PROJETO E CARACTERIZAÇÃO DE METAMATERIAIS COM MENOR ATENUAÇÃO NA FAIXA DE MICRO-ONDAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA CAMPUS PATOS DE MINAS - MG FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA - FEELT ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES FELLIPE AUGUSTO DE OLIVEIRA PROJETO E CARACTERIZAÇÃO DE METAMATERIAIS COM MENOR ATENUAÇÃO NA FAIXA DE MICRO-ONDAS Patos de Minas - MG 2016

2 Fellipe Augusto De Oliveira PROJETO E CARACTERIZAÇÃO DE METAMATERIAIS COM MENOR ATENUAÇÃO NA FAIXA DE MICRO-ONDAS Trabalho de conclusão de curso apresentado à Faculdade de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Uberlândia, campus Patos de Minas, como requisito parcial para obtenção do bacharelado em Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações. Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Lima Bertarini. Patos de Minas - MG Dezembro de 2016

3 PROJETO E CARACTERIZAÇÃO DE METAMATERIAIS COM MENOR ATENUAÇÃO NA FAIXA DE MICRO-ONDAS Trabalho de conclusão de curso apresentado à Faculdade de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Uberlândia, campus Patos de Minas, como requisito parcial para obtenção do bacharelado em Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações. Patos de Minas, 08 de dezembro de Prof. Dr. Pedro Luiz Lima Bertarini. Prof. Dr. André Luiz Aguiar da Costa. Prof. Ms. Gustavo Nozella Rocha.

4 IV Agradecimentos Agradeço primeiramente a minha família, em especial a minha mãe Edina e ao meu pai José Humberto por todo apoio durante a graduação, por todos conselhos e pela paciência durante esse longo período. Agradeço imensamente ao corpo docente da UFU Patos de Minas, a todos os momentos vividos durante a graduação que serviram de ensinamento. Agradeço em especial ao meu orientador Pedro Luiz Lima Bertarini que foi imprescindível nestes períodos finais. Agradeço também a todos os funcionários e técnicos envolvidos neste período. Agradeço ainda a minha namorada Mayra pelos momentos de companheirismo e paciência, a todos as amizades feitas durante a graduação, amizades que levarei pra toda a vida, juntamente como os inesquecíveis momentos de resenha. Agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro que contribui com a pesquisa. Por último, mas não menos importante, gostaria de agradecer ao meus grandes amigos de infância do Ipanema, que sempre se propuseram a me ajudar nas mais adversas situações, Krak Orrrrrrk. Pesquisa realizada na: Universidade Federal de Uberlândia Campus Patos de Minas LaPSE Laboratório de Pesquisas em Processamento de Sinais e Sistemas Embarcados

5 V Ce soir sans doute mon âme, Asservie, usée par les bas chagrins, Sentira le besoin de fuir sa prison de chair. Très loin de nous, de notre temps, Elle s'en tra rejoindre les étoiles. (Neige)

6 VI Resumo Este trabalho tem como objetivo o estudo de duas células metamateriais na faixa de micro-ondas (banda X 8-12 GHz), bem como suas caracterizações, afim de se reduzir a alta atenuação destas células metamateriais. Deste modo, as células são primeiramente modeladas e caracterizadas por meio de softwares comerciais, o que possibilita a obtenção dos parâmetros eletromagnéticos das células. Devido ao dinamismo da célula metamaterial, que possui respostas eletromagnéticas dependentes da geometria e de sua composição química, são estudadas como alterações da geometria das células influenciam em sua atenuação. A atenuação está diretamente ligada a parte imaginária do índice de refração (n) e também é dependente da frequência. A partir dessas características são propostas várias alterações da geometria das células e comparados os resultados com as células originais. Para a primeira célula, conhecida como célula ômega, foram obtidos resultados satisfatórios a partir da alteração do raio interno e do raio externo, resultando em -0,18 db/mm, enquanto na célula original foi encontrado o valor de -0,51 db/mm. Na segunda célula, proposta por Smith, foram obtidos resultados pouco relevantes, porém ainda assim mais baixos que o valor inicial. Isso se deve a estabilização da parte imaginária do índice de refração e dos altos valores de amplitude da parte real desta grandeza. Palavras chave: Metamaterial, atenuação, micro-ondas, desdobramento de fase.

7 VII Abstract This work aims to study two metamaterial cells in microwave range (band X GHz), as well as their characterizations in order to reduce the high attenuation of these metamaterial cells. To accomplish that, the cells are analyzed and characterized using commercial softwares to obtain the cell s electromagnetic parameters. Due to the dynamism of the metamaterial cell, which has electromagnetic responses dependent on the geometry and its chemical composition, it is studied how the cells geometry changes influence its attenuation. The attenuation is directly connected to the imaginary part of the refractive index (n) and it also frequency dependent. From these characteristics, several cells geometry modifications are proposed and the results are compared with the original cells. For the first cell, known as the omega cell, satisfactory results were obtained when internal radius and external radius were changed, resulting in a attenuation of -0,18 db/mm, while in original cell the value of attenuation is -0,51 db/mm. In the second cell, proposed by Smith, less relevant results were obtained. This is due to the stabilization of the imaginary part and the high amplitude values of the real part of the refractive index. Keywords: Metamaterial, attenuation, microwave frequencies, phase unwraping.

8 VIII Lista de Ilustrações Figura 2.1 Exemplo de células metamateriais compostas por anéis ressoadores de cobre sobre uma superfície de fibra de vidro. Cada célula é composta por um anel ressoador e possui 2,5 mm por 2,5 mm. Reproduzido de [20] Figura Exemplo de um arranjo periódico de fios metálicos. Este arranjo pode proporcionar (ε < 0) em uma faixa de frequência limitada Figura Exemplo de um ressoador de anel dividido (SRR). Um arranjo composto por esses anéis pode proporcionar (μ < 0) em uma faixa limitada de frequências Figura Vetores de campo elétrico, magnético, Poynting e propagação para meio RHM (a) e LHM (b) Figura Diagrama de permissividade x permeabilidade. Propriedades dos materiais vinculados a cada quadrante Figura Representação de um feixe passando por uma interface de dois materiais com índice de refração positivo (a) e passando por uma interface composta por um material com índice de refração positivo e outro negativo Figura Exemplo de uma célula metamaterial ômega (Ω) desenhada no ambiente do software comercial HFSS Figura Rede de duas portas arbitrária Figura Rede de duas portas simplificada para obtenção dos parâmetros S 11 e S Figura Célula Ω metamaterial desenhada no ambiente do software HFSS 13. As orientações e dimensões da célula também são destacadas Figura Magnitude (a) e fase (b) dos parâmetros de espalhamento S 11 e S Figura Parte real e imaginária da permeabilidade relativa magnética da célula metamaterial Ω Figura Parte real e imaginária da permissividade relativa elétrica da célula metamaterial Ω Figura Parte real e imaginária do índice de refração da célula metamaterial Ω.. 36 Figura Curva de atenuação do material. O ponto destacado tem parte real n = 1, possuindo uma atenuação α = 0,51 db/mm Figura Relação das partes reais das permeabilidades magnéticas Figura Relação das partes reais das permissividades elétricas Figura Relação das partes reais dos índices de refração Figura Relação das partes imaginárias dos índices de refração

9 IX Figura Valores de atenuação encontrados para as curvas em relação ao valor de -1 da parte real dos índices de refração Figura 4.12 Relação das partes reais dos índices de refração Figura 4.13 Relação das partes imaginárias dos índices de refração Figura 4.14 Valores de atenuação encontrados para as curvas em relação ao valor de -1 da parte real do índice de refração Figura 4.15 Célula Smith de metamaterial desenhada no ambiente do software HFSS 13. As orientações e dimensões da célula também são destacadas Figura 4.16 Magnitude (a) e fase (b) dos parâmetros de espalhamento S 11 e S 21 da célula Smith Figura 4.17 Parte real e imaginária da permeabilidade relativa magnética da célula metamaterial Smith Figura 4.18 Parte real e imaginária da permissividade relativa elétrica da célula metamaterial Smith Figura 4.19 Parte real e imaginária do índice de refração da célula metamaterial Smith Figura 4.20 Curva de atenuação do material. O ponto destacado tem parte real n = 1, possuindo uma atenuação α = 0,41 db/mm Figura 4.21 Relação das partes reais dos índices de refração das alterações da célula Smith Figura 4.22 Relação das partes imaginárias dos índices de refração das alterações da célula Smith Figura 4.23 Valores de atenuação encontrados para as curvas em relação ao valor de -1 da parte real do índice de refração

10 X Lista de Tabelas Tabela 4.1 Propriedades geométricas da célula metamaterial da Figura Tabela 4.2 Valores de frequência, índice de refração e atenuação para cada curva relacionada a um valor de gap distinto Tabela 4.3 Valores de frequência, índice de refração e atenuação para cada curva relacionada as Figuras 4.11, 4.12 e Tabela 4.4 Valores de frequência, índice de refração e atenuação para as curvas E, F, G, H e I Tabela 4.5 Propriedades geométricas da célula metamaterial da Figura Tabela 4.6 Valores de frequência, índice de refração e atenuação para cada curva relacionada as Figuras 4.21, 4.22 e Tabela Valores de frequência, índice de refração e atenuação para as curvas S5, S6, S7, S8, S9 e S

11 XI Lista de Símbolos n ε r μ r p λ λ 0 S k E H α f π c S z S 11 S 21 S 12 S 22 Z 0 K Г T Λ d φ Ω Índice de refração Permissividade elétrica relativa Permeabilidade magnética relativa Comprimento da célula metamaterial Comprimento da onda Comprimento da onda no vácuo Vetor de Poynting Vetor de propagação Vetor de campo elétrico Vetor de campo magnético Constante de atenuação Frequência (Hertz) Número pi Velocidade da Luz ( metros/segundo) Parâmetros de Espalhamento Impedância Coeficiente de reflexão na entrada Coeficiente de transmissão direto Coeficiente de transmissão reverso Coeficiente de reflexão na saída Impedância característica Constante auxiliar Coeficiente de reflexão Coeficiente de transmissão Comprimento de onda no interior do material Espessura da célula metamaterial Fase do coeficiente de transmissão (T) Indicação de número infinito Representação da célula ômega de metamaterial

12 XII Lista de Siglas PCB Printed Circuit Board Placa de Circuito Impresso SRR Split Ring Ressonator Ressoadores de Anel Dividido GHz Giga Hertz LHM Left Handed Materials Materiais Canhotos RHM Right Handed Materials Materiais Destros DPS Double Positive Duplo Positivos DNG Double Negative Duplo Negativos FEM Finite Element Method Método dos Elementos Finitos FDTD Finite Difference Time Domain Diferenças Finitas no Domínio do Tempo EDO Equações Diferenciais Ordinárias HFSS High Frequency Structure Simulator Simulador de Estruturas em Alta Frequência PMC Perfect Magnetic Conductor Condutor Magnético Perfeito PEC Perfect Electric Conductor Condutor Elétrico Perfeito MHz Mega Hertz db Decibel mm Milímetro

13 XIII Lista de Publicações OLIVEIRA, F. A.; BERTARINI, P. L. L. Projeto e caracterização de metamateriais na faixa de micro-ondas. Conferência de Estudos da Engenharia Elétrica, Uberlândia, de outubro, OLIVEIRA, F. A.; BERTARINI, P. L. L. Projeto, caracterização e análise de metamateriais na faixa de micro-ondas. Simpósio de Tecnologia e Ciência, Patos de Minas, de outubro, 2016.

14 XIV Sumário Agradecimentos... IV Resumo... VI Abstract... VII Lista de Ilustrações... VIII Lista de Tabelas... X Lista de Símbolos... XI Lista de Siglas... XII Lista de Publicações... XIII Sumário... XIV Capítulo 1 Introdução Apresentação Objetivo da pesquisa Organização do texto... 2 Capítulo 2 - Revisão bibliográfica Metamateriais Permissividade elétrica Permeabilidade magnética Índice de refração Ondas eletromagnéticas em meios metamateriais Atenuação Capítulo 3 Metodologia Modelagem de metamateriais Simulações Parâmetros de espalhamento (S) Método do desdobramento de fase Capítulo 4 Resultados Célula ômega Variações do gap da célula ômega Outras variações na célula ômega Célula Smith Variações da célula Smith Capítulo 5 Conclusões e trabalhos futuros Bibliografia... 39

15 1 Capítulo 1 Introdução 1.1 Apresentação Com o avanço da tecnologia, se torna cada vez mais necessário a procura por novos materiais que apresentem propriedades físicas incomuns, afim de se resolver os novos desafios que surgem com essa evolução tecnológica. Dentre esses materiais, os metamateriais, dotados de propriedades eletromagnéticas que não são encontradas na natureza, são materiais produzidos artificialmente, com estruturas previamente projetadas que combinam dielétricos e metais [1]. Com o uso destes materiais foi possível se obter pela primeira vez um índice de refração negativo (n < 0) a partir da combinação de uma permissividade elétrica negativa (ε r < 0) e uma permeabilidade magnética negativa (μ r < 0), o que proporcionou efeitos como uma inversão da lei de Snell [2] e o anti-paralelismo entre o vetor de Poynting e o vetor de propagação da onda [3]. A demanda cada vez maior por transferência de dados, redução de dispositivos, armazenamento de dados [4], sensoriamento [5] e altas resoluções em lentes [6], por exemplo, são alguns dos atrativos para os pesquisadores de metamateriais. A combinação de ressoadores metálicos posicionados sobre uma camada dielétrica cria a estrutura base do metamaterial, que pode ser chamada de célula. Os ressoadores podem ser posicionados de forma espelhada entre a face superior e inferior, ou ainda possuir assimetria entre os ressoadores. Além disso a composição química da célula e a sua geometria influenciam diretamente na frequência de ressonância do metamaterial, e podem ser alteradas para buscar outras faixas de frequência ou outros valores das propriedades eletromagnéticas [7]. Assim, o metamaterial apresenta dinamismo em suas respostas, podendo-se projetar previamente a faixa de operação e/ou respostas eletromagnéticas. Para se obter os valores das grandezas eletromagnéticas é necessário a extração dos parâmetros de espalhamento do meio metamaterial, obtidos por meio de softwares que fornecem as ferramentas necessárias para o desenho e configuração da célula. Assim, a partir dos parâmetros de espalhamento, aplica-se métodos matemáticos para se obter as grandezas eletromagnéticas. Deste modo é possível analisar previamente a resposta de um metamaterial antes de sua construção. Assim como outros materiais que surgiram para substituir o uso de outros materiais consolidados em suas respectivas áreas, como por exemplo a fibra óptica na alta transmissão de dados em substituição a cabos coaxiais e par trançado, seja por vantagens físicas ou econômicas, estes também tiveram anos de pesquisas até o seu uso se tornar viável, o mesmo

16 2 acontece nos dias de hoje com os metamateriais. Diversas aplicações são atreladas ao seu uso, com melhorias significantes, porém estes materiais ainda sofrem com limitações como a alta atenuação, banda estreita de operação e difícil construção dependendo da faixa de frequência de operação, fazendo com que boa parte destas aplicações se deem apenas nos laboratórios Objetivo da pesquisa Deste modo, neste trabalho é abordado dois formatos de células distintos e já conhecidos em outras pesquisas, onde objetiva-se a aplicação do método do desdobramento de fase proposto em 2012 [8] e como objetivo principal a diminuição da atenuação nessas células metamateriais. Para isso serão realizadas várias alterações na geometria das células e analisadas as respostas de cada alteração, buscando diminuir a atenuação, sem sair da faixa de operação do trabalho. Será também discutido sobre o dinamismo das células metamateriais em função das respostas encontradas Organização do texto O trabalho está dividido em 6 capítulos, onde neste primeiro capítulo foi abordada a contextualização do tema além do objetivo da pesquisa. O capítulo 2 aborda uma revisão bibliográfica sobre os metamateriais, grandezas eletromagnéticas e atenuação, de forma a esclarecer o leitor sobre o assunto. No capítulo 3 está descrito os meios e métodos usados para o projeto e caracterização de uma célula metamaterial, passando pela modelagem, simulação, extração dos parâmetros de espalhamento e obtenção das grandezas eletromagnéticas utilizando o método do desdobramento de fase. O capítulo 4 apresenta os resultados obtidos para diferentes variações das geometrias das duas células utilizadas, além da comparação entre os resultados. No capítulo 5 são feitas conclusões a partir dos resultados obtidos no capítulo anterior e são apresentadas algumas propostas para trabalhos futuros.

17 3 Capítulo 2 - Revisão bibliográfica 2.1 Metamateriais Dentre as várias definições para o termo metamateriais, a mais usada na comunidade científica diz que os metamateriais são estruturas artificiais eletromagnéticas homogêneas efetivas que possuem propriedades físicas incomuns que não são encontradas na natureza [2]. Dessa forma, o meio composto por metamateriais pode apresentar permissividade elétrica e/ou permeabilidade magnética negativas ( ε, μ < 0). Caso essas duas grandezas eletromagnéticas sejam simultaneamente negativas, o meio metamaterial terá índice de refração negativo (n < 0). Com essas propriedades incomuns foram atraídos diversos pesquisadores, que utilizando delas, propuseram diversas aplicações em diferentes áreas como: antenas[9-13], super lentes[14], sensoriamento[15], absorvedores[16-18] e dispositivos de invisibilidade eletromagnética[19]. Os metamateriais são compostos por estruturas macroscópicas periódicas ou não, construídos a partir de materiais comuns, como metais e dielétricos [1], uma estrutura metamaterial pode ser observada na Figura 2.1. Tais estruturas são usualmente chamadas de células metamateriais, cuja arquitetura e composição química definem sua resposta eletromagnética [7]. Um meio metamaterial é considerado efetivamente homogêneo quando o tamanho médio de suas células p é muito menor que o comprimento de onda (p < λ/4) [2], possibilitando que o meio discreto seja visto pela onda propagante como um meio homogêneo [20]. A maior vantagem dos metamateriais é que se torna possível criar novos materiais, obtendo respostas incomuns ou replicar propriedades de materiais pouco disponíveis na natureza [7]. Figura 2.1 Exemplo de células metamateriais compostas por anéis ressoadores de cobre sobre uma superfície de fibra de vidro. Cada célula é composta por um anel ressoador e possui 2,5 mm por 2,5 mm. Reproduzido de [20].

18 4 Como já foi dito, os metamateriais podem ser construídos a partir de materiais comuns, como metais e dielétricos [1]. Além disso, a fabricação destes materiais não é tão complexa na faixa de micro-ondas (GHz). Isso acontece porque suas células macroscópicas nessa faixa de frequências são de escala milimétrica, e podem ser fabricadas utilizando métodos convencionais de confecção de placas, como a técnica PCB (printed circuit board) [21]. Além disso, os metamateriais podem ser divididos em duas classes: ressonantes e nãoressonantes. Os metamateriais ressonantes são compostos por estruturas ressonantes como, por exemplo, os ressoadores de anel dividido (SRR - Split Ring Ressonator). Uma das características desta classe é que pequenos deslocamentos na frequência provocam grandes variações da permissividade elétrica e permeabilidade magnética. Isso resulta em uma faixa dinâmica próxima à frequência de ressonância, sendo essa a maior vantagem desta classe. Outro aspecto importante é que ao se variar os parâmetros geométricos do SRR pode-se obter um deslocamento da frequência de ressonância, e isso será explorado nesse trabalho. As desvantagens são uma estreita faixa de frequência de ressonância e a alta atenuação [7]. A classe dos metamateriais não ressonantes apesar do nome também possuem frequência de ressonância, porém ocorrem em frequências mais altas [7]. Deste modo, o metamaterial é explorado em faixas de frequência de operação longe da frequência de ressonância das estruturas investigadas. As principais vantagens desta classe é a baixa atenuação e uma banda larga [2]. Apresenta pouca variação de ε e μ em função da variação da frequência, tornando o material menos dinâmico e sintonizável, sendo essa a principal desvantagem da classe [7]. Com o decorrer das pesquisas, as características obtidas nos metamateriais foram incorporadas à algumas áreas, dando aplicações reais para o seu uso, ampliando o campo de pesquisa e as direcionando para as soluções de alguns problemas. Destas áreas pode-se citar aplicações em: Antenas: são utilizados em antenas para melhorar a performance [9,10], e ainda quando um material possui um μ < 0 pode-se diminuir o tamanho da antena em relação a antenas convencionais [10,11], aumentar a diretividade [12] e obter uma frequência de operação sintonizável [13]. Super lentes: voltado para a super resolução de imagens médicas, imagens ópticas, detecção não destrutiva e imagens em nano escala para materiais vivos [6,7,14]. Esta aplicação está ligada ao índice de refração negativo (n < 0) para alcançar uma resolução além do limite de difração, resultando numa super resolução [6,14]. Sofre com o problema de faixa de frequência utilizável limitada e dispersão dos metamateriais que pode ser minimizado com o uso de prata nos arranjos [14].

19 5 Sensoriamento: utilizado na área de biossensoriamento [15] para detectar concentração de glicose, por exemplo. Outro trabalho baseia-se no quanto a concentração de uma substância altera o azimute da polarização da onda propagante [21], e também utilizado em sensores de tensão sem fio conseguindo frequências mais baixas por unidade de área em comparação a outras estruturas, possibilitando a detecção de bioimplantes em tecidos moles [22]. Absorvedores: classe que se destina absorver radiação eletromagnética de forma eficiente, aproveitando da característica de alta atenuação dos metamateriais. Usado em fotodetectores [16] para manipular a largura de banda espectral [18] e em células fotovoltaicas para aumentar a absorção e/ou diminuir o tamanho das células [17]. Capa de invisibilidade eletromagnética (dispositivo de camuflagem): uma das primeiras aplicações dos metamateriais. Uma capa composta por metamateriais se torna invisível quando ondas de frequência contidas na faixa da frequência de ressonância são incididas sobre a capa. Assim as propriedades eletromagnéticas do metamaterial atuam de forma que a onda eletromagnética passe pelo objeto sem sofrer alteração, dando a sensação de invisibilidade. O grande problema desses dispositivos é que essa invisibilidade ocorre em uma faixa estreita de frequência [19]. A seguir são apresentados alguns conceitos fundamentais para se avaliar um meio metamaterial. É necessário conhecer grandezas como permeabilidade magnética, permissividade elétrica, para que seja possível analisar o índice de refração efetivo do meio. Além disso, são apresentadas algumas definições sobre o comportamento de ondas eletromagnéticas em meios metamateriais Permissividade elétrica A permissividade elétrica (ε) é uma grandeza complexa que mensura o quanto um material é capaz de armazenar linhas de fluxo elétrico por unidade de carga e está diretamente ligada à susceptância elétrica. A permissividade elétrica negativa (ε < 0) pode ser obtida, por exemplo, em materiais compostos por arranjos periódicos de fios metálicos bem finos como mostrado na Figura 2.2. Usualmente a permissividade elétrica é referida à permissividade

20 6 elétrica relativa (ε r ), que é a relação entre a permissividade absoluta de um material e a permissividade do vácuo (ε 0 = 8,85x10 12 F/m). Assim tem-se: ε r = ε ε 0 (2.1) Figura 2.2 Exemplo de um arranjo periódico de fios metálicos. Este arranjo pode proporcionar (ε < 0) em uma faixa de frequência limitada Permeabilidade magnética A permeabilidade magnética também é uma grandeza complexa relacionada ao quanto um material é capaz de dar suporte à formação de um campo magnético em seu interior. Em outras palavras a permeabilidade magnética mede o quanto um material pode se magnetizar em resposta a um campo magnético aplicado [23]. A permeabilidade magnética negativa (μ < 0) pode ser obtida em uma estrutura que possui os ressoadores de anel dividido, por exemplo, conforme mostrado na Figura 2.3. Assim, as capacitâncias e indutâncias associadas a geometria da estrutura podem proporcionar valores de μ < 0 na frequência de ressonância [21,24]. Normalmente é utilizada a permeabilidade magnética relativa (μ r ), que é a relação da permeabilidade magnética absoluta de um material (μ) e a permeabilidade do vácuo (μ 0 = 4πx10 7 H/m), conforme mostra a equação (2.2).

21 7 μ r = μ μ 0 (2.2) Figura Exemplo de um ressoador de anel dividido (SRR). Um arranjo composto por esses anéis pode proporcionar (μ < 0) em uma faixa limitada de frequências Índice de refração O índice de refração (n) também é uma grandeza complexa e pode ser calculada a partir da permissividade elétrica e da permeabilidade magnética. Sua parte real está diretamente ligada à velocidade de propagação da onda no meio, e sua parte imaginária está ligada à atenuação da amplitude do campo propagante [21]. Em outras palavras o índice de refração determina o modo que um feixe será refratado na interface entre dois meios diferentes [25]. Quando ε < 0 e μ < 0 é possível obter-se um índice de refração negativo, para isso o sinal de negativo é utilizado na equação (2.3). Um valor negativo de índice de refração foi obtido pela primeira vez combinando os fios metálicos e os anéis ressoadores [20], mas atualmente há outras geometrias onde se é possível encontrar este resultado. n = ± εμ (2.3) Ondas eletromagnéticas em meios metamateriais O primeiro trabalho publicado sobre os metamateriais foi pelo soviético Victor G. Veselago em 1968 que os chamou de Left Handed Materials (LHM) [3], quando foi previsto que um material que apresentasse simultaneamente uma permissividade elétrica (ε) e uma permeabilidade magnética (μ) negativas, teria um índice de refração (n) também negativo [21]. Isso permitia que alguns fenômenos peculiares poderiam ocorrer, por exemplo: inversão

22 8 do efeito Doppler [26], deslocamento do regime de Bragg [27], inversão da lei de Snell [2] e inversão da radiação de Cherenkov [28]. De acordo com os valores da permissividade elétrica e permeabilidade magnética do meio, os materiais podem ter diferentes nomeações. Os materiais comuns com n > 0 podem ser chamados de duplo positivo (DPS) ou RHM (Right Handed Materials). Já os materiais que apresentam n < 0 podem ser chamados de duplo negativos (DNG) pois tanto a permissividade quanto a permeabilidade são negativas. Além disso, esses meios experimentam um fenômeno conhecido como anti-paralelismo entre o vetor Poynting (S ) e o vetor de propagação da onda (k ) [3], quando a energia e as frentes de onda viajam em sentidos opostos (propagação backward). Assim esses materiais não respeitam a regra da mão direita e sim a regra da mão esquerda [29]. Devido a essa característica receberam o nome de materiais canhotos (left handed materials) [30]. A Figura 2.4 mostra os vetores do campo elétrico (E ), magnético (H ), Poynting (S ) e o vetor de propagação (k ) para materiais RHM e LHM. Também está ilustrado o anti-paralelismo e é importante saber que mesmo o vetor k estando em sentido contrário, a energia da onda ainda assim se propaga no sentido de S. Em outras palavras, quando é alterado o sentido da propagação da fase, é criada a impressão de que a onda se propaga num sentido contrário [30,31]. Figura 2.4 Vetores de campo elétrico, magnético, Poynting e propagação para meio RHM (a) e LHM (b). A Figura 2.5 ilustra um diagrama de permissividade e permeabilidade, sumarizando as quatros combinações possíveis e os resultados do índice de refração. É possível ver que os materiais LHM estão no quadrante III, quando tanto ε quanto μ são negativos, obtendo assim um n < 0 e um sentido contrário para o k em relação a S. Os materiais comuns, descrito como RHM estão presentes no quadrante I onde as duas grandezas são positivas e k propaga no sentido de S. No quadrante II e IV estão representadas algumas situações incomuns, onde

23 9 podemos citar o plasma, que é um estado físico da matéria similar a um gás constituído por partículas ionizadas [32]. Figura 2.5 Diagrama de permissividade x permeabilidade. Propriedades dos materiais vinculados a cada quadrante. Observando a Figura 2.6 é possível entender o efeito da inversão da lei de Snell em um meio LHM. O índice de refração dos meios é que determina como o feixe será refratado na interface entre os meios em questão [33]. Quando o feixe atravessa a interface de dois materiais com n > 0 ocorrerá uma refração positiva que é caracterizada por um ângulo de refração positivo. Já quando o feixe atravessa a interface entre um material com n > 0 e um com n < 0 ocorre uma refração negativa, que é caracterizada pelo ângulo de refração negativo [7]. Observa-se também a inversão do sentido do vetor (k ) na Figura 5 (b). Figura 2.6 Representação de um feixe passando por uma interface de dois materiais com índice de refração positivo (a) e passando por uma interface composta por um material com índice de refração positivo e outro negativo.

24 Atenuação Tema deste trabalho, a atenuação da amplitude do campo propagante sofrida nos metamateriais está diretamente ligada à parte imaginária do índice de refração, enquanto a parte real está ligada à velocidade de propagação de onda no meio [21], assim pode-se representar o valor da atenuação com a constante de atenuação do metamaterial α que é dada pela equação (2.4) [30]: α(f) = exp ( 2πf c Im(n)) (2.4) Na qual sendo c é a velocidade da luz, Im(n) a parte imaginária do índice de refração e f a frequência da onda. No próximo capítulo é apresentada a metodologia empregada neste trabalho, todos os métodos e softwares utilizados para a modelagem e caracterização de uma célula metamaterial na frequência de micro-ondas.

25 11 Capítulo 3 Metodologia Neste capítulo é apresentado os três passos mais importantes na modelagem e caracterização de um metamaterial, bem como os métodos, técnicas e softwares empregados no processo. O capítulo é divido em quatro seções: Modelagem de metamateriais, simulações, parâmetros de espalhamento e método do desdobramento de fase Modelagem de metamateriais O processo de modelagem de metamateriais utilizado neste trabalho é baseado em três passos, sendo o primeiro as simulações computacionais, onde por meio de um software específico é possível obter a resposta de problemas reais utilizando o ambiente virtual. Neste software é possível fazer o desenho da estrutura em 3D, configurar as condições de contorno, direções dos campos magnético e elétrico, portas de excitação e composição química. O segundo passo é composto pela extração dos parâmetros de espalhamento (S), etapa feita no mesmo software extraindo-se dos resultados encontrados os vetores relacionados a esses parâmetros. Por fim com os parâmetros S extraídos passa-se para terceira fase que consiste na manipulação desses parâmetros em um software matemático, afim de se encontrar as grandezas eletromagnéticas do metamaterial utilizando o método do desdobramento de fase. Com esses três passos é possível estudar as respostas eletromagnéticas dos metamateriais e comparar os resultados obtidos em função de pequenas variações feitas na estrutura do metamaterial. O detalhamento dos três passos se encontra a seguir. 3.2 Simulações A simulação computacional é um recurso essencial na modelagem de metamateriais pois fornece previamente a resposta eletromagnética da estrutura antes mesmo dela ser fabricada e testada [21]. Isso permite que durante o projeto a estrutura possa ser sintonizada com as dimensões e configurações adequadas para que apresente a resposta pretendida na faixa de frequência desejada. Os softwares voltados para essa área utilizam métodos matemáticos como o método baseado em elementos finitos (FEM) e o método baseado em diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) [30], dividem os problemas em intervalos finitos (de espaço ou tempo) e a partir de uma análise interativa aplicam as equações ponto a ponto nesse domínio

26 12 discretizado [21]. Para a extração dos parâmetros de espalhamento os métodos FEM são mais viáveis devido demandarem um menor custo computacional [33,34]. Esses métodos numéricos já são utilizados na resolução de diversos problemas de engenharia baseados em equações diferenciais ordinárias (EDOs) como a propagação de calor, acústica, mecânica de fluidos e até problemas eletromagnéticos baseados nas Equações de Maxwell, caso deste trabalho. Esses são métodos já bastante difundidos e, por isso, já existem em diversos softwares comerciais baseado nessas. Os estudos contidos neste trabalho foram feitos utilizando o software comercial da Ansoft conhecido como HFSS 13.0 (High Frequency Structure Simulator) [35] baseado no método dos elementos finitos. Um exemplo de estrutura desenhada neste software pode ser observada na Figura 3.1. O software possui um ambiente gráfico onde é possível desenhar a estrutura do metamaterial, escolher as propriedades químicas, geometria, portas de excitação, condições de contorno e faixa de frequência. Tendo toda a configuração montada é possível obter os parâmetros S da estrutura efetuando uma simulação em uma frequência de operação escolhida [21]. Figura 3.1 Exemplo de uma célula metamaterial ômega (Ω) desenhada no ambiente do software comercial HFSS 13. Depois, pode ser realizado o procedimento de extração das propriedades eletromagnéticas efetivas do metamaterial, como a permissividade elétrica relativa (εr), a permeabilidade magnética relativa (µr), o índice de refração (n) e a impedância relativa (z). Com a ajuda de um software matemático todas essas propriedades podem ser extraídas manipulando os parâmetros S.

27 13 Uma vez o que intuito da pesquisa é diminuir a atenuação desses materiais na faixa de micro-ondas, para se chegar a esses resultados são testadas várias alterações na geometria de células conhecidas e são observadas suas propriedades, buscando um arranjo onde tais perdas possam ser reduzidas sem o comprometimento de outras propriedades necessárias nas telecomunicações. Todas essas simulações são efetuadas no HFSS Parâmetros de espalhamento (S) Os parâmetros de espalhamento (parâmetros S) são obtidos através de uma matriz de espalhamento que é retirada de uma rede de junção de micro-ondas. Por meio da matriz de espalhamento é possível obter o coeficiente de reflexão (S 11 ) e de transmissão (S 21 ), e utilizando estes coeficientes encontrados é possível encontrar a permissividade elétrica, permeabilidade magnética e índice de refração. Todos os parâmetros S são dependentes da frequência, assim é obtido um vetor que possui valores distintos para cada ponto de frequência definido [21]. Têm sido o método mais adequado para a caracterização dos metamateriais, principalmente na faixa de operação usada neste trabalho, a faixa de micro-ondas [32]. A Figura 3.2 ilustra uma rede de duas portas de onde é extraído uma matriz de espalhamento. Figura 3.2 Rede de duas portas arbitrária. A entrada do sinal é compreendida por a 1 e a 2, e as portas de saída são representadas por b 1 e b 2. Os parâmetros S são obtidos pelas relações abaixo [32]: b 1 = S 11 a 1 + S 12 a 2 (3.1) b 2 = S 21 a 1 + S 22 a 2 (3.2) Na forma matricial é dada por:

28 14 [ b 1 b 2 ] = [ S 11 S 21 S 12 S 22 ] [ a 1 a 2 ] => [ b 1 b 2 ] = [S] [ a 1 a 2 ] (3.3) Quando se tem a rede de saída terminada em uma carga igual a impedância de referência (Z 0 ), o valor de a 2 = 0, ou seja a porta 2 está casada. Assim tem-se [36]: S 11 = b 1 a 1 (3.4) S 21 = b 2 a 1 (3.5) Esses dois parâmetros são os mais importantes para encontrar as grandezas físicas dos materiais, sendo S 11 o coeficiente de reflexão na entrada e S 21 o coeficiente de transmissão direto. Para encontrar os outros dois parâmetros a porta 1 é casada (a 1 = 0), ou seja a rede de entrada possui um carga igual a impedância referência (Z 0 ), deste modo pode-se encontrar o coeficiente de reflexão da saída S 22 e o coeficiente de transmissão inverso S 12 [36]: S 22 = b 2 a 2 (3.6) S 12 = b 1 a 2 (3.7) O primeiro sub-índice indica a porta receptora e o segundo indica a porta transmissora, ou seja, S 21 indica um sinal que saiu da porta 1 e foi recebido na porta 2. Os coeficientes são complexos, apresentam magnitude e fase (parte real e imaginária) e são dependentes do campo eletromagnético [21]. A obtenção dos parâmetros S parte da simulação feita no software HFSS 13, onde é aplicada uma onda plana (a 1 ) enquanto a porta 2 é considerada como um guia de onda infinito, casando a porta de maneira que não ocorra reflexão de potência. Quando a onda se depara com o metamaterial, uma parte da potência será refletida (b 1 ) enquanto outra parte é transmitida (b 2 ), e uma parte é absorvida pelo material [30], a Figura 3.3 ilustra esse processo. Com este processo é possível calcular os coeficientes utilizando as equações 3.4 e 3.5. O processo se repete para a porta 2, e utilizando as equações 3.6 e 3.7 é possível se obter os outros dois coeficientes se baseando na medida do quanto foi transmitido e refletido/absorvido [21].

29 15 Figura 3.3 Rede de duas portas simplificada para obtenção dos parâmetros S 11 e S Método do desdobramento de fase O método do desdobramento de fase [8] é utilizado juntamente com os parâmetros S, mais precisamente o coeficiente de reflexão na entrada (S 11 ) e o coeficiente de transmissão direto (S 21 ), afim de se extrair as grandezas eletromagnéticas relativas que definem os estudos sobre metamateriais. Outros métodos foram e são usados, mas podem apresentar problemas de descontinuidade como o método proposto por Chen [37], ou podem ser mais complexos como o método proposto em 2007 baseado nos modelos de materiais de Drude e Lorentz [38]. O método utilizado neste trabalho foi elaborado em 2012 por Barroso e Hasar após estudos de métodos que partiam do princípio da incerteza [39], desta forma propuseram o método que desdobra (unwrap) a fase do coeficiente de transmissão, evitando assim a descontinuidade causada por um logaritmo de número complexo, que a partir de resultados de softwares comerciais, acaba retornando valores que oscilam entre π e π, sendo que quando a solução ultrapassa um dos extremos acaba retornando pelo outro extremo [30]. As equações do método são descritas a seguir [8]: K(f) = S 11 2 S S 11 (3.8) Γ(f) = K(f) ± K(f) 2 1 (3.9) T(f) = S 21 1 S 11 Γ(f) (3.10)

30 16 Na qual K é uma constante auxiliar, Γ é o coeficiente de reflexão e T é o coeficiente de transmissão. 1 Λ(f) = j ln(t(f)) (3.11) 2πd Sendo Λ o comprimento de onda no interior do material e d é a espessura da célula metamaterial. A equação (3.11) apresenta um problema que decorre da parte imaginária de T dentro do logaritmo natural. Mesmo sendo uma função com várias ramificações, o logaritmo de um número complexo pode levar a ambiguidades na hora de calcular o ε r e μ r, assim para resolver esse problema a equação (3.11) é reescrita da seguinte forma [8]: 1 Λ(f) = j (ln(t(f)) + φ + 2mπ), π < φ < π. (3.12) 2πd Sendo m um número inteiro que pode variar de - a e φ é a fase de T. Isso faz com que a equação continue tendo infinitas soluções, assim foi utilizando o unwrap na fase do coeficiente de transmissão para solucionar o problema de forma a deixar a função contínua. Reescrevendo a equação (3.12) tem-se [8]: 1 Λ(f) = 1 ( jln( T(f) ) + unwrap(arg(t(f)))) (3.13) 2πd Deste modo, aplicando as equações (3.14, 3.15 e 3.16) respectivamente, é possível encontrar as grandezas eletromagnéticas relativas do meio metamaterial como a permissividade elétrica relativa (ε r ), permeabilidade magnética relativa (μ r ) e índice de refração (n) [8]: ε r = λo 2 1 Λ 2 µ r (3.14) µ r = λo 1 (1 + Γ) Λ (1 Γ) (3.15) n = ± ε r µ r (3.16)

31 17 O comando unwrap é o comando utilizado para se desdobrar a fase no software Matlab [40], a função arg determina a fase do número complexo [30] e λo é o comprimento de onda no vácuo. O próximo capítulo apresenta os resultados obtidos para duas diferentes células metamateriais, além de variações da geometria de cada uma e as comparações entre os resultados obtidos.

32 18 Capítulo 4 Resultados Neste capítulo são mostrados os resultados das simulações da célula ômega e da célula Smith. A partir das técnicas e métodos descritos no capítulo 3 são apresentados os resultados obtidos tanto para as células referência do trabalho, quanto para as variações da geometria propostas. Os resultados finais são apresentados em formas de gráficos e tabelas. 4.1 Célula ômega O ponto de partida para se analisar os resultados foi a simulação de uma célula ômega (Ω) já conhecida e utilizada em outros trabalhos [30], sendo esta célula o modelo de referência para as demais simulações deste tópico. A célula é envolta em uma caixa de vácuo que possui altura de 5,6 mm (eixo Z), comprimento de 5,0 mm (eixo Y) e largura de 5,0 mm (eixo X), a caixa foi omitida da Figura 4.1 para melhor visualização da célula. Figura 4.1 Célula Ω metamaterial desenhada no ambiente do software HFSS 13. As orientações e dimensões da célula também são destacadas. A tabela 4.1 apresenta as propriedades geométricas da célula metamaterial (Ω). Tabela Propriedades geométricas da célula metamaterial da Figura 4.1. a (mm) b (mm) h (mm) g (mm) w (mm) c (mm) r 1 (mm) r 2 (mm) 5,00 5,00 0,60 0,25 0,30 1,50 1,00 0,70

33 19 O substrato escolhido foi alumina (ε r = 9,2 + j0,012). O campo elétrico está orientado no sentido do eixo X, enquanto o campo magnético tem componente no eixo Z. As portas de excitação, por sua vez, foram posicionadas ao longo do eixo Y. Para que o campo eletromagnético seja excitado de forma correta foram utilizadas condições de contorno periódicas, que permitem simular uma única célula metamaterial como uma estrutura infinita, reduzindo significativamente o custo computacional da simulação. As condições de contorno PMC (condutor magnético perfeito) e PEC (condutor elétrico perfeito) foram associadas às faces normais ao eixo Z e X, respectivamente. Além disso, também foi aplicada a PEC aos dois ômegas da estrutura para emular as faces metálicas, o que evita um aumento considerável no número de elementos da simulação, que também aumentaria o custo computacional. A simulação foi configurada para a faixa de frequência de 9 a 12 GHz discretizado em 200 passos de 15 MHz cada, esta configuração foi utilizada em todas as demais simulações de células ômega deste trabalho. A Figura 4.2 mostra as respostas encontradas para magnitude e fase de S 11 e S 21 respectivamente. Figura 4.2 Magnitude (a) e fase (b) dos parâmetros de espalhamento S 11 e S 21. A subida abrupta na fase de S 11 é um indicativo de um possível índice de refração negativo [30]. A partir do procedimento citado em 3.4 foi calculado a permeabilidade magnética relativa (µ r ), o resultado pode ser observado na Figura 4.3.

34 20 Figura 4.3 Parte real e imaginária da permeabilidade relativa magnética da célula metamaterial Ω. A Figura 4.4 ilustra o resultado obtido por meio dos cálculos de 3.4 para a permissividade elétrica relativa (ε r ). Figura 4.4 Parte real e imaginária da permissividade relativa elétrica da célula metamaterial Ω. É possível notar variações nos segmentos das curvas tanto na permeabilidade quando na permissividade, ambas variações se dão devido a ressonância que ocorre próximo à 11,1 GHz. As partes reais tanto da permeabilidade como da permissividade tem pontos em comum com valores negativos, pontos esses que nos dão uma parte real do índice de refração negativa. O próximo passo foi calcular o índice de refração (n), a Figura 4.5 apresenta o resultado.

35 21 Figura 4.5 Parte real e imaginária do índice de refração da célula metamaterial Ω. Na Figura 4.5 é possível notar uma faixa com valores negativos reais do índice de refração que apresenta a inversão do vetor de Poynting, proporcionando outros fenômenos interessantes que podem ser vinculados às aplicações citadas na seção 2.1. Os valores ocorrem numa faixa após a frequência de ressonância, e resulta da combinação da parte real da permissividade negativa e da parte real da permeabilidade negativa. O ponto onde se tem a parte real com valor -1 é importante pois casa-se a impedância do material com a impedância do ar. A Figura 4.6 ilustra a curva de atenuação do metamaterial (α) que está diretamente ligada a parte imaginária do índice de refração como é possível observar na equação (2.4). Figura 4.6 Curva de atenuação do material. O ponto destacado tem parte real n = 1, possuindo uma atenuação α = 0,51 db/mm.

36 22 Todos os resultados obtidos para essa célula utilizando as configurações descritas são utilizados como molde comparativo para as outras simulações. O resultado obtido de 0,51 db/mm no ponto onde a parte real do índice de refração n = 1,02 é o valor que o trabalho busca reduzir alterando a geometria desta célula Variações do gap da célula ômega Nesta parte foi proposto a alteração da geometria da célula Ω, mais precisamente a alteração dos valores do gap da face superior e da face inferior. O gap pode ser identificado na Figura 4.1 pela letra (g) e possui valor inicial de 0,25 mm, valor esse que é tido como referência e é representado pela cor preta nos gráficos. Foram propostos dois valores abaixo do valor de referência (g = 0,05 mm e g = 0,15 mm) e dois valores acima (g = 0,35 mm e g = 0,45 mm). A parte imaginária da permeabilidade relativa magnética e da permissividade relativa elétrica são omitidas por não serem o foco do estudo neste momento. Deste modo a Figura 4.7 ilustra as quatro variações e o resultado da célula referência (g = 0,25 mm) para a parte real da permeabilidade relativa magnética e a Figura 4.8 ilustra os resultados para parte real da permissividade relativa elétrica. Figura 4.7 Relação das partes reais das permeabilidades magnéticas.

37 23 Figura 4.8 Relação das partes reais das permissividades elétricas. Observando a Figura 4.7 é possível notar um padrão, quanto menor o valor do gap menor a frequência de ressonância e menor o valor da amplitude da parte real da permeabilidade relativa magnética. Na Figura 4.8 o padrão de ocorrência das frequências de ressonância se mantém, ocorrendo primeiro a que tem o menor valor de gap, assim como o valor da amplitude da parte real, que possui menores valores em módulo para os menores valores de gap. Também observa-se que todas as curvas possuem partes negativas reais esses valores das duas grandezas combinados resultam em um n < 0. Já na parte real do índice de refração na Figura 4.9, foi possível notar algumas distorções após a frequência de ressonância e a ocorrência dos valores negativos reais. A frequência de ressonância manteve o padrão das frequências anteriores e quanto menor o valor de gap maior o valor em módulo da amplitude dessa grandeza.

38 24 Figura 4.9 Relação das partes reais dos índices de refração. A Figura 4.10 ilustra as curvas para a parte imaginária dos índices de refração vinculados às curvas em questão. Nota-se que quanto menor o valor do gap maior é a amplitude, o que é um problema, levando em consideração que a parte imaginária dessa grandeza está diretamente ligada às perdas do metamaterial como pode ser visto na Figura O parâmetro de comparação utilizado nas curvas de atenuação parte do ponto onde todas as curvas atingem o valor real de -1 após a frequência de ressonância na Figura 4.9. Tendo este ponto como base é comparado o valor da atenuação para todas as curvas utilizando a equação 2.4. Os pontos são destacados na ilustração Figura 4.10 Relação das partes imaginárias dos índices de refração.

39 25 Figura 4.11 Valores de atenuação encontrados para as curvas em relação ao valor de -1 da parte real dos índices de refração. Analisando-se os gráficos obtidos é possível notar o dinamismo da célula metamaterial, alterações de pequenos valores na estrutura muda o comportamento das respostas, interferindo tanto na amplitude quanto na frequência de ressonância. A Tabela 4.2 informa os valores encontrados para cada gap em questão. Pode-se notar que o menor valor de atenuação encontrado foi para a curva cujo gap vale 0,15 mm. Foram coletados os pontos mais próximos do valor real de -1, levando em consideração que os passos possuem passos de 15 MHz entre eles. A atenuação é dependente tanto da parte imaginária do índice de refração quanto da frequência. Tabela Valores de frequência, índice de refração e atenuação para cada curva relacionada a um valor de gap distinto. Gap Frequência Índice de Refração Atenuação 0,05 mm 10,462 GHz -1, j0,2166-0,4126 db/mm 0,15 mm 10,854 GHz -0, j0,1834-0,3624 db/mm 0,25 mm 11,171 GHz -1, j0,2524-0,5132 db/mm 0,35 mm 11,397 GHz -0, j0,2477-0,5140 db/mm 0,45 mm 11,578 GHz -0, j0,4591-0,9677 db/mm

40 Outras variações na célula ômega Foram propostas outras alterações na geometria da célula, como alteração dos raios, alteração do wire (w), inserção de outros elementos geométricos na célula e combinações de variações. A princípio foi seguido o molde das variações anteriores, onde se tem dois valores abaixo e dois valores acima dos valores de referência, porém em algumas situações foram encontrados descontinuidades nos resultados ou respostas fora da faixa de operação do trabalho (ex: redução dos raios r1 e r2 ocasiona um grande avanço da frequência de ressonância, ultrapassando os 12 GHz). Sendo assim é apresentado nesse tópico apenas os melhores resultados das alterações propostas. O enfoque dos resultados se dá apenas nas curvas do índice de refração e atenuação. As curvas mostradas nas Figuras 4.12, 4.13 e 4.14 foram alteradas da seguinte maneira: Referência: É a célula usada como referência para as demais alterações que é descrita pela Figura 4.1 e Tabela 4.1. Curva A: Alteração do valor do gap (g) de 0,25 mm para 0,15 mm apenas da face inferior da célula, retirando a similaridade entre as faces. Curva B: O wire (w) foi alterado de 0,30 mm para 0,60 mm. Curva C: O raio interno r 1 foi alterado de 0,70 mm para 0,90 mm e o raio externo r 2 foi alterado de 1,00 mm para 1,20 mm. Assim foi mantida a relação entre eles de 0,30 mm. Curva D: O raio interno r 1 foi alterado de 0,70 mm para 1,00 mm e o raio externo r 2 foi alterado de 1,00 mm para 1,30 mm. Assim foi mantida a relação entre eles de 0,30 mm. A Figura 4.12 ilustra os resultados obtidos para a parte real dos índices de refração, enquanto a Figura 4.13 ilustra a parte imaginária dos índices de refração.