C : R I IN 0. tal que. C(α) = 0 sempre que α I {, ɛ} C(α + β) = C(α) + C(β) + 1. C(αβ) = C(α) + C(β) + 1. C(α ) = C(α) + 1.

Transcrição

1 PROPOSIÇÃO: Para cada expressão regular α R I existe um autómato finito determinista D tal que L(α) = L D. Prova (esboço): Prova-se, por indução na complexidade das expressões regulares α R I que, para cada expressão regular α R I existe um autómato finito não determinista com movimentos ɛ, A, tal que L(α) = L A. Como, por duas proposições anteriores, para cada autómato finito não determinista com movimentos ɛ, A, existe autómato finito não determinista, A, tal que L A = L A e para cada autómato finito não determinista, A, existe um autómato finito determinista D tal que L D = L A a proposição fica assim provada. Segue-se a definição da noção de complexidade de uma expressão regular e depois a prova por indução referida. A complexidade de uma expressão regular define-se como uma aplicação tal que C : R I IN 0 C(α) = 0 sempre que α I {, ɛ} C(α + β) = C(α) + C(β) + 1 C(αβ) = C(α) + C(β) + 1 C(α ) = C(α) + 1. (i) Prova-se em primeiro lugar a base de indução: para cada expressão regular α de complexidade 0 existe um autómato finito não determinista com movimentos ɛ, A, tal que L(α) = L A. Se α = a com a I considere-se o autómato A = ({q 0, q 1 }, I, δ, q 0, {q 1 }) onde δ : {q 0, q 1 } (I {ɛ}) 2 {q 0,q 1} é tal que δ(q 0, a) = {q 1 } e δ(q, i) = nos outros casos. Facilmente se conclui que L(α) = {a} = L D. Se α = considere-se o autómato A = ({q 0, q 1 }, I, δ, q 0, {q 1 }) onde δ : {q 0, q 1 } (I {ɛ}) 2 {q 0,q 1} é a aplicação que a cada elemento do domínio atribui a imagem. Facilmente se conclui que L( ) = = L A. Se α = ɛ considere-se o autómato A = ({q 0 }, I, δ, q 0, {q 0 }) onde δ : {q 0 } (I {ɛ}) {q 0 } é a aplicação que a cada elemento do domínio atribui a imagem. Facilmente se conclui que L(ɛ) = {ɛ} = L A. 1

2 (ii) Prova-se agora o passo de indução: admitindo, por hipótese de indução, que para cada expressão regular α de complexidade menor ou igual a n (n 0) existe um autómato finito não determinista com movimentos ɛ, A α, tal que L(α ) = L Aα, mostra-se que para cada expressão regular α de complexidade n+1 existe um autómato finito não determinista com movimentos ɛ, A α, tal que L(α) = L Aα. Se α = β+γ tem complexidade n+1 então β e γ têm complexidade menor ou igual a n e portanto, pela hipótese de indução, existem autómatos finitos não deterministas com movimentos ɛ A β = (Q 1, I, δ 1, q 1 0, F 1 ) A γ = (Q 2, I, δ 2, q 2 0, F 2 ) tais que L(β) = L Aβ, L(γ) = L Aγ e, sem perda de generalidade, Q 1 Q 2 =. Considera-se o autómato finito não determinista com movimentos ɛ onde A α = (Q, I, δ, q 0, F 1 F 2 ) Q = Q 1 Q 2 {q 0 } onde q 0 / Q 1 Q 2 δ : Q (I {ɛ}) 2 Q tal que δ(q 0, ɛ) = {q 1 0, q2 0 } δ(q 0, a) = para cada a I para cada q Q 1 e a I {ɛ}, δ(q, a) = δ 1 (q, a) para cada q Q 2 e a I {ɛ}, δ(q, a) = δ 2 (q, a). Ter-se-ia de provar agora que L Aα = L(β + γ). Se α = βγ tem complexidade n+1 então β e γ têm complexidade menor ou igual a n e portanto, pela hipótese de indução existem autómatos finitos não deterministas com movimentos ɛ A β = (Q 1, I, δ 1, q 1 0, F 1 ) A γ = (Q 2, I, δ 2, q 2 0, F 2 ) tais que L(β) = L Aβ, L(γ) = L Aγ e, sem perda de generalidade, Q 1 Q 2 =. Considera-se o autómato finito não determinista com movimentos ɛ onde δ : Q (I {ɛ}) 2 Q tal que A α = (Q 1 Q 2, I, δ, q 1 0, F 2 ) δ(q, ɛ) = {q 2 0 } δ 1(q, ɛ) para cada q F 1 δ(q, a) = δ 1 (q, a) para cada a I e q F 1 para cada q Q 1 \F 1 e a I {ɛ}, δ(q, a) = δ 1 (q, a) 2

3 para cada q Q 2 e a I {ɛ}, δ(q, a) = δ 2 (q, a). Ter-se-ia de provar agora que L Aα = L(βγ). Se α = β tem complexidade n + 1 então β tem complexidade menor ou igual a n e portanto, pela hipótese de indução, existe um autómato finito não determinista com movimentos ɛ A β = (Q 1, I, δ 1, q 1 0, F 1 ) tal que L(β) = L Aβ. com movimentos ɛ onde Considera-se o autómato finito não determinista A α = (Q, I, δ, q 0, F ) Q = Q 1 {q 0 } com q 0 / Q 1 F = F 1 {q 0 } δ : Q (I {ɛ}) 2 Q tal que δ(q 0, ɛ) = {q 1 0 } δ(q 0, a) = para cada a I δ(q, ɛ) = {q 1 0 } δ 1(q, ɛ) para cada q F 1 δ(q, a) = δ 1 (q, a) para cada a I e q F 1 para cada q Q 1 \F 1 e a I {ɛ}, δ(q, a) = δ 1 (q, a). Ter-se-ia de provar agora que L Aα = L(β ). NOTA: A construção acima descrita para obter o autómato A α tal que L Aα = L(β ) a partir do autómato A β é uma construção geral, no sentido em que é uma construção que pode ser aplicada qualquer que seja o autómato finito A β. No entanto, se o autómato A β tiver certas características, a construção de A α pode ser mais simples (nomeadamente, não é necessário introduzir o novo estado q 0 ). Tem-se então a construção que se segue. Seja β uma expressão regular e A β = (Q 1, I, δ 1, q 1 0, F 1 ) um autómato finito não determinista com movimentos ɛ tal que L(β) = L Aβ e 1 q 1 0 F 1 ou {q Q 1 : existe x I {ɛ} tal que δ(q, x) = q 1 0 } =. 1 A restrição imposta é necessária para que esta construção esteja correcta. Considere-se o autómato A β = ({q 0, q 1}, {a, b}, δ, q 0, {q 1}) tal que δ(q 0, a) = {q 1} e δ(q 1, b) = {q 0}. Tem-se que L A = L(β) com β = a(ba) e não é verificada a restrição indicada. Se se considerar o autómato A α obtido a partir desta nova construção tem-se que ab L Aα (pois q 0 passa a ser um estado final) mas ab / β. 3

4 Considera-se o autómato finito não determinista com movimentos ɛ onde A α = (Q 1, I, δ, q 1 0, F 1 {q 1 0}) δ : Q 1 (I {ɛ}) 2 Q 1 tal que δ(q, ɛ) = {q 1 0 } δ 1(q, ɛ) para cada q F 1 δ(q, a) = δ 1 (q, a) para cada a I e q F 1 para cada q Q 1 \F 1 e a I {ɛ}, δ(q, a) = δ 1 (q, a). Ter-se-ia de provar agora que L Aα = L(β ). Exemplo: Pretende-se encontrar um autómato finito não determinista com movimentos ɛ cuja linguagem seja a linguagem denotada por (11) + (10). Este autómato é obtido de forma incremental da seguinte forma: A 1 1 = ({q 0, q 1 }, {0, 1}, δ 1 1, q 0, {q 1 }) onde δ 1 1 δ ɛ q 0 {q 1 } q 1 é tal que A 2 1 = ({q 2, q 3 }, {0, 1}, δ 2 1, q 2, {q 3 }) onde δ 2 1 δ ɛ q 2 {q 3 } q 3 é tal que A 11 = ({q 0, q 1, q 2, q 3 }, {0, 1}, δ 11, q 0, {q 3 }) onde δ 11 é tal que δ ɛ q 0 {q 1 } q 1 {q 2 } q 2 {q 3 } q 3 A (11) = ({q 0, q 1, q 2, q 3 }, {0, 1}, δ (11), q 0, {q 3, q 0 }) onde δ (11) é tal que δ (11) 0 1 ɛ q 0 {q 1 } q 1 {q 2 } q 2 {q 3 } q 3 {q 0 } A 3 1 = ({q 5, q 6 }, {0, 1}, δ 3 1, q 5, {q 6 }) onde δ 3 1 δ ɛ q 5 {q 6 } q 6 é tal que 4

5 A 0 = ({q 7, q 8 }, {0, 1}, δ 0, q 7, {q 8 }) onde δ 0 é tal que δ ɛ q 7 {q 8 } q 8 A 10 = ({q 5, q 6, q 7, q 8 }, {0, 1}, δ 01, q 5, {q 8 }) onde δ 10 é tal que δ ɛ q 5 {q 6 } q 6 {q 7 } q 7 {q 8 } q 8 A (10) = ({q 5, q 6, q 7, q 8, q 9, }, {0, 1}, δ (10), q 5, {q 8, q 5 }) onde δ (10) é tal que δ (10) 0 1 ɛ q 5 {q 6 } q 6 {q 7 } q 7 {q 8 } q 8 {q 5 } A (11) +(10) = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8 }, {0, 1}, δ (11) +(10), q 4, {q 0, q 3, q 5, q 8 }) onde δ (11) +(10) é tal que δ (11) +(10) 0 1 ɛ q 0 {q 1 } q 1 {q 2 } q 2 {q 3 } q 3 {q 0 } q 4 {q 0, q 5 } q 5 {q 6 } q 6 {q 7 } q 7 {q 8 } q 8 {q 5 } A partir do autómato anterior, e usando algoritmos estudados, poder-se-ia obter um autómato não determinista sem movimentos ɛ e um autómato determinista. OBSERVAÇÃO: A construção acima indicada para a obtenção de um autómato cuja linguagem gerada é L(β + γ) constitui uma demonstração alternativa para o resultado, anteriormente apresentado e provado, que estabelece que a classe das linguagens regulares é fechada para a união. Assim, dado um autómato A 1 cuja linguagem é L 1 e um autómato A 2 cuja linguagem é L 2, a construção acima indicada permite encontrar um autómato A cuja linguagem é L 1 L 2. 5

6 A construção acima indicada para a obtenção de um autómato cuja linguagem gerada é L(βγ) constitui uma demonstração para o resultado, anteriormente apresentado, que estabelece que a classe das linguagens regulares é fechada para a concatenação. Assim, dado um autómato A 1 cuja linguagem é L 1 e um autómato A 2 cuja linguagem é L 2, a construção acima indicada permite encontrar um autómato A cuja linguagem é L 1 L 2. A construção acima indicada para a obtenção de um autómato cuja linguagem gerada é L(β ) constitui uma demonstração para o resultado, anteriormente apresentado, que estabelece que a classe das linguagens regulares é fechada para o fecho de Kleene. Assim, dado um autómato A 1 cuja linguagem é L 1, a construção acima indicada permite encontrar um autómato A cuja linguagem é L 1. Exemplo: Sejam L 1 o conjunto das sequências de 0 s e 1 s que têm no mínimo dois 0s; L 2 o conjunto das sequências de 0 s e 1 s que têm no máximo um 1; L 3 o conjunto das sequências de 0 s e 1 s que contêm a sequência 010; L 4 o conjunto das sequências de 0 s e 1 s que contêm um número par de 0 s; L 5 o conjunto das sequências de 0 s e 1 s que começam em 0 e terminam em 1. Usando as técnicas aprendidas no contexto do algoritmo que permite construir um autómato finito não determinista com movimentos ɛ a partir de uma expressão regular, pretende-se encontrar autómatos finitos não deterministas com movimentos ɛ que reconheçam exactamente as seguintes linguagens 1. L 1 L 2 2. L 3 L 4 3. L 4 L 5 4. L 1 L 2 5. L 2 L 1 6. L 1 7. L 2 8. L 3 9. L 5 Os seguintes autómatos reconhecem as linguagens em causa. 6

7 A 1 = ({q 0, q 1, q 2 }, {0, 1}, δ 1, q 0, {q 2 }) onde δ 1 é tal que reconhece exactamente L 1. A 2 = ({p 0, p 1 }, {0, 1}, δ 2, p 0, {p 0, p 1 }) onde δ 2 é tal que reconhece exactamente L 2. A 3 = ({r 0, r 1, r 2, r 3 }, {0, 1}, δ 3, r 0, {r 3 }) onde δ 3 é tal que reconhece exactamente L 3. A 4 = ({s 0, s 1 }, {0, 1}, δ 4, s 0, {s 0 }) onde δ 4 é tal que reconhece exactamente L 4. A 5 = ({t 0, t 1, t 2 }, {0, 1}, δ 5, t 0, {t 2 }) onde δ 5 é tal que reconhece exactamente L 5. δ q 0 {q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 1 } q 2 {q 2 } {q 2 } δ p 0 {p 0 } {p 1 } p 1 {p 1 } δ r 0 {r 1 } {r 0 } r 1 {r 1 } {r 2 } r 2 {r 3 } {r 0 } r 3 {r 3 } {r 3 } δ s 0 {s 1 } {s 0 } s 1 {s 0 } {s 1 } δ t 0 {t 1 } t 1 {t 1 } {t 2 } t 2 {t 1 } {t 2 } L 1 L 2 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({q, q 0, q 1, q 2, p 0, p 1 }, {0, 1}, δ, q, {q 2, p 0, p 1 }) onde δ é tal que q {q 0, p 0 } q 0 {q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 1 } q 2 {q 2 } {q 2 } p 0 {p 0 } {p 1 } p 1 {p 1 } Para L 3 L 4 e L 4 L 5 faz-se uma construção idêntica. L 1 L 2 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({q 0, q 1, q 2, p 0, p 1 }, {0, 1}, δ, q 0, {p 0, p 1 }) onde δ é tal que q 0 {q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 1 } q 2 {q 2 } {q 2 } {p 0 } p 0 {p 0 } {p 1 } p 1 {p 1 } 7

8 L 2 L 1 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({q 0, q 1, q 2, p 0, p 1 }, {0, 1}, δ, p 0, {q 2 }) onde δ é tal que q 0 {q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 1 } q 2 {q 2 } {q 2 } p 0 {p 0 } {p 1 } {q 0 } p 1 {p 1 } {q 0 } Para L 3 L 4 e L 4 L 5 faz-se uma construção idêntica. L 1 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({q, q 0, q 1, q 2 }, {0, 1}, δ, q, {q, q 2 }) onde δ é tal que q {q 0 } q 0 {q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 1 } q 2 {q 2 } {q 2 } {q 0 } L 2 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({p 0, p 1 }, {0, 1}, δ, p 0, {p 0, p 1 }) onde δ é tal que p 0 {p 0 } {p 1 } {p 0 } p 1 {p 1 } {p 0 } L 3 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({q, {r 0, r 1, r 2, r 3 }, {0, 1}, δ, q, {q, r 3 }) onde δ é tal que q {r 0 } r 0 {r 1 } {r 0 } r 1 {r 1 } {r 2 } r 2 {r 3 } {r 0 } r 3 {r 3 } {r 3 } {q 0 } L 5 é reconhecida pelo autómato não determinista com movimentos ɛ A = ({t 0, t 1, t 2 }, {0, 1}, δ, t 0, {t 0, t 2 }) onde δ é tal que t 0 {t 1 } t 1 {t 1 } {t 2 } t 2 {t 1 } {t 2 } {t 0 } 8