SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO

Transcrição

1 Caro(a) aluno(a), Neste Caderno, você estudará Geometria. Esse estudo começa com o reconhecimento, a observação e a classificação de figuras planas e espaciais. Para tanto, serão realizados trabalhos em grupos, cada participante deverá escolher uma figura e todos os integrantes irão registrar as características identificadas. Com seus colegas de classe, você trocará experiências para desenvolver habilidades relacionadas à classificação com base na observação e na resolução de problemas. Serão apresentadas, também, diversas atividades para o estudo inicial da Geometria dos sólidos. Você aprenderá a construir algumas figuras em três dimensões, usando canudos, linha de costura e outros materiais. Além disso, você terá a oportunidade de fazer um cubo, utilizando uma folha de cartolina (ou de papel sulfite), e de estudar as planificações possíveis desse sólido. Você conhece um jogo chamado dominó? Ele é formado por peças compostas por dois quadrados. Neste Caderno lhe será apresentado um jogo de poliminó, que, por sua vez, é formado de peças compostas por até cinco quadrados. Com os poliminós você poderá resolver vários desafios muito interessantes. Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais! Equipe Técnica de Matemática Área de Matemática Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

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3 ?! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO VOCÊ APRENDEU? Agora você vai trabalhar em grupo. Com a ajuda de seu professor, forme pequenos grupos (de 3 ou 4 participantes), discuta cada uma das perguntas a seguir e escreva em seu caderno as conclusões do seu grupo. Lembre-se de que, para realizar um bom trabalho coletivo, seu grupo deve estar atento às seguintes regras: Quando um participante do grupo está falando, os outros devem ouvi-lo em silêncio. Essa regra é importante porque, quando mais de uma pessoa fala ao mesmo tempo, dificilmente conseguimos entender o que cada uma está querendo dizer. Todos os membros do grupo devem participar das discussões. Se um integrante está participando muito mais do que o outro, ele deve deixar que aqueles que tenham participado menos possam expressar suas ideias. Ao final da atividade, seu grupo deverá fazer uma autoavaliação do trabalho levando em consideração as regras estabelecidas. Bom trabalho! Figuras para realização da atividade

4 Um participante do grupo deve escolher uma das 50 figuras e cada integrante deverá citar uma característica da figura escolhida. Em seguida, é a vez de outro participante escolher e repete-se a atividade até que todos os integrantes tenham escolhido, cada um, uma figura. Registre na tabela a seguir as características observadas. 4

5 Nome do aluno que escolheu a figura: Número da figura escolhida: Nome do aluno Característica identificada Nome do aluno que escolheu a figura: Número da figura escolhida: Nome do aluno Característica identificada Nome do aluno que escolheu a figura: Número da figura escolhida: Nome do aluno Característica identificada 5

6 Nome do aluno que escolheu a figura: Número da figura escolhida: Nome do aluno Característica identificada 2. Cada integrante do grupo deve escolher uma figura e citar uma de suas características. Em seguida, todos os outros integrantes do grupo devem listar quais das 50 figuras têm a característica escolhida. Cada um deverá preencher a tabela a seguir. Nome do aluno Número da figura e característica escolhida Número das figuras com a característica escolhida Nome do aluno Número da figura e característica escolhida Número das figuras com a característica escolhida Nome do aluno Número da figura e característica escolhida Número das figuras com a característica escolhida 6

7 Nome do aluno Número da figura e característica escolhida Número das figuras com a característica escolhida LIÇÃO DE CASA 1. Utilizando as 50 figuras com que você trabalhou em classe, preencha a tabela com os números das figuras que atendam às características apresentadas. Característica Figuras com apenas 3 lados (retos ou curvos) Figuras com apenas 3 lados retos Número das figuras Figuras com apenas 3 bicos Figuras com pelo menos 4 lados retos Figuras com pelo menos 1 par de lados paralelos Figuras com todos os lados de mesma medida Figuras com lados formando uma quina perfeita (lados em cruz ) VOCÊ APRENDEU? 1. Muitas das características que você identificou na atividade em grupo (e na lição de casa) recebem nomes específicos na Matemática. Sua tarefa agora será estabelecer uma correspondência entre as nomenclaturas oficiais dessas características na Matemática e a descrição que você fez. Para a realização dessa tarefa, você poderá utilizar o dicionário e recorrer à ajuda de seu professor. 7

8 Nomenclatura oficial na Matemática Característica correspondente e um exemplo Polígono Figuras com 4 lados retos. Exemplo: 19 Triângulo Figuras com pelo menos 1 lado curvo. Exemplo: 38 Figuras com lados retos e buracos. Exemplo: 17 Polígono convexo Bicos de uma figura com lados retos. Exemplo: 13 8

9 Lados em cruz, ou formando uma quina perfeita. Exemplo: 45 Paralelogramo Triângulo com um ângulo em cruz ( em quina ). Exemplo: 36 Triângulo que tem pelo menos 2 lados iguais. Exemplo: 34 Triângulo escaleno 2. No espaço a seguir, você deve registrar outras definições oficiais da Matemática que seu professor vai apresentar para a classe. 9

10 LIÇÃO DE CASA 1. Preencha a tabela a seguir, com base nas 36 figuras apresentadas abaixo

11 Matemática 5 a série/6 o ano Volume 3 Nomenclatura oficial na Matemática Definição Figuras Triângulo Polígono de 3 lados 20 a 34 Triângulo equilátero Polígono não convexo Polígono de 4 lados Quadrilátero com 4 ângulos retos 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19 VOCÊ APRENDEU? 1. Cole o tangram disponível no final deste Caderno (Anexo 1) em uma cartolina e, em seguida, recorte suas 15 peças e ordene as pelo tamanho. 2. Qual das 15 figuras que compõem o tangram tem menor comprimento total? Qual tem o maior comprimento? (Caso necessário, utilize sua régua nesta atividade.) Leitura e Análise de Texto Samuel Silva Dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Faça a seguinte experiência com as figuras de três lados do tangram: coloque a maior delas sobre a mesa, fique em pé com os olhos afastados da mesa. Pegue outra figura de três lados e, tapando um dos olhos, tente encontrar uma posição que faça uma sobreposição perfeita das duas figuras. Se a sobreposição acontecer, dizemos que as duas figuras são semelhantes. 11

12 3. Liste os triângulos semelhantes que você encontrou. 4. Repita o experimento com os quadriláteros do tangram e liste os que são semelhantes. 5. Comparando os resultados obtidos nas Atividades 3 e 4 desta seção, escreva uma regra que seja válida tanto para os triângulos quanto para os quadriláteros e que também garanta a semelhança. LIÇÃO DE CASA 1. Separe todos os triângulos do tangram, ordene-os pelo seu perímetro, depois pela sua área e, por fim, compare essas ordenações. Registre as conclusões sobre o que você observou na comparação entre as duas ordenações. 12

13 Matemática 5 a série/6 o ano Volume 3 2. Forme polígonos de 5 e 6 lados com algumas peças do tangram. Desenhe os resultados obtidos no espaço a seguir. 13

14 ?! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 PLANIFICANDO O ESPAÇO Leitura e Análise de Texto É possível construir figuras em três dimensões usando vários tipos de materiais, como papelão, cola e fita crepe, ou ainda canudos, linha e agulha. Lendo este texto, você aprenderá a construir algumas figuras em três dimensões usando canudos, linha e agulha. Essa atividade será supervisionada pelo professor e deve ser realizada em classe. Para a atividade, serão necessários alguns canudos, uma tesoura sem ponta, linha e uma agulha de costura. Leia atentamente a explicação a seguir e interprete o desenho que descreve, passo a passo, a construção de um cubo com suas diagonais. No desenho, convencionaremos que uma seta simples ( ) indicará o sentido em que a linha deve ser passada no canudo vazio, e a seta dupla ( ) o sentido em que a linha deve ser inserida em um canudo já ocupado por uma linha. 1 o passo: Conexão Editorial o passo: o passo: 14

15 Você deve ter notado que seu cubo não está muito rígido. Podemos obter uma rigidez maior dividindo cada quadrado em dois triângulos e construindo com os canudos as diagonais do cubo e de suas faces. 4 o passo: Conexão Editorial VOCÊ APRENDEU? 1. Agora você vai construir um cubo utilizando cartolina ou uma folha de papel. Copie em uma cartolina a figura indicada no final deste Caderno (Anexo 2). Se não tiver uma cartolina, recorte a folha do Anexo 2 e faça a atividade com o papel recortado. Faça as dobras indicadas na figura a seguir e use fita adesiva para fixar as bordas. Planificação do cubo Construção do cubo a partir da sua planificação Conexão Editorial 15

16 2. Observe as três planificações a seguir e indique qual(is) delas pode(m) ser planificação(ões) de um cubo. a) b) c) 3. As planificações a seguir não formam cubos. Como você pode concluir isso rapidamente? a) b) c) 4. Quais das planificações a seguir formam cubos e quais não formam? Procure responder sem montar os cubos, mas, se isso não for possível, copie cada planificação em uma folha, recorte e tente montar o cubo. a) b) c) d) 16

17 LIÇÃO DE CASA 1. É possível formar um cubo quando temos uma planificação com cinco quadrados alinhados e um não alinhado? Justifique sua resposta. Desafio! Poliminós são figuras planas formadas pela justaposição de certo número de quadrados iguais, de maneira que um lado inteiro de um quadrado (face) fique em contato com um lado inteiro de outro quadrado (outra face). Assim, por construção geométrica, existe somente um poliminó de um quadrado (chamado monominó) e um poliminó de dois quadrados (dominó); dois poliminós de três quadrados (triminós), cinco poliminós de quatro quadrados (tetraminós) e, assim, sucessivamente. 1) 4) 2) 3) 17

18 Desenhe os pentaminós (minós formados por 5 quadrados) diferentes que existem. VOCÊ APRENDEU? 1. Como você concluiu na seção Desafio!, existem 12 pentaminós diferentes. A seguir, eles estão desenhados e a cada um deles associamos uma letra do alfabeto (as letras foram escolhidas em referência à forma do pentaminó). R I L N P T U V W X Y Z 18

19 Recorte a folha quadriculada no final deste Caderno (Anexo 3), cole-a sobre uma cartolina, pinte nela os 12 pentaminós e recorte-os. (Observação: se não tiver uma cartolina, desenhe e recorte diretamente na folha quadriculada.) 2. Pegue seus 12 pentaminós e forme um circuito fechado com diferentes quantidades de quadrados na região interior do circuito. A linha que delimita a região interior deve circundar o mais por fora possível o circuito, passando uma única vez pela aresta que une dois pentaminós (a Figura 1 exemplifica um possível circuito e a Figura 2 indica que esse circuito deixou 11 quadrados na região interior). Figura 1 Figura 2 Desenhe o circuito que você formou na malha a seguir. 19

20 LIÇÃO DE CASA 1. Monte um retângulo 6 10 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o resultado que você obteve. 2. Monte um retângulo 5 12 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o resultado que você obteve. VOCÊ APRENDEU? 1. Monte um retângulo 4 15 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o resultado que você obteve. 2. Monte um retângulo 3 20 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o resultado que você obteve. 20

21 Desafio! Pinte no quadriculado a seguir os 35 hexaminós diferentes que existem. VOCÊ APRENDEU? 1. Desenhe as vistas frontal, lateral e superior de cada um dos objetos sobre a mesa, na tabela a seguir Superior Conexão Editorial Lateral 21 Frontal

22 Figura Frontal Lateral Superior

23 2. A figura a seguir representa a fotografia de uma casa. Desenhe as vistas da lateral direita, da lateral esquerda, frontal, traseira e superior dessa casa, supondo que não existam outras janelas, além das visíveis. Conexão Editorial Superior Frontal Lateral Direita Lateral Esquerda Traseira 23

24 LIÇÃO DE CASA 1. Escolha um objeto qualquer, desenhe as vistas frontal, lateral e superior desse objeto e leve-o para a aula de Matemática para mostrá-lo aos seus colegas e ao professor, junto com seus desenhos. Vista frontal Vista lateral 24

25 Matemática 5 a série/6 o ano Volume 3 Vista superior 25

26 ?! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GEOMETRIA E FRAÇÕES COM O GEOPLANO OU MALHAS QUADRICULADAS VOCÊ APRENDEU? Para esta e outras atividades, você vai utilizar uma malha de pontos, ou um geoplano, que poderá ser construído em classe, com o auxílio de seu professor. A utilização da malha ou do geoplano será determinada por ele, mas, para as atividades que faremos a seguir, utilizaremos a seguinte malha de pontos. Todas as linhas que você vai desenhar nessa malha devem ligar ao menos dois de seus pontos. 1. Desenhe na malha de pontos os algarismos de 0 a 9. 26

27 2. Escreva na malha de pontos seu nome e sobrenome. (Dica: se o tamanho da malha não for suficiente, faça abreviações.) 3. Desenhe na malha: 5 quadriláteros diferentes (3 deles convexos e 2 não convexos), 3 triângulos (2 isósceles e 1 escaleno) e 1 triângulo retângulo isósceles. 27

28 4. Desenhe uma figura que não seja um quadrado e que atenda à seguinte condição: a figura deve ter a mesma aparência, seja qual for o lado da malha que estejamos utilizando para observá-la. LIÇÃO DE CASA 1. Desenhe as figuras indicadas abaixo na malha a seguir, assumindo como unidade de medida de comprimento 1 u: a) quadrado de lado 2 u; b) triângulo isósceles de base 4 u; c) triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 2 u e 3 u; d) paralelogramo com um par de lados opostos medindo 2 u; e) pipa com todos os lados de medida diferente de 2 u; f) um trapézio de bases 2 u e 4 u. 28

29 1u 1u VOCÊ APRENDEU? 1. Desenhe na malha abaixo figuras diferentes, com área 4 u². 1u 1u 29

30 2. Desenhe um quadrado de lado 2 u e, depois, outro que tenha o triplo da medida do lado do anterior, ou seja, que tenha lado 6 u. Compare a área dos dois quadrados e registre suas conclusões no espaço a seguir. 1u 1u 30

31 3. Desenhe na malha abaixo as seguintes figuras: a) retângulo de área 2 u²; b) quadrilátero de área 6 u²; c) triângulo de área 6 u²; d) paralelogramo com área 2 u²; e) hexágono com área 4 u²; f) um retângulo e um quadrado de áreas iguais. 1u 1u 31

32 Leitura e Análise de Texto Se numerarmos as linhas e as colunas da malha de pontos, teremos um tabuleiro semelhante ao do jogo batalha naval. Cada ponto desse tabuleiro pode ser localizado de forma única por um par de informações: a localização horizontal e a localização vertical. Imagine agora que cada ponto da malha representa uma fração de numerador igual à localização horizontal do ponto (p) e denominador igual à localização vertical (q). Veja alguns exemplos: q A B C D A = 1 3 C = 5 1 = 5 B = 3 4 D = p VOCÊ APRENDEU? 1. Marque na malha todos os pontos que representam frações de denominador 5. q p

33 2. Marque na malha todos os pontos que representam números naturais. q p 3. Marque na malha a fração 2 1 e todas as frações equivalentes a 1 2. q p 4. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Caso tenha dificuldade com o vocabulário, consulte seu professor. ( ) Frações com denominadores iguais, necessariamente, estão alinhadas horizontalmente. ( ) As frações impróprias estão localizadas na diagonal que passa pela origem ou à direita dela. ( ) Frações equivalentes, necessariamente, estão alinhadas com a origem da malha e entre si. 33

34 Leitura e Análise de Texto Vamos determinar um procedimento para fazer adição de frações utilizando a malha ordenada. Por exemplo, para fazer os passos são: 3 q marcamos o conjunto de frações equivalentes a ; marcamos o conjunto de frações equivalentes a 2 3 ; 5 4 procuramos frações dos conjuntos marcados 3 que estejam alinhadas horizontalmente e, nessa 2 mesma linha, encontramos a soma adicionando 1 os numeradores das frações p LIÇÃO DE CASA 1. Represente na malha as frações equivalentes a 2 3. q p

35 Matemática 5 a série/6 o ano Volume 3 2. Represente nas malhas as seguintes operações (e seus resultados): e q 11 q p p

36 ?! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PERÍMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MALHAS GEOMÉTRICAS VOCÊ APRENDEU? 1. Desenhe a mesma figura indicada abaixo na malha quadriculada a seguir cujos quadradinhos têm lados com o dobro da medida dos quadradinhos da malha original. 36

37 2. Agora, desenhe a mesma figura nas malhas a seguir (a da esquerda teve apenas a largura dobrada; a da direita, apenas o comprimento). Em seguida, compare as figuras com a original e descreva o tipo de distorção que você verificou. 3. Compare as três transformações que você fez da camisa nas atividades anteriores e responda: a) Dois segmentos de reta paralelos em uma delas se mantêm paralelos nas outras? b) Dois segmentos de reta perpendiculares em uma delas se mantêm perpendiculares nas outras? 37

38 c) Na camisa original, para que a manga encoste na lateral da camisa, é necessário um giro de 1 de volta de circunferência. Ocorre o mesmo com as camisas transformadas? 8 4. Proponha uma malha quadriculada, em uma folha avulsa, que faça a seguinte transformação no homem indicado na figura: ele deve parecer mais gordo e baixo, sua perna direita deve parecer mais afastada da esquerda e seus braços mais afastados do seu corpo. 5. Os três gráficos a seguir mostram a informação de que uma empresa vendeu R$ ,00 no ano de 2006 e R$ ,00 no ano de Qual das três representações gráficas você acha que a diretoria da empresa vai utilizar para convencer os acionistas de que a empresa está em franco crescimento? Justifique sua resposta no espaço a seguir. a) (em R$) b) (em R$) c) (em R$)

39 6. Marque um ponto na malha abaixo e, em seguida, pinte todos os triângulos ao redor desse ponto. Depois disso, responda: qual é a fração de uma volta completa que corresponde ao ângulo interno do triângulo equilátero? 39

40 LIÇÃO DE CASA 1. Adote o lado do triângulo da malha a seguir como unidade de comprimento (1 u) e a área do triângulo da malha como unidade de área (1 u²). Determine o perímetro e a área das figuras a seguir

41 2. Observe que o mosaico a seguir foi construído a partir de uma peça básica pintada na malha. Peça básica Construa uma peça básica e um mosaico a partir dela na malha a seguir: 3. Construa um mosaico com a peça básica indicada a seguir: Conexão Editorial Conexão Editorial Peça básica 41

42 VOCÊ APRENDEU? 1. Observe um desenho feito em malha de pontos que, com o uso adequado de cores, explora a representação de uma imagem tridimensional. Faça um desenho na malha a seguir que explore o campo tridimensional. PESQUISA INDIVIDUAL Maurits Cornelis Escher ( ) foi um importante artista gráfico holandês cujas obras exploravam a construção de maravilhosas imagens por meio de técnicas que você estudou indiretamente nesta Situação de Aprendizagem. As imagens criadas por Escher exploram a ideia do infinito, dos opostos, da circularidade, além de paradoxos visuais. Faça uma pesquisa em livros e/ou na internet sobre as obras de Escher, escolha uma imagem criada por ele e tente identificar qual peça básica foi utilizada na sua composição. 42