UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Licenciatura em Matemática.

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1 0 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Licenciatura em Matemática Números Complexos Kellen Cristina de Morais Anápolis 2011

2 1 Kellen Cristina de Morais Números complexos Trabalho de Curso apresentado a Coordenação Adjunta de TC, como parte dos requisitos para obtenção do título de Graduado no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás sob a orientação da Professora MSc. Selma Marques de Paiva. Anápolis 2011

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4 3 DEDICATÓRIA Aos professores, que com dedicação e competência ministraram conteúdos ao longo deste curso. Aos colegas e familiares que, nesta jornada, nos apoiaram em todos os momentos.

5 4 Não há nenhum ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. Lovachevsky

6 5 RESUMO Utilizando a definição dos números complexos busca-se relacionar os conhecimentos matemáticos já existentes com outros conceitos, como a associação de um número complexo z a um ponto P do plano de coordenadas e à trigonometria. Tem-se como objetivo mostrar que por meio do desenvolvimento da história dos números complexos chegou-se a conceitos mais abrangentes e profundos à cerca dos conjuntos numéricos. A pesquisa descritiva aqui exposta visa apresentar as características e a modelagem dos números complexos. A metodologia aplicada é a bibliográfica, destacada na explicação detalhada, minuciosa e exata da parte do conteúdo acerca dos números complexos. As sugestões de exercícios se aplicam à geometria por meio da rotação de coordenadas no plano e à física por meio de conceitos de corrente. Com isso, este trabalho visa também promover a relação dos números complexos com outras áreas afins, como é o caso da geometria e da física. Palavras-chave: Números Complexos; Geometria; Aplicação.

7 6 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 7 CAPÍTULO 1: HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS... 8 CAPITULO 2: NÚMEROS COMPLEXOS Forma algébrica Representação geométrica dos números complexos Conjugado de um número complexo Divisão de números complexos Módulo de um número complexo Forma trigonométrica dos números complexos CAPÍTULO 3: ALGUMAS APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 34

8 7 INTRODUÇÃO O presente trabalho pretende fazer uma análise sobre os números complexos: histórico, definição, propriedades e aplicações por meio de resolução de problemas. Busca-se, através do histórico sobre o assunto, relacionar os números complexos com a evolução do pensamento matemático. A monografia em questão vem mostrar o verdadeiro significado do conjunto dos números complexos. Estes números vieram para solucionar um antigo problema da matemática, pois passam a dar importância a números que anteriormente não tinham significado algum, como é o caso da solução de raízes de índice par de números negativos, e também para resolver equações quadráticas que muitas vezes pensava-se não ter solução. Logo, o estudo dos números complexos abre novos horizontes dando abertura a conceitos matemáticos antigamente inexistentes. Um desses conceitos importantes é a representação geométrica dos números complexos, sendo que passou a se associar um número complexo z a um ponto P do plano cartesiano. Como em muitos livros didáticos do Ensino Médio, números complexos são uma das ultimas matérias abordadas no 3º ano do Ensino Médio, sendo que muitos alunos concluem essa etapa sem terem visto essa matéria, acarretando prejuízos em seu futuro como acadêmico. Então, este trabalho procura ressaltar a importância de se lecionar e aprimorar o estudo dos números complexos, tendo em mente que ele faz parte dos conjuntos numéricos, que são o alicerce para compreensão da matemática. No capítulo 1, damos ênfase a um pouco do histórico dos números complexos, onde citamos Cardano, Tartaglia, Rafael Bombelli, Euler, Gauss, Wessel, Argand e Hamilton que foram alguns dos matemáticos que desenvolveram a teoria dos números complexos, chegando a estrutura que conhecemos hoje. O capítulo 2 mostra os principais conceitos os números complexos que são: forma algébrica, representação geométrica, conjugado, divisão, módulo, forma trigonométrica, potenciação e radiciação. O capítulo 3 é destinado à aplicação de números complexos, por meio de três exercícios, no qual dois deles se aplica à geometria utilizando rotação de coordenadas no plano, e um se aplica à física por meio de circuitos de corrente alternada.

9 8 CAPÍTULO 1 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Desde a Antiguidade, alguns autores já faziam menções à raiz quadrada de número negativo, como por exemplo, na expressão, que se encontra em obra de Heron de Alexandria (século I), ou em , que aparece em uma obra de Diofanto (século III); na tentativa de resolver a equação 336x = 172x. Mas, foi apenas no século XVI, com os matemáticos italianos, que as raízes negativas começaram a aparecer sistematicamente. Em 1539, Cardano (Girolamo Cardano, ) convenceu Tartaglia (Niccolo Fontana Tartaglia, ) a revelar seu método de resolver equações cúbicas, sob o juramento de que não o publicaria antes que Tartaglia o fizesse. Mas, Cardano, ao começar a estudar a fórmula de Tartaglia que relatou suas dificuldades com tais raízes, e então recusou-se a ajudá-lo. Em 1543, Cardano descobriu, ao tomar conhecimento do trabalho de Del Ferro (Scipone Del Ferro, ), que Tartaglia não havia sido o único a descobrir a fórmula. Sendo assim, em 1545 publicou sua obra Ars Magna, na qual revelava a solução de equação cúbica e quártica, e então, Cardano e Del Ferro foram creditados pela descoberta, deixando Tartaglia furioso. O significado do trabalho de Cardano foi apresentar raízes de números negativos nas aplicações da fórmula para resolver equações cúbicas. Em uma passagem de Ars Magna, Cardano estuda a divisão do número 10 em duas partes cujo produto seja 40. Esse problema equivale a x.( 10 x) = 40, ou seja, 2 x 10x + 40 = 0, que resulta em e Mas, nem mesmo Cardano havia entendido exatamente o seu próprio trabalho com essas raízes e, durante muitas décadas, todos os que trabalharam com raízes quadradas de números negativos não o fizeram com muita confiança. Por meio do estudo profundo do trabalho de Cardano, Bombelli (Rafael Bombelli, ) definiu as regras de adição e multiplicação para raízes de números negativos, escrevendo que. = -n. Com suas raízes, a fórmula de Cardano - Tartaglia funcionava em qualquer caso, o que o deixava seguro de seus resultados. Bombelli foi o primeiro a dar alguma importância aos números

10 9 complexos, mostrando que estes poderiam ser usados para resolver equações quadráticas, que muitas vezes pensava-se que não possuir solução. Cardano não trabalhava com a notação 15 nem Bombelli com n. Ao longo dos anos, cada matemático que tratava a questão, a fazia de um modo diferente. Coube ao suíço Euler (Leonhard Euler, ), em um trabalho de , mas só publicado em 1794 definir 1 como sendo i, de forma que i = 1, essa mesma notação foi usada pelo alemão Gauss (Carl Friedrich Gauss, ) em 1801 e, dada a sua autoridade, essa notação acabou tornando-se padrão. Em 1749, Euler, que já havia usado i para uma quantidade imaginária, mas sem definir seu significado, mostrou que, se a + b 1 for raiz de uma equação, então a b 1 também seria. Mesmo assim, como a maioria, até então, Euler ainda era reticente ao trabalhar com os números complexos. Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês, Wessel (1798), e um matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os primeiros a compreender que os complexos não tem nada de irreal. São apenas os pontos (ou vetores) do plano, que se somam através da composição de translações, e que se multiplicam através da composição de rotação e dilatações. Mas essas iniciativas não tiveram repercussão. A grande obra a favor dos números complexos apareceu em 1831, na qual Gauss inventou o termo números complexos. Nesse trabalho, ele apresentou uma detalhada explicação de como os números complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representação desses números no plano cartesiano. Gauss já visualizava os números complexos dessa forma desde Foi com a ajuda dos complexos que Gauss decidiu quais eram os polígonos regulares construtíveis com régua e compasso, ou que números inteiros podiam ser escritos como soma de dois quadrados. Foi utilizando o plano complexo que Gauss deu sua demonstração geométrica de que todo polinômio de coeficientes reais pode ser decomposto em fatores de grau máximo dois, o que equivale ao Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1837, Hamilton (Sir William Rowan Hamilton, ) galgou o último degrau dessas descobertas, reconhecendo os números complexos como um

11 10 par ordenado de números reais (a, b) e reescrevendo as definições geométricas de Gauss na forma algébrica. Embora não pudesse responder todas as perguntas sobre o uso desses números, sua habilidade para resolver certos problemas proporcionou à Matemática a primeira grande mudança em termos de novos conceitos. Conceitos esses que, no futuro, mostrariam o importante papel que esses números representariam. Não é surpresa que muitos anos ainda passariam antes que esses novos números e suas regras fossem completamente aceitos. Lembrando que, nesta época, nem os números negativos, e muito menos os irracionais, tinham adquirido dignidade numérica. Para o homem moderno é fácil aceitar essas novas definições, pois os alicerces deixados pela evolução neste campo são bastante sólidos, mas, para os algebristas do século XVI, a história era bem diferente, pois não aceitavam o excesso de artifícios. Esses artifícios, na opinião deles, colocavam todos os argumentos fora das possibilidades numéricas. Essa forma de pensar difundiu-se de tal maneira entre os algebristas do século XVII, que René Descartes usou o nome imaginário para designar esses novos números. Bombelli, que foi o responsável pelo lançamento das bases para o futuro desenvolvimento da Teoria dos números complexos, também foi o último grande algebrista italiano da Renascença, tendo seu livro Álgebra lido amplamente em outras partes da Europa. Muitos matemáticos, depois de Bombelli, deram continuidade ao estudo dos números complexos, mas para que eles tomassem forma e a teoria fosse reconhecida como importante, seriam necessários mais de cem anos, e isso somente iria acontecer nas mãos de De Moivre e Leonhard Euler, no século XVIII. Desta forma, foi criado o conjunto dos números complexos, que amplia o conjunto dos números reais.

12 11 CAPITULO 2 NÚMEROS COMPLEXOS Em 1831, Gauss definiu o conjunto dos números complexos como um conjunto de pares ordenados de números reais, sujeitos as regras de R em que valem as leis de operação e: Igualdades: (a, b) = (c, d) a = c e b = d Adição: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) Multiplicação: (a, b). (c, d) = (a. c bd, ad + bc) Os números reais pertencem ao conjunto dos números complexos e são identificados com os pares ordenados que têm o segundo elemento igual a zero. Assim o par (n,0) = n para todo n R. Já os pares que têm o segundo elemento diferente de zero correspondem aos complexos que não são reais. Assim: O par (0, 1) corresponde a um número complexo que não é real; O mesmo ocorre com os pares (2, -3), (1, ) e outros. As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem as seguintes propriedades (para quaisquer z, v e w pertencem a C ): Adição: Comutativa: z + v = v + z I: z + v= (a, b) + (c, d) = (a +c, b + d) II: v + z= (c, d) + (a, b) = (a +c, b + d) Logo, z + v = v + z Associativa (z+v) +w= z + (v + w) I: (z + v) + w = [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c +e, b + d+ f) II: z + (v + w) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a + b) + (c + e, d + f) = (a + c +e, b + d+ f)

13 12 Assim, (z+v) +w= z + (v + w) Elemento neutro Existe z 0 C, z 0 = (0,0) tal que: z + z 0 = z 0 + z= z I: z + z 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, + 0, b + 0) = (a, b) II: z 0 + z = (0, 0) = (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b) III: Z = (a, b) Logo, z + z 0 = z 0 + z= z Inverso aditivo ou oposto Para z C tal que: z + z = z + z= z 0 = (0, 0) e z = (-a, -b) z + z = (a, b) + (-a, -b) = (a - a, b - b) = (0,0) II: z + z = (a, b) + (-a, -b) = (-a + a, -b + b) = (0,0) III: z 0 = (0, 0) Logo, z + z = z + z= z 0 = (0, 0) Multiplicação: Comutativa z.v = v.z I: z.v = (a, b) * (c, d) = (ac bd, ad + bc) II: v.z = (c, d) * (a, b) = (ca db, cb + da) = (ac bd, ad + bc) Logo, z.v = v.z Associativa (z.v). w= z.(v.w) Elemento neutro, Inverso Multiplicativo Para z (0, 0) existe z C tal que z. z = z. z= z 1= (1, 0) e z =

14 13 I: z.z = (a, b). = = (1, 0) II: z.z =. (a, b) = = (1, 0) III: z 1 = (1, 0) Logo, I = II = III. A multiplicação é distributiva em relação à adição z.(v +w) = zv + zw Demonstração: Sendo z = (a, b), v = (c, d), w = (e, f) I: z.(v + w) = (a, b).[(c, d) + (e, f)] = (a, b).(c + e, d + f) = (ac + ae bd bf, ad + af + bc + be) II: zv + zw = (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f) = (ac bd, ad + bc) + (ae bf, af + be) = (ac + ae bd bf, ad + bc + af + be) Logo, I = II. 2.1 Forma algébrica Unidade imaginária Criou-se um nome e um símbolo para o número complexo (0, 1). Ele foi chamado de unidade imaginária e indicado por i, ou seja, o símbolo i identifica-se como o número complexo (0, 1). Observemos que: =. = (0, 1)(0, 1) = ( , ) = (-1, 0)= -1 Portanto: Forma algébrica Que é a característica fundamental da unidade imaginária. Um número complexo qualquer z = (a, b), a, b, R z = (a, b) = (a + 0, b + 0) = (a, 0) + (0, b) I (0, b) = (b, 0).(0, 1) II pois, (a, 0) = a e (b, 0)= b III

15 14 Substituindo II e III em I, temos: z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0).(0, 1) z = a + bi Essa é a forma algébrica ou forma binomial de escrever um número complexo. Observemos que um número complexo escrito nessa forma tem duas partes: 1) a = parte real de z e; 2) b = parte imaginária de z. + Devemos observar também que, se b = 0, temos z= a (número real); e, se a=0 e b 0, temos z =, que é um número imaginário puro. Exemplos: 1. Em z= 2 +3, temos Re (z) = 2 e Im(z) = 3 2. Em z= 3, temos Re (z) =3 e Im (z) = 0. Portanto, z é real 3. Em z= - 2, temos Re (z) =0 e Im (z) = -2. Portanto, z é imaginário puro. Potências da unidade imaginária As potências de, como (0, 1), então, podemos definir: é denominado na forma de par ordenado como = (0,1) definição

16 15 modo geral, temos: Observe que as potências de começam a se repetir depois de. De Ou seja, Logo, para calcularmos o resultado de, n, basta dividir os expoentes por 4 e considerar o valor do resto dessa divisão dado pela tabela abaixo: Resto Resultado da potência Exemplo: Encontre o valor de resto igual a zero. Portanto,. Dividindo 1000 por 4 encontramos 2.2 Representação geométrica dos números complexos Cada número complexo z = a + b está associado ao par ordenado de números reais (a, b) por outro lado, sabemos que a cada par de números reais (a, b) está associado um único ponto do plano. Logo, podemos associar a cada número complexo z = a + b o ponto P(a, b). O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é denominado plano complexo ou plano de Argand Gauss.

17 16 Por exemplo, vamos representar geometricamente os números complexos (3, -2) (5, 0) (0, -2) (2, 1) (-2, 1)

18 17 Observando a representação geométrica dos números complexos, podemos perceber alguns fatos importantes: 1) Os números complexos reais pertencem ao eixo, mantendo a relação, a qual cada número real corresponde um único ponto da reta. 2) Os números imaginários puros pertencem ao eixo. 3) Os demais números complexos (a +, com a 0 e b 0) pertencem a um dos quatro quadrantes, de acordo com os sinais a e b. 4) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os números complexos. 5) Podemos associar a cada número complexo z = a + um único vetor com extremidades no ponto O, origem do sistema de coordenadas cartesianas até o ponto P(a, b). No plano complexo a seguir, alem do número complexo z = a +, estão representados outros dois números, e, e a soma deles + (diagonal do paralelogramo formado por e ). 6) A associação dos números complexos z = a + aos vetores permite o uso dos números complexos em diversos campos nos quais as grandezas são vetoriais. Um exemplo disso é o estudo da eletricidade, onde o aluno descobrirá que corrente elétrica, voltagem, impedância, etc. são todos números complexos.

19 Conjugado de um número complexo O conjugado de um número complexo z = (a, b) = a + é o número complexo z = (a, -b) = a -. Assim: 1) Se z = i, então z = 2-3i 2) Se z = 5, então z = 5 3) Se z = i, então z = - i Interpretação geométrica do conjugado ao eixo : Geometricamente, o conjugado é representado pelo simétrico em relação Vejamos algumas propriedades importantes do conjugado 1º) Se z = a + bi, então: z. z = a² +b², que é real, positivo ou nulo. 2º) Para o número complexo z, temos: z = z z é número real. 3º) Se z1 e z2 são números complexos, então: z1 + z2 = z1 + z2 (o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados)

20 19 4º) Se z1 e z2 são números complexos, então: z1. z2 = z1. z2 2.4 Divisão de números complexos O quociente entre dois números complexos com 0, é dado por: Exemplo: vamos efetuar o quociente, sabendo que. 2.5 Módulo de um número complexo Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de coordenadas (0, 0) ao afixo de z, e será indicada por z.

21 20 Aplicando o teorema de Pitágoras no triangulo 0AP, temos: Então podemos dizer que, dado um número complexo Z= a +, chamase módulo de Z e indica-se por o número real positivo ou nulo dado por: Exemplo: calcular os módulos de = 3 + 4, = (-3, -4), = (4, -3) e = Observemos graficamente: Observe que os afixos de,, e estão todos na circunferência de centro 0 (0, 0) e raio r = 5.

22 21 Note que a definição do módulo em C é compatível com a definição de módulo (valor absoluto) em R. Exemplo: z = -2, temos z = - 2 = 2, assim para z = a, a R, temos: z = a - 0 e portanto: z = a 2.6 Forma trigonométrica dos números complexos Sabemos que um número complexo z = a + b é representado por um ponto do plano, de coordenadas (a, b). Essas são as coordenadas cartesianas do ponto z. Veremos agora que esse mesmo ponto pode ser representado por suas coordenadas polares, que são: 1º) O módulo do vetor, indicado por ou, representando a distância do ponto à origem do plano (supondo ); 2º) O ângulo, em que, que o vetor forma com o eixo x. Esse ângulo é chamado argumento de Z e indicado por arg (Z).

23 22 Olhando para o triângulo OPB, vemos que: Essas igualdades levam a: Substituindo esses valores em, temos: Portanto: Que é chamada forma trigonométrica ou forma polar de Z. Exemplo: vamos determinar a representação geométrica e a forma trigonométrica do número complexo z = 1 +. Assim, a forma trigonométrica de Z é dada por:

24 23 Analisemos agora, a multiplicação de números complexos na forma trigonométrica, consideremos os números complexos e, dados abaixo: O produto. é dado por: Portanto: Assim, o produto de dois números complexos escritos na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao produto do módulo dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores, reduzida à 1ª volta Exemplo: vamos calcular o produto. com: Substituindo os dados do problema na fórmula, temos: Fazendo a interpretação geométrica desse problema, obtemos:

25 24 Em., houve uma rotação positiva a de um ângulo igual ao ângulo de. Ou seja, nesse caso, houve uma rotação de a. Como o argumento de era, e recebeu uma rotação de, o produto. passa a ter argumento igual a. Já o módulo de. é 6, que corresponde a 2.3 ou Analisemos agora, a divisão de números complexos na forma trigonométrica: Dados os números complexos e na forma trigonométrica. O quociente, para é dado por: Assim, o quociente de dois números complexos na forma trigonométrica, com o segundo número diferente de zero, é o número complexo cujo módulo é o quociente dos módulos e cujo argumento é a diferença dos argumentos dos dois números na ordem dada, reduzida à 1ª volta Exemplo: vamos calcular o quociente para: Substituindo na fórmula dada, temos:

26 25 Potenciação de números complexos na forma trigonométrica a fórmula de DeMoivre A potência Assim, se um número complexo z está escrito na forma trigonométrica, temos: (fórmula de DeMoivre) Assim, podemos dizer que a potência de ordem n de um número complexo escrito na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do número multiplicado por n, reduzido à primeira volta Exemplo: vamos calcular a potência onde ; a = 1; Z = e b = -1 Assim, Mas:

27 26 corresponde a oito voltas mais, isto é: Portanto: Na forma algébrica, temos: Logo, Radiciação de números complexos Um número complexo w é raiz - ésima de um número complexo z se, e somente se, w n = z. Seja uma raiz - ésima de, não nulo. Então: Da última igualdade, vem: Logo, Essa relação é conhecida como segunda fórmula de DeMoivre. Admitindo que seja o argumento principal de z, vamos determinar os valores de, indicando-os por, de acordo com o valor articulado a k

28 27 Todos esses argumentos pertencem ao intervalo [0, entre si, logo, são distintos entre si. Continuando a atribuir valores a K, notamos que: ] e são distintos raízes Assim, temos: Teorema: Todo número complexo - ésimas distintas entre si, que são dadas por: não-nulo tem Para determinar as n raízes de z, ou seja,, podemos atribuir a K valores diferentes dos citados, mas desde que sejam n valores inteiros consecutivos. Exemplo: vamos calcular as raízes quartas de Temos: e o argumento principal é 240 Logo, Aplicando a segunda fórmula de DeMoivre, vem:

29 28 Portanto, as raízes quartas de são: Notamos que W o = W 1 = W 2 = W 3. Geometricamente, isso significa que os afixos de W o, W 1, W 2 e W 3 pertencem à circunferência centrada na origem do plano complexo de raio 2. Os afixos das raízes são vértices de um quadrado inscrito na circunferência centrada na origem, já que n = 4.

30 29 CAPÍTULO 3 ALGUMAS APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Do ponto de vista geométrico, uma aplicação importante da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica é possibilitar a rotação de coordenadas no plano. Esse papel pode ser desempenhado pelos números complexos, pois na multiplicação de dois complexos na forma trigonométrica multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Portanto, se um ponto (a, b) deve ser rotacionado, em relação à origem, em graus no sentido anti-horário, basta multiplicarmos o número complexo a + b pelo complexo Exemplos: 1. Vamos encontrar as novas coordenadas do ponto A (3, 4) após uma rotação de 90 no sentindo anti-horário em relação à origem. O ponto A (3, 4) representa geometricamente o complexo Para haver uma rotação de 90 no sentindo anti-horário p recisamos multiplicar por. Como, então basta multiplicar por. Então, as novas coordenadas do ponto A (3, 4) são A (-4, 3).

31 30 2. Vamos encontrar as novas coordenadas do segmento AB, com A(1, 1), e B(3, 4) após uma rotação de 90 no senti ndo anti-horário em relação ao ponto A. O ponto A (1,1) e o ponto B (3, 4) representam geometricamente os complexos. Como a rotação é em torno do ponto A, devemos rotacionar apenas o número complexo t que equivale à diferença (no caso, ) e depois somá-lo novamente com. Assim, para haver uma rotação de 90 no sentido anti-horário, precisamos multiplicar por, e depois somar, pois a rotação é em torno de. Assim, as novas coordenadas do ponto B são (-2, 3), ou seja, o ponto A (1, 1) se mantém após a rotação B (-2, 3). Aplicando à Física Em circuitos de corrente alternada, como, por exemplo, as instalações elétricas residenciais, as grandezas elétricas são analisadas com o auxílio dos números complexos, o que facilita muito os cálculos. A relação, estudada na Física, e que se utiliza de números reais, torna-se: em que: U é a tensão, z é a impedância e é a corrente elétrica, e essas grandezas passam a ser representadas através de números complexos. Para que

32 31 não haja confusão entre, símbolo da corrente elétrica, e, unidade imaginária, utiliza-se j como unidade imaginária na representação algébrica. Alem disso, usamos a notação para a forma trigonométrica dos números complexo. Com base nesse texto, vamos resolver o problema a seguir: Uma fonte de tensão, de calor eficaz, alimenta uma carga de impedância. Vamos obter a corrente elétrica fornecida pela fonte. Temos: Para efetuarmos essa divisão é preferível ter e na forma trigonométrica. Já temos: a forma trigonométrica de :, e agora precisamos obter Z = j Z = Z = 10 Então: Como: Assim:

33 32 Vale lembrar ao leitor, que para entender esse último exemplo, faz-se necessário um certo conhecimento a respeito do assunto.

34 33 CONCLUSÃO A teoria e a experiência descritas neste trabalho refletem a importância de uma constante pesquisa, por parte dos matemáticos e estudiosos afins envolvidos, quando se trata da aquisição e descobertas da aplicabilidade dos números complexos. Vemos que em muitos livros didáticos do Ensino Médio, números complexos são uma das últimas matérias abordadas no 3º ano do Ensino Médio, sendo que muitos alunos acabam por concluir o curso sem terem visto essa matéria, acarretando prejuízos em seu futuro como acadêmico. Nesse sentido, este trabalho procurou ressaltar a importância de se lecionar e aprimorar o estudo dos números complexos, tendo em mente que ele faz parte dos conjuntos numéricos, que são o alicerce para a compreensão da matemática. Buscamos evidenciar os referenciais históricos e aplicativos acerca dos Números Complexos, para promover e despertar interesse a respeito do tema. Ao analisar a evolução da descoberta dos números complexos, constatou-se a importância do contexto histórico na compreensão da origem, fases de pesquisas, descobertas e aplicações destes números. Fica evidente que o presente trabalho não esgota esse tema. A partir da continuidade do estudo dos Números Complexos, novas descobertas e aplicações surgirão, contribuindo assim para o desenvolvimento da matemática. Termina-se este, na esperança que o mesmo tenha sido interessante, bem como, de fácil leitura e compreensão e que leve o leitor a pesquisar mais ainda sobre o assunto para ampliar seus conhecimentos.

35 34 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BRASILIA. Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Orientações curriculares para o ensino médio. Volume CARNEIRO, José Paulo. A geometria e o ensino dos números complexos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: Alciléia Augusto. Dez p DANTE, Luiz Roberto. Matemática: livro do professor, volume único. 1ª. Ed. São Paulo: Ática SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria. Matemática volume 3, Ensino Médio. 4ªed. São Paulo: Saraiva