Fractais e Aulas Exploratório-Investigativas: um estudo do desenvolvimento do pensamento e linguagem algébricos na escola básica

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1 Fractais e Aulas Exploratório-Investigativas: um estudo do desenvolvimento do pensamento e linguagem algébricos na escola básica Fernando Luis Pereira Fernandes Introdução Este artigo trata de uma pesquisa em andamento. Sou aluno ingressante em 2008, no Programa de Pós-Graduação em Educação, da FE - Unicamp, linha de pesquisa em Educação Matemática, sob a orientação do Prof. Dr. Dario Fiorentini. Procurarei trazer elementos que fundamentam o estudo, resultado de revisão bibliográfica e, dentre os objetivos que permeiam o trabalho, pretendo investigar as potencialidades de desenvolver o pensamento e linguagem algébrica através de aulas exploratório-investigativas, em duas classes de 6a série do Ensino Fundamental Ciclo II de uma escola estadual paulista, nas quais sou o professor responsável. Nessas aulas, as tarefas exploratório-investigativas apresentadas aos alunos terão fractais como instrumentos importantes e potencializadores na dinâmica de investigação. Nos próximos tópicos, serão apresentados os fundamentos do projeto, os aportes teóricos, parte do estudo já realizado e a metodologia a ser implementada no trabalho de campo. As Investigações Matemáticas A Investigação Matemática, ou a utilização de tarefas investigativas nas aulas de Matemática, é mais uma perspectiva de trabalho pedagógico que o professor pode optar para a realização de produção de sentidos e de um ensino significativo da Matemática. Uma aula que promove um ambiente de investigação matemática pode ser chamada de aula investigativa. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), um ambiente de Investigação Matemática pode ser comparado àquele experienciado pelos matemáticos quando estão em processo de produção do conhecimento matemático. Esse ambiente pode ser

2 caracterizado como exploratório e de formulação de conjecturas ou hipóteses, as quais são testadas empiricamente ou racionalmente, verificando sua validade ou não. Ou seja, o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura teste-demonstração (p.10): um ambiente especial de formulação e resolução de problemas. Neste contexto, a Matemática pode ser vista como uma actividade humana (OLIVEIRA et al., 1998) permeada de valores e que traz as marcas sociais e culturais dos sujeitos que a produziram ou produzem. Em Portugal, esta alternativa didático-pedagógica vem sendo experimentada e desenvolvida e investigada de forma rica e interessante. Entretanto, no Brasil, essa forma de conceber o ensino da Matemática é ainda recente, havendo uma maior dedicação aos estudos nos últimos cinco anos. 1. Após a publicação do livro de Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) e da dissertação de Castro (2004), diversos estudos e materiais têm sido produzidos por professores e pesquisadores em Educação Matemática. investigativa. Há, segundo Castro (2003, p.70), uma distinção entre tarefa e atividade As tarefas matemáticas em que os alunos se envolvem problemas, investigações, exercícios, projetos, construções, aplicações, produções orais, relatórios, ensaios escritos, etc. proporcionam ponto de partida para o desenvolvimento de sua atividade matemática... A atividade, que pode ser física ou mental, diz respeito ao aluno. Refere-se àquilo que ele faz num dado contexto, podendo incluir a execução de numerosos tipos de ação(...). Assim, chamarei de atividade investigativa, o momento em que os alunos estão mobilizando o raciocínio e pensamento, ou até mesmo a atividades de recorte e colagem que uma tarefa investigativa exija. Essa pode ocorrer numa dinâmica em equipe ou individualmente. Em relação às tarefas matemáticas, Ponte (2003) as classifica em quatro categorias: problema, exercício, exploração e investigação. Apresentaremos um diagrama a partir do qual pretende caracterizá-las como sendo mais fechada ou mais aberta: 1 A primeira publicação sobre essa temática, no Brasil, foi lançada em setembro/2003, pela Editora Autêntica (PONTE el al., 2003). Neste livro, os autores, apresentam alguns resultados de pesquisas desenvolvidas em Portugal, destacando as vantagens e dificuldades de se trabalhar tal metodologia de ensino em Educação Matemática. Os autores discutem e analisam também os papéis desempenhados por alunos e professores quando estão em atividade investigativa em sala de aula envolvendo tarefas ou problemas abertos relativos à aritmética, estatística e geometria.

3 Fácil Exercício Exploração Fechado Problema Investigação Aberto Difícil Observe que não é tão simples fazer a distinção das quatro diferentes tarefas matemáticas. Tendo em vista a não preocupação em classificar uma tarefa como sendo investigativa ou exploratória, além de entender que as tarefas propostas possuem elementos de ambas as categorias, utilizarei a expressão de Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), para as tarefas elaboradas e desenvolvidas nessa pesquisa: as tarefas exploratório-investigativas. Esta denominação tem sido usada para se referir a situações que contemplem tanto as explorações quanto as investigações. A Álgebra, a Educação Algébrica e o Desenvolvimento do Pensamento Algébrico A álgebra pode ser concebida, segundo Usiskin (1995) em quatro diferentes concepções, conforme a importância dada aos diversos usos das variáveis 2 : a álgebra como aritmética generalizada, como instrumento de resolução de problemas, no estudo de relações entre grandezas e no estudo de estruturas. Na primeira concepção de Álgebra, a letra tem o valor de variável, em virtude da generalização. Considera-se fundamental o uso da variável nesse contexto, pois, por exemplo, na Modelagem Matemática, é imprescindível o uso da letra para a criação de um modelo, no qual a expressão algébrica torna-se necessária. A Álgebra num contexto de resolução de problemas, a letra assume o valor de incógnita. Assim, podemos dizer que o instrumento para a resolução do problema é a equação. Na equação, o objetivo é simplificar a expressão dada, a partir das operações inversas. Para Usiskin (1995), esse momento causa dificuldades para os alunos, pois o modo de resolução algébrica difere do modo de resolução aritmética, do cálculo mental. 2 Para o autor, as variáveis referem-se às letras presentes em qualquer expressão literal. (Usiskin, 1995, p. 9)

4 A terceira concepção, o estudo das relações entre grandezas, a álgebra contempla o uso de fórmulas. Nesse caso, não se busca a resolução e o encontro de um valor único (ou valores, na equação do 2º grau) como na concepção anterior, muito menos considerar como generalizador da aritmética. Essa concepção difere das demais por acrescentar o conceito de argumento, comum à noção de função. Nesse contexto, a letra assume os papéis de variáveis independente e dependente. Na ultima concepção, a álgebra como estudo das estruturas, não há a necessidade de trazer a aritmética, a noção de função ou uma equação para justificar o seu uso. A álgebra é tratada em um nível mais avançado, pelas características de corpos, grupos e anéis, por exemplo. A variável é um símbolo arbitrário. Assim, o estudo das estruturas possui como atributo o estudo das propriedades atribuídas às operações. Um exemplo é: Fatore 20x 2 y xy 3. Para realizar a fatoração, será necessário utilizar algumas propriedades e operações que independem do valor numérico atribuído à variável, muito menos a uma generalização da aritmética. Essas propriedades são características da álgebra abstrata ou da teoria da álgebra (Usiskin, 1995). Em relação à Educação Algébrica, podemos, de acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), podemos identificar três concepções de educação algébrica que, historicamente, vem exercendo maior influência no ensino de matemática elementar: lingüístico-pragmática: esta tendência predominou do final do século XVIII até a metade do século XX, antecedendo o Movimento da Matemática Moderna. Essa tendência tinha como característica ser apresentada ao alunado após o estudo de Aritmética e anterior ao da Geometria. Geralmente, a ordem apresentada dos conteúdos era a seguinte: cálculo literal, equações, problemas e desigualdades do 1º grau e do 2º grau, respectivamente. Era comum a grande quantidade de exercícios a serem resolvidos, valorizando o uso de técnicas de manipulação de expressões algébricas. fundamentalista-estrutural: essa concepção de educação algébrica teve início no período da Matemática Moderna. As suas características, em geral, são de um estudo das estruturas das operações, com a realização de justificação lógica de cada passagem. Segundo Fiorentini e Miorim (2003, p.30) acreditava-se que a justificação lógica dos fatos matemáticos garantiria não apenas a transposição desses resultados

5 para qualquer problema ou situação dentro da Matemática, como também a aplicação em qualquer outra área do conhecimento. fundamentalista-analógica: após o Movimento da Matemática Moderna, buscou-se no ensino de álgebra a significação dos conceitos algébricos e apropriação de sua linguagem, a partir da relações entre a Álgebra e a Geometria. Esperava-se que, sem o excessivo rigor e formalismo exigido pela Matemática Moderna e o resgate das técnicas de transformação algébrica pudesse colaborar numa melhor compreensão da álgebra. A relação com a geometria era justificada, por promover um apelo visual. O uso de expressões algébricas e os seus termos eram justificados pelo uso do cálculo da área de quadrados e retângulos e o volume de cubos e prismas, por exemplo. Entretanto, a questão levantada por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), em relação a essas três concepções é que elas reduzem o ensino da álgebra aos seus aspectos lingüísticos e transformação, dando mais ênfase à sintaxe da linguagem algébrica que ao pensamento algébrico e ao processo de significação. Em resumo, as três concepções tomam como princípio, o ensino de álgebra a partir do uso e da manipulação de uma linguagem constituída, priorizando o domínio de habilidades manipulativas das expressões algébricas. Fiorentini, Miorim Miguel (1993, p.33-34), visando desenvolver essa natureza interdependente da linguagem e do pensamento matemático, propõem uma quarta concepção de educação algébrica, para a qual o ensino de álgebra tem início mediante exploração de situações-problema relativamente abertas ou problematização de fatos tidos como aritméticos ou geométricos que demandem a construção de generalizações, a representação de número generalizado ou de grandezas incógnitas e variáveis. Uma segunda etapa seria fazer o percurso inverso; partindo de uma expressão algébrica, tida como pura ou simbólica, o aluno tentaria atribuir múltiplos sentidos e significados a ela. É somente depois dessa etapa que o transformismo algébrico - ou cálculo algébrico, usando a referência do currículo tradicional - ganharia certo destaque na prática pedagógica. Interpreto, dessa maneira, que a quarta concepção de educação algébrica contempla os objetivos da utilização de tarefas exploratório-investigativas no ensino de álgebra, que essas contribuem de forma significativa no desenvolvimento do pensamento algébrico e da linguagem algébrica dos alunos. Essa proposta busca mobilizar o aluno para a construção de conjecturas, testá-las e validá-las (ou refutá-las, se necessário).

6 Vimos em um estudo realizado por Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), os quais identificaram três categorias de desenvolvimento de pensamento algébrico, no desenvolvimento de aulas exploratório-investigativas. A primeira categoria refere-se ao pensamento de alunos ainda ligado à aritmética, onde ele ainda não consegue relacionar a letra ou variável numa situação que exige a generalização. A segunda categoria refere-se a alunos que denotam um pensamento de transição, do aritmético para o algébrico. Aqui, as interpretações dos alunos mostraram algumas das características de pensamento algébrico, apoiadas muitas vezes no uso da linguagem materna para expressar seu pensamento. A terceira categoria, denotando um pensamento algébrico mais desenvolvido, os alunos mostraram a capacidade de estabelecer relações, o uso da generalização e tentativas de expressar suas idéias através de linguagem simbólica. Se remetermos à história da Álgebra, veremos semelhanças entre o desenvolvimento da linguagem algébrica na História e na forma como os alunos se expressam em suas interpretações nas tarefas investigativas. Primeiramente, a linguagem utilizada era retórica. Após século III a.c., com Diofanto, a linguagem tornou-se sincopada. Havia o uso de símbolos para expressar as incógnitas. Por volta do final do século XVI, com Viète, a linguagem simbólica foi introduzida e até hoje utilizada, como uma importante ferramenta para provar regras no domínio das relações numéricas (Pesquita, 2007). Observamos nesses resultados que, apesar da linguagem algébrica não ter sido desenvolvida, os alunos apresentaram um desenvolvimento do pensamento algébrico a partir de situações e ambiente favoráveis à exploração e à investigação. Para Vigotski (2000), o pensamento e a linguagem estão interdependentes, isto é, o desenvolvimento de um promove o desenvolvimento do outro, e vice-versa. Assim, para aqueles alunos que apresentaram um pensamento algébrico mais desenvolvido, foi percebido maior facilidade em utilizar a linguagem simbólica. Dessa maneira, torna-se imprescindível o estudo do desenvolvimento dos conceitos, pelo qual passa a discussão do pensamento e da linguagem e a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP). Considerando que essa dinâmica contribui para o desenvolvimento do pensamento aritmético e algébrico, em virtude da possibilidade de um aluno desenvolver seus conceitos a partir do contato com a tarefa, com outros colegas numa equipe, ou ainda com o professor, o qual possui uma postura de orientação e gestão do trabalho escolar, a ZDP se mostra presente numa aula que possui

7 as características de exploração e investigação, pois o aluno é desafiado e colocado em uma situação nova e de maior grau de dificuldade. Segundo Vigotski (2000), a aprendizagem sempre começa daquilo que ainda não está maduro na criança. Nas interações, podemos ver como o auxilio de um colega ou de um adulto pode, de fato, levar à resolução de um problema que, se estivesse sozinho para solucioná-lo, seria uma tarefa bastante complicada. Os Fractais na sala de aula: Relações com a Álgebra e as Investigações Matemáticas Os estudos da Geometria Fractal são muito recentes dentro da área de Matemática. A cada dia, encontram-se mais aplicações em situações problema nas diversas áreas do conhecimento: Engenharias, Física e Meteorologia, por exemplo. Apesar da potencialidade em desenvolver tal temática, não apenas no Ensino Superior, são poucos os trabalhos com fractais desenvolvidos em classes do Ensino Fundamental e Médio.Fernandes (2006, p. 225) relata que alguns professores e pesquisadores podem até achar que seria impossível desenvolver uma temática dessa ordem com alunos do Ensino Fundamental, porém, ao fazer algumas adaptações a esse nível de ensino, isso tornou-se possível. Alem disso, vi a satisfação desses jovens estampada em seus rostos. Enfim, perceberam e sentiram que são também capazes de produzir Matemática. Acreditamos ser importante desafiar nossos alunos, com propostas que sejam inovadoras, não só para os estudantes, mas também, para nós, professores. Parece-me necessário criar, sempre, novas estratégias a serem compartilhadas com os alunos em classe, posturas que sejam motivadoras, interessantes e despertem a curiosidade, chamando-os para a atividade de investigação. Barbosa (2002, p.19), justifica o uso dos fractais em sala de aula baseada em: conexões com várias ciências; deficiências da geometria euclidiana para o estudo de formas da natureza, desde que é, em geral, apenas apropriada para formas do mundo oriundas do humano, como construções de casas, prédios, pontes, estradas, máquinas etc., os objetos naturais são com freqüência mais complicados e exigem uma geometria mais rica, que os modela com fractais, possibilitando desenvolver projetos educacionais sobre temas transversais voltados para a compreensão de fenômenos que ocorreram nos diversos ambientes; difusão e acesso aos computadores da informática nos vários níveis de escolarização;

8 existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvolver o senso estético com o estudo e arte aplicada à construção de fractais, entendendo-se arte como toda ação que envolve simultaneamente emoção, habilidade e criatividade; sensação de surpresa diante da ordem na desordem. A seguir, encontra-se um exemplo de tarefa exploratório-investigativa elaborada por Fernandes (2006, p.211), a qual contempla um fractal: o triângulo de Sierpinski. A mesma foi desenvolvida em classes de 6 a série do Ensino Fundamental: TAREFA 1: Investigando o Triângulo de Sierpinski Objetivos: Desenvolver uma tarefa investigativa, visando contemplar, inicialmente, os conteúdos de padrões numéricos e regularidades. Para isso, utilizaremos a geometria fractal como tema gerador. Durante a atividade investigativa, levar os alunos a fazer explorações, descobertas, a levantar e formular conjecturas e a argumentar e comunicar-se matematicamente em suas múltiplas formas. Desenvolver o espírito crítico. Iniciar os alunos no trabalho em equipes. Utilizar a escrita na elaboração de relatórios, além de dar significado àquilo que o aluno está descobrindo e encontrando nas investigações. Além dos relatórios escritos, as apresentações orais também constituirão as formas de avaliação. Instruções: Os grupos serão constituídos por quatro pessoas, de tal forma que sejam divididas as obrigações de cada um. Escolham: Um Coordenador: responsável pela organização do trabalho e pela resolução de possíveis conflitos. Um Redator: responsável pela redação final do registro a ser entregue. Dois Relatores: serão dois membros do grupo, responsáveis pela apresentação (para toda a classe) dos resultados encontrados pela equipe. Apesar da divisão acima, todos deverão participar das etapas de produção do estudo. A tarefa: Observe o Triângulo de Sierpinski e suas transformações em três etapas: (1) (2) (3) (...) 1) Faça o próximo triângulo da seqüência. 2) Escreva o roteiro que transforma o primeiro triângulo (posição 1) na figura da posição (2) e faça o mesmo da segunda para a terceira posição, explicando o que acontece com a figura. Fique atento ao tamanho dos triângulos! 3) Procure e registre, se encontrar, relações existentes entre os triângulos e as posições na seqüência. Por exemplo: relacionar a posição ocupada com o número de triângulos existentes ou faltantes, ou ainda com a área e/ou perímetro etc.

9 4) Escreva, com suas palavras, o padrão que descreve a seqüência. A tarefa acima procura trazer elementos característicos da exploração e investigação, possibilitando o levantamento de hipóteses, a elaboração de conjecturas e testes e à sistematização numa demonstração, características das investigações matemáticas. Assim, não apenas buscando justificar o uso dos fractais em sala de aula, mas procurando articular o seu uso ao ensino de álgebra na escola básica, vejo a questão da identificação da iteração, do padrão de um fractal como uma das características do pensamento algébrico. O aluno, ao mobilizar seu pensamento em busca de um padrão (numérico ou não), que se repete infinitamente, denota as características de pensamento algébrico apresentadas por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p. 87): percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e a presença de generalização. Na atividade investigativa, o aluno identifica o crescimento de um certo parâmetro (por exemplo, a quantidade de triângulos presentes ou retirados, após as iterações sucessivas no Triangulo de Sierpinski), por apelo visual e contagem. São elementos que dão um arranque inicial para a elaboração de um pensamento mais sofisticado (uma investigação numérica). Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), a investigação numérica contribui para o desenvolvimento de diversas capacidades matemáticas, dentre elas a formulação e teste de conjecturas e a procura de generalizações. Além disso, na exploração de seqüências numéricas, o descobrimento de relações numéricas também contribui para o desenvolvimento da noção de variável. As características de generalização e da noção de variável apresentadas pelos autores acima são algumas das funções da Álgebra, contempladas por Usiskin (1995) e citadas por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993). Objetivos, Descrição do Campo e Metodologia da Pesquisa Os objetivos da pesquisa são os seguintes: a) Identificar e analisar o desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos que iniciam o estudo em álgebra, via tarefas exploratório-investigativas.

10 b) Observar, investigar e analisar como se dá a constituição e utilização da linguagem algébrica, a partir da atividade investigativa dos alunos e dos relatórios apresentados por eles; c) Utilizar a geometria fractal como instrumento facilitador no processo de desenvolvimento do pensamento e linguagem algébricos dos alunos; Sabe-se das dificuldades presentes na escola pública brasileira, em particular, do estado de São Paulo. Assim, torna-se um desafio, diante das dificuldades e defasagens apresentadas pelos alunos. São diversos os fatores que interferem na aprendizagem. Entretanto, um ensino significativo de matemática pode colaborar, em parte, na mudança desse quadro, a partir da diversificação de metodologias e abordagens utilizadas em sala de aula. A escola, na qual o trabalho de campo será realizado, fica localizada na periferia da cidade de Campinas SP. A escola possui um total de 15 salas de aula, funcionando os três períodos, com 1600 alunos aproximadamente. O público que a freqüenta é de baixa condição sócio-econômica, parte dos pais e familiares dos alunos estuda na escola no período noturno, em classes de Educação de Jovens e Adultos (EJA). Alguns alunos estão envolvidos com o uso ou o tráfico de entorpecentes e, alguns desses, possuem liberdade assistida. Esse é o contexto da escola em que trabalho desde 2006, como professor de matemática titular de cargo. Apesar de toda a situação em que essa comunidade vive (e eu também, enquanto professor) e que constitui a realidade do espaço escolar, tenho apoio da equipe gestora para desenvolver o meu trabalho de professor e pesquisador. Em relação à metodologia, como a pesquisa está em andamento, pretende-se no segundo semestre de 2008, elaborar e promover o desenvolvimento das tarefas exploratório-investigativas, utilizando a geometria fractal. Lembrando que o estudo bibliográfico e a retomada de leituras tem sido realizados desde o início desse ano, principalmente, de obras relacionadas aos assuntos: Ensino de Álgebra, Investigações Matemáticas em sala de aula, os Fractais, suas características e possibilidades no ensino e de estudos na perspectiva histórico-cultural. Os instrumentos para a coleta de dados e análise posterior serão a elaboração de relatórios e diário de campo do pesquisador, anotado logo após as aulas, a escrita de relatórios elaborados pelos alunos, com os registros da atividade investigativa, buscando observar a escrita e o uso da linguagem algébrica, a gravação em áudio e vídeo dos momentos da aula investigativa.

11 Também, farei a aplicação de questionários aos alunos, buscando identificar como as investigações matemáticas e a dinâmica de suas aulas contribuíram, positivamente ou não, em suas relações com a Matemática. Em suma, as impressões dos alunos em um outro contexto de ensino de matemática. Considerações Finais Nesse artigo, apresentei o projeto de pesquisa que pretendo desenvolver no Mestrado, tendo em vista as minhas experiências anteriores como professor e pesquisador que acredita nas potencialidades das investigações matemáticas na sala de aula. Mesmo tendo consciência dos vários empecilhos e obstáculos presentes nas escolas públicas, que podem impedir o desenvolvimento favorável dos nossos alunos, de suas defasagens e dificuldades em ler, interpretar e operar os algoritmos, situaçõesproblema, tabelas e gráficos, das condições sócio-econômicas que enfrentam, das condições físicas e estruturais das escolas, até às políticas públicas que interferem diretamente no trabalho pedagógico dos educadores e nos recursos e materiais didáticos disponíveis, vejo nas investigações matemáticas a possibilidadde de constituição de uma nova dinâmica e postura de alunos e professores em sala de aula. É a constituição de novos papéis para os sujeitos envolvidos num aprendizado recíproco mediado pelo diálogo, colaborando no desenvolvimento do pensamento do aluno em suas habilidades cognitiva e afetiva. Portanto, não é só o uso da tarefa exploratório-investigativa que garante o aprendizado do aluno, são os novos contratos didáticos estabelecidos entre aqueles que estão no processo da atividade investigativa, no uso da argumentação e da comunicação matemática, na postura de orientação do professor e sua mediação entre os alunos, no compartilhar dos resultados com a classe e na re-significação das conclusões obtidas pelas equipes. Para Vigotski (2000), o desenvolvimento do aspecto semântico é o processo básico e decisivo do desenvolvimento do pensamento e da linguagem da criança. É na interação que esse processo ocorre e se fortalece, na busca da significação.

12 Referências Bibliográficas BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal para a sala de aula Belo Horizonte: Autêntica, CASTRO, J. F. Quadrados e Perímetros: Uma experiência sobre aprender a investigar e investigar para aprender. In: FIORENTINI, D. ; JIMÉNEZ, A. (org.). Histórias de aulas de Matemática: compartilhando saberes profissionais. Campinas: Editora Graf. FE/Unicamp Cempem, 2003, p CASTRO, J. F. Um estudo sobre a própria prática em um contexto de aulas investigativas. Dissertação (Mestrado em Educação: Educação Matemática) FE Unicamp, Campinas. FERNANDES, F. L. P. Fractais e Porcariazinhas : Professor, acaba ou não acaba?. In: FIORENTINI, D. ; CRISTÓVÃO, E. M, (org.). Histórias e Investigações de / em Aulas de Matemática. Campinas: Editora Alínea, 2006, p FIORENTINI, D.; FERNANDES, F.L.P.; CRISTOVÃO, E.M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. Artigo apresentado no Seminário Luso-Brasileiro de Investigações Matemáticas e na Formação de Professores, Lisboa: FCUL, 2005 [online] Disponível na internet via LB/Fiorentini-Fernandes-Cristovao2.doc Arquivo capturado em 10 de Agosto de FIORENTINI, D.; MIORIM, M.A. Algumas Concepções de Educação Algébrica: Fundamentos para repensar o ensino da Matemática elementar. In: Anais do III EPEM Encontro Paulista de Educação Matemática. Bauru, 1993, p 29-35;

13 FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar... a Educação Algébrica Elementar. Pro Posições Revista Quadrimestral da Faculdade de Educação Unicamp, Vol 4, nº 10, Março de OLIVEIRA, H. M., PONTE, J. P., SEGURADO, M. I., Tarefas de Investigação em Matemática: histórias de sala de Aula, artigo publicado nas Actas do VI Encontro de Investigação em Educação Matemática, Portalegre: SPCE SEM, [online] Disponível na internet via Arquivo capturado em 15 de Agosto de PESQUITA, I. M. P. Álgebra e Pensamento Algébrico de Alunos do 8º Ano. Dissertação (Mestrado em Educação: Didáctica da Matemática) Faculdade de Ciências - Universidade de Lisboa, Lisboa. PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula. Coleção Tendências em Educação Matemática Belo Horizonte: Autêntica, USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilização de variáveis. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. (org.). As idéias da Álgebra: traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995, p VIGOTSKI, L. S. A construção do pensamento e da linguagem: tradução de Paulo Bezerra. São Paulo: Martins Fontes, 2000.