MODELAGEM MATEMÁTICA EM UM CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA AGRÍCOLA ANÁLISE DE UM SOLO USANDO FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA EM UM CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA AGRÍCOLA ANÁLISE DE UM SOLO USANDO FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS Aracéli Ciotti de Marins, Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Rodolfo Eduardo Vertuan, Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Resumo: Diante do ambiente informatizado e tecnológico cada vez mais complexo com que nossos jovens se deparam, surge a necessidade de uma formação correspondente. Diante disso, é importante promover um ensino no qual os próprios alunos construam conhecimentos sobre determinados objetos matemáticos e sobre a realidade que os cerca, utilizando, quando necessário, ferramentas computacionais para atingir fins específicos. Neste trabalho, abordamos a Modelagem Matemática como alternativa de ensino e de aprendizagem da Matemática em um curso superior de Engenharia Agrícola. Para isso, apresentamos uma situação referente à determinação das condições de produtividade de uma cultura, por meio da qual o conteúdo funções de várias variáveis` pode ser discutido via a utilização de dois softwares matemáticos o SPSS e Idrisi 32. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Função de Várias Variáveis; ferramentas computacionais. 1. Introdução Quando se trata do ensino de Matemática num curso superior de Engenharia Agrícola, entende-se que os conteúdos ali abordados devam servir aos interesses do futuro profissional. Neste sentido, partir de temas específicos da área de formação deste profissional e utilizar a Matemática como ferramental para a análise, interpretação e tomada de decisões, é atividade fundamental. Consideramos, portanto, a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática no curso superior de Engenharia Agrícola, por entendermos que uma atividade de Modelagem Matemática consiste em partir de uma situação-real, preferencialmente do interesse dos alunos, e criar, por meio da coleta, análise e organização dos dados coletados, uma expressão em linguagem que possa servir de parâmetro para descrição e compreensão da realidade.

2 Na perspectiva da Educação Matemática, quando a atividade de Modelagem é desenvolvida por alunos sob orientação do professor, a atividade atende, ainda, a fins educacionais, relativos ao ensino e à aprendizagem da Matemática. Para o tratamento das informações coletadas, muitas vezes, faz-se necessário o uso de ferramentas computacionais específicas. Neste trabalho, utilizamos o software SPSS, que consiste de uma ferramenta de análise estatística e. Por meio do software, discutimos o conteúdo matemático função de várias variáveis, bem como a determinação da produtividade da soja numa propriedade rural na região de Cascavel-PR. Neste sentido, apresentamos, num primeiro momento, considerações sobre a Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática. Em seguida, discutimos como o uso de instrumentos computacionais pode estar aliado ao desenvolvimento de atividades de Modelagem. A partir de então, apresentamos uma atividade referente à produtividade de um solo, focando o conteúdo matemático trabalhado função de várias variáveis e o uso de um software matemático na determinação do modelo matemático da situação. Seguem as considerações finais e as referências utilizadas neste texto. 2. A Modelagem Matemática A Modelagem Matemática pode ser considerada uma alternativa pedagógica que tem como foco a aprendizagem de conteúdos matemáticos por meio de investigações de situações com dados obtidos de fontes reais. Neste ambiente de investigação, mais importante que as respostas encontradas, são as discussões realizadas pelos alunos durante todo o processo de resolução do problema. Neste trabalho, assumimos o entendimento de Modelagem já apresentado em Almeida e Brito (2005), como sendo uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não essencialmente matemático. Na perspectiva da Educação Matemática, a Modelagem surge, então, como uma abordagem de questões reais, oriundas do âmbito de interesses dos alunos, que pode motivar e apoiar a compreensão de métodos e conteúdos da escolar, promovendo a construção de conhecimentos (Almeida e Brito, 2005) bem como pode servir para mostrar aplicações da Matemática em outras áreas de conhecimento.

3 Para Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática consiste, essencialmente, na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. Em relação ao processo de Modelagem, algumas etapas podem ser consideradas. Embora não aconteçam, necessariamente, na ordem em que apresentamos, muitos trabalhos de Modelagem descritos na literatura apresentam estas etapas características. A escolha de um tema do interesse dos alunos e de um problema pertinente ao tema é uma etapa essencial no que tange ao comprometimento dos alunos com a atividade de Modelagem. Findada a seleção do tema e do problema, professor e alunos partem em busca de informações que viabilizem a investigação por meio do ferramental matemático. De posse das informações, os atores envolvidos na aula discutem hipóteses e simplificações, as quais dão encaminhamento à resolução como um todo. Uma próxima etapa consiste em construir uma representação inicial da situação em questão, para, a partir daí, desenvolver e encontrar um modelo matemático que represente de algum modo essa situação. O desenvolvimento de um modelo matemático e o consequente uso deste modelo para responder ao problema inicial são etapas que se dão no contexto matemático, embora haja uma constante referência ao contexto original. Finalmente, segue a interpretação e a reflexão dos alunos em relação à situação investigada. A validação do modelo se dá no processo de intermediação entre o problema original e o modelo matemático. Caso a resposta não seja válida, o modelador deve reiniciar todo o processo de Modelagem Matemática, desde a seleção das variáveis envolvidas e dos conceitos-chave essenciais. 3. O uso de ferramentas computacionais em atividades de Modelagem Matemática É notável o impacto que a tecnologia da informação e comunicação (TIC) representa na sociedade atual. Saber operar tais tecnologias nas mais variadas atividades, sejam elas profissionais ou não, torna-se, assim, condição para o exercício da cidadania. Segundo Lodi (2008), Por um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia a dia da sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la; por outro

4 lado, tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática. É importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática (LODI, 2008, p.87). No que tange à Modelagem Matemática, consideramos que são muitas as situações que podem ser potencializadas por meio do uso de ferramentas computacionais. Neste sentido, tais ferramentas tanto podem possibilitar o desenvolvimento de modelos matemáticos quanto podem constituir-se importantes instrumentos por meio dos quais se dá o ensino e a aprendizagem da Matemática. Tratar do uso de ferramentas computacionais em atividades de Modelagem implica em pensar este recurso não apenas como instrumento de realização de cálculos e de obtenção de modelos e representações s, mas sim, pensá-lo como um agente do processo de ensino e aprendizagem que, em conjunto com os demais agentes, tais como o aluno e sua relação com o saber, pode levar à resolução de problemas, agilizar a execução de algoritmos, mobilizar habilidades de busca e tratamento de informações, dinamizar a visualização das diferentes representações dos objetos matemáticos, levar à conclusões s e extras das situações de Modelagem. Nesta perspectiva, o uso de ferramentas computacionais em sala de aula deve tornar-se atividade constante, principalmente, no âmbito de cursos superiores, em que este tipo de ferramenta é também necessário na futura atividade profissional. Para Perrenoud (2000), Formar para as novas tecnologias é formar o julgamento, o senso crítico, o pensamento hipotético e dedutivo, as faculdades de observação e de pesquisa, a imaginação, a capacidade de memorizar e classificar, a leitura e análise de textos e de imagens, a representação de redes, de procedimentos e de estratégias de comunicação (p.128). Logo, é importante que o docente seja capaz de repensar a organização de conteúdos e metodologias de modo a adequá-las para o trabalho com as diversas tecnologias que sejam específicas à formação do aluno do ensino superior. Neste sentido, abordamos uma atividade de Modelagem em que um software matemático é usado na

5 construção de um modelo matemático e na discussão do conteúdo função de várias variáveis. 4. Determinando a produtividade da soja abordando o conteúdo função de várias variáveis por meio do software SPSS num curso de Engenharia Agrícola O curso de Engenharia Agrícola tem uma base sólida nas disciplinas de. Na maioria das grades desse curso, são ofertadas, nas séries iniciais, disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, sem que, muitas vezes, os alunos saibam qual a verdadeira razão pela qual estão aprendendo aqueles conteúdos. São frequentes os momentos em que os alunos indagam o professor de Matemática a respeito da aplicação prática dos conteúdos da disciplina, na área específica de seu curso. Neste sentido, buscou-se, com este trabalho, envolver os alunos desse curso, mostrando a eles uma aplicação prática de conceitos matemáticos, que estão intimamente ligados às especificidades das ciências agronômicas. Partir da coleta de dados de variáveis de física do solo e encontrar uma equação que as relacione, utilizando Modelagem, é um trabalho interdisciplinar que mostra a importância e eficiência para um Engenheiro Agrícola. Assim, o objetivo deste trabalho é aplicar o conteúdo de funções de várias variáveis às ciências agronômicas, por meio da Modelagem enquanto alternativa pedagógica, para determinar uma equação que relacione variáveis da física do solo à produtividade da soja, utilizando auxílio computacional. 4.1 Metodologia Durante o ano de 2004, foram coletados dados referentes a três variáveis da área da agronomia em uma propriedade situada no município de Cascavel PR. O solo da área é classificado como Latossolo Vermelho Escuro distroférrico, derivado de rochas de origem basáltica apresentando relevo suavemente ondulado. O sistema de manejo é o plantio direto. Os pontos amostrais foram georreferenciados com o auxílio de um GPS, sendo 48 pontos dispostos em uma grade regular de 100 x 100 m. A Figura 1 apresenta o croqui da área amostral.

6 Figura 1 - Croqui da área experimental e respectivos pontos amostrais. Foram estudadas as seguintes variáveis: densidade do solo, Ds [Mg m -3 ]; umidade volumétrica, Uv [%]; resistência do solo à penetração, Rs [MPa] e; produtividade da soja (P), [Mg ha -1 ]. As amostras para a determinação da densidade e umidade volumétrica do solo foram retiradas em três profundidades: 0-10, e cm, em cada ponto amostral. Foram realizadas duas repetições a cada profundidade, a fim de obter amostras representativas, considerando a grande dispersão dos atributos físicos e prevenindo perda de amostras durante a realização dos procedimentos laboratoriais. A Rs foi determinada na profundidade de 0-30 cm e foram realizadas dez repetições em cada um dos pontos amostrais. O método utilizado na análise Ds foi o do anel volumétrico 1, na análise da Uv foi utilizado o Método da secagem em estufa 2, ambas conforme EMBRAPA (1997). A Rs foi coletada por meio de um penetrógrafo 3 de haste, com ângulo de cone de 30º, diâmetro da base de cone de 12,83 mm, diâmetro da haste de 9,53 mm e comprimento de 600 mm descrito em Tieppo (2004). A produtividade da soja 1 Método de análise do solo, em que são utilizados anéis volumétricos (cilindros de ácido inoxidável bi zelados, com dimensões de aproximadamente 5 cm de diâmetro por 5 cm de altura) contendo solo, os quais são pesados após permanecerem em estufa a 105ºC durante 24 horas, para determinação da massa de solo seca, que é dividida pelo volume do anel, quociente que representa a densidade do solo. 2 Método de análise de física do solo, que consiste em multiplicar a densidade do solo pela umidade gravimétrica, sendo esta o quociente entre (massa de solo úmido massa de solo seco) e massa de solo seco. 3 Aparelho que registra os valores da resistência que o solo apresenta a algo que tente se mover através dele, definida como resistência do solo a penetração.

7 foi verificada pela colheita em duas linhas, em um comprimento de 1,5 m em cada um dos pontos amostrais. Esses dados foram tabulados e aplicados no software SPSS 11.0 para encontrar a função que descreve a produtividade da soja com respeito às demais variáveis em estudo. Os mesmos dados foram utilizados para construção de mapas temáticos de contorno com auxílio do Software Idrisi Função de Várias Variáveis Define-se função de duas variáveis como uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um conjunto D um único valor real, denotado por f(x,y), escrito frequentemente como z = f(x,y). As variáveis x e y são as variáveis independentes e z a variável dependente. Analogamente, pode-se definir função de n variáveis, como uma regra, que para cada (x 0,x 1,x 2,..., x n ) associa um único valor real, denotado por f(x 0,x 1,x 2,..., x n ) = z. Neste caso, z é a variável dependente e x 0, x 1, x 2,..., x n são as variáveis independentes. Neste trabalho, a variável dependente é a Produtividade da soja (P) e as variáveis independentes são: densidade do solo nas profundidades de 0-10, e cm (Ds 1, Ds 2 e Ds 3 ), umidade gravimétrica nas três profundidades (Uv 1, Uv 2 e Uv 3 ) e resistência do solo à penetração nas três profundidades (Rs 1, Rs 2 e Rs 3 ). 4.3 Análise do Modelo em relação ao contexto inicial As funções de várias variáveis são apresentadas nos cursos superiores de engenharia, caracterizando um conjunto de definições e métodos de encontrar limites, derivadas parciais e integrais múltiplas, além da construção de gráficos. Normalmente, não são empregadas nem explicadas técnicas de análise da função de várias variáveis. Para uma função de duas variáveis independentes x e y, com uma variável dependente z, pode ser construído um gráfico, no espaço, que representa uma região, segundo a qual se pode verificar qual o valor de z, dados x e y conhecidos. Porém, quando há mais de duas variáveis independentes, como no caso deste estudo, não possuímos técnicas de representação gráfica, que representem a variável independente em função da dependente.

8 No caso das variáveis estudadas, construiu-se, por meio da alternativa pedagógica Modelagem Matemática, a equação de uma função que apresenta a produtividade da soja em função de nove variáveis independentes. Assim, a construção de um gráfico seria inviável, porém, algumas considerações podem ser feitas a respeito do modelo encontrado. abaixo: Um modelo que relaciona as variáveis em estudo é apresentado pela equação P = 1,5 0,5Ds + Rs 1 + 0,9Ds2 0,3Ds3 + 4,3Uv 1 0,07Uv 2 + 5,03Uv 3 + 0,25Rs1 0,48Rs2 0, 22 Observa-se, a partir da análise do modelo matemático obtido, que a produtividade da soja nesta área experimental é afetada positivamente pela umidade do solo, e negativamente pela densidade e resistência do solo à penetração na primeira e terceira profundidades estudadas. Assim, confirma-se o que se aprende em física do solo, que quanto maior a resistência do solo e a densidade, a produtividade será menor. Da mesma forma, quanto maior a umidade, maior a produtividade. Esta equação permite que se possa estimar a produtividade da soja, para valores conhecidos da umidade, densidade do solo e resistência a penetração a diferentes profundidades. Por exemplo, suponha que o engenheiro conheça a densidade, a resistência a penetração e a umidade do solo, em determinado local da área a ser cultivada, assim, poderá estimar qual será a produtividade na próxima colheita, o que o permitirá realizar técnicas agrícolas para melhorar a produção. Em resumo, como primeira etapa da atividade modelagem aqui proposta, foi definida uma área da engenharia agrícola, cujos dados pudessem ser interpretados de maneira interdisciplinar com a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 2, mais precisamente com o conteúdo de funções de várias variáveis. Assim, optou-se pela área de física do solo, que emprestou seus conhecimentos para serem empregados na pesquisa. Na sequência, os dados foram coletados. Como o número de variáveis envolvidas no estudo era muito grande, optou-se por utilizar um software, que apresentasse o modelo matemático desejado. Verificou-se assim, que o modelo respondia ao problema inicial, de encontrar uma equação que relacionassem todas as variáveis em questão. A seguir, partiu-se para a etapa de reflexão e interpretação do modelo. 3

9 Pela definição de função de várias variáveis, apresentada anteriormente, temos P como variável dependente das variáveis Ds 1, Ds 2, Ds 3, Uv 1, Uv 2, Uv 3, Rs 1, Rs 2 e Rs 3. Assim, para determinar a produtividade em algum ponto, pode-se substituir os valores das variáveis independentes naquele mesmo ponto. Tendo em vista esta possibilidade, foram construídos mapas que apresentam a produtividade da área estudada, e das variáveis que mais influenciam na produtividade, através do Software Idrisi 32. Os resultados são apresentados através das Figuras 2, 3 e 4. Figura 1 - Mapa temático da produtividade da soja. O canto superior esquerdo é o local em que foi verificada a produtividade máxima de 3,97 Mg ha -1. Os locais de menor produtividade estão na área mais clara da figura. No mesmo local em que a produtividade foi alta, observou-se umidade na profundidade de 0-10 cm alta, como é mostrado na figura 3 Figura 2 - Mapa temático da umidade volumétrica de 0-10 cm. Observou-se ainda, que no local que apresentou maior produtividade, a Rs de cm foi baixa, de acordo com a Figura 4.

10 Figura 3 - Mapa temático da umidade volumétrica de cm. Considerações Finais Ao utilizar a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica, inserimos os alunos em um contexto de aprendizagem em que a discussão de situações-problema e a participação ativa se fazem essenciais. Quando o tema discutido for de interesse do grupo de alunos que realiza a atividade e, ainda, um tema específico da formação profissional deste aluno no caso da Engenharia Agrícola mais os alunos são levados a encarar a Matemática como um ferramental útil na análise, compreensão e tomada de decisões em sua área de atuação. Tão importante quanto a Matemática no desenvolvimento profissional do engenheiro agrícola, é o uso consciente e competente das ferramentas computacionais, ora utilizadas para obtenção de distintas representações s ou modelos matemáticos de situações, ora utilizados como ferramentas de execução de algoritmos. No entanto, independente do modo como tais ferramentas são encaradas, seu uso influencia fortemente o ensino e a aprendizagem da. Na situação apresentada, o software utilizado permitiu a construção do modelo segundo o qual, variáveis de interesse dos alunos estão relacionadas. Os alunos puderam verificar, também, que conteúdos matemáticos auxiliam na construção do conhecimento de outras disciplinas da sua área de formação. A partir das considerações apontadas no decorrer do texto é que conferimos à Modelagem potencial para contribuir com a formação do aluno do curso de Engenharia

11 Agrícola, tanto no que tange à formação pertinente, quanto no que diz respeito ao uso de softwares específicos da área de atuação deste aluno. Referências ALMEIDA, L. M. W. ; BRITO, D. S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação (UNESP), v. 11, p. 1-16, BASSANEZI, Rodney C. Ensino-aprendizagem com modelagem : uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, EMPRESA BRASILEIRA DE PESQUISA AGROPECUÁRIA - EMBRAPA. Serviço Nacional de Levantamento e Conservação de Solos. Manual de métodos de análise do solo. Rio de Janeiro: EMBRAPA. 1997, 212 p. LODI, Lucia Helena (coord). Orientações curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2008, v.2. PERRENOUD, Philippe, Dez Novas competências para ensinar, Porto Alegre: Artes Médicas, TIEPPO, R. C. Desenvolvimento de um penetrômetro eletrônico manual. Cascavel, PR, f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Agrícola) Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual do Oeste do Paraná.