2.5 Formas normais. 62 c 2006 Newton José Vieira Lógica aplicada à computação/solulções

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1 62 c 2006 Newton José Vieira Lógica aplicada à computação/solulções senãose Ψ contém fórmula que não é literal nem nem então γ := escolhanl(ψ); { escolhe não literal } Ψ := Ψ {γ}; : regra := (verp,, ) : regra := (faln., ) α: LS := LS {Ψ {α}}; regra := (negn,id(ψ {α}), ) α β: LS := LS {Ψ {α},ψ {β}}; regra := (conjp,id(ψ {α}),id(ψ {β})) (α β): LS {Ψ { α, β}}; regra := (conjn,id(ψ { α, β}), ) α β: LS {Ψ {α,β}}; regra := (disjp,id(ψ {α,β}), ) (α β): LS := LS {Ψ { α},ψ { β}}; regra := (disjn,id(ψ { α}),id(ψ {β})) α β: LS {Ψ { α,β}}; regra := (condp,id(ψ { α,β}), ) (α β): LS := LS {Ψ {α},ψ { β}}; regra := (condn,id(ψ {α}),id(ψ { β})) α β: LS := LS {Ψ { α,β},ψ {α, β}}; regra := (bicp,id(ψ { α,β}),id(ψ {α, β})) (α β): LS := LS {Ψ {α,β},ψ { α, β}}; regra := (bicn,id(ψ {α,β}),id(ψ { α, β})) senão { Ψ só contém literais e/ou s e/ou s e não é axioma} retorne vazia fimse; D := D+sequência(Ψ,regra); até LS = ; retorne D fim taut A variável D, inicializada com vazia, vai sendo atualizada colocando-se a próxima sequência da derivação. O pseudocomando D := D + sequência(ψ, regra) adiciona a sequência Ψ e a anotação da regra utilizada (regra). Já id(ψ) é um identificador único associado a cada Ψ gerado pelo algoritmo. 2.5 Formas normais 1. a) FNC para ((p q) p) ( p q): 1. ((p q) p) ( p q) 2. ((p p) (q p)) ( p q) (d1) 3. ( (q p)) ( p q) (e1) 4. (q p) ( p q) (c3) 5. (e2) Regras extra: (e1) α α, (e2) α α. b) FNC para (p q) ( p r): 1. (p q) ( p r) 2. ( p q) ( p r) (a1) 3. ( p q) ( p r) (b3) 4. (p q) ( p r) (b1) 5. (p ( p r)) ( q ( p r)) (d1) 6. (p p) (p r) ( q ( p r)) (d1) 7. T (p r) ( q ( p r)) (e1) 8. (p r) ( q ( p r)) (c3) 9. (p r) ( q p) ( q r) (d1)

2 Newton José Vieira Capítulo 2: Lógica proposicional 63 c) FNC para ( (q r) p) ( p q): 1. ( (q r) p) ( p q) 2. (q r) p ( p q) (a1) 3. q r p ( p q) (b1) 4. q r p p (a1) 5. q r p (b1) d) FNC para p (q ( p r)): 1. p (q ( p r)) 2. p ((q p) (q r)) (d1) 3. ( p ((q p) (q r))) (p ((q p) (q r))) (a2.1) 4. ( p q) ( p q r) (p ((q p) (q r))) (d1) 5. ( p q) ( p q r) (p (q p) (q r)) (b2) 6. ( p q) ( p q r) (p ( q p) (q r)) (b3) 7. ( p q) ( p q r) (p ( q p) (q r)) (b1) 8. ( p q) ( p q r) (p ( q p) ( q r)) (b3) 9. ( p q) ( p q r) ((p q) p ( q r)) (d1) 10. ( p q) ( p q r) ((p q) p q) ((p q) p r) (d1) 11. ( p q) ( p q r) (p q) ((p q) p r) (d1) 12. ( p q) ( p q r) (p q) (p q r) (p r) (d1) e) FNC para ( q p) (( q p) q): 1. ( q p) (( q p) q) 2. ( q p) (( q p) q) (a1) 3. (q p) (( q p) q) (b1) 4. (q p) (( q p) q) (a1) 5. (q p) ((q p) q) (b1) 6. (q p) ( (q p) q) (a1) 7. (q p) (( q p) q) (b3) 8. (q p) ( q p) q (a1) 9. ( q p) ( q p) q (b3) 10. ( q p) ( q p) q (b1) 11. ( q p) (( q q) ( p q)) (d1) 12. (( q p) q q) (( q p) p q) (d1) 13. ( q q) (p q q) (( q p) p q) (d1) 14. ( q q) (p q q) ( q p q) (p p q) (d1) 2. a) FND para ((p q) p) ( p q):, como na questão anterior. b) FND para (p q) ( p r): 1. (p q) ( p r) 2. ( p q) ( p r) (a1)

3 64 c 2006 Newton José Vieira Lógica aplicada à computação/solulções 3. ( p q) ( p r) (b3) 4. (p q) ( p r) (b1) c) FND para ( (q r) p) ( p q): q r p, como na questão anterior. d) FND para p (q ( p r)): 1. p (q ( p r)) 2. (p (q ( p r))) ( p (q ( p r))) (a2.2) 3. (p q) (p p r) ( p (q ( p r))) (d2) 4. (p q) (p p r) ( p q) ( p r) (d2) e) FND para ( q p) (( q p) q): 1. ( q p) (( q p) q) 2. ( q p) (( q p) q) (a1) 3. (q p) (( q p) q) (b1) 4. (q p) (( q p) q) (a1) 5. (q p) ((q p) q) (b1) 6. (q p) ( (q p) q) (a1) 7. (q p) (( q p) q) (b3) 8. (q p) ( q p) q (a1) 9. ( q p) ( q p) q (b3) 10.( q p) ( q p) q (b1) 3. proc-nd satb-nd(fórmula na FNN γ): se γ = então sucesso senãose γ = então fracasso fimse; Σ = ; A := {γ}; repita γ := escolha(a); A := A γ; literal: se γ Σ então fracasso senão Σ := Σ {γ} fimse α 1... α n : A := A {α 1,...,α n } α 1... α n : A := A {escolha-nd({α 1,...,α n })} até A = ; sucesso fim satb-nd 4. O sistema formal subjacente ao algoritmo da qyestão anterior é aquele cuja linguagem é a das fórmulas na FNN e cujas regras são: Conjunção: conj : α 1... α n α 1... α n

4 Newton José Vieira Capítulo 2: Lógica proposicional 65 Disjunção: disji : α i para i = 1,...,n α 1... α n 5. proc-nd satalt2(fórmula na FNN γ): Σ := ; A := {γ}; repita γ := escolha(a); A := A {γ}; literal: se γ Σ então fracasso senão Σ := Σ {γ} fimse α 1... α n : A := A {α 1,...,α n } α 1... α n : A := A {escolha-nd({α 1,...,α n })} até A = ; sucesso fim satalt2 6. Definição recursiva de η(α), α sem ocorrências de e de : η(γ) = 1, se γ é um literal; η(α), se γ = α η(α)+η(β), se γ = α β η( α) η( β), se γ = (α β) η(α) η(β), se γ = α β η(γ) = η( α)+η( β), se γ = (α β) η( α) η(β), se γ = α β η(α)+η( β), se γ = (α β) η( α) η(β)+η(α) η( β), se γ = α β η(α) η(β)+η( α) η( β), se γ = (α β) 7. Regras para eliminação de e relativas a e : α α α α α α α α α α α α α α

5 66 c 2006 Newton José Vieira Lógica aplicada à computação/solulções 8. proc fnnc(fórmula γ) retorna uma fórmula na FNN: literal: retorne γ, : retorne, : retorne α: retorne fnnc(α) α β: α := fnnc(α); β := fnnc(β); se α = então retorne β senãose β = então retorne α senãose α = ou β = então retorne senão retorne (α β ) fimse (α β): retorne fnnc( α β) α β: α := fnnc(α); β := fnnc(β); se α = então retorne β senãose β = então retorne α senãose α = ou β = então retorne senão retorne (α β ) fimse (α β): retorne fnnc( α β) α β: retorne fnnc( α β) (α β):retorne fnnc(α β) α β: retorne fnnc(( α β) (α β)) (α β):retorne fnnc((α β) ( α β)) fim fnnc 9. proc fndb(fórmula γ) retorna uma família de conjuntos de literais: proc norm(fórmula na FNN γ) retorna uma família de conjuntos de literais: literal: retorne {{γ}} α β: retorne {X Y X norm(α) e Y norm(β)} α β: retorne norm(α) norm(β) fim norm;

6 Newton José Vieira Capítulo 2: Lógica proposicional 67 γ := fnnd(γ); : retorne {{}} : retorne {} outra: retorne norm(γ) fim fndb 2.6 O algoritmo DPLL 1. No algoritmo a seguir, iguala(η α,η α ) diz que os valores de η α e η α devem ser feitos idênticos (o mesmo literal). Para gerar as cláusulas relativas a uma fórmula γ, deve-se fazer: CC := {η γ } e, em seguida chamar cla(γ). No retorno, a variável global CC irá conter o conjunto de cláusulas. proc cla(fórmula γ): literal: { nada a fazer } α: iguala(η α,η α); cla(α) α β: CC := CC { η α β η α, η α β η β }; cla(α); cla(β) (α β): CC := CC { η (α β) η α η β }; cla( α); cla( β) α β: CC := CC { η α β η α η β }; cla(α); cla(β) (α β): CC := CC { η (α β) η α, η (α β) η β }; cla( α); cla( β) α β: CC := CC { η α β η α η β }; cla( α); cla(β) (α β):cc := CC { η (α β) η α, η (α β) η β }; cla(α); cla( β) α β: CC := CC { η α β η α η β, η α β η α η β }; cla(α); cla( α); cla(β); cla( β) (α β):cc := CC { η (α β) η α η β, η (α β) η α η β }; cla(α); cla( α); cla(β); cla( β) ; retorne fim cla 2. Seja i uma interpretação acessível globalmente por propague, inicializada antes da chamada a DPLL com vazio. Colocar logo no início do comando enquanto de propague: se l é positivo então i(l) := V senão i(l) := F fimse; 3. Após a chamada a propague:

7 68 c 2006 Newton José Vieira Lógica aplicada à computação/solulções para cada literal l em α faça se l não ocorre em α então elimine de α toda cláusula em que l ocorre fimse; fimpara; se α = {} então α := fimse 4. Uma heurística: do conjunto das menores cláusulas de α (elas têm menor grau de indecisão com relação ao literal a satisfazer, relativamente a cláusulas maiores), escolher o literal que ocorre em mais cláusulas (de forma a satisfazer o maior número delas). 2.7 Consequência lógica 1. a) v i (( α α) α) = V ssev i ( α α) = F ou v i (α) = V sse[v i ( α) = V e v i (α) = F] ou v i (α) = V ssev i (α) = F ou v i (α) = V. Logo, v i (( α α) α) = V para qualquer i. Portanto, {} = ( α α) α para toda α F. b) Suponha que v i ( p) = V. Segue-se que i(p) = F e, assim, v i (p q) = V. Portanto, { p} = p q. c) Suponha que v i (p ( q)) = V. Então v i (p) = F ou v i ( q) = V. Caso 1: v i (p) = F. Neste caso, claramente v i (p q) = V. Caso 2: v i ( q) = V. Neste caso, v i (q) = V e, portanto, v i (p q) = V. Logo, se v i (p ( q)) = V, então v i (p q) = V, ou seja, {p ( q)} = p q. d) Suponha que v i (p q) = V e v i (q) = V. Desta última segue-se que v i ( q) = F. Desta e da primeira segue-se que v i (p) = F e, portanto, v i ( p) = V. Conclui-se que se v i (p q) = V e v i (q) = V, então v i ( p) = V e, assim, {p q,q} = p e) Suponha que v i (p q) = V, v i (p) = V e v i (q) = V. Das duas últimas segue-sequev i (p q) = F, contradizendoaprimeira. Comonãoépossível ter-se v i (p q) = V, v i (p) = V e v i (q) = V, conclui-se, por vacuidade, que {p q,p,q} = r. 2. a) São logicamente equivalentes: b) Tem-se: (p r) (q r) ( p r) ( q r) ( p q) r (p q) r (p q) r

8 Newton José Vieira Capítulo 2: Lógica proposicional 69 v i [(p q) (r s)] = F se e somente se v i (p) = v i (q) = V e v i (r) = v i (s) = F, mas para estes últimos v i [(p r) (q s)] = F. Logo, (p r) (q s) = (p q) (r s). Para v i (p) = v i (q) = V e v i (r) = F e v i (s) = V, v i [(p q) (r s)] = V e v i [(p r) (q s)] = F. Logo, (p q) (r s) = (p r) (q s). c) Tem-se: Para v i (p) = v i (r) = V e v i (q) = v i (s) = F, v i [(p r) (q s)] = V e v i [(p q) (r s)] = F. Logo, (p r) (q s) = (p q) (r s). v i [(p r) (q s)] = F se e somente se v i (p) = v i (q) = V e v i (r) = v i (s) = F, mas para estes últimos v i [(p q) (r s)] = F. Logo, (p q) (r s) = (p r) (q s). d) São logicamente equivalentes: p q ( p q) ( q p) [( p q) q] [( p q) p] ( p q) (q q) ( p p) (q p) ( p q) (q p) (p q) ( p q) 3. a) g: ganhei na megasena; r: estou rico. Argumento: {g r, g} = r. Incorreto, pois para g i = F e r i = V, segue-se que v i (g r) = v i ( g) = V e v i ( r) = F. b) c: chover; p: a roça produz; s: o pasto seca; r: o gado resiste. Argumento: { c ( p s),s r} = c r. Correto. c) a: João será absolvido; c: João será condenado; m: a testemunha mentiu. Argumento: {a c,a m, m} = c. Correto. d) p: Deus é todo-poderoso; b: Deus é extremamente bom; d: o diabo existe. Argumento: {p b d,p d} = b. Correto. e) c: você come demais; o: você fica obeso; e: você faz exercício físico todo dia; b: você fica bem condicionado; d: você adoece fom facilidade. Argumento: {c o,e b, o b d,d} = c e. Incorreto. 4. a) Suponha que H = γ e γ é uma contradição. Segue-se que não existe i tal que v i (β) = V para toda β H (já que v i (γ) = F para toda i). Com isso, por vacuidade, v i (α) = V para toda i tal que v i (β) = V para toda β H, ou seja, H = α para toda α F. b) Seja i tal que v i (β) = V para toda β H {α}. Segue-se que v i (α) = V. Logo, como i é arbitrária, H {α} = α. c) Suponha que H = α e H {α} = β. Seja uma interpretação i arbitrária. Suponha que v i (γ) = V para toda γ H. Como H = α, v i (α) = V. Logo, v i (γ) = V para toda γ H {α}. Como H {α} = β, segue-se então que v i (β) = V. Como i é arbitrária e se v i (γ) = V para toda γ H então v i (β) = V, H = α. Conclusão: se H = α e H {α} = β, então H = α.

9 70 c 2006 Newton José Vieira Lógica aplicada à computação/solulções d) Suponha que H = α. Seja uma interpretação i arbitrária e suponha que v i (γ) = V para toda γ H {β}. Segue-se que v i (γ) = V para toda γ H. ComoH = α, tem-sequev i (α) = V. Comoiéumainterpretaçãoarbitrária tal que v i (γ) = V para toda γ H {β}, conclui-se que H {β} = α. 5. Seja H = {β 1,...,β n }. Para determinar se H = α: a) Verificar se (β 1... β n ) α é tautologia, n > 0. Se n = 0, verificar se α é tautologia. b) Verificar se (β 1... β n ) α é contradição, n > 0. Se n = 0, verificar se α é contradição. c) Verificar se (β 1... β n ) α não é satisfatível, n > 0. Se n = 0, verificar se α não é satisfatível. d) Verificar se (β 1... β n ) α não é falseável, n > 0. Se n = 0, verificar se α não é falseável. 6. Seja m um modelo para H { α}. Então m é um modelo para H e v m ( α) = V, ou ainda, v m (α) = F. Assim, o modelo m é um contra-exemplo: para cada γ H, v m (γ) = V, e, no entanto, v m (α) = F. Conclusão: H = α. 7. Duas interpretações i 1 e i 2 são diferentes se, e somente se, existe ν V tal que ν i1 ν i 2. Neste caso, ν T (i 1 ) se, e somente se, ν T(i 2 ). Logo, se i 1 e i 2 são diferentes, T (i 1 ) T(i 1 ). 8. Seja T (I) = {α F v i (α) = V para toda i I}. Como T(I) F, pela Definição 18 basta mostrar que se T (I) = α então α T(I). Suponha que T(I) = α. Para mostrar que α T (I) basta mostrar que v i (α) = V para toda i I. Seja então i uma interpretação arbitrária em I. Pela definição de T, seguese que v i (β) = V para toda β T(I). Desta última e do fato de que T(I) = α, tem-se que v i (α) = V. Como i é um elemento arbitrário de I, conclui-se que v i (α) = V para toda i I e, portanto, α T(I). 9. Seja M(A) = {i : V {V,F} v i (α) = V para toda α A}. Pela definição de T, T (M(A)) = {α F v i (α) = V para toda i M(A)}. Como v i (α) = V para toda i M(A) se, e somente se, A = α, segue-se que T(M(A)) = {α F A = α} = Cn(A). 10. Sejam interpretações i 1 e i 2 e variável p tais que p i 1 = V e p i 2 = F (tal p existe se i 1 e i 2 são diferentes). Então se i 1,i 2 I, segue-se que p T (I) e p T (I). Logo T (I), para I que contenha pelo menos duas interpretações diferentes, não é completa. 2.8 Dedução Exemplos de regras de inferência e deduções 1. a) 1. p q (H)