Notas de aulas de Mecânica dos Solos II (parte 8)

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1 1 Notas de aulas de Mecânica dos Solos II (parte 8) Hélio Marcos Fernandes Viana Tema: Resistência ao cisalhamento dos solos (1. o Parte) Conteúdo da parte 8 1 Introdução Estado plano de tensões e ciclo de Mohr 3 Critério de resistência ao cisalhamento de Mohr-Coulomb ou envoltória de Mohr- Coulomb

2 1 Introdução 1.1 Importância da resistência ao cisalhamento dos solos Vários materiais empregados na construção civil resistem bem às tensões de compressão; Contudo, têm uma capacidade bastante limitada de suportar as tensões de cisalhamento; Assim ocorre, com: a) O concreto; e com b) O solo. O conhecimento da resistência ao cisalhamento do solo, é importante para resolução de muitos problemas práticos na Engenharia Civil. Dentre os problemas clássicos (ou tradicionais), em que é necessário conhecer a resistência ao cisalhamento do solo destacam-se: a) O cálculo da estabilidade de taludes; b) A determinação da capacidade de carga em fundações; e c) A determinação das forças de empuxos de terra. 1. Uma análise baseada no equilíbrio limite Normalmente, os problemas de engenharia, tais como: estabilidade de taludes, capacidade de carga de fundações e empuxos de terra, são analisados empregando conceitos do equilíbrio limite. Uma análise de problemas baseada no equilíbrio limite apresenta as seguintes características: a) Nas análises baseadas no equilíbrio limite se considera o instante de ruptura do solo, quando as tensões atuantes no solo se igualam à resistência ao cisalhamento do solo; e b) Nas análises baseadas no equilíbrio limite não se considera as deformações do solo. 1.3 Representação da resistência ao cisalhamento do solo Existem algumas formas de representar a resistência ao cisalhamento do solo, por exemplo, através: a) Da envoltória de resistência de Coulomb; b) Da envoltória de resistência de Mohr-Coulomb; c) Da envoltória de resistência de Drucker-Prager; e d) Da envoltória de resistência de Lade.

3 OBS(s). a) Envoltória significa uma curva limite, ou curva que representa o limite de um parâmetro (para o caso em estudo, o parâmetro é a resistência ao cisalhamento do solo); e b) Uma reta é uma curva com o coeficiente angular constante, ou seja, o dy/dx da reta é uma constante. Em que, dy/dx é a derivada da variável resposta y de uma função (ou reta), em relação à variável explicativa x da função (ou reta). A envoltória de resistência de Mohr-Coulomb é uma forma bastante utilizada de representar a resistência ao cisalhamento do solo Apresentação do critério de Coulomb de resistência ao cisalhamento do solo, ou da envoltória de resistência de Coulomb A resistência ao cisalhamento do solo pelo critério de Coulomb é apresentada como se segue: a) Inicialmente, são rompidos alguns corpos-de-prova e medido, para o instante de ruptura de cada corpo-de-prova: a tensão normal atuante sobre o corpo-de-prova e a tensão de cisalhamento atuante no corpo-de-prova; OBS. Para romper os corpos-de-prova pode-se utilizar a aparelhagem do ensaio de cisalhamento direto. b) Em seguida, é construído um sistema cartesiano com: as tensões normais atuantes no corpos-de-prova no instante da ruptura no eixo das abscissas, e as tensões de cisalhamento atuantes no corpos-de-prova no instante da ruptura no eixo das ordenadas, como ilustra a Figura 1.1; c) No sistema cartesiano construído conforme o item b, são plotados os pontos correspondentes à tensão normal e à tensão de cisalhamento atuante em cada corpo-de-prova no instante da ruptura, como ilustra a Figura 1.1; d) Na faixa das tensões normais de interesse do problema de engenharia em análise, traça-se uma reta ajustada entre os pontos correspondentes às tensões de ruptura dos corpos-de-prova, como ilustra a Figura 1.1; e) A reta traçada dentro da faixa de tensões de interesse é uma envoltória (ou reta limite) que representa a resistência ao cisalhamento do solo; f) Pelo critério de Coulomb, com base na Figura 1.1, tem-se que a envoltória de resistência do solo ensaiado corresponde à seguinte equação: s r. 1 r (1.1) s = resistência ao cisalhamento do solo; r 1 e r = parâmetros de resistência do solo; e = tensão normal atuante no corpo-de-prova.

4 4 Figura Envoltória de resistência de Coulomb g) Costuma-se denominar os parâmetros de resistência do solo r 1 e r, respectivamente, de coesão e coeficiente de atrito, com a seguinte notação: r1 c; e r tg em que é denominado ângulo de atrito do solo, o qual é o ângulo de inclinação da envoltória de Coulomb em relação à horizontal. e) Finalmente, pelo critério de resistência de Coulomb, a equação geral de resistência ao cisalhamento do solo assume a seguinte forma: s c. tg (1.) s = resistência ao cisalhamento do solo; c = coesão do solo; = tensão normal total atuante no plano de ruptura do solo; e = ângulo de atrito do solo (em termos de tensões totais).

5 5 1.5 Uma equação real para representar a resistência ao cisalhamento do solo A expressão matemática de Coulomb, apresentada anteriormente pela eq.(1.), é considerada simples e mascara (ou encobre) uma série de características do solo que interferem na sua resistência ao cisalhamento. Uma equação geral que representasse a resistência ao cisalhamento do solo (s) deveria ser do tipo: s f( ', e, w,, E,, T, OCR,...) ou seja, resistência ao cisalhamento do solo (s) é função de: -> Tensão efetiva atuante no solo ( ); -> Índice de vazios do solo (e); -> Teor de umidade do solo (w); -> Ângulo de atrito do solo (); -> Estrutura do solo (E); -> Deformação do solo (); -> Temperatura do solo (T); -> Histórico de tensões do solo (OCR); e -> Etc. Na prática, é impossível quantificar todas as variáveis citadas, que interferem na resistência ao cisalhamento do solo (s). Na prática, a resistência do solo costuma ser representada pela envoltória de Mohr-Coulomb. A simplicidade para obtenção da envoltória de Mohr-Coulomb constitui um grande atrativo para sua aplicação para caracterizar a resistência ao cisalhamento do solo (s). OBS. Anteriormente, foi apresentado o critério de Coulomb para obter a equação da resistência ao cisalhamento do solo. Em um tópico futuro, será apresentado o critério de Mohr-Coulomb para obtenção da equação da resistência ao cisalhamento do solo, a qual também é uma envoltória (ou reta limite de resistência). 1.6 Deve-se atentar para variação da resistência ao cisalhamento do solo É importante destacar que os valores da coesão (c) e do ângulo de atrito () do solo variam para um mesmo solo, devido a uma série de fatores (ou variáveis); Por exemplo: a coesão e o ângulo de atrito podem variar: a) Dependendo do tipo de ensaio realizado (cisalhamento direto ou triaxial); b) Dependendo da faixa de carregamentos (ou tensões) aplicados ao corpo-deprova. De acordo com Lambe de Whitman (1979) o ângulo de atrito do solo diminui com o aumento da tensão de confinamento atuante no solo; e

6 6 c) Etc. OBS(s). a) Deve-se atentar para reconhecer os parâmetros de resistência que não são próprios (ou intrínsecos) do solo, e obtê-los atentado para condição peculiar do problema; Por exemplo: atentar, para a tensão de confinamento e para pressão neutra atuantes no solo no campo, pois a tensão de confinamento e a pressão neutra influenciam na resistência ao cisalhamento do solo; e b) Sabe-se que, de maneira geral, quanto maior a tensão de confinamento ( C ) atuante no solo maior será a resistência ao cisalhamento do solo ou do corpo-deprova, quando o solo ou corpo-de-prova for submetido a tensões verticais ou axiais. 1.7 Determinação da resistência ao cisalhamento do solo in situ ou no campo Além da determinação da resistência ao cisalhamento do solo feita em laboratório com uso de corpos-de-prova naturais ou compactados, pode-se conhecer a resistência ao cisalhamento do solo através de ensaios in situ ; Por exemplo: a) O Vane Test, ou ensaio da palheta, é muito usado para determinar a resistência ao cisalhamento de argilas moles in situ ou no campo; e b) Os resultados do SPT (Standard Penetration Test) também fornecem indicações úteis da resistência ao cisalhamento do solo in situ ou no campo. 1.8 Determinação da resistência máxima do solo submetido à compressão Geralmente, a resistência ao cisalhamento de um solo está associada ao ponto de ruptura do solo, quando o solo é submetido à compressão triaxial. Em ensaios de corpos-de-prova de solo submetidos à compressão podemos identificar três tipos de ruptura, as quais são: a) Ruptura frágil; b) Ruptura por deformação excessiva; e c) Ruptura com pico e com resistência residual. Diante do exposto, a resistência máxima do solo submetido a compressão é definida com base na tensão de ruptura do solo, sendo que a ruptura do solo pode ocorrer de 3 (três) formas diferentes. A seguir será mostrado como se obtém a tensão de resistência à compressão do solo com base no tipo de ruptura do solo.

7 7 i) Resistência à compressão para solos com ruptura frágil O solo 1, da Figura 1., se rompe com as seguintes características: a) O solo 1 se rompe para pequenas deformações do solo; b) O solo 1 se rompe quando as tensões de compressão no solo atingem um pico (ou valor máximo) igual a T 1 ; e c) Logo após a tensão de ruptura máxima ou de pico (T 1 ), ocorre que as tensões de compressão atuantes no solo tendem a zero (0). Para o solo 1, a tensão de ruptura do solo é igual a tensão de compressão alcançada no pico ou T 1. Para o solo 1, a resistência à compressão do solo é igual a tensão de ruptura (T 1 ). Figura 1. - Apresentação dos 3 (três) diferentes tipos de ruptura dos solos submetidos à compressão ii) Resistência à compressão para solos com ruptura por deformação excessiva O solo, da Figura 1. anterior, se rompe com as seguintes características: a) O solo alcança um valor de tensão máxima igual a T ; e b) O solo continua se deformando mesmo após ter alcançado o valor de tensão máxima igual a T.

8 8 Para o solo, a tensão de ruptura é arbitrada (ou atribuída) como sendo a tensão correspondente a 0% da deformação vertical do corpo-de-prova. Então, para o solo, pode-se adotar a resistência à compressão do solo como sendo igual a tensão de ruptura. Para o solo, ocorre uma ruptura denominada ruptura plástica ou ruptura por deformação excessiva. iii) Resistência à compressão para solos com ruptura com pico e com resistência residual O solo 3, da Figura 1. anterior, se rompe com as seguintes características: a) O solo 3 se rompe quando as tensões de compressão no solo atingem um pico (ou valor máximo) igual a T 3 ; e b) Após a tensão de ruptura máxima ou tensão de pico (T 3 ), as tensões de compressão atuantes no solo decrescem para um valor constante com as deformações, denominado de tensão residual (T RES ). Para o solo 3, que apresenta a tensão residual (T RES ), a tensão de ruptura a compressão a ser adotada em projetos dependendo da situação poderá ser a tensão de pico (T 3 ) ou a tensão residual (T RES ). Então, para o solo 3, pode-se adotar a resistência à compressão do solo como sendo igual a tensão de ruptura, que pode ser T 3 ou T RES dependendo da situação. Estado plano de tensões e ciclo de Mohr Inúmeros problemas da Mecânica dos Solos são solucionados considerando uma análise de tensões no plano (ou em duas dimensões, ou seja, ou no plano XY, ou no plano XZ, ou no plano YZ)..1 Um elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um estado plano de tensões A Figura.1 mostra um elemento (ou pequena parte) de solo submetido ao estado plano de tensões no plano XZ. Como o elemento de solo da Figura.1 está submetido a um estado plano de tensões; Então, as tensões que têm direção Y, ou normal, ou ortogonal, ou perpendicular à figura do elemento de solo, ou seja, as tensões que formam um ângulo de 90 o com a figura do elemento de solo são consideradas nulas. Assim sendo, para as tensões y, xy e zy, que são ortogonais ou perpendiculares à figura do elemento de solo, tem-se que: y 0; e xy zy 0 (.1)

9 y = tensão normal, ortogonal ou perpendicular ao elemento de solo, e que tem direção Y; xy = tensão de cisalhamento atuante no elemento de solo na direção Y, e no plano que atua a tensão normal x; zx = tensão de cisalhamento atuante no elemento de solo na direção Y, e no plano que atua a tensão normal z; x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; e z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo. OBS(s). a) Os símbolos e são, respectivamente, as letras gregas sigma e tau ; e b) O elemento de solo da Figura.1 está sendo comprimido nas direções X e Z. 9 Figura.1 - Elemento (ou pequena parte) de solo submetido ao estado plano de tensões no plano XZ

10 10 Por razões de equilíbrio no elemento de solo da Figura.1, tem-se que: xz zx e (.) xz = módulo da tensão de cisalhamento atuante no elemento de solo na direção Z ou no plano vertical do elemento de solo; zx = módulo da tensão de cisalhamento atuante no elemento de solo na direção X ou no plano horizontal do elemento de solo; e e = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo, em valor absoluto.. Tensões em um plano no interior do elemento (ou pequena parte) de solo e ciclo de Mohr Conhecendo-se as tensões que atuam nas faces do elemento de solo é possível conhecer as tensões geradas ( e ) em um plano no interior do elemento de solo, o qual possui uma inclinação (alfa) com o eixo dos X, ou seja, com a horizontal. Como mostra a Figura.. Figura. - Tensões atuantes em um plano no interior do elemento de solo, o qual possui uma inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal

11 As tensões que atuam em plano no interior do elemento de solo, que possui uma inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal, como mostrado na Figura., são: i) Tensão normal atuante no plano de inclinação ( ); e ii) Tensão de cisalhamento atuante no plano de inclinação ( ). A seguir serão apresentadas as equações para obtenção das tensões atuantes em um plano no interior do elemento de solo, que possui uma inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal. i) Tensão normal atuante no plano de inclinação ( ) A tensão normal que atua em um plano no interior do elemento de solo, que possui uma inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal, como mostrado na Figura., é obtida pela seguinte equação: x z.cos(. ) 11 (.3) = tensão normal atuante no plano de inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal; o qual se localiza no interior do elemento de solo; x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo; e = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo, em valor absoluto; e = ângulo de inclinação em relação ao eixo dos X ou à horizontal, de um plano no interior do elemento de solo. ii) Tensão de cisalhamento atuante no plano de inclinação () z x A tensão de cisalhamento que atua em um plano no interior do elemento de solo, que possui uma inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal, como mostrado na Figura., é obtida pela seguinte equação: e.sen(. ) z x.sen(. ) e.cos(. ) (.4) = tensão de cisalhamento atuante no plano de inclinação (alfa) com o eixo dos X ou com a horizontal; o qual se localiza no interior do elemento de solo; x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo;

12 1 e = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo, em valor absoluto; e = ângulo de inclinação em relação ao eixo dos X ou à horizontal, de um plano no interior do elemento de solo..3 Equação do ciclo de Mohr Bem, elevando ao quadrado as equações (.3) e (.4), apresentadas anteriormente, e somado-as; Assim sendo, pode ser demonstrado que se obtém a seguinte equação: z x z x ( ) ( e) (.5) ; x ; z ; e e já foram definidos anteriormente. A eq. (.5) representa a equação de um ciclo, o qual apresenta 3 (três) características básicas, as quais são: 1. o (Primeira): O ciclo é plotado (ou desenhado) em um plano (ou diagrama) tipo: Tensões normais aplicada em planos do elemento de solo () versus tensões cisalhantes atuantes em planos do elemento de solo ().. o (segunda): O ciclo tem como abscissa do centro no plano (ou diagrama) versus o seguinte ponto: x z ; 0 ou seja: c x z (.6) x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo; c = tensão normal, que no plano (ou diagrama) versus corresponde à abscissa do centro do ciclo de Mohr do elemento de solo; e c = tensão de cisalhamento, que no plano (ou diagrama) versus corresponde à ordenada do centro do ciclo de Mohr do elemento de solo. ; e c 0

13 3. o (terceira): O raio do ciclo correspondente ao elemento de solo no plano (ou diagrama) versus é dado pela seguinte equação: 13 R z x e ( e) (.7) R e = raio do ciclo de Mohr do elemento de solo no plano versus ; x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo; e e = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo, em valor absoluto. A Figura.3 ilustra um ciclo de Mohr, que foi traçado com base no elemento de solo da Figura.1, e que foi traçado no plano versus (tensões normais aplicadas em planos do elemento de solo versus tensões de cisalhamento atuantes em planos do elemento de solo). OBS(s). a) O raio e as coordenadas do centro do ciclo de Mohr, da Figura.3, foram obtidos com base nas tensões atuantes no elemento de solo da Figura.1 e nas equações (.6) e (.7) apresentadas anteriormente; e b) Sabe-se que por razões de equilíbrio no elemento de solo da Figura.1, tem-se que: xz xz = módulo da tensão de cisalhamento atuante no elemento de solo na direção Z ou no plano vertical do elemento de solo; zx = módulo da tensão de cisalhamento atuante no elemento de solo na direção X ou no plano horizontal do elemento de solo; e e = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo, em valor absoluto. zx e

14 14 Figura.3 - Ciclo de Mohr traçado no plano versus, e que foi traçado com base nas tenções atuantes no elemento de solo da Figura.1.4 Considerações sobre o ciclo de Mohr.4.1 Determinação do sinal da tensão de cisalhamento Para determinar o sinal da tensão de cisalhamento, que atua no elemento de solo é necessário marcar um ponto fora da faceta em que a tensão de cisalhamento atua, e então verificar o sentido de rotação da tensão de cisalhamento; Assim sendo, tem-se que: a) Se o sentido de rotação da tensão de cisalhamento ao redor do ponto de referência for horário a tensão de cisalhamento atuante na faceta do elemento de solo é POSITIVA; e b) Se o sentido de rotação da tensão de cisalhamento ao redor do ponto de referência for anti-horário a tensão de cisalhamento atuante na faceta do elemento de solo é NEGATIVA.

15 A Figura.4, a seguir, ilustra a obtenção de pares ordenados (, ) ou pontos pertencentes ao ciclo de Mohr do elemento de solo da Figura.1, tais pontos são obtidos com base nas tensões atuantes nos planos horizontal e vertical do elemento (ou pequena parte) de solo. Observa-se que os pares ordenados (, ) ou pontos obtidos para o ciclo de Mohr do elemento de solo correspondem às tensões que atuam nos planos horizontal e vertical do elemento de solo, como mostra a Figura.4. Os pontos que foram obtidos, em forma de pares ordenados (, ), na Figura.4, representam as tensões atuantes nos planos horizontal e vertical do elemento de solo, tais pontos pertencem ao ciclo de Mohr traçado para o elemento de solo no plano versus, o qual foi apresentado na Figura.3 mostrada anteriormente. OBS. Para o ciclo de Mohr as tensões de compressão sempre têm sinal positivo. 15 Figura.4 - Obtenção dos pares ordenados (, ) ou pontos para o ciclo de Mohr do elemento de solo mostrado anteriormente na Figura.1.4. O Polo do ciclo de Mohr i) Determinação do Polo do ciclo de Mohr para um elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um determinado estado de tensão Para determinar o Polo do ciclo de Mohr para um elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um determinado estado de tensão procede-se como se segue:

16 16 a) Inicialmente, deve-se traçar o ciclo de Mohr para o elemento de solo submetido a um estado de tensão, tal como foi descrito anteriormente; A Figura.5. ilustra o ciclo de Mohr traçado para o elemento de solo apresentado na própria Figura.5; b) Determinam-se os pontos, ou pares ordenados, correspondentes tensões atuantes nas facetas ou planos horizontal e vertical do elemento de solo, tal como foi descrito anteriormente, e como ilustra a Figura.5; c) São plotados (ou desenhados) no ciclo de Mohr, no plano versus, os pontos correspondentes às tensões atuantes nas facetas ou nos planos horizontal e vertical do elemento de solo como ilustra a Figura.5; d) Como as tensões do ponto ( x, xz ) atuam em um plano ou faceta vertical do elemento de solo; Então, traça-se uma reta vertical por este ponto até a reta vertical interceptar o ciclo de Mohr em um ponto P, que representa o Polo do ciclo de Mohr para o elemento de solo em questão. O processo de determinação do Polo é ilustrado na Figura.5; e e) Como as tensões do ponto ( z, - zx ) atuam em um plano ou faceta horizontal do elemento de solo; Então, traça-se uma reta horizontal por este ponto até a reta horizontal interceptar o ciclo de Mohr em um ponto P, que representa o Polo do ciclo de Mohr para o elemento de solo em questão. O processo de determinação do Polo é ilustrado na Figura.5. OBS. Percebe-se que o Polo do ciclo de Mohr pode ser obtido de duas formas diferentes, ou seja, a partir das tensões atuantes na faceta ou plano vertical do elemento de solo, ou a partir das tensões atuantes na faceta ou plano horizontal do elemento de solo. Figura.5 - Processo de obtenção do Polo do ciclo de Mohr, para um elemento de solo submetido a um estado plano de tensões

17 17 ii) Importância do Polo do ciclo de Mohr Polo é um ponto do ciclo de Mohr, que corresponde à origem do planos que passam no interior do elemento de solo, que está sendo submetido a um estado plano de tensão. Por exemplo, para se conhecer as tensões normais () e de cisalhamento () atuantes em um plano que passa no interior do elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um estado plano de tensões, procede-se como se segue: a) Inicialmente, traça-se pelo Polo (P) do ciclo de Mohr uma reta paralela ao plano do interior do elemento de solo, que possui um ângulo de inclinação (alfa) com a horizontal; Como ilustra a Figura.6; b) Em seguida, prolonga-se a reta paralela traçada até que a reta paralela intercepte o ciclo de Mohr num ponto M; Como ilustra a Figura.6; e c) A abscissa e a ordenada do ponto M do ciclo de Mohr indicarão, respectivamente, a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes no plano no interior do elemento de solo, que é inclinado com um ângulo (alfa) com a horizontal; Como ilustra a Figura.6. OBS. Através do Polo do ciclo de Mohr de um dado elemento de solo, que está sendo submetido a um dado estado plano de tensão, é possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano que passa no interior do elemento de solo. Contudo, é necessário conhecer o ângulo de inclinação (alfa) do plano com a horizontal. Figura.6 - Determinação das tensões atuantes em um plano do interior do elemento de solo, que é inclinado com um ângulo (alfa) com a horizontal

18 Planos principais e tensões principais i) Definição dos planos principais e das tensões principais Existem (dois) planos no elemento (ou pequena parte) de solo, que são perpendiculares ou ortogonais entre si, nos quais as tensões de cisalhamento atuantes são nulas; Estes planos são chamados planos principais. As tensões normais atuantes nos planos principais, onde não há tensões de cisalhamento, são chamadas de tensões principais. As tensões principais que atuam nos planos principais do elemento de solo são: a) Tensão normal principal maior ou 1 ; e b) Tensão normal principal menor ou 3. OBS. Planos ortogonais ou perpendiculares entre si, são planos que se cruzam com um ângulo de 90º. ii) Expressões matemáticas para cálculo das tensões principais atuantes no elemento de solo a) Expressão matemática para o cálculo da tensão normal principal maior ( 1 ) Para um dado elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um dado estado plano de tensões, como mostra a Figura.7, tem-se que a tensão normal principal maior, que atua no plano principal maior do elemento de solo onde não há tensões de cisalhamento, é dada pela seguinte equação: x z x z 1 ( e) (.8) 1 = tensão normal principal maior; x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo; e e = xz = zx = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo. b) Expressão matemática para o cálculo da tensão normal principal menor ( 3 ) Para um dado elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um dado estado plano de tensões, como mostra a Figura.7, tem-se que a tensão normal principal menor, que atua no plano principal menor do elemento de solo onde não há tensões de cisalhamento, é dada pela seguinte equação:

19 19 x z x z 3 ( e) (.9) 3 = tensão normal principal menor; x = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; z = tensão normal ao elemento de solo, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo; e e = xz = zx = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo. Observa-se, na Figura.7, que, nos pontos correspondentes às tensões normais principais maior e menor no ciclo de Mohr, a tensão de cisalhamento é nula. Figura.7 - Determinação das tensões normais principais maior e menor do elemento do solo, que é submetido a um dado estado plano de tensões

20 0 iii) Determinação dos ângulos de inclinação dos planos principais maior e menor a) Determinação do ângulo de inclinação do plano principal maior (PPM) Para determinar o ângulo de inclinação com a horizontal do plano principal maior (PPM) do interior do elemento de solo, onde atua a tensão principal maior ( 1 ), procede-se como se segue: a) Inicialmente, traça-se o ciclo de Mohr correspondente ao elemento de solo, que é submetido a um dado estado plano de tensões (Figura.8); b) Determina-se o Polo (P) do ciclo de Mohr, e também o ponto ( 1, 0) no ciclo de Mohr que foi traçado; Como ilustra a Figura.8; c) Traça-se uma reta que vai do Polo (P) até o ponto ( 1, 0), que pertence ao ciclo de Mohr; Como ilustra a Figura.8; e d) O ângulo de inclinação (eta) com a horizontal, da reta traçada do Polo (P) até o ponto ( 1, 0), é o ângulo de inclinação do plano principal maior (PPM) com a horizontal no interior do elemento de solo; Como ilustra a Figura.8. Figura.8 - Processo de obtenção do ângulo de inclinação com a horizontal do plano principal maior (PPM)

21 1 b) Determinação do ângulo de inclinação do plano principal menor (PPm) Para determinar o ângulo de inclinação com a horizontal do plano principal menor (PPm) do interior do elemento de solo, onde atua a tensão principal menor (3), procede-se como se segue: a) Inicialmente, traça-se o ciclo de Mohr correspondente ao elemento de solo, que é submetido a um dado estado plano de tensões (Figura.9); b) Determina-se o Polo (P) do ciclo de Mohr, e também o ponto ( 3, 0) no ciclo de Mohr que foi traçado; Como ilustra a Figura.9; c) Traça-se uma reta que vai do Polo (P) até o ponto ( 3, 0), que pertence ao ciclo de Mohr; Como ilustra a Figura.9; e d) O ângulo de inclinação (ômega) com a horizontal, da reta traçada do Polo (P) até o ponto ( 3, 0), é o ângulo de inclinação do plano principal menor (PPm) com a horizontal no interior do elemento de solo; Como ilustra a Figura.9. Figura.8 - Processo de obtenção do ângulo de inclinação com a horizontal do plano principal menor (PPm)

22 Finalmente, a Figura.10 mostra a junção, em um mesmo ciclo de Mohr, das retas que representam os planos principais maior e menor do elemento de solo, que é submetido a um dado estado plano de tensões. Observa-se, na Figura.10, que as retas que representam os planos principais maior e menor do elemento de solo no ciclo de Mohr se interceptam em um ângulo de 90º. OBS. Para se traçar os planos principais maior e menor no interior elemento de solo basta, a partir das retas que representam os planos principais maior e menor no ciclo de Mohr, traçar retas paralelas no interior do elemento de solo. Figura.10 - Junção, em um mesmo ciclo de Mohr, das retas que representam os planos principais maior e menor do elemento de solo.4.4 Tensão vertical ( z ) e tensão horizontal ( x ) em ensaios de compressão triaxial Em ensaio de compressão triaxial, tem-se que: a) A tensão vertical ( z ) atuante no topo do corpo-de-prova coincide com a tensão normal principal maior ( 1 ); Pois, no plano horizontal do topo do corpo-de-prova as tensões de cisalhamento são nulas;

23 b) A tensão horizontal ( x ) aplicada nos planos verticais laterais do corpo-de-prova coincide com a tensão principal menor ( 3 ); Pois, nos planos verticais laterais do corpo-de-prova as tensões de cisalhamento são nulas; e c) No ensaio de compressão triaxial, geralmente a tensão atuante no topo corpo-deprova ( 1 ) é maior que a tensão atuante nas laterais do corpo-de-prova ( 3 ). OBS. O tema ensaio de compressão triaxial será abordado em aula futura. 3 3 Critério de resistência ao cisalhamento de Mohr-Coulomb ou envoltória de Mohr-Coulomb 3.1 Introdução A teoria de Mohr afirma que: a) Os materiais se rompem quando a tensão de cisalhamento, em um determinado plano no interior do material, iguala ou supera a resistência ao cisalhamento do material; e b) A resistência ao cisalhamento do material é função da tensão normal atuante sobre o material; Assim sendo, a equação representativa da teoria de Mohr é da forma: s f( ) (3.1) s = resistência ao cisalhamento do material; f = símbolo que indica função; e = tensão normal atuante sobre o material. 3. Envoltória de resistência de Mohr-Coulomb segue: A definição da envoltória de resistência de Mohr-Coulomb é feita como se i) Inicialmente, são ensaiados (ou rompidos) vários corpos-de-prova de um mesmo solo, sob condições distintas de carregamento ou solicitação, e obtém-se no plano ou diagrama versus um ciclo de Mohr para cada corpo-de-prova ensaiado. Como ilustra a Figura 3.1.

24 4 OBS(s). a) Os ensaios mais utilizados para obtenção da envoltória de Mohr-Coulomb são os de cisalhamento direto e de compressão triaxial; e b) O diagrama ou plano versus é o diagrama ou plano das tensões normais efetivas aplicadas em planos do corpo-de-prova versus tensões de cisalhamento atuantes em planos do corpo-de-prova. Figura Ciclos de Mohr correspondentes aos corpos-de-prova ensaiados ii) Os ciclos de Mohr obtidos para cada corpo-de-prova ensaiado, é obtido para o estado de tensão (ou condição de carregamento) atuante no corpo-de-prova no instante da ruptura. iii) Pelo menos um ponto de cada ciclo de Mohr, traçado para cada corpo-de-prova rompido, representará as tensões normais e cisalhantes, que atuavam no plano de ruptura do corpo-de-prova ensaiado. iv) Existe uma curva que passa pelos pontos, que correspondem às tensões que atuavam no plano de ruptura e no instante da ruptura de cada corpo-de-prova ensaiado; Esta curva é denominada ENVÓLTORIA DE RESISTÊNCIA DO SOLO; Como ilustra a Figura 3.. OBS. Envoltória significa uma curva limite, ou que representa o limite de um parâmetro (para o caso em estudo, o parâmetro é a resistência ao cisalhamento do solo).

25 5 Figura 3. - Envoltória de resistência do solo v) Diante do exposto, a envoltória de resistência do solo é o lugar geométrico dos pontos correspondentes à ruptura do solo (ou dos corpos-de-prova); Assim sendo, tem-se que: a) Pontos no plano ou diagrama versus, que estejam além ou acima da envoltória de resistência do solo correspondem a um solo (ou corpo-de-prova) rompido; e b) Pontos no plano ou diagrama versus, que estejam abaixo da envoltória de resistência do solo correspondem a um solo (ou corpo-de-prova) não rompido. vi) O critério de Coulomb admite que a envoltória de resistência do solo é uma reta com a seguinte equação: s c' '.tg' (3.) s = resistência ao cisalhamento do solo; c = coesão do solo (obtida em termos de tensões efetivas); = tensão normal efetiva atuante no plano de ruptura do solo (ou do corpo-deprova), no instante da ruptura do solo (ou do corpo-de-prova); e = ângulo de atrito do solo (obtido em termos de tensões efetivas).

26 6 OBS. Quando são usados ciclos de Mohr para obtenção da envoltória de resistência do solo de Coulomb; Então, a envoltória de resistência Coulomb passa a se chamar envoltória de resistência de Mohr-Coulomb. vii) Os parâmetros de resistência do solo, que são a coesão (c ) e o ângulo de atrito ( ) podem ser obtidos diretamente com base na envoltória de resistência de Mohr- Coulomb; Pois: a) (ângulo de atrito) é o ângulo de inclinação da envoltória de Mohr-Coulomb com a horizontal; e b) c (coesão) é o ponto em que a envoltória de Mohr-Coulomb intercepta o eixo das tensões de cisalhamento no plano ou diagrama versus. A Figura 3.3 ilustra uma envoltória de resistência de Morh-Coulomb traçada para um dado solo, e a obtenção da coesão (c ) e do ângulo de atrito ( ) do solo em questão. OBS(s). a) A envoltória de Mohr-Coulomb, também pode ser traçada em termos de tensões totais; e b) Com base na envoltória de Mohr-Coulomb, tem-se que: = arctg(/ ). Figura Envoltória de resistência Morh-Coulomb traçada para um dado solo

27 7 3. Considerações finais i) Desconsideração da tensão normal principal intermediária ( ) Como característica do critério de Mohr-Coulomb para o estado plano de tensões, deve-se ressaltar (ou enfatizar) que o critério de resistência de Mohr- Coulomb não considera a tensão normal principal intermediária ( ). Assim sendo, pelo critério de resistência Mohr-Coulomb, para o estado plano de tensões, a resistência do solo depende apenas da tensão normal principal maior ( 1 ) e da tensão normal principal menor ( 3 ). ii) Ângulo do plano de ruptura do solo pela teoria de Mohr-Coulomb Ainda, de acordo com a teoria de Mohr-Coulomb, o ângulo entre o plano de ruptura do solo (ou do corpo-de-prova) e o plano principal maior (onde atua 1 ), ou a horizontal, corresponde à seguinte equação: CR ' 45 o (3.3) CR = ângulo entre o plano de ruptura do solo (ou do corpo-de-prova) e o plano principal maior (onde atua 1 ) ou a horizontal; e = ângulo de atrito do solo (em termos de tensões efetivas). OBS. O símbolo é a letra grega teta. iii) O método gráfico para obter CR O método gráfico para obter CR, ou o ângulo entre o plano de ruptura do solo (ou do corpo-de-prova) e o plano principal maior (onde atua 1 ) ou com a horizontal, é descrito como se segue: a) Inicialmente, traça-se o ciclo de um Mohr, que corresponde à ruptura de um corpo-de-prova submetido ao estado plano de tensão; E também, traça-se a envoltória de resistência de Mohr-Coulomb do solo em análise; Como mostra a Figura 3.4; b) Plota-se no ciclo de Mohr os pontos correspondentes às tensões que atuam no plano principal maior e no plano principal menor do corpo-de-prova, que são os pontos ( 1, 0) e ( 3, 0) respectivamente; Como mostra a Figura 3.4; c) Traça-se no ciclo de Mohr, através do ponto ( 1, 0), uma reta paralela ao plano principal maior onde atua 1 no corpo-de-prova; Verifica-se que esta reta (PPM) coincide com o eixo das tensões normais efetivas ( ); Como mostra a Figura 3.4; d) O ponto em que a reta traçada conforme o item c, anterior, cruzar o ciclo de Mohr é o polo (P) do ciclo de Mohr para o corpo-de-prova rompido; Como mostra a Figura 3.4;

28 8 e) A partir do polo (P) do ciclo de Mohr, traça-se uma nova reta até a mesma cruzar o ciclo de Mohr no ponto (R), em que a envoltória de resistência tangencia o ciclo de Mohr; Como mostra a Figura 3.4; e f) Finalmente, o ângulo entre a reta horizontal PPM, que é paralela ao plano principal maior, e a nova reta traçada conforme o item anterior (e), será o ângulo CR do solo (ou do corpo-de-prova); Como mostra a Figura 3.4. OBS(s). a) Na verdade, para se obter a envoltória de resistência de Mohr-Coulomb são traçados mais de um ciclo de Mohr, sendo um ciclo de Mohr para cada corpo-deprova ensaiado ou rompido; Contudo, a Figura 3.4 não mostra os outros ciclos de Mohr traçados para se obter a envoltória de resistência; b) O símbolo é a letra grega teta ; e c) O símbolo significa aproximadamente igual. Figura Método gráfico para obter CR, ou o ângulo entre o plano de ruptura do solo (ou do corpo-de-prova) e o plano principal maior (onde atua 1 ) iv) Situações particulares da equação da envoltória de Mohr-Coulomb As situações particulares da equação da envoltória de Mohr-Coulomb são: a) Equação da envoltória de Mohr-Coulomb para solos puramente coesivos Para solos puramente coesivos a equação da envoltória de resistência de Mohr-Coulomb se reduz a seguinte equação:

29 9 s c' (3.4) s = resistência ao cisalhamento do solo; e c = coesão do solo (obtida em termos de tensões efetivas). b) Equação da envoltória de Mohr-Coulomb para solos puramente arenosos Para solos puramente arenosos a equação da envoltória de resistência de Mohr-Coulomb se reduz a seguinte equação: s '.tg' (3.5) s = resistência ao cisalhamento do solo; = tensão normal efetiva atuante no plano de ruptura do solo (ou do corpo-deprova), no instante da ruptura do solo (ou do corpo-de-prova); e = ângulo de atrito do solo (obtido em termos de tensões efetivas). Referências Bibliográficas BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Vol.. São Carlos - SP: Escola de Engenharia de São Carlos - USP, p. (Bibliografia Principal) FERREIRA, A. B. H. Novo dicionário da língua portuguesa.. ed. Rio de Janeiro - RJ: Nova Fronteira S.A., p. ORTIGÃO, J. A. R. Introdução à mecânica dos solos dos estados críticos. Rio de Janeiro - RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA., p. PARREIRA, A. B. Notas de aulas da disciplina elasticidade plasticidade. São Carlos - SP: Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo, 000.