P6231.WP Parte 7. Lista de Símbolos. 1. Introdução. 2. Descrição do equipamento. 3. Parte teórica. 4. Procedimento Experimental

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1 Lista de Símbolos 1. Introdução. Descrição do equipamento 3. Parte teórica 4. Procedimento Experimental 1

2 NOMENCLATURA OU SIMBOLOGIA A Área da secção transversal m D Diâmetro m De Diâmetro equivalente m g Aceleração da gravidade m.s - h Altura de passagem m H Carga total m Hf Perda por atrito m L Comprimento do Tubo m m Caudal mássico kg.s-1 P Pressão bar Q Caudal volúmico m 3.s -1 R Recuperação da pressão S Distância m T Tempo s V Velocidade m.s -1 w Largura de passagem m Z Cota piezométrica m ρ Massa volúmica kg.m -3 µ Viscosidade absoluta N.s.m -

3 1. Introdução O escoamento de um fluido tem de estar de acordo com um número de princípios científicos, nomeadamente a conservação de massa e a conservação de energia. O primeiro princípio, quando aplicado a um escoamento de fluido através de uma conduta exige que para ser uniforme a velocidade seja inversamente proporcional à área de escoamento. O segundo exige que se a velocidade aumentar, então, a pressão tem de diminuir. O aparelho de Bernoulli (P631) demonstra ambos os princípios atrás indicados e também pode ser usado para examinar o começo da turbulência num caudal de fluido em aceleração. Tanto a equação de Bernoulli como a equação de continuidade são ferramentas analíticas essenciais para a análise da maioria dos problemas referentes à mecânica dos fluidos. 3

4 . Descrição O aparelho de Bernoulli consiste essencialmente num tubo de secção rectangular convergente/divergente, bidimensional, concebido para se encaixar entre o Tanque de Admissão de altura Constante Cussons P6103 e o Tanque de descarga com altura Variável P6104. Ao tubo convergente/divergente encontra-se ligado um conjunto de manómetros de pressão estática (através de onze tubos) (cf. figura 1). Existe um sistema de injecção de tinta que permite que um único filamento de tinta seja introduzido na abertura da secção convergente, a fim de possibilitar a visualização de regimes de escoamento laminar e turbulento. A altura de estagnação sobre a secção de teste pode variar de zero até um máximo de 450 mm. A secção de teste, que é fabricada a partir de uma folha de acrílico, está ilustrada na figura 1. Figura 1: Equipamento de Bernoulli O tubo convergente / divergente é simétrico a partir da linha central, com uma superfície superior horizontal plana, na qual se encaixam, por perfuração, as onze tomadas de pressão estática. A superfície inferior fica num ângulo de 4º9. A largura do canal é de 6,35 mm. A altura do canal à entrada e à saída é de 19,55 mm e a altura na garganta é de 6,35 mm. As tomadas estáticas estão colocadas a uma distância de 4

5 5 mm, distribuídas pelo centro e, portanto, pela garganta. A área de escoamento em cada tomada é tabelada conforme as dimensões indicadas na figura. Figura : Dimensões do aparelho de Bernoulli. Tubo de medida Área de escoamento ,56 90,11 77,66 65, 5,77 40,3 5,77 65, 77,66 90,11 10,56 5

6 3. Parte teórica 3.1 Teorema de Bernoulli (Daniel Bernoulli ) Considere um fluxo de tubo constante de um fluido de viscosidade nula como é ilustrado na figura 3. Figura 3: Fluxo de tubo O comprimento do elemento δs é suficientemente pequeno, podendo-se negligenciar qualquer curvatura do tubo de fluxo. A pressão e a velocidade variarão ao longo do tubo de fluxo, mas uma vez que se parte do princípio de que o escoamento é constante, estas propriedades não variarão com o tempo em qualquer ponto fixo. Na extremidade de fluxo ascendente, assuma-se que a área com corte transversal é A, a pressão estática P e a velocidade V. Na extremidade de fluxo descendente, estas propriedades ter-se-ão alterado para δa, δp e Vδ, respectivamente. A altura da secção de fluxo descendente será δz mais alta do que a secção de fluxo ascendente. Considere agora as forças que actuam sobre o elemento fluido na direcção de escoamento. Pressão na parte de superior do fluxo Pressão nos lados Pressão na parte de inferior do fluxo Força gravítica = PA = (P + δp) δa = (P + δp) (A + δa) = ρ g A δz 6

7 Não haverá forças de atrito assumindo que a viscosidade do fluido é nulo. O resultado destas forças é: PA + ( P + δp) δa ( P + δp)( A + δa) ρgaδz Expandindo e negligenciando ordens secundárias de pequenas quantidades, a força resultante reduz-se para AδP ρgaδz Aplicando a segunda lei de Newton ao longo da corrente de fluxo Dividindo ambos por ρ A δs Força = Massa Acelaração δv Aδ P ρgaδz = ρaδs δt δp δz δv 1 g = ρ δs δs δt δv δv δs δv Agora pode ser substituída por = V δt δs δt δs Daqui resulta δp δz δv 1 g = V ρ δs δs δt Visto que P, Z e V são ambas funções de S, logo as derivadas podem ser substituídas pelas derivadas totais e rearranjando a equação esta pode ser escrita como: 1 dp + V ρ ds dv ds + dz g ds = 0 Esta é conhecida como a equação de Euler, e pode ser integrada em ordem a S, desde que a variação da densidade ρ entre a distância S ao longo do fluxo de tubo seja conhecida. Quando o comportamento do líquido que é essencialmente incompressível é obvia e razoável a suposição de que a densidade seja assumida como constante. 7

8 Portanto integrando a equação de Euler para uma densidade constante vem: P V + + gz ρ Ou dividindo ambos os membros por g = Constante P ρg V + + Z = Constante g Este resultado é conhecido como a equação de Bernoulli. Esta é aplicada a um fluxo constante e incompressível e de viscosidade nula. A equação de Bernoulli mostra a soma de três quantidades P ρg = Altura piezométrica V g = Altura cinética Z = cota piezométrica São constantes. Portanto os três termos podem ser permutáveis; por exemplo se num sistema horizontal a altura cinética aumenta logo a altura piezometrica diminui. 3. Perda de carga pelo atrito Se o fluido tem viscosidade nula então haverá uma pequena perda por atrito no interior do fluido e entre o fluido e a parede do tubo. A equação de Bernoulli pode ser modificada com a inclusão da perda de carga pelo atrito H f. P1 ρg V1 P V + Z1 = + + Z g ρg g + + Hf Onde a equação de Bernoulli pode ser escrita na forma de integrais e pode ser aplicada entre a parte superior do fluxo, secção 1e a parte inferior do fluxo, secção. 8

9 3.3 A equação da continuidade A equação da continuidade é uma alegação à conservação de massa. Considerar o fluxo de tubo constante que atravessa uma secção de área como se mostra na figura 3. Para um fluxo constante a massa de fluido que entra no fluxo de tubo na secção 1 tem de ser igual a massa de fluido que sai no tubo na secção. A taxa da massa do fluxo de tubo em qualquer secção ao longo do tubo tem de ser constante logo:. M = Constante. M = ρav = Constante Para um fluido incompressível e de densidade constante a equação da continuidade pode ser escrita como: AV = Constante Para um fluxo de fluido incompressível numa conduta convergente ela segue para onde a área é mais reduzida e consequentemente a velocidade aumenta, enquanto que numa conduta divergente a área aumenta e a velocidade diminui. Aplicando a equação de Bernoulli se a velocidade aumenta então a pressão deve diminuir enquanto que se a velocidade diminuir a pressão deve aumentar. Este processo é ilustrado na figura 4. A diminui A aumenta V aumenta V diminui P diminui P aumenta Este é o bocal Figura 4: Bocal e difusor Este é o difusor 9

10 3.4 Aplicação do equipamento de Bernoulli da Cussons P631 No equipamento de Bernoulli da Cussons P631, a passagem é feita em duas dimensões com uma largura constante, mas com variação linear da altura. Contudo, o fluxo da área da passagem varia linearmente. Da equação da continuidade M. = ρ AV = ρhwv Onde h = altura da passagem w = largura da passagem Para este canal w é constante no tamanho desde que o canal é formado entre duas chapas paralelas, daqui o produto hv = constante. A altura cinética V g será proporcional a h e consequentemente a S. O gráfico da altura de estagnação versus S será uma parábola invertida. Legenda 10

11 Como consequência da perda na conduta por atrito pode ser investigado pela comparação da altura de estagnação das posições com igual área para convergir e divergir em diversas partes da conduta. Aplicando a equação de Bernoulli P1 ρg V1 P V + Z1 = + + Z g ρg g + + Hf Visto que a passagem é horizontal Z 1 = Z. As duas posições de igual área e velocidades, desta maneira a equação fica reduzida a: Hf P = ρg 1 P ρg A maior parte da pressão perdida que converge na conduta é convertida na parte divergente da conduta. A classe de pressão convertida é dada por: R = H H saida entrada H H secção secção Experimentalmente é mostrado claramente enquanto que é possível mudar a pressão para altura cinética sem no entanto perder energia significativa, mas é impossível mudar a altura cinética para a pressão sem perdas Escoamento laminar e turbulento Os regimes laminares e turbulentos do fluxo podem ser vistos pelo comportamento de uma linha fina de tinta injectada no centro da passagem convergente. Se esta condição for satisfeita, ou seja, se no início da conduta convergente a velocidade é elevada mas laminar então a velocidade aumenta e o fluxo torna-se turbulento e a sua transição pode ser observada pelo comportamento da tinta. O número de Reynolds é definido por: VDρ Re = η 11

12 Para uma conduta rectangular é incluído o diâmetro equivalente para calcular o número de Reynolds D e area de fluxo = 4 perimetro molhado O valor dos Re em que a turbulência começa é indicativo do número crítico mais elevado de Reynolds do líquido. Similarmente, o valor em que turbulência diminui finalmente é indicativo do Reynolds crítico mais baixo. A manipulação cuidadosa da taxa de fluxo mostrará que a turbulência nos aspectos importantes desta experiência está na facilidade com que a variação aleatória do fluxo pode ser conseguida e os testes padrões correspondentes do fluxo ser observada. 4. Experiências 4.1 O equipamento de Bernoulli Cussons P631 permite a realização de duas experiências Experiência 1 Verificação do Teorema de Bernoulli Experiência Demonstração do escoamento laminar e turbulento 4. Preparação do Equipamento Colocar o Tanque de Admissão P6103 e o Tanque de Saída Variável P6104 nas roscas de montagem existentes na superfície de trabalho da Bancada Hidráulica e ligar o Aparelho de Bernoulli entre ambos, usando as uniões de ligação. Ligar a mangueira da bancada de Alimentação ao Tanque de Cabeça de Admissão e ligar uma mangueira de descarga à saída de descargas do Tanque de Cabeça de Admissão. Ligar o Reservatório da Tinta ao topo do tanque de cabeça de Admissão, usando o clip de montagem junto e assegurar-se de que o clip de mola está ligado à mangueira de borracha, para que não possa correr tinta para a agulha injectora. Encher o reservatório com uma tinta miscível em água (recomenda-se tinta azul lavável). Certificar-se de que a tinta pode correr pela agulha injectora de tinta quando se ajustar o clip de mola. Se ocorrer um bloqueio de tinta na agulha injectora, este é normalmente causado por não se ter lavado toda a tinta 1

13 na utilização anterior do equipamento. Consegue-se normalmente rectificar o bloqueio, fazendo passar água abundantemente pelo sistema injector de tinta. Remover a tampa de bloqueio em metal da parte lateral do Tanque de admissão e inserir a Agulha de injecção de Tinta de modo a que a ponta saia aproximadamente 0 mm para a secção transparente de Teste Bernoulli. Para registar a altura do nível de água em cada um dos tubos do manómetro, deve-se posicionar uma folha de papel com escala. Experiência 1- Verificação da equação de Bernoulli Objectivo: Verificar a equação de Bernoulli demonstrando a relação entre a altura piezométrica e a altura cinética. Preparação do equipamento: preparar o equipamento seguindo as especificações. Entrada: entrada principal constante do tanque P6103 Teste a secção: Equipamento de Bernoulli P631 Saída: saída variável do tanque P6104 Manómetro: introduza uma folha de gráfico 440 mm de altura por 35 mm de largura atrás dos tubos do manómetro para fornecer um método fácil de obter um registo dos resultados. Procedimento experimental. 1. Ligue a bomba e inicie um fluxo da água através da secção de teste. Regule o fluxo da entrada do tanque P6103 de modo que este seja pequeno mas constante. Ajustar o tubo do giro (descarga), de modo para obter uma altura de 50mm.. Meça a altura do nível de água em cada tubo do manómetro marcando no papel posicionado atrás dos tubos e registe a medição na folha de teste e o tempo demorado para encher o tanque de medição de zero a 10 litros. 13

14 3. Aumente a altura entre a entrada e a saída do tanque em incrementos de 50 mm, até que o nível de água no centro do manómetro esteja fora da escala. Registar outra vez as alturas do líquido nos tubos do manómetro no papel posicionado atrás destes e medir o caudal de escoamento. 4. Analise de resultados 1. Registe os resultados na cópia da folha de resultados fornecida.. Calcule o caudal de escoamento para cada conjunto de resultados. 3. Para cada conjunto de resultados, calcule na secção transversal junto a cada tubo do manómetro, a velocidade do fluxo e o número de Reynolds. 4. Trace um gráfico da altura versus distância e também H + V g versus distância. 14

15 Folha de resultados do equipamento de Bernoulli P631 Experiência 1 Verificação da equação de Bernoulli Análise de resultados Temperatura da água 0 C Densidade da água Viscosidade da água kg/m 3 Ns/m Quantidade de água Tempo de recolha da Caudal volumétrico (litros) água (seg) Q (Litros/min) Tubo de medida Área de escoamento (mm ) Altura de elevação (mm) Velocidade m/s Numero de Reynolds Observações: 15

16 Experiência Demonstração do regime laminar e turbulento Objectivo: Demonstrar visualmente o fluxo laminar e a sua transição para turbulento a uma velocidade particular. Preparação do equipamento. Preparar o equipamento seguindo as especificações: Entrada: entrada principal constante do tanque P6103 Secção de teste: Equipamento de Bernoulli Saída: saída variável do tanque P6104 Manómetro: introduza uma folha de gráfico 440 mm de altura por 35 mm de largura atrás dos tubos do manómetro para fornecer um método fácil de obter um registo dos resultados. Injecção da tinta: adaptado Procedimento experimental. 1. Ligue a bomba e inicie um fluxo da água através da secção de teste. Regule o fluxo da entrada do tanque P6103, de modo que este seja pequeno mas constante. Ajustar o tubo do giro (descarga), para obter uma altura de 0 mm.. Deixe passar a tinta para o escoamento. 3. Abra a pequena válvula na base do reservatório da tinta para esta fluir do bocal até a entrada a canal. Isto será visível por uma corrente colorida ao longo do aparelho. Se a tinta acumular em torno do bocal, aumentar a velocidade do fluxo na passagem e/ou verificar o nível de tinta no depósito de tinta. 16

17 4. O regime laminar do fluxo será visível ao longo do comprimento da passagem. Se isto não acontecer, reduzir o fluxo até que um a corrente de tintura esteja visível ao longo da passagem. 5. Aumente de forma constante o caudal de escoamento, aumentando a elevação total, com o cuidado de observar o estado do líquido na conduta, tentando visualizar o início da instabilidade no escoamento de tinta. Anotar a posição na passagem e medir o valor correspondente do caudal de escoamento. 6. Mantenha uma observação atenta da passagem durante o aumento do fluxo até o sistema estar completamente turbulento, sem se poder distinguir qualquer mancha de tinta no tubo. 7. Reduza o caudal em escoamento ao ponto da turbulência desaparecer e as condições estáveis de fluxo laminar reaparecem ao longo de toda a passagem. Meça o caudal em escoamento e anote a posição dos últimos traços da turbulência. 8. Manipulação contínua do caudal em escoamento, quando observadas as condições do fluxo, pode conduzir a uma apreciação visual útil do regime laminar e turbulento. 9. Desligue a bomba e permita que o equipamento drene para o reservatório principal. Nota: o uso contínuo da tinta irá tingir a água da circulação. Quando este se torna severo a água deve ser mudada. Não use água que contenha tintura noutro equipamento. 10. Limpe completamente todo equipamento de todo o traço da água que contém a tinta antes de voltar a utilizar. 17

18 Análise de resultados: 1- Registe os resultados na folha fornecida. - Calcule o caudal em escoamento para cada conjunto de resultados. 3- Para cada conjunto de resultados, calcule na secção junto ao tubo do manómetro, a velocidade do escoamento e o número de Reynolds. 4- Para um conjunto de resultados em que o fluxo mudou de laminar a turbulento, determine o número crítico mais elevado de Reynolds 18