Avaliação de Modelos Hiperelásticos na Simulação Numérica de um Suporte de Motor Automotivo

Transcrição

1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Avaliação de Modelos Hiperelásticos na Simulação Numérica de um Suporte de Motor Automotivo A.L. Vieira 1 ; V. Leal 2 ; M. E. Silveira 3 ; 1 ABCZ Projetos Industriais Contagem, MG CEP: alysson.vieira@abczdesign.com.br 2 Fiat Auto S/A Betim, MG CEP: vinicius.leal@fiat.com.br 3 Universidade Federal de São João del Rei -UFSJ Ouro Branco, MG CEP: msilveira@ufsj.edu.br Resumo. Dadas as características únicas dos elastômeros, o seu uso como material de engenharia cresceu abruptamente nas últimas décadas dentro do setor automotivo. Os materiais hiperelásticos, tais como as borrachas, possuem uma relação não-linear entre tensão e deformação independente do nível de solicitação, caracterizando em uma nãolinearidade quanto à relação constitutiva do material. Nestes casos, a Lei de Hooke não é aplicável, sendo impossível relacionar tensão com deformação utilizando apenas duas constantes do material, como nos materiais metálicos. Por ser um material de comportamento inerentemente não-linear, o entendimento das relações constitutivas desses materiais se torna fundamental para a correta utilização de programas de simulação numérica. Na indústria automobilística, o método de elementos finitos é amplamente empregado em diversos casos para análises de componentes do veículo, com o intuito de prever o seu comportamento ainda na fase virtual de desenvolvimento de produto. Atualmente, há vários modelos constitutivos hiperelásticos disponíveis na literatura para aplicação em simulação numérica de elastômeros. Até a última década, dadas as limitações de hardware, software e modelos constitutivos confiáveis para a simulação de polímeros, as simulações de componentes automotivos tais como coxins, suportes e buchas eram geralmente feitas utilizando modelos 1D simplificados. Este trabalho teve como finalidade descrever um estudo inicial dos principais modelos constitutivos para materiais hiperelásticos utilizados na indústria, bem como correlacionar um exemplo prático, baseado no suporte de um motopropulsor veicular. Este suporte, modelado em elementos sólidos 3D, apresentou resultados bastante similares ao obtidos experimentalmente, mostrando a boa representatividade do modelo numérico. Palavras chaves: Hiperelasticidade, Elementos Finitos, Bielletta.

2 1 INTRODUÇÃO Nos últimos anos, a utilização de polímeros dentro da engenharia em geral está cada vez mais evidente dada as suas propriedades de elevada elasticidade, amortecimento, baixo peso, custo acessível, além de ser facilmente moldado em qualquer formal. Entre suas principais aplicações, podem ser citados os seguintes casos: suportes para máquinas e construções, juntas estruturais e de dilatação flexíveis, vedações para portas, pneus, coxins, buchas, painéis automotivos, elementos estruturais, arruelas de vedação, anéis elastoméricos, polímeros reforçados com fibra, etc., (Pascon e Coda, 2009). Materiais a base de elastômeros, tal como a borracha, possuem uma relação não-linear entre tensão e deformação independente do nível de solicitação, caracterizando em uma não-linearidade material. Estes materiais são denominados hiperelásticos e manifestam grandes deformações dentro do regime elástico, bem maiores que as encontradas nos materiais metálicos. Nestes casos, a Lei de Hooke não é aplicável, pois não é possível relacionar tensão com deformação através de uma equação linear. Assim como nos casos de plasticidade e viscoplasticidade, a forma mais comum de relacionar uma medida apropriada de tensão e uma medida de deformação é através de uma função de energia de deformação (Lubliner, 1990). Por ser um material de comportamento inerentemente não-linear, o entendimento das relações constitutivas desses materiais é fundamental para a correta utilização de programas de simulação numérica. Existe um número razoável de modelos hiperelásticos disponíveis na literatura que evidenciam mais de 60 anos de pesquisa no assunto. Mooney (1940) foi o primeiro a propor um modelo fenomenológico com dependência linear do primeiro e segundo invariante de deformação. O primeiro modelo micromecânico foi proposto em Treloar (1943), conhecido como modelo Neo-Hookeano, que consiste na primeira parcela do modelo de Mooney, função apenas de I 1. A partir de novas correlações, Rivlin e Sauders (1951) propuseram um novo modelo constitutivo em termos dos invariantes I 1 e I 2, atualmente conhecido como modelo de Mooney-Rivlin. Visto como um dos modelos de maior potencial da caracterização de materiais hiperelásticos, Ogden (1972) introduziu um novo conceito, propondo uma expressão para a energia de deformação baseada diretamente nos alongamentos principais (λ i ). Em alguns estudos recentes, Arruda e Boyce (1993) mostraram que a energia de deformação pode ser escrita como uma função apenas do primeiro invariante de deformação, porém calibradas com parâmetros micromecânicos. Bechir et al. (2005) propuseram uma relação constitutiva com base polinomial, consistindo na superposição do modelo Neo-Hookeano a uma função não linear de um novo conjunto de invariantes. De forma geral, podem-se agrupar as teorias constitutivas para materiais hiperelásticos em duas categorias (Hoss, 2009): Modelos Fenomenológicos: são baseados na observação do comportamento do material durante os ensaios experimentais. Os modelos desta categoria ponderam a função das diversas variáveis de acordo com a sua importância durante a deformação. Variáveis como deformações hidrostáticas, desviatória, incompressibilidade e curvas calibradas a partir de experimentos têm sua importância majorada ou reduzida de acordo com cada modelo. Em virtude disto é que os modelos apresentam uma faixa de aplicação bem definida. Vale salientar que modelos fenomenológicos assumem que a borracha é um material isotrópico na sua forma fundamental, ou seja, uma longa cadeia de moléculas de elastômeros randomicamente orientadas. Entre os principais modelos fenomenológicos pode-se citar: Mooney-Rivlin, Ogden, Fung, Yeoh, Polinomiais, Hyperfoam, etc. Modelos Micromecânicos: são modelos estatísticos desenvolvidos a partir de informações sobre as ligações químicas do material. Comprimento de cadeias moleculares, tipos de ligações químicas e variáveis termodinâmicas são dados

3 tipicamente empregados na construção destes modelos. Entre os principais modelos micromecânicos, pode-se citar: Neo-Hookean, Arruda-Boyce, Gent, etc. FORMULAÇÕES: Ao contrário dos modelos elasto-plástico e visco-plásticos, os modelos hiperelásticos são não-dissipativos e portando, não requerem a consideração de variáveis internas na formulação constitutiva. Um modelo hiperelástico genérico é caracterizado pela existência de uma função de energia livre específica Ψ na forma: ψ = ψ ( F ) (1) onde o tensor F é o gradiente de deformação (Malvern, 1969). Da equação acima, o primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff P é obtido como: ( ) P F = ρ ψ ( F) ( F) onde ρ é a densidade de referência. A partir da relação de tensão de Cauchy σ como sendo da forma: ( ) σ F ρ ψ = J ( F) ( F) F T (2) T σ = P J F, pode-se chegar ao tensor (4) sendo que J é o determinante de F. Considerando que o material analisado seja isotrópico, a energia livre pode ser postulada em função dos invariantes de deformação I i (B) (Lemaitre e Chaboche, 1990), onde B é o tensor de deformação de Cauchy Green à esquerda (Left Cauchy Green Strain T tensor) dado por: B = FF. Assim: ( ) ( ) ( I, I, I ) ψ = ψ F = ψ B = ψ (5) onde ( ) ( ) { } ( ) I1 = tr B I2 = 2 I1 tr B I3 = det B (6) Assim, o tensor de Cauchy em função de B passa a ser dado na forma: ( ) σ B ρ ψ = J ( B) ( B) B (7) Para muitos tipos de polímeros, a variação volumétrica observada em ensaios experimentais é muito pequena, mesmo para elevado estado de deformação. Devido a isso, muitos modelos hiperelásticos assumem ser incompressíveis (sem variação de volume). Nestes casos, o terceiro invariante de deformação I 3 é constante ( I 3 = det ( B ) = 1), o que torna a função de energia livre dependente apenas e I 1 e I 2. A seguir será descrito brevemente os modelos de energia livre específica Ψ para alguns dos principais modelos hiperelásticos. Através da Eq. (7) e da calibração adequada dos

4 principais ensaios de deformação (axial, biaxial e planar), é possível chegar às equações constitutivas dos respectivos modelos hiperelásticos. - Modelo de Mooney-Rivlin: Devido à sua simplicidade matemática bem como sua correlação precisa para um intervalo relativamente grande de deformações, o modelo de Mooney-Rivlin é um dos mais conhecidos e utilizados modelos hiperelásticos, principalmente na simulação numérica de borrachas e derivados. A função de energia livre para este modelo (considerando a incompressibilidade) é dada como: ( I, I ) C ( I 3) C ( I 3) ψ = + (8) onde C 1 e C 2 são constantes materiais a serem determinadas durante o processo de calibração. Este modelo se equivale ao modelo Polinomial de ordem um como será visto mais adiante. - Modelo Neo-Hookean: Este modelo é obtido como um caso particular do Mooney-Rivlin, atribuindo C 2 = 0. Sua função de energia livre fica então baseada apenas no primeiro invariante de deformação: ( I, I ) C ( I 3) ψ = (9) Modelo de Ogden: Para deformações muito elevadas, os modelos de Neo-Hookean e Mooney-Rivlin não apresentam boa correlação (Souza Neto, 2002). Para contornar este problema, uma nova forma de energia livre baseada nos alongamentos principais ( λ 1, λ 2, λ 3 ) foi proposta por Ogden (1972): N µ p α p α p α p ( 1, 2, 3 ) = ( ) ψ λ λ λ λ λ λ (10) α p= 1 p onde N é o número total de termos da série e µ p e α p são constantes materiais. - Modelo de Arruda-Boyce: Proposto em 1993, o modelo de Arruda-Boyce também é conhecido como eight-chain model e emprega a seguinte função de energia livre: N C p p p ψ ( I1 ) = µ 2 2 ( I1 3 p ) (11) λ p= 1 L onde µ é obtido por meio da equação química: µ = ηκ T e B κ B é a constante de Boltzmann, η é uma função da densidade de cadeias elastoméricas e T a temperatura. Fisicamente λ L representa o alongamento máximo que uma molécula atinge (limiting network strech) e é obtido através de uma análise micromecânica.

5 - Modelo Polinomial: Este modelo fenomenológico é um dos mais recentes modelos baseados em potências de I 1 e I 2. O modelo Polinomial tenta ajustar a curva tensão x deformação a um polinômio de grau desejado. Sua energia livre é dada da forma: ψ N 1 2 pq 1 2 j (12) p+ q= 1 i ( I, I ) = C ( I 3) ( I 3) Sua grande vantagem é poder ajustar a curva de calibração com o grau do polinômio que for mais conveniente para a correlação. Embora muitos modelos possam ser obtidos a partir deste por particularização, o modelo polinomial surgiu de um processo inverso, após verificar-se que muitos modelos propostos na literatura eram baseados em polinômios incompletos. Do ponto de vista computacional, ele é um modelo bem conveniente, pois é possível através de uma única rotina obter vários outros modelos por particularização. SUPORTE DO MOTOR A maioria dos automóveis de passeio fabricados hoje no Brasil possui o motor localizado na dianteira e posicionado transversalmente ao veículo. Durante uma aceleração, o forte torque imposto pelo motor tende a girá-lo em torno do seu próprio eixo, exercendo uma carga excessiva nos coxins de apoio e demais componente conectado ao motor. A fim de evitar este "giro" do motor, foi projetado o Restritor de Torque, um suporte para fixar a base inferior do motor ao sub-chassi dianteiro, conforme mostra o desenho esquemático da Figura 1. Outra função do Restritor de Torque é direcionar o motor para abaixo do ocupante, em caso de impacto frontal do veículo. Na Figura 2 tem a foto de um Restritor de Torque conectando o motor ao sub-chassi de um automóvel. Sentido de torque do motor Motor transversal Sub-chassi Restritor de Torque Figura 1 - Desenho esquemático do posicionamento de um Restritor de Torque.

6 Sub-chassi Restritor de Torque Figura 2 - Foto do sub-chassi de um Fiat Gran Punto evidenciando bielletta. Nas extremidades do Restritor de Torque, há dois coxins de borracha, cuja função é amortecer as vibrações oriundas do motor, bem como permitir pequenos deslocamentos do suporte. Até recentemente, dadas as limitações de hardware/software, as simulações de componentes automotivos tais como coxins e buchas eram geralmente feitas utilizando modelos 1D simplificados, tal como mostra a Figura 3. Figura 3 - Exemplo de um Restritor de Torque com o coxim modelado com elementos 1D. Com o avanço da informática e dos softwares de simulação numérica incluindo modelos adequados para grandes deslocamentos e grandes deformações, a utilização de elementos 3D com modelos constitutivos hiperelásticos tornou-se providencial na análise numérica de buchas e coxins automotivos. Desta forma, o objetivo principal deste trabalho foi correlacionar os resultados da simulação numérica via elementos finitos do coxim de um suporte de motor (Restritor de Torque) utilizando elementos sólidos e modelo hiperelástico calibrado a partir de curvas de ensaios físicos. 2 MATERIAIS E MÉTODOS O ensaio experimental para aquisição da curva força x deslocamento do coxim foi realizado através da imposição de um deslocamento (feito por um atuador hidráulico) a uma das extremidades do Restritor de Torque, mantendo a outra extremidade fixa, Figura

7 4. Durante o deslocamento (a baixa velocidade, em regime quase-estático), a força e o deslocamento foram coletados pelo sistema de aquisição de dados do equipamento. Restritor de Torque Atuador hidráulico Coxim Figura 4 - Atuador fixado no centro do coxim da bielleta. O conjunto suporte/coxim foi modelado em elementos sólidos como mostra a Figura 5. Nesta etapa inicial do trabalho, foram escolhidos os modelos "Polinomial" (de 2ª e 4ª ordem) e "Ogden" para calibrar a equação constitutiva do material. A análise numérica quase-estática foi feita no software ABAQUS Standard, com integração implícita e formulação adequada para grandes deformações (não linearidade geométrica) e contato (não linearidade de contorno). Foi imposto no centro do coxim (através de elementos rígidos tipo RBE2) o mesmo deslocamento obtido do ensaio experimental, e as forças de reação foi solicitada como dados de saída (output) do software. Figura 5 - Modelo do Restritor de Torque e coxim discretizados em elementos finitos. As curvas de calibração (axial e planar) do material foram inseridas diretamente no ABAQUS, onde, através de uma regressão pelo método dos mínimos quadrados, chega-se nas constantes constitutivas do modelo (ABAQUS, 2008). 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES O gráfico da Figura 6 mostra os resultados da força x deslocamento do ensaio experimental e das simulações numéricas do coxim modelado com os modelos hiperelásticos: Polinomial de 2ª Ordem, Polinomial de 4ª Ordem e de Ogden. O deslocamento do atuador hidráulico variou de zero até 12,7 mm. A força obtida ao longo do deslocamento do atuador no teste físico ficou muito próxima dos resultados obtidos pela

8 simulação numérica com os modelos de Ogden e Polinomial de 4ª ordem. Já o modelo Polinomial de 2ª ordem apresentou uma pequena diferença em relação aos resultados experimentais. O modelo de Ogden apresenta um custo computacional maior, mas seus resultados geralmente são mais confiáveis quando se trata de deformações excessivas (acima de 300%). O modelo Polinomial é bastante versátil, uma vez que é possível ajustar o grau do polinômio para obter bons resultados para um determinado ensaio, porém, não é certo que serão obtidos resultados confiáveis para carregamentos diferentes. Para cada tipo de carregamento é necessário fazer uma calibração da curva. Figura 6 - Gráfico da Força x Deslocamento. As Figuras 7a e 7b mostram o resultado experimental e numérico (Ogden) respectivamente da configuração deformada do coxim para o deslocamento máximo (13 mm) atingido durante o ensaio. Pode-se observar que os resultados estão bem próximos. Se a malha do coxim estivesse mais refinada poderia correlacionar melhor o modo de deformação, porém, em se tratando de elementos sólidos, isto aumentaria consideravelmente o custo computacional para aplicação em componentes de grande porte, onde o número de elementos já é elevado.

9 (a) (b) Figura 7 - Configuração deformada do coxim: (a) ensaio experimental; (b) simulação numérica. 4 CONCLUSÕES Este trabalho teve como objetivos descrever um estudo inicial dos principais modelos constitutivos para materiais hiperelásticos, bem como correlacionar um exemplo prático, baseado no Restritor de Torque de um veículo automotivo. O coxim deste suporte, feito em elastômero, foi modelado em elementos sólidos 3D e com os seguintes modelos constitutivos hiperelásticos: Polinomial de 2ª Ordem, Polinomial de 4ª Ordem e Ogden. Os resultados iniciais obtidos por estes modelos foram bastante promissores, apresentando boa correlação entre os resultados numérico e experimental. Dando continuidade a este trabalho, outros modelos constitutivos estão em fase de análise e implementação (Mooney-Rivlin, Neo-Hokean, Arruda-Boyce, etc.), de forma a obter uma melhor avaliação dos principais modelos existentes na literatura. Os resultados aqui obtidos fazem parte de um escopo maior, onde o objetivo final será caracterizar completamente um polímero, de forma a ter parâmetros suficientes para simular via elementos finitos fenômenos tais como histerese (efeito Mullins) e viscoelasticidade, uma vez que o motor em contato com o Restritor de Torque sofre vibrações elevadas oriundas do motor. Para futuros trabalhos será implementada uma análise de erro dos resultados a fim de melhor avaliar quantitativamente os modelos utilizados. 5 BIBLIOGRAFIA ABAQUS - Theory Manual Version Dassault Systèmes Simulia Corp. Arruda, E. M., Boyce, M. C., A three-dimensional constitutive model for the large strech behavior of rubber elastic materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 41, pp Bechir, H., Chevalier, L., Chaouche, M., Boufala, K., Hyperelastic constitutive model for rubber-like materials based on the first Seth strain measures invariant. European Journal of Mechanics A/solids, vol. 25, pp Hoss, L., Modelos Constitutivos Hiperelásticos para Elastômeros Incompressíveis: Ajuste, Comparação de Desempenho e Proposta de um Novo Modelo, Dissertação de Mestrado, Porto Algre, UFRGS. Lemaitre, J., Chaboche, J.-L., Mechanics of Solid Material, Cambridge University Press. Lubliner, J., Plasticity Theory. Macmillan Publishing Company. Malvern, L. E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice- Hall.

10 Mooney, M., A theory of large elastic deformation. Journal of Applied Physics, vol. 11, pp Ogden, R., Non-Linear Elastic Deformations. Dover Publications. Pascon, J. P., Coda, H. b., Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional. Cadernos de Engenharia de Estruturas, vol. 11, n. 50, pp Rivlin, R. S., Saunders, D. W.P., Trans. R. Soc. A243, pp Souza Neto, E. A., Peric, D., Owen, D. R.J Computational Plasticity: Small and Large Strain Finite Element Analysis of Elastic and Inelastic Solids, Curso de Mecânica Computacional Não Linear - USP, São Paulo. Treloar, L., The Physics of Rubber Elasticity. Oxford: Clarendon Press. 6 DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído neste trabalho.