Registros de Representações Semióticas no Ensino de Probabilidade Condicional

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1 Registros de Representações Semióticas no Ensino de Probabilidade Condicional Fábio Francisco de Oliveira 1 GD13 Ensino de Estatística e Probabilidade e Educação Ambiental Este artigo tem como objetivo investigar a aprendizagem de estudantes diante de um experimento de ensino sobre probabilidade condicional, explorando diferentes registros de representações semióticas, focando nas conversões entre os registros da língua natural, simbólico e figural. O estudo foi fundamentado na teoria dos registros de representações semióticas de Raymond Duval e no Letramento Probabilístico de Iddo Gal e a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. foi utilizada para a concepção e para a condução das atividades. O experimento de ensino será aplicado a estudantes do segundo ano do ensino médio de uma escola da cidade de Guarulhos. Nesse artigo, será apresentada a análise de uma aplicação preliminar realizada com dois estudantes. Esperamos que esse estudo possa contribuir para o avanço do letramento probabilístico dos estudantes e que o experimento elaborado possa representar um recurso pedagógico adicional para os professores da área de Educação Matemática. Palavras-chave: Probabilidade Condicional. Registros de representações semióticas. Letramento Probabilístico. Design Experiment. 1. Introdução Este estudo tem por objetivo investigar a aprendizagem de estudantes sobre probabilidade condicional numa abordagem experimental, com a exploração de registros de representações semióticas, focando nas relações entre representações da língua natural, da tabela de dupla entrada, da árvore de probabilidade e do algébrico. A probabilidade condicional é um importante conteúdo de Probabilidade devido às aplicações existentes nos aspectos pessoais, profissionais e científicos, sendo que cada vez mais no nosso cotidiano nos deparamos com situações que envolvem conceitos probabilísticos, por exemplo, na análise de risco de doenças, na interpretação dos resultados de testes de diagnóstico e na tomada de decisão sobre o tratamento a ser indicado para cada paciente. De forma geral, evidenciamos na literatura dificuldades dos estudantes na compreensão da probabilidade condicional, como por exemplo, na diferenciação entre P(A B) e P(B A), ou seja, na identificação do evento condicionado (o que irá ocorrer) e do evento condicionante (o que já ocorreu). Essa problemática é apontada por diversos 1 Universidade Bandeirante Anhanguera, fabioprofmat@hotmail.com, orientadora: Monica Karrer

2 pesquisadores, tais como Falk (1986), Figueiredo (2000), Martignon e Wassner (2002), Diaz e La Fuente (2007) e Borovcnik (2012). Esses estudos apontaram como estratégias para amenizar tais dificuldades, o uso de tabelas de dupla entrada e o trabalho com a árvore de probabilidades. Por exemplo, Figueiredo (2000) teve a preocupação de investigar como seus sujeitos de pesquisa, estudantes do ensino superior, realizavam conversões entre representações da tabela de dupla entrada e do diagrama da árvore. A autora observou que sua sequência de ensino favoreceu a resolução de situações-problema que envolveram o conceito das probabilidades da intersecção, condicional e total. Nesse mesmo sentido, Martignon e Wassner (2002) propuseram a resolução de situações problema com o uso da árvore de probabilidades em uma versão denominada pelos autores de versão completa. Os autores concluíram que os sujeitos que utilizaram essa versão da árvore conseguiram identificar, com facilidade e na maioria dos casos, as condicionais e suas inversas. Diaz e La Fuente (2006) utilizaram em sua pesquisa a árvore na versão completa proposta por Martignon e Wassner (2002), procurando investigar como os alunos compreendiam as aplicações de probabilidade condicional ao se depararem com situações problematizadoras. Nesse estudo, os autores observaram, em consonância com Falk (1986), que seus sujeitos de pesquisa concebiam P(A B) como sendo igual a P (B A). Borovcnik (2012) fez uma análise das problemáticas abordadas por Falk (1986), como a interpretação da causa como condição e as relações condicionais ligadas a questões cronológicas, utilizando, para isso, situações ligadas a questões cotidianas e a contextos médicos. O pesquisador concluiu que a adoção de procedimentos que se utilizaram da árvore de probabilidades e com foco experimental, favoreceram a compreensão dos conceitos probabilísticos que envolveram o pensamento condicional. Falk (1986) denomina a dificuldade em diferenciar P(A B) e P (B A) dos estudantes como sendo a falácia da condicional transposta, e que provavelmente isso advém do uso da linguagem natural no contexto matemático. Para o autor, tal dificuldade pode ser resultado de um ou mais desses três fatores: a interpretação da condicionalidade como causalidade, a problemática da definição do evento condicionante e a confusão da probabilidade inversa.

3 Nesse mesmo sentido, o autor nos aponta que a Psicologia nos auxilia a compreender o motivo de os estudantes apresentarem dificuldades nesta diferenciação, pois ela nos mostra que quando as relações condicionais estão aliadas a fatores de ordem cronológica, os estudantes conseguem compreender com certa facilidade, no entanto, quando as relações condicionais estão relacionadas a fatores que fogem da ordem cronológica, é necessário um grau mais elevado de abstração e isso faz com que os estudantes não compreendam, em sua grande maioria, que há necessidade do uso de uma resolução mais rigorosa. De acordo com Falk (1986), na maioria dos casos, buscamos uma forma concreta de resolução, o que nem sempre é alcançável. Por consequência, acabamos não enxergando que, para a resolução desse tipo de problemática, devemos recorrer à utilização do teorema de Bayes e que nesses casos devemos buscar explicações na matemática formal em vez de procurar explicações no cotidiano. Em nosso estudo, trataremos da probabilidade condicional utilizando representações da árvore de probabilidades, da tabela de dupla entrada, da língua natural e do simbólico. A seguir, apresentamos a fundamentação teórica do presente estudo, composta pela teoria de registros de representações semióticas, apresentada por Raymond Duval (1995, 2003, 2009), a qual discute sobre a importância da utilização de diferentes representações no ensino de Matemática, e pelo Letramento Probabilístico de Gal (2005, 2012), que identifica as atitudes positivas em relação aos conceitos probabilísticos. 2. Fundamentação teórica Segundo Duval (2009), as representações são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e funcionamento. Este pesquisador afirma que, para um sistema semiótico ser considerado um registro de representação semiótica, ele deve admitir três atividades cognitivas: a formação, o tratamento e a conversão. Essas atividades, quando verificadas, determinam a diferenciação entre os sistemas semióticos. Duval (2003) explica que na resolução de um problema, um registro pode aparecer explicitamente privilegiado, no entanto, no ensino de Matemática sempre devemos nos atentar para a possibilidade de existência de mais de um registro. Neste caso, ele define a

4 conversão como a transformação que parte de uma representação em um registro em direção a uma representação de outro registro e o tratamento como uma transformação entre representações no interior de um mesmo registro. Estas transformações podem ser realizadas entre representações dos registros da língua natural, algébrico, figural e gráfico. No Quadro 1, ilustramos essas transformações de acordo com o nosso objeto matemático. Tratamento Registro Exemplo Registro da Língua Natural Materna Num grupo de turistas temos dezoito argentinos, sendo oito mulheres e vinte e dois brasileiros, com dez mulheres. 18 argentinos, sendo 10 homens e 8 mulheres. 22 brasileiros, sendo 10 mulheres e 12 homens. C o n v e r s ã o Registro Figural de tabela de contigência de árvore de probabilidade Homens 22 Mulheres 18 Argentinos Brasileiros Homens Brasileiros 22 Mulheres 8 10 Argentinos 18 Registro Simbólico na forma algébrica na forma numérica P (B І M) = P(B M) P(M) P(B M) = P (B І M). P(M) P (B І M) = P (B І M) 0,55 Quadro 1 Exemplos dos registros utilizados neste trabalho

5 No experimento realizado nessa pesquisa, propusemos situações que envolveram principalmente a conversão da língua natural materna para os registros da tabela de dupla entrada ou para o registro do diagrama da árvore. Com relação ao letramento probabilístico, Gal (2005) afirma que os estudantes devem se familiarizar com as diferentes formas de cálculo da probabilidade de um evento, para que, desta maneira, possam entender as afirmações probabilísticas feitas por outras pessoas, gerar estimativas sobre a probabilidade de eventos e ter condições de se comunicar. Segundo Gal (2012), os estudantes tendem a estimar utilizando-se de certos métodos, sem necessariamente pensar sobre aleatoriedade, variação, independência ou os riscos que podem surgir ao utilizar caminhos diferentes daqueles provenientes de aspectos formais. Procuraremos, em nosso estudo, evidenciar esses aspectos com os estudantes. 3. Metodologia Para o desenvolvimento desse trabalho, optamos pelo uso da metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003), tendo em vista que ela representa um modelo para pesquisa cujo objetivo é analisar os significados construídos pelos estudantes quando inseridos em ambientes de ensino de Matemática, sendo dotada das características cíclica, flexível e iterativa. O Design Experiment é realizado para desenvolver teorias que buscam especificar padrões de raciocínios dos alunos. Essa metodologia representa uma ecologia de aprendizagem, um sistema complexo, que interage envolvendo vários elementos de tipos e níveis diferentes, tais como tarefas, tipos de discursos, normas de participação, ferramentas e material, dentre outros. São realizadas a concepção desses elementos e a antecipação de seus funcionamentos no apoio da aprendizagem. Em nosso estudo, inicialmente os alunos serão orientados em relação à pesquisa e selecionarão dois pares de variáveis dicotômicas, realizando um levantamento de dados na própria escola. Em seguida, eles tabularão os dados coletados e farão a relação desses com cartões coloridos. Tais cartões serão colocados em duas urnas, para que os estudantes, ao retirá-los, experimentem, com o uso desse material concreto, o cálculo de probabilidade simples e de probabilidade da intersecção. Pretende-se que eles observem que, aumentando

6 o número de retiradas, há uma tendência para o resultado da probabilidade. Neste contexto, além da atividade envolvendo retiradas dos cartões da urna, será proposta uma situação no software R, para que o aluno observe o fenômeno da convergência. Após essa construção, o professor-pesquisador validará o resultado apresentando a fórmula de cálculo de probabilidade na forma Laplaciana. Na próxima etapa, serão extraídas as probabilidades condicionais e suas respectivas inversas por meio de um trabalho experimental, para em seguida tratar essas situações utilizando as representações de tabela de dupla entrada e de diagrama de árvore. Por fim, será apresentado um problema de probabilidade condicional, para verificar se a abordagem experimental favoreceu a análise de uma nova situação. Participarão desta pesquisa oito estudantes do segundo ano do Ensino Médio, que serão divididos em dois grupos para a realização da coleta de dados. Estes estudantes ainda não tiveram contato com o estudo de probabilidade condicional, apenas com o de probabilidade simples. Estão previstos cinco encontros de duas horas-aula cada. A atividade será aplicada por um dos autores, que assumirá o papel de professor-pesquisador mediando as discussões e identificando as necessidades de redesigns de acordo com as produções dos estudantes. Para avaliar o instrumento elaborado, foi realizada uma aplicação preliminar com dois estudantes do segundo ano do Ensino Médio, cujas produções são apresentadas a seguir. 4. Análise dos dados da aplicação preliminar Para a aplicação desse primeiro desenho, escolhemos as variáveis dicotômicas "gosta de esporte" e "gosta de leitura" e construímos um banco de dados fictício com vistas a dinamizar o processo. A finalidade dessa aplicação preliminar foi identificar possíveis lacunas em nosso experimento, lacunas essas que deverão ser preenchidas com propostas adicionais, atuando dessa forma em consonância com a metodologia de pesquisa adotada. Após a apresentação das variáveis, aplicamos aos dois estudantes uma ficha com questões sobre probabilidade simples, para sondar seus conhecimentos prévios, evidenciando se sabiam transitar entre as diferentes representações.

7 Os estudantes conseguiram realizar sem dificuldades as tarefas dessa ficha, apresentando compreensão e resolução integral das questões propostas, conseguindo transitar com desenvoltura pelas representações percentual, fracionária e decimal. Na ficha seguinte, os estudantes foram convidados a apresentar os resultados da pesquisa realizada em relação às duas variáveis dicotômicas "gosta de esporte" e "gosta de leitura". Pretendíamos observar que tipo de representação eles utilizariam para apresentar esses dados. Notamos que a representação mais frequente foi a da língua materna, seguida da representação figural, por meio de gráficos de setores, gráficos de barras e representações geométricas das razões. Figura 1 Levantamento dos registros utilizados pelos estudantes Figura 2 Levantamento dos registros adicionais utilizados pelos estudantes Na ficha seguinte, pretendíamos verificar se os estudantes conseguiam realizar estimativas, antes de efetuar o experimento. Os estudantes responderam com desenvoltura as questões propostas nessa ficha e acertaram as razões solicitadas. Figura 3 - Atividade de estimativa

8 Após a realização das estimativas, foi proposta a atividade experimental. Nesta fase, foram construídos cartões coloridos, sendo utilizado o cartão azul para "gosta de esporte", o cartão vermelho para "não gosta de esporte", o cartão verde para "gosta de leitura" e o cartão branco para "não gosta de leitura. De acordo com a variável, os cartões foram inseridos em uma urna e os estudantes receberam uma ficha com questões sobre probabilidade simples. Após essas retiradas os estudantes deveriam realizar a comparação entre as razões obtidas nas estimativas e após o momento das retiradas. De acordo com as respostas obtidas, notamos que para os estudantes ainda não estava claro o fenômeno de convergência, conforme podemos observar a seguir. Figura 4 Intervenção parcial para a identificação do fenômeno da convergência. Tendo em vista essa limitação para a percepção do fenômeno da convergência, buscamos o auxílio do recurso computacional Software R, simulando o aumento de retiradas, conforme apontado na Figura 5. Figura 5 Simulação no software e identificação do fenômeno da convergência. Para o trabalho com a probabilidade da intersecção, entregamos aos estudantes os cartões menores e solicitamos que eles organizassem os mesmos de modo que fosse possível identificar as respostas dadas pelos entrevistados por meio dos cartões. Apresentamos as organizações realizadas pelos estudantes.

9 Figura 6 Cartões combinados para a experimentação visando à obtenção da probabilidade da Intersecção Após a apresentação dessa reorganização dos cartões, solicitamos aos estudantes que trocassem os cartões menores por cartões autoadesivos, o que dinamizou o processo de confecção dos cartões para essa próxima fase. Figura 7 Cartão combinado com material autoadesivo Para realizar a atividade da estimativa das probabilidades da intersecção, os estudantes deveriam fazer a correspondência entre os cartões e as quantidades referentes a cada nova variável. O levantamento dessas quantidades foi uma tarefa um tanto árdua para os estudantes, que nem sempre conseguiram realizá-la com eficácia, no entanto, nesse momento, um dos estudantes organizou os dados em uma tabela de dupla entrada, conforme apresentado a seguir. Figura 8 Tabela de dupla entrada com dados da pesquisa

10 Após o levantamento dos dados, os cartões foram colocados na urna e, antes de realizar a experimentação, os estudantes fizeram estimativas para as primeiras trinta retiradas. Figura 9 Estimativa da probabilidade da Intersecção A partir daí, os estudantes realizaram trinta retiradas da urna sem reposição e, em seguida, compararam as razões estimadas anteriormente com as razões durante e ao final das retiradas. Nesse momento, notamos que os estudantes já percebiam o fenômeno de convergência presente nas situações solicitadas. Figura 10 Intervenção parcial para a identificação do fenômeno da convergência. Após esta etapa, os estudantes fizeram simulações no software R aumentando o número de retiradas e, com isso, puderam identificar o fenômeno da convergência de forma mais evidente, aproximando-se, assim, da probabilidade teórica.

11 Figura 11 Simulação no software R e identificação do fenômeno de convergência. Após esse momento, o professor-pesquisador realizou com os estudantes a formalização das probabilidades simples e da intersecção apresentando a forma de cálculo laplaciana, partindo dos resultados obtidos na experimentação e na atividade do Software R. Os estudantes deduziram que a probabilidade não se trata de uma medida exata como acreditavam, mas sim de uma medida de tendência. A atividade seguinte, referente ao tema probabilidade condicional, ainda está em fase de aplicação. A seguir, apresentamos as conclusões preliminares do estudo. 5. Conclusão Até o presente momento, foram aplicadas as atividades de probabilidade simples e de probabilidade da intersecção a uma dupla de estudantes, com o intuito de avaliar o primeiro desenho elaborado. Constatamos que as experimentações com os cartões aliadas ao trabalho com o software R favoreceram aos estudantes a observação do fenômeno de convergência. Como continuidade do estudo, pretendemos aplicar e avaliar a última atividade referente à probabilidade condicional e reestruturar o experimento de acordo com os resultados obtidos. Por fim, aplicaremos esse instrumento a um grupo de oito estudantes do segundo ano do Ensino Médio. Referências BOROVCNIK, M.; KAPADIA, R. Research and developments in probability education. International Electronic Journal of Mathematics Education, v. 4, n. 3, 2009.

12 COBB, P. et al. Design experiments in education research. Educational Researcher, Washington, v.32, n.1, p.9-13, DÍAZ, C.; DE LA FUENTE, I. Assessing psychology students difficulties with conditional probability and Bayesian reasoning. Computing, v. 5, n. I14, p. I15, DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine - Registres sémiotiques et apprentissage intellectuel, Berne: Peter Lang, DUVAL, R. Semiósis e Pensamento Humano Registros semióticos e aprendizagens intelectuais - Tradutores- Lênio Fernandes Levy e Maria Rosâni Abreu da Silveira- São Paulo. Livraria da Física, DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (org). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, FALK, R. Misconceptions of statistical significance. Journal of structural learning, FIGUEIREDO, A. C. Probabilidade condicional: Um enfoque de seu ensino aprendizagem. São Paulo, Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. GAL, I. Towards" probability literacy" for all citizens: Building blocks and instructional dilemmas. Exploring Probability in School. Springer US, p GAL, I. Developing probability literacy: Needs and pressures stemming from frameworks of adult competencies an mathematics curricula, In: 12º International Congress on Mathematical Education, Seoul, Korea, Jul MARTIGNON, L.; WASSNER, C. Teaching decision making and statistical thinking with natural frequencies. In: Proceedings of the Sixth International Conference on Teaching of Statistics. IASE, Ciudad del Cabo, 2002.