Aula 02. Sistemas de Numeração, Representação Numérica, Quantidades binárias, Sistemas Digitais e Analógicos.

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1 Aula 02 Sistemas de Numeração, Representação Numérica, Quantidades binárias, Sistemas Digitais e Analógicos. Prof. Otávio Gomes otavio.gomes@ifmg.edu.br sites.google.com/a/ifmg.edu.br/otavio-gomes/ 1

2 Sistemas de Numeração O número é um conceito abstrato que representa a idéia de quantidade. Sistema de numeração é o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação. Não posicional Posicional 2

3 Sistema de Numeração Não-Posicional O valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número. Exemplo: sistema de algarismos romanos. Símbolos: I, V, X, L, C, D, M. Regras: Cada símbolo colocado à direita de um maior é adicionado a este. Cada símbolo colocado à esquerda de um maior tem o seu valor subtraído do maior. 3

4 Sistema de Numeração Chinesa Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em folhas com tinta preta. Nos símbolos seguintes a unidade é representada por um traço horizontal e a dezena por um traço vertical. 4

5 Sistema de Numeração Chinesa Atualmente, o sistema decimal dos Chineses é compreendido por treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comumente empregado em nossos dias é este: 5

6 Sistema de Numeração Maia Os maias viveram na América Central e desenvolveram um sistema de numeração de base 20 (vigesimal), provavelmente porque vinte é o resultado da soma dos dedos das mãos e dos pés. 6

7 7

8 8

9 Sistema de Numeração Posicional O valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número. Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela BASE, que indica a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo. Do ponto de vista numérico, o homem lida com o Sistema Decimal. 9

10 Os símbolos se modificaram no decorrer do tempo 10

11 Teorema Fundamental da Numeração Relaciona uma quantidade expressa em um sistema de numeração qualquer com a mesma quantidade no sistema decimal N = d n - 1 x b n d 1 x b 1 + d 0 x b 0 + d -1 x b -1 + d -2 x b Onde: d é o dígito, n é a posição e b é a base. 11

12 Sistema de Numeração Decimal Base: 10 (quantidade de símbolos). Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, qualquer número acima disso pode ser expresso usando o sistema de peso por posicionamento, conforme o exemplo a seguir: 3 x x x x = 3546 Obs.: Dependendo do posicionamento, o digito terá um peso específico. Quanto mais próximo da extrema esquerda do número estiver o dígito, maior será a potência de dez que estará multiplicando o mesmo, ou seja, mais significativo será o digito. 12

13 Sistema de Numeração Binário É o sistema de numeração mais utilizado em processamento de dados digitais, pois utiliza apenas dos algarismos ( 0 e 1 ), sendo portanto mais fácil de ser representado por circuitos eletrônicos (os dígitos binários podem ser representados pela presença ou não de tensão). Base: 2. (quantidade de símbolos) Elementos: 0 e 1. Os dígitos binários chamam-se BITS (Binary Digit). Assim como no sistema decimal, dependendo do posicionamento, o algarismo ou bit terá um peso. O da extrema esquerda será o bit mais significativo e o da extrema direita será o bit menos significativo. O Conjunto de 8 bits é denominado Byte. 13

14 Sistema de Numeração Binário 14

15 Sistema de Numeração Octal O Sistema Octal foi criado com o propósito de minimizar a representação de um número binário e facilitar a manipulação humana. Base: 8. (quantidade de símbolos) Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. O Sistema Octal (base 8) é formado por oito símbolos ou dígitos, para representação de qualquer digito em octal, necessitamos de três dígitos binários. Os números octais têm, portanto, um terço do comprimento de um número binário e fornecem a mesma informação. 15

16 Sistema de Numeração Hexadecimal Base: 16. (quantidade de símbolos) Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. O Sistema Hexadecimal ( base 16 ) foi criado com o mesmo propósito do Sistema Octal, o de minimizar a representação de um número binário. Se considerarmos quatro dígitos binários, ou seja, quatro bits, o maior número que se pode expressar com esses quatro bits é 1111, que é, em decimal 15. Como não existem símbolos dentro do sistema arábico, que possam representar os números decimais entre 10 e 15, sem repetir os símbolos anteriores, foram usados símbolos literais: A, B, C, D, E e F. 16

17 Representação Numérica Há muitos sistemas de numeração em uso na tecnologia digital. Os mais comuns são os sistemas decimal, binário, octal e hexadecimal. O sistema decimal é obviamente o mais familiar, e examinar algumas de suas características nos ajudará a entender melhor os outros sistemas. Sistema Decimal 17

18 Representação Numérica Contagem Decimal MSD Most Significant Digit LSD Least Significant Digit 18

19 Representação Numérica Infelizmente, o sistema de numeração decimal não é conveniente para ser implementado em sistemas digitais. Por exemplo, é muito difícil projetar um equipamento eletrônico para que ele opere com dez níveis diferentes de tensão (cada um representando um caractere decimal, 0 a 9). Por outro lado, é muito fácil projetar um circuito eletrônico simples e preciso que opere com apenas dois níveis de tensão. Sistema Binário 19

20 Representação Numérica Contagem Binária! 20

21 Representação Numérica O sistema de numeração binário é o mais importante sistema de numeração em sistemas digitais. Mas há outros sistemas de numeração muito usados, e conversões entre esses sistemas podem ser necessárias. Conversões de Binário para Decimal

22 Conversões de Decimal para Binário Representação Numérica Duas abordagens para converter um número decimal inteiro no seu equivalente binário: (i) Expressar o número decimal como uma soma de potências de 2, e os 1s e 0s são colocados nas posições correspondentes; (ii) Converter um número decimal inteiro usando divisões sucessivas por 2. 22

23 Representação Numérica Expressar o número decimal como uma soma de potências de 2 Exemplo I Exemplo II

24 Representação Numérica Converter um número decimal inteiro usando divisões sucessivas por 2 A conversão pode ser realizada através de divisões sucessivas pelo número decimal 2, e a escrita, de modo inverso, dos restos de cada divisão até que um quociente 0 seja obtido. Por exemplo, para : 24

25 Representação Numérica Converter um número decimal inteiro usando divisões sucessivas por 2 A conversão pode ser realizada através de divisões sucessivas pelo número decimal 2, e a escrita, de modo inverso, dos restos de cada divisão até que um quociente 0 seja obtido. Por exemplo, para : o resto 1 bit menos significativo o resto 0 3 o resto o resto o resto1 bit mais significativo

26 Representação Numérica Converter um número decimal inteiro usando divisões sucessivas por 2 26

27 Representação Numérica Faixa de Contagem Usando N bits, podemos contar 2 N diferentes números em decimal (de 0 a 2 N 1). Por exemplo, para N = 4, podemos contar de a , que corresponde a 0 10 a 15 10, em um total de 16 números diferentes. 27

28 Sistema de Numeração Octal O sistema octal tem base oito, que significa que ele tem oito dígitos possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. As posições dos dígitos em um número octal têm os seguintes pesos: , vírgula octal 28

29 Sistema de Numeração Hexadecimal O sistema hexadecimal tem base 16, que significa que ele tem os seguintes dígitos possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. As posições dos dígitos em um número hexa têm os seguintes pesos: , vírgula hexadecimal 29

30 Relações entre Representações Numéricas 30

31 Conversões entre hexa e binário O sistema de numeração hexadecimal é usado principalmente como um método taquigráfico (compacto) para representar um número binário. Cada dígito hexa é convertido no equivalente binário de 4 bits (conforme a tabela anterior). 9F2 16 = 9 F 2 = =

32 Conversões entre hexa e binário O número binário é disposto em grupos de quatro bits e cada grupo é convertido no dígito hexa equivalente = A 6 = 3A

33 Conversões entre hexa e binário Quando contamos em hexa, cada dígito pode ser incrementado. Quando o dígito de uma posição chega no valor F, este volta para 0, e o dígito da próxima posição é incrementado. EXEMPLO A 16 3B 16 3C 16 3D 16 3E 16 3F

34 Conversões entre hexa e binário Vantagens do sistema hexa O sistema hexa costuma ser usado em sistemas digitais como uma forma de compacta de representar sequências de bits. No trabalho com computadores, sequências binárias de até 64 bits não são incomuns estas podem ser manipuladas de forma mais conveniente, e menos sujeitas a erros, se escritas em hexa. 34

35 Sistema Hexadecimal 35

36 Sistema Hexadecimal 36

37 Sistema Hexadecimal 37

38 Sistema Hexadecimal 38

39 Sistema Hexadecimal 39

40 Representação da informação 40

41 Representação da informação 41

42 Representação da informação Samuel Finley Breese Morse Criador do Telégrafo Baltimore/Washington 1844 "What hath God wrought!" (Que obra fez Deus!) The Library of Congress 42

43 Sistemas Analógicos e Digitais Sistema Analógico Contém dispositivos que manipulam quantidades físicas que podem variar ao longo de uma faixa contínua de valores. Por exemplo, a amplitude do sinal de saída de um alto-falante em um receptor de rádio que pode apresentar qualquer valor entre zero e o seu valor máximo (limite). Sistema Digital Combinação de dispositivos projetados para manipular informação lógica ou quantidades físicas que são representadas no formato digital; ou seja, as quantidades podem assumir apenas valores discretos. Esses dispositivos são na maioria das vezes eletrônicos, mas podem, também, ser mecânicos, magnéticos ou pneumáticos. 43

44 Sistemas Analógicos e Digitais Representação Analógica A quantidade é representada por uma tensão, uma corrente ou uma medida de movimento proporcional ao valor em questão. Quantidades analógicas têm uma importante característica: elas podem variar ao longo de uma faixa contínua de valores. Representação Digital A quantidade não é representada por quantidades contínuas, mas por símbolos denominados dígitos. Em outras palavras, essa representação é de natureza discreta não varia continuamente, mas em saltos ou degraus. Resumidamente: Analógica contínua Digital discreta (passo a passo, por amostragem) 44

45 Sistemas Analógicos e Digitais Os sinais do mundo físico são analógicos! 45

46 Sistemas Analógicos e Digitais 46

47 Sistemas Analógicos e Digitais 47

48 Sistemas Analógicos e Digitais 48

49 Sistemas Analógicos e Digitais 49

50 Sistemas Analógicos e Digitais 50

51 Sistemas Analógicos e Digitais 51

52 Sistemas Analógicos e Digitais O que é um Sistema Digital? - Circuito eletrônico que processa informação usando apenas dígitos (números) para implementar suas operações e cálculos. (Uyemura, 2000) - Combinação de dispositivos projetados para manipular informação lógica ou quantidades físicas que são representadas no formato digital. (Tocci Widmer, 2001) - Função de transformação de um alfabeto finito de entrada em outro alfabeto finito de saída. (Carro, 2001) 52

53 Sistemas Digitais Vantagens - Facilidade de projeto, armazenamento e integração; - Operações programadas; - Pouca sensibilidade ao ruído, à variação na fonte, ao envelhecimento e à temperatura. Desvantagens - Conversão A/D e D/A 53

54 Sistemas Analógicos e Digitais 54

55 Quantidades Binárias As quantidades binárias podem ser representadas por qualquer dispositivo que tenha apenas dois estados de operação, ou duas condições possíveis. Por exemplo: (i) uma chave, que possui apenas duas opções: aberta ou fechada, ou (ii) um cartão perfurado

56 56

57 57

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59 Diagramas de Tempo A Figura abaixo mostra um sinal digital típico, e como ele varia ao longo do tempo. Na realidade, trata-se de um gráfico de tensão versus tempo (t) que é denominado diagrama de tempo. A escala de tempo, horizontal, é dividida em intervalos regulares. As transições no diagrama foram desenhadas como linhas verticais de modo a parecerem instantâneas, sendo que na realidade existe um curto tempo de subida. 59

60 Diagramas de Tempo 60

61 Diagramas de Tempo 61

62 Quantidades Binárias 62

63 Circuitos Digitais Quantidades binárias 63

64 Circuitos Digitais Os circuitos digitais são projetados para produzir tensões de saída que se encontrem dentro das faixas de tensões determinadas para os níveis 0 e 1, e para responderem a tensões de entrada também dentro destas faixas. Um circuito digital responde aos níveis binários das entradas (0 ou 1) e não ao valor exato da tensão. 64

65 Circuitos Digitais O modo como um circuito digital responde a uma entrada é denominado lógica do circuito. Por esta razão, os circuitos digitais são também chamados de circuitos lógicos. Os dois termos são usados indistintamente. 65

66 Circuitos Digitais Quantidades binárias Em sistemas eletrônicos digitais, uma informação binária é representada por tensões (ou correntes) que estão presentes nas entradas e saídas dos diversos circuitos. Tipicamente, os números 0 e 1 são representados por dois níveis de tensões nominais. Por exemplo, zero volt (0 V) pode representar o binário 0, e +5 V pode representar o binário 1. Na realidade, devido às variações nos circuitos, o 0 e o 1 são representados por faixas de tensão. 66

67 Circuitos Digitais Quantidades binárias 67

68 Circuitos Digitais Quantidades binárias 68

69 Exercícios de fixação 1. As representações no formato digital dos valores numéricos de quantidades podem ser melhor descritas como tendo características: Que variam em passos discretos proporcionalmente aos valores que representam. Que variam em uma proporção direta e constante em relação aos valores que representam. Que variam constantemente ao longo de uma faixa contínua de valores. Que são difíceis de interpretar porque elas variam continuamente. 2. Qual dos itens a seguir não é um dispositivo analógico? Corrente elétrica percorrendo um circuito Interruptor de luz Microfone de áudio Termopar 3. Qual das afirmações a seguir NÃO descreve uma vantagem da tecnologia digital? A operação pode ser programada. Os circuitos são menos afetados pelo ruído. Fácil armazenamento de informações. Os valores podem variar ao longo de uma faixa contínua. 69

70 Exercícios de fixação 4. Quantos dígitos binários são necessários para representar 748 números diferentes? Em relação à transmissão de dados digitais em paralelo podemos dizer: é mais lenta que a transmissão de dados em série. necessita apenas de uma linha de sinal entre o transmissor e o receptor. necessita de uma quantidade de linhas de sinal igual ao número de bits de dados interconectando transmissor e receptor. apresenta menor custo que o método de transmissão de dados em série. 6. Qualquer número que apresenta um expoente nulo é igual: a dez. a zero. a um. ao próprio número. 70

71 Exercícios de fixação 7. Qualquer número com um expoente unitário é igual: a zero. a dois. ao próprio número. a um. 8. Quantos são os símbolos usados no sistema de numeração decimal? dez. um. ilimitado. nove. 9. Quais são os símbolos usados para representar os dígitos no sistema binário? 0; 1 1; 2 0 a 8 0; 1; Utilizando quatro bits, qual a representação em binário de 2 e 3? 0000 e e e e

72 Exercícios de fixação 11. Ao converter o número binário fracionário 0001,0010 para decimal obtemos: 1,40 1,125 1,80 1, Ao converter o número binário fracionário 0000,1010 para decimal obtemos: 0,55 0,10 0,625 0, Ao converter o número binário fracionário 10010,0100 para decimal obtemos: 24,50 16,25 18,25 18, Ao converter o número decimal fracionário 6,75 para binário obtemos: 0110, , , ,

73 Exercícios de fixação 15. O valor em decimal do número binário é: O valor em decimal do número binário é: Sinais digitais transmitidos em um único condutor devem ser transmitidos em: série. baixa velocidade. paralelo. formato analógico. 18. O termo formato serial se refere a sinais digitais que são: enviados sequencialmente através de um condutor. enviados em grupos de oito. enviados em decimal codificado em binário (BCD). enviados simultaneamente usando diversos condutores. 73

74 Exercícios de fixação 19. O termo formato paralelo quer dizer que: não existe a necessidade de sinal de clock. vários sinais digitais são enviados em cada condutor. cada sinal digital tem o seu próprio condutor. tanto o sistema binário quanto o hexadecimal são usados. 20. Qual o formato que requer menos condutores? Os formatos serial e paralelo necessitam da mesma quantidade de condutores. Serial. Paralelo. Não é possível dizer. 21. Qual o formato que pode enviar diversos bits de informação de forma mais rápida? Serial. Paralelo. Os dois formatos, serial e paralelo, apresentam a mesma velocidade. Não é possível dizer. 22. Qual o valor decimal de 2 1? 0,1 0,05 0,25 0,5 74

75 Exercícios de fixação 23. Qual o valor decimal de 2 3? Marque o item que representa uma desvantagem relativa da transferência serial. A conexão entre os sistemas e complexa. Requer muitos condutores. Só pode ser usado em distâncias muito curtas. É lento. 25. Que tipo de dispositivo ou circuito lógico é usado para armazenar informação? Inversor Buffer Registrador Contador 75

76 Aula 02 Sistemas de Numeração, Representação Numérica, Quantidades binárias, Sistemas Digitais e Analógicos. Bibliografia TOCCI, R.; WIDMER, N. S. "Sistemas Digitais. Princípios e Aplicações". 11ª Edição. Editora Prentice-Hall, PEDRONI V. A. " Moderna e VHDL". 1ª Edição. Editora Campus, IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de eletrônica digital. 41. ed. São Paulo: Érica, p. Exercícios sugeridos TOCCI: Capítulo 1 Problemas 1.1 a 1.15 Capítulo 2 Problemas 2.1 a 2.18; 2.25; 2.37 a 2.39 PEDRONI: Capítulo 2 Exercícios 2.7 a 2.15 IDOETA: Capítulo 1 Exercícios das seções 1.2 a

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