Modelos Matemáticos para Tratamento de Grooming em Redes de Fibra Óptica

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1 Modelos Matemáticos para Tratamento de Grooming em Redes de Fibra Óptica Rangel Silva Oliveira 1, Geraldo Robson Mateus 1 1 Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais {rangel,mateus}@dcc.ufmg.br Resumo. Este artigo tem como objetivo abordar estratégias de otimização para solução de problemas de roteamento em redes de fibra óptica. Os modelos matemáticos estão definidos de forma a garantir o que chamamos de Grooming, que possibilita agrupar pacotes de dados em uma mesma unidade de transporte, que por sua vez trafega através de um arco da rede. Foram desenvolvidos cinco modelos matemáticos para solucionar o problema. Esses modelos são testados e comparados usando o pacote comercial CPLEX. Palavras-chave: Grooming. Rede óptica. Roteamento. Programação Matemática. Abstract. This paper aims to address optimization strategies for solving routing problems in optical fiber networks. The mathematical models are defined to ensure what we call Grooming, which allows grouping data packets in the same transport unit, which in turn travels through an arc of the network. Five mathematical models were developed to solve the problem. These models are tested and compared using the commercial package CPLEX. Keywords: Grooming. Optical Network. Routing. Mathematical Programming. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2622

2 1. Introdução Redes de fibra óptica são comumente utilizadas como concentradoras de tráfego, devido a sua alta capacidade de transmissão de dados e aos custos de instalação, que ficam altos para implantação em redes de pouco tráfego. Como os serviços que podem utilizar o meio físico são diversos, é essencial que haja a garantia de que os dados serão enviados e recebidos pelos respectivos pontos de comunicação com o menor atraso possível, e ainda respeitando as capacidades dos meios no transporte dos pacotes [Fumega, 2002]. O trabalho aborda uma série de modelos para otimização em redes. Para todos os modelos um produto é caracterizado por um par (origem, destino) ao qual está associado uma demanda de dados. Associado a cada arco ou enlace de fibra óptica, tem-se um conjunto de comprimentos de onda diferentes que podem ser utilizados para trafegar dados. Um caminho é um conjunto de arcos que ligam o vértice de origem de um produto até o seu destino. Alguns modelos propostos tomam como base um conjunto pré-determinado dos menores caminhos possíveis para cada produto na rede, visando escolher um caminho para cada produto. Outros buscam encontrar um caminho pela escolha de um conjunto de arcos. Cabe ao processo de roteamento definir qual desses caminhos será escolhido para trafegar o produto de forma que as escolhas minimizem o custo total do processo podendo considerar diferentes critérios. Grooming é um procedimento que visa ao agrupamento de vários pacotes de dados, a fim de que eles sejam transportados juntos pelos arcos de uma rede [Wang et al., 2001]. O Grooming pode ser implementado através do compartilhamento da utilização dos comprimentos de onda em cada arco da rede, ou seja, vários produtos sendo trafegados sob um mesmo comprimento de onda. Outra forma de Grooming é a concentração de tráfego em determinados arcos, utilizando comprimentos de onda diferentes para compartilhar o mesmo meio físico. Pode-se encontrar na literatura vários trabalhos que abordam roteamento em redes de fibra óptica. Uma formulação para prover segurança na transmissão de dados utilizando o tipo de proteção SNC-P pode ser vista em [O Carvalho, 2007]. A ênfase de seu trabalho é fornecer um esquema de roteamento utilizando enlaces extras, a fim de que, caso haja alguma falha na rede, os pacotes de dados ainda possam chegar ao respectivo destino por uma rota alternativa. A diferença fundamental entre o trabalho mencionado anteriormente e o artigo em questão é o fato de ele usar restrições de fluxo para a escolha dos caminhos a serem utilizados pelos produtos, sendo que neste trabalho, isso é definido previamente, antes da execução do modelo. Um trabalho sobre tratamento de Grooming pode ser encontrado em [?]. Neste último, o autor apresenta uma série de formulações para o problema, uma baseado em arcos, outra em caminhos, a fim de definir previamente as rotas para os produtos na rede, e por último um método híbrido. Tem como objetivo tratar demandas de baixa velocidade em canais de alta velocidade, a fim de melhor a utilizar a capacidade da rede. Nas modelagens propostas dois cenários são possíveis: demandas diferentes podem utilizar o mesmo comprimento de onda λ ao longo de um caminho; e pode haver troca de λ ao longo do mesmo. Cada uma dessas características é aplicada a problemas específicos e serão explicadas com mais detalhes nas seções subsequentes. Este trabalho está organizado da seguinte forma: Na Seção 2 são expostos a motivação e os objetivos com o desenvolvimento deste artigo. Na Seção 3 é definido o problema de roteamento que os modelos devem cobrir. Na Seção 4 os modelos são detalhados. Na Seção 5 é apresentada uma visão geral sobre o comportamento computacional de cada XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2623

3 modelo e finalmente as Conclusões. 2. Motivação e Objetivos A motivação deste artigo é a crescente expansão dos meios de fibra óptica, amplamente utilizados em redes provedoras de serviços de telecomunicações, que vem se tornando atrativos para investimentos em técnicas de alocação de canais de comunicação nos enlaces e segurança na transmissão de dados, provendo uma melhor utilização da banda disponível para alocação de tráfegos de baixa velocidade. Os objetivos englobam o fornecimento de um conjunto de modelos para redes de fibra óptica que atendem a diversos tipos de clientes e suas necessidades, assim como a comparação entre as formulações, com suas respectivas soluções obtidas, utilizando o solver CPLEX Esses aspectos serão desenvolvidos a fim de determinar em qual contexto uma implementação é melhor do que outra. 3. Definição do Problema Dado um grafo G = (V, E), V representa o conjunto de vértices que têm acesso aos recursos de telecomunicação e E o conjunto de arcos (enlaces físicos) que ligam pares de vértices da rede. Cada produto k é representado por um par (origem e destino) ao qual está está associado uma demanda d k. Cada produto deve ser enviado de sua origem até o destino otimizando a utilização dos recursos disponíveis ao longo dos caminhos. Sendo assim, os modelos matemáticos devem propor um processo de otimização eficaz, em que o roteamento de pacotes na rede seja feito com o atendimento das restrições físicas e buscando utilizar técnicas de Grooming para encontrar a solução ótima para cada instância proposta. O motivo dessa abordagem é que o Grooming provê uma melhor utilização dos comprimentos de onda, implicando em diminuição do número dos comprimentos diferentes que são utilizados na rede para atender às demandas dos respectivos produtos. 4. Modelos Os modelos são apresentados em ordem crescente de complexidade. variáveis são definidos ou acrescidos na medida da necessidade. Seja K o conjunto de produtos; V o conjunto de vértices da rede; E o conjunto de arcos; S o conjunto de comprimentos de onda. Temos os seguintes parâmetros associados d k : demanda do produto k para o par origem s k - destino t k ; P k : conjunto dos caminhos possíveis para o produto k; a ij Os parâmetros e : esse parâmetro é interno ao programa e é calculado dinamicamente de acordo com o grafo de entrada. Isso é feito no início da montagem do modelo e tem a função de indicar se o arco (i, j) está no caminho p do produto k; c s : custo associado à utilização dos comprimentos de onda s na rede; Q s : capacidade dos comprimentos de onda s; W ij : número total de comprimentos de onda disponíveis no arco (i, j); Γ número máximo de caminhos disponíveis para cada produto. Alguns modelos se baseiam em conjuntos de caminhos para os pares origem-destino, pré-calculados. Isto implica na necessidade de se estabelecer quais caminhos devem estar disponíveis para que o roteamento possa ser feito para cada produto. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2624

4 Seja P K o conjunto de menores caminhos do produto k. Esse conjunto pode ser obtido através de um processo iterativo em que a cada iteração é feita uma perturbação no grafo e um novo caminho mínimo é encontrado. Ou seja, um conjunto de restrições força o novo caminho mínimo encontrado a não utilizar uma das arestas dos caminhos encontrados nas iterações anteriores, gerando assim um conjunto ordenado de menores caminhos que são disjuntos em pelo menos uma aresta Modelo 1 A modelagem a seguir representa o problema de roteamento através de um grafo G = (V, E), no qual cada arco (i, j) do grafo mapeia um conexão física na rede. Cada produto k deve trafegar de sua origem até o destino através de apenas um caminho, o qual está contido em um conjunto pré-estabelecido de P k menores caminhos. Inicialmente, supõe-se que apenas um tipo de comprimento de onda será alocado ao caminho como um todo, ou seja, nesse caso não há troca de λ ao longo do caminho escolhido não podendo haver compartilhamento de comprimentos de onda nos arcos. Se n produtos passarem pelo arco (i, j) serão necessários a utilização de n comprimentos de onda diferentes no arco em questão. Nos modelos tratados nas próximas seções essa restrição será relaxada, consequentemente são modelos mais complexos em termos de número de variáveis e restrições, além do fato de que suas variáveis carregam mais informações sobre o processo de otimização. Por outro lado, ganha-se em flexibilidade e viabiliza o grooming que é o objetivo deste trabalho. Seja o conjunto de variáveis: x = 1 se o produto k usa o caminho p, 0 caso contrário; t s = 1 se o comprimento de onda s é utilizado no caminho p do produto k, 0 caso contrário. O problema pode ser formulado como: Minimize: c s t s (1) k K p P k s S Sujeito a: x = 1, k K (2) p P k Q s t s d k x, k K, p P k (3) s S a ij ts W ij, (i, j) E (4) k K p P k s S k K p P a ij ts 1, s S, (i, j) E (5) t s {0, 1}, k K, p P k, s S (6) x {0, 1}, k K, p P k (7) (8) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2625

5 Função Objetivo: Minimizar a utilização dos comprimentos de onda nos caminhos p de cada produto k. A equação também leva em consideração o custo de utilização de cada comprimento de onda s. Se c s = 1, s S, o objetivo torna-se apenas minimizar o número de comprimentos de onda; Restrições 2: O produto k pode utilizar apenas um dos caminhos p P k que ligam a sua origem ao seu destino; Restrições 3: A capacidade total dos comprimentos de onda utilizados no caminho p do produto k deve ser maior que a demanda d k que trafega nesse caminho p. Ou seja, a demanda do produto k não pode ultrapassar a capacidade de transmissão dos comprimentos de onda utilizados para fazer o transporte pelo caminho p. Restrições 4: O número de comprimentos de onda usados em um arco (i, j) para todos os caminhos e produtos k que fazem uso desse arco, não deve ultrapassar o número de comprimentos de onda disponíveis no arco (i, j); Restrições 5: Não pode haver compartilhamento de comprimentos de onda em nenhum dos arcos, ou o comprimento de onda disponível em um arco somente poder ser utilizado por um único produto. Essas características impedem o tratamento do grooming Modelo 2 A partir desse modelo, sem perda de generalização, todos os custos c s são unitários. Também é permitido o compartilhamento de comprimentos de onda nos arcos. Isso implica em uma melhor utilização e economia dos mesmos, já que dois ou mais produtos podem utilizar o mesmo comprimento de onda λ para trafegar por um determinado arco fazendo com que o grooming seja tratado. Nesse novo contexto, a formulação é a mesma do modelo anterior, descartando as restrições (5). Minimize: Sujeito a: t s (9) k K p P k s S x = 1, k K (10) p P k Q s t s d k x, k K, p P k (11) s S a ij ts W ij, (i, j) E (12) k K p P k s S t s t s 1, k K, p P k, s 1 S (13) t s {0, 1} k K, p P k, s S (14) x {0, 1} k K, p P k (15) Foram acrescentadas as restrições (13), impondo que a utilização dos comprimentos de onda seja feita em ordem lexicográfica, no entando não impõem qualquer limitação ao problema. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2626

6 4.3. Modelo 3 O Modelo 3 é baseado em uma modificação dos modelos 1 e 2. Os parâmetros de entrada continuam inalterados, entretanto a alocação de comprimentos de onda é feita a nível de cada arco do grafo de entrada. A variáveis responsáveis por modelar os comprimentos de onda são estendidas para cada arco, sendo possível a mudança de comprimento de onda ao longo de um caminho. Isso visa à redução do número de comprimentos de onda utilizados, já que vários produtos podem utilizar o mesmo comprimento de onda para trafegar através de um arco, não necessariamente compartilhando-o, mas utilizando-o em instantes diferentes. Seja o acréscimo de um novo conjunto de variáveis : t sij : 1 se o comprimento de onda s é utilizado no arco (i, j) do caminho p do produto k, 0 caso contrário O problema pode ser formulado como: Minimize: Sujeito a: k K p P k s S (i,j) p t sij (16) s S k K p P k s S p P k x = 1, k K (17) Q s t sij a ij d k x, k K, p P k, (i, j) p (18) a ij tsij W ij, (i, j) E (19) t sij {0, 1} k K, p P k, s S, (i, j) p (20) x {0, 1} k K, p P k (21) Restrições 18: O somatório das capacidades dos comprimentos de onda alocados nos arcos (i, j) do caminho p percorrido pelo produto k deve suportar a demanda d k que trafega pelo mesmo caminho p; Restrições 19: O número de comprimentos de onda alocados nos arcos (i, j), que foram utilizados por cada um dos produtos k, deve ser inferior à capacidade do arco em número de comprimentos de onda W ij ; 4.4. Modelo 4 O Modelo 4 é baseado no Modelo 2, apesar de não ter o conjunto de variáveis x que define que um produto pode usar apenas um caminho daqueles que estão disponíveis para ele. Portanto, foi necessário definir restrições extras afim de garantir tal característica e proporcionar viabilidade ao problema. Essas novas restrições incorporam o valor de M que tem de ser definido com ordem de grandeza maior que as variáveis do modelo, ou seja, M deve ser um número muito grande. A modelagem do problema se torna cada vez mais complexa ao passo que acrescentase atributos no processo de otimização e os concentra em uma única variável. Entretanto, mesmo se tratando de um modelo com mais restrições e variáveis em relação ao mencionados anteriormente, o Modelo 4 pode ser aplicado a redes em geral, devido exclusivamente à abordagem que é baseada em alocação de um caminho único no tráfego de produtos. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2627

7 A formulação do problema é dado da seguinte forma: Minimize: Sujeito a: t s (22) k K p P s S Mt s + t s M, s S, k K, p P k, M >> 0 (23) p p p s Q s t s d k, k K (24) p P s S a ij ts W ij, (i, j) E (25) k K p P s S t s t s 1, k K, p P k, s 1 S (26) t s {0, 1} k K, p P k, s S (27) Restrições 23: Sendo que um comprimento de onda s foi alocado em um caminho p do produto k, nenhum comprimento de onda poderá ser alocado em um outro caminho diferente de p. O M força o somatório interno ser zero quando t s = 1, ou seja, a restrição só permite que um caminho seja utilizado para trafegar o produto k na rede; Restrições 24: O somatório das capacidades dos comprimentos de onda alocados no caminho p, percorrido pelo produto k, deve suportar a demanda d k ; 4.5. Modelo 5 Este modelo é uma extensão do Modelo 3 com utilização de conceitos do Modelo 4, mas ainda trabalha com a idéia de arco. A solução encontrada é a mesma do Modelo 3, mas esse possui a característica de ser mais restritivo com a escolha do caminho, pois define para cada comprimento de onda em um arco a sua não utilização em algum arco de outro caminho. Nele são suportados compartilhamento de comprimentos de onda (λ) em um mesmo arco por demandas diferentes e troca dos mesmos ao longo do caminho para um determinado produto. Isso acaba gerando uma limitação física ao modelo, que deve ser utilizado para instâncias muito pequenas, para garantir que o processo de roteamento seja viável em tempo de execução. O problema pode ser formulado como: Minimize: k K p P s S (i,j) p t sij (28) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2628

8 Sujeito a: Mt sij + p P k p p s k K p P (r,q) p t s rq M, s S, k K, p P k, (i, j) p (29) t s=0,a 0 = K (30) s S k K p P s S Q s t sij t s=0,a 0 d k, k K, p P k, (i, j) p, a 0 p (31) a ij tsij W ij, (i, j) E (32) t sij {0, 1} k K, p P k, s S, (i, j) p (33) Restrições 29: Sendo que um comprimento de onda s foi alocado em um arco (i, j) do caminho p do produto k, nenhum comprimento de onda poderá ser alocado em um arco (r, q) de um outro caminho diferente de p. O M força o somatório interno ser zero quando t sij = 1; Restrições 30: Seja s0 o comprimento de onda inicial e a 0 o arco inicial de cada um dos P k caminhos do produto k. Logo, cada produto deve escolher um caminho para ser trafegado, então K demandas serão atendidas pelo arco inicial utilizando o primeiro comprimento de onda disponível; Restrições 31: O somatório das capacidades dos comprimentos de onda alocados no arco (i, j) do caminho p P k, percorrido pelo produto k, deve suportar a demanda d k ; 5. Testes 5.1. Entradas As entradas são constituídas por cinco grupos de dados. O primeiro contém o conjunto de produtos, onde para cada produto são dados o seu identificador (id), origem, destino e demanda. No segundo, para cada comprimento de onda tem-se o id, capacidade máxima e custo. O terceiro parâmetro representa o número de vértices da rede e o quarto é o conjunto de arcos do grafo, havendo um custo associado a cada um deles e a capacidade de comprimentos de onda que podem ser utilizados nesse arco. Segue abaixo um exemplo simples de entrada. # produtos (id origem destino demanda) { , ,0 } # comprimentos de onda (id capacidade custo_utilizacao) { 1 10,0 1,0 2 10,0 1,0 3 10,0 1,0 } # número de vértices da rede { 4 } # aresta (origem destino custo_utilizacao n_comprimentos_onda) { 1 2 1,0 100 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2629

9 1 4 1, , ,0 100 } # número de menores caminhos disponíveis para cada produto { 2 } Foram gerados 54 problemas testes identificados por R α C β T ψ N Ω P Γ, onde os índices são definidos como: α o identificador da rede; β o número de commodities ou produtos; ψ : o número de comprimentos de onda s disponíveis em todos os arcos; Ω o número de vértices da rede e Γ o número de máximo de caminhos que podem estar disponíveis para cada produto k. Os parâmetros variam da seguinte forma: R 1 α 54 C β {10,20,30} T ψ {10,15,20} N Ω {10,20,30} P Γ {2,6} Além disso, as demandas variam de 10 unidades ao máximo permitido de forma que o problema ainda seja viável Resultados As instâncias para os modelos foram executadas em uma máquina Intel Core 2 Duo 3.0GHz com 4GB de memória RAM. As instâncias são comparadas com relação ao tempo de processamento para cada um dos modelos apresentados. A Tabela 3 lista os 41 testes que obtiveram soluções ótimas para todas as formulações do problema. As instâncias com β 20, ψ > 15, Ω 20 e Γ 6, rodaram durante 48 horas sem encontrar a solução ótima para o Modelo 5. Em relação à complexidade de tempo e à memória consumida esperados para cada um dos modelos, temos a seguinte relação: Modelo5 > Modelo3 na formulação por arcos. Já na formulação por caminhos tem-se Modelo4 > Modelo2. Uma análise global dos 5 modelos pode ser relacionada como se segue: Modelo2 < Modelo3 < Modelo4 < Modelo5 Analisando a Tabela 3 e os gráficos da Figura 2, percebe-se que a partir da configuração de identificador 25 os modelos 2, 3 e 4 fornecem uma solução ótima em um tempo relativamente curto, o que viabiliza adotar estes modelos. Por outro lado, os modelos 1 e 5 nem sempre são resolvidos em um tempo computacionalmente razoável, menor que 4 horas. O fato do Modelo 1 não tratar o grooming a nível de comprimento de onda λ, acaba por limitar a qualidade da solução, já que os recursos de transporte tornam-se escassos em um arco e outros caminhos devem ser procurados a fim de não sobrecarregar alguns enlaces específicos da rede. Por outro lado, cada comprimento de onda pode ser altamente sub-utilizado, e estando o Grooming presente apenas no compartilhamento do meio físico. O Modelo 2 ao relaxar as restrições (5) há um ganho significativo em número de comprimentos de onda utilizados e a capacidade de cada um deles é melhor utilizada. Comparando o Modelo 4 com o 2, esse tem um aumento do número de variáveis e restrições, o que implica em aumento do tempo computacional para solucionar o problema. O Modelo 5 agrega conceitos dos modelos 3 e 4. Pelo fato de a formulação do problema ser feita por arcos, o problema possui uma maior flexibilidade na escolha dos comprimentos de onda a serem utilizados. Igualmente ao modelo 3, o Grooming é tratado e trocas de λ são permitidas. Em relação ao procedimento de Grooming, seja a Tabela 1 o conjunto de produtos a serem trafegados nas redes da Figura 1: XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2630

10 Tabela 1: Produtos a serem trafegados Origem Destino Demanda , , , ,11 E sejam as redes a serem analisadas: (a) Grooming 1, arco (3, 8) sobrecarregado (b) Grooming 2, duas novas rotas alternativas ao arco a (c) Grooming 3, rede em malha, várias rotas alternativas Figura 1. Tratamento de Grooming Na definição de poucas rotas para os produtos, alguns arcos serão sobrecarregados. No caso do Modelo 1, um grande número de λ serão utilizados para atender às respectivas demandas, como mostra a Tabela 2. Como o Modelo 2 permite o compartilhamento de λ (Grooming), há uma melhor utilização dos mesmos. Quando define-se uma rede com várias rotas alternativas, a formulação 1 possui um resultado melhor em comparação às outras redes, pois os produtos são distribuídos pelos arcos sub-utilizados. Conseqüentemente, há uso de um menor número de λ diferentes. Entretanto, as outras formulações ainda apresentam, na maioria dos casos, uma melhor utilização dos recursos. Teste Tabela 2: Resultado dos Testes para as redes da Figura 1: Tempo (s) N o λ diferentes usados em todos os arcos M1 M2 M4 M3 M5 M1 M2 M4 M3 M5 R 55 C 4 T 10 N 8 P 5 0,53 0,08 0,11 0,11 3, R 56 C 4 T 10 N 10 P 5 0,20 0,06 0,09 0,10 9, R 57 C 4 T 10 N 10 P 5 0,09 0,09 0,12 0,08 3, Analisando a Tabela 2 e 3, percebe-se que como não há restrição para qual λ o produto XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2631

11 deve escolher, nem sempre a quantidade de recursos usados para atender ao tráfego da rede é menor. Nos casos de redes maiores percebe-se um ganho na economia de λ utilizados. A partir da Figura 2, que contrasta modelagens equivalentes, a grande diferença no tempo computacional para cada caso fica clara, que é devido ao número crescente de variáveis e de restrições envolvidas em cada formulação do problema. Teste Tabela 3: Resultado dos Testes: Tempo (s) N o λ diferentes usados em todos os arcos M1 M2 M4 M3 M5 M1 M2 M4 M3 M5 R 1 C 10 T 10 N 10 P 2 0,37 0,10 0,13 0,22 0, R 2 C 20 T 10 N 10 P 2 0,38 0,28 0,25 0,29 0, R 3 C 30 T 10 N 10 P 2 1,00 0,26 0,30 0,58 1, R 4 C 10 T 15 N 10 P 2 0,26 0,12 0,19 0,18 0, R 5 C 20 T 15 N 10 P 2 5,32 0,20 0,27 0,53 2, R 6 C 30 T 15 N 10 P 2 4,54 0,40 0,36 0,75 3, R 7 C 10 T 20 N 10 P 2 0,92 0,17 0,28 0,21 0, R 8 C 20 T 20 N 10 P 2 3,08 0,22 0,35 0,63 3, R 9 C 30 T 20 N 10 P 2 129,99 0,48 0,68 0,93 5, R 10 C 10 T 10 N 20 P 2 0,32 0,22 0,23 0,24 0, R 11 C 20 T 10 N 20 P 2 1,42 0,35 0,40 0,56 1, R 12 C 30 T 10 N 20 P 2 4,17 0,55 0,62 0,84 2, R 13 C 10 T 15 N 20 P 2 0,37 0,21 0,24 0,32 0, R 14 C 20 T 15 N 20 P 2 125,11 0,23 0,37 0,59 2, R 15 C 30 T 15 N 20 P 2 67,76 0,41 0,47 1,01 4, R 16 C 10 T 20 N 20 P 2 0,26 0,21 0,33 0,25 0, R 17 C 20 T 20 N 20 P 2 4,04 0,26 0,35 0,69 3, R 18 C 30 T 20 N 20 P 2 38,45 0,60 0,84 1,10 9, R 19 C 10 T 10 N 30 P 2 0,39 0,25 0,28 0,31 0, R 20 C 20 T 10 N 30 P 2 0,88 0,44 0,52 0,71 1, R 21 C 30 T 10 N 30 P 2 1,39 0,41 0,43 0,79 2, R 22 C 10 T 15 N 30 P 2 0,59 0,27 0,30 0,29 0, R 23 C 20 T 15 N 30 P 2 2,14 0,43 0,54 0,52 2, R 24 C 30 T 15 N 30 P 2 3,92 0,40 0,62 1,01 3, R 25 C 10 T 20 N 30 P 2 0,45 0,27 0,40 0,23 0, R 26 C 20 T 20 N 30 P 2 9,69 0,33 0,45 0,87 3, R 27 C 30 T 20 N 30 P 2 4,34 0,71 0,92 1,23 8, R 28 C 10 T 10 N 10 P 6 0,33 0,22 0,31 0,35 11, R 29 C 20 T 10 N 10 P 6 3,70 0,38 0,46 0,80 216, R 30 C 30 T 10 N 10 P 6 11,28 0,50 0,87 1,11 249, R 31 C 10 T 15 N 10 P 6 0,21 0,24 0,39 0,35 99, R 32 C 20 T 15 N 10 P 6 132,07 0,35 0,55 1,05 813, R 33 C 30 T 15 N 10 P 6 141,97 0,63 1,92 1, , R 34 C 10 T 20 N 10 P 6 45,27 0,24 0,49 0,63 796, R 35 C 20 T 20 N 10 P 6 39,59 0,55 3,74 1, , R 36 C 30 T 20 N 10 P 6 159,31 0,96 3,54 2, , R 37 C 10 T 10 N 20 P 6 0,78 0,34 0,56 0,56 172, R 38 C 20 T 10 N 20 P 6 195,37 0,56 0,85 1, , R 39 C 30 T 10 N 20 P 6 215,75 0,92 2,22 2, , R 40 C 10 T 15 N 20 P 6 63,45 0,37 1,88 0,71 963, R 41 C 20 T 15 N 20 P 6 198,06 0,62 3,84 2, , Via de regra, os modelos 2, 3 e 4 são aplicáveis a redes pequenas, médias ou grandes, pois sua modelagem é bem mais simples, mais intuitiva e encontra soluções ótimas em intervalos de tempos menores. As formulações estão apresentadas neste artigo em âmbito comparativo. Os Modelos 2 e 3 fornecem claramente o melhor custo benefício entre todas as formulações, tanto em relação ao tempo para encontrar a solução ótima quanto ao consumo de memória. Sendo que o Modelo 2 fornece a abordagem por alocação de comprimento de onda único ao longo do caminho e o Modelo 3 a de alocação por arcos. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2632

12 Figura 2. Resultados dos testes em relação ao tempo médio de execução 6. Conclusões Cada modelo tratado neste trabalho fornece um nível de complexidade que visa atender às necessidades de problemas específicos, levando em consideração quais recursos estão disponíveis para o processo e qual nível de detalhamento se deseja obter. Os modelos 4 e 5 são reformulações do modelos 1, 2 e 3. A condição de utilização de apenas um caminho é satisfeita com as restrições que envolvem o conceito do M. Reformulações promovem reduções de custos a nível físico, entretanto, aumentam a complexidade computacional para solução do problema. Portanto, devem ser explorados para problemas de pequeno ou médio porte. Os modelos 5 e 3 incluem a possibilidade de um determinado produto trocar o comprimento de onda utilizado em cada arco do caminho escolhido, o que representa maior flexibilidade e mais informações para o problema. Entretanto, há um aumento expressivo na complexidade de tempo e memória. Já os modelos 1, 2 e 4 trabalham com os comprimentos de onda a nível de caminho, no qual o número de restrições e variáveis envolvidas no problema é bem menor. A partir da análise de cada modelo e da interpretação de quais informações cada um fornece para um determinado problema, temos um conjunto de modelos para redes de fibra óptica que atendem a diversos tipos de clientes e suas necessidades. Sendo que para um nível menor de detalhamento temos a abordagem do Modelo 2, e para um maior nível de detalhamento, ou seja, a alocação de comprimento de onda λ a nível de arco, temos o Modelo 3, ambos eficientes em tempo de computação e memória consumida. Referências Fumega, U. (2002). Roteamento de demandas em projeto de redes determinísticas de telecomunicações. Dissertação, Universidade Federal de Minas Gerais. O Carvalho, H. (2007). Alocação de tráfego em redes ópticas em anel com proteção. Dissertação, Universidade Federal de Minas Gerais. Shier, D. R. (1976). Algorithms for finding the k shortest paths in a network. ORSA/TIMS Joint National Mtg., page 115. Wang, J., Cho, W., Vemuri, R., and Mukherjee, B. (2001). Improved approaches for costeffective traffic grooming in wdm ring networks: Ilp formulations and single-hop and multihop connections. Journal of Lightwave Technology, 19(11): XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2633