PRODUTOS DE VETORES NO CABRI 3D: UM ESTUDO BASEADO NA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

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1 PRODUTOS DE VETORES NO CABRI 3D: UM ESTUDO BASEADO NA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA Monica Karrer Universidade Bandeirante de São Paulo Bruno Santos Baggi Universidade Bandeirante de São Paulo Alexsandro Soares Cândido Universidade Bandeirante de São Paulo Resumo: Esse artigo apresenta um estudo sobre o conteúdo de produtos de vetores (escalar, vetorial e misto), realizado com base na teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1995, 2003). Primeiramente foi realizada a análise dos registros presentes e das conversões mais requeridas nesse conteúdo em dois livros didáticos freqüentemente referenciados nos cursos nacionais de licenciatura em Matemática. Tal análise apontou uma reduzida presença do registro gráfico nos exercícios propostos e, conseqüentemente, uma baixa exploração de conversões envolvendo esse registro. Com a finalidade de preencher essa lacuna, foi elaborado, com base na metodologia dos Design Experiments de Cobb et al. (2003), um experimento de ensino sobre produtos de vetores com auxílio do ambiente Cabri 3D, o qual procurou integrar o registro gráfico e suas relações com os registros simbólico, numérico e da língua natural. Nesse artigo serão apresentados os resultados tanto da análise dos livros como da aplicação de uma atividade sobre produto vetorial a dois estudantes do curso de Licenciatura em Matemática de uma Instituição Particular de Ensino Superior do Estado de São Paulo. Palavras-chave: Produtos de Vetores; Registros de Representação Semiótica; Livros Didáticos; Cabri 3D. INTRODUÇÃO Esse artigo expõe resultados parciais do desenvolvimento de um projeto de pesquisa a respeito de conteúdos de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Essa disciplina é desenvolvida em cursos superiores de ciências exatas e freqüentemente requer do estudante o estabelecimento de relações entre aspectos gráficos e analíticos. Partindo disso, como primeira etapa, foi realizada a análise de dois livros didáticos, a fim de investigar se esses favoreciam as conversões com o registro gráfico. Em um segundo momento, diante dos resultados obtidos e com base na metodologia dos Design 1

2 Experiments de Cobb et al. (2003), foram elaboradas, aplicadas e analisadas situações sobre o conteúdo de produtos de vetores da Geometria Analítica, explorando as relações entre seus diversos registros, contando com o auxílio do software Cabri 3D. Nesse artigo, em particular, serão apresentados os resultados da análise de dois livros didáticos e considerações sobre a aplicação de uma atividade referente ao produto vetorial. Os pressupostos teóricos de Duval (1995, 2003) a respeito dos registros de representação semiótica fundamentaram essa pesquisa. Na visão desse pesquisador, o ensino de Matemática deve ter a preocupação de explorar os diversos registros de representação semiótica, uma vez que o acesso a um objeto matemático é necessariamente intermediado por eles. Para Duval (1995), um registro de representação semiótica é definido como um sistema semiótico que deve permitir as três atividades cognitivas fundamentais associadas à produção de uma representação semiótica: a formação, o tratamento e a conversão, sendo as duas últimas referentes às transformações entre representações. No tratamento, a transformação de uma representação é realizada no próprio registro em que ela foi formada. Já a conversão parte de uma representação dada em um registro para uma representação em outro registro, conservando a totalidade dessa representação ou somente parte do conteúdo da representação inicial. Como exemplo de conversão, pode-se citar a obtenção de um gráfico a partir da lei algébrica de uma função. Ao lidar com a atividade de conversão, é possível que ela seja congruente ou não congruente. De acordo com Duval (1995), para que haja congruência é necessário o cumprimento de três critérios: a possibilidade de uma correspondência semântica dos elementos significantes, a univocidade semântica terminal e uma mesma ordem possível de disposição das unidades significantes que compõem cada uma das duas representações. Caso uma dessas condições não seja atendida, a conversão será não congruente. O autor ainda destaca a necessidade de o ensino de Matemática levar em conta o fenômeno da heterogeneidade da congruência, que consiste no fato de uma conversão ser congruente em um sentido e não congruente no sentido oposto. Numerosas observações nos permitiram colocar em evidência que os fracassos ou os bloqueios dos alunos, nos diferentes níveis de ensino, aumentam consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou que a mobilização simultânea de dois registros é requerida. No caso de as conversões requeridas serem não-congruentes, essas 2

3 dificuldades e/ou bloqueios são mais fortes. (DUVAL, 2003, p. 21). Vários pesquisadores utilizaram a teoria de Duval em seus estudos. Destacam-se, neste contexto, Pavlopoulou (1993), Sierpinska, Dreyfus e Hillel (1999) e Karrer (2006), que realizaram pesquisas voltadas às disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear. De uma forma geral, dentre outros resultados, os estudos desses pesquisadores apontaram dificuldades dos estudantes no estabelecimento de conversões, desempenhos distintos quando se exploram sentidos contrários de conversão em uma mesma situação e tendência do ensino em privilegiar determinados registros em detrimento de outros. Em particular, Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006) revelaram dificuldades dos estudantes em tarefas que envolviam conversões com o registro gráfico. Partindo dessas evidências e considerando que a Geometria Analítica freqüentemente requer o estabelecimento de relações entre aspectos gráficos e analíticos, procurou-se investigar como dois livros didáticos tratam dessas relações especificamente no conteúdo de produto de vetores (escalar, vetorial e misto), o que será abordado no próximo tópico. ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS Tomando por base o levantamento realizado por Karrer e Barreiro (2009) com relação às referências bibliográficas de Geometria Analítica presentes nos cursos de Matemática de Instituições de Ensino Superior do país, foi realizada a análise, com foco na teoria de Duval, do conteúdo de produtos de vetores presente nas obras mais indicadas nesse levantamento: Livro 1 - Boulos, P.; Camargo, I. (2005) e Livro 2 - Steinbruch, A.; Winterle, P. (1987). Com vistas a realizar a análise dessas referências, foi estabelecida uma classificação dos registros em simbólico, gráfico, da língua natural e numérico. A investigação foi realizada tanto com relação à exposição teórica como na seção de exercícios propostos. Considerando esse último, realizou-se um levantamento dos registros presentes nos enunciados e das conversões explicitamente requeridas. Apresentando de forma sintética as conclusões dessa análise, observou-se que o Livro 1 apresenta o conteúdo de produtos de vetores subdividido em quatro capítulos. Na parte teórica dessa obra, os registros simbólico e da língua natural são os privilegiados, 3

4 apesar de o registro gráfico estar presente principalmente nas interpretações geométricas desses produtos. Nos enunciados dos cento e quarenta e oito exercícios propostos, nota-se a mesma tendência de exploração de registros, conforme é possível observar a seguir. 80 Registros presentes nos enunciados dos exercícios propostos - Livro Simbólico Língua Natural Numérico Gráfico Figura 1. Registros presentes nos enunciados dos exercícios propostos do Livro 1 Avaliando as indicações de conversões apresentadas explicitamente nos enunciados dos exercícios, constatou-se que poucas sugerem o uso do registro gráfico, sendo estas principalmente limitadas aos dois registros privilegiados. A exposição teórica do Livro 2 contém uma exploração significativa do registro gráfico, principalmente quando são tratadas as interpretações geométricas dos produtos escalar, vetorial e misto. Já na seção de exercícios propostos dessa obra, não há em seus enunciados qualquer indicação para a utilização do registro gráfico e as sugestões para conversões entre os registros simbólico e numérico são as mais freqüentes. O gráfico seguinte, referente à tabulação dos registros presentes nos enunciados dos setenta e cinco exercícios propostos, indica os registros mais explorados. 45 Registros presentes nos enunciados dos exercícios propostos - Livro Simbólico Língua Natural Numérico Gráfico Figura 2. Registros presentes nos enunciados dos exercícios propostos do Livro 2 4

5 Pode-se concluir, a despeito das especificidades de cada obra, que os dois livros analisados inserem o registro gráfico em suas apresentações teóricas, mas, na seção de exercícios propostos, nota-se que esse registro não é valorizado. Isto porque, no Livro 1, apesar de o gráfico constar no enunciado de alguns exercícios, há pouca menção ao estabelecimento de conversões que têm o gráfico como registro de chegada e, no Livro 2, este registro não está presente nem nos enunciados dos exercícios propostos nem nas sugestões de conversão. É provável que tal situação possa desencadear dificuldades nos estudantes em situações em que o registro gráfico é necessário ou requerido. Tal fato motivou a elaboração de um experimento de ensino sobre produtos de vetores com a integração do registro gráfico, a fim de favorecer o estabelecimento de relações entre aspectos gráficos e analíticos. Para tal, foram elaboradas atividades nos ambientes papel&lápis e Cabri 3D. A escolha dessa ferramenta deu-se em função de ela representar um software geométrico com caráter dinâmico, que contém comandos dos produtos de vetores, proporcionando um ambiente favorável para um trabalho de experimentação no estudo desse conteúdo. Ainda, segundo Balacheff e Kaput (1996), a introdução de recursos computacionais na educação faz surgir novas questões, o que traz a necessidade de desenvolvimento de pesquisas que avaliem o impacto desses recursos na aprendizagem dos estudantes. O experimento global incluiu oito atividades e, na próxima seção, serão apresentados os resultados da aplicação de uma delas. ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE SOBRE PRODUTO VETORIAL Para apresentação nesse artigo, foi selecionada uma atividade sobre produto vetorial. O experimento foi construído e conduzido segundo a metodologia dos Design Experiments de Cobb et al. (2003), a qual tem por foco a elaboração de abordagens diferenciadas de um dado conteúdo matemático, constituindo em um modelo dinâmico e mutável, uma vez que as atividades podem ser remodeladas frente à produção dos estudantes. De acordo com essa metodologia, os experimentos podem ser aplicados em larga escala ou em um pequeno grupo de sujeitos. Para obter uma análise mais aprofundada dos dados, optou-se por esse segundo tipo de aplicação, sendo os sujeitos representados por dois estudantes voluntários do curso de Licenciatura em Matemática de 5

6 uma instituição privada de ensino superior do Estado de São Paulo. No momento da aplicação, eles haviam tido contato apenas com o conteúdo inicial de vetores. Diante disso, o professor-pesquisador, que acompanhou a aplicação do design, apresentou apenas as definições e exemplos de cálculos dos produtos entre vetores. Já as propriedades e interpretações geométricas foram realizadas no experimento com auxílio do Cabri 3D. Como os sujeitos não conheciam esse software, foi proposta uma atividade de familiarização nesse ambiente antes da aplicação das atividades do experimento. Para a análise dos dados, foram coletados os seguintes instrumentos: produções escritas dos estudantes, dados provenientes das capturas das telas dos computadores e a áudio-gravação das falas dos sujeitos e do professor-pesquisador. A atividade a seguir contém uma situação que envolve a análise das características dos produtos vetoriais u. Tarefa a) Construa dois vetores quaisquer u e v na tela do Cabri, dados em relação ao sistema de coordenadas S 0, i, j, k. Calcule u. Manipule o plano de referência e as extremidades dos vetores u e v. Usando os recursos do Cabri, procure avaliar as semelhanças e as diferenças dos vetores u obtidos. Tarefa b) Calcule, no ambiente papel&lápis, os produtos vetoriais u, dados u (1,6,5) e v (2, 1,3 ) em relação ao sistema de coordenadas S 0, i, j, k. O que você observa? Calcule, também no papel, os módulos dos vetores u. O que você observa? Tarefa c) Considerando dois vetores quaisquer u ( x1, y1, z1) e v ( x2, y2, z2), dados em relação ao sistema de coordenadas S 0, i, j, k, mostre que u = -. Em seguida, mostre que u v = u v. Quadro 1 - Atividade sobre o produto vetorial Na Tarefa a, a atividade é realizada no ambiente Cabri 3D, envolvendo conversões entre os registros simbólico, gráfico e numérico. Nesse contexto, tem-se a intenção de observar se, pela experimentação no software, o estudante estabelece a hipótese de que os produtos propostos geram vetores de mesma direção, mesmo comprimento, mas com sentidos opostos. A figura seguinte contém um exemplo de resolução dessa tarefa na tela do Cabri 3D. Como o software é dinâmico, pretende-se que, por manipulação das extremidades dos vetores, o aluno observe que as condições são mantidas. 6

7 Figura 3. Exemplo de imagem obtida no software Cabri 3D Em seguida, na Tarefa b, proposta no ambiente papel&lápis, o estudante observará suas conjecturas para um caso particular, sendo os vetores dados no registro numérico. Na Tarefa c, pretende-se que o aluno generalize suas conclusões no registro simbólicoalgébrico. Desta forma, no Cabri 3D, o sujeito poderá observar experimentalmente as propriedades envolvidas, gerando a motivação para obter posteriormente a generalização de suas conclusões no registro simbólico-algébrico. Na aplicação dessa atividade, a dupla construiu dois vetores u e v e, em seguida, utilizou o comando produto vetorial obtendo u. Os sujeitos, que desenvolveram a atividade em conjunto, prontamente falaram que na tela do computador apareceram dois vetores com sentidos opostos. Para comprovar isso, o Aluno A relatou que poderia utilizar o comando ângulo do Cabri. Ao ser questionado pelo Aluno B, ele mostrou no software que o ângulo entre u era igual a 180 º e que, com isso, os sentidos dos vetores eram opostos. O Aluno B também determinou no Cabri as coordenadas dos vetores e observou que estes eram opostos. Como a dupla não se manifestou em relação à análise dos módulos dos vetores, o professor-pesquisador a questionou sobre as características de um vetor. Com isso, ela notou que poderia observar o comprimento dos vetores e solicitou isso via comando do Cabri. Os estudantes observaram, então, que os valores encontrados eram iguais. Em seguida, eles manipularam as extremidades dos vetores u e v e concluíram que os comprimentos dos vetores obtidos pelos produtos vetoriais permaneciam iguais, os sinais de suas coordenadas continuavam opostos e o ângulo entre u permanecia igual a 180 o, independente do 7

8 movimento realizado. Desta forma, a dupla estabeleceu relações entre as representações gráfica e numérica e, por meio do dinamismo do software, observou a manutenção das propriedades detectadas experimentalmente. Na Tarefa b, os estudantes calcularam os produtos indicados e observaram que, para aquele caso particular de vetores, os resultados também eram opostos. Como eles apresentaram dúvidas para calcular o módulo do vetor encontrado, solicitaram ao professor-pesquisador se poderiam retomar a ficha inicial que continha o tipo de cálculo que deveria ser realizado. Feito isso, resolveram a tarefa sem dificuldades e observaram que os vetores u tinham o mesmo módulo. Na Tarefa c, os sujeitos estabeleceram apenas o produto v u, uma vez que em tarefas anteriores eles já haviam calculado u para u x y, ) e v x, y, ). Tanto na ( 1, 1 z1 ( 2 2 z2 tarefa anterior como na presente situação, a dupla apresentou dificuldades em efetuar tratamentos com esse tipo de representação, principalmente com relação à notação do vetor em coordenadas e nos sinais das operações. Isto fez com que os estudantes não concluíssem, inicialmente, que u =-. Com isso, alertados pelo professorpesquisador, os sujeitos retomaram a tarefa notando que havia equívocos e procuraram saná-los. O professor-pesquisador solicitou, então, que os estudantes explicassem como poderiam mostrar algebricamente que u =-. A dupla, observando os resultados obtidos, relatou sem dificuldades que como u eram opostos, os vetores u e -v u eram iguais. Para mostrar que u v = u v, a dupla iniciou o processo calculando a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas de u e relatou que não seria necessário prosseguir, uma vez que os quadrados de números opostos teriam o mesmo resultado, registrando esse fato na ficha. Apesar das dificuldades iniciais apresentadas no registro simbólico-algébrico e da necessidade de intervenção e de auxílio do professor-pesquisador, concluiu-se que a dupla obteve a generalização das propriedades observadas experimentalmente. CONCLUSÃO Com base nos pressupostos teóricos dos registros de representação semiótica de Duval (1995, 2003) e considerando pesquisadores que apontaram que o ensino normalmente privilegia um determinado registro em detrimento de outros, foi realizada 8

9 uma investigação do tipo de abordagem do conteúdo de produtos de vetores presente em dois livros didáticos de Geometria Analítica com relação aos registros de representação semiótica. Tal análise apontou que os registros simbólico, da língua natural e numérico são os mais presentes e que, especificamente na parte de exercícios propostos, o registro gráfico é pouco explorado. Essa constatação apontou para a necessidade de uma abordagem de ensino que integrasse efetivamente o registro gráfico. Desta forma, os resultados da análise dos livros e as pesquisas de Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006) subsidiaram a elaboração de um experimento de ensino sobre produtos de vetores integrando tal registro, contando com o auxílio do Cabri 3D. O experimento, composto por oito atividades, foi aplicado a dois estudantes voluntários de um curso de Licenciatura em Matemática. Nesse artigo, foram apresentados os resultados da aplicação de uma atividade de produto vetorial, a qual procurou explorar as relações entre representações dos registros gráfico, numérico, simbólico e da língua natural. Pôde-se concluir que o trabalho inicial no Cabri 3D favoreceu o levantamento de conjecturas e o seu dinamismo permitiu observar experimentalmente a manutenção de propriedades, gerando uma nova maneira de lidar com o objeto matemático em questão e permitindo ao estudante a construção desse conhecimento. Apesar de os estudantes apresentarem dificuldades em realizar tratamentos no registro simbólico, necessitando do auxílio do professor-pesquisador, as propriedades observadas experimentalmente no Cabri 3D foram validadas neste registro. REFERÊNCIAS BALACHEFF, N.; KAPUT, J. J. Computer-based learning environments in mathematics. In: International handbook in mathematics education. London: Kluwer, p BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, COBB, P. et al. Design experiments in education research. Educational Researcher, Washington, v. 32, n. 1, p. 9-13, DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Berna: Peter Lang,

10 DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S.D.A. (Org). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas, SP: Papirus, p KARRER, M. Articulação entre álgebra linear e geometria: um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica p. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, KARRER, M.; BARREIRO, S.N. Introdução ao estudo de vetores: análise de dois livros didáticos sob a ótica da teoria dos registros de representação semiótica. In: IV ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DE OURO PRETO, 4, 2009, Ouro Preto. Anais do IV Encontro de Educação Matemática de Ouro Preto. Ouro Preto: UFOP, v.1, 2009, p PAVLOPOULOU, K. Un problème décisive pour l apprentissage de l algèbre linéaire: la coordination des registres de représentation. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, I.R.E.M. de Strasbourg, n. 5, p , SIERPINSKA, A.; DREYFUS, T.; HILLEL, J. Evaluation of a design: Linear transformations. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 19, n. 1, p. 9-39, STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil,

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