Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 HISTERESE

Transcrição

1 MODELAGEM DE TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURÁVEL BASEADO EM UM MODELO ALGÉBRICO DE HISTERESE ROMMEL P. FRANÇA, NIRALDO R. FERREIRA*, LUIZ A. L. DE ALMEIDA ᵼ *Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia Rua Caetano Moura, Federação, BA, Brasil s: ᵼ Universidade Federal do ABC - UFABC Santo André, SP, Brasil lalberto2008@gmail.com Abstract This paper presents a core-type single-phase voltage transformer model considering the non-linearity of the magnetic core using an algebraic model of hysteresis (L²P) as alternative to representation of circuits containing saturable inductors and saturable ferromagnetic cores. The models are implemented in Matlab/Simulink and are used for analysis of inrush currents and secondary voltages. Keywords L²P algebraic hysteresis model, ferromagnetic core, single-phase transformer modelling. Resumo Este trabalho apresenta um modelo de transformador monofásico do tipo núcleo envolvido considerando as não linearidades do núcleo magnético utilizando um modelo algébrico de histerese (L²P) como alternativa para representação de circuitos contendo indutores e núcleos ferromagnéticos saturáveis. Os modelos são implementados em Matlab/Simulink e são utilizados para analise das correntes de partida e das tensões secundárias. Palavras-chave Modelo algébrico de histerese L²P, núcleo ferromagnético, modelagem de transformador monofásico. 1 Introdução Os sistemas elétricos e eletrônicos possuem componentes ou equipamentos que podem conter indutores e núcleos magnéticos. Esse componentes, quando energizados, produzem uma resposta dinâmica com características transitórias que podem ser danosas ao sistema ou simplesmente causar distúrbios no circuito elétrico e na rede em que estão inseridos. A predição do comportamento dinâmico desses elementos não lineares através de modelos matemáticos permite, portanto, prever situações reais e contribui para o desenvolvimento de técnicas que minimizem a ocorrência de distúrbios provocados pelas não linearidades desses elementos. Os indutores associados a núcleos magnéticos a- presentam o fenômeno físico da histerese magnética e perdas por corrente no núcleo. Diversos estudos consideram modelos de histerese baseados nas teorias de (Preisach, 1935) e (Jiles-Atherton, 1983), que utilizam equações integrais ou diferenciais. O modelo de histerese L²P (de Almeida et al., 2003) possui característica fenomenológica e é descrito por equações algébricas, que demandam menor custo computacional quando comparados com os modelos tradicionais. 2 Modelo de transformador monofásico Um transformador monofásico do tipo núcleo envolvido baseado em (Theocharis et al., 2005) pode ser representado pelo circuito elétrico da Figura 1, em que,,,, representam a resistência, a indutância, o número de espiras, a corrente e a tensão primárias, respectivamente, e,,,, as grandezas secundárias. A resistência de valor conhecido é utilizada para medição da corrente primária. O fluxo magnético é obtido considerando-se as não linearidades do núcleo magnético. As equações do circuito elétrico podem ser escritas na forma matricial conforme a Eq. (1). V1 i1 r1 R Vr L1 N1 Φ N2 r2 Figura 1. Transformador monofásico. L2 i2 V2 (1) (2) (3) (4) (5) 931

2 (6) onde, é o fluxo concatenado é a relutância é o comprimento do percurso magnético é a área da seção transversal do núcleo magnético é a relutância dinâmica a permeabilidade magnética dinâmica O modelo do transformador monofásico da Figura 1 será utilizado para a simulação do transformador da Tabela 1, aplicando-se tensão primária 110V em uma bobina (V) e considerando-se como secundário outra bobina (V) do lado oposto, conforme Figura 2. Tabela 1. Dados do transformador. Fabricante Equacional Elétrica e Mecânica LTDA Potência 1kVA Tensão nominal primária 110 / 220 V Tensão nominal secundária 110 / 220 / 330 / 440 V Corrente nominal primária 9,1 / 4,6 A Corrente nominal secundária 2,3 A (em 440V) Resistência por bobina 1,9 Ω Reatância por bobina 8,4 Ω Perda aproximada no ferro 40 W Perda aproximada no cobre 80 W Material do núcleo Aço-silício (b) Vista superior. Figura 2. Dimensões do transformador monofásico utilizado. 3.1 Modelo L²P 3 Modelo de histerese O modelo de proximidade ao laço principal (L²P) possui apenas quatro parâmetros, complexidade matemática reduzida e baixo custo computacional, que possibilita uma rápida implementação numérica e um simples procedimento para estimação dos parâmetros: (7) sendo a magnetização de saturação, o campo magnético, o campo coercitivo, uma constante dependente do material e. A Eq. (7) representa o laço principal da histerese. Para considerar os laços menores e a acomodação, a equação geral do modelo é dada por Tabela 2. Grandezas medidas ou calculadas. Indutância primária (L1) Indutância secundária (L2) Número de espiras da bobina primária (N1) Número de espiras da bobina secundária (N2) Área da seção transversal do núcleo magnético (Ac) Resistência para medição da corrente primária (R) 0,0233 H 0,0233 H ,004 m² 10 Ω (8) em que é o campo de proximidade, é o campo de proximidade em um ponto de reversão e é uma função de proximidade definida por: (9) onde é uma constante arbitrária. Um procedimento para estimação dos parâmetros deste modelo pode ser visto em (de Almeida et al., 2003). A constante é obtida pela minimização da função objetivo, erro médio quadrático, da Eq. (10). (10) (a) Vista frontal. Resultados da aplicação do Modelo L²P A Eq. (7) é utilizada para ajustar os dados experimentais ao laço principal da histerese. As figuras 3 e 4 mostram resultados diferentes baseando-se na alte- 932

3 ração do parâmetro, que representa a magnetização de saturação. Ainda na Eq. (7), os parâmetros e podem ser substituídos pelas variáveis e, respectivamente. Os resultados preliminares indicaram que o modelo L²P não se ajusta completamente aos dados experimentais, de forma que para uma inclinação definida, o ajuste do parâmetro minimiza erros mas mantém uma divergência durante a região de transição para a saturação. As figuras 3 e 4 mostram que há uma pequena inclinação na região de saturação dos dados experimentais, dificultando o ajuste pelo modelo L²P. Isso ocorre devido ao método utilizado para a aquisição dos dados, em que a corrente primária incorpora as correntes parasitas, e não apenas a corrente de magnetização. Este artigo não considera as perdas no núcleo por correntes parasitas. Nesse caso, um melhor ajuste do modelo de histerese aos dados experimentais obtidos implica otimizar o modelo, sem, no entanto, acrescentar um modelo específico para representação das correntes parasitas. Para o núcleo ferromagnético analisado, ensaios mostraram que quando se obtinha parâmetros ótimos para o L 2 P de forma a produzir uma boa descrição na região central do laço da histerese, o modelo divergia na região de saturação. Já quando a histerese era bem descrita na região de saturação, o modelo deixava de representar este fenômeno com precisão na região em torno da origem e na região de "joelho". Uma forma de reduzir essas discrepâncias é adicionar outros parâmetros ao modelo L 2 P original, a fim de considerar a componente reversível da histerese magnética. Uma alternativa é considerar a magnetização total como a soma de suas componentes reversível e irreversível. Baseado nessas condições, este artigo propõe a modificação da equação do modelo L²P, de forma que o ajuste seja corrigido. 3.2 Modelo L²P - expansão para L²Pα A seção anterior apresentou um problema de ajuste do modelo L²P aos dados experimentais, decorrente da utilização da corrente primária total, desconsiderando-se um modelo independente para as correntes parasitas. Além disso, o modelo L²P considera apenas a componente irreversível da magnetização. Nesta seção, propõe-se acrescentar a magnetização reversível ao modelo de histerese L²P. Para isso, será considerado o modelo de histerese de Duhem definido na forma (Visitin, 1994): cujas funções e são arbitrárias, e (11) (12) (13) A equação (11) é também chamada de equação independente da taxa. A estrutura de modelo da equação (13) produz duas situações possíveis: (14) (15) Figura 3. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²P. Parâmetros: Figura 4. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²P. Parâmetros: Uma representação alternativa para (11) pode ser obtida fazendo-se ) (16) sendo. O operador de histerese definido por (11), e colocado na forma (16), é chamado de operador de Duhem, denotado por (17) O operador de Duhem é apresentado na forma de uma estrutura matemática geral, que define uma classe de modelos. Entretanto, não há metodologia disponível que permita determinar as funções e para um fenômeno de histerese específico. Isto se deve ao fato de que cada aplicação requer uma estrutura de modelo bastante peculiar, e a proposta original de Duhem não estabelece métodos para o desenvolvimento destas estruturas. Em (Jiles- Atherton, 1983) foi proposto um modelo para a histerese ferromagnética em que o campo externo provoca o crescimento de um certo domínio em detrimento de 933

4 outros. Jiles postulou que o processo de magnetização é o resultado médio destas interações, conectando as irregularidades do movimento de domínios com a perda de energia no processo de magnetização. O modelo é baseado na hipótese de que a magnetização é formada de uma componente irreversível e uma componente reversível, diretamente relacionada com a curva de Langevin (18) sendo a magnetização de saturação, e constantes que dependem do material e o campo magnético aplicado. Jiles considerou que a proporção entre e é constante para qualquer valor no plano de fase, e a magnetização total é dada por (19) cuja proporção dependente do material pertence ao intervalo. No modelo de Jiles a componente irreversível é definida através de um operador de histerese do tipo Duhem denotado por, que resulta em uma magnetização total dada por: (20) De maneira similar ao modelo de Jiles, o modelo L²P pode ser também classificado como um operador de histerese do tipo Duhem, denotado de. Dessa forma, objetiva-se uma estrutura diferente da proposta por Jiles para a representação das componentes de magnetização. Neste caso, propõe-se que a componente reversível da magnetização seja, e a magnetização total definida como (21) Essa é uma estrutura mais simples que a proposta por Jiles, acrescentando-se apenas o parâmetro adicional em relação ao modelo original L²P. Sendo assim, o modelo L²Pα pode ser definido por: (22) A incorporação da magnetização reversível ao modelo, através da inclusão de mais uma variável, melhora consideravelmente o ajuste do modelo aos dados experimentais, porém sem um aumento expressivo da carga computacional. A estimação do novo parâmetro é feita de forma semelhante seguindo um problema de minimização do erro médio quadrático ( ), de acordo com a Eq. (10). A seção 3.1 apresentou o modelo de histerese L²P e os resultados obtidos para a sua aplicação ao ajuste dos dados experimentais do transformador da Tabela 1. Os novos resultados obtidos aplicando-se o modelo de histerese L²Pα mostram que o erro é reduzido quase que pela metade quando comparado com o modelo L²P original, conforme observado nas Figuras 4 e 5, demonstrando a eficácia do modelo proposto. A Eq. (22), portanto, mostra-se mais eficiente para representar o comportamento da histerese magnética do elemento não linear em estudo. A Figura 6 mostra o processo de acomodação do laço de histerese que ocorre no instante da energização do transformador com o secundário em aberto. O modelo L²Pα é capaz de reproduzir este efeito. A tensão secundária e a corrente primária total são obtidas em simulação e comparadas com os dados experimentais. Observa-se na Figuras 7 e 8 que o modelo L²Pα possui um bom potencial para representação das não linearidades de transformadores monofásicos de núcleo envolvido, constituindo uma alternativa simples e de fácil implementação para a analise de circuitos contendo indutores e núcleos ferromagnéticos. Não obstante, este modelo pode ser utilizado também em transformadores a núcleo envolvente, ou ainda em transformadores trifásicos e de grande porte, tais quais os utilizados nos sistemas de distribuição. Para isso, deve-se reconsiderar a geometria e outros aspectos (Theocharis et al., 2009). Figura 5. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²Pα. Parâmetros: ; ; ; ;. 4 Resultados de simulação e discussão Figura 6. Relação B(H) com processo de acomodação. Tensão 934

5 Agradecimentos À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia e à Universidade Federal da Bahia, pela aquisição de equipamentos utilizados nesta investigação. Referências Bibliográficas Figura 7. Tensão secundária, com transformador a vazio. Tensão Figura 8. Corrente de partida com secundário em aberto. Tensão de Almeida, L. A. L; Deep, G. S; Lima, A. M. N; Neff, H. (2003). Limiting loop proximity hysteresis model. IEEE Trans. Magn., Vol. 39, pp de Almeida, L. A. L; Deep, G. S; Lima, A. M. N., Neff, H. (2003). Um modelo diferencial para histerese magnética: representação algébrica recursiva," Revista Controle & Automação, vol. 14, pp , Mar Jiles, D. C. and Atherton, D. L (1983). Ferromagnetic hysteresis. IEEE Trans. Magn., vol. 19, pp Preisach, F (1935). Über die magnetische Nachwirkung. Zeitschrift für Physik, Vol. 94, pp Theocharis, A. D; Menti, A; Milias-Argitis, J. and Zacharias, T (2005). Modeling and simulation of a single-phase residential photovoltaic system. Power Tech, IEEE Russia, June 2005.Elec. Engineering, vol. 90, pp Theocharis, A. D; Milias-Argitis, J. and Zacharias, T (2009). Three-Phase Transformer Model Including Magnetic Hysteresis and Eddy Currents Effects. IEEE Trans. on Power Deliv., July 2009, no. 3, vol. 24, pp Visintin, A. (1994). Differential Models of Hysteresis, Springer-Verlag. 5 Conclusão Este trabalho apresentou um modelo de transformador monofásico simplificado, do tipo núcleo envolvido, utilizando um modelo algébrico de histerese para representação das não linearidades do núcleo ferromagnético saturável. Optou-se pela utilização do modelo de histerese L²P devido este não possuir equações diferenciais. A analise dos resultados preliminares mostrou que o modelo L²P não produzia um bom ajuste na transição para a saturação da curva de histerese. Para otimizar o modelo, foi proposta uma alteração à equação do L²P para que fosse incorporada a magnetização reversível, atribuindo-se o nome L²Pα para diferenciá-lo do modelo original. Ao final, são analisadas as correntes e tensões geradas pela simulação da energização do transformador a vazio, comparando-se os resultados obtidos pelos modelos e pelos dados experimentais, evidenciando o aumento de eficiência obtido pelo modelo L²Pα. 935