 3 os coecientes são: A 123, A 132, A 213, A 231, A 312 e A 321. E ainda a m1,m 2,m 3 = A 123 e i(θ 1m 1 +θ 2 m 2 +θ 3 m 3 ) + A 132 e i(θ 1m 1 +θ 3 m 2 +θ 2 m 3 ) +A 213 e i(θ 2m 1 +θ 1 m 2 +θ 3 m 3 ) +A 231 e i(θ 2m 1 +θ 3 m 2 +θ 1 m 3 ) +A 312 e i(θ 3m 1 +θ 1 m 2 +θ 2 m 3 ) + A 321 e i(θ 3m 1 +θ 2 m 2 +θ 1 m 3 ). Ou ainda, a hipótese de Bethe diz que existem n números inteiros reais (distintos entre si) θ 1,, θ n tais que os coecientes da superposição da função de onda ψ (n ) são uma soma de n! termos, cada um na forma exponencial: (constante) exp (θ 1 m 1 + θ 2 m 2 + ), (5.43) onde { P 1, P 2,, P n } é uma permutação de{1,, n }. Estas constantes ou amplitudes [denidas na Eq. (5.42)] devem obedecer a generalização das condições de contorno (ou de extremos) [Eqs. (5.9) e (5.29)], ou seja, devemos ter: a m2,,m n,m 1 +M = e iϕ a m1,,m n, (5.44)

49 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 43 e os autovalores, da equação ĤXXZ ψ (n ) = E (n ) ψ (n ) são dados por: E (n ) = 1 n 2 M + 2 ( cos θ j ), (5.45) que é uma generalização das Eqs. (5.11) e (5.33). Sendo estas duas últimas facilmente obtidas da Eq. (5.45) fazendo n = 1 e n = 2, respectivamente. E os momentos θ j devem satisfazer ao seguinte conjunto de n equações não lineares: n j=1 θ j M + ϕ = 2πI j Θ(θ j, θ k ) j = 1,, n. (5.46) k=1 Onde a fase de espalhamento de duas partículas é dada pela Eq. (5.38), aqui repetida: Θ(θ j, θ k ) = 2 tan 1 cos ( θj +θ k 2 ( ) θj θ sin k 2 ) cos ( θj θ k 2 ), (5.47) como uma generalização para quaisquer θ j e θ k. Note que novamente temos a condição Θ(θ j, θ k ) Θ(θ k, θ j ), e imediatamente desta (se 0), segue que Θ(θ j, θ j ) 0. Os I j da Eq. (5.46) são denidos como { ± 1, ± 3,, ± } M { ( 0, ±1,, ± M 1), M 2 2 sendo todos eles necessariamente distintos. } para n par para n impar, (5.48) Seguindo a analogia ao operador de translação ou o momento [Eq. (3.11)], podemos ainda denir o momento total do estado como: n T = θ j = 2π M j=1 n I j. 5.2 Equações de Bethe no Limite Isotrópico j=1 Utilizando a notação e i θ j = µ j, a Eq. (5.36) ca: { µ M 1 = 1+µ 1µ 2 2 µ 1 1+µ 1 µ 2 2 µ 2 µ M 2 = 1+µ 1µ 2 2 µ 2. (5.49) 1+µ 1 µ 2 2 µ 1

50 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 44 Fazendo então parametrização: µ j = λ j i /2, (5.50) λ j + i /2 onde i é a unidade imaginária, i.e., i = 1. Note que determinando os λ j, e por sua vez µ j através da parametrização [Eq. (5.50)], podemos determinar uma expressão para as energias totalmente equivalente à Eq. (5.33), que tem seus parâmetros, θ j, determinados a partir do conjunto I j [Eq. (5.40)] junto com a fase Θ(θ j, θ k ) e com o as Eqs. (5.39). Nesta notação podemos escrever a energia, a partir da [Eq. (5.33)], como: E = 1 2 M + 4 ei θ 1 e i θ 1 e i θ 2 e i θ 2 E = 1 2 M j=1 ( ) 1 + µ j µ j (5.51) Rescrevemos as equações (5.49) no limite 1, onde a parametrização é µ j = λ j i/2 λ j +i/2. De modo que temos: { 1 + µ1 µ 2 2µ 1 = (λ 2 λ 1 ) i 1 (λ 1 +i/2)(λ 2 +i/2) 1 + µ 1 µ 2 2µ 2 = (λ 1 λ 2 ) i 1 (λ 1 +i/2)(λ 2 +i/2), e portanto: { µ M 1 = λ 1 λ 2 i λ 1 λ 2 +i µ M 2 = λ 2 λ 1 i λ 2 λ 1 +i, mas da Eq. (5.50) (parametrização) segue imediatamente que µ M 1 = ( λ2 i/2 M. λ 2 +i/2) Portanto devemos ter ( λ1 i/2 λ 1 +i/2 ) M e µ M 2 = ( λ1 i /2 λ 1 + i /2 ) M = λ 1 λ 2 i λ 1 λ 2 + i e ( λ2 i /2 λ 2 + i /2 Que podem ser reescrita em uma única expressão como: ( ) λj i M /2 = λ j + i /2 2 l=1 ) M = λ 2 λ 1 i λ 2 λ 1 + i. λ j λ l i λ j λ l + i. (5.52) Que é mais uma forma das equações de Bethe para o limite isotrópico ferromagnético ( = 1), totalmente equivalentes ao conjunto de equações, para anisotropia geral [Eq. (5.39)]. Resolvendo estas equações acopladas determina-se um conjunto {λ j }, ou equivalentemente

51 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 45 {µ j }, e desta forma obtém-se as energias através da Eq. (5.51), como fazemos a seguir: E = 1 2 M j=1 utilizando a parametrização [Eq. (5.50)] é fácil ver que: ( ) 1 + µ j = 1 2 ( ) 1 µ j 2 M + µ j 2, µ j=1 j E = M ( ) 1 j=1 λ 2 j + 1 /4, 1. (5.53) Semelhantemente, para o caso 1 obtemos as seguintes equações de Bethe: E as energias são dadas por: ( ) λj + i M /2 2 = ( ) M λ j λ l + i λ j i /2 λ j λ l i. (5.54) l=1 E = M 2 2 ( ) 1 j=1 λ 2 j + 1 /4, 1. (5.55) 5.3 Considerações Finais Todos os autovalores da cadeia de spin Heisenberg podem ser obtidos em termos da solução do ansatz de Bethe. Entretanto apesar das funções de onda serem obtidas de modo exato, em termo das raízes de Bethe, a solução das equações de Bethe, mesmo numericamente, é uma tarefa não trivial. Vimos ainda que o mecanismo básico que difere este método e o da fermionização surge a partir de n = 2, com as condições de compatibilidade [Eq. (5.31)] (a equação de reunião ou colisão), que podem ser manobradas em termos de interações de dois corpos. O ansatz de Bethe tem sido bastante aplicado para um grande número de modelos de spins mais gerais, em sistemas discretos, como aqui, ou em um contínuo. Os fundamentos básicos do ansatz, para aplica-lo em um dado modelo, continuam os mesmos. Historicamente, o próximo modelo a ser resolvido exatamente, em termos do ansatz de Bethe foi o modelo unidimensional de N bóson interagentes em uma linha de comprimento L denido pela hamiltoniana [34, 35]: N Ĥ b = i=1 2 x 2 i + 2c δ(x i x j ), 1 i<j N onde c é uma medida da intensidade da interação entre os bósons. Para este modelo o ansatz

52 CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 46 de Bethe ("chute") das funções de onda é o mesmo aqui estudado [Eqs. (5.41) e (5.42)]. As equações de Bethe são dadas por [34]: e ik jl = N l=1 e os autovalores de energia são [34]: reais. k j k l + ic, para j = 1,, N k j k l ic E = N kj 2. j=1 Para interação repulsiva (c > 0), é possível ainda provar que todas as raízes de Bethe são Note que ansatz abordado neste trabalho arma que as autofunções da hamiltoniana são dadas em termos de uma soma de permutações de ondas planas. A m de estudar sistemas mais complexos, algumas formulações adicionais ao ansatz de Bethe que utilizamos neste trabalho são propostas. O ansatz de Bethe algébrico, por exemplo, foi desenvolvido para o tratamento sistemático de modelos de spin maiores. E recentemente foi introduzido um novo tipo de ansatz, alternativamente Alcaraz e Lazo escrevem a função de onda como um produto de estados de matrizes, chamado ansatz de produto de matriz [36], onde as amplitudes são dadas em termos do traço deste produto de matrizes. Não obstante, a formulação do ansatz de Bethe, até o momento, ainda não foi estendida para sistemas em dimensões maiores. 6 6 Para uma revisão histórica das soluções de Bethe para modelos da mecânica quântica veja as Referências [37, 38]

53 Capítulo 6 Modelo Integrável na Geometria de Escada A interação J ijsi S j, introduzida no Capítulo 3, é essencial para explicar vários tipos de ordens magnéticas. Muitos modelos microscópicos incorporam este termo, tais como o Modelo de Heisenberg e o Modelo de Hubbard 1 [29, 30]. Infelizmente, em geral, a solução exata destes modelos é possível, apenas, em uma dimensão. Motivados pela falta de estudos de modelos exatamente solúveis em duas dimensões, pretendemos encontrar a solução exata de um modelo de spin na geometria de escada. As escadas de N-pernas consistem de N cadeias paralelas de íons de comprimento L acopladas por algum parâmetro (como por exemplo, o termo de troca). Existem, ou podem ser criados em laboratórios, diversos compostos com a estrutura de uma escada 2. Isto tem despertado grande interesse recentemente, tanto do ponto de vista teórico quanto experimental, devido a sua conexão com o fenômeno da supercondutividade. É bem sabido que as escadas de Heisenberg de spin- 1 /2 compostas de um número par de pernas possuem gap de spin nito (não nulo). Tal fato foi primeiramente evidenciado através de cálculos numéricos [31], e depois vericado experimentalmente [1]. Já as escadas com um número impar de pernas têm um comportamento bem diferente, possuindo um gap de spin nulo [1]. No Capítulo 4 encontramos analiticamente as energia para uma cadeia anisotrópica de Heisenberg de spin- 1 /2 (modelo XX) e mostramos explicitamente, na Seção 4.4, que no limite termodinâmico esta escada de uma perna não possuem gap de spin. Neste trabalho consideramos a seguinte hamiltoniana denida em uma geometria de es- 1 O Modelo de Hubbard foi proposto originalmente em 1963, para descrever os elétrons em sólidos. 2 Exemplo de compostos que têm estrutura de escada: os óxidos de cobre: SrCu 2 O 3 (duas pernas) [32] e Sr 2 Cu 3 O 5 (três pernas); alguns orgânicos como: CaV 2 O 5, KCuCl 3 e (VO) 2 P 2 O 7 [33]; e muitos outros podem ser encontrados na Referência [1]. 47

54 CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 48 cada de 2-pernas (Ver Figura 6.1 para a representação física do sistema que esta hamiltoniana dene): Ĥ leg = L α=x,y λ=1 i=1 ( J λ σλ,iσ α λ+1,i+λ 1 α + J ) 3 2 σα λ,iσλ+1,i+λ 1σ z λ,i+1 α, (6.1) sendo J j (j = 1, 2, 3) os termos de troca anisotrópica. E σλ,i α (α = x, y, z) são as matrizes de Pauli na perna λ = 1, 2 e degrau i. Figura 6.1: Representação de uma escada de spin com 2 pernas e L degraus, onde as constantes de acoplamento são mostradas: J 1 ao longo dos degraus, J 2 ao longo das diagonais e J 3 ao longo das cadeias (das pernas). Seguindo os procedimentos do Capítulo 4 podemos escrever a hamiltoniana [Eq. (6.1)] em termos dos operadores de aniquilação e criação: Ĥ leg = J 1 L i=1 ( σ + 1,i σ 2,i + h.c.) + J 2 L i=1 ( σ + 2,i σ 1,i+1 + h.c.) + + J 3 2 L i=1 [( σ + 1,i σz 2,iσ 1,i+1 + h.c.) + ( σ + 2,i σz 1,i+1σ 2,i+1)]. (6.2) Nós investigamos este modelo sob condições periódicas de contorno. Utilizando a transformada de Jordan-Wigner padrão, denida pela Eq. (4.3), nós mapeamos o modelo acima no seguinte modelo fermiônico: Ĥ leg = J 1 2L 1 i=1,3, ( ) 2L c i c i+1 + h.c. + J 2 i=2,4, ( ) c i c i+1 + h.c. J 3 2 2L i=1 ( ) c i c i+2 + h.c., (6.3) i.e., escrevemos a hamiltoniana deste modelo em termos de operadores de aniquilação e criação. Note que esta hamiltoniana representa um sistema de partículas livres com interação de primeiros e segundos vizinhos (veja Figura 6.2). E que a interação de primeiros vizinhos é

55 CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 49 alternada, ou seja, é constituída de um dímero. 3 Note que a condição de contorno, na formulação de operadores puramente fermiônicos, não é, em geral, periódica. Dependendo da paridade do número de férmions, há o acréscimo de uma fase. Figura 6.2: Representação de um sistema não interagente com 2L sítios, onde as constantes de acoplamento são mostradas: J 1,2 entre os primeiros vizinhos (acoplamento dimerizado) e J 3/2 entre os segundos vizinhos mais próximos. sendo Vale salientar que temos conservação da magnetização total neste sistema, i.e., ] [Ĥleg, Ŝz T 0, Ŝ z T = λ=1 L i=1 σ z λ,i. A invariância por translação deve ser expressa para esse sistema como [Ĥleg, ˆT ] 2 0, 4 ou seja, essa simetria deve ser explorada transladando dois sítios, devido a alternância dos acoplamentos entre os vizinhos mais próximos. 6.1 Diagonalização: Espectro de Energia, Gap e Diagrama de Fase Fomos capazes de obter analiticamente o espectro de energia deste sistema. Utilizando transformadas de Fourier denidas como nas Eqs. (4.10) e (4.11), a hamiltoniana (no espaço dos 3 Aqui, o emprego do termo interação, não signica uma interação efetiva entre os férmions da rede, pois a hamiltoniana da Eq. (6.3) representa um sistema de férmions livres. Na verdade, o termo J j c i c i+n descreve o processo de salto, em que um elétron, por exemplo, pode mover apartir do sítio i para o sítio i + n, com uma amplitude J j preservando sua projeção de spin. 4 Note que J 1 = J 2 [Ĥleg, ˆT ] = 0, ou seja, para um sistema não dimerizado, há invariânvia por translação de um único sítio.

56 CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 50 momentos) é: Ĥ leg = k BZ ( J1 + J 2 e i k) a k b k + ( J 1 + J 2 e i k) ( ) b k a k 2J 3 cosk a k a k + b k b k, (6.4) sendo BZ a primeira zona de Brillouin, que é dada pelas Eqs. (4.15) e (4.16). 5 Esta hamiltoniana é facilmente diagonalizada através de uma transformação unitária, sendo suas autoenergias dadas por: ε(k) = ε ± (k) = J 3 cosk ± J J J 1 J 2 cosk. (6.5) O perl típico dos espectros de energia é apresentado na Figura 6.3. Note que há duas classes bastante distintas de espectros, um com gap direto (a) e outro com gap indireto (b). Figura 6.3: Diagramas de dispersão típicos da hamiltoniana de duas duas pernas [Eq. (6.4)]. Nós determinamos, também, o diagrama de fase do modelo à temperatura nula, no limite termodinâmico. Encontramos duas regiões distintas: uma região onde as excitações são nulas, e uma outra o gap é não nulo e depende do valores de {J j }. Estas regiões são apresentadas na Figura 6.4. Note que, se as bandas estão sobrepostas (na Figura 6.3) o gap é, trivialmente, nulo no limite termodinâmico (L 1). d Analiticamente esse gap foi calculado analisando a concavidade, dk ε± (k), dos dois ramos do espectro, bem como sua extremidades, ε ± (π) = ε ± ( π). Assim este gap é dado por = ε + (±π) ε (±π) para espectros com o perl da Figura 6.3(a) e calculando = ε + (0) ε (±π) para espectros com as características da Figura 6.3(b). A comparação numérica foi feita, no limite termodinâmico, preenchendo todos os níveis desocupados da banda inferior, 5 Note que k = ilnλ, sendo Λ os autovetores de ˆT 2, sobre uma rede unidimensional com 2L sítios, análogo ao encontrado para o modelo de Heisenberg.

57 CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 51 energia do estado fundamental. E para o estado excitado, a última partícula colocada na banda de baixo (i.e. a partícula com o maior valor de ε ) é então movida para a banda superior (ocupando o menor valor de ε + ). Figura 6.4.: Diagramas de fase do modelo para baixas energias (T = 0) e grandes cadeias. Note a simetria na troca dos acoplametos J 1 J 2. A fase em azul claro possui gap dado por = 2 J 1 J 2 e corresponde ao gap direto [Diagramas semelhantes ao da Figura 6.3(a)]. Enquanto que as duas fases simétricas em azul mais escuro tem gap = J 1 +J 2 + J 1 J 2 2J 3, e são provenientes de espectros com gap indireto [Diagramas análogos ao da Figura 6.3(b)]. A m de comparar as autoenergias nós zemos uma diagonalização exata da hamiltoniana. A simetria U(1) permitiu a decomposição do espaço de Hilbert associado, em setores da projeção da magnetização total, ST z. Nós comparamos nossa solução exata para cadeias no intervalo de 2 L 7, (de quatro a catorze sítios), e para diversos valores particulares de {J j } resultando total equivalência com os resultados numéricos Casos Particulares A hamiltoniana denida pela Eq. (6.1) possui diversos casos particulares, que possuem soluções exatas bem conhecidas na literatura. J 3 0 e J 1 = J 2, nós obtemos a cadeia anisotrópica XX de comprimento 2L. Neste caso temos que o gap de spin obedece uma lei de potência e é nulo no limite termodinâmico, conforme as Eqs. (4.22), (4.23) e (4.26). J 3 0 e J 1 J 2, temos 0, como esperado. E ainda o gap é dado por 2 J 1 J 2, em acordo com a previsão do nosso modelo. J 3 1, nós temos duas cadeias XX desacopladas, cada uma com tamanho L, onde novamente temos gap nulo.