METODOLOGIA DE CONTROLE NÃO LINEAR QUADRÁTICO CONTÍNUO MULTIOBJETIVO NO ESPAÇO DE ESTADOS

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1 METODOLOGIA DE CONTROLE NÃO LINEAR QUADRÁTICO CONTÍNUO MULTIOBJETIVO NO ESPAÇO DE ESTADOS GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Departamento de Eletroeletrônica Av. Getúlio Vargas, 4 - Campus Monte Castelo São Luís (MA)- Brazil ginalber@ifma.edu.br,rafael8ms@yahoo.com.br RESUMO. Neste artigo é proposta uma metodologia de controle fuzzy Takagi-Sugeno multiobjetivo a qual combina as técnicas convencionais de alocação de pólos no espaço de estados e do regulador linear quadrático (LQR). A metodologia é apresentada para controle servo, onde é feito um estudo de caso de modelagem e controle de um sistema térmico e a sua implementação em uma plataforma de controle virtual/eletrônica baseada no software LabVIEW e na controladora CompactRIO 973. Tal plataforma permite a proximidade entre a metodologia de controle fuzzy multiobjetivo proposta e a sua aplicação no contexto industrial. PALAVRAS-CHAVE: Controle Multiobjetivo, Alocação de Pólos, Espaço de Estados, Regulador Linear Quadrático, Tecnologia em Sistemas. ABSTRACT. In this paper a multiobjective Takagi-Sugeno fuzzy control methodology which combines the conventional techniques state space pole placement and linear quadratic regulator (LQR), is proposed. The methodology is presented for servo control system, for which it is made a case study of modeling and control of a thermal system and its implementation in a virtual/electronic control platform based on LabVIEW software and CompactRIO 973 Controller. This platform allows the proximity between the multiobjective fuzzy control methodology proposal and its application in the industrial context. KEYWORDS: Multiobjective Control, Pole Placement, State Space, Linear Quadratic Regulator, Technology Systems. INTRODUÇÃO No contexto da engenharia de controle, estabelecer um sistema de controle para determinado processo (ou planta ) significa estabelecer uma interconexão de componentes formando uma configuração cuja função principal é a realização de uma ou mais ações que são observadas ao longo do tempo e cuja modificação decorre da aplicação de sinais de entrada, ou seja, garantir que a planta produza uma resposta desejada - é influenciar o comportamento de sistemas dinâmicos (AGUIRRE, 7a, p. 394)(DORF; BISHOP, 9; IOANNOU; PITSILLIDES, ). É evidente a existência do desafio de modelar e controlar processos modernos, multivariáveis, não lineares, complexos, com atraso puro de Submetido em /6/4, Revisado em 3/8/4. Artigo aceito sob recomendação do Editor Associado prof. Dr. Carlos Cesar T. Ferreira. tempo, inter-relacionados entre outras características que se mostram um obstáculo ao projeto de controle. Sistemas reais são, em sua maioria, multivariáveis e não lineares (BUTT; SHAFIQ; KHAN, 5; IOANNOU; PITSILLIDES, ) - para estes é muito difícil a obtenção de modelos precisos o que inviabiliza o projeto do controlador baseado neste modelo (AGUIRRE, 7a). Paralelamente a este aumento crescente da complexidade desses sistemas/plantas, cresce o interesse no desenvolvimento de metodologias e técnicas que garantam a implementação de sistemas de controle de desempenho ótimo nos quais sejam assegurados os requisitos de estabilidade nas malhas de controle bem como do rastreamento da referência estabelecida. Nesse âmbito, a teoria de Inteligência Computacional (IC), entendida como o estudo de mecanismos adaptativos para permitir ou facilitar um comportamento inteligente em ambientes complexos e em mudança, têm Revista INNOVER, volume, número 3, Setembroo 4

2 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados se mostrado eficaz na solução de problemas de modelagem e controle. Entre as técnicas de IC estão as redes neurais artificiais, computação evolutiva, os sistemas imunológicos artificiais, algoritmos genéticos e sistemas fuzzy (ENGELBRECHT, 7; ABRAHAM et al., 9; PEDRYCZ, 997). Essas técnicas podem, por sua vez, ser combinadas entre si (hibridização) - como nos sistemas neuro-fuzzy, bem como pode ser feita a sua fusão com técnicas de controle convencionais (ENGELBRECHT, 7). Esta fusão visa superar as deficiências das técnicas de controle em face às complexidades já citadas e imprecisão de informação. A lógica fuzzy, quando analisada em conjunto com outras técnicas de IC, também é englobada na chamada computação flexível - um termo cunhado por Lotfi Zadeh, que consiste de um agrupamento diferente de paradigmas, que geralmente se refere ao conjunto coletivo de paradigmas da IC e métodos probabilísticos (ENGELBRECHT, 7). Assim, este artigo propõe uma metodologia para controle de sistemas dinâmicos não lineares no domínio do tempo contínuo, a qual combina, em um contexto fuzzy, duas metodologias convencionais de controle: a alocação de pólos e o regulador linear quadrático (LQR), ambas no contexto de espaço de estados. Tal combinação tem o objetivo de unir aspectos como a clareza de projeto da técnica de alocação de pólos, na qual o projetista pode inferir características de resposta temporal da saída, bem como os critérios de otimalidade do LQR, resultando em uma metodologia de projeto de controle multiobjetiva aplicável a sistemas não lineares. SISTEMAS DE INFERÊNCIA FUZZY TAKAGI-SUGENO O modelo fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) foi proposto por Takagi e Sugeno (985), no artigo intitulado Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control. Trata-se de um modelo adequado para aproximação de uma larga classe de sistemas não lineares. No modelo fuzzy T-S, o antecedente da regra também é uma proposição fuzzy. O conse- É comum, por exemplo, utilizar algoritmos genéticos para melhorar o resultado do uso de outras técnicas de IC. quente, entretanto, é uma função matemática (crisp, não fuzzy) das variáveis do antecedente (BABUŠKA, 998; BARROS; BASSANEZI, 6). A estrutura da i i=,,...,l -ésima regra fuzzy SE-ENTÃO no modelo T-S é dada por (TAKAGI; SUGENO, 985; LENDEK et al., ): R i : Se f( x é F i j x,, x p é F i j x p ) Entãoy = G i ( x) () onde o vetor x R p tem p componentes ( x a x p ) e representa o vetor de variáveis linguísticas do antecedente. Cada uma dessas variáveis possui seu próprio universo de discurso X x,,x xp o qual é particionado em regiões fuzzy pelos conjuntos fuzzy descritos pelas variáveis linguísticas F i j x,,f i j x p. O termo y = G i ( x) é o funcional das variáveis do antecedente da regra. A relação de cada variável linguística do antecedente com determinado conjunto fuzzy F i j x m é dada pela função de pertinência µ im : R,. Considerando, por exemplo, a utilização do operador de conjunção E para a composição da proposição fuzzy do antecedente, o grau de ativação para a regra R i, indicado por h i, é dado por: h i ( x) = µ i F j x µ i F j x... µ i F j x p () onde é um operador de conjunção norma-t (KLIR; YUAN, 995). Considerando que existem várias classes de operadores norma-t disponíveis, o modelo fuzzy T-S utiliza o produto algébrico para obtenção do grau de ativação da regra R i : h i ( x) = p µ im ( x m ) (3) m= e o grau de ativação normalizado para ai-ésima regra é dado por λ i ( x) = h i( x) l h r ( x) r= (4) Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

3 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS supondo l h r ( x), ondeléonúmero de regras. r= Assim, esta normalização implica em l λ i ( x) = (5) i= A saída do modelo fuzzy T-S é uma soma ponderadas dos funcionais do consequente,g i, dada por y = l λ i ( x)g i ( x) (6) i= Observa-se que y em (6) é uma combinação convexa das funções locais (dos submodelos) G i, o que facilita a análise dos modelos fuzzy T-S tanto para identificação, projeto de controladores e análise de estabilidade (SERRA, 5). A eficácia de um modelo fuzzy T-S depende de características como o número de conjuntos fuzzy na partição, da complexidade das funções no consequente e da complexidade das funções de pertinência (BERGSTEN, ). Em comparativo ao sistema Mamdani, o sistema de inferência fuzzy T- S apresenta maior precisão nas implementações computacionais bem como tem mais flexibilidade para incorporar em sua estrutura formulações matemáticas complexas (BERGSTEN, ; SERRA, ). 3 FORMULAÇÃO DO CONTROLE NÃO LI- NEAR QUADRÁTICO MULTIOBJETIVO Nesta seção é apresentada a proposta de controle fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) multiobjetivo para plantas não lineares. A Figura ilustra a metodologia: partindo-se da planta não linear, tem-se basicamente duas abordagens para a obtenção do modelo fuzzy T-S - modelagem baseada em dados experimentais de entrada e saída ou baseada nas leis físicas que regem o comportamento dinâmico da planta. Esta última prossegue com o processo de linearização para obtenção dos submodelos lineares nos pontos de operação. Uma vez obtido o modelo fuzzy T-S, este serve de base para o projeto do controlador fuzzy multiobjetivo, que combina as técnicas do LQR e da alocação de pólos. O controlador projetado é então aplicado ao controle da planta não linear. Considerando ser mais comum a obtenção de submodelos sem integrador, nesta monografia o problema de controle linear quadrático fuzzy no espaço de estados apresenta a seguinte configuração: ẋ(t) = A i x(t)+b i u(t) (7) onde ψ(t) - r(t) - y(t) = C i x(t) (8) u(t) = K i x(t)+k i Iψ(t) (9) ψ(t) = r(t) y(t) = r(t) C i x(t) () saída do integrador sinal de referência Dada a entrada de referência r(t) aplicada em t =, para t >, as equações (7) a () podem ser combinadas e descritas sob a forma de uma única equação matricial: ẋ(t) ψ(t) = A i C i x(t) ψ(t) + B i u(t)+ r(t) () Para determinado instantet f considerado, pode-se escrever: ẋ(t f ) ψ(t f ) = A i C i x(t f ) ψ(t f ) + B i u(t f )+ r(t f ) () Considerando que a entrada r(t) é suficientemente lenta para t >, subtraindo-se a equação () da (), obtêm-se: ẋ(t f ) ẋ(t) ψ(t f ) ψ(t) Seja = A i C i x(t f ) x(t) + ψ(t f ) ψ(t) B i (u(t f ) u(t)) (3) Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4 3

4 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados Modelagem Fuzzy Takagi-Sugeno no Espaço de Estados Linearização baseada em Modelagem Física Projeto do Regulador Fuzzy T-S Contexto Fuzzy T-S Identificação usando dados de entrada e saída Modelagem Física Não Linear Regulador Linear Quadrático Alocação de Pólos Sistema Linear Metodologia Proposta Sistema Linear Planta Não Linear Figura : Diagrama em blocos representando a metodologia proposta para projeto de reguladores fuzzy multiobjetivos. onde onde x(t) x(t f ) = x e (t) (4) ψ(t) ψ(t f ) = ψ e (t) (5) u(t) u(t f ) = u e (t) (6) Assim, a equação (3) pode ser escrita da forma: ẋe (t) ψ e (t) = Ai C i xe (t) ψ e (t) + Bi u e (t) (7) u e (t) = K i x e (t)+k i Iψ e (t) (8) Definindo-se o vetor de erro e(t): xe (t) e(t) = ψ e (t) (9) as equações (7) e (8) resultam, respectivamente, em: ė(t) = Âie(t)+ ˆB i u e (t) () u e (t) = ˆK i e(t) ()  i = A i, ˆBi = B i C i, ˆKi =K i k i I () Subtituindo-se a equação () na (), a equação de estado do erro pode ser obtida: ė(t) = (Âi ˆB iˆkj ) e(t) (3) Analisando-se a equação (3), observa-se que uma vez especificados os autovalores desejados da matriz  i ˆB iˆkj, a matriz ˆK i e consequentementek i ek i I podem ser determinados pela técnica de alocação de pólos. A técnica LQR, por outro lado, também permite a determinação da matriz ˆK i. A combinação das duas técnicas no contexto fuzzy, como será mostrado, permite a alocação ótima dos pólos, caracterizando o aspecto multiojetivo da abordagem proposta. Seja, então, o problema de controle quadrático ótimo, que possibilita minimizar o índice de desempenho dado por J = ( e T Qe+u e T Ru e ) dt (4) 4 Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

5 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS inerente ao sistema descrito pelas equações () e (). Na equação (4), Q e R são matrizes de ponderação sobre o estado do erroe(t) e a entradau e (t), respectivamente. A matriz Q é uma matriz hermitiana definida ou semidefinida positiva ou ainda real simétrica, e a matriz R é hermitiana definida positiva ou real simétrica. Considerando que a matriz  i ˆB iˆkj é estável (autovalores com parte real negativa), é possível obter a matriz de ganho de controle por realimentação de estado ˆK i, uma vez que se solucione, para a matrizp, a equação algébrica de Riccati:  T i P+PÂi PˆB i R ˆBT i P+Q = (5) Uma vez obtida a matrizp, da solução da equação (5), a matriz de ganho ˆK i é calculada por: ˆK i = R ˆBT i P (6) Considere o seguinte estrutura de submodelo no espaço de estados na forma canônica de controle: ẋ(t) = A i x(t)+b i u(t) y(t) = C i x(t) (7) Considerando que será utilizado um modelo de segunda ordem para representar o submodelo local e também segunda ordem para a aproximação de Padè, estabelecemos as seguintes matrizes da equação (7): A i = 6(ai +τ d) a i τ d a i τ d ai +6ai τ d+τ d a i τ d ai τ d+6a i a i τ d (8) método utilizado para representar um atraso puro de tempo, o qual corresponde à uma exponencial no domínio frequência, por meio de funções de transferência (AGUIRRE, 7b) C i = B i = b i a i τ d 6bi a i τ d, (9) b i a i As matrizes Q e R são definidas como µ Q = (3) (3) R = (3) onde µ e >. Os parâmetros µ e estão diretamente relacionados à alocação ótima dos pólos uma vez que seja possível sua determinação. Com base na equação () e nas equações (8), (9) e (3) as matrizes Âi e ˆB i são obtidas. A matriz P a ser obtida, consiste numa matriz real simétrica: P = p p p 3 p 4 p 5 p p p 3 p 4 p 5 p 3 p 3 p 33 p 34 p 35 p 4 p 4 p 34 p 44 p 45 p 5 p 5 p 35 p 45 p 55 (33) Substituindo-se as matrizes Âi e ˆB i obtidas e as equações (3) a (33) na equação (5), obtém-se o seguinte sistema de equações: p p 4p 4 µ p 4 4p 4 a i τ d 4bi p 5 a i τ d = (34) p 4 a i τ d + 6bi p 5 a i τ d bi p 5 a i τ d 6p 4 (a i +τ d ) a i τ d = (35) ( ) p p 4 τ + 6ai +τ d p 4p 34 d a i τ d p 34 a i τ bi p 5 bi p 35 = (36) d a i a i τ d Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4 5

6 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados ( a i p 3 p ) p 4p 44 p 44 a i τ d a i τ d b i p 45 = (37) a i τ d p 4p 45 p 45 a i τ d bi p 55 a i τ d = (38) p p 4 + bi p 5 a i τ d p 4 (a i +τ d ) + = (39) a i τ d p 3 +p p 4 ( b i p 5 a i + 6bi p 35 a i τ d τ d + 6ai +τ d a i τ d ) 6p 34(a i +τ d) a i τ d = p 4p 34 (4) ( a i p 4 +p 3 p ) p 4p 44 + a i τ d 6b i p 45 6p 44(a i +τ d ) = (4) a i τ d a i τ d p 5 p 4p bi p 55 a i τ d 6p 45(a i +τ d ) a i τ d = (4) ( p 3 p 34 τ + 6ai +τ d ) p 34 d a i τ d b i p 35 + = (43) a i ( a i p 4 +p 33 p ) a i τ d ( ) p 44 τ + 6ai +τ d p 34p 44 bi p 45 = (44) d a i τ d a i ( ) p 5 p 45 τ + 6ai +τ d p 34p 45 d a i τ d b i p 55 = (45) a i ( a i p 34 p ) p 44 + = (46) a i τ d ( a i p 35 p ) p 44p 45 a i τ d = (47) p 45 = (48) Após a solução numérica do sistema descrito pelas equações de (34) a (48), para a matrizp, matriz ˆK i é calculada a partir de (6) p4 ˆK i = R ˆBT i P = p 4 p 34 p 44 p 45 (49) A equação característica do sistema de controle, por sua vez, é dada por: si 5 Âi + ˆB iˆki = ( s 5 a i + p 44 τ d +6a i τ d+a i τ d )s 4 + ( a i τ d a i +τ d +a i p 34τ d +6a i τ d )s 3 + a i τ d ( a i +6τ d +a i p 4τ d b i p 45τ d )s + ( a i τ d ) a i p 4 τ d +6b i p 45τ d + s bi a i τ d p 45 = a i τ d Após a obtenção do modelo da planta a ser controlada são obtidos todos os parâmetros dos submodelos lineares locais. Daí procede-se com a verradura de valores factíveis deµe para solução da equação algébrica de Riccati, para a matriz P e a consequente determinação das matrizes de ganho de controle por realimentação de estado para cada um dos submodelos e a base de dados de pólos factíveis. 4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS Nesta seção, apresenta-se as etapas da modelagem fuzzy Takagi-Sugeno, do projeto de controle fuzzy multiobjetivo e a sua implementação na plataforma virtual/eletrônica baseada no LabVIEW e no CompactRIO 973 para controle de uma planta térmica. 6 Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

7 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS 4. Plataforma de Controle Virtual/Eletrônica A Figura mostra a estrutura da plataforma desenvolvida, detalhando as conexões e a lógica da malha de controle. Como se pode observar na Figura, o sensor de temperatura é posicionado internamente na planta térmica (torradeira, ao centro), sendo a alimentação por uma tensão de 5 volts vinda do primeiro canal do NI963 e definida no LabVIEW. A saída do sensor é capturada pelo primeiro canal do módulo NI99; o segundo canal do NI963 é responsável por fornecer a tensão de controle que chega ao pino do TCA 785. A tensão de rede é fornecida à planta térmica bem como ao circuito atuador. A outra conexão da planta térmica é o terminal MT do TIC 6D. O sinal de entrada da planta térmica é fornecido ao primário de um transformador de tensão de relação de transformação : 6, que é equivalente a uma divisão por 36,67. Com a realização de testes no transformador, foi obtida uma relação mais aproximada que equivale a uma divisão por35. O secundário do transformador é conectado ao primeiro canal do módulo NI95. A utilização do transformador se justifica pelo fato do módulo NI95 possuir uma faixa de entrada de apenas ± volts, impossibilitando a aquisição direta da tensão de entrada da planta térmica, que pode chegar até volts de valor eficaz. A Figura ainda mostra a conexão do computador com a controlador por meio de um cabo padrão Ethernet, possibilitando a comunicação entre a plataforma virtual e a plataforma eletrônica. A plataforma virtual, que contêm a Interface Homem- Máquina, possui controles e indicadores das variáveis de controle como referência de temperatura, número máximo de iterações do processo, tensão de controle do TCA 785, etc. A Figura 3 mostra a parte inicial da interface, desenvolvida no painel frontal do LabVIEW. Além dos itens já mencionados, a interface possibilita escolher o modo de malha - se malha aberta, adequado para experimentos controlados pelo operador, o qual irá estabelecer o sinal de entrada da planta. Este modo é utilizado para aquisição de dados de entrada e saída para identificação/validação. Ou malha fechada, para aplicações de técnicas (leis) de controle projetadas para a planta térmica. Este modo foi selecionado para a aplicação do controlador fuzzy multiobjetivo proposto. A IHM também dispõe de um botão para parar o processo e diversos indicadores numéricos e gráficos das principais variáveis do sistema de controle: saída da planta (temperatura), entrada da planta (tensão eficaz), gráficos das funções de pertinência, etc. 4. Modelagem Fuzzy Takagi-Sugeno do Sistema Térmico Esta etapa de modelagem fuzzy T-S está baseada em dados experimentais de entrada e saída (identificação) da planta térmica obtidos através de experimentos em malha aberta realizados com a plataforma de controle virtual/eletrônica. A seguir serão apresentados cada um dos passos do processo de identificação, aplicados na modelagem da planta térmica. 4.. Realização do experimento sobre a planta e filtragem dos dados Na Figura 4 é mostrado o sinal de entrada (tensão eficaz, em volts) aplicado à entrada da planta térmica e a respectiva saída (temperatura, em graus Celsius) obtida. Este conjunto de dados, constituído de 994 pontos a um tempo de amostragem de 7 ms, é o conjuntos a ser utilizado para identificação da planta térmica. Os dados mostrados no gráfico já estão filtrados. A filtragem foi feita através do Simulink do Matlab, por meio de blocos de funções de transferência representando filtros passa-baixas, como mostra a Figura Definição da estrutura e ordem do modelo A estrutura de submodelo escolhida para ser utilizada na identificação do modelo fuzzy T-S da planta térmica é de função de transferência no tempo contínuo. Será considerada uma função de segunda ordem sem zeros. Assim, tem-se o seguinte i-ésimo submodelo: Y i (s) U i (s) = b (i) a (i) s +a (i) s+ (5) Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4 7

8 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados Figura : Plataforma de controle virtual/eletrônica. Tensão eficaz (Volts) Tempo (minutos) Figura 3: Interface da plataforma virtual de controle com controles e indicadores das principais variáveis. Esta estrutura de submodelo é utilizada para fins de conveniência do algoritmo de identificação. A estrutura realmente utilizada para o projeto de controle é no espaço de estados e apresenta o acréscimo de ordem referente ao atraso puro de tempo representado pela aproximação de Padè. Temperatura (ºC) Tempo (minutos) Figura 4: Teste dinâmico para identificação aplicado à planta térmica. A tensão alternada, elucidada pelo seu valor eficaz, é aplicada à planta cuja resposta temporal é temperatura, em graus Celsius. 8 Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

9 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS entrada_filtrada To Workspace Scope dsaida_filtrada To Workspace ddsaida_filtrada To Workspace3 ddsaida_term To Workspace6 Scope3 planta térmica ao algoritmo de agrupamento, o próximo passo é a escolha da quantidade de agrupamentos (clusters). Para uma escolha de dois agrupamentos de dados, obtêm-se a representação na Figura 6. butter entrada saida_filtrada Analog Filter Design From Workspace To Workspace saida_term To Workspace4 Scope dsaida_term To Workspace5 6s+ Transfer Fcn3 du/dt Derivative Scope du/dt du/dt Derivative Derivative du/dt Derivative3 Espaço de Saída Centro Cluster Centro Cluster butter Analog Filter Design Espaço de Saída Figura 6: Agrupamento e classificação de dados saída-saída da planta térmica. O primeiro cluster (em verde), representa a região de baixa temperatura e média temperatura. O segundo cluster (em amarelo) representa a região de altas temperaturas. saida From Workspace 4.95 Constant Figura 5: Diagrama em blocos no Simulink para filtragem dos dados e também obtenção das derivadas do sinal de saída Estimação paramétrica e obtenção do modelo fuzzy T-S O algoritmo de agrupamento fuzzy c-means juntamente com o método dos mínimos quadrados ponderados para estimação dos parâmetros do consequente foi aplicado ao sinal de saída filtrado mostrado na Figura 4. A matriz de regressores X apresenta a seguinte estrutura em conformidade com a estrutura e ordem do submodelo escolhida: As funções de pertinência fornecidas pelo algoritmo a partir da escolha de dois agrupamentos são mostradas na Figura 7. Elas correspondem à ativação dos dois submodelos lineares a serem obtidos para representação da planta térmica. Um submodelo representa as regiões de baixa e média temperatura e outro representa a região de altas temperaturas. A próxima saída do algoritmo de identificação consiste dos parâmetros dos submodelos lineares. Os dois submodelos lineares fornecido pelo algoritmo são dados pelas funções: Y (s) U (s) = s s+ (5) X = entrada segunda derivada da saída primeira derivada da saída (5) Uma vez fornecidos os dados experimentais da Y (s) U (s) = s s+ (53) O submodelo em sua representação completa, contudo é na forma de espaço de estados e incorpora Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4 9

10 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados.8 X= 966 Y= Correlação Cruzada Grau de Pertinência Temperatura (graus Celsius) Figura 7: Funções de pertinência do modelo fuzzy T-S da planta térmica. A função de pertinência da esquerda corresponde ao submodelo da região de baixa e média temperatura enquanto que a da direita representa a região de altas temperaturas. o atraso puro de tempo obtido através de correlação cruzada entre os dados de entrada e saída da planta térmica, como mostra a Figura 8. O valor do atraso de tempo é determinado a partir do atraso correspondente ao ponto de máximo do gráfico (966), considerando o tempo de amostragem de 7 ms, fornecendo um atraso τd =.64 s. A aproximação de Padè de segunda ordem para esse valor de atraso puro de tempo, é dada por: τd s 6τd s + = τd s + 6τd s s 9.853s s s + R (s) = (54) Atribuindo esta aproximação do atraso às funções de pertinência dos submodelos obtidos (equações (5) e (53)) e em seguida convertendo para a representação no espaço de estados, obtemos a base de regras do modelo fuzzy Takagi-Sugeno para a planta térmica, conforme ilustrada na Tabela. As regiões F e F podem ser representadas por.4 Atraso 3 4 x Figura 8: Função de correlação cruzada aplicada aos sinais de entrada e saída da planta térmica. O ponto de máximo permite determinar o valor do atraso puro de tempo. funções de pertinência dadas por: F (T emp., a, b) (a=;b=3.5) =, T emp. a T emp. a, a T emp. a+b b a T emp. a a+b, T emp. b b a, T emp. b (55) com F = F. Esta representação corresponde às funções mostradas na Figura 7. A equação 55 corresponde às funções com forma Z (Z-shaped). A função de pertinência para F é obtida pelo complemento de F. A equação 55 é útil para atribuição das funções de pertinência na plataforma de controle, utilizando o bloco formula node Validação e ajuste fino do modelo fuzzy T-S obtido Os dados de validação utilizados (diferentes dos dados de identificação) são mostrados nos gráficos da Figura 9 O gráfico da Figura mostra o comparativo da curva de saída dos dados de validação com a curva de saída do modelo identificado. O fato de haver presença de ruído nos sinais de entrada e saída da planta térmica e considerando a formulação no tempo contínuo na qual aparecem termos derivativos do sinal de saída na matriz de regres- Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

11 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS Base de Regras - Modelo Fuzzy T-S R : SE Temp. é F ENTÃO ẋ(t) = y(t) = x(t) x(t)+ u R : SE Temp. é F ENTÃO ẋ(t) = x(t)+ u y(t) = x(t) Tabela : Base de regras do modelo fuzzy Takagi-Sugeno para a planta térmica. Temp. indica temperatura. F representa a região de baixa e média temperatura ef representa a região de altas temperaturas. Tensão eficaz (Volts) Temperatura ( C) Tempo (minutos) x Tempo (minutos) x 4 Figura 9: Teste dinâmico para obtenção de dados de validação aplicado à planta térmica. A tensão alternada, elucidada pelo seu valor eficaz, é aplicada à planta cuja resposta temporal é temperatura, em graus Celsius. Temperatura (graus Celsius) Tempo (minutos) Figura : Comparativo entre a resposta do modelo fuzzy identificado e a saída real da planta térmica. das funções de pertinência: sores, os quais amplificam o ruído, o algoritmo dos mínimos quadrados tem um desempenho insatisfatório na estimação dos parâmetros do consequente, não permitindo a validação do modelo obtido, conforme visto na Figura. Deste modo, o modelo fuzzy T-S identificado foi submetido a um processo de otimização por algoritmo genético (AG). O gráfico da Figura subtende que ajustes são necessários apenas nos ganhos dos submodelos e nas funções de pertinência. Assim, o cromossomo é composto pelos elementos de ganho dos submodelos e pelos intensificadores (m i ) cromossomo = b () b () m m (56) A Tabela mostra os parâmetros do algoritmo genético utilizado para otimização do modelo fuzzy Takagi-Sugeno obtido para a planta térmica: As funções de pertinência fornecidas para inicialização do AG não foram com os valores fornecidos pelo algoritmo de identificação, representadas na equação 55, mas sim funções da mesma forma com parâmetros a = 5 e b = 7, considerando que o teste de maior abertura nas funções (graficamente), Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

12 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados Parâmetro Valor Tamanho do cromossomo 4 Tamanho da população 5 Número de gerações 3 Probabilidade de crossover aritmético 85% Probabilidade de seleção natural 5% Probabilidade de mutação 85% Tabela : Especificações dos parâmetros do algoritmo genético para otimização do modelo fuzzy identificado. forneceu um melhor resultado do modelo. A função de custo do AG (fitness) é baseada na norma da diferença entre os vetores de dados da saída real (y real ) e da saída do modelo (y modelo ). Na Figura é mostrada a otimização do modelo T-S por meio do AG. A norma do modelo fuzzy T-S identificado é de A norma do modelo fuzzy T-S otimizado, por sua vez, é de 8.. Com a otimização, os ganhos dos submodelos lineares e passaram a ser, respectivamente, e Os intensificadores m e m das funções de pertinência, que realizam as operações (F ) m e (F ) m, ficaram com os valores m = e m = Lembrando que dado um intensificador m i, se m i >, ele realiza a operação de contração sobre a função de pertinência. Caso < m i <, a operação é de dilatação. A base de regras do modelo fuzzy T-S otimizado, isto é, o modelo obtido após a aplicação do algoritmo genético para melhoria de seus parâmetros, é mostrado na Tabela 3. A verificação da matriz de saída de cada um dos submodelos lineares no espaço de estados permite ver claramente a diminuição do ganho necessária para que o modelo de fato obtivesse um desempenho próximo da saída real, de acordo com a Figura, consolidando a sua validação. O algoritmo genético desenvolvido utiliza diagramação em blocos do Simulink para geração da saída do modelo a cada geração e consequentemente auxiliar na determinação do custo. Este diagrama em blocos representa o modelo fuzzy T-S da planta térmica com suas funções de pertinência e submodelos linea- Temperatura (ºC) Tempo (minutos) Figura : Otimização via algoritmo genético do modelo fuzzy T-S da planta térmica. A linha sólida indica a saída da planta térmica, a linha tracejada indica a saída do modelo T-S identificado e a linha traço e ponto indica a saída do modelo T-S otimizado. res bem como as estruturas adicionais para garantir a representação de modelo e captura das variáveis necessárias para a continuidade do AG, como saída do modelo fuzzy, erro absoluto, etc. O diagrama em blocos é mostrado na Figura O bloco com a função de transferência na realimentação do modelo fuzzy T-S é apenas para convergência numérica do Simulink. 4.3 Projeto de controle fuzzy T-S da planta térmica Na Figura 3 são mostradas diferentes respostas temporais do sistema de controle fuzzy T-S baseado na metodologia proposta para diferentes alocações de pólos. As curvas da Figura 3 são resultados experimentais obtidos do controle fuzzy em malha fechada da planta térmica utilizando a plataforma de controle virtual/eletrônica proposta. Os ganhos do controlador fuzzy (segundo a metodologia proposta) obtidos para cada grupo de pólos escolhidos bem como as funções de pertinência determinadas durante a modelagem são programados na diagramação em blocos no LabVIEW. Os valores de referência e de número de Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

13 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS Base de Regras - Modelo Fuzzy T-S otimizado R : SE Temp. é F ENTÃO ẋ(t) = y(t) = x(t) x(t)+ u R : SE Temp. é F ENTÃO ẋ(t) = x(t)+ u y(t) = x(t) Tabela 3: Base de regras do modelo fuzzy Takagi-Sugeno (otimizado) para processo térmico. Temp. indica temperatura. F representa a região de baixa e média temperatura ef representa a região de altas temperaturas. Temperatura (graus Celsius) 6 4 errofz To Workspace saidafz To Workspace Temperatura (ºC) Tempo (minutos) saidavalid Saída da Planta Térmica entradavalid Sinal de Entrada In Out Saída Global do modelo T S Figura : Diagrama em blocos do modelo fuzzy T-S para auxílio no cálculo do custo pelo algoritmo genético a cada geração. In Out In Out In3 Out Submodelos Lineares Funções de Pertinência.s+ Transfer Fcn Figura 3: Repostas temporais do sistema de controle fuzzy. Os pólos correspondentes à resposta transitória na região intermediária das três curvas são: 96.75, ± j, e.3 6. iterações bem como o acompanhamento de todas as variáveis do sistema de controle é feita no painel frontal, onde é estabelecida a interface da plataforma. 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 5. Conclusões Neste artigo foi apresentada uma metodologia de controle, a qual combina, em um contexto fuzzy, as técnicas de alocação de pólos no espaço de estado e do regulador linear quadrático (LQR), permitindo que estas, comumente aplicadas em controle de plantas lineares, possam ter sua aplicação estendida para plantas não lineares, através da estrutura funcional do Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4 3

14 Metodologia de Controle Não Linear Quadrático Contínuo Multiobjetivo no Espaço de Estados sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno. Como visto, tal metodologia contempla tanto o projeto de sistemas de controle regulador quanto de sistemas de controle servo. Para este, considerou-se na formulação o atraso puro de tempo da planta a ser controlada, garantindo uma melhor representação dos aspectos de plantas reais, nesse sentido. Para o caso do sistema de controle regulador, os resultados de simulação, mostrados no exemplo computacional na Seção??, evidenciaram que o controlador proposto permitiu uma resposta temporal satisfatória para o manipulador robótico (uma planta não-linear) de acordo com a alocação dos pólos desejados, garantindo a otimalidade de desempenho. A região factível obtida, em virtude do caráter multiobjetivo da metodologia, mostra que é impossível alocar quaisquer pólos no semiplano esquerdo do plano complexo, considerando, desta forma, a imposição dos critérios de otimalidade estabelecidos sobre o processo de alocação dos pólos desejados de malha fechada. No caso do sistema de controle servo, os resultados que evidenciam a aplicação e eficácia da metodologia são vistos em uma aplicação prática de controle sobre um sistema térmico, implementada em uma plataforma de controle virtual/eletrônica baseada nos softwares LabVIEW e na controladora CompactRIO 973. Uma vantagem da abordagem proposta, é a possibilidade de análise da estabilidade e robustez, o que é uma difícil tarefa em controle fuzzy baseado em conhecimento. 5. Propostas para Trabalhos Futuros Como propostas futuras, a pesquisa tem os seguintes aspectos de interesse: Extensão da metodologia para sistemas multivariáveis; Abordagem da metodologia no domínio do tempo discreto; Análise de estabilidade considerando o atraso puro de tempo. 6 AGRADECIMENTOS Agradecimentos à FAPEMA e ao CNPq pelo apoio financeiro, e ao Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia (ICAT), do Departamento de Eletroeletrônica (DEE), do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão (IFMA), pela infraestrutura adequada para o desenvolvimento de todas as etapas deste projeto de pesquisa. REFERÊNCIAS ABRAHAM, A. et al. Foundations of Computational Intelligence Volume 3: Global Optimization. S.l.: U.S. Government Printing Office, 9. (Studies in Computational Intelligence). AGUIRRE, L. A. (Ed.). Enciclopédia de automática: controle e automação. S.l.: Blucher, 7. AGUIRRE, L. A. Introdução à Identificação de Sistemas Técnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sistemas Reais. 3. ed. S.l.: Editora UFMG, 7. BABUŠKA, R. Fuzzy Modeling for Control. S.l.: Kluwer Academic Publishers, 998. (International Series in Intelligent Technologies). BARROS, L. C. de; BASSANEZI, R. C. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática. S.l.: Unicamp- Imecc, 6. (Colecao IMECC. Textos Didáticos). BERGSTEN, P. Observer and Controllers for Takagi- Sugeno Fuzzy Systems. 7 p. Tese (Doctoral Dissertation) Örebro University, Örebro,. BUTT, N.; SHAFIQ, M.; KHAN, T. An adaptive root-solving controller for tracking of nonlinear dynamic plants. In: Industrial Electronics and Control Applications, 5. ICIECA 5. International Conference on. S.l.: s.n., 5. p. 6 pp. 6. DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. S.l.: LTC, 9. ENGELBRECHT, A. P. Computational Intelligence: An Introduction. S.l.: Wiley, 7. 4 Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4

15 GINALBER L. O. SERRA, RAFAEL J. M. SANTOS IOANNOU, P. A.; PITSILLIDES, A. Modeling and Control of Complex Systems. S.l.: Taylor & Francis,. (Automation and Control Engineering). KLIR, G. J.; YUAN, B. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Aplications. S.l.: Prentice Hall, 995. LENDEK, Z. et al. Stability Analysis and Nonlinear Observer Design Using Takagi-Sugeno Fuzzy Models. S.l.: Springer,. (Studies in Fuzziness and Soft Computing). PEDRYCZ, W. Computational Intelligence: An Introduction. S.l.: Taylor & Francis, 997. (Computer engineering, software programming). SERRA, G. L. O. Propostas de Metodologias para Identificação e Controle Inteligentes. 7 p. Tese (Tese de Doutorado) Unicamp / FEEC / DMSCI, Campinas, SP, 5. SERRA, G. L. O. (Ed.). Frontiers in Advanced Control Systems. S.l.: Intech,. TAKAGI, T.; SUGENO, M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-5, n., p. 6 3, Jan 985. ISSN Santiago (USACH), Chile. Atualmente é professor e chefe do grupo de pesquisa em Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFMA), São Luis- MA, Brasil; e professor permanente do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Eletricidade, da Universidade Federal do Maranhão (UFMA), São Luis-MA, Brasil. Dr. Serra é Editor do livro Frontiers in Advanced Control Systems (InTech, ), e atua como revisor de várias conferências e revistas de prestígio. Seu interesse de pesquisa inclui temas sobre sistemas fuzzy, redes neurais, computação evolutiva, instrumentação para controle de alto desempenho, controle em tempo real, processamento de sinais, aplicações em automação e controle industrial. Rafael J. M. Santos Graduado em Engenharia Elétrica Industrial, pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão, em 4. Foi bolsista como pesquisador junto ao Grupo de Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia (IFMA/CNPq) de a 3, desenvolvendo suas atividades nos seguintes temas: modelagem e controle de sistemas não-lineares utilizando lógica nebulosa. BIOGRAFIA DOS AUTORES Dr. Ginalber L. O. Serra recebeu os graus de Bacharelado e Mestre em engenharia elétrica pela Universidade Federal do Maranhão, Maranhão, Brasil, em 999 e, respectivamente. Ele recebeu o grau de Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (UNI- CAMP), Campinas-SP, Brasil, em Setembro de 5. Ele terminou sua pesquisa de Pós-doutorado em controle adaptativo neuro-fuzzy multivariável de sistemas não lineares, no Departamento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes da Universidade Estadual de Campinas, Campinas, Brasil, em Setembro de 6. Entre 6 e 7, foi pesquisador do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade de Revista INNOVER, volume, número 3, Setembro 4 5