Análise numérica e experimental da mecânica de formação de aneurismas da aorta abdominal

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1 Lucas Boabaid Ibrahim Análise numérica e experimental da mecânica de formação de aneurismas da aorta abdominal Tese de Doutorado Tese apresentada ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Orientadora: Djenane Cordeiro Pamplona Rio de Janeiro, agosto de 2010

2 Lucas Boabaid Ibrahim Análise numérica e experimental da mecânica de formação de aneurismas da aorta abdominal Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Profª. Djenane Cordeiro Pamplona Orientadora Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Ney Augusto Dumont Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Agenor de Toledo Fleury Centro Universitário da FEI Prof. Carlos Eduardo Virgini Magalhães UERJ Prof. Claudio Ribeiro Carvalho UFF Prof. Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC Rio Rio de janeiro, 03 de agosto de 2010

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Lucas Boabaid Ibrahim Graduou-se Engenheiro Civil em Dezembro de 2003, pela Faculdade de Engenharia Industrial (FEI) Possui Mestrado em Engenharia Civil pelo Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Ficha Catalográfica Ibrahim, Lucas Boabaid Análise numérica e experimental da mecânica de formação de aneurismas da aorta abdominal / Lucas Boabaid Ibrahim ; orientadora: Djenane Cordeiro Pamplona f. : il. (color.) ; 30 cm Tese (Doutorado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, Inclui bibliografia 1. Engenharia civil Teses. 2. Aneurisma. 2. Elementos finitos. 3. Instabilidade. 4. Deformações finitas. I. Pamplona, Djenane Cordeiro. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

4 Aos meus pais, amigos e a todos que contribuíram na realização deste trabalho.

5 Agradecimentos À PUC-Rio e aos professores do Departamento de Engenharia Civil. A minha orientadora, pela convivência, disponibilidade, incentivo, paciência e pelos conhecimentos transmitidos durante estes últimos anos. À banca examinadora. Aos meus colegas durante estes quatro anos. Aos funcionários do departamento de Engenharia Civil. Ao CNPq pela bolsa e à FAPERJ e CAPES pelo suporte à pesquisa.

6 Resumo Ibhahim, Lucas Boabaid; Pamplona, Djenane Cordeiro. Análise numérica e experimental da mecânica de formação de aneurismas da aorta abdominal. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Esta tese tem por objetivo investigar numérica e experimentalmente a mecânica da formação dos aneurismas na aorta abdominal. A parte experimental foi realizada no Laboratório de Membranas e Biomembranas utilizando-se tubos de silicone com a geometria aproximada da aorta sob pressão hidrostática. Foi investigada a pressão necessária à formação dos aneurismas e o comportamento do material ensaiado. A parte numérica foi realizada por meio do método dos elementos finitos através do programa ABAQUS (6.8.1). Com a análise numérica foi validada a análise experimental. Foram estudados casos de imperfeição geométrica e física do material, usando equações constitutivas propostas para o material da aorta. Palavras-chave Aneurisma; elementos finitos; instabilidade; deformações finitas

7 Abstract Ibhahim, Lucas Boabaid; Pamplona, Djenane Cordeiro (Advisor). Numerical and experimental analysis of mechanics of formation of abdominal aortic aneurysms. Rio de Janeiro, p. DSc. Disseraation Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The aim of this work is to investigate numerically and experimentally the mechanics of aortic aneurisms. The experimental part was performed at the Laboratory of Membranes and Biomembranes using silicone tubes with the geometry of the aorta under hydrostatic pressure. We investigate the behavior of the material tested and the critical pressure, this is the pressure necessary for the formation of aneurysms. The numerical analysis is done using the finite element code ABAQUS (6.8.1), and is validated by the experimental analysis. Some studies of geometrical and physical imperfections are performed, as well as the ones with constitutive equations for the material of the aorta. Keywords Aneurysm; finite elements; instability; finite deformation

8 Sumário 1 Introdução Objetivo da dissertação Organização do texto 34 2 Revisão bibliográfica Definição de aneurismas Tipos de aneurismas Prevalência Aorta Divisão da artéria aorta Camadas da parede arterial Etiopatogenia História Risco de ruptura e morte Fatores de risco de ruptura Diagnósticos clínicos e exames subsidiários Estudos de modelagens encontradas Estudo microscópico do tecido arterial 57 3 Analise experimental Aparato utilizado na análise experimental Descrição do procedimento realizado na análise experimental Escolha do material Confecção do tubo de silicone Obtenção das propriedades do silicone Corpo de prova Pré-condicionamento Resultados dos ensaios com tubos de silicone Estudo da pressão 69

9 3.8. Estudo da variação volumétrica Ensaios experimentais Ensaio Ensaio Ensaio Ensaio Ensaio Ensaio Padronização das pressões críticas Padronização da análise do volume Repetibilidade do ensaio Causas da variação da pressão crítica 88 4 Análise numérica Descrição da análise numérica Formulação dos funcionais de energia Escolha do funcional de energia Definição da geometria Elemento de casca Elemento sólido Análise de convergência Análise de convergência de elemento de casca Análise de convergência de elemento sólido Análise da pressão crítica Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Ogden Sem alongamento Alongamento de 10% Alongamento de 20% Comparação dos elementos de casca Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Neo Hooke Sem alongamento 107

10 Alongamento de 10% Alongamento de 20% Comparação dos elementos de casca Análise da pressão crítica com elementos sólidos e funcional de energia Ogden Sem alongamento Alongamento de 10% Alongamento de 20% Comparação dos elementos sólidos Análise da pressão crítica com elementos sólidos e funcional de energia Neo Hooke Sem alongamento Alongamento de 10% Alongamento de 20% Comparação dos elementos sólidos Comparação dos elementos de casca e sólidos Estudo das imperfeições impostas Análise da pressão crítica para imperfeição anelar inferior Análise da pressão crítica para imperfeição anelar superior Análise da pressão crítica para imperfeição local Caso Caso 1 modelo perfeito Caso 1 espessura de 3,0 mm Caso 1 espessura de 2,5 mm Caso 1 espessura de 2,0 mm Caso 1 espessura de 1,5 mm Caso 1 espessura de 1,0 mm Estudo comparativo do caso Caso Caso 2 espessura 3,0 mm Caso 2 espessura 2,5 mm Caso 2 espessura 2,0 mm Caso 2 espessura 1,5 mm 141

11 Caso 2 espessura 1,0 mm Estudo comparativo do caso Caso Caso 3 espessura de 3,0 mm Caso 3 espessura de 2,5 mm Caso 3 espessura de 2,0 mm Caso 3 espessura de 1,5 mm Caso 3 espessura de 1,0 mm Estudo comparativo do caso Caso Caso 4 espessura de 3,0 mm Caso 4 espessura de 2,5 mm Caso 4 espessura de 2,0 mm Caso 4 espessura de 1,5 mm Caso 4 espessura de 1,0 mm Estudo comparativo do caso Estudo comparativo da análise da pressão crítica para imperfeição local Análise da pressão crítica para imperfeições geradas por excentricidade Ogden excentricidade de 0, Avaliação gráfica Neo Hooke excentricidade de 0, Avaliação gráfica Ogden excentricidade de 1, Avaliação gráfica Neo Hooke excentricidade de 1, Avaliação gráfica Ogden excentricidade de 1, Avaliação gráfica Neo Hooke excentricidade de 1, Avaliação gráfica Ogden excentricidade de 2,0 186

12 Avaliação gráfica Neo Hooke excentricidade de 2, Avaliação gráfica Análise da pressão crítica para imperfeição gerada por excentricidade e diminuição da constante elástica Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 0, Avaliação gráfica Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 1, Avaliação gráfica Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 1, Avaliação gráfica Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 2, Avaliação gráfica Análise numérica realizada com as características da parede arterial Primeiro estudo das propriedades da aorta Escolha do funcional de energia Análise de convergência Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Ogden Sem alongamento Alongamento de 10% Alongamento de 20% Comparação da pressão crítica para Ogden Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Yeoh Sem alongamento Alongamento de 10% Alongamento de 20% 229

13 Comparação da pressão crítica para Yeoh Segundo estudo das propriedades da aorta Equação constitutiva de Delfino Equação constitutiva de Sacks Equação constitutiva de Sacks aplicada a espessura da media Equação constitutiva de Sacks aplicada a espessura da media e geometria de D.P. Sokolis Estudo da degeneração local do tecido arterial para a formação do aneurisma Primeiro estudo das imperfeições locais dos aneurismas Segundo estudo das imperfeições locais dos aneurismas Resultados finais Tubos de silicone Comparação entre os resultados da pressão crítica Comparação entre os resultados da tensão Comparação da pressão crítica dos estudos de imperfeição Análise da pressão crítica para imperfeições locais simétricas Análise da pressão crítica para imperfeições locais assimétricas Análise dos elementos sólidos com excentricidade Análise dos elementos sólidos com excentricidade e variação da constante elástica Comparação entre os resultados da pressão crítica obtidas numérica e experimentalmente Avaliação da pressão para o gráfico tensão deformação proposto por Sacks Estudo das equações constitutivas de artéria Trabalhos futuros Bibliografia 265 Anexo A Código de elementos sólidos 270

14 Lista de Figuras Figura 1.1 Exemplo de aneurismas John A. Elefteriades (2006) 32 Figura 2.1 Exemplo de dilatação permanente e localizada 36 Figura Representação da ruptura do aneurisma - John A. Elefteriades (2006) 37 Figura Representação da dissecção dos aneurismas - John A. Elefteriades (2006) 38 Figura Corte transversal do aneurisma de dissecção - John A. Elefteriades (2006) 39 Figura Local da maior incidência dos aneurismas Figura Exemplo de aneurisma na aorta abdominal - E/aaa/aneurisma0007.jpg 40 Figura Espessura da parede arterial após a formação do aneurisma - John A. Elefteriades (2006) 41 Figura 2.8 Variação da espessura da parede arterial no local de ruptura do aneurisma - Madhavan L. Raghavan e outros (2006) 42 Figura Representação da aorta e dos principais órgãos do corpo humano Figura Representação da aorta segmentada Figura Camadas constituintes da aorta Gerhard A. Holzapfel (2000) 44 Figura Exemplo de próteses usadas na reparação de aneurismas Figura 2.13 Imagem gerada por angiorressonância

15 Figura 2.14 Gráfico de energia da camada luminal 55 Figura Microscopia realizada no tecido arterial D. P. Sokolis (2006) 59 Figura Variação da espessura da parede arterial proposta por D. P. Sokolis (2007) 60 Figura Variação do diâmetro interno e externo da parede arterial proposta por D. P. Sokolis (2007) 60 Figura Equipamentos utilizados na análise experimental 61 Figura Corpos de prova para determinação da concentração de catalisador 63 Figura 3.5 Processo para retirada de bolhas da mistura 64 Figura Detalhes do molde de gesso utilizado na confecção do tubo de silicone 65 Figura Detalhe da garra utilizada no ensaio de tração do corpo de prova 66 Figura Detalhe do ensaio de tração 67 Figura Representação dos corpos de prova e da artéria 68 Figura 3.10 Seqüência de fotos ao longo do ensaio (pressões em mmhg) 71 Figura 3.11 Gráfico de caracterização do ensaio 1 72 Figura 3.12 Variação da pressão do ensaio 1 72 Figura 3.13 Variação do volume do ensaio 1 73 Figura 3.14 Gráfico de caracterização do ensaio 2 74 Figura 3.15 Variação da pressão do ensaio 2 74 Figura 3.16 Variação do volume do ensaio 2 75 Figura 3.17 Seqüência de fotos ao longo do ensaio (pressões em mmhg) 77 Figura 3.18 Gráfico de caracterização do ensaio 3 77 Figura 3.19 Variação da pressão do ensaio 3 77 Figura 3.20 Variação do volume do ensaio 3 78 Figura 3.21 Gráfico de caracterização do ensaio 4 79 Figura 3.22 Variação da pressão do ensaio 4 79 Figura 3.23 Variação do volume do ensaio 4 80

16 Figura 3.24 Seqüência de fotos ao longo do ensaio (pressões em mmhg) 81 Figura 3.25 Gráfico de caracterização do ensaio 5 82 Figura 3.26 Variação da pressão do ensaio 5 82 Figura 3.27 Variação do volume do ensaio 5 83 Figura 3.28 Gráfico de caracterização do ensaio 6 84 Figura 3.29 Variação da pressão do ensaio 6 84 Figura 3.30 Variação do volume do ensaio 6 85 Figura 3.31 Análise da variação da pressão 86 Figura 3.32 Análise da variação do volume 87 Figura 3.33 Gráfico de caracterização do ensaio 7 88 Figura 3.34 Imperfeições 89 Figura 4.1 Caracterização numérica do material estudado 93 Figura 4.2 Aproximação dos funcionais de energia 94 Figura 4.3 Aproximação dos funcionais de energia estáveis 95 Figura 4.4 Representação esquemática da variação da espessura ao longo do comprimento para o elemento de casca 97 Figura 4.5 Representação esquemática da variação da espessura ao longo do comprimento para o elemento sólido 98 Figura 4.6 Gráfico demonstrativo da análise de convergência do elemento de casca para o funcional Ogden 1 99 Figura 4.7 Malhas testadas para o elemento de casca 100 Figura 4.8 Gráfico demonstrativo da análise de convergência do elemento de casca para o funcional Neo Hooke 100 Figura 4.9 Gráfico demonstrativo da análise de convergência dos elementos sólidos para o funcional Ogden Figura 4.10 Malhas testadas para o elemento sólido 102 Figura 4.11 Gráfico demonstrativo da análise de convergência dos elementos sólidos para o funcional Neo Hooke 102 Figura 4.12 Malha adotada para a análise com elementos sólidos 103 Figura 4.13 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento 104

17 Figura 4.14 Configuração indeformação e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10% 105 Figura 4.15 Configuração indeformação e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% 106 Figura 4.16 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) 106 Figura 4.17 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento de casca 107 Figura 4.18 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento 108 Figura 4.19 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10% 108 Figura 4.20 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% 109 Figura 4.21 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) 110 Figura 4.22 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento de casca 110 Figura 4.23 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento 111 Figura 4.24 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10% 112 Figura 4.25 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% 113 Figura 4.26 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) 113 Figura 4.27 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento sólido 114 Figura 4.28 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento 115 Figura 4.29 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10% 115 Figura 4.30 Configuração indeformada e deformada para o tubo de

18 silicone com alongamento de 20% 116 Figura 4.31 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) 117 Figura 4.32 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento sólido 117 Figura 4.33 Comparação da variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) para elementos de casca 118 Figura 4.34 Comparação da variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) para elementos sólidos 119 Figura 4.35 Comparação da variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento (% do comprimento inicial) para os elementos de casca 119 Figura 4.36 Comparação da variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento (% do comprimento inicial) para os elementos sólidos 120 Figura 4.37 Esquema da imperfeição em formato de anel 121 Figura 4.38 (a), (b) e (c) Esquema da imperfeição em formato de semianel e (d) formato da área da seção transversal no corte AA 121 Figura 4.39 Seção transversal da casca com círculos não concêntricos e excentricidade e 122 Figura 4.40 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar inferior e valor da pressão crítica no modelo perfeito 124 Figura 4.41 (a) posição da imperfeição e (b), (c), (d), (e) e (f) configurações deformadas para 3,5 mm (modelo perfeito), 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm 124 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito 125 Figura 4.43 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar superior e valor da pressão crítica no modelo perfeito 127 Figura 4.44 (a) posição da imperfeição e (b), (c), (d), (e), (f), (g) e (h) configurações deformadas para 4,3 mm (modelo perfeito), 4,0 mm, 3,5 mm, 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm 128

19 Figura 4.45 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito 129 Figura 4.46 Posição do primeiro caso das imperfeições localizadas 131 Figura 4.47 Configuração indeformada e deformada sem imperfeição131 Figura 4.48 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm 132 Figura 4.49 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm 133 Figura 4.50 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm 133 Figura 4.51 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm 134 Figura 4.52 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm 135 Figura 4.53 Configurações deformadas para imperfeição de 3,5 mm, 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 1 de imperfeições locais 136 Figura 4.54 Variação da pressão crítica para o caso 1 e valor da pressão crítica no modelo perfeito 137 Figura 4.55 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 1 e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito 138 Figura 4.56 Posição do segundo caso das imperfeições localizadas 139 Figura 4.57 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm 139 Figura 4.58 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm 140 Figura 4.59 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm 141 Figura 4.60 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm 142 Figura 4.61 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm 142 Figura 4.62 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 2 de imperfeições locais 143 Figura 4.63 Variação da pressão crítica para o caso 2 e valor da pressão crítica no modelo perfeito 144 Figura 4.64 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 2 e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito 145 Figura 4.65 Posição do segundo caso das imperfeições localizadas 146 Figura 4.66 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm 146 Figura 4.67 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm 147 Figura 4.68 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm 148

20 Figura 4.69 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm 148 Figura 4.70 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm 149 Figura 4.71 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 3 de imperfeições locais 150 Figura 4.72 Variação da pressão crítica para o caso 3 e valor da pressão crítica no modelo perfeito 151 Figura 4.73 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 3 e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito 152 Figura 4.74 Posição do segundo caso das imperfeições localizadas 153 Figura 4.75 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm 153 Figura 4.76 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm 154 Figura 4.77 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm 155 Figura 4.78 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm 155 Figura 4.79 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm 156 Figura 4.80 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 4 de imperfeições locais 157 Figura 4.81 Variação da pressão crítica para o caso 4 e valor da pressão crítica no modelo perfeito 158 Figura 4.82 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso Figura 4.83 Posição das imperfeições para os casos estudados (a) caso 1, (b) caso 2, (c) caso 3, (d) caso 4; figuras fora de escala 160 Figura 4.84 Variação da pressão crítica em função de imperfeições locais 160 Figura 4.85 Configuração indeformada e deformada para Ogden Sem alongamento excentricidade de 0,5 162 Figura 4.86 Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 162 Figura 4.87 Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 20% excentricidade de 0,5 163 Figura 4.88 Configurações deformadas com excentricidade de 0,5 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 164 Figura 4.89 Variação da pressão crítica Excentricidade de 0,5mm -

21 Ogden 164 Figura 4.90 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Ogden Figura 4.91 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 0,5 166 Figura 4.92 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de Figura 4.93 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 0,5 167 Figura 4.94 Configurações deformadas com excentricidade de 0,5 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 168 Figura 4.95 Variação da pressão crítica Excentricidade de 0,5mm Neo Hooke 168 Figura 4.96 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Neo Hooke 169 Figura 4.97 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,0 170 Figura 4.98 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 170 Figura 4.99 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,0 171 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,0 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 172 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,0mm - Ogden 172 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Ogden Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,0 174 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke

22 Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 175 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,0 175 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,0 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 176 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,0mm Neo Hooke 176 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Neo Hooke 176 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,5 178 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 179 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,5 179 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,5 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 180 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,5mm - Ogden 180 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Ogden Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,5 182 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 183 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,5 183 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,5 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 184 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,5mm Neo Hooke 184

23 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Neo Hooke 185 Figura Configuração indeformada e deformada para Ogden Sem alongamento excentricidade de 2,0 186 Figura Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 187 Figura Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 20% excentricidade de 2,0 187 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 2,0 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 188 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 2,0mm - Ogden 188 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 2,0 190 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 191 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 2,0 191 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 2,0 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento 191 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 2,0mm Neo Hooke 191 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden Figura Variação da pressão crítica em função da excentricidade e do alongamento para Ogden Figura Variação da pressão crítica em função da excentricidade e do alongamento para Neo Hooke 196

24 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e do alongamento para Ogden Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e do alongamento para Neo Hooke 196 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0.5 C 10= 50 KPa 198 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 C 10= 40 KPa 198 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 C 10= 30 KPa 199 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 C 10= 20 KPa 200 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 C 10= 10 KPa 200 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 0,5mm Neo Hooke 201 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 0,5 mm 202 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 C 10= 50 KPa 203 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 C 10= 40 KPa 203 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 C 10= 30 KPa 204 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1.0 C 10= 20 KPa 205 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1.0 C 10= 10 KPa 205 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,0mm Neo Hooke 206

25 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,0 mm 207 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 C 10= 50 KPa 208 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 C 10= 40 KPa 208 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 C 10= 30 KPa 209 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 C 10= 20 KPa 210 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 C 10= 10 KPa 210 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,5mm Neo Hooke 211 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,5 mm 212 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 C 10= 50 KPa 213 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 C 10= 40 KPa 213 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 C 10= 30 KPa 214 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 C 10= 20 KPa 215 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 C 10= 10 KPa 215 Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 2,0mm Neo Hooke 216 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da

26 diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 2,0 mm 217 Figura Variação da pressão crítica em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica 218 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica 219 Figura 5.1 Gráfico tensão deformação apresentado por Sacks para o tecido arterial 220 Figura 5.2 Aproximação dos funcionais de energia estáveis 222 Figura 5.3 Gráfico demonstrativo de análise de convergência do elemento de casca para o funcional de energia Ogden Figura 5.4 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta sem alongamento 225 Figura 5.5 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 10% 226 Figura 5.6 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 20% 227 Figura 5.7 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) 227 Figura 5.8 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta sem alongamento 228 Figura 5.9 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 10% 229 Figura 5.10 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 20% 230 Figura 5.11 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) 230 Figura 5.12 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Delfino com geometria sem imperfeição 232 Figura 5.13 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Delfino com geometria com imperfeição inicial 232 Figura 5.14 Configuração indeformada e deformada para o funcional de

27 energia de Sacks com geometria sem imperfeição 233 Figura 5.15 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Sacks com espessura apenas da camada media 234 Figura 5.16 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Sacks com espessura apenas da camada media e geometria de D. P. Sokolis (2007) 235 Figura 5.17 Configuração indeformada e deformada proposta por A. Dorfmann (2010) para os aneurismas 236 Figura 5.18 Posição da imperfeição local 238 Figura Variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição 239 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição 239 Figura Configurações deformadas de cada uma dos casos estudados para a variação da constante elástica (KPa) 240 Figura Variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição 242 Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição 242 Figura Configurações deformadas de cada uma dos casos estudados para a variação da constante elástica (KPa) 243 Figura 6.1 Gráfico comparativo da pressão crítica numérica e experimental 246 Figura 6.2 Gráfico comparativo da tensão máxima com a pressão crítica 247 Figura 6.3 Posição da imperfeição anelar inferior (a) e superior (b) 248 Figura 6.4 Variação da pressão crítica (mmhg) em função da diminuição da espessura na região anelar inferior 250 Figura 6.5 Variação da pressão crítica (mmhg) em função da diminuição da espessura na região anelar superior 251 Figura 6.6 Posição das imperfeições para os casos estudados (a) caso 1, (b) caso 2, (c) caso 3, (d) caso 4; figuras fora de escala 252

28 Figura 6.7 Variação da pressão crítica em função de imperfeições locais 252 Figura 6.8 Variação da pressão crítica em função da excentricidade para Ogden1 253 Figura 6.9 Variação da pressão crítica em função da excentricidade para Neo Hooke 254 Figura 6.10 Variação da pressão crítica em função da redução da constante elástica 255 Figura 6.11 Configurações deformadas (a) sem imperfeição (b) experimental, (c), (d), (e) e (f) com excentricidades de 0,5 mm, 1,0 mm, 1,5 mm e 2,0 mm respectivamente, sem alongamento 257 Figura 6.12 Configurações deformadas (a) sem imperfeição (b) experimental, (c), (d), (e) e (f) com excentricidades de 0,5 mm, 1,0 mm, 1,5 mm e 2,0 mm respectivamente, com alongamento de 10% 258 Figura 6.13 Configurações deformadas (a) sem imperfeição (b) experimental, (c), (d), (e) e (f) com excentricidades de 0,5 mm, 1,0 mm, 1,5 mm e 2,0 mm respectivamente, com alongamento de 20% 259 Figura 6.14 Variação da pressão crítica através dos dados propostos por Sacks 260 Figura 6.15 Configuração indeformada e deformada proposta por A. Dorfmann para os aneurismas 261 Figura 6.16 Par de parâmetros a e b da Equação de Delfino para diversas pressões internas 263

29 Lista de tabelas Tabela 2.1 Propriedades mecânicas da artéria 51 Tabela 3.1 Pressões críticas do ensaio 1 70 Tabela 3.2 Pressões críticas do ensaio 2 73 Tabela 3.3 Pressões críticas do ensaio 3 75 Tabela 3.4 Pressões críticas do ensaio 4 78 Tabela 3.5 Pressões críticas do ensaio 5 80 Tabela 3.6 Pressões críticas do ensaio 6 83 Tabela 3.7 Pressões de referências 85 Tabela 3.8 Volumes de referência 86 Tabela 4.1 Valores da constante elástica de Ogden 1 95 Tabela 4.2 Valores da constante elástica de Neo Hooke 95 Tabela 4.3 Valores da constante elástica de Arruda-Boyce 96 Tabela 4.4 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar inferior 123 Tabela 4.5 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar 125 Tabela 4.6 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar superior 126 Tabela 4.7 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar 129 Tabela 4.8 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso Tabela 4.9 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso Tabela 4.10 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 3151 Tabela 4.11 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 4158 Tabela 4.12 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Ogden Tabela 4.13 Variação da tensão máxima trativa principal em função do

30 alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Neo Hooke 169 Tabela 4.14 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Ogden Tabela 4.15 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Neo Hooke 177 Tabela 4.16 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Ogden Tabela 4.17 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Neo Hooke 185 Tabela 4.18 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden Tabela 4.19 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Neo Hooke 193 Tabela 4.20 Variação da pressão crítica em função da excentricidade e do alongamento 194 Tabela 4.21 Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e do alongamento 195 Tabela 4.22 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 0,5 mm 201 Tabela 4.23 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,0 mm 206 Tabela 4.24 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,5 mm 211

31 Tabela 4.25 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 2,0 mm 216 Tabela 4.26 Variação da pressão crítica em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica 217 Tabela 4.27 Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica 218 Tabela 5.1 Valores da constante elástica de Ogden Tabela 5.2 Valores da constante elástica de Yelow 223 Tabela Variação da pressão crítica e da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição 238 Tabela Variação da pressão crítica e da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica e da espessura no local da imperfeição 241 Tabela 6.1 Comparação da pressão crítica (mmhg) numérica e experimental 246 Tabela 6.2 Diferença percentual dos ensaios numéricos e experimentais 247 Tabela 6.3 Comparação das tensões principais máximas (KPa) que ocorrem no instante da pressão crítica 248

32 1 Introdução Aneurisma é uma palavra de origem grega que significa alargamento. O termo aneurisma é utilizado para designar uma dilatação permanente de um segmento vascular que provoca debilidade em suas paredes. Os aneurismas podem ocorrer em qualquer artéria, porém um grande número acontece na aorta abdominal, que é o segmento que vai do diafragma até a área da pélvis, onde a artéria se ramifica para levar o sangue aos membros inferiores. Os aneurismas da aorta abdominal são mais freqüentes em homens, na proporção de 4:1 e verifica-se que em mais de 50% dos pacientes a hipertensão arterial está presente. Nos homens, o aneurisma da aorta abdominal ocorre em aproximadamente 6% dos homens acima de 60 anos, segundo Jonathan A. Eleftteriades. Os aneurismas derivam de um enfraquecimento da parede arterial, de uma solicitação anormal sobre um segmento desta parede ou pela combinação destes resultados. Na figura 1.1 apresentamos esquematicamente exemplos de aneurismas do arco da aorta, torácico e abdominal. Figura 1.1 Exemplo de aneurismas John A. Elefteriades (2006)

33 33 Aneurismas são uma das maiores causas de mortalidade no mundo ocidental. Mais de 15 mil pessoas morrem anualmente nos Estados Unidos por rompimento ou dissecção de aneurismas mais pessoas do que as que morrem de AIDS segundo John A. Elefteriades (2006). Aneurismas são ameaças silenciosas, porque a artéria pode dilatar sem causar sintomas. A maioria das pessoas descobre ter aneurismas quando se submetem a exames por outros motivos. Na maioria das vezes, a dor se manifesta apenas quando o aneurisma sofre ruptura ou dissecção. A sobrevivência após um evento como esse é pequena, as rupturas em geral matam instantaneamente. Os aneurismas da aorta abdominal, quando não operados, podem apresentar complicações como a trombose aguda, embolia arterial, corrosão de corpo vertebral e compressão de estruturas vizinhas. Porém, a complicação mais frequênte e temida dos aneurismas é a ruptura. Os aneurismas em processo de ruptura ou expansão rápida são sintomáticos e têm indicação cirúrgica indiscutível. Os aneurismas assintomáticos têm indicação cirúrgica eletiva e obedecem a alguns critérios, como o risco de ruptura, risco da cirurgia e expectativa de vida do paciente. O risco de ruptura é basicamente relacionado com o diâmetro do aneurisma. Os aneurismas com dimensões maiores têm um risco mais elevado de rompimento. A cirurgia pode prevenir a ruptura ou a dissecção, mas é delicada e invasiva. A cirurgia consiste na retirada do aneurisma, com restabelecimento do fluxo arterial através de uma prótese (cirurgia convencional). Quando se usa a técnica endovascular, é colocada uma prótese internamente ao aneurisma, sem exclusão do mesmo Objetivo da dissertação Neste trabalho deseja-se investigar, numérica e experimentalmente, a pressão crítica necessária à formação dos aneurismas da aorta e compreender como ocorre sua evolução. Inicialmente tanto o estudo numérico quanto experimental é realizado em tubos de silicone com a mesma geometria da aorta, sob pressão hidrostática, para

34 34 determinarmos a pressão critica e seu comportamento. A pressão critica é definida como sendo a pressão em que verificamos sua estabilização e sendo esta muito próxima à máxima pressão suportada pela estrutura. Na formulação numérica do problema considera-se que a parede arterial seja constituída por um material homogêneo, hiperelástico e isotrópico como proposto em Gerhard e Ogden (2000). Para descrever o comportamento deste tipo de material sob grandes deformações, utilizam-se, em geral, as equações constitutivas denominadas de Neo-Hookeana, Mooney-Rivlin e Ogden. Estas equações constitutivas têm sido usadas para modelar certos tecidos biológicos, em virtude da existência de algumas similaridades entre materiais poliméricos e tecidos vivos (Fung, 1981). Também serão realizadas análises para as equações constitutivas de artérias proposta por Delfino (1997), por Sacks (2006) e por Dorfmann (2010). Será realizada a validação experimental do modelo numérico assim como estudos numéricos de imperfeições e com equações constitutivas desenvolvidas para a aorta Organização do texto No capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica levantada para esta dissertação, indicando os fatores predominantes no fenômeno de formação dos aneurismas. No capítulo 3 são apresentados os procedimentos e os aparatos utilizados para a realização dos ensaios de laboratório e para a confecção dos tubos de silicone com a mesma geometria da aorta, fabricados no Laboratório de Membranas e Biomembranas do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. No capítulo 4 é apresentada a modelagem numérica realizada, utilizando o programa de elementos finitos ABAQUS (6.8.1). No capítulo 5 é apresentada a modelagem numérica realizada, utilizando o programa de elementos finitos ABAQUS para as propriedades da aorta propostas por Delfino (1997), por Sacks (2006) e por Dorfmann (2010).

35 35 No capítulo 6 serão apresentadas as principais conclusões, uma comparação entre as análises experimentais e numéricas e propostas para trabalhos futuros.

36 2 Revisão bibliográfica 2.1. Definição de aneurismas Aneurisma é uma dilatação localizada e irreversível de um vaso arterial. Podemos definir como aneurisma, quando o segmento de um vaso tem seu diâmetro normal presumido, para a idade e altura do paciente, aumentado de 50%. Na figura 2.1 podemos observar um caso real de um vaso sanguíneo portador de aneurisma cerebral. Figura 2.1 Exemplo de dilatação permanente e localizada Disponível em: - Acessado em: 21/09/2010 A dilatação da parede arterial pode ocorrer de várias formas, algumas estão descritas abaixo: Arteriomegalia é uma dilatação difusa (não localizada) envolvendo vários segmentos da artéria com aumento do diâmetro em mais de 50% do seu diâmetro normal presumido. Ectasia é caracterizada por dilatação da artéria menor que 50% do seu diâmetro normal presumido.

37 37 Pseudoaneurisma ou falso aneurisma é a lesão de pelo menos uma das camadas de um vaso, sendo contido por um hematoma pulsátil, ou também quando apresenta lesão das camadas intima e media, preservando-se a adventitia (essas camadas serão definidas no item 3.6). Aneurisma infeccioso (micótico) é uma dilatação segmentar sacular do vaso devido à infecção bacteriana, freqüentemente por embolo séptico Tipos de aneurismas Os aneurismas são divididos em dois tipos: A) Aneurismas que provocam uma dilatação pura da parede arterial. A expansão pode ser fatal se o tecido arterial sofrer ruptura. Na figura 2.2 podemos observar esquematicamente este caso. Figura Representação da ruptura do aneurisma - John A. Elefteriades (2006) B) Aneurismas causados por dissecção. A dissecção (separação das camadas internas e externas da parede do vaso) ocorre quando o sangue vasa para o meio da parede através de uma laceração no seu revestimento interno. Na dissecção da aorta, o sangue penetra na íntima e entra na camada média. A alta pressão rasga os tecidos da camada média, permitindo que mais sangue entre no espaço criado. Isso pode se propagar ao longo do comprimento da aorta por uma distância variável, dissecando em direção ou na direção contraria ao coração, ou em ambas as direções. O rasgão

38 38 inicial geralmente está a 100 mm da válvula aórtica (ou valva aórtica, separa o ventrículo esquerdo do coração da artéria aorta). O risco da dissecção da aorta é de que a aorta possa romper, levando a uma perda massiva de sangue, resultando na morte o paciente. Na figura 2.3 podemos observar esquematicamente este caso. Figura Representação da dissecção dos aneurismas - John A. Elefteriades (2006) A dissecção aguda da aorta, também chamada de aneurisma dissecante da aorta, é uma condição freqüentemente fatal. O enfraquecimento da parede arterial é responsável pela maior parte dos casos de dissecção aórtica aguda. A causa mais comum dessa deterioração é a hipertensão arterial, a qual está presente em mais de dois terços dos pacientes que apresentam dissecção da aorta. As outras causas incluem os distúrbios hereditários do tecido conjuntivo (tecido encontrado da parede da aorta e outros vasos), especialmente as síndromes de Marfan e de Ehlers-Danlos, defeitos congênitos do coração e dos vasos sangüíneos como a coarctação da aorta (malformação mais freqüente da aorta) da aorta, persistência do canal arterial e a válvula aórtica bicúspide, aterosclerose (formação de placas de gordura na parede da aorta) e lesões traumáticas. Teoricamente, qualquer indivíduo que apresenta uma dissecção aórtica aguda sente dor, a qual geralmente é de forte intensidade e de início súbito. Em geral, os pacientes sentem uma dor torácica, geralmente descrita como "dilacerante". Também é freqüente a dor na região dorsal (parte posterior do tórax), entre as escápulas.

39 39 Figura Corte transversal do aneurisma de dissecção - John A. Elefteriades (2006) 2.3. Prevalência Dos aneurismas da aorta, 80% estão situados abaixo das artérias renais, como nos mostra esquematicamente a figura 2.5. Figura Local da maior incidência dos aneurismas Disponível em: - Acessado em: 21/09/2010 O aneurisma de aorta abdominal (AAA) é uma dilatação localizada na aorta infra-renal. A ruptura do aneurisma de aorta abdominal é a 13ª maior causa

40 40 de morte nos EUA. Segundo os pesquisadores Raghavan, Marshall Webster e David Vorp (1996) de 3% a 5% da população mundial sofre de aneurisma da aorta abdominal (AAA). Na figura 2.6 podemos observar uma imagem computadorizada de um aneurisma de aorta abdominal. Com a mesma imagem é possível visualizar a aorta e sua disposição no corpo humano, assim como algumas de suas ramificações. Figura Exemplo de aneurisma na aorta abdominal Disponível em: a0007.jpg - Acessado em: 21/10/ Aorta A aorta é um órgão complexo com múltiplas funções e o maior condutor vascular de nosso corpo. Ela recebe todo o sangue ejetado do ventrículo esquerdo do coração, distribuindo-o para todo o corpo, com exceção dos dois pulmões. A aorta ramifica-se em artérias menores ao longo de seu trajeto, desde o ventrículo esquerdo até a parte inferior do abdômen, ao nível da porção superior do osso do quadril (região pélvica). A aorta costuma ser um dos primeiros locais a ser acometido pela aterosclerose, doença que pode contribuir para o aparecimento de outras enfermidades, entre elas os aneurismas.

41 41 Tradicionalmente, diagnósticos clínicos de doenças da aorta são baseados na dilatação da aorta, formação de aneurismas, calcificação ou dissecção. No entanto, segundo Boudoulas e Wooleym (2002), desenvolvimentos em imagens cardiovasculares, medições das propriedades elásticas da aorta e o entendimento da biologia vascular em nível molecular tem proporcionado as novas bases para renovar os conhecimentos das funções da aorta no estado saudável e doente. Apesar de a aorta operar a maior parte do tempo sob pressão fisiológica, em alguns momentos a aorta trabalha sob pressões muito baixas ou muito altas. Todos estes estados necessitam de um modelo das propriedades mecânicas da aorta para obtermos um espectro de tensão confiável. O diâmetro máximo observado no aneurisma é o principal critério para determinação da necessidade da cirurgia reparadora. Esse é o único critério usado, porem às vezes um aneurisma de aorta abdominal grande não rompe e um pequeno rompe. Claramente este não é um critério eficaz. Dados sobre a espessura e as propriedades de colapso do tecido da aorta abdominal podem fornecer informações sobre o processo de ruptura do aneurisma. Observa-se na figura 2.7 uma grande redução da espessura ao redor do local de ruptura. Figura Espessura da parede arterial após a formação do aneurisma - John A. Elefteriades (2006) Em estudo realizado pelo pesquisador Madhavan L. Raghavan e outros (2006) em uma artéria que rompeu em função de crescimento excessivo do aneurisma, podemos observar a variação da espessura da parede arterial e verificar uma grande redução da mesma na região onde ocorreu a ruptura. Podemos perceber que em regiões relativamente próximas observam-se espessuras bem

42 42 maiores que a do local de ruptura do aneurisma. A figura 2.8 representa o caso estudado pelo autor supracitado. Figura 2.8 Variação da espessura da parede arterial no local de ruptura do aneurisma - Madhavan L. Raghavan e outros (2006) 2.5. Divisão da artéria aorta Na figura 2.9 podemos observar a disposição da aorta e dos principais órgãos do corpo humano. Figura Representação da aorta e dos principais órgãos do corpo humano Disponível em: - Acessado em: 21/10/2010

43 43 Para que ocorresse uma melhor comunicação entre os pesquisadores à aorta foi segmentada em quatro trechos como podemos observar no esquema abaixo. Figura Representação da aorta segmentada Disponível em: - Acessado em: 21/10/2010 Os quatro trechos da aorta são assim divididos: Aorta ascendente: porção que sai do coração e encaminhasse em direção a cabeça. Crossa da aorta: também chamada de arco da aorta, é a porção compreendida entre a aorta ascendente e a aorta torácica, esta porção muda a direção da aorta, fazendo com que esta se dirija para as pernas do ser humano. Aorta torácica: é a porção localizada no tórax, termina na porção onde surge o tronco celíaco. Aorta abdominal: porção localizada no abdome, nesta região localiza-se a maior parte dos aneurismas, esta porção estende-se até a ramificação das artérias ilíacas, ramificação esta que levará sangue aos membros inferiores.

44 Camadas da parede arterial Pelas observações realizadas sobre o tecido biológico concluímos que este é composto por elastina (que apresenta resistência muito baixa) e por colágeno (que apresenta resistência bem maior). Assim como todas as outras artérias, a aorta é composta por três camadas. A camada que está em contato direto com o fluxo sanguíneo é a túnica íntima, geralmente chamada de íntima. Esta camada é composta principalmente de células endoteliais e pode-se dizer que ela é quase desprezível nos adultos saldáveis, pois apresenta uma espessura muito pequena e baixa resistência mecânica, tem como objetivo principal o auxílio da condutividade do sangue. Logo abaixo desta camada está a túnica média, conhecida como média. Esta "camada média" é composta por células musculares lisas e por tecido elástico e é a maior responsável pela resistência mecânica da aorta. A camada mais externa (mais distante do fluxo sanguíneo) é conhecida como túnica adventícea ou adventícea. Esta camada é composta de tecido conjuntivo, que tem como principal função a manutenção da forma e a proteção da camada media. Figura Camadas constituintes da aorta Gerhard A. Holzapfel (2000)

45 Etiopatogenia O aneurisma de aorta abdominal é causado por um processo degenerativo não específico (comumente considerado aterosclerótico) em 95% dos doentes; raramente são de outras etiologias como: trauma, sífilis, inflamatório, micótico e Síndrome de Marfan. A maioria dos aneurismas ateroscleróticos incide entre a sexta e a sétima década de vida. Por muitos anos foi considerado que o aneurisma de aorta abdominal fosse o resultado do processo degenerativo aterosclerótico na aorta humana. Tanto o aneurisma quanto a aterosclerose, ambos aumentaram suas prevalências no ancião, esta suposição foi aceita prontamente pela maioria dos médicos. Porém, evidências clinicas e bioquímicas compilaram na última década causas diferentes e sugerem que fatores hereditários e mudanças bioquímicas podem representar um papel dominante na etiologia de aneurisma de aorta abdominal na maioria dos doentes (estes estudos ainda não são conclusivos). Múltiplas investigações genéticas de aneurisma da aorta sugerem que possa ser uma doença familiar. Pesquisas recentes têm demonstrado que as mudanças estruturais da parede da aorta podem ser decorrentes da degradação por enzimas. Atualmente, sem meios identificáveis disponíveis para inverter as anormalidades genéticas e bioquímicas associadas com o desenvolvimento dos aneurismas, não se pode prevenir com medicamentos a degeneração da parede da aorta e nem a eventual ruptura. O único tratamento efetivo atualmente conhecido para prevenir ruptura do aneurisma da aorta é a interposição na artéria aneurismática de prótese artificial na maioria dos casos, sendo que a prótese biológica é usada nos casos de infecção. Na figura 2.12 apresentamos esquematicamente os tipos de próteses utilizadas na reparação dos diferentes aneurismas.

46 46 Figura Exemplo de próteses usadas na reparação de aneurismas Disponível em: - Acessado em: 21/10/ História Ramos & Corrêa Neto (1935) relataram que o aneurisma de aorta abdominal evoluía de uma maneira progressiva e irrevogável para a morte. Sabiston Jr (1997) descreveu que o aneurisma de aorta abdominal se não tratado cirurgicamente evolui inexoravelmente para a ruptura. Law (1998) referiu que o aneurisma de aorta abdominal é responsável por 2% das mortes da população masculina acima de 60 anos no Reino Unido. Basnyat e outros autores (1994) estimaram que a incidência anual de ruptura do aneurisma de aorta abdominal é de 8 por habitantes.

47 47 Chosksy, Wilmink, Quick (1999) estimaram que a incidência anual de ruptura do aneurisma de aorta abdominal é de 17,8 por habitantes para o sexo masculino e de 3 por habitantes do sexo feminino; dando uma proporção de respectivamente 6/1, em relação ao gênero Risco de ruptura e morte Estes (1950) revisando o cadastro de 102 pacientes com aneurisma de aorta abdominal atendidos na Clinica Mayo, verificou que 97 apresentaram origem aterosclerótica, 4 de sífilis e um de trauma. Constatou-se que a sobrevivência em três anos foi de 50%, em 5 anos de 19% e em 8 anos de 10%. Nenhum dos doentes sobreviveu mais que dez anos. A ruptura foi à causa de morte em 63%. Nos doentes com aneurisma de aorta abdominal (AAA) a incidência de ruptura é de 30% a 63%. Em 1972 Szilagyi, Elliot e Smith relataram que a sobrevivência de doentes com AAA menor que 6 cm foi de 48% e em maior que 6 cm de diâmetro a sobrevivência foi de apenas 6%. Em 1977 Darling revendo necropsias consecutivas, encontrou incidência de morte por ruptura de 25% para aneurisma entre 4 e 7 cm, de 45,6% entre 7 e 10cm, e 60,5% para maiores que 10cm. Porem, nos AAA de 4 cm ou menores a incidência de morte por ruptura foi de 9,5%. A ruptura do AAA é responsável por 1,4% de todas as mortes em homens acima de 65 anos no Reino Unido, segundo dados divulgados em Após a ruptura do AAA, 50% dos pacientes morrem antes de chegarem ao hospital, e da outra metade que chega ao hospital com vida, 30% a 50% morrem devido à cirurgia de emergência Fatores de risco de ruptura Embora o diâmetro transversal do aneurisma seja aceito como o melhor preditor do risco de ruptura; outros fatores também têm influência, visto que aneurismas pequenos também rompem. Szilagyi (1972) encontrou que a hipertensão diastólica (maior que 100/150 mmhg) estava presente em 67% dos

48 48 doentes com ruptura do AAA, porém, nos doentes sem ruptura a hipertensão estava presente em apenas 23%. Foster (1969) revisando 75 casos de AAA que evoluíram para a morte por ruptura também verificou que 75% dos casos apresentavam hipertensão diastólica. Outro fator é a doença pulmonar obstrutiva crônica. Nesta doença existe uma produção maior de elastase nos alvéolos aumentando o risco de ruptura pela diminuição da camada elástica arterial (a media). Experiência com membro amputado ao nível da coxa também é um risco a mais de ruptura. Cronenwett, Katz (1995) citaram 30 fatores de risco para ruptura do AAA, sendo os principais: hipertensão arterial, doença pulmonar obstrutiva crônica, diâmetro do aneurisma, tabagismo, insuficiência renal, sexo masculino, história familiar, doença cardíaca, taxa de crescimento do aneurisma, e a relação do diâmetro do aneurisma com o diâmetro da aorta normal. Após análise multivariável, somente três fatores tiveram risco independente para ruptura, o diâmetro aumentado inicial, a hipertensão arterial, e a doença pulmonar obstrutiva crônica. Cronenwett, Katz (1995) citaram também que quando estes fatores eram mínimos ou inexistentes o risco de ruptura em 5 anos era de 2%, mas quando os mesmos estavam presentes o risco aproximava de 100%. Por exemplo, um doente com aneurisma de 4 cm de diâmetro, pressão diastólica de 90 mmhg e moderada doença pulmonar obstrutiva crônica foi estimado o risco de ruptura em 10% ao ano. A história familiar de ruptura foi estudada, porém, não foi possível fazer qualquer correlação. Brown, Powell (1999) encontraram no seguimento de 2257 doentes com AAA com diâmetro inicial de 3 a 6 cm de 1991 a 1998, 1003 casos de ruptura sendo que 76% destes tinham diâmetro igual ou maior que 5 cm. Cao, De Rango (1999), Gorski, Ricotta (1999) confirmaram que AAA com 5 cm de diâmetro transversal ou maior, associado a outros fatores como a hipertensão arterial, a doença pulmonar crônica obstrutiva e ainda a morfologia do aneurisma aumentaram o risco de ruptura.

49 Diagnósticos clínicos e exames subsidiários Aneurisma da aorta abdominal pode ser sintomático (dor abdominal, dor lombar, ou isquemia dos membros inferiores) ou assintomático e ser descoberto acidentalmente. Geralmente os aneurismas são assintomáticos. Em um estudo de Estes (1950), de 102 doentes com AAA que foram diagnosticados, 30,4% dos aneurismas eram assintomáticos e foram descobertos em exame físico rotineiro ou durante avaliação de outro problema médico. Séries mais recentes incluem uma proporção mais elevada de aneurisma assintomático, 77,8%. Aneurisma de aorta abdominal pode ser diagnosticado através de exame físico (Ramos & Côrrea Netto, 1935), radiografias simples de abdômen ou coluna lombar, aortografia, ultra-sonografia, tomografia computadorizada abdominal ou ressonância magnética. Radiografia da coluna lombar ou de abdômen pode revelar o esboço calcificado de um aneurisma, mas esta calcificação é notada só em 60 a 70% dos doentes com aneurisma diagnosticado. A ultra-sonografia abdominal é um método que, se em mãos experientes, pode diagnosticar cerca de 100% dos AAA. Tem as vantagens de ser barato, ser realizado facilmente, (às vezes à beira do leito), não emite radiação, podendo ser repetido quando necessário. As principais desvantagens são: a presença de gás intra-abdominal limitando a qualidade do exame e a dificuldade em demonstrar a origem das artérias renais. A tomografia axial computadorizada (TAC) é um exame de grande especificidade, evidenciando os diâmetros do aneurisma com sensível precisão, identificando as origens das artérias renais e vasos mesentéricos, avaliando as paredes do aneurisma, sendo por isso, importante no diagnóstico daqueles com características inflamatórias. A TAC é o exame de escolha nos casos onde há dúvida sobre a integridade do aneurisma. As principais desvantagens são: preço relativamente elevado, radiação a emissão de Raios-X, uso de contraste, não poder ser realizado à beira do leito e não poder ser feito com freqüência. A angiorressonância é um exame com sensibilidade semelhante à tomografia quando realizado em aparelhos de 1 a 1,5 Tesla e sem contraste. Com o aperfeiçoamento dos equipamentos e o uso do contraste não iodado este método

50 50 poderá, no futuro, associado à ultra-sonografia, substituir TAC. Tem a desvantagem de ser caro e não estar disponível na maioria dos hospitais. Na figura 2.13 podemos observar uma imagem gerada por angiorressonância. Figura 2.13 Imagem gerada por angiorressonância Disponível em: - Acessado em: 21/10/ Estudos de modelagens encontradas Abaixo se apresenta um relato das modelagens encontradas nos artigos pesquisados, não se faz um julgamento das técnicas adotadas, apenas um relato. Samila e Carter (1981) estudaram a morfologia e as propriedades elásticas da artéria carótida humana sob vários graus de tração e observaram que as fibras de colágeno fazem a rigidez crescer. A resposta inicial do tecido (para baixas deformações) é caracterizada por uma curva linear no gráfico (tensão X deformação) com uma inclinação que reflete a rigidez total da fibra de elastina sozinha. Como o tecido é alongado, as fibras de colágeno se esticam e começam a contribuir para suportar a carga.

51 51 Os pesquisadores Raghavan, Marshall Webster e David Vorp (1996) dividiram a parede arterial em três grupos: com orientação longitudinal, circunferencial e normal. Um segmento da parede do aneurisma de aorta abdominal de pacientes cirúrgicos (4-7 cm de comprimento e 1 cm de largura) foi retirado. As amostras são sempre mantidas em concentração salina a 4 C (neste e nos demais ensaios aqui relatados). Foram montados corpos de prova de 4x1cm. Os corpos de prova foram montados em um aparato para teste de tração uniaxial. As amostras foram assim divididas: 52 amostras de orientação longitudinal foram obtidas de 52 pacientes de idade 69 ± 2, de aneurisma de aorta abdominal com diâmetro 6,3 ± 0,2cm; 19 amostras circunferencial foram obtidas de 16 pacientes de idade 76 ± 2, de aneurisma de aorta abdominal com diâmetro de 7 ± 0,3cm; 7 amostras normais (sem aneurismas) foram obtidas da aorta infra-renal de 7 cadáveres de idade 47 ± 4. Para eliminar o efeito da histerese do tecido durante o teste, cada molde foi pré-condicionado com carregamento de 7% da deformação em 10 ciclos. Não se encontrou diferença significativa entre corpos de prova com orientação longitudinal e circunferencial de AAA nem entre Ee (módulo de elasticidade da porção de elastina) e Ec (módulo de elasticidade da porção de colágeno). Na tabela 2.1 podemos observar os dados obtidos, sendo σy a tensão de escoamento do material e σu a tensão de ruptura. Ee Ec σy σu (N/cm2) (N/cm2) (N/cm2) (N/cm2) Longitudinal (N=45) 42,1±5,5 408,2± 6,75 65,2± 9,5 86,4± 10,2 Circunferencial (N=16) 55,6± 10,8 539,4± 8,75 70,7± 12,4 101,9± 16 Normal (N=7) 45,3± 15,8 468,1± 11,09 121± 32,8 201,4± 39,4 Tabela 2.1 Propriedades mecânicas da artéria As propriedades mecânicas das orientações longitudinais e circunferenciais são similares, sugerem que o material é isotrópico.

52 52 As condições de carregamento uniaxial em artérias são bem conhecidas. No entanto, dados mecânicos provenientes de testes uniaxiais são insuficientes para a caracterização tridimensional. O modelo de análise de tensões em 3D do aneurisma de aorta abdominal reportado na literatura é baseado no teste uniaxial. Os pesquisadores Jonathan Vande Geest, Michael Sacks e David Vorp (2006) realizaram teste de tensão biaxial no tecido de aorta abdominal com aneurisma e sem aneurisma para caracterizar a resposta biaxial para ambos os tipos de tecido. O tecido de aorta abdominal com aneurisma foi obtido de cirurgias reparadoras e o tecido de aorta abdominal sem aneurisma foi obtido de autópsias. A espessura da aorta foi medida em seis pontos diferentes. As dimensões dos espécimes descarregados foram medidas nas direções circunferencial e longitudinal. O corpo de prova era de formato quadrado (2 x 2 cm), foi montado para a realização do teste de tensão biaxial utilizando-se 4 ganchos de estruturas de náilon em cada um dos lados do espécime com grampos cirúrgicos. O espécime foi montado e alongado nas direções circunferencial e longitudinal. Um pré-carregamento de 0,5 grama foi aplicado em cada espécime antes de começar o teste para eliminar o efeito da histerese do tecido. Foram feitas 4 marcas a uma distancia de (5 mm x 5 mm), e uma câmera foi usada para determinar a deformação do tecido. Uma tensão controlada foi utilizada para simular a mesma pressão efetiva intra luminal (região por onde passa o sangue) em todos os espécimes. A tensão máxima usada em cada tecido da aorta abdominal (com aneurisma e sem aneurisma) foi de 120Pa, que é a tensão em um tubo cilíndrico fino, com diâmetro de (2 cm) e espessura de (2 mm), consistente com uma típica aorta abdominal, exposta a pressão fisiológica de 113mmHg. Os espécimes foram précondicionados com 1 ciclo de 9 repetições de carga e descarga. Os dois grupos foram assim definidos: 26 espécimes de AAA, diâmetro médio de 6,5 ± 2 de 26 pacientes, idade 72,3 ± 1,8; 8 espécimes de AA de 8 indivíduos, idade 70,6 ± 1,9. A espessura média era de 1,49 ± 0,11 para aorta abdominal sem aneurisma e 1,32 ± 0,08 mm para aorta abdominal com aneurisma. Foram plotados gráficos da resposta típica do tecido de aorta abdominal sem aneurisma e do tecido de aorta abdominal com aneurisma e observado uma

53 53 anisotropia, com resistência preferencial na direção circunferencial para o tecido de aorta abdominal com aneurisma quando comparado com o tecido de aorta abdominal sem aneurisma. A tensão cisalhante foi desprezada nos ensaios. Observou-se que os tecidos são compostos prioritariamente de água. Os pesquisadores Chuong e Fung (1986) realizaram estudos de compressibilidade da parede arterial e verificaram que esta se comporta como um material quase incompressível. Stergiopulos (2004) demonstrou que a camada média da aorta de porco tem propriedades mecânicas similares à aorta humana, pois ela apresenta através da espessura uma distribuição uniforme de uma matriz de proteína e células de músculo vascular. Por esta razão ele concluiu que a camada média da aorta pode ser considerada um meio elástico e homogêneo. Vasos sangüíneos são conhecidos por apresentar deformações finitas sob condições fisiológicas normais. Por esta razão o tecido arterial tem sido modelado como material hiper-elástico por muitos pesquisadores. Nos trabalhos mais recentes as três camadas da aorta abdominal são modeladas como material incompressível, homogêneo e hiper-elástico sob deformações finitas. Os pesquisadores Madhavan Raghavan, Jarin Kratzberg, Erasmo Magalhães Castro de Tolosa, Mauro Hanaoka, Patricia Walker e Erasmo Simão da Silva (2006), realizaram a medição do tecido da parede arterial em 394 posições da aorta abdominal com aneurisma. Verificou-se que a espessura varia de 0,23mm (no local da ruptura) a 4,26mm (nos locais onde ocorreu calcificação). Foram realizados testes mecânicos em um total de 57 espécimes, sendo que 9 espécimes foram eliminados. Os espécimes apresentavam: comprimento de 36,1 ± 4,4mm, largura de 7,8 ± 0,8mm e espessura de 1,7 ± 0,6mm. Não se verificou grandes diferenças das propriedades mecânicas nas orientações longitudinais e circunferencial. Todos os aneurismas estudados apresentaram variações locais significativas na espessura. No entanto, não foi encontrada nenhuma diferença perceptível na espessura entre um aneurisma grande e um pequeno de aorta abdominal. Segundo Bosch (2000) a incidência de aneurisma de aorta abdominal triplicou na população ocidental nos últimos 30 anos. Segundo Raghavan e Vorp (1996) análise de elementos finitos pode desempenhar um papel importante no diagnóstico e tratamento de aneurismas de

54 54 aorta abdominal. Estudos recentes (Fillinger e Venkatasubramaniam) têm mostrado uma correlação entre o risco de ruptura e um pico de tensão na parede do tecido arterial usando a análise de elementos finitos. Este estudo, no entanto, não inclui a presença de trombo intra-luminal (dilatação pela região onde flui o sangue), o qual é comum em 75% dos aneurismas de aorta abdominal. Tais simulações podem conduzir a tensões incorretas quando comparadas com o estado de tensões in vivo. O teste mecânico biaxial permite a investigação da mecânica anisotrópica de um material e com isso o desenvolvimento de um modelo constitutivo que apresente um comportamento mecânico fisiologicamente apropriado. A implementação de uma relação constitutiva biaxial para o trombo intra-luminal e a análise de elementos finitos pode predizer o estado de tensão para pacientes específicos de aneurisma de aorta abdominal. Por esta razão torna-se interessante investigar o comportamento biomecânico do trombo intra-luminal sob carregamentos multiaxiais. Nove espécimes de trombo intra-luminal de nove pacientes diferentes com idade de 71 ± 4,5 foram usados neste estudo. Os aneurismas de aorta abdominal apresentavam 5,9 ± 0,4 cm de diâmetro. O pico de tensão (tensão máxima) encontrado no teste biaxial para espécimes com trombo intra-liminal foi de 1.18 ± 0.02 N/cm² e 1.13 ± 0.02 N/cm², para as direções circunferenciais e longitudinais respectivamente. Devido à forma isotrópica das funções desenhadas, uma formulação isotrópica de W foi considerada: = i j W aij ( I1 3) ( I 2 3) i= 0 i= 0 (2.1) Onde W é a energia de deformação por unidade de volume inicial, a ij são constantes do material, I 1 e I 2 são o primeiro e o segundo tensor de deformação de Cauchy-Green. A relação linear entre I 1 e I 2 para todos os corpos de prova de trombo intra-luminal justificam a exclusão de I 2 da função de energia de deformação. O crescimento linear entre W 1 e I 1 sugere um termo quadrático:

55 55 W = a I (2.2) 2 1 ( I1 3) + a2( 1 3) W W1 = (2.3) I 1 A resposta mecânica isotrópica foi capturada com sucesso usando a função de energia de deformação polinomial de segunda ordem, anterior. Todos os trombos intra luninal são modelados como material homogêneo isotrópico. Mower (2000) relata uma redução de 30% do pico de tensão na presença de trombo intra-luminal em grandes aneurismas de aorta abdominal axissimétricos. Pode ser notado que a relação constitutiva derivada para um material isotrópico testado uniaxialmente e biaxialmente serão diferentes. Para ilustrar isso para o trombo intra-luminal, a energia de deformação para a relação constitutiva obtida por Wang para a camada luminal é comparada com a energia de deformação biaxial obtida neste estudo. O gráfico das duas energias pode ser observado abaixo. Figura 2.14 Gráfico de energia da camada luminal Os pesquisadores D. P. Sokolis, H. Boudoulas e P. Karayannacos (2002) realizaram estudos sobre o comportamento do tecido da aorta de 15 coelhos e 20 porcos. Foram realizados dez ciclos de carga e descarga para eliminar o efeito de histerese.

56 56 A expressão escolhida para a tensão S foi a expressão de Kirchhoff, obtida pela divisão da força F pela área indeformada A 0, do espécime e pelo raio de extensão λ : F F T S = = = A λ w t λ λ (2.4) Onde w 0 e t 0 são a largura e a espessura e T indica a tensão na forma Lagrangeana como T = F A 0. O raio de extensão λ é definido como l l λ = = l +. l 0 0 l0 A expressão para a deformação não linear E, Green - St. Venant, foi escrita em termos do raio de extensão longitudinal, λ, como mostrado por Fung: E = 1 ( λ 2 1) 2 (2.5) E o módulo elástico, M, foi calculado como a primeira derivada da tensão S em relação a deformação E: ds M = (2.6) de Muitos tipos de curvas, entre elas, bi-linear, polinomial, exponencial e outras, foram testadas para os resultados de tensão-deformação obtidos. A função polinomial de sétima ordem: S = p + (2.7) p1e + p2 E + p3e + p4e + p5e + p6e p7 E simula muito bem os dados experimentais obtidos.

57 57 A forma geral da curva tensão-deformação apresentada com este estudo é similar com a obtida em outras investigações, na qual foram utilizados testes de carregamento uniaxial. A parede arterial tem sido modelada com tensão uniaxial por muitos pesquisadores, como um material não linear, usando equações constitutivas expressas em termos polinomiais (Patel e Vaishnav, 1972; Loree, 1994), exponencial (Fung, 1967, 1972; Tanaka e Fung, 1974; Hayashi, 1981; He e Roach, 1994) e funções bi-linear (Haut, 1980) Estudo microscópico do tecido arterial A aorta serve para regularizar a pressão e o fluxo de sangue no interior do sistema cardiovascular. A aorta é um vaso de grande calibre, cuja resposta mecânica é predominantemente atribuída à camada média, porque esta é a camada mais espessada da aorta e também a mais organizada. Estudos anteriores (Wolinsky e Glagov, 1967; Clark e Glagov, 1985) demonstraram que a camada média da aorta é constituída por lâminas cilíndricas concêntricas, as quais servem para construir a parede arterial. A camada média contém duas camadas de elastina separadas por uma camada de células muscular e de colágeno. A elastina e o colágeno são os componentes principais que determinam as propriedades mecânicas passivas da parede arterial, enquanto as células de músculo são as responsáveis pelas propriedades mecânicas ativas e a produção da matriz extra celular. Os pesquisadores Dimitrios Sokolis, Emmanuel Kefaloyannis, Mirsini Kouloukoussa, Evangelos Marinos, Harisios Boudoulas e Panayotis Karayannacos (2006) realizaram estudos com o tecido arterial de trinta e cinco coelhos. Foram realizados testes uiniaxiais quase estáticos nos espécimes recolhidos, para redução da histerese foram realizados dez ciclos de carga e descarga nos espécimes. A análise das tensões foi à mesma adotada por Raghavan e Vorp (descrita anteriormente). Os pesquisadores estressaram os espécimes obtidos por algumas horas e compararam o tecido estressado com a vizinhança do tecido que permaneceu

58 58 tracionado por 1 mês, a deformação foi à mesma em ambos os espécimes. Não foram apreciadas diferenças significativas na estrutura de elastina e colágeno em cada nível de tensão examinado, mas o longo tempo de fixação produziu deformações residuais. O objetivo de estudar espécimes tracionados após um mês de fixação é observar a organização das fibras de colágeno e elastina submetidas a grandes tensões. Quando o espécime de tecido arterial não está sob tensão as camadas de elastina presentes são onduladas e dobradas, orientadas tanto na direção circunferencial quanto longitudinal na parede arterial. O pré-condicionamento não afeta a distribuição espacial, orientação e ondulação das lâminas de elastina. Posteriormente ao pré-condicionamento, sob tensão aplicada longitudinalmente, primeiro a elastina desdobra-se, posteriormente sob grande tensão a lamina de elastina sofre extensão. A aparência enrugada e a orientação desordenada das fibras de colágeno são claramente observadas nas seções longitudinais na parede arterial sem tração. Na seção transversal as fibras de colágeno são vistas como um longo pacote ondulado, e como fibras enrugadas curtas sem arranjo consistente. A configuração das fibras de colágeno não muda com o pré-condicionamento, da mesma forma que as fibras de elastina. Com a aplicação de tensões crescentes as fibras de colágeno se reorientam na direção da tensão, alinhando-se de forma paralela. Na figura 2.15 podemos observar a configuração esquemática das fibras de elastina (a) e colágeno (b): Figura Microscopia realizada no tecido arterial D. P. Sokolis (2006)

59 3 Análise experimental Apesar de um crescente número de artigos publicados sobre aneurismas nos últimos anos, encontrar as propriedades físicas e mecânicas do material da aorta tem se mostrado uma tarefa árdua. Até o presente momento, para a realização da análise experimental foram obtidas da revisão bibliográfica duas geometrias para a aorta. A primeira geometria foi obtida através de Simão da Silva e outros (1999) e a segunda geometria foi obtida do artigo de D. P. Sokolis (2007). A geometria obtida através de Simão da Silva e outros (1999) está descrita abaixo: Comprimento inicial: 20 cm. Raio superior externo: 9,5 mm. Raio superior interno: 7,0 mm. Raio inferior externo: 7,3 mm. Raio inferior interno: 5,9 mm. Por falta de informações mais precisas foi considerado que a variação da espessura e do raio ao longo do comprimento arterial se da de forma linear. A geometria obtida através de D. P. Sokolis (2007) apresenta algumas diferenças em relação à de Simão da Silva, principalmente no que se refere a variação da espessura ao longo do comprimento e aos valores dos raios inferiores. Os dados abaixo são referentes à D. P. Sokolis. Na figura 3.1 podemos observar o gráfico que representa a variação da espessura da parede arterial em função do seu comprimento (representado pela subdivisão da aorta).

60 60 Figura Variação da espessura da parede arterial proposta por D. P. Sokolis (2007) Na figura 3.2 podemos observar o gráfico que representa a variação do diâmetro interno e externo da parede arterial em função do seu comprimento. Figura Variação do diâmetro interno e externo da parede arterial proposta por D. P. Sokolis (2007) Para a confecção do tubo de silicone foi realizada uma mudança de escala das medidas obtidas, pelo fato da espessura real na parte inferior da aorta abdominal ser muito pequena. Isso faria com que um pequeno erro na confecção do tubo provocasse a inutilidade do molde e uma grande imperfeição.

61 Aparato utilizado na análise experimental Para realizar a análise experimental foram utilizados os equipamentos descritos abaixo: Um tubo de silicone, confeccionando no laboratório de Biomembranas da PUC - Rio com as geometrias parametrizadas da aorta humana. Um aparato metálico, com finalidade de prender o tubo de silicone e tracioná-lo quando necessário, apresentado na figura 3.3(b). Um vaso de pressão primário com um manômetro acoplado, apresentado na figura 3.3(a). Um vaso de pressão secundário com um sensor de pressão acoplado, apresentado na figura 3.3(b). Uma válvula de ligação entre o vaso primário e o vaso secundário, apresentado na figura 3.3(a). Um compressor de ar ligado ao vaso primário, apresentado na figura 3.3(a). Um sistema de aquisição de dados e sensor de pressão NATIONAL que realiza a medição instantânea da pressão interna do vaso secundário, que é a mesma no tubo de silicone usando o programa LABVIEW. Na figura 3.3 podemos observar os equipamentos descritos acima. (a) Figura Equipamentos utilizados na análise experimental (b)

62 Descrição do procedimento realizado na análise experimental Para a realização da análise experimental foram realizados os procedimentos listados abaixo, na ordem apresentada, e tem como objetivo obter a pressão critica: 1) Fixação do tubo de silicone no aparato metálico com o auxilio de braçadeiras plásticas. Existe uma abertura no aparato metálico, através da qual o tubo de silicone é ligado ao vaso secundário por meio de uma mangueira. 2) Aferição do comprimento entre as braçadeiras. 3) Retirada de todo o ar contido no interior do tubo de silicone. 4) O vaso primário contém apenas ar e o vaso secundário contêm ¾ de água e ¼ de ar. O vaso primário e o vaso secundário são ligados por uma válvula. 5) Pressurização do vaso primário, mantendo-se a válvula de ligação entre o vaso primário e o vaso secundário fechada, até a pressão de 0,08 MPa, que equivale a 600,06 mmhg; com o auxilio do pressurizador. 6) Realiza-se uma abertura controlada da válvula de ligação do vaso primário e do vaso secundário, aumentando-se assim a pressão no interior do vaso secundário e do tubo de silicone, que está cheio de água. 7) Através o sensor de pressão acoplado no vaso secundário e ligado ao sistema de aquisição de dados é realizado a leitura da pressão interna do vaso secundário. 8) O ensaio estende-se até ser alcançada a pressão crítica (pressão na qual se verifica a estabilização da mesma). Essa fase do ensaio é chamada de fase A. 9) Após a pressão crítica ser alcançada promove-se a despressurização do aparato. 10) O procedimento é repetido a partir do item 5 (utilizando-se a mesma artéria) até a determinação da nova pressão crítica. Essa fase do ensaio é chamada de B.

63 63 Para exemplificar a nomenclatura adotada toma-se como exemplo o ensaio 1. Realiza-se então todo o procedimento descrito anteriormente até o item 8, essa pressão será a pressão crítica do Ensaio 1A, a pressão encontrada no item 10 será a pressão do Ensaio 1B Escolha do material O material escolhido para a confecção dos moldes representativos da aorta foi o silicone, matéria prima que tem um manuseio relativamente simples e de fácil confecção. Para a determinação da concentração de catalisador a ser empregada na confecção dos tubos de silicone foram confeccionados corpos de prova com diferentes concentrações de catalisador. Os testes permitiram quantificar a mudança das características elásticas do silicone em função da quantidade de catalisador. Na figura 3.4 podemos observar os corpos de prova confeccionados. Figura Corpos de prova para determinação da concentração de catalisador Os corpos de prova apresentavam concentrações de 0,5%, 1%, 1,5%, 2% e 2,5%, de catalisador. Após realizarmos testes mecânico com os corpos de prova citados acima, optamos por empregar a concentração de 0,5% de catalisador, em relação à massa

64 64 de silicone empregada. Para concentrações menores que 0,5% o material tornouse muito flexível não sendo possível a visualização do bulbo na pressão crítica, em alguns casos a massa de silicone não solidificou. Para a experiência da formação dos aneurismas era importante utilizar um material que apresentasse elasticidade suficiente para que pudéssemos observar a formação dos bulbos, pois se o material fosse muito rígido, este se romperia antes que fosse observado o aneurisma, e se fosse muito flexível sofreria deformação como um todo e o bulbo do aneurisma não ficaria caracterizado Confecção do tubo de silicone O tubo de silicone foi confeccionado com o auxilio de um molde de gesso e um núcleo central de madeira onde a massa de silicone era despejada e permanecia por 48 horas, o silicone utilizado após a mistura com o catalisador e colocado em uma bomba de vácuo para retirada das bolhas de ar incorporadas a massa devido à mistura. O molde de gesso e o núcleo central de madeira apresentam seção variável ao longo de seu comprimento para simular a geometria arterial proposta por Simão da Silva e outros (1999). Na figura 3.5 podemos observar a mistura de silicone e catalisador passando pelo processo de retirada de bolhas de ar. Figura 3.5 Processo para retirada de bolhas da mistura

65 65 Na figura 3.6 podemos observar o molde de gesso e o núcleo central de madeira utilizados na confecção dos tubos de silicone. Figura 3.6 Imagem ilustrativa dos detalhes do molde de gesso utilizado na confecção do tubo de silicone Para centralização do núcleo central de madeira é colocada uma tampa. A imagem apresentada na figura 3.6 é meramente ilustrativa do ponto de vista da centralização do núcleo central de madeira Obtenção das propriedades do silicone Foram realizados testes de tração, no Instituto Tecnológico Laboratório de Ensaios Mecânicos (ITUC LEM). Com corpos de prova moldados com o mesmo material e no mesmo instante em que foram confeccionados os moldes das artérias a serem ensaiadas. Os corpos de prova eram ensaiados no mesmo dia em que se realizava o ensaio das artérias.

66 66 Os moldes das artérias e os corpos de prova eram ensaiados uma semana após serem confeccionados. Este intervalo de tempo foi rigorosamente obedecido, pelo fato das propriedades elásticas do material mudarem com o passar do tempo. Na figura 3.7 podemos observar o detalhe da garra utilizada no ensaio de tração. Figura Detalhe da garra utilizada no ensaio de tração do corpo de prova LEM. Na figura 3.8 podemos observar o ensaio de tração realizado no ITUC -

67 67 Figura Detalhe do ensaio de tração O ensaio de tração tem por objetivo determinar a relação tensãodeformação do material estudado. Esta relação é utilizada para se chegar as constantes elásticas dos funcionais de energia a serem modelados na análise numérica do material por meio do programa de elementos finitos ABAQUS.

68 Corpo de prova O corpo de prova utilizado no ensaio era confeccionado no interior de tubos de ensaio de vidro e apresentava geometria descrita abaixo: Comprimento: 12,5cm. Raio: 0,67cm. Os corpos de prova são confeccionados com o mesmo material utilizado da confecção de cada artéria. Na figura 3.9 estão representados dois corpos de prova e uma artéria. Figura Representação dos corpos de prova e da artéria Pré-condicionamento Antes de ser instalado no aparato metálico e de se realizar o teste de tração, o tubo de silicone e os corpos de prova foram submetidos a um précondicionamento. O pré-condicionamento consistia em tracionar o tubo de silicone em 30% de seu comprimento inicial em um único ciclo de 15 repetições. Somente após este procedimento realizavam-se os ensaios. Em tecidos biológicos o précondicionamento tem por objetivo realizar o alinhamento das fibras.

69 Resultados dos ensaios com tubos de silicone Foram realizados ensaios com diferentes níveis de alongamento nos tubo de silicone para que se observasse o comportamento da pressão crítica. O primeiro conjunto de ensaios apresenta a geometria obtida através de Simão da Silva e outros (1999). A geometria é descrita abaixo: Comprimento inicial: 40 cm. Raio superior externo: 1,9 cm. Raio superior interno: 1,4 cm. Raio inferior externo: 1,46 cm. Raio inferior interno: 1,18 cm. Esta geometria foi parametrizada a partir da geometria descrita no inicio do capitulo, isso foi necessário, pois a espessura na parte inferior é muito delgada. Mesmo após a parametrização a parte inferior apresenta ainda muitas imperfeições. Para uma melhor padronização do ensaio foi retirada uma porção da parte inferior, com isso o comprimento inicial reduziu-se para 36 cm. O segundo conjunto de ensaios apresenta a geometria obtida através do artigo de D. P. Sokolis, esta geometria será utilizada na análise numérica, e os resultados comparados com a geometria de Simão da Silva e outros Estudo da pressão Para o conjunto de ensaios anteriores foi realizado um estudo da variação da pressão interna da aorta ao longo de todo o ciclo de carga, isto é enchimento da artéria com liquido sob pressão. Para este estudo foram realizados dois ciclos de carga e descarga obtendo-se a pressão interna correspondente a cada volume de líquido inserido. Através dos gráficos podemos observar a variação da pressão (mmhg) em função do tempo (s) ou do volume inserido. Na realização da pressurização foi realizada um abertura controlada e padronizada para todos os ensaios. O estudo de

70 70 aferição da pressão interna ao longo do tempo tem como objetivo demonstrar à estabilização da pressão, sendo esta pressão estabilizada considerada a pressão crítica do ensaio experimental. Apesar de o bulbo formado continuar a crescer com o passar do tempo, a pressão permanece constante Estudo da variação volumétrica Para o conjunto de ensaios anteriores foi realizado um estudo da variação do volume interno da aorta ao longo de todo o ciclo de carga. Para este estudo foram realizados dois ciclos de carga e descarga aferindo-se o volume interno correspondente. 3 Através dos gráficos podemos observar a variação do volume ( cm ) em função da pressão interna (mmhg) Resultados experimentais Ensaio 1 No ensaio 1 o tubo de silicone não estava alongado. Para este conjunto de ensaio as pressões críticas encontradas foram: Ensaio 1 Pressão Crítica (mmhg) Ensaio 1A 108,8 Ensaio 1B 119,2 Tabela 3.1 Pressões críticas do ensaio 1 do ensaio. Na figura 3.10 podemos observar a seqüência de imagens obtidas ao longo

71 71 12, ,8 Figura 3.10 Seqüência de fotos ao longo do ensaio (pressões em mmhg)

72 72 Na figura 3.11 segue o gráfico tensão deformação obtido com os corpos de prova do ensaio 1 para a caracterização do material do ensaio 1. Ensaio Tensão (Pa) Deformação Ensaio 1 Figura 3.11 Gráfico de caracterização do ensaio 1 Na figura 3.12 podemos observar a variação da pressão interna (mmhg) ao longo do tempo para o ensaio 1, tempo este correspondente ao enchimento da artéria com líquido a uma velocidade constante. Após atingir certa pressão, que chamaremos de crítica, apesar do aumento do volume de líquido no interior da aorta não há acréscimo da pressão. Ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 1A Ensaio 1B Tempo (s) Figura 3.12 Variação da pressão do ensaio 1

73 73 3 Na figura 3.13 podemos observar a variação do volume interno ( cm ) em função da pressão para o ensaio 1. Avaliação do volume no ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 1A Ensaio 1B Volume Figura 3.13 Variação do volume do ensaio Ensaio 2 No ensaio 2 o tubo de silicone não estava alongado. Para este conjunto de ensaio as pressões críticas encontradas foram: Ensaio 2 Pressão Crítica (mmhg) Ensaio 2A 125,8 Ensaio 2B 116,5 Tabela 3.2 Pressões críticas do ensaio 2

74 74 Na figura 3.14 segue o gráfico tensão-deformação obtido com os corpos de prova do ensaio 2 para a caracterização do material do ensaio 2. Ensaio Tensão (Pa) Ensaio Deformação Figura 3.14 Gráfico de caracterização do ensaio 2 Na figura 3.15 podemos observar a variação da pressão interna (mmhg) ao longo do tempo para o ensaio 2. Ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 2A Ensaio 2B Tempo (s) Figura 3.15 Variação da pressão do ensaio 2

75 75 3 Na figura 3.16 podemos observar a variação do volume interno ( cm ) em função da pressão para o ensaio 2. O ensaio 2 não estava alongado. Avaliação do volume no ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 2A Ensaio 2B Volume Figura 3.16 Variação do volume do ensaio Ensaio 3 inicial. No ensaio 3 o tubo de silicone estava alongado de 10% de seu comprimento Para este conjunto de ensaio as pressões críticas encontradas foram: Ensaio 3 Pressão Crítica (mmhg) Ensaio 3A 109,8 Ensaio 3B 107,5 Tabela 3.3 Pressões críticas do ensaio 3 do ensaio. Na figura 3.13 podemos observar a seqüência de imagens obtidas ao longo

76 76 13, ,5 Figura 3.17 Seqüência de fotos ao longo do ensaio (pressões em mmhg)

77 77 Na figura 3.18 segue o gráfico tensão-deformação obtido com os corpos de prova do ensaio 3 para a caracterização do material do ensaio 3. Ensaio Tensão (Pa) Ensaio Deformação Figura 3.18 Gráfico de caracterização do ensaio 3 Na figura 3.19 podemos observar a variação da pressão interna (mmhg) ao longo do tempo para o ensaio 3. O ensaio 3 estava alongado de 10% de seu comprimento inicial. Ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 3A Ensaio 3B Tempo (s) Figura 3.19 Variação da pressão do ensaio 3

78 78 3 Ma figura 3.20 podemos observar a variação do volume interno ( cm ) em função da pressão para o ensaio 3. O ensaio 3 estava alongado de 10% de seu comprimento inicial. Avaliação do volume no ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 3A Ensaio 3B Volume Figura 3.20 Variação do volume do ensaio Ensaio 4 inicial. No ensaio 4 o tubo de silicone estava alongado de 10% de seu comprimento Para este conjunto de ensaio as pressões críticas encontradas foram: Ensaio 4 Pressão Crítica (mmhg) Ensaio 4A 109,7 Ensaio 4B 116,7 Tabela 3.4 Pressões críticas do ensaio 4

79 79 Na figura 3.21 segue o gráfico tensão-deformação obtido com os corpos de prova do ensaio 4 para a caracterização do material do ensaio 4. Ensaio Tensão (Pa) Deformação Ensaio 4 Figura 3.21 Gráfico de caracterização do ensaio 4 Na figura 3.22 podemos observar a variação da pressão interna (mmhg) em função da pressão para o ensaio 4. O ensaio 4 estava alongado de 10% de seu comprimento inicial. Ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 4A Ensaio 4B Tempo (s) Figura 3.22 Variação da pressão do ensaio 4

80 80 3 Na figura 3.23 podemos observar a variação do volume interno ( cm ) ao longo do tempo para o ensaio 4. O ensaio 4 estava alongado de 10% de seu comprimento inicial. Avaliação do volume no ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 4A Ensaio 4B Volume Figura 3.23 Variação do volume do ensaio Ensaio 5 inicial. No ensaio 5 o tubo de silicone estava alongado de 20% de seu comprimento Para este conjunto de ensaio as pressões críticas encontradas foram: Ensaio 5 Pressão Crítica (mmhg) Ensaio 5A 98,6 Ensaio 5B 97,7 Tabela 3.5 Pressões críticas do ensaio 5 do ensaio. Na figura 3.24 podemos observar a seqüência de imagens obtidas ao longo

81 ,7 Figura 3.24 Seqüência de fotos ao longo do ensaio (pressões em mmhg)

82 82 Na figura 3.25 segue o gráfico tensão-deformação obtido com os corpos de prova do ensaio 5 para a caracterização do material do ensaio 5. Ensaio Tensão (Pa) Deformação Ensaio 5 Figura 3.25 Gráfico de caracterização do ensaio 5 Na figura 3.26 podemos observar a variação da pressão interna (mmhg) ao longo do tempo para o ensaio 5. O ensaio 5 estava alongado de 20% de seu comprimento inicial. Ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 5A Ensaio 5B Tempo (s) Figura 3.26 Variação da pressão do ensaio 5

83 83 3 Na figura 3.27 podemos observar a variação do volume interno ( cm ) em função da pressão para o ensaio 5. O ensaio 5 estava alongado de 20% de seu comprimento inicial. Avaliação do volume no ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 5A Ensaio 5B Volume Figura 3.27 Variação do volume do ensaio Ensaio 6 inicial. No ensaio 6 o tubo de silicone estava alongado de 20% de seu comprimento Para este conjunto de ensaio as pressões críticas encontradas foram: Ensaio 6 Pressão Crítica (mmhg) Ensaio 6A 90,5 Ensaio 6B 95,9 Tabela 3.6 Pressões críticas do ensaio 6

84 84 Na figura 3.28 segue o gráfico tensão deformação obtido com os corpos de prova do ensaio 4 para a caracterização do material do ensaio 6. Ensaio Tensão (Pa) Deformação Ensaio 6 Figura 3.28 Gráfico de caracterização do ensaio 6 Na figura 3.29 podemos observar a variação da pressão interna (mmhg) ao longo do tempo para o ensaio 6. O ensaio 6 estava alongado de 20% de seu comprimento inicial. Ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 6A Ensaio 6B Tempo (s) Figura 3.29 Variação da pressão do ensaio 6

85 85 3 Na figura 3.30 podemos observar a variação do volume interno ( cm ) em função da pressão para o ensaio 6. O ensaio 6 estava tracionado de 20% de seu comprimento inicial. Avaliação do volume no ensaio Pressão (mmhg) Ensaio 6A Ensaio 6B Volume Figura 3.30 Variação do volume do ensaio Padronização das pressões críticas Para a caracterização das pressões obtidas nos ensaios anteriores adotou-se a pressão média dos ensaios como a pressão de referencia para os diferentes níveis de alongamentos adotados. Na tabela 3.7 podemos observar as pressões de referências obtidas. Nível de alongamento Pressão de referencia (mmhg) Sem alongamento 117,6 Alongamento de 10% do comprimento 110,9 Alongamento de 20% do comprimento 95,7 Tabela 3.7 Pressões de referências

86 86 Na figura 3.31 segue a representação gráfica dos dados apresentados na tabela anterior. Análise da variação da pressão 120 Pressão (mmhg) Pressões Alongamento (%) Figura 3.31 Análise da variação da pressão Pela análise do gráfico anterior percebemos uma variação não linear com o incremento no nível de alongamento do tubo de silicone Padronização da análise do volume Para a caracterização dos volumes obtidos nos ensaios anteriores adotou-se o volume médio dos ensaios como o volume de referencia para os diferentes níveis de alongamento adotados. Na tabela 3.8 podemos observar os volumes de referência obtidos. Nível de alongamento 3 Volume ( cm ) Sem alongamento 615 Alongamento de 10% do comprimento 619 Alongamento de 20% do comprimento 543 Tabela 3.8 Volumes de referência Podemos observar pela análise da tabela 3.8 que com o incremento de 10% de alongamento no comprimento inicial a variação do volume interno não foi

87 87 perceptível, sendo notada apenas quando foi aplicado um alongamento de 20% do comprimento inicial. Podemos observar na figura 3.32 que o bulbo não sofre grande alteração de formato com 10% de alongamento em relação à estrutura sem alongamento e também que com um alongamento de 20% o bulbo torna-se menor e a flambagem do material não é tão acentuada devido ao maior alongamento provocado por uma tração maior. Sem alongamento Alongamento de 10% Alongamento de 20% Figura 3.32 Análise da variação do volume Repetibilidade do ensaio Um dos experimentos realizados apresentou um erro no procedimento de confecção do tubo de silicone. Este erro provocou um aumento da elasticidade do material. No momento do procedimento de pressurização verificamos que o ensaio não se mostrou repetível. Na primeira pressurização do material encontramos a

88 88 pressão crítica de 74,9 mmhg, e nas segunda pressurização a pressão crítica foi de 52,2 mmhg. Na figura 3.33 podemos observar a que o gráfico de caracterização do material torna-se muito elástico, diferindo em muito dos ensaios anteriores. Ensaio , , ,00 Tensão (Pa) , ,00 Ensaio ,00 0,00 0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 Deformação Figura 3.33 Gráfico de caracterização do ensaio Causas da variação da pressão crítica A variação observada na pressão crítica dos ensaios anteriores deve-se basicamente a dois fatores, a saber: 1) Pequenas diferenças, porém muito importantes, nas propriedades mecânicas dos materiais confeccionados. Diferenças essas que podem ser observadas no gráfico tensão-deformação plotado para todos os espécimes ensaiados. 2) Devido ao processo de fabricação da artéria, a mesma apresentava em alguns casos uma imperfeição inicial. Devido ao posicionamento do molde, às vezes a artéria apresentava uma porção da parede mais fina do

89 89 que o lado oposto, influenciando assim no valor da pressão crítica. Podemos observar essas imperfeições na figura (1) (2) (3) (1) Grande imperfeição (2) Média imperfeição (3) Pequena imperfeição Figura 3.34 Imperfeições Quando traçarmos uma linha de tendência com todos os dados obtidos dos ensaios de tensão-deformação será possível analisar numericamente a influência do alongamento na variação da pressão.

90 4 Análise numérica Para a investigação numérica foram consideradas a mesma geometria e as mesmas propriedades dos tubos cilíndricos de silicone dos ensaios experimentais. A análise numérica foi realizada por meio do programa de elementos finitos ABAQUS (6.8.1), no qual foram utilizados elementos de casca e elementos sólidos. Na análise numérica, também serão realizados estudos de imperfeições impostas à estrutura original. 4.1 Descrição da análise numérica A geometria utilizada na análise experimental foi reproduzida computacionalmente. Após esta etapa inicial seguiram-se as etapas descritas abaixo: Atribuição das propriedades elásticas do silicone ao modelo numérico por meio da escolha de um funcional de energia; Escolha do tipo de elemento a ser empregado; Estudo de convergência dos resultados em função da malha selecionada; Na análise da tensão, foi adotada a tensão principal máxima no instante da pressão crítica; a tensão mantida nas imagens das configurações deformadas é a tensão na configuração deformada final, não sendo esta a mesma da pressão crítica; para não causar confusão foi mantida nestas imagens a tensão de V. Mises. Os carregamentos envolvidos na análise numérica são os mesmos envolvidos na análise experimental, e são descritos abaixo: Alongamento aplicado a geometria computacional, por meio de um deslocamento imposto;

91 91 Aplicação da pressão hidrostática na parede do tubo (representação da ação do sangue humano); Aplicação da pressão por meio de incrementos crescentes, utilizando-se o método de Riks, onde podemos então avaliar o valor da pressão crítica (máxima pressão suportada pela estrutura em estudo). 4.2 Formulação dos funcionais de energia Com os dados dos ensaios de tensão-deformação dos corpos de prova de silicone realizados no Instituto Tecnológico (ITUC) foi possível caracterizar o silicone utilizado na análise experimental. Para a realização da análise numérica tornou-se necessário a escolha de um funcional de energia que reproduzisse os dados obtidos experimentalmente. A formulação matemática dos funcionais de energia disponíveis na biblioteca do programa de elementos finitos ABAQUS, e que foram testadas para caracterizar o silicone estão descritas abaixo: Arruda-Boyce: U = µ ( I1 3) + ( I1 9) + ( I1 27) + ( I λm 1050λm 7000λm ) ( I λ m (4.1) Onde µ e λ m são parâmetros materiais dependentes da temperatura; I 1 é o primeiro invariante de deformação, definido como: = λ 1 + λ2 + λ3 I (4.2) Mooney-Rivlin: ( I ) + C ( 3) U = C I (4.3) Onde I 1 e I 2 são o primeiro e o segundo invariantes de deformação, respectivamente definidos como:

92 = λ 1 + λ2 + λ3 I (4.4) 2 ( 2) 1 ( 2) 2 ( 2) 3 I = λ + λ + λ (4.5) I = 1 (4.6) 3 Neo Hooke: ( 3) U = C I (4.7) 10 1 Ogden: U = N i= 1 αi αi i ( λ + λ + λ ) 2µ i α αi (4.8) Polinomial: U = N i+ j= 1 C ij i i ( I ) ( I ) 3 (4.9) Polinomial reduzido: U = N i= 1 i ( ) C i 0 I1 3 (4.10) Van der Waals: 3 ~ ( )[ ( ) ] I 3 U = µ λ + m 3 ln 1 η η a (4.11) 3 2 Onde: ~ ( 1 β ) I1 + βi 2 I = (4.12) ~ I 3 η = (4.13) 2 λ 3 m

93 93 Yeoh: 2 ( I 3) + C ( I 3) + C ( ) 3 U = C I (4.14) Escolha do funcional de energia Com os dados dos ensaios de tração realizados no ITUC fez-se uma aproximação, por meio de uma linha de tendência, para que pudéssemos caracterizar o silicone utilizado na análise experimental. Na figura 4.1 podemos observar a reunião de todos os dados experimentais e a equação escolhida que descreve o comportamento do material estudado. Linha de Tendência y = x x Tensão (Pa) Linha de Tendência Polinômio (Linha de Tendência) Deformação Figura 4.1 Caracterização numérica do material estudado A equação que descreve o comportamento elástico do silicone utilizado na análise experimental é descrita abaixo: σ = 33524ε ε Para a caracterização do material em termos do funcional de energia foi adotado o intervalo para a deformação (ε ) variável entre 0,2 e 4.

94 94 Os dados de tensão-deformação obtidos através da linha de tendência foram utilizados na escolha do funcional de energia adotado para a seqüência da análise numérica. A escolha do funcional de energia independe do tipo de elemento adotado para a análise e também do refinamento da malha. Após selecionarmos o funcional de energia desejado o programa ABAQUS apresenta a aproximação tensão-deformação que o funcional de energia escolhido simula para os dados de entrada (experimentais) fornecidos. Na figura 4.2 apresentamos as aproximações obtidas para o estudo dos diferentes casos de funcionais de energia Tensão (Pa) Experimental Arruda-Boyce Mooney-Rivlin Neo Hooke Ogden 1 Ogden 2 Ogden 3 Reduced Polynomial Van der Waals Deformação Figura 4.2 Aproximação dos funcionais de energia Verificamos que para os funcionais de energia Mooney-Rivilin, Ogden 2 e Ogden 3, Reduced Polynomial e Van der Waals, o material torna-se instável, apresentando deformações excessivamente grandes para estes funcionais de energia. Na Figura 4.3 apresentamos a aproximação obtida para os funcionais de energia para os quais o material tornasse estável.

95 Tensão (Pa) Experimental Arruda-Boyce Neo Hooke Ogden Deformação Figura 4.3 Aproximação dos funcionais de energia estáveis Dentre as possibilidades possíveis de análise (Arruda-Boyce, Neo Hooke e Ogden 1), optamos pela escolha do funcional de energia Ogden 1 e Neo Hooke. Para o funcional de energia de Ogden 1, as constantes elásticas obtidas são apresentadas na tabela 4.1, com valores em kpa. µ 1 (kpa) α 1 84,43 2,446 Tabela 4.1 Valores da constante elástica de Ogden 1 Para o funcional de energia Neo Hooke, as constantes elásticas obtidas são apresentadas na tabela 4.2, com valores em kpa. C 10 (kpa) C 01 54,83 0 Tabela 4.2 Valores da constante elástica de Neo Hooke Para o funcional de energia Arruda-Boyce, as constantes elásticas obtidas são apresentadas na tabela 4.3, com valores em kpa.

96 96 µ (kpa) µ 0 λ M 96, ,97 4,396 Tabela 4.3 Valores da constante elástica de Arruda-Boyce 4.4. Definição da geometria A geometria adotada na análise numérica reproduz a geometria adotada na análise experimental. E tem suas propriedades geométricas descritas abaixo: Comprimento inicial: 36 cm. Raio superior externo: 1,9 cm. Raio superior interno: 1,4 cm. Raio inferior externo: 1,46 cm. Raio inferior interno: 1,18 cm. Para a análise numérica foram adotados dois tipos de elementos. O elemento de casca e o elemento de sólido Elemento de casca O elemento de casca adotado para a realização da análise numérica foi o S4R. Abaixo podemos observar a descrição do elemento: S Shell (casca) 4 Quadrilateral (presença de 4 nós por elemento) R Reduced (integração reduzida) O Abaqus não permite variação de espessura ao longo do seu comprimento para elementos de casca, e como a espessura é variável ao longo do comprimento do tubo de silicone (representativo da aorta humana) fez-se necessário a adoção de uma pequena simplificação. O tubo de silicone foi dividido em vários segmentos

97 97 ao longo de seu comprimento, e para cada trecho foi adotado a valor da espessura média correspondente. Na figura 4.4 podemos observar esquematicamente como ocorre a variação da espessura ao longo do comprimento do tubo de silicone para o elemento de casca. Figura 4.4 Representação esquemática da variação da espessura ao longo do comprimento para o elemento de casca Elemento de sólido O elemento de sólido adotado para a realização da análise numérica foi o C3D10. Abaixo podemos observar a descrição do elemento: C Solid (sólido) 3D Three-Dimensional (tridimensional) node (10 nós) Com o elemento sólido é possível a construção da geometria interna e externa. Por meio de uma superposição da geometria interna e externa e recortando-se a geometria interna da externa simulamos com exatidão a geometria experimental.

98 98 Na figura 4.5 podemos observar esquematicamente como ocorre a variação da espessura ao longo do comprimento do tubo de silicone para o elemento de sólido. Figura 4.5 Representação esquemática da variação da espessura ao longo do comprimento para o elemento sólido 4.5. Análise de convergência Após a definição do funcional de energia a ser empregado na análise numérica, fez-se necessário um estudo de convergência da malha a ser empregada em cada tipo de análise Análise de convergência de elemento de casca Adotando-se a geometria construída com elementos de casca e mantendo-se o tubo sem ser alongado, foram realizadas sucessivas análises aumentando-se gradativamente o refinamento da malha até o ponto em que se verificou a estabilização da pressão crítica.

99 99 Na figura 4.6 podemos observar a variação da pressão, até sua estabilização, em função do refinamento da malha proposta para o funcional de energia Ogden 1. Análise de convergência do elemento de casca Pressão (mmhg) Elemento de casca Número de elementos Figura 4.6 Gráfico demonstrativo da análise de convergência do elemento de casca para o funcional Ogden 1 Foi adotada para a análise numérica a malha contendo 1617 elementos de casca para a análise numérica. Na figura 4.7 apresentamos as malhas testadas na análise de convergência para o elemento de casca com seus respectivos números de elementos.

100 Figura 4.7 Malhas testadas para o elemento de casca Na figura 4.8 podemos observar a variação da pressão, até sua estabilização, em função do refinamento da malha proposta para o funcional de energia Neo Hooke. Analise de convergência do elemento de casca Pressão (mmhg) Neo Hooke Número de elementos Figura 4.8 Gráfico demonstrativo da análise de convergência do elemento de casca para o funcional Neo Hooke

101 101 numérica. Foi adotada a malha contendo 1330 elementos de casca para a análise Análise de convergência de elemento sólido Adotando-se a geometria construída com elementos sólidos e mantendo-se o tubo com alongamento de 10% de seu comprimento inicial, foram realizadas sucessivas análises aumentando-se gradativamente o refinamento da malha até o ponto em que se verificou a estabilização da pressão crítica. Na figura 4.9 podemos observar a variação da pressão, até sua estabilização, em função do refinamento da malha proposta para o funcional de energia Ogden 1. Análise de convergência dos elementos sólidos Pressão (mmhg) Elementos sólidos Número de elementos Figura 4.9 Gráfico demonstrativo da análise de convergência dos elementos sólidos para o funcional Ogden 1 Foi adotada a malha contendo 4094 elementos de sólidos para a análise numérica. Na figura 4.10 apresentamos as malhas testadas na análise de convergência para o elemento sólido com seus respectivos números de elementos.

102 Figura 4.10 Malhas testadas para o elemento sólido Na figura 4.11 podemos observar a variação da pressão, até sua estabilização, em função do refinamento da malha proposta para o funcional de energia Neo Hooke. Análise da convergencia do elemento sólido Pressão (mmhg) Neo Hooke Número de elementos Figura 4.11 Gráfico demonstrativo da análise de convergência dos elementos sólidos para o funcional Neo Hooke

103 103 Foi adotada a malha contendo 3951 elementos de sólidos para a análise numérica. Apesar de termos verificado a convergência da pressão crítica para a análise anterior, quando foi realizada a análise da tensão máxima trativa principal, verificou-se que a mesma não havia convergido. Para tanto fez-se necessário um maior refinamento da malha de elementos sólidos. Para que se verificasse a convergência das tensões foi necessário refinarmos a malha até que a mesma apresentasse o valor de elementos. Na figura 4.12 podemos observar a malha contendo elementos utilizados na análise da estrutura quando constituída de elementos sólidos. Figura 4.12 Malha adotada para a análise com elementos sólidos Como podemos observar na figura anterior, o excesso de elementos inviabiliza uma boa visualização da malha utilizada Análise da pressão crítica Após as etapas de escolhas dos elementos a serem adotados, do funcional de energia e da análise de convergência, temos em mãos os elementos necessários

104 104 para realizarmos as investigações numéricas da variação da pressão em função do nível de alongamento aplicado ao tubo de silicone para assim compararmos os resultados numéricos e experimentais. Poderemos também dar inicio a investigações numéricas envolvendo imperfeições iniciais e também a adoção de funcionais de energias propostos por outros pesquisadores. A análise numérica da pressão critica será subdividida em três seções a saber: Análise da pressão critica utilizando-se elementos de casca; Análise da pressão critica utilizando-se elementos sólidos; Análise da pressão crítica com introdução de imperfeições Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Ogden Sem alongamento Para a análise do tubo de silicone com elementos de casca e sem alongamento a pressão crítica encontrada foi de 136,56 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 275,9 kpa. Na figura 4.13 podemos observar as configurações indeformada e deformada sem alongamento. Figura 4.13 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento

105 Alongamento de 10% Para a análise do tubo de silicone com elementos de casca e alongamento de 10% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 130,33 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 302,4 kpa. Na figura 4.14 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 10%. Figura 4.14 Configuração indeformação e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10% Alongamento de 20% Para a análise do tubo de silicone com elementos de casca e alongamento de 20% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 111,14 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 440,6 kpa. Na figura 4.15 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 20%.

106 106 Figura 4.15 Configuração indeformação e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% Comparação dos elementos de casca Pelos resultados acima podemos observar que como no ensaio experimental o valor da pressão crítica diminui com o aumento do alongamento aplicado ao tubo de silicone, a figura 4.16 mostra essa variação. Análise da pressão dos elementos de casca com Ogden Pressão crítica (mmhg) Elementos de casca Alongamento (%) Figura 4.16 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial)

107 107 Na figura 4.17 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal atuante na estrutura, para elementos de casca, no instante em que se verifica a pressão crítica. Variação da tensão máxima com Ogden Tensão (KPa) Elemento de casca Alongamento (%) Figura 4.17 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento de casca Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Neo Hooke Sem alongamento Para a análise do tubo de silicone com elementos de casca e sem alongamento a pressão crítica encontrada foi de 166,66 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 255,3 kpa. Na figura 4.18 podemos observar as configurações indeformada e deformada sem alongamento.

108 108 Figura 4.18 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento Alongamento de 10% Para a análise do tubo de silicone com elementos de casca e alongamento de 10% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 148,41 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 355,1 kpa. Na figura 4.19 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 10%. Figura 4.19 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10%

109 Alongamento de 20% Para a análise do tubo de silicone com elementos de casca e alongamento de 20% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 134,48 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 380,90 kpa. Na figura 4.20 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 20%. Figura 4.20 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% Comparação dos elementos de casca Pelos resultados acima podemos observar que como no ensaio experimental o valor da pressão crítica diminui com o aumento do alongamento aplicado ao tubo de silicone, a figura 4.21 mostra essa variação.

110 110 Análise da pressão dos elementos de casca com Neo Hooke Pressão crítica (mmhg) Alongamento (%) Elemento de casca Figura 4.21 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) Na figura 4.22 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal atuante na estrutura, para elementos de casca, no instante em que se verifica a pressão crítica. Variação da tensão máxima com Neo Hooke Tensão (KPa) Alongamento (%) Elementos de casca Figura 4.22 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento de casca

111 Análise da pressão crítica com elementos sólidos e funcional de energia Ogden Sem alongamento Para a análise do tubo de silicone com elementos sólidos e sem alongamento a pressão crítica encontrada foi de 122,14 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 312,4 kpa. Na figura 4.23 podemos observar as configurações indeformada e deformada sem alongamento. Figura 4.23 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento Alongamento de 10% Para a análise do tubo de silicone com elementos sólidos e alongamento de 10% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 116,60 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 369,5 kpa. Na figura 4.24 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 10%.

112 112 Figura 4.24 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10% Alongamento de 20% Para a análise do tubo de silicone com elementos sólidos e alongamento de 20% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 103,87 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 536,2 kpa. Na figura 4.25 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 20%.

113 113 Figura 4.25 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% Comparação dos elementos sólidos Pelos resultados acima podemos observar que como no ensaio experimental o valor da pressão crítica diminui com o aumento do alongamento aplicado ao tubo de silicone, a figura 4.26 mostra essa variação. Análise da pressão dos elementos sólidos com Ogden Pressão crítica (mmhg) Elementos sólidos Alongamento (%) Figura 4.26 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial)

114 114 Na figura 4.27 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal atuante na estrutura, para elementos sólidos, no instante em que se verifica a pressão crítica. Variação da tensão máxima com Ogden Tensão (KPa) Elementos sólidos Alongamento (%) Figura 4.27 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento sólido Análise da pressão crítica com elementos sólidos e funcional de energia Neo Hooke Sem alongamento Para a análise do tubo de silicone com elementos sólidos e sem alongamento a pressão crítica encontrada foi de 150,83 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 359,9 kpa. Na figura 4.28 podemos observar as configurações indeformada e deformada sem alongamento.

115 115 Figura 4.28 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone sem alongamento Alongamento de 10% Para a análise do tubo de silicone com elementos sólidos e alongamento de 10% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 142,08 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 401,4 kpa. Na figura 4.29 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 10%. Figura 4.29 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 10%

116 Alongamento de 20% Para a análise do tubo de silicone com elementos sólidos e alongamento de 20% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 128,06 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 602,9 kpa. Na figura 4.30 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 20%. Figura 4.30 Configuração indeformada e deformada para o tubo de silicone com alongamento de 20% Comparação dos elementos sólidos Pelos resultados acima podemos observar que como no ensaio experimental o valor da pressão crítica diminui com o aumento do alongamento aplicado ao tubo de silicone, a figura 4.31 mostra essa variação.

117 117 Análise da pressão dos elementos sólidos com Neo Hooke 155 Pressão crítica (mmhg) Elementos sólidos Alongamento (%) Figura 4.31 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) Na figura 4.32 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal atuante na estrutura, para elementos sólidos, no instante em que se verifica a pressão crítica. Variação da tensão máxim a com Neo Hooke Teansão (KPa) Alongamento (%) Elementos sólidos Figura 4.32 Variação da tensão máxima trativa principal para o elemento sólido

118 Comparação dos elementos de casca e sólidos Após realizarmos as análises utilizando elementos de casca e elementos sólidos para modelar o tubo de silicone da análise experimental, podemos observar que ocorrem variações tanto na pressão quanto na tensão em função do tipo de funcional e do tipo de elemento a ser empregado na análise. A figura 4.33 mostra a comparação entre as pressões obtidas para elementos de casca. Análise comparativa para o elemento de casca Pressão crítica (mmhg) Ogden 1 Neo Hooke Alongamento (%) Figura 4.33 Comparação da variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) para elementos de casca A figura 4.34 mostra a comparação entre as pressões obtidas para elementos sólidos.

119 119 Análise comparativa para o elemennto sólido 160 Pressão crítica (mmhg) Ogden 1 Neo Hooke Alongamento (%) Figura 4.34 Comparação da variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial) para elementos sólidos de casca. A figura 4.35 mostra a comparação entre as tensões obtidas para elementos Comparação entre os funcionais de energia para elementos de casca Tensaão (KPa) Ogden 1 Neo Hooke Alongamento (%) Figura 4.35 Comparação da variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento (% do comprimento inicial) para os elementos de casca.

120 120 A figura 4.36 mostra a comparação entre as tensões obtidas para elementos sólidos. Compararação entre os funcionais de energia para elementos sólidos tensão (KPa) Ogden 1 Neo Hooke Alongamento (%) Figura 4.36 Comparação da variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento (% do comprimento inicial) para os elementos sólidos Estudo das imperfeições impostas Com o objetivo de se estudar o comportamento do material sob condições iniciais de geometria alterada, foi realizado dois estudos de imperfeições. No primeiro caso realizou-se o estudo com elementos de casca do tipo S4R e no segundo caso com elementos sólidos do tipo C3D10. Primeiro foi realizado um estudo com elementos de casca no qual foi criada uma imperfeição de forma circular (em formato de anel) na qual a espessura foi gradualmente diminuída e mantida a mesma constante elástica. Para essa análise foram feitos dois estudos, um onde a imperfeição estava localizada na parte inferior e outro na parte superior. Neste estudo a casca permanece axissimétrica. Na figura 4.37 podemos observar esquematicamente a imperfeição em formato de anel.

121 121 Figura 4.37 Esquema da imperfeição em formato de anel Também utilizando-se elementos de casca foi realizado um estudo onde a imperfeição foi localizada na parte inferior. Neste estudo o tamanho da imperfeição foi diminuído gradualmente e sua espessura também, para este caso de estudo a casca tornou-se assimétrica. Na figura 4.38 podemos observar esquematicamente a imperfeição localizada em formato de semi-anel. (a) (b) A A (c) (d) Figura 4.38 (a), (b) e (c) Esquema da imperfeição em formato de semi-anel e (d) formato da área da seção transversal no corte AA

122 122 Posteriormente foi realizado um estudo com elementos sólidos no qual foram introduzidas excentricidades crescentes para a posição do centro do circulo que define a parede interior da aorta. A figura 4.39 apresenta a seção transversal da casca onde podemos observar como os centros dos círculos que definem a parede interior e exterior da aorta não são concêntricos. Figura 4.39 Seção transversal da casca com círculos não concêntricos e excentricidade e Também com elementos sólidos e excentricidade crescente, foi realizado um estudo para a simulação da Síndrome de Marfan (perda das propriedades elásticas), no qual se utilizou o funcional de energia Neo Hooke por apresentar apenas uma constante elástica como apresentado na tabela 4.2, e assim ser possível introduzir uma variação linear da constante para analisarmos o comportamento da pressão crítica. Para este estudo sempre foi adotado um alongamento de 10% do comprimento inicial. A constante elástica foi reduzida e foram analisados os casos onde estas eram de 54,83 kpa (modelo perfeito), 50 kpa, 40 kpa, 30 kpa, 20 kpa e 10 kpa. O motivo da escolha do elemento de casca no primeiro estudo foi o ganho computacional, pois o elemento de casca apresenta uma análise numérica muito mais rápida que o elemento sólido, fazendo com que a análise seja muito mais rápida. Este estudo também poderia ser feito com elementos sólidos. No segundo caso foram escolhidos elementos sólidos pela impossibilidade de criar essa geometria com elementos de casca.

123 Análise da pressão crítica para imperfeição anelar inferior Com o objetivo de avaliar a variação da pressão crítica e da configuração deformada do material, realizou-se uma diminuição linear da espessura da parede arterial na região onde o bulbo se formava no modelo perfeito. No primeiro estudo das imperfeições impostas foi utilizado o modelo com elementos de casca S4R, 1617 elementos e 10% de alongamento do comprimento inicial e funcional de energia Ogden 1 (as constantes estão descritas na tabela 4.1). Para este estudo foi criada uma região circular, anelar, de 5 cm de altura onde variou-se a espessura. Esta região esta localizada a 6 cm da base da casca. A espessura deste anel, no modelo perfeito apresentava uma espessura média de 3,5 mm. A espessura foi reduzida progressivamente para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm. Provocando diminuição na pressão crítica que a estrutura suportava. O resultado pode ser observado na tabela 4.4. Espessura do anel (mm) Pressão crítica (mmhg) 3,5 (perfeito) 130,33 3,0 110,79 2,5 92,76 2,0 74,40 1,5 58,35 Tabela 4.4 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar inferior A figura 4.40 faz uma representação gráfica da tabela 4.4, onde podemos perceber que a variação da pressão crítica com a diminuição da espessura do anel se comporta praticamente de forma linear.

124 Pressão (mmhg) Modelo perfeito ,5 2 2,5 3 3,5 4 Espessura (mm) Figura 4.40 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar inferior e valor da pressão crítica no modelo perfeito Na figura 4.41 podemos observar: (a) a posição da imperfeição anelar inferior, (b) a configuração deformada do modelo perfeito com espessura da região anelar de 3,5 mm e (c), (d), (e) e (f) as configurações deformadas para cada um dos casos estudados onde as espessuras da região anelar foram reduzidas para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm. 5 cm 6 cm (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 4.41 (a) posição da imperfeição e (b), (c), (d), (e) e (f) configurações deformadas para 3,5 mm (modelo perfeito), 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm

125 125 Podemos observar que quando o anel apresentava espessura de 3,0 mm, figura 4.39 (c), o bulbo formado ficou com um formato mais alongado, este fato se explica pelo fato da seção abaixo ter uma espessura de 3,1 mm, ficando assim um longo trecho com uma espessura muito similar. Podemos observar também que com a redução da espessura da parede arterial o bulbo concentra-se na região do anel onde a imperfeição foi imposta, alcançando deu ponto máximo na figura 4.41 (f). Observa-se também que no caso em que o anel apresentava espessura de 1,5 mm, figura 4.41 (f), ocorreu uma pequena flambagem lateral da casca que representa a aorta. Na tabela 4.5 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar. Espessura do anel (mm) Tensão máxima (kpa) 3,5 (perfeito) 302,4 3,0 416,2 2,5 359,3 2,0 447,6 1,5 770,2 Tabela 4.5 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar A figura 4.42 faz uma representação gráfica da tabela 4.5. Tensão (KPa) ,5 2 2,5 3 3,5 4 Espessura (mm) Modelo perfeito Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito

126 126 Podemos observar que à medida que a espessura da região anelar diminui a tensão máxima trativa principal aumenta Análise da pressão crítica para imperfeição anelar superior Com o objetivo de avaliar a variação da pressão crítica e da configuração deformada do material, realizou-se uma diminuição linear da espessura da parede arterial na região superior da casca que representa a aorta. No segundo estudo das imperfeições impostas foi utilizado o modelo com elementos de casca S4R, 1617 elementos e 10% de alongamento do comprimento inicial. Para este estudo foi criada uma região circular, anelar, de 5 cm de altura onde variou-se a espessura. Esta região esta localizada a 21 cm da base da casca. A espessura deste anel, no modelo perfeito apresentava uma espessura média de 4,3 mm. A espessura foi reduzida progressivamente para 4,0 mm, 3,5 mm, 3,0 mm e 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm. Provocando diminuição na pressão crítica que a estrutura suportava. O resultado pode ser observado na tabela 4.6. Espessura do anel (mm) Pressão crítica (mmhg) 4,3 (perfeito) 130,33 4,0 130,33 3,5 122,86 3,0 104,03 2,5 86,76 2,0 69,64 1,5 54,59 Tabela 4.6 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar superior

127 127 A figura 4.43 faz uma representação gráfica da tabela Pressão (mmhg) Modelo perfeito Espessura (mm) Figura 4.43 Pressão crítica em função da diminuição da espessura da região anelar superior e valor da pressão crítica no modelo perfeito Na figura 4.44 podemos observar: (a) a posição da imperfeição anelar superior, (b) a configuração deformada do modelo perfeito com espessura da região anelar de 4,3 mm e (c), (d), (e), (f), (g) e (h) as configurações deformadas para cada um dos casos estudados onde as espessuras da região anelar foram reduzidas para 4,0 mm, 3,5 mm, 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm.

128 128 5 cm 26 cm (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figura 4.44 (a) posição da imperfeição e (b), (c), (d), (e), (f), (g) e (h) configurações deformadas para 4,3 mm (modelo perfeito), 4,0 mm, 3,5 mm, 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm e 1,5 mm. Podemos observar que após a redução da espessura para 4,0 mm, figura 4.44 (c), o bulbo continua se formando na parte inferior e a pressão crítica permanece a mesma. Quando a espessura é reduzida para 3,5 mm, figura 4.44 (d) o bulbo passa a se formar na parte superior, gerando assim diminuição na pressão crítica.

129 129 Observamos pelo gráfico da figura 4.43 que para espessuras inferiores a 3,5 mm a variação da pressão crítica se da praticamente de forma linear e o bulbo passa a se formar no local onde a imperfeição foi imposta. Na tabela 4.7 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar. Espessura do anel (mm) Tensão máxima (kpa) 4,3 (perfeito) 302,4 4,0 302,4 3,5 306,0 3,0 324,2 2,5 376,3 2,0 454,6 1,5 790,9 Tabela 4.7 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar A figura 4.45 faz uma representação gráfica da tabela 4.7. Tensão (KPa) ,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Espessura (mm) Modelo perfeito Figura 4.45 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da região anelar e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito Podemos observar que à medida que a espessura da região anelar diminui a tensão máxima trativa principal aumenta. Não existe diferença no valor da tensão máxima trativa principal quando passamos de 4,3 mm para 4,0 mm, pois o bulbo continua se formando na parte inferior como visto na figura 4.44 (b) e (c). Quando

130 130 a espessura é reduzida para 3,5 mm, figura 4.44 (d) o bulbo passa a se formar na parte superior, sendo que o valor da tensão máxima trativa principal quase não se altera Análise da pressão crítica para imperfeição local Com o objetivo de avaliar a variação da pressão crítica e da configuração deformada do material, realizou-se uma diminuição linear da espessura da parede arterial em uma região localizada da parte inferior da aorta. Neste estudo foram utilizados no modelo elementos de casca S4R, 1617 elementos e 10% de alongamento do comprimento inicial e funcional de energia Ogden 1 (valor das constantes apresentadas na tabela 4.1). Para este modelo foi criada uma região de imperfeição inicial com formato retangular que variava da cota 6 cm a cota 11 cm (medido a partir da base). A espessura deste anel, no modelo perfeito apresentava uma espessura média de 3,5 mm. Esta espessura foi reduzida progressivamente para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm. Com essa variação foi verificada a variação da pressão crítica que a estrutura suportava Caso 1 No primeiro caso das imperfeições localizadas a imperfeição esta entre a cota 6 cm e a cota 11 cm (medido a partir da base) tendo assim 5 cm de altura e compreendendo a metade da circunferência da casca representando a aorta, tendo, portanto 4,44 cm de largura. Na figura 4.46 podemos observar a posição em que se encontra o primeiro caso de imperfeições localizadas.

131 131 5 cm 6 cm Figura 4.46 Posição do primeiro caso das imperfeições localizadas Caso 1 modelo perfeito No modelo perfeito a espessura da imperfeição localizada foi mantida com a espessura original (3,5 mm). Na figura 4.47 podemos observar a configuração indeformada e deformada. A pressão crítica encontrada foi de 130,33mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 302,4 kpa. Figura 4.47 Configuração indeformada e deformada sem imperfeição

132 Caso 1 espessura de 3,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 3,0 mm. Na figura 4.48 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 122,41 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 503,7 kpa. Figura 4.48 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm Caso 1 espessura de 2,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,5 mm. Na figura 4.49 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 116,73 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 738,3 kpa.

133 133 Figura 4.49 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm Caso 1 espessura de 2,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,0 mm. Na figura 4.50 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 103,05 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1692,0 kpa. Figura 4.50 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm

134 Caso 1 espessura de 1,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,5 mm. Na figura 4.51 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 91,51 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 2479,0 kpa. Figura 4.51 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm Caso 1 espessura de 1,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,0 mm. Na figura 4.52 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 79,67 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 2794,0 kpa.

135 135 Figura 4.52 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm Estudo comparativo do caso 1 Na figura 4.53 podemos observar a configuração deformada para cada uma dos casos estudados anteriormente, onde a espessura foi reduzida progressivamente de 3,5 mm (modelo perfeito) para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm. Pela figura podemos observar que à medida que a espessura diminui o bulbo se concentra na região da imperfeição.

136 136 3,5 mm 3,0 mm 2,5 mm 2,0 mm 1,5 mm 1,0 mm Figura 4.53 Configurações deformadas para imperfeição de 3,5 mm, 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 1 de imperfeições locais No gráfico da figura 4.54 podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada.

137 137 Caso 1 de imperfeições locais Pressão (mmhg) Modelo perfeito Caso ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Espessura (mm) Figura 4.54 Variação da pressão crítica para o caso 1 e valor da pressão crítica no modelo perfeito Podemos observar que a diminuição da pressão ocorre praticamente de forma linear. Na tabela 4.8 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada. Espessura do anel (mm) Tensão máxima (kpa) 3,5 (perfeito) 302,4 3,0 503,7 2,5 738,3 2,0 1692,0 1,5 2479,0 1,0 2794,0 Tabela 4.8 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 1

138 138 A figura 4.55 faz uma representação gráfica da tabela 4.8. Caso Tensão (KPa) Modelo perfeito Caso Espessura (mm) Figura 4.55 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 1 e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito Pela figura 4.55 podemos observar que a tensão máxima trativa principal aumenta à medida que a espessura diminui Caso 2 No segundo caso das imperfeições localizadas a imperfeição esta localizada entre a cota 8,5 cm e a cota 11 cm (medido a partir da base) tendo assim 2,5 cm de altura e compreendendo um quarto da circunferência da casca representativa da aorta, tendo, portanto 2,22 cm de largura. Na figura 4.56 podemos observar a posição em que se encontra o segundo caso de imperfeições localizadas.

139 139 2,5 cm 8,5 cm Figura 4.56 Posição do segundo caso das imperfeições localizadas Caso 2 espessura 3,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 3,0 mm. Na figura 4.57 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 123,52 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 266,8 kpa. Figura 4.57 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm

140 Caso 2 espessura 2,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,5 mm. Na figura 4.58 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 122,15 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 360,3 kpa. Figura 4.58 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm Caso 2 espessura 2,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,0 mm. Na figura 4.59 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 118,06 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 639,2 kpa.

141 141 Figura 4.59 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm Caso 2 espessura 1,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,5 mm. Na figura 4.60 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 112,26 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 947,0 kpa. Figura 4.60 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm

142 Caso 2 espessura 1,0 mm Caso em a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,0 mm. Na figura 4.61 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 106,28 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1344,0 kpa. Figura 4.61 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm Estudo comparativo do caso 2 Na figura 4.62 podemos observar a configuração deformada para cada uma dos casos estudados anteriormente, onde a espessura foi reduzida progressivamente de para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm. Pela figura podemos observar que a medida que a espessura diminui o bulbo se concentra na região da imperfeição.

143 143 3,0 mm 2,5 mm 2,0 mm 1,5 mm 1,0 mm Figura 4.62 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 2 de imperfeições locais No gráfico da figura 4.63 podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada.

144 144 Caso 2 de imperfeições locais Pressão (mmhg) Modelo perfeito Caso Espessura (mm) Figura 4.63 Variação da pressão crítica para o caso 2 e valor da pressão crítica no modelo perfeito forma linear. Podemos observar que a diminuição da pressão ocorre praticamente de Na tabela 4.9 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada. Espessura do anel (mm) Tensão máxima (kpa) 3,5 (perfeito) 302,4 3,0 266,8 2,5 360,3 2,0 639,2 1,5 947,0 1,0 1344,0 Tabela 4.9 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 2

145 145 A figura 4.64 faz uma representação gráfica da tabela 4.9. Caso 2 Tensão (KPa) Espessura (mm) Modelo perfeito Caso 2 Figura 4.64 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 2 e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito Pela figura 4.64 podemos observar que a tensão máxima trativa principal permanece praticamente constante entre a espessura de 3,5 mm e 2,5 mm, a partir de 2,5 mm a tensão máxima trativa principal aumenta praticamente de forma linear à medida que a espessura diminui Caso 3 No terceiro caso das imperfeições localizadas a imperfeição esta localizada entre a cota 10 cm e a cota 11 cm (medido a partir da base) tendo assim 1 cm de altura e compreendendo um quarto da circunferência da casca representativa da aorta, tendo, portanto 2,22 cm de largura. Na figura 4.65 podemos observar a posição em que se encontra o terceiro caso de imperfeições localizadas.

146 146 1 cm 10 cm Figura 4.65 Posição do terceiro caso das imperfeições localizadas Caso 3 espessura de 3,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 3,0 mm. Na figura 4.66 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 130,30 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 315,2 kpa. Figura 4.66 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm

147 Caso 3 espessura de 2,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,5 mm. Na figura 4.67 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 130,26 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 312,6 kpa. Figura 4.67 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm Caso 3 espessura de 2,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,0 mm. Na figura 4.68 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 129,52 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 482,5 kpa.

148 148 Figura 4.68 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm Caso 3 espessura de 1,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,5 mm. Na figura 4.69 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 126,82 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 678,8 kpa. Figura 4.69 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm

149 Caso 3 espessura de 1,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,0 mm. Na figura 4.70 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 123,50 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 966,3 kpa. Figura 4.70 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm Estudo comparativo do caso 3 Na figura 4.71 podemos observar a configuração deformada para cada uma dos casos estudados anteriormente, onde a espessura foi reduzida progressivamente de para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm. Pela figura podemos observar que a medida que a espessura diminui o bulbo se concentra na região da imperfeição e aumenta a flambagem lateral.

150 150 3,0 mm 2,5 mm 2,0 mm 1,5 mm 1,0 mm Figura 4.71 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 3 de imperfeições locais No gráfico da figura 4.72 podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada.

151 151 Caso 3 de imperfeições locais Pressão (mmhg) Modelo perfeito Caso ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Espessura (mm) Figura 4.72 Variação da pressão crítica para o caso 3 e valor da pressão crítica no modelo perfeito Podemos observar que a variação da pressão crítica até a espessura de 2,5 mm é praticamente nula e que a diminuição da pressão crítica para a espessura de 2,0 mm em comparação ao modelo perfeito é muito pequena. Também podemos notar uma diminuição mais acentuada da pressão crítica para espessuras inferiores a 2,0 mm. Na tabela 4.10 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada. Espessura do anel (mm) Tensão máxima (kpa) 3,5 (perfeito) 302,4 3,0 315,2 2,5 312,6 2,0 482,5 1,5 678,8 1,0 966,3 Tabela 4.10 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 3

152 152 A figura 4.73 faz uma representação gráfica da tabela Caso Tensão (KPa) Modelo perfeito Caso Espessura (mm) Figura 4.73 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 3 e valor da tensão máxima trativa principal no modelo perfeito Pela figura 4.73 podemos observar que a tensão máxima trativa principal permanece praticamente constante entre a espessura de 3,5 mm e 2,5 mm, a partir de 2,5 mm a tensão máxima trativa principal aumenta praticamente de forma linear à medida que a espessura diminui e a deformação fica localizada Caso 4 No quarto caso das imperfeições localizadas a imperfeição esta localizada entre a cota 10 cm e a cota 11 cm (medido a partir da base) tendo assim 1 cm de altura e compreendendo um oitavo da circunferência da casca representativa da aorta, tendo, portanto 1,11 cm de largura. Na figura 4.74 podemos observar a posição em que se encontra o segundo caso de imperfeições localizadas.

153 153 1 cm 10 cm Figura 4.74 Posição do quarto caso das imperfeições localizadas Caso 4 espessura de 3,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 3,0 mm. Na figura 4.75 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 130,31 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 332,1 kpa. Figura 4.75 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm

154 Caso 4 espessura de 2,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,5 mm. Na figura 4.76 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 130,30 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 362,1 kpa. Figura 4.76 Configurações deformadas para imperfeição de 2,5 mm Caso 4 espessura de 2,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 2,0 mm. Na figura 4.77 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 130,23 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 562,3 kpa.

155 155 Figura 4.77 Configurações deformadas para imperfeição de 2,0 mm Caso 4 espessura de 1,5 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,5 mm. Na figura 4.78 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 128,33 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 915,8 kpa. Figura 4.78 Configurações deformadas para imperfeição de 1,5 mm

156 Caso 4 espessura de 1,0 mm Neste caso a espessura da imperfeição localizada foi reduzida para 1,0 mm. Na figura 4.79 podemos observar duas vistas da configuração deformada. A pressão crítica encontrada foi de 124,94 mmhg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1432,0 kpa. Figura 4.79 Configurações deformadas para imperfeição de 1,0 mm Estudo comparativo do caso 4 Na figura 4.80 podemos observar a configuração deformada para cada uma dos casos estudados anteriormente, onde a espessura foi reduzida progressivamente de para 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm. Pela figura podemos observar que a medida que a espessura diminui o bulbo se concentra na região da imperfeição e aumenta a flambagem lateral.

157 157 3,0 mm 2,5 mm 2,0 mm 1,5 mm 1,0 mm Figura 4.80 Configurações deformadas para imperfeição de 3,0 mm, 2,5 mm, 2,0 mm, 1,5 mm e 1,0 mm para o caso 4 de imperfeições locais No gráfico da figura 4.81 podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada.

158 158 Caso 4 de imperfeições locais Pressão (mmhg) Modelo perfeito Caso ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Espessura (mm) Figura 4.81 Variação da pressão crítica para o caso 4 e valor da pressão crítica no modelo perfeito Podemos observar que a variação da pressão crítica até a espessura de 2,0 mm é praticamente nula. Também podemos notar uma diminuição mais acentuada da pressão crítica para espessuras inferiores a 2,0 mm, como no caso 3 pois a partir deste instante as deformações são localizadas. Na tabela 4.11 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da espessura da parede arterial na posição onde foi introduzida a imperfeição localizada. Espessura do anel (mm) Tensão máxima (kpa) 3,5 (perfeito) 302,4 3,0 332,1 2,5 362,1 2,0 562,3 1,5 915,8 1,0 1432,0 Tabela 4.11 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 4

159 159 A figura 4.82 faz uma representação gráfica da tabela Caso 4 Tensão (KPa) Espessura (mm) Modelo perfeito Caso 4 Figura 4.82 Variação da tensão máxima trativa principal para o caso 4 Pela figura 4.82 podemos observar que a tensão máxima trativa principal permanece praticamente constante entre a espessura de 3,5 mm e 2,5 mm, a partir de 2,5 mm a tensão máxima trativa principal aumenta praticamente de forma linear à medida que a espessura diminui Estudo comparativo da análise da pressão crítica para imperfeição local Com o objetivo de avaliar a variação da pressão crítica em função de uma imperfeição local foram estudados 4 casos onde foram reduzidas progressivamente as espessuras destes locais. Na figura 4.83 podemos observar a posição de cada uma das imperfeições geradas. Neste estudo foi utilizado o modelo com elementos de casca S4R, 1617 elementos e 10% de alongamento do comprimento inicial e funcional de energia Ogden 1.

160 160 (a) (b) (c) (d) Figura 4.83 Posição das imperfeições para os casos estudados (a) caso 1, (b) caso 2, (c) caso 3, (d) caso 4; figuras fora de escala Na figura 4.84 podemos observar a variação da pressão crítica para cada um dos casos em análise. Análise de imperfeições locais Pressão (mmhg) Pressão crítica experimental Espesssura (mm) Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Figura 4.84 Variação da pressão crítica em função de imperfeições locais Podemos observar que à medida que diminuímos a espessura da imperfeição a pressão crítica diminui. Observamos também que a medida que o tamanho da imperfeição diminui a variação a pressão em relação com o caso sem

161 161 imperfeição é quase desprezível. Porem mesmo quando a imperfeição é pequena, esta é suficiente para fazer a estrutura flambar. Nos casos 1 e 2 quando as espessura são reduzidas para 2,3 mm e 1,5 mm respectivamente o resultado da pressão crítica é idêntico ao experimental. Nos casos 3 e 4 à redução da espessura não foi suficiente para chegarmos ao valor da pressão crítica experimental Análise da pressão crítica para imperfeições geradas por excentricidade Neste estudo realizado com elementos sólidos C3D10 e 4094 elementos, foram realizadas duas análises, uma com o funcional de energia Ogden e outra com o funcional de energia Neo Hooke. Também foi realizada uma análise com a diminuição gradual da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para fazermos uma análise que simulasse a Síndrome de Marfan. Para a realização deste caso de imperfeição, a parte externa do modelo representativo da aorta foi construída sempre com o seu eixo centrado enquanto a parte interna foi construída com excentricidades crescentes fora do eixo, assim teremos sempre um lado mais espesso que o outro, sendo o que realmente ocorre no caso real. Neste estudo as excentricidades adotadas são de 0,5 mm, 1,0 mm, 1,5 mm e 2,0 mm Ogden excentricidade de 0,5 Na figura 4.85 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 109,4mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 489,4 kpa.

162 162 Figura 4.85 Configuração indeformada e deformada para Ogden Sem alongamento excentricidade de 0,5 mm Na figura 4.86 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 104,54mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 499,7 kpa. Figura 4.86 Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm

163 163 Na figura 4.87 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden. O modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 95,27mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 712,4 kpa. Figura 4.87 Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 20% excentricidade de 0,5 mm Avaliação gráfica Na figura 4.88 podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 0,5 mm para o funcional de energia Ogden 1.

164 164 Figura 4.88 Configurações deformadas com excentricidade de 0,5 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura 4.89 podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 0,5mm, utilizando-se o funcional de energia Ogden. Ogden - Excentricidade de 0,5 120 Pressão (mmhg) Ogden Alongamento (%) Figura 4.89 Variação da pressão crítica Excentricidade de 0,5mm - Ogden Podemos observar que a pressão crítica diminui com o aumento do alongamento, porem não se da de forma linear. Também podemos observar que a partir de 10 % de alongamento o bulbo concentra-se na parte inferior e é bem definido enquanto no caso onde não é aplicado o alongamento ocorre uma flambagem bem acentuada.

165 165 Na tabela 4.12 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Ogden 1. Alongamento (%) Tensão máxima trativa (kpa) 0 489, , ,4 Tabela 4.12 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Ogden 1 A figura 4.90 faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 0,5 mm Tensão (KPa) Alongamento (%) Ogden Figura 4.90 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Ogden Neo Hooke excentricidade de 0,5 Na figura 4.91 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma

166 166 excentricidade de 0,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 137,99mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 466,7 kpa. Figura 4.91 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 0,5 mm Na figura 4.92 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0.5mm. A pressão crítica para este caso foi de 127,73mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 527,7 kpa. Figura 4.92 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm

167 167 Na figura 4.93 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 115,34mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 496,3 kpa. Figura 4.93 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 0,5 mm Avaliação gráfica Na figura 4.94 podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 0,5 mm para o funcional de energia Neo Hooke.

168 168 Figura 4.94 Configurações deformadas com excentricidade de 0,5 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura 4.95 podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 0,5mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 0,5 140 Pressão (mmhg) Neo Hooke Alongamento (%) Figura 4.95 Variação da pressão crítica Excentricidade de 0,5mm Neo Hooke Podemos observar que com o funcional de energia Neo Hooke o bulbo concentra-se na parte inferior em todos os casos e a pressão crítica é praticamente linear. Na tabela 4.13 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Neo Hooke.

169 169 Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) 0 466, , ,3 Tabela 4.13 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Neo Hooke A figura 4.96 faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 0,5 mm Tensão (KPa) Alongamento (%) Neo Hooke Figura 4.96 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 0,5 mm e funcional de energia Neo Hooke Ogden excentricidade de 1,0 Na figura 4.97 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 104,77mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 335,1 kpa.

170 170 Figura 4.97 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,0 mm Na figura 4.98 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 95,39mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 713,7 kpa. Figura 4.98 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm

171 171 Na figura 4.99 podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 88,17mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 866,3 kpa. Figura 4.99 Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,0 mm Avaliação gráfica Na figura podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 1,0 mm para o funcional de energia Ogden.

172 172 Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,0 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 1,0mm, utilizando-se o funcional de energia Ogden. Ogden - Excentricidade de 1,0 110 Pressão (mmhg) Ogden Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,0mm - Ogden Para o caso com excentricidade de 1,0 mm podemos observar que o bulbo localiza-se na parte inferior sem que no caso sem alongamento a flambagem é bem acentuada, com 10 % de alongamento a flambagem é pequena e no caso com 20 % de alongamento a flambagem é praticamente nula.

173 173 Na tabela 4.14 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Ogden 1. Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) 0 335, , ,3 Tabela 4.14 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Ogden 1 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 1,0 mm Tensão (KPa) Alongamento (%) Ogden Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Ogden Neo Hooke excentricidade de 1,0 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma

174 174 excentricidade de 1,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 120,37mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 543,7 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,0 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 114,87mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 758,5 kpa.

175 175 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 104,81mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 791,1 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,0 mm

176 Avaliação gráfica Na figura podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 1,0 mm para o funcional de energia Neo Hooke. Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,0 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 1,0mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 1,0 130 Pressão (mmhg) Neo Hooke Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,0 mm Neo Hooke

177 177 Na tabela 4.15 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Neo Hooke. Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) 0 543, , ,1 Tabela 4.15 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Neo Hooke A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 1,0 mm 1000 Tensão (KPa) Alongamento (%) Neo Hooke Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,0 mm e funcional de energia Neo Hooke

178 Ogden excentricidade de 1,5 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 81,81mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 824,6 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,5 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1.5mm. A pressão crítica para este caso foi de 80,47mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 921,0 kpa.

179 179 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 75,42mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1012,0 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,5 mm

180 Avaliação gráfica Na figura podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 1,5 mm para o funcional de energia Ogden. Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,5 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 1,5mm, utilizando-se o funcional de energia Ogden. Ogden - Excentricidade de 1,5 84 Pressão (mmhg) Ogden Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,5mm - Ogden

181 181 Podemos observar uma diminuição da flambagem lateral e que o valor da pressão crítica de 0 % para 10 % de alongamento é praticamente a mesma, diminuindo apenas quando se tem um alongamento de 20 %. Na tabela 4.16 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Ogden 1. Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) 0 824, , ,0 Tabela 4.16 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Ogden 1 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 1,5 mm 1100 Tensão (KPa) Alongamento (%) Ogden Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Ogden 1

182 Neo Hooke excentricidade de 1,5 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 99,48mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 690,1 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 1,5 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 94,81mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 841,5 kpa.

183 183 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A pressão crítica para este caso foi de 87,27mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 868,3 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 1,5 mm

184 Avaliação gráfica Na figura podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 1,5 mm para o funcional de energia Neo Hooke. Figura Configurações deformadas com excentricidade de 1,5 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 1,5mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 1,5 105 Pressão (mmhg) Neo Hooke Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,5mm Neo Hooke

185 185 Na tabela 4.17 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Neo Hooke. Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) 0 690, , ,3 Tabela 4.17 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Neo Hooke A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 1,5 mm 900 Tensão (KPa) Neo Hooke Alongamento (%) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 1,5 mm e funcional de energia Neo Hooke

186 Ogden excentricidade de 2,0 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo não foi alongado e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 62,92mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1374,0 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Ogden Sem alongamento excentricidade de 2,0 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 60,35mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1283,0 kpa.

187 187 Figura Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Ogden, o modelo foi alongado de 20% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 56,72mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 799,3 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Ogden Alongamento de 20% excentricidade de 2,0 mm

188 Avaliação gráfica Na figura podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 1,5 mm para o funcional de energia Ogden. Figura Configurações deformadas com excentricidade de 2,0 mm para Ogden com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 2,0mm, utilizando-se o funcional de energia Ogden. Ogden - Excentricidade de 2,0 65 Pressão (mmhg) Ogden Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 2,0mm - Ogden

189 189 Na tabela 4.18 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden 1. Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) , , ,3 Tabela 4.18 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden 1 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 2,0 mm 1500 Tensão (KPa) Ogden Alongamento (%) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden 1

190 Neo Hooke excentricidade de 2,0 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo não foi alongado a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 75,69mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1660,0 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Sem alongamento excentricidade de 2,0 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 71,42mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1468,0 kpa.

191 191 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 20% a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A pressão crítica para este caso foi de 65,57mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 855,4 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 20% excentricidade de 2,0 mm

192 Avaliação gráfica Na figura podemos observar as configurações deformadas com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento do comprimento inicial e com excentricidade de 1,5 mm para o funcional de energia Neo Hooke. Figura Configurações deformadas com excentricidade de 2,0 mm para Neo Hooke com 0 %, 10 % e 20 % de alongamento No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função do alongamento aplicado para uma excentricidade de 2,0mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 2,0 80 Pressão (mmhg) Neo Hooke Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 2,0mm Neo Hooke

193 193 Na tabela 4.19 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Neo Hooke. Alongamento (%) Tensão trativa máxima (kpa) , , ,4 Tabela 4.19 Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Neo Hooke A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 2,0 mm Tensão (KPa) Alongamento (%) Neo Hooke Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para excentricidade de 2,0 mm e funcional de energia Ogden 1 Na tabela 4.20 podemos observar a variação da pressão crítica para os funcionais de energia Neo Hooke e Ogden em função do alongamento aplicado e da excentricidade. Observamos que tanto no funcional de energia Neo Hooke e Ogden o valor da pressão crítica diminui à medida que a excentricidade e o alongamento crescem. As pressões críticas obtidas considerando o funcional de energia Ogden 1 são sempre menores que as obtidas com o funcional de energia Neo Hooke.

194 194 Observamos que a variação do alongamento não influencia tanto a variação da pressão crítica a medida que a excentricidade aumenta. Excentricidade Alongamento Ogden Neo Hooke Ogden Neo Hooke Ogden Neo Hooke 0% 0% 10% 10% 20% 20% Sem excentricidade 122,14 150,83 116,60 142,08 103,87 128,06 0,5 mm 109,94 137,99 104,54 127,73 95,27 115,34 1,0 mm 104,74 120,37 95,39 114,87 88,17 104,81 1,5 mm 81,81 99,48 81,47 94,81 75,42 87,27 2,0 mm 62,92 75,69 60,35 71,42 56,72 65,57 Tabela 4.20 Variação da pressão crítica em função da excentricidade e do alongamento As figuras e fazem a representação gráfica da tabela 4.20 para os funcionais de energia Ogden 1 e Neo Hookeano respectivamente. Análise da excentridade para Ogden 1 Pressão (mmhg) Alongamento (%) Excentricidade 0,5 Excentricidade 1,0 Excentricidade 1,5 Excentrididade 2,0 Sem excentricidade Figura Variação da pressão crítica em função da excentricidade e do alongamento para Ogden 1

195 195 Análise da excentricidade para Neo Hooke 160 Pressão (mmhg) Excentricidade 0,5 Excentricidade 1,0 Excentricidade 1,5 Excentrididade 2,0 Sem excentridade Alongamento (%) Figura Variação da pressão crítica em função da excentricidade e do alongamento para Neo Hooke Na tabela 4.21 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal para os funcionais de energia Neo Hooke e Ogden em função do alongamento aplicado e da excentricidade. Um fenômeno interessante ocorre para a imperfeição com excentricidade de 2,0 mm. A tensão máxima trativa principal diminui com o alongamento. Excentricidade Tensão Ogden Neo Hooke Ogden Neo Hooke Ogden Neo Hooke 0% 0% 10% 10% 20% 20% Sem excentricidade 312,4 359,9 369,5 401,4 536,2 602,9 0,5 mm 489,4 466,7 499,7 527,7 712,4 496,3 1,0 mm 335,1 543,7 713,7 758,5 866,3 791,1 1,5 mm 824,6 690,1 921,0 841,5 1012,0 868,3 2,0 mm 1374,0 1660,0 1283,0 1468,0 799,3 855,4 Tabela 4.21 Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e do alongamento As figuras e fazem a representação gráfica da tabela 4.21 para os funcionais de energia Ogden 1 e Neo Hookeano respectivamente.

196 196 Análise da tensão trativa máxima principal para Ogden com excentricidade Tensão (KPa) Ogden - 0,5 mm Ogden - 1,0 mm Ogden - 1,5 mm Ogden - 2,0 mm Sem excentricidade Alongamento (%) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e do alongamento para Ogden 1 Análise da tensão trativa máxima principal para Neo Hooke com excentricidade Tensão (KPa) Neo Hooke - 0,5 mm Neo Hooke - 1,0 mm Neo Hooke - 1,5 mm Neo Hooke - 2,0 mm Sem excentricidade Alongamento (%) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e do alongamento para Neo Hooke Pela análise dos gráficos anteriores podemos observar uma diminuição da pressão crítica com o aumento da excentricidade tanto para o funcional de energia Ogden 1 e Neo Hooke. Observamos também que quanto maior a excentricidade, maior o valor da tensão máxima trativa principal. Para os casos de excentricidade de 0,5 mm, 1,0 mm e 1,5 mm a tensão máxima trativa principal aumenta com o aumento do alongamento aplicado e para a excentricidade de 2,0 mm o valor da tensão máxima trativa principal diminui.

197 Análise da pressão crítica para imperfeição gerada por excentricidade e diminuição da constante elástica O objetivo é estudar a variação da pressão crítica em função da perda de resistência mecânica no tecido arterial causada pelo desgaste do material, fazendo com que o mesmo se degenere muito mais rápido que o normal. Adotamos para o estudo os mesmos casos de excentricidade utilizados anteriormente (0,5 mm, 1,0 mm, 1,5 mm, 2,0 mm) e alongamento de 10 % do comprimento inicial. Para este estudo foi adotado o funcional de energia Neo Hooke por apresentar apenas uma constante elástica em seu funcional de energia, assim podemos reduzi-la de forma linear e observar o seu efeito no valor da pressão crítica. O valor da constante elástica calculada no item 4.3 para o funcional de energia Neo Hooke é 54,832 kpa. Este valor foi reduzido nas diversas análises para 50 kpa, 40 kpa, 30 kpa, 20 kpa e 10 kpa Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 0,5 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 =50 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 115,77mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 578,8 kpa. Para C 10 =54,53 kpa e excentricidade de 0,5 mm a pressão crítica obtida foi de 127,73 mmhg e a tensão máxima trativa principal foi de 527,7 kpa.

198 198 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm C 10 = 50 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 40 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 93,00mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 324,9 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm C 10 = 40 kpa

199 199 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 =30 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 69,83mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 253,8 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm C 10 = 30 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 =20 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 46,55mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 169,2 kpa.

200 200 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm C 10 = 20 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 0,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 =10 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 23,18mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 112,8 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 0,5 mm C 10 = 10 kpa

201 Avaliação gráfica No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica para uma excentricidade de 0,5mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 0,5 130 Pressão (mmhg) Neo Hooke Constante Elastica (KPa) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 0,5mm Neo Hooke Na tabela 4.22 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 0,5 mm e diminuição da constante elástica funcional de energia Neo Hooke. Constante elástica (kpa) Tensão trativa máxima (kpa) 54,83 527, , , , , ,8 Tabela 4.22 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 0,5 mm

202 202 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 0,5 mm e variação da constante elástica Tensão (KPa) Valor da constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 0,5 mm Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 1,0 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 =50 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 104,89mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 648,0 kpa. Para C 10 =54,53 kpa e excentricidade de 1,0 mm a pressão crítica obtida foi de 114,87 mmhg e a tensão máxima trativa principal foi de 758,5 kpa.

203 203 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm C 10 = 50 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 40 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 83,91mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 500,8 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm C 10 = 40 kpa

204 204 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 30 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 62,93mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 376,2 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm C 10 = 30 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 20 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 41,95mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 250,8 kpa.

205 205 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm C 10 = 20 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 10 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 20,97mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 126,7 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,0 mm C 10 = 10 kpa

206 Avaliação gráfica No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica para uma excentricidade de 1,0mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 1,0 130 Pressão (mmhg) Neo Hooke Constante Elastica (KPa) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,0mm Neo Hooke Na tabela 4.23 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 1,0 mm e diminuição da constante elástica funcional de energia Neo Hooke. Constante elástica (kpa) Tensão trativa máxima (kpa) 54,83 758, , , , , ,7 Tabela 4.23 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,0 mm

207 207 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 1,0 mm e variação da constante elástica Tensão (KPa) Valor da constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,0 mm Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 1,5 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 50 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 86,46mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 759,3 kpa. Para C 10 =54,53 kpa e excentricidade de 1,5 mm a pressão crítica obtida foi de 94,81 mmhg e a tensão máxima trativa principal foi de 541,5 kpa.

208 208 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm C 10 = 50 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 40 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 69,15mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 578,5 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm C 10 = 40 kpa

209 209 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 30 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 51,88mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 453,1 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm C 10 = 30 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 20 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 34,58mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 302,1 kpa.

210 210 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm C 10 = 20 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 1,5mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = A pressão crítica para este caso foi de 17,29mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 149,1 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 1,5 mm C 10 = 10 kpa

211 Avaliação gráfica No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica para uma excentricidade de 1,5mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 1,5 90 Pressão (mmhg) Neo Hooke Constante Elastica (KPa) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 1,5mm Neo Hooke Na tabela 4.24 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 1,5 mm e diminuição da constante elástica funcional de energia Neo Hooke. Constante elástica (kpa) Tensão trativa máxima (kpa) 54,83 541, , , , , ,1 Tabela 4.24 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,5 mm

212 212 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 1,5 mm e variação da constante elástica Tensão (KPa) Valor da constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 1,5 mm Análise da sensibilidade da pressão crítica com a perda das propriedades elásticas para excentricidade de 2,0 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 50 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 65,23mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1350,0 kpa. Para C 10 =54,53 kpa e excentricidade de 2,0 mm a pressão crítica obtida foi de 71,42 mmhg e a tensão máxima trativa principal foi de 1468,0 kpa.

213 213 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm C 10 = 50 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 40 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 51,27mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 1074,0 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm C 10 = 40 kpa

214 214 Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 30 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 39,14mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 810,5 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm C 10 = 30 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 20 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 26,09mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 540,3 kpa.

215 215 Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm C 10 = 20 kpa Na figura podemos observar a configuração indeformada e a configuração deformada para o caso em que foi utilizado o funcional de energia Neo Hooke, o modelo foi alongado de 10% e a região interna apresentava uma excentricidade de 2,0mm. A constante elástica foi reduzida para C 10 = 10 kpa. A pressão crítica para este caso foi de 12,99mmHg. Para esta pressão a tensão máxima trativa principal foi de 263,7 kpa. Figura Configuração indeformada e deformada para Neo Hooke Alongamento de 10% excentricidade de 2,0 mm C 10 = 10 kpa

216 Avaliação gráfica No gráfico da figura podemos observar a variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica para uma excentricidade de 2,0mm, utilizando-se o funcional de energia Neo Hooke. Neo Hooke - Excentricidade de 2,0 80 Pressão (mmhg) Neo Hooke Constante Elastica (KPa) Figura Variação da pressão crítica Excentricidade de 2,0mm Neo Hooke Na tabela 4.25 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal em função do alongamento aplicado, para o caso em que temos excentricidade de 2,0 mm e diminuição da constante elástica funcional de energia Neo Hooke. Constante elástica (kpa) Tensão trativa máxima (kpa) 54, , , , , , ,7 Tabela 4.25 Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 2,0 mm

217 217 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão máxima com excentricidade de 2,0 mm e variação da constante elástica Tensão (KPa) Valor da constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica do funcional de energia Neo Hooke para excentricidade de 2,0 mm Na tabela 4.26 podemos observar a variação da pressão crítica para o funcional de energia Neo Hooke em função da diminuição da constante elastica e da excentricidade. Observamos que a pressão crítica diminui a medida que a excentricidade aumenta, para todos os casos estudados da variação da constante elástica. Também observamos que o valor da pressão crítica diminui a medida que o valor da constante elástica diminui. Observamos também que a pressão crítica sofre menor variação a medida que a constante elástica diminui, para valores crescentes de excentricidade. Constante elástica (kpa) Excentricidades 0,5 mm 1,0 mm 1,5 mm 2,0 mm 54, ,73 114,87 94,81 71, ,77 104,89 86,46 65, ,00 83,91 69,15 51, ,83 62,93 51,88 39, ,55 41,95 34,58 26, ,18 20,91 17,29 12,99 Tabela 4.26 Variação da pressão crítica (mmhg) em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica

218 218 A figura 165 faz uma representação gráfica da tabela Variação da pressão crítica em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica Pressão crítica (mmhg) ,5 1 1,5 2 2,5 Excentricidade (mm) C = 54,83 C = 50 C = 40 C = 30 C = 20 C = 10 Figura 165 Variação da pressão crítica em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica Na tabela 4.27 podemos observar a variação da tensão máxima trativa principal para o funcional de energia Neo Hooke em função da diminuição da constante elastica e da excentricidade. Constante elástica (kpa) Tensão 0,5 mm 1,0 mm 1,5 mm 2,0 mm 54, ,7 758,5 541,5 1468, ,8 648,0 759,3 1350, ,9 500,8 578,5 1074, ,8 376,2 453,1 810, ,2 250,8 302,1 540, ,8 126,7 149,1 263,7 Tabela 4.27 Variação da tensão máxima trativa principal (kpa) em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica

219 219 A figura faz uma representação gráfica da tabela Análise da tensão trativa máxima principalpara Neo Hooke com excentricidade Tensão (KPa) Neo Hooke - 0,5 mm Neo Hooke - 1,0 mm Neo Hooke - 1,5 mm Neo Hooke - 2,0 mm Valor da constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da excentricidade e da diminuição da constante elástica Podemos observar uma diminuição do valor da tensão máxima trativa principal à medida que a constante elástica diminui.

220 5 Análise numérica realizada com as características da parede arterial Com o objetivo de avaliarmos o comportamento da geometria arterial sob incrementos crescentes de pressão e assim obtermos sua pressão crítica, foram realizadas análises numéricas com os dados obtidos para este material na bibliografia consultada Primeiro estudo das propriedades da aorta Como primeiro estudo das propriedades da aorta foi realizado uma análise dos dados do gráfico tensão-deformação apresentado no artigo de Sacks (2006) e reproduzido na figura 5.1. Figura 5.1 Gráfico tensão deformação apresentado por Sacks para o tecido arterial

221 221 A geometria para o estudo a ser realizado é a geometria arterial proposta por E. S. da Silva (1999) descrita na análise experimental e reproduzida abaixo: Comprimento inicial: 20 cm. Raio superior externo: 9,5 mm. Raio superior interno: 7,0 mm. Raio inferior externo: 7,3 mm. Raio inferior interno: 5,9 mm. A variação da espessura ao longo do comprimento da aorta foi considerada linear, como nos estudos realizados anteriormente Escolha do funcional de energia Os dados do gráfico tensão-deformação apresentado na figura 5.1 foram utilizados para realizarmos a caracterização do tecido arterial. Para a caracterização do material em termos do funcional de energia foi adotado o intervalo para a deformação (ε ) variável entre 0 e 0,5. Os dados de tensão-deformação obtidos foram utilizados na escolha do funcional de energia adotado para a seqüência da análise numérica. A escolha do funcional de energia independe do tipo de elemento adotado para a análise e também do refinamento da malha. Após selecionarmos o funcional de energia desejado o programa ABAQUS apresenta a aproximação tensão-deformação que o funcional de energia escolhido simula para os dados de entrada (experimentais) fornecidos. Nesta análise verificou-se que para os funcionais de energia Arruda-Boyce, Mooney-Rivilin, Neo Hooke, Ogden2, Polynomial, Van der Waals, o material tornou-se instável. Na figura 5.2 apresentamos a aproximação obtida para os funcionais de energia para os quais o material tornasse estável.

222 222 Análise do funcional de Energia Tensão (Pa) Experimental Ogden 1 Neo Hooke Reduced Polynimial Yeoh 0 0 0,2 0,4 0,6 Deformação Figura 5.2 Aproximação dos funcionais de energia estáveis Dentre as possibilidades possíveis de análise (Ogden 1, Neo Hooke, Reduced Polynomial, Yeoh), optamos pela escolha dos funcionais de energia Ogden 1 e Yeoh por fitarem melhor os dados experimentais. A formulação matemática dos funcionais de energia escolhidos esta descrita abaixo: Ogden: U = N i= 1 αi αi i ( λ + λ + λ ) 2µ i α αi (5.1) Yeoh: 2 ( I 3) + C ( I 3) + C ( ) 3 U = C I (5.2) Para o funcional de energia Ogden 1, as constantes elásticas obtidas são apresentadas na tabela 5.1, com valores em kpa. µ 1 α 1 127,75 12,27 Tabela 5.1 Valores da constante elástica de Ogden 1

223 223 Para o funcional de energia Yeoh, as constantes elásticas obtidas são apresentadas na tabela 5.2, com valores em kpa. C 10 C 20 C 30 46,28 53,53 181,00 Tabela 5.2 Valores da constante elástica de Yeoh Análise de convergência Após a definição do funcional de energia a ser empregado na análise numérica, fez-se necessário um estudo de convergência da malha a ser empregada na análise. Adotando-se a geometria construída com elementos de casca e mantendo-se o tubo alongado de 10% de seu comprimento inicial, foram realizadas sucessivas análises aumentando-se gradativamente o refinamento da malha até o ponto em que se verificou a estabilização da pressão crítica. Na figura 5.3 podemos observar a variação da pressão até sua estabilização, em função do refinamento da malha proposta para o funcional de energia Ogden 1. Análise de convergência de elementos de casca 535 Pressão (mmhg) Número de elementos Elementos de casca Figura 5.3 Gráfico demonstrativo de análise de convergência do elemento de casca para o funcional de energia Ogden 1

224 224 Foi adotada para a análise numérica a malha contendo elementos de casca, do tipo S4R, descrito do item Verificou-se que na análise com elementos sólidos o tempo necessário para a análise era excessivamente longo, inviabilizando-se assim a mesma. Após as etapas de escolha do elemento a ser adotado, do funcional de energia e da análise de convergência, temos em mãos os elementos necessários para realizarmos as investigações numéricas da variação da pressão em função do nível de alongamento aplicado a aorta Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Ogden 1 Para o funcional de energia Ogden 1 foram realizadas análises para a obtenção da pressão crítica para os casos onde o modelo representativo da aorta não estava alongado e quando estava alongado de 10% e 20% do seu comprimento inicial Sem alongamento Para a análise do elemento representativo da aorta, sem alongamento inicial a pressão crítica encontrada foi de 300,6 mmhg. Na figura 5.4 podemos observar as configurações indeformada e deformada sem alongamento, verificando que não houve a formação de bulbo ou flambagem lateral.

225 225 Figura 5.4 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta sem alongamento Alongamento de 10% Para a análise do elemento representativo da aorta, com alongamento de 10% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 503,23 mmhg. Na figura 5.5 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 10%, onde apesar do aumento da pressão crítica verifica-se o mesmo comportamento anterior.

226 226 Figura 5.5 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 10% Alongamento de 20% Para a análise do elemento representativo da aorta, com alongamento de 20% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 939,09 mmhg. Na figura 5.6 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 20%. Apesar de a pressão crítica aumentar não se verifica nenhum dos fenômenos obtidos no item 4.

227 227 Figura 5.6 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 20% Comparação da pressão crítica para Ogden 1 Pelos resultados acima podemos observar que a pressão crítica aumentou com o aumento do alongamento aplicado a casca representativa da aorta, a figura 5.7 mostra essa variação. Observa-se o fenômeno oposto ao observado no item 4, a pressão crítica aumenta com o alongamento da casca. Variação da pressão crítica para Ogden Pressão (mmhg) Alongamento (%) Figura 5.7 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial)

228 228 Observamos que o comportamento da pressão crítica em função do alongamento aplicado é inverso ao comportamento da pressão crítica quando realizamos estudos onde foi utilizado o silicone como material para a confecção do tubo representativo da aorta Análise da pressão crítica com elementos de casca e funcional de energia Yeoh Para o funcional de energia Yeoh foram realizadas análises para a obtenção da pressão crítica para os casos onde o modelo representativo da aorta não estava alongado e quando estava alongado de 10% e 20% do seu comprimento inicial Sem alongamento Para a análise do elemento representativo da aorta, sem alongamento inicial a pressão crítica encontrada foi de 2521,45 mmhg. Na figura 5.8 podemos observar as configurações indeformada e deformada sem alongamento. Figura 5.8 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta sem alongamento

229 Alongamento de 10% Para a análise do elemento representativo da aorta, com alongamento de 10% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 4599,38 mmhg. Na figura 5.9 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 10%. Figura 5.9 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 10% Alongamento de 20% Para a análise do elemento representativo da aorta, com alongamento de 20% de seu comprimento inicial a pressão crítica encontrada foi de 6232,44 mmhg. Na figura 5.10 podemos observar as configurações indeformada e deformada para alongamento de 20%.

230 230 Figura 5.10 Configuração indeformada e deformada para o elemento representativo da aorta com alongamento de 20% Comparação da pressão crítica para Yeoh Pelos resultados acima podemos observar que a pressão crítica aumentou com o aumento do alongamento aplicado ao elemento representativo da aorta, a figura 5.11 mostra essa variação. Variação da pressão crítica para Yeoh Pressão (mmhg) Alongamento (%) Figura 5.11 Variação da pressão em função do alongamento (% do comprimento inicial)

231 231 Podemos observar que assim como o funcional Ogden 1, a pressão crítica para o funcional Yeoh também aumentou com o alongamento aplicado Segundo estudo das propriedades da aorta Para avaliarmos o valor da pressão crítica que ocorre na aorta real, foi realizada uma série de estudos utilizando as equações constitutivas propostas por Delfino e por Sacks para o tecido arterial. Essas equações foram implementadas com as constantes por eles propostas para que simulassem o tecido arterial. A geometria utilizada foi a proposta por E. S. da Silva (1999) e descrita anteriormente Equação constitutiva de Delfino Delfino propôs a seguinte equação constitutiva para o tecido arterial da carótida: a b W = exp ( I1 3) 1 (5.3) b 2 Sendo: a = 44, 2KPa b = 16,7 Para este funcional de energia e utilizando a geometria arterial sem imperfeição e sem alongamento inicial foi obtida uma pressão crítica de 5 2x 10 mmhg. Na figura 5.12 podemos observar a configuração indeformada e deformada do caso em estudo.

232 232 Figura 5.12 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Delfino com geometria sem imperfeição Para este mesmo funcional foi realizado um estudo adotando-se uma geometria com imperfeição inicial (a mesma geometria adotada no subitem ) e sem alongamento. Para este estudo foi obtida a pressão crítica de 821,11 mmhg. Na figura 5.13 podemos observar a configuração indeformada e deformada do caso em estudo. Figura 5.13 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Delfino com geometria com imperfeição inicial

233 Equação constitutiva de Sacks Sacks propôs a seguinte equação constitutiva para o tecido arterial: ( I 3) + a ( ) 2 W = a I (5.4) Sendo: a = 7,98 kpa 1 a = 8,71 kpa 2 Para este funcional de energia e utilizando a geometria arterial sem imperfeição e sem alongamento inicial foi obtida uma pressão crítica de 2290,80 mmhg. Na figura 5.14 podemos observar a configuração indeformada e deformada do caso em estudo. Figura 5.14 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Sacks com geometria sem imperfeição

234 Equação constitutiva de Sacks aplicada à espessura da média Refazendo o mesmo estudo anterior, porém utilizando-se apenas a espessura referente a camada média, pois Sacks afirma ser este funcional de energia referente a camada media (a que apresenta maior resistência mecânica) foi obtida uma pressão crítica de 1362,58 mmhg, a configuração indeformada e deformada são representadas na figura Para este estudo foi utilizada a geometria arterial proposta por E.S. da Silva (1999) e a espessura da media foi obtida subtraindo o valor proporcional em porcentagem da camada adventitia da geometria apresentada por D. P. Sokolis (2007). Figura 5.15 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Sacks com espessura apenas da camada media

235 Equação constitutiva de Sacks aplicada à espessura da média e geometria de D.P. Sokolis Realizando o mesmo estudo, porém alterando a geometria inicial para a geometria proposta por D. P. Sokolis (2007) e considerando apenas a espessura da camada média na análise obtivemos a pressão criticada de 875,58 mmhg, nesta análise a pressão encontrada não tornou-se estável, apresentou incrementos crescentes até atingir a pressão referida e a análise foi interrompida. A configuração indeformada e deformada podem são representadas na figura Figura 5.16 Configuração indeformada e deformada para o funcional de energia de Sacks com espessura apenas da camada media e geometria de D. P. Sokolis (2007) 5.3. Estudo da degeneração local do tecido arterial para a formação do aneurisma A. Dorfmann (2010) nos apresenta a configuração indeformada e deformada da figura 5.17 para a formação do aneurisma.

236 236 Figura 5.17 Configuração indeformada e deformada proposta por A. Dorfmann (2010) para os aneurismas Pela observação da configuração deformada proposta, podemos adotar λ = 1,2 1, λ = 2, 3 2 e λ = 0, Temos que as tensões principais são obtidas por: [ α( I 3) ] σ 1 = µ ( λ1 λ1 λ2 )exp 1 (5.5) [ α( I 3) ] σ 2 = µ ( λ2 λ1 λ2 )exp 1 (5.6) Sendo I 1 o primeiro invariante de deformação definido como: I = λ + λ + λ λ (5.7) Sabemos que do estudo do equilíbrio de vasos de pressão, a tensão na direção 2 é dada por: pr σ 2 = (5.8) t Com os dados acima expostos e com µ = 2,5kPa (mudei o K) e α = 43, 5, valores estes propostos por A. Dorfmann (2010), encontramos σ 2 = 7, Pa. Valor este que para ser alcançado seria necessário uma pressão tão grande que desta forma o corpo humano não poderia gerar um aneurisma.

237 237 Como sabemos que os aneurismas são doenças que realmente ocorrem no ser humano, nos resta à hipótese de que na região onde ocorre o aneurisma, a degeneração do tecido arterial seja muito mais acentuada que no restante da parede arterial, sendo desta forma os parâmetros µ e α diferentes do proposto para o tecido arterial saudável. Para demonstrarmos a variação da pressão crítica suportada pelo material, realizamos dois estudos envolvendo a variação da constante elástica do material e a espessura da região da imperfeição Primeiro estudo das imperfeições locais dos aneurismas No primeiro estudo foi utilizada uma imperfeição como a descrita no item (Caso 1). Neste estudo foi adotada uma análise com 2181 elementos de casca e funcional de energia Neo Hooke para que fosse possível introduzir uma variação linear no valor da constante elástica, com a constante utilizada no estudo do silicone, apresentada na tabela 4.2. Para este primeiro estudo a região da imperfeição apresentava espessura média de 1,75 mm, segundo a geometria proposta por E. S. da Silva e outros (1999). Essa espessura foi mantida constante e o valor da constante elástica foi reduzida de 54,83 kpa (modelo perfeito) para 49 kpa, 43 kpa, 37 kpa e 31 kpa. Na figura 5.18 podemos observar a posição da imperfeição local onde o valor da constante elástica foi reduzida.

238 238 2,5 cm 2,5 cm Figura 5.18 Posição da imperfeição local Para este caso de imperfeição local podemos observar a variação da pressão crítica e da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição na tabela 5.3. Constante Elástica (KPa) Pressão Crítica (mmhg) Tensão máxima (KPa) 54,83 166,44 307, ,30 245, ,52 276, ,30 226, ,78 189,1 Tabela Variação da pressão crítica e da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição

239 Nas figuras 5.19 e 5.20 podemos observar a representação gráfica da tabela Variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica Pressão crítica (mmhg) Constante elástica (KPa) Figura Variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica Tensão máxima trativa principal (KPa) Constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição

240 240 Na figura 5.21 podemos observar as configurações deformadas de cada uma dos casos estudados para a variação da constante elástica. 54, Figura Configurações deformadas de cada uma dos casos estudados para a variação da constante elástica (KPa)

241 Segundo estudo das imperfeições locais dos aneurismas No segundo estudo foi utilizada uma imperfeição como a descrita no item (Caso 1). Neste estudo foi adotada uma análise com 2181 elementos de casca e funcional de energia Neo Hooke para que fosse possível introduzir uma variação linear no valor da constante elástica, com a constante utilizada no estudo do silicone, apresentada na tabela 4.2. Para este segundo estudo a região da imperfeição apresentava espessura média de 1,75 mm, segundo a geometria proposta por E. S. da Silva e outros (1999). Essa espessura foi reduzida inicialmente para 0,75 mm e o valor da constante elástica foi reduzida de 54,83 KPa (modelo perfeito) para 49 KPa, 43 KPa, 37 KPa e 31 KPa. Na figura 5.18 podemos observar a posição da imperfeição local onde o valor da constante elástica foi reduzida. Para este caso de imperfeição local podemos observar a variação da pressão crítica e da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição na tabela 5.4. Constante Elástica (KPa) Pressão Crítica (mmhg) Tensão máxima (KPa) 54,83 (modelo perfeito) 166,44 307,9 54,83 78,12 354, ,99 348, ,58 227, ,84 223, ,09 241,9 Tabela Variação da pressão crítica e da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica e da espessura no local da imperfeição

242 242 Nas figuras 5.22 e 5.23 podemos observar a representação gráfica da tabela 5.3. Variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica Pressão crítica (mmhg) Modelo Perfeito Constante elástica (KPa) Figura Variação da pressão crítica em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica Tensão máxima trativa principal (KPa) Modelo perfeito Constante elástica (KPa) Figura Variação da tensão máxima trativa principal em função da diminuição da constante elástica no local da imperfeição

243 243 Na figura 5.24 podemos observar as configurações deformadas de cada uma dos casos estudados para a variação da constante elástica. 54,83 54, Figura Configurações deformadas de cada uma dos casos estudados para a variação da constante elástica (KPa) Podemos observar que tanto no primeiro caso quanto no segundo caso a variação da pressão crítica ocorre de forma praticamente linear. Verificamos também que a variação da pressão crítica ocorre de forma muito mais acentuada no segundo caso, quando temos a redução da espessura da parede arterial e do