LIGAÇÃO ENTRE VIGAS PRÉ-FABRICADAS DE PONTES COM ARMADURAS ORDINÁRIAS. ANÁLISE PROBABILÍSTICA

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1 Encontro Nacional Betão Estrutural LIGAÇÃO ENTRE VIGAS PRÉ-FABRICADAS DE PONTES COM ARMADURAS ORDINÁRIAS. ANÁLISE PROBABILÍSTICA C. F. SOUSA Assistente Est. FEUP Porto A. S. NEVES Prof. Associado FEUP Porto SUMÁRIO Nesta comunicação apresenta-se a análise do comportamento em fase de serviço de uma solução de ligação entre vigas pré-fabricadas de pontes, sem utilização de pré-esforço para materialização da continuidade. É utilizado o método de Monte Carlo para atender à variabilidade dos parâmetros que mais influenciam o comportamento diferido do betão. É usado o programa DIANA para a realização da análise estrutural. 1. INTRODUÇÃO O principal objectivo do estudo é a avaliação do comportamento em fase de serviço de pontes construídas com recurso a vigas pré-fabricadas, sendo a ligação entre vigas realizada com soluções de betão armado, isto é, sem recorrer a pré-esforço de continuidade. Pretende-se verificar se esta solução é viável para pontes com vãos superiores a 20 m. Neste artigo apresenta-se o estudo de um tabuleiro com vão de 25 m, para o qual se pretende caracterizar as tensões instaladas no betão e o comportamento em termos de abertura de fendas, durante a fase de serviço. Para a realização deste estudo é importante a correcta modelação do comportamento do betão, nomeadamente: - o comportamento do betão traccionado; - o comportamento diferido do betão (maturação, fluência e retracção).

2 Encontro Nacional Betão Estrutural Outro aspecto importante é a consideração da variabilidade das propriedades dos materiais e dos factores ambientais (tais como temperatura média e humidade relativa). A importância deve-se ao facto de, neste tipo de estruturas, o estado de tensão e de deformação variar ao longo do tempo e ser fortemente dependente das deformações diferidas do betão (fluência e retracção), em virtude do faseamento construtivo envolvido na sua construção. Assim, uma análise estrutural, em fase de serviço, de natureza determinística (realizada com os valores médios dos parâmetros materiais e ambientais, procedimento este que é corrente na execução de projectos de estruturas) pode conduzir a resultados irrealistas (nomeadamente em termos da verificação da descompressão de elementos ou quantificação de abertura de fendas), se a variabilidade associada a esses parâmetros for grande (como é o caso da variabilidade associada às deformações por fluência e retracção do betão). Neste trabalho, é utilizado o método de Monte Carlo para o cálculo da resposta estrutural em fase de serviço, não apenas em termos de valores médios mas caracterizando também a sua variabilidade. Obtêm-se como resultado o valor característico (correspondente ao quantil de 5% ou outro) de grandezas tais como: - tensão normal nas fibras extremas das secções mais condicionantes; - valor da abertura de fenda nas secções mais condicionantes. Neste trabalho, após a descrição da estrutura em análise, referem-se os resultados de um cálculo determinístico realizado com os valores médios das propriedades materiais e ambientais recorrendo ao programa DIANA [1]. Finalmente, apresentam-se os resultados mais relevantes da análise probabilística. 2. DESCRIÇÃO DO CASO EM ANÁLISE Trata-se de uma ponte com dois vãos de 25 m, sem viés, constituída por vigas pré-fabricadas afastadas entre si de 2.25 m sobre as quais é construída uma laje com 0.22 m de espessura. As vigas apoiam-se sobre a infra-estrutura por intermédio de aparelhos de apoio que se considera não exercerem restrição significativa à deformação axial do tabuleiro. Na figura 1 representa-se um corte transversal do tabuleiro em análise. Figura 1: Corte transversal do tabuleiro em análise

3 Encontro Nacional Betão Estrutural Características geométricas e materiais As vigas pré-fabricadas têm 1.20 m de altura, tendo a alma 0.14 m de espessura e são préesforçadas por pré-tensão. A armadura de pré-esforço é constituída por 20 cordões de 1,5 cm 2 (f puk = 1860 MPa) alojados no banzo inferior e por 2 cordões de 1,5 cm 2 (f puk = 1860 MPa) alojados no banzo superior. A armadura ordinária inferior é constituída por 4Φ20 na zona do vão e 6Φ20 na zona de ligação entre vigas. Esta armadura é emendada tal como representado na figura 3. A armadura longitudinal da laje, sobre o apoio, é Φ16//0,20 + Φ12//0,20, nas faces superior e inferior. Todas as armaduras ordinárias são da classe A500NR. As armaduras na zona do vão foram prédimensionadas considerando um tabuleiro simplesmente apoiado com 25 m de vão. Este critério baseou-se nas constatações de vários autores (por exemplo [2] e [3]). A armadura longitudinal inferior na zona da ligação de continuidade, 6Φ20, foi pré-dimensionada para que a abertura de fendas não ultrapassasse o valor de 0.3 mm sob a actuação do momento de fendilhação, M cr. Este é, no entanto, um critério simplista para o pré-dimensionamento desta armadura (ver [4]). Figura 2: Corte transversal representando a geometria e as armaduras da viga e da laje Figura 3: Pormenor de continuidade (corte longitudinal) O betão da viga e da laje é da classe C45 e C30, respectivamente. O seu módulo de elasticidade, resistência à tracção e energia de fractura foram definidos de acordo com o disposto no MC90 [5]. As deformações por retracção e por fluência são quantificadas de acordo com o modelo do fib [6], modelo esse que foi incluído no EC2 [7]. Estas fórmulas constituem um melhoramento do modelo de fluência e retracção do MC90 [5], destacando-se as seguintes alterações: a extensão de retracção é composta pelas parcelas de secagem e autógena; o modelo de fluência sofreu correcções para melhor traduzir o comportamento dos betões de elevada resistência. Considerou-se uma temperatura ambiente média de 15 ºC e uma humidade relativa média de 70%. Para a modelação do comportamento do betão entre fendas, adoptou-se um diagrama de tension stiffening baseado no modelo de comportamento apresentado no MC90 [5] (ver [4]).

4 Encontro Nacional Betão Estrutural Acções e faseamento construtivo A seguir descreve-se sucintamente o faseamento construtivo e as acções aplicadas. A transferência de pré-esforço para o betão é realizada 3.5 dias após a betonagem das vigas. A betonagem da laje e da carlinga é feita 30 dias mais tarde. A aplicação da restante carga permanente (R.C.P.) é feita após um intervalo de tempo de 16 dias. Depois, são aplicadas as acções variáveis e incrementos de tempo para que se processem os efeitos diferidos, com a sequência esquematizada na figura 4. A variação diferencial de temperatura (dt) e a sobrecarga rodoviária (V.T.) são aplicadas com o seu valor raro antes e após o incremento de tempo de dias. A sequência de carregamentos adoptada inclui no seu final 3 combinações quase permanentes de acções contendo, respectivamente, as seguintes acções variáveis: dt; dt + V.T.; V.T. Figura 4: Faseamento construtivo e de aplicação das acções variáveis A viga analisada é a viga mais próxima do bordo lateral do tabuleiro por ser a viga mais desfavorável em termos de acções. Os valores das várias acções estão definidos na tabela 1 sendo a sua quantificação apresentada em [4]. Tabela 1: Acções aplicadas Acção Valor Tensão inicial de pré-esforço, σ ' P MPa Peso próprio da viga (PPviga) 10,59 kn/m Peso próprio da laje (PPlaje) 11,69 kn/m Restante carga permanente (RCP) 7.87 kn/m Variação diferencial de temperatura (dt) segundo o EC1 [8] Sobrecarga correspondente ao veículo 3 forças concentradas de 100 kn, aplicadas no tipo (V.T.) tramo da esquerda, distando 10,8m, 12,3m e 13,8m do apoio mais à esquerda

5 Encontro Nacional Betão Estrutural CÁLCULO BASE UTILIZANDO OS VALORES MÉDIOS DOS PARÂMETROS 3.1 Discretização da estrutura É utilizado o programa DIANA [1] para a análise estrutural. A estrutura é discretizada utilizando elementos finitos de barra e elementos de armadura embebida. A modelação inclui o faseamento construtivo e o comportamento não linear dos materiais, nomeadamente: fendilhação em tracção, fluência, retracção e plastificação das armaduras. 3.2 Resultados A apresentação exaustiva e a discussão dos resultados pode ser consultada em [4]. Aí são apresentados, nomeadamente, diagramas de tensões normais nas secções críticas e a sua evolução ao longo do comprimento da ponte e ao longo do tempo. Essa apresentação é aqui omitida por não ser essencial para os objectivos deste trabalho. 4. ANÁLISE PROBABILISTICA UTILIZANDO O MÉTODO DE MONTE CARLO Com o objectivo de estudar a sensibilidade deste tipo de estruturas à variabilidade de diversos parâmetros que caracterizam o comportamento do betão, efectuou-se uma análise probabilística do comportamento da estrutura em estudo, tendo-se para tal efeito usado o método de Monte Carlo, recorrendo à técnica de redução da variância designada por Hipercubo Latino. O método de Monte Carlo consiste na simulação das variáveis aleatórias básicas, na avaliação da resposta estrutural correspondente a cada grupo de variáveis básicas geradas e no tratamento dessas respostas como sendo uma amostra do universo das respostas. 4.1 Variáveis aleatórias e suas propriedades estatísticas Neste trabalho foram consideradas como variáveis estatísticas os parâmetros que influenciam as deformações diferidas do betão e ainda a tensão inicial de pré-esforço. Na tabela 2 apresentam-se os valores assumidos para a média e para o coeficiente de variação de cada uma das variáveis aleatórias. Considera-se que todas as variáveis são independentes e seguem uma distribuição normal. As variáveis designadas por modelo de fluência e modelo de retracção contabilizam a variabilidade associada ao modelo de previsão das deformações por fluência e retracção do betão. Essas variáveis, Ψ F e Ψ R, respectivamente, têm o valor médio de 1 e foram introduzidas nas expressões de previsão do fib [6], da forma descrita nas equações (1) e (2). ( t, t 0 ) = ΨF φ0 βc ( t, t 0 ) ( t, t ) = Ψ ( ε ( t) + ε ( t, t )) φ (1) ε (2) cs s R cas cds s

6 Encontro Nacional Betão Estrutural Tabela 2: Média e coeficiente de variação de cada uma das variáveis estatísticas Variável aleatória Valor médio Coef. Variação humidade relativa 70 % 15 % temperatura média 15 ºC 15 % tensão de pré-esforço 1372 MPa 5 % f cm (viga) 53 MPa 9.18 % f cm (laje e carlinga) 38 MPa % modelo de fluência (viga) 1 30 % modelo de fluência (laje e carlinga) 1 30 % modelo de retracção (viga) 1 35 % modelo de retracção (laje e carlinga) 1 35 % 4.3 Análise estrutural e tratamento estatístico da resposta A análise estrutural foi efectuada através da realização de sucessivos cálculos determinísticos, cada um com um conjunto de variáveis aleatórias gerado de acordo com os princípios do método do Hipercubo Latino, tal como se apresenta em [4]. Os resultados foram tratados como se constituíssem uma amostra aleatória do universo das respostas, obtendo-se para cada grandeza (por exemplo tensão, deslocamento ou abertura de fenda num determinado instante de tempo) uma estimativa do seu valor médio e respectiva variabilidade. Através do teste da normalidade é aferido se a resposta tem características gausseanas. A qualidade das estimativas obtidas para a média e o desvio padrão é traduzida pelos seus níveis de confiança. 4.4 Resultados Foram realizadas duas análises, uma considerando comportamento linear elástico para o betão traccionado e outra incluindo um modelo de fendilhação distribuída, designadas simplificadamente, à frente, por análises sem fendilhação e com fendilhação, respectivamente. A análise segue o faseamento esquematizado na figura 4. Além disso, para avaliar o efeito da idade em que é estabelecida a continuidade, foi feita uma terceira análise, sem fendilhação, em que o intervalo de tempo entre a aplicação do pré-esforço e a betonagem in-situ é de 90 em vez de 30 dias. As análises sem fendilhação têm interesse teórico pois resultam em tensões de tracção irrealistas em alguns elementos de betão. Os resultados apresentados a seguir referemse a duas secções determinantes: a secção de meio-vão e a secção de apoio central. Na figura 5 apresentam-se histogramas das tensões na secção de apoio central, após o incremento de tempo de dias. Representam-se também as densidades de probabilidades calculadas a partir da média e do desvio padrão da amostra. Verifica-se que a variabilidade da resposta é elevada e que a tensão de tracção actuante atinge, com uma frequência significativa, valores superiores à resistência à tracção.

7 Encontro Nacional Betão Estrutural frequências frequências tensão na fibra inferior [MPa] tensão na fibra superior [MPa] Figura 5: Tensão normal nas fibras extremas da secção de apoio central após o incremento de dias (análise sem fendilhação com t cont =30dias) Tabela 3: Resultados após o incremento de dias sem fendilhação com fendilhação t cont =30 dias t cont =90 dias t cont =30 dias meio vão σ inf [MPa] x = x = x = S' = 1.84 S' = 1.83 S' = 1.60 apoio σ [MPa] x = x = x = inf S' = 3.73 S' = 3.62 S' = 2.00 apoio σ [MPa] x = 2.31 x = 2.99 x = 0.99 sup S' = 2.05 S' = 2.03 S' = 1.38 Na tabela 3 comparam-se as estimativas da média ( x ) e desvio padrão ( S ') das tensões normais em três fibras determinantes, resultantes das três análises efectuadas. Verifica-se que, quando a continuidade é estabelecida aos 90 dias, o momento negativo na secção de apoio é, em termos médios, superior, o que resulta de, nessa situação, existir uma maior retracção diferencial entre a laje e a viga pré-fabricada. Nas situações em que ocorre fendilhação, o valor da tensão no betão é um valor médio que traduz a retenção de tracções pelo betão entre fendas. O procedimento adoptado torna possível a verificação do comportamento em serviço, não apenas em termos de valores médios, mas antes, de uma forma mais segura, através de valores característicos correspondentes ao quantil de 5% ou outro. Na tabela 4 apresentam-se os valores estimados para a probabilidade da abertura de fendas na secção de apoio ser superior a 0.20 mm e a 0.30 mm. Na tabela 5 apresentam-se os valores médios e característicos (quantil de 5%) da tensão normal na fibra inferior da secção de meio-vão. Os valores das tabelas 4 e 5 referem-se às combinações quase permanentes de acções e resultam do cálculo com fendilhação.

8 Encontro Nacional Betão Estrutural Tabela 4: Estimativas da probabilidade da abertura de fenda na secção de apoio central exceder os valores de 0.20mm e 0.30mm Ac. Var. Fibra inferior Fibra superior Base P(w k > 0.20mm) P(w k > 0.30mm) P(w k > 0.20mm) P(w k > 0.30mm) DT dt+v.t V.T Tabela 5: Valores médio e característico da tensão na fibra inferior da secção de meio-vão Ac. var. Base x ' C S dt dt+v.t V.T Os resultados do trabalho mostram que a solução em estudo apresenta um bom comportamento em fase de serviço, nomeadamente em termos de satisfação dos estados limite de descompressão e de abertura de fendas, nos elementos pré-esforçados e de betão armado, respectivamente. Os resultados obtidos atendem à variabilidade das propriedades materiais e parâmetros ambientais que influenciam de forma relevante a resposta a longo prazo deste tipo de estruturas. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoio prestado pela Maprel para a realização deste trabalho. 7. REFERÊNCIAS [1] DIANA User s Manual release 8.1. TNO Building and Construction Research, Department of Computational Mechanics, Delft, The Netherlands [2] Osterle et al - Design of precast-prestressed bridge girders made continuous. National Cooperative Highway Research Program (NCHRP), Report No. 322, [3] Mirmiran et al Nonlinear continuity analysis of precast, prestressed concrete girders with cast-in-place decks and diaphragms, PCI Journal, 2001, Vol. 46, No. 5, p [4] Sousa, C. F. Tabuleiros de pontes pré-fabricadas com continuidade estrutural. Dissertação de Mestrado, FEUP, (a apresentar em 2004). [5] Comité Euro-International du Béton CEB-FIP Model Code [6] Fédération Internationale du Béton Structural concrete. Textbook on behaviour, design and performance. Updated knowledge of the CEB/FIP Model Code Vol. 1, Bulletin No. 1, [7] Comité Européen de Normalisation Eurocode 2: Design of concrete structures, pren [8] Comité Européen de Normalisation Eurocode 1 : Actions on structures Part 1-5: General actions Thermal actions, EN