Otimização de Controlador LQR para Conversor BUCK Usando Algoritmos Genéticos

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1 Otimização de Controlador LQ para Conversor BUCK Usando Algoritmos Genéticos Cleomar Pereira da Silva Departamento de Engenharia Elétrica Pontifícia Universidade Católica do io de Janeiro ua Marquês de São Vicente, 225, Gávea, io de Janeiro, J. Brasil, esumo O conversor abaixador de tensão Buck apresenta aplicações para o desenvolvimento de fontes chaveadas bem reguladas de tensão. Pode ser empregado para reduzir a tensão da bateria de um computador portátil para os níveis de tensão adequados para a alimentação do processador. Um controlador é necessário para melhorar as características da forma de onda de tensão produzida, de maneira a atender a normas de qualidade de energia e especificações de projeto. O regulador linear quadrático LQ pode proporcionar ganhos de controle ótimo desde que seja feita uma escolha adequada das matrizes Q e da função de energia para minimização de custo. Encontrar os autovalores destas matrizes pode não ser uma tarefa fácil, pois muitas vezes não é possível encontrar-se uma relação bem definida entre os ajustes dos autovalores e o resultado produzido na forma de onda da tensão de saída do conversor. Assim, tem-se uma tarefa repetitiva de ajustar os parâmetros do controlador, simular a planta e verificar os resultados, voltando a fazer alterações caso necessário. Esta tarefa poderia muito bem ser resolvida de forma iterativa por técnicas evolucionárias como algoritmos genéticos e evolução diferencial. Palavras Chaves Conversor Buck, egulador Linear Quadrático, Evolução Diferencial. I. INTODUÇÃO O projeto do controlador ótimo LQ (regulador linear quadrático) para sistemas lineares de tempo contínuo representáveis por equações diferenciais lineares do tipo: X = A X + BU (01) é feito a partir de uma função de custo quadrática: T T ( ) J = X Q X + U U 0 (02) a qual deve ser minimizada para se obter o melhor controlador que poderá proporcionar ao sistema o desempenho desejado. O LQ pode ser considerado um método de realimentação linear ótima de estados, onde a lei de controle é expressa por: U = K X (03) Porém, a simples observação dos elementos das matrizes Q e (equação (02)) não permite inferir uma relação com o comportamento da planta em malha fechada. Isso pode ser feito para outras técnicas de controle, tais como controladores PI, PD e PID, os quais permitem ter uma idéia de quais termos devem ser ajustados para melhorar a resposta da planta. Neste trabalho propõe-se utilizar uma técnica de algoritmos genéticos, mais especificamente a evolução diferencial, para encontrar as matrizes Q e, para as quais o ganho K, obtido pela solução da equação de iccati, proporciona o melhor desempenho do egulador Linear Quadrático (LQ) aplicado ao controle de um conversor Buck. 1. Conversor Buck II. FUNDAMENTAÇÃO O conversor Buck é um circuito eletrônico capaz de converter uma tensão CC (corrente contínua) em outra tensão CC de valor menor. Este circuito é ilustrado na Figura 1. Figura 1: Circuito Eletrônico do Conversor Buck. O formato do sinal de acionamento da chave do conversor Buck é ilustrado na Figura 2. Onde D é a razão cíclica, a qual define o tempo que a chave permanecerá fechada em um período de comutação. Figura 2: Sinal de acionamento da chave do conversor Buck. Esta característica de chaveamento do conversor Buck origina duas etapas de comutação, as quais são descritas a seguir. 1ª Etapa (0, DTs): A chave do conversor Buck encontra-

2 se em estado de condução e o diodo está reversamente polarizado. Nesta fase a fonte de tensão fornece energia diretamente para a carga e para a magnetização do indutor. O circuito equivalente representativo desta etapa de comutação é apresentado na Figura 3. Figura 3: Circuito equivalente representativo da primeira etapa de comutação do conversor Buck. 2ª Etapa (DTs, (1-D)Ts): A chave do conversor Buck encontra-se aberta e o diodo está em estado de condução. O indutor é desmagnetizado fornecendo energia para a carga. O circuito equivalente representativo desta etapa de comutação é apresentado na Figura 4. Figura 4: Circuito equivalente representativo da segunda etapa de comutação do conversor Buck. Com relação à corrente que circula pelo indutor do conversor Buck, existem três possíveis modos de operação: 1º - Condução Contínua: a corrente no indutor não se anula durante um período de comutação; 2º - Condução Descontínua: a corrente no indutor se anula a cada período de comutação; 3º - Condução Crítica: a corrente no indutor está no limiar de se anular a cada período de comutação. O comportamento característico das formas de onda de tensão e corrente sobre o indutor, tensão no capacitor, no diodo e na chave do conversor Buck são apresentados na Figura 5. VLo ILo VCo VS VD D Ts Ts Vi-Vo Figura 5: Tensão (VLo) e corrente (ILo) no indutor; Tensão (VCo) no capacitor; Tensão (VS) sobre a chave, e Tensão (VD) no diodo. 1. Modelo Matemático da 1ª Etapa de Operação do Conversor Buck A corrente no indutor ( i L ) e a tensão no capacitor ( v c ) -Vo Io Vi -Vi foram definidas como sendo as variáveis de estado: x1 = il x2 = vc u = Vdc (04) A malha de saída do circuito equivalente da primeira etapa de comutação (Figura 3) do conversor Buck pode ser representada pela seguinte equação diferencial: dvc dv v C i C c c C + L 0 = (05) Usando a definição (04) na equação (05) e reorganizando os termos: x2 C C x2 + x1 C x2 = 0 1 x2 = x ( ) 1 x C + C C ( + C ) 2 (06) A malha de entrada do circuito equivalente da primeira etapa de comutação (Figura 3) do conversor Buck pode ser representada por meio de equações diferenciais da seguinte forma: dil dv V i L i C c dc + L L + + L 0 = (07) Usando a definição (04) na equação (07) e reorganizando os termos: u+ L x1 + L x1 + x1 C x2 = 0 ( C + L ) + C L 1 x1 = x ( ) 1 x ( ) 2 + u L + C L + C L (08) A tensão de saída do circuito equivalente da primeira etapa de comutação (Figura 3) do conversor Buck é dada pela equação diferencial: vo i C dvc = L (09) Podendo ser reescrita em termos da definição (04) e da equação (06) como sendo: vo = x1 C x2 C vo = x + x C C ( + ) 1 ( + ) 2 (10) As equações (06), (08) e (10) podem ser organizadas e agrupadas em formato matricial: x = A1 x + B1 u vo= C1 x ( C + L ) + C L L ( ) L ( ) 1 x1 + C + C x1 L = u 1 x + 2 x 0 2 C ( + C ) C ( + C ) C x vo 1 = ( + C ) ( + C ) x2 (11) 2. Modelo Matemático da 2ª Etapa de Operação do Conversor Buck A observação das Figuras (03) e (04) permite verificar que a única diferença entre o circuito equivalente da primeira e o circuito equivalente da segunda etapa é a fonte de tensão de entrada. Portanto, podemos deduzir a partir da

3 equação (11) o modelo matemático representativo da segunda etapa de operação do conversor Buck: x = A2 x + B2 u vo= C2 x ( C + L ) + C L L ( ) L ( ) x1 + C + C x1 0 = u 1 x x 2 C ( + C ) C ( + C ) C x vo 1 = ( + C ) ( + C ) x2 (12) 3. Modelo Matemático Médio do Conversor Buck Um modelo matemático que relaciona a tensão de entrada com a tensão de saída do conversor Buck pode ser obtido fazendo-se uma média, dos modelos da primeira e segunda etapas, ponderada pela razão cíclica ( d ): x = A x + B u vo= C x x= A1 d + A2 ( 1 d ) x+ B1 d + B2 ( 1 d ) u vo= C1 d + C2 ( 1 d ) x (13) 4. Efeito da Variação da azão Cíclica sobre o Modelo Médio do Conversor BUCK Consideraremos a tensão de entrada da planta como sendo constante e analisaremos o efeito da variação da ração cíclica. Espera-se que variações na razão cíclica causem variações nas variáveis de estado e estas causem variações na tensão de saída. Portanto, passaremos a representar estas grandezas pela soma de uma componente estática com uma componente dinâmica: ~ x = X + x ~ vo= Vo+ vo ~ d = D + d (14) As matrizes de constantes das representações por variáveis de estado apresentadas em (11), (12) e (13) possuem as seguintes relações: A= A1 D+ A2 ( 1 D) B = B1 D + B2 ( 1 D) (15) C = C D + C ( 1 D) 1 2 Substituindo a definição (14) nas equações (13) e usando as definições de (15) para reorganizar os termos: ~ ~ ~ ~ ~ ~ X + x = A D+ d + A 1 D+ d X + x + B D+ d + B 1 D+ d u ~ ~ ~ ~ Vo+ vo= C D+ d + C 1 D+ d X + x 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ x A X B u A x ( A1 A2 ) X ( B1 B2 ) u = d + A1 A2 x ~ ~ ~ ~ ~ ~ Vo+ vo= C X + C x + ( C1 C2 ) X d + C1 C2 x (16) componente dinâmica das variáveis de estado. Por definição, estas componentes dinâmicas possuem magnitude pequena e o produto delas possuirá magnitudes menores ainda, podendo ser desprezados: ~ ~ ~ x= A X + B u+ A x+ ( A1 A2 ) X + ( B1 B2 ) u ~ ~ ~ Vo+ vo= C X + C x+ ( C1 C2 ) X (17) As equações (17) podem ser separadas em suas componentes dinâmicas e estáticas. A seguir temos a componente alternada: ~ ~ ~ x= A x + ( A1 A2 ) X + ( B1 B2 ) u ~ ~ ~ vo= C x + ( C1 C2 ) X (18) A componente de regime permanente das equações (17) é apresentada abaixo: A X + B u= 0 Vo = C X (19) 5. Conversor Buck Operando em Malha Fechada O controlador Buck operando em malha fechada é ilustrado na Figura 6. Um sensor de corrente em série com o indutor fornece o valor instantâneo da corrente, o qual precisa passar por um filtro passa baixas para obter-se o valor médio. A tensão medida no capacitor também precisa ser filtrada para eliminar as componentes de alta freqüência devidas ao chaveamento, obtendo-se, desta forma os valores médios. Figura 6: Conversor Buck operando em malha fechada por controlador do tipo LQ. As entradas do controlador LQ são o erro de corrente no indutor e o erro de tensão no capacitor. A saída do controlador é a variação da razão cíclica necessária melhorar as características de controle da tensão fornecida à carga. O comportamento do conversor Buck em malha fechada por controlador do tipo LQ pode ser simulado a partir das equações (18) e (19). Para isso, é necessário substituir a variação da razão cíclica pelo ganho da malha fechada dado pela equação (3): As equações (16) possuem termos compostos pelo produto entre a componente dinâmica da razão cíclica e a

4 ~ ~ ~ x A x ( A1 A2 ) X ( B1 B2 ) u K x = + + ~ ~ ~ vo= C x + ( C1 C2 ) X K x 2. Algoritmos Genéticos (20) Algoritmos genéticos são métodos de busca que usam técnicas inspiradas na teoria da evolução de Charles Darwin como hereditariedade, seleção natural, recombinação (ou crossover) e mutação. Trabalham com um conjunto de possíveis soluções, chamado de população, que são constantemente modificados e avaliados. A idéia básica de funcionamento dos algoritmos genéticos está relacionada ao princípio de que indivíduos mais aptos reproduzem e transmitem seu material genético às gerações futuras, e os indivíduos menos aptos tendem a desaparecer da população. A utilização de algoritmos genéticos envolve a representação dos parâmetros do problema a serem otimizados por estruturas codificadas chamadas cromossoma e a definição de uma função objetivo. Não é necessário conhecer o comportamento desta função, basta tê-la disponível para ser aplicada aos indivíduos da população, permitindo comparar os resultados. O funcionamento de um algoritmo genético pode ser descrito como sendo uma seqüência repetitiva de procedimentos do tipo avaliar, selecionar, recombinar e modificar os indivíduos, gerando, novas populações. Tais procedimentos levam em consideração a aptidão de cada solução, de maneira que indivíduos com melhores aptidões terão uma maior probabilidade de serem selecionados para o processo de cruzamento, transmitindo parte dos seus genes a seus descendentes. Cada iteração desse processo é denominada geração. Testes de convergência podem ser utilizados para a finalização do algoritmo, contudo, um número máximo de gerações deve sempre ser estabelecido. Ao final, o indivíduo com maior aptidão será adotado como solução do problema. 3. Evolução diferencial A Evolução Diferencial nasceu da idéia de se utilizar um vetor de diferenças para perturbar o vetor de população. Pode ser vista como sendo uma versão aprimorada de algoritmos genéticos para rápida otimização. A mutação da evolução diferencial consiste em adicionar a diferença vetorial ponderada entre dois indivíduos aleatórios da população às componentes de um terceiro indivíduo, também aleatoriamente escolhido. Esse procedimento é usado para formar novos indivíduos, chamados vetores modificadores ou doadores. As componentes deste novo indivíduo são em seguida misturadas com as componentes de um indivíduo escolhido aleatoriamente (denominado vetor alvo ou vetor a ser substituído), para resultar no chamado vetor tentativa, ou vetor experimental. Este procedimento de misturar os parâmetros constitui-se no cruzamento da evolução diferencial. O custo do vetor experimental será avaliado e caso seja menor do que o custo do vetor alvo, então este será substituído por aquele. Esta última operação pode ser entendida como um processo de seleção. Um critério de parada é necessário para finalizar o algoritmo, podendo ser baseado em convergência, contudo, sempre deve-se definir um número máximo de interações. III. MÉTODO Os elementos da diagonal principal das matrizes Q e serão evoluídos pela técnica de evolução diferencial. O método visa encontrar os autovalores tais que as características de comportamento da tensão fornecida à carga sejam as melhores possíveis. Por não ser possível visualizar uma relação direta entre os autovalores das matrizes Q e com os resultados produzidos na tensão de saída, o projeto sem a utilização da evolução diferencial torna-se uma tarefa trabalhosa e iterativa de variações destes autovalores e simulações para verificar o resultado obtido. Muito provavelmente nenhum projetista se daria ao trabalho de encontrar o resultado ótimo, satisfazendo-se com os primeiros autovalores encontrados que atendessem aos requisitos mínimos exigidos no projeto. Sendo a tarefa iterativa de variações de parâmetros e simulações, nada melhor que a utilização de um método de inteligência computacional evolucionário. O método evolucionário não precisa ser interrompido pelo primeiro conjunto de valores que atendam aos requisitos mínimos exigidos nas especificações de projeto, indo além e podendo chegar próximo ou até mesmo ao resultado ótimo. 1. epresentação do cromossoma O cromossoma é composto pelos elementos da diagonal das matrizes Q e, conforme o ilustrado na Figura 7. Figura 7: epresentação do Cromossoma. 2. Decodificação do cromossoma As matrizes Q e são obtidas diretamente do cromossoma. Para cada cromossoma, a solução da equação de iccati fornece o ganho K: A T P + P A P B 1 B T P+ Q= 0 K = 1 B T P (21) Utilizando-se o ganho K e as equações (19) e (20) podese simular o comportamento do conversor Buck em malha fechada, obtendo-se para cada cromossoma, uma forma de onda de tensão conforme o ilustrado na Figura 8. A partir desta forma de onda de tensão, são calculados os valores de overshoot, tempo de subida, tempo de acomodação e erro de regime permanente para cada cromossoma.

5 Os autovalores das matrizes Q e encontrados pelo algoritmo de evolução diferencial foram: Q = = A forma de onda de tensão de saída sobre a carga correspondente a esta solução é apresentada em vermelho na Figura 9. Pode-se verificar que a evolução diferencial foi eficiente em encontrar uma solução sem overshoot, com baixo tempo de subida, tempo de acomodação bastante reduzido e erro de regime permanente quase nulo. Figura 8: Forma de onda da tensão de saída do conversor Buck e características de controle a serem melhoradas pelo uso da Evolução Diferencial. 3. Função de avaliação. A função de avaliação é calculada com base nos valores obtidos na fase de decodificação para os tempos de subida (tr), tempo de acomodação (ts), overshoot (Mp) e erro de regime permanente (Ess). O cálculo da função de avaliação constitui-se de uma multiplicação das quatro características citadas, realizando-se previamente uma normalização. F = Mp tr ts Ess avaliação 4. Valores Usados para os Parâmetros de Controle da Evolução Diferencial Número de Parâmetros da Função de Avaliação: D = 3 Número de Indivíduos da População: NP = 20 Número de Gerações: itermax = 50 Passo da Evolução Diferencial: F = 0.8 Probabilidade de Crossover: C = 0.8 IV. ESULTADOS A forma de onda de tensão de saída do conversor Buck apresentada em azul forte da Figura 9 foi obtida pela simulação do modelo em malha aberta usando-se para isso a representação por variáveis de estado das equações (13). Algumas possíveis soluções para os autovalores das matrizes Q e que um projetista poderia tentar usar são apresentadas na Tabela 1. Tabela 1: Soluções Possíveis. q11 q22 r11 LQ LQ LQ Simularam-se cada uma das possíveis soluções apresentadas na Tabela 1 utilizando-se as equações (19) e (20) do modelo em malha fechada e as formas de onda de tensão de saída sobre a carga são apresentadas na Figura 9. Figura 9: Formas de onda de tensão de saída do conversor Buck. V. CONCLUSÕES A modelagem do conversor Buck e do sistema de controle por variáveis de estado permitiu a realização de simulações e a comparação dos resultados obtidos. O algoritmo utilizado de evolução diferencial demonstrou-se eficiente em encontrar uma solução otimizada. Esta solução apresenta características de controle tais como tempo de subida, tempo de acomodação, erro de regime permanente e overshoot reduzidos. As diferenças mais significativas puderam ser observadas principalmente sobre o tempo de acomodação e o overshoot. A melhoria destas características de controle permite alimentar a carga com melhor qualidade energia. VI. BIBLIOGAFIA [1] Ivo Barbi. Projeto de Fontes Chaveadas, Edição do Autor, Florianópolis, SC Brasil, [2] Ivo Barbi e Denizar Cruz Martins. Conversores CC-CC Básicos Não Isolados, Edição dos Autores, Florianópolis, SC Brasil, [3] Kenneth Price e ainer Storn. Evolução Diferencial. Disponível em: [4] Marco Aurélio C. Pacheco. Algoritmos Genéticos: Princípios e Aplicações. Disponível em: [5] Marco Aurélio C. Pacheco. Computação Evolucionaria. Notas de Aula, ICA - PUC-io.

6 Otimização de Controlador LQ para Conversor BUCK Usando Algoritmos Genéticos Cleomar Pereira da Silva esumo O conversor abaixador de tensão Buck apresenta aplicações para o desenvolvimento de fontes chaveadas bem reguladas de tensão. Pode ser empregado para reduzir a tensão da bateria de um computador portátil para os níveis de tensão adequados para a alimentação do processador. Um controlador é necessário para melhorar as características da forma de onda de tensão produzida, de maneira a atender a normas de qualidade de energia e especificações de projeto. O regulador linear quadrático LQ pode proporcionar ganhos de controle ótimo desde que seja feita uma escolha adequada das matrizes Q e da função de energia para minimização de custo. Encontrar os autovalores destas matrizes pode não ser uma tarefa fácil, pois muitas vezes não é possível encontrar-se uma relação bem definida entre os ajustes dos autovalores e o resultado produzido na forma de onda da tensão de saída do conversor. Assim, tem-se uma tarefa repetitiva de ajustar os parâmetros do controlador, simular a planta e verificar os resultados, voltando a fazer alterações caso necessário. Esta tarefa poderia muito bem ser resolvida de forma iterativa por técnicas evolucionárias como algoritmos genéticos e evolução diferencial. Palavras Chaves Conversor Buck, egulador Linear Quadrático, Evolução Diferencial.

7 Optimizing LQ Controller for Buck Converters Using Genetic Algorithms Summary - The step-down voltage converter Buck has applications for the development of switching power supplies and voltage regulators. It can be used to reduce the battery voltage of a laptop to voltage levels suitable for powering the processor. A driver is needed to improve the characteristics of the waveform of voltage, so as to meet the standards of power quality and design specifications. The linear quadratic regulator LQ potential gains from optimal control making an appropriate choice of matrices Q and of the energy function in order to minimize cost. Finding the eigenvalues of these matrices can be a difficult task, as it is often not possible to find a clear relationship between the settings of the eigenvalues and the result produced in the waveform of the output voltage of the converter. Thus, there is a repetitive task to adjust the controller parameters, to simulate the plant and check the results, returning to make changes if necessary. This task could very well be solved iteratively by evolutionary techniques like genetic algorithms and differential evolution. Keywords - Buck Converter, Linear Quadratic egulator, Differential Evolution