Unidade 4 EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS

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1 Unidade Introdução A resistência ao cisalhamento (τ - tensão cisalhante máxima) desenvolvida no interior das massas de solos é a responsável pela capacidade que os solos tem de suportar as tensões desenvolvidas pelas solicitações internas (desenvolvidas pelo seu peso próprio) e solicitações externas (cargas aplicadas), conservando sua estabilidade. Caso contrário as tensões desenvolvidas nas massas de solo pode levar a uma condição de desequilíbrio e consequentemente à sua ruptura. Neste caso o nível de tensões supera o regime de deformação elástica passando para o regime plástico de deformação. Então, a análise desse equilíbrio consiste em se identificar o valor da componente tangencial no possível plano de rutura, tensão esta que irá traduzir a resistência interna ao cisalhamento. Conhecendo-se a resistência interna ao cisalhamento estaremos aptos a realizar dimensionamentos de estruturas de terra e fazer verificações das condições de estabilidades destas massas de solos. Na figura 4.1 vê-se como exemplo um terreno em plano inclinado (talude). Esta massa de solo está dividida em várias fatias (porções), em que se tem uma cunha possível de movimentação (escorregamento), que são calculadas as tensões nos planos das suas bases, para posterior comparação com os valores de tensão de resistência do solo. Pode-se assim determinar a condição de estabilidade do conjunto. Figura Terreno em plano inclinado (talude), com as tensões de cisalhamento e normal aos planos das bases das fatias. 85

2 4. Tensões em um ponto: Um ponto, considerado no interior de uma massa de solo, está sujeito a esforços em todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria continuidade da massa). Assim o ponto estará em equilíbrio estável, instável ou incipiente (eminência da ruptura), dependendo da maior ou menor capacidade que a massa tem de absorver esforços (internos e/ou externos). Figura 4. Tensões de um ponto no interior de uma massa de solo Para o estudo das forças atuantes em um ponto O, por exemplo como mostra a Figura 4. (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao peso próprio dos solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, devemos analisá-las segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las como tensões agentes no ponto O traduzidas por esforços por unidade de área em direções definidas e determináveis (no caso, a resultante agirá segundo a direção da gravidade). Assim, sabemos que a ação da componente do peso próprio do solo, agindo na direção da gravidade sobre um plano horizontal, terá seu valor absoluto, mas, sobre um plano inclinado (qualquer) em relação a sua direção é definida por duas componentes, uma normal a esse plano e outra tangencial ou contida no plano (a componente tangencial é que terá que ser equilibrada pela resistência interna). Para o caso da figura 4. em que o plano do terreno é horizontal não haverá componente tangencial e o esforço absoluto, age normal ao plano paralelo ao da superfície. Podemos definir um ponto O, como a intersecção de três planos ortogonais entre si. Ponto O definido como a interseção de três planos ortogonais Se tomarmos, nessa definição gráfica, o ponto no interior da massa, podemos agrupar os esforços que agem em torno do ponto, seguindo essas três direções consideradas. Assim, suas ações limitadas às resultantes com direções definidas seriam tensões ortogonais entre si, que agem, cada uma delas, normal a cada um dos planos sucessivamente. 86

3 As solicitações no ponto O serão definidas por um sistema tri-dimensional de tensões, representadas, por σ 1, σ e σ 3 (e suas respectivas reações pela continuidade da massa), contidas respectivamente no encontro de dois planos (traço desse encontro) e normal ao terceiro onde age integralmente. Se a orientação dos planos se der a partir do referencial horizontal, σ 1 será uma tensão devida ao peso próprio dos solos e agirá normal a esse plano horizontal em toda sua intensidade. Não ocorrerão componentes tangenciais nesses planos e cada uma das tensões agirá, integralmente, sobre cada um dos planos que lhe são, sucessivamente normais. Nessa situação, as tensões serão denominadas tensões principais e os planos serão os principais de tensões. Temos a representação do ponto O com as tensões agentes e, seguindo a nomenclatura teremos para esse sistema tri-dimensional de tensões: σ 1 = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior, no caso o horizontal; σ = tensão principal intermediária agindo normal ao plano principal intermediário; σ 3 = tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor. No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito (nas características dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas as direções. Nessas características a elasticidade (reação da massa) será a mesma em todas as direções dando-nos a condição particular de σ = σ 3. Com essa consideração reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de tensões onde teremos: σ 1 = σ 3 = tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior; tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor. Representando o ponto O como um cilindro infinitesimal, de acordo com a Figura 4.3, teremos o problema de análise das tensões a ser resolvido num sistema bi-dimensional de tensões ou sistema plano de tensões. Figura 4.3 Representação infinitesimal do ponto O 87

4 Direção das tensões principais É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em qualquer profundidade z, a tensão principal maior σ 1 terá como direção à vertical e a tensão principal menor σ 3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal. No caso da superfície ser diferente da situação anterior, ou tiver carga aplicada na superfície em cada profundidade z, terá sua tensão principal maior e menor (perpendiculares entre si) inclinada segundo uma direção diferente à cada posição, como ilustrada na figura Isto ocorre devido a influência direta da condição do carregamento resultante. Figura Direção das tensões principais para alguns pontos no interior da massa de solo, para uma condição de carga aplicada na superfície Cálculo das tensões normal (σ α ) e tangencial (τ α ) em um plano α Pelo ponto O podemos, ainda, além dos dois planos principais considerados, passar outro plano qualquer (por um ponto podemos passar uma infinidade de planos). Mas, nesse terceiro plano, daremos uma orientação de posição, isto é, ele fará um ângulo α com o plano principal maior (terá uma inclinação em relação ao plano horizontal). Nesse caso, o plano estará inclinado em relação as duas tensões principais, que, com suas ações, darão, como decorrência, duas componentes agindo nesse plano, uma normal σ α e uma tangencial τ α. Representando-se, agora, o ponto O pela interseção desses três planos, teríamos por seus traços a figura abaixo, onde temos (traços dando um triângulo infinitesimal). Ponto O representado como um triângulo infinitesimal OA = traço do plano principal maior onde age a tensão σ 1, representada pela reação a mesma ; OB = traço do plano principal menor onde age a tensão σ 3 ; AB = traço do terceiro plano que faz um ângulo α com o plano principal maior (a horizontal). 88

5 O estado de tensões traduzidos pelas ocorrências de σ 1 e σ 3 pode ser expresso no plano inclinado α, pelas componentes σ α e τ α. Isto é, as duas componentes σ α e τ α que agem no terceiro plano são definidoras do estado de tensões σ 1 e σ 3 que agem no ponto e esse plano, podendo ser qualquer um, pode até ser o de rutura quando τ α se aproximar ou ultrapassar o valor da resistência interna ao cisalhamento. Nesse caminho, o problema consistirá, então, em se calcular as duas tensões σ α e τ α em função das tensões agentes σ 1 e σ 3 representados pelos esforços por unidade de área. Assim, considerando-se a figura ao lado com uma profundidade unitária, normal ao papel, o traço AB terá o comprimento ds e os outros subseqüentemente. Figura 4.5 Traços do ponto O representado por unidades de área OA = dscosα OB = dssenα Sobre essas áreas agem as tensões, as forças aplicadas, são mostradas no esquema da Figura 4.6 a seguir: Donde temos os esforços com suas direções definidas em relação a suas ações sobre os planos considerados. Figura 4.6 Tensões agentes Supondo-se o ponto O em equilíbrio (condição de indeslocável) teremos condição de decompor os esforços segundo as direções de σ 1 e σ 3 (ação nos planos principais), com a representação mostrada na Figura 4.7: Esforço se equilibram quando o ponto O está estável, sem condição de deslocamento. Figura 4.7 Decomposição dos esforços segundo direções de σ 1 e σ 3 89

6 Estando o sistema em equilíbrio serão satisfeitas as equações fundamentais da estática, donde teremos: H = 0 σ dssenα σ dssenα + τ dscosα = 0 3 V = 0 σ dscosα σ dscosα τ dssenα = 0 Ou (cancelando-se o ds): 1 α α α α σ senα σ senα + τ cosα = 0 3 α σ cosα σ cosα τ senα = 0 1 α α α (1) () Multiplicando-se 1 por cos α e por sen α, teremos: σ3 senα cosα σα senα cosα + τα cos α = 0 σ1 senα cosα σα senα cosα τα sen α = 0 Subtraindo-se II de I, temos: ( σ1 σ3) senα cosα τα ( sen α cos α) + = 0 (I) (II) (III) Sabemos que: ( ) sena = sen a cosa sen a = sen a cosa Ou, sen α = senα cosα Substituindo em III, temos: sen a ± b = sena cosb ± sen bcosa σ1 σ3 τ α = senα (IV) tensão tangencial (cisalhamento) no plano α Somando-se I e II,temos: ( σ1 σ3) senα cosα σα senα cosα τα ( cos α sen α) + + = 0 σ σ ( ) 1 3 α α sen α σ senα + τ cos α sen α = 0 (V) 90

7 Sabemos que: ( ) cos a ± b = cosa cosb ± sen a sen b cosa = cos a sen a cosα = cos α sen α Substituindo em V: σ 1 σ 3 senα σα sen α + τα cos α = 0 Substituindo τ por seu valor expresso em IV: σ 1 + σ 3 α σ α σ σ α 1 sen sen + 3 senα cos α = 0 ou σ1 + σ3 σ1 σ + 3 cos α = σ α (VI) tensão normal no plano α As expressões IV e VI são as definidoras do estado de tensões, ou seja, calculam as tensões definidoras do estado de tensões resultante da ocorrência de σ 1 e σ 3 agentes num ponto O, situado no interior da massa de solo. Nesse estudo, estabelecemos o desenvolvimento analítico para o cálculo das tensões definidoras do estado de solicitações no ponto O (interior da massa de solo) onde ocorrem σ 1 e σ Análise gráfica de estado de tensões Para a análise gráfica iremos representar o estado de tensões pelo círculo de Mohr que é o lugar geométrico dos pontos de coordenadas σ α e τ α definidores do estado de tensões no ponto O, quando agem, no mesmo as tensões principais σ 1 e σ 3, como mostra a Figura 4.8. Esse lugar geométrico (círculo de Mohr) traduz todos os valores de coordenadas correspondentes a todos os possíveis planos inclinados, em relação aos planos principais, que podemos passar no ponto O e que fazem um ângulo α qualquer, com o plano principal maior (ou em termos de nossa referência inicial com a horizontal). O lugar geométrico, círculo de Mohr, identifica os pontos definidores do estado de tensões no ponto O para qualquer plano referencial aos possíveis α e, esse ângulo será definido pela posição do ponto no círculo. 91

8 Figura 4.8 Representação gráfica dos estados de tensões no ponto O Em outras palavras, o estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior e uma massa de solo, pode ser, graficamente, representado, num sistema cartesiano de coordenadas σ e τ, coordenadas agentes no plano qualquer, quando o mesmo, está sujeito as tensões σ 1 e σ 3. Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos α: a) Marca-se no eixo das abscissas as tensões σ 1 e σ 3 ; b) No intervalo entre σ 1 e σ 3 traça-se o círculo de tensões, cujo diâmetro é σ 1 - σ 3, portanto o raio é igual a: σ r = 1 σ3 c) Toma-se o ponto M, sobre o círculo, obtendo-se os coordenadas σ α e τ α ; * Pela propriedade do círculo de Mohr, temos: Todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo α, corta o círculo num ponto M cujas coordenadas são σ α e τ α, definidoras do estado de tensões no ponto O, submetido ao par de tensões principais σ 1 e σ 3. Esse ângulo α é o ângulo que o plano qualquer, onde agem σ α e τ α, faz com o plano principal maior.. Pelas propriedades conhecidas, ligando-se o ponto M ao início do círculo, a corda define o ângulo α. O início do círculo é o pólo. * O centro do círculo terá as coordenadas:, τo = 0, σ σ σ + σ σo = σ3 + r = σ3 + = Coordenadas do ponto M em função das tensões σ 1 e σ 3 σ σ Raio do círculo: r = 1 3 Coordenadas de o, : τo,, σ + σ = 0 e σ = o 1 3 9

9 Então, temos: σ σ σ α σ σ σ σ α =, +,,, =, + = + o o o o r cos cosα σ σ σ σ σα = cos α τ α σ τ α = = r sen 1 3 senα τα = σ1 σ3 sen α Essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação são as mesmas deduzidas analiticamente o que nos permite trabalhar com o gráfico, num sistema muito mais simples de visualização. 4.4 Critério de rutura de Mohr Dentre os vários critérios de rutura considerados em Resistência dos Materiais, para os diversos materiais diferentes, um se caracteriza por sua condição essencialmente empírica, o critério de rutura de Mohr. Sendo o solo um material heterogêneo por excelência, um critério como o de Mohr traduz muito bem as características diferenciadas dos solos. Assim, toma-se o critério de Mohr, que se obtém com traçados gráficos de círculos de Mohr em condições experimentais práticas a partir de informações obtidas diretamente em corpos-de-prova ensaiados. Como o estado de tensões ocorrentes em um ponto, no interior do maciço de solo se traduz, perfeitamente pelo círculo de Mohr, vamos, levar as solicitações de σ 1 e σ 3 ao estado de rutura e procurar identificar, nos inúmeros planos, aquele que corresponde ao de rutura do material. Esse plano será, portanto, o plano de rutura e o ângulo α correspondente, aquele que define o limite da cunha instável para o estado de tensões de rutura considerado nos ensaios. O critério de Mohr consiste em se ensaiar uma infinidade de corpos-de-prova indeformados (obtidas a partir de amostragem shelby, quando amostra de argilas ou blocos para outros materiais, ou deformadas (solo compactado ou areias para diferentes graus de compacidade) do mesmo horizonte de solo a ser analisado. Essa abordagem inicial é teórica, pois, esse esquema de coletas de amostras, nessa quantidade, é de difícil viabilidade prática; mas, a partir da teoria, vamos conferir algumas considerações, em paralelo, que poderão contribuir para simplificação do processo e sua conseqüente esquematização prática. Vamos tomar um corpo-de-prova cilíndrico O ensaio consistirá, em princípio, de acordo com a Figura 4.9, nas seguintes fases: 93

10 Proteger o corpo-de-prova com membrana elástica de impermeabilização de maneira que se pode submetê-lo, lateralmente a uma pressão σ 3, controlada, através de um esquema especial de uma câmara ou célula de pressão hermeticamente fechada. Por exemplo, podemos injetar na câmara água com pressão manométrica controlada e constante, de maneira que se tenha a efetiva execução desta pressão (confinamento). Figura 4.9 Critério de Mohr Em seguida, nesse ensaio especial de laboratório, temos condição de acionar um dispositivo capaz de fazer agir, sobre o corpo-de-prova, uma pressão axial σ 1 até romper a sua estrutura. Nota-se que, durante o processo de aplicação da tensão axial, a tensão lateral σ 3 é mantida constante e, no instante em que o corpo se rompe, mede-se a máxima σ 1 correspondente a σ 3 aplicada (Figura 4.9). No caso haverá um cisalhamento do corpo-de-prova segundo um ângulo α, do plano de rutura, conforme se representa na figura anterior e a parte de cima se desloca em relação à debaixo caracterizando bem o fenômeno (podem ocorrer rupturas com outras características dependendo do tipo de solo que terá elasticidade diferente. Foi dado esse exemplo para caracterizar melhor o que, teoricamente se afirma). No final desse ensaio, nesse primeiro corpo-de-prova teríamos um par de tensões de solicitações σ 1 e σ 3, correspondentes ao estado de rutura do corpo-de-prova, portanto, são tensões de rutura. Tomaríamos esses valores e traçaríamos o círculo de tensões correspondente, sabendo-se que esse lugar geométrico, pelas condições de execução do ensaio, terá embutido o plano de rutura que faz um determinado ângulo com a horizontal e sobre o qual agirão as tensões σ α e τ α definidoras do estado de rutura. Se repetirmos esse ensaio para um segundo corpo-de-prova, agora tomando σ 3 > σ 3 teríamos, para romper o corpo-de-prova, σ 1 > σ 1. Portanto, identificaríamos um novo par de tensões de rutura que nos daria condição de traçar um novo círculo de Mohr onde se poderia identificar o mesmo plano de rutura para o mesmo material nas mesmas condições de utilização. Poderíamos repetir o ensaio, sucessivamente, para a infinidade de corpos-de-prova, e teríamos no final, ao plotarmos essa infinidade de círculos, algo bem próximo da figura representativa

11 Figura 4.10 Representação do círculo de Mohr para várias amostras Nota-se, que temos uma linha curva que tangencia essa infinidade de círculos correspondentes a rutura. Essa linha que dá o contorno do lugar geométrico desses círculos (Mohr chamou de curva intrínseca ou curva de envoltória dos círculos) correspondente a condição de tensão na ruptura. Da figura, podemos ter outros traçados que nos levará as seguintes análises quanto aos valores das tensões aplicadas e sua condição de estabilidade à ruptura. Tomar σ 3 de um dos círculos e formar um par com σ 1 menor que σ 1 correspondente a rutura. Ao traçarmos esse círculo notaremos que ele ficará aquém da envoltória dos círculos de Mohr correspondente a rutura; Tomar σ 3 de um dos círculos e formar um par com σ 1 maior que σ 1 correspondente a rutura. Da mesma forma, notaremos que parte do círculo extrapolará o limite da envoltória, isto é, para tensões maiores que a tensão de rutura, termos tensões definidoras do estado de tensão maiores do que aquelas que definem o estado de rutura. Conclusão: a envoltória dos círculos de Mohr correspondentes a rutura limita um espaço onde se podem representar, graficamente estados de tensões ocorrentes até o estado de rutura. Ou seja, essa linha é o lugar geométrico dos pontos (de cada círculo traçado com tensões de rutura) correspondentes ao plano de rutura definido em função ao material em análise. Destacando-se da figura 4.11 três círculos, teríamos a figura seguinte em que se identifica, de maneira genérica e completa, as tensões em relação ao critério de rutura de Mohr. r = f = f, a situação de solicitação no material, pode ser avaliada em relação a essa envoltória, onde temos: Tendo-se a curva intrínseca de Mohr de equação: τ ( σ) ( α) 95

12 1º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio estável. Tendo-se a solicitação representada pelo par de tensões ( σ1, σ3), traça-se o círculo correspondente numa planilha onde já está plotada a envoltória correspondente as características do material. Se o círculo traçado se situar no interior da curva intrínseca de rutura, concluímos que o equilíbrio é estável, isto é, a máxima tensão τ α é menor do que a correspondente a envoltória limite; º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio incipiente (que está no limite da instabilidade/estabilidade). Nesse caso o círculo corresponde a solicitação tangente a envoltória: τα = τ r. Haverá possibilidade de rutura do material, por cisalhamento, ao longo do plano de rutura caso haja qualquer infinitésimo de aumento de qualquer uma das duas tensões de solicitação ou pequena queda do valor de τ r ; 3º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio instável. Nesse caso, plotado o círculo corresponde às tensões de solicitação, esse ultrapassa a área limitada pela envoltória, isto é, ocorrerá tensão que ultrapassará a resistência interna ao cisalhamento, do material τ r. Ocorrerá a rutura do material caso a solicitação prevista seja efetiva ou determinado colapso já se deu porque houve esse desequilíbrio constatado. Figura 4.11 Pontos de tangência para vários círculos de Mohr Chamamos, na figura, de T os pontos de tangência dos círculos que definem o conceito descrito, isto é, os pontos T são pontos do lugar geométrico da curva intrínseca de Mohr ou da envoltória de Mohr, correspondentes aos pares de tensões de rutura. Se os pontos são de tangência aos círculos de rutura, cada um corresponde (coordenadas de rutura) ao início do comportamento inelástico (comportamento plástico) 96

13 do material. Sendo assim, nesse ponto a coordenada τ α se iguala a τ r = tensão de resistência interna do material ou resistência ao cisalhamento do material. Propriedades da envoltória de Mohr: A Figura 4.11 nos dá um exemplo de uma curva geométrica definidora da resistência de um solo considerando as várias particularidades do solo ensaiado. Dentro desse enfoque a envoltória de Mohr varia de material para material, possuindo ela as seguintes propriedades: É simétrica em relação ao eixo σ; É aberta para o lado dos σ positivos (tensões de compressão) e fechadas do lado dos σ negativos (tensão de tração); Sua inclinação sobre o eixo σ diminui à medida que τ cresce, tendendo a tornar-se paralela tanto mais elástico e flexível for o material. A teoria do critério de rutura de Mohr, sendo baseada, quase inteiramente na experimentação é a mais satisfatória, como teoria básica, para o assunto de aplicações em solos, cujo caráter, heterogêneo de ocorrência é profundamente aleatório, requer, obrigatória ligação com a experiência prática. A maior objeção que lhe é imposta é a de que essa teoria considera σ 3 = σ embora se comprove, em inúmeras verificações práticas, ser muito pequena a influência dessa real diferenciação. As aproximações de cálculos, dentro do esquema básico do critério, têm satisfeito aos requisitos práticos de dimensionamentos e análises. Resumindo esquematicamente o critério, associa as tensões como mostrado na Figura 4.1: Representação do ponto O Considerado profundamente ampliado por ser um elemento infinitesimal. Figura 4.1 Resumo das tensões do critério de Mohr 97

14 4.5 Teoria de Coulomb Esta teoria se desenvolveu para análise das forças internas de resistência nos maciços pulverulentos (granulares). Princípios da física Partindo-se da teoria do plano inclinado (da Física): Na superfície de contato entre o plano inclinado e o corpo de peso P temos o desenvolvimento da força de atrito de contato Fa de mesma direção e sentido contrário a T, como mostra a Figura Figura 4.13 Forças geradas num plano inclinado O plano pode se movimentar fazendose variar o ângulo. No momento em que o ângulo deixa de ser zero o peso do corpo P deixa de agir integralmente sobre o plano horizontal, passando a agir duas componentes: N = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior, no caso o horizontal; T = componente tangencial no plano, que tende a fazer o corpo deslizar, sobre o plano, por anteposição a força Fa; Fa = Força de atrito. Quanto mais ásperas forem a superfícies de contato, maior será (Fa) e quando mais lisa e/ou lubrificada menor será. Condições resultantes da inclinação do plano: α = 0 α 0 α 0 α 0 P é normal ao plano, N = P e T = 0. Nesse caso, o equilíbrio é estável sem possibilidade de ocorrência da componente tangencial no plano; P se decompõe em N e T, mas, devido ao tamanho de T < Fa (T será menor que Fa), o corpo permanece estável (α < ϕ), sem possibilidade de deslocamento; ϕ = ângulo de atrito de contato entre as superfícies continuando a aumentar α, chegaremos a um ponto em que α = ϕ e T se iguala a Fa. Nesse caso, T = Fa e o ângulo α é denominado ângulo de atrito entre as duas superfícies. O equilíbrio é incipiente, isto é, qualquer infinitésimo de variação de α o equilíbrio variará para instável ou estável. α se igualou ao ângulo de atrito entre as superfícies em contato e passa a ser denominado ângulo interno de atrito. Quando ultrapassa o valor de ϕ (α > ϕ no plano), a componente tangencial T ultrapassará o valor de Fa, e o corpo escorre parat > Fa no plano. Para o cálculo do valor da componente tangencial no plano, temos: 98

15 Equação do atrito T = P.sen α N = P.cos α T N senα = = tgα T = N. tgα cos α Isto é, a componente tangencial é o resultado do produto da componente normal N vezes a tangente do ângulo α (coeficiente angular). Quando α = ϕ, temos tg α = coeficiente de atrito entre as duas superfícies e o ϕ o ângulo de atrito interno entre essas duas superfícies (ângulo de atrito crítico). T 1 = N 1.tg ϕ T 1, no caso, corresponde a resistência de atrito entre as duas superfícies e será sempre calculada em função da componente normal ao plano de escorregamento. T 1 corresponderá ao valor da resistência limite ao escorregamento. Análise do Fenômeno nos Solos No caso de maciços pulverulentos, em que se considera uma quantidade granular (agregado, como exemplo, areia seca), teremos certeza de que a única força de resistência interna será o atrito de contato grão a grão. Portanto, só haverá força interna de atrito. Logo, o fenômeno será idêntico a análise da física feita no plano inclinado. Assim, suponhamos que se tenha, sobre uma mesa um monte de areia seca (I). Esse monte de areia estará em repouso (equilíbrio) ou estável quando limitada por um ângulo de inclinação α = ϕ = ângulo de atrito interno do material granular. No desenho (II) representamos a mesma massa de areia seca, agora contida por anteparos A que retém a massa instável (cunha instável) que, no primeiro desenho caiu no chão por não ter o que a contivesse. Nesses termos, podemos afirmar que a cunha instável é limitada em relação à massa estável por um plano, acima do qual as forças internas de resistência estão suplantadas pelas componentes tangenciais geradas pela existência da própria massa. Nesse caso, chamaremos esse plano de plano de escorregamento (limite em que o equilíbrio é rompido). Caixa móvel que serve de anteparo à massa de areia seca. E = empuxo que a areia desenvolve sobre o paramento interno da caixa correspondente ao esforço desenvolvido pela cunha instável. 99

16 O anteparo deverá ser dimensionado para resistir ao movimento da cunha instável, pressão que o solo faz a partir da cunha instável, ou seja, a porção da massa que age sobre o paramento vertical de contenção, como será visto na Unidade 6. Por analogia da Física podemos escrever: τ α = σ α tg ϕ = τ R (no plano de rutura) Sendo: τ α = componente tangencial no plano que faz ângulo com a horizontal (plano de rutura); σ α = componente normal ao plano; tgϕ = coeficiente de atrito interno do material (coeficiente angular da reta); τ R = tensão interna de resistência ao cisalhamento do material. Tem mesma direção e sentido contrário a τ α, agindo, ambos no plano de rutura. É resultante da resistência interna desenvolvida nos agregados secos que ocorrem na massa O atrito desenvolvido em agregados secos é aquele ocorrente pelo contato grão a grão, correspondente à força de atrito de contato grão a grão. Graficamente, temos para a envoltoria de equilíbrio limite, corresponde à resistência ao cisalhamento do solo, a figura abaixo Coulomb, portanto, concluiu que pelo atrito entre os grãos (em função da tensão de compressão) se desenvolve a resistência interna dos agregados secos, e que o plano de escorregamento das massas desses solos, corresponde a situação em que a possível componente tangencial no plano se iguala a essa resistência interna ao cisalhamento. Caso os solos possuam também ligantes (fração fina) com desenvolvimento de coesão (ligação dos grãos por atração físico-química, contribuindo na de resistência ao cisalhamento) haverá um aumento de τ R devido a esse acréscimo de resistência interna, tensão de tração, que será representada por c e a equação ficará: τ = c + σ tg ϕ 100

17 Essa é a equação de Coulomb que traduz a resistência interna dos solos: dado pelo somatório da resistência por atrito de contato grão a grão, devida aos agregados e a resistência por ligação (atração físico-química por carga elétrica) devida aos ligantes (coesão). Figura Análise comparativa dos contatos entre os grãos de areia e os grãos de argila. PINTO (000) A coesão é um fenômeno físico diferente do atrito de contato grão a grão, mas de comportamento idêntico ao atrito interno, pois impede o cisalhamento das partículas por ligação que lhe dão resistência a tração (partícula a partícula). Graficamente, temos: a envoltória de equilíbrio limite: σ i é a tensão inicial de tração que gera na equação o valor de c. Ambas as tensões de compressão e de tração agem normais ao plano. Pelo próprio gráfico, temos: c = σ i tg ϕ Logo, a equação de Coulomb ficará: τ = σ i tg ϕ + σ tg ϕ = f (σ) Isto é, a resistência ao cisalhamento será função dos componentes normais ao plano de rutura, logo: τ = f (σ) 101

18 Para os possíveis tipos de ocorrências de solos temos: Só Agregado Só Ligante Agregado e Ligante (fração granular) (fração fina) areno-argiloso ou arenoso argiloso argilo-arenoso Conclusão importante: A ocorrência da parcela interna de resistência a coesão c dará como decorrência a possibilidade de se ter um ângulo α do plano de rutura maior que ϕ (atrito interno só dos agregados). Assim, a massa estável representada nas figuras I e II, terá outra conformação podendo, ter até um ângulo de 90 o sem necessidade de anteparo. No desenho abaixo representamos uma situação intermediária: No caso temos: α = ângulo do plano de escorregamento; ϕ = ângulo de atrito interno (do agregado componente do solo) Esta situação estará, logicamente condicionada a capacidade do ligante desenvolver força de coesão o que, condicionará análises mais técnicas e capazes de situar, conceitualmente, as situações mais desfavoráveis. Por exemplo, a proporção agregado/ligante é um fator importante a ser considerado. No caso de termos muito ligante e pouco agregado, quando o ligante perder, eventualmente sua resistência (por exemplo por entrada de água na massa) o agregado passará a atuar. No caso não só o ligante definirá a resistência interna deste solo. 10

19 4.6 - Critério de rutura Mohr Coulomb Considerando-se as teorias do Critério de Rutura de Mohr e de Coulomb, verificase que os comportamentos físicos são idênticos para as duas linhas de limitação e ambas têm a mesma equação. Isto é, no critério de rutura temos a envoltória, linha que define o τ = f α e na teoria de Coulomb, temos a linha que esforço limite de rutura, de equação ( ) limita a resistência da estrutura dos solos, de equação, também, τ ( α) = f. Ora, se ambas tem a mesma forma matemática, podemos assimilá-las, isto é, particularizar, para o caso dos solos, a envoltória de Mohr como se fosse uma reta. Temos, então o critério de rutura Mohr Coulomb em que a premissa básica é a afirmativa de que nos solos, a envoltória dos círculos de Mohr, correspondentes a rutura é uma reta de equação τr = c + σtgϕ. Algum erro pode decorrer dessa assimilação (figura), mas, a prática tem demonstrado que os resultados são perfeitamente compatíveis com os valores requeridos. Com essa assimilação temos condição de traçar a envoltória, correspondente a determinado solo com o traçado de dois círculos, mas, praticamente, pela própria teoria dos erros adota-se no mínimo três círculos, interpolando-se, graficamente a envoltória tangente aos mesmos, como mostrado na figura abaixo (neste exemplo foram utilizadas tensões efetivas, ou seja, foram subtraídas das tensões totais os valores de pressão neutra geradas no momento da ruptura veja que os valores de σ 3 não são inteiros). Veja as informações dos corpos de prova na ruptura (tabela seguinte) e a envoltória em termos de tensões efetivas, traçada como exemplo. Figura Traçado da envoltória de Mohr-Coulomb a partir da realização de três ensaios em laboratório (3 corpos de prova) e a obtenção de três círculos de Mohr efetivos. 103

20 Tabela: Informações dos corpos de prova ensaiados quanto a resistência ao cisalhamento, no momento da ruptura De acordo com o critério de rutura Mohr Coulomb, quando a tensão de cisalhamento, expressa pela reta de Coulomb τ = c + σtg ϕ se iguala a resistência ao cisalhamento τ r, em cada ponto, ao longo da superfície de rutura, o maciço se romperá. O círculo correspondente ao estado de tensões, em torno do ponto O, será tangente a reta de Coulomb e o solo estará no estado incipiente de equilíbrio, isto é, no estado plástico em que, qualquer deformação, uma vez cessado o esforço, permanece, sem retorno a posição original. Se a condição de equilíbrio incipiente ocorre, ela existe em todos os pontos ao longo do plano de rutura e diz-se que a massa de solo está no Estado de Equilíbrio Plástico. Condição Analítica da Rutura Baseados no critério de rutura Mohr Coulomb vamos traçar um gráfico onde temos um círculo tangente a linha de rutura e todos os elementos indicados para consolidar em demonstração a teoria considerada até aqui. Componentes Principais da Figura: σ i = tensão inicial de tração normal ao plano de escorregamento; σ α = tensão de compressão normal ao plano de escorregamento; τ α = tensão tangencial (de rutura) ao plano de escorregamento; 104

21 α = ângulo do plano de ruptura com plano principal maior; r = raio do círculo; ϕ = ângulo de atrito interno do solo; σ 1 e σ 3 = tensões de rutura agentes no ponto considerado; tgϕ = coeficiente de atrito interno do solo; c = σitgϕ = coesão do solo (devido ao ligante - presença da fração argila); σαtg ϕ = atrito interno do solo (devido ao agregado - presença da fração areia); Expressão de Cálculo do ângulo α: Pela propriedade do círculo de Mohr o ângulo interno feito como o raio de T é α conforme figura, portanto: α = 90 + ϕ ϕ α = 45 + Dedução da Equação Analítica da Rutura Pela figura: ND = NC + CD NB = NC CB mas, CD = CB = CT = r Dividindo-se membro a membro, temos: ND NC + CD = ou ND NC + CT = NB NC CB NB NC CT Dividindo-se numerador e denominador por NC, temos: NC CT + ND NC NC 1 = = + sen ϕ sen 90 + sen ϕ = NB NC CT 1 sen ϕ sen 90 sen ϕ NC NC Da figura tiramos: ND = σi + σ 1 NB = σi + σ 3 Substituindo: σ i + σ 1 sen 90 + sen ϕ = σi + σ3 sen 90 sen ϕ Pela Trigonometria: sen sen tg a + b a + b = sen a sen b tg a b ou podemos escrever: 105

22 σ σ i i + σ + σ 1 3 = 90 + ϕ tg ϕ ϕ tg tg N ϕ = 90 + = 45 + = 90 tg ϕ N ϕ = Chamado por Terzaghi de número de fluência A equação ficará: σi + σ1 = Nϕ σi + σ3 σi + σ = Nϕ σi + σ σ = N σ + N σ σ 1 ϕ i ϕ 3 ou ( ) i 1 3 σ1 = Nϕσ3 + ( N 1) σi mas, σ c i = tgϕ Nϕ 1 σ1 = σ 3Nϕ + c tgϕ Demonstra-se que N ϕ 1 = Nϕ, conforme feito adiante. tgϕ Finalmente, temos σ1 = σ3nϕ + c N ϕ EQUAÇÃO ANALÍTICA DA RUPTURA A partir da equação analítica de rutura temos a condição de calcular uma das tensões ( σ 1 ou σ 3 ) quando se conhece a outra delas e se determinou os parâmetros c e ϕ que são valores característicos dos solo em suas condições de utilização (dependendo do problema a resolver teremos necessidade de determinar os parâmetros nas condições mais desfavoráveis possíveis). Para se obter os valores de c e/ou ϕ, temos a necessidade de realizar ensaios especiais de laboratório, com a necessária sofisticação, para representar, com a maior precisão possível, as condições de ocorrência do material em suas situações naturais de ocorrência e utilização. Temos, também, ensaios "in situ" cujas determinações são de melhor avaliação pela manutenção real das condições de campo, mas, cujas aplicações são restritas a situações especiais de ocorrência e aos parâmetros que se pretende determinar. Obeservação: Nesta unidade (04) do curso foi enfocadas com ênfase as tensões principais atuantes nas massas do solo porque objetivou o estudo da resistência ao cisalhamento dos solos, como será visto na unidade seguinte. 106

23 Estado de tensões atuantes em ponto da massa de um material: Através do traçado do círculo de Mohr, pode-se estudar o estado de tensões atuantes em qualquer ponto da massa de solo, assim como em qualquer outro material. Este assunto é estudado nos cursos de resistência dos materiais (na UFJF é visto em Resistência dos Materiais II). A figura a seguir ilustra o círculo de Mohr referente às tensões atuantes no elemento ao seu lado, cujos planos (x e y): * (a) COINCIDEM com a horizontal e vertical e * (b) NÃO COINCIDEM com a horizontal e vertical Observe que em (a) a tensão cisalhante no plano y - τ y, tem sinal negativo e em (b) a tensão cisalhante no plano α - τ α tem sinal positivo. O sentido de se considerar a reta que passa pelo centro do círculo de Mohr, definindo assim as tensões atuantes implica em determinar valores positivos ou negativos para as tensões cisalhantes mas não implica em determinar valores numéricos diferentes para as tensões normais. 40 Effective Stress at Node s x Shear 0-10 s y Normal Figura Exemplo de estado de tensões atuantes em um ponto no interior da massa de solo, e valores e direção em que atuam as tensões principais maior e menor. 107