EXPERIÊNCIA 1 SISTEMAS DE AQUISIÇÃO DE DADOS, SÉRIE DE FOURIER, TRANSFORMADA DE FOURIER

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1 EXPERIÊNCIA SISTEMAS DE AQUISIÇÃO DE DADOS, SÉRIE DE FOURIER, TRANSFORMADA DE FOURIER INTRODUÇÃO Nesta primeira experiência realizaremos o primeiro contato prático com os sistemas de aquisição de dados e com os conceitos de Série e Transformada de Fourier. O texto é composto de três partes. Na parte, uma visão geral de sistemas de aquisição de dados é apresentada. Na parte 2, apresenta-se a teoria de Série e Transformada de Fourier. A Parte 3 contêm o roteiro para a parte experimental.

2 PARTE : FERRAMENTAS. Introdução aos sistemas de aquisição de dados Com a crescente utilização de computadores nas bancadas de laboratórios de pesquisa, medição e testes e na área de automação industrial, há atualmente várias formas para a realização de aquisição de dados através de computadores pessoais (PC). A aquisição de dados é realizada através de sistemas com placas ou módulos de aquisição. Estas placas podem ser cartões ou dispositivos compostos de barramentos, como por exemplo: PCI, Compact PCI /PXI, PCMCIA, USB, IEEE394 (Firewire), ISA e portas de comunicação do tipo paralela ou serial. Dentre os sistemas de aquisição, aqueles que são compostos de placas (cartões internos) permitem a aquisição dos dados e sua transferência direta à memória do computador. Os sistemas de módulos externos que utilizam equipamentos remotos ao PC são conectados via porta serial ou paralela. Um sistema de aquisição de dados genérico é composto de elementos conforme mostra a Figura.. Para obter os resultados adequados, um sistema de aquisição de dados depende dos seguintes elementos: computador pessoal; equipamento de aquisição de dados (hardware); condicionamento do sinal; transdutor: sensor de entrada; programa de aquisição (software). Figura.: Sistema de aquisição baseado em PC. Detalhes dos dois primeiros elementos (computador e equipamento de aquisição de dados) encontram-se a seguir. 2

3 O computador pessoal O computador utilizado no sistema de aquisição de dados pode afetar drasticamente a velocidade máxima com que você pode adquirir os dados de maneira contínua, da placa para o computador. As tecnologias atuais ostentam processadores rápidos, como os das categorias Intel Pentium e Motorola PowerPC aliados à tecnologia de barramentos, como a arquitetura PCI, ISA/EISA ou Macintosh NuBus.. Em aplicações remotas de aquisição de dados, que utilizam a comunicação serial como RS-232 ou RS-485, a transferência de dados é normalmente limitada pelas taxas da comunicação serial. Todos os computadores do tipo PC são capazes de realizar operações programáveis de entrada e saída (E/S) e operações de transferência utilizando interrupção. Transferências por DMA (Direct Memory Access) que não são disponíveis em alguns computadores aumentam a taxa de transferência do sistema através do uso de um circuito dedicado no controle da transferência de dados diretamente na memória do sistema.utilizando este procedimento o processador não é incomodado com os dados em movimento e portanto é livre para envolver-se no processamento de tarefas mais complexas. Para obter os benefícios de transferências de DMA ou com interrupções, a placa de aquisição que você escolher deve ser capaz de executar estes tipos de transferências. Um outro fator limitante para aquisição de grande quantidade de dados é o disco rígido. O tempo de acesso ao disco e a fragmentação do disco rígido podem reduzir significantemente a taxa máxima de transferência de e para o disco. Para sistemas que necessitem adquirir sinais de alta freqüência, deve-se selecionar um disco rígido de alta velocidade e ter a certeza que exista espaço disponível não fragmentado para armazenar os dados. Muitas vezes, aplicações requerem o processamento em tempo real de sinais de alta freqüência. Tais aplicações precisam de um processador de 32/64 bits acompanhado de um co-processador, ou um processador dedicado como por exemplo um processador digital de sinais (DSP). Por outro lado, se a aplicação somente faz a aquisição e ajuste do sinal uma vez ou duas por segundo, um PC de baixo custo é satisfatório. Portanto, a capacidade do computador que você utiliza pode afetar significativamente o desempenho do seu sistema de aquisição de dados. A placa de aquisição de dados A placa de aquisição de dados PCI-6024E, da National Instruments (NI), utilizada no laboratório possui os seguintes recursos: 6 canais de entradas analógicas; 2 canais de saídas analógicas; 8 pinos de E/S digital; conector externo de 68 pinos. 3

4 Esta placa conta com um sistema de controle de tempo para o sistema (temporizadores), consistindo de três grupos de contadores que controlam a entrada analógica e a saída analógica, além de um outro, para propósito geral. Estes grupos incluem um total de sete contadores de 24-bits e três contadores de 6-bits de resolução, com uma resolução máxima de 50 ns. A Figura.2 apresenta a placa PCI-6024E que esta instalada internamente, no microcomputador da bancada do laboratório de automação. Trata-se de um cartão com conector para barramento PCI. Figura.2: Placa PCI-6024E. Através do conector de 68 pinos (Figura.3A) da placa PCI-6024E é possível ligar os recursos da placa de aquisição ao bloco de conectores externo denominado SCB-68 (Figura.3B), que possui uma área para a inclusão de filtros e circuitos atenuadores além de bornes de fixação. O módulo SCB-68 pode ser visto na Figura.4. Figura.3A Figura.3B 4

5 Figura.4 Entradas analógicas. As especificações das entradas analógicas em uma placa de aquisição devem fornecer tanto suas características como também sua precisão. As especificações básicas que estão disponíveis na maioria dos produtos deste tipo informam o número de canais, a taxa de amostragem, a resolução e a faixa de entrada. Número de Canais: o número de canais de entradas analógicas é especificado tanto para as entradas isoladas como para as entradas diferenciais, nas placas que possuem os dois tipos de entradas. Nas entradas isoladas, os pinos de entrada são referenciados em relação ao ponto de terra comum. Estas entradas são tipicamente usadas quando os sinais possuem tensão com valores relativamente altos (maiores do que V), as conexões a partir da fonte do sinal até a entrada analógica do equipamento são curtas (menores que 5 metros) e todos os sinais de entrada compartilham uma referência de terra comum. Quando os sinais não seguem este critério, deve-se utilizar entradas diferenciais. Na configuração diferencial, cada entrada tem o seu terra de referência. Erros de ruído são reduzidos uma vez que o ruído do modo comum visto pelos terminais é cancelado no par diferencial. Taxa de Amostragem: este é o parâmetro que determina o quão rapidamente são realizadas as conversões. Uma taxa de amostragem mais rápida permite adquirir mais amostras para um dado tempo de amostragem, podendo desta maneira formar uma melhor representação do sinal original. Por exemplo, é comum que sinais de áudio convertidos para sinais elétricos por um microfone possuem componentes de freqüência de até 20 khz. Para digitalizar adequadamente este sinal e analisá-lo, o Teorema de Amostragem de Nyquist informa que devemos amostrar com uma taxa no mínimo duas vezes maior que a taxa do componente de máxima freqüência no qual queremos detectar. Portanto, uma placa com uma taxa de amostragem maior que 40 ks/s é necessária para adquirir corretamente este sinal. (S/s = Samples/second = número de amostras por segundo). 5

6 Resolução: é o número de bits que o Conversor Analógico Digital (ADC) utiliza para representar o sinal analógico. Quanto maior a resolução, maior é o número de divisões que a faixa medida é divida e desta maneira, menor é a variação de tensão que pode ser detectada. A Figura.5 apresenta uma onda senoidal e sua digital correspondente obtida por um conversor analógico-digital de 3 bits ideal. Um conversor de 3-bits divide a faixa analógica em 2 3, ou 8 divisões. Cada divisão é representada pelo código binário entre 000 e. Claramente, a representação digital não é a melhor representação do sinal analógico original,pois parte da informação é perdida durante a conversão. Aumentando-se a resolução para 6 bits, faz com que o número de códigos gerados a partir do conversor AD aumente de 8 para e desta maneira é possível obter uma representação digital do sinal analógico de uma maneira mais precisa. Figura.5: Onda senoidal digitalizada com uma resolução de 3 bits. Intervalo de Quantização (Range): o intervalo de quantização se refere à faixa que varia entre os níveis de tensão mínimo e máximo que o conversor AD pode quantizar. Placas de aquisição multifuncional oferecem intervalos selecionáveis de maneira que a placa seja configurada para manusear uma variedade de diferentes níveis de tensão. Com esta flexibilidade, pode-se adequar a faixa de sinal à faixa do ADC para obter a melhor vantagem da resolução disponível, medindo com precisão o sinal desejado. O alcance, resolução e ganho disponíveis numa placa de aquisição determinam qual a menor variação de tensão que pode ser detectada. Esta variação representa um bit menos significativo (LSB) do valor digital do sinal e é normalmente chamado de largura do código. A largura do código ideal é encontrada tomando-se a faixa de tensão multiplicada pelo ganho e dividindo-a por pelo número dois elevado à potência do número de bits da resolução do conversor AD. Por exemplo, a placa modelo AT-MIO-6X da National Instruments utiliza 6 bits e possui intervalos de quantização selecionáveis entre 0 a 0V e 0V a +0V, além de ganhos selecionáveis de, 2, 5, 0, 20, 50 a 00. Com uma tensão no intervalo de 0 a 0V e um ganho de 00, a largura ideal é dada por: 6

7 μV. Portanto, a resolução teórica para bit é dada pelo valor.5v. Embora as especificações básicas descritas previamente possam apresentar que uma placa de aquisição possui um conversor AD com 6-bits de resolução e uma taxa de amostragem de 00 ks/s, isto não significa que pode-se amostrar na velocidade máxima todos os 6 canais e ainda obter precisão total de 6-bits. Produtos existentes no mercado atualmente com conversor AD de 6-bits podem oferecer algumas vezes menos de 2-bits de dados úteis. No caso ideal, na medida em que o nível de tensão, aplicada na placa de aquisição aumenta, os códigos digitais a partir do conversor AD devem também aumentar linearmente. Um gráfico ideal para descrever a relação entre a tensão aplicada e o código de saída de um conversor AD, deve ser uma linha reta. Desvios a partir da linha reta ideal são especificados como não linearidades. DNL (do termo em inglês Digital Non Linearity) é uma medida em bits significativos para o pior caso de desvio da largura do código a partir do valor ideal de LSB. Uma placa de aquisição ideal possui um DNL de 0 LSB. Na prática, uma boa placa de aquisição possui um DNL de ±0.5LSB. Precisão Relativa. Essa é uma medida em LSBs do pior caso de desvio a partir da função de transferência de uma placa de aquisição ideal: uma linha reta. A precisão relativa é determinada numa placa de aquisição conectando uma tensão negativa de fundo de escala. Digitaliza-se a tensão para toda a faixa de entrada da placa. Quando os pontos são colocados em um gráfico, o resultado será, aparentemente, uma linha reta (Veja a Figura.6a). Entretanto, pode-se subtrair os valores da linha reta dos valores digitalizados e estabelecer um gráfico com os pontos deste resultado, como mostra a Figura.6b. O desvio máximo a partir do zero é a precisão relativa de uma placa de aquisição. Fig..6a Fig..6b Figura.6: Determinando a precisão relativa de uma placa de aquisição. Figura.6a apresenta a linha reta aparente gerada através do aumento da tensão de entrada. A 7

8 Figura.6b apresenta o resultado da subtração entre os valores medidos e uma linha reta. Ruído. Ruído é qualquer sinal indesejado que aparece quando o sinal é digitalizado pela placa de aquisição. Uma vez que o PC é um ambiente com ruído digital, adquirir dados numa placa de aquisição exige um projeto cuidadoso do circuito numa configuração multicamadas. A simples colocação de um conversor analógico digital, um amplificador de instrumentação e um circuito de interface com o barramento numa placa de uma ou duas camadas resultará geralmente numa placa de aquisição com alto nível de ruído. Projetistas podem utilizar blindagem metálica para ajudar a reduzir o ruído numa placa de aquisição. Uma blindagem adequada não deve apenas ser incluída ao redor das seções contendo circuitos analógicos mais sensíveis, mas também deve ser feita junto às camadas da placa de aquisição, utilizando planos de terra. Saídas analógicas. Diversas considerações sobre um conversor digital-analógico (DAC) determinam a qualidade do sinal de saída produzido: tempo de acomodação, taxa de subida e resolução. Juntos, o tempo de acomodação e a taxa de subida determinam o quão rápido o DAC pode mudar o nível do sinal de saída. O tempo de acomodação é o tempo necessário para que a saída estabilize com a precisão especificada. Este tempo é normalmente especificado para uma mudança de fundo de escala da tensão. A taxa de subida é a máxima taxa de mudança que um DAC pode produzir no sinal de saída. Entretanto, um DAC com um pequeno tempo de acomodação e uma alta taxa de subida pode gerar sinais de alta freqüência devido ao pequeno tempo necessário para mudar com precisão a saída para um novo nível de tensão. Um exemplo de uma aplicação que requer um alto desempenho nesses parâmetros é a geração de sinais de áudio. O DAC necessita uma alta taxa de subida e um pequeno tempo de acomodação para gerar as altas freqüências necessárias para cobrir toda a faixa de áudio. De maneira inversa, uma aplicação que não requer conversão D/A rápida é uma fonte de corrente que controla um aquecedor. Como o aquecedor não responde rapidamente para uma variação de tensão, não é necessário ter uma conversão D/A rápida. A aplicação é quem determina as especificações do DAC. A resolução de saída é similar a resolução de entrada, ou seja, o número de bits na palavra digital é o gerador da saída analógica. Um maior número de bits reduz a magnitude de cada incremento da tensão de saída, desta maneira permitindo gerar sinais com mudanças suaves. Aplicações que requerem uma faixa dinâmica larga com incrementos de tensão menores na saída analógica talvez necessitem de saídas de tensões de alta resolução. Triggers. Várias aplicações de aquisição de sinais precisam iniciar ou terminar uma operação de aquisição em relação a um evento externo à placa. Gatilhos (triggers) digitais sincronizam a geração de tensão e a aquisição para um pulso digital externo. Triggers analógicos, usados originalmente em operações de entrada analógica, iniciam e terminam a operação de aquisição quando um sinal de entrada alcança um nível específico de tensão analógica e inverte a polaridade. Temporizador/Contador. O circuito temporizador/contador é útil em muitas aplicações, que incluem a contagem de ocorrências de um evento digital, temporização de um pulso digital e a geração de pulsos e ondas quadradas. Pode-se implementar todas estas aplicações usando sinais de três contadores/temporizadores: habilita (gate), entrada (source) e saída (output). A entrada gate é utilizada para habilitar ou desabilitar a função do contador. A 8

9 entrada é quem causa o incremento do contador cada vez que seu valor é modificado e desta maneira fornece a base de tempo para a operação do contador. Finalmente, a saída gera os pulsos e a onda quadrada na linha de saída. As especificações mais importantes para a operação de um contador/temporizador são sua resolução e a freqüência do seu relógio (clock). A resolução é o número de bits que o contador utiliza. Uma maior resolução significa simplesmente que o contador pode contar mais. A freqüência do clock determina quão rápido pode-se alterar o sinal de entrada digital. Com uma freqüência alta, o contador realiza incrementos mais rápidos e desta maneira pode detectar sinais de freqüência mais alta na entrada, gerando pulsos de alta frequência e ondas quadradas na saída. O contador/temporizador DAQ-STC usado nas placas da série E (mesma série da utilizada no laboratório) possuem contadores de 6 e 24 bits e uma freqüência de clock de 20 MHz. Este recurso é um circuito integrado dedicado (ASIC) projetado especificamente para aplicações de aquisição. O DAQ-STC é um contador/temporizador crescente/descendente, o que significa que pode ser utilizado com sinais digitais externos adicionais para contar, dependendo se o nível do sinal é alto ou baixo. Este tipo de contador/temporizador pode medir posições a partir de encoders lineares ou rotacionais. Outras funções especiais incluem geração de trem de pulsos amplificados, temporização equivalente ao tempo de amostragem, identificação do tempo relativo (relative time stamping) e mudança instantânea da taxa de amostragem. 9

10 PARTE 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 2. Série de Fourier Qualquer função periódica no tempo, por exemplo, a função f(t) com período T 0, tal que f(t) = f(t+t 0 ), como a apresentada na Figura 2., pode ser decomposta em uma série de senos e cossenos da seguinte forma: 0 ancos( nw0t) bn sin( nw0t) n f ( t) a,...() onde w 0 = 2/T 0 é a chamada freqüência fundamental. Os coeficientes a 0, a n e b n da Série de Fourier são calculados através das propriedades das funções ortogonais, como se segue: T / 2 0 a 0 f ( t )dt ;...(2) T 0 T0 / 2 0 / 2 T a n f ( t) cos( nw0t) dt ;...(3) T 0 T0 / 2 0 / 2 T b n f ( t) sin( nw0t) dt. (4) T 0 T0 / 2 f(t) T 0 w 0 2 T 0 t Figura 2.: Exemplo de uma função periódica no tempo. A prova matemática da representação em Série de Fourier pode ser vista em qualquer livro de processamento de sinais, tal qual Oppenheim (997). Uma alternativa para a equação () é a seguinte: 0

11 f ( t) a, (5) 2 0 Ancos( nw0t n ) n 2 2 onde An an bn é a magnitude da componente de freqüência nw 0 e n é a fase correspondente. Observa-se que esta série apresenta a mesma informação que a série da equação (), pois as funções seno e cosseno são idênticas, a menos de uma diferença de fase. Neste caso o coeficiente A n e a fase n representam o espectro de freqüência da função f(t). Portanto, a função temporal f(t) é unicamente definida por sua amplitude e fase. A Série de Fourier pode ser ainda descrita usando-se uma representação complexa dos componentes da equação (). As funções seno e cosseno podem ser representadas por funções exponenciais complexas da seguinte forma: e j j e e cos( ) 2 (6) j j e e sin( ). 2 j (7) Substituindo estas expressões na equação () e rearranjando, resulta na Série de Fourier descrita em termos de exponenciais complexas, da seguinte forma: f t C e jnw0t ) n n (, (8) onde os coeficientes C n são complexos e a b n n C C ; (9) n n j C C ). (0) ( n n Os coeficientes C n podem ser calculados através dos coeficientes a n e b n, da expansão em série da equação (), bastando para isso rearranjar as equações (9) e (0). Contudo, estes coeficientes também podem ser calculados através das propriedades de ortogonalidade das funções exponenciais complexas, da seguinte forma: 0 / 2 T jnw0t C n f ( t) e dt. () T0 T0 / 2 Observa-se que neste caso a série é para n variando de a. Note que nas expressões () e (5) tem-se n variando de 0 a, ou seja, existem somente freqüências positivas. No caso da representação da equação (8) tem-se um conjunto de coeficientes que correspondem a freqüências positivas e negativas. O conceito de freqüência negativa geralmente causa confusão, contudo basta simplesmente lembrar que isto resulta diretamente das equações (6) e (7), e do uso de exponenciais complexas para representar componentes de freqüência real, ou seja, é somente um artifício matemático.

12 Exemplo : A expansão em série de Fourier de uma função quadrada com freqüência w 0, apresentada na Figura 2.2, pode ser calculada segundo as expressões () e (8). f(t) T 0 t Figura 2.2: Função quadrada com freqüência w 0. A Série de Fourier desta função quadrada segundo a expressão () é dada por: t) sin( w0t) sin(3w0t) sin(5w t). 3 5 f p ( 0 A série de Fourier desta função quadrada em termos de exponenciais complexas, de acordo com a expressão (8), é dada por: 2 j j5w t 2 j j w t j jw t j jw t j j w t j j5w t ( t) e e e e e e f p 2.2 Transformada de Fourier - representação no domínio da freqüência de uma função temporal não periódica Obviamente que o mundo real não é feito de somente funções periódicas, portanto são necessários métodos para descrever no domínio da freqüência funções não periódicas. O propósito de se ter introduzido anteriormente a Série de Fourier é somente fornecer um ponto de partida para descrever o método mais geral da Transformada de Fourier. Considere a função de duração finita no tempo mostrada na Figura 2.3. Claramente que esta função não é periódica e observe que, a função f(t) = 0 para t > T /2. Contudo, pode ser usado um truque para tornar a função f(t) periódica, este truque consiste em imaginar que se observa somente um período de uma função periódica com período T 0 > T, como mostra a Figura

13 f(t) T T Figura 2.3: Exemplo de função temporal não periódica limitada no tempo. t f p (t) T T t Figura 2.4: Tornando uma função temporal não periódica limitada no tempo em periódica com período T 0. A nova função f p (t), que é periódica com período T 0, pode ser representada por uma Série de Fourier, como a da expressão (8), repetida a seguir: jnw0t f p t) Cne n (, onde w 0 = 2/T 0, como anteriormente. Substituindo na equação anterior a expressão para os coeficientes C n, dada pela equação (), tem-se: (. (2) T0 / 2 jnw 0t jnw0t f p t) f ( t) e dte n T0 T0 / 2 Fazendo com que T 0, o período assumido da função periódica, se torne arbitrariamente grande, de forma que w 0 se torne pequeno, escrevendo w 0 = w e nw 0 = w n, tem-se que: 3

14 T 0 / 2 jwnt jwnt f p ( t) f ( t) e dtwe. (3) 2 n T0 / 2 Finalmente, tomando o limite de T 0 e notando que no limite a função periódica tende à função original, ou seja, f t) f ( t). (4) ( lim T0 ou w0 p Então, se for definida a seguinte função, F jwt ( jw) f ( t) e dt, (5) a equação (3), no limite de T 0 fica, f p ( t) F( jwn ) we 2 n jwnt. (6) Note que para funções periódicas o conteúdo de freqüências é discreto. Pode-se imaginar que funções não periódicas possuem infinitas freqüências em um dado intervalo de freqüências. Assim, as componentes de freqüências de uma função não periódica vão se juntando até não mais existir uma separação entre elas. Matematicamente, esta transformação pode ser feita tomando-se o limite da equação (6) para o intervalo de freqüência, w, tendendo a zero. Quando w tende a zero, tem-se infinitas componentes de freqüência e a somatória da equação (6) se transforma em uma integral da seguinte forma: f p ( t) F( jw) 2 e jwt dt. (7) A equação (5) define a Transformada de Fourier e a equação (7) define a Transformada de Fourier Inversa. Compactamente estas transformações são normalmente descritas como, e F( jw) f ( t) (8) f ( t) F( jw). (9) Note que a equação (5) é por definição a Transformada de Fourier, F(jw), da função f(t) e a equação (7) é por definição a Transformada de Fourier Inversa da função f(t). Se uma função do tempo, f(t), existir somente para t 0, ou seja, obedece as condições de existência da Transformada de Laplace, então a Transformada de Fourier dessa função, F(jw), pode ser calculada através da sua Transformada de Laplace, F(s), da seguinte forma: F( jw) F( s), (20) s jw 4

15 ou seja, basta substituir a variável s da Transformada de Laplace por jw, que se obtém a Transformada de Fourier da função f(t). Esta expressão significa que a Transformada de Fourier é a Transformada de Laplace calculada no eixo imaginário do plano complexo da variável s. Existem tabelas que apresentam as Transformadas da Laplace e de Fourier para diversas funções. A Transformada de Fourier tem as seguintes características: () A função F(jw) não tem nenhuma informação nova sobre a função f(t), é somente um modo diferente de se ver a função; (2) A função F(jw) fornece a densidade de amplitude. Por exemplo, se f(t) é uma força, então F(jw) será força/freqüência (N/Hz ou N/rad.s ); (3) A função F(jw) tem freqüências negativas. Uma freqüência negativa significa somente uma diferença de fase de 80 o em relação à mesma freqüência positiva. Isto pode ser visto através da função seno, onde sin(w) e sin(w) estão defasados de 80 º ; (4) A função F(jw) é simétrica em relação ao eixo w = 0 se a função f(t) for real. 2.3 Espectro de freqüência Para o engenheiro de controle a expansão em série de Fourier ou mesmo a Transformada de Fourier não são tão importantes como o conceito de representação espectral, ou espectro de freqüências, de uma função ou de um sinal temporal. O espectro de freqüência de uma função periódica é a representação gráfica dos harmônicos (componentes) da série de Fourier, dada na forma de exponencial complexa, que representa esta função. Ou seja, é uma representação gráfica dos coeficientes C n da expansão da função segundo a equação (7). Na medida que estes coeficientes são números complexos, o espectro de freqüência é constituído de dois gráficos: um que apresenta o módulo dos coeficientes em função da freqüência e outro que apresenta a fase destes coeficientes também em função da freqüência. Observa-se que a freqüência varia de a +, ou seja, para n variando de a +. Para uma função não periódica o espectro de freqüência é a representação gráfica da sua Transformada de Fourier dividida por 2. Exemplo 2: O espectro de freqüências da função quadrada com freqüência w 0, do exemplo, é dado pelos coeficientes C n da sua expansão em série de Fourier. Do exemplo estes coeficientes são dados, genericamente em função de n, por j/n. A fase e o módulo destes coeficientes são respectivamente iguais à: 5

16 C n, 2, 2 para para n 0 ; n 0 2 C n. n Assim, o espectro de freqüência da onda quadrada do exemplo é dado pelos gráficos abaixo. C n... 7w 0 5w 0 3w 0 w 0 w 0 3w 0 5w 0 7w 0 w C n /2... w 0 3w 0 5w 0 7w 0 7w 0 5w 0 3w 0 w 0 /2... w Figura 2.5: Espectro de freqüências da função quadrada com freqüência w o. Nota-se que este espectro de freqüência não é contínuo. Isto decorre do fato de que a função quadrada é periódica e, portanto, somente tem componentes de freqüência múltiplas do seu período. Exemplo 3: Dada a seguinte função: 6

17 , para t T ; f ( t) 0, para t T ; cujo gráfico se encontra na Figura 2.6, calcule a sua Transformada de Fourier e mostre o seu espectro de freqüências. A sua transformada de Fourier, calculada aplicado-se a equação (5), é dada por: 2 sin( wt ) F( jw) w f(t) T T t Figura 2.6: Função unitária no intervalo de tempo [ T, T ]. O espectro de freqüências desta função é dado pelo módulo e fase de F(jw) dividido por 2. Observa-se contudo que a fase de F(jw) é igual a zero, pois a esta é uma função real. O gráfico da Figura 2.7 apresenta o espectro de freqüências da função f(t). F( jw) 2 T... w 4 T 3 T 2 T T T 2 T 3 T 4 T Figura 2.7: Espectro de freqüência da função unitária no intervalo de tempo [ T, T ]. 7

18 PARTE 3: Atividades a serem desenvolvidas pelos alunos Inicialmente copie todos os scripts do diretório C:\PMR2400\Exp para o seu diretório de trabalho que voce deve criar em C:\Alunos\ 3. Amostrando sinais através da placa de aquisição Nesta parte, vamos utilizar a placa de aquisição de dados para observar a conversão analógica-digital e conversão digital-analógica. Usualmente, realiza-se a amostragem de uma função em intervalores regulares correspondente ao tempo de amostragem T a. A conversão digital-analógica realiza a operação inversa. Ou seja, pega os valores binários e converte para a tensão analógica equivalente. Inicialmente você deve fazer a montagem como ilustrado na Figura 3.. Em seguida você deve utilizar o script de Matlab adda.m. Selecione no Gerador de Funções uma Onda Senoidal de freqüência a sua escolha, por exemplo, entre 20 e 00 Hz. Escolha no VI uma freqüência de amostragem, por exemplo 400Hz. Varie a amplitude e freqüência da Onda Senoidal. Observe e coloque no seu relatório um esboço das formas de onda mostradas no osciloscópio. GERADOR DE FUNÇÕES OSCILOSCÓPIO PLACA DE AQUISIÇÃO + COMPUTADOR BORNEIRA Canal De Entrada 0 Canal de Saída 0 Figura 3.: Diagrama esquemático das ligações. 8

19 3.2 Introdução ao MATLAB Nesta parte, pretende-se introduzir o software MATLAB que será utilizado durante o curso para se executar o projeto de sistemas de controle. Para isso aconselha-se acompanhar o tutorial Introdução ao MATLAB, dando atenção especial as partes correspondentes a construção de gráficos, e processamento de sinais e controle. Obviamente muitos alunos devem estar familiarizados com o MATLAB, portanto essa parte da experiência é opcional e não deve ser incluída no relatório. 3.3 Espectro de freqüências Nesta parte da experiência você irá amostrar três sinais distintos: um sinal senoidal, uma onda quadrada e uma onda triangular. Como sugestão utilize sinais com freqüências da ordem de 0Hz a 50Hz e freqüências de amostragem entre 000 a 2000Hz. Amostrando os sinais No gerador de funções selecione a opção para a geração da onda no formato e freqüência desejados. A amplitude do sinal deve ficar dentro do intervalo 5 volts, que são os limites definidos de operação do DAC. Para a aquisição de dados, será utilizado o script de Matlab aquisicao.m. A Figura 3.3 ilustra o código fonte. % % % fa -> Frequencia de Amostragem em Samples/seg % Duration -> Duracao da aquisicao em segundos % data -> vetor de dados % SampleRate = 000; duration = ; % Cria o objeto AI como sendo o device da interface nidaq (National Instruments - Data Acquisition) AI = analoginput('nidaq','dev'); % acrescenta o canal 0 - A/D chan = addchannel(ai,0); % seta o SampleRate ou frquencia de amostragem set(ai,'samplerate',fa); % ActualRate - > verdadeira frequencia de amostragem utilizada ActualRate = get(ai,'samplerate'); set(ai,'samplespertrigger',duration*actualrate) set(ai,'triggertype','manual') blocksize = get(ai,'samplespertrigger'); start(ai); trigger(ai); wait(ai,duration + ); % obtem o vetor de dados e coloca em auxdata auxdata = getdata(ai); delete(ai); clear AI; 9

20 % % imprimindo o grafico % % geracao do vetor de tempo % t = tempo inicial : intervalo de amostragem : tempo final % t=0:/fa:(size(auxdata)-)*/fa; plot(t,auxdata); grid on xlabel('tempo(s)'); ylabel('tensao (volts)'); % % nome da variavel aonde o usuario deseja armazenar os dados capturados data = auxdata; % Figura 3.3: Código fonte do script aquisicao.m. Você deve escolher a frequencia de amostragem fa e o tempo de duração da aquisição de dados duration. Ao final o script constroi o gráfico em função do tempo e salva o vetor de dados na variável data. Você pode mudar o nome desta variável a cada aquisição se assim o desejar. Trechos específicos do gráfico podem ser selecionados através do comando de ZOOM que pode ser selecionada na janela do gráfico. 20

21 Cálculo do espectro de freqüência dos sinais amostrados Para cada sinal amostrado (onda senoidal, onda quadrada e onda triangular) calcule o seu espectro de freqüências utilizando o MATLAB. Para isso, você deve seguir os passos a seguir. Primeiramente faça os gráficos das curvas amostradas em função do tempo. Utilizar nesse gráfico poucos períodos da curva. Para criar o vetor tempo você deve utilizar os seguintes comandos: N = length(data(:,)); t = (0:N-)/fa; onde fa é a freqüência de amostragem em Hz e é a coluna onde estão os seus dados na matriz data. Para fazer o gráfico do sinal em função do tempo utilize: plot(t(n:n2),data(n:n2,));grid, onde n:n2 consiste no intervalo de pontos do sinal que deseja fazer o gráfico. sso é necessário porque certamente o número de pontos que você coletou do sinal é muito grande e o gráfico de todos eles torna a visualização da onda impossível. Inclua no seu relatório um esboço dos gráficos dos três sinais. Com o arquivo contendo os dados amostrados dentro do MATLAB, você deve processar a Transformada Discreta de Fourier (DFT) desses dados com o comando fft do MATLAB. Com a Transformada Fourier dos dados você pode obter o espectro de freqüências do sinal. O espectro de freqüências de um sinal pode ser obtido pela multiplicação da Transformada de Fourier com o seu conjugado e posterior raiz quadrada. Para isso você no MATLAB deve fazer a seguinte operação: f = fft(data(:,)); s = f.*conj(f); s = sqrt(s)/(n-); onde s é o espectro de freqüências do sinal e f é o vetor que contém a DFT. A operação.* multiplica dois vetores, porém componente por componente, ou seja, realiza o produto escalar de dois vetores. Para visualizar o espectro de freqüência do sinal você deve antes obter a escala de freqüências. Para isso você deve gerar um vetor de N números que seguem a fórmula n*fa/n, onde n =,,N. No MATLAB tem-se: w = (0:N-)*fa/(N-); 2

22 Para fazer o gráfico da amplitude do espectro de freqüências utilize os seguintes comandos: m = round(n/2); plot(w(:m),s(:m));grid Como deve ter notado, você deve fazer o gráfico de somente metade dos pontos do espectro de freqüências calculado. A razão disso você ficará sabendo em aulas futuras. Inclua no seu relatório os esboços dos gráficos dos espectros de freqüências dos três sinais. Nota: A DFT é o equivalente da Transformada de Fourier, mas serve para sinais amostrados. Não se preocupe muito em saber como o MATLAB calcula essa transformada, pois você irá aprender isso em aulas futuras. Cálculo dos espectros de freqüências teóricos Nesta parte da experiência você deve calcular através da teoria o espectro de freqüências dos sinais amostrados, ou seja: Onda senoidal; Onda quadrada; Onda triangular. Calcule os espectros de freqüências teóricos para uma freqüência fundamental genérica, w 0, e depois calcule numericamente para as freqüências que você utilizou nos sinais amostrados. Isso deve ser trazido pronto para a aula de laboratório. Portanto, a freqüência dos sinais que você vai amostrar deve ser decidida em casa e não durante a realização da experiência. Apresente no seu relatório o cálculo das Séries de Fourier e dos espectros de freqüências teóricos, além dos gráficos dos espectros de freqüências teóricos dos três sinais. Analise os resultados, ou seja, compare os espectros de freqüências obtidos a partir dos sinais reais com os calculados através da teoria. 22