EDUARDO DE OLIVEIRA RODRIGUES USO DE PSO NO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES BASEADO NO MODELO DE MARKOWITZ

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1 EDUARDO DE OLIVEIRA RODRIGUES USO DE PSO NO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES BASEADO NO MODELO DE MARKOWITZ LAVRAS - MG 2013

2 EDUARDO DE OLIVEIRA RODRIGUES USO DE PSO NO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES BASEADO NO MODELO DE MARKOWITZ Monografia apresentada ao Colegiado do Curso de Sistemas de Informação, para a obtenção do título de Bacharel em Sistemas de Informação. Orientador Prof. Dr. Cristiano Leite de Castro LAVRAS - MG 2013

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4 i RESUMO Neste trabalho é apresentado o uso de um método heurísitico conhecido como Particle Swarm Optimization - PSO na resolução do problema de Otimização de Carteiras de Ações, ou Portfolio Optimization - (PO), baseado no Modelo de Markowitz. O PSO, ou Otimização por Enxame de Partículas, é um algoritimo evolutivo baseado no comportamento social de pássaros. Problemas de PO estão inseridos no conjunto NP-Difícil devido a sua complexidade e são comuns em mercados financeiros do mundo todo. O modelo de Markowitz é base para a resolução de problemas de PO e são base para a atual teoria moderna de portifólios porém contém certas limitações. Com a inteção de corrigir as limitações do modelo original de Markowitz foram inseridas restrições e consequentemente aproximar o modelo de situações do mundo real. Para os testes foram utilizados dados reais de cinco conjuntos de dados históricos provenientes de bolsas de valores de cinco países diferentes. O PSO aplicado ao problema de PO se mostrou efetivo e quando comparado com resultados considerados ideais apresentou baixas taxas de erros de desvio. Palavras-chave: Otimização de carteira de ações; Markowitz; PSO; Inteligência Artificial

5 ii LISTA DE FIGURAS Figura 1 Fronteira Eficiente proposta por Markowitz Figura 2 Partícula de oito dimensões com seis ações selecionadas Figura 3 Remoção das menores proporções da partícula Figura 4 Inserção de novas proporções na partícula Figura 5 Pseudocódigo do algoritimo PSO implementado Figura 6 Cálculo dos erros mínimos Figura 7 Descoberta de x Figura 8 PSO - Hang Seng, 31 ações Figura 9 Deng et al - Hang Seng, 31 ações Figura 10 PSO - DAX, 85 ações Figura 11 Deng et al - DAX, 85 ações Figura 12 PSO - FTSE, 89 ações Figura 13 Deng et al - FTSE, 89 ações Figura 14 PSO - S&P, 98 ações Figura 15 Deng et al - S&P, 98 ações Figura 16 PSO- S&P, 225 ações Figura 17 Deng et al - Nikkei, 225 ações

6 iii LISTA DE TABELAS Tabela 1 Erro percentual médio em relação à fronteira-eficiente padrão Tabela 2 Comparativo entre o PSO proposto e o PSO de Deng et al

7 iv SUMÁRIO 1 Introdução Motivação Objetivos Tipo de pesquisa Referêncial Teórico O Problema de Otimização de Carteiras de Ações O Modelo de Markowitz A Fronteira Eficiente de Markowitz Modelagem do Modelo de Markowitz Discussão Otimização por enxame de partículas (OEP) PSO aplicado a Otimização de Portifolios Conclusão Metodologia Modelagem do problema CCMPO com PSO Tratamento das Restrições Limites do espaço de busca Restrição quanto ao tamanho máximo da carteira Mutação Cálculo da Função Objetivo e Geração da Fronteira Eficiente Pseudocódigo Configuração dos Parâmetros Peso inercial Coeficiente de aceleração... 32

8 v Coeficiente de aversão ao risco Iterações do PSO Tamanho da carteira Demais parâmetros Cálculo do erro percentual Resultados Conclusão Referências Bibliográficas... 48

9 1 1 Introdução As bolsas de valores são instituições que organizam, por meio de um espaço físico ou não, várias transações financeiras de ações, títulos, valores mobiliários entre outros. Basicamente oferecem condições para que pessoas físicas ou jurídicas negociem títulos entre si, tanto compra quanto venda. Garantem opções de investimento e negociação seguras e transparentes e são supervisionadas geralmente por órgãos governamentais. No Brasil, a fiscalização e normalização cabe a Comissão de Valores Mobiliários (CVM). A compra e a venda de ações de empresas é geralmente a parte mais visível de uma bolsa de valores. Para entender como o mercado de ações movimenta grandes quantias em dinheiro no mundo inteiro é necessário primeiramente entender o que é uma sociedade anônima(s.a). Sociedades anônimas são empresas que venderam partes de si mesmas, ações, em uma bolsa de valores e os respectivos compradores são de fato donos daquelas empresas, ou de partes delas, pois investiram ali seu capital. Por isso, são chamadas de empresas de capital aberto. Empresas de capital fechado são mais conhecidas como empresas limitadas (Ltda). Uma ação consiste na representação de uma pequena parte de uma empresa. O detentor de uma ação é, por isso, o dono ou proprietário respectivamente daquela parte da empresa. Os lucros dessas entidades serão, ao final de certos períodos, dividos proporcionalmente às quantidades de ações aos proprietários/investidores. Estes últimos podem comprar ou vender as ações a qualquer momento, geralmente quando lhes convém. As ações são basicamente, de dois tipos: Preferênciais ou Ordinárias, conforme BMF Bovespa (2013c). As do tipo preferênciais dão aos seus detentores a garantia que eles serão os primeiros a receberem os dividendos, ou seja a respectiva parte no lucro. Já as ações ordiná-

10 2 rias dão aos dententores direito de voto nas assembléias administrativas podendo com isso influenciar, respeitando certas regras, a tomada de decisão estratégica da organização. Em uma bolsa de valores a compra e a venda de ações são feitas em tempo real. Os preços ou valores de cada ação podem variar durante curtos espaços de tempo, horas ou minutos. Uma empresa ou acionista que vende suas ações por um determinado preço no início do dia pode comprá-las novamente por um preço maior ou menor ao final do mesmo dia. Essa variação no preço de uma determinado ativo é o que torna o mercado de ações tão atrativo para investidores. Muitos destes visam somente esta caracteristica especulativa. Fortunas podem ser criadas ou destruídas da noite para o dia nesta área. Vários são os motivos que podem influenciar no preço de um ação. O principal determinante da rentabilidade das ações é o comportamento do preço do papel. O preço das ações é influenciado por uma série de variáveis, que podem ser agrupadas em quatro grupos básicos: Macroeconômicas, Setoriais, de Mercado e Desempenho da empresa, (InfoMoney, 2013). É exatamente essa possibilidade de perder ou ganhar dinheiro que faz com que o mercado de ações tenha riscos consideráveis. Em alguns casos, até mesmo morte de um dos colaboradores pode influenciar o preço das ações de uma empresa. Um exemplo deste tipo de situação foi observado após a morte de Steve Jobs, CEO da Apple R em 2011, conforme RIBEIRO, Marcelo (2012). Logo após o anúncio de falecimento o preço das ações desta empresa começaram a cair, refletindo o medo dos investidores quanto ao desempenho futuro da empresa sem seu principal guia.

11 3 No caso da Bolsa de Valores de São Paulo(BOVESPA), para comprar ou vender ações o investidor deve estar associado a alguma corretora de valores. Somente estas empresas detêm o direito de negociar diretamente com a BOVESPA e também são fiscalizadas pela CVM. Além de ter um papel intermediário entre a bolsa de valores e o investidor, as corretoras podem oferecer aos seus clientes suporte técnico especializado. As corretoras empregam especialistas que podem indicar e orientar seus associados na escolha dos melhores investimentos. Quando o investidor não detém todo o conhecimento do mercado para negociar na bolsa de valores ele pode optar por aplicar seu dinheiro em cotas de Fundos de Investimentos. Fundos de investimento são conjuntos de ações administradas pelas corretoras e os ganhos ou perdas são divididos proporcionalmente aos cotistas. É uma forma cômoda de investir, pois o cliente em si não faz qualquer negociação, (BMF Bovespa, 2013a). No sentido oposto, há aqueles investidores que preferem controlar diretamente suas ações tomando para si a decisão de compra ou venda. Neste caso, a corretora apenas cumpre a determinação do cliente. No Brasil expandiu-se nos últimos anos a figura do home broker, que é o profissional que investe em ações e mantém um escritório doméstico para analisar em tempo real o mercado. Muitas corretoras estão oferecendo este tipo de serviço para seus clientes. O home broker é uma ferramenta de acesso aos mercados da Bolsa oferecida por quase todas as corretoras e por meio da qual os investidores negociam ações e minicontratos pela internet, sem sair de casa ou no próprio trabalho, enviando ordens de compra e venda pelo site da corretora., (BMF Bovespa, 2013b).

12 4 Investir todo o capital disponível em ações de uma única empresa é pouco comum. A prática mais adotada são as carteiras de ações, conhecidas também como portifólio de ações. A carteira nada mais é que um conjunto de ações ou ativos financeiros de várias empresas escolhidas e agrupadas pelo investidor. O capital disponível é então dividido, em diferentes percentuais, entre as ações destas empresas. Muitas empresas, corretoras e até mesmo investidores individuais, buscam em ferramentas computacionais auxílio para elaborar as melhores combinações de ações para uma carteira. Em muitos casos, são utilizadas apenas planilhas eletrônicas e métodos estatísticos para compor a carteira de investimentos. Entretanto, como veremos a seguir, este não é um problema tão simples de resolver com métodos tradicionais. Nos anos 50, Harry Markowitz foi pioneiro na abordagem deste problema formulando bases para o que hoje conhecemos como Teoria Moderna de Portifólios. Em sua pesquisa ele demonstrou matematicamente os benefícios da diversificação de ações em uma carteira. Seu trabalho é de tamanha importância para a área financeira que em 1990 ele foi agraciado com o prêmio Nobel em Ciências Econômicas, disponível em Nobelprize.org (2013). O modelo clássico de Markowitz, apesar de representar bem o problema em questão, é considerado limitado por considerar somente duas variáveis, o retorno e o risco de cada ação. Essas limitações são geradas pela ausência nas formulações de atributos do mundo real ligados à cada ação ou carteira, como os custos de transação, liquidez dos ativos ou tamanho da carteira, entre outros, fazendo com que o modelo clássico de Markowitz gere otimizações de carteiras ineficientes Arnott e Wanger (1990).

13 5 Melhorar o modelo tradicional de Markowitz para incluir estas novas variáveis se torna caro e aumenta muito a complexidade matemática. Nestes casos, não é possível utilizar algoritimos tradicionais na busca por soluções otimizadas. As alternativas para resolução são voltadas então para algoritimos de otimização heuristicos ou evolutivos. Algoritimos heuristicos podem ser considerados como o melhor método para resolver o problema da otimização de carteiras de ações, (GAO; CHU, 2009). Particle Swarm Optimization(PSO) ou Otimização por Enxame de Partículas é uma destas aboradagens e vem demonstrando bons resultados na literatura [Cura (2009), Deng, Lin e Lo (2011), Zhu et al. (2011), (NIU et al., 2010) e (CHEN; CAI, 2008) ]. O presente trabalho pretende contribuir com a área de Economia e Ciência da Computação utilizando métodos não tradicionais para a resolução do problema. Será dado enfoque a problemas de otimização de carteiras de ações, ou Portfolio Optimization-(PO), utilizando otimização por enxame de partículas(oep), ou no original, Particle Swarm Optimization(PSO). Esta pesquisa pode auxiliar organizações ou pessoas físicas no processo de escolha das melhores ações para compor a carteira. A abordagem PSO deste trabalho pode ser utilizada pelo tomador de decisão auxiliando-o em um problema considerado complexo. O algoritimo aqui reproduzido, aplicado ao PO, pode servir de base para a construção de ferramentas computacionais que podem auxiliar tarefas do mundo real voltadas, principalmente, ao mercado financeiro. 1.1 Motivação Como será apresentado mais adiante, percebe-se um grande interesse no desenvolvimento de ferramentas computacionais utilizando algoritimos evolutivos

14 6 para a resolução do problema de PO. Devido as várias formas de abordar o problema torna-se necessário um melhor esclarecimento das técnicas utilizadas. Para esta pesquisa tem-se como principal motivação verificar o estado da arte do método PSO aplicado ao problema em questão. Conforme D ANDREA, Gabriella (2013) o investidor pessoa física na BO- VESPA já é o terceiro maior grupo. Portanto, torna-se necessário o aperfeiçoamento de práticas que auxiliem nestas tarefas. O uso de ferramentas computacionais que auxiliam as empresas e pessoas na tomada de decisão pode se tornar um diferencial para alcançar o sucesso. 1.2 Objetivos Objetivo Geral Verificar se o PSO é uma alternativa viável para resolver problemas de otimização de carteiras de ações com restrições de cardinalidade baseando-se no modelo de Markowitz. Objetivos Específicos Compreender o uso de PSO aplicado ao problema citado. Implementar um algoritimo PSO adaptado ao modelo de Markowitz que retorne resultados satisfatórios.

15 7 1.3 Tipo de pesquisa Trata-se de uma pesquisa Aplicada. Visa à geração de novos conhecimentos, e para tal são estudadas e analisadas as técnicas de otimização de carteiras de ações baseadas na heurística de PSO. Pretende-se após a pesquisa, a divulgação dos conhecimentos e resultados obtidos. É também uma pesquisa Exploratória, pois visa o aprimoramento de idéias já existentes e/ou descoberta de novas informações/conhecimentos. As seções seguintes contribuirão para uma melhor elucidação dos objetivos do presente trabalho. Na seção 2 o referencial teórico será abordado tratando primeiramente do problema de otimização de carteiras de ações(po). Logo a seguir será apresentado o modelo proposto por Markowitz para a resolução do PO. Dando continuidade o algoritimo heurístico Particle Swarm Optmization (PSO) é apresentado em sua formalização pura. A seção 2.4 relata alguns trabalhos científicos onde se utilizou PSO aplicado ao PO. Seguindo da metodologia de pesquisa na seção 3. Resultados encontrados, na seção 4 e as conclusões na seção 5. Finalizando, a seção 6 apresenta as referências bibliográficas utilizadas no presente trabalho.

16 8 2 Referêncial Teórico Este capítulo aborda, resumidamente, o problema de otimização de carteiras de ações descrevendo seus aspectos e características. Também será mostrado o modelo proposto por Markowitz para resolução deste problema. Por fim, será apresentado a técnica conhecida como Otimização por Enxame de Partículas(OEP) ou Particle Swarm Optimization(PSO). 2.1 O Problema de Otimização de Carteiras de Ações Uma estratégia amplamente usada para compor a carteira, também chamada de portfólio, de ações é a diversificação de investimentos. Quando as ações da carteira são compostas por empresas de mesmo ramo de atuação ou que apresentem certa correlação entre si os riscos são maiores. Pois, quando uma das várias variáveis envolvidas afetar negativamente uma das empresas pode também afetar todas as demais do mesmo setor. Considerando este fato, várias ações da carteira irão desvalorizar simultâneamente, aumentando assim as perdas do capital investido. No processo de escolha das melhores ações para compor a carteira, o investidor deve escolher os papéis que mais aumentam o retorno sem acrescentar muito risco. Entretanto, esta tarefa não é tão trivial e torna-se muito dificíl de resolver este problema apenas utilizando modelos estatísticos. Este desafio é conhecido como Problema de Otimização de Carteiras de Ações ou Portfólio Optimization (PO). Considere uma carteira de investimentos como um conjunto de ações onde um determinado investidor decide empregar o seu dinheiro. Nesta carteira, a proporção do capital investido em cada uma das ações é variável. O problema de

17 9 otimização de carteiras de investimento consiste em identificar quais ações contribuirão para aumentar o retorno final da carteira. A grande dificuldade deste problema é escolher ações, dentre as muitas possibilidades e com retornos individuais variáveis durante curtos períodos de tempo, que maximizem o retorno financeiro e não aumentem, consideravelmente, o risco. Algumas definições e comentários do PO encontrados na literatura serão apresentados a seguir. Seleção de investimentos é um problema central na prática e teoria financeira e que está principalmente preocupado com o futuro desempenho dos investimentos, principalmente seus retornos esperados, (FREITAS; SOUZA; ALMEIDA, 2009). Conforme Xu, Chen e Yang (2007), PO consiste em uma combinação de ações dentro de uma carteira com o objetivo de alcançar um retorno de investimento satisfatório. Já para Zhu et al. (2011) o problema consiste em minimizar os riscos da carteira para garantir um determinado nível de retorno. Deng, Lin e Lo (2011), considera PO um problema essencial na moderna gerência de risco e elenca retorno e risco seus mais importantes parâmetros. Outra visão é No problema de seleção de portfolio, dado um conjunto disponível de seguros ou ações, nós queremos encontrar a maneira ótima de investir uma quantia particular em dinheiro nestas ações. Cada uma das diferentes maneiras para diversificar este dinheiro entre várias ações é chamado portfólio., (FERNÁNDEZ; GÓMEZ, 2007). Para a resolução do PO, a Teoria Moderna de Portifólios tem bases no trabalho desenvolvido por Harry Markowitz em 1952, que será explicada na próxima seção.

18 O Modelo de Markowitz Ainda na década de 50 em sua pesquisa sobre investimentos em seguros, Markowitz (1952) fundamentou as regras para o que conhecemos hoje como Teoria Moderna de Portifólios. Basicamente a idéia é, se um único investidor estivesse interessado em maximizar o retorno de seu investimento bastaria ele aplicar seu dinheiro em um único seguro, aquele que lhe traria o maior retorno possível. Entretanto percebeu-se que essa não era a prática comum. Os investidores preferiam distribuir seu dinheiro entre diferentes ações pois eles estavam interessados tanto no retorno quanto no risco. Se algo desse errado com uma das ações o investidor iria perder apenas uma parte de seu investimento já que o restante estaria aplicado nas outras, (SHIPWAY, 2009). Investidores geralmente preferem maximizar o retorno e minizar os riscos. Contudo, altos retornos envolvem aumento de riscos, comenta Deng, Lin e Lo (2011). O modelo proposto por Markowitz para seleção das melhores combinações de ações em uma carteira leva em consideração três fatores principais: retorno, risco e covariança. O retorno é a expectativa de ganho/lucro do investimento. O risco pode ser entendido como a probabilidade de se obter o retorno esperado e a covariança é o nível de interdependência entre cada uma das ações da carteira. Basicamente pode ser descrito como a média do retorno e a variância do retorno(risco) entre as ações A Fronteira Eficiente de Markowitz A fronteira eficiente ou efficient frontier proposta por Markowitz mostra onde estarão as melhores combinações retorno versus risco, considerando o plano car-

19 11 tesiano onde o eixo das ordenadas corresponde ao retorno esperado das carteiras de ações e o eixo das abscissas ao respectivo risco. A fronteira eficiente mostra o limite onde as ações terão o máximo retorno considerando certo risco esperado. As melhores carteiras estão situadas exatamente em cima da fronteira eficiente. Valores abaixo da fronteira eficiente constituem carteiras de ações possíveis porém não otimizadas. Já para os valores situados acima desta fronteira não existem ativos ou carteiras disponíveis. A fronteira eficiente é exibida na Figura 1 e foi obtida de ROCHA, Carlos Fernando Paleo da (2013). Figura 1: Fronteira Eficiente proposta por Markowitz Modelagem do Modelo de Markowitz Utilizando-se de modelos matemáticos e ferramentas computacionais é possível melhorar a combinação de diferentes ações dentro de uma carteira aumentando assim a expectativa de retorno. Este é o método conhecido como otimização de carteiras de ações descrito na seção anterior. A grande dificuldade em se criar mecanismos que desvendem a dinâmica dessa combinação é porque os três

20 12 fatores citados anteriormente (retorno, risco e covariança) possuem um comportamento dinâmico através do tempo. Não são valores fixos. Deng, Lin e Lo (2011) apresenta matematicamente o problema de otimização de portifolio proposto por Markowitz da seguinte forma: Suponhamos que D seja a quantidade total de diferentes ações, u j seja o retorno esperado da ação j ( j = 1,...,D), σ jk seja é covariança entre as ações j e k onde ( j = 1,...,D) e (k = 1,...,D). As variáveis de decisão x j e x k representam as proporções (0 x j,x k 1) da carteira investida respectivamente nas ações j( j = 1,...,D) e k(k = 1,...,D). O parâmetro de ponderação λ é também chamado de coeficiente de aversão ao risco. Usando esta notação o modelo de média-variância de Markowitz para o problema da seleção de carteiras pode ser apresentado como Minimize λ [ D j=1 D k=1 (x j x k σ jk ) ] (1 λ) [ D j=1x j u j ] (1) Sujeito a D x j = 1 (2) j=1 e 0 x j 1, j = 1,...,D (3) onde o λ [0,1]. O caso onde λ = 0 representa o máximo retorno esperado(desconsidera o risco), e o portifolio ótimo é uma única ação, aquela com o mais alto retorno. Quando λ = 1 temos o mínimo risco total para a carteira(desconsidera o retorno), e o portifolio ótimo inclui várias ações. O valor σ jk, a covariança, refere-se à inter-

21 13 dependência entre os comportamentos das ações j e k e é baseado nos registros históricos entre os dois ativos Discussão O modelo de otimização de carteiras proposto por Markowitz (1952) apresenta os fundamentos para a Teoria Moderna de Portfolios. Após seis décadas seu trabalho ainda é referência e inspiração para diversas pesquisas. Entretanto, como comentado em Patel e Subrahmanyam (1982) e Arnott e Wanger (1990) o modelo originalmente proposto por Markowitz gera portifólios ineficientes. Por isso é considerado uma abordagem superficial já que não leva em conta, para sua análise, outras variáveis além do retorno esperado e o risco. Alguns exemplos que não são considerados no modelo original de Markowitz são: cardinalidade, custos transacionais, taxas variadas entre outros. A inserção destas novas variáveis presentes no mundo real aumenta consideravelmente a complexidade do problema original. Em alguns casos a complexidade aumenta tanto que o problema pode se transformar num misto de programação inteira com programação não-linear. Nestes casos, métodos de solução exata são inadequados, Deng, Lin e Lo (2011). Contribuindo, Niu et al. (2010) comentam que o problema é considerado NP-Hard e não linear com muitos ótimos locais. Nos últimos anos inúmeros trabalhos propuseram modificações com a intenção de melhorar o modelo originalmente proposto por Markowitz. Diversas abordagens utilizando algoritimos heurísticos e/ou evolucionários foram propostos para corrigir as distorções no modelo original. A seguir são citados alguns deles. Em Oh, Kim e Min (2005) e Yang (2006) foram utilizados Algorítimos Genéticos(AG) para selecionar as melhores ações para uma carteira de investimentos. Já

22 14 Fernández e Gómez (2007) optaram pelo uso de Redes Neurais Artificiais(RNA). Uma revisão sobre Lógica Fuzzy aplicada ao problema é apresentada em Inuiguchi e Ramk (2000) e também em Vercher, Bermúdez e Segura (2007). Utilizando heurísticas inspiradas no comportamento social de colônias de insetos temos a Otimização por colonia de formigas(aco) que obteve bons resultados em Deng e Lin (2010). Chang et al. (2000) acrescenta às alternativas de otimização o método de Busca Tabu. Outra técnica é a Otimização por enxame de partículas(oep) que é inspirada no movimento uniforme de bandos de pássaros. Em seu trabalho, Chang et al. (2000) explicita várias outras heurísticas com o mesmo foco do problema em questão. O foco deste trabalho está na abordagem que utiliza a otimização por enxame de partículas, ou Particle Swarm Optimization(PSO), proposta por Kennedy e Eberhart (1995). Nesta seção foi apresentado o modelo proposto por Markowitz para a diversificação de ações em uma carteira. O método fundamentou as bases para a Teoria Moderna de Portfolios e inspirou diversas outras abordagens para o problema. Na próxima seção será explicado o método de otimização por enxame de partículas, um dos objetos de estudo desta pesquisa. 2.3 Otimização por enxame de partículas (OEP) Particle Swarm Optimization(PSO) é um método de otimização baseado em população inicialmente proposto por Kennedy e Eberhart (1995). É inspirado no fenômeno natural e comportamento social de bandos de pássaros, cardumes entre outros. Kennedy e Eberhart (1995) comenta É sensato supor, com certa abstração, que algumas regras fundamentam o comportamento social animal como

23 15 pássaros, cardumes, rebanhos e até mesmo humanos. Além disso, afirma-se que O compartilhamento social de informações oferece uma vantagem evolutiva, indivíduos podem se beneficiar das descobertas e experiências passadas dos outros indivíduos, (PEREIRA, 2007). Em PSO, um enxame de partículas representa uma população enquanto cada uma das partículas refere-se a um indivíduo. Cada indivíduo é uma possível solução para o problema. As partículas voam através de um espaço de busca multidimensional ajustando dinamicamente suas velocidades de acordo com sua própria experiência e das partículas vizinhas, (CLERC, ; CLERC; KENNEDY, 2002). A cada passo a posição da partícula é atualizada com base na variável que registra a melhor posição da própria partícula PBest e também na melhor posição encontrada até o momento por todas as partículas. Esta variável é nomeada como GBest. A sincronia do comportamento do grupo está relacionada aos esforços dos indivíduos em manter uma distância ótima entre si e seus vizinhos. Xu, Chen e Yang (2007) descrevem matematicamente o PSO conforme notação a seguir: Suponha que o espaço de busca é D dimensional, então a i ésima partícula do enxame pode ser representada por um vetor D dimensional X i = (x i1,x i2,...,x id ). A velocidade da párticula pode ser representada por outro vetor D dimensional V i = (v i1,v i2,...,v id ). A melhor posição anteriormente visitada pela i ésima partícula é denotada por P i = (p i1, p i2,..., p id ). Definindo g como índice da melhor partícula no enxame, e deixando o sobrescrito denotar o número de interações, então a velocidade de uma partícula e sua posição são atualizadas pelas seguintes equações:

24 16 v t+1 id = wv t id + c 1r t 1(p t id xt id ) + c 2r t 2(p t gd xt id ) (4) x t+1 id = x t id + vt+1 id (5) onde d = 1,2,...,D; e i = 1,2,...,N e N é o tamanho do enxame; w é chamado de peso inercial; c 1,c 2 são duas constantes positivas, chamadas parâmetro congnitivo e social respectivamente; r 1,r 2 são números aleatórios, uniformemente distribuídos entre [0,1]; e t = 1,2,... determina o número de iterações, (XU; CHEN; YANG, 2007). No próximo tópico serão comentados alguns trabalhos onde a Otimização por enxame de partículas foi aplicada ao problema de otimização de carteiras. 2.4 PSO aplicado a Otimização de Portifolios Esta seção irá brevemente abordar sobre alguns dos trabalhos encontrados na literatura que utilizaram da estratégia da otimização por enxame de partículas para resolver o problema de seleção de carteiras de ações. Em Chen e Cai (2008) o método PSO foi utilizado para obter a efficient frontier para problemas realistas de seleção de carteiras restritas. Para tal foram adicionadas modificações ao modelo original de Markowitz afim de contemplar as novas restrições. Utilizou-se em sua pesquisa dados do mercado de seguro chinês. De acordo com os resultados de Chen e Cai (2008) diferentes fronteiras eficientes são traçadas pelo PSO devido às restrições adicionais ao modelo de Markowitz. A escolha da melhor opção deve ser tomada pelo investidor com base nos tipos

25 17 de restrição a que está submetido. Para ele a modificação no modelo proposto combinada com PSO tem um positivo nos resultados. O algoritimo PSO é efetivo para resolver o problema de otimização de portifólios e tem potencial para resolver problemas de gerência de portifólios em tempo real, (CHEN; CAI, 2008). Para Xu e Chen (2009) e Gao e Chu (2009), o PSO básico não é muito efetivo quando o espaço de busca é muito pequeno. Geralmente as partículas tem alta velocidade e nestes casos é muito comum que a partícula ultrapasse o espaço de busca previamente estabelecido, distanciando assim da solução ótima. Afim de corrigir esta deficiência e incluir mais restrições ao modelo original de Markowitz, Xu e Chen (2009) mostram uma melhoria para o algoritimo PSO tradicional. Essa modificação conseguiu melhorar duas características negativas do modelo PSO original. Primeiramente conseguiu aumentar o espaço de busca da partícula evitando assim que extrapolações do limite espacial acontececem. E ao mesmo tempo, em estágios diferentes, diminuiu o mesmo espaço de busca em determinados momentos para garantir uma maior precisão da resposta. As modificações realizadas nesse trabalho constistiram em acrescentar ao PSO um peso inercial dinâmico, um método para garantir que toda partícula que se posicionar fora do espaço de busca seja recolocada dentre os limites permitidos e funções penalidade para tratar as restrições. Em sua conclusão, Xu e Chen (2009) citam que o PSO melhorado obteve resultados superiores quando comparados à GA aplicados sob as mesmas restrições. Ainda considerando o problema dos espaços de busca pequenos Gao e Chu (2009) também propuseram um PSO melhorado assim como Xu e Chen (2009). Através dos testes com o algoritimo melhorado, Gao e Chu (2009) concluiram que seu novo algoritimo supera, em eficiência, o PSO tradicional quando aplicado no problema de otimização de carteiras. Os resultados indicam que a abordagem

26 18 proposta é uma maneira eficiente para os problemas de seleção de portfólio restritos. Alem disso, nós descobrimos que nosso PSO é superior ao método PSO básico., Gao e Chu (2009). Uma conclusão semelhante a esta última pode ser obtida em Xu, Chen e Yang (2007). Em Niu et al. (2010) também foi utilizado uma variante do PSO para resolver o problema de otimização de carteiras. Considerando as limitações do modelo original de Markowitz foram feitas algumas modificações para abranger outras restrições além do retorno e do risco. Entretanto, Niu et al. (2010) comentam que o algoritimo PSO original tem algumas desvantagens. As vezes (o PSO) converge para soluções ótimas locais não desejadas devido a baixa diversidade da população nos últimos períodos da evolução, (NIU et al., 2010). Afim de corrigir esta limitação foi proposto uma variação neste modelo. O autor nomeou essa variante do PSO de Simbiotic Multi-Swarm Particle Optimization-SMPSO. A modificação consistiu em dividir o enxame inicial em vários sub-enxames. Cada um destes com as mesmas características do modelo original acrescentando, no entanto, mais uma variável de decisão a cada partícula, PcBest. Esta inserção representa a posição central da melhor partícula global dentre todos os sub-enxames. Com a inserção PcBest a intenção principal foi exatamente acelerar a taxa de convergência e evitar que as partículas se aglomerem em ótimos locais. Assim, com esta nova variável (p t Pcd ), a equação 4, que demonstra a velocidade da partícula, é alterada para a forma da equação 6. v t+1 id = wv t id + c 1r t 1(p t id xt id ) + c 2r t 2(p t gd xt id ) + c 3r t 3(p t Pcd xt id ) (6)

27 19 onde c 3 e r 3 continuam tendo o mesmo significado que c 1,c 2,r 1 e r 2 do modelo original. Em suas conclusões, Niu et al. (2010) relatam que em testes preliminares o SMPSO mostrou ter atributos superiores que deram robustez ao resultado final. Neste último trabalho, o SMPSO foi aplicado em um modelo Markowitz modificado onde foram inseridas outras restrições. Por fim, concluiu que o modelo proposto é confiável para mercados reais com um grande número de ações, (NIU et al., 2010). Em seu trabalho Zhu et al. (2011) também fizeram modificações ao modelo original de Markowitz adaptando-o ao modelo Sharp Ratio proposto em Sharpe (1966). Com essa modificação outras restrições do mundo real puderam ser incluídas às variáveis do problema. Após esta adaptação foi aplicado o algoritimo PSO onde os resultados, comparados com os obtidos por GA, mostraram-se superiores. Otimização por enxame de partículas será uma ferramenta de sucesso em uma variedade de aplicações, e tem claro pontencial para modelos financeiros, (ZHU et al., 2011). Em Deng, Lin e Lo (2011) foi proposto mais uma vez uma variação do PSO exatamente para corrigir as suas limitações. Ao modelo de Markowitz também foram inseridas modificações afim de incluir novas variáveis e deixar o problema mais parecido com situações do mundo real. Nos testes, o PSO proposto foi comparado a outros variações do algoritimo PSO e também a outras heurísticas como GA e Busca Tabu. Quando comparado com outras variantes do PSO a variação proposta se mostrou mais robusta, principalmente quando foi levado em consideração o fator aversão ao risco. Neste caso o PSO proposto obteve a mais baixa variação entre todos. Ainda em Deng, Lin e Lo (2011) foi realizado mais uma comparação entre o PSO proposto e outros algoritimos heurísticos como GA, Busca

28 20 Tabu e Recozimento Simulado. Novamente, o algoritimo proposto se mostrou superior na maioria dos testes. Na mesma linha de pesquisa Cura (2009) procedeu um experimento comparativo com outras meta-heurísticas. Concluiu que, comparado a Algoritimos Genéticos, Busca Tabu e Recozimento Simulado, o PSO obteve melhores resultados quando as ações da carteira tinham baixo risco. Para os testes utilizou índices de cinco bolsas de valores do mundo(hong Kong, Alemanha, Reino Unido, Estados Unidos e Japão). Algumas variações do PSO também apresentam certas deficiências. Por exemplo, no trabalho de Xu, Chen e Yang (2007) os autores identificaram que apesar do PSO proposto encontrar o ótimo global ele teve uma velocidade de convergência muito lenta. Considerando que o principal objetivo deste trabalho é encontrar ferramentas que auxiliem investidores ou empresas na tomada de decisão esta característica deve ser evitada. Principalmente em se tratando do dinâmico mercado financeiro onde muitas situações podem acontecer em curtos espaços de tempo. 2.5 Conclusão O problema de otimização de portifolios ou Portifolio Selection (PO) é alvo de vários estudos tanto na área de finanças quanto de engenharia e computação devido à sua complexidade. O modelo de Markowitz (1952) fornece fundamentos para a otimização de carteiras de ações porém, é considerado limitado por não considerar vários elementos presentes em situações reais. Vários trabalhos surgiram propondo adaptações ou melhorias ao modelo de Markowitz com a intenção de modelar melhor o problema.

29 21 Entretanto, percebeu-se que não são poucas as variáveis que podem influenciar no processo de seleção de carteiras. Considerando um pequeno número de variáveis o problema em questão já é considerado NP-Difícil. Em virtude destas características, que aumentam sua complexidade, algoritimos heurísticos são os mais recomendados entre a comunidade ciêntifica. O método de otimização por enxame de partículas ou Particle Swam Optimization (PSO) proposto por Kennedy e Eberhart (1995) é uma das abordagens possíveis para a resolução do problema. Neste estudo foi realizada uma breve revisão de trabalhos onde PSO foi aplicado ao problema de seleção de portfolios. Verificou-se que em vários estudos o PSO se mostrou efetivo e superior a outras meta-heurísticas conhecidas na resolução deste mesmo problema. Os trabalhos elencados nesta seção mostraram que as variantes do PSO utilizadas surpreenderam nos testes mostrando ser uma boa alternativa para a otimização. Muitos autores como Cura (2009), Deng, Lin e Lo (2011), Zhu et al. (2011), (NIU et al., 2010) e (CHEN; CAI, 2008) validaram o uso do PSO elencando suas principais vantagens e desvantanges em relação a outros métodos de resolução.

30 22 3 Metodologia Este capítulo descreve os procedimentos metodólogicos que permitiram adaptar o algoritmo PSO para resolução do problema otimização de carteiras de ações com restrições de cardinalidade utilizando o modelo de Markowitz, no inglês Cardinality Constraints Markowitz Portfolio Optimization - CCMPO. A metodologia adotada na adaptação do PSO foi baseada no trabalho de Deng, Lin e Lo (2011). 3.1 Modelagem do problema CCMPO com PSO Para adicionar as restrições de cardinalidade ao modelo de Markowitz é necessário fazer adaptações. Neste trabalho optamos por seguir as modificações propostas por Chang et al. (2000). Considerando N o número total de partículas do enxame e D o número total de dimensões de cada partícula. A primeira alteração consiste em definir um valor K para representar o tamanho desejado da carteira. Em seguida definimos ε j sendo a proporção mínima da carteira alocada na ação j( j = 1,...,D) caso a ação seja escolhida para compor a carteira. Já o valor δ j representa a proporção máxima alocada a uma ação j( j = 1,...,D), caso a ação seja escolhida para compor a carteira. O valor de ε j representa compra mínima ou nível de negociação mínimo para uma ação j. O valor δ j representa "compramáxima"para a ação j. Também definimos o seguinte limite 0 ε j δ j 1. Para representar quais ações foram selecionadas definimos a variável binária z i, j onde (i = 1,...,N) e ( j = 1,...,D), onde z i, j = 1 se uma das ações j( j = 1,...,D) é escolhida. 0 caso contrário (7)

31 23 Inseridas estas novas variáveis, para cada partícula(carteira) i, o problema original de otimização de carteira de Markowitz, Eq. 1, com restrição de cardinalidade é estruturado conforme as Eq Minimize λ [ D j=1 D k=1 (x i j x ik σ jk ) ] (1 λ) [ D j=1x i j u j ] (8) Sujeito a D x i j = 1 (9) j=1 D z i j = K (10) j=1 ε j z i j x i j δ i z i j, j = 1,...,D (11) z i j [0,1], j = 1,...,D (12) A Eq. 9 garante que a soma das proporções é 1, e a Eq. 10 garante que exatamente K ações serão escolhidas. A Eq. 11 garante que, se uma das ações j é escolhida(z j = 1) sua proporção x j deve estar entre ε j e δ j. Se nenhuma ação é escolhida(z j = 0), sua proporção x j é zero. A Eq. 12 garante a integralidade do problema. Deng, Lin e Lo (2011) comenta que o PSO padrão aplicado ao problema CCMPO tende a estagnar em ótimas locais. Por este motivo as adaptações das próximas seções foram feitas com o objetivo de expandir o processo de busca.

32 Tratamento das Restrições Limites do espaço de busca No algoritmo PSO proposto, considerando N o tamanho do enxame, cada particula i(i,...,n) representa uma possivel carteira e é composta por um conjunto de proproções x i j ( j = 1,...,D). Neste caso, os limites do espaço de busca por onde as partículas devem procurar as soluções devem ser exatamente os limites das propoções, ou seja, x i j [0,1]. Para prevenir que as partículas saiam do espaço de busca durante as sucessivas atualizações de posição e velocidade foi implementada a estratégia de reflexão proposta por Paterlini e Krink (2006). Nesta abordagem, para cada partícula i, após as atualizações citadas, quando algum dos limites(superior ou inferior) é ultrapassado, a partícula é refletida novamente para dentro do espaço de busca. Nos dois casos a velocidade da partícula muda de direção. A estratégia de reflexão implementada é descrita a seguir x t i j = x t i j + 2(LI j x t i j) se x t i j < LI j (13) x t i j = x t i j 2(x t i j LS j ) se x t i j > LS j (14) onde LI j e LS j são respectivamente os valores do limite inferior e superior para a dimensão j. Neste trabalho todas as D dimensões tem o mesmo tamanho. Já o parâmetro t é o número de iteração e i(i = 1,...,N) representa a partícula.

33 25 Em alguns casos, a estratégia acima não resolve o problema (e.g quando a posição da partícula está muito distante das bordas do espaço de busca). Neste caso, utilizando a estratégia de reflexão, a partícula fica alternando entre os extremos a cada tentativa de devolvê-la para dentro do espaço de busca. Para evitar esta situação é definido uma quantidade máxima de tentativas de reflexão. A estratégia de reflexão termina quando este limite de tentativas é atingido. Neste caso específico, a partícula recebe como posição o próprio limite(superior ou inferior) do espaço de busca, conforme expressão a seguir: x t i j = LS j se x t i j > LS j (15) x t i j = LI j se x t i j < LI j (16) Restrição quanto ao tamanho máximo da carteira A restrição de cardinalidade define um tamanho fixo para a carteira de ações. Deste modo, somente algumas ações são escolhidas dentre todas as disponíveis. Para o tratamento da cardinalidade foi implementada a abordagem utilizada em Deng, Lin e Lo (2011). Definido o tamanho da carteira, chamado aqui de K, para cada partícula i(i,...,n), temos de selecionar K ações dentre aquelas que o algoritimo PSO selecionou. Considerando K new o número de ações não nulas após a atualização da posição e velocidade de cada partícula i. Lembrando que todas as proporções não nulas(z j = 1) geradas durante a simulação são selecionadas, onde j( j = 1,...,D) representa a dimensão da partícula. A Fig. 2 fornece um exemplo de uma partícula i de oito dimensões j, ou ações, sendo seis destas se-

34 26 lecionadas. Nesta figura também é visualizado o respectivo vetor z i que controla quantas ações foram selecionadas pelo PSO e um valor arbitrário para o tamanho da carteira K = 6. Figura 2: Partícula de oito dimensões com seis ações selecionadas Caso K new > K então o algoritimo remove as menores proporções, atribuindo (z j = 0), até K new ser igual a K. Na Fig. 3 temos um exemplo desta situação. O tamanho da carteira neste exemplo é K = 3. Figura 3: Remoção das menores proporções da partícula Já no caso de K new < K a abordagem é diferente. Neste caso, ações são, aleatoriamente, dentre as ações não escolhidas(z j = 0), inseridas na carteira até

35 27 que K new = K. Para todas estas ações inseridas são atribuídos os valores (z j = 1) e de proporção mínimo ε j. Podemos ver na Fig. 4 um exemplo com K = 8. Figura 4: Inserção de novas proporções na partícula Para todos os casos temos de atender as restrições das Eq. 9, 10 e 11. Para tal, as proporções das demais ações da carteira são normalizadas conforme a Eq. 17. Considerando Q a nova carteira contendo as K ações, temos que as proporções normalizadas x i j x i j = ε j + q i j j Q,qi j >ε j q i j ( ) 1 ε j j Q (17) onde q i j é valor da proporção na dimensão j da ação i, pertencente à carteira Q. Dessa forma garante-se que as ações inseridas aleatoriamente tenham influência mínima no resultado final da carteira.

36 Mutação Visando garantir a diversidade das soluções a estratégia de mutação adotada para cada partícula foi a proposta por Tripathi, Bandyopadhyay e Pal (2007) e adotada por Deng, Lin e Lo (2011). A cada iteração, cada partícula teve uma de suas dimensões, chamada aqui de α, escolhida aleatoriamente. O valor da proporção de α sofre a seguinte mutação: α = α + (t,ls α) se flip =0 α (t,α LI) se flip =1 (18) onde f lip é um número binário amostrado aleatoriamente com chance de 50%. LI e LS são respectivamente os limites inferior e superior do espaço de busca. é definido por (t,x) = x (1 r (1 maxt t )b) (19) onde t é a iteração, max t é o número máximo de iterações e r é um número gerado aleatoriamente no intervalo [0,1]. O parâmetro arbitrário b determina o grau de dependência da mutação naquela iteração. 3.3 Cálculo da Função Objetivo e Geração da Fronteira Eficiente No PSO, a cada iteração as partículas tem suas posições e velocidades atualizadas. Após esta etapa é preciso avaliar a qualidade da solução(carteira). Neste

37 29 trabalho, considerando que o objetivo é minimizar o risco e maximizar o retorno da carteira de ações, a função objetivo é a do modelo Markowitz, Eq. 8, seção 3.1. Assim como detalhado na seção 2.2.2, o coeficiente de aversão ao risco(λ ) indica a qual risco o investidor está disposto a assumir. O caso de λ = 0 mostra que o investidor não está preocupado com o risco da carteira e deseja o máximo retorno possível. Já o oposto, λ = 1, demonstra cautela total por parte do investidor pois ele deseja investir na carteira com o menor risco possível. Para o cálculo da fronteira eficiente foram feitas simulações do PSO utilizando cinquenta diferentes valores para o coeficiente de aversão ao risco(λ ), variando de 0 a 1. Para cada valor de (λ ) vinte e cinco simulações foram realizadas. O fitness de cada partícula é obtido através da Eq. 8. Os valores de risco e retorno que são usados para construir a fronteira-eficiente são obtidos pelas porções separadas da Eq. 8 excluindo a influência do λ, conforme Eq. 20 que representa o risco e Eq. 21 que representa o retorno da carteira. Desta forma, a partir das simulações foi coletado, além do valor médio da função objetivo, o valor médio do risco e do retorno. A fronteira eficiente foi gerada considerando os parâmetros risco e retorno médio para cada um dos cinquenta valores de λ. Risco = D D j=1 k=1 (x j x k σ jk ) (20) Retorno = onde j e k são as dimensões da partícula. D x j u j (21) j=1

38 30 Se após sucessivas iterações não houver melhora no valor da função objetivo o algorítimo termina a execução. Para manipular esta situação estabelecemos um limite de estagnação como critério de parada para o algoritimo PSO implementado. 3.4 Pseudocódigo Em termos gerais, a obtenção das fronteiras-eficiente e o algoritimo PSO implementado podem ser visualizados na Fig. 5. O valor n indica quantos pontos terá a fronteira-eficiente gerada ou quantos diferentes valores de λ são testados. O valor m é arbitrário pois ele apenas informa quantas simulações do PSO serão executadas com cada um dos valores de λ definidos anteriormente. O algoritimo PSO está compreendido apenas entre as linhas 6 a 32. Obtemos os valores de risco e retorno para cada uma das simulações executadas, linha 32. O valor médio para cada valor de lambda é obtido na linha 34. Com estes valores médios podemos gerar a fronteira-eficiente. As Eq. 9, 10 e 17 alteram a matriz posição no modelo original. Este fato se mostrou prejudicial ao aprendizado das partículas durante os testes. Por este motivo, criou-se a variável matrizposicao_temp para aplicar as restrições descritas acima e posteriomente fazer a avaliação dos respectivos fitness. Após etapa de avaliação das partículas, os valores escolhidos pelo PSO, (z j = 1), na matrizposicao_temp são repassados à matriz posição original, conforme linhas 25, 26 e 27. O método Restrição_Tamanho_Carteira implementa a restrição de cardinalidade relatada na seção e demonstrada na Equação 10. O método Normaliza_Proporções normaliza as proporções da carteira após a inserção de novas ações respeitando as Eq. 9 e 17.

39 31 Figura 5: Pseudocódigo do algoritimo PSO implementado 3.5 Configuração dos Parâmetros Peso inercial Conforme mencionado em Deng, Lin e Lo (2011), o parâmetro de peso inercial w é vital para o algoritimo de otimização por enxame de partículas. Ele influencia diretamente na busca por ótimos globais e locais. Quando w tem altos valores o algoritimo PSO explora grandes áreas do espaço de busca. Na outra direção, baixos valores de w enfatizam uma busca por áreas menores, mais localizadas. "Geralmente, a exploração deve ser mais intensiva nos estágios iniciais pois o algoritimo tem pouco conhecimento do espaço de busca, enquanto nos estágios

40 32 posteriores o algoritimo deve utilizar das informações que ele já obteve.", (DENG; LIN; LO, 2011). Por este motivo, optou-se por manter a estratégia de w variando com o número de iteração do PSO, introduzida por Shi e Eberhart e utilizada em Deng, Lin e Lo (2011). O valor de w é modificado a cada iteração do algoritimo por w(t) = (w(0) w(max t )) max t t max t + w(max t ) (22) onde w(0) = 0.9, w(max t ) = 0.4 e t é a iteração, max t é o número máximo de iterações Coeficiente de aceleração O algoritimo PSO é muito dependente das variáveis c 1 e c 2 uma vez que quando o valor de c 1 é maior que o de c 2 cada partícula tem uma atração maior para a melhor posição encontrada por si própria. Se c 2 é maior que c 1 as partículas tem maior atração para a melhor posição encontrada até o momento pelo enxame. Este último caso tende a gerar uma convergência prematura para ótimos locais. A abordagem de c 1 e c 2 variando com o número de iterações se mostrou mais efetiva conforme é explicitado nos trabalhos de Ratnaweera, Halgamuge e Watson (2004). Os valores de c 1 e c 2 a cada iteração são dados por t c 1 (t) = (c 1,min c 1,max ) + c 1,max (23) max t t c 2 (t) = (c 2,max c 2,min ) + c 2,min (24) max t

41 33 onde max t é o número máximo de iterações. Assim como em Deng, Lin e Lo (2011) os valores adotados são c 1,min e c 2,min = 0.5, c 1,max e c 2,max = Coeficiente de aversão ao risco O valor do coeficiente de aversão ao risco λ define o quanto o investidor está disposto e arriscar, o risco que ele assume. Baixos valores de λ geralmente impõe altos retornos porém, consequentemente, altos riscos. Inversamente, altos valores de λ diminuem o risco da carteira e consequentemente diminuem também o retorno esperado. Neste trabalho foram testados cinquenta valores diferentes para lambda, variando de 0 a Iterações do PSO De maneira empírica adotamos o valor de 450 para o número máximo de iterações do PSO. Este valor se mostrou a melhor alternativa considerando custo/- benefício(qualidade do resultado versus tempo de execução) Tamanho da carteira Optou-se por manter o tamanho de carteira utilizado no artigo base Deng, Lin e Lo (2011): 10 ações Demais parâmetros Para os demais parâmetros foram seguidas as recomendações de Deng, Lin e Lo (2011). Quantidade de partículas p = 100; velocidade máxima de uma partí-