Aula Expositiva 2. DCC 001 Programação de Computadores. 2º Semestre de 2011 Prof. Osvaldo Carvalho UFMG DCC

Transcrição

1 UFMG DCC Aula Expositiva Bits e Códigos 2.2 Circuitos Combinatórios Álgebra de Boole Portas Lógicas Aritmética com portas lógicas Síntese de Circuitos Combinatórios Comparação de Binários sem sinal DCC 001 Programação de Computadores 2º Semestre de 2011 Prof. Osvaldo Carvalho

2 Bits e Códigos UFMG DCC

3 UFMG DCC Bits e Códigos Bits só têm significado com interpretação Interpretações são estabelecidas por códigos Cada um pode criar o código que quiser, mas A aceitação do código adotado determina: Comunicação Interoperabilidade Possibilidade de uso de circuitos transformadores

4 UFMG DCC Código ASCII 7 bits Caractere Código Decimal End of Transmission Line Feed Space ( A B C a b c

5 UFMG DCC Código ASCII Estendido e Unicode O código ASCII oficial usa apenas 7 bits, o que permite 2 7 = 128 combinações Proposto por norte-americanos, não há provisões para acentos, cedilhas, etc. Estes são contemplados no código ASCII estendido, com 8 bits, o que permite 256 combinações O código Unicode é a versão moderna do ASCII, e permite codificar caracteres em todas as línguas conhecidas, vivas e mortas

6 UFMG DCC Representação de Números O código ASCII pode representar números O decimal 128 é representado pela sequência , com 24 bits Este é um formato adequado para dispositivos de E/S orientados para textos, lidos ou escritos por humanos Para uso em circuitos que realizam operações aritméticas, outras codificações são mais adequadas

7 Representação de Números como Binários sem Sinal UFMG DCC O decimal 123 pode ser representado pelos 7 bits , interpretados como um binário sem sinal =

8 Conversão Decimal-binário usando Tabela de Potências de 2 UFMG DCC n n A converter Potência de

9 UFMG DCC RGB Red, Green, Blue Níveis de vermelho, verde e azul são representados como binários sem sinal

10 UFMG DCC Binários Negativos usando Sinal e Amplitude 1 bit pode ser usado para o sinal Com 8 bits, se reservarmos o bit mais à esquerda para o sinal, e interpretarmos os bits restantes como o valor absoluto do número, poderemos representar todos os inteiros entre -127 e +127 Zero tem duas representações: e

11 UFMG DCC Binários Negativos com Deslocamento Sem Sinal Bits c/ Deslocamento

12 UFMG DCC Complemento de 2 A absoluta maioria dos computadores utiliza a representação de complemento de 2 para números inteiros negativos Como veremos, isto simplifica circuitos para soma e subtração. Representações em sinal e amplitude e por deslocamento são aplicadas para a notação de ponto flutuante, como veremos a seguir

13 UFMG DCC Complemento de 2 com 3 bits Valor = -4b 2 + 2b 1 +b 0 Complemento de 2 Bits Valor b 2 b 1 b

14 UFMG DCC Complemento de 2: obtendo o complemento Se n está representado em complemento de 2, -n é obtido em dois passos: Todos os bits de n são invertidos; Soma-se 1 ao resultado da inversão.

15 UFMG DCC Complemento de 2 com 3 bits Complemento de 2 Bits b 2 b 1 b Valor 010 (2 10 ) invertendo os bits: 101 (5 10 ) somando 1: 110 (6 10 )

16 UFMG DCC Ponto Flutuante Utiliza notação científica com potências de 2 Existe um padrão mundial, o IEEE bits, ou precisão simples 1 bit de sinal, 8 de expoente, 23 de mantissa (ou significando) 64 bits, ou precisão dupla 1 bit de sinal, 11 de expoente, 52 de mantissa Expoentes negativos são representados por deslocamento Nós voltaremos a estudar esta representação, que tem consequências sobre erros de arredondamento

17 UFMG DCC Expoente IEEE 754 para 32 bits Sinal Mantissa normalizada

18 UFMG DCC Notação Científica Normalizada 6,02 x 10 23, 602 x ou 0,00602 x 10 26? A primeira forma é normalizada, com um único algarismo diferente de zero antes da vírgula Em binário, o algarismo diferente de zero a ser colocado antes da vírgula é sempre 1, e pode ser implícito

19 ,5 0 0, , UFMG DCC Exemplo de número IEEE 754 de 32 bits Sinal positivo Significando , Expoente Valor

20 Padrão IEEE 754 Valores Especiais UFMG DCC Expoentes com todos os bits iguais a 1 ou todos os bits iguais a zero têm interpretações especiais Zero é representado por expoente e mantissa iguais a zero (duas representações)

21 Padrão IEEE 754 Valores Especiais Expoentes com todos os bits iguais a 1 são usados para representar NaN (Not a Number), + e - Úteis para representar resultados de divisões por zero, funções não definidas para alguns argumentos, etc. Números com todos os bits do expoente iguais a 0 e mantissa diferente de zero são de-normalizados, e representam números com valor absoluto muito pequeno UFMG DCC

22 Álgebra de Boole UFMG DCC

23 UFMG DCC Bits e Álgebra de Boole George Boole Inglaterra,

24 UFMG DCC NÃO (NOT) a NOT a

25 UFMG DCC E (AND) a b a AND b

26 UFMG DCC OU (OR) a b a OR b

27 UFMG DCC Portas NOT, AND, OR Porta NOT Porta AND Porta OR Arquivo Entrada NOT_AND_OR.circ Saída

28 UFMG DCC Expressões Booleanas Compactas a denota NOT a a + b denota a OR b ab ou a.b denota a AND b ab + a b, (a + b) são exemplos de expressões booleanas, ou expressões lógicas

29 UFMG DCC Equivalência de Expressões (a ) = a a+1 = 1; a+0 =a a.1 = a; a.0 = 0 a + (b+c) = (a+b)+c = a + b + c a = a+a; a = a.a ab + ab = a

30 Transistores e Portas Lógicas UFMG DCC

31 UFMG DCC Transistores e Portas Lógicas Transistores são a base para construção de circuitos compactos e rápidos: A tecnologia atual (2010) permite colocar 1,2 bilhões de transistores em um chip de 1,6 cm de lado O tempo de reação a mudanças nas entradas é muito pequeno Transistores podem ser usados para amplificar sinais mas, em circuitos digitais, funcionam essencialmente como interruptores

32 UFMG DCC Importantes porque sua implementação com transistores é mais simples Portas NAND e NOR a NAND b = (a.b) a NOR b = (a+b)

33 UFMG DCC AND, NAND, OR, NOR AND(a,b) Só é igual a 1 quando a e b são iguais a 1 NAND(a,b) Só é igual a 0 quando a e b são iguais a 1 OR(a,b) Só é igual a 0 quando a e b são iguais a 0 NOR(a,b) Só é igual a 1 quando a e b são iguais a 0

34 UFMG DCC Transistor como Interruptor Vamos convencionar: 1 Voltagem alta 0 Voltagem baixa (terra) Voltagem de Controle Voltagem na Entrada Voltagem na Saída Controle alto, condutor perfeito: Voltagem na entrada necessariamente igual à saída Controle baixo, isolante perfeito: entrada pode ser diferente da saída

35 UFMG DCC Porta NOT 1 transistor 1 Fonte V= 5 (voltagem alta) a 0 a 1 Terra V= 0 (voltagem baixa)

36 UFMG DCC Porta NOT 1 transistor 1 Fonte V= 5 (voltagem alta) a 1 a 0 Terra V= 0 (voltagem baixa)

37 Porta NOR 2 transistores 1 Fonte a 0 1 (a + b) b 0 Terra UFMG DCC

41 Porta NAND 2 transistores 1 Fonte a 0 1 (a.b) b 0 Terra UFMG DCC

45 Porta AND 3 transistores Fonte Fonte a 1 a.b 0 b 0 Terra Terra NAND NOT UFMG DCC

46 Circuitos Combinatórios Soma de Binários de 1 bit UFMG DCC

47 UFMG DCC Circuitos Combinatórios Circuitos combinatórios são circuitos digitais cuja saída só depende dos valores de suas entradas Na próxima aula veremos circuitos sequenciais, cuja saída depende das entradas e também de dados armazenados em memórias

48 UFMG DCC Circuitos Lógicos e Expressões Lógicas Não é difícil acreditar que podemos fazer circuitos para uma expressão lógica qualquer como a (b +c)(ca) a (ca) b +c

49 UFMG DCC Circuitos Lógicos e Expressões Lógicas Mas podemos fazer circuitos que fazem contas? Todos sabemos que computadores fazem contas, e que a resposta é afirmativa. Resta saber como! Vamos começar por um problema simples: soma de dois inteiros de 1 bit

50 UFMG DCC Soma de 2 variáveis de 1 bit - 1 Queremos construir um circuito lógico para somar duas variáveis de um bit, codificados como binários sem sinal: 0 vale Zero 1 vale Um Na base dez, o resultado pode ser 0, 1 ou 2

51 UFMG DCC Soma de 2 variáveis de 1 bit 2 O resultado, codificado como binário sem sinal, é 0, 1 ou 10 Ou seja, são necessários 2 bits para representar o resultado da soma de duas variáveis de 1 bit Somar significa: obter a representação em binário sem sinal da soma das entradas, também codificadas como binários sem sinal

52 Circuito Somador de 2 variáveis de 1 bit: Entradas e Saídas Entradas 1 bit cada a b Saídas Circuito Somador 1 bit s 1 s 0 Notação comum para conjuntos de bits: 0 é o índice do bit menos significativo UFMG DCC

53 UFMG DCC Entradas Tabela da Verdade para Somador de 2 variáveis de 1 bit Saídas: 2 funções lógicas das mesmas variáveis Todos os valores possíveis para as entradas Resultados da soma em binário sem sinal

54 UFMG DCC Tabela da Verdade Tabela para especificação de funções lógicas Especifica saídas para todas as combinações possíveis para as variáveis de entrada (Já usamos tabelas da verdade para especificar as funções NOT, AND e OR)

55 Obtendo um Circuito a partir da Tabela da Verdade UFMG DCC Passo 1: conseguir uma expressão lógica equivalente à tabela da verdade Passo 2: construir o circuito equivalente à expressão lógica

56 Expressões equivalentes a uma Tabela da Verdade UFMG DCC Uma expressão lógica e uma tabela da verdade são equivalentes quando, para qualquer combinação de valores das variáveis de entrada, os valores da função e da expressão são iguais: x y f(x,y) f(x,y) = x y + xy

57 UFMG DCC Cobertura dos 1 s de uma Função Booleana x y f(x,y) x y + xy x y é igual a 1 se e somente se x=0 e y=0 xy é igual a 1 se e somente se x=1 e y=1 x y + xy cobre exatamente a função desejada

58 Expressões Lógicas para Somador de 2 variáveis de 1 bit s0 = a b + ab s1 = ab UFMG DCC

59 UFMG DCC Circuito Soma Binária de 1 bit arquivo Soma_1_bit.circ ab a b ab

60 UFMG DCC Funções Lógicas podem fazer Aritmética Produzimos um circuito lógico com duas entradas de 1 bit representando binários sem sinal, e que produz em sua saída dois bits representando a soma das entradas em binário sem sinal! Conseguimos fazer cálculos com as funções lógicas NOT, AND e OR!

61 Soma de Binários com n Bits UFMG DCC

62 UFMG DCC Soma de Binários de Vários Bits - 1 Vamos agora considerar a soma de números binários com vários bits cada um Em princípio poderíamos construir a tabela da verdade para a soma e deduzir a expressão lógica, mas Para a soma de dois inteiros de 32 bits, a tabela da verdade teria 2 64 entradas.

63 UFMG DCC Tempo para tratar 2 64 itens Um nano-segundo é o tempo de reação de uma porta lógica Um ano tem Temos E portanto, nano-segundos Temos então linhas a analisar; Com um nano-segundo por linha, 3 milênios!

64 UFMG DCC Soma de Binários de Vários Bits - 2 Temos que adotar outro enfoque Primeiramente vamos examinar como nós, humanos, fazemos uma soma em binário Depois, vamos construir um somador de forma modular, explorando regularidades no processo de soma

65 UFMG DCC Somas em decimal Feita coluna por coluna; quando a soma de dois algarismos excede 9, o resultado daquela coluna é somente o dígito mais significativo, e vai-um para a coluna seguinte Vai-um a b a+b

66 UFMG DCC Somas em binário Feita coluna por coluna; Quando a soma de dois algarismos excede 1, o resultado daquela coluna é somente o dígito mais significativo, e vai-um para a coluna seguinte

67 UFMG DCC Soma de Binários de vários bits: Exemplo =? Vai-Um Parcelas Soma

68 Soma de Binários de vários bits Vamos usar esta aritmética para construir um circuito A idéia é construir um módulo que faça a operação de uma das colunas da soma O somador terá tantos deste módulo quantas forem as colunas, ou seja, quantos forem os bits das parcelas UFMG DCC

69 Entradas Módulo: Circuito Soma Completa os dois bits de uma coluna das parcelas a entrada vem-um, alimentada pela saída vai-um da coluna à direita Saídas um bit de resultado um bit de vai-um (que será ligado à entrada vem-um da coluna à esquerda) vai-um soma SC vem-um UFMG DCC a b

70 Somador em Cascata Circuito Soma-Completa Igual a 1 quando a soma tiver 5 bits vem-um do bit menos significativo é zero UFMG DCC

71 UFMG DCC Soma Binária de 3 bits (Soma Completa) Tabela da Verdade soma = a b v + a bv + ab v + abv a b vem-um soma vai-um vai-um = a bv + ab v + abv + abv

72 UFMG DCC Síntese de Circuitos Combinatórios O processo de cobertura de 1 s de uma tabela da verdade para geração de um circuito pode ser automatizado O Logisim faz isso, e ainda consegue simplificar o circuito

73 UFMG DCC Circuito Soma Completa arquivo Somador4bits.circ

74 UFMG DCC Somador 4 bits arquivo Somador4bits.circ

75 Comparação de Binários com n Bits UFMG DCC

76 UFMG DCC Comparação de binários sem sinal Circuito desejado: Entradas: a e b, dois binários sem sinal Saídas: 3 bits indicando o resultado da comparação entre a e b a b Comparador a < b a = b a > b

77 Comparação de binários sem sinal Aqui também temos problemas para o uso da Tabela da Verdade quando comparamos inteiros de 32 bits (por exemplo) Vamos usar o mesmo enfoque utilizado na soma: verificar como nós fazemos a comparação, e procurar dividir o problema É fácil ver que, para comparar dois binários sem sinal, comparamos bit a bit, a partir do mais significativo; na primeira diferença, a parcela com o bit igual a 1 é a maior UFMG DCC

78 Comparação Diferença no quarto bit mais significativo UFMG DCC a b amaior abiguais bmaior Antes de qualquer comparação, abiguais = 1

79 Comparação Diferença no primeiro bit mais significativo UFMG DCC a b amaior abiguais bmaior

80 UFMG DCC Comparação Todos os bits iguais a b amaior abiguais bmaior

81 Comparador 1 bit Bit corrente a b amaior bmaior abiguais Módulo Comparador de 1 bit Amaior Bmaior ABiguais Vêm do comparador à esquerda Vão para o comparador à direita UFMG DCC

82 UFMG DCC Comparador 4 bits Entrada b Entrada a Para o bit mais significativo, amaior = bmaior = 0, e abiguais = 1

83 Comparador 1 bit Tabela da Verdade Estas saídas vão para a coluna à direita Estas entradas vêm da coluna à esquerda x é usado quando a combinação de entradas nunca ocorre o Logisim simplifica o circuito São 2^5 = 32 linhas na tabela UFMG DCC

84 Comparador 1 bit Circuito UFMG DCC Arquivo Compare_4_bits.circ

85 Resumo Bits exigem códigos para ter significado Códigos importantes incluem ASCII, binário sem sinal, complemento de 2, e IEEE 754. Toda transformação de informação feita por um processador é uma composição das operações básicas NOT, AND e OR da Álgebra de Boole Expressões lógicas e circuitos combinatórios equivalentes podem ser extraídos de tabelas da verdade UFMG DCC

86 UFMG DCC Resumo Circuitos para soma ou comparação de duas parcelas de 1 bit podem ser obtidos por tabelas da verdade Para somar ou comparar parcelas de 32 bits (p.ex.), é preciso montar circuitos em cascata, com transformações graduais da informação.