UFMG DCC Álgebra de Boole. Slides ligeiramente adaptados daqueles do professor Osvaldo Farhat de Carvalho, DCC, UFMG

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1 UFMG DCC Álgebra de Boole Slides ligeiramente adaptados daqueles do professor Osvaldo Farhat de Carvalho, DCC, UFMG

2 UFMG DCC Bits e informação Representamos números, caracteres, cores e qualquer outra coisa utilizando bits (0 ou 1). Vamos ver como é que os circuitos em um computador transformam informação

3 UFMG DCC Circuitos combinatórios São circuitos digitais que: transformam bits de entrada em bits como saída não têm memória sua saída em um dado instante é função apenas dos valores de entrada nesse instante. Utilizam portas lógicas: componentes que realizam as operações AND, OR e NOT da Álgebra de Boole. São usados para somas, comparações e para direcionamento de fluxo de dados.

4 UFMG DCC Circuito soma Um circuito de soma: recebe como entrada dois conjuntos de bits produz como saída um outro conjunto de bits com a representação do valor da soma das entradas. Vamos começar com uma entrada simples: Dois conjuntos de 1 bit cada deles (0 ou 1) Saída e a soma das entradas: 0, 1 ou 11 (ou 2)

5 UFMG DCC NÃO (NOT) a NOT a

6 UFMG DCC E (AND) a b a AND b

7 UFMG DCC OU (OR) a b a OR b

8 UFMG DCC Portas NOT, AND, OR Porta NOT Porta AND Porta OR Arquivo Entrada NOT_AND_OR.circ Saída

9 UFMG DCC Expressões Booleanas Compactas

10 UFMG DCC Equivalência de Expressões (a ) = a a+1 = 1; a+0 =a a.1 = a; a.0 = 0 a + (b+c) = (a+b)+c = a + b + c a = a+a; a = a.a ab + ab = a Expressões simplificadas = circuitos mais baratos e mais rápidos

11 UFMG DCC Circuitos funcionalmente equivalentes AND AND OR

12 Portas Lógicas e Transistores UFMG DCC

13 UFMG DCC Transistores e Portas Lógicas Transistores são a base para construção de circuitos compactos e rápidos: A tecnologia atual (2010) permite colocar 1,2 bilhões de transistores em um chip de 1,6 cm de lado O tempo de reação a mudanças nas entradas é muito pequeno Transistores podem ser usados para amplificar sinais mas, em circuitos digitais, funcionam essencialmente como interruptores

14 Evolução do número de transistores em microprocessadores (Lei de Moore) UFMG DCC

15 UFMG DCC Portas NAND e NOR Importantes porque sua implementação com transistores é mais simples a NAND b = (a.b) a NOR b = (a+b) OR AND

16 UFMG DCC AND, NAND, OR, NOR AND(a,b) Só é igual a 1 quando a e b são iguais a 1 NAND(a,b) Só é igual a 0 quando a e b são iguais a 1 OR(a,b) Só é igual a 0 quando a e b são iguais a 0 NOR(a,b) Só é igual a 1 quando a e b são iguais a 0

17 UFMG DCC Transistor como Interruptor Vamos convencionar: 1 Voltagem alta 0 Voltagem baixa (terra) Voltagem de Controle Voltagem na Entrada Voltagem na Saída Voltagem de Controle alto condutor perfeito: Voltagem na entrada necessariamente igual à saída Voltagem de Controle baixo isolante perfeito: entrada pode ser diferente da saída

18 UFMG DCC Porta NOT 1 transistor 1 Voltagem de controle Baixa: isolante Fonte V= 5 (voltagem alta) a 0 a 1 Terra V= 0 (voltagem baixa)

19 UFMG DCC Porta NOT 1 transistor 1 Voltagem de controle alta: condutor Fonte V= 5 (voltagem alta) a 1 a 0 Terra V= 0 (voltagem baixa)

20 Porta NOR 2 transistores Voltagem Baixa: isolante a 0 1 Fonte 1 (a + b) b 0 Voltagem Baixa: isolante Terra UFMG DCC

21 Porta NOR 2 transistores 1 Fonte Voltagem alta: condutor a 1 0 (a + b) b 0 Voltagem Baixa: isolante Terra UFMG DCC

22 Porta NOR 2 transistores Voltagem Baixa: isolante a 0 1 Fonte 0 (a + b) b 1 Voltagem alta: condutor Terra UFMG DCC

23 Porta NOR 2 transistores 1 Fonte a 1 0 (a + b) b 1 Terra UFMG DCC

24 Porta NAND 2 transistores 1 Fonte a 0 1 (a.b) b 0 Terra UFMG DCC

28 Porta AND: inverta saída de porta NAND, Fonte Fonte a 1 a.b 0 b 0 Terra Terra NAND NOT UFMG DCC

29 Soma de duas parcelas de 1 bit UFMG DCC

30 UFMG DCC Circuitos Combinatórios Circuitos combinatórios são circuitos digitais cuja saída só depende dos valores de suas entradas Circuitos sequenciais: saída depende das entradas e também de dados armazenados em memórias

31 UFMG DCC Circuitos Lógicos e Expressões Lógicas Não é difícil acreditar que podemos fazer circuitos para uma expressão lógica qualquer como a (b +c)(ca) b a (ca) b +c

32 UFMG DCC Circuitos Lógicos e Expressões Lógicas Mas podemos fazer circuitos que fazem contas? Todos sabemos que computadores fazem contas, e que a resposta é afirmativa. Resta saber como! Vamos começar por um problema simples: soma de dois inteiros de 1 bit

33 UFMG DCC Soma de 2 variáveis de 1 bit - 1 Queremos construir um circuito lógico para somar duas variáveis de um bit, codificados como binários sem sinal: 0 vale Zero 1 vale Um Na base dez, o resultado pode ser 0, 1 ou 2

34 UFMG DCC Soma de 2 variáveis de 1 bit 2 O resultado, codificado como binário sem sinal, é 0, 1 ou 10 Ou seja, são necessários 2 bits para representar o resultado da soma de duas variáveis de 1 bit Somar significa: obter a representação em binário sem sinal da soma das entradas, também codificadas como binários sem sinal

35 Circuito Somador de 2 variáveis de 1 bit: Entradas e Saídas Entradas 1 bit cada a b Saídas Circuito Somador 1 bit s 1 s 0 Notação comum para conjuntos de bits: 0 é o índice do bit menos significativo UFMG DCC

36 UFMG DCC Tabela da Verdade Tabela para especificação de funções lógicas Especifica saídas para todas as combinações possíveis para as variáveis de entrada (Já usamos tabelas da verdade para especificar as funções NOT, AND e OR)

37 UFMG DCC Entradas Tabela da Verdade para Somador de 2 variáveis de 1 bit Saídas: 2 funções lógicas das mesmas variáveis Todos os valores possíveis para as entradas Resultados da soma em binário sem sinal

38 Obtendo um Circuito a partir da Tabela da Verdade UFMG DCC Passo 1: conseguir uma expressão lógica equivalente à tabela da verdade Passo 2: construir o circuito equivalente à expressão lógica

39 Expressões Lógicas para Somador de 2 variáveis de 1 bit s0 = a b + ab s1 = ab UFMG DCC

40 UFMG DCC Circuito Soma Binária de 1 bit arquivo Soma_1_bit.circ ab a b ab

41 UFMG DCC Funções Lógicas podem fazer Aritmética Produzimos um circuito lógico com duas entradas de 1 bit representando binários sem sinal, e que produz em sua saída dois bits representando a soma das entradas em binário sem sinal! Conseguimos fazer cálculos com as funções lógicas NOT, AND e OR!

42 Soma de Binários com n Bits UFMG DCC

43 UFMG DCC Soma de Binários de Vários Bits - 1 Vamos agora considerar a soma de números binários com vários bits cada um Em princípio poderíamos construir a tabela da verdade para a soma e deduzir a expressão lógica, mas Para a soma de dois inteiros de 32 bits, a tabela da verdade teria 2 64 entradas.

44 UFMG DCC Tempo para tratar 2 64 itens Um nano-segundo é a ordem de grandeza do tempo de reação de uma porta lógica Um ano tem Temos E portanto, nano-segundos Temos então linhas a analisar; Com um nano-segundo por linha, 3 milênios!

45 UFMG DCC Soma de Binários de Vários Bits - 2 Temos que adotar outro enfoque Primeiramente vamos examinar como nós, humanos, fazemos uma soma Método explora a notação posicional, e foi difundido no Ocidente pelo matemático árabe al-khowarizm nos anos 800 seu nome deu origem à palavra algoritmo Depois, vamos construir um somador de forma modular, explorando regularidades no processo de soma

46 Somas em decimal Feita coluna por coluna; quando a soma de dois algarismos excede 9, o resultado daquela coluna é somente o dígito mais significativo, e vai-um para a coluna seguinte Vai-um a b a+b UFMG DCC

47 UFMG DCC Somas em binário Feita coluna por coluna; Quando a soma de dois algarismos excede 1 (= base 1), o resultado daquela coluna é somente o dígito mais significativo, e vai-um para a coluna seguinte

48 UFMG DCC Soma de Binários de vários bits: Exemplo =? Vai-Um Parcelas Soma

49 Soma de Binários de vários bits Vamos usar esta aritmética para construir um circuito A idéia é construir um módulo que faça a operação de uma das colunas da soma O somador terá tantos deste módulo quantas forem as colunas, ou seja, quantos forem os bits das parcelas UFMG DCC

50 Entradas Módulo: Circuito Soma Completa os dois bits de uma coluna das parcelas a entrada vem-um, alimentada pela saída vai-um da coluna à direita Saídas um bit de resultado um bit de vai-um (que será ligado à entrada vem-um da coluna à esquerda) vai-um soma SC vem-um UFMG DCC a b

51 Somador em Cascata Circuito Soma-Completa Igual a 1 quando a soma tiver 5 bits vem-um do bit menos significativo é zero UFMG DCC

52 UFMG DCC Soma Binária de 3 bits (Soma Completa) Tabela da Verdade soma = a b v + a bv + ab v + abv a b vem-um soma vai-um vai-um = a bv + ab v + abv + abv

53 Circuito Soma Completa UFMG DCC

54 Somador 4 bits UFMG DCC

55 Modularização e Síntese Automática de Circuitos Combinatórios no Logisim UFMG DCC

56 UFMG DCC Síntese de Circuitos Combinatórios O processo de cobertura de 1 s de uma tabela da verdade para geração de um circuito pode ser automatizado O Logisim faz isso, e algumas vezes consegue ainda simplificar o circuito Vamos reconstruir o circuito de Soma Completa

57 Janela de Análise Combinacional UFMG DCC

58 Definição das Entradas UFMG DCC

59 Definição das Saídas UFMG DCC

60 Definição da Tabela da Verdade e Construção do Circuito UFMG DCC

61 UFMG DCC Sub-Circuito de Soma Completa Expressão simplificada para o Vai-Um

62 Uso do Sub-Circuito como Componente UFMG DCC

63 Somador de 4 bits com Módulos de Soma Completa UFMG DCC

64 Outros Circuitos Combinatórios Importantes UFMG DCC

65 Comparadores UFMG DCC

66 Controle de Fluxo de Dados Além de operações aritméticas e comparações, circuitos lógicos são também utilizados para conduzir fluxos de dados Multiplexador dirige uma única entre várias fontes de dados para um destino; a fonte é designada por um endereço Demultiplexador dirige uma entrada de dados para um entre vários destinos; o destino é designado por um endereço UFMG DCC

67 MUX / DMX Determina qual das entradas fica conectada à saída Determina qual das saídas fica conectada à entrada UFMG DCC

68 Resumo Bits exigem códigos para ter significado Códigos importantes incluem ASCII, binário sem sinal, complemento de 2, e IEEE 754. Toda transformação de informação feita por um processador é uma composição das operações básicas NOT, AND e OR da Álgebra de Boole Expressões lógicas e circuitos combinatórios equivalentes podem ser extraídos de tabelas da verdade UFMG DCC

69 Resumo Circuitos combinatórios com poucos bits de entrada podem ser obtidos por tabelas da verdade Para somar ou comparar parcelas de 32 bits (p.ex.), é preciso montar circuitos em cascata, com transformações graduais da informação Outros circuitos importantes são comparadores, multiplexadores e demultiplexadores UFMG DCC