Outline Introdução Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCS. Supercondutividade. Leandro Alexandre
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- Heloísa Morais Lombardi
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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Física Mecânica Quântica II 27 de fevereiro de 2008
2 1 Introdução 2 Modelo de Gorter-Casimir 3 Modelo de Ginzburg-Landau 4 Teoria BCS
3 Breve Histórico da (SC) 1911: Onnes descobre a supercondutividade
4 Breve Histórico da (SC) 1911: Onnes descobre a supercondutividade 1933: Efeito Meissner fluxo magnético excluído do interior do SC, a menos de uma pequena região de penetração próxima a sua superfície.
5 Breve Histórico da (SC) 1911: Onnes descobre a supercondutividade 1933: Efeito Meissner fluxo magnético excluído do interior do SC, a menos de uma pequena região de penetração próxima a sua superfície. 1934: Modelo de Gorter-Casimir ansatz para a energia livre de um SC (modelo fenomenológico - abordagem termodinâmica)
6 Breve Histórico da (SC) 1911: Onnes descobre a supercondutividade 1933: Efeito Meissner fluxo magnético excluído do interior do SC, a menos de uma pequena região de penetração próxima a sua superfície. 1934: Modelo de Gorter-Casimir ansatz para a energia livre de um SC (modelo fenomenológico - abordagem termodinâmica) 1935: Modelo dos irmãos London (modelo fenomenológico - abordagem eletromagnética)
7 Breve Histórico da (SC) 1911: Onnes descobre a supercondutividade 1933: Efeito Meissner fluxo magnético excluído do interior do SC, a menos de uma pequena região de penetração próxima a sua superfície. 1934: Modelo de Gorter-Casimir ansatz para a energia livre de um SC (modelo fenomenológico - abordagem termodinâmica) 1935: Modelo dos irmãos London (modelo fenomenológico - abordagem eletromagnética) 1950: Teoria de Gizburg-Landau função de onda complexa como parâmetro de ordem
8 Breve Histórico da (SC) 1911: Onnes descobre a supercondutividade 1933: Efeito Meissner fluxo magnético excluído do interior do SC, a menos de uma pequena região de penetração próxima a sua superfície. 1934: Modelo de Gorter-Casimir ansatz para a energia livre de um SC (modelo fenomenológico - abordagem termodinâmica) 1935: Modelo dos irmãos London (modelo fenomenológico - abordagem eletromagnética) 1950: Teoria de Gizburg-Landau função de onda complexa como parâmetro de ordem 1957: Teoria BCS formação de estado ligado elétron-elétron (teoria padrão da supercondutividade) BCS Bardeen-Cooper-Schrieffer
9 Fatos Experimentais: Resistividade ρ(t ) T 2, para férmions normais
10 Fatos Experimentais: Calor Específico C VS C Vn T ( exp a ) T
11 Fatos Experimentais: Efeito Meissner
12 Fatos Experimentais: Efeito Meissner Campos magnéticos suficientemente baixos
13 Fatos Experimentais: Efeito Meissner
14 Fatos Experimentais: Campo Magnético Crítico H c
15 Fatos Experimentais: Campo Magnético Crítico H c [ ( ) 2 ] T H c (T ) = H c (0) 1 H > H c (T ) para dada T: amostra volta ao estado normal T c
16 Fatos Experimentais: Efeito Isótopo
17 Fatos Experimentais: Efeito Isótopo Troca de um dos isótopos de uma rede cristalina gera um shift em alguns observáveis. T c M 1 2
18 Modelo de Gorter-Casimir Ansatz para a energia livre
19 Modelo de Gorter-Casimir Ansatz para a energia livre F (x, T ) = xf n (T ) + (1 x)f S (T ) x fração de elétrons no fluido normal (1 x) fração de elétrons no superfluido f n (T ) γ 2 T 2 C v = T 2 F T 2 = γt ( ) f S (T ) β = cte
20 Modelo de Gorter-Casimir Minimizando a energia em relação a x: x = γ2 16β 2 T 4 Fazendo x = 1, obtemos a temperatura crítica: T 2 c = 4β γ Juntando as expressões, ( T x = T c ) 4 T = 0 x = 0 todos os elétrons no estado SC
21 Modelo de Gorter-Casimir Reescrevendo a energia livre: [ ( ) 4 ] T F S (T ) = β 1 + Com T c F S (T )+ H2 c (T ) 8π Temos: = F n (T ) destruição da SC por um campo crítico H c [ ( ) 2 ] T H c (T ) = 8πβ 1 T c
22 Modelo de Gorter-Casimir Calor Específico: C v = T 2 F (T ) T 2 C vn = γt ( T C vs = 3γT c T c ) 3
23 Modelo de Gorter-Casimir
24 Considerações Iniciais Energia livre (F ) como um funcional de um campo ψ
25 Considerações Iniciais Energia livre (F ) como um funcional de um campo ψ ψ deve descrever as possíveis fases do sistema
26 Considerações Iniciais Energia livre (F ) como um funcional de um campo ψ ψ deve descrever as possíveis fases do sistema ψ parâmetro de ordem do sistema: ψ = 0 na fase de alta temperatura (T > T c ) ψ 0 para T < T c F [ψ] = F n [ψ] + 1 [ d 3 x a T T c ψ( x) 2 + b V T c 2 ψ( x) 4 + ] ħ2 2m ψ( x) 2
27 Ginzburg-Landau sem campo magnético Considerando ψ( x) ψ uma função homogênea:
28 Ginzburg-Landau sem campo magnético Considerando ψ( x) ψ uma função homogênea:
29 Ginzburg-Landau sem campo magnético Considerando ψ( x) ψ uma função homogênea: F [ψ] = F n [ψ] + V ( ψ ) V ( ψ ) = a T T c ψ 2 + b T c 2 ψ 4
30 Ginzburg-Landau sem campo magnético Considerando ψ( x) ψ uma função homogênea: F [ψ] = F n [ψ] + V ( ψ ) V ( ψ ) = a T T c ψ 2 + b T c 2 ψ 4 Minimizando V em relação a ψ: ψ 1 = 0 a T T c ψ 2 = i b T c a T T c ψ 3 = i b T c
31 Ginzburg-Landau sem campo magnético Caso T > T c : T T c T T c d 2 V dψ 2 = 2a T T c > 0 ψ 1 é mínimo ψ1 T c ψ = 0 (valor esperado)
32 Ginzburg-Landau sem campo magnético Caso T < T c : T T c T T c d 2 V dψ 2 = 2a T T c < 0 ψ 1 é máximo ψ1 T c d 2 V dψ 2 > 0 ψ 2 é mínimo ψ2 d 2 V dψ 2 > 0 ψ 3 é mínimo ψ3
33 Ginzburg-Landau sem campo magnético a T T ψ = ± c b T c (valor esperado) Escolhendo um dos vácuos, a simetria é quebrada...
34 Ginzburg-Landau sem campo magnético a T T ψ = ± c b T c (valor esperado) Escolhendo um dos vácuos, a simetria é quebrada...
35 Ginzburg-Landau sem campo magnético
36 Ginzburg-Landau sem campo magnético Temos então: Parâmetro de Ordem nulo sistema na fase normal (F (T ) = F n (T ))
37 Ginzburg-Landau sem campo magnético Temos então: Parâmetro de Ordem nulo sistema na fase normal (F (T ) = F n (T )) Parâmetro de Ordem não-nulo sistema na fase supercondutora
38 Ginzburg-Landau sem campo magnético Temos então: Parâmetro de Ordem nulo sistema na fase normal (F (T ) = F n (T )) Parâmetro de Ordem não-nulo sistema na fase supercondutora Expoente Crítico: Parâmetro de ordem ( ) β T Tc T c ψ = a T T c b T c β = 1 2 expoente crítico do modelo de G.L
39 Ginzburg-Landau sem campo magnético Calor Específico: C S V C V = T 2 F T 2 [ ] 2 = T T 2 F n (T ) a T T c ψ 2 + b T c 2 ψ 4
40 Ginzburg-Landau sem campo magnético Calor Específico: C S V C V = T 2 F T 2 [ ] 2 = T T 2 F n (T ) a T T c ψ 2 + b T c 2 ψ 4 C S V = ( a 2 bt 2 c ) T + CV n (T < T c)
41 Ginzburg-Landau sem campo magnético Calor Específico: C S V C V = T 2 F T 2 [ ] 2 = T T 2 F n (T ) a T T c ψ 2 + b T c 2 ψ 4 C S V = ( a 2 bt 2 c ) T + CV n (T < T c) C S V = C n V = C V (T > T c )
42 Ginzburg-Landau com campo magnético ( F = e E v + c B ) E = φ 1 A c t, B = A Força generalizada para potenciais que dependem do tempo: ( ) Q k = U + d U q k dt q k
43 Ginzburg-Landau com campo magnético ( F = e E v + c B ) E = φ 1 A c t, B = A Força generalizada para potenciais que dependem do tempo: ( ) Q k = U + d U q k dt q k Problema: U =??? ( F = e φ 1 c A ) t + v c ( A)
44 Ginzburg-Landau com campo magnético Depois de algumas manipulações, [ ( F = eφ e ) c v. A + d v (eφ e ) ] dt c v. A
45 Ginzburg-Landau com campo magnético Depois de algumas manipulações, [ ( F = eφ e ) c v. A + d v (eφ e ) ] dt c v. A L = m 2 v 2 eφ + e c v. A ( 2 H = 1 p A) e 2m c + eφ
46 Ginzburg-Landau com campo magnético Depois de algumas manipulações, [ ( F = eφ e ) c v. A + d v (eφ e ) ] dt c v. A L = m 2 v 2 eφ + e c v. A ( 2 H = 1 p A) e 2m c + eφ Eliminando o campo elétrico φ = 0, A t = 0: ( ) 2 H = 1 p e A 2m c
47 Ginzburg-Landau com campo magnético F [ψ] = F n [ψ] + 1 V + 1 ( 2m d 3 x [ iħ e A( x) c ) a T T c T c ψ( x) 2 + b 2 ψ( x) 4 + ψ( x) 2 ] + 1 B 8π 2
48 Ginzburg-Landau com campo magnético Derivada Funcional: ( ) d F [f + ɛσ] dɛ Ex.: F [ A] = d 3 x A( x) ɛ=0 d n xσ(x) δf δf (x) F [ A + ɛ σ] = d 3 x( A( x) + ɛ σ(x)) = d 3 xa( x) + ɛ d 3 x σ(x) df [ A + ɛ σ] dɛ = δf δ A( x) = 1 d 3 x σ(x)
49 Ginzburg-Landau com campo magnético Variando a energia em relação a A: 1 4π B = ( ) ( ] [ψ ħe 1 2mc i e A ħc ψ + ψ 1 i e A )ψ ħc B = 4π c j
50 Ginzburg-Landau com campo magnético Variando a energia em relação a A: 1 4π B = ( ) ( ] [ψ ħe 1 2mc i e A ħc ψ + ψ 1 i e A )ψ ħc B = 4π c j Densidade de Supercorrente: ( ) j S = [ψ ħe 1 2m i e A ħc ψ + ψ ( ] 1 i e A )ψ ħc
51 Ginzburg-Landau com campo magnético Variando a energia em relação a ψ: ( ) 2 1 ħ 2m i e A c ψ + a T T c ψ + b ψ 2 ψ = 0 T c
52 Ginzburg-Landau com campo magnético Variando a energia em relação a ψ: ( ) 2 1 ħ 2m i e A c ψ + a T T c ψ + b ψ 2 ψ = 0 T c Equações de Ginzburg-Landau
53 Corrente Crítica Supercondutor fino, com dependência espacial unidimensional: ψ = ψ 0 e iqx Assumindo A = 0, da segunda eq. de G.L: ( ħq 2 2m + at T c T c ) ψ 0 + bψ 3 0 = 0
54 Corrente Crítica Supercondutor fino, com dependência espacial unidimensional: ψ = ψ 0 e iqx Assumindo A = 0, da segunda eq. de G.L: ( ħq 2 2m + at T c T c ) ψ 0 + bψ 3 0 = 0 ψ 0 = 0 ψ 0 = ± a b T T c T c ħq2 2mb
55 Corrente Crítica Da equação de supercorrente: j S = e ( ) ħq ψ 0 2 m j S = ev S ρ S
56 Corrente Crítica Da equação de supercorrente: j S = e ( ) ħq ψ 0 2 m j S = ev S ρ S Como pela segunda eq de G.L, ψ 0 pertence aos Reais, a T T c ψ 0 = ± ħq2 b T c 2mb a (T c T ) ħq2 b T c 2mb
57 Corrente Crítica Da equação de supercorrente: j S = e ( ) ħq ψ 0 2 m j S = ev S ρ S Como pela segunda eq de G.L, ψ 0 pertence aos Reais, a T T c ψ 0 = ± ħq2 b T c 2mb a (T c T ) ħq2 b T c 2mb A Scorrente pode assumir um valor máximo j C. Acima desse valor, o metal possui condução normal
58 Efeito Meissner SC homogêneo, tal que a densidade de superfluido possa ser considerada constante no espaço: ψ = ψ 0 e iφ( x)
59 Efeito Meissner SC homogêneo, tal que a densidade de superfluido possa ser considerada constante no espaço: ψ = ψ 0 e iφ( x) Inserindo na eq. de supercorrente: [ ] j S = ħe m ρ S φ( x) e A ħc
60 Efeito Meissner SC homogêneo, tal que a densidade de superfluido possa ser considerada constante no espaço: ψ = ψ 0 e iφ( x) Inserindo na eq. de supercorrente: [ ] j S = ħe m ρ S φ( x) e A ħc Aplicando na eq. anterior: j S = e2 mc ρ S B 4π c j S = 4πe2 mc 2 ρ S B
61 Efeito Meissner Lembrando que 4π c j = B, temos: 2 B 1 = B λ 2 L
62 Efeito Meissner Lembrando que 4π c j = B, temos: Onde mc λ L 2 4πe 2 ρ S 2 B 1 = B λ 2 L Profundidade de penetração de London
63 Efeito Meissner Lembrando que 4π c j = B, temos: Onde mc λ L 2 4πe 2 ρ S 2 B 1 = B λ 2 L Profundidade de penetração de London Solução 1D simples: B(x) = B 0 e x λ L Quanto menor λ L, mais rápido cai o valor de B dentro da amostra.
64 Revisão: BEC Revisão da idéia de BEC
65 Revisão: BEC Revisão da idéia de BEC gás ideal de Bose ħ2 k 2 2m
66 Revisão: BEC Revisão da idéia de BEC gás ideal de Bose ħ2 k 2 2m ln Z(T, V, µ) = ( [ ( )]) ln 1 exp β ɛ j µ j < n j >= 1 exp [β(ɛ j µ)] 1 N = j < n j > U = j ɛ j < n j >
67 Revisão: BEC Revisão da idéia de BEC gás ideal de Bose ħ2 k 2 2m ln Z(T, V, µ) = ( [ ( )]) ln 1 exp β ɛ j µ j < n j >= 1 exp [β(ɛ j µ)] 1 N = j < n j > U = j ɛ j < n j >
68 Revisão: BEC [ µ kt = ln 1 γ ( ) 2πħ 2 3 ] 2 ( ) N + ln 3 mk V 2 ln T
69 Revisão: Estatística de Bose-Einstein fazendo µ = 0 no limite termodinâmico: T 0 = [ ħ2 2mk 4π 2 γγ( 3 2 )ζ( 3 2 ) ] 2 3 ( N V ) 2 3
70 Revisão: Estatística de Bose-Einstein fazendo µ = 0 no limite termodinâmico: T 0 = [ ħ2 2mk 4π 2 γγ( 3 2 )ζ( 3 2 ) T 0 Temperatura de Bose-Einstein ] 2 3 ( N V ) 2 3
71 Revisão: Estatística de Bose-Einstein fazendo µ = 0 no limite termodinâmico: T 0 = [ ħ2 2mk 4π 2 γγ( 3 2 )ζ( 3 2 ) T 0 Temperatura de Bose-Einstein [ ( T N 0 = N 1 T 0 ] 2 3 ( N V ) 2 3 ) 2 3 ]
72 Revisão: Estatística de Bose-Einstein fazendo µ = 0 no limite termodinâmico: T 0 = [ ħ2 2mk 4π 2 γγ( 3 2 )ζ( 3 2 ) T 0 Temperatura de Bose-Einstein [ ( T N 0 = N 1 T 0 ] 2 3 ( N V ) 2 3 ) 2 3 ] N 0 Número de partículas no condensado de Bose-Einstein
73 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac ln Z(T, V, µ) = j ( [ ( )]) ln 1 + exp β ɛ j µ < n j >= 1 exp [β(ɛ j µ)] + 1
74 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac ln Z(T, V, µ) = j ( [ ( )]) ln 1 + exp β ɛ j µ < n j >= 1 exp [β(ɛ j µ)] + 1 N = j < n j >
75 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac ln Z(T, V, µ) = j ( [ ( )]) ln 1 + exp β ɛ j µ < n j >= 1 exp [β(ɛ j µ)] + 1 N = j < n j > U = j ɛ j < n j >
76 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac Gás de Fermi completamente degenerado: β
77 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac Gás de Fermi completamente degenerado: β Energia de Fermi = potencial químico em T = 0
78 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac Gás de Fermi completamente degenerado: β Energia de Fermi = potencial químico em T = 0 ( ɛ F = ħ2 6π 2 2m γ ) 2 3 ( N V ) 2 3 ɛ F = k b T F T F = ħ2 2mk b ( 6π 2 γ ) 2 3 ( N V ) 2 3
79 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac Gás de Fermi degenerado: T T F
80 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac Gás de Fermi degenerado: T T F Alguns elétrons abaixo da ɛ F são excitados para estados com energia > ɛ F
81 Revisão: Estatística de Fermi-Dirac Gás de Fermi degenerado: T T F Alguns elétrons abaixo da ɛ F são excitados para estados com energia > ɛ F U = γvc [ ] 2 5 µ 5 π (k bt ) 2 µ µ = ɛ F [ ( 1 π2 12 ) 2 ] T +... T c
82 Acoplamento elétron-fônon Efeito isótopo dá pistas de que os fônons da rede cristalina têm importante papel na SC.
83 Acoplamento elétron-fônon Efeito isótopo dá pistas de que os fônons da rede cristalina têm importante papel na SC. Hamiltoniana de Frölich: H F = H e + H p + H ep H e = k ɛ( k)f k f k H p = q ( ħω q b q b q + 1 ) 2
84 Acoplamento elétron-fônon Consideramos que os fônons produzem uma alteração local na densidade iônica e que se acoplam à densidade de elétrons
85 Acoplamento elétron-fônon Consideramos que os fônons produzem uma alteração local na densidade iônica e que se acoplam à densidade de elétrons Mudança no potencial iônico descrito pelo campo D( x) H ep = d 3 x ˆψ α( x)d( x) ˆψ α ( x)
86 Acoplamento elétron-fônon Consideramos que os fônons produzem uma alteração local na densidade iônica e que se acoplam à densidade de elétrons Mudança no potencial iônico descrito pelo campo D( x) H ep = d 3 x ˆψ α( x)d( x) ˆψ α ( x) Mudança na densidade iônica campos de deslocamento u( x): D( x) =. u( x) dilatações e contrações locais ( ) c 2 t 2 u( x) = 0
87 Acoplamento elétron-fônon Em analogia à quantização do campo de Klein-Gordon: ˆφ( x, t) = d 3 p ( â p e i(px ωpt) + â pe i(px ωpt)) 2ωp (2π) 3 [â p, â p] = δ( p p )
88 Acoplamento elétron-fônon Em analogia à quantização do campo de Klein-Gordon: ˆφ( x, t) = d 3 p ( â p e i(px ωpt) + â pe i(px ωpt)) 2ωp (2π) 3 [â p, â p] = δ( p p ) Na caixa: d 3 p 1 (2π) 3 L 3 l [â pl, â p l ] = δ ll
89 Acoplamento elétron-fônon ( u( x) = 1 q N q q ħ 2mω q O campo D é entao dado por (com ω q = v S q): D( x) = ( i N q ħq 2Mv S ) 1 2 (ˆb q e iqx + ˆb q e iqx) ) 1 2 [ˆb q e iqx ˆb q e iqx]
90 Acoplamento elétron-fônon ( u( x) = 1 q N q q ħ 2mω q O campo D é entao dado por (com ω q = v S q): D( x) = ( i N q ħq 2Mv S ) 1 2 (ˆb q e iqx + ˆb q e iqx) ) 1 2 [ˆb q e iqx ˆb q e iqx] Operadores de campo eletrônico em termos de estados de Bloch: ˆψ α ( x) = k ˆψ β ( x) = k f kα u k ( x)e ikx f kβ u k ( x) e ikx
91 Acoplamento elétron-fônon H ep = ( d 3 x f kα u k ( x)e ) ikx k ( ( ) 1 ) i 2 ħq [ˆb q e iqx ˆb N 2Mv q e iqx] S q ( ) f k β u k ( x) e ik x k
92 Acoplamento elétron-fônon H ep = ( ) 1 = i [ 2 ħq f k N 2Mv α f S k α kk q d 3 xu k ( x)u k ( x) e i(q+k+k )x b q ]+ ( i ħq N 2Mv S q ) 1 2 [ kk f k α f k α d 3 xu k ( x)u k ( x) e i(q k+k )x b q ]
93 Acoplamento elétron-fônon Funções de Wannier: ˆφ R (r) = 1 e ikr ˆψ k (r) N k φ R (r) = φ R+R (r + R ) φ(r R) φ R (r)
94 Acoplamento elétron-fônon Funções de Wannier: função de Wannier ˆφ R (r) = 1 e ikr ˆψ k (r) função de Bloch N k φ R (r) = φ R+R (r + R ) φ(r R) φ R (r)
95 Acoplamento elétron-fônon Reescrevendo a hamiltoniana: H ep = i k, q D q ( b q f k+ q,α f k,α b q f k q,α f k,α ) Definindo o operador densidade eletrônica: ρ q f k q,α k,α = ρ q k f H F = k ɛ( k)f k f k + q ( ħω q b q b q + 1 ) + i k, q ( ) D q b q ρ 2 q b q ρ q
96 Interação Elétron-Elétron Efetiva Extrair interação elétron-elétron da interação elétron-fônon Definindo um operador anti-unitário S, para que e S seja unitário, e a transformação seja unitária. H F = e S H F e S
97 Interação Elétron-Elétron Efetiva Extrair interação elétron-elétron da interação elétron-fônon Definindo um operador anti-unitário S, para que e S seja unitário, e a transformação seja unitária. Expandindo: H F = e S H F e S H F = H F + [H F, S] + 1 2! [[H F, S], S] + 1 3! [[[H F, S], S], S] +...
98 Interação Elétron-Elétron Efetiva Fônon criado ou aniquilado no espalhamento
99 Interação Elétron-Elétron Efetiva Fônon criado ou aniquilado no espalhamento Fônon criado interage com outro elétron
100 Interação Elétron-Elétron Efetiva Fônon criado ou aniquilado no Fônon criado interage com espalhamento outro elétron Processo ocorre apenas em segunda ordem na interação elétron-fônon Eliminar contribuições de primeira ordem
101 Interação Elétron-Elétron Efetiva H F = H 0 + λh ep H F = H 0 + λh ep + [H 0, S] + λ[h ep, S] [[H 0 + λh ep, S], S] +... Impondo λh ep + [H 0, S] = 0, e calculando os elementos de matriz nos autoestados m de H 0 : λ n H ep m = n [S, H 0 ] m n S m = λ n H ep m E m E n
102 Interação Elétron-Elétron Efetiva Na próxima ordem não-nula: λ[h ep, S] [[H 0 + λh ep, S], S] = λ[h ep, S] λ 2 [H ep, S]
103 Interação Elétron-Elétron Efetiva Na próxima ordem não-nula: λ[h ep, S] [[H 0 + λh ep, S], S] = λ[h ep, S] λ 2 [H ep, S] n [H ep, S] m =?
104 Interação Elétron-Elétron Efetiva Na próxima ordem não-nula: λ[h ep, S] [[H 0 + λh ep, S], S] = λ[h ep, S] λ 2 [H ep, S] n [H ep, S] m =? n H ep S m = l n H ep l l S m
105 Interação Elétron-Elétron Efetiva Na próxima ordem não-nula: λ[h ep, S] [[H 0 + λh ep, S], S] = λ[h ep, S] λ 2 [H ep, S] n [H ep, S] m =? n H ep S m = l n H ep S m = λ l n H ep l l S m n H ep l l H ep m (E l E m )
106 Interação Elétron-Elétron Efetiva considerando estados com zero fõnons (fenômeno de baixa temperatura): n H ep S m 0 H ep 1q 1q H ep 0 (E m E l ) = Dq 2 f k f k qf k q f 1 k ɛ kk k ɛ k q ħω q n SH ep m = Dq 2 f k f k qf k q f 1 k ɛ kk k ɛ k q + ħω q =
107 Interação Elétron-Elétron Efetiva considerando estados com zero fõnons (fenômeno de baixa temperatura): n H ep S m 0 H ep 1q 1q H ep 0 (E m E l ) = Dq 2 f k f k qf k q f 1 k ɛ kk k ɛ k q ħω q n SH ep m = Dq 2 f k f k qf k q f 1 k ɛ kk k ɛ k q + ħω q =
108 Interação Elétron-Elétron Efetiva Somando todas as contribuições: H ep = W k q f f k k q f f k q, k, q k k
109 Interação Elétron-Elétron Efetiva Somando todas as contribuições: H ep = W k q f f k k q f f k q, k, q k k W k q = D 2 qħω q (ɛ k ɛ k+ q ) 2 ħ 2 ω 2 q
110 Interação Elétron-Elétron Efetiva Somando todas as contribuições: H ep = W k q f f k k q f f k q, k, q k k W k q = D 2 qħω q (ɛ k ɛ k+ q ) 2 ħ 2 ω 2 q significa que para uma pequena região ao redor da energia de Fermi com ɛ k ɛ k+ q < ħω q uma interação atrativa entre elétrons ocorre.
111 Interação Elétron-Elétron Efetiva Somando todas as contribuições: H ep = W k q f f k k q f f k q, k, q k k W k q = D 2 qħω q (ɛ k ɛ k+ q ) 2 ħ 2 ω 2 q significa que para uma pequena região ao redor da energia de Fermi com ɛ k ɛ k+ q < ħω q uma interação atrativa entre elétrons ocorre. Novo estado ligado entre férmions surge Pares de Cooper.
112 Teoria BCS Ordem de grandeza do par de cooper: 10 4 cm = 10 4 ângstrons estimativa do espaço ocupado por um elétron: (2A) elétrons
113 Teoria BCS Ordem de grandeza do par de cooper: 10 4 cm = 10 4 ângstrons estimativa do espaço ocupado por um elétron: (2A) elétrons É inviável construir funções de onda para cada par de elétrons.
114 Teoria BCS Ordem de grandeza do par de cooper: 10 4 cm = 10 4 ângstrons estimativa do espaço ocupado por um elétron: (2A) elétrons É inviável construir funções de onda para cada par de elétrons. H BCS = k,σ f k,σ f k,σ k, k W kk f k f k f k f k
115 Teoria BCS Ordem de grandeza do par de cooper: 10 4 cm = 10 4 ângstrons estimativa do espaço ocupado por um elétron: (2A) elétrons É inviável construir funções de onda para cada par de elétrons. H BCS = k,σ f k,σ f k,σ k, k W kk f k f k f k f k W kk < 0 para ɛ( k) ɛ F < δ 2 e ɛ( k ) ɛ F < δ 2
116 Teoria BCS Ordem de grandeza do par de cooper: 10 4 cm = 10 4 ângstrons estimativa do espaço ocupado por um elétron: (2A) elétrons É inviável construir funções de onda para cada par de elétrons. H BCS = k,σ f k,σ f k,σ k, k W kk f k f k f k f k W kk < 0 para ɛ( k) ɛ F < δ 2 e ɛ( k ) ɛ F < δ 2 W kk = 0 para todos os outros casos
117 Teoria BCS
118 Teoria BCS Para simplificar os cálculos com a hamiltoniana de interação: f k f k = f k f k + (f k f k f k f k ) f k f k = f k f k + (f k f k f k f k ) ψ k f k f k
119 Teoria BCS Para simplificar os cálculos com a hamiltoniana de interação: f k f k = f k f k + (f k f k f k f k ) f k f k = f k f k + (f k f k f k f k ) ψ k f k f k Aproximação: desprezar termos quadráticos na flutuação H BCS µ ˆN k [ɛ( k) µ]f k f k+ 1 W kk (f 2 k f k ψ k +ψ k f k f k ψ k ψ k ) kk
120 Teoria BCS Diagonalização: transformação de Bogoliubov f k = u k γ k + v k γ k f k = u k γ k + v k γ k com u k = u k v k = v k uk 2 + vk 2 = 1 {γ k, γ k } = δ kk {γ k, γ k } = {γ k, γ k } = 0
121 Teoria BCS H BCS µn = k ([ɛ( k) µ](u 2k v 2k ) 2 k W kk ψ k u k v k ) γ k γ k+ + k ( ) [ɛ( k) µ]u k v k + 1 W kk ψ k (uk 2 2 v k 2 ) (γ k γ k + γ kγ k ) k
122 Teoria BCS H BCS µn = k ([ɛ( k) µ](u 2k v 2k ) 2 k W kk ψ k u k v k ) γ k γ k+ + k ( ) [ɛ( k) µ]u k v k + 1 W kk ψ k (uk 2 2 v k 2 ) (γ k γ k + γ kγ k ) k Definindo [ɛ( k) µ]u k v k 1 W kk ψ k (uk 2 2 v k 2 ) k o termo não-diagonal é eliminado.
123 Teoria BCS Definindo Temos que resolver o sistema k = k W kk ψ k [ɛ( k) µ]u k v k = k (u 2 k v 2 k ) u 2 k + v 2 k = 1
124 Teoria BCS Definindo k = k W kk ψ k Temos que resolver o sistema [ɛ( k) µ]u k v k = k (u 2 k v 2 k ) u 2 k + v 2 k = 1 Para facilitar, u k = cos φ k v k = sin φ k
125 Teoria BCS Definindo k = k W kk ψ k Temos que resolver o sistema [ɛ( k) µ]u k v k = k (u 2 k v 2 k ) u 2 k + v 2 k = 1 Para facilitar, u k = cos φ k v k = sin φ k
126 Teoria BCS cos 2φ k = u 2 k v 2 k = ±ɛ( k) µ E k sin 2φ k = u k v k = ± k E k E k = [ɛ( k) µ] k
127 Teoria BCS cos 2φ k = u 2 k v 2 k = ±ɛ( k) µ E k sin 2φ k = u k v k = ± k E k E k = [ɛ( k) µ] k Finalmente, H = k E k γ k γ k Portanto o espectro das quase-partículas possui um gap k.
128 Teoria BCS No estado fundamental: γ k 0 = 0 ψ k = f k f k = k E k k = 1 2 k W kk k E k
129 Teoria BCS Definindo ξ k ɛ( k) µ, k = W kk = λ V θ(ħω D ξ k )θ(ħω D ξ k ) λ 2V k θ(ħω D ξ k )θ(ħω D ξ k com uma solução k = θ(ħω D ξ k ), 1 = λ 2V k θ(ħω D ξ k ) 2 + ξ 2 k ) k E k
130 Teoria BCS Usando o limite contínuo: 1 dξn(ξ) N(0) V k dξ (ħω D ɛ F ) N densidade de estados de partícula única disponível para as partículas do sistema. ħωd 1 = λn(0) 1 dξ = 2 ħω D 2 + ξk 2 [ ħω D + ] (ħω D ) = λn(0) ln λn(0) ln 2ħω D
131 Teoria BCS usando u 2 k + v 2 k = 1, = 2ħω D exp 1 λn(0) [ ξ k uk 2 = ξk 2 [ ] v 2 k = ξ k 2 + ξ 2 k ] f k f k = vk 2 Para = 0, número de ocupação dos férmions originais no novo estad
132 Teoria BCS f k f k = vk 2 Número de ocupação dos férmions originais no novo estado undamental Para = 0, v 2 k = 1 2 [ 1 ξ k ξ k ] = θ[ɛ( k) µ], o que é esperado para férmions livres.
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