Introdução à Eletrônica Digital

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1 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Introdução à Eletrônica Digital APOSTILA - MINICURSO Autores: - ALFREDO JÚNIOR; - GABRIEL BASTOS; - ISAÍAS JEAN; - JUAN COSTA; - JULIANA SILVA; - RAFAEL MACHADO; - RAFAEL REZENDE; - TADAO NAKAMARU;

2 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DIGITAIS O termo digital tornou-se comum e muito frequente em nosso cotidiano graças ao modo intenso pelo qual os circuitos digitais e as técnicas digitais passaram a ser utilizadas em diversas áreas: eletrônica, computação, telecomunicações, transportes, robótica e outras. Nesse minicurso começaremos introduzindo conceitos básicos e fundamentais que são de extrema importância para a tecnologia digital. 1.1 SISTEMAS DIGITAIS vs. SISTEMAS ANALÓGICOS Em diversos campos de trabalho, como nos negócios, na tecnologia, na ciência e na saúde, operações com quantidades são constantes estas são utilizadas, medidas, manipuladas aritmeticamente e guardadas nas mais variadas formas e com diferentes finalidades. Quando se manipula quantidades diversas, é imprescindível que se saiba representar seus valores de maneira precisa e eficiente. Existem somente duas formas de representação dos valores dessas quantidades; a analógica e a digital. Na representação analógica, certa quantidade é representada por um indicador proporcional de variação contínua. Um exemplo é um termômetro de mercúrio cuja altura varia continuamente conforme a temperatura do ambiente. As quantidades analógicas possuem uma característica importante: Podem variar ao longo de um faixa continua de valores. A velocidade de um cavalo de corrida pode ser representada por um valor qualquer entre zero e 75 km/h. De maneira similar, a medida do termômetro pode variar de -40 C a 100 C (por exemplo -12,82719 C, 40 C, 99,899 C). Na representação digital, as quantidades não são representadas por quantidades proporcionais, mas por símbolos denominados dígitos. Como exemplo, considere um velocímetro de um carro que utiliza representação com valores numéricos como da figura 01, diferente do painel com ponteiros que varia de forma contínua e proporcional a variação de velocidade da figura 02, esse representa a velocidade na forma de dígitos decimais. Como se sabe, a velocidade varia de modo contínuo, no entanto o que se lê no painel digital não varia continuamente, mas sim varia em saltos nas unidades de um por um. Em outras palavras essa representação digital da velocidade varia em degraus de maneira discreta, quando comparado com um velocímetro de ponteiro em que a representação da velocidade é contínua.

3 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Figura 01: Velocímetro Digital Figura 02: Velocímetro Analógico Assim, pode-se dizer que a maior diferença entre variáveis analógicas e digitais é: Analógicas = contínuas Digitais = discretas (passo a passo) Na figura 03 é possível ver a diferença entre um sinal digital de um sinal analógico em um determinado intervalo, por intermédio do chamado diagrama de tempo. Figura 03: representação gráfica da diferença do sinal digital para o analógico. Um sistema digital é a combinação de dispositivos projetados para manipular dados lógicos ou quantidades físicas que são representadas no formato digital, quantidades que podem assumir apenas valores discretos. Dois dos sistemas digitais mais conhecidos são os computadores digitais e as calculadoras. Um sistema analógico contém dispositivos que manipulam quantidades físicas que são representadas na forma analógica. Em sistemas analógicos, as quantidades físicas podem variar ao longo de uma faixa continua de valores. Por exemplo, um regulador de luminosidade conhecido como dimmer.

4 FACULDADE DE E BIOMÉDICA VANTAGENS DAS TÉCNICAS DIGITAIS Os sistemas digitais são geralmente mais fáceis de serem projetados, pois os circuitos utilizados são circuitos de chaveamento nos quais não importa os valores exatos de corrente ou tensão, mas apenas a faixa: Alta (high) ou Baixa (low). O armazenamento de informação é mais fácil. Esta é uma habilidade de dispositivos e circuitos especiais, que podem guardar (latch) informação digital e mantê-la pelo tempo necessário, e técnicas de armazenamento de massa. É mais fácil manter a precisão e exatidão de todo sistema. As operações podem ser programadas. É fácil projetar um sistema digital cuja operação é controlada por um conjunto de instruções armazenadas denominados programa. Os circuitos digitais são menos afetados por ruídos. Flutuações espúrias na tensão (ruídos) não são tão críticos, pois o valor exato da tensão não é importante LIMITAÇÕES DAS TÉCNICAS DIGITAIS Os dois principais problemas de utilizar as técnicas digitais são: O mundo real é quase totalmente analógico. Processar sinais digitalizados leva tempo. A maioria das grandezas físicas é de natureza analógica, essas grandezas são frequentemente as entradas e saídas monitoradas, controladas e operadas por um sistema. Como temos a temperatura, a posição, a velocidade, a pressão, a vazão de um liquido entre outros. É habitual expressar essas grandezas digitalmente, como dizemos que o carro trafega a 60km/h. Mas o que está acontecendo é uma aproximação digital para uma grandeza propriamente analógico. Para obter as vantagens das técnicas digitais quando se lida com entradas e saídas analógicas, esses passos devem ser seguidos: 1. Converter a variável física em um sinal elétrico (analógico). 2. Converter as entradas elétricas (analógicas) do mundo real no formato digital. 3. Realizar o processamento (operação) da informação digital. 4. Converter as saídas digitais de volta ao formato analógico (o formato do mundo real).

5 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Durante toda a história, assim como a palavra, o número também passou por diversas mudanças na sua representação. Os símbolos 9, nove, IX, são numerais diferentes que representam o mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas distintas. Sistema de Numeração é um sistema que representa números de uma forma consistente, representando uma grande quantidade de números úteis dando a cada número uma única representação, refletindo as estruturas algébricas e aritméticas dos números. Foram criados então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de Numeração. Nesta apostila, estudaremos os sistemas de numeração importantes para o estudo de Eletrônica Digital, como o decimal, binário, octal e hexadecimal. 2.1 SISTEMA DECIMAL Os números decimais são os mais utilizados atualmente é composto por 10 algarismo ou símbolos, que são representados dessa maneira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O sistema decimal é também chamado de sistema de base 10, pois possui 10 dígitos e evoluiu do fato de que as pessoas possuírem 10 dedos, ao utilizarmos destes símbolos, podemos representar qualquer quantidade. O sistema decimal também é um sistema de valor posicional, ou seja, é um sistema no qual o valor do digito depende de sua posição, pelo fato dos elementos serem agrupados de 10 em 10, podemos representa-los pela forma polinomial que envolve a somatória de potencias de 10, como mostra o exemplo abaixo: = Sabemos que o dígito 4 representa o algarismo das centenas, o digito 5 representa o algarismo das dezenas e por fim, o digito 6 representa o algarismo das unidades. Dessa maneira, observamos que o dígito 4 possui o maior peso entre os outros 3 dígitos, ou seja, nos referimos a ele como o dígito mais significativo (MSD Most Significant Digit). Analogamente, o que está situado na extrema direita, o digito 6, será multiplicado pela menor potência, ou seja, é o dígito menos significativo (LSD Least Significant Digit). Para fazemos uma contagem no sistema decimal, começamos com 0 na posição das unidades e vamos tomando cada símbolo em progressão até atingirmos 9. Quando isso

6 FACULDADE DE E BIOMÉDICA acontece, adicionamos 1 à posição de maior peso (MSD Most Significant Digit) e mais próxima, assim começamos de novo com o 0 na primeira posição. A figura 04 representa esse processo da adição e saída do digito menos significativo para o mais significativo. Figura 04: Contagem decimal. Este processo é decorrente para o aprendizado da contagem nas bases a serem estudadas, sendo utilizada no conceito de MSD E LSD. 2.2 SISTEMA BINÁRIO Os atuais computadores processam suas operações em um sistema diferente do decimal: o binário, haja vista a extrema dificuldade em projetar um equipamento eletrônico que possa trabalhar com vários níveis diferentes de tensão. Devido à utilização de um sistema que opere somente com dois níveis de tensão, quase todo sistema digital usa o sistema de numeração binário (base 2) como sistema de numeração básico para suas operações. O sistema binário corresponde a qualquer conjunto dual autoexcludente, tais quais: não e sim, falso e verdadeiro, desligado e ligado, negativo e positivo. Nos circuitos lógicos, 0 e 1 representam respectivamente níveis de baixa e alta tensão ou estados de saturação e corte de transistores. Com isso, tem-se outra designação comum: L e H (Low e High levels do inglês: baixo e alto níveis de tensão). O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois utiliza somente dois dígitos: 0 e 1. Todos os números são representados conforme o posicionamento e a quantidade destes dois dígitos. A contagem segue o mesmo raciocínio utilizado no sistema decimal: após o último dígito, incrementa-se uma posição à esquerda e a posição à direita é zerada, repetindo-se toda a sequência de números anterior.

7 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Após esta introdução, podemos formar a sequência comparando o sistema binário e a base decimal, como mostra a tabela 01: Tabela 01: Sequência de numeração de binário de 010 até DECIMAL BINARIO Qualquer algarismo ou digito de número binário é chamado de bit (binary digit) bits O agrupamento de 8 bits forma um byte, geralmente correspondendo a um caractere. O byte é a unidade de armazenamento de memória, sendo comumente trabalhado em seus múltiplos: KByte: 1024 bytes (2 10 bytes) MByte: 1024 KBytes (2 20 bytes) GByte: 1024 MBytes (2 30 bytes) TByte: 1024 GBytes (2 40 bytes) Em se tratando de unidade de transferência e processamento, utiliza-se a palavra (que, na quase totalidade de computadores, possui um número de bits múltiplo de 1 byte: 16, 32 ou 64 bits, que é o valor mais comum). Em geral, a CPU processa valores representados por uma quantidade de bits igual à da palavra, indicando assim a capacidade de processamento do sistema. A IBM, por exemplo, define a palavra de seus computadores de médio e grande portes como tendo um valor igual a 32 bits (4 bytes). Nos atuais

8 FACULDADE DE E BIOMÉDICA microcomputadores, a palavra tem 64 bits; enquanto em certos computadores da família Cyber, da Control Data Corp., a palavra possui 60 bits. 2.3 SISTEMA OCTAL O sistema octal de numeração é de base 8, no qual há oito algarismos enumerados da forma 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Atualmente, o sistema octal é pouco utilizado no campo da Eletrônica digital, sendo considerado um sistema numérico intermediário entre os sistemas binário e hexadecimal. Para representarmos a quantidade oito, trabalhamos de forma semelhante com o modo visto anteriormente: colocamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0, significando que temos um grupo de oito adicionado a nenhuma unidade. Após esta introdução, montamos a sequência de numeração do sistema para representar outras quantidades, como mostra a tabela 02: Tabela 02: Sequência de numeração da base octal de 010 até DECIMAL OCTAL

9 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 2.4 SISTEMA HEXADECIMAL O sistema Hexadecimal possui base 16, ou seja, 16 algarismos enumerados da forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Devido ao sistema decimal geralmente usado para a numeração apenas dispor de dez símbolos, deve-se incluir seis letras adicionais para completar o sistema. Nota-se que a letra A representa o algarismo A, que representa a quantidade dez. O mesmo ocorre para a letra B, que representa o algarismo B e a quantidade onze, sucedendo assim até o algarismo F, que representa a quantidade quinze. Para a representação da quantidade dezesseis, utilizamos o conceito básico para a formação de um número, isto é, colocamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0, até chegarmos no número 1F, que na base decimal representa o algarismo 31 na base decimal, o próximo número, 3210 é representado pela adição do algarismo 2 seguido pelo 0. O sistema hexadecimal é muito utilizado para a representação de números binários dá uma forma mais compacta (o que será detalhado posteriormente), já que é muito fácil converter binários para hexadecimal e vice-versa. Dessa forma, esse sistema é muito utilizado na área de microprocessadores (programação, impressão e displays) e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais. Trata-se de um sistema numérico muito importante, sendo aplicado em projetos de software e hardware. Dessa maneira, podemos formar a sequência comparando as bases hexadecimal e decimal, conforme a tabela 03: Tabela 03: Sequência de numeração da base octal de 010 até DECIMAL HEXADECIMAL A

10 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F CONVERSÕES DE BASE 3.1 DECIMAL PARA BINÁRIO A conversão de decimal para binária não é complicada, mas trabalhosa. Com isso, deve-se prestar bastante atenção pois uma pequena distração pode acarretar o erro. Isso é visto no método da divisão repetida do número decimal que consiste em dividir o número constantemente por dois até que não se possa mais. Nessas divisões, o resultado deverá ser um número inteiro, atentando-se ao resto. Se for uma conta exata, o resto será 0, caso não, será 1. Ao terminar completamente a divisão, não sendo possível continuar, será preciso se atentar aos restos de cada. O resto da última divisão será o último bit da direita para a esquerda, enquanto que o resto da primeira divisão será o primeiro bit. Como exemplo, vamos converter 2510 para o sistema binário. No exemplo acima, foi demonstrado que os restos das divisões de cima para baixo foram alocados da direita para a esquerda para formar o número em binário.

11 FACULDADE DE E BIOMÉDICA PARA OCTAL Um número na base decimal pode ser convertido para a base octal utilizando o mesmo método de divisões sucessivas, semelhante ao usando para a conversão do sistema decimal para binário, porém o diferencial é o fator de divisão ser 8 em vez de 2. A conversão do número 9810 para base octal: Semelhante com a forma de conversão do decimal para binário, temos que o ultimo resto se torna o digito mais significativo (MSD) e o primeiro resto, se torna o digito menos significativo (LSD), ou seja: 9810 = PARA HEXADECIMAL Da mesma forma que nos casos anteriores, utilizamos o método de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido, ou seja, as conversões serão divisões sucessivas pelo número 16. Podemos verificar isso pela conversão do para seu equivalente hexadecimal. Semelhante com a forma de conversão do decimal para binário e de decimal para octal, temos que o ultimo resto se torna o digito mais significativo (MSD) e o primeiro resto, se torna o digito menos significativo (LSD), ou seja: = Deve-se ter uma atenção durante a conversão, pois a base hexadecimal possui seis letras que vão de A ao F, essas letras representam seis algarismos que vão de 1010 a 1510, a conversão deve ser feita com cuidado, como mostra a conversão do número : Uma vez que: 1010 = A16 e 1510 = F16. Temos que: = F2A16.

12 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 3.2 OCTAL PARA DECIMAL Um número na base octal pode ser convertido para o seu equivalente na base decimal multiplicando-se cada digito pelo seu peso posicional. Por exemplo: = = Outro exemplo mostra a conversão do numero para a base decimal: = = PARA BINÁRIO A conversão octal-binário é realizada convertendo-se cada digito octal nos três dígitos (3 Bits) equivalentes na base binaria. Pelo fato dos números na base octal irem de 0 a 7, possuímos 8 equivalentes binários, conforme mostrado pela tabela a seguir: Usando essas conversões encontradas na tabela, podemos converter qualquer número octal para binário convertendo cada digito separadamente. Por exemplo, vamos converter o número 438 para binário: 4 8 = = = Outro exemplo mostra a conversão do número em binário: 4 8 = 100 2

13 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 4 8 = = = = = PARA HEXADECIMAL Para a conversão de um numero da base octal para seu equivalente na base hexadecimal, deve-se primeiro converter o número octal para binário, e agrupa-lo de 4 em 4 bits para transforma-lo para a base hexadecimal. Temos como exemplo a conversão do numero : 1 8 = = = = = Agrupando em conjuntos de 4 em 4 Bits, encontramos o valor final da conversão: = = D = = = 3D HEXADECIMAL PARA DECIMAL Um número na base hexadecimal pode ser convertido para seu equivalente na base decimal usando o fato de que cada posição de digito na base hexa possui um peso que é uma potência de 16. O processo é mostrado no exemplo da conversão do numero para a base decimal: = = 35 10

14 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Importante lembrar que a base hexadecimal possui seis letras que vão de A a F, que representam seis algarismos e durante a conversão para a base decimal, deve ser feita com atenção, por exemplo na conversão do numero 2AF 16 : 2AF A F 16 0 Como o algarismo A 16 representa o algarismo e o algarismo F 16 tem como equivalente 15 10, basta substituir seus valores para a base decimal durante a conversão, assim temos: 2AF AF AF = AF 16 = PARA BINÁRIO A conversão do sistema hexadecimal para o binário é semelhante a conversão de octal para binário, a diferença é que, neste caso, necessita-se de quatro bits para representar cada algarismo hexadecimal, ou seja, cada digito hexa é convertido para seu equivalente de quatro bits. Isto é apresentado a seguir para a conversão do numero C13 16 para binário: C 16 = = = = C13 16 = Outro exemplo mostra a conversão do numero ABF 16 para binário: A 16 = = B 16 = = F 16 = = ABF 16 = PARA OCTAL De forma análoga ao processo de conversão de octal para hexadecimal, este tipo de conversão agrupa os números encontrados da conversão de hexadecimal para binário em grupos de 3 em 3 Bits. Este processo é apresentado na conversão do numero B2F 16 :

15 FACULDADE DE E BIOMÉDICA B 16 = = F 16 = B2F 16 = Agrupando em conjuntos de 3 em 3 Bits, encontramos o valor na base octal: = = = = 7 8 B2F 16 = = BINÁRIO PARA DECIMAL Nos números decimais, a cada dígito, maior seus caracteres irão representar. Por exemplo, as dezenas possuem um peso 10 vezes maior que as unidades, por sua vez, as centenas possuem um peso 10 vezes maior que as dezenas e 100 vezes maior que as unidades. Dessa forma, se fossemos representar um número decimal 235, seria da forma: No caso dos binários, cada bit será 2 vezes maior que a anterior. Com isso para passar para decimal é só possuir esse raciocínio: = = PARA OCTAL Para converter binário em octal, vamos agrupar os números de 3 em 3 bits, da direita para a esquerda, caso falte, adicione zeros, assim: = (001)(101) Cada grupo de três será um dígito em octal, ou seja: (001)(101) = (1)(5) = 15 8

16 FACULDADE DE E BIOMÉDICA PARA HEXADECIMAL Para o hexadecimal, utiliza-se o mesmo raciocínio com o octal, mas agora serão reunidos 4 bits em vez de 3, da direita para a esquerda. Dessa forma, para o número : = (0001)(1110)(1011) = (1)(E)(B) = 1EB 16 4 ARITMÉTICA BINÁRIA Foi visto que na computação, os números binários são utilizados para fazer tarefas e afins. Dessa forma, é de suma importância compreender a aritmética binária, como a soma e a subtração. Os sistemas digitais e seus funcionamentos dependerão muitas vezes disso. 4.1 SOMA BINÁRIA Para entender sobre a adição em números binários, vamos relembrar um pouco sobre a adição em decimais. Cada casa decimal suporta 10 caracteres: 0, 1, 2...8, 9. Se uma casa for completada, a mesma será zerada e, para representa-la, será adicionado 1 ao próximo dígito. Exemplificando: = = 14 Ao somar o número 05 com o 09, o número de caracteres ultrapassará o suportado pela casa das unidades, com isso, o dígito das unidades será zerada e substituída pela adição do número 1 na das dezenas. Nos números binários, o raciocínio é semelhante, entretanto há somente dois algoritmos: 0 e 1, ou seja, basta ter 1 para que uma casa binária esteja cheia, se for adicionado mais 1, essa casa será zerada e substituída por uma adição do número 1 ao próximo dígito, essa adição do número 1 é chamada de carry. Ex1: Ex2: Ex3: Ex4:

17 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 4.2 SUBTRAÇÃO BINÁRIA subtração: Assim como nos decimais, os números binários possuem um certo raciocínio na 1 0 = = = = 1 Em certas subtrações, devemos subtrair 0 de 1, e nesses casos, o 0 faz um empréstimo do próximo dígito. No entanto, há casos em que utilizar tal método pode ser complicado ou mesmo ineficiente, principalmente quando envolvem números negativos. Com isso, há outras formas de subtrair números binários COMPLEMENTO DE 1 E DE 2 Os complementos de 1 e de 2 conseguem resolver os problemas de subtração que antes não podiam ser realizadas, sendo possível a representação de números negativos. No sistema de números complementares, os números negativos são o resultado de uma subtração de números positivos. No caso de Complemento de 1, vamos primeiramente considerar um relógio: Suponha-se que há um único ponteiro e ele está apontando ao número 2. Se quisermos soma-lo com 3, devemos avançar 3 espaços, o qual o ponteiro irá parar em 5. Voltando o ponteiro ao número 2, se quisermos subtrair agora 3, é necessário retornar 3 espaços, e assim o ponteiro ficará em 11. Como sabemos que 2 3 = -1, então nesse relógio podemos afirmar que o 11 será o equivalente, ou complemento, positivo de -1. Para ilustrar melhor, vamos agora somar esse 11 ao número 5, avançaremos 5 casas e o ponteiro ficará no número 4, o mesmo valor se somarmos 5 + (-1). Então como saber qual é o complemento de cada número? Neste relógio, a soma do equivalente positivo com o equivalente negativo

18 FACULDADE DE E BIOMÉDICA sempre deverá ser 12, pois no relógio há 12 algoritmos, exemplificando o 11 e -1 (11+1=12). Se esse relógio possuísse 10 algoritmos, o complemento de -1 seria 9. No complemento de 1, nos números binários, a soma do equivalente negativo e positivo deverá ser 1, e como só há dois tipos de números nos binários, 0 e 1, seus complementos deverão ser, respectivamente, 1 e 0. Assim, para representar -1, seu equivalente será 0. Para o binário -110 será 001, e assim por diante. Uma forma de facilitar a compreensão é somente inverter os números, substituindo 1 por 0 e 0 por 1. Ex: Transforme no seu complemento de 1: Para a subtração, o complemento de 1 pode ser utilizado para substituir números negativos. Para saber se o resultado será positivo, haverá um carry que ultrapassará o número de bits disponíveis, e o mesmo deverá ser voltado e somado no bit (dígito) de menor valor (LSB = Less Significant Bit). Caso não haja, o número será negativo. Ex: em binário Ex: em binário No entanto, há um problema relacionado ao complemento de 1, afinal, não é qualquer sistema que irá detectar o carry resultante, com a consequência de não o somar no LSB, ocorrendo erros no resultado. Também possui problemas relacionado ao zero, possuindo dois valores em binário, o e o No caso do Complemento de 2, basta usar o complemento de 1 e depois adicionar +1 no bit de menor valor. Ex: Complemento de 2 de = = No complemento de 2, o bit de maior valor (MSB = More Significant Bit) determinará o sinal do número, se for positivo, o MSB será 0, se negativo, será 1. Assim, o número decimal 7 irá ter o valor de 0111 e o de -7 o valor Diferente do complemento de 1, o complemento de 2 não possui os erros relacionados ao carry, sendo desconsiderado, o zero possui um único valor de Ex: Se um resultado for negativo, o resultado será o seu equivalente positivo. Para encontrar o equivalente negativo, basta utilizar o complemento de 2 novamente. Ex:

19 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 5 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES LÓGICAS 5.1 VARIÁVEIS LÓGICAS Alguns acontecimentos cotidianos podem ser representados apenas por duas situações. Exemplo: Sinal Loja Alimentação Mercado Estes tipos de situações são representados pelas chamadas variáveis lógicas, variáveis essas que podem assumir um entre dois valores possíveis mutuamente exclusivos. Os estados de uma variável lógica são os valores 0 e 1, tal que uma máquina reconhece apenas impulsos elétricos. Ou seja, o valor lógico 0 é representado pelo impulso 0V, enquanto o 1 pelo impulso 5V. Esse tipo de dado é chamado sinal digital. 5.2 FUNÇÕES LÓGICAS Uma função lógica trata-se de uma expressão algébrica dependente de outras variáveis binárias relacionadas por operadores lógicos. A álgebra em questão, porém, é a chamada Álgebra Booleana, desenvolvida por George Boole ( ) ao investigar as leis fundamentais das operações da mente humana ligadas ao raciocínio, base da atual aritmética computacional. Em expressões algébricas comuns há relação quantitativa entre os membros das operações e o resultado, já a álgebra de Boole opera com relações lógicas, desta forma há a

20 FACULDADE DE E BIOMÉDICA relação qualitativa entre tais termos, resultando apenas em 0 ou 1 tratando-se do estado do sistema. Enquanto na álgebra comum tem-se operadores como +, -, x ou /, na álgebra booleana trabalha-se apenas com +, x ou a chamada negação representada por x. Tabela 5. Tabela 5 Comparação dos significados de operadores. Operador Álgebra Tradicional Álgebra Booleana + Adição OU, OR x ou Multiplicação E, AND x Negação, NOT De posse de tal conhecimento, pode-se exemplificar a equação abaixo, onde Z representa a variável binária dependente e a, b e c as variáveis binárias independentes. Z = a b + a c Outra forma de representar uma função lógica é através da utilização de um circuito elétrico, figura 5. Nesta representação, as variáveis binárias são introduzidas através de interruptores, chaves, com duas posições: ligada e desligada. Figura 5 Representação de uma função lógica através de circuito. 5.3 TABELAS VERDADE E DIAGRAMA DE TEMPO Para uma função Y = f (a,b,...) a tabela verdade é um quadro formado por tantas colunas quantas são as variáveis binárias independentes, as entradas (a, b, ), e uma última coluna correspondente à variável binária dependente, a saída, Y. O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2 N, onde N é o número de variáveis binárias independentes, entradas, garantindo assim todas as combinações possíveis destas variáveis.

21 FACULDADE DE E BIOMÉDICA A tabela verdade representa o estado da saída, variável binária dependente Y, em função das entradas, variáveis binárias independentes. Para todas as combinações possíveis de estados das variáveis binárias independentes existe um estado da variável binária dependente, ou seja, para toda combinação das variáveis de entrada existe um valor, estado, para a variável de saída. Como exemplo, podemos ver a tabela abaixo que representa a função lógica binária Y = f (a,b,c) = a b + b c.o número de entradas é 3 (a, b e c), logo a tabela tem 2 3 = 8 linhas. A construção dessa função lógica será melhor compreendida com o estudo das funções booleanas. Já os diagramas de tempo de circuitos digitais consistem em uma forma de representar a variação de saída de uma porta lógica, ou qualquer circuito digital mais complexo, em função do tempo. Estes diagramas são compostos por várias linhas representando cada uma das entradas e uma ou mais linhas que representa(m) a(s) saída(s). No eixo vertical tem-se a informação da variação dos sinais de entrada e saída e no eixo horizontal a informação de tempo, como no exemplo a seguir.

22 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Para interpretar este tipo de diagrama, em relação à figura anterior, basta considerar o valor das entradas em um determinado período de tempo e as saídas pertinentes. Por exemplo, entre os instantes t0 e t1 a entrada a está em nível alto, as entradas b e c em nível baixo, o que leva as saídas a e b aos estados alto e baixo, respectivamente. Desta forma, pode-se avaliar o comportamento do circuito para cada período de tempo de interesse. É importante salientar que em projetos reais, um diagrama de tempo não apresenta alinhamento perfeito. Isso se deve ao atraso gerado pelas portas lógicas e, dependendo do que se deseja implementar, esse atraso não pode ser descartado. Essa análise torna-se mais primordial no estudo de circuitos sequenciais (dependentes do estado anterior do circuito). Percebamos então uma íntima relação entre tabelas-verdade e diagramas de tempo, sendo possível a partir delas extrair as expressões booleanas que definem a função lógica. Portanto, aprendemos até aqui três maneiras de identificarmos uma função lógica: pela expressão booleana, pela tabela-verdade ou pelo diagrama de tempo. Aprenderemos como manipular cada uma dessas formas à posteriori. 5.4 FUNÇÕES BOOLEANAS BÁSICAS FUNÇÕES LÓGICAS DE UMA VARIÁVEL Uma função lógica de uma variável necessita de um único parâmetro para que sua saída esteja bem definida. Desta maneira, em termos lógicos, esse tipo de função possui quatro tabelas-verdade possíveis. Dentre as funções que envolvem apenas uma variável lógica, uma recorrente na Eletrônica Digital é a NOT ( não ). Conforme sugere, a função NOT nega o valor lógico recebido em sua entrada isto é, inverte o seu valor. É representada na expressão booleana por uma barra horizontal acima da variável e implementada no diagrama esquemático por meio de um inversor.

23 FACULDADE DE E BIOMÉDICA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Uma função lógica de duas variáveis necessita de dois parâmetros para que sua saída esteja definida. Dessa maneira, o circuito possui 16 saídas possíveis sendo algumas dessas funções especiais pela recorrência: a AND ( e ), a NAND ( não-e ) a OR ( ou ), a NOR ( não-ou ), a XOR ( ou-exclusivo ) e a XNOR ( não-ou-exclusivo ou coincidência ). Algumas delas serão aprofundadas ao longo deste curso. Tabela 2 Tabela Verdade de todas as possibilidades de funções lógicas de duas variáveis É importante alertar o leitor que, a partir de agora, entraremos de fato no estudo da lógica digital. Mais fundamental que memorizar a tabela-verdade de cada função é compreender o seu raciocínio, de modo a ter pleno domínio de cada uma delas. Muitas linhas de pensamento aqui expostas são mais matemáticas que eletrônicas, e por vezes parecerão não ter relação evidente com o conteúdo ministrado. Uma leitura atenta aliada à pratica de exercícios tornarão este estudo mais prazeroso e produtivo.

24 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Lógica AND ( e ) Para compreendermos o mecanismo dessa lógica, começaremos com um exemplo. Consideremos que para que um aluno seja aprovado em determinada matéria, é necessário que ele possua média igual ou superior a 5 e que possua frequência mínima de 75% nas aulas. Isso implica que mesmo um aluno com média 10 pode ser reprovado, basta que tenha frequentado menos de ¾ das aulas. Do mesmo modo, um aluno assíduo será fatalmente reprovado se obtiver aproveitamento inferior a 50% nas avaliações. Perceba que um termo é determinante para a constituição do problema proposto: um aluno só será aprovado se tiver média maior ou igual a 5 E frequência a partir de 75%. Se quaisquer dessas condições não forem satisfeitas, o resultado não será outro senão a reprovação. Mas como representar situações como essa em uma função lógica? Note que as variáveis apresentadas são lógicas, uma vez que só assumem dois valores possíveis: ou o aluno possui média maior ou igual a 5 ou não possui; e ou o aluno possui frequência mínima de 75% ou não possui. Da mesma maneira, a situação final do aluno será ou a aprovação ou a reprovação, não existindo outra variante possível para esse resultado. Consideremos então que A e B representem as situações da média e da frequência do aluno, respectivamente, e que Z represente a situação do aluno (aprovação ou reprovação). Atribuamos o valor lógico 0 para situações que não atendam aos pré-requisitos de aprovação (média e frequência mínimas) e 1 quando estes são atendidos. Z, portanto, assumirá valor 0 quando o aluno for reprovado, e 1 quando aprovado. Representamos a função lógica AND ( e ) na expressão booleana por um ponto, e em um circuito pela porta lógica apresentada abaixo. A tabela-verdade obtida satisfaz a nossa situação problema sendo que, para a função AND, a saída lógica 1 é exceção ou seja, só é obtida quando as duas entradas também recebem valor lógico 1. Percebamos ainda que para a função AND é válida a propriedade comutativa.

25 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Ao associarmos uma porta AND a uma NOT (inversor), obtemos a negação da função lógica AND: a função NAND ( não-e ). Ela é representada na expressão booleana como uma combinação das funções AND e NOT, isto é, uma barra horizontal localizada acima de duas variáveis relacionadas por um ponto. Em termos de diagrama esquemático, pode-se desenhar uma porta AND a uma NOT ou simplesmente acrescentar uma bola à saída da AND, como mostrado abaixo. A tabela-verdade obtida é a inversa da AND. Lógica OR ( ou ) Seguindo nossa metodologia, tentaremos introduzir essa lógica mediante um exemplo. Suponhamos que um clube não cobre entrada de seus associados, tampouco de seus dependentes (filhos, pais, netos, etc.). Analisando a situação, mais uma vez obtemos um termo determinante para o entendimento desse problema: a entrada no clube é grátis se a pessoa for associada OU dependente de associado. Repare que isso não impossibilita, por exemplo, um dependente de associado de se associar e ele continuará entrando gratuitamente no clube da mesma forma. Basta, portanto, que pelo menos uma dessas duas

26 FACULDADE DE E BIOMÉDICA condições (ser associado ou dependente) seja satisfeita para que a entrada no clube seja liberada de maneira gratuita. Vamos então representar esse caso na forma de função lógica. Mais uma vez, podemos observar que as variáveis analisadas no problema são lógicas, haja vista que assumem apenas dois valores possíveis: ou a pessoa é associada ou não é; e ou a pessoa é dependente de associado ou não. Do mesmo modo, a entrada no clube ou será gratuita ou será paga, não existindo outro resultado possível. Tomemos então que A e B representem o estado de associação e a dependência em relação a um associado, respectivamente, e que Z represente a condição de ingresso no clube (gratuita ou paga). Atribuamos o valor lógico 0 para cada condição de gratuidade não satisfeita e 1 quando satisfeita. Z, portanto, assumirá valor 0 quando a entrada for paga, e 1 quando a entrada for gratuita. Representamos a função lógica OR ( ou ) na expressão booleana por uma soma (símbolo +) e em um circuito pela porta lógica mostrada abaixo. A tabela-verdade obtida satisfaz a nossa situação problema sendo que, para a função OR, a saída lógica 0 é exceção ou seja, só é obtida quando as duas entradas assumem valor lógico 0. Notemos também que para a função OR é válida a propriedade comutativa.

27 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Ao associarmos uma porta OR a uma NOT (inversor), obtemos a negação da função lógica OR: a função OR ( não-ou ). Ela é representada na expressão booleana como uma combinação das funções OR e NOT, isto é, uma barra horizontal localizada acima de duas variáveis relacionadas por um símbolo de soma (+). Em termos de diagrama esquemático, pode-se desenhar uma porta OR a uma NOT ou simplesmente acrescentar uma bola à saída da OR, como mostrado abaixo. A tabela-verdade obtida é a inversa da OR. Redes Lógicas A combinação de funções lógicas AND, OR e NOT (considerando que as funções NAND e NOR são derivadas destas) permite a formação das chamadas redes lógicas. Embora alguns circuitos pareçam muito complexos, eles representam nada mais do que a combinação das funções lógicas aqui apresentadas. Segue abaixo um exemplo de rede lógica: diagrama esquemático, tabela-verdade e diagrama de tempo.

28 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Para a constituição de qualquer rede lógica, as portas AND, OR e NOT são as portas básicas isto é, qualquer circuito digital pode ser montado com base nelas. É importante ressaltar também que as lógicas AND e OR são expansíveis para n variáveis lógicas. Isso será importante ao montarmos circuitos mais complexos, à posteriori. Com base nisso, podemos representar todas as funções lógicas de duas variáveis possíveis e suas expressões booleanas conforme a tabela abaixo. 5.5 FUNÇÕES DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Como visto anteriormente, um circuito lógico é constituído através das portas lógicas básicas AND, OR ou NOT e que as duas últimas podem ser expandidas para n variáveis, porém em muitos casos há a necessidade de trabalhar com várias variáveis aplicando não exclusivamente a lógica de inversão, a lógica ou nem mesmo a e. Para tanto, sempre se deve analisar o conjunto de saídas lógicas de acordo com os respectivos valores das variáveis lógicas para determinação de funções lógicas mais complexas. Uma forma de determinar uma função lógica, é determinar sua forma canônica de acordo com a tabela verdade que se almeja.

29 FACULDADE DE E BIOMÉDICA A forma canônica de uma função lógica é a representação da mesma segundo a álgebra booleana. Existem duas formas canônicas para funções booleanas. A primeira forma canônica, chamada também de soma de produtos, obtém-se somando todos os produtos lógicos, ou mintermos, formados das linhas da tabela de verdade que dão à função em questão o valor lógico 1, neste caso deve-se negar, ou barrar, todas as variáveis da linha em questão que possuem valor lógico 0. Exemplo de representação: Z(a, b, c) = (a b c) + (a b c ) + (a b c) A segunda forma canônica, chamada de produto de somas, é obtida multiplicando todas as somas lógicas, ou maxtermos, formadas das linhas da tabela de verdade que dão à função em questão o valor lógico 0, neste caso deve-se negar, ou barrar, todas as variáveis da linha em questão que possuem valor lógico 1. Exemplo de representação: tabela verdade: Z(a, b, c) = (a + b + c ) (a + b + c) (a + b + c ) Por exemplo, suponha a função booleana Z(a, b, c) representada pela seguinte a b c Z Linha Linha Linha Linha Linha Linha Linha Linha Para determinar a primeira forma canônica da função Z, deve-se observar que a função booleana assume valor lógico alto nas linhas 0, 3, 5 e 6, para tanto, reescrevendo as variáveis que apresentam o valor lógico 1 e reescrevendo a negação das variáveis que apresentam o valor lógico 0 em cada linha, tem-se a seguinte forma soma de produtos: Z(a, b, c) = (0, 3, 5, 6) m = (a b c ) + (a b c) + (a b c) + (a b c ) Linha 0 Linha 3 Linha 5 Linha 6 Já para determinação da segunda forma canônica da função Z, observa-se que a função booleana assume valor lógico baixo nas linhas 1, 2, 4 e 7, para tanto, reescrevendo

30 FACULDADE DE E BIOMÉDICA as variáveis que apresentam o valor lógico 0 e reescrevendo a negação das variáveis que apresentam o valor lógico 1 em cada linha, tem-se a seguinte forma produto de somas: Z(a, b, c) = (1, 2, 4, 7) M = (a + b + c ) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c ) Linha 2 Linha 3 Linha 5 Linha 8 A partir de tal forma pode-se implementar o circuito digital desejado, uma vez que se sabe quanto, em qual arranjo e quais portas lógicas devem ser utilizadas, no exemplo em questão pode-se montar o circuito na forma de soma de produtos. Figura 1: Porém se for adotada a forma soma de produtos, tem-se:

31 FACULDADE DE E BIOMÉDICA Neste caso, percebe-se que ambas as formas de montagem se equivalem no sentido e quantidade de portas lógicas, portando de CI s, porém em alguns casos, é importante observar qual é a implementação mais simples evitando gastos desnecessários, é importante ressaltar que há formas ainda mais simples que as formas canônicas de produto de somas ou soma de produtos, através da utilização da álgebra de Boole ou do Mapas de Karnaugh.

32 FACULDADE DE E BIOMÉDICA 6 BIBLIOGRAFIA DIAGO, Ronaldo; AMARAL, Valder M. Eletrônica Digital. São Paulo: Governo de São Paulo, (Habilitação Técnica em Eletrônica, vol. 4). HASSAM, Michael. Fundamentals of Digital Logic Design with VHDL. Innovate LLC, IDOETA, Ivan Valeije. Elementos de Eletrônica Digital. 35ª ed. Érica, TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas Digitais Princípios e Aplicações. 11ª ed. Pearson (Edição Digital), 2011.