OTIMIZAÇÃO INTEGRADA DA FROTA DE EMPRESAS DO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO

Transcrição

1 OTIMIZAÇÃO INTEGRADA DA FROTA DE EMPRESAS DO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO Gustavo Peixoto Silva Universidade Federal de Ouro Preto Bruno Nazário Coelho Universidade Federal de Ouro Preto Marcone Jamilson Freitas Souza Universidade Federal de Ouro Preto RESUMO Este trabalho apresenta um modelo para a otimização integrada da frota de diversas empresas de transporte público que atuam numa região metropolitana. Foram implementadas duas heurísticas para o Problema de Programação de Veículos com Múltiplas Garagens (PPVMG): primeiro-agrupa-depois-programa e primeiro-programadepois-agrupa. Assim é possível comparar um cenário de gestão integrada com a gestão tradicional das frotas. Na gestão tradicional, as linhas são distribuídas às empresas e posteriormente é resolvido o um Problema de Programação de Veículos (PPV) para cada empresa. Na heurística primeiro-programadepoisagrupa é resolvido um PPV para toda a região e posteriormente é feita a alocação dos veículos às respectivas empresas. A gestão integrada permite reduzir a frota e seus custos operacionais. Ela determina ainda a eliminação de empresas ineficientes. Os resultados foram utilizados pela empresa de gerenciamento do sistema de transportes de Belo Horizonte para iniciar uma licitação em bloco das linhas da região do Barreiro/BH. PALAVRAS CHAVE. Programação de Veículos com Múltiplas Garagens. Sistema de Transporte Público. Programação Integrada. ABSTRACT This work presents a model for the integrated vehicle scheduling problem of several transportation companies operating in a metropolitan area. Two heuristics were implemented for the Multi-Depot Vehicle Scheduling (MDVSP): cluster first - scheduling second and schedule first cluster second. These models enabled to compare two different operational scenarios: the integrated with the traditional one. In the traditional management the bus lines are distributed to the companies and then a Single Depot Vehicle Scheduling Problem (VSP) is solved for each company. In the heuristics schedule first - cluster second, a VSP is solved for the whole area, afterwards vehicles from the companies are assigned. The integrated management allows fleet plus operational costs reduction. This approach also determines inefficient companies elimination. The results were used by the public transportation company of Belo Horizonte in order to implement an integrated operation by block of the lines. KEYWORDS. Vehicle Scheduling. Mass Transit System. Integrated Scheduling. [1138]

2 1. Introdução Os primeiros estudos sobre o Problema de Programação de Veículos com Garagem Única (PPV) foram realizados no final dos anos 60 e início dos anos 70, utilizando métodos exatos (Kirkman, 1968) e métodos heurísticos (Saha, 1970; Wren, 1972). Estes sistemas estavam voltados mais para a automatização do trabalho manual do que para a otimização das soluções encontradas. O problema consiste em determinar o número mínimo de veículos necessários para realizar um dado conjunto de viagens e definir a seqüência de viagens a ser executada por cada veículo da frota mínima, tal que o custo da operação seja minimizado (Bodin et al., 1983). A cada veículo da frota mínima está associado um bloco de viagens, que são aquelas a serem executadas pelo respectivo veículo. Neste problema os veículos são considerados idênticos, ou seja, é considerada a alocação de uma frota homogênea. O PPV tem grande importância não só pela resolução de problemas com garagem única, como também pela sua relação direta com problemas mais complexos que surgem na operação do sistema de transporte público, como por exemplo com a existência de mais de uma garagem, a existência de diferentes tipos de veículo em operação e com a limitação do tempo de operação. Diversos modelos propostos na literatura tratam destes problemas decompondo-os em problemas com uma única garagem e um único tipo de veículo. Um dos primeiros modelos de otimização para o PPV foi proposto por Gavish et al. (1978), com o objetivo de minimizar o número de veículos utilizados durante os horários de pico e minimizar os deslocamentos fora dos horários de pico. Neste trabalho é utilizado um modelo de fluxo em redes do tipo pseudo-designação ou pseudo-assinalamento. Bokinge e Hasseltröm (1980) admitem uma pequena flexibilidade nos horários de partida e de chegada das viagens para resolver o PPV. Nesse método, o problema é resolvido, inicialmente, com horários pré-determinados para as viagens. A partir dessa solução, são feitas pequenas modificações nos horários iniciais e finais de algumas viagens com a intenção de melhorar a alocação das viagens para cada veículo. Uma outra abordagem para o problema é apresentada por Hoffstadt (1981), onde o trabalho de determinar o número mínimo de veículos é feito através de uma heurística de encadeamento de viagens. Em seguida, o custo operacional é otimizado com base no algoritmo de Kuhn (1956), resolvendo um problema de designação. Kwan e Rahin (1995) desenvolveram uma heurística do tipo 2-optimal para resolver o PPV. O algoritmo gera uma solução inicial a partir de um determinado número de veículos, por meio de um método construtivo guloso. Porém esta solução inicial possibilita viagens impossíveis de serem realizadas, devido à sobreposição de horários. Em seguida, é aplicada uma estratégia de troca de viagens, na tentativa de eliminar as infactibilidades da solução. Silva (2001) explora uma técnica de geração de arcos combinada com o algoritmo de fluxo em redes Out-of-Kilter para resolver o PPV. É feita uma adaptação para que seja utilizado um modelo de circulação em redes com custo mínimo para resolver o problema. Nesse trabalho, o autor defende a utilização de modelos de fluxo em redes para resolver o problema devido à eficiência e simplicidade de implementação de seus algoritmos, os quais na sua maioria apresentam complexidade polinomial. Mais recentemente, tem sido utilizadas metaheurísticas para resolver o PPV. Baita et al. (2000) resolvem um caso real comparando o Modelo de Designação com métodos heurísticos baseados em Programação Lógica e Algoritmos Genéticos. O estudo de caso apresentado no trabalho mostra que o modelo de designação e a programação lógica produziram resultados úteis na prática, embora não tenham atendido todas as restrições do problema proposto. Simões et al. (2006) apresentam uma implementação da metaheurística Iterated Local Search ILS (Glover e Kochenberger 2003) para resolver o PPV. O algoritmo gera uma solução inicial por meio de um procedimento construtivo guloso. Esse procedimento consiste na [1139]

3 alocação, a cada passo, de uma nova viagem ao veículo que representar o menor custo possível. A solução corrente é perturbada com a realocação ou a troca de viagens entre dois veículos. Posteriormente esta solução é refinada com a aplicação de um método de descida randômica. O algoritmo foi testado com dados de diversas empresas mostrando possibilidades de redução dos custos em todos os casos, quando comparado com as soluções adotadas pelas empresas. Tratar o problema como uma única ou várias garagens não é conseqüência direta do número de garagens da empresa de transporte público. Se as áreas de atuação de uma empresa com várias garagens não se interceptam, isto é, cada linha está previamente associada a uma dada garagem, tem-se um conjunto de sub-problemas com uma única garagem. Caso contrário, trata-se de um Problema de Programação de Veículos com Múltiplas Garagens, cada uma com uma dada capacidade (PPVMG). Este é um problema NP-difícil (Bertossi et al. 1987) que tem sido modelado e resolvido de diferentes maneiras, tanto por meio de métodos exatos, quanto por abordagens heurísticas. Os métodos exatos mais bem sucedidos são baseados em modelos de fluxo em redes e em suas analogias com a programação inteira. Na literatura, existem dois modelos básicos para o problema. No primeiro, um modelo de arcos orientados leva a um Problema de Multifluxo, e no segundo um modelo de caminho orientado leva ao Problema de Particionamento. O segundo pode ser obtido aplicando-se a decomposição de Dantzig-Wolfe ao primeiro. Tais problemas são tradicionalmente resolvidos utilizando-se técnicas como a relaxação linear, relaxação lagrangeana, geração de colunas, branch-and-bound, branch-and-price (Bertossi et al. 1987, Carpaneto et al. 1989, Amico et al. 1993, Ribeiro e Soumis 1994, Forbes et al. 1994, Löbel 1998). Por outro lado, o problema pode ser resolvido heuristicamente decompondo-o em subproblemas mais simples, que podem ser resolvidos com algoritmos polinomiais. Uma alternativa bastante utilizada na prática é a decomposição do PPVMG em duas fases descrita em Bodin et al. (1983), que conta com as seguintes variações: Primeiro agrupa - depois programa: o conjunto de viagens é particionado em subconjuntos associados às diferentes garagens. Assim, são resolvidos separadamente vários problemas com uma única garagem. Primeiro programa - depois agrupa: inicialmente um problema com uma garagem fictícia é resolvido, produzindo um bloco de viagens para cada veículo da frota. Então, cada bloco de viagens é designado a uma dada garagem, de tal maneira que o custo total de viagens ociosas ligando os blocos às respectivas garagens seja minimizado. Adicionalmente, as limitações das garagens são satisfeitas. A segunda estratégia mostra-se mais eficiente do que a primeira, na qual a partição do conjunto de viagens é arbitrária e pré-estabelecida podendo resultar em programações pobres. O progresso dos algoritmos de otimização tem sido empregados para resolver uma importante classe de problemas denomidos problemas integrados. Existem dois tipos de abordagens para o sistema de transporte público: integração vertical e integração horizontal. As empresas normalmente dividem os processos de programação dos veículos e de suas tripulações em duas etapas distintas tendo como elo de ligação a solução do primeiro problema, que serve com dado de entrada para o segundo. Uma integração vertical leva em consideração a interferência da solução de um problema na resolução do outro problema. Modelos que integram a programação dos veículos com a programação das tripulações são propostos na literatura, assim como algoritmos para a sua resolução (Hasse et al. 2001, Freling et al. 2003). Assim abre-se toda uma linha de pesquisa para resolver tais problemas, pois é possível verificar seus potenciais de redução de custos do sistema (Silva et al. 2006). Reduções significativas também podem ser obtidas com a integração horizontal. Normalmente a operação de uma região é subdividida em grupos de linhas que são licitados separadamente. Uma integração que pemite unificar a operação de todas as linhas da região e combinar as tarefas de diferentes empresas, permitindo que duas ou mais empresas operem uma mesma linha, é denominada integração horizontal. O objetivo final deste tipo de integração é tratar todas as linhas como se fossem de uma única empresa com [1140]

4 diversas garagens. Cada uma com uma capacidade de fornecimento de veículos, ou seja, consiste em resolver o PPVMG para a região (Borndröfer et al. 2006). Este artigo apresenta os modelos de uma aplicação prática bem sucedida da técnica de programação em duas fases para resolver o PPVMG de uma região metropolitana. Para resolver o PPV foi utiliza a metaheurística Iterated Local Search (ILS) e para realizar a alocação dos blocos de viagens aos veículos das garagens que atuam na região, foi aplicado o Modelo de Transporte. O sistema computacional foi testado com dados da região do Barreiro e os resultados foram analisados e utilizados pela Empresa de Transporte e Trânsito de Belo Horizonte S/A - BHTRANS, órgão responsável pelo gerenciamento do sistema de transportes e do trânsito de Belo Horizonte. Com base nestes resultados a BHTRANS está preparando uma licitação com o bloco de todas as linhas da região. 2. Descrição do Problema O conjunto de linhas de transporte urbano que atende à região do Barreiro é denominado de Bacia do Barreiro e contava com 8 empresas responsáveis pela realização de todas as viagens desta região na época do estudo, em maio de Juntamente, as empresas atendiam 40 linhas de ônibus nos dias úteis, sendo 14 linhas trocais e 26 linhas alimentadoras. Linhas troncais são linhas de transporte público que operam com maior velocidade e capacidade, tendo como objetivo realizar o deslocamento de passageiros entre duas regiões da cidade. Essas linhas operam em corredores de ônibus com veículos da grande capacidade e onde há uma demanda elevada. Linhas alimentadoras coletam e distribuem passageiros por uma determinada região da cidade, tendo como ponto base um terminal com a presença de uma ou mais linhas troncais. Os usuários podem ser coletados em uma determinada região e desembarcados em um terminal da linha troncal ou podem ser recolhidos no terminal da linha troncal e distribuídos na região atendida por esta linha. Portanto, as linhas alimentadoras têm a função primordial de captação e distribuição da demanda e juntamente com as troncais, complementam o transporte dos passageiros pelas diferentes regiões metropolitanas. A região conta com 2 terminais, o Barreiro com 12 plataformas de embarque e desembarque e o Diamante com outras 10 plataformas. No terminal Barreiro (B) operam 22 linhas e o terminal Diamante (D) conta com outras 13 linhas. Além disso, a bacia possui outros 3 pontos de início/final de 5 linhas, localizados fora dos terminais que são: PC1145 (PC1), PC3051 (PC2) e PC3054 (PC3). Para cada empresa foram utilizados 3 conjuntos diferentes de dados de entrada referentes aos dias úteis, sábados e domingos realizados em maio de A Tabela 1 apresenta os dados referentes às empresas que atuaram na bacia na ocasião estudada. As empresas não referenciadas como E1, E2,..., E8 e os terminais pelas suas iniciais, B e D, além dos pontos PC1, PC2 e PC3. Dia útil Tabela 1 Dados da situação da bacia do Barreiro Empresa E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 Terminais B e D PC1 B, D e B e B e D B e D B e D PC3 PC2 B linhas viagens horas de 348:10 141:20 516:56 387:05 773:58 622:30 253:34 296:41 viagem [1141]

5 Sábado Domingo linhas viagens horas de viagem linhas viagens horas de viagem :16 91:13 379:55 282:50 541:49 410:20 147:36 182: :27 64:33 281:17 221:04 336:21 316:15 60:13 147:14 Segundo a operação vigente à época, cada empresa era responsável por um conjunto de linhas cujo controle diário ocorre nos terminais das respectivas linhas. De acordo com a Tabela 1, a empresa E1 opera linhas com pontos de controle no Barreiro e no Diamante. A empresa E2, por sua vez, é responsável por uma linha cujo ponto de controle é no PC1. A Tabela 1 apresenta, para cada empresa, o número de linhas atendidas pela mesma, o total de viagens a serem realizadas nos respectivos tipos de dias e o tempo total em viagem calculado a partir dos horários iniciais e finais de cada viagem. É bom ressaltar que o tempo total em viagem é menor do que o tempo total da frota em operação, pois o primeiro não inclui os tempos de deslocamento ocioso nem os tempos de terminal, os quais devem ser minimizados. 3. Metodologia Adotada O PPVMG é uma extensão do PPV e pode ser resolvido dividindo-se o problema principal em pequenos subproblemas com uma única garagem, diminuindo assim a sua complexidade. Neste estudo, o problema foi resolvido de duas maneiras distintas, baseadas na heurística clássica das duas fases. Para resolver a abordagem primeiro agrupa depois programa, as linhas foram agrupadas de acordo com a operação vigente na época, ou seja, as linhas foram atribuídas às garagens das respectivas empresas detentoras do direito de explorá-las segunda licitação prévia da BHTRANS. Para cada empresa foi resolvido um PPV utilizando um modelo heurístico de otimização. Na abordagem primeiro programa depois agrupa, todas as linhas da região do Barreiro foram atribuídas a uma garagem fictícia. Desta forma, subentende-se que as empresas não detêm a concessão das linhas de antemão. Depois de realizada a programação dos veículos, os seus respectivos blocos de viagens são atribuídos aos veículos das diferentes garagens, tendo em vista minimizar os custos de deslocamento ocioso. Desta forma são priorizadas as empresas cujas garagens se localizam mais próximas aos pontos iniciais das linhas da região. Nesta aplicação foram consideradas as seguintes restrições para a geração da programação dos veículos: Um veículo deve permanecer na garagem, no mínimo, trinta minutos consecutivos, por dia. Um veículo não pode realizar mais de uma viagem ao mesmo tempo, o que caracteriza uma sobreposição de viagens. Todo veículo deve cumprir um tempo mínimo de embarque/desembarque de passageiros entre duas viagens. [1142]

6 Se o tempo de espera de um veículo no terminal for maior que duas horas, o veículo deverá se deslocar para a garagem onde aguarda, retornando posteriormente para realizar a próxima viagem programada. Os veículos que apresentam esta característica são denominados do tipo pegada dupla. Cada viagem deve ser executada por um único veículo. A seguir são detalhados os métodos empregados na resolução dos problemas descritos acima Método de Resolução do PPV Para a resolução do PPV foi implementada uma versão do método Iterated Local Search - ILS proposto por Glover e Kochenberger (2003). O ILS é um método aplicado em conjunto com um procedimento de busca local com a finalidade de melhorar as soluções obtidas por este através da realização de perturbações. Uma perturbação consiste em modificações realizadas sobre uma solução por meio da aplicação de um ou mais tipos de movimentos. Para iniciar a sua exploração o ILS precisa primeiramente de uma boa solução para o problema, para tanto, é gerada uma solução inicial que é melhorada por meio de um procedimento de busca local. A geração da solução inicial é feita através de um procedimento construtivo guloso. Esse procedimento consiste na alocação, a cada passo, de uma nova viagem de responsabilidade da empresa ao bloco de algum veículo pertencente à sua frota. Durante a alocação, a combinação das viagens de cada veículo deve ser a que forneça o menor custo de operação possível. Esse custo é determinado pela aplicação de uma função de avaliação f(.). Em seguida, são utilizadas duas variantes do Método de Descida: Descida com Realocação e Descida com Troca, que se diferenciam quanto ao tipo de movimento utilizado para realizar a busca. Obtida uma solução inicial, é processada a fase de pesquisa sobre a sua vizinhança. Obtem-se uma solução vizinha s da solução corrente s através de uma perturbação utilizando os movimentos de realocação e troca. Para refinar a solução perturbada, o procedimento de busca local utilizado é o Método Randômico de Descida (MRD), implementado em duas versões distintas: uma que realiza apenas movimentos de troca (DescidaRandomicaComTroca), e outra que executa somente movimentos de realocação (DescidaRandomicaComRealocacao). A solução refinada é um ótimo local da solução perturbada. Este ótimo é então avaliado e caso seja satisfeito o critério de aceitação, ele será considerado a nova solução corrente e recomeça-se o processo de pesquisa pela vizinhança dessa nova solução. Caso o critério de aceitação não seja satisfeito, é aumentado o nível de perturbação tornando-a mais intensa, e o processo de pesquisa é retomado. Este procedimento é repetido até que um dado critério de parada seja satisfeito. Há doze níveis de perturbação, que se diferenciam tanto pelos tipos de movimentos realizados, quanto pelo número de vezes que estes são aplicados. Para cada nível k ímpar, aplicase k/2 + 1 movimentos de realocação. Para os níveis k pares, aplicam-se k/2 movimentos de troca. Maiores detalhes desta implementação podem ser obtidos em Simões et al. (2006) Heurística Primeiro Agrupa Depois Programa Para aplicar esta heurística, as linhas foram agrupadas de acordo com a operação vigente e foi realizada a otimização da frota e dos custos operacionais de cada empresa, de tal forma a atender as viagens das linhas a ela atribuída pela BHTRANS. Para cada empresa, foi resolvido um PPV gerando os seus respectivos blocos de viagens. Cada bloco de viagem corresponde a um veículo da empresa empenhado na operação Primeiro Agrupa O processo de agrupar primeiro consistiu em organizar os dados disponibilizados pela BHTRANS, de maneira que ficassem classificados por empresa e por dia da semana. Participou do estudo o conjunto das oito empresas que atuaram no Barreiro na ocasião a que se referem os dados coletados. Os dados obtidos são de quatro dias da semana: Segunda, Sexta, Sábado e Domingo e foram escolhidos com o apoio dos técnicos da BHTRANS por representarem os dias mais significativos da operação. [1143]

7 Depois Programa Para resolver o PPV de cada uma das empresas foi utilizada a implementação da heurística ILS descrita anteriormente. Como resultado desta etapa são definidos os blocos dos veículos conforme exemplo apresentado na Figura 1. As primeiras informações contidas no bloco são a garagem à qual o veículo está vinculado e o seu horário de partida desta garagem. Em seguida são apresentados os dados das viagens que o veículo deve realizar com os respectivos locais e horários de partida, locais e horários de chegada, tempo de viagem vazia, tempo de espera do veículo até a próxima viagem e a linha a que pertence a viagem. Por fim, tem-se um resumo da operação do veículo com a soma dos tempos de operação, espera e viagem morta (viagem vazia). Vale ressaltar que os termos viagem vazia e viagem morta se referem aos deslocamentos realizados pelo veículo estando este fora de operação devido a viagens de reposicionamento entre a garagem e o terminal ou mesmo entre terminais, quando esta prática for permitida. Figura 1. Exemplo de um bloco de viagens de um veículo com Dupla Pegada Heurística Primeiro Programa Depois Agrupa Para implementar este método todas as viagens foram atribuídas a uma garagem e foi resolvido um PPV de grande porte pois esta garagem compreende todas as linhas da região do Barreiro. Posteriormente foi utilizado um modelo de Fluxo em Redes para fazer a alocação dos veículos às garagens, de tal forma a minimizar os custos de deslocamento entre as garagens e os pontos iniciais e finais dos blocos Primeiro Programa Neste segundo método, todas as viagens foram consideradas como se pertencessem a uma só garagem (garagem fictícia). Nesta etapa, a programação se torna muito mais complexa [1144]

8 devido ao grande número de viagens agrupadas numa única garagem e cujo respectivo PPV deve ser resolvido. As viagens alocadas à garagem fictícia foram submetidas ao ILS, considerando os mesmos parâmetros adotados na primeira heurística (Primeiro agrupa depois programa). Como resultado é obtida a frota mínima e a seqüência das suas atividades que levam ao menor custo operacional. O resultado deste primeiro passo são blocos de viagens, como aquele apresentado na Figura 1, para cada um dos veículos que realizarão as viagens das linhas da região. Entretanto, os veículos ainda estão associados a uma garagem fictícias Depois Agrupa O resultado do processo anterior é a programação dos veículos, envolvendo todos os blocos de viagens com horário de partida e chegada, linhas atendidas e pontos pelos quais cada veículo deve trafegar. Entretanto, tais blocos ainda não estão distribuídos entre as empresas. Nesta etapa é feita a atribuição dos veículos às respectivas garagens candidatas a participar da operação naquela região. A seguir temos uma descrição do método de otimização empregado nesta etapa. Para otimizar a atribuição dos blocos às garagens foi utilizado um Modelo de Transporte no qual cada garagem é representada por um nó de oferta com capacidade igual ao número de veículos disponíveis para a operação. Por outro lado, cada bloco é representado por um nó com demanda unitária relativa à utilização de um veículo para a realização de suas viagens. O arco que ligam uma dada garagem i a um certo bloco j tem seu custo c ij representando os custos operacionais devido à atribuição de um veículo da garagem i para realizar as viagens do bloco j. As restrições do modelo de transporte garantem que serão utilizados veículos de cada uma das garagens respeitando suas respectivas disponibilidades, e que a cada bloco de viagens será atribuído um único veículo. A função objetivo a ser minimizada contém a soma de todos os custos de atribuição garagem bloco, garantindo a atribuição de menor custo para o conjunto. C ij B1 {-1} {Cap1} G1 B2 {-1} {Cap2} G2 B3 {-1} Figura 2. Rede de transporte para a alocação dos veículos aos blocos de viagens. Neste modelo, os custos de atribuição de um veículo da garagem i a um bloco de viagens j é dado pela soma dos tempos de deslocamento desse veículo da garagem i até o ponto inicial da primeira viagem do bloco j (ponto_inicial_bloco j ) mais o tempo de deslocamento do ponto final da última viagem do bloco j (ponto_final_bloco j ) até a garagem i. Assim temos a seguinte expressão para os custos nos arcos. C = distância da garagem até o ponto_inicial_bloco + ij distância do ponto_final_bloco i j até a garagem i j (1) No modelo de transporte cada nó i V G representa uma garagem e cada nó j V B [1145]

9 representa um bloco de viagem. O conjunto dos arcos que ligam os nós de V G aos nós de V B é dado por A = {(i, j) i V G, j V B } e representam as possibilidades de alocação de veículos das garagens aos blocos de viagens definidos na etapa anterior. Assim tem-se uma rede bipartida G = (V G V B, A). As variáveis de decisão x ij assume valor 1 se um veículo da garagem i for designado para executar as viagens do bloco j e zero caso contrário. O modelo que minimiza a alocação da frota é dado por: Min ( i, j ) j V B i V G c ij x A x x ij ij ij cap = i sujeito a (2), i V (3) G 1, j V (4) x { 0, 1} (5) ij B A função objetivo descrita em (2) minimiza os custos de deslocamento ocioso da frota enquanto as restrições (3) garantem que a capacidade das garagens não sejam violadas. As restrições (4) garantem que a cada bloco seja alocado um único veículo. Como resultado, o modelo fornece o número de veículos sob responsabilidade de cada garagem e o detalhamento das viagens destes veículos de tal forma que o custo total da operação é mínimo. 4. Apresentação e Análise dos Resultados A seguir são apresentados os resultados da aplicação dos métodos aos dados da regional do Barreiro. A Tabela 2 contém os resultados gerais, com os valores totais para o conjunto das empresas em relação aos dias estudados. A nomenclatura adota foi a seguinte: NV = número total de veículos utilizados na solução. VM = tempo total de viagem morta. TE = tempo total de espera dos veículos nos terminais. NR = número total de duplas pegadas realizado na solução. Tabela 2. Comparação entre os métodos utilizados. Heurística Agrupa-Programa Heurística Programa-Agrupa NV VM TE NR NV VM TE NR Domingo :14 344: :52 190:22 23 Sábado :20 354: :20 241:01 16 Segunda :13 394: :35 250: Sexta :10 394: :06 242: Pode-se observar na Tabela 2 que a heurística primeiro programa depois agrupa produziu soluções com o frota mínima menor do que a heurística primeiro agrupa depois programa. Para os tempos de viagem morta e de espera nos terminais o segundo método também produziu resultados inferiores ao primeiro. Em parte, tais reduções levam ao aumento no número de retornos à garagem. Este comportamento só não ocorre com os dados do dia de sábado. Na Tabela 3 é feita uma comparação entre o número de veículos atribuído a cada garagem pelos dois métodos, por dia da semana. O valor zero atribuído a uma garagem significa que a esta garagem não foi atribuído qualquer veículo, assim ela foi eliminada da operação na região. [1146]

10 Tabela 3. Número de veículos atribuídos às garagens segundo o método e dia estudado. Heurística Agrupa-Programa Heurística Programa-Agrupa Dom Sab Seg Sex Dom Sab Seg Sex E E E E E E E E Total Na Tabela 3, a primeira heurística nada mais é do que a otimização da frota das empresas que operam no sistema de acordo com a distribuição das linhas segundo a BHTRANS. Portanto todas as empresas operam no sistema e as respectivas frotas mínimas para este caso são apresentadas na primeira parte da tabela. Na segunda parte da tabela, ou seja, quando é aplicada a heurística primeiro programa depois agrupa, pode-se verificar, além da redução da frota mínima, a eliminação de algumas empresas da operação. Para os dias de final de semana, sábado e domingo, foram eliminadas as empresas E1, E2, E6 e E8 uma vez que nenhum veículo foi atribuído a elas. Entre as empresas às quais foram atribuídos veículos nos finais de semana, as garagens E4 e E7 tiveram toda a sua frota disponível utilizada. Segundo os resultados referentes aos dias úteis, ainda na Tabela 3, a heurística primeiro programa depois agrupa foi capaz de eliminar somente as empresas E2 e E8 que também foram eliminadas nos finais de semana e portanto são as que se encontram mais distantes dos terminais e pontos iniciais do Barreiro. Naturalmente que a eliminação de algumas garagens levou ao aumento na utilização dos veículos de outras garagens que certamente estão mais bem localizadas em relação aos terminais das linhas que atendem a região do Barreiro. Para os dias úteis, somente a garagem G-02 não teve sua capacidade totalmente utilizada. As demais garagens tiveram suas frotas disponíveis completamente utilizadas. De qualquer maneira, todas as garagens tiveram suas capacidades respeitadas. Comparando os resultados obtidos pelas duas heurísticas, aquela denominada Primeiro Programa Depois Agrupa obteve vantagens em praticamente todos os parâmetros analisados. A grande vantagem das soluções fornecidas por esta heurística é a possibilidade de eliminar as garagens mais onerosas, o que causa uma redução considerável nos custos do sistema de transporte público. 5. Conclusões Neste trabalho, foram exploradas duas heurísticas distintas de resolver o PPVMG. Na primeira heurística as linhas de uma região metropolitana foram agrupa por garagem de acordo com a operação definida pela agência gestora e depois foi resolvido um PPV para cada garagem. Na segunda heurística todas as linhas foram atribuídas a uma garagem fictícia e foi resolvido um único PPV para esta garagem. Posteriormente foi aplicado o modelo de transporte para fazer a alocação dos veículos às garagens de tal forma que os custos de deslocamento fossem mínimos. O segundo método mostrou-se mais eficiente do que o primeiro, conseguindo reduzir o número de veículos, os tempos de viagem morta e os tempos de espera em todos os casos. Ambos os métodos foram aplicados a casos reais e produziram soluções de melhor qualidade do que as utilizadas pelas empresas analisadas. [1147]

11 A heurística primeiro programação depois agrupa foi útil para verificar quais os resultados de um cenário que permite a integração das frotas das empresas que operam na região do Barreiro em Belo Horizonte. Foi constatado que desta forma é possível reduzir o número de ônibus e empresas necessárias para realizar todas viagens previstas para servir a região. Os resultados obtidos neste trabalho têm importância prática fundamental pois ele serviu como motivação para que a BHTRANS iniciasse um processo de licitação não por linhas individualmente mas por bloco de linhas ou região. Tal procedimento tem como objetivo incentivar as empresas a operarem em grupo, compartilhando e linhas e em última análise reduzindo os custos do sistema. Agradecimentos Os autores agradecem à FAPEMIG, ao CNPq e à BHTRANS pelo apoio recebido no desenvolvimento deste projeto. Referências Bibliográficas Amico, M. D.; Fischetti, M. e Toth, P. (1993) Heuristic Algorithms for the Multiple Depot Vehicle Scheduling Problem. Management Science, Bologna, v.39. Baita, F.; R. Pesenti; W. Ukovich e D. Favaretto (2000) A comparison of different solution approaches to the vehicle scheduling problem in a practical case. Computers and Operations Research, v.27, p Bertossi, A. A.; Carraresi, P. e Gallo, G. (1987) On some matching problems arising in vehicle scheduling models. Networks, v.17, p Bodin, L.; Golden, B.; Assad, A. e Ball, M. (1983) Routing and scheduling of vehicles and crews: The state of the art. Computers and Operations Research, v 10, p Bokinge, U. e Hasselström, D. (1980) Improved vehicle scheduling in public transport through systematic changes in the time-table. European Journal of Operations Research, v.5, p Borndörfer, R.; Grötschel, M. e Pfetsch,M. E. (2006) Public transport to the fore. OR/MS Today, v. 33:2, p Carpaneto, G.; Dell'Amico, M.; Fischetti, M. e Toth, P. (1989) A branch and bound algorithm for the multiple vehicle scheduling problem. Networks, v.19, p Forbes, M. A.; Holt, J. N. e Watts, A. M. (1994) An exact algorithm for multiple depot bus scheduling. European Journal of Operational Research, v.72, p Freling, R.; Huisman, D. e Wagelmans, A. P. M (2003) Models and algorithms for integration of vehicle and crew scheduling. Journal of Scheduling, p Gavish, B.; Schweitzer, P. e Shlifer, E. (1978) Assigning buses to schedules in a metropolitan area. Computers and Operations Research, v.5, p Glover, F. e Kochenberger, G. (2003) Handbook of Metaheuristics. Kluwer Academic Publishers. Haase, K.; Desaulniers, G. e Desrosiers, J. (2001) Simultaneous vehicle and crew scheduling in urban mass transit systems. Transportation Science, v. 35 (3), p Hoffstadt, J. (1981) Computerized vehicle and driver scheduling for the Hamburger Hochbahn Aktiengesellschaft. In: Computer Scheduling of Public Transport, Wren A. (ed.), North- Holland, Amsterdam, p Kirkiman, F. (1968) Problems of innovation in the transport industry: a bus scheduling program. In: Proceedings of PTRC Public Transport Analysis Seminar, Planning and Transport Research and Computation Co. Ltd., London, v.1, p Kuhn, H. W. (1956) Variants of the Hungarian method for the assignment problem. Naval research logistic quarterly. v. 3, p [1148]

12 Kwan, R. K. e Rahin, M. A. (1995) Bus scheduling with trip co-ordenation and complex constraints. In: Computer-Aided Transit Schedulin. Daduna, J. R.; Branco, I. M.; Paixão, J. M. P. (ed.), Springer-Verlag, Berlin, p Löbel, A. (1998) Vehicle scheduling in public transit and lagrangean pricing. Management Science, v. 44, n. 12, p Ribeiro, C. e Soumis, F. (1994) A column generation approach to the multiple depot vehicle scheduling problem. Operations Research, v.42, p Saha, J. L. (1970) An algorithm for bus scheduling problems. Operational Research Quarterly, v.21, p Silva, G. P. (2001) Uma metodologia baseada na técnica de geração de arcos para o problema de programação de veículos. Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia de Transportes EPUSP, São Paulo. Silva, G. P. ; dos Reis, J. A. e Souza, M. J. F. (2006) Resolução Integrada do Problema de Programação de Veículos e Tripulações no Sistema de Transporte Público. In: II Congresso Luso Brasileiro para o Planejamento Urbano, Regional, Integrado e Sustentável, Braga, v. 1. p Simões, E. L.; Souza, M. J. F. e Silva, G. P. (2006) Aplicação da Metaheurística Iterated Local Search à Programação de Veículos no Sistema de Transporte Público. In: XXXVIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Goiânia. Wren, A. (1972) Bus scheduling: an interactive computer method. Transportation Planning and Technology, v.1, p [1149]