PLANEAMENTO ESTATÍSTICO E ANÁLISE DE DADOS NO 3.º CICLO DO ENSINO BÁSICO

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1 PLANEAMENTO ESTATÍSTICO E ANÁLISE DE DADOS NO 3.º CICLO DO ENSINO BÁSICO Cristina Roque Escola Secundária com 3.º Ciclo de Ferreira Dias Unidade de Investigação do Instituto de Educação, Universidade de Lisboa cmmroque@gmail.com João Pedro da Ponte Instituto de Educação, Universidade de Lisboa jpponte@ie.ul.pt Resumo O presente estudo visa identificar o contributo de uma experiência de ensino baseada na realização de investigações estatísticas e na análise crítica de estudos estatísticos para o desenvolvimento da capacidade de planeamento estatístico e de análise de dados de alunos do 8.º ano. Seguimos uma metodologia qualitativa, apresentando o caso da aluna Ana. Com a experiência de ensino, esta aprofunda, amplia e consolida os seus conhecimentos sobre ponderação de elementos que afetam a representatividade de uma amostra e os aspetos da variabilidade associada ao objeto de estudo. A experiência de ensino promove a sua compreensão da importância do planeamento estatístico e a sua perceção da natureza e do papel da Estatística. Palavras-chave: planeamento estatístico, formulação de questões, amostragem, análise de dados. Introdução A crescente importância do pensamento estatístico em muitas atividades conduziu à substituição de processos rotineiros pela análise de situações que envolvem incerteza e variabilidade. Isto motivou alterações na educação estatística, dando ênfase crescente à análise de dados recolhidos a partir de experiências realizadas pelos alunos. O trabalho no planeamento estatístico e a análise exploratória de dados revestem-se assim de grande interesse. O NCTM (2007) defende que a ideia-chave para o envolvimento dos alunos em novas ideias e procedimentos é o trabalho direto com dados. Em Portugal, o Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007) indica, relativamente ao 3º ciclo, que os alunos devem ser capazes de: (i) formular questões e planear a recolha de dados; (ii) identificar e minimizar possíveis fontes de enviesamento nesta recolha; (iii) distinguir 1

2 entre população e amostra e ponderar elementos que podem afetar a representatividade de uma amostra; (iv) responder às questões do estudo e conjeturar se as conclusões obtidas serão válidas para a população; (v) compreender e determinar a mediana, os quartis e a amplitude interquartis de um conjunto de dados, e utilizar estas estatísticas na sua interpretação; (vi) comparar distribuições de vários conjuntos de dados e tirar conclusões tendo por base medidas estatísticas adequadas para resumir a informação neles contida; e (vii) construir, analisar e interpretar representações de dados. O presente estudo visa identificar os contributos de uma experiência de ensino para o desenvolvimento das capacidades de planeamento estatístico e de análise de dados dos alunos do 8.º ano. Nesta comunicação analisamos a capacidade de planeamento e de análise de dados de uma aluna, tendo em atenção o seu desempenho no início e no final da experiência de ensino. Planeamento estatístico A fase de produção ou de aquisição de dados, que precede a organização e análise de dados, assume um papel fundamental no planeamento estatístico, uma vez que a qualidade da informação estatística e das conclusões depende da qualidade dos dados. A formulação de questões estatísticas A formulação de questões estatísticas implica reconhecer a existência de variabilidade da resposta, isto é compreender a diferença entre uma questão para a qual se antecipa uma resposta determinística e uma questão para a qual se prevê a resposta com base em dados que variam (GAISE, 2005), sendo importante notar que existem diferentes fontes de variabilidade nos dados: (i) resultantes da medição; (ii) natural; (iii) induzida; e (iv) da amostragem. Konold e Higgins (2003) analisam episódios de sala de aula em que professores e alunos transformam questões gerais em questões estatísticas. Defendem que os alunos podem aprender muito quando antecipam a realização do estudo com o auxílio das questões que projetam para a recolha de dados. Defendem ainda que a aprendizagem da formulação de questões estatísticas e a recolha e análise de dados está associada à capacidade de: (i) formular questões estatísticas suficientemente específicas de modo a permitir a recolha de dados relevantes mas que, por sua vez, não trivializem a questão inicial e (ii) assumir os dados produzidos como abstrações do contexto que os gerou sem esquecer que se trata de números num contexto. 2

3 Recolha de dados e amostragem Em Estatística recorre-se a amostras quando se pretende descrever populações com grande dimensão ou de difícil acesso a todos os seus elementos. O estudo de Jacobs (1999) sugere que alguns alunos rejeitam a ideia de amostragem porque subestimam as dificuldades associadas à realização de um censo, negligenciando a vantagem de se reduzir os dados a recolher. O processo de amostragem é crítico na recolha de dados e constitui um ponto fulcral de uma investigação estatística. O planeamento de um estudo estatístico deve evitar amostras enviesadas, tendo em consideração questões como: Qual é a população? Como deverá ser selecionada a amostra de modo a ser representativa? É necessário utilizar uma amostra estratificada? Qual deverá ser a dimensão da amostra? (NCTM, 2007, p. 384). Segundo Martins e Ponte (2010) o trabalho a desenvolver com os alunos deve envolver: (i) a análise de situações em que é adequado o estudo de toda a população ou apenas de uma amostra; e (ii) a análise crítica de estudos estatísticos face ao uso de amostras não representativas e a ponderação de elementos que afetam a representatividade de uma amostra. Para Garfield (2002), o raciocínio correto sobre amostras inclui saber de que modo estas se relacionam com a população de que foram extraídas e o que se pode inferir a partir delas. O Programa de Matemática (ME, 2007), no 3.º ciclo, indica que os alunos devem desenvolver a noção que a seleção aleatória da amostra constitui o único processo que garante representatividade. Para Martins e Ponte (2010) os alunos do 3.º ciclo devem ser sensíveis a três aspetos: a dimensão de uma amostra depende da variabilidade da população, terá de ser tanto maior, quanto maior for a precisão exigida e não é necessariamente proporcional à dimensão da população a estudar. Pelo seu lado, Garfield (2002) destaca os seguintes erros no uso de amostras: (i) considerar, que boas amostras devem representar uma percentagem elevada da população; e (ii) confiar indevidamente em pequenas amostras e/ou assumir que uma amostra aleatória simples constitui um retrato fiel da população em análise dada. Análise exploratória de dados Na análise exploratória de dados (AED) estudam-se os dados de diversas perspetivas, recorrendo a diferentes representações e procedendo a comparações, procurando extrair o máximo de informação possível para gerar modelos a partir do conjunto, assumindo que são igualmente importantes as regularidades (padrões) e os desvios (lacunas, clusters), e sendo fundamental a forma e as variações dos dados. Segundo Shaughnessy, 3

4 Garfield e Greer (1996) a análise exploratória de dados, embora se apoie significativamente na vertente visual da representação e em técnicas estatísticas, assume uma atitude de dar sentido ao conjunto de dados numa perspetiva global. Consideram, ainda, fundamental ter em consideração que os dados são recolhidos e apresentados por alguém que tem a sua agenda particular. Deste modo, no tratamento dos dados, devem ser tidas em consideração as crenças e atitudes por de trás de quem os recolheu e organizou. Para a abordagem da AED muito contribuiu o surgimento de duas representações o diagrama de caule-e-folhas e o diagrama de extremos e quartis ambas com um imediato e forte impacto visual. Ambas são usadas para representar distribuições de variáveis quantitativas, obtendo-se uma visualização ordenada dos dados em análise, e ambas possibilitam a comparação de duas distribuições. Para Garfield (2002), o raciocínio estatístico sobre uma representação envolve: (i) compreender de que modo esta representa um conjunto de dados, (ii) compreender de que modo essa representação pode ser alterada para melhor representar um conjunto de dados, e (iii) conhecer características gerais, como a forma, o centro e a dispersão da distribuição. Na sua perspetiva, o raciocínio estatístico sobre os dados envolve capacidade para (i) reconhecer/categorizar os dados como quantitativos ou qualitativos, discretos ou contínuos e (ii) saber a razão pela qual um tipo específico de tabela, gráfico ou medida estatística se adequa a um certo tipo de dados. Finalmente, considera que o raciocínio estatístico sobre medidas estatísticas envolve: (i) compreender porque as medidas centrais e de dispersão fornecem informação sobre um conjunto de dados, (ii) identificar as medidas mais adequadas a usar face a diferentes condições, e de que modo representam ou não um conjunto de dados, (iii) saber que um resumo descritivo dos dados deve incluir uma medida central e uma medida de dispersão; e (iv) reconhecer que as medidas estatísticas centrais e de dispersão são úteis para comparar conjuntos de dados. Unidade de ensino Esta unidade de ensino tem por base o conjunto de tarefas (ver anexos) correspondente ao tópico planeamento estatístico proposto pelos professores das turmas-piloto e disponível no site da DGIDC, exceto as tarefas 2 e 3 adaptadas de Martins e Ponte (2010). Estas tarefas têm natureza exploratória e investigativa (Tabela 1). Assumimos que, para compreender a importância do planeamento estatístico, os alunos devem viver esse processo na realização de pequenas investigações estatísticas. Em contextos de 4

5 realidade e semirrealidade, dando ênfase à construção do conhecimento com base no desenvolvimento da compreensão, partimos do conhecimento informal e intuitivo dos alunos para a construção do conhecimento formal. Tarefa 1 População e amostra 2 Limpar dados 3 4 Exemplo de uma pequena investigação estatística Um estudo na escola 5 A frequência das vogais na língua portuguesa 6 Previsões Tabela 1. Objetivos das tarefas Objetivos Distinguir população de amostra e ponderar a representatividade de uma amostra em relação à respetiva população. Analisar criticamente um conjunto de dados de modo a detetar imprecisões antes de os começar a tratar, pondo em causa a fiabilidade da análise posterior. Discutir e refletir sobre: (i) etapas de uma investigação estatística, (ii) contextualização dos dados, (iii) importância da escolha das medidas de resumo e de representações utilizadas, (iv) validade e fiabilidade das conclusões em função da informação disponível podendo um estudo motivar novas questões. Desenvolver um estudo envolvendo às várias etapas do ciclo investigativo: (i) formular questões e hipóteses; (ii) recolher dados (iii) analisar dados, e (iv) comunicar e interpretar resultados. Discutir e refletir quanto à variabilidade da amostragem e a validade das inferências para a população correspondente. Discutir e refletir quanto ao papel dos métodos estatísticos como meios poderosos de tomada de decisão e ponderação do grau de incerteza associado a previsões, para a população correspondente. A unidade de ensino foi concretizada durante 3 semanas letivas. Foram disponibilizados, ao todo, 8 blocos de 90 minutos, privilegiando-se o trabalho em pequeno grupo. Nas várias tarefas, a dinâmica de aula incluiu momentos de discussão coletiva de toda a turma. Na tarefa 4 os alunos realizam um pequeno relatório sobre a investigação estatística efetuada. Metodologia de investigação O estudo seguiu um design de experiência de ensino numa abordagem de cunho qualitativo, com um estudo de caso. A primeira autora desempenhou o duplo papel de professora e investigadora tendo em conta os objetivos do estudo e o tipo de questões para as quais, como professora, gostava de obter uma compreensão aprofundada. Os critérios que levaram à escolha de Ana para estudo de caso foram a existência de evidência e a abrangência, dado que a aluna tem por hábito expressar as suas ideias e revela capacidade de fundamentação. 5

6 Ana vive com a mãe perto da escola e participa no grupo de escalada e canoagem da escola. Tem um desempenho bastante satisfatório ao longo do seu percurso escolar, sendo as suas disciplinas preferidas inglês e ciências naturais. Considera-se uma aluna mediana em matemática e sente que poderia ter mais sucesso se estudasse mais do que na véspera dos testes. Na aula revela-se conversadora, tendo facilidade em se expressar oralmente e por escrito. Os dados foram recolhidos através de um pré-teste (T1), observação, duas entrevistas (E1 e E2), pós-teste (T2) e recolha documental (Fig. 1). A observação com gravações áudio e vídeo permitiu registar aspetos que de outro modo passariam despercebidos. As entrevistas realizadas à aluna (ver anexos) foram gravadas e permitiram conhecer as suas dificuldades, escolha de processos e decisões. A recolha documental incide sobre as produções escritas do grupo onde a aluna se inseria. Figura 1. Sequência das tarefas, realização das entrevistas e testes Ana e o seu percurso ao longo da experiência Recolha de dados e amostragem No T1, face a uma questão relativa à escolha de uma amostra, Ana seleciona um processo de amostragem aleatório simples questionar 160 alunos escolhidos por sorteio entre os 1560, rejeitando os processos de amostragem que considera passíveis de enviesamento. Durante o trabalho de grupo, intervém oportunamente constatando que na questão 5 da tarefa 1, a amostra não é representativa dado o elevado conhecimento na área de Biologia da generalidade dos médicos, por questões de formação académica, comparativamente à restante população. O seu trabalho no T1 e durante a realização da tarefa 1 mostra que, no âmbito do planeamento, reconhece possíveis fontes de enviesamento na recolha de dados e pondera elementos que podem afetar a representatividade de uma amostra em relação à respetiva população. Perante a necessidade de escolha de uma amostra representativa, opta prioritariamente por uma amostragem aleatória simples. Deparando-se com dificuldades em pôr em 6

7 prática esse processo de escolha aleatória opta por uma amostra estratificada (subgrupo de idades, género, turma ) (Fig. 2). Figura 2 - Resposta ao item 5a) da E1. Quando inquirida sobre um procedimento que conduza a uma amostra enviesada, Ana indica, na maioria das vezes, a escolha de uma amostra restrita a um subgrupo da população (género, faixa etária ). Justifica que deste modo a amostra não será representativa da população pois a variável em estudo é dependente dos seus vários substratos (Fig. 3). Figura 3 - Resposta ao item 5b) da E1. Ana reconhece que uma seleção aleatória da amostra constitui o único processo que garante a representatividade, mas perante a população comunidade escolar opta pela seleção aleatória em substratos. Mostra-se também capaz de fazer uma análise crítica de estudos estatísticos. Por exemplo, no item 4 da E2 (Fig. 4), apresenta argumentos para a rejeição de amostras não representativas. Figura 4 - Resposta ao item 4 da E2. Ana identifica e pondera elementos que afetam a representatividade de uma amostra em relação à respetiva população em diferentes contextos e recorre a exemplos para ilustrar os diferentes elementos que pondera. 7

8 Formulação de questões estatísticas A análise do trabalho de grupo na questão 6b da tarefa 1 (Fig. 5) mostra que Ana e os colegas formulam questões bastante generalistas e dissociadas do objeto em estudo projetos quanto ao prosseguimento de estudos. Durante a discussão constata-se que tanto ela como a generalidade dos colegas não compreendeu ainda este objeto: Figura 5. Resposta do grupo de Ana à questão 6b da tarefa 1 Sendo pedido um esboço do estudo para conhecer as práticas de higiene oral (item 4 da E2), Ana começa por formular as seguintes questões: Quantas vezes escovas o(s) dentes por dia? Costumas utilizar fio dentário? Com que frequência vais ao dentista? Ao ser interpelada pela professora sobre o significado atribuído a utilizas e constatando que o dado SIM devolvido na segunda questão poderia significar para algumas pessoas inquiridas uma única utilização semanal, optou por reformular a questão. Na terceira questão, considerou que os dados devolvidos poderiam ser regularmente, com pouca frequência. Perante a situação hipotética de um jovem que considera uma ida por ano ao dentista uma frequência regular, optou pela sua reformulação. Com a nova redação da questão teria o tempo entre idas e deste modo poderia organizar os dados num histograma cujas classes seriam o tempo compreendido entre duas idas ao dentista (Fig. 6). Figura 6. Questões de inquérito propostas por Ana no item 4 da E2. Ana revelou-se capaz de reconhecer a existência de variabilidade, nomeadamente a variabilidade natural existente num conjunto de dados que inclui naturalmente elementos distintos e a variabilidade decorrente do processo de amostragem. Na tarefa 5, Frequência das vogais na língua portuguesa, reconhece que podem existir amostras sem a presença das vogais a e e embora a tendência sentida no conjunto de

9 diferentes amostras representativas seja que na maioria persista um domínio destas vogais, não foi capaz de argumentar junto dos restantes colegas que a inexistência das vogais a e e num texto resulta de um exercício literário artificial. Análise exploratória de dados Ana revela sentido crítico face as representações e a possíveis interpretações erróneas. No item 1 da E1, reconhece que o recorte do eixo vertical é o motivo da leitura errada por parte do coordenador (Fig. 7). Figura 7. Resposta ao item 1 da E1. Na E2 reconhece ser impossível afirmar que um sector de um sectograma está associado a um maior número de elementos da amostra/população que um sector de outro sectograma dado que desconhece a dimensão dos dois conjuntos de dados (Fig. 8). Figura 8. Resposta ao item 3 a2) da E2. Ana é ágil na determinação das medidas de tendência central e mostra-se capaz de privilegiar o uso da média ou da mediana em detrimento da moda e o uso da mediana face à média em distribuições com outliers (Fig. 9). 9

10 Figura 9 Resposta ao item 3b) da E2 Quanto à transformação de uma representação numa outra, Ana, no T1, associa ao histograma B um diagrama de extremos e quartis com uma concentração mais acentuada à esquerda da mediana do que à sua direita (Fig. 10). No entanto na localização do 3.º quartil não há evidência da análise da concentração dos dados entre a mediana e o 3.º quartil face aos dados compreendidos entre o 3.º quartil e o máximo da distribuição. Figura 10 - Resposta ao item 5.2 do T1 No item 5.3 do T2, estabelece uma correspondência correta entre os histogramas e os diagramas de extremos e quartis, ao indicar a seguinte associação A 1, B 3 e E 2 tendo fundamentado com base na forma e a localização da mediana da distribuição pois o gráfico 1 vai ficando com as barras mais pequenas, o gráfico 2 pois a barra do meio é a mais pequena então é o meio (da distribuição e onde se localiza) o (2.º) quartil, o gráfico 3 vai a subir. Em diferentes situações, Ana revela ser capaz de comparar duas distribuições. Na primeira entrevista, ao comparar duas distribuições sendo conhecidos os respetivos 10

11 diagramas de extremos e quartis (E1, item 3a), reconhece a operadora cujos utilizadores recorrem mais ao envio de mensagens de texto, argumentando que a amplitude total e a amplitude interquartil são maiores nessa distribuição. A: Acho que foi na Edfon porque os extremos o máximo e o mínimo são maiores tem uma maior amplitude do que na Telepat, por isso vai haver mais mensagens e também (n)os quartis também tem uma maior amplitude que os quartis da Telepat Complementa a sua argumentação dizendo por último porque pudemos ver que quase 50% das pessoas inquiridas na Edfon manda mais mensagens que na Telepat. Perante a necessidade de comparar dois conjuntos de dados recolhidos em duas fases de uma experiência (E2, item 1b), Ana opta por recorrer apenas ao uso de medidas de tendência central (mediana e média) não tendo feito qualquer referência à amplitude total e/ou interquartil para fundamentar a sua resposta (Fig. 11). Utiliza medidas de dispersão na comparação de duas distribuições quando existe uma representação em que predomina uma visualização ordenada dos dados. Figura 11 - Resposta ao item 1b da E2 Ao longo da unidade de ensino, Ana mostra-se capaz de interpretar diferentes representações, sendo capaz de transformar uma representação numa outra, bem como 11

12 comparar duas distribuições, face ao reconhecimento de características gerais tais como forma, centro e dispersão de uma distribuição. A concluir De forma geral, Ana realiza com sucesso as tarefas propostas, revelando empenho durante o estudo do tema. Argumenta os seus pontos de vista recorrendo por vezes a ilustrações concretas para dar ênfase ao(s) elemento(s) que pondera quanto à afetação da representatividade ou explicitar a sua opção de amostragem de modo a minimizar possíveis fontes de enviesamento. Aceita e recorre à utilização de amostras aleatórias simples e reconhece na generalidade das situações as dificuldades associadas a um recenseamento da população. Sugere um processo de amostragem estratificado, dado o seu conhecimento da natureza da população comunidade escolar. Ana mostra-se capaz de reconhecer e categorizar conjuntos de dados e de escolher uma forma de representação adequada à sua análise. Na análise de dados identifica características gerais como a forma, o centro e a dispersão da distribuição, evidenciando uma visão agregada. Perante o quadro de análise do raciocínio estatístico sobre os dados e as representações (Garfield, 2002), mostra-se capaz de identificar as medidas estatísticas centrais e de dispersão mais adequadas à análise de um conjunto de dados e de compreender que determinada medida central ou de dispersão fornece informação sobre um conjunto de dados, embora nem sempre inclua no resumo descritivo pelo menos uma medida estatística de cada tipo. Procede com alguma destreza à comparação de duas distribuições reconhecendo medidas centrais e de dispersão pertinentes a cada situação, privilegiando no entanto o uso de medidas centrais. Ao longo da realização desta unidade de ensino, Ana progride na compreensão de aspetos fundamentais da natureza e do papel da Estatística. No domínio das capacidades de planeamento estatístico, revela reconhecimento de variabilidade, sentido crítico face a estudos que recorreram a amostras não representativas, capacidade de formular questões pertinentes e capacidade de planear a recolha de dados tendo em consideração o objetivo do estudo. A unidade de ensino, valorizando a realização de pequenas investigações estatísticas e análise crítica de estudos estatísticos (Martins & Ponte, 2010), mostrou-se exequível. O trabalho que suscitou em Ana foi determinante para a sua compreensão da importância do planeamento estatístico, nomeadamente no progressivo reconhecimento de 12

13 variabilidade, aspeto fundamental para a compreensão da natureza e do papel da Estatística (GAISE, 2005) e na possibilidade de consolidar e articular conceitos e representações estatísticas. No entanto, tal como defendem Konold e Higgins (2003), no tema do planeamento estatístico, mantém-se a necessidade de propor mais situações de discussão de questões estatísticas e sua conversão em questões de inquérito. Agradecimento Trabalho financiado por fundos nacionais através da FCT no âmbito do Projeto Desenvolver a literacia estatística: Aprendizagem do aluno e formação do professor (contrato PTDC/CPE-CED/117933/2010). Referências GAISE Report (2005). Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education. Retirado a 13.Jun.2010 de Garfield, J., (2002). The Challenge of developing statistical reasoning. Journal of Statistics Education 10(3). Retirado a 12.Jun.2010 de garfield.html Jacobs, V. R. (1999). How do students think about statistical sampling before instruction? Mathematics Teaching in the Middle School, 5(4), , 263. Konold, C. & Higgins, T. (2003). Reasoning about data. In G. Burrill (Ed.), Research Companion to Principles and Standards of School Mathematics (pp ). Reston, VA: NCTM. Martins, M.E. & Ponte, J.P. (2010). Organização e tratamento de dados. Lisboa: ME-DGIDC. ME (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: ME-DGIDC. NCTM (2007). Princípios e normas para a Matemática escolar. Lisboa: APM. Shaughnessy, J. M., Garfield, J., & Greer, B. (1996). Data handling. In A. J. Bishop et al. (Eds.), International handbook of mathematics education (Vol. 1, pp ). Dordrecht: Kluwer. 13

14 Anexo 1 - Questões 3, 5 e 6 da tarefa 1 Amostra e População Anexo 2 Tarefa 4 A frequencia das vogais na lingua portuguesa 14

15 Anexo 3 Item 1 da E1 Anexo 4 - Item 3 da E1 Anexo 5 - Item 5 a) e b) da E1 15

16 Anexo 6 - Item 1b da E2 Anexo 7 - Item 4 da E2 16

17 Anexo 8 - Item 3 a2) e b) da E2 17

18 18 Anexo 9 - Item 5.3 do T2