Fundamentos da Teoria da Computação
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1 Fundamentos da Teoria da Computação Segunda Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas Sérgio Mariano Dias 1 1 Mestrando em Ciência da Computação Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais 07/05/2009 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
2 Exercício n o 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: a) {w {a, b, c} w tem pelo menos uma ocorrência de aba ou de bcb ou de cac}. aba bcb cac Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
3 Exercício n o 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: b) O conjunto das palavras de {a, b, c}, de três ou mais símbolos, em que o último símbolo seja diferente do primeiro. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
4 Exercício n o 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: c) O conjunto das palavras de {a, b, c} em que o último símbolo tenha ocorrido antes no mínimo uma vez. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
5 Exercício n o 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: d) O conjunto das palavras de {a, b, c} em que o último símbolo tenha ocorrido antes no máximo duas vezes. Estados iniciais: q7, q0, q1, q8, q3, q4, q9, q5, q6 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
6 Exercício n o 2 - Seja o AFNλ M: Construa um AFD equivalente usando o método visto em aula (subset construction). Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
7 Exercício n o 2 subset 0 1 {1} {2} {1} {2} {1,3} {} {3} {3} {4} {4} {4} {3} subset 0 1 {1,3} {2,3} {1,4} {1,4} {2,4} {1,3} {2,3} {1,3} {4} {2,4} {1,3,4} {3} {3,4} {3,4} {3,4} {4} {4} {3} {3} {3} {4} {1,3,4} {2,3,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,3,4} {3,4} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
8 Exercício n o 2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
9 Exercício n o 3 - Obtenha um AFN K com um único estado inicial, equivalente ao AFN da questão anterior, que contenha todos os estados e transições lá contidos. Em seguida, obtenha uma gramática regular para L(K ) usando o método visto em aula. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
10 Exercício n o 3 q4=a, q0=b, q1=c, q2=d, q3=e A λ 1B 0C 0D 1E B λ 1B 0C C 0B 0D D 0D 1E E λ 1D 0E Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
11 Exercício n o 4 - Seja o AFNλ M: a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula. b) A partir do AFN N, construa uma expressão regular que denote a linguagem reconhecida. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
12 Exercício n o 4 - a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula. I = fλ(a) = {A, B, C, D, E} δ (A, a) = fλ(δ(a, a)) = fλ(a) = {A, B, C, D, E} δ (B, b) = fλ(δ(b, b)) = fλ(b) = {B, D, E} δ (C, c) = fλ(δ(c, c)) = fλ(c) = {C, D, E} δ (D, d) = fλ(δ(d, d)) = fλ(d) = {D, E} δ (E, a) = fλ(δ(e, a)) = fλ(e) = {E} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
13 Exercício n o 4 - a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula. Todos os estados são iniciais I = fλ(a) = {A, B, C, D, E} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
14 Exercício n o 4 - b) - Criando novo estado inicial e final. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
15 Exercício n o 4 - b) - Removendo o estado B. P1 = λ + (b + ) P2 = a + ab + P3 = λ + (b + ) P4 = a + ab + Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
16 Exercício n o 4 - b) - Removendo o estado A. P1 = (λ + b + ) + a (a + ab + ) P2 = (a + ab + ) + a (λ + b + ) P3 = λ + a + Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
17 Exercício n o 4 - b) - Removendo o estado C. P1 = [(λ + b + ) + (a (a + ab + ))] + [(λ + a + )c + ] P2 = [(a + ab + ) + a (λ + b + )] + [(λ + a + )c + ] Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
18 Exercício n o 4 - b) - Removendo o estado D. P1 = [(λ + b + ) + (a (a + ab + ))] + [(λ + a + )c + ] P2 = {[(a + ab + ) + a (λ + b + )] + [(λ + a + )c + ]d } + {[(a + ab + ) + a (λ + b + )] + [(λ + a + )c + ]d + a } Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
19 Exercício n o 4 - b) - Removendo o estado E. P1 = [(λ + b + ) + (a (a + ab + ))] + [(λ + a + )c + ] P2 = {[(a + ab + ) + a (λ + b + )] + [(λ + a + )c + ]d } + {[(a + ab + ) + a (λ + b + )] + [(λ + a + )c + ]d + a } ER = P1a P2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
20 Exercício n o 5 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando o lema do bombeamento: Lema do bombeamento - LB Seja L uma linguagem regular. Então existe uma constante K > 0 tal que para qualquer palavra Z L com Z > K existem u, v, w que satisfazem as seguintes condições: Z = uvw; uv K ; v λ e uv i w L, i 0 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
21 Exercício n o 5 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando o lema do bombeamento: a) L = {x1 n n 0, x {0, 1} e x = n} Suponha que L seja regular. Seja k a constante a constante referida no LB, e seja Z = 0 k 1 k. Como Z > k, o lema diz que existem u, v, w de forma que as seguintes condições se verificam: Z = uvw; uv k; v λ e uv i w L, i 0. Nesse caso v só tem 0, pois Z = uvw = 0 k 1 k e uv < k e v possui pelo menos um 0 porque v λ. Isso implica que uv 2 w = 0 k+ v 1 k / L. Desta forma, a suposição é falsa. Portanto, L não é regular. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
22 Exercício n o 5 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando o lema do bombeamento: b) {10 n 1 n n 1}. Suponha que L seja regular. Seja k a constante a constante referida no LB, e seja Z = 10 k 1 k. Como Z > k, o lema diz que existem u, v, w de forma que as seguintes condições se verificam: Z = uvw; uv k; v λ e uv i w L, i 0. Z = uvw = 10 k 1 k e uv < k. caso 1: v só tem 0 uv 2 w = 10 k+ v 1 k / L caso 2: v começa com 1 (u = λ) uv 2 w / L (repete o padrão de v) Logo, pelo caso 1 e 2 L não é regular. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
23 Exercício n o 6 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando propriedades de fecho: a) X = {0 m 1 n m n}. X {0} {1} = {0 n 1 n n 0} L = {0 n 1 n n 0} não é regular 1. Pelas propriedades de fecho: se X fosse regular, X séria; sendo X regular interseção com {0} {1} é regular; L = {0 n 1 n n 0} séria regular. 1 página 105, exemplo 71 do livro texto. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
24 Exercício n o 6 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando propriedades de fecho: b) X = {w {0, 1} o número de 0s em w é par e o de 1s é primo}. X 1 = {1 n n é primo } L = {1 n n é primo } não é regular 2. Pelas propriedades de fecho: se X fosse regular, interseção com {1} é regular; L = {1 n n é primo } séria regular. 2 Página 106, exemplo 73 do livro texto. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
25 Exercício n o 7 - Sejam as linguagens L 1 = {0, 1} {1}{0, 1} e L 2 = {w {0, 1} η(w) mod 3 = 0}, sendo η(w) o número representado por w na base dois. a) Prove que L 1 L 2 é regular usando propriedades de fecho. L 1 L 2 = L 1 L 2 L1 é regular L2 é regular Fechado sobre o complemento e interseção Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
26 Exercício n o 7 - b) Construa um autômato finito para L 1 L 2. L 1 L 2 = L 1 L 2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
27 Exercício n o 7 - b) - Removendo não determinismo de L 1. subset 0 1 { 3} { 3} { 3,4} { 4} { 5} { 5} { 5} { } { } { 3,4} { 3,5} { 3,4,5} { 3,5} { 3} { 3,4 } { 3,4,5} { 3,5} { 3,4,5 } Faça o produto do novo L 1 (AFD) com L 2, mesmo procedimento aplicado no exercício 8 da lista 1. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
28 Exercício n o 8 - Seja L uma linguagem regular sobre um alfabeto Σ 1. Prove que o conjunto das palavras sobre Σ 2 (que pode ser igual ou não a Σ 1 ) que têm como sufixo alguma palavra de L é regular. ( 2 L) 2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
29 Exercício n o 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. a) {w {a, b} w {0, 1, 3}}. λ + (a + b) + [(a + b)(a + b)(a + b)] Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
30 Exercício n o 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. b) {w {a, b} w contém um, dois ou três bs}. (a ba ) + (a ba ba ) + (a ba ba ba ) Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
31 Exercício n o 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. c){w {a, b, c} o número de as mais o de bs em w é par}. λ + c + [(c ac ac ) + (c ac bc ) + (c bc ac ) + (c bc bc )] {c + [(a + b)c (a + b)]} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
32 Exercício n o 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. d){w {0, 1} w contém o símbolo N(w) mod 3 = 0}. Não pode ser ; x0 = 2n(x) 3 x1 = 2n(x) + 1 r = 2n(x)mod3 = 2r/3 r = 2n(x) + 1mod3 = (2r + 1)/3 3 pag 63 e 64 do livro texto. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
33 Exercício n o 9 - d)- Criando novo estado inicial e final. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
34 Exercício n o 9 - d)- Removendo o estado 2. P1 = 01 0 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
35 Exercício n o 9 - d)- Removendo o estado 0. P1 = (01 0) P2 = 10 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
36 Exercício n o 9 - d)- Removendo o estado 1. P1 = (01 0) P2 = 10 P3 = 0 1 ER = P3P1 P2 = 0 1[(01 0) ] 10 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
37 Exercício n o 10 - Obtenha expressões regulares que denotem as linguagens sobre {0, 1} a seguir, a partir de AFs que reconheçam as mesmas, usando o método visto em aula. Não simplifique as ERs. a) O conjunto das palavras que começam com 1, terminam com 1 e têm algum 0. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
38 Exercício n o 10 - a) O conjunto das palavras que começam com 1, terminam com 1 e têm algum 0. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
39 Exercício n o 10 - a) - Removendo o estado q0. P1 = 1 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
40 Exercício n o 10 - a) - Removendo o estado q1. P1 = 11 0 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
41 Exercício n o 10 - a) - Removendo o estado q2. P1 = P2 = P3 = 11 ER = P1P2 P3 = 1 + 0( ) 1 + Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
42 Exercício n o 10 - Obtenha expressões regulares que denotem as linguagens sobre {0, 1} a seguir, a partir de AFs que reconheçam as mesmas, usando o método visto em aula. Não simplifique as ERs. b) O conjunto das palavras que não contém a subpalavra Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
43 Exercício n o 10 - b) O conjunto das palavras que não contém a subpalavra Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
44 Exercício n o 10 - b) - Removendo o estado q3. P1 = 00 P2 = Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
45 Exercício n o 10 - b) - Removendo o estado q2. P1 = 11 P2 = P3 = λ + [1(0 + λ)] Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
46 Exercício n o 10 - b) - Removendo o estado q1. P1 = 1 + [0( )] 11 P2 = λ + [0( )] {λ + [1(0 + λ)]} ER = P1 P2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
47 Exercício n o 11 - Mostre que os seguintes problemas são decidíveis, se G 1 e G 2 são gramáticas regulares quaisquer: a)l(g 1 ) =? Seja M um AF que aceite L(G 1 ). L(G 1 ) = {} se e somente se não existe um caminho do estado inicial de M para um estado final de M. Determinar se existe um caminho em um grafo é sabidamente decidível. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
48 Exercício n o 11 - Mostre que os seguintes problemas são decidíveis, se G 1 e G 2 são gramáticas regulares quaisquer: b)l(g 1 ) L(G 2 )? L(G 1 ) L(G 2 ) L(G 1 ) L(G 2 ) = Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
49 Obrigado pela atenção e boa prova. contato: sergiomariano@gmail.com mariano@dcc.ufmg.br Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/ / 49
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