1) O pai do padre, se tirasse a palavra único poderia ser pai ou tio do padre. 2) As bactérias encheriam a metade do tubo do ensaio em 5 dias.

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1 RESPOSTAS DOS DESAFIOS LEMIN - Laboratório de Educação Matemática Isaac Newton 1) O pai do padre, se tirasse a palavra único poderia ser pai ou tio do padre. 2) As bactérias encheriam a metade do tubo do ensaio em 5 dias. 3) 4) Visto que os dois trens estão na mesma velocidade, eles se chocarão na metade do trajeto, e portanto, cada um corre 50 Km. Em consequência, como sua velocidade é de 50 km/h demora exatamente 1 hora para se chocarem. Este é o tempo que a mosca fica voando, e, portanto, como sua velocidade é de 100 km/h, a distância que correu é de 100 quilômetros. 5) Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só, e quando terminar o de 5 minutos, faltará no de 8, 3 minutos para terminar. Nesse momento damos a volta no de 5 minutos. Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de 5 ficaram 2 minutos para terminar. Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para terminar, que somados aos 8 que haviam passado, somarão 11 minutos no total. 6) Três pessoas estavam pescando: filho, pai e avô. O pai é filho e pai ao mesmo tempo. Há dois filhos (filho e pai) e dois pais (pai e avô). 7) Digamos que o avô do interlocutor tenha nascido em 18XY. De acordo com os dados do problema, sua idade será XY. Observe que o avô só poderia ter nascido no século anterior! Desse modo, sua idade será dada por: XY = XY. Agora, precisamos decompor os números segundos suas respectivas ordens, para podermos montar uma equação. Por exemplo: o número 735 é decomposto da seguinte maneira: 7 x x x 1, ou seja, 7 CENTENAS, 3 DEZENAS e 5 UNIDADES. Voltando à equação: X - Y = 10 X - Y Þ 20X + 2Y = 138 Þ (dividindo-se tudo por 2) Þ 10X + Y = 69 (equação 1).

2 A idade do neto é dada pela equação ZW = ZW. Da mesma forma que procedemos no caso do avô Z - W = 10Z + W Þ 20Z + 2W = 38 Þ 10 Z + W = 19 (equação 2) A idade do avô quando o neto nasceu deve ser dada por: 19ZW - 18XY Þ (10Z + W) - (10X + Y) (equação 3). Da equação 1, temos que (10X + Y) = 69, e, da equação 2, (10Z + W) = 19. Substituindo, então, estes valores na equação 3, teremos a idade do avô quando seu neto nasceu: = 50 anos 8) Temos um sistema envolvendo quatro variáveis (esfirra, saco de salgadinhos, refrigerante e maço de cigarros). Porém, temos apenas duas equações: a+b+c+d = 7,11 a.b.c.d= 7,11 Para resolver o problema, o jeito é determinar o preço de dois itens, e depois calcular os outros dois. Por exemplo, vamos determinar que a esfirra custa R$1,50 e o saco de salgadinhos custa R$1,25. Então teríamos um sistema fácil de resolver: 1,50+1,25+c+d = 7,11 1,50.1,25.c.d = 7,11 Isolando o c na primeira equação temos: c = 7,11-1,50-1,25-d c = 4,36 - d Substituindo na segunda equação temos: 1,50.1,25.(4,36-d).d = 7,11-1,875d2 + 8,175d - 7,11 = 0 d=1,20 ou d=3,16 Usando d=1,20, achamos o valor de c: c = 4,36-1,20 = 3,16 Portanto, um conjunto de valores possíveis para os itens são: Esfirra: R$1,50 Salgadinhos: R$1,25 Refrigerante: R$3,16 Cigarros: R$1,20

3 9) Sendo x o número de netos do vovô Severino, e y a quantia que ele separou para presenteá-los, temos o seguinte sistema: 12x + 60 = y 15x = y + 6 Substituindo y na segunda equação temos: 15x = (12x + 60) x - 12x = x = 66 x=22 O vovô Severino tem 22 netos! 10) Uma solução é a seguinte: 1) Leve o carneiro 2) Leve o lobo e traga de volta o carneiro 3) Leve a cesta de repolho 4) Leve o carneiro Outra solução: 1) Leve o carneiro 2) Leve a cesta de repolho e traga de volta o carneiro 3) Leve o lobo 4) Leve o carneiro 11) Se colocarmos 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos. Ou seja, Sendo x o número de jumentos, o número de sacos é igual a 2x+13. Se colocarmos 3 sacos em cada jumento, ficam 3 jumentos desocupados. Nesse caso, o número de sacos seria 3x-9. Então, basta montar a equação e encontrar o número de jumentos, para posteriormente achar o número de sacos. 2x+13 = 3x = 3x-2x x = 22 jumentos Se são 22 jumentos, o número de sacos é 2(22)+13 = 57. Resposta: Paulo César deve transportar 57 sacos. 12) A autoridade ordenou que o preso passasse 1 dia na prisão e 1 dia solto, até morrer. Por exemplo, se ele vivesse 10 anos, passaria 5 anos preso e 5 anos livre.

4 13) 1 bicho, porque se achasse meio queria dizer que comi metade. 14) Resposta: COBRA. Quando a cobra der o bote, basta Orlaneide pegar o bote e atravessar o rio. 15) Basta você dizer: "VOU MORRER NA FOGUEIRA!" Essa afirmação não pode ser verdadeira, pois, se fosse você morreria afogado, e não na fogueira. Também não pode ser mentira, pois se você mentisse morreria na fogueira (o que tornaria a afirmação verdadeira). 16) Porque guardas-noturnos não podem dormir no trabalho. 17) O pobre coelho jamais alcançará seu alimento, pois a distância restante será sempre dividida por dois, nunca chegando a zero. 18) Vamos chamar de A o peso de um adulto e C o peso de uma criança. Então, a capacidade do elevador é 20A ou 24C, ou seja: 20A=24C A = 1,2C Sabe-se que 15 adultos já estão no elevador. Logo, pode-se colocar mais 5A no elevador. Em crianças, isso corresponde a 5(1,2)C = 6C Portanto, o número de crianças que podem entrar no elevador é 6. 19) Sabemos que: - Dez compradores compraram menos que 6 joias. - Um comprador comprou mais de 9 joias. Logo, esses 11 compradores citados acima não compraram 6, 7, 8 ou 9 joias. Ou seja, os dezenove compradores restantes compraram.

5 20)Vamos representar o número de pássaros por p e o número de coelhos por c. Considerando que os pássaros tem dois pés e os coelhos têm quatro, obtemos duas equações: p + c = 16 2p + 4c = 38 Isolando p na primeira equação, temos: p = 16 - c Substituindo p na segunda equação: 2p + 4c = 38 2(16 - c) + 4c = c + 4c = 38 2c = 6 c=3 Como temos 3 coelhos, o número de pássaros é: p = 16-3 p = 13 21) O relógio que não anda mostra a hora certa duas vezes ao dia. O que atrasa só mostra a hora certa de doze em doze dias, após haver atrasado 12 horas. Portanto o que não anda mostra a hora certa com maior freqüência. 22) = ) Dos 12 patos que tinha, Robervaldo vendeu 10, cada um deles por R$200,00. Portanto o valor total foi 10*R$200,00 = R$2.000,00. Quanto aos ovos...pato não bota ovo! Resposta: R$2.000,00 24) O avô é o pai de sua mãe, ou seja, seu avô materno. 25) Carlos Recife 305 Fernando Porto Seguro 419

6 Joel Fortaleza ) O dia depois do dia de antes de amanhã é o próprio amanhã (no caso, quartafeira). Três dias antes é domingo. Resposta: voltei no domingo. 27) Devemos lembrar que, ao receber um sorvete, recebemos também um palito. Logo o sorvete "custa" 9 palitos. Portanto, um palito vale 1/9 do preço do sorvete. 28) Dê a quinta maçã para a quinta pessoa dentro da cesta. 29) x=6 ou x=66 ou x=666 e assim por diante. 30) O maior número restante é Para ver isto, podemos supor que os cortes são feitos da esquerda para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos, o número que resta começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número acima. Feito isto, se deixarmos de cortar a segunda sequencia 1234, o número que resta terá na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3 ou 4. Ainda menor que o número acima. Os dois primeiros 5 devem permanecer, pois retirandose um deles, completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira sequencia 1234 aparecerá na 1a ou na 2a casa. Finalmente devemos cortar a sequencia 12, que ocupa a 11a e 12a posição. 31)Pedro não pagou! Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa. 32) Na tabela abaixo mostramos como analisar as informações do enunciado. Na primeira linha, supomos que Bernardo disse a verdade; na segunda, que Guto disse a verdade e na terceira, que Carlos disse a verdade.

7 Nas duas primeiras linhas, chega-se à conclusão de que o celular de Guto tanto tocou quanto não tocou (em vermelho). Essa contradição mostra que o único caso possível é o da terceira linha, ou seja, Carlos disse a verdade e os celulares de Guto e Carlos tocaram. 33) Para que a diferença seja mínima, os algarismos das dezenas de milhares devem ser consecutivos. Além disso, o número formado pelos quatro últimos algarismos do maior número deve ser o menor possível, enquanto o formado pelos quatro últimos algarismos do menor deve ser o maior possível. Com quatro algarismos distintos, o maior número que podemos formar é 9876 e o menor é 0123 (note que aqui podemos usar o 0, pois não estamos trabalhando com a primeira posição à esquerda). Assim, os algarismos consecutivos a serem usados para as dezenas de milhares são 4 e 5. Os dois números são, portanto, e 49876, cuja diferença é ) Aqui usaremos os termos peso e massa como sinônimos, para tornar o texto mais próximo da linguagem coloquial. Uma melancia é constituída de duas partes: água e componentes sólidos (fibras, açúcares, etc.). Durante a desidratação somente ocorre perda de água; o peso dos demais componentes, antes e depois da desidratação, permanece o mesmo. O enunciado diz que, após ser desidratada, a melancia pesa 6 kg, dos quais 90% correspondem a água; os 10% restantes, cujo peso é, correspondem aos componentes sólidos. Por outro lado, antes de ser desidratada, a melancia tinha 95% de água, logo ela continha 5% de componentes sólidos; como o peso desses componentes não muda, vemos que 5% do peso original da melancia era 0,6 kg. Portanto 10%, ou seja, a décima parte, do peso original da melancia era igual a 1,2 kg; logo, o peso original da melancia era 10*1,2=12kg 35) No começo temos 2 portas com bodes e 1 porta com o premio, nossa chance de escolher uma porta com bode é maior. O apresentador após a sua escolha vai sempre abrir uma porta que contém bode, então se você tiver escolhido uma porta com bode (chance maior no começo) e mudar de opção, você sempre vai ficar com a porta que contém o premio. Então o problema está na sua escolha inicial, veja só, se você escolher um bode no começo do programa (2 chances em 3) e depois mudar de porta você vai ganhar o premio

8 com certeza, já que o apresentador sempre vai abrir uma porta que tem um bode. Então toda vez que um candidato escolher uma porta errada no começo do programa (2/3 de chance) e depois mudar de porta, ele ganhará o premio. Então nossa probabilidade se resume a probabilidade inicial de escolhermos um bode, levando em conta que iremos trocar de porta de qualquer maneira. Então trocando de porta nossa probabilidade vai ser 2/3 de ganhar o premio. 36) Existem 20 noves entre 0 e 100. Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e mais os dez noves da dezena 9 (90, 91, ). No total = 20 noves. 37) 1 saco de areia = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 8 = 144 tijolos. 38) O próximo número da sequência 5, 11, 19, 29, 41,... é 55. A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, a partir do 6: = = = = = ) A resposta é 0, pois quando chegarmos no (x-x) o valor será zero logo o valor da expressão 40) Sendo G a garrafa, e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas equações: 1) G + R = 1,10 2) G = R+1 Resolvendo esse sistema, obtemos R=0,05 e G=1,05.