P. SAD. Porto, Novembro de 2002

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1 Introdução às Folheações por Curvas em Superfícies P. SAD Porto, Novembro de 2002 Estas notas pretendem apresentar ao leitor algumas propriedades básicas das folheações holomorfas em dimensão complexa dois. Os pesquisadores mais conhecidos ligados ao tema (mais geralmente, folheações holomorfas em dimensão qualquer) são: Briot- Bouquet, Darboux, Poincaré, Dulac (fins do século XIX até os anos 30 do século XX), Petrovski e Landis (anos 50), Ilyashenko, Moussu, Mattei, Cerveau, Malgrange,Ecalle, Martinet, Ramis, Camacho, Lins-Neto, Gomez-Mont, Ghys,... (anos 70 em diante). Os instrumentos utilizados foram essencialmente analíticos (funções de várias variáveis complexas). Mais recentemente, a partir dos anos 90, McQuillan e Brunella introduziram no assunto técnicas de Geometria Algébrica. Na primeira seção examinaremos os tipos de singularidades que aparecerão na seqüência; a seção seguinte tratará de uma interessante aplicação de técnicas complexas a um problema de natureza real. Nas restantes duas seções, veremos aspectos globais de folheações no plano projetivo. Como referências gerais, podemos citar: 1. D. Cerveau e J.-F. Mattei, Formes Intégrables olomorphes Singulières, Astérisque C. Camacho e P. Sad, Pontos Singulares de Equações Diferenciais Analíticas, Impa, A. Lins Neto e B. Scardua, Folheações Algébricas Complexas, Impa, M. Brunella, Birational Geometry of Foliations, Impa, Este texto originou-se de um minicurso apresentado no Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto; o autor agradece a hospitalidade e interesse. 1

2 Uma folheação em um aberto U onde p q : U p Z q Z. dx dt dy dt são funções holomorfas, Z é definida por uma equação diferencial p x y q x y x y U e T. Denotemos X Z O Teorema de Existḙncia e Unicidade de Soluções garante que, dados um ponto qual- quer a b U e um compact K U, existem r 0 e uma única aplicação holomorfa ψ : r K U de modo que (i) ψ 0 Z Z para todo Z K e (ii) dψ dt T Z X ψ T Z. Fixado Z 0 U, existe então solução holomorfa φ : r 0 U, isto é, φ 0 Z 0 e φ T X φ T para todo T r 0 (r 0 depende de Z 0, e a solução é única no disco r 0 )). Os pontos onde X Z são as singularidades da folheação; vamos supor sempre que o conjunto de singularidades é discreto. Os demais pontos são os pontos regulares. Uma folha é uma curva holomorfa, conexa e regular de U a qual localmente pode ser parametrizada como solução da equação diferencial; naturalmente todos seus pontos são regulares. Observe-se que a folheação entendida como conjunto de folhas não se altera quando multiplicamos a equação (??) por uma função holomorfa que não se anula. Portanto, é mais natural encarar a folheação como definida pelas soluções da equação de Pfaff ω q x y dx p x y dy 0 Vamos adotar este ponto de vista a maior parte das vezes. Dado um ponto regular a b U, existe sempre, como conseqüência do Teorema acima, um difeomorfismo local h definido numa vizinhança de a b de modo que h ω x y g x y dy, onde g é função holomorfa definida em torno de a b e que não se anula. Segue-se que, módulo um difeomorfismo holomorfo, a folheação em torno de um ponto regular é dada por dy em pontos regulares. 0; vamos nos referir a esta propriedade como trivialidade local Em geral, uma folheação em uma superfície complexa S consiste em (i) uma cobertura U U α! por cartas locais e uma coleção de 1-formas diferenciais ω α! definidas nestas cartas e (ii) uma coleção de funções holomorfas não nulas f αβ! definidas em U α " U β (sempre que a interseção é não vazia) de modo que ω α f αβ ω β. Como fizemos antes, 2

3 # # supomos que as singularidades são pontos isolados de S. Uma folha é uma curva holomorfa que em cada aberto U α é solução de ω α 0. Observe-se que a condição (ii) implica que as soluções se colam nas interseções dos abertos. Para comparar duas folheações, temos a noção de equivalḙncia holomorfa. Sejam F e G folheações em abertos U e V da superfície S. Diremos que elas são equivalentes se existe um difeomorfismo holomorfo entre U e V que leva folhas de F em folhas de G (portanto, em particular, singularidades são levadas em singularidades). 1 Singularidades Reduzidas Dedicamos esta seção ao estudo de alguns tipos de singularidades que aparecem com freqüência: aquelas hiperbólicas e aquelas no domínio de Siegel. Elas fazem parte de uma classe mais ampla, as singularidades reduzidas. Definamos a folheação singular por meio de uma equação diferencial u 1 λ 1 u 1 $ φ 1 u 1 u 2 (1) u 2 λ 2 u 2 $ φ 2 u 1 u 2 % onde os autovalores λ 1 e λ 2 são não nulos e as funções φ 1 e φ 2 se anulam em 0 0 em ordem pelo menos 2. Quando o quociente λ 1& λ 2 (' &, dizemos que a singularidade é hiperbólica; ela estará no domínio de Siegel quando o mesmo quociente pertencer a '). Para o caso hiperbólico, temos o teorema seguinte devido a Poincaré: Teorema 1. Suponhamos que 0 0 seja singularidade hiperbólica. Existe então um único difeomorfismo holomorfo ξ, definido numa vizinhança de (0,0) e satisfazendo ξ* 0 0 Id, que transforma a equação (??) em # ẋ1 ẋ 2 λ 1 x 1 λ 2 x 2 (2) Prova. Vamos procurar uma mudança de coordenadas ξ dada por u 1 x 1 $ ξ 1 x 1 x 2 u 2 x 2 $ ξ 2 x 1 x 2 (3) onde ξ j + Q+, 2 ξ jq x Q, j 1 2, são funções holomorfas (Q q 1 q 2 % x Q : x q 1 1 xq 2 2 ) Derivando (??) em relação ao tempo e substituindo (??) e (??) obtemos λ 1 x 1 $ ξ 1 $ φ 1 x 1 $ ξ 1 x 2 $ ξ 2 λ 2 x 2 $ ξ 2 $ φ 2 x 1 $ ξ 1 x 2 $ ξ 2 3 λ 1 x 1 $ λ 2 x 2 $ ξ 1 λ 1 x 1 $ x 1 ξ 2 λ 1 x 1 $ x 1 ξ 1 λ 2 x 2 x 2 ξ 2 λ 2 x 2 x 2 (4)

4 # # Finalmente, desenvolvendo em séries as derivadas parciais, chegamos a Q λ 1 - λ 1 q 1 $ λ 2 q 2! ξ 1Q x Q φ 1 x 1 $ ξ 1 x 2 $ ξ 2 Q λ 2 - λ 1 q 1 $ λ 2 q 2! ξ 2Q x Q φ 2 x 1 $ ξ 1 x 2 $ ξ 2 (5) Consideremos algum Q 0 q 0 1 q0 2, e suponhamos que os coeficientes ξ jq j 1 2 tenham já sido determinados para todo Q satisfazendo Q./ Q 0 (com ξ* 0 0 Id). Do lado esquerdo em (??), ξ jq0 aparece multiplicado por λ j 0 λ 1 q 0 1 $ λ 2 q 0 2! (os quais não se anulam para j 1 2) compondo os coeficientes de x Q 0. Do lado direito, o monômio x Q 0 tem os seus coeficientes envolvendo ξ jq j 1 2 somente para Q1 Q 0. Segue-se que podemos determinar ξ jq0, e este processo indutivo mostra como encontrar a mudança de coordenadas formal (??) que transforma (??) em (??). Faremos agora algumas majorações para provar a convergência das séries obtidas. Sejam t j x j 2 j 1 2 e a série 3θ t 1 t 2 : θ Q t Q associada à série formal θ x 1 x 2 : θ Q x Q (como acima, t Q t q 1 1 tq 2 2 ). Escrevemos 3ν 4 3σ se ν Q 657 σ Q 98 Q. Nosso objetivo é provar que 3ξ 1 $ 3ξ 2 é uma série convergente. Observemos inicialmente que existe a :' tal que Portanto, de (??) obtemos 8 Q λ j - λ 1 q 1 $ λ 2 q 2 ;=< a 0 j 1 2 (6) 3ξ 1 $ 3ξ 2 > t 1 t 2?4 a) 1 3φ 1 $ 3φ 2 >@ t 1 $ 3ξ 1 $ 3ξ 2 > t 1 t 2 t 2 $ 3ξ 1 $ 3ξ 2 > t 1 t 2 BAC Vemos que 3ξ 1 $ 3ξ 2?4, onde é a única solução analítica real de h t 1 t 2 F t 1 $ h t 1 t 2 % t 2 $ h t 1 t 2 9 que satisfaz h t 1 t 2 0 (F a) 1 3φ 1 $ 3φ 2 ). A existência e unicidade da solução está garantida pelo teorema das funções implícitas. Segue-se que ξ 1 e ξ 2 são convergentes. Corolário 2. Duas folheações com singularidades hiperbólicas são holomorficamente equivalentes em vizinhanças destas singularidades quando os quocientes de autovalores são os mesmos. Podemos ter então uma idéia da topologia das folhas próximas da singularidade hiperbólica analisando o caso linear (??). As soluções da equação diferencial são dadas por x T y T x 0 e λ 1T y 0 e λ2t 4

5 # onde T. Façamos T αt para α fixado e t D', isto é, vamos considerar fluxos reais dentro do fluxo complexo. Temos então x T ; y T ; x 0; e R eλ 1αt y 0; e R eλ2αt de modo que se α satisfaz R eλ 1 α 0 e R eλ 2 α 0 (o que é possível devido à hiperbolicidade) temos x t;e 0 e y t; 0 quando t ; em particular, as folhas cortam transversalmente as variedades reais tridimensionais dadas por x constante. Observemos que os eixos horizontal e vertical, sem a origem, são soluções; examinemos como as folhas se comportam em relação a eles. Por exemplo, tomemos o eixo horizontal, e escolhamos α de modo que λ 1 α i: # x t y t x 0 e it y 0 e 2iπ λ 2 A aplicação y 0GF y 2π é chamada aplicação de holonomia da folha horizontal, e as sucessivas imagens y 2πm y 0 e λ m 1 I definem o modo de aproximação das folhas em λ relação à horizontal. Como R e 2 λ 1 ikj 0, concluimos que 0 é um atrator (ou repulsor) hiperbólico. Uma visão mais completa é obtida cortando a folheação por uma esfera real x 2 $ y 2 R 2 em torno de 0 0. As interseções das folhas (que possuem dimensão real 2) definem um campo de linhas do tipo polo norte-polo sul, onde as duas curvas fechadas correspondem às interseções com as retas horizontal e vertical; a aplicação y 0LF y 2π e sua correspondente para a reta vertical são conjugadas às aplicações de Poincaré das curvas fechadas na esfera. As demais linhas possuem estas curvas como conjuntos limites. Voltemos então ao processo de linearização apresentado na prova do Teorema 1. Observemos que a linearização formal (primeira parte da demonstração) se aplica mais geralmente na ausência de ressonˆancias, isto é, quando algum dos autovalores se escreve como q 1 λ 1 $ q 2 λ 2 para um par de inteiros positivos q 1 q 2 tais que q 1 $ q 2 < 2. Não há ressonâncias quando λ 1& λ 2 D'NMPO. Se o quociente é irracional positivo, temos ainda a estimativa (??), de modo que o restante da demonstração anterior se aplica e obtemos a linearização. No domínio de Siegel convivem ressonâncias (quando λ 1& λ 2 QO ) ) e não ressonˆancias com pequenos denominadores, isto é, por ser o quociente de autovalores irracional negativo, o ínfimo para os módulos em (??) é 0. Ocorrem situações não linearizáveis, porém λ 2 λ it 1 raramente (em certo sentido...). Mas algo muito importante pode ser dito: 5

6 Teorema 3 (Briot-Bouquet). Suponhamos que a singularidade da equação (??) esteja no domínio de Siegel. Existe então uma mudança de coordenadas holomorfa que transforma (??) em # ẋ 1 λ 1 x 1 $ x 1 x 2 γ 1 x 1 x 2 (7) ẋ 2 λ 2 x 2 $ x 1 x 2 γ 2 x 1 x 2 onde γ 1 γ 2 são funções holomorfas numa vizinhança de 0 0. Prova. Escrevamos inicialmente # ẋ 1 ẋ 2 λ 1 x 1 $ λ 2 x 2 $ ψ 1 x 1 x 2 ψ 2 x 1 x 2 (8) obtido após aplicação da mudança de coordenadas (??). Cálculos análogos àqueles feitos na prova do Teorema de Poincaré levam a q 1 λ 1 $ q 2 λ 2 λ j ξ jq x Q + Q+, 2 φ j x 1 $ ξ 1 x 2 $ ξ 2 G ξ j x 1 ψ 1 ξ j x 2 ψ 2 (9) para j 1 2. Procedemos novamente por indução para obter os coeficientes de ξ j e ψ j para j 1 2. Tomemos Q 0 q 0 1 q0 2 e suponhamos conhecidos os coeficientes para todo Q satisfazendo 2 5R Q65S Q 0. Denotemos por x 1 x 2 o ideal gerado pela função x 1 x Se x Q 0 & x 1 x 2, fazemos ψ jq0 0 e calculamos ξ jq0, o que pode ser feito pois tanto q 0 1 λ 1 λ j quanto q 0 2 λ 2 λ j não se anulam. 2. Se x Q 0 - x 1 x 2, fazemos ξ jq0 0 e calculamos ψ jq0. Observemos que os coeficientes de ξ j envolvidos neste cálculo provenientes dos segundos membros de (??) são do tipo ξ jq para Q=7 Q 0. Deste modo obtemos as séries formais. Quanto à convergência a argumentação é análogo àquela do Teorema de Poincaré, pois existe cota inferior positiva para os números q 0 1 λ 1 λ j e q 0 2 λ 2 λ j. Como corolário, vemos que passam pela singularidade, de forma transversal, duas curvas lisas - as suas separatrizes- que são folhas unidas à singularidade. Já havíamos observado esta propriedade no caso hiperbólico. A cada uma das separatrizes (de fato às folhas regulares contidas nelas, mas cometeremos sempre um abuso de linguagem) está associada sua aplicação de holonomia. Vamos descrever uma delas, associada à separatriz horizontal. 6

7 O cálculo seguinte é um pouco mais geral, podendo ser aplicado a qualquer singularidade que possua uma separatriz lisa; as coordenadas são escolhidas de modo que ela seja dada por y 0. A equação diferencial é q x y dy yp x y dx onde p x y e q x y são funções holomorfas definidas numa vizinhança da origem, com q 0 0 0; observe-se a presença do fator y, o que corresponde naturalmente à existência da separatriz horizontal. Levantemos então o caminho x t ae it, y t 0 para as folhas vizinhas da folha horizontal; se fazemos isso a partir do ponto a y 0 e seguimos o levantamento para 0 t 2π, obtemos um caminho x t y 0 t descrito pela equação y0 t y 0 t p ae it y 0 t q ae it y 0 t Escrevamos y 0 t jt 0 a j t y j 0, o que é possível devido ao teorema de existência e unicidade de soluções (a série é uniformemente convergente em 0 5 t 5 2π! y 0 15 δ!. Substituindo na equação anterior, podemos obter a equação diferencial para a j t comparando os coeficientes de y j 0 em ambos os lados. Estamos particularmente interessados em a 1 t. O procedimento descrito leva a Segue-se que a 1 t a 1 2π a 1 0 eu t 0 iaeis p ae isv 0 IXW q ae isv 0 I e 2iπR es 0Y p xv 0 IXW e portanto o termo linear da aplicação de holonomia é q xv 0 I[Z y 0 F µy 0 µ e 2iπR es 0Y p xv 0 IXW q xv 0 I\Z Voltaremos mais tarde a este número, denominado indice da folheação em relação à separatriz. Em particular, no caso de (??), obtemos µ e 2iπλ 2 λ W 1. Se a singularidade está no domínio de Siegel (e usando as coordenadas garantidas pelo Teorema 3), temos então o seguinte quadro: 1. a aplicação de holonomia da separatriz horizontal,definida numa transversal passando por r 0, é do tipo y F µy $, com µ o fluxo real obtido fazendo T t& λ 1 t < 0 tem parte linear com autovalores 1 e λ 2& λ 1, de modo que obtemos uma sela hiperbólica cujas variedades estável e instável são as separatrizes horizontal e vertical, respectivamente. Não existe nenhum fluxo real mergulhado no fluxo complexo tendo a origem como atrator hiperbólico, como na situação do Teorema 1. 7

8 Decidir sobre equivalência holomorfa torna-se mais complicado. Consideremos então duas folheações singulares F e G no domínio de Siegel com o mesmo quociente de autovalores. Fixemos seção transversal Σ R a! y 0 ; δ! às separatrizes horizontais. Sejam f e g as aplicações de holonomia de F e G em relação às horizontais. Diremos que elas são aplicações conjugadas se existe um difeomorfismo holomorfo ϕ de Σ satisfazendo ϕ 0 0 e g ] ϕ ϕ ] f. Teorema 4 (Mattei-Moussu). Na situação descrita acima, se f e g são conjugadas então F e G são equivalentes. Prova. Consideremos a família Σ θ de verticais passando pelos pontos ae iθ 0 0 2πA. Usando a trivialidade local das folheações ao longo de pequenos arcos nos círculos de raio a, transportamos o difeomorfismo ϕ a todas as seções Σ θ ; denotemos por ϕ θ o difeomorfismo holomorfo obtido em Σ θ. Mais precisamente, indiquemos por l θ a aplicação de Σ em Σ θ obtida levantando-se às folhas de F o arco ae iθ 0 ; analogamente definimos l θ para G. Estas aplicações são holomorfas como consequência da trivialidade local usada sucessivamente para pequenos arcos contidos em ae iθ 0. Definamos 1 ϕ θ : l θ ] ϕ ] l) θ. Observemos que l2π f e que l 2π g, de modo que g ] ϕ ϕ ] h implica ϕ 2π ϕ. A seguir, transportamos da mesma maneira o difeomorfismo ϕ às demais seções verticais substituindo os arcos anteriores pelos raios Ae) t, onde A é um ponto qualquer do círculo de raio a ; somente não atingimos as separatrizes verticais. Esta construção produz então uma equivalência holomorfa Id Φ entre as folheações definida numa vizinhança da origem exceto pela separatriz vertical. Devemos então tratar de estendêla. Para isso, provemos que Φ é limitada; isso é bastante pelo Teorema de Remoção de Singularidades de Riemann (ver R. Gunning, Introduction to olomorphic Functions of Several Variables, vol.1, pg.30). Vamos utilizar o caráter de sela hiperbólica do fluxo real que introduzimos antes do enunciado do Teorema 3. De fato, é este fluxo que estamos utilizando para estender ϕ ao longo dos raios. Utilizemos mais uma vez as coordenadas dadas pelo Teorema 3; para simplificar, elas serão x y para F e x z para G. Observemos inicialmente que o levantamento do um caminho radial x 1 t Ae) t ao longo das folhas de F possui coordenada y t satisfazendo (c é o quociente de autovalores) y t cx t y t^ 1 $ U x t y t_ x t onde U x y é holomorfa numa vizinhança de 0 0. Segue-se que y t cy t> 1 $ 8 U x t y t9

9 Como d d t y t; 2 2R e ȳ t y t concluimos que (pois t < 0) 2 c` y t; 2 R e 1 $ d d t log y t c[ 1 $ b para uma constante b pequena. Finalmente chegamos a y t;^57 y 0; e 2 + c+ 1b b t I U x t y t9a Se cálculos análogos fossem executados com t < 0 porém com x t Ae t, concluiríamos que z 0;5R z t6 e 2c 1b b I t para a folheação G. Podemos estimar Φ pois Φ y t z t (e z 0 Φ y 09 ϕ y 09. Existe k 0 de modo que y 06= k z 0;, de modo que y t;57 y 0; e 2 + c+ 1b b I t 5 k z 0; e 2 + c+ 1b b I t Finalmente y t;>5 k z t; e 2c 1b b I Portanto Φ se estende à separatriz vertical t e 2 + c+ 1b b I t 5 k z t;c Vemos então que a classificação analítica das singularidades no domínio de Siegel depende da classificação das aplicações do tipo y F µy $ 9, com µ 1. Em particular, a folheação é equivalente à sua parte linear quando a aplicação de holonomia de uma de suas separatrizes for linearizável. Dois casos distintos se apresentam: 1) µ não é raiz da unidade: a condição necessária e suficiente para linearização pode ser estudada nos trabalhos de Bjruno e Yoccoz (ver [Pe]); 2) µ é raiz da unidade: o leitor pode consultar os trabalhos de Martinet e Ramis, contendo a classificação completa (ver [MR]). Antes de encerrar esta seção, devemos mencionar que as singularidades reduzidas constituem uma classe maior do que aquelas examinadas anteriormente. Sejam novamente λ 1 e λ 2 os autovalores da parte linear da singularidade. Dizemos que ela é reduzida se 1. o quociente λ 1& λ 2 & O b 2. um dos autovalores é nulo e o outro distinto de 0. ou Este último tipo é a sela-nó, extensivamente estudada em [MR1]. A importância das singularidades reduzidas aparece no processo denominado redução de uma singularidade. Por mais complicada que ela seja, uma sucessão conveniente de explosões conduz a um divisor (que será uma união de curvas lisas racionais) contendo somente singularidades reduzidas. O leitor pode consultar o livro-referência 2 para maiores informações. 9

10 2 O Teorema de Poincaré-Liapunov Veremos nesta seção como utilizar métodos de natureza complexa para demonstrar um teorema sobre centros reais. Consideremos uma equação de Pfaff analítica real ω a x y dx $ b x y dy 0 (10) definida numa vizinhança de 0 0d(' 2 cujas soluções são todas curvas fechadas em torno deste ponto. Este tipo de singularidade denomina-se centro; diremos que o centro é não degenerado se a parte linear da equação é não degenerada, isto é, existem coordenadas analíticas de modo que a parte linear da 1-forma ω se escreve como ω 0 a xdx $ ydy para algum a J 0. Temos então o seguite Teorema 5 (Poincaré-Liapunov). Se o centro (??) é não degenerado, existe uma função analítica real h x y x 2 $ y 2 $ definida em torno de 0 0 de modo que as curvas integrais são as suas curvas de nível. Vamos nos referir à função h como uma integral primeira para (??). A prova que apresentaremos se deve a R. Moussu (ver [Mo]). A idéia básica consiste em encarar a equação (??) como uma equação de Pfaff em 2. Sejam a x y j V k a jk x j y k e b x y j V k b jk x j y k as séries de potências das funções a e b em torno de 0 0, ambas convergentes em x e r ^ y e r. Definimos A X Y : j V k a jk X j Y k e B X Y : j V k b jk X j Y k para X e Y em, com normas X 6 r fy 6 r, e Ω A X Y dx $ B X Y dy 0 (11) Mostraremos que (??) é equivalente à folheação linear definida por XdX $ Y dy 0. Precisaremos antes introduzir o conceito de explosão de uma folheação em um ponto, e depois descrever o grupo de holonomia de uma folha, noção esta utilizada há pouco no Teorema 4. A explosão de 2 em 0 0 consiste em criar uma nova superfície complexa ao substituir o ponto 0 0 pelo conjunto de direções complexas neste ponto (o qual é isomorfo a, a esfera de Riemann). Formalmente procedemos do seguinte modo: consideramos duas cópias de 2, com coordenadas X t e u Y, e identificamos X t no aberto U : t J 0 com u Y no aberto V : u J 0 por meio do difeomorfismo holomorfo X taf u Y t) 1 tx. O quociente é uma superfície g 2 complexa, com uma curva holomorfa mergulhada D h : temos duas cartas coordenadas X t L 2 e u Y? 2 com a mudança de coordenadas entre U e V dada pelo difeomorfismo e o divisor por X 0 ou Y 0. Além disso, existe uma aplicação holomorfa π : g 2 2 definida em coordenadas por π X t 10

11 X tx e π u Y uy Y ; tem-se que π é difeomorfismo holomorfo entre g 2 M D e 2 M 0 0!, e π D 0 0. Vê-se facilmente que a mesma construção pode ser feita em qualquer superfície, ao invés de 2. Consideremos agora uma superfície S com uma folheação F ; fixemos p S, e denotemos por π a aplicação associada à explosão 3S de S em p, D π) 1 0 0!. Em 3S M D podemos tomar a folheação pull-back de F, denotada por π F, cujas folhas são as imagens inversas por π das folhas de F. Um cálculo simples, que faremos a seguir diretamente para a folheação definida em (??), mostra que podemos estender π F holomorficamente a uma folheação 3F definida em todo 3S, incluindo o divisor D. Escrevamos (??) em uma vizinhança U de 0 0 como XdX $ Y dy $ a X Y dx $ b X Y dy 0 onde a e b possuem multiplicidade algébrica pelo menos 2 em 0 0. No sistema de coordenadas X t para g 2, obtemos X 1 $ t 2 dx $ txdt $ X ) a X tx $ tb X tx dx $ b X tx dta! como expressão para π F fora de D. No outro sistema de coordenadas obtemos por cálculo análogo 0 Y 1 $ u 2 dy $ uy du $ Y ) b uy Y $ ua uy Y dy $ a uy Y dua! Portanto, podemos estender π F para D (com singularidades isoladas) como 0 Ω 1 1 $ t 2 dx $ txdt $ X ) 1 a X tx $ tb X tx dx $ b X tx dt num sistema de coordenadas e 0 Ω 2 1 $ u 2 dy $ uy du $ Y ) 1 b uy Y $ ua uy Y dy $ a uy Y du no outro sistema. Observe-se que h Ω 2 t) 1 Ω 1 para X t t) 1 tx u Y, de modo que realmente temos uma folheação de 3U segundo o conceito introduzido no início destas notas. Além disso, o divisor D é invariante, isto é, composto por singularidades e uma folha. De fato, temos duas singularidades, nos pontos p 1 X 0 t i e p 2 X 0 t i. As partes lineares de Ω 1 e Ω 2 nestes pontos podem ser calculadas fazendo-se t t $ i e t t i respectivamente. Obtemos a expressão 2t dx $ Xdt 0, de modo que tanto p 1 quanto p 2 são singularidades ressonantes no domínio de Siegel. Cada uma delas possui uma separatriz transversal a D (as quais se projetam via π nas separatrizes s 1 e s 2 de 0 0 ), estando as outras separatrizes contidas no divisor D. 11 0

12 3 Passemos agora a discutir o grupo de holonomia da folha D M p 1 p 2!. Devido à importância deste conceito, vamos fazê-lo num contexto mais geral, e ao fim retornaremos à situação presente. Consideremos então uma folha L de uma folheação qualquer por curvas holomorfas. Fixemos um ponto p L e uma seção transversal Σ a L. A cada caminho fechado γ L com início e fim em p associamos o difeomorfismo local T γ de Σ, definido num aberto contendo p, como se segue: dado q Σ, levantamos γ ao caminho começando em q e contido na folha por q; então T γ qk Σ é o ponto final deste caminho. Observese que, a exemplo do ocorrido na prova do Teorema 4, precisamos utilizar a trivialidade local da folheação ao longo de pequenos arcos do caminho γ para efetuar o levantamento mencionado. A aplicação T γ é holomorfa e satisfaz T γ p p. O fato fundamental diz respeito às deformações de γ. Seja δ outro caminho fechado com início e fim em p obtido deformando-se continuamente γ (sempre mantendo p como ponto inicial e final). Ora, se δ está muito próximo de γ (como caminhos parametrizados), vemos ainda pela trivialidade local que T γ e T δj coincidem num aberto contendo p (provavelmente contido na interseção dos abertos onde as aplicações estão definidas). Agora, a deformação de γ a δ pode ser quebrada em uma seqüência de pequenas deformações, de modo que podemos continuar garantindo que T γ T δ num aberto contendo p. Temos assim definida um homomorfismo do grupo fundamental de L, com ponto base p, no pseudogrupo de difeomorfismos holomorfos de Σ que fixam p. Nós utilizamos a palavra pseudogrupo devido à necessidade de se diminuir abertos em torno de p para compor aplicações ou tomar inversas. A imagem do homomorfismo é o grupo de holonomia de F relativo a L. De fato, esta imagem depende do par Σ p ; porém quaisquer mudanças neste par levam a grupos conjugados holomorficamente ao original (novamente conseqüência da trivialidade local), de modo que muitas vezes faremos referência apenas ao grupo de holonomia da folha. Estudar a dinâmica do grupo de holonomia de uma folha corresponde a analisar como as folhas próximas se acumulam nela. Temos assim uma espécie de aplicação de retorno de Poincaré, motivada pelo caso de órbitas fechadas de campos de vetores reais. Retornemos agora à folheação 3F que nos interessa. A folha L D M p 1 p 2!, e o seu grupo fundamental é isomorfo a k, portanto o grupo de holonomia de L possui apenas um gerador. De fato, este gerador é conjugado a qualquer uma das aplicações de holonomia de 3F relativa às separatrizes de p 1 p 2 contidas em D: estamos de volta ao contexto do Teorema 4! Precisamos obter informações sobre estas aplicações, e daí informações sobre as aplicações de holonomia de s 1 e s 2. Prova do Teorema 5. A inclusão ' 2 2 implica naturalmente na inclusão π) 1 ' 2 2 ; a interseção π) 1 l' 2 " D é descrita tanto em termos da coordenada t como na coordenada u por t m' ou u N', portanto temos um círculo C contido em D. Em 12

13 cada uma das regiões limitadas por ele encontramos uma das singularidades, de modo que podemos estudar o gerador T C do grupo de holonomia de D M p 1 p 2! a partir deste caminho (com ponto inicial e final em X t 0 0d D). Consideremos as seções transversais Σ s X s ;X s o' n! passando pelos pontos X 0 t sp D. Podemos acrescentar a esta família a seção Σ 0 Y ;Y n! passando por u 0 Y 0. Trata-se de uma variedade W real tridimensional, lisa, cortando transversalmente o divisor D ao longo de C. Quando definimos os levantamentos de C ao longo das folhas, podemos tomá-los todos contidos em W. Dentro de W temos a subvariedade Wq real, bidimensional, a qual conterá todos os levantamentos a partir dos pontos x 0 ;x r'. Estes levantamentos são as imagens inversas por π das curvas integrais do centro dado por (??). A observação chave agora consiste reconhecer que tanto x 0 quanto _ x 0, para x N' pertencem à seção Σ 0, de modo que T C T C x 0 x 0 sempre que x N'. Logo, T C possui período 2 quando restrita aos pontos x 0 Σ 0 com x m'. Sendo T C aplicação holomorfa, concluimos que T C possui período 2. Uma aplicação holomorfa f z, definida numa vizinhança de 0, tendo 0 como ponto fixo e período k N é conjugada à sua parte linear l z f * 0 z. Por exemplo, no 1 caso que nos interessa, k 2, e podemos tomar A z z f z como a conjugação 2 entre f z e l z z. O leitor poderá facilmente tratar a situação geral. Segue-se que T C é linearizável, e pelo Teorema 4, concluimos que as singularidades p 1 e p 2 são equivalentes às suas partes lineares 2t dx $ Xdt 0. Deduzimos finalmente que as aplicações de holonomia das separatrizes s 1 e s 2 são iguais à Identidade (bastava uma delas), e assim F é equivalente por meio de um difeomorfismo Ψ à sua parte linear XdX $ Y dy 0, 1 cujas folhas são descritas por v X Y 2 X 2 $ Y 2. Segue-se que a integral primeira procurada para (??) será v ] Ψ e para a equação (??), h R e v ] Ψ. Um centro real degenerado pode não ter uma integral primeira analítica; o leitor encontrará exemplos em [Mo]. Existem também sobre o tema outros belos trabalhos, como por exemplo [MB]. 3 Folheações de Darboux Nesta seção e na seguinte veremos aspectos globais do estudo de folheações no plano projetivo. Quando demonstramos o teorema de Poincaré-Liapunov, pudemos perceber a importância da análise do grupo de holonomia de uma folha com fecho compacto. Isso se passa sempre quando encontramos uma curva holomorfa compacta invariante, isto é, uma folha regular cujo fecho obtém-se acrescentando um número finito de singularidades da 13

14 folheação. O grupo fundamental desta folha consiste do grupo da curva compacta acrescentado de caminhos em torno das singularidades, portanto finitamente gerado. Segue-se o mesmo para o grupo de holonomia da folha, e seu estudo será determinante se quisermos conhecer globalmente a folheação. Nesta seção encontraremos o caso mais simples possível, em que o grupo de holonomia é abeliano. Comecemos por algumas definições e propriedades de folheações no plano projetivo. Lembremos inicialmente que o conjunto P 1 de retas contidas em 2 passando pela origem é exatamente a esfera de Riemann. O plano projetivo P 2 é o conjunto das retas complexas de 3 que passam por ; seja π a projeção canônica de 3 M 0 0 0! em P 2. Podemos usar 3 sistemas de coordenadas para cobrir P 2. Denotemos por X 0 X 1 X 2 os pontos de 3, e por U j j 0 1 2, o plano projetivo subtraido de L j X s j 0!. As cartas coordenadas (ou seja, as expressões para π nos abertos) serão dadas por: 1. π 0 X 0 X 1 X 2 2. π 1 X 0 X 1 X 2 3. π 2 X 0 X 1 X 2 X 1& X 0 X 2& X 0 X 0& X 1 X 2& X 1 X 0& X 2 X 1& X 2 A imagem por π de qualquer plano complexo bidimensional em P 2 será denominada reta projetiva (naturalmente difeomorfa a P 1 ); como π U j 2 e P 2 U j t L j podemos encarar P 2 como a compatificação de 2 acrescentando-se uma reta projetiva - a reta no infinito. Se ao invés de um plano tivermos uma superfície S de P 2 definida por uma equação P X 0 X 1 X 2 0, onde P é um polinômio homogêneo de grau k, então π S será uma curva plana projetiva C de grau k. Se designarmos x X 1& X 0 y X 2& X 0, vemos que C M L j é definida na carta U 0 pela equação p x y P 1 X 1& X 0 X 2& X 0 0 (agora, p não é mais um polinômio homogêneo). Obviamente o mesmo pode ser feito nas demais cartas coordenadas. Uma folheação em P 2 de grau k é definida por uma equação de Pfaff Ω P 0 X 0 X 1 X 2 dx 0 $ P 1 X 0 X 1 X 2 dx 1 $ P 2 X 0 X 1 X 2 dx 2 0 onde os polinômios P j j são homogêneos de grau k $ 1, satisfazem j X j P j X 0 X 1 X 2 0 e possuem um número finito de retas passando por como conjuntos comuns de zeros. Para ver que esta definição coincide com aquela que estamos utilizando, vamos introduzir as notações seguintes: 1. u X 0& X 1 v X 2& X 1 e s X 0& X 2 t X 1& X 2 (coordenadas para U 1 e U 2 ). 14

15 u) 1 vu) 1 (mudança de coordenadas entre U 0 e U 1 ); analoga- ϕ 02 s t e u v ϕ 12 s t. 2. x y ϕ 01 u v mente temos x y 3. ω 0 P 1 1 x y d x $ P 2 1 x y d y. 4. ω 1 5. ω 2 P 0 u 1 v d u $ P 2 u 1 v d v. P 0 s t 1 d s $ P 1 s t 1 d t. Temos então que ϕ01 ω0 u) kb 2 I ω 1 ϕ12 ω1 t) kb 2 I ω 2 e ϕ20 ω2 y) kb 2 I ω 0, de modo que temos realmente definida uma folheação F em P 2 por meio das equações de Pfaff ω j 0 j (a condição sobre os zeros comuns de P 0 P 1 e P 2 implica em um número finito de singularidades). Deve-se notar também que π F é uma folheação por superfícies em 3, definida por Ω 0, holomorfa inclusive em Aqui temos algo importante, cuja prova escapa ao objetivo destas notas: se começamos com uma folheação em P 2 (usando a nossa definição geral), e tomamos o seu pull-back a 3 M 0 0 0!, ela é necessariamente definida por uma 1-forma polinomial homogḙnea (como o é a forma Ω). É um procedimento comum definir-se a folheação somente por sua equação polinomial na carta U 0. Vamos aproveitar e fazer uma pequena digressão sobre a noção de grau (de fato, não utilizada no que se segue). Digamos então que a folheação de grau k esteja definida na carta afim U 0 pela equação q x y d x p x y d y 0, sendo l ou o maior dos graus entre p e q. Após as substituições necessárias para obter o pull-back da folheação em 3, encontramos Ω X 0 Qd X 1 X 0 Pd X 2 - X 1 Q X 2 P d X 0 0 (12) onde P X 0 X 1 X 2 X l 0 p X 1 X 0 X 2 X 0 e Q X 0 X 1 X 2 X l 0 q X 1 X 0 são agora polinômios homogêneos de grau l. Temos duas situações possíveis. Se o polinômio X 1 Q X 2 P é divisível por X 0 (ou X 1 P 0 X 1 X 2 v X 2 P 0 X 1 X 2 xw 0), a expressão em (??) após divisão por X 0 possui também grau l, de modo que k l 1. Pode-se ver facilmente que se p l e q l são os termos homogêneos de grau l de p e q, então xq l yp l w 0, ou seja, existe g polinômio homogêneo de grau l 1 de modo que p l xg e q l yg. Por outro lado, se X 1 Q X 2 P não for divisível por X 0, concluimos que k $ 1 l $ 1, ou k l. Podemos ver geometricamente estas possibilidades. Na segunda, o plano X 0 0 é solução de (??), logo a reta projetiva L 0 é invariante para a folheação. No primeiro caso, L 0 é transversal às folhas exceto por um número finito de pontos (que podem ser tangências ou singularidades). Sempre podemos escolher as coordenadas em 3 de modo que L 0 não seja invariante. 15 X 2 X 0

16 Iniciaremos finalmente o nosso estudo das folheações de Darboux. Elas são definidas na carta afim U 0 por equações de Pfaff meromorfas do tipo m d p j ω λ j jt 1 p j 0 (13) onde λ j e p j é polinômio de grau d j j 1 B m. Se quisermos uma 1-forma holomorfa, basta tomar p 1 i` p m ω 0. A maneira escolhida é interessante pois ω é 1-forma fechada (em outras palavras, p 1 `i p m é fator integrante para a 1-forma holomorfa). Além disso, as curvas de polos são simples e contêm pelo menos as curvas algébricas C j de equações afins p j 0 j 1 99 m; o número λ j é o resíduo de ω ao longo de C j. á ainda a possibilidade de L 0 estar contida no conjunto de polos de ω: usando as coordenadas afins u v para o aberto U 1, transformamos (??) em m d ˆp j λ j jt 1 ˆp j - m d j λ j jt 1 onde ˆp j u v u d j p j 1& u v& u j 1 B m. Vemos então que L 0 é curva de polos se e somente se m jt 1 d jλ j J 0. Observemos finalmente que as curvas polares são invariantes para a folheação de Darboux, e que portanto todas as interseções destas curvas duas a duas pertencem ao conjunto de singularidades. O teorema que demonstraremos a seguir mostra a estreita relação entre folheação de Darboux e a existência de uma curva algébrica invariante com grupo de holonomia abeliano. Vamos tratar um caso particular, mas que contém a maior parte das idéias envolvidas (consultar [CLS]). Teorema 6. Suponhamos que a linha no infinito L 0 seja invariante para uma folheação F. Suponhamos ainda que as singularidades de F ao longo de L 0 sejam todas hiperbólicas, e que o grupo de holonomia associado seja abeliano. Então F é folheação de Darboux. Prova. Inicialmente, construimos uma versão local da 1-forma meromorfa que desejamos, isto é, definida numa vizinhança de L 0. Cada seção transversal Σ a F passando por um ponto p de L 0 possui uma coordenada distinguida. Sejam h 1 _ h l os geradores do grupo de holonomia calculado na seção. Afirmamos que existe uma coordenada w para Σ, com w p 0, de modo que h j w µ j w 8 j 1 B m. Para demonstrar tal afirmação, escolhemos w de modo que h 1 w µ 1 w, o que é possível pois esta aplicação é conjugada à aplicação de holonomia da separatriz de uma singularidade hiperbólica. Usando agora a comu- du u 0 16

17 tatividade h j ] h j h j ] h 1 e expandindo h j em séries de potências, concluimos facilmente que h j w µ j w. De fato, esta coordenada não é única: seja ŵ f w coordenada que também lineariza, isto é, ĥ 1 ŵ µ 1 ŵ para ĥ 1 f ] h ] f ) 1. Segue-se que µ 1 f w f µ 1 w, e novamente expandindo em séries de potências concluimos que f w cw para algum c C. Comecemos então a construção da 1-forma meromorfa. Numa vizinhança suficientemente pequena U de Σ, definamos w U q como sendo w rk onde r Σ é o ponto onde a folha local de F passando por q corta a seção (mais uma vez utilizamos a trivialidade local em torno de p). Se a mesma construção for feita para uma seção Σ U tal que U " UpJ /0, temos a partir da discussão anterior que w U cw Uj, de modo que d w U d w η Uj ; obtemos assim em U w u t U uma 1-forma meromorfa η que define a w Uj folheação e possui polos simples ao longo de L 0. O problema agora é como estendê-la às singularidades. Seja então p 0 uma singularidade; definamos F localmente por zd w awd z, o que é possível por ser a singularidade hiperbólica. Aqui, tomamos z como coordenada ao longo da separatriz contida em L 0. Fixemos a seção vertical 3Σ transversal à folheação pelo ponto 1 0, e indiquemos por ŵ a coordenada vertical de seus pontos. Estendamos esta coordenada a uma pequena vizinhança V do ponto 1 0 como integral primeira local a exemplo do que fizemos acima para a coordenada w U ; nosso interesse em fazê-lo consiste d ŵ V no fato óbvio de que ŵ é coordenada distinguida, e assim η. Como w z) a ŵ ŵ V V 0), vemos que d w w ad z z (estamos considerando o ramo do logaritmo em torno de 1 tal que log1 d ŵ V ŵ V η e assim temos bem definida a extensão de η à singularidade. Observe-se que a separatriz vertical aparece dentro do conjunto de polos de η, com um resíduo que é igual ao quociente de autovalores da singularidade. Como estender η a todo o plano projetivo? A 1-forma η é do tipo A x y dx $ B x y dy, onde A e B são funções meromorfas definidas fora de um polidisco centrado em 0 0 de raio suficientemente grande. O fato notável nesta altura da demonstração é que nada mais precisamos fazer. O Teorema de Extensão de Levi nos garante que qualquer função meromorfa definida em um aberto contendo o bordo de um polidisco em 2 se estende automaticamente a todo o polidisco, ver [Si]. Em particular, as separatrizes locais das singularidades de L 0 estão todas contidas em curvas algébricas. Para completar a prova, vamos constatar que η tem o tipo requerido para definir uma folheação de Darboux. Sabemos por construção que ela é fechada, e tem polos simples 17

18 ao longo de certas curvas algébricas, dadas por polinômios p j 0 j 1 9_ m, e mais a linha no infinito. Sejam λ j os resíduos de η ao longo destas curvas (bem definido pois η é fechada; trata-se de uma conseqüência do teorema de Stokes). Assim sendo, η m jt 1 λ jd p j p j é 1-forma holomorfa em 2, portanto nula. Integrando diretamente a 1-forma meromorfa fechada que define a folheação de Darboux, encontramos uma integral primeira transcendente. Podemos aumentar o grau de complexidade do grupo, por exemplo supondo-o solúvel. Obtemos também uma expressão particular para definir a folheação e um tipo de integral primeira denominada liouvilliana (consultar o livro-referência 3, Capítulos VI e VII). Finalmente no caso nãosolúvel encontramos uma dinâmica extremamente rica para, com folhas localmente densas, ver [Na]. 4 Os Exemplos de Jouanolou Vimos na seção anterior o papel guia desempenhado por curvas algébricas invariantes para a compreensão do comportamento das folhas de uma folheação. Porém, a maior parte das vezes não encontramos estas curvas, e muito pouco se conhece. Nosso objetivo agora é apresentar uma família de exemplos, devida a J.-P. Jouanolou, para os quais não existe nenhuma curva algébrica invariante. Para isso, precisamos inicialmente apresentar um resultado sobre índices de singularidades ao longo de uma curva algébrica. Ele se aplica mais geralmente, ver [Ca] e [Bru]. Consideremos uma curva algébrica C lisa, invariante pela folheação F e de grau d; nas coordenadas de U 0, C é dada por c x y 0. Usaremos novamente a notação introduzida na seção anterior; para simplificar a exposição, suporemos que as coordenadas em 3 são escolhidas de modo que 1. π & C. 2. C é transversal a L 0 e os pontos de interseção são regulares para F. 3. nas coordenadas afins de U 0 as tangências da curva com as verticais são de tipo quadrático; além disso, estes pontos são todos regulares para F. Definamos a seguinte 1-forma meromorfa de C: ξ : q& p y d x C 18

19 Sendo p C uma singularidade de F, definimos também o índice de F em relação a C no ponto p como Teorema 7. p ind F C p ind F C p d 2 R es p ξ Prova. Observemos que os índices definidos são resíduos de alguns polos da 1-forma ξ, associados às singularidades de F. Os demais polos são os pontos de tangência da curva com as verticais, e os pontos em L 0. Calculemos os resíduos nos pontos de tangência. Parametrizemos a folha por um ponto deste tipo como x g y cy 2 $. Como p g y y & q g y% y g y, vemos que p x yy g y q x y anula-se ao longo de x g y 0. Segue-se que existe h x y holomorfa de modo que p x yz g y q x y h x y> x g y. Concluimos então que q x y h x y 1 g x g y, e p x y p x y q& p y g y d y $ g{ g d y h p g d y h q d y numa vizinhança da tangência e ao longo de C. Segue-se que o resíduo procurado vale 1. Sabemos também pelo teorema de Bezout que existem d d 1 pontos de tangência, pois eles se situam nas interseções de c x y 0 com c y x y 0. Passemos agora a um ponto r de C " L 0. Denotemos ˆp u v u l p 1& u v& u e ˆq u v u l q 1& u v& u, onde l é o maior grau entre p e q. A equação de Pfaff para a folheação nas coordenadas u v é u ˆpd v - ˆq v ˆp d u 0 de modo que o resíduo em r da 1-forma v ˆq v ˆp d u restrita à curva é 0, pois o ponto r u ˆp não é singularidade da folheação. Concluimos que R es r v ˆq u ˆp d u 1. Por outro lado, q& p y d x v ˆq u ˆp d u de modo que o resíduo procurado é também 1. Novamente pelo teorema de Bezout existem d pontos em C " L 0. Portanto encontramos o que demonstra o teorema. p ind F C pg d d 1G d 0 19

20 Corolário 8. Uma curva algébrica, lisa e invariante sempre possui singularidades da folheação. De fato, precisaremos aplicar um resultado como o Teorema 7 para uma curva não lisa, irredutível. O caso que temos em mente contempla curvas algébricas invariantes com cruzamentos nodais, isto é, a curva pode possuir singularidades (como conjunto) do tipo local x y% x $ y 0 (denominadas nodais). Claramente, se a curva é invariante, tais pontos são singulares para a folheação. Vamos encarar a curva C como uma superfície de Riemann abstrata, isto é, os dois ramos passando por cada ponto nodal serão vistos de forma disjunta; portanto, a singularidade nodal é substituida por dois pontos onde a curva é lisa. Este processo denomina-se desingularização da curva. Assim, podemos continuar usando a forma ξ (em cada ramo), e teremos dois polos com dois resíduos para cada singularidade nodal. A exemplo do que fizemos anteriormente, suporemos que os pontos de C " L 0 são regulares para a folheação, bem como os pontos lisos de C de tangência com as verticais. Finalmente, supomos que nenhum dos ramos das singularidades nodais possuem tangente vertical. Seja s Du o número de singularidades nodais de C. Teorema 9. p ind F C p d 2 2s. Prova. Basta observar que os pontos nodais também são soluções (de multiplicidade c x y local 2) do sistema c x y 0 0. Portanto, na conta feita na demonstração y do Teorema 7 devemos retirar 2s pontos do conjunto de tangências e recolocá-los como contribuintes para os índices. Observamos novamente que a cada um dos dois ramos de qualquer singularidade nodal temos 2 índices que participam do somatório. Além disso, pela fórmula do gênero para uma curva plana g d 1> d 2 2 obtemos 2g $ 3d 2 d 2 2s, de modo que a soma de índices é sempre positiva. Podemos finalmente apresentar os exemplos de Jouanolou: Temos as seguintes propriedades 1. a linha no infinito L 0 não é invariante. 1 x k y d x - y k x kb 1 d y 0 k < 2 2. todas as singularidades são obtidas como x k2 b kb 1 1 y x) k. s 20

21 3. todas as singularidades são hiperbólicas, e os índices associados às separatrizes (quocientes de autovalores) são i b k 2 $ 2k $ 2 $ k k $ 2E} 3i k 2 k 2 e i) 2 $ 2k $ 2 k k $ 2%} 3i $ k $ 1 2 k 2. $ k $ 1 Teorema 10. Os exemplos de Jouanolou não possuem curvas algébricas invariantes. Prova. Seja C um candidato a curva algébrica invariante. Como as singularidades são todas hiperbólicas, esta curva possui no máximo singularidades nodais (como curva). Suponhamos que em sua passagem pelas singularidades ela coleciona mb índices do tipo i b e m ) índices do tipo i). Segue-se que p ind F C p mb~$ m ) $ $ $ $ k 2 2k 2 2 k 2 k 1 $ mb m ) k k $ 2E} 3i 2 k 2 $ k $ 1 Devido ao Teorema 9, vemos que mb m ). Para k < 3, obtemos um resultado negativo para a soma de índices, o que não é possível. Estudemos o caso k 2. Temos que p ind F C p 2mbP& 7, e portanto mb 7. Daí, p ind F C p 2 d 2 2s d 2 2 7, e d 4. Devido à fórmula do gênero, não existe uma curva de grau 4 com 7 singularidades nodais. Segundo um resultado de [LN], um aberto e denso (de fato, um aberto de Zariski) no espaço de folheações planas com grau fixado é constituido por folheações sem nenhuma curva algébrica invariante. Pouco se conhece sobre o comportamento das folhas de folheações neste aberto e denso. Por exemplo, não se sabe se o conjunto limite de uma folha necessariamente possui uma singularidade. Existem exemplos, devidos a F. Loray e J. Rebelo, de abertos de folheações cujas folhas são todas densas,ver [LR]. 5 Referências [BM], M. Berthier e R. Moussu Réversibilité et classification des centres nilpotents, Ann. Inst. Fourier 44 (1994). [Bru], M. Brunella Some remarks on indices of holomorphic vector fields, Publ. Matemàtiques 41 (1997). [CLS], C. Camacho, A. Lins Neto e P. Sad Foliations with algebraic limit sets, Ann. of Math. 136 (1992). 21

22 [Ca], C. Camacho e P. Sad Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields, Ann. of Math. 115 (1982). [LN],A. Lins Neto Algebraic Solutions of polynomial differential equations and foliations in dimension two, Lect. Notes in Math [LR], F. Loray e J. Rebelo Stably chaotic rational vector fields on P n, preprint 2000/5, Stony Brook (2000). [MR], J. Martinet e J.-R. Ramis Classification analytique des équations non linéaires réssonantes du premier ordre, Ann. Sci. E.N.S., 4 eme série, t. 16 (1983). [MR1], J. Martinet e J.-R. Ramis Problèmes de modules pour des équations différentielles non lineaires du premier ordre, Publ. Math. IES, 55 (1982). [Mo], R. Moussu Une démonstration géométrique d un théorème de Lyapunov-Poincaré, Astérisque, 98-99, Paris (1982). [Pe], R. Perez-Marco Solution complète au problème de Siegel de linéarisation d une application holomorphe au voisinage d un point fixe, Astérisque 206. [Na], I. Nakai Separatrices for non solvable dynamics on 0, Ann. Inst. Fourier 44, 2 (1994). [Si], Y. Siu Techniques of Extension of Analytic Objects, Marcel Dekker (1974). 22