Inferência em Lógica de Primeira Ordem. Capítulo 9

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1 Inferência em Lógica de Primeira Ordem Capítulo 9

2 Sumário Inferência em lógica proposicional vs. inferência em lógica de primeira ordem Unificação Modus Ponens Generalizado Encadeamento para a frente Encadeamento para trás Resolução

3 Instanciação Universal A partir de uma frase com um quantificador universal, podemos inferir uma frase que resulta da substituição da variável por um termo sem variáveis v α Subst({v/g}, α) E.g., x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x) permite inferir: Rei(João) Ambicioso(João) Malvado(João) Rei(Ricardo) Ambicioso(Ricardo) Malvado(Ricardo) Rei(Pai(João)) Ambicioso(Pai(João)) Malvado(Pai(João))...

4 Instanciação Existencial Para uma frase α, uma variável v, e uma constante k que não aparece em nenhuma frase da base de conhecimento v α Subst({v/k}, α) E.g., A partir de x ECoroa(x) NaCabeca(x,João) podemos inferir ECoroa(C 1 ) NaCabeca(C 1,João) desde que C 1 seja um símbolo de constante novo, chamado constante de Skolem A frase que contém o quantificador existencial pode ser eliminada equivalência por inferência

5 Redução para inferência proposicional Consideremos que a BC contém as seguintes frases: x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x) Rei(João) Ambicioso(João) Irmãos(Ricardo,João) Instanciando a frase com de todas as formas possíveis, obtemos: Rei(João) Ambicioso(João) Malvado(João) Rei(Ricardo) Ambicioso(Ricardo) Malvado(Ricardo) Rei(João) Ambicioso(João) Irmãos(Ricardo,João) A BC está proposicionalizada, ou seja, contém apenas símbolos proposicionais: Rei(João), Ambicioso(João), Malvado(João), Rei(Ricardo), etc.

6 Redução (cont.) Todas as BC em LPO podem ser proposicionalizadas de modo a preservar as consequências lógicas Uma termo sem variáveis é consequência da nova BC sse é consequência lógica da BC original Ideia: proposicionalizar BC e frase que é consequência lógica aplicar resolução para fazer a prova Problema: para símbolos de função o número de termos sem variáveis é infinito e.g., Pai(Pai(Pai(João)))

7 Redução (cont.) Teorema [Herbrand,1930] Se uma frase α é consequência lógica de uma BC em LPO, então α é consequência lógica de um subconjunto finito da BC proposicionalizada Ideia: Para n = 0 criar uma BC proposicional instanciando termos até à profundidade n verificar se α é consequência lógica da BC Problema: funciona se α é efectivamente consequência lógica, não termina se α não é consequência lógica Teorema [Turing,1936][Church,1936] Consequências lógicas em LPO são semi-decidíveis, i.e. existem algoritmos que identificam consequências lógicas, mas não existem algoritmos que identifiquem frases que não são consequências lógicas

8 Proposicionalização: problemas Proposicionalização pode gerar muitas frases irrelevantes E.g., a partir de: x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x) Rei(João) y Ambicioso(y) Irmãos(Ricardo,João) Parece óbvio inferir Malvado(João), mas a proposicionalização produz outros factos como Ambicioso(Ricardo) que são irrelevantes Para p predicados com aridade k e n constantes, existem p n k instanciações possíveis

9 Unificação x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x) Se conseguimos encontrar uma substituição θ para x para a qual se verifica Rei(x) e Ambicioso(x) então podemos inferir Malvado(x) Genericamente: se conseguirmos encontrar uma substituição θ que converta a premissa de uma implicação numa frase já existente na BC, então podemos derivar a conclusão da implicação após efectuada a substituição θ Exº x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x) Rei(João) y Ambicioso(y) θ = {x/joão,y/joão} permite inferir Malvado(João) Unificação = identificação de uma substituição que permita que duas frases sejam logicamente equivalentes

10 Unificação: exemplo Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ α β θ Conhece(João,x) Conhece(João,Rita) Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

11 Unificação: exemplo Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ α β θ Conhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/rita} Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

12 Unificação: exemplo Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ α β θ Conhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/rita} Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) {x/isabel,y/joão} Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

13 Unificação: exemplo Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ α β θ Conhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/rita} Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) {x/isabel,y/joão} Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) {y/joão,x/mãe(joão)} Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

14 Unificação: exemplo Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ α β θ Conhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/rita} Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) {x/isabel,y/joão} Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) {y/joão,x/mãe(joão)} Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel) {falha}

15 Estandardização Conhece(João,x) e Conhece(x,Isabel) poderão ser unificados se substituirmos x por outra variável Esta unificação faz sentido Conhece(João,x) significa que o João conhece toda a gente Conhece(x,Isabel) significa que a Isabel é conhecida por toda a gente Logo, o João conhece a Isabel Estandardização = renomeação de variáveis numa das duas frases a serem unificadas para evitar conflitos nos nomes das variáveis Conhece(João,x) e Conhece(y,Isabel) pode ser unificado com {x/isabel,y/joão}

16 Unificação: UMG Para unificar Conhece(João,x) e Conhece(y,z), θ = {y/joão, x/z } ou θ = {y/joão, x/joão, z/joão} A primeira substituição é mais genérica do que a segunda. Existe um único unificador mais geral (UMG): efectua o menor número de substituições para unificar dois termos UMG = { y/joão, x/z }

17 Algoritmo de Unificação Função Unifica(x,y, ) devolve uma substituição que unifica x e y (x e y são variáveis, constantes, compostos ou listas, inicialmente vazio) se =falha então devolve falha senão se x=y então devolve senão se Variável?(x) então devolve UnificaVar(x,y, ) senão se Variável?(y) então devolve UnificaVar(y,x, ) senão se Composto?(x) e Composto?(y) então devolve Unifica(Args[x],Args[y],Unifica(Op[x],Op[y], )) senão se Lista?(x) e Lista?(y) então devolve Unifica(Rest[x],Rest[y],Unifica(First[x],First[y], )) senão devolve falha Exº para o composto F(A,B) temos Op[F(A,B)]=F e Args[F(A,B)]=(A,B)

18 Algoritmo de Unificação Função UnificaVar(var,x, ) devolve uma substuição (x é uma expressão) se {var/val} então devolve Unifica(val,x, ) senão se {x/val} então devolve Unifica(var,val, ) senão se VerificaOcorrencia?(var,x) então devolve falha senão adiciona {var/x} a VerificaOcorrencia?(var,x) verifica se var ocorre na expressão x Complexidade do algoritmo é quadrática na dimensão das expressões que pretendemos unificar

19 Modus Ponens Generalizado (MPG) p 1 ', p 2 ',, p n ', ( p 1 p 2 p n q) qθ p 1 ' é Rei(João) p 1 é Rei(x) p 2 ' é Ambicioso(y) p 2 é Ambicioso(x) θ é {x/joão,y/joão} q é Malvado(x) q θ é Malvado(João) com p i 'θ = p i θ para todo o i MPG usado com BC com cláusulas que têm exactamente um literal positivo: (p 1 p 2 p n q) equivale a ( p 1 p 2 p n q) Todas as variáveis estão quantificadas universalmente

20 Solidez de MPG É preciso provar que p 1 ',, p n ', (p 1 p n q) qθ quando temos p i 'θ = p i θ para todo o i Lema: Para qualquer frase p, temos p pθ pela instanciação universal 1. (p 1 p n q) (p 1 p n q)θ = (p 1 θ p n θ qθ) 2. p 1 ',,p n ' p 1 ' p n ' p 1 'θ p n 'θ 3. A partir de 1 e 2 obtemos qθ por Modus Ponens

21 Exemplo: base de conhecimento Do ponto de vista legal, um Americano é um criminoso por vender armas a nações hostis. O país Nono, um inimigo da América, possui alguns mísseis, e todos estes mísseis foram-lhe vendidos pelo Coronel West, que é Americano. Objectivo: provar que o Coronel West é um criminoso.

22 Exemplo: base de conhecimento (cont.)... um Americano é um criminoso por vender armas a nações hostis: Americano(x) Arma(y) Vende(x,y,z) Hostil(z) Criminoso(x) Nono possui alguns mísseis, i.e., x Possui(Nono,x) Míssil(x): Possui(Nono,M 1 ) e Missil(M 1 ) todos os mísseis foram-lhe vendidos pelo Coronel West Missil(x) Possui(Nono,x) Vende(West,x,Nono) Mísseis são armas: Missil(x) Arma(x) Um inimigo da América é considerado hostil : Inimigo(x,America) Hostil(x) West é Americano Americano(West) O país Nono é um inimigo da América Inimigo(Nono,America) [instanciação existencial]

23 Encadeamento progressivo: algoritmo Função EP-LPO-Pergunta(BC, ) devolve uma substuição ou falso (var.local) novo conjº de frases inferidas em cada iteração repetir até novo ser vazio novo { } paracada frase r na BC (p 1 p n q) estandardização(r) paracada t.q. (p 1 p n q) = (p 1 p n q) para algum p 1,, p n na BC q q se q não é uma renomeação de uma frase na BC ou em novo então adicionar q a novo Unifica(q, ) se não é falha então devolve adiciona novo à BC devolve falso Exº de renomeação: Gosta(x,Gelado) e Gosta(y,Gelado)

24 Encadeamento progressivo: prova Inicialmente: frases que não têm variáveis

25 Encadeamento progressivo: prova

26 Encadeamento progressivo: prova

27 Propriedades do encadeamento progressivo Sólido e completo para cláusulas na forma (p 1 p n q) em lógica de primeira ordem Datalog = cláusulas na forma (p 1 p n q) em lógica de primeira ordem + não há funções EP termina para Datalog num número finito de iterações Não termina se α não é consequência lógica Não podemos resolver este problema: encadeamento progressivo é semi-decidível

28 Eficiência do encadeamento progressivo Encadeamento progressivo incremental: só é necessário fazer um emparelhamento de uma frase na iteração k se uma premissa tiver sido adicionada na iteração k-1 Emparelhar cada frase cuja premissa contém um novo literal positivo Emparelhamento pode ser dispendioso: Bases de dados indexadas permitem encontrar factos conhecidos em tempo constante (O(1)) e.g., pergunta Missil(x) responde Missil(M 1 ) Encadeamento progressivo é muito usado em bases de dados dedutivas

29 Emparelhamento: exemplo Míssil(x) Possui(Nono,x) Vende(West,x,Nono) Podemos obter os objectos possuídos pelo Nono em tempo constante, e depois verificar se algum desses objectos é um míssil Se existirem muitos objectos possuídos pelo Nono e poucos mísseis, então é preferível começar por obter os mísseis e posteriormente verificar quais são possuídos pelo Nono

30 Emparelhamento difícil: exemplo Diff(wa,nt) Diff(wa,sa) Diff(nt,q) Diff(nt,sa) Diff(q,nsw) Diff(q,sa) Diff(nsw,v) Diff(nsw,sa) Diff(v,sa) ColoracaoOK() Diff(Verm,Azul) Diff (Verm,Verde) Diff(Verde,Verm) Diff(Verde,Azul) Diff(Azul,Verm) Diff(Azul,Verde) ColoracaoOK() é inferido sse o CSP tem solução Dificilmente conseguimos perceber qual a ordem a seguir para fazer o emparelhamento de menor custo

31 Emparelhamento difícil: soluções Objectivo: encontrar uma ordenação óptima de modo a que o custo do emparelhamento seja minimizado NP-difícil para problemas NPdifíceis! Solução: uso de heurísticas; e.g. escolher variável com mais restrições

32 Encadeamento regressivo: algoritmo Função ER-LPO-Pergunta(BC,objectivos, ) devolve conjunto de substituições, substituição actual, inicialmente { } (var.local) resp, conjº de substituições, inicialmente { } se objectivos está vazio então devolver { } q Substitui(,First(objectivos)) paracada r em BC onde estandardização(r) = (p 1 p n q) e Unifica(q,q ) não falha resp ER-LPO-Pergunta(BC,[p 1,,p n Rest(objectivos)], COMPOE(, )) resp devolve resp SUBST(COMPOE(θ 1, θ 2 ), p) = SUBST(θ 2, SUBST(θ 1, p))

33 Encadeamento regressivo: exemplo

34 Encadeamento regressivo: exemplo

35 Encadeamento regressivo: exemplo

36 Encadeamento regressivo: exemplo

37 Encadeamento regressivo: exemplo

38 Encadeamento regressivo: exemplo

39 Encadeamento regressivo: exemplo

40 Propriedades do encadeamento regressivo Prova com procura em profundidade com recursão: espaço é linear no tamanho da prova Incompletude devido a ciclos infinitos Podem ser evitados comparando o objectivo actual com os objectivos na pilha Ineficiente devido à existência de sub-objectivos repetidos (tanto com sucesso como falha) Guardar em memória resultados obtidos anteriormente memória adicional Muito usado em programação em lógica

41 Programação em Lógica: Prolog Algoritmo = Lógica + Controlo Base: encadeamento regressivo com cláusulas de Horn Fácil prototipagem, manipulação de símbolos (e.g. compiladores, parsing de língua natural) Programa = conjunto de cláusulas = cabeça :- literal 1, literal n. criminoso(x) :- americano(x), arma(y), vende(x,y,z), hostil(z). Encadeamento regressivo: profundidade, esquerda direita Predicados pré-definidos para aritmética etc., e.g., X is Y*Z+3. Predicados pré-definidos com efeitos colaterais Mundo fechado e.g., considerando vivo(x) :- not morto(x). vivo(joão) é verdade se morto(joao) falha

42 Prolog (1) Concatenação de duas listas para produzir uma terceira lista: append([],y,y). append([a X],Y,[A Z]) :- append(x,y,z). Aparentemente semelhante à definição de Lisp mas com mais funcionalidades Questão: append(a,b,[1,2])? Respostas: A=[] B=[1,2] A=[1] B=[2] A=[1,2] B=[]

43 Prolog: append Procedimento Append(ax,y,az) caminho ApontadorGlobalCaminho() se ax=[] e Unifica(y,az) então continua ResetCaminho(caminho) a NovaVariavel(), x NovaVariavel(), z NovaVariavel() se Unifica(ax,[a x]) e unifica(az,[a z]) então Append(x,y,z)

44 Prolog(2) Definição de caminho entre dois pontos: path(x,z): link(x,z). path(x,z): path(x,y),link(y,z). path(x,z): link(x,y),path(y,z). Ordem é relevante! descendente(d,a):-progenitor(a,d). descendente(d,a):- progenitor(p,d),descendente(p,a). fact(0,1). fact(n,f):- N>0, N1 is N-1, fact(n1,f1), F is N*F1.

45 Prolog(3) soma(0,x,x). % 0+X=X soma(s(x),y,z) :- soma(x,s(y),z). % (X+1)+Y=Z <== X+(Y+1)=Z?- soma(s(s(s(0))),s(0),total).?- soma(s(s(0)),s(s(0)),total).?- soma(s(0),s(s(s(0))),total).?- soma(0,s(s(s(s(0)))),total). Total=s(s(s(s(0))))

46 Resolução em LPO l 1 l k, m 1 m n (l 1 l i-1 l i+1 l k m 1 m j-1 m j+1 m n )θ com Unifica(l i, m j ) = θ. Aplica-se a fórmulas no formato CNF Por exemplo, Rico(x) Infeliz(x) Rico(João) Infeliz(João) com θ = {x/joão} Assume-se que as duas cláusulas estão estandardizadas não têm variáveis em comum

47 CNF para LPO 1. Eliminação de e 2. Leis de DeMorgan 3. Estandardização de variáveis 4. Skolemização 5. Eliminação de quantificadores universais 6. Distributividade de sobre

48 Skolemização Consiste na remoção de quantificadores existenciais por eliminação Caso simples: substituir x P(x) por P(A) em que A é uma constante de Skolem (constante nova, nunca usada anteriormente) Caso complexo: quando existem quantificadores encadeados x y P(x,y) substituído por x P(x,F(x)) em que F é uma função de Skolem Caso geral: argumentos da função de Skolem são todas as variáveis quantificadas universalmente que aparecem antes do quantificador existencial

49 CNF para LPO: exemplo As pessoas que gostam de todos os animais têm alguém que gosta delas. x [ y Animal(y) Gosta(x,y)] [ y Gosta(y,x)] x [ y Animal(y) Gosta(x,y)] [ y Gosta(y,x)] x [ y Animal(y) Gosta(x,y)] [ y Gosta(y,x)] x [ y Animal(y) Gosta(x,y)] [ y Gosta(y,x)] x [ y Animal(y) Gosta(x,y)] [ y Gosta(y,x)] x [ y Animal(y) Gosta(x,y)] [ z Gosta(z,x)] x (Animal(F(x)) Gosta(x,F(x))) Gosta(G(x),x) (Animal(F(x)) Gosta(x,F(x))) Gosta(G(x),x) Animal(F(x)) Gosta(G(x),x) Gosta(x,F(x)) Gosta(G(x),x)

50 Resolução em LPO: completude Resolução binária aplica-se exactamente a 2 literais; não é suficiente para garantir completude Factorização = remoção de literais redundantes Em lógica proposicional = remoção de literais repetidos Em lógica de primeira ordem = remoção de literais unificáveis! Resolução binária + factorização completude

51 Resolução: completude por refutação Se um conjunto de frases não tem solução, então tem de ser possível derivar uma contradição (cláusula vazia, ()) por resolução Ver prova no Livro

52 Igualdade Nenhum dos métodos de inferência anteriores lida com igualdade Possível solução adicionar axiomas de igualdade: reflexiva, simétrica, transitiva, substituição x x=x x,y x=y y=x x,y,z x=y y=z x=z x,y x=y (P(x) P(y)) Outras técnicas: demodulação, paramodulação

53 Estratégias para Resolução (1) Preferência pela cláusula unitária Aplicar resolução em que uma das cláusulas é unitária nova cláusula com dimensão mais reduzida Conjunto de suporte Conjunto de suporte = subconjunto de cláusulas Cada resolução combina uma cláusula do conjunto de suporte com outra cláusula e adiciona a cláusula resultante ao conjunto de suporte Se o conjunto de suporte é pequeno o espaço de procura pode ficar bastante reduzido Exº usar frase negada como conjunto de suporte resolução orientada ao objectivo

54 Estratégias para Resolução (2) Resolução pela entrada Cada passo de resolução utiliza uma cláusula acabada de gerar Estratégia completa para cláusulas de Horn mas não completa para o caso geral Eliminação de cláusulas Cláusulas eliminadas devido à existência de cláusulas mais genéricas Exº P(A) é redundante vs. P(x) Exº P(A) P(B) é redundante vs. P(A)

55 Resolução: prova Criminal(West) Técnica aplicada? Resolução pela entrada

56 Provadores de Teoremas Usados para dar assistência num processo de prova Podem provar teoremas nunca antes provados Usados na verificação e síntese de hardware e software