O ENSINO DE VALOR ABSOLUTO E FUNÇÃO MODULAR NA PERSPECTIVA CURRICULAR EM REDE.

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1 O ENSINO DE VALOR ABSOLUTO E FUNÇÃO MODULAR NA PERSPECTIVA CURRICULAR EM REDE. Darcio Costa Nogueira Júnior Colégio Militar de Belo Horizonte darciojunior@uol.com.br João Bosco Laudares Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais jblaudares@terra.com.br RESUMO Este artigo é resultado da pesquisa apresentada na dissertação de mestrado sobre o ensino e aprendizagem de função modular na perspectiva curricular de rede. Através de uma seqüência didática, a pesquisa realizada no programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais apontou evidências de que a aprendizagem se torna mais significativa com as múltiplas interações com outros nós da rede ou outras áreas de conhecimento. A seqüência didática explorou com atividades de investigação a interpretação na reta numérica e no plano cartesiano, utilizando propriedades de funções algébricas e aplicações na Matemática, associando algumas das atividades com a utilização do software gráfico Geogebra. Palavras-chave: Currículo em Rede. Valor Absoluto. Funções. 1 Apresentação Este artigo teve origem na dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, que apresenta uma pesquisa sobre o ensino de valor absoluto e função modular numa perspectiva curricular de rede. Na pesquisa foi analisada a forma em que a função modular e o valor absoluto são trabalhados na Educação Básica, em especial o Ensino Médio. Sendo assim, foram analisadas as duas últimas versões dos Parâmetros Curriculares Nacionais (2002 e 2006) e o documento que contém diretrizes complementares para a versão de 2002.

2 Além desses documentos, alguns livros didáticos foram analisados quanto ao tratamento de valor absoluto e função modular. Da análise destes dados foram levantados alguns parâmetros para referência na construção da seqüência didática, que foi consolidada a partir das observações feitas na aplicação do instrumento de estudo em uma escola federal de ensino básico em Belo Horizonte. A aplicação que durou cinco dias, teve seu último dia registrado em vídeo, tendo em vista a socialização dos estudos feita com os alunos participantes. Os resultados da aplicação contribuíram para a formatação final da seqüência didática apresentada na dissertação de mestrado. O currículo de Matemática na Educação Básica frequentemente tem sido objeto de estudos de pesquisadores em Educação Matemática que tem buscado avanços que realmente proporcionem uma inclusão escolar cada vez mais abrangente no cenário educacional brasileiro. Desse modo, buscava-se propor nesta pesquisa uma estrutura curricular em rede para contribuir para uma inclusão real na aprendizagem de Matemática, uma vez que cada um dos nós que estabelecem a rede é uma fonte de inúmeras interações com outros nós. Considerando cada nó um dos temas do currículo em Matemática, é possível a partir de um único nó, estudar como as interações e ligações são estabelecidas em saberes intra-disciplinar e extra-disciplinar. O valor absoluto e a função modular pode ser um destes nós, geralmente estudado no Ensino Médio, mas com múltiplas interações com outros temas da Matemática. Desse modo, pode-se estabelecer um livre trânsito entre a Aritmética, Álgebra e Geometria através da interpretação geométrica na reta numérica e a representação gráfica no plano cartesiano. 2 O valor absoluto na Educação Básica. Desde a introdução dos números inteiros, o estudo do valor absoluto começa a se evidenciar no currículo de Matemática. Através do conceito de distância, explora-se valor absoluto e valor relativo de um número real e a organização dos números na reta numérica. Sobre essa abordagem, Caraça (1998) define valor absoluto como um número real independente de suas qualidades no campo relativo. Para indicar o valor absoluto de um número, encerra-se esse número por dois traços verticais. Na abordagem espiral proposta por Friedlander (1995), o valor absoluto é estudado em vários momentos do currículo de Álgebra. Segundo o autor, em cada etapa a seqüência desenvolve a capacidade do aluno em compreender e visualizar situações problemas de complexidade crescente. Desse modo, a aprendizagem ocorre de modo semelhante ao princípio da extensão, utilizado por Caraça (1998) para o estudo dos conjuntos numéricos. Essa abordagem em espiral associada à interação com a Geometria Analítica favorece a

3 compreensão da resolução de problemas que envolvem o módulo de um número real. No final do Ensino Fundamental, a abordagem de valor absoluto de um número real ocorre em concomitância com as propriedades de operações aritméticas, como a radiciação n x n = x se x IR e n é natural par diferente de zero. Ate nesse momento é comum se prender à abordagem aritmética e algébrica sem aprofundar em Geometria. Com o início do estudo de funções, um amplo horizonte pode ser vislumbrado para a interação entre a Álgebra e Geometria, especialmente. Com a aplicação de valor absoluto em função através do estudo da função modular, problemas que envolvem equação modular e desigualdades modulares podem ser resolvidos através do processo algébrico ou pela interpretação na reta numérica ou no plano cartesiano. Através dessas interpretações geométricas é possível estabelecer interações com a aritmética (valor absoluto e relativo), funções (família de funções obtida por composição e transformadas), geometria analítica (resolução de igualdades e desigualdades modulares no plano cartesiano e na reta numérica). Além dessas interações na própria Matemática, é possível ainda estabelecer aplicações de forma integrada com outras áreas de conhecimento, como a Estatística (para situações problemas que envolvem desvio médio absoluto) e a Física (para problemas de modelagem em Óptica, através do estudo de reflexão para espelhos plano). 3 Os Parâmetros Curriculares Nacionais, o livro didático e o valor absoluto. Os três últimos documentos sobre Parâmetros Curriculares Nacionais publicados pelo Ministério da Educação foram os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio de 2002 (PCNEM), as Orientações Curriculares Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio de 2002 (PCN+) e os Parâmetros Curriculares Nacionais de Essas três versões recentes e complementares entre si, apontam algumas sugestões e diretrizes para o ensino de Matemática. Em todos elas, existe uma divisão do programa de Matemática em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria e Análise de dados e Probabilidade com a recomendação de buscar constante articulação entre eles. A parte do programa que se refere às funções apresenta aplicações e propostas de interações na Matemática e em outras áreas como a Física, Química, Estatística e Biologia. Neste contexto de diálogo entre as áreas de conhecimento, os Parâmetros Curriculares Nacionais trazem a Matemática como desenvolvimento de habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e contextualização sociocultural. Existe a citação das funções que são estudadas, em especial, na primeira série do

4 Ensino Médio, com menor ênfase a função modular. Essa pequena ênfase pode ser percebida nos livros didáticos, que em alguns casos, apresenta tal função de forma genérica, sem explorar suas aplicações e possibilidades de conexões na rede que se pode estabelecer no currículo de Matemática. Uma análise nos capítulos que se referem ao ensino de função modular e valor absoluto dos livros didáticos utilizados em algumas escolas brasileiras fornece algumas evidências que permitem levantar alguns questionamentos sobre como a rede poderia ser estabelecida tem em vista a função abordada e a proposição dos autores em cada obra. Deste modo, as interações poderiam surgir a partir de situações problemas que explorem, por exemplo, as relações existentes entre as áreas de Álgebra e Geometria. Para tal análise, foram selecionados alguns livros didáticos do Ensino Médio, como foco no volume 1 ou no volume único. O primeiro critério de seleção foi a presença na lista de livros que foram recomendados pelo Ministério da Educação no Plano Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM/ 2007), segundo portaria 1818 de 13 de novembro de Com esse critério, selecionou-se os livros dos seguintes autores: Dante (2007), Bonjorno (2000), Smole (2003) e Paiva (2002). O segundo critério foi a utilização dos livros em algumas escolas de Belo Horizonte. Assim, duas escolas, selecionadas ao acaso, foram questionadas sobre o livro utilizado no Ensino Médio, sendo acrescidos à lista de livros, Iezzi (2006) e Mello (2005). Em todos os livros, foram analisados os capítulos de função modular e valor absoluto, sendo utilizados como parâmetros três componentes básicos do ensino, propostos por Lima (2001): conceituação, manipulação e aplicação. Esses parâmetros foram respectivamente associados a outros propostos por Zabala (1995), a saber, conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais. A partir destes parâmetros e levando em consideração os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, percebe-se uma tentativa de cumprir a proposta de articulação do conhecimento com as diversas áreas de conhecimento. Essa tentativa se mostra restrita a situações problemas ou exemplo isolados presentes em algumas obras, como Smole (2003), Paiva (2002) e Dante (2007). A interação entre Álgebra e Geometria se faz presente de modo restrito aos dois últimos autores, sendo que os demais autores recorrem a mecanismos algébricos e problemas tradicionais como configurações mais simples. Essas características presentes nestes capítulos de função modular e valor absoluto permitem visualizar algumas tendências que podem configurar o processo ensino e aprendizagem no Ensino Médio de diversas escolas. Autores como Smole (2003), Paiva (2002) e Dante (2007) apontam algumas interações que podem enriquecer o diálogo entre professor e aluno, por estimular aplicações em Estatística, por exemplo.

5 4 A seqüência didática e o currículo em rede: uma proposta para o ensino de função modular e valor absoluto. Uma das mudanças curriculares propostas nesta pesquisa é a organização curricular em rede. Esta estruturação segue tendência contrária à organização linear, onde se percebe uma forte fragmentação nas áreas de Álgebra, Aritmética e Geometria, sem explorar suas múltiplas conexões. As múltiplas interações que podem ser estabelecidas entre Álgebra, Aritmética e Geometria podem trazer um significado especial para a aprendizagem, associando propriedades, conceitos e definições de modo dinâmico e abrindo perspectivas para aplicações em outras áreas de conhecimento. Essas múltiplas conexões ficam evidenciado no currículo em rede, uma vez que a noção de estrutura caracteriza-se pelo deslocamento das atenções do ser como essência para os objetos articulados por sistemas de relações. Com as categorias, ocorre um deslocamento nas atenções dos entes para as relações, na medida em que, tendo por objetos as próprias estruturas matemáticas, os objetos passam a ser constituídos por sistemas de relações, o que leva a uma dualidade entre objetos e relações. (PIRES, 2000, p.74) Desse modo, a dualidade entre objetos e relações aponta a tendência que cada função algébrica, por exemplo, tem de ser um nó na rede curricular, responsável pelas diversas interações que podem ser estabelecidas. A função modular, por exemplo, pode estabelecer interações com a Geometria Analítica através da representação no plano cartesiano de resolução de igualdades e desigualdades algébricas. A resolução de uma desigualdade do tipo x 3+ x 1 3, que foi proposta na seqüência didática apresentada aos alunos que participaram da pesquisa, retrata bem as interações que podem ser feitas a partir da definição de valor absoluto e suas aplicações, bem como a definição de função modular e suas propriedades. Inicialmente os alunos escreveram em palavras, a partir do conceito de distância, o significado da equação proposta. Um dos alunos que participou da pesquisa observou que se tratava do conjunto dos números cuja distância em relação ao 3 somada à distância em relação ao 1 deveria ser menor ou igual a 3. A partir dessa expressão verbal, marcaram na reta numérica o conjunto dos valores que satisfaziam a desigualdade proposta. Em seguida registraram em palavras a partir do princípio de comparação de funções e igualdade de funções, o significado da expressão proposta na resolução no plano cartesiano. Grande parte dos alunos fizeram suas observações tendo em vista a desigualdade x 3 3 x 1, comparando as funções f ( x) = x 3 e g ( x) = 3 x 1 a

6 partir de seus pontos de interseção. A partir destes pontos de interseção, a seqüência buscava ampliar os conceitos estudados propondo a interpretação da solução no plano cartesiano e sua comparação com a interpretação na reta numérica. Para a interpretação no plano cartesiano, princípios como funções transformadas e translação de eixos foram utilizados pelos alunos na montagem dos gráficos, assim como a definição de função formada por várias sentenças. Por último, foi proposta a resolução algébrica e mais uma vez a comparação entre as soluções obtidas na reta numérica, no plano cartesiano e algebricamente. Figura 1: resolução da inequação x 3+ x 1 3 no plano cartesiano. A definição de seqüência didática apresentada por Zabala (1998, p.18) como um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos alunos reflete a possibilidade da formação da rede curricular tendo em vista apenas um de seus nós, como é o caso da rede formada pelo valor absoluto e função modular.

7 A formação dessa seqüência didática se deu inicialmente a partir da análise dos livros didáticos e dos Parâmetros Curriculares Nacionais. A partir das evidências obtidas, propôs-se uma divisão da seqüência em quatro atividades de investigação. Em seguida, foi planejada uma série de problemas investigativos que pudessem estabelecer as interações intra-matemáticas e extra-matemáticas. Essas atividades foram elaboradas de modo que cada propriedade, definição, aplicação e representação deveria ser utilizada de modo integrado com as outras atividades e com o uso de recursos tecnológicos, como o computador e softwares gráficos. O software utilizado na pesquisa foi o Geogebra, software de fácil acesso e que pode ser utilizado nos sistemas operacionais Windows e Linux. Possui uma boa navegabilidade, interface de fácil compreensão, comandos dedutíveis e por ser um software de geometria dinâmica, permite múltiplas explorações e conexões entre Álgebra e Geometria, através da Geometria Analítica. Desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Florida Atlantic University, desde 2001 com contribuições de Yves Kreis, da University of Luxembourg (desde 2005), Loic Le Coq (França, desde 2006), Joan Carles Naranjo, Victor Franco e Eloi Puertas, da University of Barcelona (desde 2007) e Philipp Weissenbacher (Áustria, desde 2007). A primeira atividade foi sobre o valor absoluto, suas propriedades e aplicações no campo aritmético. Essa atividade, denominada o conceito de módulo e seu significado geométrico, com foco no campo da Aritmética, propôs discussões relativas a introdução à Álgebra e o uso de Geometria para a compreensão do significado de valor absoluto e função modular. As atividades enfatizavam as propriedades numéricas e estabelece interações entre a Aritmética e a Geometria e em algumas situações, com a Álgebra. A primeira atividade se encerrou com uma aplicação em Estatística envolvendo o conceito de desvio médio absoluto. Nesta parte foi proposta uma situação problema, próxima ao contexto escolar, envolvendo um grupo de 20 alunos e suas respectivas notas numa avaliação bimestral. A partir do conceito de média aritmética simples e valor absoluto, apresentou-se o conceito de desvio médio absoluto e pediu-se os cálculos de cada desvio para determinação da média dos desvios. O conceito de valor absoluto e distância foram utilizados na compreensão deste conceito estatístico que por sua vez, contribui para a interpretação de desvio padrão em dados discretos ou agrupados. A segunda atividade aborda a aplicação de valor absoluto em funções e um estímulo para o uso do computador para o estudo da família de funções. Essa atividade, denominada função modular e sua família de curvas, trata das propriedades gráficas, em especial a simetria em relação aos eixos coordenados e translação de eixos. Também são estudadas as funções combinadas, sendo este o eixo integrador entre a função modular e as outras funções que são estudadas no Ensino Médio. Na primeira parte foi explorada a função formada por várias sentenças através de uma situação problema envolvendo o valor da

8 conta da água de um determinado local em função de seu consumo. A partir de uma tabela, pediu-se para esboçar o gráfico daquela função, formado por vários segmentos de retas com inclinações distintas. Esta aplicação à Matemática Financeira está diretamente ligada ao cotidiano de qualquer família e contribui para a interpretação de cobranças tarifárias por faixas de consumo. Figura 2: seqüência da construção do gráfico de p ( x) = 2x 1+ 2 a partir de f( x) = 2x As terceira e quarta atividades ampliam a interação entre Álgebra e Geometria através de problemas sobre equações e desigualdades modulares, respectivamente. Nestas atividades, a integração curricular ocorre nas diferentes resoluções propostas para cada equação e inequação modular. Ao apresentar de maneira gradual cada uma das resoluções, a interação entre elas ocorre na comparação dos resultados obtidos e na percepção das diferentes estratégias utilizadas em cada problema. Para complementar esta fase de elaboração, foram selecionados alguns alunos da primeira série do Ensino Médio de uma escola federal de Belo Horizonte. Para estes alunos foram enviados comunicados com o pedido de autorização de seus pais, sendo que doze alunos confirmaram sua participação e estiveram presentes ao longo das quatro atividades. Essas atividades foram realizadas em cinco dias, distribuídos ao longo de duas semanas, sendo que no segundo e terceiro dias a atividade foi realizada no laboratório de

9 informática da escola. No quinto dia, que foi registrado em vídeo, ocorreu um período de socialização, quando os alunos comentaram sobre suas observações em relação às atividades propostas. Após a aplicação das atividades, o material recolhido do experimento, ocorreu a análise com a comparação entre os dados prévios obtidos na fase de planejamento das atividades e os dados posteriores, obtidos com a observação direta da postura dos alunos diante da atividade, a formação de conjecturas para a resolução das atividades e as estratégias utilizadas. O processo foi analisado, através de descrições tendo em vista a situação em que se desenvolveram os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais e sua relação com a proposição das atividades numa perspectiva curricular de rede. Com a aplicação das atividades, percebe-se que o uso de atividades investigativas colaborou para a formação de conexões a partir do nó da rede que estava sendo estudado, no caso, a função modular e o valor absoluto. Observou-se que a realização de investigações proporciona, muitas vezes, o estabelecimento de conexões com outros conceitos matemáticos e até mesmo extra matemáticos. O professor precisa estar atento a tais oportunidades e, mesmo que não seja possível explorar cabalmente essas conexões, deve estimular os alunos a refletir sobre elas. Essa é mais uma das situações em que o professor dá evidência do que significa raciocinar matematicamente. (PONTE, 2005 p.51) A interação com conteúdos extra-matemáticos ocorreu através de problemas interdisciplinares, na perspectiva proposta pelos Parâmetros Curriculares Nacionais. Sobre essa interdisciplinaridade, verificou-se que A interdisciplinaridade é a interação entre duas ou mais disciplinas, que pode ir desde a simples comunicação de idéias até a integração recíproca dos conceitos fundamentais e da teoria do conhecimento, da metodologia e dos dados da pesquisa. Estas interações podem implicar transferências de leis de uma disciplina para outra e, inclusive, em alguns casos dão lugar a um novo corpo disciplinar, como a bioquímica ou a psicolingüística. Podemos encontrar esta concepção na configuração das áreas de Ciências Sociais e Ciências Experimentais no Ensino Médio e da área de Conhecimento do meio no Ensino Fundamental (ZABALA, 1995, p.143) As interações intra-matemáticas ficaram evidenciadas com o uso de computador e softwares gráficos, uma vez que através da interpretação geométrica no plano cartesiano, era possível resolver problemas que eram comparados com as suas respectivas resoluções algébrica e na reta numérica. A multiplicidade de maneiras para se resolver o mesmo problema fez com que os alunos adotassem posturas distintas de acordo com o entendimento de cada um deles

10 frente à solução do problema. Em alguns momentos observou-se que alunos com maiores dificuldades na resolução algébrica dos problemas propostos preferiam resolver através do plano cartesiano, enquanto os que apresentavam mais facilidade com a resolução algébrica faziam com a mesma desenvoltura a interpretação na reta numérica e no plano cartesiano. Essa verificação foi possível constatar devido a organização da quarta atividade de duas maneiras distintas, sendo uma com a interpretação na reta numérica antes da interpretação no plano cartesiano e outra com essa ordem invertida. As evidências mostram que a função modular e o valor absoluto, por serem assuntos que possuem diversas estratégias para resolução de problemas, estabelecem interações diversificadas, de modo que o uso de combinação de funções e translação de eixos permitem conexões com outras funções matemáticas e com alguns princípios da Geometria Analítica que estejam relacionados com distância. Logo, a formação de ligações entre os diversos nós (assuntos) da Matemática abrem perspectivas para interações entre diferentes áreas de conhecimento, como a língua Portuguesa e a Matemática na expressão verbal de equações e inequações modulares; Física e Matemática na trajetória de raios na formação de imagens em espelhos planos; Estatística e Matemática com a definição de desvio médio absoluto. Como afirma Pires (2000), as conexões não ocorrem apenas em nível intra-matemático. A resolução de igualdades e desigualdades modulares, a partir da expressão verbal e interpretação geométrica, na reta numérica e no plano cartesiano, contribui para uma abordagem integrada entre Álgebra e Geometria, que segundo Friedlander (1995) resulta num ensino em espiral. Ora, se a abordagem é espiral, ao percorrer um caminho com essa trajetória se faz necessário a interligação entre as diversas partes para romper com a linearidade dos currículos. O uso de informática para explorar gráficos foi essencial para a aprendizagem significativa das propriedades da função, evitando concepções equivocadas a respeito de princípios matemáticos como a definição de valor absoluto de um número real e a representação gráfica de funções modulares. Assim, a utilização de software contribuiu para a conexão entre os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais. 5 Considerações finais O valor absoluto e a função modular podem ser considerados nós, que no contexto da rede curricular, estabelecem suas múltiplas interações com os demais nós matemáticos e extra-matemáticos. Na Aritmética, problemas que envolvem unidades de medidas aplicadas

11 a Geometria podem abranger o conceito de distância que pode ser bem explorada na série inicial do Ensino Médio com a interpretação geométrica na reta numérica do conceito de Módulo. A partir daí, inúmeras propriedades podem ser estudadas através da articulação entre Aritmética, Álgebra e Geometria, tão amplamente apregoada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ministério da Educação. O estudo da função modular é uma oportunidade de articular ainda mais o conteúdo de função com outras áreas de conhecimento, em especial a Geometria e estabelecer uma rede de conhecimento onde a função modular desempenharia o papel de articuladora das demais funções fundamentais estudadas com a Geometria, Aritmética e em alguns casos, com a análise de dados e probabilidade. A função modular, ao ser definida como função formada por duas ou mais sentenças, possui uma extensa e variada família de curvas, possibilitando uma aplicação das propriedades das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica na construção e análise de gráficos e a aplicação de princípios como a reflexão, simetria e translação. O estudo do valor absoluto de um número real possui algumas importantes aplicações que já podem ser exploradas no Ensino Médio. Em Estatística, pode ser aplicado no cálculo do desvio médio absoluto, assim como em Física pode ser aplicado ao conceito de distância. Na própria Matemática, no que diz respeito ao estudo de distância entre dois pontos e entre um ponto e uma reta na Geometria Analítica. Ao ser composto por uma pluralidade de pontos, o desenho curricular abre múltiplas possibilidades de caminhos e interações entre as diversas áreas de conhecimento. Essa pluralidade também favorece a interação entre os diversos temas presentes numa área de conhecimento, contribuindo para a consolidação de aplicações significativas no processo ensino e aprendizagem. Referências BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Secretaria de Educação Média e Tecnológica - Brasília: MEC/SEMT, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio) Orientações Educacionais complementares (PCN+). Secretaria de Educação Média e Tecnológica - Brasília: MEC/SEMT, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Secretaria de Educação Média e Tecnológica - Brasília: MEC/SEMT, 2006.

12 BONJORNO, J.R.; GIOVANNI, J.R. Matemática uma nova abordagem volume 1. São Paulo: FTD, CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 2ª ed. Lisboa: Gradiva, DANTE, Luiz R. Matemática contextos e aplicações volume único. São Paulo: Editora Ática, FRIENDLANDER, Alex; HADAS, Nurit. Ensinado valor absoluto numa abordagem em espiral. In: DOMINGUES, Hygino H. (tradutor). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, Cap. 29, p IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PERIGO, Roberto; ALMEIDA, Nilze de. Matemática Ciências e aplicações. São Paulo: Atual, LIMA, Elon (editor). Exame de Textos. Rio de Janeiro: SBM, MELLO, José Luiz Pastore. Matemática construção e significado volume único. São Paulo; Moderna, PAIVA, Manoel. Matemática Conceitos, Linguagem e aplicações volume 1. São Paulo: Moderna, PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, SMOLE, Kátia S.; DINIZ, Maria I. Matemática Ensino Médio volume 1. São Paulo: Editora Saraiva, ZABALA, A. A Prática Educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.