CONTROLE DA INTERFACE DE ESPUMA NO PROCESSO DE FLOTAÇÃO EM COLUNA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO UFOP ESCOLA DE MINAS EM DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO E TÉCNICAS FUNDAMENTAIS DECAT CONTROLE DA INTERFACE DE ESPUMA NO PROCESSO DE FLOTAÇÃO EM COLUNA MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Ernesto Peregrino de Rezende Júnior Ouro Preto, 2005

2 ERNESTO PEREGRINO DE REZENDE JÚNIOR CONTROLE DA INTERFACE DE ESPUMA NO PROCESSO DE FLOTAÇÃO EM COLUNA Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos para a obtenção de Grau em Engenheiro de Controle e Automação. Orientador: Paulo Marcos de Barros Monteiro, D. S., Prof. Titular Ouro Preto Escola de Minas UFOP Fevereiro/2005

3 II

4 III Agradeço aos professores Paulo, Eliana, Jader e ao engenheiro Fernando, por toda ajuda e orientação ao longo desse trabalho. SUMÁRIO

5 IV LISTA DE FIGURAS...IV RESUMO...V ABSTRACT...VI I. INTRODUÇÃO... 1 II. PROCESSO DE FLOTAÇÃO Terminologia do Processo Variáveis da Coluna de Flotação Variáveis Manipuladas... 7 III. MODELAMENTO Nível da camada de Espuma Vazão de Ar Relação HpexQg* Instrumentação Obtenção dos Dados Identificação do Sistema IV. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA V. TÉCNICA DE CONTROLE IMPLANTADA VI. CONCLUSÃO VII. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS LISTA DE FIGURAS

6 V Figura Esquema básico de uma coluna de flotação. Fonte: Luz et al... 4 Figura Gráfico do comportamento do sistema Figura Interface do ident com o usuário Figura Janela de importação dos dados Figura Gráfico dos sinais de entrada e saída Figura Resposta ao degrau do sistema Figura 3.6 Saídas dos modelos estimados Figura Bloco de simulação da planta sem controle Figura Resposta ao degrau da função de transferência Figura Bloco de simulação da planta com controlador Figura Simulação do sistema de controle Figura Bloco de simulação da planta com controlador PID Figura 5.4 Simulação do sistema com controlador PID RESUMO

7 VI Uma coluna de flotação apresenta um grande número de variáveis envolvidas no processo, tais como, vazão de alimentação da polpa, vazão do afundado, vazão de água de lavagem, vazão de ar, vazão de reagentes, etc. A oscilação desses parâmetros pode comprometer a estabilidade do processo prejudicando o rendimento do sistema. Para que a coluna opere em condições estáveis, algumas estratégias de controle estão sendo propostas por pesquisadores da área, com diferentes abordagens das variáveis. A altura da camada de espuma é um dos parâmetros mais importantes a ser controlado e sua estabilidade esta fortemente ligada a vazão de ar na base da coluna. Tomando esses parâmetros como objetivos de controle é feita a modelagem do sistema em espaço de estados, considerando as demais variáveis do processo constantes. Com o modelo em espaço de estados, pode-se obter a função de transferência no domínio de Laplace e conseqüentemente técnicas de controle clássico como controladores do tipo proporcional, integral e derivativo, são simuladas via software MATLAB 6.5 e SIMULINK 5. Os resultados coletados nas simulações são satisfatórios, atingindo-se o objetivo de controlar a interface de espuma em função da vazão de ar inserida na coluna. Palavras-chave: coluna de flotação; interface de espuma; modelagem; controle. ABSTRACT

8 VII A column flotation presents a great number of variables involved in the process, such as, feed rate, tailings rate, wash water rate, air outflow, reagents rate, etc. The oscillation of these parameters can compromise the stability of the process harming the income of the system. To assure that the columns operate in steady conditions, some strategies of control are proposed by researchers of the area, with different approachs of the variables. The height of the foam layer is one of the most important parameters to be controlled and its stability is highly connected with the air outflow in the base of the column. Taking these parameters as objective of control the modeling of the system in space of states is obtained, considering constants the variables of the process. With the model in space of states, the function of transference in the domain of Laplace can be consequently obtained and techniques of classic control as controlling of the proportional, integral and derivative type, can be simulated by the softwares MATLAB 6,5 and SIMULINK 5. The results collected in the simulations are satisfactory, reaching the objective of controlling the foam interface according to the inserted air rate in the column. Key words: column flotation; foam interface; modelling; control.

9 1 I. INTRODUÇÃO O Processo de flotação em coluna pode ser considerado uma técnica muito recente, pois, só foi desenvolvida na década de 60 por Boutin e Tremblay, sendo que, a primeira implantação industrial se realizou em 1981 em Les Mines Gaspé no Canadá. Os estudos no Brasil tiveram início em 1985, e em 1990 é instalada a primeira coluna de flotação na industria brasileira (Luz et al, 2002). A flotação em coluna tem como objetivo principal aumentar o teor do mineral de valor econômico, separando o mesmo das impurezas presentes junto ao minério no processo de extração. A medição dos teores de um determinado mineral é feita através da análise química de amostras, sendo assim, não é possível a medição direta deste valor no contexto de variáveis de controle. Portanto são necessárias estratégias de controle, que através da manipulação de certas variáveis, a planta entre em regime, ou seja, condições estáveis de funcionamento, garantindo o melhor desempenho possível na recuperação dos teores. Segundo Persechini et al (2001), o objetivo de otimizar o desempenho metalúrgico é muito genérico, existindo três objetivos básicos que necessitam ser atingidos: 1) estabilizar o processo minimizando a freqüência e a severidade de operações erráticas; 2) alcançar os valores nominais de referência para a recuperação e o teor do mineral de interesse no concentrado; 3) maximizar o desempenho econômico do processo. O objetivo fundamental do sistema de controle é manter a coluna em condição operacional estável. Para isso, é necessário controlar o nível da interface polpa espuma, os fluxos de polpa, água de lavagem e ar (Luz et al, 2002). Este trabalho propõe um estudo de caso em uma coluna de flotação piloto, onde são processadas diversas amostras de minério com diferentes teores e objetivos de recuperação. O principal objetivo do estudo é, através da manipulação da variável Vazão de Ar, obter a estabilidade da interface (espessura) de espuma, em uma

10 2 faixa de trabalho de aproximadamente 15% da altura total da coluna, através do modelamento do processo e simulações de controle via software. Para isso uma série de parâmetros do processo serão considerados constantes, como: vazão do afundado, vazão de alimentação, vazão da água de lavagem e densidades de polpa e espuma.

11 3 II. PROCESSO DE FLOTAÇÃO Uma coluna de flotação consiste em um equipamento com um diâmetro efetivo (seções circulares ou não) de 0,3 a 4,5 metros e altura variando entre 10 e 15 metros, em escalas industriais (Luz et al, 2002). Para aplicações em laboratório recomenda-se um diâmetro de 2,5 a 5,0 cm e altura variando entre 4 e 9 metros (Finch e Dobby, 1990). Segundo Luz et al (2002), são indicadas nas colunas duas zonas distintas: a zona de coleta (também chamada de zona de recuperação ou zona de concentração), entre a interface polpa-espuma e o sistema de aeração; a zona de limpeza (também conhecida como zona de espuma), entre a interface polpa espuma e o transbordo. Para a alimentação da coluna, é feito anteriormente o condicionamento de uma polpa, onde são adicionados reagentes químicos com diferentes propriedades em relação à água. A polpa já condicionada é bombeada à aproximadamente dois terços da altura da coluna. Partículas hidrofóbicas, com a ajuda das bolhas de ar introduzidas na base da coluna, aderem-se às mesmas e são arrastadas para a zona de limpeza, enquanto que as partículas hidrofílicas associadas a um reagente depressor, tendem a se depositar no fundo e são aspiradas por uma bomba coletora. A água de lavagem no topo da coluna tem como função, evitar que partículas hidrofílicas conduzidas juntamente com as bolhas de ar sejam misturadas ao flotado, comprometendo o desempenho do processo de separação mineral. Esse fluxo de água descendente também é responsável pela determinação da altura da camada de espuma. A figura 2.1 representa o esquema básico de uma coluna de flotação, onde as principais variáveis do processo são destacadas.

12 Figura Esquema básico de uma coluna de flotação. Fonte: Luz et al. 4

13 5 2.1 Terminologia do Processo No processo de flotação em coluna são adotados alguns termos técnicos utilizados na quantificação das variáveis, sendo esses constantemente citados durante o estudo (Luz et al, 2002). Hold up (%) É a fração volumétrica ocupada por uma das três fases em um dado ponto da coluna. Assim, o hold up do ar é normalmente determinado na seção de coleta e representa uma medida da quantidade de ar, expressa em percentagem do volume total ocupada pelo ar. Velocidade superficial (cm/s) É a relação entre a vazão volumétrica de determinada fase e a área da seção transversal da coluna, isto é, (cm 3 /s)/cm 2 ou cm/s. Esta unidade permite a comparação das variáveis operacionais entre colunas de dimensões diferentes. Velocidade Intersticial (cm/s) É a relação entre a vazão volumétrica de determinada fase por unidade de área disponível para esta mesma fase. Num sistema de três fases sólido, líquido e ar, a área ocupada por uma das fases é a área total menos a área ocupada pelas outras duas fases. Velocidade relativa É a velocidade resultante entre duas fases distintas. Esta velocidade é obtida pela diferença ou soma das velocidades absolutas de cada fase considerando, respectivamente, movimentos no mesmo sentido ou no sentido oposto. Bias É a fração residual da água de lavagem adicionada no topo da coluna que flui através da seção de limpeza. Operacionalmente é quantificada pela diferença ou pela relação entre as vazões volumétricas de polpa da fração não flotada e da alimentação. Convencionalmente o bias é chamado positivo ou negativo quando a vazão volumétrica de polpa da fração na flotada é, respectivamente, maior ou menor do que a vazão volumétrica de polpa da alimentação. Capacidade de Carregamento (g/min.cm 2 ) É a maior vazão mássica de sólidos que pode ser descarregada por área de transbordo da coluna. A capacidade de carregamento pode ser determinada experimentalmente mantendo-se as condições operacionais da coluna constantes e variando a sua taxa de alimentação de sólidos até atingir um valor Maximo de material flotado.

14 6 Capacidade de transporte (g/min.cm 2 ) é a vazão mássica de sólidos descarregada por área de transbordo da coluna em uma dada condição operacional. Nas colunas industrias de grande porte a capacidade de transporte deve ser no máximo igual a um terço da capacidade de carregamento. Capacidade de transbordo (g/min.cm) É a relação entre a vazão mássica de polpa e o perímetro de transbordo da coluna. Para colunas industriais o perímetro de transbordo não aumenta na mesma proporção da seção transversal da coluna dificultando o escoamento da polpa flotada. Nestas circunstancias são utilizadas calhas internas para aumentar o perímetro de transbordo da coluna. Capacidade de carga (g/min.m 3 ) É a maior vazão mássica de sólidos flotada por unidade volumétrica de ar. Convenção de fluxos São definidos como positivos os fluxos descendentes de sólido e líquido e o fluxo ascendente de ar. 2.2 Variáveis da Coluna de Flotação De acordo com Persechini et al (2001), as variáveis de uma coluna de flotação estão divididas em: 1. Variáveis Manipuladas. 2. Variáveis Controladas Primárias 1. Recuperação (percentagem do mineral útil contida na alimentação que é recuperada no concentrado); 2. Percentagem de sólidos no concentrado; 3. Teor do mineral de interesse no concentrado; 3. Variáveis Controladas Secundárias 1. Nível, ou altura da camada de espuma; 2. Bias (fluxo resultante de água descendente através da camada de espuma);

15 7 3. Hold de ar (percentagem volumétrica de ar em uma determinada região da coluna); 4. Perturbações. 1. Variação em relação ao tamanho médio das partículas; 2. Variação da percentagem de sólidos na polpa de alimentação; 3. Variação de características mineralógicas na polpa de alimentação; 4. Variação na vazão de alimentação da polpa de minério que, em operação normal, deve ter média nula, ou seja: a vazão de alimentação deve permanecer constante; 2.3 Variáveis Manipuladas As variáveis manipuladas, são aquelas diretamente ligadas ao processo, ou seja, é onde atuadores (válvulas, acionadores elétricos, bombas, inversores de freqüência, etc) são instalados com o objetivo de efetuar os comandos determinados pelo controlador. Vazão de ar É uma das variáveis mais importantes do processo. Conforme a quantidade de bolhas de ar presentes na coluna, a recuperação do teor mineral desejado é consideravelmente elevada, pois com o aumento da vazão de ar, conseqüentemente ocorrerá uma melhor coleta de partículas hidrofóbicas em direção a zona de limpeza. Porém o excesso das bolhas na coluna pode levar a diminuição do rendimento, ou seja, partículas hidrofílicas podem ser arrastadas juntamente com as hidrofóbicas. Vazão da água de lavagem Com a adição da água de lavagem, a coluna de flotação tem possibilidade de aumentar a seletividade do processo sem perda de recuperação, possibilitando a remoção de partículas hidrofílicas arrastadas pelas bolhas de ar. Vazão de remoção do afundado A remoção do afundado deve ser feita de modo a garantir a estabilidade da interface polpa espuma frente às oscilações

16 8 da vazão de água de lavagem e principalmente, de alimentação, uma vez que a vazão de alimentação depende da eficácia da etapa anterior do processo e nem sempre está sob controle da área de flotação (Guimarães e Peres, 1995). Adição de Reagentes Anteriormente ao início da etapa de beneficiamento do minério na coluna é feito o condicionamento da polpa através da adição de reagentes, que além de efetuarem o controle de ph, ajudam a acentuar as características hidrofóbicas e hidrofílicas da polpa, melhorando o desempenho do processo. Abordando o ponto de vista de controle, essas são as variáveis mais importantes a serem consideradas, para que se atinja os objetivos alcançados.

17 9 III. MODELAMENTO A modelagem matemática de um sistema é definida como um conjunto de equações que representam o comportamento do sistema com precisão ou, pelo menos de forma aceitável. O modelo matemático, não é o único possível para um sistema, pois existem outras técnicas de modelagem, como a modelagem empírica, modelagem Fuzzi (Nebulosa), Redes Neurais, etc. Os modelos matemáticos podem assumir formas diferentes. Dependendo do sistema que é alvo de interesse e das circunstancias particulares. Identificação de sistemas é uma área do conhecimento que estuda técnicas alternativas de modelagem matemática. Uma das características dessas técnicas é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário e, conseqüentemente, tais métodos são também referidos como modelagem caixa preta ou modelagem empírica (Aguirre, 2004). O modelo desenvolvido para um determinado sistema é apenas uma representação aproximada, conseqüentemente existem vários modelos para um sistema com características e desempenhos variados. A escolha de qual modelo a ser utilizado não é uma decisão fácil. Além disso, o modelo é uma aproximação de algumas características do sistema real, sendo assim é praticamente impossível uma modelagem que atinja todas as características do sistema. A abordagem proposta nesse trabalho é uma modelagem matemática obtida empiricamente, ou seja, obter uma base de dados sobre o comportamento do sistema através das equações matemáticas do mesmo e das faixas de trabalho dos sensores e atuadores utilizados na instrumentação de uma planta piloto de flotação. O sistema alvo, citado anteriormente é o controle do nível da camada de espuma através da manipulação da vazão de ar na base da coluna. 3.1 Nível da camada de Espuma

18 10 Para a medição da interface de espuma, podem ser usadas diferentes propriedades físicas, sendo assim, os sensores utilizados podem ser flutuadores, medidores ultra-sônicos, medidores de pressão, temperatura, condutores elétricos, etc (Finch e Dobby, 1990). A maneira mais utilizada para medir o nível é através de transdutores de pressão, podendo-se utilizar, de um a três sensores ao longo da coluna. Na modelagem do sistema será utilizada a técnica com dois sensores de pressão, onde o espessura de espuma é obtida pela seguinte equação(luz et al, 2002): H pe = ( P1 h2 P2 h1) ( P1 P2) + ( h2 h1) ρe g (3.1) Onde: H pe altura da camada de espuma; h1 altura do sensor superior ao transbordo da coluna; h2 altura do sensor inferior ao transbordo da coluna; ρ e densidade média da espuma; P1 P2 g pressão no sensor superior; pressão no sensor inferior; aceleração da gravidade Com a instalação de dois sensores na zona de concentração da coluna, a estimativa da interface de espuma fica independente da densidade de polpa e considerando que a densidade de espuma é quase constante, o uso de dois sensores pode reduzir em até 80% o erro na medição da altura da camada de espuma, sendo a alternativa mais utilizada atualmente na industria e em pesquisas (Luz et al, 2002). 3.2 Vazão de Ar A vazão de ar é uma das variáveis mais importantes no controle do processo de flotação em coluna e tem um efeito significativo sobre a recuperação do

19 11 mineral flotado. As colunas de flotação devem operar com uma vazão de ar muito precisa, cujo valor depende do tipo de mineral, da capacidade de recuperação, da granulometria de do tamanho das bolhas. Dentro dos limites de estabilidade da coluna a recuperação do mineral flotado é normalmente crescente com o aumento da vazão de ar até atingir o seu valor máximo. Este ganho na recuperação deve-se ao aumento do número de bolhas introduzidas na coluna, conseqüentemente, aumentase a área superficial de coleta das partículas hidrofóbicas. Entretanto um acréscimo significativo da vazão de ar pode prejudicar o desempenho do processo, causando turbulência no interior da coluna e assim perdendo a interface polpa/espuma da coluna. A vazão de ar em CNTP, situada entre 1 e 3 cm/s, pode ser calculada através da equação (Luz et al, 2002): Qg = Jg Ac (3.2) Onde: Qg vazão de ar; Jg Ac velocidade superficial do ar; área da seção transversal da coluna; A velocidade superficial média do ar ( Jg ) entre dois pontos da coluna a pressões P1 e P2 está relacionada com a velocidade superficial do ar em condições padrão ( Jg ) pela equação (Luz et al, 2002): P1 Jgl Jg = (3.3) ( P2 P1) A vazão média de ar é dada pela equação: Qg = Jg Ac (3.4) Onde: Jg velocidade superficial média; Jgl velocidade superficial do ar na condições padrão Jgl ( P2 P1);

20 12 P1 P2 Qg pressão no sensor superior; pressão no sensor inferior; vazão média de ar; 3.3 Relação HpexQg* Para iniciar o modelamento do sistema proposto é necessário estabelecer uma relação das equações das variáveis envolvidas no processo, ou seja, relacionar a vazão média de ar com a altura da camada de espuma. Através da manipulação das equações (3.1) e (3.4), obtém-se a seguinte equação: Qg = Hpe P1 Jgl Ac [ Hpe ( h2 h1) ρe g ( P1 h2 P2 h1) ] (3.5) A partir da equação (3.5) é possível criar um banco de dados do comportamento do sistema. Todas as etapas necessárias para a obtenção do modelo (comportamento do sistema) serão explicitadas no tópico seguinte. 3.4 Instrumentação As informações necessárias para a obtenção do modelo empírico do sistema, foram obtidas em (Persechini et al, 2001), onde é feito um estudo completo voltado para a instrumentação de uma coluna de flotação piloto, visando o desenvolvimento de técnicas de controle avançado. Os parâmetros utilizados no trabalho são referentes a uma coluna piloto montada no Centro de Tecnologia Nuclear (CDTN).

21 13 A coluna foi construída em tubo de acrílico transparente com 5,1 cm de diâmetro interno e altura total de 720 cm. O sistema de aeração é composto por um aerador construído com um tubo de PVC perfurado, revestido de borracha natural microperfurada e coberto por uma tela metálica(persechini et al, 2001). O modelagem proposta no estudo é de um sistema bifásico (água e ar) e as faixas de calibração dos instrumentos utilizados nas medições são as seguintes: 1. PT-01 Medidor de Pressão (5 a 27 kpa) 2. PT-02 Medidor de Pressão (19 a 41 kpa) 3. Válvula reguladora para entrada de ar (0 a 100%) Além das características dos sensores e atuadores, alguns dados utilizados na equação (3.5) devem ser explicitados: ρ e = 0,3 g/cm 3 = 300 kg/cm 3 hold up = 30% Jgl = 2 cm/s = 72 m/h h1 = 2,3 m h2 = 3,5 m g = 9,81 m/s 2 2 Ac = m Com todas essas informações torna-se possível a estimação do comportamento do sistema, ou seja, quais os efeitos da vazão de ar, na interface de espuma, da zona de limpeza da coluna de flotação. 3.5 Obtenção dos Dados Observando as equações (3.1) e (3.4) fica claro que as variáveis, vazão média do ar e altura da camada de espuma, estão relacionadas pela diferença de

22 14 pressão. Esses valores são medidos pelos transdutores de pressão PT-01 e PT-02. A faixa de calibração dos transdutores de pressão será aplicada nas equações (3.1) e (3.4), considerando apenas o intervalo de interesse para o trabalho. Esse parâmetro pode ser determinado através do limite máximo e mínimo que a altura da camada de espuma poderá atingir. Foi determinado o intervalo de 0.5m a 1,25m, sendo assim, é possível obter a massa de dados necessária para a modelagem do sistema. Através desses dados é feito um gráfico (Figura 3.1) do comportamento do sistema em função das variações de pressões medidas pelos transdutores. 1,4 Altura da Camada de Espuma X Vazão Média de Ar 1,2 1 y = -0,0458x 2-0,3308x + 2,4934 R 2 = 1 HpexQg* Polinômio (HpexQg*) 0,8 Hpe m 0,6 0,4 0,2 0 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Qg* l/min Figura Gráfico do comportamento do sistema. 3.6 Identificação do Sistema

23 15 Analisando a figura 3.1 pode-se observar que o comportamento do sistema segue uma tendência a uma função polinomial de segunda ordem, porém essa informação não é suficiente para que o sistema seja modelado. A primeira etapa a ser realizada na identificação do modelo consiste em determinar a variável de entrada u(k) e a variável de saída y(k). Para o sistema em questão a variável de saída y(k) é a altura da camada de espuma e a variável de entrada u(k) é a vazão média do ar. Identificação de sistemas é um procedimento alternativo. A motivação básica é simples. Supondo que estejam disponíveis os sinais de entrada, u(k), e de saída, y(k), de um sistema real qualquer. A identificação de sistemas propõe a obter um modelo matemático que explique, pelo menos em parte de forma aproximada, a relação de causa e efeito presente nos dados, ou seja, para uma determinada entrada u(k) qual o valor da saída y(k). A identificação de um sistema trata-se de um processo muito complicado, onde varias etapas devem ser alcançadas para a obtenção do modelo. No auxilio do desenvolvimento do modelo será utilizado o software MATLAB 6.5, mais especificamente uma caixa de ferramentas chamada System Identification Toolbox. Nessa caixa existe um comando chamado ident que abre uma interface gráfica bem amigável com o usuário (Figura 3.2).

24 16 Figura Interface do ident com o usuário. Essa ferramenta possui vários métodos de estimação de modelos como os utilizados em equações diferenciais, ARX e ARMAX, e todos os tipos de modelos lineares em espaço de estados. O ident possui todas as técnicas comuns de ajuste de parâmetros em todos os tipos de modelos lineares, e permite também que você examine as propriedades dos modelos. Uma vez aberta a interface com o usuário, deve-se criar dois vetorescoluna, no workspace do MATLAB, correspondentes aos dados da entrada u(k) e da saída y(k) do sistema. Após a criação dos vetores é necessário importar os dados para a caixa de ferramentas de identificação de sistemas (Figura 3.3).

25 17 Figura Janela de importação dos dados. Na janela de importação é feita a nomeação das variáveis e a determinação das unidades de trabalho do processo. Maiores detalhes sobre os comandos utilizados no MATLAB e no ident serão devidamente explicitados e explicados no ANEXO, correspondente ao código fonte utilizado no processo de modelagem. Com os dados já disponíveis no ident torna-se possível a confecção dos gráficos do comportamento das entradas e saídas no domínio do tempo. Esses gráficos são importantes para confirmação do comportamento da saída em função da entrada no decorrer do tempo (Figura 3.4).

26 18 Figura Gráfico dos sinais de entrada e saída. Após a conclusão das etapas anteriores o modelo do sistema pode ser estimado através de várias técnicas disponíveis no ident. A técnica de modelagem escolhida para se tratar o problema foi a de modelos paramétricos em espaço de estados. Esse tipo de representação descreve o sistema no domínio do tempo. Um modelo linear típico em espaço de estados tem a seguinte forma: x & = Ax + Bu (3.6) y = Cx + Du (3.7) Sendo que x R n é o vetor de estado n-dimensional, o ponto indica a r derivada temporal, ou seja, x & = dx / dt ; u( t) R é o vetor de entradas formado por r funções temporais; y( t) R p é o vetor p-dimensional de saídas medidas e A, B, C e D são matrizes constantes. Duas informações importantes sobre a representação em espaço de estados são: i) o conhecimento do vetor de estado em qualquer instante t o especifica o estado ou condição do sistema nesse instante; ii) a representação em espaço de

27 19 estados não é única, ou seja, é possível representar o mesmo sistema com mais de um modelo no espaço de estados (Aguirre, 2004). Figura Resposta ao degrau do sistema. Uma vez gerado o modelo em espaço de estados, o mesmo pode ser submetido a uma série de testes que irão definir a resposta do sistema. A figura 3.5 representa a resposta do sistema à entrada degrau, podendo-se concluir que a amplitude da resposta está muito alta, para os parâmetros reais de trabalho da altura da camada de espuma no processo de flotação em coluna, pois deseja-se trabalhar com um nivel de espuma na faixa de 0,5m a 1,25m. Para chegar a esses níveis de trabalho será necessária a implementação de alguma técnica de controle que venha a diminuir a amplitude da resposta do sistema modelado.

28 20 Figura 3.6 Saídas dos modelos estimados. A figura 3.6 representa a saída dos modelos estimados e qual a sua precisão em relação ao comportamento do sistema, definido na figura 3.1. A estimação do modelo tem como objetivo a obtenção dos parâmetros do sistema para que se possa calcular a função de transferência do mesmo, pois com o modelo em espaço de estados, ou seja, no domínio do tempo (ANEXO), não é possível desenvolver técnicas de controle para o sistema.

29 21 IV. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A função de transferência de um sistema representado por equações diferenciais lineares invariantes no tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída (função resposta) e a transformada de Laplace do sinal de entrada (função excitação), na hipótese de que todas as condições iniciais são nulas (Ogata, 2000). Em outras palavras, uma função de transferência descreve a relação dinâmica de causa e efeito entre uma entrada e uma saída de um determinado sistema. No capítulo anterior foi definido o modelo do sistema proposto no domínio do tempo, através da sua equação em espaço de estados: x(t+ts) = A x(t) + B u(t) + K e(t) (4.1) y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t) (4.2) A = x1 x2 x1 0, , x2 2,0074e 005 0,99251 (4.3) Qg B = x1 0, (4.4) x2 0,62142 x1 x2 C = Hpe 23,369 0, (4.5) D = Hpe Qg 0 (4.6)

30 22 Hpe K = x1 x (4.7) x1 x(0) = x 2 0, ,92 (4.8) Definir a função de transferência do sistema consiste em transformar essas equações no domínio do tempo em equações no domínio de Laplace. Esse procedimento é feito através da Transformada de Laplace do sistema. No auxilio dessa transformação novamente será utilizado o software MATLAB 6.5, que através de algumas linhas de comando descritas e explicadas no ANEXO, define a função de transferência no domínio de Laplace: Y ( s) U ( s) ( 3,83s + 0,04738) = s 2 + 0,7603 s + 0, (4.9) Onde Y(s) corresponde a saída do sistema (Hpe) e U(s) corresponde a entrada do sistema. Definida a função de transferência torna-se possível a aplicação do controle na planta de flotação. Como o trabalho proposto trata-se de uma simulação do processo via computador é de fundamental importância o uso do software SIMULINK pertencente ao MATLAB 6.5, onde a função de transferência é inserida em um bloco simulador e outros blocos como a entrada do sistema, controladores, osciloscópios, etc, podem ser corretamente dimensionados e simulados. A Figura 4.1 representa a primeira simulação realizada do sistema. A importância desse procedimento esta na comparação da resposta ao degrau do modelo em espaço de estados (domínio do tempo), com a resposta da função de transferência, para que se comprove a validade da planta no domínio de Laplace.

31 23 Figura Bloco de simulação da planta sem controle. A comparação das respostas pode ser feita através do sinal gerado pelo osciloscópio ligado à saída do sistema correspondente a Figura 4.2. Figura Resposta ao degrau da função de transferência. Fazendo uma comparação da Figura 3.5 com a Figura 4.2 pode-se concluir que a resposta ao degrau possui coerência, pois ambos os sistemas se estabilizam em pontos muito próximos, garantindo a validação da função de transferência. Ainda analisando a Figura 4.2 fica claro que o sistema se estabiliza em uma altura da camada de espuma próxima a oito metros, que em termos práticos é

32 24 um valor impraticável, pois a faixa de trabalho definida no capítulo anterior é de 0,5 m a 1,25 m. Para solucionar o problema é necessário a implantação de um controlador, que estabilize o nível de espuma em um valor desejado, dentro da faixa de trabalho.

33 25 V. TÉCNICA DE CONTROLE IMPLANTADA Um controlador automático compara o valor real da grandeza de saída do processo com a grandeza de referencia (valor desejado), determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno. A maneira pela qual o controlador automático produz o sinal de controle é chamada ação de controle (Ogata, 2000). Os controladores aplicáveis ao processo são classificados da seguinte maneira: 1. Controladores liga-desliga 2. Controladores Proporcionais 3. Controladores do tipo integral 4. Controladores do tipo proporcional e integral 5. Controladores do tipo proporcional e derivativo 6. Controladores do tipo proporcional, integral e derivativo A escolha do método de controle foi determinada por meio da análise da resposta do sistema a entrada degrau, pois observa-se na Figura 4.2 que uma redução no ganho do sinal de entrada pode levar a estabilidade do sistema a faixa de trabalho desejada (0,5m a 1,25). Para um controlador proporcional, a relação entre o sinal de saída do controlador Y(s) e o sinal do erro atuante E(s) é: Y ( s) E( s) = Kp (5.1) Onde Kp é denominado ganho proporcional. O controlador proporcional é essencialmente um amplificador com ganho ajustável. Portanto a entrada U(s) será igual a: U ( s) = Kp E( s) (5.2)

34 26 O controle em malha fechada de um sistema controlado por um ganho proporcional é representado pela Figura 5.1, onde a saída Y(s) realimenta negativamente a entrada U(s) gerando o erro E(s) do sistema, que será multiplicado por um determinado ganho Kp. Figura Bloco de simulação da planta com controlador. A fim de testar o desempenho do controlador foi estabelecido um valor intermediário da faixa de trabalho proposta, sendo o mesmo 0,7 m, que corresponde a entrada de referencia U(s) do sistema. O resultado da simulação é obtido pelo sinal do osciloscópio 4 e é representado pela Figura 5.2, onde pode-se concluir que o sistema atinge a estabilidade, porém não se estabiliza no valor desejado (0,7 m).

35 27 Figura Simulação do sistema de controle. O controlador proporcional não sendo suficiente para estabilizar o sistema, parte-se para outros métodos de controles citados no início do capítulo. Um controlador do tipo proporcional, integral e derivativo poderá ser a solução para o problema de estabilidade. A combinação da ação de controle proporcional, integral e derivativa possui as vantagens de cada uma das três ações individuais. A equação de um controlador com esta ação combinada é dada por: Ki U ( s) = E( s) Kp + + skd s (5.3) O controle em malha fechada de um sistema controlado por um PID é representado pela Figura 5.3, onde o erro E(s) agora será tratado por três tipos de controladores em paralelo, somando-se as saídas dos mesmos.

36 28 Figura Bloco de simulação da planta com controlador PID. Figura 5.4 Simulação do sistema com controlador PID. Utilizando-se os mesmos parâmetros testados para a ação de controle proporcional, pode ser verificado se o desempenho do controlador PID satisfaz as expectativas de estabilidade da interface de espuma em 0,7 m. Analisando a Figura 5.4 a eficiência do controlador PID é comprovada, pois fica claro que o sistema se estabiliza no valor de referência (0,7

37 29 m). Ainda tomando como base as informações da Figura 5.4 observa-se que o tempo de resposta do controlador, para que o sistema fique estável é de 6 segundos, considerando que o tempo de amostragem do gráfico é da ordem de 0,01 segundos. Existem algumas técnicas para estimação dos parâmetros de controle Kp, Ki e Kd, porém com a experiência adquirida ao projetar a malha de controle com apenas o controlador proporcional, alguns ajustes por tentativa e erro foram suficientes para determinar as constantes Kp = 0, 08, Ki = 0, 0007 e Kd = 0,23 do sistema de controle.

38 30 VI. CONCLUSÃO Diversos testes foram realizados com valores dentro da faixa de trabalho estipulada de 15% da altura total da coluna (0,5 m a 1,25 m) e os resultados foram muito satisfatórios, pois durante toda a faixa de trabalho o sistema demonstrou-se estável e com um rápido tempo de resposta do controlador. Sendo assim o objetivo principal do trabalho, ou seja, obter a estabilidade da interface de espuma no processo de flotação em coluna através de simulações de técnicas de controle, foi atingido. O processo de flotação em coluna é uma técnica que envolve uma infinidade de parâmetros, variáveis, perturbações e atualmente ainda se estuda os fenômenos ocorridos durante o processamento dos minerais. A aprendizagem e familiarização com o tema foram as etapas mais complicadas do trabalho, porém, muito importantes no processo de modelagem e controle do sistema. Os resultados obtidos ao longo de todo o trabalho podem auxiliar de alguma forma no processo de flotação, principalmente melhorando a estabilidade do sistema, podendo aumentar a recuperação dos teores minerais.

39 31 VII. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGUIRRE, Luis Antonio. Introdução à identificação de sistemas: técnicas lineares e não lineares aplicadas a sistemas reais. 2ª edição. Belo Horizonte: Editora UFMG, FINCH, J. A. e DOBBY, G. S. Column Flotation. 1ª edição. Pergamon Press, GUIMARÃES, R. C. e PERES A. E. C. Maquinas de flotação. Relatório Técnico BT/PMI/046, Escola Politécnica DEM-USP, LUZ, Adão Benvindo et al. Tratamento de Minérios. 3ª edição. Rio de Janeiro: CETEM/MCT, MATSUMOTO, Élia Yathie. MATLAB 6.5: FUNDAMENTOS DE PROGRAMÇÃO. 1ª edição. São Paulo: Editora Érica, MATSUMOTO, Élia Yathie. SIMULINK 5: FUNDAMENTOS. 1ª edição. São Paulo: Editora Érica, OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 3ª edição. Rio de Janeiro: Editora LTC, PERSECHINI, Maria Auxiliadora Muanis et al. Instrumentação de uma coluna de flotação piloto para desenvolvimento de técnicas de controle avançadas. Série Tecnologia Mineral, 80. Rio de Janeiro: CETEM/MCT, 2001 PHILLIPS, C. L. e HARBOR R. D. Feedback control systems. 4ª edição. Prentice Hall: New Jersey, 2000.

40 ANEXOS 32

41 33 % 1º Passo - Criação dos vetores coluna correspondentes à saída y(k) e entrada u(k) >> y=[

42 ] >> u=[

43 ] %2º Passo - Abrir a interface com o usuário da caixa de ferramentas de identificação de %sistemas >> indent %3º Passo - Importar os valores de u(k) e y(k) para o "indent". Basta clicar em "import" e %uma nova janela será aberta, para a colocação dos dados de entrada e saída, nomeação %das variáveis e denominação das unidades de trabalho. %4º Passo - Estimação do modelo na forma paramétrica em espaço de estados. Basta clicar %em "estimate", "parametric models", "estate space". O programa faz um teste para %verificar a melhor ordem para o sistema e logo apos gera um modelo "n4s2". Para %imprimir os parâmetros do modelo no workspace e só digitar o comando abaixo. >> th=n4s2 State-space model: x(t+ts) = A x(t) + B u(t) + K e(t) y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t) A = x1 x2

44 36 x e-005 x B = Qg* x x C = x1 x2 Hpe D = Qg* Hpe 0 K = Hpe x x x(0) = x x % 5º Passo - Obtenção da função de transferência do sistema. As Três linhas de comando % abaixo determinam a função de transferência de forma discreta e continua.

45 37 >>[num, den] = tfdata(th) ; trfn = tf(num, den, 0.01) con = d2c(trfn) % Função de Transferência Discreta Transfer function: z z^ z Sampling time: 0.01 % Função de Transferência Continua Transfer function: s s^ s